8/12/2019 Relativit

1/16

I problemi della relativit classica

Nella relativit galileiana, le grandezze che

dipendonodal sistema di riferimento, cio

hanno valori diversi se misurate in

riferimenti in moto uniforme l'uno rispettoall'altro sono la velocite di conseguenza lo

spazio percorsoe l'energia cineticache

dipendono alla velocit. L'invarianza di

forza, massaed accelerazioneporta alla

conclusione che le leggi della meccanica

siano le stessein ogni riferimento inerziale.

Ai tempi di Galileo, l'invarianza del tempo

sembrava cos ovvia da non essere

nemmeno presa in considerazione.

l 1905 l'anno di pubblicazione della

Teoria della relativit specialediAlbert

Einstein. La relativit speciale !o ristretta" si occupa solo dei sistemi di riferimento inerziali, mente

la relativit generale tratta tutti i sistemi di riferimento. #icordiamo che un sistema di riferimento

inerziale uno in cui valgono le leggi della dinamica !e in particolare il principio di inerzia$ se un

corpo immobile o in moto rettilineo uniforme, su di esso agisce unaforza risultante nulla". %na

volta scelto un sistema inerziale, ogni altro riferimento in moto uniforme rispetto ad esso

inerziale. Alla fine dell'&ttocento, la fisica sembrava ormai un capitolo chiuso. a una parte la

meccanica di Ne(ton era sintetizzata in tre leggi fondamentali, dall'altra l'elettromagnetismo

poggiava le sue basi sulle )uattro e)uazioni di *a+(ell. fenomeni termici facevano parte, con la

termodinamica, del campo della meccanica e )uelli luminosi del campo dell'elettromagnetismo. Le

forze fondamentali della natura erano di due tipi$ forzegravitazionalie forze elettromagnetiche.ualche fenomeno per- non rientrava nello

schema generale ed inoltre il grande

edificio della fisica classica presentava

)ualche contraddizione$ uno dei problemi

pi importanti era )uello della

propagazione della luce. La velocit di

propagazione delle onde meccaniche

sempre riferita ad un mezzo di

propagazionee *a+(ell pensava che le

onde elettromagnetiche avessero una

velocit crispetto all'etere. L'etere avrebbedovuto essere il mezzo chepermetteva la

propagazione di onde elettromagnetiche.

uesto fluido avrebbe dovuto penetrare

ogni cosa ed estendersi in ogni dove, nello

spazio interplanetario e nello spazio interstellare. moti di tutti i corpi celesti sarebbero avvenuti

nell'etere che non opponeva alcuna resistenza ed era completamente trasparente alla luce.Non c'era

per alcun metodo sperimentale che potesse provare la effettiva presenza dell'etere. /i prov- a

misurare !esperienza di Michelson Morley" il cosiddetto vento d'eterestudiando la propagazione

della luce in diverse direzioni e in diverse stagioni !se la 0erra ruota intorno al /ole attraversando un

mare d'etere, la sua velocit rispetto all'etere avrebbe dovuto cambiare direzione durante il periodo

di rivoluzione", ma non si rivel- nessuna differenza significativa tra le diverse misure.La velocit

della luce era sempre la stessa in ogni riferimento, come se essa fosse sempre riferita all'ipotetico

etere. l riferimento dell'etere sembrava assumere un ruolo di riferimento assoluto o privilegiato

8/12/2019 Relativit

2/16

negato dalla meccanica di Ne(ton. %n altro problema era che le e)uazioni dell'elettromagnetismo

di *a+(ell prevedono che una carica immobile crea un campo elettrostico, mentre una in moto

(una corrente) crea un campo magnetico. /embra )uindi che osservatori in sistemi di riferimento

differenti siano immersi in campi diversi e misurino di conseguenza forze di diversa natura. %n

protone si muove con velocit vparallelamente ad un filo rettilineo percorso da corrente elettrica.

La velocit del protone concorde con il verso della corrente. escrivi il fenomeno !e le forze che

agiscono" dal punto di vista del laboratorio e dal punto di vista del protone.

Riferimento inerziale del laboratorio$ 1er un osservatore solidale al laboratorio il filo

conduttore in )uiete. La corrente che scorre nel filo crea un campo magneticonella zona

circostante e il protone, che viaggia nel campo magnetico, risente di una forza magnetica che

lo devia e lo attiraverso il filo.

