quantistica
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Appunti di “Meccanica Quantistica 1” 1 di V. Formato A.A. 2007/2008 9 crediti 1 dalle lezioni di L. Biferale
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Appunti di
“Meccanica Quantistica 1”1
di V. Formato
A.A. 2007/2008 9 crediti
1dalle lezioni di L. Biferale
Ringraziamenti
Desidero ringraziare le seguenti persone che mi sono state di grande aiuto nella realizzazione di questolavoro:
• Prof. Luca Biferale e Dott.ssa Giulia Maria De Divitiis, per le lezioni, gli esercizi e i vari chiarimenti.
• Claudia Antolini, Daniele Belardinelli e Marco Pascucci per l’aiuto nella revisione e nella correzione.
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1
Indice
1 Richiami di Fisica Classica 41.1 Potenziali assiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 L’Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Proprieta delle parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Simmetrie dell’Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Introduzione Storica 82.1 Il corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 L’effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 La natura ondulatoria della materia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 La Meccanica Quantistica 123.1 Postulati della Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Osservabili quantistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Lo Spettro Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 L’operatore Posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Equazione di Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6 Stati stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.7 L’operatore impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.8 Principio di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Potenziali unidimensionali 224.1 La particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Proprieta dell’equazione di Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Densita di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Moti unidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4.1 Gradino e Buca di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4.2 Oscillatore Armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Il formalismo di Dirac 355.1 Bra e Ket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Relazione di completezza e proiettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 Momento Angolare 386.1 Autofunzioni del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.1.1 Regole di selezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2 Composizione di momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2.1 Caso particolare: l1 = 2, l2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.3 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3.1 L’esperimento di Stern Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.4 Rappresentazioni dello spin/momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7 Particelle identiche 47
8 L’atomo d’idrogeno 49
2
9 Teoria delle perturbazioni 539.1 Perturbazioni non dipendenti dal tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.1.1 Sistemi non degeneri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.1.2 Sistemi degeneri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2 Applicazioni all’atomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559.2.1 Effetto Stark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.2.2 Interazione spin-orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.2.3 Effetto Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.3 Perturbazioni dipendenti dal tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A Formule 63A.1 Oscillatore armonico unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63A.2 Armoniche Sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63A.3 L’atomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
B Dimostrazioni 65B.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65B.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65B.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65B.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66B.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66B.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66B.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66B.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67B.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3
Capitolo 1
Richiami di Fisica Classica
Possiamo tranquillamente pensare che alla base di tutta la meccanica classica vi sia la seconda legge diNewton:
F = ma (1.1)
In casi particolari, in cui il campo di forze F e conservativo, e possibile esprimere la forza come gradientedi una qualche funzione scalare detta energia potenziale, ovvero nello specifico:
F = −∇V = ma
E’ facile vedere come in questi casi, se V non dipende esplicitamente dal tempo, l’energia totale E = T +Vsia conservata.
Su queste basi si puo anche definire una funzione Lagrangiana:
L(q, q, t) = T − V (1.2)
o in particolare
L(q, q, t) =1
2m(q)2 − V (q) (1.3)
e dalla lagrangiana si puo definire un funzionale azione
S[q]r1,r2=
∫ t2
t1
L(q, q, t) dt (1.4)
il quale dipende unicamente dalla particolare traiettoria considerata (che abbia come estremi q(t1) e q(t2)).La stazionarieta dell’azione si ottiene solo per quelle traiettorie che soddisfano la 1.1.
Infatti se chiamiamo tale traiettoria q0 possiamo esprimere ogni altra traiettoria vicina a q0 come
q(t) = q0(t) + α · η(t)q(t) = q0(t) + α · η(t)
con η(t1) = η(t2) = 0 e α << 1
e possiamo sviluppare S come
S[q, α] = S[q, 0] + α∂S
∂α
∣∣∣∣α=0
+ α2 1
2
∂2S
∂α2
∣∣∣∣α=0
+ · · ·
ma
S[q, α] =
∫ t2
t1
L(q + αη; q + αη; t) dt =
∫ t2
t1
[
L(q; q; t) +∂L∂q
αη +∂L∂q
αη
]
dt
e in particolare
S[q, α] = S[q, 0] + α
∫ t2
t1
(∂L∂q
η +∂L∂q
η
)
dt
integrando il secondo addendo per parti otteniamo
S[q, α] = S[q, 0] + α
[∫ t2
t1
∂L∂q
η dt +
(∂L∂q
η(t)
)∣∣∣∣
t2
t1
−∫ t2
t1
∂
∂t
(∂L∂q
)
η(t) dt
]
=
4
ma il secondo termine e identicamente nullo, quindi
S[q, α] = S[q, 0] + α
∫ t2
t1
η(t)
(∂L∂q
− ∂
∂t
∂L∂q
)
dt
Affinche S sia stazionaria occorre che l’integrale sia nullo ∀ η(t) quindi si ha:
∂L∂q
− ∂
∂t
∂L∂q
= 0 (1.5)
Se poniamo
L =1
2m(q)2 − V (q)
allora∂L∂q
= −∂qV (q)∂L∂q
= mq
ed otteniamo, in effetti, le equazioni del moto:
d
dt(mq) = −∂qV (q)
e la generalizzazione al caso in piu variabili segue in maniera ovvia.Vale la pena notare che:
∂L∂qi
= 0 ⇒ d
dt
∂L∂qi
= 0 ⇒ d
dtpi = 0
ovvero che se la lagrangiana non dipende esplicitamente da una coordinata, allora l’impulso lungo quellacoordinata stessa e conservato.
1.1 Potenziali assiali
Analizziamo il caso di potenziali con simmetria assiale, passando quindi ad una descrizione in coordinatecilindriche: (ρ, θ, z).
r = ρρ + zz
r = ρρ + ρ ˙ρ + zz˙ρ = θθ
Calcoliamo la lagrangiana in questo sistema di coordinate:
L =1
2m (r)
2 − V (ρ) =1
2m(
ρ2 + ρ2θ2 + z2)
− V (ρ)
e calcoliamo gli impulsi generalizzati:
∂L∂ρ
= mρ,∂L∂θ
= mρ2θ,∂L∂z
= mz
e otteniamo facilmente le equazioni del moto:
ddtmz = 0ddtmρ2θ = 0 ⇒ mρ2θ = cost. = Lddtmρ = mρθ2 − ∂ρV
da cui otteniamo:d
dtmρ = −∂ρV +
L2
mρ3= −∂ρ(V + Veff )
dove nell’ultima espressione V = 12
L2
mρ2 e il cosiddetto potenziale centrifugo sentito dalla particella che nonconsente il collasso del sistema per ρ → 0.
La trattazione per potenziali centrali e del tutto simile.
5
1.2 L’Hamiltoniana
Una formulazione equivalente a quella Lagrangiana e la formulazione Hamiltoniana.A partire da una Lagrangiana L(q, q, t) e possibile definire una funzione H(q, p, t) tramite l’operazione ditrasformata di Legendre1
H(q, p, t) =
n∑
i=1
piqi − L(q, q, t) (1.6)
con pi = ∂L∂qi
. Notiamo che l’Hamiltoniana non dipende dalle qi poiche
∂H∂qi
= pi −∂L∂qi
= 0
Ora ricaviamo il principio variazionale tramite H:
S =
∫
dtL =
∫
dt (p · q −H)
ora come nel caso lagrangiano costruiamo delle traiettorie variate:
q(t) = q0(t) + αη(t)p(t) = p0(t) + αξ(t)
con η(t) e ξ(t) funzioni nulle agli estremi delle traiettorie.
S =
∫
dt (q + αη)(p + αξ) −H(q + αη, p + αξ, t) =
=
∫
dt (qp −H)|α=0 + α
∫
dt ξ
(
q − ∂H∂p
)
+ α
∫
dt
(
ηp − ∂H∂q
)
η
ma integrando per parti possiamo ricavare che:
∫
dt ηp = (ηp)|t2t1 −∫
dt ηp
quindi:
S =
∫
dt (qp −H)|α=0 + α
∫
dt
[
ξ
(
q − ∂H∂p
)
+ η
(
−p − ∂H∂q
)]
quindi in questo caso, affinche l’azione sia stazionaria dobbiamo avere
q =∂H∂p
p = −∂H∂q
(1.7)
Ma chi e fisicamente H?
H(q, p, t) = pq − L(q, q, t) = pq − 1
2m(q)2 + V (q) =
1
2m(q)2 + V (q) = E
infatti possiamo notare che se H non dipende esplicitamente dal tempo otteniamo la conservazionedell’energia del sistema:
d
dtH =
∂H∂q
q +∂H∂p
p =∂H∂q
∂H∂p
− ∂H∂p
∂H∂q
= 0
1vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata di Legendre
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1.3 Parentesi di Poisson
Definiamo le parentesi di Poisson nel seguente modo:
F, G =∑
i
(∂F
∂qi
∂G
∂pi− ∂F
∂pi
∂G
∂qi
)
Dato l’osservabile F (q, p, t) allora:
d
dtF (q, p, t) =
∂F
∂t+∑
i
∂F
∂qiqi +
∂F
∂pipi =
∂F
∂t+∑
i
∂F
∂qi
∂H∂pi
− ∂F
∂pi
∂H∂qi
ovvero:d
dtF (q, p, t) =
∂F
∂t+ F, H
ed in particolare se F non dipende esplicitamente dal tempo, allora
d
dtF (q, p, t) = F, H
ed F e integrale primo ⇔ F, H = 0. Diremo quindi che H genera l’evoluzione temporale di F .
1.3.1 Proprieta delle parentesi di Poisson
F, G = −G, FF, k = 0 k ∈ R
F, A + B = F, A + F, BA, BC = A, BC + A, CBqi, pj = δij
qi, qj = 0pi, pj = 0
1.3.2 Simmetrie dell’Hamiltoniana
Vogliamo mostrare che nel caso di simmetria del potenziale per traslazioni, allora H, P = 0.Prendiamo il caso di due corpi soggetti ad un potenziale che dipende solo dalla differenza delle loro
coordinate V (q1 − q2). Se definiamo P = P1 + P2 l’impulso totale.
H, P =
P1
2
2m+
P22
2m+ V (q1 − q2), P1 + P2
notiamo chePi
2, Pi = 2PiPi, Pi = 0
quindi:H, P = V (q1 − q2), P1 + V (q1 − q2), P2
Ora calcoliamo V (q1 − q2), P1:
V (q1 − q2), P1 =∂V
∂q1
∂P1
∂p1− ∂V
∂p1
∂P1
∂q1+
∂V
∂q2
∂P1
∂p2− ∂V
∂p2
∂P1
∂q2=
∂V
∂q1
quindi:
H, P =∂V
∂q1+
∂V
∂q2=
∂V
∂(q1 − q2)
∂(q1 − q2)
∂q1+
∂V
∂(q1 − q2)
∂(q1 − q2)
∂q2=
=∂V
∂(q1 − q2)− ∂V
∂(q1 − q2)= 0
In particolare per un qualunque osservabile F
P, F =
n∑
i=1
∂P
∂qi
∂F
∂pi− ∂P
∂pi
∂F
∂qi= −
n∑
i=0
∂F
∂qi
come nel caso di H diremo quindi che l’impulso genera le traslazioni del sistema.
7
Capitolo 2
Introduzione Storica
Alla fine del 1800 la fisica classica riusciva a spiegare un vasto insieme di fenomeni ed osservazioni permezzo delle sue teorie, ed il quadro era ormai quasi completo. Rimanevano solo pochi fenomeni inspiegati,per i quali non sembrava esservi soluzione in termini delle allora attuali teorie. Questi fenomeni erano:
• La stabilita dell’atomo di idrogeno.
• Lo spettro di emissione del corpo nero.
• L’effetto fotoelettrico.
2.1 Il corpo nero
Per ogni corpo fisico si possono definire due funzioni E(λ, T ) e A(λ, T ) chiamate Potere di emissione ePotere di assorbimento, ed e dimostrabile che la frazione E
A e una funzione universale1 per ogni corpo.In particolare definiamo corpo nero2 un corpo per cui A(λ, T ) ≡ 1, in tal caso si puo ricavare sperimen-talmente una stima di E(λ, T ). Dal momento che la densita di energia u(λ, T ) = 4π
c E(λ, T ) deve essereanche essa una funzione universale si stimo che u fosse del tipo u(λ, T ) = λ−5f(λ, T ) con f opportunafunzione universale.
Difatti dei plot sperimentali del tipo uT−5 vs. λT mostravano sempre la stessa curva a prescinderedal corpo in esame. Sorgeva quindi il problema di calcolare u(λ, T ).
Attraverso calcoli di meccanica statistica Lord Rayleigh ottenne una stima classica di u(λ, T ):
u(ν, T ) =8πν2
c3kT (2.1)
ma tale curva si adattava bene ai dati sperimentali solo per frequenze molto basse. Con l’innalzarsi dellafrequenza la legge di Rayleigh prevede che l’energia irradiata tenda verso l’infinito.
Max Planck ripete gli stessi calcoli, ma sotto l’ipotesi che l’energia potesse essere quantizzata in multiplidi un’unita fondamentale, ed ottenne per u(λ, T ) la seguente espressione:
u(ν, T ) =8πν2
c3
hν
e−hνkT − 1
(2.2)
che, al contrario della (2.1), era perfettamente in accordo con i dati sperimentali.
La quantita fondamentale di energia ipotizzata da Planck viene chiamata quanto d’energia ed ha valorehν, dove h venne ricavata da Planck tramite il fit con i dati sperimentali ottenendo
h = 6, 55 × 10−27erg s
oggi il valore accettato di h eh = 6, 6262 × 10−27erg s
Sovente si utilizza al posto di h la costante
h =h
2π≈ 1 × 10−27erg s
1Una funzione universale non dipende dal particolare corpo che si sta analizzando2vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Corpo nero
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Figura 2.1: Confronto tra la legge di Rayleigh e la legge di Planck
Vale la pena notare che la (2.1) si ottiene dalla (2.2) nel limite in cui hν → 0.Normalmente non siamo in grado di accorgerci degli effetti di quantizzazione dell’energia, infatti basta
notare che per una lampadina da 100W che emette nello spettro del visibile, il numero di quanti emessiper unita di tempo e circa di 1021, decisamente troppi perche il nostro occhio possa accorgersene.
2.2 L’effetto fotoelettrico
L’effetto fotoelettrico e quell’effetto per il quale un metallo, colpito da un’opportuna radiazione elettro-magnetica, emette elettroni. Le peculiarita del fenomeno sono le seguenti:
• L’emissione o meno di un elettrone non dipende dall’intensita della radiazione, ma solo dalla suafrequenza.
• Il numero di elettroni emessi e proporzionale all’intensita della radiazione.
• L’energia degli elettroni emessi non dipende dall’intensita della radiazione, ma solo dalla sua fre-quenza.
Sotto l’ipotesi di Planck della quantizzazione dell’energia, Einstein spiego molto brevemente il fenomeno.L’elettrone nel metallo ha una sua energia di legame W . Se la luce incidente e composta da tanti quanti
hν, che chiameremo fotoni, solo quelli con energia maggiore di W riusciranno ad estrarre l’elettrone dalmetallo, mentre gli altri fotoni, nell’urto con l’elettrone non riusciranno a cedere abbastanza energiaaffinche l’elettrone esca dal metallo.Quindi l’emissione di elettroni avviene solo a frequenze maggiori di una certa frequenza limite ν0 = W
h el’energia degli elettroni risultera essere E = hν − W .
Tale spiegazione fu una delle principali conferme all’ipotesi di Planck e uno dei primi passi versoun’ipotesi particellare della luce.
2.3 La natura ondulatoria della materia.
Abbiamo appena visto come l’energia possa essere quantizzata. Di fatto possiamo affermare che ognivalore di energia sia multiplo del valore fondamentale
E = n · hν
ma sappiamo anche che per una particella relativistica l’energia puo essere espressa in funzione delmomento p
E = cp
9
Per un singolo fotone abbiamo
hν = cp ⇒ p =hν
c=
h
λ
L’ultima relazione e dovuta a Louis de Broglie, il quale ipotizzo che anche ad una particella materialedi momento p puo essere associata una lunghezza d’onda λ. L’ipotesi venne dimostrata con esperimentidiversi da quello che analizzeremo, anche per il motivo che tale esperimento e realizzabile solo da pochianni.
Supponiamo di porre un emettitore di elettroni di fronte ad una parete con due sottili fenditure, e diavere dalla parte opposta uno schermo rilevatore. Se ora chiudiamo una delle due fenditure e attiviamol’emettitore, dopo poco tempo vedremo che il numero di elettroni che hanno colpito lo schermo in un datopunto seguira l’andamento in figura ()
e-
mentre chiudendo l’altra fenditura avremo un pattern simmetrico:
e-
Ma se aprissimo entrambe le fenditure quello che vedremmo sarebbe:
e-
Questo esperimento e inspiegabile dal punto di vista classico, ma questa non e l’unica novita. L’esper-imento avrebbe lo stesso esito se l’emettitore emettesse un elettrone ogni 15 minuti: dopo un temposufficientemente lungo avremmo lo stesso pattern d’interferenza.
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Quindi in qualche modo, non e possibile associare una traiettoria all’elettrone, ovvero non e possibileassegnare all’elettrone una posizione ed una velocita ben definite poiche la traiettoria deve essere unica.Bisogna quindi supporre che il concetto di traiettoria ideale perda senso per una particella.
Ammettiamo quindi che l’elettrone non abbia una traiettoria definita, e assumiamo che abbia un com-portamento ondulatorio3. Essendo pero l’elettrone localizzato quando effettuiamo una misura possiamosolo supporre che il suo comportamento sia governato da una funzione (o onda) di probabilita.
Questo spiega l’esperimento: anche il singolo elettrone e governato da una funzione d’onda, ma il fattosorprendente e che al momento della misurazione la funzione d’onda, che fino a quel momento era rimastaun fenomeno non localizzato, collassa in un unico punto rivelando l’elettrone in un’unica posizione.
Quindi se Ψ e la funzione d’onda associata all’elettrone, definiamo la probabilita di trovare l’elettronenell’intervallo (x, x + dx) come:
P [(x, x + dx)] = |Ψ|2 dx
Un’altra conferma dell’assenza di una traiettoria ben definita e portata dal risultato dei tentativi dimisurazione della posizione di una particella. Supponiamo infatti di voler misurare la posizione di unelettrone con un microscopio elettronico.
e-
hn
f
x
Dall’ottica classica sappiamo che in un sistema ottico del genere l’incertezza su x e circa ∆x ≈ λsin φ . Il
modo migliore per osservare l’elettrone e quello di ‘illuminarlo’ con un fotone di energia hν. Il fotone urteracon l’elettrone, e verra osservato al microscopio purche rientri nel cono di visuale della lente, quindi nonconosciamo l’impulso del fotone ma solo il fatto che rientra nel cono di visuale. L’incertezza sull’impulsodel fotone implica quindi anche un’incertezza sull’impulso dell’elettrone.
∆px ≈ hν
csin φ
∆x · ∆px ≈ λ
sin φ
hν
csin φ = h
Quest’ultima relazione e una conseguenza del Principio di indeterminazione di Heisenberg4.Ma cosa succede se nell’esperimento delle due fenditure poniamo un rilevatore proprio davanti una
delle due fenditure?
e- a
Dp
Per poter dire in quale delle due fenditure e passato l’elettrone abbiamo bisogno di misurarne laposizione con incertezza ∆x ≤ a, da cui discende che l’incertezza relativa sull’impulso e:
∆p
p≥ h
ap=
λ
a
e l’imprecisione che si propaga sullo schermo e di circa dλa che e esattamente la distanza tra le frange di
interferenza sullo schermo.
3questo e ben diverso dall’affermare che l’elettrone e un’onda4vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Principio di indeterminazione
11
Capitolo 3
La Meccanica Quantistica
3.1 Postulati della Meccanica Quantistica
Come tutte le teorie fisiche, anche la meccanica quantistica si fonda su dei postulati:
• Ad ogni stato fisico e associata una funzione d’onda Ψ(q) definita a meno di una costante complessaarbitraria
Ψ(q) → eiαΨ(q)
• La probabilita di trovare lo stato nell’intervallo di posizioni(q, q + dq) e
|Ψ(q)|2dq
• La misurazione di un’osservabile Φ sullo stato fisico Ψ e una forma bilineare del tipo1
∫
dq dq′ Ψ∗(q)Φ(q, q′)Ψ(q)δ(q − q′)
dove Φ e l’operatore che definisce l’operazione di misura sullo stato Ψ.
