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IL TEOREMA DI IL TEOREMA DI PITAGORAPITAGORA

Francobollo emesso dalla Grecia il 20 agosto 1955.

IL TEOREMAIL TEOREMA DI PITAGORA DI PITAGORA

LA SFIDACASI PARTICOLARI

EUCLIDE

DIMOSTRAZIONI

LA STORIA

GLI IRRAZIONALI

LEGAMI CON ALTRE DISCIPLINE

INDICEINDICE

1. 1. LA SFIDALA SFIDA• • il problema della duplicazione del il problema della duplicazione del

quadratoquadrato• errori comuni• errori comuni• soluzione del problema• soluzione del problema• un esercizio• un esercizio

2. 2. CASI PARTICOLARICASI PARTICOLARI• • un triangolo rettangolo isoscele un triangolo rettangolo isoscele • terne pitagoriche• terne pitagoriche• una verifica numerica• una verifica numerica

3. 3. IL TEOREMA DI PITAGORA NEGLI ELEIL TEOREMA DI PITAGORA NEGLI ELEMENTI DI EUCLIDEMENTI DI EUCLIDE

• • un nuovo personaggio: Euclideun nuovo personaggio: Euclide• la sua opera: gli • la sua opera: gli ElementiElementi• • libro I, prop. 47 - 48libro I, prop. 47 - 48• libro VI, prop. 31• libro VI, prop. 31

4. 4. DIMOSTRAZIONIDIMOSTRAZIONI• • cosa significa dimostrarecosa significa dimostrare• alcune dimostrazioni significative• alcune dimostrazioni significative

5. 5. LA STORIALA STORIA• le civiltà potamiche• le civiltà potamiche- Egiziani- Egiziani- Babilonesi- Babilonesi- Indiani- Indiani- Cinesi- Cinesi• Pitagora e la sua scuola• Pitagora e la sua scuola

6. 6. UN’INTRODUZIONE AI NUMERI IRRAZIONALIUN’INTRODUZIONE AI NUMERI IRRAZIONALI• • la duplicazione del quadrato e la radice quadrata la duplicazione del quadrato e la radice quadrata

di 2 di 2• costruzione della radice quadrata di • costruzione della radice quadrata di nn• aspetti naturalistici• aspetti naturalistici

7. 7. LEGAMI CON ALTRE DISCIPLINELEGAMI CON ALTRE DISCIPLINE• • educazione artisticaeducazione artistica

- origami- origami- la spirale della Sagrada Familia- la spirale della Sagrada Familia

• • educazione tecnicaeducazione tecnica““pesiamo” il teorema di Pitagorapesiamo” il teorema di Pitagora

8. 8. BIBLIOGRAFIA ED ELENCO SITIBIBLIOGRAFIA ED ELENCO SITI

CIAO, SONO PIT!CIAO, SONO PIT!Ti accompagnerò alla scoperta del Ti accompagnerò alla scoperta del

“Teorema di Pitagora”.“Teorema di Pitagora”.Un teorema è un enunciato la cui validità è assicurata da una dimostrazione rigorosa.

Quello di cui ci occuperemo riguarda la geometria e deve il suo nome ad un personaggio che conosceremo insieme: Pitagora.

Durante l’esplorazione di questo mondo affascinante, fai attenzione ai miei consigli: ti aiuteranno a scoprire i segreti nascosti di tante figure, a capire meglio quello che ti verrà spiegato e a risolvere i problemi che incontrerai!

1. LA SFIDA1. LA SFIDA

La chiave di La chiave di accesso alla accesso alla

nostra avventura nostra avventura insieme è la tua insieme è la tua voglia di metterti voglia di metterti

in gioco: in gioco: benvenuto, benvenuto,

allora, alla nostra allora, alla nostra prima sfida!prima sfida!

La sfida che ti propongo è questa: sai disegnare un quadrato che abbia

area doppia rispetto a quella di un quadrato assegnato?

Disegna un quadrato sul tuo quaderno Disegna un quadrato sul tuo quaderno e poi disegnane uno di area doppia. e poi disegnane uno di area doppia.

Se ti sembra un problema inutile...Se ti sembra un problema inutile...

… … prova a pensare di essere un sarto e di prova a pensare di essere un sarto e di aver cucito un fazzoletto che, alla fine, aver cucito un fazzoletto che, alla fine, risulta essere troppo piccolo: cosa faresti risulta essere troppo piccolo: cosa faresti se te ne commissionassero uno grande il se te ne commissionassero uno grande il doppio?doppio?

E se tu fossi un geometra e dovessi E se tu fossi un geometra e dovessi preparare un preventivo per la recinzione preparare un preventivo per la recinzione di un appezzamento di terreno quadrato, di un appezzamento di terreno quadrato, di area doppia rispetto all’ultimo di cui ti di area doppia rispetto all’ultimo di cui ti sei occupato?sei occupato?

Molti, al primo tentativo, Molti, al primo tentativo, quadruplicano il quadrato, quadruplicano il quadrato, invece di raddoppiarlo.invece di raddoppiarlo.

Altri raddoppiano l’area, ma Altri raddoppiano l’area, ma invece di disegnare un invece di disegnare un quadrato, disegnano un quadrato, disegnano un rettangolo.rettangolo.

Prova a concentrarti e ad usare Prova a concentrarti e ad usare un po’ della un po’ della fantasiafantasia che hai... che hai...

Se ci sei già riuscito… sei veramente incredibile!

Se invece hai bisogno di una mano, prova a leggere

qui sotto...

Hai provato a Hai provato a suddividere il suddividere il quadrato in altre quadrato in altre figure più piccole?figure più piccole?

Hai pensato che se il Hai pensato che se il tuo quadrato contiene tuo quadrato contiene (ad esempio) quattro (ad esempio) quattro figure uguali il suo figure uguali il suo doppio ne dovrà doppio ne dovrà contenere otto?contenere otto?

Hai provato con figure Hai provato con figure diverse… ad esempio diverse… ad esempio con dei triangoli?con dei triangoli?

Devo pensare, devo provare e riprovare…

Ma come faccio a non abbattermi?!...

Congratulazioni! Sono Congratulazioni! Sono sicuro che, a questo sicuro che, a questo punto, hai trovato la punto, hai trovato la

soluzione. soluzione.

Prova a Prova a confrontarlaconfrontarla con con quella che ho trovato io…quella che ho trovato io…

Ti propongo ora un’altra sfida: sai disegnare un quadrato che abbia area dimezzata rispetto a quella di un quadrato assegnato?

Se sei stato attento, non ti sarà difficile Se sei stato attento, non ti sarà difficile disegnare un quadrato sul tuo disegnare un quadrato sul tuo quaderno e poi disegnane uno che quaderno e poi disegnane uno che abbia area la metà.abbia area la metà.

2. CASI PARTICOLARI2. CASI PARTICOLARI

--i quadrati costruiti sui lati di un tri quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo isosceleiangolo rettangolo isoscele;;

-- le terne pitagorichele terne pitagoriche;;

--una verifica numerica un po’ più una verifica numerica un po’ più generalegenerale..

Sono sicuro che sarai molto orgoglioso di Sono sicuro che sarai molto orgoglioso di aver risolto il aver risolto il

problema della duplicazione del quadrato. . Ora vorrei solo farti notare che si può Ora vorrei solo farti notare che si può

leggere tale soluzione anche in un altro leggere tale soluzione anche in un altro modo: modo:

dato un triangolo rettangolo dato un triangolo rettangolo isoscele, isoscele,

il quadrato costruito sulla sua il quadrato costruito sulla sua ipotenusaipotenusa

è equivalente alla somma dei due è equivalente alla somma dei due quadrati costruiti sui due cateti.quadrati costruiti sui due cateti.

Ebbene: secondo te, questa proprietà Ebbene: secondo te, questa proprietà (che abbiamo verificato valere per i triangoli (che abbiamo verificato valere per i triangoli rettangoli isosceli) sarà valida anche per altri rettangoli isosceli) sarà valida anche per altri

triangoli rettangoli?triangoli rettangoli?

Prova a disegnare sul tuo Prova a disegnare sul tuo quaderno un triangolo che quaderno un triangolo che

abbia i lati di 3 cm, 4 cm e 5 abbia i lati di 3 cm, 4 cm e 5 cm.cm.

Verifica che è rettangolo e Verifica che è rettangolo e poi vedi se il quadrato poi vedi se il quadrato

costruito sulla sua ipotenusa costruito sulla sua ipotenusa è equivalente (o no) alla è equivalente (o no) alla

somma dei due costruiti sui somma dei due costruiti sui suoi cateti.suoi cateti.

