Seminari di Geometria Dinamica - Edizioni Nuova Culturanuovacultura.it/upload/1356717376.pdf ·...

Edizioni Nuova Cultura

EDIZIONI NUOVA CULTURA

P.le Aldo Moro 5, 00185 Roma.Per info visitare il sito www.nuovacultura.itPer ordinare questo testo invia una e-mail all’indirizzo [email protected]

Seminari di Geometria Dinamica

Collana Studi Matematici

Isbn 9788861344112;€ 48.00;F.to 17x24; Pagine 412; con illustrazioni a colori

Al volume e' allegato un CD-Rom in cui sono stati replicati in formato pdf i testi di tutti i seminari in cui sono stati attivati i collegamenti ipertestuali con i �le di geometria dinamica utilizzati dagli autori, che possono essere esplorati usando gli stessi software con cui sono stati creati:

CabriGéomètre Plus, Cabri 3D. Cinderella, GCLC e TI-Nspire.

Questo testo è disponibile anche in edizione digitale: Isbn 9788861344112; € 13.00; F.to 17x24;

EDIZIONE DIGITALE

SEMINARI DI GEOMETRIA DINAMICA

EDIZIONE DIGITALE

a cura di

Giuseppe Accascina ed Enrico Rogora

Edizioni Nuova Cultura

EDIZIONE DIGITALE

Descrizione della collana La collana propone testi di elevato livello didattico, scientifico, divulgativo nel campo della Matematica, della sua Storia e delle sue Applicazioni. Le pubblicazioni, promosse o realizzate nell’ambito dei dipartimenti matematici della Sapienza, sono rese facil-mente disponibili mediante il sistema print on demand. Comitato scientifico Giuseppe Accascina, Claudio Bernardi, Paolo Buttà, Giulio Campanella, Piero D’Ancona, Pietro Giannone, Lamberto Lamberti, Nicoletta Lanciano, Stefano Marchiafava, Piero Negrini, Silvia Noschese, Enrico Rogora, Alessandro Silva, Fabio Spizzichino, Giovanni Maria Troianiello. Metodi e criteri di valutazione La collana adotta un sistema di valutazione dei testi basato sulla revisione paritaria e anonima (peer review). I criteri di valutazione riguarderanno la qualità scientifica e didattica e la significatività dei temi proposti. Per ogni proposta editoriale, tali requi-siti saranno accertati dal comitato scientifico, che si avvarrà di almeno due revisori esperti. Curatore Guido Cavallaro

Copyright © 2010 Edizioni Nuova Cultura - Roma ISBN: 9788861344280 DOI: 10.4458/4112 Copertina: a cura dell’Autore. Composizione grafica: a cura dell’Autore. Collegamenti ipertestuali: a cura di Luca Piselli. È vietata la riproduzione non autorizzata, anche parziale, realizzata con qualsiasi mezzo, compresa la fotocopia, anche ad uso interno o didattico. Questo volume è stato stampato con tecnologia “print on demand” presso centro stampa Nuova Cultura P.le Aldo Moro n. 5, 00185 Roma www.nuovacultura.it per ordini: [email protected] [int_9788861344280_05]

EDIZIONE DIGITALE

5

Indice

Introduzione 7 Giuseppe Accascina (DOI: 10.4458/4112-01) 9 Cosa si vede e cosa si osserva in un diagramma di geometria dinamica Ferdinando Arzarello (DOI: 10.4458/4112-02) 13 Multimodalità e azioni quasi-empiriche in TI-Nspire Mario Barra (DOI: 10.4458/4112-03) 17 Rivoluzioni in atto: problemi e ricerca di soluzioni. Sviluppo della creatività. Importanza sociale e aspetti didattici dei Dynamic Geometry Software. Il pensiero di alcuni grandi maestri. Fusionismo olistico Maria Bartolini Bussi (DOI: 10.4458/4112-04) 21 Macchine matematiche reali e virtuali: Cabri come ambiente di modellizzazione Claudio Bernardi (DOI: 10.4458/4112-05) 25 Un approccio teorico ai sofware dinamici. Comandi come operazioni, trascinamento e trasformazioni geometriche Paolo Boieri (DOI: 10.4458/4112-06) 29 Geometria dello spazio con Cabri 3D. Un possibile percorso Aldo Brigaglia (DOI: 10.4458/4112-07) 33 Dalla riga e il compasso alla geometria dinamica: considerazioni comparative sull’uso degli strumenti in matematica

EDIZIONE DIGITALE

INDICE

6

Laura Catastini (DOI: 10.4458/4112-08) 37 Pensiero simulativo e geometria dinamica Bruna Cavallaro, Ida Spagnuolo (DOI: 10.4458/4112-09) 41 Il Progetto Leonardo e la geometria dinamica Al Cuoco (DOI: 10.4458/4112-10) 45 Dynamic Geometry as a Tool to Develop Analytic Thinking: Promoting Mathematical Habits of Mind in High School Predrag Janicic (DOI: 10.4458/4112-11) 49 Geometry Tools GCLC and WinGCLC Giovanni Margiotta (DOI: 10.4458/4112-12) 53 Cabri: comportamenti strani nelle soluzioni di prove d’esame Maria Alessandra Mariotti (DOI: 10.4458/4112-13) 57 Riflessioni sulla dinamicità delle figure: il comando di trascinamento Domingo Paola (DOI: 10.4458/4112-14) 61 Cabri Géomètre: una risorsa per un insegnamento- apprendimento "sensato" della matematica Angela Pesci (DOI: 10.4458/4112-15) 64 Cabri Géomètre nello sviluppo di aspetti specifici del pensiero geometrico Ornella Robutti (DOI: 10.4458/4112-16) 69 Misura e Cabri: aspetti epistemologici e didattici nell'apprendimento della geometria Enrico Rogora (DOI: 10.4458/4112-17) 73 Uno sguardo “dietro” i diagrammi prodotti con un software di geometria dinamica Luigi Tomasi (DOI: 10.4458/4112-18) 77 Visualizzazione dinamica ed esplorazione di proprietà delle figure dello spazio con Cabri 3D

EDIZIONE DIGITALE

Accascina G., Rogora, E. (a cura di) Seminari di geometri dinamica, 2010, Ed. Nuova Cultura, Roma, pp. 7-8 7

Introduzione

Abbiamo raccolto in questo volume il testo dei Seminari di Geometria Di-namica, organizzati nel 2008-09 dal Dipartimento di Metodi e Modelli Ma-tematici per le Scienze Applicate e dal Dipartimento di Matematica “Guido Castelnuovo” della Sapienza, Università di Roma. I relatori sono ricercato-ri di didattica della matematica e docenti di scuola, che hanno trattato ar-gomenti riguardanti l’uso di software di geometria dinamica nell’insegna-mento – apprendimento della geometria. Il pubblico, anch’esso composto sia da ricercatori sia da docenti di scuola, ha partecipato attivamente allo spazio di discussione previsto al termine di ogni seminario. Tracce di que-ste discussioni sono visibili in molti capitoli del volume. A questi seminari hanno partecipato molti dei maggiori esperti italiani del settore e alcuni importanti studiosi stranieri. Riteniamo che il volume possa fornire una buona rappresentazione del ricco panorama della ricer-ca italiana sulla geometria dinamica e dei suoi contatti con la ricerca in-ternazionale. Nel testo gli autori hanno mantenuto lo stile comunicativo dei semina-ri. I testi sono replicati in formato pdf nel CDRom allegato. In essi sono stati attivati i collegamenti ipertestuali con i file di geometria dinamica u-tilizzati dagli autori. Ciò permette di recuperare almeno in parte il ruolo illustrativo assegnato dagli autori alla manipolazione dei diagrammi du-rante i seminari. I file possono essere esplorati usando gli stessi software con cui sono stati creati: Cabri Géomètre Plus, Cabri 3D, Cinderella, GCLC e TI-Nspire La scelta di questi software è stata fatta da ogni autore secondo la sua convenienza. Nulla vieta naturalmente di usare altri software di geo-metria dinamica.

EDIZIONE DIGITALE

GIUSEPPE ACCASCINA, ENRICO ROGORA

8

Ringraziamo per aver finanziato i seminari e la pubblicazione di questo volume: • il progetto PRIN 2007B2M4EK “Strumenti di rappresentazioni nell’in-segnamento-apprendimento della matematica: teoria e pratica”; • il Dipartimento Metodi e Modelli Matematici della Sapienza, Università di Roma; • il gruppo di ricerca “Didattica della Matematica”del Dipartimento Me-todi e Modelli Matematici della Sapienza, Università di Roma Roma, 9 febbraio 2010 Giuseppe Accascina Enrico Rogora

EDIZIONE DIGITALE


Cosa si vede e cosa si osserva in un diagramma di geometria dinamica

Giuseppe Accascina

Vedere non basta, vedere non è capire, anzi vedere può essere quasi niente se l’atto fisico del guardare non si ac-compagna alla consapevolezza della possibile dimensione latente degli oggetti […] Quando si guarda qualcosa, ciò che conta, più ancora dell’oggetto guardato, è lo sguardo. È la qualità dello sguardo, nel “pregiudizio” che contiene, che l’oggetto osservato si deforma per aderire alla persona-lità di ciò che si osserva. (Augias, 1996, pp 9-10 e pag. 11) Sunto Vengono mostrati alcuni esperimenti di uso di diagrammi di geometria dinamica 2D e 3D in attività di problem solving da parte di studenti di Scuola Secondaria Superiore, studenti di Laurea triennale e di Laurea Ma-gistrale in Matematica e specializzandi SSIS. I comportamenti di tutti questi studenti sono sostanzialmente analoghi. Caratteristica comune è che quel che viene osservato dagli studenti non coincide con quel che viene mostrato dai diagrammi. Le ragioni di ciò per la geometria 2D e per la geometria 3D sono radi-calmente differenti. Giuseppe Accascina Dipartimento Metodi e Modelli Matematici Sapienza, Università di Roma [email protected] http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina

EDIZIONE DIGITALE

GIUSEPPE ACCASCINA

10

1. Un esempio di attività di problem posing in geome-tria del piano Mostro tre problemi tratti dalla parte finale di un ampio percorso (Acca-scina & Margiotta, 2002 e 2003) in cui si propone un’attività di problem posing con l’aiuto di un software di geometria dinamica. La parte iniziale di questo percorso, dedicata a studenti del secondo biennio delle Scuole Secondarie Superiori, è stata poi ripresa in Margiotta (2003) e inserita nella sezione “Spazio e figure” di “Matematica 2003” (vedere Anichini et al., 2003). I tre problemi che qui presento sono adatti a studenti più esperti. I primi due problemi sono stati sperimentati in corsi di laboratorio cui hanno partecipato studenti dell’ultimo anno della Laurea triennale e del primo anno della Laurea Magistrale in Matematica e specializzandi della SSIS del Lazio. Questi ultimi sono in possesso di una Laurea quadriennale in materie scientifiche (la maggior parte in Matematica) e intendono prendere l’abilitazione all’insegnamento della Matematica nelle Scuole Se-condarie Superiori. Le reazioni degli specializzandi SSIS sono descritte in Accascina, Margiotta & Rogora (2005). Inizierò con il proporre i tre problemi e quindi analizzerò le risposte degli studenti. Ho progressivamente assegnato schede di lavoro in cui sono specificati dettagliatamente i compiti assegnati agli studenti. Le prime schede sono di introduzione all’uso di Cabri. In particolare in alcune di queste è chiesto di:

• disegnare la circonferenza passante per tre punti assegnati e costruir-ne la macro; • disegnare un triangolo equilatero avente due vertici assegnati e co-struirne la macro; • disegnare un triangolo equilatero avente due vertici assegnati, dise-gnare la circonferenza ad esso circoscritta e costruirne la macro. Quest’ultima è risultata molto utile quando ho assegnato la scheda conte-nente il primo problema.

Problema 1. Circonferenze di Fermat Dato un triangolo ABC, costruire sul lato AB il triangolo equilatero ABC’ esterno al triangolo e la circonferenza c1 ad esso circoscritta; ripetere la

EDIZIONE DIGITALE

COSA SI VEDE E COSA SI OSSERVA IN UN DIAGRAMMA DI GEOMETRIA DINAMICA

11

stessa operazione sul lato BC e sul lato AC. Si ottengono i triangoli equila-teri BCA’ e ACB’ e le circonferenze c2 e c3 ad essi circoscritte. Quali pro-prietà suggerisce la figura? Gli studenti hanno tracciato i triangoli equilateri e le circonferenze ad essi circoscritte. Queste ultime vengono chiamate circonferenze di Fermat.

Figura 1. Le circonferenze di Fermat Moltissimi studenti hanno congetturato che il triangolo O1 O2 O3 è equi-latero. Chiamiamo quest’ultimo triangolo di Napoleone. Il teorema di Napoleone è ben noto (vedere, per esempio, Coxeter, 1961; Posamentier & Salkind, 1970; Sinclair, 2002).

Figura 2. Le circonferenze di Fermat e il triangolo di Napoleone. In effetti questa configurazione ha molte altre proprietà. Ne vedremo al-cune in seguito, quando esamineremo in dettaglio alcune risposte date dagli studenti.

EDIZIONE DIGITALE

GIUSEPPE ACCASCINA

12

Abbiamo qui riportato le prime tre pagine dell’articolo, il testo integrale è disponibile in formato pdf nel CD-Rom allegato e, in formato cartaceo, in Seminari di Geometria Dinamica, a cura di Giuseppe Accascina ed Enrico Rogora, 2010, Edizioni Nuova Cul-tura, Roma ISBN: 9788861344280.

