FISICA QUANTISTICA - forte/mq/testo/mq.pdf · FISICA QUANTISTICA. 2. Indice I Le basi della sica...

Stefano Forte e Luca Rottoli

FISICA QUANTISTICA

Indice

I Le basi della fisica quantistica 11

1 Concetti fondamentali 131.1 Le basi sperimentali della fisica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 L’esperimento della doppia fenditura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2 Onde e particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.3 Dall’esperimento ai principi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.1 Bra, ket e sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.2 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.3 Vettori di base e misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.4 La relazione di completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.1 Operatori e matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.2 Operatore associato ad un’osservabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.3 Operatori di proiezione e misure generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4 Postulati della meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Proprieta quantistiche 312.1 Unitarieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1 Cambiamenti di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.2 Operatori unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.3 Trasformazioni unitarie di operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.1 Osservabili compatibili e incompatibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2 Commutazione di operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.3 Il principio di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Informazione quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.1 L’informazione in un qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.2 La matrice densita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.3 La piu generale misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3.4 Il teorema di no-cloning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II Fondamenti della meccanica quantistica 47

3 Quantizzazione canonica: la meccanica quantistica 493.1 La rappresentazione delle coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.1 L’operatore posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.2 La distribuzione delta di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.3 Relazione di ortonormalizzazione e risoluzione dell’identita . . . . . . . . . . . . . 523.1.4 Operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 L’operatore impulso e le traslazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Indice

3.2.1 Il teorema di Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.2 Le traslazioni in meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.3 L’operatore impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.4 Operatori e leggi di conservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.5 Il commutatore canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 Base delle coordinate e base degli impulsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3.1 La base delle coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3.2 Autostati dell’operatore impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.3 La base degli impulsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Evoluzione temporale 654.1 Il generatore dell’evoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.1 Traslazioni temporali e leggi di conservazione quantistiche . . . . . . . . . . . . . . 654.1.2 Il teorema di Noether per trasformazioni dipendenti dal tempo . . . . . . . . . . . 664.1.3 Il postulato dell’evoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2 L’equazione di Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.1 Forme alternative dell’equazione di Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.2 Soluzione dell’equazione di Schrodinger: hamiltoniane commutanti . . . . . . . . . 704.2.3 Soluzione dell’equazione di Schrodinger: hamiltoniane non commutanti . . . . . . . 704.2.4 Stati stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3 Evoluzione temporale alla Schrodinger e alla Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.1 La rappresentazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.2 Leggi del moto alla Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3.3 Leggi di conservazione: il teorema di Noether in meccanica quantistica . . . . . . . 764.3.4 Teorema di Ehrenfest e transizione classico-quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.5 Leggi del moto, parentesi di Poisson e commutatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

III Meccanica quantistica in una dimensione 79

5 La particella unidimensionale libera 815.1 Autostati dell’hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.1 Evoluzione temporale degli stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.1.2 Equazioni del moto per posizione ed impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.1.3 Dipendenza dal tempo dell’indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2 Pacchetti d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2.1 Stati di minima indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2.2 Indeterminazione del pacchetto d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2.3 Indeterminazione posizione-impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3 Moto di un pacchetto d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3.1 Velocita di fase e velocita di gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3.2 Allargamento di un pacchetto d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.3.3 L’ordine di grandezza degli effetti quantistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6 Problemi unidimensionali 936.1 La buca di potenziale infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.1.1 Determinazione dello spettro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.1.2 Proprieta delle autofunzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.1.3 Degenerazione dello spettro e stati legati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2 Il gradino di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.2.1 Funzione a gradino e condizioni di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.2.2 Autofunzioni di energia: stati di scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2.3 Corrente di probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.2.4 Soluzione regressiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Indice 5

6.2.5 Autofunzioni di energia: stati di tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.3 La barriera di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3.1 Autofunzioni di energia ed effetto tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.3.2 Soluzione generale di tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.3.3 Coefficienti di trasmissione e riflessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.4 Problemi di stato legato: una discussione qualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7 L’oscillatore armonico 1137.1 L’oscillatore armonico classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.2 Lo spettro di energia dell’oscillatore armonico quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.2.1 Caratteristiche qualitative dello spettro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.2.2 Operatori di creazione e distruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.2.3 Normalizzazione ed elementi di matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.3 Autofunzioni nella base delle coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.3.1 Funzione d’onda per lo stato fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.3.2 Stati eccitati e polinomi di Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.4 Evoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.4.1 Operatore di evoluzione temporale ed evoluzione degli stato . . . . . . . . . . . . . 1207.4.2 Evoluzione degli operatori posizione ed impulso e formule di BCH . . . . . . . . . 1207.4.3 Evoluzione temporale degli operatori di creazione e distruzione . . . . . . . . . . . 122