Se hai fatto i calcoli giusti, dovresti aver già Se hai fatto i calcoli giusti, dovresti aver già verificato che, anche in questo caso verificato che, anche in questo caso

particolare, il quadrato costruito particolare, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei

due costruiti sui cateti.due costruiti sui cateti.

Prova a disegnare sul tuo quaderno un Prova a disegnare sul tuo quaderno un triangolo che abbia i lati di 6 cm, 8 cm e 10 triangolo che abbia i lati di 6 cm, 8 cm e 10

cm.cm.Verifica che è rettangolo e poi vedi se il Verifica che è rettangolo e poi vedi se il quadrato costruito sulla sua ipotenusa è quadrato costruito sulla sua ipotenusa è equivalente (o no) alla somma dei due equivalente (o no) alla somma dei due

costruiti sui suoi cateti.costruiti sui suoi cateti.

Ed ora, per allenarti Ed ora, per allenarti ancora un po’, prova a ancora un po’, prova a verificare cosa succede verificare cosa succede

per un triangolo che per un triangolo che abbia i lati di 5 cm, 12 abbia i lati di 5 cm, 12

cm e 13 cm.cm e 13 cm.

Ti sarai reso conto che in tutti questi Ti sarai reso conto che in tutti questi casi si ottiene un triangolo rettangolo, casi si ottiene un triangolo rettangolo,

per il quale il quadrato costruito per il quale il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla sull’ipotenusa è equivalente alla

somma dei due costruiti sui cateti.somma dei due costruiti sui cateti.

Terne di numeri naturali di questo tipo Terne di numeri naturali di questo tipo sono dettesono dette

terne pitagoricheterne pitagoriche..

In altre parole, tre numeri naturali In altre parole, tre numeri naturali aa, , bb e e cc formano una terna pitagorica se formano una terna pitagorica se

222 cba

Per ora abbiamo incontrato queste terne Per ora abbiamo incontrato queste terne pitagoriche:pitagoriche:

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13).(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13).Ce ne sono altre?Ce ne sono altre?

Che ne dici?Che ne dici?

7 24 25

Probabilmente sarai già riuscito a trovare Probabilmente sarai già riuscito a trovare tantissime terne pitagoriche. tantissime terne pitagoriche.

Se vuoi un consiglio, Se vuoi un consiglio, fermati qua: tutto il fermati qua: tutto il

tempo della tua vita non tempo della tua vita non ti basterebbe per ti basterebbe per

trovarle tutte, perché trovarle tutte, perché sono infinite…!sono infinite…!

Infatti, comunque presi due numeri naturali Infatti, comunque presi due numeri naturali xx e e y y si ha che i numerisi ha che i numeri

a = xa = x22 - y - y22

b = 2 x yb = 2 x yc = xc = x22 + y + y22

costituiscono una terna pitagorica.costituiscono una terna pitagorica.

Abbiamo allora visto che per infiniti Abbiamo allora visto che per infiniti triangoli rettangoli (tutti quelli i cui lati triangoli rettangoli (tutti quelli i cui lati

hanno le misure corrispondenti ai numeri di hanno le misure corrispondenti ai numeri di una terna pitagorica) il quadrato costruito una terna pitagorica) il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma sull’ipotenusa è equivalente alla somma

dei due costruiti sui cateti. dei due costruiti sui cateti.

Ora scopriremo, facendo qualche misura, Ora scopriremo, facendo qualche misura, che i triangoli rettangoli per cui vale questa che i triangoli rettangoli per cui vale questa

proprietà sono… ancora di più!proprietà sono… ancora di più!

Ebbene, anche se abbiamo visto che per Ebbene, anche se abbiamo visto che per infinitiinfiniti triangoli rettangoli il quadrato triangoli rettangoli il quadrato

costruito sull’ipotenusa è equivalente alla costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma di quelli costruiti sui cateti, nulla ci somma di quelli costruiti sui cateti, nulla ci permette ancora di dire che ciò avviene per permette ancora di dire che ciò avviene per

tuttitutti i triangoli rettangoli. i triangoli rettangoli.

Sarà così o non sarà così?Sarà così o non sarà così?

Chi ce lo assicura?Chi ce lo assicura?

È quello che vedremo insieme, se hai la È quello che vedremo insieme, se hai la pazienza e la voglia di continuare questo pazienza e la voglia di continuare questo

viaggio con me!viaggio con me!

3. IL TEOREMA DI 3. IL TEOREMA DI PITAGORA...PITAGORA...

… … PRESENTATO PRESENTATO DA EUCLIDE!DA EUCLIDE!

Avete idea di chi possa essere? Avete idea di chi possa essere? Provate a pensare, forse lo avete già Provate a pensare, forse lo avete già

incontrato…incontrato………vi dicono niente le parole assiomi, vi dicono niente le parole assiomi,

nozioni comuni, Elementi…?nozioni comuni, Elementi…?Adesso dovreste proprio avere capito Adesso dovreste proprio avere capito

di chi stiamo parlando!di chi stiamo parlando!Si tratta di Euclide! Si tratta di Euclide!

Incontriamo adesso un Incontriamo adesso un nuovo personaggio, che ci nuovo personaggio, che ci illustrerà illustrerà come ha dimostrato il come ha dimostrato il nostro ormai noto teorema nostro ormai noto teorema di Pitagora.di Pitagora.

Euclide è l’autore del trattato di Euclide è l’autore del trattato di geometria più diffuso nel mondo; ciò geometria più diffuso nel mondo; ciò nonostante sono pochissime le nonostante sono pochissime le informazioni che possediamo circa la informazioni che possediamo circa la sua vita.sua vita.Secondo quanto si legge nel Secondo quanto si legge nel Commentario al primo Commentario al primo libro degli Elementilibro degli Elementi di Proclo (V sec. d.C.), Euclide è di Proclo (V sec. d.C.), Euclide è vissuto tra il IV e il III secolo a.C. ad Alessandria, in vissuto tra il IV e il III secolo a.C. ad Alessandria, in Egitto, e appartiene a quel periodo che è noto come Egitto, e appartiene a quel periodo che è noto come età aurea della matematica greca.età aurea della matematica greca.Dopo aver ricevuto la sua formazione ad Atene, Dopo aver ricevuto la sua formazione ad Atene, presso la scuola di Platone, viene chiamato ad presso la scuola di Platone, viene chiamato ad Alessandria, maggior centro culturale dell’antichità, Alessandria, maggior centro culturale dell’antichità, per insegnare matematica. per insegnare matematica.

EUCLIDEEUCLIDE

IV - III sec. a.C. IV - III sec. a.C.

Di questo periodo, si narrano due aneddoti che ci Di questo periodo, si narrano due aneddoti che ci forniscono qualche notizia sul temperamento di forniscono qualche notizia sul temperamento di questo personaggio.questo personaggio.

Alla richiesta del sovrano Tolomeo di fornirgli una Alla richiesta del sovrano Tolomeo di fornirgli una facile introduzione alla geometria, Euclide risponde facile introduzione alla geometria, Euclide risponde che non esistono vie regie che portano a tale che non esistono vie regie che portano a tale disciplina.disciplina.

In un’altra occasione, ad una alunno che chiede In un’altra occasione, ad una alunno che chiede quali vantaggi si possono trarre dallo studio della quali vantaggi si possono trarre dallo studio della geometria, Euclide fa dare, da un suo servo, una geometria, Euclide fa dare, da un suo servo, una moneta per sottolineare che l’allievo ha bisogno di moneta per sottolineare che l’allievo ha bisogno di trarre un vantaggio pratico da ciò che impara e poi trarre un vantaggio pratico da ciò che impara e poi lo caccia via.lo caccia via.

Ad Alessandria Euclide scrive gli Ad Alessandria Euclide scrive gli ElementiElementi, che , che diventeranno l’opera matematica più nota e diventeranno l’opera matematica più nota e conosciuta, tanto da essere il testo più tradotto conosciuta, tanto da essere il testo più tradotto dopo la Bibbia.dopo la Bibbia.Si tratta di un manuale introduttivo allo studio Si tratta di un manuale introduttivo allo studio della matematica, costituito da 13 libri che della matematica, costituito da 13 libri che trattano rispettivamente di:trattano rispettivamente di:• libri I - VI: geometria piana;libri I - VI: geometria piana;• libri VII - IX: teoria dei libri VII - IX: teoria dei numeri;numeri;• libro X: le grandezze libro X: le grandezze

incommensurabili;incommensurabili;• libri XI - XIII: geometria libri XI - XIII: geometria solida.solida.Il Teorema di Pitagora viene enunciato e Il Teorema di Pitagora viene enunciato e dimostrato nella dimostrato nella proposizione 47 alla fine del libro I.