EDIZIONE DIGITALE


Multimodalità e azioni quasi-empiriche in TI-Nspire

Ferdinando Arzarello

Sunto Lavorando con calcolatrici e computer, insegnanti e studenti interagisco-no con diversi ambienti di rappresentazioni: da quello carta e penna a quelli dipendenti dalla tecnologia e dal software che usano. È importante considerarli tutti, tenendo conto delle diverse pratiche che gli allievi met-tono in opera interagendo con essi. In particolare è utile descrivere gli a-spetti multimodali di tali interazioni: essi costituiscono la controparte co-gnitiva alla molteplicità di rappresentazioni supportata dall’interazione con gli strumenti tecnologici. Nell’articolo illustro questo punto di vista presentando opportuni qua-dri teorici e vari esempi di problemi trattati con Cabri-géomètre e con TI-Nspire. Essi illustrano differenze e somiglianze tra i due software in re-lazione ai processi cognitivi che essi promuovono o inibiscono.

Ferdinando Arzarello Dipartimento di Matematica Università di Torino [email protected]

EDIZIONE DIGITALE

FERDINANDO ARZARELLO

14

1. Introduzione L’introduzione di strumenti tecnologici nella classe produce una situazio-ne complessa. In forma rozza la domanda di fondo è: Come l’uso dei software di geometria dinamica (ad es. Cabri, TI-Nspire) può migliorare l’apprendimento della matematica attraverso un’opportuna progettazione didattica? Quali sono i loro maggiori punti di forza? Quali le loro debolezze? Nel presente articolo cercherò di dare una veste scientifica a queste do-mande e di proporre un primo abbozzo di risposta. Per fare questo mi ri-ferirò a varie ricerche condotte dal mio gruppo in questi anni. Anche se la responsabilità diretta di quanto scrivo è soltanto mia, quanto espongo è frutto del lavoro di tutte queste persone (ricercatori, insegnanti, dotto-randi, tesisti), che ringrazio e voglio qui elencare: Pierangela Accomazzo, Lorella Allais, Luciana Bazzini, Silvia Damiano, Marianna Esposito, France-sca Ferrara, Patrizia Laiolo, Nicoletta Nolli, Domingo Paola, Federica Oli-vero, Ornella Robutti, Cristina Sabena. Illustrerò dapprima (§§ 2,3) due quadri teorici che utilizziamo per in-quadrare i processi di insegnamento-apprendimento della matematica in ambienti di geometria dinamica: • il cosiddetto approccio strumentale di Verillon-Rabardel; • la nozione di multimodalità. Successivamente (§§ 4,5,6) li applicherò per analizzare alcuni fenomeni di-dattici che si osservano quando gli allievi interagiscono con software di ge-ometria dinamica per affrontare situazioni problematiche di varia natura. Infine (§7) sintetizzerò le analisi in alcune prime risposte alla domanda di fondo, opportunamente riformulata alla luce dei quadri teorici introdotti.

2. Genesi strumentale P. Rabardel (1995) ed altri (Verillon & Rabardel, 1995) introducono ed elaborano il concetto di Genesi strumentale nel campo dell’ergonomia co-gnitiva, per descrivere il processo secondo cui un artefatto (ad es. un in-sieme assemblato di pezzi di metallo oppure un software) diventa uno strumento (ad es. un compasso, TI-Nspire): il soggetto si impadronisce in

EDIZIONE DIGITALE

MULTIMODALITÀ E AZIONI QUASI-EMPIRICHE IN TI-NSPIRE

15

modi vari dei sui schemi d’uso. In particolare il cosiddetto “approccio strumentale” (Guin & Trouche, 2002) si propone di studiare le modalità di integrazione delle tecnologie dell’informazione e della comunicazione nei processi di insegnamento-apprendimento. La genesi strumentale ha due direzioni: una verso il soggetto, l’altra verso la realtà esterna. Secondo la prima direzione l’artefatto va integrato all’interno delle proprie strutture cognitive, il che richiede un adattamento: Rabardel e Verillon chiamano Strumentazione (Instrumentation) questo tipo di costruzione (imparo ad usare il compasso, TI-Nspire). La seconda direzione riguarda l’adatta-mento che il soggetto fa dell’artefatto per risolvere problemi vari (ad es. il compasso per riportare misure, TI-Nspire per modellizzare una certa si-tuazione matematica). Rabardel e Verillon chiamano Strumentalizzazione (Instrumentalisation) questo processo. Quando si impara a utilizzare una determinata tecnologia si mettono in opera una serie di azioni, orientate a diventare esperti nel maneggiare lo strumento, che vengono dette pragmatiche (Inhelder e Cellérier, 1992).

Figura 1 Vi sono però, altre azioni e trasformazioni operate sullo strumento che hanno come obiettivo quello di conseguire conoscenze relativamente al-l’ambiente in cui lo strumento è utilizzato (per esempio nel caso di stru-menti di misura) o all’ambiente messo a disposizione dallo strumento (per esempio nel caso di software che rendono accessibili all’utente do-

EDIZIONE DIGITALE

FERDINANDO ARZARELLO

16


EDIZIONE DIGITALE


Rivoluzioni in atto: problemi e ricerca di soluzioni. Sviluppo della creatività. Importanza sociale e aspetti didattici dei Dynamic Geometry Software. Il pensiero di alcuni grandi maestri. Fusionismo olistico1

Mario Barra

Sunto A partire da una breve analisi sulle attuali caratteristiche sociali, si cerca di mostrare come un DGS possa risultare utile per sviluppare alcune im-portanti capacità necessarie alla società, nella convinzione che questi sof-tware offrano notevoli possibilità didattiche e considerando come l’uso di strumenti tecnologici sia presente nei programmi scolastici. In particolare Cabri può offrire molte opportunità per disegnare in modo preciso, per investigare alcune proprietà e comprendere in modo approfondito, per sviluppare la creatività e in alcuni casi, per dimostrare molte proprietà matematiche. Un DGS può esercitare molto utilmente il ragionamento in-duttivo e soddisfare alcune esigenze estetiche attraverso il colore ed il Mario Barra Dipartimento di Matematica Sapienza Università di Roma [email protected] 1 Si fa riferimento al fusionismo di Klein e di de Finetti, che collega le dimensioni dello spazio, il discreto e il continuo e tutte le discipline scientifiche. Il fusionismo glo-bale o olistico intende considerare anche altre componenti dell’apprendimento: Barra M., 1995, Formule e teoremi per induzione naturale e “Fusionismo globale”, in Janna-morelli B. (ed), Lingue e linguaggi nella pratica didattica, Atti del II Sem. Internaz. di Did. della Mat., Sulmona, 30/III-1/IV/1995, Ed. Qualevita, pp. 165-192.

EDIZIONE DIGITALE

MARIO BARRA

18

movimento. Si cerca di tenere conto anche di alcuni aspetti psicologici. Vengono riportate a proposito molte indicazioni importanti di grandi ma-tematici. Le considerazioni fatte derivano spesso da sperimentazioni effet-tuate sia con gli studenti, sia con gli insegnanti. 1. Introduzione I computer e gli automi, internet, il cinema e la TV, i telefonini e le play-station, considerati insieme al considerevole aumento della popolazione e ai limiti delle risorse, portano, con rilevanza diversa, a molte rivoluzioni radicali e inedite per quanto riguarda il lavoro, la comunicazione, l’eco-logia, le esigenze estetiche, i problemi psicologici e affettivi, … e la ma-tematica. Le parole chiave di queste rivoluzioni, per quanto riguarda gli indivi-dui, sono: maggiore complessità dei problemi e strumenti più potenti per affrontarli, diminuzione della routine, velocità della comunicazione e del reperimento di informazioni, maggiore importanza delle applicazioni, ne-cessità di una manualità più consapevole e di una intellettualità più opera-tiva e maggiore esigenze di: creatività, partecipazione individuale e collet-tiva, operatività, riconoscimenti collegati ai risultati, semplicità della comunicazione, colore, movimento, bellezza. L’aumento dell’inquinamen-to e la diminuzione delle risorse e degli spazi individuali disponibili ren-dono più difficile alla natura lo svolgimento di una delle sue funzioni fon-damentali: quella di soddisfare le esigenze fisiche, psicologiche, ludiche ed estetiche degli individui. Dopo millenni nei quali probabilmente è stato vero il contrario, nel giro di pochissimi anni l’attività fisica viene svolta in spazi fruibili a pagamen-to, in Calabria gli stupendi “fiori del mare”, gli spirografi, sono morti, a Ventotene i polpi sono scomparsi, al lago di Nemi i lucci appartengono ai ricordi del passato, le trote e i pesci in generale sono diminuiti notevol-mente… Quanto segue prova a tener presenti gli aspetti indicati e cerca di ap-profondirli considerando in particolare gli insegnamenti dei “grandi” che ci hanno preceduto, con maggiore attenzione rivolta agli aspetti didattici e pedagogici dell’insegnamento della matematica.

EDIZIONE DIGITALE

RIVOLUZIONI IN ATTO

19

In particolare si analizzano le potenzialità di un software di geometria dinamica (DGS), indirizzando l’attenzione: • ad una matematica intesa “a misura della scuola e della società” • ad un collegamento fra “tutti” gli aspetti dell’insegnamento inseriti in un quadro di riferimento il più possibile generale, armonico, coerente, semplice e convincente (fusionismo olistico), che si ritiene opportuno • ai “grandi” della storia e in particolare ai matematici che si sono occu-pati di didattica, dei quali verranno riportate alcune indicazioni didat-tiche con il riferimento bibliografico • alla valorizzazione delle congetture personali e delle dimostrazioni ad esse relative • ai particolari che si ritiene possano migliorare la comunicazione e la memorizzazione • a quelle che si considerano delle “esigenze naturali” e in particolare: lo sviluppo della creatività, il ragionamento induttivo, le generalizzazioni a partire da esempi, la geometria, gli aspetti dinamici, i concetti espres-si con parole “semplici”, il “buon senso”, gli aspetti estetici, edonistici e gli aspetti affettivi, emozionali e psicologici. Verranno limitati i discorsi teorici e si cercherà di esprimere alcune idee tentando di stabilire un collegamento fra aspetti particolari e generali. EDIZIONE DIGITALE

MARIO BARRA

20


EDIZIONE DIGITALE


Macchine matematiche reali e virtuali: Cabri come ambiente di modellizzazione

Maria G. Bartolini Bussi

Sunto In questo lavoro si esplora il campo di esperienza delle macchine matema-tiche come sorgente di problemi di Modelling & Applications (M&A) per studenti delle scuole secondarie e dell’università. In particolare si con-fronta questo approccio con quello diffuso in molte ricerche internazionali M&A che focalizzano solo il ciclo di andata e ritorno tra il mondo reale e la matematica, a discapito di una prospettiva più complessa, storico-cultu-rale, in cui M&A sono anche attività interne alla matematica stessa. 1. Introduzione Negli ultimi anni si sono diffuse sempre di più ricerche educative sulla modellizzazione e sulle applicazioni della matematica, brevemente citate nella letteratura internazionale come Modelling & Applications (di qui in poi abbreviati con M&A, ad es. Blum et al., 2007; Kaiser, et al. 2006; Niss, 2008) Queste ricerche nascono e si sviluppano soprattutto in Germania e nei paesi anglofoni, sotto l’influenza dell’interesse manifestato dall’in-dustria e dal mercato per la preparazione degli studenti nella soluzione di problemi di tipo applicativo. Maria G. Bartolini Bussi Dipartimento di Matematica Pura e Applicata “G. Vitali” Università di Modena e Reggio Emilia [email protected]

EDIZIONE DIGITALE

MARIA G. BARTOLINI BUSSI

22

Questa è una delle prospettive possibili nell’insegnamento-appren-dimento della matematica, non l’unica. Tuttavia ha goduto e gode di un grande consenso, fino a determinare il quadro di riferimento unico a par-tire dal quale sono stati costruite le prove di valutazione dei quindi-cenni dell’ormai celebre indagine OCSE-PISA. La cosiddetta Mathematical Literacy (che consente al cittadino di non essere ritenuto un analfabeta matematico) è così definita (OCSE, 2007, p. 17): Capacità di un individuo di identificare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate, di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che ri-spondono alle esigenze della vita di quell’individuo in quanto cit-tadino che esercita un ruolo costruttivo, impegnato e basato sulla riflessione. Questa richiesta non è nuova in Italia ed è anzi coerente con le indicazioni presenti nei programmi della scuola italiana da molti anni. Il termine ma-tematizzazione compariva già nei suggerimenti metodologici delle indi-cazioni per la matematica dei programmi della scuola media del 1979 (Decreto Ministeriale 9 febbraio 1979: Programmi, orari di insegnamento e prove di esame per la scuola media statale): Verrà dato ampio spazio all’attività di matematizzazione intesa come interpretazione matematica della realtà nei suoi vari aspetti (naturali, tecnologici, economici, linguistici…) con la diretta parteci-pazione degli allievi. In Italia, tuttavia, essa era affiancata da indicazioni che sottolineavano gli aspetti culturali della matematica fino al suggerimento dell’avvio alla col-locazione storica della scienza. Questo equilibrio fu ripreso anche nei pro-grammi della scuola elementare del 1985 (DPR 12 febbraio 1985, n. 104), in cui si ricordava la duplice natura della matematica come valido strumento di conoscenza e di interpretazione critica della re-altà e come affascinante avventura del pensiero umano. Questa posizione è stata ribadita nei curricoli elaborati dall’UMI-CIIM ed in particolare nella parte in cui si descrive l’attività di laboratorio (vedi

EDIZIONE DIGITALE

MACCHINE MATEMATICHE REALI E VIRTUALI: CABRI COME AMBIENTE DI MODELLIZZAZIONE

23

http://umi.dm.unibo.it/scuola--99.html, che hanno influenzato le indica-zioni degli ultimi ministri (2004 e 2007). Invece, le ricerche internazionali su M&A focalizzano quasi esclusi-vamente l’aspetto di conoscenza e interpretazione critica della realtà e trascurano gli aspetti storico-culturali per i quali cui tale attività è svolta all’interno della matematica. Lo schema base adottato nella descrizione dei processi di insegnamento-apprendimento è, con variazioni limitate e inessenziali, quello di Blum & Leiss (2007), che descrive il ciclo di andata (modellizzazione) dal mondo reale alla matematica e ritorno (applicazio-ne) dalla matematica al mondo reale. Lo schema sarà tradotto e descritto con dettaglio nel seguito, come traccia di un processo che collega un og-getto della realtà esperienziale degli studenti (una macchina matematica costruita con legno, ottone, viti, ecc.) e un mondo matematico (il piano di Cabri-Géomètre) come ambiente di modellizzazione. Questo processo sarà poi inserito in un progetto educativo più ampio che tiene conto di alcune specificità dei programmi italiani.