7.5 Stati coerenti e “gatti di Schrodinger” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.5.1 Gli stati coerenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.5.2 Gatti di Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

IV Meccanica quantistica in piu dimensioni 129

8 Sistemi quantistici in piu di una dimensione 1318.1 Spazi prodotto diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.1.1 Sistemi di dimensione finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.1.2 Piu dimensioni e piu particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.1.3 Sistemi d-dimensionali in coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8.2 Separabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.2.1 Potenziali separabili in coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.2.2 Hamiltoniane separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.2.3 Esempi tridimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.3 Problemi a due corpi e problemi centrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.3.1 Il problema dei due corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.3.2 Cambiamenti lineari di coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.3.3 Problemi centrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9 Il momento angolare 1479.1 Momento angolare e rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.1.1 Il caso classico: teorema di Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.1.2 Il caso quantistico: generatore delle rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.2 Proprieta del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.2.1 Ordinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.2.2 Espressione esplicita in coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.2.3 Relazioni di commutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.3 Lo spettro del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509.3.1 Costruzione dello spettro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.3.2 Autofunzioni nella base delle coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

9.4 Lo spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.4.1 Spin uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6 Indice

9.4.2 Spin 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

9.5 Composizione di momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.5.1 Sistemi con momento angolare orbitale e spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.5.2 Coefficienti di Clebsch-Gordan e cambi di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.5.3 Composizione di due spin 1

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10 Problemi tridimensionali 16710.1 L’equazione di Schrodinger radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

10.1.1 Funzione d’onda radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16810.1.2 Condizioni al contorno ed andamenti asintotici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.1.3 La particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

10.2 L’oscillatore armonico isotropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17110.2.1 Stati con ` = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17110.2.2 Costruzione degli stati con ` generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.2.3 Spettro e degenerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17510.2.4 Il teorema di degenerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17610.2.5 Simmetria dell’oscillatore tridimensionale isotropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

10.3 Il potenziale coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.3.1 Analisi dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.3.2 Il modello di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.3.3 Il problema di Keplero e le sue simmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.3.4 Leggi di conservazione nel caso quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18210.3.5 Costruzione dello spettro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.3.6 Degenerazione e base fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18610.3.7 Autofunzioni nella base delle coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

V Metodi di approssimazione 191

11 Il limite classico della meccanica quantistica 19311.1 L’azione in meccanica classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

11.1.1 Azione e traiettoria classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19311.1.2 La teoria di Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

11.2 L’azione in meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19711.2.1 Il propagatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19711.2.2 Propagatore ed azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19811.2.3 L’integrale di cammino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20011.2.4 L’equazione di Schrodinger dal path integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

11.3 L’approssimazione WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20411.3.1 Limite semiclassico dell’equazione di Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20411.3.2 Correzioni al primo ordine ed approssimazione semiclassica . . . . . . . . . . . . . 20511.3.3 Validita dell’approssimazione semiclassica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20711.3.4 Trattazione semiclassica della buca di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

12 La teoria delle perturbazioni 21112.1 Perturbazioni indipendenti dal tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

12.1.1 Spettro non degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21212.1.2 Caso degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

12.2 Perturbazioni dipendenti dal tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21512.2.1 La rappresentazione di interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21512.2.2 Sviluppo perturbativo dipendente dal tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21612.2.3 La regola aurea di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21712.2.4 Concetti base della teoria dell’urto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Indice 7

VI Sistemi di molti corpi 223

13 Particelle identiche 22513.1 Indistinguibilita quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

13.1.1 L’operatore di scambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22613.1.2 Sistemi di n particelle e degenerazione di scambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

13.2 Statistiche quantistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22813.2.1 Stati simmetrici ed antisimmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

13.3 Spin e statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22913.3.1 Bosoni e Fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22913.3.2 Il principio di esclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22913.3.3 Il teorema spin-statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

14 Entanglement 23514.1 Matrice densita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

14.1.1 Meccanica statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23614.1.2 Matrice densita e misure parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23614.1.3 Entanglement e media sui sottosistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

14.2 Meccanica quantistica e realismo locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23914.2.1 Il paradosso Einstein-Podolsky-Rosen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23914.2.2 Variabili nascoste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24014.2.3 La disuguaglianza di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

14.3 Il problema della misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24514.3.1 Decoerenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24614.3.2 Misura ed informazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

8 Indice

Parte I

Le basi della fisica quantistica

Capitolo 1

Concetti fondamentali

La formulazione della fisica quantistica e storicamente il risultato di un cammino lungo e tortuoso. L’in-sieme di principi fondamentali risultante tuttavia e semplice e compatto, anche se molto sorprendente.Come sottolineato da Feynman1 questi principi emergono chiaramente in un esperimento rimasto a lungoideale: l’esperimento della doppia fenditura. Solo una modifica delle leggi fondamentali della fisica per-mette di spiegare i risultati di questo esperimento. L’esperimento della doppia fenditura oggi non e piuideale. Seguendo Feynman, lo prenderemo come punto di partenza della nostra discussione: dopo unadescrizione dell’esperimento stesso, costruiremo il formalismo che ci permette di descriverne i risultati.