• Ogni stato fisico realmente realizzabile deve essere normalizzabile, di modo che
∫
dq |Ψ|2 = 1
• Se ΨE1(q) e lo stato fisico in cui misuro con certezza il valore E1 e ΨE2
(q) lo stato in cui misuro concertezza il valore E2, allora in uno stato
Ψ(q) = cΨE1(q) + dΨE2
(q)
misurero con certezza o il valore E1 o il valore E2.
3.2 Osservabili quantistiche
Abbiamo appena definito l’operazione di misura di un’osservabile come l’applicazione di un certo operatoref , associato alla particolare grandezza misurata, sullo stato Ψ.
Supponiamo di avere un qualche osservabile fisico (ad esempio l’energia) che sia quantizzato, e consid-eriamo l’insieme dei possibili valori di una misura di quell’osservabile.
fn = Insieme dei possibili valori della misurazione di f
Se un generico fn e il risultato della misurazione di f allora devo supporre che esista una Ψn(q) per la
quale se effettuiamo una misurazione di f sullo stato Ψn(q) otteniamo con certezza il valore fn. Queste
particolare Ψn(q) sono chiamate autofunzioni di f , e fn e l’autovalore di f relativo a Ψn(q).
1Qualora non specificato, l’integrazione e fatta su tutti i possibili valori delle coordinate generalizzate dq
12
Supponiamo di avere uno stato Ψ(q) e di voler effettuare una misurazione di f . Per il principio disovrapposizione lo stato Ψ(q) puo essere descritto come
Ψ(q) =∑
n
anΨn(q)
ma questo implica anche che le Ψn(q) formano una base per lo spazio delle funzioni d’onda.La condizione necessaria affinche Ψ(q) appartenga allo spazio delle funzioni d’onda e che Ψ(q) sia
normalizzabile. Dobbiamo inoltre supporre che |an|2 sia la probabilita di ottenere fn come valore di unamisurazione2. Ma allora, dato che la funzione d’onda e normalizzabile, lo devono essere anche gli an.
∫
|Ψ(q)|2 dq = 1 ⇔∑
n
|an|2 = 1
∫
Ψ∗(q)Ψ(q) dq =∑
n
|an|2
ma Ψ∗(q) =∑
n a∗nΨ∗
n(q), quindi
∑
n
a∗n
∫
Ψ∗n(q)Ψ(q) dq =
∑
n
a∗nan ⇒
⇒ an =
∫
Ψ∗n(q)Ψ(q) dq
oppure, se decidiamo di interpretare la forma (Φ; Ψ) =∫
Φ∗(q)Ψ(q) dq come il prodotto interno nellospazio delle funzioni d’onda, possiamo riscrivere molto semplicemente
an = (Ψn; Ψ)
Il valor medio di f e definito come
f =∑
n
fn|an|2
riottenibile attraverso la forma
(Ψ; fΨ) =
∫
Ψ∗(q)(
fΨ)
(q) dq (3.1)
con f operatore lineare. Dimostriamolo.Per definizione di autostato fΨn(q) = fnΨn(q), quindi
fΨ(q) =∑
n
anfΨn(q) =∑
n
anfnΨn(q)
sostituendo nell’espressione di f otteniamo
f =
∫(∑
m
a∗mΨ∗
m(q)
)(∑
n
anfnΨn(q)
)
dq =∑
m
∑
n
a∗manfn
∫
Ψ∗m(q)Ψn(q) dq
per riottenere l’altra formula dovremmo avere che
∫
Ψ∗m(q)Ψn(q) dq = δmn
ovvero che le Ψn(q) siano ortogonali.Oppure una dimostrazione alternativa si ottiene partendo da
f =
∫
dq Ψ∗(q)(fΨ(q)) =∑
n
∫
dq Ψ∗(q) · anfnΨn(q) =∑
n
anfn
∫
dq Ψ∗(q)Ψn(q)
ma
an =
∫
dq Ψ∗n(q)Ψ(q) ⇒ a∗
n =
∫
dq Ψ∗(q)Ψn(q)
2cio e coerente con la definizione di Ψn(q)
13
e quindi
f =∑
n
a∗nanfn
Dal momento che f e il valore di aspettazione dell’osservabile f dobbiamo necessariamente richiedereche sia reale, ovvero che f = f∗.
f =
∫
dq Ψ∗(q) · (fΨ(q)) f∗ =
∫
dq Ψ(q) · (f∗Ψ∗(q))
Prima di procedere ulteriormente, definiamo l’operatore trasposto f t come l’operatore per cui vale laseguente proprieta:
(Φ; fΨ) = (Ψ∗; f tΦ∗)
Quindi possiamo riscrivere f come:
f =
∫
dq Ψ(q)(f tΨ∗(q))
da cui ricaviamo chef = f∗ ⇒ f t = f∗ ⇒ f = (f t)
∗= f†
ovvero che f e autoaggiunto. Una proprieta degli operatori autoaggiunti e quella di avere tutti gli autovalorireali, il che nel caso delle osservabili f significa che ognuno degli fn e reale.
Inoltre sappiamo dall’algebra lineare che se gli autovalori di un operatore sono tutti distinti allora irelativi autovettori formano una base ortonormale, altrimenti se qualche autovalore ha una molteplicitaalgebrica ma > 1 il relativo autospazio ammette una base ortonormale formata da autovettori di f .
Ora supponiamo di avere due osservabili fisiche f e g misurabili contemporaneamente. Allora il processodi misura sull’n-esimo autostato fornira:
fΨn(q) = fnΨn(q)gΨn(q) = gnΨn(q)
il che ci dice che ogni autostato di f e anche autostato di g. Allora
f(gΨn) = f(gnΨn) = gn(fΨn) = gnfnΨn
g(fΨn) = g(fnΨn) = fn(gΨn) = fngnΨn⇒ f · g = g · f
ovvero che [f ; g] = 0. Se invece le misure di f e g non hanno un valore contemporaneamente determinato,
allora f · g non e un’osservabile, e quindi non e autoaggiunto. Infatti:
(f · g)† = g† · f† = g · f 6= f · g
Dati tre operatori f , g e h vale la seguente relazione:
[f · g; h] = [f ; h]g + f [g; h]
3.3 Lo Spettro Continuo
Abbiamo finora considerato la situazione in cui
Ψ(q) =∑
n
anΨn(q) fΨn(q) = fnΨn(q)
e abbiamo detto che in questo caso l’osservabile f e quantizzato. Ma non e sempre cosı: esistono osservabiliche possono assumere qualsiasi valore nel continuo, per le quali dobbiamo supporre
fΨf (q) = fΨf (q) con f ∈ [fmin; fmax]
Riassumiamo ora le proprieta di un’osservabile discretizzato per poi confrontarle con quelle di un’osserv-abile a valori continui:
• Principio di sovrapposizione
Ψ(q) =∑
n
anΨn(q)
14
• Autovalori ed autofunzionifΨn(q) = fnΨn(q)
• Probabilita di misurare fn
P (fn) = |an|2
• Normalizzazione della probabilita∑
n
|an|2 = 1
• Coefficienti della sovrapposizione
an =
∫
dq Ψ∗n(q)Ψ(q)
• Ortogonalita delle autofunzioni(Ψm; Ψn) = δmn
Vediamo ora come cambiano queste formule quando f ha uno spettro di valori continuo:
• Principio di sovrapposizione
Ψ(q) =
∫
df a(f)Ψf (q)
• Autovalori ed autofunzionifΨf (q) = fΨf (q)
• Probabilita di misurare un valore tra f e f + df
P (f ; f + df) = |a(f)|2df
• Normalizzazione della probabilita ∫
df |a(f)|2 = 1
• Coefficienti della sovrapposizione
a(f) =
∫
dqΨ∗f (q)Ψ(q)
• Ortogonalita delle autofunzioni(Ψf ; Ψf ′) = δ(f − f ′)
Dall’ultima considerazione notiamo che cade la proprieta di normalizzabilita delle autofunzioni di f ,infatti:
a(f) =
∫∫
dq df ′ Ψ∗fa(f ′)Ψf ′(q) =
∫
df ′ a(f ′)
∫
dq Ψ∗f (q)Ψf (q)
L’unica possibilita per cui l’ultima relazione sia vera, e che valga3
∫
dq Ψ∗f (q)Ψf (q) = δ(f − f ′)
Notiamo che c’e una certa simmetria tra Ψ(q) e a(f):
Ψ(q) =
∫
df a(f)Ψf (q)
a(f) =
∫
dq Ψ∗f (q)Ψ(q)
Ci sono osservabili che ammettono spettro sia discreto che continuo, un esempio in alcuni casi puoessere l’energia, per cui avremmo
Ψ(q) =n∑
i=0
aiΨi(q) +
∫ Emax
Emin
dE a(E)ΨE(q)
3Basta ricordare che dalla definizione della delta di Dirac: f(x0) =∫
dx f(x)δ(x − x0)
15
3.4 L’operatore Posizione
Abbiamo postulato che per una particella rappresentata da una funzione d’onda Ψ(q), la probabilita dirilevarla in una posizione compresa tra q e q + dq e
|Ψ(q)|2dq
quindi, dal punto di vista statistico, possiamo calcolare q:
q =
∫
dq q|Ψ(q)|2 =
∫
dq Ψ∗(q) (qΨ(q))
Ricordiamo ora come e definito il valor medio di un operatore (3.1) per poter identificare come agiscel’operatore posizione:
qΨ(q) = qΨ(q) (3.2)
e se Ψx(q) e autofunzione di q di autovalore x allora deve soddisfare la seguente relazione per ogni valoredi q:
qΨx(q) = xΨx(q) ⇒ qΨx(q) = xΨx(q) ⇒ Ψx(q) = δ(q − x)
quindi le autofunzioni dell’operatore posizione hanno tutte l’espressione di una Delta di Dirac.
Ψx(q) = δ(q − x) ⇒ Ψ(q) =
∫
dx a(x)δ(q − x)
Ma |a(x)|2 per definizione e la probabilita di ottenere x come risultato di una misura di posizione, maallora per quanto abbiamo postulato:
|a(x)|2 = |Ψ(x)|2 ⇒ Ψ(q) =
∫
dx Ψ(x)δ(q − x)
il che e ancora corretto, per la definizione di Delta di Dirac.
3.5 Equazione di Schrodinger
La Meccanica Quantistica ci ha fornito finora i mezzi per calcolare la probabilita di ottenere un certo valoredalla misura di un’osservabile fisica in termini di una funzione d’onda che descrive lo stato del sitema fisico.Per sapere come tale probabilita evolve nel tempo, occorre quindi sapere come evolve nel tempo la Ψ(q).Per semplicita ipotizziamo che la dipendenza temporale sia del 1 ordine, o meglio, ipotizziamo che siaregolata dalla seguente equazione:
ih∂Ψ
∂t(q; t) = HΨ(q; t) (3.3)
dove H e l’operatore hamiltoniano associato al sistema. Analogamente possiamo scrivere l’equazione perla Ψ∗
−ih∂Ψ∗
∂t(q; t) = H∗Ψ∗(q; t) (3.4)
La (3.3) e chiamata equazione di Schrodinger dal nome del fisico che la ricavo.La presenza dell’hamiltoniana potrebbe destare la nostra curiosita.
In effetti potremmo chiederci chi sia l’operatore hamiltoniano di un sistema. Iniziamo col ricordarecome e espressa in meccanica classica la variazione temporale di un’osservabile f :
df
dt=
∂f
∂t+ f ; H
ovvero in assenza di dipendenza esplicita dal tempo, l’evoluzione temporale di f e determinata daf ; H.
Cercheremo ora di ottenere una relazione simile, assumendo che valga la (3.3), nel caso quantistico.Iniziamo col considerare che essendo |Ψ|2dq una probabilita, dovremo avere che la relazione∫
dq Ψ∗(q)Ψ(q) = 1 vale per ogni istante di tempo, per cui
0 =d
dt
∫
dq Ψ∗(q)Ψ(q) =
∫
dq[(∂tΨ∗)Ψ + (Ψ∗∂tΨ)]
16
Utilizziamo ora le (3.3) e (3.4) per ottenere:
0 =
∫
dq
[i
h(H∗Ψ∗)Ψ − i
hΨ∗(HΨ)
]
=i
h
∫
dq [(H∗Ψ∗)Ψ − Ψ∗(HΨ)]
ma per definizione di operatore trasposto:
0 =i
h
∫
dq Ψ∗(H∗tΨ) − Ψ∗(HΨ) =i
h
∫
dq Ψ∗[(H∗t − H)Ψ]
infatti, se H e un’osservabile, deve essere autoaggiunto ⇒ H∗t − H = 0.
Ora, dato un operatore f voglio definirne la derivata rispetto al tempo, che denoteremo conˆf , tale
che valga la seguente proprieta:
¯f = ˙f oppure
(∂f
∂t
)
=∂f
∂t
Iniziamo col calcolare ˙f :
˙f =d
dt
∫
dq Ψ∗(fΨ) =
∫
dq ∂tΨ∗(fΨ) + Ψ∗[(∂tf)Ψ] + Ψ∗[f(∂tf)]
Utilizziamo ancora l’equazione di Schrodinger per ottenere:
˙f =
∫
dq Ψ∗[(∂tf)Ψ] +i
h
∫
dq (H∗Ψ∗)fΨ − i
h
∫
dq Ψ∗(f HΨ)
ma H e autoaggiunto, quindi:
˙f =
∫
dq Ψ∗[(∂tf)Ψ] +i
h
∫
dq Ψ∗(HfΨ) − i
h
∫
dq Ψ∗(f HΨ)
possiamo quindi concludere che:
¯f = ˙f =
∫
dq Ψ∗(q, t)
(
∂tf +i
h[H; f ]
)
Ψ(q, t)
e allora l’espressione che cercavamo perˆf e:
ˆf = ∂tf +
i
h[H; f ] (3.5)
in analogia al caso classico.Notiamo quindi che se ∂tf = 0 allora f e conservato se e solo se f commuta con l’operatore hamilto-
niano.
3.6 Stati stazionari
D’ora in poi ci porremo sempre nel caso in cui per un operatore non vi sia dipendenza esplicita dal tempo(∂tf = 0), e verra specificato in caso contrario.
Definiamo allora stato stazionario ogni autostato dell’hamiltoniana H. Ne discende automaticamenteche gli stati stazionari sono le soluzioni della seguente equazione:
HΨn(q) = EnΨn(q) (3.6)
Ci occuperemo ora di calcolare qual e l’evoluzione temporale delle Ψn(q). Iniziamo dall’equazione diSchrodinger:
ih∂tΨn(q, t) = HΨn(q, t) = EnΨn(q, t)
⇒ Ψn(q, t) = Ψn(q, t0)e− i
h En(t−t0) (3.7)
e interessante notare che se Ψn(q, t0) e un autostato di H allora la Ψn(q, t) lo e ad ogni istante, dato chei due stati differiscono solo di un fattore di fase. Ma questo non significa che l’evoluzione della Ψ(q, t) sia
17
banale come quella degli stati stazionari, infatti dal momento che il principio di sovrapposizione vale perogni t allora
Ψ(q, t) =
∞∑
n=0
anΨn(q, t) ⇒ Ψ(q, t) =
∞∑
n=0
ane−ih EntΨn(q, 0)
Verifichiamo ora la validita dell’equazione di Schrodinger (ci riferiremo sempre al caso t0 = 0 persemplicita):
∂Ψ
∂t(q, t) =
∞∑
n=0
−anΨn(q, 0)iEn
he−
ih Ent = − i
h
∞∑
n=0
anΨn(q, 0)Ene−ih Ent
⇒ ih∂tΨ =
∞∑
n=0
anΨn(q, 0)Ene−ih Ent
d’altra parte
HΨ = H
( ∞∑
n=0
anΨn(q, 0)e−ih Ent
)
=
∞∑
n=0
ane−ih EntHΨn(q, 0) =
=∞∑
n=0
anΨn(q, 0)Ene−ih Ent
quindi
ih∂tΨ =
∞∑
n=0
anΨn(q, 0)Ene−ih Ent = HΨ
Quindi, se per il principio di sovrapposizione abbiamo
Ψ = a0Ψ0e− i
h E0t + a1Ψ1e− i
h E1t + · · · = e−ih E0t
[ ∞∑
n=0
anΨne−ih (En−E0)t
]
l’evoluzione della Ψ non e semplice come quella degli autostati, perche dipende dalle differenze nei livellienergetici dei singoli autostati.
Un’altra proprieta interessante degli stati stazionari e che la probabilita di misurare En al tempo t e∣∣∣ane−
ih Ent
∣∣∣ = |an|
ed e sempre la stessa per ogni istante di tempo. Una ulteriore proprieta e la seguente, supponendo cheΨ = Ψn, allora:
f =
∫
dq Ψ∗(q, t)fΨ(q, t) =
∫
dq Ψ∗n(q, t)fΨn(q, t) =
=
∫
dq Ψ∗n(q, 0)e
ih EntfΨn(q, 0)e−
ih Ent =
∫
dq Ψ∗n(q, 0)fΨn(q, 0)
ovvero, se il sistema e in uno stato stazionario, il valor medio di f e conservato.Sappiamo dall’algebra lineare che puo succedere che lo spettro degli autovalori di un operatore lineare
sia degenere, ovvero che possono esserci alcuni autovalori che compaiono con molteplicita maggiore di 1,e ci chiediamo cosa succede in tal caso.
In questa situazione lo spettro di H e degenere se esistono due osservabili f e g tali che:
[H; f ] = 0
[H; g] = 0
[f ; g] 6= 0
Dimostriamolo:Supponiamo che esista Ψ autofunzione di H e f contemporaneamente.
HΨ = EΨ
fΨ = fΨΨ esiste ⇔ [H; f ] = 0
supponiamo inoltre che 6 ∃c tale che gΨ = cΨ. Ma gΨ e autofunzione di H perche
HgΨ = gHΨ = gEΨ = EgΨ
18
ma allora abbiamo due autofunzioni di H (Ψ e gΨ) relative allo stesso autovalore, che sono tra di lorolinearmente indipendenti.
Per finire notiamo che se il sistema non e in uno stato stazionario allora
f(t) =∑
m
∑
n
∫
dq a∗me
ih EmtΨ∗
m(q, 0)fane−ih EntΨn(q, 0) =
=∑
m
∑
n
∫
dq a∗mane
ih (Em−En)t Ψ∗
m(q, 0)fΨn(q, 0)
allora se [f ; H] = 0 ⇒ fΨn = fnΨn e
f(t) =∑
m
∑
n
∫
dq fna∗mane
ih (Em−En)t Ψ∗
mΨn =∑
m
∑
n
fna∗mane
ih (Em−En)t
∫
dq Ψ∗mΨn =
=∑
m
∑
n
fna∗mane
ih (Em−En)tδmn =
∑
n
fn|an|2
3.7 L’operatore impulso
Supponiamo di avere un sistema fisico che sia invariante per traslazioni, ovvero che
(HΨ)(r + dr) = H[Ψ(r + dr)]
Chiamiamo T l’operatore di traslazione del sistema e esprimiamo l’invarianza in termini di T :
H[TΨ(r)] = T [HΨ(r)] ⇒ [H; T ] = 0
Ora cerchiamo di ricavare l’espressione di T . Espandiamo la Ψ(r) in serie di Taylor fino al primo ordine:
Ψ(r + dr) = Ψ(r) + dri∂iΨ(r) + (dri)
dalla quale estrapoliamo:TΨ(r) = (1 + ∂iri)Ψ(r)
ma allora[H; T ] = 0 ⇒ [H; 1 + ∂iri] = 0 ⇒ [H; ∂i] = 0
quindi, per analogia al caso classico (v. pag.6) possiamo supporre pi ∝ ∂i, o piu specificatamente:
pi = −ih∂i (3.8)
E’ facile verificare che p e autoaggiunto. Sia f un operatore autoaggiunto, allora
(Ψ; fΦ) = (Φ∗; f tΨ∗) ⇒ (Ψ; fΦ)∗ = (Φ∗; f tΨ∗)∗
⇒∫
dq Ψf∗Φ∗ =
∫
dq Φ∗f t∗Ψ ⇒ (fΦ, Ψ) = (Φ, f†Ψ)
f = f† ⇒ (fΦ; Ψ) = (Φ; fΨ) (3.9)
Controlliamo che p verifichi la (3.9).