Riferimento inerziale del protone$ 1er un osservatore solidale al protone, il protone in

)uiete e le cariche in )uiete non sono sottoposte a forze magnetiche. Nonostante )uesto

l'osservatore registra l'esistenza di unaforza attrattivache sposta il protone verso il filo

conduttore. /i deve concludere che il protone risente dell'effetto di unaforza elettrica, ma

da dove ha origine uesta forza se il filo ! complessivamente neutro"

Eventi nello spaziotempo

La teoria della relativit di 2instein si fonda su due assiomi, di cui uno il principio di relativit

enunciato da Galileo. l secondo assioma )uello che crea pi problemi al buon senso comune.

Relativit di !alileo Relativit di Einstein

"rincipio di relativit# Le leggi della meccanicasono le

stesse in tutti i riferimenti inerziali.Non esiste un

riferimento privilegiato.

$ssioma 1# Le leggi dellafisicasono

le stesse in tutti i riferimenti inerziali.

Non esiste un riferimento privilegiato.%egge di composizione delle velocit# /e un corpo ha

velocit vrispetto ad un riferimento / che si muove con

velocit &rispetto ad un altro riferimento /', allora la

velocit v'del corpo rispetto al riferimento /' $

v' ( v ) &(somma vettoriale)

$ssioma *# La velocit della luce nel

vuoto ha lo stesso valorein tutte le

direzioni e in tutti i sistemi di

riferimento inerziali

3onsideriamo # eventi storiciseparati nel

tempo e nello spazio$ la morte di $iulio

%esaree la nascita di %risto.

1er ognuno di essi possiamo individuare

una coordinata temporale!che diceuando ! avvenuto" ed una o pi

coordinate spaziali!che dicono dove !

avvenuto" in opportuni sistemi di

riferimento.

Evento+oordinata

spaziale

+oordinata

temporale

*orte di

Giulio

3esare

#omadi di *arzo,

anno 44 a 3

Nascita di3risto

5etlemme Anno 6

%sualmente gli eventi si rappresentano in un diagramma spazio&temporaledove lo spazio in

8/12/2019 Relativit

3/16

ascissa ed il tempo in ordinata. Nello spazio tridimensionale gli eventisono individuati da tre

coordinate spaziali e da una coordinata temporale$ Evento ,-. y. z. t/

/tabilisci laseparazione spazialee laseparazione temporaletra i due eventi.

1er separazione spaziale e temporale si intende rispettivamente la distanza spaziale 7s tra i luoghi in

cui avvengono gli eventi e l'intervallo temporale 7t che intercorre tra di essi. Nel caso dei due eventi

considerati si ha$Eventi s t

*orte di Giulio 3esare e nascita di 3risto distanza #oma85etlemme 44 anni

/e due eventi hannoseparazione temporale nullasi dicono simultanei. Le coordinate e le

separazioni spaziali e temporali tra gli eventi sono riferite, in genere, ad un riferimento inerziale

come la 0erra, ma le cose possono cambiare notevolmente cambiando sistema di riferimento.

3onsidera i due eventi$ 9"salita di un passeggero sul treno alla stazione di omae :" discesa del

passeggero dallo stesso treno nella stazione di ilano. ual la loro separazione spaziale; n

)uesto problema necessariodefinire ilsistema di riferimentoperch gli eventisalitae discesa

avvengono uno a #oma e l'altro a *ilano nel riferimento terrestre, ma avvengono nello stesso luogo

e cio sul treno in un riferimento solidale al treno.

#iferimento /eparazione spaziale

0erra distanza #oma8*ilano

0reno 6

n generale osservatori di riferimenti diversi assegneranno differenti separazioni spazialiagli stessi

eventi. 3ome vedremo, essi misureranno anche differentiseparazioni temporali$ due eventi

simultanei in un riferimento possono non esserlo in un altro. /pesso, nei problemi di relativit

conviene usare, per la distanzale misure luce, cio gli anni8luce, i minuti8luce e i secondi8luce e le

corrispondenti unit !anni, minuti, secondi" per il tempo. 3on )uesta scelta la velocit della luce ha

sempre valore numerico c ( 1.