Figura 1. Lo schema di Blum & Leiss (2007)

2. Il parabolografo di Cavalieri

Dal trattato di Cavalieri a un modello concreto Bonaventura Cavalieri pubblicò nel 1632 Lo specchio ustorio, ovvero trat-tato delle settioni coniche e alcuni loro mirabili effetti intorno al lume,

EDIZIONE DIGITALE

MARIA G. BARTOLINI BUSSI

24


EDIZIONE DIGITALE


Un approccio teorico ai software dinamici. Comandi come operazioni, trascinamento e trasformazioni geometriche

Claudio Bernardi

Sunto Negli usuali software geometrici si osservano le costruzioni invarianti per trascinamento. Nei programmi PNI si parla di «proprietà invarianti rispet-to alle diverse trasformazioni» (similitudini, ecc.), nel senso del pro-gramma di Klein. Le due situazioni sembrano simili fra loro, ma si rimane incerti di fronte alle domande: «quali trasformazioni geometriche corri-spondono al trascinamento di un punto in Cabri? Ha senso parlare del gruppo delle trasformazioni di Cabri?». Per un inquadramento teorico dei software geometrici, è utile ripren-dere l’impostazione logica della geometria euclidea dovuta a Tarski: si pensa che gli oggetti siano solo i punti e si introducono opportune rela-zioni fra questi. Tuttavia, quando si opera con un software, si ha a che fare non con relazioni, ma con operazioni (cioè con funzioni): applicando certi comandi a determinati punti si ottengono nuovi punti. In altre parole, a partire da alcuni punti base si genera una figura. Si pongono problemi pratici (per costruire una certa figura, qual è la scelta più economica per i punti base?) e problemi teorici. In particolare, ci sono analogie formali con strutture quali l’anello dei polinomi, visti co-me espressioni sintattiche che indicano operazioni su variabili. Claudio Bernardi Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma [email protected]

EDIZIONE DIGITALE

CLAUDIO BERNARDI

26

1. Proprietà invarianti e gruppi di trasformazioni Nei programmi Brocca e PNI per il triennio del Liceo Scientifico si parla di «proprietà invarianti rispetto alle diverse trasformazioni» e si precisa che «questo procedimento si inquadra nella concezione di Klein della geome-tria». L’idea è nota; si veda, ad esempio, Bernardi & Menghini, 2003. Per esempio, se si applica un’affinità ad un triangolo, l’immagine del baricen-tro del triangolo iniziale è il baricentro del nuovo triangolo: si dice allora che il baricentro è invariante per affinità. D’altra parte, il trascinamento nei software geometrici mette in eviden-za le proprietà invarianti di una configurazione. La situazione sembra ana-loga alla precedente: se si disegnano le mediane di un triangolo, si vede che si incontrano in un punto; se poi si sposta un vertice del triangolo, si vede che anche nel nuovo triangolo le tre mediane passano per uno stesso punto. Trascinamento e trasformazioni sembrano molto simili fra loro: in en-trambi i casi ci interessiamo alle proprietà invarianti. Ci però differenze: per esempio, l’ortocentro di un triangolo non è inva-riante per affinità ma solo per similitudini; e però si conserva per trasci-namento, anche se il trascinamento non corrisponde affatto ad una simili-tudine. Così, si rimane incerti se qualcuno chiede: «quali trasformazioni geo-metriche corrispondono al trascinamento di un punto in un software di-namico come Cabri? ha senso parlare del gruppo delle trasformazioni di un software dinamico?». Per trasformazione intendo al solito una funzione biiettiva dal piano (visto come insieme di punti) in sé. Il primo problema che si pone di fronte ad una costruzione effettuata con un software è: come si estende a tutti i punti del piano il trascinamen-to di uno dei punti base? Le difficoltà nascono dalle due considerazioni seguenti. a) Da un lato sembra ragionevole affermare che, quando si sposta un punto base, si mandano rette in rette. Questo è quanto appare sullo schermo, e fa pensare ad un’affinità (o ad una collineazione).

EDIZIONE DIGITALE

UN APPROCCIO TEORICO AI SOFTWARE DINAMICI

27

b) D’altra parte, intuitivamente si può pensare che il trascinamento di un punto provochi una deformazione locale del piano, perché gli altri punti base non si spostano: questo fa pensare ad un omeomorfismo. C’è un’altra difficoltà. In una trasformazione, i punti d’intersezione di due figure non si possono perdere (la funzione è biiettiva). Ma se consideria-mo due segmenti con un punto in comune, è facile, spostando uno degli estremi, perdere il punto d’intersezione. Non si risolve il problema am-mettendo qualche punto eccezionale; il trascinamento non sembra quindi in alcun modo corrispondere ad una trasformazione. Eppure, quando si trascinano punti di una figura disegnata con il soft-ware, sembra di avere a che fare con un gruppo: ha senso comporre due trascinamenti (si tratta di spostare prima un punto e poi un altro), se si sposta un punto base lo si può poi riportare nella posizione iniziale (in-verso) e, ovviamente, si può lasciare tutto fermo (identità). C’è ancora un’osservazione che può lasciare stupiti: la composizione di trascinamenti gode della proprietà commutativa: spostare prima un punto e poi un altro dà lo stesso risultato che si ottiene cambiando l’ordine in cui si spostano i punti. Questo fatto è inaspettato, perché la composizione di trasformazioni geometriche non è commutativa, se non in casi molto par-ticolari. 2. La geometria elementare secondo Tarski Per semplicità, pensiamo che tutti gli oggetti siano punti. Supponiamo quindi di avere esclusivamente punti base; così, invece di una retta base, consideriamo due punti base. Supponiamo che anche gli oggetti costruiti siano punti. Sul piano logico, questa impostazione risale all’articolo Tarski, 1959. I concetti e le proprietà che usualmente si studiano in geometria euclidea si riescono ad esprimere senza parlare esplicitamente di rette, ma solo di punti, di allineamento di punti e di equidistanza fra punti. Più precisamen-te, ricorrendo ad un linguaggio logico formale, si intende che tutte le va-riabili indichino punti; dopo di che, si introducono soltanto i seguenti pre-dicati per indicare due relazioni, una a tre posti ed una a quattro posti:

EDIZIONE DIGITALE

CLAUDIO BERNARDI

28

O

A

M

N


EDIZIONE DIGITALE


Geometria dello spazio con Cabri 3D. Un possibile percorso

Paolo Boieri

Sunto La geometria dello spazio è una parte del programma di Matematica della scuola secondaria superiore che viene trattata in maniera sempre più ri-dotta, pressata da altri argomenti ritenuti più importanti. In questa esposizione si vedono alcune conseguenze di questo fatto ne-gli studenti che proseguono all’Università in indirizzi di tipo scientifico. Viene proposto un percorso didattico minimale di geometria nello spa-zio che fa uso essenziale e intensivo di un software di geometria dinamica. Si esaminano poi alcune particolarità dei programmi 3D, confrontando-li con gli analoghi 2D e presentando alcune osservazioni sull’utilizzo del software e sulle modalità di creazione degli oggetti e di trascinamento (dragging). 1. La geometria dello spazio: estinta o in via di estinzione? Queste considerazioni introduttive sull’insegnamento della geometria del-lo spazio non derivano dalla mia esperienza di insegnamento nella scuola secondaria, ma sono frutto della attività didattica svolta nel biennio uni-versitario della Facoltà di Ingegneria e, in parte, di conversazioni e scambi Paolo Boieri Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino [email protected]

EDIZIONE DIGITALE

PAOLO BOIERI

30

di opinioni con colleghi che insegnano sia all’Università che nella scuola secondaria. La Facoltà di Ingegneria è, a mio parere, sicuramente adatta per avere un punto di vista abbastanza oggettivo sullo stato dell’arte della prepara-zione matematica degli studenti e del loro atteggiamento verso la materia. Questo sia per la consistenza numerica degli iscritti, sia per la loro pro-venienza da varie scuole (non solo da quelle a programma forte, come spesso si crede), sia per il fatto che si tratta di studenti che hanno interes-se per la matematica o comunque la consapevolezza della sua importanza nella loro preparazione. In che momenti del percorso formativo è richiamata (o trattata) la ge-ometria dello spazio? Qual è l’atteggiamento degli studenti nei confronti di questa materia? Il primo incontro con la geometria dello spazio è al primo anno nel cor-so di Geometria. Nonostante il nome, spesso questo insegnamento tratta quasi solamente l’algebra lineare e la parte geometrica è vista come appli-cazione dei concetti algebrici. Ho osservato che il corso di Geometria ha un carattere molto selettivo, non nel senso della difficoltà a superare l’esame, ma per l’atteggiamento degli studenti nei suoi confronti: una percentuale abbastanza ristretta di studenti molto bravi lo trova affascinante (quasi quasi sono dispiaciuti che non ci sia Geometria II…), mentre lo “studente medio” (quello che pas-sa tutti gli esami senza particolari problemi, ma senza risultati brillanti) ritiene la materia astrusa e confessa di studiarla solo per passare l’esame. E la causa di questo viene spesso indicata nella mancanza di qualsiasi retroterra intuitivo, di “immagine mentale” delle cose che studia; andando a fondo, si scopre che non hai mai sentito parlare di piani nello spazio, o delle loro reciproche posizioni. Per questo i sistemi lineari o le applicazioni lineari, una volta abbando-nato il piano, diventano totalmente astratti e si riducono al meccanismo puramente algebrico del calcolo matriciale. Nel corso di Analisi II la geometria dello spazio entra in maniera prepo-tente nel calcolo differenziale e integrale in più variabili. Qui si osservano grossi problemi soprattutto nella parte applicativa: il calcolo di integrali tripli. E anche in questo caso si scopre la mancanza di dimestichezza con la

EDIZIONE DIGITALE

GEOMETRIA DELLO SPAZIO CON CABRI 3D. UN POSSIBILE PERCORSO

31

geometria nello spazio, a volte anche delle idee più elementari: la sfera, il cilindro, qual è la curva intersezione di due semplici superfici. La difficoltà maggiore consiste nella realizzazione della figura iniziale: per esempio, riconoscere una sfera di centro l’origine cui è stato tolto un cilindro con generatrici parallele all’asse z e “vederla mentalmente” sem-bra una difficoltà insormontabile (per non parlare di farne un disegno al-meno accettabile). E anche in questo contesto la spiegazione fornita dallo studente è la scarsa dimestichezza con qualunque rappresentazione spaziale. Queste considerazioni non sono certo fatte per suscitare polemiche; sono perfettamente consapevole di alcuni fatti: • lo studente tende sempre a minimizzare la sua preparazione preceden-te (sperando di avere uno sconto nel programma da portare all’e-same…); • spesso si tratta semplicemente di nozioni dimenticate, piuttosto che di nozioni non apprese; • ognuno tende a farsi una scala personale di valori, anche nell’ambito della Matematica, per cui un argomento è ritenuto più importante e un altro meno; se dimentico i logaritmi, mi sento colpevole, se dimentico la geometria dello spazio no. Ma una situazione critica certamente esiste e per vari motivi, tutti ben no-ti: la scarsità del tempo a disposizione, i programmi non sempre chiari, l’esame finale del ciclo di studi e la necessità di fare una programmazione didattica che ne tenga conto.

2. Una proposta didattica L’analisi del paragrafo precedente porta alla conclusione che l’insegna-mento della geometria dello spazio andrebbe rafforzato; per non limitar-mi a constatare il problema, ma per dare un piccolo contributo alla sua so-luzione, in collaborazione con Luigi Tomasi, ho cercato di elaborare un percorso didattico, in un certo senso minimale, che utilizza in maniera si-stematica il software Cabri 3D e che è esposto nel volume In laboratorio con Cabri 3D - 25 schede di geometria dello spazio, Loescher, 2009.

