SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE IN FISICA SANITARIA

CORSO di MODELLISTICAModulo di

ELEMENTI DI TEORIA DELL’ANALISI COMPARTIMENTALE

Sito internet: http://users.unimi.it/agiuss/modelli.html

TEL 02.50317432e-mail:

augusto.giussani@unimi.it

SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE IN FISICA SANITARIA

CORSO di MODELLISTICAModulo di

ELEMENTI DI TEORIA DELL’ANALISI COMPARTIMENTALE

Sito internet: http://users.unimi.it/agiuss/modelli.html

Teoria del traccianteIntegrale di convoluzioneAnalisi compartimentaleIdentificabilità a prioriStima dei parametri incogniti

Tecniche di minimizzazione ai minimi quadrati

Modelli di varianzaEsempi ed esercizi pratici col software

SAAMII(Forcing functions, fit

bayesiano….)Analisi di sensibilità.Metodi per la raccolta di dati sperimentali.

ARGOMENTI

SISTEMA IN STATO STAZIONARIO COSTANTE E SENZA INPUT DALL’ESTERNO

Ipotesi: ho un solo compartimento accessibile, tutto il resto lo vedo come un unico insieme

Pool non Pool non accessibileaccessibile

Rate of appearance: Ra(t) = R10(t)+E1(t)

Rate of disappearance:

n,,2,1i0QRQRQRRtQn

ij1j

ii0

n

ij1j

ijijij0ii

n

1j0j

n

2jj11j tRtRtRd

SISTEMA IN STATO STAZIONARIO COSTANTE E SENZA INPUT DALL’ESTERNO

Ra=RdSe si vuole conoscere Ra, bisogna trovare il collegamento tra Ra e la variabile accessibile alla misura (es. concentrazione della sostanza). Questo collegamento è dato dalla relazione:

h(t) è il “kernel” (nocciolo) del sistema: dà la risposta del sistema ad uno stimolo (che è Ra). Nel caso stazionario, Ra e C sono costanti, e la relazione precedente può essere espressa come

t

d)(Ra,thtC

0dh

CRa

DETERMINAZIONE DELLA FUNZIONE h(t) UTILIZZO DEL TRACCIANTE

Condizioni che deve soddisfare il tracciante:1) Comportarsi come la sostanza da tracciare (tracee)

2) Quantità trascurabile rispetto al tracee

3) Discriminabile dal tracee per mezzo di opportune tecniche analitiche di misura (traccianti radioattivi, traccianti stabili)

Quindi: si somministra un tracciante, se ne determina la concentrazione nel compartimento accessibile (funzione risposta), si ricava h.

SOMMINISTRAZIONE IN BOLOINFUSIONE A TASSO COSTANTE

“PRIMED INFUSION”

SOMMINISTRAZIONE IN BOLO

k

1i

ti

ieAdtc

0 50 100 150 2000

5

10

15

20

25

k

1i i

iACRa

d/)t(c)t(h

0 50 100 150 2000

5

INFUSIONE A TASSO COSTANTE

k

1i

t

i

i ie1Artc

cCrRa

0 50 100 150 200

0

5

10

15

20

25

“PRIMED INFUSION”

k

1i i

ii

t

i

ik

1i

t

i

ik

1i

ti

ArAdeAre1AreAdtc iii

0ArAdk

kk

kdr

cCrRa

Equazioni della cinetica del tracciante

Siccome nello stato stazionario Rijs e Qjs sono costanti, allora l’equazione che regola la cinetica del tracciante è un’equazione lineare, QUALE CHE SIA LA DINAMICA DEL TRACEE.

tqQR

tr iis

jisji n,,2,1irrrq 0i

n

ij0j

ji

n

ij1i

iji

n,,2,1irqQR

qQR

q 0i

n

ij0j

iis

jisn

ij1i

jjs

ijsi

Non è possibile però ricavare informazioni sulle eventuali variabili di controllo (non entrano nell’equazione del tracciante).

js

ijsij Q

Rk

Equazioni della cinetica del tracciante: small signal perturbation.

L’equazione del tracciante è sempre lineare, ma in questo caso i parametri kij corrispondono alla derivata del flusso rispetto alla quantità di tracee.

jsijsj QQ

2j

ij2

2jsj

QQj

ijjsjijsij dQ

RdQQ

21

dQdR

QQRR

n

1j0i

n

0ji

QQi

jijisj

QQj

ijijss0i

iis n,,2,1iRQdQdR

RQdQdR

RRdt

QQd

isijsj

n

1j0i

n

0ji

QQi

jij

QQj

iji n,,2,1iRQ

dQdR

QdQdR

Qisijsj

jsj QQj

ijij dQ

dRk

Metodo della convoluzione: esempio del doppio tracciante.

Due compartimenti accessibili

Si vuole studiare la risposta del secondo compartimento ad un input generato nel primo

Post-administration time (min)0 100 200 300 400

0

5

10

15

20

25

Metodo della convoluzione: esempio del doppio tracciante.

Due compartimenti accessibili

Si vuole studiare la risposta del secondo compartimento ad un input generato nel primo

Post-administration time (min)0 100 200 300 400

0

5

10

15

20

25

Metodo della convoluzione: esempio del doppio tracciante.

Due compartimenti accessibili

Si vuole studiare la risposta del secondo compartimento ad un input generato nel primo

dtFBtFtBtGt

0

Metodo della convoluzione: esempio del doppio tracciante.

L’integrale di convoluzione può essere risolto facendo ricorso alle trasformate di Laplace:

)s(f)s(btFLtBLtFtBLtGL

sfsg

tFLtGLtBLsb

sfsgLtB 1

as

1eL at

baabeaeb

ab1

bsass1L

!1net

as1Le

as1L

btat1

at1n

n1at1

Metodo della convoluzione: esempio del doppio tracciante.

Nel caso in cui si preferisca non ricorrere alle trasformate di Laplace, si può effettuare una discretizzazione dell’integrale di convoluzione

0FKB2KF2B1KF1BKF0B

0F2B1F1B2F0B0F1B1F0B

0F0B

)K(G

)2(G)1(G)0(G

ttitnFtiBtnGn

0i

Tempo (minuti)

0 100 200 300 400 500

Con

cent

razi

one

in p

lasm

a (n

g M

o/m

l)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Metodo della convoluzione: calcolo della f1 con isotopi stabili.

Tempo (minuti)

0 50 100 150 200 250 300

B(t)

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0

1 dttBf