A testimonianza delle A testimonianza delle numerosissime numerosissime traduzioni degli traduzioni degli ElementiElementi in svariate in svariate lingue, voglio lingue, voglio mostrarti questa mostrarti questa immagine che illustra immagine che illustra la prima proposizione la prima proposizione del primo libro degli del primo libro degli ElementiElementi di Euclide, di Euclide, tradotti in cinese nei tradotti in cinese nei primi anni del XVII primi anni del XVII secolo dal gesuita secolo dal gesuita Matteo Ricci.Matteo Ricci.

Un’altra edizione Un’altra edizione molto interessante molto interessante degli degli ElementiElementi è è questa questa versione in lingua inglese a colori, dovuta a Oliver Byrne, che , che risale al 1847. risale al 1847.

Ti mostro ora le Ti mostro ora le proposizioni degli proposizioni degli ElementiElementi che che riguardano il teorema riguardano il teorema di Pitagora. Le cito di Pitagora. Le cito dalla edizione in dalla edizione in italiano dell’UTET italiano dell’UTET curata da Attilio curata da Attilio Frajese e Lamberto Frajese e Lamberto Maccioni.Maccioni.

Libro I, proposizione 47Libro I, proposizione 47

Nei triangoli rettangoli il quadrato Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è del lato opposto all’angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.lati che comprendono l’angolo retto.

Con la proposizione 48 del libro I, Euclide Con la proposizione 48 del libro I, Euclide risponde a questo problema:risponde a questo problema:

dato un triangolo e costruiti i quadrati sui dato un triangolo e costruiti i quadrati sui suoi lati, se la somma di due dei quadrati è suoi lati, se la somma di due dei quadrati è

uguale al terzo, possiamo affermare con uguale al terzo, possiamo affermare con certezza che il triangolo è rettangolo?certezza che il triangolo è rettangolo?

??

Libro I, proposizione 48Libro I, proposizione 48

Se in un triangolo il quadrato di uno Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei dei lati è uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti due lati del quadrati dei rimanenti due lati del triangolo, l’angolo che è compreso dai triangolo, l’angolo che è compreso dai due rimanenti lati del triangolo è retto.due rimanenti lati del triangolo è retto.

Con la proposizione 31 del libro VI, Euclide Con la proposizione 31 del libro VI, Euclide risponde a questo problema:risponde a questo problema:

sui lati del triangolo rettangolo, devo sui lati del triangolo rettangolo, devo costruire proprio dei quadrati? Il teorema costruire proprio dei quadrati? Il teorema

non vale se non vale se costruisco altre figure?costruisco altre figure?

??

Libro VI, proposizione 31Libro VI, proposizione 31

Nei triangoli rettangoli la figura Nei triangoli rettangoli la figura descritta sul lato opposto all’angolo descritta sul lato opposto all’angolo retto è uguale alla somma delle retto è uguale alla somma delle figure simili e similmente descritte sui figure simili e similmente descritte sui lati che comprendono l’angolo retto.lati che comprendono l’angolo retto.

Cliccando su queste immagini puoi Cliccando su queste immagini puoi verificare quanto Euclide dice nella verificare quanto Euclide dice nella proposizione 31proposizione 31 per due casi per due casi particolari.particolari.

4. IL TEOREMA DI 4. IL TEOREMA DI PITAGORA? PITAGORA?

DIMOSTRAMELO!DIMOSTRAMELO!

Fin da prima di Euclide, i Fin da prima di Euclide, i matematici non si sono matematici non si sono

accontentati di accorgersi di accontentati di accorgersi di alcune proprietà dei numeri e alcune proprietà dei numeri e

delle figure geometriche, bensì delle figure geometriche, bensì hanno sentito l’esigenza di hanno sentito l’esigenza di

dimostrarle.dimostrarle.

Ma cosa vuol dire Ma cosa vuol dire dimostraredimostrare??

Prova a pensare con i tuoi compagni al Prova a pensare con i tuoi compagni al significato di questo verbo.significato di questo verbo.

Non si tratta di vedere chi per primo Non si tratta di vedere chi per primo indovina la definizione esatta, ma di indovina la definizione esatta, ma di

provare insieme a provare insieme a riflettereriflettere sui sui diversidiversi modi modi e sulle diverse occasioni in cui ciascuno di e sulle diverse occasioni in cui ciascuno di voi ha usato, sentito o letto questa parola.voi ha usato, sentito o letto questa parola.

Datevi tempo e Datevi tempo e scrivete su un foglio scrivete su un foglio di carta le cose che di carta le cose che

vi vengono in mente.vi vengono in mente.

Ora provate a cercare su un vocabolario Ora provate a cercare su un vocabolario della lingua italiana i significati di questa della lingua italiana i significati di questa

parola e confrontateli con quelli che parola e confrontateli con quelli che avevate trovato voi. avevate trovato voi.

Io, sul Vocabolario della lingua italiana di Io, sul Vocabolario della lingua italiana di Nicola Zingarelli edito da Zanichelli, ho trovato Nicola Zingarelli edito da Zanichelli, ho trovato

questi significati:questi significati:

1) mostrare o manifestare apertamente uno 1) mostrare o manifestare apertamente uno stato, una qualità, un sentimento e sim., con stato, una qualità, un sentimento e sim., con fatti, parole, segni esteriori;fatti, parole, segni esteriori;

2) provare la verità di un enunciato, di una tesi, 2) provare la verità di un enunciato, di una tesi, di una dottrina e sim. fornendo le necessarie di una dottrina e sim. fornendo le necessarie prove;prove;

3) spiegare, insegnare, far vedere;3) spiegare, insegnare, far vedere;

4) scoprire;4) scoprire;

5) prendere parte ad una dimostrazione 5) prendere parte ad una dimostrazione pubblica.pubblica.

Nessuno di questi significati è quello a cui Nessuno di questi significati è quello a cui pensano i matematici quando parlano di pensano i matematici quando parlano di

dimostrazioni. dimostrazioni. È vero però che alcune parole usate dal È vero però che alcune parole usate dal

vocabolario possono esserci utili per vocabolario possono esserci utili per avvicinarci al significato specifico che avvicinarci al significato specifico che

vogliamo dare a questo verbo. vogliamo dare a questo verbo. Probabilmente alcune di queste parole chiave Probabilmente alcune di queste parole chiave si trovano anche tra le definizioni o i sinonimi si trovano anche tra le definizioni o i sinonimi

che avete dato voi:che avete dato voi:• mostrare - manifestare - far vedere;mostrare - manifestare - far vedere;•provare - prove;provare - prove;

• scoprire;scoprire;• insegnare - spiegare;insegnare - spiegare;

• apertamente - con segni esteriori.apertamente - con segni esteriori.

L’idea di “mostrare” è importante: ci dice che una L’idea di “mostrare” è importante: ci dice che una dimostrazione deve essere chiaramente dimostrazione deve essere chiaramente

comprensibile a chi la fa e a chiunque la legga. comprensibile a chi la fa e a chiunque la legga.

Anche quando si fa riferimento ai “segni esteriori” si Anche quando si fa riferimento ai “segni esteriori” si intende dare importanza al fatto che una intende dare importanza al fatto che una

dimostrazione deve essere comunicabile: non può dimostrazione deve essere comunicabile: non può essere qualcosa che abbiamo solo in mente o solo essere qualcosa che abbiamo solo in mente o solo

nel cuore.nel cuore.

Quando si parla di “prove” si sottolinea il fatto che Quando si parla di “prove” si sottolinea il fatto che una dimostrazione deve essere convincente, non una dimostrazione deve essere convincente, non

deve lasciare spazio a dubbi o perplessità.deve lasciare spazio a dubbi o perplessità.

Infine le dimostrazioni ci rendono sicuri delle nostre Infine le dimostrazioni ci rendono sicuri delle nostre scoperte e ci permettono di insegnarle anche agli scoperte e ci permettono di insegnarle anche agli

altri.altri.

Per i matematici dimostrare significa Per i matematici dimostrare significa passare da certe premesse accettate, che passare da certe premesse accettate, che

chiamiamo chiamiamo ipotesiipotesi, a una proposizione, che , a una proposizione, che chiamiamo chiamiamo tesitesi, attraverso una sequenza , attraverso una sequenza

finita di ragionamenti logici. finita di ragionamenti logici.

L’ipotesi, la tesi e la L’ipotesi, la tesi e la dimostrazione costruita da dimostrazione costruita da

un matematico per un matematico per passare dalla prima alla passare dalla prima alla

seconda costituiscono un seconda costituiscono un teoremateorema. .

