Scienza dei Materiali 1Scienza dei Materiali 1EsercitazioniEsercitazioni

8. Deformazione plastica, 8. Deformazione plastica, hardeninghardening & & strenghteningstrenghtening

ver. 1.3ver. 1.3

M. Leoni - 2003

Legge di Legge di SchmidtSchmidt

Direzione di slip

Normale al piano di slittamento λφ

Ao

Α

σ = F/A

τr = Fr / A

Resolved Shear Stress

La legge di Schmidt ci permette di valutare l’entità dello sforzo di taglio agente sul piano di slittamento (Resolved Shear Stress).Ricordare che lo sforzo di taglio fa muovere le dislocazioni!

M. Leoni - 2003

Legge di Legge di SchmidtSchmidt

FFrr = F = F cos(cos(λλ)) ForzaForza risoltarisolta

A = AA = A00/cos(/cos(φφ)) Area Area risoltarisolta

ττ= F= Frr/A = /A = σσ cos(cos(φφ) ) cos(cos(λλ) resolved shear stress ) resolved shear stress nellanella direzionedirezione didislipslip

σσ = F/A= F/A00 = = sforzosforzo unidirezionaleunidirezionale applicatoapplicato al al cilindrocilindro

λφ

Ao

A

σ = F/A

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RicristallizzazioneRicristallizzazioneRecoveryGli sforzi residui vengono scaricati. Si formano nuovi bordi di grano (poligonizzazione) nelle regioni più deformate. Non vi è eccessiva variazione di proprietà meccaniche

RicristallizzazioneTra 0.3 Tm e 0.5 Tm si formano nuovi grani. Più alto è il coldwork, più bassa la temperatura richiesta a causa dell’elevata energia meccanica immagazzinata,

Crescita del granoI grani formati tendono a crescere riducendo la resistenza del materiale a scapito della sua duttilità (dislocazioni sbloccate)

ESERCIZIESERCIZI

M. Leoni - 2003

Ex 8.1. Ex 8.1. ResolvedResolved shearshear stressstressCalcolare lo sforzo di taglio risolto per il sistema di slittamento (111)[1 0 1] se un carico di 10 MPa è applicato in direzione [0 0 1] per una cella fcc.

Dati:

Svolgimento

piano (1 1 1) direzione [1 0 1]σ = 10 MPa lungo [0 0 1]

Schematizziamo la geometria del problema:

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Ex 8.1. Resolved shear stressEx 8.1. Resolved shear stressPer risolvere il problema dobbiamo individuare gli angoli tra la direzione dello sforzo e la direzione di slittamento (λ) e l’angolo tra la direzione di applicazione dello sforzo e la normale al piano di slittamento (φ).

La direzione [1 0 1] corrisponde ad una diagonale della faccia del cubo e quindi λ = 45°:

[1 0 0]

[0 0 1]

[1 0 1]λ

σ

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Ex 8.1. Resolved shear stressEx 8.1. Resolved shear stressIl piano (1 1 1) in un reticolo cubico ha come normale la direzione [1 1 1]. L’angolo φ tra la normale al piano di slittamento e la direzione di applicazione del carico è quindi:

[0 0 1]σ

φ[1 1 1]

[1 1 0]0 2a

0a

( ) ( )arctan 2 arccos 1 3φ = = φ = 54.74°

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Ex 8.1. Resolved shear stressEx 8.1. Resolved shear stressApplichiamo la formula per lo sforzo di taglio risolto ed otteniamo:

( ) ( )cos cosτ σ φ λ= ⋅

Risultato: τ = 4.08 MPa

Il tutto può essere calcolato molto facilmente in questo caso osservando che, per ambedue gli angoli, può essere trovata un’espressione in termini di arccos:

( ) ( )

1 1arccos arccos

2 3

cos cos6

λ φ

στ σ φ λ

= =

= ⋅ ⋅ =

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Ex 8.2. CRSSEx 8.2. CRSSCalcolare lo sforzo di taglio critico risolto (Critical Resolved Shear Stress o CRSS) nel caso in cui λ=70° e φ=30° considerando che lo slittamento inizi ad uno sforzo di 50 MPa.

Svolgimento

Calcoliamo lo sforzo di taglio risolto

Dati: λ = 70° φ = 30°σ = 50 MPa

( ) ( )cos cosτ σ φ λ= ⋅ ⋅

Visto che il carico dato è quello che provoca l’inizio dello slittamento, il valore trovato corrisponde a quello dello sforzo di taglio critico risolto.