(Φ; pΨ) =
∫
dq Φ∗(q) (−ih)∂Ψ(q) = −ih
∫
dq Φ∗(q) ∂Ψ(q)
integriamo per parti l’ultimo membro per ottenere
(Φ; pΨ) = −ih [Φ∗Ψ]+∞−∞ + ih
∫
dq (∂Φ∗)Ψ
A causa della normalizzabilita delle funzioni d’onda Φ e Ψ devono tendere a zero abbastanza velocementeper x → ±∞, quindi
(Φ; pΨ) =
∫
dq (−ih∂Φ)∗Ψ = (pΦ; Ψ)
19
Abbiamo quindi la forma di T per una trasformazione infinitesima lungo x:
Tx = 1 + dx∂x = 1 + dxi
hpx (3.10)
Per quel che riguarda una traslazione finita, dobbiamo richiedere che effettuare una traslazione di2∆x sia come applicare due volte una traslazione di ∆x, ovvero che T (2∆x) = T 2(∆x). L’unico modo ericonoscere nella (3.10) lo sviluppo in serie di un esponenziale e scrivere:
Ψ(x + L) = eih LpΨ(x)
Quindi l’operatore per una traslazione finita e:
U(L) = eih Lp ⇒ U†(L) = e−
ih Lp
Notiamo immediatamente che U e unitario, difatti soddisfa la proprieta U†U = 1
Classicamente e indifferente l’ordine con cui si applicano le traslazioni, e lo e anche in meccanicaquantistica, difatti abbiamo che [pi; pj ] = 0. Ma in genere si ha che [pi; qj ] 6= 0, difatti
pΨ = −ih∂ΨxΨ = xΨ
⇒ [px; x]Ψ = −ih(∂xx − x∂x)Ψ
px(xΨ) − x(pxΨ) = −ih∂x(xΨ) − x(−ih∂xΨ) =
= −ihΨ − ihx∂xΨ + ihx∂xΨ = −ihΨ
E quindi[px; x] = −ih (3.11)
La presenza della sola derivata parziale in pi fa sı che
[pi; qj ] = −ih δij (3.12)
Ora ci poniamo il problema di trovare le autofunzioni di p. Risolviamo il problema agli autovalori dip:
pΨp(x) = pΨp(x) ⇒ −ih∂xΨp(x) = pΨp(x)
questa equazione e risolvibile per separazione di variabili, e la soluzione e (considerando tutte e tre ledimensioni spaziali)
Ψp(r) = c eih p·r
Notiamo subito che le autofunzioni di p non sono normalizzabili, in quanto |Ψp|2 = |c|2In base al principio di sovrapposizione possiamo esprimere Ψ(r) in termini delle autofunzioni di p
usando la formula
Ψ(r) =
∫
dp a(p) eih p·r
dove |a(p)|2 e la probabilita di ottenere p come valore di una misurazione. Al contrario
a(p) =
∫
drΨ(r) e−ih p·r
Questa nuova rappresentazione di Ψ che otteniamo e chiamata rappresentazione d’impulso cosı comequella che abbiamo finora utilizzato e chiamata rappresentazione di coordinate, come si vede facilmente,il passaggio da una all’altra si effettua tramite una Trasformata di Fourier.
Vogliamo trovare la forma di x in rappresentazione d’impulso. A tale scopo ricordiamo che l’azione diun operatore e definita tramite il suo valor medio.
r =
∫
dp a∗(p)ra(p) =
∫
dr Ψ∗(r)rΨ(r)
ma
Ψ(r) =
∫
dp a(p)eih pr e a(p)rΨ(r) =
∫
dp r eih pr
svolgendo il secondo integrale per parti otteniamo
rΨ(r) =
∫
dp a(p)r eih pr = −ih[a(p) e
ih pr]+∞
−∞ + ih
∫
dp∂a(p)
∂pe
ih pr = ih
∫
dp∂a(p)
∂pe
ih pr
20
quindi
r = ih
∫
dr Ψ∗(r)
∫
dp∂a(p)
∂pe
ih pr
Ponendo Ψ∗(r) =∫
dp′ a∗(p′)e−ih p′r abbiamo
r = ih
∫
dr
∫
dp′a∗(p′)e−ih p′r ·
∫
dp∂a(p)
∂pe
ih pr = ih
∫
dp′ dp a∗(p′)∂a(p)
∂p
∫
dr eih r(p−p′)
ma l’integrale in dr vale esattamente δ(p − p′) e quindi
r = ih
∫
dp a∗(p)∂
∂pa(p)
e possiamo infine concludere che
r = ih∂
∂p(3.13)
3.8 Principio di indeterminazione
Possiamo ora ricavare direttamente l’espressione del Principio di indeterminazione di Heisenberg. Sup-poniamo di effettuare un set di misure di x e di p su una particella. Definiamo fin da subito le duedispersioni come
∆x =
√
(x − x)2 ∆p =
√
(p − p)2
e fin da subito poniamoci nel caso in cui x = 0 e p = 0. Data una qualsiasi funzione Ψ, consideriamo laseguente identita:
∫ +∞
−∞
∣∣∣∣αxΨ +
dΨ
dx
∣∣∣∣
2
dx ≥ 0 con α ∈ R (3.14)
∫ +∞
−∞
∣∣∣∣αxΨ +
dΨ
dx
∣∣∣∣
2
dx =
∫ +∞
−∞
(
αxΨ∗ +dΨ∗
dx
)(
αxΨ +dΨ
dx
)
dx =
=
∫ +∞
−∞α2x2|Ψ|2 dx +
∫ +∞
−∞
dΨ
dx
dΨ∗
dxdx +
∫ +∞
−∞α
(
xΨdΨ∗
dx+ xΨ∗ dΨ
dx
)
dx
calcoliamo i tre integrali separatamente:
1. ∫ +∞
−∞α2x2|Ψ|2 dx = α2x2 = α2(∆x)2
2.∫ +∞
−∞
dΨ
dx
dΨ∗
dxdx = −
∫ +∞
−∞Ψ∗ d2Ψ
dx2dx =
p2
h2 =1
h2 (∆p)2
3. ∫ +∞
−∞α
(
xΨdΨ∗
dx+ xΨ∗ dΨ
dx
)
dx = α
∫ +∞
−∞x
d
dx|Ψ|2 dx = −α
∫ +∞
−∞|Ψ|2 dx = −α
ricomponendo l’espressione otteniamo
α2(∆x)2 − α +1
h2 (∆p)2 ≥ 0
Affinche questa espressione valga ∀α occorre che il polinomio di secondo grado in α abbia determinantenegativo
b2 − 4ac = 1 − 4(∆x)21
h2 (∆p)2 ≤ 0
da cui ricaviamo:
∆x · ∆p ≥ h
2(3.15)
L’uguaglianza nella (3.15) e ottenuta solo per una particolare funzione d’onda:
Ψ(x) =1
(2π)14
1√∆x
eih px− x2
4∆x2 ⇔ a(p) = e−2
h2 ∆x2p2
21
Capitolo 4
Potenziali unidimensionali
Ora che abbiamo posto le basi per lo studio di un sistema quantistico, inizieremo a studiarne alcuni diparticolare interesse.
4.1 La particella libera
Il primo sistema che usualmente si studia e quello di una particella libera in assenza di potenziali esterni.Abbiamo visto come, supponendo la validita dell’equazione di Schrodinger, l’operatore hamiltoniano e isuoi autostati giochino un ruolo molto particolare nella descrizione di un sistema fisico.
Cerchiamo quindi di costruire una hamiltoniana per una particella libera. Come spesso faremo,lavoreremo in analogia al caso classico:
Hc =|p|22m
=1
2m(px
2 + py2 + pz
2)
in meccanica quantistica un’hamiltoniana del genere diverrebbe:
HMQ = − h2
2m(∂x
2 + ∂y2 + ∂z
2) = − h2
2m∇2
notiamo fin da subito che in questo caso gli autostati di p e H coincidono, infatti1
HΨE =p2
2mΨE = EΨE
e in particolare ne conosciamo l’espressione:
ΨE(r) = c eih p·r
e possiamo ricavare il valore del relativo autovalore:
− h2
2m∇2ΨE = EΨE ⇒ − h2
2m∇2e
ih p·r = − h2
2m
(
−px2
h2 − py2
h2 − pz2
h2
)
ΨE
⇒ E =|p|22m
Ma conosciamo esplicitamente l’evoluzione temporale degli autostati di H
ΨE(r; t) = ΨE(r; 0)e−ih Et = e−
ih Ete
ih p·r = e−
ih (Et−p·r) (4.1)
la quale rappresenta l’espressione di un’onda piana ei(wt−k·x) in cui
ω = Eh
k = p
h
⇒ λ =2π
|k| =2πh
|p| =h
|p|
1considerando anche il fatto che gli autostati di p e di p2 sono gli stessi
22
ed ecco che ritroviamo la relazione di de Broglie.
Consideriamo ora, per semplicita, il caso unidimensionale. Per un livello di energia E = |p|22m abbiamo
due possibili autostati
Ψ+E(x) = e
ih pxx e Ψ−
E(x) = e−ih pxx
con autovalori ±px.Definiamo ora l’operatore parita:
PΨ(x) ≡ Ψ(−x)
Calcoliamone gli autovalori, partendo da una proprieta di P :
P 2Ψ(x) = P [PΨ(x)] = Ψ(x) ⇒ (P 2 − 1)Ψ(x) = 0
e ricordando dall’algebra lineare che se un operatore soddisfa un’equazione allora la soddisfano anche isuoi autovalori abbiamo
λ2 − 1 = 0 ⇒ λ1/2 = ±1
il che indica che abbiamo solo due possibilita:
PΨP = ΨP funzione pari
PΨD = −ΨD funzione dispari
Dato che P e autoaggiunto, possiamo scrivere ogni funzione d’onda in termini degli autostati di P ,difatti
Ψ(x) =Ψ(x) + Ψ(−x)
2︸ ︷︷ ︸
ΨP
+Ψ(x) − Ψ(−x)
2︸ ︷︷ ︸
ΨD
Per quanto detto prima, abbiamo due autofunzioni di p relative allo stesso livello energetico, dobbiamonecessariamente concludere che lo spettro di H e degenere. Ma [P ; H] = 0, infatti se consideriamo comeP agisce sul sistema osserviamo che:
x → −x∂x → −∂x
∂x2 → ∂x
2
ed H viene lasciata invariata dall’azione di P . Inoltre sappiamo che [px; H] = 0 ma [px; P ] 6= 0 difatti,ricordando che Ψ+
E e ΨE− sono linearmente indipendenti vediamo come P agisce sugli autostati di px
PΨ+E = Ψ−
E 6= cΨ+E
PΨ−E = Ψ+
E 6= dΨ−E
4.2 Proprieta dell’equazione di Schrodinger
Dal momento che e nota l’evoluzione temporale di un qualunque autostato di H, risolvere l’equazione diSchrodinger e equivalente al risolvere il problema agli autovalori di H
HΨ =|p|22m
Ψ + V (r)Ψ = − h2
2m∇2Ψ + V (r)Ψ = EΨ
che spesso e riscritta come
∇2Ψ =2m
h2 (V (r) − E)Ψ (4.2)
A causa della struttura della (4.2) la funzione Ψ e almeno di classe C1, sotto la condizione che ilpotenziale V (r) sia limitato. Verifichiamolo in una dimensione, supponendo che V (x) sia discontinuo nelpunto x = x0 , ma con discontinuita finita. La (4.2) prende la forma
∂x2Ψ =
2m
h2 (V (x) − E)Ψ
23
integriamo entrambe i membri in un intorno di x0 per ottenere
∫ xo+ε
x0−ε
∂x2Ψ dx =
2m
h2
∫ xo+ε
x0−ε
(V (x) − E)Ψ dx
∂Ψ
∂x
∣∣∣∣
xo+ε
x0−ε
=2m
h2
∫ xo+ε
x0−ε
(V (x) − E)Ψ dx
ma allora se V (x) e limitato
limε→0
∂Ψ
∂x
∣∣∣∣
xo+ε
x0−ε
= 0
e quindi ∂xΨ e continua.Prendiamo ora in esame il caso di un potenziale limitato inferiormente, con V (x) ≥ Vmin, come quello
in Figura 4.1
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
V
x
Figura 4.1:
Dal momento che p e autoaggiunto, ne discende direttamente che p2 ≥ 0, infatti
(Ψ; p2Ψ) = (Ψ; p · pΨ) = (pΨ; pΨ) ≥ 0
e dal momento che
H = T + V =|p|22m
+ V (x)
ne discende che H ≥ Vmin e che quindi ogni autovalore di H, E, soddisfera la condizione E ≥ Vmin
Se aggiungiamo all’ipotesi V (x) ≥ Vmin anche l’ipotesi
limx→+∞
V (x) = 0
allora tutti gli autovalori E < 0 sono di spettro discreto. Lo dimostriamo per assurdo supponendo cheE < 0 appartenga allo spettro continuo. Se cosı fosse, la relativa ΨE non sarebbe normalizzabile, ovvero∫|ΨE | dx → +∞, e quindi la probabilita di trovare la particella in una posizione x con x grande a piacere
sarebbe sempre diversa da 0. Ma per qualche x0 avviene che V (x) > E, quindi T < 0, e possiamosempre pensare di effettuare una misura per determinare se la particella sia in una posizione x > x0 conesito positivo. Se supponiamo di effettuare questa misurazione con una imprecisione grande a piacere, lapertubazione che questo processo provoca all’impulso della particella non e sufficiente a far sı che T siapositivo ⇒ T < 0 ⇒ assurdo.
Prendiamo ora in considerazione il potenziale in Figura 4.2 e supponiamo di avere una particella nellaregione x ∈ (xa; xb).
In questo caso la regione x ∈ [xb; xc] non e affatto proibita alla particella, difatti se noi vogliamorilevare la presenza della particella in tale intervallo, siamo costretti a misurarne la posizione con precisione
24
E
xa xb xc
xd
Figura 4.2:
∆x ≤ xc −xb e, a seconda dell’altezza della barriera, la particella ha la possibilita di trovarsi nella regionex ∈ (xc; xd), sebbene inizialmente si trovasse nell’intervallo (xa; xb)!
Questo effetto e chiamato effetto tunnel. La probabilita di tunneling di una particella e calcolabile edipende esclusivamente dalla forma della barriera.
Analizziamo ora qualitativamente i potenziali della forma
V (x) = − 1
xs
Per questa classe di potenziali, dal punto di vista classico, in un intorno di x = 0 e permesso qualunquestato energetico, piccolo a piacere. Analizziamo invece cosa accade dal punto di vista quantistico. Sup-poniamo di misurare la posizione di una particella in un punto x0 vicino all’origine, con le seguentiincertezze:
∆x = x0 ; ∆p ≈ h
x0
con E = T + V data, supponiamo inoltre che p = 0 entro i limiti di osservazione sopra imposti. Allora
E =p2
2m− 1
xs=
h2
2mx02− 1
x0s
Nel limite x0 → 0 distunguiamo i vari casi:
• s > 2: Per x0 → 0, E → −∞ come nel caso classico.
• s < 2: Il potenziale e simile a quello in Figura 4.1 ⇒ esiste un valore minimo dell’energia permessaalla particella. Questo e un effetto puramente quantistico.
Viceversa consideriamo il caso in cui x → +∞ per il quale effettuiamo una misura di x0 con errorerelativo costante2
E ≈ h2
2m
1
(∆x0)2− 1
x0s
x0→+∞−→ h2
2mx02− 1
x0s
• s > 2: Il numero di stati tali che E < 0 e finito, ovvero esiste un x′ tale che E(x′) > 0.
• s < 2: Esistono infiniti stati tali che E < 0, i quali si addensano vicino al valore E = 0.
Un’ultima considerazione riguarda la natura degli autostati dell’hamiltoniana. Consideriamo ancora ilproblema agli autovalori di H:
− h2
2m∇2ΨE(x) + V (x)ΨE(x) = EΨE(x)
osservando che ΨE(x) soddisfa un’equazione differenziale a coefficienti reali, possiamo concludere che gliautostati di H possono sempre essere scelti reali.
2 ∆x0x0
= k
25
4.3 Densita di corrente
Finora ci siamo occupati di casi statici, ma prima di considerare l’evoluzione dinamica di un sistemadobbiamo definire alcuni operatori, in primis l’operatore velocita v. Per definire v abbiamo due possibilialternative:
v =p
m; v = ˆr =
i
h[H; r]
verifichiamo che sono equivalenti.
Se l’hamiltoniana del sistema e H = p2
2m + U(r) allora la seconda definizione fornisce
v =i
h
[p2
2m+ U(r); r
]
=i
2mh[p2; r] +
i
h[U(r); r]
ma ricordando la regola [f(r); r] = 0 otteniamo
v =i
2mh[p2; r]
si dimostra che3 [r; f(p)] = ih∂pf(p), ed utilizzando questa relazione si ottiene
v = − i
2mh[r; p2] =
p
m
e possiamo quindi calcolare l’operatore accelerazione come
a = ˆv =i
h[H; v] =
i
hm[H; p] =
i
hm[U(r); p]
analogamente al caso di prima si puo dimostrare che4 [p; f(r)] = −ih∂rf(r) e ottenere
a =i
hm[U(r); p] = − 1
m∂rU(r)
ovveroma = −∂rU(r)
Questo ci dice che la meccanica classica e verificata a livello operatoriale in meccanica quantistica, quindiin particolare e soddisfatta dai valori medi delle osservabili che rappresentano le grandezze classiche concui abbiamo quotidianamente a che fare.
Siamo ora interessati a sapere come, data la probabilita di trovare la particella in un intervallo [a, b],essa evolva nel tempo.
d
dtP(a, b, t) =
d
dt
∫ b
a
Ψ∗(q)Ψ(q) dq =
∫ b
a
[∂tΨ∗(q) · Ψ(q) + Ψ∗(q) · ∂tΨ(q)] dq =
=
∫ b
a
i
h
[
(HΨ∗(q)) · Ψ(q) − Ψ∗(q) · (HΨ(q))]
dq =
= − i
h
∫ b
a
[h2
2mΨ(q)∇2Ψ∗(q) − U(r)Ψ(q)Ψ∗(q) − h2
2mΨ∗(q)∇2Ψ(q) + U(r)Ψ(q)Ψ∗(q)
]
dq =
= − ih
2m
∫ b
a
[Ψ(q)∇2Ψ∗(q) − Ψ∗(q)∇2Ψ(q)
]dq
Considerando dq come un elemento infinitesimo di volume d3x l’ultimo integrale puo essere riscrittocome
d
dtP(a, b, t) = −
∫
V∇ · j d3x (4.3)
avendo posto5
j =ih
2m[Ψ(q)∇Ψ∗(q) − Ψ∗(q)∇Ψ(q)] (4.4)
3vedi appendice B4vedi appendice B5vedi appendice B
26
La (4.3) puo essere riscritta come:
d
dt
∫
Vd3x |Ψ|2 = −
∫
Vd3x∇ · j = −
∫
∂VdS n · j
dove nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato il Teorema della divergenza6; oppure possiamo esprimerlain forma locale:
∂|Ψ2|∂t
+ ∇ · j = 0 (4.5)
La (4.3)/(4.5) e chiamata Equazione di conservazione della probabilita.Per una particella libera con funzione d’onda del tipo (4.1) di solito si pone la costante di normalizzazioneal valore C = 1/
√v di modo che7
j =p
mv⇒ |j| = 1
In generale, dato un certo potenziale unidimensionale, lo stato stazionario fondamentale Ψ0(q) nonha zeri su tutto l’asse reale, mentre per gli stati superiori Ψn il numero di zeri e proporzionale a n dalmomento che (Ψn; Ψm) = δnm ∀n,m
4.4 Moti unidimensionali
Consideriamo ancora il problema agli autovalori di H, in un contesto unidimensionale la (4.2) prende laforma:
d2
dx2ΨE(x) +
2m
h2 (E − V (x))Ψ(x)
Iniziamo con l’osservare che in una dimensione, lo spettro discreto non e mai degenere. Dimostriamolosupponendo, per assurdo, che vi siano due autofunzioni di H, appartenenti allo spettro discreto, con lostesso autovalore E tali che Ψ1 6= cΨ2 allora
HΨ1 = EΨ1
HΨ2 = EΨ2⇒ Ψ′′
1
Ψ1=
Ψ′′2
Ψ2= −2m
h2 (E − V (x))
allora
Ψ′′1Ψ2 − Ψ′′
2Ψ1 = 0 ⇒ d
dx(Ψ′
1Ψ2 − Ψ′2Ψ1) = 0
quindiΨ′
1Ψ2 − Ψ′2Ψ1 = k
ma siccome le due autofunzioni appartengono allo spettro discreto devono essere normalizzabili, e quindik deve necessariamente essere 0, e allora
Ψ′1Ψ2 = Ψ′
2Ψ1 ⇒ Ψ′1
Ψ1=
Ψ′2
Ψ2⇒ d
dxlog Ψ1 =
d
dxlog Ψ2
da cui otteniamolog Ψ1 = log Ψ2 + w ⇒ Ψ1 = cΨ2
assurdo.Inoltre, se V e limitato superiormente (V ≤ V0), allora anche gli stati con 0 < E < V0, di spettro
continuo, sono non-degeneri.
