Formazione MatematicaLuisa Rossi, Paolo Teruzzi, Lorella Carimali

2Nome relatore

Il Progetto

• Obiettivo: proposta di un percorso per valutare le

competenze relative all’Asse Matematico, acquisite nel biennio

• Ambito: biennio degli istituti tecnici

• Destinatari: docenti formatori di Matematica

3Nome relatore

Le Competenze di Base

• Utilizzare tecniche e procedure del calcolo aritmetico ed algebrico in contesti reali, con eventuali rappresentazioni grafiche

• Analizzare figure geometriche del piano e dello spazio individuando invarianti e relazioni

• Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi

• Rilevare, analizzare e interpretare dati riguardanti fenomeni reali, sviluppando deduzioni e ragionamenti,fornendo adeguate rappresentazioni grafiche anche con l’ausilio di strumenti informatici

4Nome relatore

I Problemi

• Problemi di ottimizzazione: la

lattina della birra più economica

• Problemi di crescita: come

investire al meglio il proprio capitale

• Proporzionalità diretta e crescita

polinomiale: raggio e circonferenza;

aree, volumi, … andamenti grafici

• Proporzionalità inversa: tempo e

velocità a percorso costante

5Nome relatore

Strumenti e Metodi

• Algebra e Geometria: conoscenze e abilità per

sviluppare percorsi trasversali e risolvere problemi

• Leggi delle Scienze: saper identificare la legge

adeguata al problema da risolvere

• I metodi: tessuto concettuale, ragionamento logico-

deduttivo, metodo geometrico, stima del calcolo, …

• Strumenti informatici: software di calcolo e grafici,

statistiche, diagrammi

6Nome relatore

Problema 1

• Volendo produrre una lattina cilindrica, con

assegnato volume, determinarne il raggio di

base affinché sia la più economica

Quale raggio di base R ???

Unico dato: il volume V, assegnato

7Nome relatore

Problema 2

• Abbiamo guadagnato tanto! dalla produzione

di lattine ottimali ... come investire al meglio il

nostro guadagno in banca?

I dati:

1) il capitale iniziale C,

2) Il tasso di interesse i

assegnato

Bastano questi dati per conoscere il proprio capitale dopo un anno ???

8Nome relatore

Problema 3

• Grande crisi: la banca fallisce e hai perso

tutto!!! Decidi di cambiare lavoro e apri un

garden center. Hai poco spazio espositivo e

devi cercare di sfruttarlo al meglio, per avere

sempre la merce che ti viene richiesta

Come implementare al meglio la quantità di prodotti da

vendere ???

I dati:

1) Bancale di N giacinti

2) Costo per giacinto c

9Nome relatore

Problema 4

• I giacinti si esauriscono presto: ci sono molti

compratori! Bisogna ripetere la fornitura. Il Il

Il tragitto è sempre lo stesso ma non sempre si

ha voglia di correre.

I dati:

1) La lunghezza s del percorso

2) La velocità v di cammino

In quanto tempo t ritornerai con i fiori ???

10Nome relatore

Lo sviluppo: Problema 4

• Legge di proporzionalità inversa

X

kY =

Che legame intercorre tra il

tempo t e la velocità v, fissato

il percorso S da compiere? v

st =

Proporzionalità inversa

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6

X

Y

11Nome relatore

Problema 3

kXY =

Come fioraio devi vendere N

vasetti al prezzo di 3 Euro l’uno.

Quale ricavo R ?

• Legge di proporzionalità diretta

NR 3=

Proporzionalità diretta

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6

X

Y

12Nome relatore

Problema 3…puoi vendere di più!

nkXY =

Vendi vasi di primule disposte in

un quadrato con N vasi per lato al

prezzo di 4 Euro l’uno.

Quale è ora il ricavo R ?

• Crescita polinomiale

24NR =

Crescita quadratica n=2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6

XY

13Nome relatore

Problema 3… vendite in ulteriore aumento!

Oggi al mercato si comprava molto bene

e mi hanno consegnato N vassoi con NxN

giacinti. Riesco a vendere a 4 Euro al vaso.

Quanto ricavo R ?

• Crescita polinomiale

nkXY =

34NR =

Crescita polinomiale n=3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6

X

Y

14Nome relatore

Confronto di crescite polinomiali

nkXY =

Hai N giacinti su un’asse; un

vassoio quadrato con N vasi per lato di primule, un insieme di N

vassoi sovrapposti di giacinti.

Devi vendere perché non

invecchino e cedi al prezzo di un

Euro al vaso.

Confronta il ricavo R delle tre

partite?

Crescite polinomiali

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0,5 1 1,5 2 2,5

X

Y

15Nome relatore

Problema 2

• Interesse semplice: Guadagni 100 Euro (g) e hai trovato una

banca che in un anno ti concede il 100% di interesse .

gggC 2=+=

termine dell’anno avrai ….. Euro!!

Che capitale C hai dopo un anno?

• Guadagno maggiore!! Il successivo guadagno di 100 Euro lo

investi allo stesso interesse ma decidi di ritirarlo a metà anno e reinvestirlo allo stesso tasso. Cioè alla fine del sesto mese investi 150 Euro allo stesso interesse e al

200100100 =+=C

225)150(5.0)50100( =++=C

2

2

11

2

11

2

1

2

1

2

1

2

1

+=

+

+=

++

+= gggggggC

16Nome relatore

Problema 2: investimento capitale

Interesse semplice

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

t e mpo [ f r a z i oni di a nno]

n

ngC

+=

11

Guadagno maggiore

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

t e mpo [ f r a z i oni di a nno]

• Interesse composto: Ti sei accorto che questo “giochetto del

reinvestimento potresti farlo ad intervalli più brevi ...anzi quotidianamente!

