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GEOMETRIA PARAMETRICA 3D

Strumenti di base e applicazioni

Franca Caliò, Elena Marchetti

Dipartimento di Matematica – Politecnico di Milano

Scuola estiva di Matematica

Applicata

13-18 Giugno, 2016, Milano

F Caliò- E. Marchetti

Curve 3D in forma parametrica

Dt

thz

tgy

tfx

∈

=

=

=

)(

)(

)(

Dove:f(t), g(t), h(t) sono funzioni reali di variabile reale,t (il parametro) è la variabile indipendente;D è l’intersezione degli insiemi di definizione delle tre funzioni.

Dt

th

tg

tf

c ∈

=

)(

)(

)(

Equazione vettoriale Equazioni parametriche

2


3

Parametrizzazione di una retta in 3D (1)

y

z

x

0

v

Al variare del parametro t in R il punto P, punto rappresentatore del vettore somma r = r0 + vt, descrive la retta passante per descrive la retta passante per PP00 e di e di direzione direzione vv

Sono dati un punto P0(x0,y0,z0), e un vettore v = [vx,vy,vz]T.

P0 r

v

r 0

Il vettore v definisce la direzione e P0 il punto di origine di una retta r.

Applichiamo il vettore v a P0

P

“Stiriamo” il vettore v

vt( t

= 2,5

)

vt( t=

-1)

r

r

P

P


Parametrizzazione di una retta in 3D (2)

Rt

tvzz

tvyy

tvxx

z

y

x

∈

+=

+=

+=

0

0

0

e le equazioni parametriche scalari della retta:

Il punto P0 ,di coordinate x0 y0 z0, è detto punto origine della retta, il vettore v è detto vettore di direzione della retta, le sue componenti vx vy vz coefficienti direttori.

Rt

tvz

tvy

tvx

z

y

x

∈

+

+

+

=

0

0

0

r

da cui l’equazione parametrico-vettoriale della retta:

4


Trasformazioni affini in 3D

=

=

z

y

x

b

b

b

aaa

aaa

aaa

A b

333231

232221

131211

Una trasformazione affine è algebricamente definita da

e la sua struttura è

=

+

'

'

'

333231

232221

131211

z

y

x

b

b

b

z

y

x

aaa

aaa

aaa

z

y

xMatrice di

trasformazione

Vettore da

trasformare Vettore di traslazione

Vettore

trasformato

5


6

P’

P

b

0

yy

xx

zz

È una trasformazione geometrica che ad ogni punto P dello spazio fa corrispondere un punto P’ tale che il vettore spostamento P’- P sia uguale a b (vettore di traslazione che caratterizza direzione, verso e intensità della traslazione).

isometria priva di punti uniti

Traslazione in 3D (1)


7

=

=

z

y

x

b

b

b

A b

100

010

001

Vettore traslazione

Algebricamente si esprime:

Traslazione in 3D (2)

Matrice unità


8

Q

r

αα P

P’

P P’

È una trasformazione che:

• a P appartenente ad r fa corrispondere se stesso;

• a P non appartenente ad r fa corrispondere P’ appartenente al piano passante per Pperpendicolare ad r e che interseca r in un punto Q.

• la distanza di P da Q coincide con la distanza di P’ da Q.

• l’angolo formato dalle due semirette s ed s’ passanti rispettivamente da Q, P e da Q , P’ è α , angolo di rotazione

Isometria con un asse di punti uniti

Rotazione in 3D (1)


9

=

−

=

0

0

0

100

0

0

bαα

αα

cossin

sincos

A

Matrice di rotazione:

asse z , angolo ααααVettore

traslazione

Algebricamente si esprime (a titolo di esempio)

Rotazione in 3D (2)


Una trasformazione omotetica di centro Q che: • fa corrispondere al punto Q se stesso• ad un punto P, distinto da Q, un punto P’ tale che Q, P, P’

siano allineati e che QP’=kQP con k∈R, k≠0, 1, - 1 (k si dice ragione di omotetia).

non isometria, con un punto unito

L’effetto di un’omotetia è la modificazione delle distanze fra punti attraverso il numero k: fattore di proporzionalità.

| k |>1 dilatazione, | k |


algebricamente si esprime (se il centro di omotetia è l’origine):

=

0

0

0

00

00

00

b

k

k

k

=A

Matrice di

omotetia

k∈R, k≠0, 1, - 1

Vettore

traslazione

11

Omotetia in 3D (2)


uno scaling differente nelle tre direzioni x, y, z algebricamente si esprime :

=

0

0

0

00

00

00

b

l

h

k

=A

Matrice di scaling

k, h, l ∈ R, k, h, l ≠0 e ≠ 1, - 1(contemporaneamente)

Vettore

traslazione

12

Scaling in 3D


13

=

=

ub

ub

ub

A

z

y

x

b

100

010

001

Matrice unitàVettore

traslazione

Una traslazione continua e uniforme (costante in direzione e variabile in verso e intensità) si definisce algebricamente

Traslazione uniforme


14

Un piano si può interpretare come una superficie ottenuta per traslazione di una retta secondo una legge di traslazione uniforme, in altre parole traslazione di una retta lungo un’altra retta.

generatrice

direzione traslazione

Parametrizzazione di un piano (1)


Parametrizzazione di un piano (2)