4.4.1 Gradino e Buca di potenziale
Consideriamo un potenziale della forma V (x) = V0θ(−x) e cerchiamo una soluzione della (4.2) con0 < E < V0. Per x > 0 abbiamo
d2
dx2Ψ(x) +
2m
h2 EΨ(x) = 0 ⇒ Ψ±(x) = e±ih
√2mEx
6vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema della divergenza7vedi appendice B
27
e dal momento che Ψ(x) puo essere una qualunque combinazione lineare delle Ψ±(x) possiamo scegliere,senza problemi di generalita
Ψ(x) = A cos(kx + δ) per x > 0
Mentre per x < 0 abbiamo
d2
dx2Ψ(x) +
2m
h2 (E − V0)Ψ(x) = 0 ⇒ Ψ±(x) = e±ax con a =
√
2m
h2 (V0 − E)
ovviamente, per via della normalizzabilita, l’unica soluzione accettabile e
Ψ(x) = exh
√2m(V0−E) per x < 0
Facciamo ora un piccolo passo indietro, e poniamo come potenziale V (x) = V0θ(x) e iniziamo fin dasubito col porre
k2 =2mE
h2 q2 =2m(E − V0)
h2
i quali sappiamo gia che saranno i numeri d’onda delle soluzioni nelle due regioni x < 0 e x > 0.Iniziamo con la zona x < 0, dove sappiamo che la soluzione deve essere del tipo
Ψ1(x) = Aeikx + Be−ikx
Poniamo direttamente A = 1 (dal momento che la funzione non e normalizzabile cio e sempre possibile, eci servira per studiare il caso di una particella proveniente da x = −∞) e riscriviamo la Ψ1(x) come
Ψ1(x) = eikx + Re−ikx
dove R e definito come il coefficiente di riflessione dell’onda. Si dimostra8 che la densita di corrente inquesta regione e
j =ih
2m(Ψ(x)∂xΨ∗(x) − Ψ∗(x)∂xΨ(x)) = h
k
m(1 − |R|2)
Nella zona x > 0 invece, la soluzione varia a seconda del segno di q2. Prenderemo prima in considerazioneil caso in cui q2 > 0, anche in questo caso, la soluzione e del tipo
Ψ2(x) = Aeiqx + Be−iqx
e, in accordo con l’ipotesi di una particella proveniente da −∞ poniamo direttamente
Ψ2(x) = Teiqx
dove T e il coefficiente di trasmissione dell’onda. Anche in questo caso si dimostra che9
j = hq
m|T |2
Riassumiamo quindi la situazione:
Ψ(x) = eikx + Re−ikx
j = hk
m(1 − |R|2)
x < 0
Ψ(x) = Teiqx
j = hq
m|T |2
x > 0
Dal momento che la Ψ(x) non dipende dal tempo, la (4.5) si riscrive come ∂xj = 0, il che implica chej sia una funzione costante. Imponendo la continuita nel punto x = 0
hk
m(1 − |R|2) =
hq
m|T |2 (4.6)
8vedi appendice B9vedi appendice B
28
Ma anche la Ψ(x) e la sua derivata devono essere continue, e quindi allo stesso modo ne imponiamo lacontinuita in x = 0 ottenendo
1 + R = T
k(1 − R) = qT⇒
R =k − q
k + q
T =2k
k + q
Ragionevolmente otteniamo che per E >> V0 q → k e quindi R → 0.Nel caso in cui 0 < E < V0, invece, abbiamo q2 < 0 e mentre la Ψ1(x) rimane invariata la Ψ2(x)
sappiamo che assume la formaΨ2(x) = Te−|q|x
e ripetendo gli stessi calcoli troviamo
|R|2 ≡ 1 T =2k
k + i|q|
Come ci saremmo aspettati classicamente, il coefficiente di riflessione e esattamente 1, questo significache tutta l’onda viene riflessa, ma contrariamente alle aspettazioni classiche il coefficiente di trasmissionenon e nullo, sebbene sia un numero complesso. Questo significa che e sempre possibile trovare la parti-cella all’interno della barriera di potenziale, a patto di misurarne la posizione con una certa precisione.Cio e conseguenza del principio di indeterminazione: una misura della posizione sufficientemente precisamodificherebbe l’impulso della particella rendendo la sua energia cinetica media positiva.
Muniti di queste scoperte possiamo analizzare il caso di un potenziale del tipo
V (x) = V0 − V0[θ(−x − a) + θ(x − a)] con V0 < 0
anche detto “ buca finita di potenziale”. Iniziamo col considerare che per valori di energia E > 0 avremouno spettro di autovalori continuo, mentre per V0 < E < 0 saremo in presenza di spettro discreto. Inquesto caso definiamo
k2 =2mE
h2 q2 =2m(E + V0)
h2
e quindi la funzione d’onda avra un’espressione diversa in ognuna delle tre zone:
Ψ1(x) = eikx + Re−ikx x < −aΨ2(x) = Aeiqx + Be−iqx −a < x < aΨ3(x) = Teikx x > a
in questo caso la continuita di j porta a
hk
2m(1 − |R|2) =
hq
2m(|A|2 − |B|2) =
hk
2m|T |2
mentre la continuita di Ψ(x) e di ∂xΨ(x) impone
x = −a →
e−ika + Reika = Ae−iqa + Beiqa
ik(e−ika − Reika) = iq(Ae−iqa − Beiqa)x = a →
Aeiqa + Be−iqa = Teika
iq(Aeiqa − Be−iqa) = ikTeika
da cui otteniamo
R =ie−2ika(q2 − k2) sin(2qa)
2qk cos(2qa) − i(q2 + k2) sin(2qa)
T =2kqe−2ika
2kq cos(2qa) − i(q2 + k2) sin(2qa)
Notiamo che continua a valere che per E >> |V0| k → q ed R → 0, ma ci sono anche altri casi in cuiR e esattamente 0, ovvero tutti quei casi in cui 2qa = nπ. Cio si spiega facilmente ipotizzando che inquesti casi le riflessioni della funzione d’onda nei punti a e −a si sommano interferendo distruttivamentel’una con l’altra, per cui dal punto di vista della particella e come se la buca non esistesse. Osservandola definizione di q2 e facile vedere che si tratta dei casi (nello spettro continuo) in cui l’energia assume ivalori
E = −|V0| +n2π2h2
8ma2con n ∈ N
29
Per completezza analizziamo il potenziale U(x) = −V (x) che rappresenta una barriera finita di poten-ziale. L’unico cambio che dobbiamo effettuare nei nostri calcoli e sostituire q con iq dal momento che orae immaginario puro. Da notare l’espressione di |T |2
|T |2 =(2kq)2
(k2 + q2)2 sinh(2qa) + 2qk
come rappresentazione dell’effetto tunnel. Nel limite10 qa → +∞
|T |2 ≈ (2kq)2
(k2 + q2)2e−4qa
E’ interessante considerare che approssimando un generico potenziale con una funzione costante atratti11 si puo facilmente ottenere che nel tratto ∆xi
|Ti|2 ≈ e−4qiai = e−2qi∆xi
e se il passo e sufficientemente piccolo
|Ti|2 ≈ e−2∆xi
√2mh2 [V (ai)−E]
Considerando che |T |2 ∝∏i |Ti|2 e effettuando il passaggio al limite ∆xi → 0 otteniamo
|T |2 ∝ e−2
∫ ba
dx√
2mh2 [V (x)−E]
(4.7)
4.4.2 Oscillatore Armonico
Consideriamo l’Hamiltoniana
H =p2
2m+
1
2kx2
e cerchiamo di risolvere il problema agli autovalori
HΨn = EnΨn ⇔ − h2
2m
d2
dx2Ψn(x) +
1
2kx2Ψn(x) = EnΨn(x)
risolveremo questa equazione avvalendoci di due diversi metodi.
Primo metodo
Invece di risolvere il problema di Cauchy, imponiamo la condizione al contorno
limx→∞
Ψn(x) = 0
e introduciamo i seguenti parametri:
ω =
√
k
m; ε =
2E
hω; y =
√mω
hx
l’equazione agli autovalori diventa cosı
d2
dy2Ψ(y) + (ε − y2)Ψ(y) = 0 (4.8)
Consideriamo una prima approssimazione nella soluzione, per ε fissato e nel limite y → +∞ ci limitiamoa risolvere
d2
dy2Ψ(y) − y2Ψ(y) = 0 ⇒ 2
dΨ
dy
(d2
dy2Ψ(y) − y2Ψ(y)
)
= 0
⇒ d
dy
(dΨ
dy
)2
− y2 d
dyΨ2 = 0 ⇒ d
dy
[(dΨ
dy
)2
− y2Ψ2
]
= −2yΨ2
10dire qa → +∞ e come dire U0 → +∞11come nel procedimento di integrazione di Riemann
30
trascuriamo il termine a secondo membro in quanto di ordine inferiore e otteniamo
(dΨ
dy
)2
= y2Ψ2 + k ⇒ dΨ
dy=√
y2Ψ2 + k
ma la richiesta che Ψ e ∂xΨ tendano a 0 per x → ∞ impone che k = 0, e quindi
dΨ
dy= ±y|Ψ| ⇒ Ψ = e±
y2
2 ⇒ Ψ = e−y2
2
dal momento che e l’unica soluzione normalizzabile. Ci aspettiamo quindi che la vera soluzione sia deltipo
Ψ(y) = Ψ(y)e−y2
2
sostituendo nell’equazione originale otteniamo
e−y2
2
[
d2
dy2Ψ − 2y
dΨ
dy+ (ε − 1)Ψ
]
= 0
La soluzione puo essere trovata nello spazio vettoriale delle funzioni polinomiali, e senza dilungarci oltresu questo argomento poniamo fin da subito
Ψ =
+∞∑
n=0
anyn
ottenendo+∞∑
n=0
nan(n − 1)yn−2 − 2y+∞∑
n=0
annyn−1 + (ε − 1)+∞∑
n=0
anyn
tenendo conto che nella prima sommatoria i termini in n = 0 e in n = 1 sono nulli, possiamo scrivere,dopo aver posto12 n = m + 2,
+∞∑
m=0
am+2(m + 1)(m + 2)ym − 2
+∞∑
m=0
mamym +
+∞∑
m=0
(ε − 1)amym = 0
⇒+∞∑
m=0
[am+2(m + 1)(m + 2) − 2mam + am(ε − 1)]ym = 0
affinche cio valga ∀y occorre che
(m + 1)(m + 2)am+2 + (ε − 1 − 2m)am = 0
Questa relazione di ricorrenza ci permette di conoscere tutti i coefficienti am a patto di conoscere a0 e a1,otteniamo infatti
am+2 =(1 − ε) + 2m
(m + 1)(m + 2)am
se uno dei due coefficienti a0 o a1 e nullo otteniamo rispettivamente delle funzioni dispari o pari13 e cioera prevedibile, data l’invarianza di H per parita.
Nel limite m → +∞ la relazione si trasforma in am+2 = 2mam. Se prendiamo un N abbastanza grande,
e m > N allora abbiamo
Ψ(y) = PN (y) +
+∞∑
m=N
amym
con PN (y) opportuno polinomio di grado N in y.
+∞∑
m=N
amym = aN
[
yN +2
NyN+2 +
4
N(N + 2)yN+4 +
8
N(N + 2)(N + 4)yN+6 + · · ·
]
+ aN+1[yN+1 + · · · ]
12nelle altre due sommatorie cambieremo semplicemente l’indice muto in m13a causa dell’espansione in serie di potenze che abbiamo ipotizzato
31
possiamo riscrivere la parte pari come
aNy2
(N
2− 1
)
!
[
(y2)N2 −1
(N2 − 1
)!+
(y2)N2
(N2
)!
+(y2)
N2 +1
(N2 + 1
)!+ · · ·
]
= ey2 − P1(y)
riconoscendo nelle parentesi quadre lo sviluppo in serie troncato di un esponenziale. Allora14
Ψ(y) = P ∗N (y) + aNy2
(N
2− 1
)
!ey2
avendo raccolto tutti i termini polinomiali nella scrittura P ∗N (y). Quindi abbiamo ottenuto
Ψ(y) =
[
P ∗N (y) + aNy2
(N
2− 1
)
!ey2
]
e−y2
2 = P ∗N (y)e−
y2
2 + aNy2
(N
2− 1
)
!ey2
2
Nell’espressione che abbiamo ottenuto, il termine aNy2(
N2 − 1
)!e
y2
2 rompe le condizioni di normalizzabilitadella funzione d’onda, a meno che non si abbia che per qualche m valga
εm = 2m + 1
di modo che am+2 = 0 e lo sviluppo di esponenziale si annulli lasciandoci con
Ψ(y) = P ∗N (y)e−
y2
2
la quale e proprio della forma Ψ(y) = Ψ(y)e−y2
2 con
Ψm(y) =m∑
n=0
anyn
εm = 2m + 1
e dove gli autovalori di H sono
Em = hω
(
m +1
2
)
(4.9)
Le Ψm(y) sono chiamate Polinomi di Hermite15 e sono generati dalla formula
Hm(y) = (−1)mey2 dm
dyme−y2
(4.10)
e sono ortogonali su uno spazio vettoriale in cui il prodotto interno e pesato con un fattore e−y2
, questoinfatti garantisce l’ortogonalita delle Ψn(y)
(Ψm; Ψn) =
∫ +∞
−∞dy Ψ∗
m(y)Ψn(y) =
∫ +∞
−∞dy Hm(y)Hn(y)e−y2
= δmn
Notiamo che esiste un livello minimo di energia non nullo E0 = 12 hω al contrario del caso classico, e
questo discende direttamente dal principio di indeterminazione.
Secondo metodo
Torniamo all’hamiltoniana
H =p2
2m+
1
2mω2x2
dal punto di vista classico essa puo essere scomposta nel seguente modo:
Hmc = ω
[√mω
2x − i
p√2mω
] [√mω
2x + i
p√2mω
]
14Prendiamo solo la parte pari, dal momento che H e invariante per parita e quindi le sue autofunzioni saranno di paritaben definita.
15vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomi di Hermite
32
Ma questa scomposizione non e corretta in meccanica quantistica, infatti
Hmc = ω
[√mω
2x − i
p√2mω
] [√mω
2x + i
p√2mω
]
= ω
[mω
2x2 +
p2
2mω
]
− iω
2[p; x]
Quindi Hmc = H− hω2 . Delle due hamiltoniane, quella effettivamente in accordo con i dati sperimentali
e H, e risulta quindi utile definire due nuovi operatori A e A† come
A =
√mω
2x + i
p√2mω
e A† =
√mω
2x − i
p√2mω
notiamo che A e A† non sono autoaggiunti, e quindi non rappresentano quantita osservabili.In questo modo
H = ωA†A +hω
2
In generale ci sara utile calcolare il commutatore tra A e A†. Si dimostra facilmente16 che
[A; A†] = h (4.11)
cosı che H puo essere scritta anche come
H = ωA†A +hω
2= ωAA† +
hω
2− ω[A; A†] = ωAA† − hω
2
Altre due proprieta degli operatori A e A† sono le seguenti17:
[H; A] = −hωA
[H; A†] = +hωA†
In base a cio possiamo risolvere il problema agli autovalori di H. Verifichiamo infatti cosa succede seapplichiamo l’operatore A ad un autostato di H, considerando a tal proposito l’applicazione dell’operatore[H; A]:
[H; A]ΨE = HAΨE − AHΨE = −hωAΨE
⇒ HAΨE − EAΨE = −hωAΨE ⇒ H(AΨE) = (E − hω)(AΨE)
rinominando AΨE = Ψ otteniamoHΨ = (E − hω)Ψ
Osserviamo quindi che applicando A ad un autostato dell’hamiltoniana otteniamo un nuovo autostatorelativo al livello energetico E−hω, per tal motivo l’operatore A viene chiamato operatore di abbassamento.
Ma alloraAΨE = c(E)ΨE−hω e A(AΨE) = c(E)c′(E)ΨE−2hω
o, piu in generaleAnΨE = cn(E)ΨE−nhω
ma dal momento che esiste uno stato di energia minima E0 allora esiste una ΨE0tale che AΨE0
= 0, perdefinizione. Ma allora
HΨE0= ωA†AΨE0
+hω
2ΨE0
=hω
2ΨE0
da cui ricaviamo immediatamente
E0 =1
2hω
E’ da notare la potenza di questo metodo, ci ha permesso infatti di ricavare subito il valore di E0 senzapassaggi algebrici particolarmente complicati, e con la stessa semplicita si possono ricavare anche i valoridegli altri stati energetici. Infatti
[H; A†]ΨE = HA†ΨE − A†HΨE = hωA†ΨE
⇒ HA† − EA†ΨE = hωA†ΨE ⇒ H(A†ΨE) = (E + hω)(A†ΨE)
16vedi B17vedi appendice B
33
A†ΨE = c(E)ΨE+hω
difatti l’operatore A† viene chiamato operatore di innalzamento. Otteniamo tutti i rimanenti stati ener-getici applicando ripetutamente A†, e ritroviamo la (4.9).
Rimane ancora da soddisfare la richiesta che gli autostati siano normalizzabili, dobbiamo richiederequindi che (Ψn; Ψn) = 1, potendo esprimere l’n-esimo autostato come
(A†)nΨ0 = cnΨn
otteniamo subito|cn|2(Ψn; Ψn) =
(
(A†)nΨ0; (A†)nΨ0
)
ma per la proprieta di operatore aggiunto abbiamo
|cn|2(Ψn; Ψn) =(
Ψ0; AnA†n
Ψ0
)
ma utilizzando la (4.11)
AnA†n
= An−1AA†A†n−1
= An−1A†AA†n−1
+ hAn−1A†n−1
Possiamo applicare questa scomposizione n volte sui prodotti AA† per ottenere
AnA†n
= An−1A†2AA†n−2
+ 2hAn−1A†n−1
= An−1A†n
A + nhAn−1A†n−1
e quindi
|cn|2(Ψn; Ψn) =(
Ψ0; An−1A†n
AΨ0
)
+ nh(
Ψ0; An−1A†n−1
Ψ0
)
il primo addendo al secondo membro e nullo in quanto AΨ0 = 0 e cio che rimane e
|cn|2(Ψn; Ψn) = nh(
A†n−1
Ψ0; A†n−1
Ψ0
)
= nh|cn−1|2(Ψn−1; Ψn−1)
abbiamo ottenuto|cn|2 = nh|cn−1|2
da questa relazione di ricorrenza ci basta conoscere c0 per fissare gli altri coefficienti, ma dal momento che
A†0Ψ0 = 1Ψ0 = Ψ0 = c0Ψ0 ⇒ c0 = 1
e quindi|cn|2 = n!hn
e dal momento che possono sempre essere scelti reali, otteniamo
cn =√
n!hn (4.12)
e quindi dalla conoscenza di Ψ0 possiamo ricavare tutti gli altri stati
Ψn =1√n!hn
A†n
Ψ0
e Ψ0 puo essere ricavato facilmente dal momento che AΨ0 = 0
(√mω
2x + i
p√2mω
)
Ψ0 = 0 ⇒ h√2mω
d
dxΨ0 +
√mω
2xΨ0 = 0
⇒ d
dxΨ0 = −mω
hxΨ0 ⇒ Ψ0 = c e−
mω2h x2
34
Capitolo 5
Il formalismo di Dirac
Consideriamo il principio di sovrapposizione:
Ψ(x) =∑
n
cnΨn(x)
da esso discende direttamente che conoscere Ψ(x) o conoscere le varie cn e perfettamente uguale ai finidella descrizione del sistema fisico, equivalentemente al problema di conoscere l’espressione di un vettore,o le sue componenti in una data base di uno spazio lineare. Nel 1930 il fisico inglese Paul Adrien MauriceDirac ebbe l’idea di considerare ogni particolare stato fisico di un sistema come rappresentato da un vettore|m〉 definito in uno spazio vettoriale lineare V, a questi particolari vettori viene attribuito il nome di ket.