EDIZIONE DIGITALE

PAOLO BOIERI

32


EDIZIONE DIGITALE


Dalla riga e il compasso alla geometria dinamica: considerazioni comparative sull’uso degli strumenti in matematica

Aldo Brigaglia

Sunto In questo lavoro si esaminano le complesse relazioni esistenti, riguardo al concetto di curva e alla possibilità di tracciarla, tra aspetti concettuali (luoghi), macchine apposite per la loro materiale realizzazione, postulati, equazioni, costruzioni via software di geometria dinamica. Si danno anche alcuni esempi e si propongono alcune costruzioni. Geometria Excogitata fuit ut expedito linearum ductu effugeremus compu-tandi tedium. Così si esprime Newton nei suoi appunti manoscritti. Si può, con buone ragioni, discutere sulla validità storica di una visione secondo la quale i metodi algebrici, in una forma o nell’altra, avrebbero preceduto i metodi euclidei del “tracciare linee” cioè della riga e del compasso; però in questa frase dovremmo vedere non tanto lo storico, ma piuttosto il mate-matico che confronta metodi concettualmente diversi di studiare i pro-blemi geometrici. Questo confronto è sempre stato fruttuoso sia sul piano Aldo Brigaglia Dipartimento di Matematica, Pura e Applicata Università di Palermo [email protected]

EDIZIONE DIGITALE

ALDO BRIGAGLIA

34

teorico che su quello pratico e non possiamo dire quale dei due punti di vista sia risultato vincitore: essi si rincorrono, si sorpassano a vicenda, si trasformano, si traducono l’uno nell’altro, e ciò è a maggior ragione vero per gli aspetti didattici di questo confronto metodologico. In questo inter-vento vorrei appunto mettere a confronto alcuni di questi metodi: occorre però a mio avviso sottolineare che il “tracciare linee” può essere inteso in vari modi. Il primo modo è quello puramente intellettuale, che con Euclide di-viene assiomatico, di “tracciare linee” mentalmente, attraverso postulati (“concedatur”); un altro riguarda invece il “tracciare linee” materialmente, attraverso strumenti che almeno in linea di principio possono essere co-struiti: in questo caso si parla naturalmente di riga e compasso, ma poi per ogni curva utilizzata dovrebbe essere fornito lo strumento adatto; un ter-zo significato è attraverso l’equazione, che può in effetti divenire un me-todo per “tracciare linee” quando si sappia tradurre l’equazione in un gra-fico, ma ciò, quando manchi l’esplicitazione parametrica, non è un pro-blema di facile soluzione; un quarto significato può essere dato oggi, e cioè si può oggi intendere il “tracciare linee” in senso virtuale, attraverso un software geometrico. Ognuno di questi significati comporta diverse stra-tegie didattiche. Cercherò di esaminarne qualcuna. Inizio con un problema classico, quello della trisezione dell’angolo, che con la sua storia millenaria ben si presta ad un esame comparativo dei va-ri metodi. Il metodo principe è quello utilizzato da Archimede, il quale in realtà si era limitato a indicare (nella prop. 8 del Lemmi) un fatto perfet-tamente interno alla geometria euclidea che possiamo parafrasare così: Dati due triangoli isosceli con le basi allineate e consecutive i lati obli-qui uguali (per tutto mi riferisco alla figura) ABC e BDE, gli angoli CBA ˆ e EDB ˆ sono uno il triplo dell’altro se e solo se i vertici D, E, C sono allineati (trisezionearchimede). La dimostrazione è semplicissima e la riporto per comodità: Sia, βα == EDBCBA ˆ,ˆ con A,B,D allineati e con i triangoli ABC e BDE isosceli con AC = BE

EDIZIONE DIGITALE

DALLA RIGA E IL COMPASSO ALLA GEOMETRIA DINAMICA

35

Allora si ha in ogni caso: );(

21ˆ αβ +=BEC allora D,E, C sono allineati

32)(

21 αββαβ =↔=+ Questo semplice teorema dà una possibile costruzione (non con riga e compasso) della trisezione dell’angolo. Disegnato l’angolo CBAˆ con AB ar-bitrario e C sull’asse di AB, tracciamo la circonferenza di centro B e raggio BC che chiameremo Г ; su di essa, al variare di un punto E sulla circonfe-renza, sia D l’intersezione della retta EC con il prolungamento di AB; si tratta di determinare E in maniera tale che DE = EB. Questo è un problema antico, chiamato problema di inserzione ; nel suo testo smarrito De Inclinationibus, Apollonio dava una serie di soluzioni in casi particolari nei quali il problema può essere risolto con riga e compasso (il problema è piano); in generale esso può essere espresso così: dati un punto e due linee (che possono essere per esempio due rette, o, come nel nostro caso, una retta e una circonferenza), tracciare una retta che passi per il punto dato e stacchi tra le due linee un segmento anch’esso dato (nel no-stro caso EB ). Il metodo di Archimede può quindi essere pensato come la riduzione del problema della trisezione a un problema di inserzione. Vediamo quindi come può essere risolto il nostro problema: tracciare dal punto C una retta che inserisca tra Г e il prolungamento di AB un seg-mento uguale ad EB. Naturalmente questo problema non può essere risol-to con riga e compasso; con il CABRI si può dare una soluzione “per conti-nuità”, cioè prendendo una retta generica per C e spostandola finché non risulti ED = EB. A questo metodo si può preferire quello di intersecare Г con una curva (naturalmente diversa da una retta o da una circonferenza). Nicomede pro-pose una sua curva, molto naturale rispetto al problema. Si prenda una cir-

EDIZIONE DIGITALE

ALDO BRIGAGLIA

36


EDIZIONE DIGITALE


Pensiero simulativo e geometria dinamica

Laura Catastini

Sunto Il pensiero, anche nelle sue espressioni più astratte, opera in maniera pro-duttiva se riesce a rappresentare correttamente gli oggetti mentali me-diante attività simulative. Tali attività sono molto ricche e spesso automa-tiche nel pensiero di oggetti conosciuti per immersione nella vita reale, cioè mediante esperienze concrete, ma possono diventare difficili se ap-plicate su oggetti astratti. In questo lavoro si propongono definizioni che mirano a superare la consueta dicotomia tra “astratto” e “concreto” e si intende mostrare come la geometria dinamica possa in certi casi agire da facilitatore nella genesi e nella concretizzazione di astratti concetti matematici sconosciuti, nel caso particolare opportunamente proposta durante l’uso di uno strumento ma-tematico, il prospettimetro. 1. Il pensiero simulativo Il senso del movimento è un sesto senso in grado di anticipare ciò che sta per accadere nella realtà dello spazio circostante. Il nostro cervello, già nella Laura Catastini Dipartimento di Matematica Università di Roma “Tor Vergata” I.S.A. “Russoli” di Pisa [email protected]

EDIZIONE DIGITALE

LAURA CATASTINI

38

fase percettiva, non è visto come un calcolatore che si adatta computando al mondo esterno, ma piuttosto come un simulatore – nel senso di “simu-latore di volo” ad esempio – i cui sensi insieme sono capaci di escogitare ipotesi, creare modelli e inventare soluzioni che proietta sul mondo, per-ché si trova in un corpo che interagisce, muovendosi, in accordo con un mondo che si muove. Quando noi percepiamo un oggetto, per esempio una poltrona, pen-siamo di non compiere in quel momento nessuna azione, per il solo fatto che percependolo restiamo in piedi, immobili. Tuttavia abbiamo già dentro di noi l’atto caratteristico della poltrona, quello che ab-biamo chiamato uno schema percettivo e che in questo caso è l’atto di sedersi in un dato modo su questa poltrona. (Berthoz, 1998) Le facoltà cognitive più raffinate si sono sviluppate grazie alla possibilità di movimento dell’organismo, secondo criteri evolutivi che hanno premia-to processi percettivi dinamici e anticipatori, capaci di adattare il compor-tamento a un ambiente altrettanto dinamico. Le specie naturalmente sele-zionate sono quelle che hanno saputo migliorare di qualche millesimo di secondo la cattura della preda e anticipare le mosse dei predatori, quelle nelle quali la memorizzazione del gran numero di informazioni acquisite nell’esperienza concorre attraverso canali veloci alla costruzione dell’a-zione futura. Per sopravvivere l’animale ha spesso una sola chance, che impegna muscoli e massa corporea in movimento. Per raggiungere e af-ferrare una preda che si muove a trentasei chilometri l’ora, dieci metri o-gni secondo, è necessario anticipare la sua posizione in meno di cento mil-lesimi di secondo e dirigersi là dove essa sarà un istante dopo. Bisogna i-noltre che il corpo anticipi i movimenti di cattura, prepari i muscoli a compensare il peso della preda e a vincerne la resistenza. Questa continua attività del pensiero che ne dinamizza le rappresentazioni, non si limita a fare loro da base iniziale dei pensieri, ma li accompagna nei loro sviluppi. Pensate ad esempio a quando si deve sollevare un oggetto di peso non tra-scurabile sospeso a un elastico, si farà un movimento molto diverso dal solito perché si anticiperanno le proprietà elastiche del sistema.

EDIZIONE DIGITALE

PENSIERO SIMULATIVO E GEOMETRIA DINAMICA

39

«La percezione non è una rappresentazione: è un’azione simulata e proiet-tata sul mondo» dice Berthoz (1998) nel presentarci l’idea cardine di un suo lavoro. Lo studio delle funzioni cognitive centrato solo sul linguaggio e il ragionamento trascura tutti questi fondamentali aspetti di base, portan-do implicitamente a pensare a uno scollamento concettuale tra vari tipi di ragionamento, come se il pensiero speculativo raggiungesse la sua massi-ma espressione liberandosi del corpo e dei suoi “ragionamenti percettivi”, che ne sono invece la base irrinunciabile. La percezione dunque non si risolve in una rappresentazione statica ma è condizionata dall’azione, è una sua simulazione interna, è giudizio, scelta, è anticipazione delle conseguenze dell’azione. Percepire un oggetto è immaginare le azioni implicate dal suo uso, ed è anche astrarre, selezio-nare tratti particolari e ignorarne altri. Supponiamo per esempio di voler prendere una tazza da un tavolo pie-no di altre stoviglie ma che, mentre stiamo per afferrarla, siamo distratti e prendiamo al suo posto un boccale. L’esperienza comune ci dice che indi-viduiamo immediatamente l’errore, che ce ne accorgiamo prima ancora di guardare. Su quali basi fisiologiche è possibile riconoscere l’errore e cor-reggerlo? Questo è possibile se esiste, già prima che il movimento inizi, una configurazione neurale di “aspettative” con la quale l’azione viene confrontata e corretta nel caso che se ne discosti in maniera significativa. Localizzare un oggetto vuol dire rappresentarsi i movimenti da fare per raggiungerlo, e non si tratta di rappresentarsi i movimenti stessi nello spazio, ma solo le sensazioni muscolari che accompagnano questi movi-menti. 2. Simulazione, finalità e autostima Possiamo dunque concepire il cervello come un simulatore biologico che già nella fase percettiva predice attingendo dalla memoria e formulando delle ipotesi. Presentando questa immagine e chiedendo cosa vi si vede,

EDIZIONE DIGITALE

LAURA CATASTINI

40


EDIZIONE DIGITALE


Il Progetto Leonardo e la geometria dinamica

Bruna Cavallaro

Ida Spagnuolo

Sunto Dopo una sintetica illustrazione dei programmi scolastici in Francia con particolare riguardo all’insegnamento della geometria e dell’uso di soft-ware, si espongono alcuni lavori di ricerca in didattica della matematica realizzati dall’equipe del DIAM di Grenoble. In particolare le relatrici, che hanno partecipato al progetto europeo di scambio Leonardo, hanno principalmente analizzato, anche attraverso un sintetico supporto teorico, i progetti che prevedono l’uso di software di geometria dinamica in 2 e 3 dimensioni. Infine illustrano il lavoro, relativo a problemi elementari di massimo e minimo nello spazio, realizzato al termine dello stage e parzialmente spe-rimentato al rientro in Italia.