Risultato: τ = 14.81 MPa

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Ex 8.3. Strain hardeningEx 8.3. Strain hardeningUna barra sottoposta ad una prova meccanica di trazione mostra:• diametro 1.25 cm e lunghezza 10.2 cm se caricata con 50 MPa• diametro 1.24 cm e lunghezza 10.7 cm se caricata con 150 MPaCalcolare il fattore di strain hardening n sapendo che la lunghezza iniziale è di 10.0 cm

Dati: d1 = 1.25 cm l1 = 10.2 cmσ1 = 50 MPad2 = 1.24 cm l2 = 10.7 cmσ2 = 150 MPal0 = 10.0 cm

Svolgimento

Per valutare il fattore di strain hardening dobbiamo dapprima trovare lo sforzo vero e la deformazione vera agente sulla barra. L’area della sezione della barra è:

2

4d

A π=

M. Leoni - 2003

Ex 8.3. Ex 8.3. StrainStrain hardeninghardening

0

lnn F lK K

A lσ ε

= ⇒ =

Ricordiamo la definizione di sforzo vero (area corrente e non area iniziale):

FA

σ =

E quello di deformazione vera (non quella ingegneristica):

0

lnll

ε

=

La relazione tra sforzo e deformazione veri, nel tratto di deformazione plastica uniforme, può essere descritta come:

ln ln lnK nσ ε= +

dove n è chiamato fattore di strain hardening. La relazione può essere opportunamente linearizzata sfruttando le proprietà dei logaritmi:

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Ex 8.3. Strain hardeningEx 8.3. Strain hardeningNoti due punti su questa retta (ricavabili dai dati del problema), possiamo ricavare intercetta e coefficienti angolare ovvero i fattori nella relazione dello strain hardening. Questo è analogo a risolvere un sistema lineare in due equazioni e due incognite. Definendo infatti:

ln ln lnA K x Bσ ε= = =

possiamo scrivere il nostro problema come:

1 21 1

1 22 2

1 1

A AnA x nB

B BA x nB

x A nB

− == + −⇒ = + = −

ovvero:( )( ) ( )

1

1 2 1 01 21 2

1 2 1 2 2 0

1

1

ln /ln lnln / ln

ln ln ln /

n

l ln

l l

K

σ σσ σσ σ

ε ε ε ε

σε

− −−

= = = − −

=

Risultato: n = 0.877 K = 1.54 GPa

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Ex 8.4. Legge di Ex 8.4. Legge di HallHall--PetchPetchLo sforzo di snervamento per un campione di alluminio puro avente una dimensione di grano media di 0.05 mm è di 36 MPa mentre per un cristallo singolo è di 25 MPa. Qual’è lo sforzo di snervamento per due campioni aventi dimensione di grano media di 0.01 mm e di 0.1 mm?

Svolgimento

Dati: d1 = 0.05 mm σy1 = 46 MPacristallo singolo σy2 = 25 MPa

Conosciamo lo sforzo di snervamento per due dimensioni di grano e quindi possiamo pensare di utilizzare la legge di Hall-Petch (ho due parametri e due equazioni).La legge di Hall-Petch lega lo sforzo di snervamento alla dimensione media di grano:

0yKd

σ σ= +

Per un cristallo singolo, la dimensione di grano può essere considerata pressoché infinita. In tal caso lo sforzo di snervamento è pari a σ0

σ0 = 25 MPa

M. Leoni - 2003

Ex 8.4. Legge di Ex 8.4. Legge di HallHall--PetchPetchNoto il valore di σ0, quello di K può essere facilmente ottenuto:

( )0yK dσ σ= −

Risultato: σ0.01 = 49.6 MPa σ0.1 = 32.8 MPa

K = 2.46 MPav mm

Le costanti della relazione di Hall-Petch appena calcolate ci permettono di valutare lo sforzo di snervamento nei due casi richiesti

0.01 0 0.01K

mmσ σ= +

0.1 00.1

Kmm

σ σ= +

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Ex 8.5. Cold workEx 8.5. Cold workCalcolare la percentuale di riduzione a freddo nella laminazione a freddo di una lamiera in lega di alluminio da uno spessore di 2 mm a 1 mm

Svolgimento

Dati: hiniziale = 2 mm hfinale = 1 mm

Il lavoro a freddo può essere valutato come variazione di spessore rispetto allo spessore iniziale (formula analoga a quella della deformazione con la differenza che in questo caso la variazione di spessore è calcolata come spessore iniziale meno spessore finale!):

% 100 iniziale finale

iniziale

h hCW

h

−=

Risultato: %CW =50 %

Questa lavorazione a freddo aumenterà le caratteristiche di resistenza del materiale.

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Ex 8.6. Cold workEx 8.6. Cold workUn pezzo in ottone subisce una riduzione del 20% tramite lavorazione a freddo fino ad uno spessore di 3 mm e viene poi ulteriormente ridotta con una seconda laminazione fino a 1 mm. Qual’è la percentuale totale di riduzione introdotta dalla lavorazione a freddo?