imultaneit

1er approfondire il significato del tempo,

2instein affront- dapprima la definizione di

eventi simultaneie puntualizz- il fatto che

la simultaneit non si conservanel

passaggio da un riferimento ad un altro in

moto rispetto al primo$ non basta, infatti,

dire che devo osservare

contemporaneamente due eventi perdecidere che essi sono avvenuti nello stesso

istante< la luce di due stelle che arriva sulla

0erra porta generalmente con s immagini

di stelle lontane nello spazio e anche nel

tempo, con il risultato che possiamo vedere

contemporaneamenteuna stella di 966 anni

fa ed una di 96666 anni fa. l metodo

suggerito da 2instein per stabilire un criteriodi simultaneit allora )uello di mettersi a met

strada tra i due punti A e dello spazio nei )uali i due eventi hanno luogo. /e i segnali provenienti

da A e da 5 arrivano contemporaneamente all'osservatore, si pu- dedurre che i due eventi sono

simultanei, se un segnale precede l'altro significa che un evento precede l'altro nel tempo. uefulmini colpiscono i punti A e 5. /e l'osservatore & registra contemporaneamenteun segnale

luminoso proveniente da A ed uno proveniente da 5, conclude che gli eventi A e 5 sono simultanei.

8/12/2019 Relativit

4/16

La domanda che ci si pone allora$ i due fulmini simultanei nel riferimento di 2. lo sono anche

in un riferimento in moto rispetto ad 233he cosa registrerebbero i passeggeri di un aereo

superveloce in viaggio con velocit vda A verso 5;

%n passeggero &' si trova nell'aereo, a

met strada tra i due eventi A e 5. Le

posizioni A e 5 corrispondono ai punti A'e 5' sulla coda e sulla testa dell'aereo. 1er

&' l'evento A un fulmine che colpisce la

coda dell'aereo e l'evento 5 un fulmine

che colpisce la testa dell'aereo. /e la luce

avesse velocit infinita, &' sarebbe colpito

simultaneamente dai segnali provenienti

da A e 5, ma la luce si muove a velocit c

per percorrere i tratti A&' e 5&' e la

velocit della luce ! la stessa in ogni

sistema di riferimento*

Nel frattempo &' si spostato con l'aereo

verso il segnale proveniente da esi

allontana da uello proveniente da A.

2sso vedr pertanto il lampo prima del

lampo A. Nel sistema di riferimento di &'

il fulmine che colpisce la testa un evento

che precede)uello del fulmine checolpisce la coda.

/i potrebbe ripetere il ragionamento con un altro ipotetico aereo che viaggia in direzione opposta$

)uesta volta gli osservatori in esso concluderebbero che l'evento A precede l'evento 5$ in

conclusione, non solo la simultaneit non viene mantenuta, ma possibile concepiresistemi di

riferimento in cui l'ordine di successione degli avvenimenti si capovolge. 1ossiamo pensare allora a

riferimenti in cui sta avvenendo o gi avvenuto il nostro futuro; /ignifica che i legami di causa &

effetto non sono pi+ validi"uesto, come vedremo, non affatto vero$ tutto )uello che si dettosinora riferito a eventi completamente indipendenti. La teoria relativistica di 2instein non solo

salva, ma anzi rafforza il significato del rapporto di causa , effetto. /e due eventi A e 5 sono legati

da un fatto fisico in modo tale che A sia la causa e 5 l'effetto, l'evento A preceder l'evento in

ogni riferimento, anche se con diversa separazione spaziale. La simultaneit un concetto relativo,

ma la relazione di causa8effetto non lo .

2rologio a luce

ue osservatori, uno nella stazione / e l'altro su un treno superveloce /' che si muove a velocit v

rispetto alle rotaie, vogliono misurare la durata di un fenomeno fisico !cio la separazione

temporale tra due eventi", naturalmente ognuno dal suo sistema di riferimento. 2ssi utilizzano unorologio a luce, formato da due specchi piani posti parallelamente ad una distanza nota d$ un raggio

luminoso che si muove lungo l'asse degli specchi si riflette alternativamente su di essi ed il tempo

8/12/2019 Relativit

5/16

occorrente per l'andata ed il ritorno della luce sullo stesso specchio costituisce ilperiodo

dell'orologio.

l periodo dell'orologio misurato da un

osservatore in )uiete rispetto all'orologio$

06= : d > c

L'intervallo di tempo 06rappresenta la

separazione temporale tra due eventi$ la

partenzae l'arrivodel raggio luminoso

sullo specchio inferiore. 1er un

osservatore in )uiete, i due eventi hanno

separazione spaziale nulla. La

separazione temporale di due eventi con

separazione spaziale nulla si dice tempo

proprio.