5.1 Bra e Ket
Secondo questa visione, in effetti, il principio di sovrapposizione discende direttamente dalla definizionedi spazio vettoriale lineare, infatti
c1|α〉 + c2|β〉 = |γ〉 ∈ V con c1, c2 ∈ C
Vi e tutta una teoria dietro questo tipo di rappresentazione, che esula dai contenuti di questo corso,tuttavia ci limiteremo a presentare solo le nozioni necessarie.
In genere si puo associare allo spazio V uno spazio duale1 V∗ i cui vettori sono in corrispondenzaantilineare con i vettori di V
cα|α〉 ↔ 〈α|c∗αcα|α〉 + cβ |β〉 ↔ 〈α|c∗α + 〈β|c∗β
I vettori di V∗ sono chiamati bra.Tra i due spazi vettoriali e definito un prodotto interno hermitiano 〈 | 〉 : V∗ × V 7→ C tale che
〈γ|γ〉 ≥ 0 ∀|γ〉 ∈ V
Ci converra pensare per semplicita i ket come dei vettori colonna e i bra come dei vettori riga, anchese a volte avremo a che fare con vettori di dimensione infinita
|n〉 ↔
n1
n2
...nm
〈n| ↔(
n∗1 n∗
2 · · · n∗m
)
Ora ci rimane da definire l’azione degli operatori sui vettori di questi spazi lineari, seguendo il principiodella corrispondenza antilineare possiamo supporre che
|ξ〉 = A|γ〉 ↔ 〈ξ| = 〈γ|A†
e difatti questa scelta e perfettamente sensata e non viola le condizioni sopra imposte per il prodottointerno, dal momento che
〈ξ|ξ〉 = 〈γ|A†A|γ〉 ≥ 0
1vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio duale
35
Tra i due spazi vettoriali e possibili definire anche un prodotto esterno “ ⊕ ”:V × V∗ 7→ |β〉〈α|, il cuirisultato
|β〉 ⊕ 〈α| = |β〉〈α| = O
e un operatore, difattiO|ξ〉 = |β〉〈α|ξ〉 = cα|β〉〈ξ|O = 〈ξ|β〉〈α| = 〈α|cβ
In questi esempi sembra chiaro, ma e sempre bene specificare che in questa notazione un operatoreagisce su un ket da sinistra e su un bra da destra, per motivi di coerenza nel formalismo.
Passiamo ora alla definizione di O† e lo faremo ponendo
O† = (|β〉〈α|)† = |α〉〈β|
tale definizione e coerente, dal momento che se
|ξ〉 = O|γ〉 e 〈ξ| = 〈γ|O†
allora|ξ〉 = |β〉〈α|γ〉 = cα|β〉〈ξ| = 〈γ|α〉〈β| = 〈β|c∗α
In generale se raffiguriamo i ket con i vettori colonna e i bra con i vettori riga, allora un operatore deveessere raffigurato con una matrice, costruita secondo la semplice regola
|α〉 = αi ; 〈β| = βi ⇒ Oij = αiβj
(allo stesso modo possiamo pensare 〈β|α〉 = αiβi )
5.2 Relazione di completezza e proiettori
Supponiamo di avere una base di V composta dai ket |an〉, allora per definizione di base, qualsiasi ketpuo essere scritto nella forma
|γ〉 =∑
n
cn|an〉
ed e sempre possibile scegliere i ket |an〉 in modo che formino una base ortonormale, ovvero che 〈ai|aj〉 =δij . In questo modo vale la relazione cn = 〈an|γ〉, infatti
〈an|γ〉 =∑
i
ci〈an|ai〉 =∑
i
ciδni = cn
e il ket |γ〉 puo essere anche scritto come
|γ〉 =∑
i
ci|ai〉 =∑
i
〈ai|γ〉|ai〉 =∑
i
|ai〉〈ai|γ〉 =
(∑
i
|ai〉〈ai|)
|γ〉
da cui otteniamo la Relazione di completezza, ovvero
∑
i
|ai〉〈ai| = 1 (5.1)
Per semplicita di notazione ora etichetteremo l’n-esimo vettore della base direttamente con il numeron (|an〉 → |n〉).
La relazione di completezza ci permette quindi di calcolare direttamente la norma di un vettore, infatti
〈α|α〉 = 〈α|(∑
n
|n〉〈n|)
|α〉 =∑
n
〈α|n〉〈n|α〉 =∑
n
cnc∗n =∑
n
|cn|2
I singoli operatori Pn = |n〉〈n| vengono chiamati proiettori, dal momento che la loro azione su unqualsiasi vettore e quella di proiettarlo lungo il sottospazio vettoriale generato da |n〉, infatti
Pm|ξ〉 =∑
n
cn|m〉〈m|n〉 = cm|m〉
36
Per un proiettore vale la relazione P 2n = Pn, infatti
P 2n = |n〉〈n|n〉〈n| = |n〉〈n| = Pn
il che ci dice che gli autovalori di un proiettore soddisfano l’equazione λ2 − λ = 0, che fornisce i valoriλ1 = 0 e λ2 = 1
Ora vedremo come ricavare la forma di un operatore, conoscendo come esso agisce su un ket. Prendiamoper ipotesi
|γ〉 = X|α〉 con|α〉 =
∑
i αi|ai〉|γ〉 =
∑
i γi|ai〉una volta fissata la base di V sono fissati automaticamente anche i coefficienti αi e γi. Studiamol’espressione
〈aj |X|ai〉 =∑
k,l
〈aj |al〉〈al|X|ak〉〈ak|ai〉 = Xji
per cui se decidiamo di identificare Xlk con 〈al|X|ak〉 allora otteniamo
γi = 〈ai|γ〉 = 〈ai|X|α〉 =∑
l
〈ai|X|al〉〈al|α〉 =∑
l
Xilαl
per cui, una volta assegnata una base, e direttamente fissata sia la forma della matrice X che le coordinatedel vettore |γ〉.
37
Capitolo 6
Momento Angolare
Consideriamo il sistema in figura al quale e stata applicata una rotazione di un angolo δφ intorno all’asse
y
x
z
f
df
r’
r
Figura 6.1:
z. Possiamo, per comodita, raffigurare tale rotazione tramite un vettore δϕ = |δϕ|ϕ, dove ϕ e il relativoversore diretto lungo l’asse z, mentre1.
δr = r′ − r = δϕ × r ⇒ δri = εijkδϕjrk
quindi sotto rotazione la funzione d’onda variera come
Ψ(r′) = Ψ(r + δr) = Ψ(r) + δri∂iΨ = Ψ(r) + εijkδϕjrk∂iΨ
e riarrangiando gli indiciΨ(r′) = Ψ(r) + δϕ · (r × ∂)Ψ(r)
da cui si ottiene che l’operatore che genera le rotazioni e l’operatore
r × ∂ ∝ r × p = L
per cui
Ψ(r′) = Ψ(r) +
(i
hδϕ · L
)
Ψ(r)
Similmente a quanto ipotizzato per le traslazioni generalizziamo ad una rotazione finita ponendo
Ψ(r′) = eih ∆ϕ·L Ψ(r)
1Ricordiamo che εijk e il tensore di Levi-Civita, o tensore completamente antisimmetrico di Ricci
38
Ovviamente se l’hamiltoniana e invariante per rotazioni avremo [H; L] = 0, inoltre dal momento che ilgruppo delle rotazioni in tre dimensioni O3(R) non e abeliano si ha la generale proprieta che le rotazioniattorno ad assi diversi non commutano, e possiamo verificarlo. Dalla definizione L = −ih(r× ∂) abbiamo
Lx = −ih(y∂z − z∂y)
Ly = −ih(z∂x − x∂z)
Lz = −ih(x∂y − y∂x)
allora
LxLy = −h2(y∂z − z∂y)(z∂x − x∂z) = −h2[y∂x + z∂x(y∂z) − x∂z(y∂z) − z∂x(z∂y) + x∂z(z∂y) − x∂y] =
= −h2[y∂x − x∂y + z∂x(y∂z − z∂y) − x∂z(y∂z − z∂y)] = −h2[y∂x − x∂y(z∂x − x∂z)(y∂z − z∂y)] =
= LyLx + (−ih2)(y∂x − x∂y)
e quindi[Lx; Ly] = ihLz
che discende dalla regola generale[Li; Lj ] = ihεijkLk (6.1)
Supponiamo che il sistema sia in uno stato stazionario non degenere ΨE(q), si dimostra in tal caso che< L >= 0; difatti l’equazione di Schrodinger e invariante secondo il cambio di variabile t → −t, a pattodi sostituire Ψ con Ψ∗. Di contro il momento angolare e definito come L = r×p = r×mr, percio quandooperiamo la sostituzione t → −t avremo L → −L, e quindi, dato che L e autoaggiunto
< L >ΨE= − < L >ΨE
⇒ < L >ΨE= 0
Un altro operatore che ci risultera utile e l’operatore L2 = L ·L che ha la proprieta di commutare conqualsiasi componente di L ([Lk; L2] = 0)2 e possiamo quindi cercare autofunzioni di Lz e L2.Per semplicita poniamo che hm sia l’autovalore di Lz e h2l(l + 1) sia l’autovalore di L2, in tal caso
LzΨlm(θ, ϕ) = hmΨlm(θ, ϕ)
L2Ψlm(θ, ϕ) = h2l(l + 1)Ψlm(θ, ϕ)
Prima di procedere, pero, riscriviamo i vari operatori in coordinate sferiche introducendo prima dueoperatori L± = Lx ± iLy:
Lz = −ih∂
∂ϕ
L± = heiϕ
(
± ∂
∂θ+ i cot θ
∂
∂ϕ
) (6.2)
Ora risolviamo il problema agli autovalori per Lz:
−ih∂
∂ϕΨlm(θ, ϕ) = hmΨlm(θ, ϕ)
Questa equazione coinvolge solo la variabile ϕ, ed e chiaro che definisce solamente la dipendenza funzionaleda tale variabile. Infatti la soluzione e
Ψlm(θ, ϕ) = cf(θ)eiϕm
richiediamo la normalizzabilita di Ψlm, supponendo che f(θ) sia gia stata normalizzata
∫ 2π
0
dϕ |Ψlm|2 = 1 ⇒ c =1√2π
bisogna pero porre un vincolo su m. Dal momento che una rotazione di 2π lascia invariato il sistema, siha che
Ψlm(θ, ϕ + 2π) = Ψlm(θ, ϕ) ⇒ m ∈ Z
2vedi appendice B
39
In realta questo vincolo e fin troppo forte, e puo essere rilassato, infatti utilizzando il principio disovrapposizione si ottiene
Ψ(q) =∑
m
cmeiϕm =∑
m
cmei(ϕ+2π)m = eic∑
m
cmeiϕm
In questo caso, infatti, se richiediamo che una rotazione di 2π lasci invariato il sistema, stiamo richiedendoche l’effetto che questa rotazione abbia sul sistema, sia quello di un semplice fattore di fase unitario eic
fisicamente non rilevabile, e quindi stiamo imponendo che m sia della forma
m = k + c k ∈ Z
Stavolta invece la condizione e troppo debole, poiche dobbiamo necessariamente richiedere che cambiandol’orientamento dell’asse z anche Ψlm cambi segno, e gli unici valori di c che verificano questa condizionesono 0 e 1
2 , per cui m puo assumere un qualsiasi valore tra i seguenti
m ∈ 0, ±1, ±2, · · · oppure m ∈
±1
2, ±3
2, ±5
2, · · ·
Sistemi fisici con c = 0 o c = 12 sono completamente differenti.
Verifichiamo che le autofunzioni cosı ottenute siano ortogonali:
〈Ψlm|Ψlm′〉 =
∫
dΩΨ∗lm(θ, ϕ)Ψlm′(θ, ϕ) =
1
2π
∫ π
0
dθ sin θ
∫ 2π
0
dϕ e−iϕmeiϕm′
= δmm′
Passiamo ora a ricavare l’espressione delle autofunzioni di L2. Ricordiamo che L2 puo essere espressoin due modi:
L2 = L−L+ + L2z + hLz
L2 = L+L− + L2z − hLz
e che i due operatori L− e L+ godono delle seguenti proprieta di commutazione:
[L+; L−] = 2hLz [L+; Lz] = −hL+ [L−; Lz] = hL− [L2; L±] = 0
Ora verifichiamo che l’applicazione di L+ su un’autofunzione di L2 o Lz restituisca ancora un’autofunzionedei suddetti operatori:
L2L+Ψlm = L+L2Ψlm = hl(l + 1)L+Ψlm
LzL+Ψlm = L+LzΨlm + hL+Ψlm = h(m + 1)L+Ψlm
nel primo caso l’autovalore e ancora l mentre nel secondo caso otteniamo un’autofunzione di autovalorem + 1, se invece avessimo utilizzato L− avremmo trovato come autovalore di Lz m − 1, e possiamosintetizzare la procedura nel seguente modo:
L±Ψlm = c±(l, m)Ψl,m±1
inoltre notando che L†± = L∓
(L±Ψlm; L±Ψlm) = (Ψlm; L†±L±Ψlm) = (Ψlm; L∓L±Ψlm)
ma ricordando che L∓L± = L2 − L2z ∓ hLz
(L±Ψlm; L±Ψlm) = (Ψlm; [h2l(l + 1) − h2m2 ∓ h2m]Ψlm) = h2[l(l + 1) − m(m ± 1)](Ψlm; Ψlm) =
= |c±(l, m)|2(Ψlm; Ψlm)
e quindi|c±(l, m)|2 = h2[l(l + 1) − m(m ± 1)]
e possiamo sempre scegliere la fase in modo che
c±(l, m) = h√
l(l + 1) − m(m ± 1)
inoltre, dato che|c±(l, m)|2 ≥ 0
40
ne consegue chel(l + 1) ≥ m(m ± 1) ⇒ −l ≤ m ≤ l
e che per ogni l deve esistere un m minimo che chiameremo m−
L−Ψlm− = c−(l; m−)Ψl; m−−1
ma se m− e l’m minimo allora c−(l; m−) = 0
L2Ψlm− = (L+L− + L2z − hLz)Ψlm− = (h2m2
− − h2m−)Ψlm− = hm−(m− − 1) = h2l(l + 1)
il che impone necessariamente m− = −l e che gli l siano interi. Quindi per ogni valore di l ci sono 2l + 1valori di m possibili che contraddistinguono almeno altrettante autofunzioni, causando una degenerazionedi L2 rispetto a Lz.
6.1 Autofunzioni del momento angolare
Le autofunzioni del momento angolare rappresentano una classe di funzioni ben precisa, per cui invece dichiamarle genericamente Ψlm le chiameremo Ylm. Tutto quello che abbiamo appreso finora sulle Ylm e che
L+Yl,l = 0 L−Yl,−l = 0 L−Yll = c−(l, l)Yl,l−1
e che possiamo separare la parte dipendente da ϕ che abbiamo risolto precedentemente imponendo
Ylm(θ, ϕ) = Xlm(θ)fm(ϕ)
con fm(ϕ) = eimϕ per quanto detto prima.Risolviamo la condizione L+Yll(θ, ϕ) = 0
heiϕ
(∂
∂θ+ i cot θ
∂
∂ϕ
)
eilϕXll(θ) = 0
hei(l+1)ϕ
(∂
∂θ− l cot θ
)
Xll(θ) = 0
Questa equazione differenziale e risolta esattamente, e la sua soluzione e della forma3
Xll(θ) = (sin θ)l
per cui ricomponendo i fattoriYll(θ, ϕ) = N(sin θ)leilϕ
con N opportuna costante di normalizzazione. Ora agendo con l’operatore L− su Yll possiamo ricavaretutte le altre autofunzioni, ma prima facciamo notare la seguente identita che risultera utile in seguito:
(∂
∂θ+ l cot θ
)
f(θ) =1
(sin θ)l
∂
∂θ
[(sin θ)lf(θ)
](6.3)
Quindi, ricordando l’espressione di L− dalla (6.2) abbiamo
Yl,l−1 = L−Yll ∝ he−iϕ
(
− ∂
∂θ+ i cot θ
∂
∂ϕ
)
(sin θ)leilϕ = hei(l−1)ϕ
(
− ∂
∂θ− l cot θ
)
(sin θ)l
a questo punto usiamo l’identita (6.3) ponendo f(θ) = (sin θ)l per ottenere
Yl,l−1 ∝ hei(l−1)ϕ 1
(sin θ)l
(
− d
dθ
)
(sin θ)2l
per ottenere tutte le altre autofunzioni basta applicare in sequenza l’operatore L− utilizzando ogni voltala (6.3), ed il risultato e (posto il cambio di variabile u = cos θ)
Ylm = Nlmeimϕ
(sin θ)m
(d
du
)l−m
(1 − u2)l
3v. appendice B
41
In generale si nota che le Ylm in funzione di u sono i Polinomi Associati di Legendre Plm(u). Essi siricavano dai Polinomi di Legendre4, i quali hanno la seguente forma:
Pl(u) =(−1)l
2ll!
dl
dul(1 − u2)l
mentre i polinomi associati si ottengono ponendo
Plm(u) = (1 − u2)m2
dm
dumPl(u)
Esplicitando quindi la costante di normalizzazione si ha
Ylm = (−1)m
[2l + 1
4π
(l − m)!
(l + m)!
] 12
Plm(cos θ)eimϕ
sfortunatamente questa espressione vale solo per l ≥ 0 e m ≥ 0, se vogliamo trovare un’espressione validaper tutti gli m dobbiamo analizzare direttamente i polinomi di Legendre. Per m < 0 possiamo scegliereuna fase arbitraria in modo che Yl,−m = (−1)mY ∗
lm, cio discende dal fatto che
Pl,−m(u) = (−1)m (l − m)!
(l + m)!Plm(u)
e quindi:
Plm(u) = (−1)l+m (l + m)!
(l − m)!
(1 − u2)−m2
2ll!
dl−m
dul−m(1 − u2)l
L’espressione valida per ogni m e
Ylm = (−1)m+|m|
2
[(2l + 1
4π
(l − |m|)!(l + |m|)!
) 12
Pl,|m|(cos θ)eimϕ
]
(6.4)
Le Ylm sono anche chiamate Armoniche Sferiche5 e rappresentano una base per le funzioni definitesulla superficie di una sfera, il loro utilizzo e di estrema utilita quando si ha a che fare con delle rotazioni.In base al principio di sovrapposizione
f(θ, ϕ) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
clmYlm(θ, ϕ)
Siamo ora interessati a vedere come le armoniche sferiche si comportano sotto una trasformazione diparita, che in cordinate sferiche agisce nel seguente modo:
P
|r| → |r|θ → π − θϕ → π + ϕ
In generale sotto parita la funzione
Ylm = (−1)m
[2l + 1
4π
(l − m)!
(l + m)!
] 12
Plm(cos θ)eimϕ
viene trasformata in
Ylm = (−1)m
[2l + 1
4π
(l − m)!
(l + m)!
] 12
Plm(cos(π−θ))eim(ϕ+π) = (−1)m
[2l + 1
4π
(l − m)!
(l + m)!