Vediamo ora qual è l’ipotesi e qual è la tesi Vediamo ora qual è l’ipotesi e qual è la tesi del teorema di Pitagoradel teorema di Pitagora

( (proposizione 47 del libro I di Euclide).

Successivamente vedremo tanti diversi Successivamente vedremo tanti diversi modi di dimostrarlo. Anzi: prima di guardare modi di dimostrarlo. Anzi: prima di guardare le dimostrazioni che ti propongo io, datti da le dimostrazioni che ti propongo io, datti da

fare per fare per inventarneinventarne una tu! una tu!Ipotesi: Ipotesi: ABC è un triangolo ABC è un triangolo

rettangolo, retto in Arettangolo, retto in A..

Tesi: Tesi: il quadrato costruito il quadrato costruito sull’ipotenusa BC è sull’ipotenusa BC è

equivalente alla somma di equivalente alla somma di quelli costruiti sui cateti AB quelli costruiti sui cateti AB

e ACe AC..

Abbiamo analizzato insieme la Abbiamo analizzato insieme la proposizione 47 evidenziando ipotesi e tesi.evidenziando ipotesi e tesi.

Prova a fare lo stesso con la Prova a fare lo stesso con la proposizione 48..

Quali analogie puoi Quali analogie puoi trovare?trovare?

Prova a confrontare Prova a confrontare l’ipotesil’ipotesidell’uno con la tesi dell’uno con la tesi dell’altrodell’altroe viceversa...e viceversa...

Avrai certamente notato che l’ipotesi Avrai certamente notato che l’ipotesi della proposizione 47 corrisponde della proposizione 47 corrisponde

alla tesi della 48 e l’ipotesi della 48 alla tesi della 48 e l’ipotesi della 48 alla tesi della 47.alla tesi della 47.

Non è uno scioglilingua!Non è uno scioglilingua!Se in questo modo ti ho confuso le Se in questo modo ti ho confuso le idee, chiariscitele con il seguente idee, chiariscitele con il seguente

schema:schema:ABC è un triangolo rettangolo in ABC è un triangolo rettangolo in AA

Il quadrato costruito su BC è Il quadrato costruito su BC è equivalente alla somma di quelli equivalente alla somma di quelli

costruiti su AB e AC.costruiti su AB e AC.

4747 4848

Proposizioni come la 47 e la 48 del I Proposizioni come la 47 e la 48 del I libro degli libro degli ElementiElementi si dice che sono si dice che sono

l’una l’l’una l’inversa inversa dell’altra.dell’altra.

Una dimostrazione… Una dimostrazione… mobile!mobile!

La dimostrazione che La dimostrazione che ti propongo ora è ti propongo ora è una variazione di una variazione di quella originale di quella originale di Euclide, che puoi Euclide, che puoi

trovare alla trovare alla proposizione 47 del proposizione 47 del libro I degli Elementi. libro I degli Elementi.

Clicca su questa Clicca su questa icona e… vedrai!icona e… vedrai!

Una dimostrazione Una dimostrazione che sfrutta le che sfrutta le similitudini.similitudini.

La dimostrazione che puoi La dimostrazione che puoi vedere da qui richiede vedere da qui richiede

che ti siano noti i criteri di che ti siano noti i criteri di similitudine dei triangoli e similitudine dei triangoli e

le loro conseguenze. le loro conseguenze. Euclide affronta questi Euclide affronta questi temi nel libro VI degli temi nel libro VI degli

Elementi.Elementi.

Una dimostrazione Una dimostrazione per scomposizione e per scomposizione e

movimenti rigidi.movimenti rigidi.

Questa dimostrazione, per essere davvero Questa dimostrazione, per essere davvero formale, richiede lo studio delle isometrie (o formale, richiede lo studio delle isometrie (o movimenti rigidi). Anche se non li conosci a movimenti rigidi). Anche se non li conosci a

fondo, cliccando su questa icona ne puoi fondo, cliccando su questa icona ne puoi capire lo spirito!capire lo spirito!

La dimostrazione… La dimostrazione… del presidente.del presidente.

Questa dimostrazione, richiede una certa Questa dimostrazione, richiede una certa familiarità con l’uso delle formule, ma… se familiarità con l’uso delle formule, ma… se vuoi ce la puoi fare anche tu (ce l’ha fatta il vuoi ce la puoi fare anche tu (ce l’ha fatta il

Presidente degli U.S.A!).Presidente degli U.S.A!).

5. LA STORIA5. LA STORIA

Abbiamo già parlato di Abbiamo già parlato di EuclideEuclide, uno dei personaggi , uno dei personaggi

legati al teorema di Pitagora.legati al teorema di Pitagora.

Ma la storia di questo Ma la storia di questo teorema è cominciata molto teorema è cominciata molto

tempo prima. tempo prima.

Se proprio insisti… te la Se proprio insisti… te la racconto!racconto!

IL TEOREMA NELLE IL TEOREMA NELLE CIVILTA’ POTAMICHECIVILTA’ POTAMICHE

Quello che noi chiamiamo Quello che noi chiamiamo Teorema di Pitagora era noto, Teorema di Pitagora era noto, con altri nomi, anche ad altre con altri nomi, anche ad altre

civiltà?civiltà?

Sembra proprio di sì…Sembra proprio di sì…

… … e adesso te lo mostrerò.e adesso te lo mostrerò.

Preparati ad un viaggetto nel Preparati ad un viaggetto nel tempo!tempo!

Cominciamo in ordine di tempo, ovvero con la civiltà più antica: quella degli

EGIZIANIEGIZIANI

Devi sapere che presso questa cultura non si è Devi sapere che presso questa cultura non si è raggiunta una vera e propria conoscenza del raggiunta una vera e propria conoscenza del

teorema; infatti non ci sono pervenuti documenti teorema; infatti non ci sono pervenuti documenti o testimonianze a riguardo.o testimonianze a riguardo.

Ma le esigenze pratiche legate Ma le esigenze pratiche legate alla misurazione per tracciare alla misurazione per tracciare la pianta dei templi o per la pianta dei templi o per ridefinire i confini cancellati ridefinire i confini cancellati dalle inondazioni del Nilo, dalle inondazioni del Nilo, portarono allo sviluppo di una portarono allo sviluppo di una prima forma di geometria.prima forma di geometria.

Per ottenere il triangolo rettangolo e Per ottenere il triangolo rettangolo e disegnare l’angolo retto necessario per la disegnare l’angolo retto necessario per la misurazione dei terreni e per la squadratura misurazione dei terreni e per la squadratura dei blocchi di pietra dei templi, i geometri dei blocchi di pietra dei templi, i geometri egiziani ricorsero a corde divise in 12 parti egiziani ricorsero a corde divise in 12 parti uguali tramite dei nodi.uguali tramite dei nodi.

Per questo motivo i geometri egiziani sono Per questo motivo i geometri egiziani sono chiamati anche "chiamati anche "tenditori di cordetenditori di corde" o " o ""agrimensoriagrimensori”. ”.

Prova ad immedesimarti Prova ad immedesimarti in un architetto egiziano.in un architetto egiziano.

Come faresti ad ottenere l’angolo Come faresti ad ottenere l’angolo retto?retto?

Confronta ora la soluzione che hai dato con quella Confronta ora la soluzione che hai dato con quella dei tuoi amici agrimensori.dei tuoi amici agrimensori.

I geometri egiziani fissavano sul terreno il quarto e I geometri egiziani fissavano sul terreno il quarto e l’ottavo nodo della corda e poi la tendevano agli l’ottavo nodo della corda e poi la tendevano agli estremi; in tal modo ottenevano un estremi; in tal modo ottenevano un

triangolo rettangolo di lati 3, 4, 5.triangolo rettangolo di lati 3, 4, 5. Questi numeri formano la più famosa fra le tQuesti numeri formano la più famosa fra le terne pitagoriche.

Spostiamoci ora nella regione compresa

fra i fiumi Tigri ed Eufrate, dove vivevano i

BABILONESI

Pare che in Mesopotamia la geometria e l'algebra Pare che in Mesopotamia la geometria e l'algebra avessero raggiunto un livello più elevato rispetto a avessero raggiunto un livello più elevato rispetto a quello ottenuto dagli Egiziani.quello ottenuto dagli Egiziani.Infatti abbiamo a disposizione documenti che Infatti abbiamo a disposizione documenti che attestano una conoscenza consapevole del attestano una conoscenza consapevole del teorema di Pitagora: esistono tavolette teorema di Pitagora: esistono tavolette appartenenti al periodo babilonese antico (vedi appartenenti al periodo babilonese antico (vedi figura) che mostrano un largo utilizzo del teorema.figura) che mostrano un largo utilizzo del teorema.