C’è allora una crescita esponenziale!!!!

Interesse composto

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,5 1 1,5

t emp o [ f raz ioni d i anno ]

17Nome relatore

Problema 1

( ) { {2

area dei cerchi di base area della superficie laterale

area totale 2 2 A x x hxπ π= = +

2

2

VV hx h

xπ

π= ⇒ =

• Si tratta di un semplice problema di

ottimizzazione: la lattina più economica a parità di volume V (ad es. 0,33 cc.)

• Il costo maggiore è quello dell’alluminio del

quale la lattina è prevalentemente costituita

• Conviene dunque rendere minima la

superficie cilindrica

Fissato V, detti x il raggio della base, h l’altezza

( ) 2 2 2

VA x x

xπ= +

53.752.51.25

200

150

100

50

0

x

y

x

y

?

( ) y A x=

18Nome relatore

2/3

32

222

2

V V V

Vh x

x

π

π π π

= = = =

3330

2 7.48

V cm

h x

=

= =

Non avendo a disposizione i metodi dell’analisi matematica,

ci affidiamo ad un utilizzo ragionato di una calcolatrice tascabile e approssimiamo al meglio il valore minimo

SORPRESA: si trova che l’altezza è pari al diametro di base!

COMMENTI

La soluzione

19Nome relatore

….e le volpi? Perché?

20Nome relatore

….e le volpi? Perché?

21Nome relatore

1. Quali competenze, quali conoscenze

Utilizzare tecniche e procedure del calcolo aritmetico ed algebrico, forma grafica

Abilità� Comprendere il significato di potenza; calcolare potenze e applicarne le proprietà� Risolvere brevi espressioni nei diversi insiemi numerici � Risolvere sequenze di operazioni e problemi sostituendo alle variabili letterali i valori

numerici.� Semplificare espressioni letterali .� Comprendere il significato logico-operativo di rapporto e grandezza derivata� Impostare uguaglianze di rapporti per risolvere problemi di proporzionalità� Risolvere problemi utilizzando equazioni di primo grado e verificare la correttezza dei

procedimenti utilizzati e l’attendibilità dei risultati ottenuti� Rappresentare graficamente equazioni di primo grado e di secondo grado� Individuare la necessità di utilizzo di un’equazione di grado superiore al primo.

Conoscenze� Gli insiemi numerici N, Z, Q, R ; rappresentazioni, operazioni, ordinamento.� Espressioni algebriche, principali operazioni : monomi, polinomi, prodotti notevoli,

scomposizioni e frazioni algebriche .� Equazioni e intere e frazionarie di primo e secondo grado .

22Nome relatore

2. Quali competenze, quali conoscenze

Confrontare ed analizzare figure geometriche, invarianti e relazioni

Abilità� Riconoscere i principali enti, figure e luoghi geometrici� Individuare le proprietà essenziali delle figure e delle trasformazioni, riconoscerle in

situazioni concrete� Disegnare figure geometriche con semplici tecniche grafiche e operative� In casi reali di facile leggibilità risolvere problemi di tipo geometrico, e ripercorrerne le

procedure di soluzione� Visualizzare gli oggetti geometrici nello spazio e risolvere semplici problemi quantitativi� Utilizzare lo strumento algebrico come linguaggio per rappresentare formalmente gli

oggetti della geometria elementare e passare da una rappresentazione ad un'altra in modo consapevole e motivato.

� Realizzare costruzioni geometriche elementari utilizzando strumenti diversi (riga e compasso, software di geometria,…)

� Comprendere i principali passaggi logici di una dimostrazione (catene deduttive)� Dimostrare semplici teoremi

Conoscenze� Gli enti fondamentali della geometria� Il piano euclideo: poligoni e loro proprietà� Le isometrie nel piano: simmetrie, rotazioni, traslazioni� Perimetro ed area dei poligoni � Il metodo delle coordinate: il piano cartesiano

23Nome relatore

3. Quali competenze, quali conoscenze

Individuare le strategie appropriate per la soluzione di problemi

Abilità� Progettare un percorso risolutivo strutturato in tappe� Formalizzare il percorso di soluzione di un problema attraverso modelli

algebrici e grafici� Riconoscimento di grandezze e variabili matematiche in un problema

complesso di vita quotidiana� Tradurre dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico e viceversa� Riconoscere situazioni problematiche e fenomeni diversi riconducibili a

uno stesso modello matematico

Conoscenze� Le fasi risolutive di un problema e loro rappresentazioni con diagrammi� Tecniche risolutive di un problema che utilizzano frazioni, proporzioni,

percentuali, formule geometriche, equazioni e disequazioni di primo grado ed equazioni di secondo grado.

24Nome relatore

4. Quali competenze, quali conoscenze

Analizzare dati e interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l’ausilio di rappresentazioni grafiche, usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico

Abilità• Raccogliere, organizzare e rappresentare un insieme di dati • Rappresentare classi di dati mediante istogrammi e diagrammi• Leggere e interpretare tabelle e grafici in termini di corrispondenze fra

elementi di due insiemi • Riconoscere una relazione tra variabili, in termini di proporzionalità diretta o

inversa e formalizzarla attraverso una funzione matematica• Rappresentare sul piano cartesiano il grafico di una funzione• Valutare l’ordine di grandezza di un risultato• Elaborare e gestire semplici calcoli attraverso un foglio elettronico

Conoscenze� Significato di analisi e organizzazione di dati numerici� Il piano cartesiano e il concetto di funzione� Funzioni di proporzionalità diretta, inversa e relativi grafici, funzione lineare� Semplici applicazioni che consentono di creare, elaborare un foglio

elettronico con le forme grafiche corrispondenti