1oich? sia nel riferimento /, sia nel

riferimento /' ci sono due orologi a luce

identici, i due osservatori misurano lo

stesso intervallo di tempo ognuno nel

proprio riferimento. *a cosa avviene uno

osservatore prova a fare una misura di

tempo mediante l'orologio a luce che si

sta muovendo rispetto a lui; 1er un taleosservatore, l'orologio si muove con

velocit vin direzione perpendicolare

all'asse degli specchi e )uindi la luce

percorre, tra andata e ritorno, una linea a

zig8zag di lunghezza *% maggiore di *d.

1oich? la luce ha sempre velocit c in

4ualsiasi riferimento inerziale, il

periodo 0' dell'orologio in moto allora

!per /"$

0' = : L > c @ 06

l periodo 0' misurato con l'orologio in moto maggiore del tempo proprio 06$ l'orologio in moto

batte )uindi un tempo pi lento rispetto a )uello in )uiete. /i noti che ci- ! vero per tutti e due gli

osservatori$ l'osservatore nella stazione / afferma che l'orologio sul treno pi lento, l'osservatore

nel treno /' afferma che l'orologio della stazione a rallentare n )uesta affermazione che pu-

sembrare paradossale c' tutto il significato del principio di relativit$ le leggi della fisica sono

eguali per tutti i riferimenti inerziali, nel senso che ognuno dei due osservatori afferma che

l'orologio in moto rallenta.

lperiodo propriodell'orologio a luce $

06= : d > c

l periodo dell'orologio misurato in moto $

8/12/2019 Relativit

6/16

8/12/2019 Relativit

7/16

conferma che la velocit della luce ha il carattere di velocit limite che non pu- essere mai

superata.

%a vita media dei muoni

muoni!simbolo I" sono

particelle elementari che siproducono nell'impatto dei

raggi cosmici con gli strati pi

alti dell'atmosfera. /ono una

specie di Jelettroni grassiJ,

dotati di carica negativa e di

una massa maggiore di )uella

dell'elettrone. /ono particelle

instabili$ in un tempo

brevissimo decadono

trasformandosi in un elettrone

ed un neutrino. 3ome tutte la

particelle instabili, non

decadono tutti

contemporaneamente, ma sono

caratterizzati da una vita media

K di 9.E Is nella )uale,

statisticamente, il numero di muoni si riduce della met. La vita media K misurata in )uiete ed

)uindi un tempo proprio. n un esperimento del 9F al 32#N di Ginevra, si riscontrato che la

vita media di muoni prodotti artificialmente, deflessi da campi magnetici e fatti girare a velocit

prossime a )uella della luce, ! pi+ lunga di uella dei muoni a riposo. %na conferma di )uesto fatto

strabiliante data dalla constatazione sperimentale che circa la met dei muoni prodotti negli stratialti dell'atmosferafa in tempo a raggiungere la Terra prima di decadere$ )uesta percentuale sarebbe

troppo elevata se la loro vita media fosse di soli 9,E Is.La distanza che i muoni devono percorrere

pari allo spessore dell'atmosfera !circa 9E Mm". 3alcola il tempo necessario a coprire tale distanza

per una particella che si muove con velocit prossima a )uella della luce. uesto intervallo di tempo

un tempo proprio;

ati del problema #ichieste

= 9E Mm = 9,E 96

mspessore dell'atmosfera t

tempo per raggiungere la

Terra

c = 96Hm>svelocit dei muoni rispetto alla

TerraAnche pensando che un un

muone viaggi alla velocit

della luce, il tempo necessario

t = >ced circa E6 Is. ltempo 0 non ! un tempo

proprioperch? rispetto alla

0erra la partenza e l'arrivo dei

muoni sono # eventi

spazialmente divisi. al

grafico del decadimento dei

muoni puoi constatare che gi

a o F Is, la percentuale delle

particelle ancora integre

8/12/2019 Relativit

8/16

minima. 3ome mai a 0erra si registra l'arrivo della met di essi; /ulla base della velocit !altissima"

dei muoni, il fattore di dilatazione C vale :E. i )uanto si allunga la vita media di un muone veloce;

ati del problema #ichieste

C = :E fattore di dilatazione K vita media dei muoni veloci

K6= 9,E Is vita media propria dei muoni a riposo

La vita media dei muoni veloci si calcola applicando il fattore di dilatazione dei tempi$ K = C K =F,E Is. 2ssa appena un p- minore del tempo necessario per attraversare l'atmosfera ed )uindicompatibile con i risultati sperimentali.