E non solo! Più avanti E non solo! Più avanti incontreremo un incontreremo un

nuovo numero: la nuovo numero: la radice quadrata di 2.

Sappi che anche i Sappi che anche i babilonesi la babilonesi la conoscevano!conoscevano!

Ci sono pervenuti anche alcuni esercizi con i Ci sono pervenuti anche alcuni esercizi con i quali si dilettavano i ragazzi di questo popolo; quali si dilettavano i ragazzi di questo popolo;

immagino che adesso non vedrai l'ora di immagino che adesso non vedrai l'ora di provare a risolvere uno di questi problemi. provare a risolvere uno di questi problemi.

Eccoti accontentato! Eccoti accontentato!

“Una scala o una trave di lunghezza 0,30 è appoggiata a una parete; si chiede: di

quanto si allontanerà dalla parete l’estremità inferiore se l’estremità

superiore scivola giù per una distanza di 0,6 unità?”

Una canna è appoggiata ad una parete. Se la cima

scivola giù di 3 unità quando l’estremità inferiore scivola via di 9 unità, quanto è

lunga la canna?

Io adesso ho bisogno di riposare!

Tu, invece, impegnati e risolvi questo problema!

…e in INDIA ?

Alcuni scavi archeologici documentano Alcuni scavi archeologici documentano l’esistenza, in questa regione, di l’esistenza, in questa regione, di un’antica e raffinata civiltà durante il un’antica e raffinata civiltà durante il periodo dei costruttori delle piramidi periodo dei costruttori delle piramidi egiziane; ma non ci è pervenuto alcun egiziane; ma non ci è pervenuto alcun documento matematico indiano risalente documento matematico indiano risalente a tale epoca.a tale epoca.Anche qui tuttavia le conoscenze Anche qui tuttavia le conoscenze matematiche sono legate alla pratica matematiche sono legate alla pratica (costruzione di templi, misurazione di (costruzione di templi, misurazione di altari…) e, per quanto riguarda il altari…) e, per quanto riguarda il teorema di Pitagora, presentano decise teorema di Pitagora, presentano decise analogie con la analogie con la matematica mesopotamica. .

Troviamo infatti nel Troviamo infatti nel Sulvasutra Sulvasutra di di Apastamba, che risale forse fino al tempo di Apastamba, che risale forse fino al tempo di Pitagora, regole per la costruzione di angoli Pitagora, regole per la costruzione di angoli retti per mezzo di tre cordicelle, le cui retti per mezzo di tre cordicelle, le cui lunghezze formano lunghezze formano terne pitagoriche come come 3, 4 e 5, oppure 5, 12 e 13, oppure 8, 15 e 3, 4 e 5, oppure 5, 12 e 13, oppure 8, 15 e 17, oppure 12, 35 e 37.17, oppure 12, 35 e 37.Queste terne si possono facilmente ricavare Queste terne si possono facilmente ricavare dall’antica regola babilonese.dall’antica regola babilonese.Apastamba conosceva la regola secondo cui Apastamba conosceva la regola secondo cui il quadrato costruito sulla diagonale di un il quadrato costruito sulla diagonale di un rettangolo è uguale alla somma dei quadrati rettangolo è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui due lati adiacenti; tuttavia è costruiti sui due lati adiacenti; tuttavia è possibile che anche questa forma del possibile che anche questa forma del teorema di Pitagora provenisse dalla teorema di Pitagora provenisse dalla Mesopotamia.Mesopotamia.

Spostiamoci adesso in un'altra parte del globo e andiamo in

CINA

Anche presso questa civiltà troviamo Anche presso questa civiltà troviamo tracce del teorema di Pitagora.tracce del teorema di Pitagora.

In un testo databile tra il 200 a.C. e il In un testo databile tra il 200 a.C. e il 200 d.C. intitolato 200 d.C. intitolato Chou Pei Chou Pei ( (Classico Classico

Aritmetico dello Gnomone e delle Aritmetico dello Gnomone e delle Orbite Circolari del CieloOrbite Circolari del Cielo), si riscontra ), si riscontra

infatti una primitiva analisi del triangolo infatti una primitiva analisi del triangolo rettangolo e un'acquisita conoscenza rettangolo e un'acquisita conoscenza

del teorema di Pitagora. del teorema di Pitagora.

Nel secondo libro di questo trattato è Nel secondo libro di questo trattato è presente il seguente dialogo tra il presente il seguente dialogo tra il

principe Chou Kung e il suo ministro principe Chou Kung e il suo ministro Shang Kao:Shang Kao:

Una volta, Chou Kung si rivolse a Shang Kao, Una volta, Chou Kung si rivolse a Shang Kao, dicendo: “Ho sentito che il Grande Prefetto è dicendo: “Ho sentito che il Grande Prefetto è versato nell’arte del calcolo. Posso avere versato nell’arte del calcolo. Posso avere l’ardire di chiedere in che modo Fu- Hsi stabilì l’ardire di chiedere in che modo Fu- Hsi stabilì anticamente i gradi della sfera celeste? Non vi anticamente i gradi della sfera celeste? Non vi sono scalini con cui si possa salire al cielo e la sono scalini con cui si possa salire al cielo e la terra non è misurabile con un regolo della terra non è misurabile con un regolo della lunghezza di un piede. Mi piacerebbe sapere lunghezza di un piede. Mi piacerebbe sapere da te qual è l’origine di questi numeri”.da te qual è l’origine di questi numeri”.

Shang Kao rispose: “L’arte del calcolo Shang Kao rispose: “L’arte del calcolo proviene dal cerchio e dal quadrato. Il cerchio proviene dal cerchio e dal quadrato. Il cerchio è derivato dal quadrato e il quadrato dal è derivato dal quadrato e il quadrato dal rettangolo.rettangolo.

Il rettangolo ha origine dal (fatto che) 9Il rettangolo ha origine dal (fatto che) 99 = 81.9 = 81.

Dividiamo perciò un rettangolo e poniamo che la larghezza Dividiamo perciò un rettangolo e poniamo che la larghezza sia di 3 (unità) e la lunghezza di 4 (unità). La diagonale fra i sia di 3 (unità) e la lunghezza di 4 (unità). La diagonale fra i (due) angoli sarà allora lunga 5 (unità). Adesso, dopo aver (due) angoli sarà allora lunga 5 (unità). Adesso, dopo aver disegnato un quadrato su questa diagonale, circoscriviamolo disegnato un quadrato su questa diagonale, circoscriviamolo con mezzi rettangoli come quello che è rimasto fuori, in modo con mezzi rettangoli come quello che è rimasto fuori, in modo da formare una tavola (quadrata). I “quattro” mezzi rettangoli da formare una tavola (quadrata). I “quattro” mezzi rettangoli esterni che misurano 3 unità di larghezza, 4 di lunghezza e 5 esterni che misurano 3 unità di larghezza, 4 di lunghezza e 5 di diagonale, formano in tal modo insieme due rettangoli (di di diagonale, formano in tal modo insieme due rettangoli (di superficie 24); così (quando questa viene sottratta dalla superficie 24); così (quando questa viene sottratta dalla tavola quadrata di superficie 49) il resto è una superficie di 25 tavola quadrata di superficie 49) il resto è una superficie di 25 unità. Questo (procedimento) è chiamato “accumulare i unità. Questo (procedimento) è chiamato “accumulare i rettangoli”.rettangoli”.

I metodi usati da Yu il Grande per governare il I metodi usati da Yu il Grande per governare il mondo erano derivati da questi numeri”.mondo erano derivati da questi numeri”.

Chou Kung esclamò: “Davvero grande è l’arte del Chou Kung esclamò: “Davvero grande è l’arte del calcolo. Mi piacerebbe conoscere il Tao dell’uso del calcolo. Mi piacerebbe conoscere il Tao dell’uso del triangolo rettangolo”.triangolo rettangolo”.

Shang Kao rispose: “Il triangolo rettangolo in piano Shang Kao rispose: “Il triangolo rettangolo in piano (posto sul terreno) serve a stendere il progetto di (posto sul terreno) serve a stendere il progetto di (opere) diritte e squadrate (con l’aiuto di) corde. Il (opere) diritte e squadrate (con l’aiuto di) corde. Il triangolo rettangolo inclinato serve ad osservare le triangolo rettangolo inclinato serve ad osservare le altezze. Il triangolo rettangolo rovesciato serve a altezze. Il triangolo rettangolo rovesciato serve a scandagliare le profondità. Il triangolo rettangolo in scandagliare le profondità. Il triangolo rettangolo in posizione orizzontale è usato per accertare le posizione orizzontale è usato per accertare le distanze.distanze.