Bruna Cavallaro Liceo Lucrezio Caro di Roma Supervisore SSIS del Lazio, indirizzo FIM [email protected] Ida Spagnuolo Liceo Gianbattista Morgagni di Roma Supervisore SSIS del Lazio, indirizzo FIM [email protected]

EDIZIONE DIGITALE

BRUNA CAVALLARO - IDA SPAGNUOLO

42

1. Introduzione. Il progetto Leonardo Nell’ambito del Progetto Europeo Leonardo abbiamo avuto, insieme ad altri supervisori SSIS (Scuola di Specializzazione per l’Insegnamento Se-condario) del Lazio, la possibilità di partecipare, in questi anni, ai seguenti progetti: • FORTIR – 2006/07 – realizzato in Francia, Olanda e Austria sulla for-mazione dei docenti e sui programmi scolastici • RIMIPRODO – 2007/08 – realizzato in Francia, Olanda e Inghilterra sulla ricerca in didattica • VATEMEU – 2008/09 – realizzato in Francia e Inghilterra sulla valuta-zione del sistema della formazione. In questa sede concentriamo l’attenzione sulla geometria dinamica. Nel secondo paragrafo analizziamo alcune proposte di utilizzo della geometria dinamica nei programmi di matematica in Francia. Nei paragra-fi successivi descriviamo come si è realizzato il secondo progetto sulla ri-cerca in didattica. La sede di Grenoble, tra quelle interpellate per il progetto RIMIPRODO, ha subito risposto positivamente alle nostre richieste e si è dichiarata di-sponibile ad accoglierci per un periodo di 3 settimane. A Grenoble la ri-cerca in didattica della matematica è “forte”, grazie al gruppo DIAM (Di-dattica, Informatica e Apprendimento della Matematica), gruppo formato da circa 12 persone tra professori, ricercatori e segreteria, che lavorano presso l’Università J. Fourier. Il Gruppo è anche molto aperto agli scambi con altri paesi, come dimostra il numero di professori e ricercatori stra-nieri che ogni anno vengono presso il DIAM per effettuare stage. L’acco-glienza verso di noi, insegnanti di scuola secondaria e supervisori di tiro-cinio, è stata attenta alle nostre esigenze e preparata con il coinvolgimen-to di quasi tutte le componenti del gruppo. Infatti, già prima della nostra partenza dall’Italia ci è stato inviato un programma dettagliato delle attivi-tà che avremmo svolto ogni giorno, mattina e pomeriggio, nell’arco delle 3 settimane. Alla fine dello stage ci è stata richiesta la presentazione dei no-stri lavori sui temi trattati. Le attività di ricerca a cui abbiamo partecipato sono state:

EDIZIONE DIGITALE

IL PROGETTO LEONARDO E LA GEOMETRIA DINAMICA

43

• esempi sui fondamenti della didattica della matematica in Francia (Brous-seau, Chevallard, Vergnaud); • la presentazione di Progetti Nazionali per l’insegnamento; • la presentazione, da parte di alcuni componenti del gruppo, di lavori di ricerca in corso; • la presentazione di lavori di ricerca effettuati, spesso sperimentati in classe, di alcuni dottorandi. Tutte queste attività hanno avuto come filo conduttore l’utilizzo del sof-tware di geometria dinamica Cabri II plus e Cabri 3D. In particolare Colet-te Laborde ci ha istruito sull’uso di Cabri 3D. Illustreremo qui alcune attività, tra quelle svolte durante questa significa-tiva esperienza, scelte sia perché interessanti a livello di ricerca in didatti-ca, sia per la ricaduta che hanno avuto nelle nostre classi. Nel terzo para-grafo mostreremo alcuni esempi di uso della geometria dinamica presenti in due Progetti Nazionali per l’insegnamento. Nel quarto paragrafo mo-streremo i nostri lavori riguardanti la geometria dinamica presentati alla fine dello stage. Vogliamo sottolineare quanto sia importante per la riqualificazione dell’attività dei docenti di scuola un’esperienza di questo tipo, in cui proprio perché si è temporaneamente sollevati dall’attività in classe ci si può concen-trare sui problemi cognitivi e didattici nell’ambito della propria disciplina.

2. La geometria dinamica nei programmi scolastici in Francia In Francia i programmi scolastici – veri e propri manuali – sono molto spesso rivisti e aggiornati e consegnati a tutti gli insegnanti, in particolare a quelli in formazione. Questi manuali riportano i programmi (evidenziandone le modifiche/ integrazioni rispetto alla versione precedente), indicazioni metodologiche e di contenuto molto puntuali e anche indicazioni di ciò che non bisogna fare. Sono prescrittivi. Ricordiamo che nei programmi degli anni 60 del secolo scorso, se-guendo il motto abbasso Euclide! del gruppo Bourbaki, l’insegnamento

EDIZIONE DIGITALE

BRUNA CAVALLARO - IDA SPAGNUOLO

44


EDIZIONE DIGITALE


Dynamic Geometry as a Tool to Develop Analytic Thinking: Promoting Mathematical Habits of Mind in High School

Al Cuoco

Abstract In addition to its uses as an experimental tool and a medium in which to model mathematical phenomena, dynamic geometry environments can help students develop mathematical ways of thinking, especially the ha-bits that underlie analysis-reasoning by continuity, looking at extreme cases, and seeking invariants, for example. This paper will look at several classical geometric tasks, taken from a new high school curriculum, the CME Project (Education Development Center, 2009a), and from the recent translation into English of Hadamard’s Lessons in Geometry (Hadamard, 2009). The tasks are not new; indeed, many of them are referred to in other articles in this volume and in the references at the end of this paper. We use them not only because they develop some interesting mathemati-cal results, but also because, when carried out in a dynamic geometry set-ting, they lend themselves to the development of analytic habits of mind. Our examples are implemented using the TI-NspireTM Technology and Geometer’s Sketchpad environments. Al Cuoco Center for Mathematics Education (CME), EDC Newton, Massachusetts, USA [email protected] http://www.edc.org/cme/

EDIZIONE DIGITALE

AL CUOCO

46

1. Introduction

The widespread utility and effectiveness of mathematics come not just from mastering specific skills, topics, and techniques, but more importantly, from developing the ways of thinking – the habits of mind – used to create the results. (The CME Project, Teacher Guide, Education Development Center, 2009b) The Center for Mathematics Education at EDC was formed in the 1990s around an approach to mathematics education that emphasizes the cen-trality of mathematical habits of mind in both curriculum and professional development. By mathematical habits of mind, we mean the mental habits that underlie the style of work employed by mathematicians. Accordingly, our analysis of these habits starts in mathematics itself. Traditional branches of mathematics – analysis, algebra, and topology – are not only compartments for certain kinds of results, they are also descriptors for methods and approaches. Analyzing the ways of thinking indigenous to particular fields provides more detailed information than one obtains from a more general analysis of mathematical thinking (as in Hadamard, 1925 and Schoenfeld, 1985, for example). A focus on mathematical habits of mind is gaining traction throughout mathematics education. For example, Hyman Bass, in Ball, 2003, says: Mathematics constitutes one of the most ancient and noble intellec-tual traditions of humanity. It is an enabling discipline for all of science and technology, providing powerful tools for analytical thought as well as the concepts and language for precise quantita-tive description of the world around us. It affords knowledge and reasoning of extraordinary subtlety and beauty, even at the most elementary levels. The importance of being explicit about mathematical thinking is evident in mathematics itself. William Thurston (Thurston, 1994) says: What mathematicians most wanted and needed from me was to learn my ways of thinking, and not in fact to learn my proof of the geometrization conjecture for Haken manifolds.

EDIZIONE DIGITALE

DYNAMIC GEOMETRY AS A TOOL TO DEVELOP ANALYTIC THINKING

47

In the next section, we give some specific examples of mathematical habits of mind and discuss our uses of various computational media to support the development of these mathematical ways of thinking. We then focus on the class of mathematical habits that is indigenous to analysis: reason-ing by continuity, passing to the limit, and seeking invariants under conti-nuous mappings, among others. The examples in the rest of the paper show how, through a collection of mathematical tasks, dynamic geometry environments can be used to help high school students develop these mental habits. 2. Mathematical Habits of Mind In this section, we describe three broad classes of interrelated habits. There are general mathematical habits that are used throughout mathe-matics, including

• Performing thought experiments • Finding and explaining patterns • Creating and using representations • Generalizing from examples • Articulating ideas in precise language • Expecting mathematics to make sense. There are certain ways of thinking that are indigenous to algebra, for ex-ample • Seeking regularity in repeated calculations • “Delayed evaluation” - seeking form in calculations • Changing variables in order to hide complexity • Reasoning about and picturing calculations and operations • Extending operations to preserve rules for calculating • Purposefully transforming and interpreting expressions • Seeking and specifying structural similarities. So much of the thinking involved in calculus, physics, and analysis in-volves reasoning about systems that change in a continuous way. The thought experiments involved in this kind of work include

EDIZIONE DIGITALE

AL CUOCO

48


EDIZIONE DIGITALE


Geometry Tools GCLC and WinGCLC

Predrag Janičić

Abstract We present geometry tools GCLC and WinGCLC. They are based on a cus-tom-built language for declarative representation of geometry figures. Geometrical objects can be visualized and modified in an interactive way, and figures can be exported to various formats. There are automated geometry theorem provers built in GCLC that directly link visual and se-mantical geometrical information with deductive properties and machine-generated proofs. So, GCLC/WinGCLC can serve as a powerful mechanized geometric assistant. The main areas of applications of GCLC/WinGCLC are in mathematical education, in publishing, in storing mathematical know-ledge, and in studies of automated reasoning. 1. Introduction Euclidean geometry and geometric constructions have important role in mathematics and in mathematical education for thousands of years. In twentieth century, there was a shift from classical, synthetic geometry in favor of algebraic geometry in university education. However, synthetic geometry still holds a very important position in lower levels of mathe- Predrag Janičić Faculty of Mathematics University of Belgrade [email protected]

EDIZIONE DIGITALE

PREDRAG JANIČIĆ

50

matical education and also, in recent years, it has been making a come-back to university education, thanks to important applications in comput-er-aided design, computer graphics, computer vision, robotics, etc. There is a range of geometry software tools, covering different geome-tries and geometrical problems. Many of them focus on Euclidean geometry and on construction problems. These problems are very suitable for inter-active work and animations, typical for dynamic geometry software (e.g., Geometer’s Sketchpad, Cabri, Cinderella). In dynamic geometry software, the user can create and manipulate geometric constructions. Typically, the user starts a construction with several points, construct new objects de-pending on the existing ones, and then move the starting points to explore how the whole construction changes. Dynamic geometry software can help teachers to illustrate and students to explore and understand abstract concepts in geometry. In addition, dynamic geometry software can be used for producing digital mathematical illustrations. In most of these tools, the user uses a graphical user interface, tools from toolbars, and the point-and-click approach for describing geometric constructions step-by-step. GCLC is a tool for visualizing objects and notions of geometry and other fields of mathematics. The main distinctive feature of this tool compared to other geometry tools is that GCLC uses a special purpose, custom-built language for describing geometric constructions. Therefore, rather than using the point-and-click approach to draw figures, in GCLC one describes constructions as formal procedures made of abstract steps. From the fig-ure descriptions, corresponding illustrations (in Cartesian model of Eucli-dean plane) can be generated. This approach distinguishes the abstract nature of geometrical objects from their semantics, usual models, and vi-sualizations. The primary focus of the first versions of GCLC was producing digital il-lustrations of Euclidean constructions in LaTeX form (hence the name “Geometry Constructions → LaTeX Converter”), but now it is much more than that. For instance, there is support for symbolic expressions, for pa-rametric curves and surfaces, for drawing functions, graphs, and trees, support for flow control, etc. Libraries of GCLC procedures provide addi-tional features, such as support for hyperbolical geometry. Complex geo-metry theorems can be expressed and proved by automated geometry

EDIZIONE DIGITALE

GEOMETRY TOOLS GCLC AND WINGCLC

51

theorem provers built into GCLC. So, now GCLC provides mathematical contents directly linked to visual representation and supported by ma-chine-generated proofs, and can serve as a powerful mechanized geome-tric assistant (Janičić, 2006). WinGCLC is a dynamic geometry tool built on top of GCLC with a graphical user interface and a range of additional func-tionalities. The tool GCLC is under constant development since 1996. The underly-ing language has been only the subject of extensions, so the full vertical compatibility is kept with the earliest versions. GCLC/WinGCLC programs are implemented in the C++ programming language. GCLC consists of around 1Mb or 40000 lines of code. There are versions of GCLC for Win-dows and for Linux. The executable versions both for Windows and Linux have less than 1Mb. A version with a graphical user-friendly interface is available only for Windows. The applications GCLC and WinGCLC are ac-companied by a detailed user manual and are freely available from http://www.matf.bg.ac.rs/~janicic/gclc and from EMIS (The European Mathematical Information Service) servers (http://www.emis.de/misc/index.html). They have thousands of users worldwide and their main areas of applica-tions are: • publishing, i.e., in producing digital mathematical illustrations; • storing mathematical contents; • mathematical education; • studies of automated geometrical reasoning.

