O

P

r s

semiretta di riferimento

Primi elementi di cinematica rotazionale 

Per descrivere il moto di rotazione possiamo definire delle grandezze angolari del tutto analoghe alla posizione, alla velocità ed all’accelerazione proposte nel caso del moto lungo una retta. 

Posizione angolare  : 

  fissata una semiretta di riferimento, con centro in O, la posizione angolare del punto materiale P è definita come l’angolo   che la semiretta di riferimento forma con la semiretta, sempre di origine O, passante per P. 

                             

  Convenzionalmente porremo:  >0 se la rotazione è antioraria rispetto alla   

        linea di riferimento <0 se la rotazione è oraria rispetto alla linea 

        di riferimento          

 

Poiché, in radianti:  ⇒=ϑrs

       ϑrs =  

Velocità angolare ω: 

   tm Δ

Δ=

ϑω                ;               tt Δ

Δ=

→Δ

ϑω0

lim  

           ω>0 per rotazioni antiorarie,            ω<0 per rotazioni orarie.   

Accelerazione angolare  : 

   tm Δ

Δ=

ωα                ;                tt Δ

Δ=

→Δ

ωα0

lim  

 è una quantità algebrica ed il suo segno dipende dal segno di Δω=ω‐ωo  

Se il sistema gode di accelerazione angolare costante: 

    costante0

=−−

=ΔΔ

=tt

oωωωα  e quindi: 

    to ⋅+= αωω            (analoga di   v=vo+at) 

 

 

 

at

a c

a

In generale le equazioni della velocità angolare e dello spostamento angolare si possono ottenere dalle analoghe del moto lineare soltanto sostituendo v con ω ed a con  , dunque: 

( )ooo

oooo

oo

savvda

tttatvssda

ttavvda

ϑϑαωω

αωϑϑ

αωω

−+=⇒Δ+=

++=⇒++=

+=⇒+=

2221

21

2222

22  

 

Relazioni tra grandezze lineari e grandezze rotazionali: 

  ⇒==T

maT

rv πωπ 22 rv ω=  

  ⇒=⇒=rra

rva cc

222 ω           rac

2ω=  

Se ω varia si ha, oltre ad una componente centripeta dell’accelerazione, anche una componente tangenziale dell’accelerazione stessa. Per determinare at, si osservi che: 

  da  ⇒ΔΔ

=ΔΔ

⇒Δ=Δ⇒=t

rtv

rvrv ttt

ωωω αrat =  

Riepilogando     

αωra

ra

t

c

== 2

 

 

Dalle due precedenti, relativamente al modulo:  

               φ 

     

        t

ctc a

aarctgconaaa =Φ+= 22  

 

 

 

 

r

r

r

 

Il moto di rotolamento 

Tale moto risulta combinazione di un moto rotatorio con uno traslatorio. 

Si pensi ad una ruota. 

Se il moto fosse di pura rotazione: 

                          v=ωr 

        

v=ωr  

 

Se il moto fosse di pura traslazione: 

              v=ωr                                                                                                                                                                                                                  v=ωr                                                                                                                                 v=ωr 

Dalla composizione dei due moti: 

                           v=2ωr                                                        v=ωr                                                                                                                                                                                                                                         v=0 

Dunque nella ruota che rotola senza alcuno slittamento, il punto a contatto col suolo è istantaneamente fermo. L’asse della ruota si muove in avanti con velocità v=ωr e il punto più in alto si muove in avanti con velocità doppia v=2ωr.