Mediante la rotazione di un triangolo rettangolo Mediante la rotazione di un triangolo rettangolo (compasso) si può formare un cerchio. Unendo (compasso) si può formare un cerchio. Unendo triangoli rettangoli si formano quadrati (e rettangoli).triangoli rettangoli si formano quadrati (e rettangoli).

Il quadrato appartiene alla terra, il cerchio appartiene Il quadrato appartiene alla terra, il cerchio appartiene al cielo, in quanto il cielo è rotondo e la terra è al cielo, in quanto il cielo è rotondo e la terra è quadrata. Poiché i numeri del quadrato costituiscono il quadrata. Poiché i numeri del quadrato costituiscono il modello, le (dimensioni del) cerchio vengono (dedotte) modello, le (dimensioni del) cerchio vengono (dedotte) da quelle del quadrato.da quelle del quadrato.

Il cielo è come un cappello da sole conico. I colori del Il cielo è come un cappello da sole conico. I colori del cielo sono il blu e il nero, quelli della terra il giallo e il cielo sono il blu e il nero, quelli della terra il giallo e il rosso. Per rappresentare il cielo viene usata una tavola rosso. Per rappresentare il cielo viene usata una tavola circolare, tracciata secondo i numeri celesti; sopra, circolare, tracciata secondo i numeri celesti; sopra, come un indumento esterno, essa è blu e nera, sotto, come un indumento esterno, essa è blu e nera, sotto, come un indumento interno, è rossa e gialla. Così come un indumento interno, è rossa e gialla. Così viene rappresentata la figura del cielo e della terra.viene rappresentata la figura del cielo e della terra.

Colui che comprende la terra è un uomo saggio, e Colui che comprende la terra è un uomo saggio, e colui che comprende il cielo è un sapiente. La colui che comprende il cielo è un sapiente. La conoscenza è derivata dalla linea retta. La linea retta conoscenza è derivata dalla linea retta. La linea retta è derivata dall’angolo retto. E la combinazione è derivata dall’angolo retto. E la combinazione dell’angolo retto con i numeri è il principio che guida dell’angolo retto con i numeri è il principio che guida e governa le diecimila cose”.e governa le diecimila cose”.

Chou Kung esclamò: “Davvero eccellente!” Chou Kung esclamò: “Davvero eccellente!”

Il testo ora riportato è completato dal seguente diagramma, chiamato Hsuan Thu.

Il commentatore Liu Hui definisce tale Il commentatore Liu Hui definisce tale diagramma come “il diagramma che diagramma come “il diagramma che fornisce i rapporti fra l’ipotenusa e la fornisce i rapporti fra l’ipotenusa e la somma e la differenza degli altri due somma e la differenza degli altri due lati per cui si può ricavare ciò che è lati per cui si può ricavare ciò che è ignoto da ciò che è noto.”ignoto da ciò che è noto.”

Osserviamo che la formula algebrica Osserviamo che la formula algebrica che nel testo è espressa a parole che nel testo è espressa a parole corrisponde alla seguente:corrisponde alla seguente:

avendo indicato con la lettera avendo indicato con la lettera h l’ipotenusa , con la lettera l’ipotenusa , con la lettera a l’altezza e con la lettera l’altezza e con la lettera b la base del triangolo la base del triangolo

rettangolo.rettangolo.

2222

24 baab

bah

PITAGORA E LA SUA PITAGORA E LA SUA SCUOLASCUOLA

Ora ti condurrò alla scoperta di Pitagora,Ora ti condurrò alla scoperta di Pitagora,questo illustre sconosciuto, e della sua questo illustre sconosciuto, e della sua scuola, ma...scuola, ma... … … mi serve la tua attenzione!mi serve la tua attenzione!

PitagoraPitagora, scienziato e , scienziato e filosofo greco, nacque filosofo greco, nacque nell’isola di Samo nel VI nell’isola di Samo nel VI secolo a.C.. secolo a.C.. Le notizie riguardanti la sua Le notizie riguardanti la sua vita sono spesso avvolte da vita sono spesso avvolte da un alone leggendario. un alone leggendario. I suoi viaggi in Egitto e in I suoi viaggi in Egitto e in India gli permisero di India gli permisero di entrare in contatto con entrare in contatto con concezioni mistiche e concezioni mistiche e matematiche nuove ed matematiche nuove ed interessanti, che lo interessanti, che lo portarono poi a fondare a portarono poi a fondare a Crotone una comunità: la Crotone una comunità: la “scuola pitagorica”. “scuola pitagorica”.

Il mistero che avvolgeva sia Il mistero che avvolgeva sia Pitagora che i suoi seguaci Pitagora che i suoi seguaci insospettiva e intimoriva gli insospettiva e intimoriva gli abitanti di Crotone che abitanti di Crotone che scacciarono i pitagorici e scacciarono i pitagorici e costrinsero Pitagora a costrinsero Pitagora a rifugiarsi nel Metaponto rifugiarsi nel Metaponto (l’attuale Basilicata), dove poi (l’attuale Basilicata), dove poi morì verso la fine del V morì verso la fine del V secolo a.C.secolo a.C.

Ora ti racconto un Ora ti racconto un aneddoto sulla vita di aneddoto sulla vita di questo nostro nuovo questo nostro nuovo

amico. amico. Si dice che mentre Leone, Si dice che mentre Leone, principe di Flio, assisteva principe di Flio, assisteva ai Giochi Olimpici, chiese ai Giochi Olimpici, chiese

a Pitagora come si a Pitagora come si sarebbe definito. Pitagora sarebbe definito. Pitagora

rispose: “Io sono un rispose: “Io sono un filosofo”, ma Leone non filosofo”, ma Leone non aveva mai sentito prima aveva mai sentito prima quella parola e chiese quella parola e chiese spiegazioni. Pitagora spiegazioni. Pitagora

allora rispose, più o meno, allora rispose, più o meno, così...così...

Pitagora rappresentato in un Pitagora rappresentato in un particolare della particolare della Scuola di Scuola di

AteneAtene di Raffaello di Raffaello

““La vita, principe Leone, può essere ben a ragione La vita, principe Leone, può essere ben a ragione paragonata a questi giochi olimpici, perché nella vasta folla paragonata a questi giochi olimpici, perché nella vasta folla qui convenuta taluni sono attirati dal guadagno, altri sono qui convenuta taluni sono attirati dal guadagno, altri sono mossi solo dalla speranza e dall’ambizione di ottenere la mossi solo dalla speranza e dall’ambizione di ottenere la fama e la gloria. Ma tra costoro ve ne sono alcuni, che sono fama e la gloria. Ma tra costoro ve ne sono alcuni, che sono venuti qui per osservare e capire che cosa accade. venuti qui per osservare e capire che cosa accade.

Nella vita avviene lo stesso. Alcuni sono influenzati Nella vita avviene lo stesso. Alcuni sono influenzati dall’amore della ricchezza, mentre altri sono ciecamente dall’amore della ricchezza, mentre altri sono ciecamente condotti dal folle desiderio di potere e di dominio, ma condotti dal folle desiderio di potere e di dominio, ma l’uomo migliore si dedica a scoprire il significato e lo scopo l’uomo migliore si dedica a scoprire il significato e lo scopo della vita stessa. Egli cerca di scoprire i segreti della natura. della vita stessa. Egli cerca di scoprire i segreti della natura. È questo l’uomo che io chiamo È questo l’uomo che io chiamo filosofofilosofo perché, sebbene perché, sebbene nessun uomo sia completamente saggio sotto ogni rispetto, nessun uomo sia completamente saggio sotto ogni rispetto, egli può amare la sapienza in quanto chiave di accesso ai egli può amare la sapienza in quanto chiave di accesso ai segreti della natura.segreti della natura.””

(Singley, (Singley, L’ultimo teorema di FermatL’ultimo teorema di Fermat, Sansoni), Sansoni)

Ora, occupiamoci un po’ Ora, occupiamoci un po’ della della scuola pitagoricascuola pitagorica. . Non devi immaginarti una Non devi immaginarti una scuola come quella che scuola come quella che frequenti tu oggi; essa frequenti tu oggi; essa aveva piuttosto le aveva piuttosto le caratteristiche di una setta caratteristiche di una setta religiosa; in essa si viveva religiosa; in essa si viveva una rigida vita morale ed una rigida vita morale ed ascetica, nella quale si ascetica, nella quale si coltivavano le diverse coltivavano le diverse componenti della componenti della matematica.matematica.

