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Tullia Norando

Il Il piacerepiacere didi insegnareinsegnare, , ilil piacerepiacere didiimparareimparare la la matematicamatematica

S. Giovanni S. Giovanni ValdarnoValdarnoMontevarchiMontevarchi –– FiglineFigline ValdarnoValdarno

21 21 –– 23 23 febbraiofebbraio 20082008

Tullia Norando 2

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Numeri

Natura

Arte

Proporzioni

Valore estetico

Tullia Norando 3

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� Rapporto tra misure semplici� Canone� Scala naturale

� Uguaglianza tra due rapporti� Palladio� Euclide� Leonardo

� Tracciato regolatore Tracciato costruttore� Modulor – Le Corbusier

Tullia Norando 4

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La scala pitagorica si basa sui rapporti semplici: 2:1 3:2 4:3

che corrispondono rispettivamente alle consonanze fondamentali:

ottava, quinta, quarta

Tullia Norando 6

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Metodi per definire l’altezza � di una stanza a pianta rettangolare di lati � e �

�� media aritmetica tra � e �: � ��������

�� medio geometrico tra � e �: � ������

�� medio armonico tra � e �: � ������������

Tullia Norando 7

�������Della sezione aurea Euclide tratta una prima volta nel Libro II .

Nella proposizione II. 11 viene posto il seguente problema:Dividere una retta data in modo tale che il rettangolo compreso da tutta la retta e da una delle parti sia uguale al quadrato della parte rimanente

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Tullia Norando 8

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Questo stesso problema della costruzione della sezione aurea viene riconsiderato da Euclide nel libro VI . All’inizio dello stesso libro si parla di sezione aurea sotto termini di retta divisa in estrema e media ragione.

Assegnato il segmento AB dicesi parte aurea di AB il segmento medio proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente

Significa che bisogna determinare il segmento AX che sia medio proporzionale del segmento AB, ovvero tale che

AB:AX=AX:XB

Tullia Norando 9

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A queste figure Euclide applica la proposizione che afferma:

“Nei parallelogrammi equivalenti ed aventi gli angoli rispettivamente uguali, i lati intorno agli angoli uguali sono inversamente proporzionali”

quindi sussiste la proporzione

KH:HG = AH:HB, tenendo conto che KH= AB ed HG=AHrisulta

AB:AH = AH:HB.

Quindi H è il punto cercato.

Tullia Norando 10

�������La stessa costruzione permette di rispondere anche al problema inverso

“Costruire un segmento del quale si conosca la sezione aurea”

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Basta prolungare il segmento AB di un segmento BC uguale alla sua sezione aurea AH

Si tratta della proprietà del comporre delle proporzioniAB:AH = AH:HB.

(AB+AH):AB = (AH+HB):AH

AC:AB=AB:BC

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Costruzione di Euclide

Riportata da L.B. Alberti

Costruzione di Erone

riportata da Luca Pacioli

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Griglia A3-A4-A5

Griglia Aurea

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Tullia Norando 17

) �� � �φφφφ è la misura della sezione aurea del segmento unitario

( )φφφ −= 1::1

Ovvero φφφφ è la soluzione positiva dell’equazione xx −=12

Φ =Φ =Φ =Φ = 1/φφφφ è la soluzione positiva dell’equazione xx +=12

5 10,618

2φ −= ≅

1 51,618

2+Φ = ≅

Tullia Norando 18

) �� � �Un segmento unitario è diviso in due parti di cui la sezione aurea è la parte maggiore.

In modo approssimativo le misure sono

Il numero aureo e il suo reciproco sono numeri irrazionali

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Algoritmo noto ai babilonesi per calcolare

n. x(n) radice 21,414213562

0 11 1,52 1,4166666673 1,4142156864 1,414213562

2

Tullia Norando 20

+�������Una successione numerica in cui il rapporto tra ogni terminee il consecutivo converge ad un numero reale

n. F(n) F(n)/F(n+1) F(n+1)/F(n)1 1 1 12 1 0,5 23 2 0,666666667 1,54 3 0,6 1,6666666675 5 0,625 1,66 8 0,615384615 1,6257 13 0,619047619 1,6153846158 21 0,617647059 1,6190476199 34 0,618181818 1,617647059

10 55 0,617977528 1,61818181811 89 0,618055556 1,61797752812 144 0,618025751 1,61805555613 233 0,618037135 1,61802575114 377 0,618032787 1,61803713515 610 0,618034448 1,61803278716 987 0,618033813 1,61803444817 1597 0,618034056 1,61803381318 2584 0,618033963 1,61803405619 4181 0,618033999 1,61803396320 6765 0,618033985 1,61803399921 10946 0,61803399 1,61803398522 17711 0,618033988 1,6180339923 28657 0,618033989 1,61803398824 46368 0,618033989 1,618033989

Una storia di conigli

Tullia Norando 21

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La successione di Fibonacci ha molte altre proprietà e applicazioni.

Ralph Elson Elliot elaborò una teoria di previsione dei mercati finanziari nota come

Teoria delle onde di Elliot

Invece di giocare in borsa, si potrebbe provare il gioco dei numeri di telefono , della somma, o delle potenze …

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Realizzato da Federico Nicolosi - LS Vittorio Veneto - MI

progetto

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Il valore estetico

� Test� 1871 G.T. Fechner

� Metodo della scelta� Metodo della

produzione� Metodo dell’uso

� Argomenti dicontestazione� Ordine� Orientazione� Colore� Casualità del campione� dimensione

� Conclusioni

Tullia Norando 26

Il valore estetico

� Teorie estetiche

� Optical feeling� Movimenti oculari� Ipotesi perimetrica� Sensazioni fisiche� Contaminazioni culturali� Valori estetici misurabili� Messa in discussione di tutte

le figure geometriche pure

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Il problema della misura�Bisogna essere ΦΦΦΦedeli : Errori nel rilievo della misura:�Difetti di costruzione�Deformazioni successive�Imprecisione della misura

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Il corpo umano

Tullia Norando 29

Il problema della misura

Rapporto tra lunghezze:� Errore sulla misura diretta;� Errore sulla misura indiretta;� Valutazione dell’incertezza.� Esempio misure di rapporti

nel corpo umano

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Leggenda

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o Realta`

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Il volo del …. calabrone

Gli insetti che hanno occhi composti si dirigono verso una sorgente luminosa mantenendo costante l’angolo formato dal raggio luminoso che colpisce l’occhio e dal vettore che descrive in ogni istante la direzione del moto.In dipendenza dalla posizione iniziale si possono calcolare le traiettorie. La rapidità di avvicinamento dipende dall’angolo.

Tullia Norando 33

Fuga dal mare

La nebbia è calata all’improvviso sul mare. Il nuotatore sceglie il percorso che rende minimo il massimo tempo di fuga.

Articoli di Steven R. Finch (2005)

Steven.Finch@inria.fr

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Una questione di … controllo

In un convoglio di automezzi a guida automatica, l’automezzo di testa si blocca. L’automezzo che segue sarà bloccato in tempo dal controllo automatico o si avrà un urto?