Svolgimento

Dati: %CWstep1 = 20% hstep1 = 3 mmhstep2 = 1 mm

Anche in questo caso sfruttiamo la definizione della percentuale di coldwork:

% 100 iniziale finale

iniziale

h hCW

h

−=

Nel primo step conosciamo %CW e hfinale. Ricaviamo quindi lo spessore iniziale della lamiera:

%1100

finaleiniziale

hh

CW=

−hiniziale = 3.75 mm

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Ex 8.6. Cold workEx 8.6. Cold workConosciamo ora lo spessore iniziale della lamiera e quello finale dopo l’ultima laminazione. La lavorazione a freddo totale sarà:

23.75% 100

3.75stepmm h

CWmm

−=

Risultato: %CW = 73.3%

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Ex 8.7. Riduzione sezioneEx 8.7. Riduzione sezioneUn provino cilindrico del diametro di 10 mm è portato a rottura in una macchina per trazione. Se il diametro del provino nella zona di strizionata è di 7 mm, qual è la strizione percentuale nel provino?

Svolgimento

Dati: diniziale = 10 mmdfinale = 7 mm

Il calcolo della strizione percentuale è analogo a quello della riduzione di spessore. Come nei problemi precedenti e nel caso in cui si abbia lavorazione a freddo, viene sostanzialmente comparata la variazione di una grandezza rispetto a quella iniziale (in modulo)

% 100 iniziale finale

iniziale

h hCW

h

−=

Calcoliamo quindi l’area della sezione dei due provini (la sezione è circolare):

% 100 iniziale finale

iniziale

A AA

A−

=

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Ex 8.7. Riduzione sezioneEx 8.7. Riduzione sezione2

4iniziale inizialeA dπ

=

Risultato: %A = 51%

2

4finale finaleA dπ

=

e la variazione percentuale in area sarà:

2 2 2

2 2% 100 100 100 100iniziale finale iniziale finale finale

iniziale iniziale iniziale

A A d d dA

A d d

− −= = = −

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Ex 8.8. RicristallizzazioneEx 8.8. RicristallizzazionePer ricristallizzare un pezzo di rame occorrono 2000 min a 100°C e 100 mina 150°C. Qual’è l’energia di attivazione del processo?Ricordare che R = 1.987 cal/mol K

Svolgimento

Dati: t1 = 2000 min T1 = 100 °Ct2 = 100 min T2 = 150 °CR= 1.987 cal/mol K

Il tempo di ricristallizzazione segue una legge tipo Arrhenius:

( ) ( )ln lnQRT Q

t Ae t ART

= ⇒ = +

Il problema potrebbe essere risolto graficamente utilizzando la forma linearizzata dell’equazione (conosciamo due punti).

Operando analiticamente, impostiamo il sistema per i due tempi e le due temperature:

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Ex 8.8. RicristallizzazioneEx 8.8. Ricristallizzazione

Al solito, sottraendo un’equazione dell’altra e sfruttando le proprietà dei logaritmi otteniamo:

( ) ( )

( ) ( )

11

22

ln ln

ln ln

Qt A

RTQ

t ART

= + = +

1

1 1

2 1 2 2 1 2

1 1 1 1ln ln

t tQQ R

t R T T t T T

−

= − ⇒ = −

Risultato: Q = 18.8 kcal/mol

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Ex 8.9. Ex 8.9. AgeAge hardeninghardeningIn una serie di esperimenti di age hardening, i primi segni di precipitazione da una soluzione sovrassatura di rame in alluminio sono stati osservati dopo 3 minuti a 102°C e dopo 3 ore a 200°C. Se si desidera che non vi sia precipitazione per 3 giorni, a che temperatura deve essere raffreddato il pezzo?

Svolgimento

Dati: t1 = 3 min T1 = 102 °C = 375.15 Kt2 = 3 h = 180 min T2 = 22 °C = 295.15 K

Siamo di fronte ad un processo di precipitazione in cui il rate di precipitazione segue una legge di tipo Arrhenius:

QRTrate Ae

−=

Il tempo dopo il quale si ha precipitazione è dato dall’inverso del rate e quindi, come per la ricristallizzazione:

QRTt Ae=

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Ex 8.9. Ex 8.9. AgeAge hardeninghardeningIndicando con B il rapporto Q/R e linearizzando l’espressione, otteniamo:

Risultato: T = 253 K cioè circa -20°C

ln lnBT

Bt Ae t A

T= ⇒ = +

I due dati forniti dal problema ci permettono di ottenere le due costanti A e B dell’espressione tipo Arrhenius:

11 1

2 1 22

2

ln ln1 1

lnln ln

Bt AT t

BB t T Tt AT

= + ⇒ = − = +

1 21 2

B BT TA t e t e

− −

= =

Note le due constanti, il processo è completamente noto. Possiamo quindi valutare la temperatura per la quale il tempo di precipitazione è di 3 giorni:

ln lnln ln

BT

B Bt Ae t A T

T t A= ⇒ = + ⇒ =

−

A = 8.25x10-7 min

B = 5667 K

FINEFINE