++

++

++

=

+

+

+

+

ubtvz

ubtvy

ubtvx

ub

ub

ub

tvz

tvy

tvx

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

0

0

0

0

0

0

100

010

001

Matrice unità Retta generatrice

(vettore da trasformare)Vettore di traslazione

Vettore posizione

del piano

RuRt

ubtvzz

ubtvyy

ubtvxx

zz

yy

xx

∈∈

++=

++=

++=

0

0

0Pertanto le equazioni parametriche del piano:

15


16

=

=

)u(h

)u(g

)u(f

A b

100

010

001

Matrice unitàVettore

traslazione

Una traslazione continua il cui vettore di traslazione è definito punto per punto da una data curva si definisce algebricamente

Traslazione lungo una curva

F. Caliò- E. Marchetti

[ ]212

0 u,uu

u

u

∈

=c

[ ]212

0

t,tt

t

t ∈

−

=d

parabola del piano zx, concavità verso

l’alto (parabola direttrice, vettore posizione = vettore di traslazione)

parabola del piano yz, concavità

verso il basso

(parabola generatrice)17

Parametrizzazione di un paraboloide iperbolico (1)

Il paraboloide iperbolico ègenerato per traslazione di una parabola su un’altra parabolaappartenente ad un piano ortogonale a quello cui appartiene la prima


Parametrizzazione di un paraboloide iperbolico (2)

−

=

+

−

2222

0

0

100

010

001

tu

t

u

u

u

t

t

Matrice unità parabola generatrice parabola direttrice

Vettore posizione

del paraboloide

iperbolico

212122

uuuttt

tuz

ty

ux

≤≤≤≤

−=

=

=Di qui le equazioni parametriche del paraboloide iperbolico:

18


Paraboloide iperbolico in Architettura

Teatro Regio di Torino: Bertone 197319


Paraboloidi iperbolici nel quotidiano

patatine Pringles – forse i più diffusi paraboloidi iperbolici

20


Parametrizzazione di una superficie sferica

πππ 2022

0

0

00

100

0

0

≤≤≤≤−

−

=

+

−

u/t/

tsinr

tcosucosr

tsinusinr

tsinr

tcosrucosusin

usinucos

Matrice di rotazione

di asse z (asse polare)Generatrice (semi meridiano- semicirconferenza)

Vettore ditraslazione

Vettore posizione

della sup sferica

πππ 2022 ≤≤≤≤−

=

=

−=

u/t/

tsinrz

tcosucosry

tsinusinrxDi qui le equazioni parametriche della superficie sferica

21


Parametrizzazione di una superficie conica

yy

zz

xx

generatrice

π20 ≤≤

=

=

−=

u

tvz

ucostvy

usintvx

z

y

y

asse di

rotazione

Una superficie conica è generabile mediante rotazione di una retta, attorno ad un asse che interseca la retta.

[ ]π20

0

100

0

0

,u

),(t

tv

tvucosusin

usinucos

z

y∈

+∞−∞∈

−

22


Esempio di superfici di rotazione

Collezione Giò Ponti rivisitata da Richard-Ginory-Gucci-2014; Carlo e Giovanni Moretti- Murano

23


Parametrizzazione di una superficie di rotazione logaritmica

Superficie ottenuta per rotazione, attorno all’asse z,di una curva logaritmica (appartenente al piano zx)

[ ]π20

00

100

0

01

,u

)t,(t

tlog

t

ucosusin

usinucos

∈

∈

−

[ ]π20

0 1,u

)t,(t

tlogz

usinty

ucostx

∈

∈

=

=

=

generatrice

24

F. Caliò - E. Marchetti

Giovannoni: tavolo Bombo

Esempio di superfici di rotazione

25


26

=

−

=

u

ucosusin

usinucos

A 0

0

100

0

0

b

Matrice di rotazioneVettore

traslazione

Una combinazione di rotazione continua lungo z e contemporanea traslazione uniforme lungo z si definisce algebricamente

Rototraslazione


27

Parametrizzazione di un elicoide rigato

],0[

],0[0

0

0

0

100

0cossin

0sincos

1

1

tt

uu

u

tuu

uu

∈

∈

+

−

Un elicoide rigato è generabile per rotazione di un segmento rispetto ad un asse ad esso ortogonale e contemporanea traslazione lungo lo stesso

[ ]

[ ]1

1

,0

,0cos

sin

tt

uu

uz

uty

utx

∈

∈

=

=

−=

generatrice

Segmento (generatrice)


La Pedrera (Gaudì)

28

Esempio di superficie di rototraslazione


Edifici City lifeEdifici City life 29


Parametrizzazione di una superficie a spirale

[ ]21,sin

cos

ttt

t

tt

tt

∈

=e

Una curva spirale gobba si può intendere come una curva ottenuta da una spirale (per esempio archimedea) in cui si aggiunge una componente traslatoria nella direzione ortogonale al piano in cui giace

generatrice

],[

],[0

0

sin

cos

100

010

001

21

21

uuu

ttt

ut

tt

tt

∈

∈

+

],[

],[sin

cos

21

21

uuu

ttt

utz

tty

ttx

∈

∈

+=

=

=

z

xy

30


Esempi di superfici a spirale

31

Torre di Babele (Breughel)

Sant’Ivo alla Sapienza (Borromini)

I coni gelato (Giangrande)


Edificio Edificio UnicreditUnicredit 32

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