$ cavallo di un muone

l problema della dilatazione

della vita media dei muoni

veloci dovrebbe suscitare

)ualche comprensibile dubbio$

come sono le cose dal punto divista di un muone; mmaginate

di cavalcare un muone come se

fosse un cavallo$ in )uesto

modo siete in un sistema di

riferimentosolidale a tutti i

muoni del vostro sciame.

muoni sono )uiete rispetto a

voi e la 0erra, lontana 9E Mm,

vi viene incontro ad una

velocit pazzesca. La

collisione avverr fra circa E6Is. *a un momento &ra la

vita media dei muone in )uiete

di soli 9,E Is. 3ome si pu- spiegare il fatto che circa il E6O dei muoni riuscir a collidere con la

0erra dal momento che il cambio del sistema di riferimento non pu- cambiare i fatti oggettivi; n

effetti la dilatazione del tempo porta a risultati contraddittori se non accompagnatata da un altro

aspetto della relativit$ la contrazione di una distanza misurata in moto. La distanza di 9E Mm

dello spessore atmosferico stata misurata da Terra, cio da un riferimento in uiete rispetto

all'atmosfera. uesto significa che , con gli strumenti adatti, si preso nota della posizione

contemporanea degli estremi-1e -*dello strato di atmosfera !rispetto ad un asse + prescelto" e poi

si fatta la differenza$

%0( 8-1 -*8

La lunghezza misurata %0si dice lunghezza propriaperch? misurata in )uiete. uindi lo

spessore di 9E Mm dell'atmosfera terrestre una lunghezza propria. /ottolineiamo il fatto che gli

estremi si devono trovaresimultaneamentenelle rispettive posizioni !non devono infatti cambiare

posizione durante la misura"$ poich? la simultaneit non un fatto assoluto, ma relativo al

riferimento, e )uindi )uesto porta a pensare che anche la misura di lunghezza dipenda dal sistema

di riferimento. &ra, se siamo a cavallo di un muone, tutta l'atmosfera terrestre di cui vorremmo

misurare lo spessore, non in )uiete rispetto a noi, ma si muove a velocit prossime a uella della

luce$ la misura di una lunghezza fatta in moto non una lunghezza propria. La lunghezza di un

oggetto o di uno spazio in movimento diversa dalla misura effettuata in )uiete$ se l'oggetto simuove a velocit v, la lunghezza %!misurata nella stessa direzione di v" risulter contrattarispetto

alla lunghezza propria %0. La legge di contrazione delle lunghezze analoga a )uella di dilatazione

8/12/2019 Relativit

9/16

dei tempi$

con D = v > c

La contrazione tanto

maggiore uanto pi+ grande

! il valore del parametro / di

velocit. #iesaminiamo ora il

problema dei muoni in modo

pi completo$ dal punto di

vista dei muoni, lo spessore

dell'atmosfera risulter,

contratto di :E volte rispetto

allo spessore proprio. La

contrazione delle lunghezze

reale e validasolo per ilsistema di riferimento in cui

l'oggetto misurato ! in motos, dell'ordine di grandezza della velocit orbitale terrestre, JgrandeJ se

valutata rispetto alle ordinarie velocit cui siamo abituati, provoca una contrazione secondo

un coefficiente 1 6 < ( 0=99995. 3i- significa che un regolo lungo 9 m in un riferimento in

)uiete subisce una contrazione di appena E6 Q se misurato in moto.

4. La contrazione della lunghezza ! reale0 in uanto essa viene verificata con delle misures:" tra massa ed energia enormementesbilanciato$ ad una

piccola )uantit di massa corrisponde una grande )uantit di energia.