1.1 Le basi sperimentali della fisica quantistica

Dopo essere rimasto a lungo un esperimento ideale, l’esperimento della doppia fenditura fu realizzatonella seconda meta del Novecento usando fasci di particelle subatomiche. Cio puo lasciare il dubbioche il controintuitivo comportamento osservato sia legato alle proprieta delle particelle e non alle leggifondamentali della fisica e, come vedremo, fa sı che l’esperimento si presti a diverse obiezioni. All’iniziodel XXI secolo, l’esperimento e stato realizzato da A. Zeilinger e collaboratori2 usando molecole giganti,ossia oggetti semi-macroscopici.

1.1.1 L’esperimento della doppia fenditura

L’esperimento che descriviamo e un esperimento di diffusione. Una sorgente emette delle particelle indirezione di una parete impermeabile con due fenditure. Ad una certa distanza da questa parete eposto uno schermo. Le particelle che non vengono fermate dalla parete passano attraverso le fendituree colpiscono lo schermo. Possiamo quindi misurare il numero di particelle che arrivano in diversi puntidello schermo con una, o l’altra, o entrambe le fenditure aperte.

Diffusione classica

Chiediamoci che cosa ci aspettiamo di vedere sullo schermo se le particelle sono oggetti classici — adesempio, palline da ping-pong, o granelli di sabbia, sparati uno per uno contro lo schermo. Supponiamoche la velocita e la direzione iniziale dei granelli non sia nota esattamente, ma ne sia nota solo unadistribuzione di probabilita: ciascun granello di sabbia ha una certa probabilita di essere sparato in unadata direzione con una velocita fissata. A questa distribuzione di probabilita corrisponde una distribuzionedi risultati sullo schermo (vedere la Figura 1.1). Facciamo l’ipotesi che i granelli di sabbia siano sparatiuno per volta, e che interagiscano solo con lo schermo, per esempio realizzando l’esperimento nel vuoto,in modo che non possano esserci interazioni con l’aria, o con l’ambiente. In tal caso, la distribuzione di

1R. P.Feynman, The Character of Physical Law, cit.; R. P.Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectureson Physics (Reading, Massachusetts, 1965)

2O. Nairz, M. Arndt, and A. Zeilinger, Am. J. Phys. 71 (2003) 319.

12 Concetti fondamentali

risultati sullo schermo riflette la distribuzione iniziale di velocita, l’urto dei granelli con lo schermo, enient’altro.

B

B1

B2

C

Ck

A

Figura 1.1: Distribuzione delle probabilita nel caso di granelli di sabbia

Possiamo misurare questa distribuzione di risultati contando quante particelle arrivano in ogni puntodello schermo. Basta ripetere l’esperimento un numero molto grande di volte — accertandoci che ogniripetizione sia assolutamente identica. Facendo il grafico dei risultati determiniamo la probabilita chela particella colpisca lo schermo in ogni punto. E chiaro che la distribuzione ottenuta con entrambe lefenditure aperte e la media delle distribuzioni corrispondenti al caso in cui e aperta ciascuna delle duefenditura, pesata con la probabilita che la particella passi proprio da quella fenditura.

Se chiamiamo P (A→ Ck) la probabilita che una granello di sabbia arrivi in Ck sullo schermo partendodalla sorgente A, P (A → Bi) la probabilita che arrivi alla fenditura Bi partendo dalla sorgente, eP (Bi → Ck) la probabilita che arrivi in Ck partendo dalla fenditura Bi, abbiamo

P (A→ Ck) = P (A→ B1)P (B1 → Ck) + P (A→ B2)P (B2 → Ck). (1.1)

Per dimostrarlo, osserviamo che il numero totale di granelli di sabbia rivelati in un punto qualunquedello schermo e la somma di quelli che vi sono arrivati passando per la prima fenditura, piu quelli cheinvece sono passati per la seconda:

