Quarta Lezione

Calcolo del campo attraverso i potenziali, Generatore di Kelvin,effetto delle punte

Riassunto della lezione precedente Applicazioni del th di Gauss in forma integrale Teorema di Gauss in forma differenziale Teorema della divergenza Il potenziale Scalare Il concetto di gradiente

Considerazioni sul potenziale Nella lezione precedente avevamo visto come il lavoro compiuto

dal campo nello spostare una carica nel campo prodotto da un’altra carica lungo una linea qualunque, definito come

B

A

AB dW lF

dipende solo dai punti A e B e non dal percorso, per cui si poteva definire una energia potenziale elettrica U tale che

BA

B

AAB UUdW lF

Volendo svincolarsi dal valore della carica esplorativa, avevamo definito il potenziale elettrico

lEdqUV /

Considerazioni sul potenziale Il fatto che se A e B coincidono, indipendentemente dal percorso,

WAB=0 indica che il CAMPO ELETTROSTATICO E’ CONSERVATIVO, ovvero

cioè la circuitazione o circolazione del campo elettrostatico è nulla. sempre

Nel seguito useremo questa proprietà per dimostrare che in una gabbia di Faraday il campo è nullo

0 lEd

Qualche parola in più sulla Gabbia di Faraday Immaginiamo di avere in conduttore cavo immerso in un

campo elettrico

Applichiamo Gauss in forma integrale alla superficie S

S

Siamo nel conduttore, quindi sia campo che relativo flusso sono nulli

Quindi la carica racchiusa totale è nulla, indipendentemente dal campo esterno

Ma questo non ci impedisce di ipotizzare che sulla superficie interna della cavità vi siano distribuzioni di carica “esotiche”, ma tali che la somma sia zero! Sarebbe compatibile con il th di Gauss!!!

Qualche parola in più sulla Gabbia di Faraday Per escludere questa possibilità, procediamo per assurdo Ipotizziamo che ci sia una distribuzione di carica, positiva da una

parte e negativa dall’altra In tal caso ci sarebbe anche un campo elettrico interno, ortogonale

alla superficie, che va dalle cariche positive alle negative

Calcoliamo la circuitazione lungo una linea C: la linea segue una linea di campo e si chiude NEL conduttore

Ora sappiamo che la circuitazione deve essere zero. Ma il campo nel conduttore (e quindi il contributo alla circuitazione di C nel conduttore) è nullo.

+ -+ +

--

C

Qualche parola in più sulla Gabbia di Faraday cioè

Ma il percorso C1 è stato scelto lungo una linea di forza che congiunge cariche positive e negative: se ci sono cariche l’integrale non può essere nullo (E non può cambiare di segno lungo tale percorso)

Quindi non c’è campo e non vi sono cariche indotte internamente dal campo esterno

+ -+ +

--C1

C2

21

0CCC

ddd lElElE

A

B

0 B

A

d lE

Potenziale per una sfera conduttrice carica (o guscio sferico uniformemente carico

Per r<R

R

R

r

dd rErE

r

r dVV rE

Costante (non dipende da r)

Se applichiamo Gauss ad una sfera concentrica interna S1: nessuna carica racchiusa, campo nullo Se applichiamo Gauss ad una sfera concentrica esterna S2: campo come se tutta la carica fosse nel centro calcoliamo V distinguendo i contributi interni ed esterni; usiamo il potenziale all’infinito come riferimento

R

Q

r

drQR

02

0 440

Potenziale per una sfera conduttrice carica

Per r>R

r

r dVV rE

r

Q

04

Es: supponiamo R=1m, Q=1C: Grafico

Considerazioni Quanto trovato non deve sorprendere: il conduttore, in

condizioni di equilibrio statico, è equipotenziale. Se cavo, valgono le considerazioni della gabbia di Faraday

del resto internamente non vi è campo né vi possono essere differenze di potenziale in

superficie, o vi sarebbe un campo in direzione non ortogonale alla superficie che farebbe scorrere correnti

ricordate: condizioni al contorno per un conduttore ideali sono: campo nullo all’interno, e campo solo ortogonale alla superficie

Il Generatore di Kelvin (William Thomson, in Proceedings of the Royal Society of London, Volume 16, giugno 1867, pp 67 ‑ 72)

Un generatore che sfrutta solo il passaggio di alcune gocce d’acqua...

Il Generatore di Kelvin Supponiamo per un qualunque motivo (casualità, raggi cosmici, modo

in cui si formano le gocce…) l’armatura a sinistra sia un po’ più positiva dell’armatura a destra

L’armatura indurrà cariche negative sulle gocce che l’attraversano; tali cariche sono di fatto sottratte dal liquido nella vasca

Tale recipiente è equipotenziale (grazie ad un conduttore) con l’armatura di destra che quindi è negativa e induce sul secondo flusso cariche positive, caricando il recipiente di destra

quindi l’armatura di sinistra diviene sempre più positiva e quella di destra sempre più negativa

Le gocce cariche negativamente finiscono nel recipiente di sinistra (che deve essere ben isolato), che quindi aumenta la sua carica

Il Generatore di Kelvin In pratica, la differenza di potenziale tra le due vasche

cresce proporzionalmente al potenziale stesso (se l’acqua fluisce uniformemente)

Qualunque sia stata la causa della differenza di potenziale iniziale Vo, essa cresce esponenzialmente, fino a raggiungere il limite di scarica nell’aria!