] 12
Plm(− cos θ)(−1)meimϕ
inoltre i polinomi di Legendre soddisfano la seguente proprieta:
Plm(−u) = (−1)l−mPlm(u)
e ricomponendo il tutto si ottiene
P Ylm(θ, ϕ) = (−1)m(−1)l−mYlm(θ, ϕ) = (−1)lYlm(θ, ϕ)
Abbiamo quindi ricavato che Ylm(θ, ϕ) e un’autofunzione di P con autovalore
λ = 1 se l e pariλ = −1 se l e dispari
4vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomi di Legendre5vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Armoniche sferiche
42
6.1.1 Regole di selezione
Supponiamo di avere un operatore f il quale sia uno scalare6. Esso, quindi, commutera con l’operatoreparita, [f ; P ] = 0. Supponiamo inoltre di avere due funzioni d’onda di parita definita:
P |u〉 = |u〉P |g〉 = −|g〉
Allora 〈u|f |u′〉 6= 0
〈g|f |g′〉 6= 0
Infatti se [f ; P ] = 0, allora
0 = 〈g|[f ; P ]|u〉 = 〈g|f P |u〉 − 〈g|P f |u〉 ⇒ 〈g|f P |u〉 = 〈g|P f |u〉
quindi〈g|f |u〉 = −〈g|f |u〉
Allo stesso modo si dimostra che se f e uno pseudoscalare7, allora soddisfa la regola f ; P = 0 e dacio discende che
〈u|f |u′〉 = 0
〈g|f |g′〉 = 0
6.2 Composizione di momenti angolari
Consideriamo un sistema fisico composto di due particelle di massa rispettivamente m1 e m2 non inter-agenti tra di loro, le quali si trovano rispettivamente in un autostato di L1 e in un autostato di L2. Dalmomento che le particelle non interagiscono tra di loro valgono le seguenti relazioni:
H = H1 + H2
Ψ(q1, q2) = Ψ1(q1)Ψ2(q2)
HΨ(q1, q2) = (E1 + E2)Ψ1(q1)Ψ2(q2)
Introduciamo l’operatore di momento angolare totale:
L = L1 + L2 = −ih(q1 × ∂1 + q2 × ∂2)
Quindi avremo una Ψl1m1(q1) per la prima particella, e una Ψl2m2
(q2) per la seconda particella, quindi lostato totale del sistema Ψl1m1
(q1)Ψl2m2(q2) sara autostato dei seguenti operatori:
L21 L2
2 Lz1 Lz2
quindi in generale, dati l1 e l2 avremo (2l1 + 1)(2l2 + 1) autofunzioni disponibili per il nostro sistema.Saremo interessati al caso un cui c’e un accoppiamento di momenti angolari tra le due particelle del tipoV ∝ L1 ·L2, e dovremo cambiare base, dal momento che in tal caso le autofunzioni di Lz1 e Lz2 non sonoautofunzioni della nuova hamiltoniana. Pero dal momento che
L2 = L21 + L2
2 + 2L1 · L2
valgono le seguenti regole di commutazione:
[L2; (L1/2)i] = 0 [L2; L21] = 0 [L2; L2
2] = 0 [L2; Lz] = 0
e dal momento che2L1 · L2 = L2 − L2
1 − L22
viene naturale scegliere come nuova base di autofunzioni quella costituita dagli autostati degli operatori
L2 L21 L2
2 Lz
Dal momento che L soddisfa le stesse regole di commutazione di un momento angolare (6.1) si possonodefinire anche per esso i due operatori L± = L±1
+ L±2che agisce esattamente allo stesso modo in cui
agiscono i singoli operatori L±1/2
6Uno scalare e una grandezza invariante per isometrie7Uno pseudo scalare sotto isometrie cambia segno se la trasformazione e impropria
43
6.2.1 Caso particolare: l1 = 2, l2 = 1
Prendiamo una coppia di particelle con l1 = 2 e l2 = 1. Per costruire tutte le possibili autofunzioniindividuiamo prima quella che corrisponde al massimo valore di m.
Supponiamo che sia Ψ22(q1)Ψ11(q2) e verifichiamolo:
LzΨ22(q1)Ψ11(q2) = (Lz1+Lz2
)Ψ22(q1)Ψ11(q2) = 2hΨ22(q1)Ψ11(q2)+hΨ22(q1)Ψ11(q2) = h3Ψ22(q1)Ψ11(q2)
quindi m = 3. Possiamo agire su questa autofunzione con l’operatore L− e ottenere
L−Ψ22(q1)Ψ11(q2) = (L−1+ L−2
)Ψ22(q1)Ψ11(q2) ∝ Ψ21(q1)Ψ11(q2) + Ψ22(q1)Ψ10(q2)
Continuando ad agire cosı sulle singole autofunzioni, possiamo legare l’autovalore m a tutte le sue possibiliautofunzioni secondo la tabella:
m (m1;m2)
3 (2; 1)2 (2; 0) (1; 1)1 (1; 0) (2;−1) (0; 1)0 (1;−1) (0; 0) (−1; 1)−1 (−1; 0) (−2; 1) (0;−1)−2 (−2; 0) (−1;−1)−3 (−2;−1)
(6.5)
da cui si nota che per l1 e l2 fissati abbiamo 15 autofunzioni di Lz, L21 e L2
2 (esattamente quante ci saremmoaspettati di trovarne secondo l’espressione (2l1 +1)(2l2 +1) intuitivamente corretta), ma manca all’appelloL2. Il modo in cui varia m suggerirebbe un valore di l pari a 3, verifichiamolo, ad esempio, sulla primaautofunzione:
L2|l1, l1〉|l2, l2〉 = h2[l1(l1 + 1) + l2(l2 + 1) + 2l1l2]|l1, l1〉|l2, l2〉 = h2[(l1 + l2)(l1 + l2 + 1)]|l1, l1〉|l2, l2〉 =
= h2ℓ(ℓ + 1)|l1, l1〉|l2, l2〉avendo posto ℓ = l1 + l2.Finora ci siamo preoccupati solo della proporzionalita delle funzioni ottenute applicando L− all’autofun-zione |2, 2〉|1, 1〉, ma se volessimo includere i giusti coefficienti di proporzionalita otterremmo
L−|l1, l1〉|l2, l2〉 =√
2l1|l1, l1 − 1〉|l2, l2〉 +√
2l2|l1, l1〉|l2, l2 − 1〉
per cui per ogni m esiste una sola autofunzione legata all’autovalore ℓCambiamo un attimo la notazione per le autofunzioni che abbiamo trovato, caratterizzandole con i
seguenti parametri|l1,m1〉|l2,m2〉 → |ℓ,m, l1, l2〉
Come abbiamo precedentemente detto, applicando l’operatore L− sull’autofunzione di m massimo possi-amo selezionare una sola combinazione lineare di stati, che e un autostato caratterizzato dam = mmax − 1. Possiamo pero costruire la seguente combinazione lineare:
√
2l2|l1, l1 − 1〉|l2, l2〉 −√
2l1|l1, l1〉|l2, l2 − 1〉
Questa autofunzione e ortogonale a |ℓ, ℓ−1, l1, l2 〉 e non puo avere il suo stesso autovalore ℓ, ma possiamoinvece vederla come autostato con m massimo pari a l1 + l2 − 1.Questo ragionamento puo essere applicato ad ogni riga della tabella (6.5), permettendoci di variare ℓ finoal valore minimo ℓm = |l1 − l2|.
Quindi in presenza di una composizione di momenti angolari possiamo trovare autostati del momentoangolare totale il cui autovalore ℓ e vincolato ad assumere valori
|l1 − l2| ≤ ℓ ≤ l1 + l2
Il numero di questi autostati e
l1+l2∑
ℓ=|l1−l2|(2ℓ + 1) = (2l1 + 1)(2l2 + 1)
44
e vale ancora la relazione di completezza:
1 =∑
m1,m2
|l1,m1, l2,m2〉〈l1,m1, l2,m2|
quindi
|ℓ,m, l1, l2〉 =∑
m1,m2
|l1,m1, l2,m2〉〈l1,m1, l2,m2|ℓ,m, l1, l2〉
I coefficienti 〈l1,m1, l2,m2|ℓ,m, l1, l2〉 sono anche chiamati Coefficienti di Clebsch-Gordan8 e ci perme-ttono quindi di scrivere i nuovi autostati in funzione di quelli vecchi. Questi coefficienti sono diversi da 0solo se m = m1 + m2, infatti se consideriamo l’operatore Lz − L1z
− L2z= 0 e calcoliamo l’elemento di
matrice tra uno dei vecchi autostati e uno dei nuovi otteniamo:
0 = 〈l1,m1, l2,m2|Lz − L1z− L2z
|ℓ,m, l1, l2〉 = (m − m1 − m2)〈l1,m1, l2,m2|ℓ,m, l1, l2〉 = 0
6.3 Spin
Una peculiarita molto importante degli oggetti quantistici e quella di possedere un proprio momentoangolare intrinseco, la cui esistenza e assolutamente indipendente dallo spazio in cui vivono tali oggetti.Storicamente venne data dimostrazione sperimentale dell’esistenza di un momento angolare intrinsecotramite il famoso Esperimento di Stern-Gerlach
6.3.1 L’esperimento di Stern Gerlach
Dall’elettromagnetismo classico sappiamo che una carica, dotata di momento magnetico µ, che si muovein un campo magnetico non uniforme subisce gli effetti di una forza
F ∝ ∇µ · BOra supponiamo di indirizzare un fascio di atomi d’argento in una regione in cui e presente un campomagnetico il cui gradiente e allineato lungo l’asse z ed e di valore costante, per cui F ∝ µBz (figura 6.2)
N
S
Ag
Figura 6.2: Esperimento di Stern-Gerlach
L’esperimento rivelo che gli atomi d’argento venivano deflessi a due angolazioni ben precise opposte tradi loro, rivelando la presenza di un momento magnetico intrinseco delle particelle. Si ipotizzo dunque chequesto momento magnetico fosse indotto da un momento angolare intrinseco, che venne chiamato spin9.
Lo spin di una particella puo assumere come valori sia multipli interi che seminteri di h il che dividele particelle in due tipi:
• FERMIONI Particelle a spin semintero s ∈ 12 ; 3
2 ; 52 ; · · ·
• BOSONI Particelle a spin intero s ∈ 0; 1; 2; 3; · · · 8vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Clebsch-Gordan coefficients9vedi http://it.wikipedia.org/wiki/spin
45
6.4 Rappresentazioni dello spin/momento angolare
Un sistema quantistico di spin/momento angolare e un sistema particolarmente semplice, dal momento chela dimensione dello spazio lineare in cui sono definite le funzioni d’onda e finita e univocamente determinatadal valore di s o ℓ. Ritorniamo a considerare il momento angolare come l’operatore che genera le possibilirotazioni del nostro sistema di riferimento attorno ad un dato asse. Tali rotazioni formano un gruppo, piuprecisamente detto Gruppo ortogonale o O3(R), se consideriamo le rotazioni in tre dimensioni. L’operatoredel momento angolare e fortemente legato ai generatori di tale gruppo e alle sue rappresentazioni.
Molto velocemente daremo una definizione di rappresentazione:
Def 1 (Rappresentazione) Una rappresentazione di un gruppo G e un omomorfismo ρ : G 7→ Mn(C)per qualche valore di n ∈ N. n e detta dimensione della rappresentazione.
dove Mn(C) e l’insieme delle matrici quadrate n × n a valori complessi. Ricordiamo che una proprietaimportante degli omomorfismi e la seguente:
ρ(g · h) = ρ(g) · ρ(h)
Il gruppo delle rotazioni O3(R) ammette rappresentazioni di qualunque dimensione, ed e definito come
O3(R) = A ∈ M3(R) | 〈Ax|Ay〉 = 〈x|y〉
Per quanto riguarda l’applicazione di queste nozioni al momento angolare, si dimostra che il numero ℓdetermina la dimensione della rappresentazione di O3(R) da utilizzare, nel seguente modo:
n = 2ℓ + 1
e gli operatori Lx, Ly e Lz sono espressi dalle rappresentazioni dei tre generatori del gruppo.Ex: s = 1
2 ⇒ n = 2
Sx =1
2h
(0 11 0
)
Sy =1
2h
(0 −ii 0
)
Sz =1
2h
(1 00 −1
)
Queste tre matrici (a parte il fattore h2 ) sono chiamate Matrici di Pauli.
46
Capitolo 7
Particelle identiche
Consideriamo un sistema di due particelle che sia descritto dalla funzione d’onda
Ψ(q1, χ1; q2, χ2)
dove q1 e q2 sono le coordinate delle due particelle, mentre χ1 e χ2 sono i rispettivi stati di spin.Introduciamo l’operatore di permutazione P12 definendolo tramite la sua azione:
P12Ψ(q1, χ1; q2, χ2) = Ψ(q2, χ2; q1, χ1)
in parole povere, l’operatore P12 scambia tra di loro le due particelle, e dal momento che soddisfa la
relazione P122
= 1 i suoi autovalori sono λ1/2 = ±1.Introduciamo ora nel sistema un’hamiltoniana, senza includere effetti di interazione tra le due particelle,
quindiH12 = H1(q1, χ1, p1) + H2(q2, χ2, p2)
come gia visto nel capitolo 6, le autofunzioni di H12 sono date da
Ψ(n)(q1, χ1; q2, χ2) = Ψ(n)1 (q1, χ1)Ψ
(n)2 (q2, χ2)
Se le due particelle sono indistinguibili, allora occorre prendere una qualche combinazione lineare deltipo
Ψ(n)± (q1, q2) = k
[
Ψ(n)1 (q1)Ψ
(n)2 (q2) ± Ψ
(n)1 (q2)Ψ
(n)2 (q1)
]
Esiste un teorema, chiamato Teorema di Spin-Statistica, il quale afferma che la funzione d’onda di unqualsiasi gruppo di bosoni ha autovalore λ = 1, mentre per i fermioni l’autovalore e λ = −1. Nel nostro
caso se le due particelle sono bosoni, allora la funzione d’onda che ci interessa e Ψ(n)+ , mentre se sono due
fermioni e Ψ(n)− .
Ne segue subito che se le due particelle sono fermioni, allora Ψn(q1, q2) = 0. Questo rislutato esprime inmaniera semplice quello che viene chiamato Principio di esclusione di Pauli1, ed e diretta conseguenzadell’antisimmetria delle funzioni d’onda fermioniche sotto scambio di particelle.
Estendendo questi concetti a piu particelle si ha:
H =
N∑
i=1
Hi; HΨn(q1, q2, · · · , qN ) = En
N∏
i=1
Ψ(i)n (qi); En =
N∑
i=1
E(i)n
Se le particelle sono tutte bosoni bisogna sommare su tutte le possibili permutazioni di N elementi σN
(che costituiscono il gruppo denominato con SN ):
Ψn(q1, q2, · · · , qN ) = c∑
σN∈SN
[N∏
i=1
Ψ[σN (i)]n (qi)
]
(7.1)
mentre se le particelle sono fermioni bisogna avere l’accortezza di associare ad ogni permutazione il suosegno (−1 se la permutazione e dispari, +1 se e pari)
Ψn(q1, q2, · · · , qN ) = c∑
σN∈SN
sign(σN )
[N∏
i=1
Ψ[σN (i)]n (qi)
]
(7.2)
1vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Principio di esclusione di Pauli
47
il che e equivalente a calcolare il determinante della seguente matrice:
1√N !
Ψ(1)n (q1) Ψ
(1)n (q2) · · · Ψ
(1)n (qN )
Ψ(2)n (q1) Ψ
(2)n (q2) · · · Ψ
(2)n (qN )
......
. . ....
Ψ(N)n (q1) Ψ
(N)n (q2) · · · Ψ
(N)n (qN )
In ogni caso per un sistema di fermioni, se ve ne sono due nello stesso stato la funzione d’onda e nullaovunque, a causa del principio di esclusione di Pauli.
Facciamo un esempio di quanto detto sopra per N = 3.Bosoni:
Ψn(q1, q2, q3) =1√6
(
Ψ(1)n (q1)Ψ
(2)n (q2)Ψ
(3)n (q3) + Ψ(1)
n (q1)Ψ(3)n (q2)Ψ
(2)n (q3) + Ψ(2)
n (q1)Ψ(1)n (q2)Ψ
(3)n (q3)+
+Ψ(2)n (q1)Ψ
(3)n (q2)Ψ
(1)n (q3) + Ψ(3)
n (q1)Ψ(1)n (q2)Ψ
(2)n (q3) + Ψ(3)
n (q1)Ψ(2)n (q2)Ψ
(1)n (q3)
)
Fermioni:
Ψn(q1, q2, q3) =1√6
(
Ψ(1)n (q1)Ψ
(2)n (q2)Ψ
(3)n (q3) − Ψ(1)
n (q1)Ψ(3)n (q2)Ψ
(2)n (q3) − Ψ(2)
n (q1)Ψ(1)n (q2)Ψ
(3)n (q3)+
+Ψ(2)n (q1)Ψ
(3)n (q2)Ψ
(1)n (q3) + Ψ(3)
n (q1)Ψ(1)n (q2)Ψ
(2)n (q3) − Ψ(3)
n (q1)Ψ(2)n (q2)Ψ
(1)n (q3)
)
Tutto questo ha degli effetti sui livelli energetici del sistema, consideriamo infatti una buca di potenzialeinfinita. Sappiamo che En ∝ n2, quindi vediamo cosa succede al livello energetico fondamentale se ilsistema e composto da N particelle identiche.
Se sono bosoni alloraE0 = NEn0
Se sono fermioni
E0 ∝ 2
N/2∑
n=1
n2
48
Capitolo 8
L’atomo d’idrogeno
Siamo pronti ora per studiare il sistema fisico dell’atomo di idrogeno, e di tutti gli atomi idrogenoidi(ovvero con un solo elettrone). Iniziamo studiando cosa succede in generale ad un sistema fisico costituitoda un nucleo atomico (con carica +Ze) ed un elettrone, immersi in un potenziale a simmetria radiale(figura 8.1).
z
y
x
r1
r2
r
Figura 8.1: Atomo idrogenoide
H = − h2
2m1∇1
2 − h2
2m2∇2
2 + V (r)
Notiamo innanzitutto che H e invariante per rotazioni1, e adottiamo il seguente cambio di coordinate:
r = r1 − r2 R =m1r1 + m2r2
m1 + m2
in queste coordinate l’hamiltoniana diventa:
H = − h2
2(m1 + m2)∇R
2 − h2
2m∇r
2 + V (r)
avendo posto
m =m1m2
m1 + m2
In questa forma le due variabili R e r sono separate, e la dipendenza di Ψ da R corrisponde a quella diuna particella libera. Quindi possiamo scrivere
Ψ(r1; r2) = ΨR(R)Ψr(r) = Ψr(r) eih pR·R
1V (r) dipende solo dal modulo del vettore r, mentre il laplaciano e invariante per rotazioni poiche e un prodotto scalare∇2 = ∇ · ∇
49
La parte ardua sara risolvere la dipendenza da r:
HrΨ(n)r (r) =
[
− h2
2m∇r
2 + V (r)
]
Ψ(n)r (r) = EnΨ(n)
r (r)
Ora sara utile sfruttare l’invarianza per rotazioni di Hr, scrivendo tutto in coordinate sferiche (sup-poniamo di metterci nel sistema di riferimento del nucleo dell’atomo).Utilizzeremo la seguente identita:
L2+(r·p)2 = |r×p|2+(r·p)(r·p) = r2p2 sin2 α+(r·r)(p·p) cos2 α+ih(r·p) = r2p2 sin2 α+r2p2 cos2 α+ih(r·p)
= r2p2 + ih(r · p)
da cui ricaviamo
p2 =1
r2L2 − h2
r2(r∂r)
2 − h2
r∂r
per cui Hr puo essere riscritta come:
Hr = − h2
2m
[
1
r2(r∂r)
2 +1
r∂r −
1
h2
L2
r2
]
+ V (r)
notiamo che possiamo effettuare la seguente semplificazione:
1
r2(r∂r)
2 +1
r∂r =
1
r∂r +
1
r2[r∂r(r∂r)] =
1
r∂r +
1
r(∂r + r∂r
2) =2
r∂r + ∂r
2 =1
r2∂r(r
2∂r)
per cui il problema agli autovalori puo essere riscritto come
HrΨ(n)r (r) =
h2
2m
[
L2
h2r2− 1
r2∂r(r
2∂r)
]
Ψ(n)r (r) + V (r)Ψ(n)
r (r) = EΨ(n)r (r)
In questa equazione le variabili angolari e quella radiale sono separate, quindi possiamo imporre Ψ(n)r (r) =
Ψ(r)Ylm(θ, ϕ) e l’equazione si riduce a
HrΨ(n)r (r) =
h2
2m
[h2l(l + 1)
h2r2− 1
r2∂r(r
2∂r)
]
Ψ(r)Ylm(θ, ϕ) + V (r)Ψ(r)Ylm(θ, ϕ) = EΨ(r)Ylm(θ, ϕ)
avendo risolto la parte angolare, rimane[l(l + 1)
r2− 1
r2∂r(r
2∂r)
]
Ψ(r) +2m
h2 [V (r) − E]Ψ(r) = 0
ovvero [1
r2∂r(r
2∂r) +2m
h2
(
E − V (r) − l(l + 1)h2
2mr2
)]
Ψ(r) = 0
Notiamo che anche a livello quantistico esiste un potenziale efficace
Veff = V (r) +l(l + 1)h2
2mr2
che include un potenziale che classicamente avremmo definito “centrifugo”. Se poniamo V (r) = −Zer ,
studiando il potenziale efficace scopriamo che sia per l = 0 che per l > 0 esiste un livello minimo dell’en-ergia2. Inoltre la condizione r ∈ [0,+∞) e equivalente a porre V (r) = ∞ per r < 0, quindi tutti gli statiche otterremo saranno non degeneri in E e l, semmai lo saranno in m che non compare esplicitamentenell’hamiltoniana.