N(A→ Ck) =

2∑i=1

N(Bi → Ck), (1.2)

avendo chiamato N(A→ Ck) il numero totali di granelli arrivati in Ck, e N(Bi → Ck) il numero di quelliche vi sono arrivati passando per Bi. Ma la probabilita P (A→ Ck) non e altro che il numero di particellerivelate in Ci, diviso per il numero totale di particelle

N(A→ Ck) = NtotP (A→ Ck). (1.3)

A sua volta, la probabilita che una particella arrivi in Ci passando da Bj si ottiene dividendo il numerodi particelle giunte in Ci attraverso Bj per il numero totale di particelle passate per Bj :

N(Bi → Ck) = N(A→ Bi)P (Bi → Ck). (1.4)

La regola di composizione delle probabilita Eq. (1.1) si ottiene immediatamente sostituendo le espressionidei numeri di particelle Eq. (1.3-1.4) in termini di probabilita nella Eq. (1.2).

L’esperimento di Zeilinger

Zeilinger ha realizzato questo esperimento usando molecole di fullerene (C60). Si tratta di molecole giganti,fatte di 60 atomi di carbonio disposti lungo i vertici di un icosaedro troncato come mostrato in Fig. 1.2. Ildiametro di ogni molecola e dell’ordine di 10 A, cioe 1 nm = 10−9 m. Le molecole vengono emesse con unavelocita media di 200 m/s da una sorgente, passano attraverso un primo schermo in cui sono praticate piu

1.1 Le basi sperimentali della fisica quantistica 13

fenditure e colpiscono infine uno schermo finale, in corrispondenza del quale vengono rivelate. La distanzatra la sorgente e il primo schermo e simile a quella tra i due schermi e pari a circa un metro. Lo schermoe di nitruro di silicio (SiN), e spesso 200 nm e ha fenditure larghe di 55 nm e distanziate tra loro 100 nm.Parte della difficolta dell’esperimento consiste nella realizzazione dello schermo, che deve avere fendituresufficientemente ampie da permettere il passaggio delle molecole, ma allo stesso tempo sufficientementestrette perche ogni fenditura possa essere vista come una sorgente di molecole puntiforme: l’ampiezzadella fenditura deve essere quindi dello stesso ordine di grandezza del diametro delle molecole e tale daconsentirne il passaggio.

in the United States by the architect Buckminster Fuller.31This new modification of pure carbon was discovered in1985 by Kroto et al.32 and shown to be particularly stableand abundant when exactly 60 carbon atoms are arranged inone molecule to form the smallest natural soccer ball weknow, the buckyball, as shown in Fig. 2.Fullerenes are appealing candidates because a successful

quantum experiment with them would be regarded as an im-portant step toward the realm of our macroscopic world:Many of the known physical properties of buckyballs aremore closely related to a chunk of hot solid material than tothe cold atoms that have so far been used in matter waveinterference. The existence of collective many-particle stateslike plasmons and excitons, the rich variety of vibrationaland rotational modes as well as the concept of an internalmolecular temperature are only some of the clear indicatorsof the multiparticle composition of the fullerenes. And wemight wonder whether this internal complexity could spoilthe quantum wave behavior of the center of mass motion.To answer this question, we have set up a new experiment

as shown in Fig. 3. It resembles very much the standardYoung’s double-slit experiment. Like its historical counter-part, our setup also consists of four main parts: the source,the collimation, the diffraction grating, and the detector.

A. The source

To bring the buckyballs into the gas phase, fullerene pow-der is sublimated in a ceramic oven at a temperature of about900 K. The vapor pressure is then sufficient to eject mol-ecules, in a statistical sequence, one by one through a smallslit in the oven. The molecules have a most probable velocityvmp of about 200 m/s and a nearly thermal velocity spread of!v/vmp!60%. Here !v is the full width of the distributionat half height.To calculate the expected diffraction angles, we first need

to know the de Broglie wavelength which is uniquely deter-mined by the momentum of the molecule

"!hmv

, #1$

where h is Planck’s constant. Accordingly, for a C60 fullerenewith a mass of m!1.2"10#24 kg and a velocity of v!200m/s, we find a wavelength of "!2.8 pm.33

B. The diffractive element

Because the de Broglie wavelength is about five orders ofmagnitude smaller than any realistic free-standing mechani-cal structure, we expect the characteristic size of the interfer-ence phenomena to be small. A sophisticated machinery istherefore necessary to actually show them. As the diffractingelement we used a free-standing silicon nitride grating with anominal grating constant of d!100 nm, slit openings of s!55$5 nm and thickness of only 200 nm along the beamtrajectory. These gratings are at the cutting edge of currenttechnology and only a few specialists worldwide can actuallymake them.34We can now calculate the deflection angle to the first dif-

fraction order in the small angle approximation as the ratioof the wavelength and the grating constant,

%!"

d !2.8"10#12 m

10#7 m!28 &rad. #2$

In elementary textbooks Eq. #2$ is usually derived using Fig.4 and noting that the first constructive interference occurswhen the difference between two neighboring paths is equalto one de Broglie wavelength. Because our detector is placedat 1.2 m downstream from the grating, the separation be-tween the interference peaks at the detector amounts then toonly L"%!1.2 m"28 &rad!34 &m.