2. Describing Geometric Constructions in GCLC A geometric construction is a sequence of specific, primitive construction steps. These primitive construction steps are also called elementary con-structions by ruler and compass and they are: • construction (by ruler) of a line such that two given points belong to it; • construction of a point such that it is the intersection of two lines (if such a point exists);

EDIZIONE DIGITALE

PREDRAG JANIČIĆ

52


EDIZIONE DIGITALE


Cabri: comportamenti strani nelle soluzioni di prove d’esame

Giovanni Margiotta

Un’inveterata abitudine nelle scuole come nelle università consiste nel far studiare dapprima la geometria del piano e poi, del tutto avulsa da questa, la geometria dello spazio. Di conseguenza, la geometria dello spazio viene purtroppo emarginata, e viene ostacolato lo sviluppo della nobile facoltà della percezione spaziale che noi originariamente possediamo. In opposizione a ciò i “fusionisti” intendono trattare simultaneamente il piano e lo spazio per non restringere artificialmente il nostro pensiero al caso bidimensionale. Questo obiettivo riscuote la mia piena approvazione. Ma io vado oltre e penso a una fusione ancora più ampia … Felix Klein (1909) Sunto Le prove scritte dell’esame di stato del Liceo scientifico danno indicazioni significative sul curricolo di geometria e sui temi ritenuti centrali nel suo insegnamento. In alcuni casi propongono questioni legate a oggetti geo-metrici del piano e dello spazio che, se rappresentate con l’ausilio di un software di geometria dinamica, ad esempio Cabri, portano facilmente a riconoscere relazioni inattese tra gli oggetti e a scoprire differenti strate-gie risolutive. Presento alcuni esempi legati alla geometria dello spazio, tratti dalle prove d’esame del 2007 e del 2008 e un esempio di possibile struttura delle prove d’esame, per mostrare come sia possibile costruire agevolmente e in breve tempo vari schemi dinamici che conducono a di-scutere le questioni prima illustrate. Giovanni Margiotta MIUR [email protected]

EDIZIONE DIGITALE

GIOVANNI MARGIOTTA

54

1. Introduzione La geometria dello spazio gioca un ruolo centrale nello studio delle disci-pline scientifiche che la utilizzano, per esempio, nel disegno tecnico, nella fisica, nello studio delle strutture molecolari o cristalline, nelle arti figura-tive e più in generale nella vita di ciascuno di noi. Nella nostra scuola ha un ruolo marginale, spesso è tralasciata. La motivazione principale è legata alla mancanza di tempo per sviluppare questa parte della geometria difficile, rispetto al tempo che si ha a disposi-zione. A questo ostacolo di carattere organizzativo si aggiungono giustifica-zioni legate alle difficoltà di tipo linguistico, concettuale, di conoscenze pregresse. Molte definizioni e gli enunciati di molti teoremi sono complicati dal punto di vista linguistico, e quindi di difficile comprensione e me-morizzazione. Per non parlare poi delle dimostrazioni … È difficile anche l’esecuzione e la decodifica di disegni che rappresentano figu-re tridimensionali. (Villani, 2006) Queste sono alcune delle ragioni date per giustificare le scelte didattiche che ridimensionano, nel migliore dei casi, lo studio della geometria dello spazio. Le prove dell’esame di stato di matematica, la cui struttura è cambiata dal 2000/2001, richiedono ai candidati di risolvere un problema su due proposti e di rispondere a 5 dei 10 quesiti del questionario; queste prove mettono in evidenza, almeno per il Liceo Scientifico, i temi che possono es-sere considerati essenziali nell’insegnamento della geometria dello spazio. Con l’aiuto di Cabri 3D mi propongo di analizzare alcuni quesiti per di-scutere le questioni prima sollevate. 2. Calcolo di aree e volumi Il calcolo del volume di un solido di cui si conosce la base, in genere indi-viduata dal grafico di una funzione e dagli assi coordinati, e le sezioni ot-

EDIZIONE DIGITALE

CABRI: COMPORTAMENTI STRANI NELLE SOLUZIONI DI PROVE D’ESAME

55

tenute con un piano perpendicolare all’asse delle ascisse, è una delle que-stioni che vengono proposte con maggiore frequenza. Un esempio 2.1. La regione del piano racchiusa tra il grafico della funzione y = ln x e l’as-se x, con 1 ≤ x ≤ e, è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse x, sono tutte rettangoli aventi l’altezza tripla della base. Si calcoli il volume di S e se ne dia un valore approssi-mato a meno di 10-2. Esame di stato 2007 - PNI 1 La soluzione si riduce al calcolo di un integrale e non richiede di utilizzare nozioni di geometria dello spazio, come mostrato nella proposta di solu-zione pubblicata sul sito della Zanichelli dedicato all’esame di stato (http://www.scuola.zanichelli.it/online/provamatematica/pdf/sperimentale_2006_2007.pdf) e di seguito riprodotta. 1Altri esempi con la stessa struttura del precedente quesito: - La regione R delimitata dal grafico di y = 2 √x, dall’asse x e dalla retta x = 1 (in Fi-gura) è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpen-dicolari all’asse x, sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume di S. - Esame di stato 2007 – Ordinamento - La regione R delimitata dal grafico di y = 12 √x, dall’asse x e dalla retta x = 2 è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse x, sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume di S. - Esame di stato 2008 (Americhe) – Ordinamento - La regione R delimitata dal grafico di y = 7 √x, dall’asse x e dalla retta x = 2 è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse x, sono tutte dei quadrati. Si calcoli il volume di S. - Esame di stato 2008 (Europa) – Ordinamento - Si fissi nel piano la semicirconferenza Г che ha centro in C e diametro AB=2 e si af-frontino le seguenti questioni: i calcoli il volume del solido che ha per base il semicerchio delimitato da Г e tale che tagliato con piani ortogonali ad AB dia tutte sezioni quadrate. - Esame di stato 2008 (Americhe) – Ordinamento

EDIZIONE DIGITALE

GIOVANNI MARGIOTTA

56


EDIZIONE DIGITALE


Riflessioni sulla dinamicità delle figure: il comando di trascinamento

Maria Alessandra Mariotti

Line segments that stretch and points that move rela-tive to each other are not trivially the same objects that one treats in the familiar synthetic geometry, and this suggests new styles of reasoning. (Goldenberg, 1995) Sunto Certamente uno degli elementi di innovazione portati in classe dalle nuove tecnologie è costituito dalla disponibilità di software grafici o più specificamente di Ambienti di Geometria Dinamica (Dynamic Geometry Environment). Attualmente ne esistono diversi, Cabri, Sketchpad, Geo-metry Supposer, Cinderella tanto per citare i più famosi. Essi presentano differenze più o meno sensibili, ma tutti hanno come caratteristica domi-nante la dinamicità, ovvero la possibilità di muovere e trasformare le im-magini. Tale funzione si basa su un principio che ingannevolmente può sembrare semplice ed immediatamente chiaro per tutti. Lo scopo del seminario sarà discutere la complessità del movimento ed in particolare della funzione trascinamento in un ambiente di Geometria Dinamica (AGD). Si cercherà di mettere in luce le potenzialità ma anche la difficoltà si possono incontrare quando si intenda sfruttare le effettive po-tenzialità degli ambienti di Geometria Dinamica in classe. Un utilizzo effi-cace del trascinamento sembra essere subordinato alla capacità di con- Maria Alessandra Mariotti Dipartimento di Scienze Matematiche ed Informatiche “R. Magari” Università di Siena [email protected]

EDIZIONE DIGITALE

MARIA ALESSANDRA MARIOTTI

58

trollare tale complessità, mentre lo sviluppo di tale capacità necessita un intervento particolare da parte dell’insegnante. 1. Figure in movimento: significato e funzione del tra-

scinamento Le grandi potenzialità offerte dagli AGD sono state ampiamente documen-tate, mettendo in evidenza aspetti diversi. La progettazione di interventi didattici ha mostrato utilizzazioni efficaci di un AGD che hanno portato gli allievi a cogliere la distinzione fondamentale tra un disegno e una figura geometrica (Capponi & Laborde, 1994; Laborde, 1995), o il significato te-orico di una costruzione geometrica (Mariotti, 1996, 2001). La funzione trascinamento si rivela particolarmente efficace nelle attività di esplora-zione finalizzate alla produzione di congetture: il movimento e la indivi-duazione di invarianti costituisce in questo caso il motore dell’attività (Hanna, 1989; Laborde, 1995; Arzarello, et al., 1998; Olivero, 2002). Molto meno però si è scritto e discusso sulla complessità insita nella in-terazione tra allievi e AGD, in questo senso i contributi come quello di Talmon & Yerushalmi, 2004) o quello più recente di Restrepo (2008) pre-sentano un interesse particolare, mettendo in evidenza difficoltà specifi-che relative al controllo delle relazioni geometriche stabilite attraverso i comandi attivati in una costruzione, facendo luce non solo sulle potenzia-lità ma anche sulla complessità di un AGD. Ma cosa è davvero mutato con la disponibilità di ambienti di Geometria Dinamica? Si è passati dallo spazio grafico tradizionale, costituito dal fo-glio e dagli strumenti classici da disegno, la matita, il compasso e la riga, ad uno spazio grafico virtuale, costituito dallo schermo di un computer, da strumenti grafici disponibili all’interno di un dato ambiente software e da una particolare modalità detta trascinamento che rende possibile tra-sformare le immagini prodotte (disegnate) sullo schermo dando l’effetto appunto di “trascinarle”. L’effetto del trascinamento consiste nella realizzazione da parte della macchina di una successione di nuove immagini: ciascuna immagine rea-lizza la costruzione definita da una serie di comandi, ogni volta a partire dal nuovo punto base. Il numero elevato di elementi della successione e la

EDIZIONE DIGITALE

RIFLESSIONI SULLA DINAMICITÀ DELLE FIGURE: IL COMANDO DI TRASCINAMENTO

59

velocità di produzione sullo schermo permettono di ottenere un effetto visivo di continuità analogo al caso di un filmato. Attivando il trascina-mento in un AGD si ha dunque la percezione di un’immagine in movimen-to corrispondente alla deformazione ‘continua’ di una figura di partenza. Il cambiamento è percepito in contrasto con quanto simultaneamente resta invariato: il gioco, la dialettica, tra ciò che cambia e ciò che non cambia è alla base della percezione del “movimento di un’immagine”: ciò che si mantiene – gli invarianti – costituisce l’identità dell’oggetto/immagine, mentre ciò che varia costituisce il suo ‘movimento’/’trasformazione’. Gli invarianti determinano l’identità della figura, ovvero ciò che permette di riconoscerla come un’unità in movimento ed eventualmente riconoscerla come una ‘figura geometrica’ specifica, ad esempio un quadrato o un tra-pezio. Il gioco tra variazione ed invarianti è ciò che sta alla base del pro-cesso di categorizzazione/concettualizzazione, ovvero ciò che ci permette di riconoscere come appartenenti ad una stessa categoria oggetti anche molto diversi, oppure ciò che ci permette di riconoscere un volto anche a distanza di anni. Il movimento, ovvero il gioco tra variazione ed invarianti, delle imma-gini di un software di Geometria Dinamica è ciò che sta alla base del nuovo sistema di rappresentazione delle figure geometriche. Rispetto al sistema di rappresentazione costituito da carta e penna, un software di GD presen-ta un potenziale semiotico molto più ricco. In generale, ed è questo il caso di Cabri, gli invarianti sono determinati non solo dalle relazioni geometriche definite tramite i comandi usati per effettuare la costruzione di partenza ma anche dal rapporto di dipendenza logico-geometrica che sussiste tra le relazioni definite in tale costruzione e quelle che ne sono conseguenza all’interno della Teoria Geometrica classica. Ad esempio, la costruzione di un poligono che abbia due lati paralleli provocherà il fenomeno di una figura che muovendosi mantiene tali lati paralleli; diremo allora che il parallelismo tra i due lati è un invariante per trascinamento. Ma la costruzione effettuata provocherà anche il fenomeno di mantenere tutte le conseguenze del parallelismo tra i due lati, inten-dendo per conseguenze le proprietà che sono geometricamente derivabili (deducibili nella Teoria) dalla proprietà costruita. Anche queste conse-

EDIZIONE DIGITALE

MARIA ALESSANDRA MARIOTTI

60


EDIZIONE DIGITALE


Cabri géomètre: una risorsa per un insegnamento-apprendimento “sensato” della matematica

Domingo Paola

Sunto In questo lavoro si descrive un ambiente di insegnamento-apprendimento che ha come obiettivo l’avvio al sapere teorico in geometria e, in particola-re, alla dimostrazione in una scuola secondaria di secondo grado con l’uso di un software di geometria dinamica. L’aggettivo sensato che compare nel titolo è da intendersi in una duplice accezione: quella a cui fa riferi-mento Galileo quando parla di sensata esperienza, legata ai sensi, agli a-spetti percettivi, ma al tempo stesso guidata dall’intelletto, dalla ragione, dalla teoria che consentono di orientarsi nel labirinto del concreto. E poi quella di sensato come ragionevole, non tanto o non solo perché tiene con-to del contesto in cui si opera, ma, soprattutto, perché consente di cogliere un significato, una ragione in ciò che si fa. 1. Prologo Dove si tenta di chiarire il perché dell’interesse e il particolare punto di vista Il mio interesse per l’uso di Cabri géomètre nella didattica della matematica risale alla prima metà degli anni ’90, con la versione 1, la più legata all’im- Domingo Paola Liceo scientifico “A. Issel” di Finale Ligure G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova [email protected] http://www.matematica.it/paola

EDIZIONE DIGITALE

DOMINGO PAOLA

62

pianto puramente euclideo della geometria. Tale interesse fa parte della più generale attenzione che ho sempre avuto per l’uso delle tecnologie nell’insegnamento-apprendimento della matematica. Ritengo, infatti, che ogni strumento possa mettere a disposizione risorse molto importanti per insegnanti e studenti, purché sia utilizzato in modo tale da: • consentire esperienze significative con le rappresentazioni degli ogget-ti matematici che lo strumento mette a disposizione e, attraverso tali esperienze, offrire la possibilità di esplorare un ambiente che sia con-sonante e risonante con il campo matematico oggetto di studio; • motivare gli studenti a chiedersi il perché di ciò che osservano grazie alle risorse che lo strumento mette a disposizione, in modo tale da fa-vorire il passaggio da una conoscenza implicita e tacita a una cono-scenza esplicita e consapevole. I due obiettivi sopra elencati sono ambiziosi e non facili da conseguire: è necessario (e non è detto che sia sufficiente) che lo strumento sia usato in modo tale da esaltare le potenzialità e minimizzare gli inevitabili rischi le-gati alla sua utilizzazione. Il punto di vista dal quale ho guardato e affrontato la problematica dell’uso delle tecnologie nell’insegnamento-apprendimento della matema-tica è stato quello dell’insegnante-ricercatore: per essere più precisi, è sta-to il punto di vista dell’insegnante che ha un problema da risolvere e che ha cercato ispirazione e anche conforto nei risultati della ricerca didattica.