Di fatto, spesso occorre aspettare un po’ prima che il fenomeno abbia inizio

VKdt

dV KteVV 0

Effetto parafulmine Consideriamo per esercizio due sfere cariche con raggio

R1<<R2, molto lontane, ma collegate da un filo conduttore L’uguaglianza dei potenziali implica

20

22

10

11 44 R

QV

R

QV

2

121 R

RQQ

Se confrontiamo i campi sulle superfici delle due sfere

220

2

210

1

2

1

4

4

R

QR

Q

E

E

1

2

2

1

R

R

E

E

R2

R1

Effetto parafulmine

E’ chiaro che quindi se R2>>R1, E1>>E2 Se immaginiamo che R1 è il raggio di curvatura della punta di un’asta metallica (per es

1cm) ed R2 quello della terra (6000km), il rapporto tra E1 ed E2 è 6 108! La punta dell’asta sperimenta un campo molto intenso che tende a strappare le cariche

Il fatto che il campo elettrico tende a diventare molto grande (addirittura infinito) in prossimità di una punta di metallo può essere dimostrato matematicamente; nondimeno un semplice ragionamento fisico da conto di questo effetto, che si ritrova in ogni SPIGOLO METALLICO (singolarità di spigolo)

Effetto parafulmine Considerate infatti un piano metallico carico

+ + + + + + + + + + + +

Le cariche, tutte dello stesso segno, tendono a respingersi, e finiscono per distribuirsi uniformemente lungo la superficie, in un equilibrio delle forze di repulsione

Effetto parafulmine Immaginate ora di “piegare” il piano a formare uno spigolo

L’equilibrio è (momentaneamente) rotto. Le cariche in cima si ritrovano in una condizione di asimmetria, con molte cariche che spingono dal basso, ma poche (o nessuna per quella al vertice), che spinge dall’alto

Le cariche debbono re-distribuirsi per tornare in equilibrio, affollandosi sulla punta

++

++

++

++

+

++

++

++

++

++

++

++

++

++

+

Effetto parafulmine Del resto che il campo su una punta (o su uno spigolo) possa essere infinito non

sorprende: pensate solo al campo su una sfera carica, e fate tendere a zero il raggio di curvatura

Fortunatamente la natura non ama gli spigoli, che sono una astrazione, ma sappiamo che il campo in prossimità degli spigoli è molto grande

Effetto parafulmine Il parafulmine sfrutta l’effetto delle punte

Le cariche vengono disperse dal parafulmine gradualmente, neutralizzando in modo graduale le cariche dell’aria circostante

Effetto parafulmine L’intensità di campo oltre la quale avviene la scarica, per

ionizzazione, si chiama rigidità dielettrica

Un fulmine è costituito da ioni in movimento, ad una velocità di circa 100km al secondo

6

6

6

6

10)400(2 vetro

10)1000(1 mica

10)600(4 aparaffinat carta

103 secca aria

Calcolo del campo di un dipolo usando i potenziali

)()(

)()(

0)()(0)()( 44

1

rr

rrq

r

q

r

qVVV

2)()()()( cos rrrdrr

20

20

20 4

1cos

44

cos

rr

p

r

qdV rup

Se vogliamo il campo elettrico in coordinate sferiche (come determinato in una precedente lezione) occorre calcolare il Grad(V) in coordinate sferiche

Campo Elettrico del dipolo a partire dal potenziale

Il gradiente in coordinate sferiche è (come da appendice Ramo-Whinnery)

uuu

V

rsin

V

rr

VV r

11 Poiché V non dipende da

uuE sinr

pVr r cos2

4),(

30

Quanto avevamo ottenuto in precedenza…...Nota: mentre il campo elettrico di una carica decresce con r come r-2, il dipolo, a causa della seconda carica ha campo che decresce come r-3

Potenziale di una distribuzione continua di cariche

Distribuzione di cariche

'4

')(

0

V

dVV

rrr

puntiformecarica 4

)(0 r

r

q

V

V

P

r

r’

r-r’

dV

Esercizio Calcolare la differenza di potenziale tra

due cilindri conduttori coassiali se il cilindro più interno è uniformemente carico con densità lineare di carica

a

b

r

D

drr

drEV r

2

cr )ln(2

M

Avevamo calcolato il campo elettrico qualche tempo fa: riusiamo tale espressione e ricaviamo V

Esercizio (continuo)

Dobbiamo scegliere un riferimento per eliminare la costante C Non conviene qui usare il potenziale all’infinito come

riferimento: meglio uno degli elettrodi: otteniamo quindi

a

bbVaV ln

2)()(

Potenziale di una carica lineare Una barra sottile (spessore<<L) di lunghezza L è carica

positivamente con densità lineare di carica per cui

Il potenziale dovuto alla bacchetta in un punto P, alla distanza d da un suo estremo, può essere valutato integrando sulla bacchetta i contributi dovuti agli elementi infinitesimi dq:

dxdq

r

dqdV

04

1

21

2204

1

dx

dx

L

dx

dxdVV

0 21

2204

1

Ricordate che

2

1

2

1

22

22ln

x

x

x

xdxx

dx

dx L

dxxV0

22

0

ln4

ddLL lnln

422

0

d

dLL 22

0

ln4

Potenziale dovuto ad un disco carico Il disco ha densità di carica superficiale (uniforme) Calcoliamo il potenziale in P può essere comodo considerare prima un anello del

disco, poiché tutti i punti sono a distanza r da P, per cui

r

dqdV

04

1

2

1220 '

''2

4

1

Rz

dRRdV

Ma quantità di carica dell’anello è pari a per l’area dell’anello:

''2 dRRdq Per cui

zRzdRRzRdVV

R22

00

21

22

0 2'''

2