Fig. 2. The fullerene molecule C60 , consisting of 60 carbon atoms arrangedin a truncated icosahedral shape, is the smallest known natural soccer ball.

Fig. 3. Setup of the diffraction experiment. Fullerenemolecules are sublimated in the oven at 900 K. Thespectral coherence can be improved using a mechanicalvelocity selector. Two collimating slits improve the spa-tial coherence and limit the angular spread of the beamto smaller than the expected diffraction angle. A SiNgrating with a 100 nm period and 50 nm openings isused to diffract the incident molecular waves. The mo-lecular far-field distribution is observed using a scan-ning laser-ionization detector.

Fig. 4. Textbook approach to double-slit diffraction. First-order interferencemaxima of a monochromatic wave are caused by constructive interferenceof the wavelets that emerge from two neighboring slits. The correspondingpath length difference between the two paths is equal to the de Brogliewavelength. Higher order interference will be spoiled by the limited longi-tudinal coherence in a thermal source. Velocity selection in our experimentsincreases the longitudinal coherence length by more than a factor of 3 andtherefore permits the observation of higher order interference fringes.

321 321Am. J. Phys., Vol. 71, No. 4, April 2003 Nairz, Arndt, and Zeilinger

Figura 1.2: I sessanta atomi di carbonio che formano la molecola del fullerene formano i vertici di unicosaedro troncato, il solido archimedeo che ha fatto da modello a numerosi palloni da calcio (figurariprodotta da Nairz et al. (2003)2).

La posizione delle molecole quando incidono sullo schermo finale viene rivelata utilizzando un fasciolaser, diretto parallelamente allo schermo ma perpendicolarmente alla direzione delle particelle — cioe,facendo riferimento alla Figura 1.1, diretto perpendicolarmente al piano della figura, in corrispondenzadello schermo. Il fascio ha una larghezza di 2µm. Ogni volta che una molecola colpisce lo schermo incorrispondenza del fascio laser viene ionizzata da quest’ultimo; la molecola ionizzata e deflessa da uncampo elettrico e genera cosı un segnale che permette il conteggio delle molecole. Il fascio viene spostatolungo lo schermo in passi di 8µm: la distribuzione di probabilita si ottiene dal conteggio delle molecolerivelate dal laser in un certo intervallo di tempo in ognuno dei punti campionati. L’apparato sperimentalee mostrato in Figura 1.3.

in the United States by the architect Buckminster Fuller.31This new modification of pure carbon was discovered in1985 by Kroto et al.32 and shown to be particularly stableand abundant when exactly 60 carbon atoms are arranged inone molecule to form the smallest natural soccer ball weknow, the buckyball, as shown in Fig. 2.Fullerenes are appealing candidates because a successful

quantum experiment with them would be regarded as an im-portant step toward the realm of our macroscopic world:Many of the known physical properties of buckyballs aremore closely related to a chunk of hot solid material than tothe cold atoms that have so far been used in matter waveinterference. The existence of collective many-particle stateslike plasmons and excitons, the rich variety of vibrationaland rotational modes as well as the concept of an internalmolecular temperature are only some of the clear indicatorsof the multiparticle composition of the fullerenes. And wemight wonder whether this internal complexity could spoilthe quantum wave behavior of the center of mass motion.To answer this question, we have set up a new experiment

as shown in Fig. 3. It resembles very much the standardYoung’s double-slit experiment. Like its historical counter-part, our setup also consists of four main parts: the source,the collimation, the diffraction grating, and the detector.

A. The source

To bring the buckyballs into the gas phase, fullerene pow-der is sublimated in a ceramic oven at a temperature of about900 K. The vapor pressure is then sufficient to eject mol-ecules, in a statistical sequence, one by one through a smallslit in the oven. The molecules have a most probable velocityvmp of about 200 m/s and a nearly thermal velocity spread of!v/vmp!60%. Here !v is the full width of the distributionat half height.To calculate the expected diffraction angles, we first need

to know the de Broglie wavelength which is uniquely deter-mined by the momentum of the molecule

"!hmv

, #1$

where h is Planck’s constant. Accordingly, for a C60 fullerenewith a mass of m!1.2"10#24 kg and a velocity of v!200m/s, we find a wavelength of "!2.8 pm.33

