Modellistica e simulazione1 Esercitazione 3

Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1 1

Modellistica e simulazione1 Esercitazione 3

Sommario:

- Algoritmi di discretizzazione

- Taratura dei parametri di un modello


Richiami: SIMULAZIONE di un sistema dinamico

dato un sistema dinamico:

continuo discreto

calcolare il movimento delle variabili di stato e di uscita


Richiami: SIMULAZIONE di un sistema dinamico

cosa serve ?1. un sistema dinamico completamente definito 2. orizzonte di simulazione3. funzioni di ingresso u(•) definite su tutto l’orizzonte

calcolare le traiettorie delle variabili di stato e di uscita


Il caso dei sistemi DISCRETICOME FUNZIONA

- fissato un’orizzonte H (ad es. 10 istanti)

- noti i parametri che definiscono il sistema [se lineare note le matrici A, B, C, (D)]

- dato lo stato iniziale (t=0):

- definita una funzione di ingresso u(•) su tutto H:

oppure


Il caso dei sistemi DISCRETI COME FUNZIONA

calcolo iterativamente i valori di x(t) con t=1, 2, ..., H:

se il sistema è lineare

con 1,2,...,H


Esempio di un sistema discretosistema a 3 serbatoi

eq. di stato:

eq. di uscita:

parametri:

equilibrio:

se



1 2 3 ... ... 10

2 2 2 ... ... 2

2 2 2 ... ... 2

0 4 4 ... ... 4

t

stato iniziale:

ingresso:

parametri:

orizzonte: H=10

dopo due passiè all’equilibrio!!



stato iniziale:

ingresso:

parametri:

1 2 3 ... ... 10

2 3 3,5 ... ... ...

2 3 3,5 ... ... ...

0 2 3 ... ... ...

t

orizzonte: H=10

non è ancora arrivatoall’equilibrio!!


Il caso dei sistemi CONTINUI

sistema di equazioni differenziali

- dato lo stato iniziale (t=0):

- fissato un’orizzonte H (ad es. 10 istanti)

- noti i parametri che definiscono il sistema [se lineare note le matrici A, B, C, (D)]

- definita una funzione di ingresso u(•) su tutto H


Il caso dei sistemi CONTINUIsoluzione analitica


1. sistemi semplici (caso raro): integro le equazioni differenziali (soluzione analitica)

es. sistema lineare con u(•)=0: ( )dx tx t x t

dt &

0 0

1x t

x

dx adtx

(0) tx t x e

equazione del movimento


Il caso dei sistemi CONTINUImetodi di discretizzaione


2. caso generale su calcolatore: approssimo

cioè approssimo la derivata con il rapporto incrementale

diversi metodi a seconda di come viene calcolata

esplicitiimplicitia un passoa più passi


Metodo di EULERO

discretizziamo:

Es. massa-mollaMK U


Metodo di RUNGE-KUTTA



esempio monodimensionale:

........



caso bidimensionale



esempio bidimensionale: massa-molla MK U

.... continua

p1

f1


Excel

Foglio Excel


Osservazioni

1. Più il passo è piccolo: - più il metodo è preciso- maggiori sono i tempi di calcolo

2. Se il movimento calcolato è instabile:- riduco il passo- cambio metodo

Se è ancora instabile lo è strutturalmente


Modelli deterministici

Per alcuni modelli i parametri rappresentano dei coefficienti misurabili

Per altri modelli i parametri non sono misurabili ma vanno stimati

( )p t

a t

MK U


Richiami: taratura di un modello lineare

Modello:

Coefficiente di oblio

Parametri:

forma ricursiva

Dati Stima

Innovazione


Esempio: Valore medio (1)T

arat

ura

di u

n m

odel

lo li

near

e

Dati:

Modello:

Qual’è la retta orizzontale che passa più vicino a tutti i punti?


Esempio: Valore medio (2)

Dati:

Modello:

Tar

atur

a di

un

mod

ello

line

are


Esempio: Regressione lineare (1)T

arat

ura

di u

n m

odel

lo li

near

e

Dati:

Modello:

Qual’è la retta passante per l’origine che passa più vicino a tutti i punti?


Esempio: Regressione lineare (2)

Dati:

Modello:

Tar

atur

a di

un

mod

ello

line

are


Esempio: Ticino e Po (1)

B

A

C

scala di deflusso


Esempio: Ticino e Po (2)T

arat

ura

di u

n m

odel

lo n

on li

near

e

Dati:

Parametri:

Come posso calcolare la portata nel tratto A?

A

B

C

scala di deflusso

rigurgito


Esempio: Ticino e Po (3)T

arat

ura

di u

n m

odel

lo n

on li

near

e

Scomposizione:

Linearizzazione:

Modello:

Modellistica e simulazione1 Esercitazione 3

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