L’appartenenza effettiva alla scuola, L’appartenenza effettiva alla scuola, che durava per tutta la vita, era che durava per tutta la vita, era concessa ai soli uomini: le donne concessa ai soli uomini: le donne potevano unicamente ascoltare le potevano unicamente ascoltare le lezioni. I membri erano vincolati al lezioni. I membri erano vincolati al

segreto, relativamente alle conoscenze segreto, relativamente alle conoscenze che nella scuola venivano apprese e che nella scuola venivano apprese e

coltivate. Per quanto concerne la sfera coltivate. Per quanto concerne la sfera filosofica i pitagorici si ispiravano alla filosofica i pitagorici si ispiravano alla

religione greca: ritenevano religione greca: ritenevano fondamentale purificare l’anima dalla fondamentale purificare l’anima dalla

contaminazione del corpo.contaminazione del corpo.

Novità ed elemento Novità ed elemento caratterizzante di caratterizzante di questa concezione questa concezione filosofica era la scienza filosofica era la scienza vista dunque come vista dunque come strumento di strumento di purificazione.purificazione.

Dopo la morte di Dopo la morte di Pitagora i suoi seguaci Pitagora i suoi seguaci si dispersero, si dispersero, diffondendo ovunque i diffondendo ovunque i risultati dei loro studi. risultati dei loro studi.

Studi dei Studi dei PitagoriciPitagorici

Gli allievi della scuola di Pitagora Gli allievi della scuola di Pitagora studiavano geometria, musica, studiavano geometria, musica, astronomia e matematica.astronomia e matematica.

Non usavano libri; ogni scoperta Non usavano libri; ogni scoperta veniva messa in comune, veniva messa in comune, divenendo patrimonio di tutti.divenendo patrimonio di tutti.

I Pitagorici conoscevano i I Pitagorici conoscevano i numeri interi e razionali e li numeri interi e razionali e li rappresentavano con sassolini rappresentavano con sassolini disposti in vario modo. Proprio disposti in vario modo. Proprio tale rappresentazione dei tale rappresentazione dei numeri rendeva facile il passare numeri rendeva facile il passare dall’aritmetica alla geometria:dall’aritmetica alla geometria:

l’uno era il punto, il due la linea, il tre la superficie e il l’uno era il punto, il due la linea, il tre la superficie e il quattro il solido, il dieci (considerato il numero quattro il solido, il dieci (considerato il numero

perfetto) era un triangolo equilatero nel quale per ogni perfetto) era un triangolo equilatero nel quale per ogni lato si ripete il numero quattro.lato si ripete il numero quattro.

Tra i contributi, in ambito matematico, che Tra i contributi, in ambito matematico, che vengono attribuiti ai pitagorici ricordiamo:vengono attribuiti ai pitagorici ricordiamo:

• il teorema relativo alla somma degli il teorema relativo alla somma degli angoli angoli interni di un triangolo; interni di un triangolo;• il teorema di Pitagora;il teorema di Pitagora;• lo studio dei poliedri regolari;lo studio dei poliedri regolari;• l’incommensurabilità del lato e della l’incommensurabilità del lato e della diagonalediagonale del quadrato. del quadrato.

Pitagora e il “suo” teoremaPitagora e il “suo” teorema

Perché il teorema di Pitagora portail nome di questo personaggio cosìmisterioso?…non essere impaziente, continua questoviaggio con me!

““Allorché Pitagora trovò il famosissimo teorema, Allorché Pitagora trovò il famosissimo teorema,

di buoi un grandioso sacrificio celebrò”di buoi un grandioso sacrificio celebrò”

Apollodoro di Atene (II sec d.C.)Apollodoro di Atene (II sec d.C.)

Secondo Diogene Laerzio, storico del III sec d.C., Secondo Diogene Laerzio, storico del III sec d.C., fu Pitagora stesso ad enunciare il teorema che fu Pitagora stesso ad enunciare il teorema che porta il suo nome; Proclo (410-485 d.C.), noto porta il suo nome; Proclo (410-485 d.C.), noto commentatore degli Elementi di Euclide e fonte commentatore degli Elementi di Euclide e fonte storica di rilievo non trascurabile, conferma la storica di rilievo non trascurabile, conferma la tradizione letteraria (della quale troviamo tradizione letteraria (della quale troviamo traccia anche in Cicerone) secondo la quale traccia anche in Cicerone) secondo la quale Pitagora avrebbe sacrificato buoi agli dei per Pitagora avrebbe sacrificato buoi agli dei per festeggiare il grandefesteggiare il grande traguardo raggiunto con la traguardo raggiunto con la scoperta del teorema.scoperta del teorema.

Anche se, come Anche se, come abbiamo visto, la abbiamo visto, la tradizione attribuisce a tradizione attribuisce a Pitagora la paternità di Pitagora la paternità di questo teorema, è questo teorema, è difficile distinguere difficile distinguere l’opera del maestro da l’opera del maestro da quella dei suoi seguaci. quella dei suoi seguaci. Tanto più che le Tanto più che le attribuzioni a Pitagora attribuzioni a Pitagora risalgono ad un’epoca risalgono ad un’epoca successiva a quella in successiva a quella in cui egli visse.cui egli visse.

6. I NUMERI… NUOVI!6. I NUMERI… NUOVI!

2

3 5

7

n Ma che numero è?Ma che numero è?

All’inizio della nostra avventura All’inizio della nostra avventura insieme ti avevo lanciato una sfida: insieme ti avevo lanciato una sfida:

costruire un quadrato di area doppia costruire un quadrato di area doppia ad uno datoad uno dato

. Ora possiamo chiederci: se . Ora possiamo chiederci: se assumiamo il lato del quadrato di assumiamo il lato del quadrato di partenza come unità di misura, partenza come unità di misura,

quanto misura il lato del quadrato di quanto misura il lato del quadrato di area doppia? Cioè: quante volte ci sta area doppia? Cioè: quante volte ci sta il lato del primo quadrato in quello del il lato del primo quadrato in quello del

secondo?secondo?

La risposta a questa domanda è data La risposta a questa domanda è data dada

un numero… “nuovo”. un numero… “nuovo”. Prova a pensare. Prova a pensare.

Se il lato del primo quadrato misura Se il lato del primo quadrato misura 1, 1,

la sua area avrà valorela sua area avrà valore1 x 1 = 11 x 1 = 1

Ma allora, il quadrato di area doppia Ma allora, il quadrato di area doppia a questa a questa

deve avere area 2 (cioè il doppio di deve avere area 2 (cioè il doppio di 1). 1).

Quindi il suo lato dovrà avere per Quindi il suo lato dovrà avere per misura misura

un numero un numero nn tale che tale che nn x x nn = 2 = 2

Qual è questo numero?Qual è questo numero?

Hai le idee un po’ annebbiate? Hai le idee un po’ annebbiate? Non preoccuparti, anche a me succede Non preoccuparti, anche a me succede

qualche volta. qualche volta. E sta pur tranquillo che non è così solo per E sta pur tranquillo che non è così solo per

noi: noi: anche gli antichi Greci, quando si resero anche gli antichi Greci, quando si resero

conto conto che i numeri che avevano sino ad allora che i numeri che avevano sino ad allora

““inventatoinventato” (o “” (o “scopertoscoperto”?) ”?) non bastavano per misurare le lunghezze di non bastavano per misurare le lunghezze di

tutti i segmenti, si sentirono parecchio tutti i segmenti, si sentirono parecchio confusi.confusi.

I Greci non diedero un nome a questo I Greci non diedero un nome a questo numero; numero;

forse perché non accettavano che potesse forse perché non accettavano che potesse esistere, esistere,

anche se ce l’avevano lì, davanti agli anche se ce l’avevano lì, davanti agli occhi. occhi.

Be’, facciamo presto a dirlo noi, Be’, facciamo presto a dirlo noi, più di 2000 anni dopo!più di 2000 anni dopo!

Ad ogni modo, noi abbiamo sia un nome Ad ogni modo, noi abbiamo sia un nome sia un simbolo per questo numero.sia un simbolo per questo numero.Si chiama Si chiama radice quadrata di dueradice quadrata di due

e si indica così:e si indica così:

2

2

Un altro modo Un altro modo per indicare il per indicare il nostro nuovo nostro nuovo

amico...amico...

In inglese “radice quadrata” si In inglese “radice quadrata” si dice dice

““square rootsquare root”.”.

Da questa parola deriva Da questa parola deriva un altro modo per indicare un altro modo per indicare

la radice quadrata di 2:la radice quadrata di 2:

sqrt (2)sqrt (2)..

A questo punto, credo che possiamo A questo punto, credo che possiamo porci due domande:porci due domande:

• cosa ha a che fare questo nuovo cosa ha a che fare questo nuovo numero con il teorema di Pitagora?numero con il teorema di Pitagora?