B. The diffractive element

Because the de Broglie wavelength is about five orders ofmagnitude smaller than any realistic free-standing mechani-cal structure, we expect the characteristic size of the interfer-ence phenomena to be small. A sophisticated machinery istherefore necessary to actually show them. As the diffractingelement we used a free-standing silicon nitride grating with anominal grating constant of d!100 nm, slit openings of s!55$5 nm and thickness of only 200 nm along the beamtrajectory. These gratings are at the cutting edge of currenttechnology and only a few specialists worldwide can actuallymake them.34We can now calculate the deflection angle to the first dif-

fraction order in the small angle approximation as the ratioof the wavelength and the grating constant,

%!"

d !2.8"10#12 m

10#7 m!28 &rad. #2$

In elementary textbooks Eq. #2$ is usually derived using Fig.4 and noting that the first constructive interference occurswhen the difference between two neighboring paths is equalto one de Broglie wavelength. Because our detector is placedat 1.2 m downstream from the grating, the separation be-tween the interference peaks at the detector amounts then toonly L"%!1.2 m"28 &rad!34 &m.

Fig. 2. The fullerene molecule C60 , consisting of 60 carbon atoms arrangedin a truncated icosahedral shape, is the smallest known natural soccer ball.

Fig. 3. Setup of the diffraction experiment. Fullerenemolecules are sublimated in the oven at 900 K. Thespectral coherence can be improved using a mechanicalvelocity selector. Two collimating slits improve the spa-tial coherence and limit the angular spread of the beamto smaller than the expected diffraction angle. A SiNgrating with a 100 nm period and 50 nm openings isused to diffract the incident molecular waves. The mo-lecular far-field distribution is observed using a scan-ning laser-ionization detector.

Fig. 4. Textbook approach to double-slit diffraction. First-order interferencemaxima of a monochromatic wave are caused by constructive interferenceof the wavelets that emerge from two neighboring slits. The correspondingpath length difference between the two paths is equal to the de Brogliewavelength. Higher order interference will be spoiled by the limited longi-tudinal coherence in a thermal source. Velocity selection in our experimentsincreases the longitudinal coherence length by more than a factor of 3 andtherefore permits the observation of higher order interference fringes.


Figura 1.3: Apparato sperimentale usato da Zeilinger e collaboratori nell’esperimento di diffrazione conmolecole di fullerene (figura riprodotta da Nairz et al. (2003)2).

E importante notare che la distribuzione di probabilita si riferisce ad eventi singoli: in ogni caso,si osserva una sola molecola, rivelata sullo schermo finale. Il fatto che siano osservati eventi singoli euna caratteristica unica dell’esperimento di Zeilinger. Esperimenti di questo genere erano infatti statirealizzati in precedenza con fasci di particelle: in tal caso, puo sorgere il dubbio che il comportamentoosservato sia una proprieta collettiva delle particelle del fascio, che interagiscono fra loro.

Nell’esperimento di Zeilinger, si osserva il comportamento di una particella per volta: ogni conteggiocorrisponde ad una singola molecola, emessa dalla sorgente, passata attraverso lo schermo con le fenditure,e rivelata in corrispondenza dello schermo finale. Infatti, il flusso di molecole e di 3 × 109 cm−2 s−1, che


corrisponde ad una distanza media tra le molecole di 200µm, 105 volte il raggio della singola molecola, eoltre 1000 volte maggiore della massima portata delle forze tra molecole (forze di van der Waals) che eal massimo di circa 100 nm. E quindi esclusa qualunque interferenza tra diverse molecole: l’esperimentoe a tutti gli effetti eseguito osservando una molecola alla volta.

improvement of the spectral purity using a velocity filter !seeFigs. 3 and 5", thereby also improving the wavelength distri-bution.Figure 6 shows a typical fullerene diffraction pattern with

a thermal beam. We can clearly discern the first interferenceorders on both sides of the central peak. But the limitedcoherence is reflected by the fact that we cannot see anysecond or higher order peaks in the interferogram of Fig. 6.To see more fringes we have to increase the coherence

length and therefore decrease the velocity spread. For thispurpose we have employed a mechanical velocity selector, asshown after the oven in Fig. 3. It consists of four slotteddisks that rotate around a common axis. The first disk chopsthe fullerene beam and only those molecules are transmittedthat traverse the distance from one disk to the next in thesame time that the disks rotate from one open slot to thenext. Although two disks would suffice for this purpose, theadditional disks decrease the velocity spread even further andhelp eliminate velocity sidebands. By varying the rotationfrequency of the selector, the desired velocity class of thetransmitted molecules can be adjusted. To measure the timeof flight distribution we chopped the fullerene beam with the