Adottiamo ora la seguente sostituzione: Ψ(r) = χ(r)/r e notiamo che
[d2
dr2+
2
r
d
dr
]χ(r)
r=
d
dr
(1
r
dχ
dr(r) − χ(r)
r2
)
+2
r2
dχ
dr(r) − 2χ(r)
r3=
=1
r
d2χ(r)
dr2− 2
r2
dχ
dr(r) +
2χ(r)
r3+
2
r2
dχ
dr(r) − 2χ(r)
r3=
1
r
d2χ(r)
dr2
2per quanto detto nel paragrafo 4.2
50
e quindi l’equazione originaria e ora diventata
d2
dr2χ(r) +
2m
h2
[
E − V (r) − l(l + 1)h2
r22m
]
χ(r) = 0
Come abbiamo fatto nel caso dell’oscillatore armonico, studiamo il comportamento di χ(r) perr → 0. L’equazione puo essere approssimata a
d2
dr2χ(r) − l(l + 1)
r2χ(r) = 0
dal momento che questa equazione e omogenea3 la soluzione e del tipo
χ(r) =
r−l
rl+1 ⇒ Ψ(r) =
r−l−1
rl
Scegliamo Ψ(r) = rl dal momento che e l’unica normalizzabile per r → 0.Passiamo al comportamento per r → +∞ studiando l’equazione
d2
dr2χ(r) +
2m
h2 Eχ(r) = 0
e, dal momento che vogliamo che la Ψ(r, θ, ϕ) sia normalizzata, dobbiamo avere che
∫
S2
dΩ
∫ +∞
0
dr r2|Ψ(r, θ, ϕ)|2 =
∫
S2
dΩ |Ylm(θ, ϕ)|2∫ +∞
0
dr r2|Ψ(r)|2 = 1
allora ∫ +∞
0
dr r2|Ψ(r)|2 = 1 ⇒∫ +∞
0
dr |χ(r)|2 = 1
Concentriamoci al caso E < 0 degli stati legati, ponendo
α =
√
−2mE
h2
in questo caso, allora χ(r) ∝ e−αr.Effettuiamo il seguente cambio di variabili:
ρ =
√
8m|E|h2 r ; λ =
Ze2
h
(m
2|E|
) 12
attraverso il quale otteniamo, per Ψ
d2
dρ2Ψ(ρ) +
2
ρ
d
dρΨ(ρ) +
(λ
ρ− 1
4
)
Ψ(ρ) − l(l + 1)
ρ2Ψ(ρ) = 0
Ora escludiamo il comportamento asintotico vicino a +∞ trovato poco fa imponendo Ψ(ρ) = e−ρ2 G(ρ),
svolgendo le derivate l’equazione diventa
d2
dρ2G(ρ) −
(
1 − 2
ρ
)d
dρG(ρ) +
[λ − 1
ρ− l(l + 1)
ρ2
]
G(ρ) = 0
Ora escludiamo anche il comportamento vicino a 0 imponendo G(ρ) = ρlH(ρ) e ottenendo
d2
dρ2H(ρ) +
(2l + 2
ρ− 1
)d
dρH(ρ) +
λ − 1 − l
ρH(ρ) = 0
Ora, sempre come abbiamo fatto nel caso dell’oscillatore armonico, espandiamo H(ρ) in serie di potenze:
H(ρ) =
∞∑
n=0
anρn
3cioe del tipo f (n)(x) ∝ x−nf(x)
51
d
dρH(ρ) =
∞∑
n=0
nanρn−1 =∞∑
m=0
am+1(m + 1)ρm
d2
dρ2H(ρ) =
∞∑
n=0
n(n − 1)anρn−2 =
∞∑
m=0
am+2(m + 1)(m + 2)ρm
Sostituendo queste espressioni nell’equazione differenziale di H(ρ) si ottiene la seguente relazione diricorrenza:
∞∑
m=0
am+2(m + 1)(m + 2)ρm +
(2l + 2
ρ− 1
) ∞∑
m=0
am+1(m + 1)ρm +λ − 1 − l
ρ
∞∑
m=0
amρm =
=∞∑
m=0
am+2(m+1)(m+2)ρm +∞∑
m=0
am+1(m+1)(2l+2)ρm−1−∞∑
m=0
ammρm−1 +∞∑
m=0
(λ− l−1)amρm−1 =
=
∞∑
n=0
ρn−1[an+1(n + 1)(n + 2l + 2) − an(n + l + 1 − λ)] = 0
affinche cio sia vero per ogni n occorre che
an+1
an=
n + l + 1 − λ
(n + 1)(n + 2l + 2)
Si vede facilmente che con questi coefficienti la serie va a zero come 1/n, quindi non e convergente.L’unica alternativa che abbiamo e porre che esista un certo nr tale che se n = nr allora λ = nr + l+1. Daquesta condizione discende che λ deve essere intero, e maggiore o uguale a 1, e ricordandone la definizionetroviamo:
λ =Ze2
h
(m
2|E|
) 12
⇒ |E| =mZ2e4
2h2λ2
e quindi troviamo che i livelli energetici dell’atomo di idrogeno sono
En = −mZ2e4
2h2n2(8.1)
mentre le H(ρ) cosı costruite sono i Polinomi di Laguerre4 il che ci permette di risalire alla Ψ(r)
Ψnl(r) = ρle−ρ2 Hnl(ρ) = Rnl(r) =
2
n2
√
(n − l − 1)!
(n + l)!
(2r
n
)l
· e−r/naB · L2l+1n+l
(2r
n
)
dove aB e il raggio di Bohr5.
4vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomi di Laguerre5aB = h2/me2
52
Capitolo 9
Teoria delle perturbazioni
9.1 Perturbazioni non dipendenti dal tempo
Vogliamo ora occuparci di sistemi con un’hamiltoniana H0 risolvibile, della quale conosciamo autovaloried autofunzioni, e sottoporli a delle perturbazioni tali che la loro nuova hamiltoniana non sia piu risolvibileesattamente, perche modificata da un termine perturbativo λH1, con |λ| << 1.
Il nostro obiettivo sara trovare delle correzioni per gli autovalori e gli autostati non perturbati cheforniscano, con un’accuratezza fino ad un dato ordine, una ragionevole stima dei nuovi autovalori e deinuovi autostati. Avremo quindi
(H0 + λH1)Ψn(λ) = En(λ)Ψn(λ)
e per λ → 0 ci aspettiamo che i nuovi autostati tendano a quelli imperturbati.Supponiamo che le Ψn(λ) siano sviluppabili in serie rispetto a λ con delle correzioni del tipo
Ψn(λ) = Ψ(0)n + λΨ(1)
n + λ2Ψ(2)n + · · ·
e lo stesso per gli En(λ)En(λ) = E(0)
n + λE(1)n + λ2E(2)
n + · · ·
9.1.1 Sistemi non degeneri
Le Ψ(0)n sono, in ogni caso, un insieme completo di autofunzioni, e in quanto tali, una base per lo spazio
in cui sono definite tutte le funzioni d’onda, e possiamo quindi decomporre le Ψn(λ) su questa base
Ψn(λ) = N(λ)
Ψ(0)n +
∑
k 6=n
cnk(λ)Ψ(0)k
In base a questa scelta dobbiamo richiedere che cnk(λ) → 0 per λ → 0 e scriviamo
cnk(λ) = λc(1)nk + λ2c
(2)nk + · · ·
per cui
Ψn(λ) = N(λ)
Ψ(0)n + λ
∑
k 6=n
c(1)nk Ψ
(0)k + λ2
∑
k 6=n
c(2)nk Ψ
(0)k + · · ·
fermandoci al primo ordine in λ
(H0 + λH1)
Ψ(0)n + λ
∑
k 6=n
c(1)nk Ψ
(0)k
= (E(0)n + λE(1)
n )
Ψ(0)n + λ
∑
k 6=n
c(1)nk Ψ
(0)k
A questo punto ci conviene passare al formalismo di Dirac e analizzare i vari ordini in λ
λ0 : Ho|Ψ(0)n 〉 = E
(0)n |Ψ(0)
n 〉
λ1 : H0
∑
k 6=n
c(1)nk |Ψ
(0)k 〉 + H1|Ψ(0)
n 〉 = E(1)n |Ψ(0)
n 〉 + E(0)n
∑
k 6=n
c(1)nk |Ψ
(0)k 〉
53
Per poter ricavare gli E(1)n moltiplichiamo ambo i membri per il bra 〈Ψ(0)
n |∑
k 6=n
c(1)nk E
(0)k 〈Ψ(0)
n |Ψ(0)k 〉
︸ ︷︷ ︸
=0
+〈Ψ(0)n |H1|Ψ(0)
n 〉 = E(1)n 〈Ψ(0)
n |Ψ(0)n 〉 + E(0)
n
∑
k 6=n
c(1)nk 〈Ψ(0)
n |Ψ(0)k 〉
︸ ︷︷ ︸
=0
da cui ricaviamo:E(1)
n = 〈Ψ(0)n |H1|Ψ(0)
n 〉 (9.1)
ovviamente cio ha senso solo se λE(1)n << E
(0)n .
Se invece vogliamo ricavare i c(1)nk dobbiamo moltiplicare per il bra 〈Ψ(0)
j | con j 6= n
∑
k 6=n
c(1)nk E
(0)k 〈Ψ(0)
j |Ψ(0)k 〉 + 〈Ψ(0)
j |H1|Ψ(0)n 〉 = E(1)
n 〈Ψ(0)j |Ψ(0)
n 〉︸ ︷︷ ︸
=0
+E(0)n
∑
k 6=n
c(1)nk 〈Ψ
(0)j |Ψ(0)
k 〉
ovveroE
(0)j c
(1)nj + 〈Ψ(0)
j |H1|Ψ(0)n 〉 = E(0)
n c(1)nj
da cui si ricava
c(1)nj =
〈Ψ(0)j |H1|Ψ(0)
n 〉E
(0)n − E
(0)j
(9.2)
Rimane da calcolare solo N(λ). Imponiamo la normalizzazione di Ψn(λ).
1 = 〈Ψn(λ)|Ψn(λ)〉 = |N(λ)|2
〈Ψ(0)n |Ψ(0)
n 〉 + λ∑
k 6=n
〈Ψ(0)n |Ψ(0)
k 〉 + · · ·
= |N(λ)|2
quindi al primo ordine |N(λ)|2 = 1Se estendiamo il procedimento al 2 ordine otteniamo:
λ2 : H1
∑
k 6=n
c(1)nk |Ψ
(0)k 〉 + H0
∑
k 6=n
c(2)nk |Ψ
(0)k 〉 = E(0)
n
∑
k 6=n
c(2)nk |Ψ
(0)k 〉 + E(1)
n
∑
k 6=n
c(1)nk |Ψ
(0)k 〉 + E(2)
n |Ψ(0)n 〉
quindi, moltiplicando per 〈Ψ(0)n |, si ottiene
∑
k 6=n
c(1)nk 〈Ψ(0)
n |H1|Ψ(0)k 〉 = E(2)
n ⇒ E(2)n =
∑
k 6=n
〈Ψ(0)k |H1|Ψ(0)
n 〉〈Ψ(0)n |H1|Ψ(0)
k 〉E
(0)n − E
(0)k
⇒
E(2)n =
∣∣∣〈Ψ(0)
n |H1|Ψ(0)k 〉∣∣∣
2
E(0)n − Ek(0)
(9.3)
per ottenere invece i c(2)nk moltiplichiamo per 〈Ψ(0)
j | con j 6= k
∑
k 6=n
c(1)nk 〈Ψ
(0)j |H1|Ψ(0)
k 〉 + c(2)nj E
(0)j = E(0)
n c(2)nj + E(1)
n c(1)nj
c(2)nj
(
E(0)j − E(0)
n
)
= E(1)n c
(1)nj −
∑
k 6=n
c(1)nk 〈Ψ
(0)j |H1|Ψ(0)
k 〉
c(2)nj =
1
E(0)j − E
(0)n
〈Ψ(0)
j |H1|Ψ(0)n 〉〈Ψ(0)
n |H1|Ψ(0)n 〉
E(0)n − E
(0)j
−∑
k 6=n
〈Ψ(0)j |H1|Ψ(0)
k 〉〈Ψ(0)k |H1|Ψ(0)
n 〉E
(0)n − E
(0)k
quindi
c(2)nj =
∑
k 6=n
〈Ψ(0)j |H1|Ψ(0)
k 〉〈Ψ(0)k |H1|Ψ(0)
n 〉(E
(0)n − E
(0)k )(E
(0)n − E
(0)j )
−〈Ψ(0)
j |H1|Ψ(0)n 〉〈Ψ(0)
n |H1|Ψ(0)n 〉
(E(0)n − E
(0)j )2
(9.4)
54
9.1.2 Sistemi degeneri
Occupiamoci ora dei casi in cui l’hamiltoniana imperturbata H0 presenti una degenerazione dei livellienergetici. Per quanto riguarda le correzioni ai suoi stati non-degeneri, valgono le stesse formule cheabbiamo ricavato precedentemente, per cui concentriamoci sugli stati degeneri (adotteremo un secondoindice i per distinguere gli stati relativi allo stesso autospazio).
H0Ψ(0)n,i = E(0)
n Ψ(0)n,i 〈Ψ(0)
n,i|Ψ(0)n,j〉 = δij i, j = 1, · · · , sn
E’ in generale possibile che la perturbazione rompa in qualche modo la degenerazione, separando i livelli dienergia di due stati che precedentemente erano isoenergetici, quindi dobbiamo considerare come autosta-to imperturbato tutte le possibili combinazioni lineari degli sn autostati che abbiamo precedentementeintrodotto.
Ψn(λ) = N(λ)
sn∑
i=1
αiΨ(0)n,i + λ
∑
k 6=n
c(1)kn
sk∑
i=1
βiΨ(0)k,i + · · ·
Seguiamo un procedimento simile al precedente, dove pero dobbiamo tenere in considerazione che l’n-esimolivello energetico potrebbe non essere l’unico a presentare una degenerazione. Come prima
(H0+λH1)
sn∑
i=1
αiΨ(0)n,i + λ
∑
k 6=n
c(1)kn
sk∑
i=1
βiΨ(0)k,i + · · ·
= (E(0)n +λE
(0)1 )
sn∑
i=1
αiΨ(0)n,i + λ
∑
k 6=n
c(1)kn
sk∑
i=1
βiΨ(0)k,i + · · ·
all’ordine λ
λ1 : H1
sn∑
i=1
αi|Ψ(0)n,i〉 + H0
∑
k 6=n
c(1)nk
sk∑
i=1
βi|Ψ(0)k,i〉 = E(0)
n
∑
k 6=n
c(1)nk
sk∑
i=1
βi|Ψ(0)k,i〉 + E(1)
n
sn∑
i=1
αi|Ψ(0)n,i〉
Moltiplichiamo ora per 〈Ψ(0)n,j | per ottenere
sn∑
i=1
αi〈Ψ(0)n,j |H1|Ψ(0)
n,i〉+∑
k 6=n
c(1)nk E
(0)k
sk∑
i=1
βi〈Ψ(0)n,j |Ψ
(0)k,i〉
︸ ︷︷ ︸
=0
= E(0)n
∑
k 6=n
c(1)nk
sk∑
i=1
βi〈Ψ(0)n,j |Ψ
(0)k,i〉
︸ ︷︷ ︸
=0
+E(1)n
sn∑
i=1
αi〈Ψ(0)n,j |Ψ
(0)n,i〉
ovvero
E(1)n αj =
sn∑
i=1
〈Ψ(0)n,j |H1|Ψ(0)
n,i〉αi (9.5)
Ora effettuiamo i seguenti passaggi:
• Chiamiamo 〈Ψ(0)n,j |H1|Ψ(0)
n,i〉 = H(n)ji dove H
(n)ij e una matrice sn × sn che esprime l’azione della
perturbazione sull’autospazio relativo ad E(0)n .
• Identifichiamo αi con un ipotetico vettore α che racchiude i coefficienti della combinazione lineareche abbiamo posto all’inizio del procedimento.
Ora possiamo riscrivere la (9.5) come un problema agli autovalori (per la matrice H(n))
H(n)α = E(1)n α
Troveremo quindi degli autovalori E(1)n,j che rappresenteranno i nuovi livelli energetici degli autostati, e
degli autovettori αj che rappresenteranno le particolari combinazioni lineari di autostati che verranno‘selezionate’ dalla perturbazione.
9.2 Applicazioni all’atomo di idrogeno
Daremo ora tre esempi delle applicazioni della teoria perturbativa indipendente dal tempo all’atomo diidrogeno.
55
9.2.1 Effetto Stark
Vogliamo studiare il comportamento di un atomo idrogenoide immerso in un campo elettrostatico costante,di valore E . Consideriamo per semplicita che il campo elettrico sia diretto lungo l’asse z.
H0 =p2
2m− Ze2
r; H1 = eE · r = eEz
Conosciamo bene dal capitolo 8 le autofunzioni imperturbate Ψ(0)nlm, quindi passiamo subito a calcolare la
correzione al primo e/o al secondo ordine dei livelli energetici. Partiamo da quello fondamentale:
E(1)100 = 〈100|H1|100〉 = eE
∫
R3
d3r Ψ∗100zΨ100 = eE
∫
R3
d3r z|Ψ100|2 = 0
dal momento che l’autofunzione Ψ100 e pari, e l’operatore z dispari. Passiamo al secondo ordine:
E(2)100 = e2E2
∑
nlm 6=100
〈nlm|z|100〉E
(0)100 − E
(0)nlm
dove
〈nlm|z|100〉 = eE∫
R3
d3r Ψ∗nlm(r, θ, ϕ) z Ψ100(r, θ, ϕ) = eE
∫
R3
d3r Rnl(r)Y∗lm(θ, ϕ) r cos θ R10(r)Y00(θ, ϕ) =
= eE∫ ∞
0
dr Rnl(r) r3 R10(r)
∫
S2
dΩY ∗lm(θ, ϕ) cos θ Y00(θ, ϕ)
ricordiamo che
Y00 =1√4π
cos θ = Y10
√
4π
3
quindi Y00 cos θ = 1√3Y10, che sostituendo nell’integrale fornisce:
〈nlm|z|100〉 =1√3eE∫ ∞
0
dr Rnl(r) r3 R10(r) · δ1lδ0m
l’integrale si sa calcolare, e vale
∫ ∞
0
dr Rn1(r) r3 R10(r) =1
3
a2BZ8n7(n − 1)2n−5
(n + 1)2n+5
quindi
E(2)100 =
1√3e2E2
∞∑
n=2
(1
3
a2BZ8n7(n − 1)2n−5
(n + 1)2n+5
)
(9.6)
Il secondo livello energetico e degenere, quindi dobbiamo innanzitutto calcolare la matrice della per-turbazione relativa al sottospazio. Iniziamo labellando i 4 autostati con un indice i
|200〉 → i = 1|210〉 → i = 2|211〉 → i = 3|21 − 1〉 → i = 4
Dal momento che [z; Lz] = 0, nella base di autovettori di Lz allora z apparira diagonale, e quindi
〈nlm|z|n′l′m′〉 = δmm′
inoltre
〈nlm|z|nl′m〉 =
∫
R3
d3r Ψ∗nlmzΨnl′m
sotto parita questo integrale deve rimanere invariato, quindi
56
∫
R3
d3r Ψ∗nlmzΨnl′m =
∫
R3
d3r (−1)l+l′+1Ψ∗nlmzΨnl′m
da cui ricaviamo che〈nlm|z|nl′m〉 = 0 se l + l′ 6= 1〈nlm|z|nl′m〉 6= 0 se l + l′ = 1
le uniche scelte per cui l + l′ = 1 sono (1, 0) e (0, 1), quindi gli unici elementi non nulli sono:
〈200|z|210〉 = −3aB
〈210|z|200〉 = −3aB
e la matrice in questione e
H(2) = −3eEaB
0 1 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0
Il sistema da risolvere si riduce a(
0 −3eEaB
−3eEaB 0
)(α1
α2
)
= E(1)200
(α1
α2
)
quindi, i due autovalori sono E(1)200±
= ±3eEaB e i due autovettori sono
v+ =1√2
(1−1
)
v− =1√2
(11
)
Quindi le due autofunzioni che ci interessano al posto di Ψ200 e Ψ210 sono
Ψ+ =1√2(Ψ200 − Ψ210) Ψ− =
1√2(Ψ200 + Ψ210)
e per concludere notiamo che il secondo livello energetico viene diviso dalla perturbazione in tre livellidistinti:
E(0)200 →
E(0)200 + 3eEaB
E(0)200
E(0)200 − 3eEaB
dei quali solo il secondo e ancora degenere.Come ultima cosa analizziamo qualitativamente il potenziale efficace lungo l’asse z
Veff = −eEz − e2
√
x2 + y2 + z2
0 2 4 6 8
-1,0
-0,5
0,0
Veff
z
Figura 9.1: Veff vs. z
In linea teorica l’elettrone potrebbe essere strappato via dall’atomo per effetto tunnel, ma se il campoelettrico e solo perturbativo la barriera e troppo alta e spessa perche l’elettrone la possa attraversare, e laprobabilita di tunneling e quasi 0.