3alcola l'energia a riposo di un elettrone. La massa di un elettrone me= ,99 9689Mg e )uindi

l'energia a riposo corrispondente 26= mec

:

= H,E 96

894

V.

3ome si visto pi volte, il Woule non una unit di misura adatta per )uantit cos piccole. 1er

particelle microscopiche, l'unit di misura pi conveniente l'elettronvolt!9 eP = 9, 9689V" ed i

suoi multipli 8e70 e70 $e7. 3onvertendo l'energia in unit *ev, si ottiene che l'energia a riposo di

un elettrone 26= 6,E9 *eP uesto non significache massa ed energia siano proprio la stessa

cosa, ma che possono tramutarsi l'una nell'altra. Nella fisica relativistica il principio di

conservazione della massa e )uello di conservazione dell'energia non valgono separatamente$ vale il

principio di conservazione della massa&energia. Nella fisica delle particelle elementari la massa

delle particelle elementari viene fornita direttamente in *eP cio in unit di energia. 1oich in

)uesta conversione occorre usare le costanti c !velocit della luce" ed e !carica dell'elettrone" con la

maggiore precisione possibile conveniente determinare a )uanti *eP corrisponde l'unit di massaatomica u

9 u !=9, 968:FMg" corrisponde a 9,E *eP

1articelle del modello standard

particella carica !e" massa !*eP"

elettrone 89 6,E9

protone B9 H,:H

neutrone 6 ,:F

muone 89 96l protone ed il neutrone hanno una massa )uasi uguale ad una unit atomica. 2sistono particelle

dette neutriniche hanno una massa )uasi nulla, minore di : eP. 2sistono anche particelle, come la

particella K, molto pi pesanti, con masse dell'ordine dei GeP.

Energia cinetica

#iconsideriamo i risultati sperimentali ottenuti accelerando gli elettroni$

Energia fornita ,MeB/ Belocit effettiva

6,69 6,9 c

6,6: 6,:F c

6,6 6, c

8/12/2019 Relativit

16/16

6,6E 6,49 c

6,96 6,EE c

6,E6 6,H c

9,66 6,4 c

:,66 6,H c

,66 6, cL'energia fornita si trasforma in energia cinetica, ma, come abbiamo visto non possibile utilizzare

la usuale relazione classica perch non c' una proporzionalit diretta tra energia cinetica e )uadrato

della velocit. n un riferimento solidale agli elettroni, essi hanno solo energia a riposo, ma nel

sistema di riferimento del laboratorio dove gli elettroni sono in moto con velocit v = D c, anche

l'energia deve essere moltiplicata per il fattore di dilatazione

L'energia totale relativistica2 di particelle di massa m in moto con velocit v = D c vale$

2 = C m c

:

L'energia totale 2 la somma dell'energia a riposo 26e di )uella di movimento o cineticaU. /i pu-

)uindi scrivere$

2 = 26B U = m c:B U = C m c:

L'espressione dell'energia cinetica relativistica U si ottiene allora per differenza$

U = 2 8 26= !C 8 9" m c:

%tilizziamo )uesta relazione per calcolare l'energia cinetica relativistica degli elettroni in moto.

3ompletiamo la tabella precedente calcolando il fattore C per ogni valore del parametro di velocit D

e moltiplichiamo !C 8 9" per l'energia a riposo degli elettroni che 2 6= 6,E9 *eP. /i otterr

l'energia cinetica U in *eP.

Energia fornita ,MeB/ 7 C U = !C 8 9"X 6,E9 *eP

6,69 6,9 9,6: 6,69

6,6: 6,:F 9,64 6,6:

6,6 6, 9,6 6,6

6,6E 6,49 9,96 6,6E

6,96 6,EE 9,:6 6,96

6,E6 6,H 9, 6,49,66 6,4 :, 6,H

:,66 6,H E,6 :,6E

,66 6, F,6 ,99

L'energia fornita pertanto diventa energia cinetica degli elettroni. La conservazione dell'energia

salva anche nella fisica relativistica. Le particelle accelerate nei grandi acceleratori trasportano

)uindi una energia 2 = C m c:data dalla loro energia a riposo e da )uella cinetica. Nella collisione

di particelle veloci la massa si annichilisce ed al posto della massa mancante compare dell'energia

sotto forma di radiazione ofotoni. uesta energia a sua volta si ricondensa in massa dando vita a

nuove particelle.