chopper right behind the source !see Fig. 3". The selection isof course accompanied by a significant loss in count rate, butwe can still retain about 7% of the unselected molecules.In Fig. 5 both the thermal and the selected velocity distri-

butions are shown. In contrast to the width of the thermalspectrum, amounting to #v/v!60%, we are able to reducethis number to only 17% with the selector. The increase inlongitudinal coherence by a factor of more than 3 allows forthe observation of diffraction peaks up to at least the secondand possibly the third order, as can be seen in Fig. 7.It should also be pointed out that by using the velocity

selector, we can now choose a slow mean velocity centeredabout 120 m/s, which corresponds to a de Broglie wave-length of 4.6 pm. It is obvious that this increase in wave-length results in a wider separation of the diffraction peaks,which can be seen by comparing Figs. 6 and 7.In principle, the diffraction patterns can be understood

quantitatively within the Fraunhofer approximation of Kirch-hoff’s diffraction theory as it can be found in any opticstextbook.38 However, Fraunhofer’s diffraction theory in thecontext of optics misses an important point that becomesevident in our experiments with matter waves and materialgratings: the attractive interaction between molecule andwall results in an additional phase of the molecular wavefunction after the passage of the molecule through the slits.39Although the details of the calculations are somewhatinvolved,40 it suffices here to say that the qualitative effect ofthis attractive force can be understood as a narrowing of thereal slit width toward an effective slit width. For our fullerenemolecules the reduction can be as big as 20 nm for the un-selected molecular beam and almost 30 nm for the velocityselected beam. The stronger effect on slower molecules canbe understood by the longer and therefore more influentialinteraction between the molecules and the wall. However, acomplete description would need to take into account thecorrect shape of the complex !imaginary and real" transmis-sion function, which implies the position-dependent modula-tion of both the molecular amplitude and phase.The full lines in Figs. 6 and 7 are fits of our data to this

modified Kirchhoff–Fresnel theory. To obtain such a good fitwe also have to take into account an enhanced contributionin the zeroth order which we attribute to mechanical defects!holes" of the grating which are significantly larger than thegrating period.

III. CONCLUDING REMARKSA. Single particle interferometryIt is important to note that the interference pattern is built

up from single, separate particles. There is no interferencebetween two or more particles during their evolution in theapparatus. Single particle interference is evidenced in ourcase by two independent arguments.The first argument is based on the spatial separation be-

tween the molecules. The molecular flux at an average speedof 200 m/s is $3"109 cm#2 s#1 at the plane of the detec-tor. This flux corresponds to an average molecular density of1.7"1011 m#3 or an average molecular distance of 200 %m.This is three orders of magnitude wider than any realisticrange of molecular !van der Waals" forces, which are typi-cally confined to several 100 nm.The second argument is based on the fact that interference

occurs only between indistinguishable states. However, allmolecules may be regarded as being in different states. There

Fig. 6. Far-field diffraction of C60 using a thermal beam of v!200 m/s witha velocity spread of #v/v$60%. The absence of higher order interferencefringes is due to the poor spectral coherence.

Fig. 7. Far-field diffraction of C60 using the slotted disk velocity selector.The mean velocity was v!117 m/s, and the width was #v/v$17%. Fullcircles represent the experimental data. The full line is a numerical modelbased on Kirchhoff–Fresnel diffraction theory. The van der Waals interac-tion between the molecule and the grating wall is taken into account in formof a reduced slit width. Grating defects !holes" additionally contribute to thezeroth order.


improvement of the spectral purity using a velocity filter !seeFigs. 3 and 5", thereby also improving the wavelength distri-bution.Figure 6 shows a typical fullerene diffraction pattern with

a thermal beam. We can clearly discern the first interferenceorders on both sides of the central peak. But the limitedcoherence is reflected by the fact that we cannot see anysecond or higher order peaks in the interferogram of Fig. 6.To see more fringes we have to increase the coherence

length and therefore decrease the velocity spread. For thispurpose we have employed a mechanical velocity selector, asshown after the oven in Fig. 3. It consists of four slotteddisks that rotate around a common axis. The first disk chopsthe fullerene beam and only those molecules are transmittedthat traverse the distance from one disk to the next in thesame time that the disks rotate from one open slot to thenext. Although two disks would suffice for this purpose, theadditional disks decrease the velocity spread even further andhelp eliminate velocity sidebands. By varying the rotationfrequency of the selector, the desired velocity class of thetransmitted molecules can be adjusted. To measure the timeof flight distribution we chopped the fullerene beam with the

chopper right behind the source !see Fig. 3". The selection isof course accompanied by a significant loss in count rate, butwe can still retain about 7% of the unselected molecules.In Fig. 5 both the thermal and the selected velocity distri-