2. Atto primo Dove si precisa quale è “il problema” dell’insegnante Penso sia bene innanzitutto precisare quale è quel problema a cui prima ho accennato e che, come insegnante, ritengo di dover affrontare e risol-vere: riuscire a motivare gli studenti coinvolgendoli in un progetto forma-tivo che abbia come punto di costante riferimento l’esercizio del pensiero critico. Motivare gli studenti è oggi sempre più difficile, perché la scuola non offre più garanzie di affermazione sociale; vengono quindi meno le moti-vazioni di carattere esterno che davano un senso all’attività di apprendi-

EDIZIONE DIGITALE

CABRI GÉOMÈTRE: UNA RISORSA PER UN INSEGNAMENTO-APPRENDIMENTO “SENSATO”

63

mento (e, di conseguenza, anche a quella di insegnamento), quasi a pre-scindere da che cosa essa proponesse e da come si proponesse. D’altra parte, proprio questo venire meno delle motivazioni di carattere esterno, impone di ricercare un senso dell’azione di insegnamento – apprendimen-to nell’azione stessa, nel progetto formativo. Ma perché scegliere come punto di riferimento un obiettivo così ambizioso come l’esercizio del pen-siero critico? Perché, anche se ambizioso, è oggi necessario: in una società che sembra essere sempre più di massa, perché le masse sono sempre più facilmente manipolabili, si deve cercare di far sì che gli studenti possano diventare consapevoli delle potenzialità e dei limiti delle proprie cono-scenze e competenze, in modo da poter esercitare una cittadinanza infor-mata, critica e consapevole di fronte alle scelte e alle sfide sempre più de-licate e difficili che si troveranno ad affrontare. È però improbabile pensa-re di poter perseguire con successo l’obiettivo della transizione da forme di conoscenza implicita e tacita a forme di conoscenza esplicita e consape-vole senza essere riusciti ad attivare negli studenti un processo motiva-zionale di coinvolgimento nel progetto formativo. L’uso di uno strumento come Cabri può aiutare alcuni studenti a trova-re motivazioni, grazie alla sua interfaccia grafica piacevole, alla facilità con cui gli studenti riescono ad appropriarsi di alcune funzionalità, alla conso-nanza e risonanza con le modalità di apprendimento di tipo percettivo motorio proprie dei giovani d’oggi; non è in genere sufficiente, però, a ga-rantire la permanenza delle motivazioni e, soprattutto, a garantire che tali motivazioni favoriscano un apprendimento riflessivo e consapevole e non conducano al manifestarsi di forme di addestramento, solo apparente-mente diverse da quelle più note. È necessario costruire un ambiente di insegnamento-apprendimento che sia sensato. Questo termine si presta ad equivoci e quindi spiego brevemente che lo intendo in una duplice ac-cezione: quella a cui fa riferimento Galileo quando parla di sensata espe-rienza, legata ai sensi, agli aspetti percettivi, ma al tempo stesso guidata dall’intelletto, dalla ragione, dalla teoria che consentono di orientarsi nel labirinto del concreto. E poi quella di sensato come ragionevole, non tanto o non solo perché tiene conto del contesto in cui si opera, ma, soprattutto, perché consente di cogliere un significato, una ragione in ciò che si fa.

EDIZIONE DIGITALE

DOMINGO PAOLA

64


EDIZIONE DIGITALE


Cabri Géomètre nello sviluppo di aspetti specifici del pensiero geometrico

Angela Pesci

Sunto Vengono descritte due tipologie di attività, attuate con studenti più o me-no giovani (dalle elementari all’università) e con insegnanti in formazione e in servizio. La prima riguarda il passaggio dal procedimento costruttivo di una fi-gura geometrica piana con Cabri alla formulazione di una sua possibile de-finizione (con riferimento alle proprietà necessarie e sufficienti per la fi-gura) e la constatazione dell’esistenza di definizioni equivalenti di una stessa figura. Allo stesso tempo si evidenzia come la presenza di proprietà geometriche non imposte esplicitamente ma “stabili” favorisca il processo dimostrativo. La seconda parte riguarda un esempio di problema, all’inizio molto semplice e affrontabile anche con carta e matita, che può diventare ben più complesso, perché favorisce il sorgere di interrogativi curiosi e grada-tamente più impegnativi su questioni di equivalenza, isoperimetria e iso-metria. In questo caso il software rende più accessibili e manipolabili le questioni affrontate, fornendo anche risposte che diventa spontaneo voler argomentare e dimostrare. Angela Pesci Dipartimento di Matematica Università di Pavia [email protected]

EDIZIONE DIGITALE

ANGELA PESCI

66

1. Introduzione Le esperienze che ho sviluppato negli ultimi dieci anni nell’utilizzo del sof-tware didattico Cabri Géomètre (versioni I, II, II Plus) hanno coinvolto dif-ferenti tipologie di persone, da insegnanti elementari ad insegnanti di scuola media superiore, da alunni di scuola elementare a studenti di scuo-la secondaria superiore, da studenti universitari del corso di laurea in ma-tematica a specializzandi per l’insegnamento nella scuola secondaria. Molto spesso si è trattato di esperienze di collaborazione con insegnan-ti (-ricercatori) in servizio per elaborare specifici itinerari didattici di ge-ometria piana, sperimentare in classe le varie proposte, studiarne e ana-lizzarne gli esiti, a volte con il contributo di laureandi/e che sceglievano di partecipare alle esperienze facendole poi oggetto di studio per il loro la-voro di tesi di laurea. In bibliografia sono elencati i lavori principali relati-vi a tali studi. Un secondo tipo di esperienze si è configurato maggiormente come at-tività divulgativa, in quanto si è trattato di attività di formazione per inse-gnanti in servizio, ai vari livelli scolari, ai quali ogni volta, a seconda dei casi, sceglievo di presentare uno o più aspetti, tra quelli studiati dal nostro gruppo, della possibile mediazione di Cabri Géomètre nello sviluppo del pensiero geometrico. A partire dunque da queste esperienze ho pensato di suddividere il mio contributo in due parti, molto diverse fra loro ma che, proprio nella loro diversità, contribuiscono a tracciare l’ampiezza delle possibilità di media-zione offerte dal software didattico Cabri Géomètre. Inoltre, entrambe le tipologie di attività costituiscono esempi di situazioni didattiche aperte, adatte a porre ai ragazzi questioni di indagine da personalizzare e svilup-pare in base alle proprie risorse cognitive e alle proprie preferenze: si tratta, in sintesi, di occasioni che l’insegnante può cogliere per sviluppare quell’atteggiamento critico, riflessivo e collaborativo che ogni educatore dovrebbe promuovere nei suoi studenti in tutto il percorso formativo. La prima parte, relativa allo studio delle proprietà necessarie e suffi-cienti per definire una figura geometrica, a partire da una sua costruzione validata con Cabri, rappresenta anche l’argomento che preferisco: come si vedrà, si tratta di un utilizzo specifico di Cabri, non molto diffuso ma che, a mio parere, consente di affrontare temi significativi (e a volte complessi)

EDIZIONE DIGITALE

CABRI GÉOMÈTRE NELLO SVILUPPO DI ASPETTI SPECIFICI DEL PENSIERO GEOMETRICO

67

in ambito geometrico, come l’individuazione di proprietà necessarie e suf-ficienti per una figura, la possibilità di definire una stessa figura in modi diversi e fra loro equivalenti, l’intuizione del significato di deduzione di una proprietà da un insieme di altre. In base alle esperienze studiate e ampiamente ripetute, si può dire che attraverso esempi piuttosto semplici (ma non banali) le questioni elenca-te possono essere proposte già agli ultimi anni di scuola primaria, con una buona risonanza nel pensiero geometrico manifestato dagli alunni. La seconda parte di questo contributo descrive un esempio di proble-ma semplice, abbastanza curioso, anch’esso proponibile già a partire dalle ultime classi della scuola primaria e che inizialmente si può affrontare be-ne anche con carta e matita ma che, come si descriverà, è abbastanza aper-to da consentire indagini più complesse, adatte dunque a studenti più ma-turi (anche universitari) e che diventano più evidenti ed accessibili con la mediazione di Cabri. 2. Dalla costruzione di una figura alla sua definizione:

alcuni esempi Le esperienze didattiche realizzate nell’ambito di questo tema sono state sviluppate a partire dall’anno scolastico 1996/97, in alcune classi quarte di scuola elementare e, con successive elaborazioni, sono state propo-ste anche come unità didattiche in rete, nell’ambito del “Progetto sull’uso delle tecnologie dell’informazione e della comunicazione in attività di modellizzazione e di formalizzazione matematica”, finanziato dal MIUR (C.M. 131), avente come responsabile scientifico Giampaolo Chiappini dell’Istituto per la Matematica Applicata del CNR di Genova e ancora oggi reperibile in rete all’indirizzo http://www.bdp.it/set/area1_esperienzescuole/cm131/5.htm. Le proposte pubblicate, relative al caso della costruzione e definizione del rettangolo e del quadrato, erano dedicate agli alunni delle ultime due classi di scuola elementare e agli alunni della scuola media; tuttavia, in ba-se alle esperienze già citate con adulti, mi sembrano proponibili e signi-ficative anche per studenti universitari (specie se orientati all’insegna-mento).

EDIZIONE DIGITALE

ANGELA PESCI

68


EDIZIONE DIGITALE


Misura e Cabri: aspetti epistemologici e didattici nell’apprendimento della geometria

Ornella Robutti

When I began this study, I was curious to find out whether the extensive use of measurement of exam-ples in geometry classes would hinder students’ ap-preciation of mathematical proof. Looking back at the interviews presented in this article, I come away con-vinced that this is not the case. Though the extensive use of measurement of examples in geometry classes can bring to the fore difficulties students have in ap-preciating accepted views of the role of mathematical proof in certifying mathematical truth, it raises impor-tant and valuable questions that might not be raised otherwise. (Daniel Chazan, 1993) Sunto Questo articolo presenta una riflessione sull’utilizzo della misura in pro-blemi geometrici di esplorazione in ambiente Cabri, analizzando esempi di attività e uso della misura alla luce della recente ricerca didattica. A parti-re dall’analisi dei protocolli dell’attività di classe, si descrive il ruolo che la misura ha nel processo dimostrativo, a volte a favore e a volte contro, nel senso che può talvolta favorire il raggiungimento di una congettura o la costruzione di una dimostrazione, altre volte tenere gli studenti legati alla percezione e allontanarli dal pensiero teorico. Se i docenti sono consape- Ornella Robutti Dipartimento di Matematica Università di Torino [email protected]

EDIZIONE DIGITALE

ORNELLA ROBUTTI

70

voli delle modalità di uso degli strumenti di misura di Cabri nei problemi di geometria e delle loro conseguenze sull’apprendimento, possono piani-ficare e gestire le situazioni di classe sfruttando al meglio lo strumento tecnologico per favorire negli studenti la costruzione di dimostrazioni. 1. Introduzione Nonostante le tecnologie siano ormai presenti nella scuola da più di ven-t’anni, il dibattito sui benefici o meno che possano apportare all’apprendi-mento e all’insegnamento è tutt’altro che spento, in quanto si affacciano sul mercato sempre nuovi prodotti che possono fornire spunti per speri-mentazioni, supporti, nuove metodologie, ecc., soprattutto in una discipli-na come la matematica. E i filoni di questo dibattito si ampliano e si rami-ficano rispetto a quelli sorti vent’anni fa, intrecciandosi profondamente con i quadri teorici sull’apprendimento e con le questioni metodologiche. Si dibatte sull’uso di software a supporto della disciplina, sui micromondi, sul software libero o proprietario, sulle piattaforme di interazione, sulla didattica con il podcast, sui social network o su quale uso del web a scuola. Addirittura si dibatte ancora sulla valenza che può avere l’uso di una pro-iezione di diapositive durante la lezione, contrapponendola al valore della retorica in sé, che mette in risalto la professionalità del docente e dà spic-co alla “bella” lezione, che lo studente dovrebbe, ammirato, apprendere imitando l’insegnante. Se l’uso della tecnologia in passato ha, in qualche caso, vincolato le scelte pedagogiche nella scuola (pensiamo alla computer aided instruction, o all’uso della programmazione), oggi il punto di vista è diverso, in quanto la scuola ha a disposizione diversi strumenti che può e deve utilizzare, a seconda della situazione e degli obiettivi, in maniera sin-gola o integrandoli insieme. Quindi la riflessione da fare è come uno stru-mento si inserisce in un percorso didattico, quali le scelte metodologiche e di curriculum per raggiungere determinati obiettivi, quale il supporto delle tecnologie all’apprendimento, considerando i soggetti che appren-dono, il docente e le tecnologie stesse come facenti parte di un tutto unico, humans-with-media (Borba & Villarreal, 2005), che interagisce, si modifi-ca ed evolve durante l’attività del percorso. Partendo dal presupposto che dare uno strumento tecnologico in mano