57
9.2.2 Interazione spin-orbita
Dal punto di vista classico una carica che si muove attraverso un campo magnetico subisce gli effetti diun potenziale del tipo VI = −µ · B dove µ e il momento magnetico della carica. Nel caso di un elettronein moto circolare uniforme
µ = iΣ =qπr2
T
e il suo momento angolare e
|L| = ωI =2πmr2
T
da cui la relazioneµ =
q
2mL
Sperimentalmente si e scoperto che il momento magnetico di un elettrone soddisfa una relazione similea quella classica, ovvero
µ = ge
2mcS (9.7)
dove la costante g e una delle costanti fisiche meglio misurate, e vale circa g ≈ 2.Nell’atomo di idrogeno e presente un campo magnetico intrinseco, generato dal movimento del nucleo
nel sistema di riferimento solidale con l’elettrone, il quale e dato dalla formula classica B = vc × E e
contribuisce al potenziale dell’atomo tramite il contributo
VI = −µ · B =e
m2c2S(p × E) =
e
m2c2S[p × ∇Φ(r)]
con
∇Φ(r) =r
r
d
drΦ(r)
si ottiene
VI = − e
m2c2S ·[
p × r1
r
d
drΦ(r)
]
=e
m2c2(S · L)
1
r
d
drΦ(r)
Ora introduciamo il vettore J = S + L momento angolare totale, per cui come abbiamo gia visto nelcapitolo 6
S · L =1
2(J2 − S2 − L2)
ci consente di utilizzare il set di autofunzioni degli operatori J2, L2, S2, Jz. Dal momento che la particellain considerazione e un elettrone, j = l ± 1
2 . Vediamo quali e quante sono queste autofunzioni (i pedici siriferiranno in ordine a njmj ls). Le prime sono:
• n = 1 ⇒ j = 12 abbiamo
Ψ1,±1/2,0,1/2 → 1S 12
• n = 2 ⇒ j = 32 abbiamo
– l = 1Ψ2,3/2,±3/2,1,1/2
Ψ2,3/2,±1/2,1,1/2
→ 1P 32
Ψ2,3/2,±1/2,1,1/2 → 1P 12
– l = 0Ψ2,1/2,±1/2,0,1/2 → 2S 1
2
i nomi a lato hanno origine dalla spettrografia atomica.A causa dello spin notiamo che la degenerazione dei livelli energetici raddoppia, calcoliamo gli autovalori
di S · L.Per j = l + 1
2
1
2(J2 − S2 − L2)Ψ =
h2
2
[(
l +1
2
)(
l + 1 +1
2
)
− l(l + 1) − 3
4
]
Ψ =h2
2lΨ
Per j = l − 12
1
2(J2 − S2 − L2)Ψ =
h2
2
[(
l − 1
2
)(
l + 1 − 1
2
)
− l(l + 1) − 3
4
]
Ψ = − h2
2(l + 1)Ψ
58
Passiamo ora a calcolare le correzioni ai livelli energetici:
E(1)n =
⟨
Ψn,j,mj ,l,s
∣∣∣∣(S · L)
1
r
dΦ
dr
∣∣∣∣Ψn,j,mj ,l,s
⟩
=
∫
R3
d3r Ψ∗(H1)Ψ
La parte angolare di queste funzioni sara, sempre come gia visto nel capitolo 6, il prodotto delle funzioniangolari degli operatori L2 e S2, per cui avremo (denotate con χ± le due autofunzioni di S, e conΨlm = R1lYlm)
Ψ3/2,3/2 = Ψ10χ+
Ψ3/2,1/2 = aΨ10χ+ + bΨ11χ−Ψ3/2,−1/2 = cΨ11χ+ + dΨ10χ−Ψ3/2,−3/2 = Ψ11χ−
verifichiamo che H1 e diagonale su questi autostati, come ad esempio Ψ3/2,1/2:
⟨
aΨ10χ+ + bΨ11χ−
∣∣∣∣S · L1
r
dΦ
dr
∣∣∣∣aΨ10χ+ + bΨ11χ−
⟩
=
= |a|2⟨
Ψ10χ+
∣∣∣∣S · L1
r
dΦ
dr
∣∣∣∣Ψ10χ+
⟩
+a∗b
⟨
Ψ10χ+
∣∣∣∣S · L1
r
dΦ
dr
∣∣∣∣Ψ11χ−
⟩
+ab∗⟨
Ψ11χ−
∣∣∣∣S · L1
r
dΦ
dr
∣∣∣∣Ψ10χ+
⟩
+· · ·
· · · + |b|2⟨
Ψ11χ−
∣∣∣∣S · L1
r
dΦ
dr
∣∣∣∣Ψ11χ−
⟩
Ma, essendo S · L diagonale in questa base, accoppia solo gli stati con lo stesso spin, quindi
⟨
aΨ10χ+ + bΨ11χ−
∣∣∣∣S · L1
r
dΦ
dr
∣∣∣∣aΨ10χ+ + bΨ11χ−
⟩
=
∫
S2
dΩ
∫ +∞
0
r2Ψ∗lm
1
r
dΦ
drΨlm =
= C
∫ +∞
0
drRnl(r)1
r
dΦ
drRnl(r) =
1
a3B
1
n3l(l + 1)(l + 12 )
e quindi la corrispondente correzione al livello di energia sara
∆E(1)n =
1
a3B
1
n3l(l + 1)(l + 12 )
·
l se j = l + 1/2−(l + 1) se j = l − 1/2
(9.8)
Per l = 0 la (9.8) non ha senso, ma si dimostra ugualmente che ∆E(1)n = 0.
I precedenti risultati possono essere integrati con correzioni relativistiche sviluppando l’hamiltoniana
HR = (p2ec
2 + m2ec
4)12 +
p2p
2M+ V (r)
in potenze di p2
HR ≈ mec2 +
p2e
2me+
p4e
8m3ec
2+ (p4) +
p2p
2M+ V (r)
in queste condizioni
∆En = − 1
2mc4α4 1
n3
(1
j + 12
3
4n
)
e gli stati 2S 12
e 2P 12
tornano ad essere degeneri.
9.2.3 Effetto Zeeman
Come ultimo effetto studiamo la perturbazione apportata all’atomo di idrogeno dalla presenza di un campomagnetico esterno, che causa un potenziale di interazione
HB =e
2mc(L + 2S) · B
che si somma all’hamiltoniana imperturbata, dando
H =p2
2m+ V (r) +
e
2mc(L + 2S) · B
59
Se il campo magnetico e allineato lungo l’asse z, B = B0z
HB =eB0
2mc(Lz + 2Sz) =
eB0
2mc(Jz + Sz)
A parte dei prefattori moltiplicativi, la correzione ai livelli energetici e data da
〈Ψj,mj ,l,s|Jz + Sz|Ψj,mj ,l,s〉 = hmj + 〈Ψj,mj ,l,s|Sz|Ψj,mj ,l,s〉
Se il momento angolare totale e lT = |j + 12 |
〈Ψj,mj ,l,s|Jz + Sz|Ψj,mj ,l,s〉 = hmj + 〈Ψj,mj ,l,s|Sz|Ψj,mj ,l,s〉 =
= hmj +
⟨√
l + m + 1
2l + 1Ylmχ+ +
√
l − m
2l + 1Yl,m+1χ−
∣∣∣∣∣Sz
∣∣∣∣∣
√
l + m + 1
2l + 1Ylmχ+ +
√
l − m
2l + 1Yl,m+1χ−
⟩
e quindi
∆E =
(hmj
2l + 1+ hmj
)eB0
2mc
mentre, per lT = |j − 12 |
∆E =
(
− hmj
2l + 1+ hmj
)eB0
2mc
quindi tutti i diversi autostati degeneri vengono separati in diversi livelli energetici. Se B0 aumenta finoal punto in cui la correzione di energia apportata dalla presenza del campo supera di molto quella causatadall’interazione spin-orbita non c’e bisogno di utilizzare le autofunzioni Ψj,mj ,l,s ma si puo tornare adutilizzare le autofunzioni originarie Ψnlm dell’atomo di idrogeno.
9.3 Perturbazioni dipendenti dal tempo
Consideriamo un esperimento di scattering tra due particelle, esso puo essere trattato come una per-turbazione del sistema dipendente dal tempo. Come nei precedenti casi abbiamo una hamiltonianaimperturbata H0 e una perturbazione λV (t).
H = H0 + λV (t)
Per semplicita consideriamo un autostato Ψ(0)n autostato dell’hamiltoniana imperturbata, che quindi
risolve l’equazione di Schrodinger imperturbata
ih∂
∂tΨ(0)
n = H0Ψ(0)n = E(0)
n Ψ(0)n (9.9)
e la sua evoluzione temporale e
Ψ(0)n (q, t) = Ψ(0)
n (q)e−ih Ent
Possiamo quindi decomporre le nuove autofunzioni sugli autostati di H0
Ψn(q, t) =∑
k
ak(t)Ψ(0)k (q, t)
Vogliamo sfruttare la condizione λ||V || << ||H0||, quindi partiamo da
ih∂
∂tΨn(t) = (H0 + λV )Ψn(t)
ovvero
ih
[∑
k
(∂
∂tak(t)
)
Ψ(0)k (t) + ak(t)
∂
∂tΨ
(0)k (t)
]
=∑
k
ak(t)H0Ψ(0)k (t) + λ
∑
k
ak(t)V (t)Ψ(0)k (t)
utilizzando la (9.9)
ih∑
k
(∂
∂tak(t)
)
|Ψ(0)k (t)〉 = λ
∑
k
ak(t)V (t)|Ψ(0)k (t)〉
60
e, moltiplicando per 〈Ψ(0)m (t)| otteniamo
ih∑
k
(∂
∂tak(t)
)
〈Ψ(0)m (t)|Ψ(0)
k (t)〉 = λ∑
k
ak(t)〈Ψ(0)m (t)|V (t)|Ψ(0)
k (t)〉
ovvero
ih∂
∂tam(t) = λ
∑
k
ak(t)〈Ψ(0)m (t)|V (t)|Ψ(0)
k (t)〉 (9.10)
ConsideriamoΨn(q, t) = an(t)Ψ(0)
n (q, t) +∑
k 6=n
ak(t)Ψ(0)k (q, t)
Necessariamente si deve avere che
an(t) = a(0)n (t) + λa(1)
n (t) + λ2a(1)n (t) + · · ·
e per lo sviluppo dell’autofunzione n-esima
a(0)n (t) = 1
a(0)m (t) = 0 m 6= n
Iniziamo ora ad esaminare i diversi ordini in λ nella (9.10):
λ0 : ihd
dta(0)
m (t) = 0
λ1 : ihd
dta(1)
m (t) = 〈Ψ(0)m (t)|V |Ψ(0)
n (t)〉a(0)n (t) = 〈Ψ(0)
m (t)|V |Ψ(0)n (t)〉
Quindi possiamo generalizzare assumendo
Ψn(q, t) =∑
k
aknΨ(0)k (t)
con
a(0)kn = δkn e ih
d
dta(1)kn (t) = 〈Ψ(0)
k (t)|V |Ψ(0)n (t)〉
e quindi
a(1)kn (t) = − i
h
∫ t
−∞dτ 〈Ψ(0)
k (τ)|V |Ψ(0)n (τ)〉 = − i
h
∫ t
−∞dτ 〈Ψ(0)
k |V |Ψ(0)n 〉e− i
h (E(0)n −E
(0)k )τ
Ad esempio consideriamo una perturbazione del tipo
V = F e−iωt + Geiωt
affinche V rappresenti un’osservabile deve soddisfare la condizione V = V † e quindi
F † = G
G† = F⇒ Fnm = G∗
mn
e quindi
a(1)kn = − i
h
∫ t
−∞dτ 〈Ψ(0)
k |V |Ψ(0)n 〉e− i
h (E(0)n −E
(0)k )τ
introducendo la notazione
ω(0)nk = −E
(0)n − E
(0)k
h
〈Ψ(0)k |V |Ψ(0)
n 〉 = Vkn
a(1)kn (t) = − i
h
∫ t
−∞dτ eiω
(0)kn τ
(Fkne−iωτ + Gkneiωτ
)= − 1
h
[
Fknei(ω(0)kn −ω)τ
ω(0)kn − ω
+F ∗
nkei(ω(0)kn +ω)τ
ω(0)kn + ω
]
61
V(t)
t
Figura 9.2: Potenziale di scattering
Nel caso di scattering ipotizzato ad inizio paragrafo il potenziale di interazione ha una forma del tipoillustrato in figura 9.2 e consente di calcolare con buona approssimazione l’evoluzione del sistema dopol’urto:
Ψ(t = −∞) = Ψ(0)n (q, t)
Ψ(t = ∞) =∑
k ak(∞)Ψ(0)k (∞)
ak(∞) = akn(t → ∞) =
1 − i
h
∫ +∞
−∞dτ 〈Ψ(0)
n (τ)|V |Ψ(0)n (τ)〉 k = n
− i
h
∫ +∞
−∞dτ 〈Ψ(0)
k (τ)|V |Ψ(0)n (τ)〉 k 6= n
62
Appendice A
Formule
A.1 Oscillatore armonico unidimensionale
Posto
ξ =
√mω
hx; Cn =
1
2n2
√n!
(mω
hπ
) 14
si haEn = hω(n + 1
2 )
Ψn = CnHn(ξ)e−ξ2
2
n ∈ N
con
Hn = (−1)neξ2 dn
dξne−ξ2
I primi polinomi di Hermite sono:
H0 = 1H1 = 2ξH2 = −2 + 4ξ2
H3 = −12ξ + 8ξ3
H4 = 12 − 48ξ2 + 16ξ4
H5 = 120ξ − 160ξ3 + 32ξ5
A.2 Armoniche Sferiche
Le armoniche sferiche per l ≤ 2 sono:
• l = 0
Y00 =1√4π
• l = 1
– m = 0
Y10 =
√
3
4πcos θ
– m = ±1
Y1,±1 = ∓√
3
8πsin θ e±iϕ
• l = 2
– m = 0
Y20 =
√
5
16π(3 cos2 θ − 1)
– m = ±1
Y2,±1 = ∓√
15
8πsin θ cos θe±iϕ
63
– m = ±2
Y2,±2 =
√
15
32πsin2 θe±2iϕ
Figura A.1: Plot tridimensionali delle prime 9 armoniche sferiche
A.3 L’atomo di idrogeno
Ψnlm(r, θ, ϕ) = Rnl(r)Ylm(θ, ϕ)
l < n − l ≤ m ≤ l
dove le prime autofunzioni radiali sono:
R10 =
(Z
aB
) 32
2e− Zr
aB
R20 =
(Z
2aB
) 32(
2 − Zr
aB
)
e− Zr
aB
R21 =
(Z
2aB
) 32 Zr√
3aB
e− Zr
aB
Figura A.2: Plot della densita di probabilita per le prime sei autofunzioni radiali
64
Appendice B
Dimostrazioni
B.1
Dimostriamo che [r; f(p)] = ih∂pf(p). Per semplicita poniamoci nella rappresentazione impulso.
[r; f(p)]Ψ(p) = ih∂p[f(p)Ψ(p)] − ihf(p)[∂pΨ(p)] =
= ih[∂pf(p)Ψ(p)] + ihf(p)[∂pΨ(p)] − ihf(p)[∂pΨ(p)] = ih∂rf(p)Ψ(p)
c.v.d.
Allo stesso modo si dimostra [p; f(r)] = −ih∂rf(r)
B.2
∇ · j =ih
2m∇ · (Ψ(q)∇Ψ∗(q) − Ψ∗(q)∇Ψ(q))
=ih
2m(∇Ψ(q) · ∇Ψ∗(q) + Ψ(q)∇2Ψ∗(q) − ∇Ψ∗(q) · ∇Ψ(q) − Ψ(q)∗∇2Ψ(q)
=ih
2m
[Ψ(q)∇2Ψ∗(q) − Ψ∗(q)∇2Ψ(q)
]
B.3
Ψ(r) = Ce−ih (Et−p·r)
j =ih
2m(Ψ(q)∇Ψ∗(q) − Ψ∗(q)∇Ψ(q))
=ih
2m
[
C2e−ih (Et−p·r)
∇ · e ih (Et−p·r) − C2e
ih (Et−p·r)
∇ · e− ih (Et−p·r)
]
= − ih
2mC2
[i
hp(
e−ih (Et−p·r) · e i
h (Et−p·r))
+i
hp(
eih (Et−p·r) · e− i
h (Et−p·r))]
= − ih
2mC2
(2i
hp
)
j = C2 p
m
65
B.4
Ψ(x) = eikx + Re−ikx
j =ih
2m(Ψ(x)∂xΨ∗(x) − Ψ∗(x)∂xΨ(x))
=ih
2m
[(eikx + Re−ikx
)∂x
(e−ikx + R∗eikx
)−(e−ikx + R∗eikx
)∂x
(eikx + Re−ikx
)]
=ih
2m
[(eikx + Re−ikx
) (−ike−ikx + ikR∗eikx
)−(e−ikx + R∗eikx
) (ikeikx − ikRe−ikx
)]
=kh
2m
[(eikx + Re−ikx
) (e−ikx − R∗eikx
)+(e−ikx + R∗eikx
) (eikx − Re−ikx
)]
=kh
2m
[(1 − |R|2 + Re−2ikx − R∗e2ikx
)+(1 − |R|2 − Re−2ikx + R∗e2ikx
)]
j =kh
m(1 − |R|2)
B.5
Ψ(x) = Teiqx
j =ih
2m(Ψ(x)∂xΨ∗(x) − Ψ∗(x)∂xΨ(x))
=ih
2m
[Teiqx∂xT ∗e−iqx − T ∗eiqx∂xTeiqx
]
=ih
2m
[−iq|T |2 − iq|T |2
]
j =hq
m|T |2
B.6
[A; A†] = AA† − A†A
=
[√mω
2x + i
p√2mω
] [√mω
2x − i
p√2mω
]
−[√
mω
2x − i
p√2mω
] [√mω
2x + i
p√2mω
]
=
[p2
2m+
1
2mω2x2 +
i
2[p; x]
]
−[
p2
2m+
1
2mω2x2 +
i
2[x; p]
]
= i[p; x] = i(−ih)
[A; A†] = h
B.7
[H; A] =
[
ω
(
A†A +hω
2
)
; A
]
= ω[A†A; A] = ω[A†; A]A = −hωA
Allo stesso modo si dimostra per A†
66
B.8
L2 = LxLx + LyLy + LzLz
[Lz; L2] = Lx[Lz; Lx] + [Lz; Lx]Lx + Ly[Lz; Ly] + [Lz; Ly]Ly
= ih(LxLy + LyLx − LyLx − LxLy)
= 0
Allo stesso modo si dimostra che L2 commuta con Lx e Ly
B.9
(d
dθ− l cot θ
)
f(θ) = 0 ⇒ df
dθ= l cot θf(θ)
⇒ df
f= l cot θ dθ ⇒
∫df
f= l
∫cos θ
sin θdθ
⇒ log[f(θ)] = l log(sin θ) ⇒ f(θ) = (sin θ)l
67
![[slides] Crittografia Quantistica](https://static.fdocumenti.com/doc/165x107/577dae4a1a28ab223f9040af/slides-crittografia-quantistica.jpg)
