Riassumendo: ipotesi per OLS

1. Modello lineare

2. X e Y sono frutto di osservazioni indipendenti

3. X è di rango pieno

4. I residui hanno media = 0

5. I residui sono omoschedastici e incorrelati

6. X è non-stocastica

Neghiamo la 5:

E(’)=

E(’)=

Naturalmente è una matrice simmetrica positiva definitaAllora si può scomporre secondo i suoi autovalori/autovettori:

diagonalematriceautovalori

iautovettorC

CC

'

PARENTESI: Autovalori () e autovettori (C)

Sono la soluzione del sistema:

Il numero di soluzioni (autovalori) è pari alla dimensione della matrice

360)(

1892)4)(5()(

42

15)(

42

15:

0)(

0)(

21

2

oseIDet

IDet

IEs

IDetsesoluzione

CI

PARENTESI: Autovalori e autovettori

Abbiamo torniamo all’equazione iniziale e troviamo C

2121

2121

2

1

2

1023

06

042

15:

0)(

1'

0)(

cccc

cccc

c

cEs

IDetsesoluzione

CCvincoloilsotto

CI

Per trovare i valori di C (autovalori) dobbiamo sfruttare il vincolo:

51

51

2

13

21

216

21

21

Ccc

Ccc

IPPVcon

XYotteniamo

PPXPYcioèXY

perpesocomePusiamo

PPPC

diagonalematriceautovalori

iautovettorC

CC

212*

***

121

')(

""

''

'

Si possono utilizzare OLS sui dati trasformati !!!!

YXXXb

PYPXPXPXYXXXb

OLS

iautovettorC

CC

11*

1**1***

')'(

'')''(')'(

:

'

Stimatore GLS

Un esempio numerico OLS:

y x x'

20 1 10 1 1 1

30 1 0 10 0 5

40 1 5

OLS

X'X (X'X)-1 X'Y B

3 15 0,83 -0,10 90 35

15 125 -0,10 0,02 400 -1

Un esempio numerico GLS_1:

y x x'

20 1 10 1 1 1

30 1 0 10 0 5

40 1 5

() 1

0,5 0 0 2 0 0

0 0,2 0 0 5 0

0 0 0,3 0 0 3,333

GLS

X'() 1 (X'()-1X)

2 5 3,333 10,33 36,67

20 0 16,67 36,67 283,3

(X'()-1X)-1 X'()-1Y B

0,18 -0,02 323,3 33,16

-0,02 0,01 1067 -0,53

112

11

)'()(

)(

')'(

XXBV

BE

YXXXB

nota

GLS

oRiassumend

NB. Non esiste un corrispondente dellindice di Determinazione Lineare

la funzione minimizzata e le sue statistiche riguarda gli * non gli

Che il modello “pesato” abbia un buon adattamento, poco dice su quello originale

Caso di non noto, stima FGLS

Cioè va stimata, con non pochi problemi:

, in generale, ha n(n+1)/2 parametri, ovviamente non è possibile stimarlaDirettamente a partire da n osservazioni

Dobbiamo imporre qualche restrizione, cioè ipotizzare che dipenda daun numero (ristretto) di parametri, cioè che sia esprimibile nella forma

= ()

Cioè dobbiamo ipotizzare un modello per la Var-Covar del fenomeno

Determinata la forma della non noto, la stima FGLS consiste in processo iterativo

Con i seguenti passi:

aconvergenzafinoripeti

conGLSbstima

parametrodelstimamediantestima

MLEoppureOLSignorandobstima

3,2

ˆ:3

ˆ:2

)(:1

NB!! Solo MLE garantisce la convergenza,

alcune strutture di non sono “trattabili” partendo da OLS

Alcuni esempi di modelli di VAR-COVAR

Diversa per ogniEffetto fisso

costante ogniEffetto fisso

Max eterogeneità

Max eterogeneitàA bande

AutoregressivoOrdine 1

Moving averageOrdine q-1

Moving averageOrdine 2

Correlazione spazialeF(distanza)

AR(1)eterogeneo

Simmetricoeterogeneo

fattorialeeterogeneo