EDIZIONE DIGITALE

MISURA E CABRI: ASPETTI EPISTEMOLOGICI E DIDATTICI NELL’APPRENDIMENTO DELLA GEOMETRIA

71

agli studenti per fare attività matematica non garantisce di per sé un ap-prendimento, ma che occorre progettare l’uso di tale strumento a seconda della matematica che si affronta, delle attività, del contesto e dei prerequi-siti, capiamo che è fondamentale il ruolo dell’insegnante, sia per la costru-zione di conoscenza, sia per curare quegli aspetti metacognitivi (come l’affettività, le relazioni umane) che sono basilari per motivare apprendi-mento (Bottino & Chiappini, 1995; Laborde, 2002; Lagrange, Artigue, La-borde & Trouche, 2001). Questo articolo ha l’obiettivo di fornire agli insegnanti alcuni esempi commentati di situazioni di classe in cui gli studenti usano la misura in un software di geometria dinamica e le relative chiavi di lettura su due livelli: il primo dell’uso dello strumento misura in Cabri con le sue specifiche conseguenze nell’attività matematica, il secondo dell’attività cognitiva de-gli studenti durante il processo dimostrativo. 2. Geometria e software di geometria Il percorso didattico, riferito al biennio di scuola superiore, è centrato sull’avvio degli studenti alla dimostrazione in geometria, tramite la risolu-zione di problemi aperti. Per problemi aperti si intendono problemi che non forniscono la tesi nella forma “dimostra che…”, ma che offrono la pos-sibilità di esplorare situazioni e fare congetture, metterle alla prova per accettarle o rifiutarle, quindi costruire una dimostrazione delle congetture accettate. In tal modo la ricerca didattica (si veda per esempio Boero, Ga-ruti & Mariotti, 1996; Mariotti, 1998) prova che gli studenti sono più mo-tivati a dimostrare e che molti di loro riescono a produrre qualche risulta-to se intendiamo il processo dimostrativo come l’insieme di: costruzione della figura, esplorazione, formulazione di congetture, test sulle congettu-re e dimostrazione. Per contro, considerando un problema chiuso con la richiesta “dimostra che…” e accettando solo la dimostrazione come pro-dotto, sappiamo dalla nostra esperienza che solo una piccola percentuale degli studenti di una classe riesce a portare a termine correttamente que-sto compito, mentre la grande maggioranza può bloccarsi subito o quasi subito, nonché sentirsi frustrata per la mancanza di idee su come dimo-strare. Se poi utilizziamo nei problemi aperti anche un software di geome-

EDIZIONE DIGITALE

ORNELLA ROBUTTI

72

1,1 cm 2,3 cmA

D

B

C

O

P2P3 P4 P5


EDIZIONE DIGITALE


Uno sguardo “dietro” i diagrammi prodotti con un software di Geometria Dinamica

Enrico Rogora

Sunto In questo lavoro verranno discussi alcuni dettagli sull’implementazione di un software di geometria dinamica, sui problemi matematici collegati e sulle implicazioni didattiche. 1. Introduzione Crediamo che sia importante conoscere i principi matematici sui cui si basano i software di geometria dinamica, per le ragioni ben espresse da Goldberg e Cuoco nel seguente brano (Goldenberg & Cuoco, 1998). Se lo scopo di una ricerca didattica è comprendere l’esperienza co-gnitiva di un discente di fronte ad una sollecitazione matematica mediata da un software di geometria dinamica, riteniamo molto uti-le una consapevolezza critica dei principi matematici sui quali è ba-sato il funzionamento di un tale software e delle conseguenze che hanno le scelte di software engeneering e di progettazione dell’in-terfaccia sulla rappresentabilità e manipolabilità degli enti matema-tici che il software tratta. Ciò risulta particolarmente importante Enrico Rogora Dipartimento di Matematica “G. Castelnuovo” Sapienza Università di Roma [email protected]

EDIZIONE DIGITALE

ENRICO ROGORA

74

quando si vogliano analizzare le misconcezioni e gli ostacoli cogniti-vi che si presentano ai discenti che utilizzano il software e si voglia comprendere quali fenomeni vengono notati dai discenti e come es-si percepiscano e interpretino tali fenomeni. La conoscenza dei principi matematici su cui si basa un software è anche essenziale quando si vogliano cogliere le nuove opportunità curriculari che un software di geometria dinamica sollecita in maniera naturale. Inol-tre la discussione dei principi in base ai quali viene costruito un software matematico permette di porre le teorie modellate dal software sotto una luce che illumina i principi di tali teorie secondo angolazioni nuove e quindi offrono occasioni didattiche stimolanti. Premettiamo due osservazioni riguardanti i software di geometria di-namica, che sono importanti nell’analisi delle misconcezioni. La prima osservazione è che un software di geometria dinamica non produce una figura arbitrariamente manipolabile, ma un meccanismo ma-tematico in cui la manipolabilità dell’oggetto prodotto è condizionata dal software utilizzato e dal tipo di costruzione operata. Si pensi all’esempio, riportato nell’articolo di Alessandra Mariotti in questo volume, della co-struzione di una retta parallela ad una retta data. La prima retta è manipo-labile e la seconda segue la prima in tali manipolazioni rimanendo ad essa parallela. La seconda invece non può venire manipolata in quanto la sua costruzione la subordina alla prima nel meccanismo matematico. Il paral-lelismo perde quindi la fondamentale relazione di simmetria, che è una delle relazioni astratte che appartengono alla corretta immagine figurale della nozione di parallelismo. Nell’uso didattico del software, ci pare es-senziale tenere presente che questa manipolabilità condizionata può esse-re fonte di serie misconcezioni che possono in parte essere superate guar-dando “dietro” al diagramma prodotto per vedere dove e perché nascono i vincoli di manipolabilità. La seconda osservazione riguarda l’effetto delle manipolazioni dei mec-canismi matematici. Per alcuni dei software di geometria dinamica si os-servano talvolta bruschi salti nelle configurazioni: alcuni elementi scom-paiono da una parte e riappaiono in differenti posizioni. In altri software si osserva invece che il risultato di costruzioni che dipendono da elementi posti in posizioni uguali, può essere diverso.

EDIZIONE DIGITALE

UNO SGUARDO “DIETRO” I DIAGRAMMI PRODOTTI CON UN SOFTWARE DI GEOMETRIA DINAMICA

75

Esistono due paradigmi distinti che si possono porre alla base di un software di geometria dinamica: Il paradigma deterministico secondo cui il risultato di ogni costruzione è completamente determinato dai dati iniziali di una costruzione; Il paradigma continuo secondo cui il risultato di una manipolazione di un qualsiasi meccanismo matematico prodotto dal software deve dipendere con continuità dalla manipolazione. Un semplice esperimento che si può fare per verificare se il software è continuo o deterministico è il seguente. Si scelga un punto sulla bisettrice dell’angolo definito da due semirette. Facendo compiere ad una delle se-mirette un giro completo intorno al vertice, se il punto scelto “salta” il sof-tware è deterministico, se non salta è continuo. Entrambi i paradigmi sembrano desiderabili per l’impiego didattico di un software di geometria dinamica, in quanto il venir meno di uno di que-sti paradigmi si scontra con l’aspettazione intuitiva da parte dei discenti, creando un possibile ostacolo cognitivo che deve essere opportunamente gestito. Purtroppo non è possibile evitarli entrambi in quanto si può di-mostrare facilmente, legando la costruzione della bisettrice all’estrazione della radice quadrata di un numero complesso di modulo uno, che un software di geometria dinamica non può essere contemporaneamente deterministico e continuo. La continuità di un software di geometria dinamica si può mantenere solo tenendo in debita considerazione la storia della manipolazione al fine di determinarne l’effetto, e questo contrasta irrimediabilmente la richiesta che il risultato di una costruzione dipenda completamente dai soli dati i-niziali. Si tratta, come abbiamo detto, della stessa ragione per cui non è possibile estendere in maniera continua la scelta di una delle determina-zioni della radice complessa di un numero a tutto il piano complesso, ma è necessario costruire un nuovo oggetto geometrico, la superficie di Rie-mann della funzione radice quadrata, al fine di ristabilire la continuità. L’osservazione di questi comportamenti inaspettati e la discussione del legame con la radice quadrata, può essere utilizzata per imprimere vivi-damente nella mente di uno studente la difficoltà, sottile ma fondamenta-le, insita nella definizione di certe operazioni e la necessità di concepire alcuni oggetti algebrici come relazioni invece che come operazioni. Questo

EDIZIONE DIGITALE

ENRICO ROGORA

76


EDIZIONE DIGITALE


Visualizzazione dinamica ed esplorazione di proprietà delle figure dello spazio con Cabri 3D

Luigi Tomasi

Sunto In questo lavoro sono analizzate e discusse le potenzialità del software Ca-bri 3D per l’insegnamento e l’apprendimento della geometria dello spazio. Uno dei problemi dell’insegnamento e dell’apprendimento della geo-metria solida è quello della rappresentazione e del disegno delle figure tridimensionali. Cabri 3D fornisce la possibilità di risolvere questo pro-blema in modo molto efficace. Con questo software gli oggetti tridimen-sionali fondamentali possono essere “costruiti” e facilmente manipolati, senza che si debba necessariamente conoscere uno dei classici metodi di rappresentazione forniti dalla geometria descrittiva. Nel lavoro sono presentati e discussi alcuni temi e problemi che posso-no essere proposti nella scuola secondaria, in modo da prefigurare dei percorsi didattici di geometria solida particolarmente coinvolgenti per gli studenti. Sono in particolare analizzati i vantaggi della visualizzazione dinamica e della esplorazione di proprietà nello spazio permesse dal software Cabri 3D. Luigi Tomasi Liceo Scientifico “P. Paleocapa” di Rovigo Università di Ferrara [email protected] http://www.matematica.it/tomasi

EDIZIONE DIGITALE

LUIGI TOMASI

78

1. Introduzione Nel seminario da cui ha avuto origine questo articolo è stata proposta una discussione sui seguenti temi: • Ruolo della visualizzazione dinamica permessa dai «sistemi di geome-tria dinamica» (DGS, Dynamic Geometry Systems) nell’insegnamento e apprendimento della geometria dello spazio; • Analisi delle difficoltà che si incontrano nella rappresentazione di figu-re tridimensionali; • Uso delle tecnologie informatiche per facilitare l’insegnamento di ar-gomenti di geometria solida che si ritengono fondamentali nel currico-lo di matematica; • Alcune proposte di percorsi didattici di geometria dello spazio per la scuola secondaria con l’uso del software Cabri 3D. Nell’articolo si propone qualche risposta alle seguenti domande-guida: • È possibile usare il software Cabri 3D per progettare delle attività di-dattiche che portino a formulare congetture e a scoprire proprietà per la geometria dello spazio, così come è stato sperimentato per la geome-tria del piano con l’utilizzazione dei software di geometria piana? • Come si può usare Cabri 3D nell’insegnamento della geometria solida? • Quali problemi di insegnamento e apprendimento della geometria del-lo spazio si possono superare? • Vantaggi didattici della visualizzazione dinamica tridimensionale; co-me si possono verificare? Nello stesso tempo ci si è proposti di esaminare le difficoltà, i problemi, le misconcezioni che possono insorgere quando si usano le tecnologie in-formatiche; questo fa parte di un problema più generale, che si pone an-che quando si usano strumenti e tecnologie tradizionali.

2. Apprendimento-insegnamento della geometria dello spazio Preliminarmente ci si può chiedere quali sono le difficoltà degli allievi nel-l’apprendimento della geometria dello spazio. Esse sembrano essere prin-

EDIZIONE DIGITALE

VISUALIZZAZIONE DINAMICA ED ESPLORAZIONE DI PROPRIETÀ DELLE FIGURE DELLO SPAZIO

79

cipalmente le seguenti: • Difficoltà nel disegno di oggetti tridimensionali (questa difficoltà ri-guarda quasi tutti, anche gli insegnanti… ); • Non adeguata conoscenza della geometria del piano; • Scarsa intuizione spaziale; da qui nascono molte difficoltà a visualizza-re delle figure e a “vedere nello spazio”. Alcune delle difficoltà degli allievi alle prese con la geometria solida sono probabilmente una conseguenza di come questo tema è di solito proposto a scuola: • l’insegnamento è prevalentemente “cartaceo”; gli allievi usano il libro di testo, il quaderno ed eseguono dei disegni con “carta e matita, riga e compasso”; • il docente fa dei disegni alla lavagna, che hanno lo svantaggio di essere statici oltre che difficili da realizzare. Sia gli allievi che gli insegnanti devono affrontare inizialmente la difficoltà della rappresentazione di una figura tridimensionale. La rappresentazione di un oggetto tridimensionale, ottenuto proiettando in un piano la figura, non conserva le proprietà che si vogliono evidenziare. Ad esempio due rette che nello spazio sono perpendicolari, non sono in genere perpendi-colari nella loro rappresentazione. Nell’insegnamento della geometria so-lida nella scuola secondaria è poco utilizzata la visualizzazione e nel mi-gliore dei casi si usano dei modelli statici di solidi. Nella geometria dello spazio è sempre presente il problema della rap-presentazione, che viene realizzata in un piano (questo è vero a maggior ragione se non si usa un software…). Ma soprattutto nella geometria dello spazio una figura, anche realizzata con cura, può trasmettere idee sbaglia-te, al contrario di quel che succede per il piano, in cui, secondo Poincaré si verifica che “la geometria è l’arte di ricavare affermazioni corrette da figu-re sbagliate”. Seguendo Mariotti, 2005, si può anche dire che nella geome-tria dello spazio la componente “figurale” non coincide con quella “concet-tuale”, come invece si ha per le figure di geometria piana.

EDIZIONE DIGITALE

LUIGI TOMASI

80


EDIZIONE DIGITALE

EDIZIONE DIGITALE

Finito di stampare nel mese di febbraio 2010 con tecnologia print on demand presso il Centro Stampa “Nuova Cultura” p.le Aldo Moro n. 5, 00185 Roma www.nuovacultura.it per ordini: [email protected] [Int_9788861344280_17x24_bn_06]

EDIZIONE DIGITALE

Seminari di Geometria Dinamica - Edizioni Nuova Culturanuovacultura.it/upload/1356717376.pdf ·...

Documents

Transcript of Seminari di Geometria Dinamica - Edizioni Nuova Culturanuovacultura.it/upload/1356717376.pdf ·...