• la radice di due è l’unico numero la radice di due è l’unico numero nuovo che questo teorema ci nuovo che questo teorema ci

“costringe” ad inventare?“costringe” ad inventare?

3 E va bene. E va bene. Abbiamo conosciuto due nuovi Abbiamo conosciuto due nuovi

numeri.numeri.Ma ce ne sono altri, che possiamo Ma ce ne sono altri, che possiamo

scoprire grazie al teorema di scoprire grazie al teorema di Pitagora? Pitagora?

Direi proprio di sì. Direi proprio di sì. Anzi, è importante anche che ci Anzi, è importante anche che ci

rendiamo conto che la natura aveva rendiamo conto che la natura aveva scoperto questi numeri molto tempo scoperto questi numeri molto tempo prima di noi… e prima di Pitagora!prima di noi… e prima di Pitagora!

Se apri questo file vedrai come, Se apri questo file vedrai come, disegnando successivi triangoli rettangoli disegnando successivi triangoli rettangoli

sino a formare una specie di spirale, si sino a formare una specie di spirale, si riescono a costruire segmenti la cui misura riescono a costruire segmenti la cui misura

èè

,...7,6,5,4,3,2

Questa è invece l’immagine di un fossile Questa è invece l’immagine di un fossile di ammonite: la sua forma non ti ricorda di ammonite: la sua forma non ti ricorda forse quella della spirale che abbiamo forse quella della spirale che abbiamo

appena costruito?appena costruito?

Questa è un’immagine che illustra la galassia a spiraleQuesta è un’immagine che illustra la galassia a spiraleordinaria NGC 628 M74ordinaria NGC 628 M74

Non ti ricorda forse la nostra Non ti ricorda forse la nostra spirale?spirale?

7. LEGAMI ALTRE 7. LEGAMI ALTRE DISCIPLINEDISCIPLINE

Educazione artistica:Educazione artistica:– gli origamigli origami– la spirale della Sagrada la spirale della Sagrada Familia Familia

Educazione tecnica: metodo Educazione tecnica: metodo archimedeo della bilancia archimedeo della bilancia

Educazione ArtisticaEducazione ArtisticaSpesso hai giocato con Spesso hai giocato con fogli di carta piegati in fogli di carta piegati in vario modo, hai costruito vario modo, hai costruito barche, rane che barche, rane che saltellano… Questo non è saltellano… Questo non è solo un gioco, ma è anche solo un gioco, ma è anche una forma d’arte: gli una forma d’arte: gli origami. origami. Ora ti farò una richiesta Ora ti farò una richiesta insolita:prova a dimostrare insolita:prova a dimostrare il teorema di Pitagora con il teorema di Pitagora con gli origami.gli origami.

Non abbatterti… ti darò un piccolo aiuto: Non abbatterti… ti darò un piccolo aiuto: prendi un foglio quadrato e suddividilo prendi un foglio quadrato e suddividilo

in nove quadrati equiestesi.in nove quadrati equiestesi.

Piega un foglio di carta quadrato Piega un foglio di carta quadrato come in figura:come in figura:

Osserva il triangolo FAB: è un Osserva il triangolo FAB: è un triangolo rettangolo con triangolo rettangolo con

ipotenusa AB e cateti FB e FA.ipotenusa AB e cateti FB e FA.

Piega il foglio lungo le linee AO Piega il foglio lungo le linee AO e NO: otterrai il quadrato e NO: otterrai il quadrato

costruito sul cateto maggiore costruito sul cateto maggiore (AONF); ora piegando il (AONF); ora piegando il

quadrato così ottenuto lungo la quadrato così ottenuto lungo la linea BK, otterrai la seguente linea BK, otterrai la seguente figura che è costituita dalla figura che è costituita dalla

somma dei due triangoli dati.somma dei due triangoli dati.

Ne segue che il quadrato FNOA Ne segue che il quadrato FNOA equivale a 4 triangoli FAB.equivale a 4 triangoli FAB.

Piegando il foglio lungo i lati BA, BC, CD, Piegando il foglio lungo i lati BA, BC, CD, DA si potrà osservare che il quadrato DA si potrà osservare che il quadrato

centrale vuoto non è altro che il centrale vuoto non è altro che il quadrato costruito sul cateto minore e il quadrato costruito sul cateto minore e il quadrato globale è il quadrato costruito quadrato globale è il quadrato costruito

sull'ipotenusa.sull'ipotenusa.

Abbiamo già detto che il teorema di Pitagora ci permette di costruire una

caratteristica spirale; tale figura ricorre anche nell’arte. Osserva l’effetto ottico prodotto da questa scala a chiocciola. Si

trova in una delle torri della Sagrada Familia, chiesa progettata da A. Gaudì e

in costruzione a Barcellona (Spagna).

Ora ti farò un’altra Ora ti farò un’altra richiesta inaspettata: richiesta inaspettata: prova a dimostrare il prova a dimostrare il teorema di Pitagora teorema di Pitagora con… una bilancia, delle con… una bilancia, delle forbici e del cartone.forbici e del cartone.

Educazione TecnicaEducazione Tecnica

Sul cartone disegna un triangolo rettangolo. Sul cartone disegna un triangolo rettangolo. Su ciascuno dei suoi lati costruisci un Su ciascuno dei suoi lati costruisci un quadrato e ritaglialo. quadrato e ritaglialo. Prendi la bilancia e distribuisci i tre quadrati Prendi la bilancia e distribuisci i tre quadrati in modo che i suoi due piatti sino in in modo che i suoi due piatti sino in equilibrio: riesci?equilibrio: riesci?

??

Ti sarai certamente accorto che Ti sarai certamente accorto che l’equilibrio dei piatti della bilancia l’equilibrio dei piatti della bilancia si ottiene quando poniamo su un si ottiene quando poniamo su un piatto il quadrato costruito piatto il quadrato costruito sull’ipotenusa e sull’altro i due sull’ipotenusa e sull’altro i due quadrati costruiti sui cateti.quadrati costruiti sui cateti.

9. BIBLIOGRAFIA ED9. BIBLIOGRAFIA ED ELENCO SITI ELENCO SITI

Gli Elementi di EuclideGli Elementi di Euclide,,a cura di Attilio Frajese e Lamberto a cura di Attilio Frajese e Lamberto Maccioni,Maccioni,Torino, UTET, 1970Torino, UTET, 1970

C. B. Boyer,C. B. Boyer,Storia della matematicaStoria della matematica,,Cuneo, Arnoldo Mondadori, 1998Cuneo, Arnoldo Mondadori, 1998

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/La home page dell’archivio McTutor La home page dell’archivio McTutor

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.htmlTesto con commento degli Testo con commento degli ElementiElementi, sul sito di David , sul sito di David E. Joyce della Clark University, USAE. Joyce della Clark University, USA

http://www.cut-the-knot.com/pytagoras/index.htmlSono illustrate varie dimostrazioni del teorema di Sono illustrate varie dimostrazioni del teorema di PitagoraPitagora

http://sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Ratdolt/index.htmlRicco di fotografie dell'edizione degli Ricco di fotografie dell'edizione degli ElementiElementi curata curata da Erhard Ratdolt nel 1894 (Londra)da Erhard Ratdolt nel 1894 (Londra)

http://sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/byrne.htmlRicco di fotografie dell'edizione degli Ricco di fotografie dell'edizione degli ElementiElementi curata curata da Byrne nel 1847, in cui si fa uso dei colori.da Byrne nel 1847, in cui si fa uso dei colori.

http://www.cmontmorency.qc.ca/sdp/philo/http://www.cmontmorency.qc.ca/sdp/philo/pythagore.htmlpythagore.htmlVarie informazioni su PitagoraVarie informazioni su Pitagora

http://jeff560.tripod.com/theorem.jpghttp://jeff560.tripod.com/theorem.jpgFrancobollo emesso dalla Grecia il 20 agosto 1955, Francobollo emesso dalla Grecia il 20 agosto 1955, nell'occasione del Pythagoras's Congress. Riporta nell'occasione del Pythagoras's Congress. Riporta un'immagine del teorema di Pitagora, in bianco e un'immagine del teorema di Pitagora, in bianco e neronero

http://jeff560.tripod.com/formula5.jpghttp://jeff560.tripod.com/formula5.jpgFrancobollo emesso dal Nicaragua il 15 maggio Francobollo emesso dal Nicaragua il 15 maggio 1971. Riporta la formula ed alcune immagini 1971. Riporta la formula ed alcune immagini connesse al teorema di Pitagoraconnesse al teorema di Pitagora