butions are shown. In contrast to the width of the thermalspectrum, amounting to #v/v!60%, we are able to reducethis number to only 17% with the selector. The increase inlongitudinal coherence by a factor of more than 3 allows forthe observation of diffraction peaks up to at least the secondand possibly the third order, as can be seen in Fig. 7.It should also be pointed out that by using the velocity

selector, we can now choose a slow mean velocity centeredabout 120 m/s, which corresponds to a de Broglie wave-length of 4.6 pm. It is obvious that this increase in wave-length results in a wider separation of the diffraction peaks,which can be seen by comparing Figs. 6 and 7.In principle, the diffraction patterns can be understood

quantitatively within the Fraunhofer approximation of Kirch-hoff’s diffraction theory as it can be found in any opticstextbook.38 However, Fraunhofer’s diffraction theory in thecontext of optics misses an important point that becomesevident in our experiments with matter waves and materialgratings: the attractive interaction between molecule andwall results in an additional phase of the molecular wavefunction after the passage of the molecule through the slits.39Although the details of the calculations are somewhatinvolved,40 it suffices here to say that the qualitative effect ofthis attractive force can be understood as a narrowing of thereal slit width toward an effective slit width. For our fullerenemolecules the reduction can be as big as 20 nm for the un-selected molecular beam and almost 30 nm for the velocityselected beam. The stronger effect on slower molecules canbe understood by the longer and therefore more influentialinteraction between the molecules and the wall. However, acomplete description would need to take into account thecorrect shape of the complex !imaginary and real" transmis-sion function, which implies the position-dependent modula-tion of both the molecular amplitude and phase.The full lines in Figs. 6 and 7 are fits of our data to this

modified Kirchhoff–Fresnel theory. To obtain such a good fitwe also have to take into account an enhanced contributionin the zeroth order which we attribute to mechanical defects!holes" of the grating which are significantly larger than thegrating period.

III. CONCLUDING REMARKSA. Single particle interferometryIt is important to note that the interference pattern is built

up from single, separate particles. There is no interferencebetween two or more particles during their evolution in theapparatus. Single particle interference is evidenced in ourcase by two independent arguments.The first argument is based on the spatial separation be-

tween the molecules. The molecular flux at an average speedof 200 m/s is $3"109 cm#2 s#1 at the plane of the detec-tor. This flux corresponds to an average molecular density of1.7"1011 m#3 or an average molecular distance of 200 %m.This is three orders of magnitude wider than any realisticrange of molecular !van der Waals" forces, which are typi-cally confined to several 100 nm.The second argument is based on the fact that interference

occurs only between indistinguishable states. However, allmolecules may be regarded as being in different states. There

Fig. 6. Far-field diffraction of C60 using a thermal beam of v!200 m/s witha velocity spread of #v/v$60%. The absence of higher order interferencefringes is due to the poor spectral coherence.

Fig. 7. Far-field diffraction of C60 using the slotted disk velocity selector.The mean velocity was v!117 m/s, and the width was #v/v$17%. Fullcircles represent the experimental data. The full line is a numerical modelbased on Kirchhoff–Fresnel diffraction theory. The van der Waals interac-tion between the molecule and the grating wall is taken into account in formof a reduced slit width. Grating defects !holes" additionally contribute to thezeroth order.


Figura 1.4: Risultati sperimentali dell’esperimento di Zeilinger ottenuti con molecole aventi velocita mediadi 200 m/s e dispersione ∆v/v ∼ 0.6 (sinistra) e velocita media di 117 m/s e dispersione ∆v/v ∼ 0.17(destra) confrontati con un modello numerico per la figura di diffrazione. L’introduzione di un selettoredi velocita riduce la dispersione di un fattore tre e permette di osservare un numero maggiore di massiminella figura di interferenza, nonostante la statistica sia inferiore (figura riprodotta da Nairz et al. (2003)2).

Il risultato dell’esperimento e rappresentato in Figura 1.4: la distribuzione dei conteggi di molecole sul-lo schermo finale sembra fornire una figura d’interferenza. Questo e il comportamento che si osserverebbese attraverso le fenditure passassero le onde di un fluido.

Interferenza e onde

B C

A

Figura 1.5: Figura di interferenza generata da onde che si propagano attraverso due fenditure.

Il comportamento ondulatorio di un fluido differisce da quello di un insieme di granelli di sabbia nelmodo in cui si sovrappongono le sorgenti e si compongono le probabilita. Nel caso dei granelli di sabbia,vale la Eq. (1.1): la probabilita di un evento si ottiene componendo la probabilita dei sotto-eventi. Seil granello di sabbia e arrivato in Ci deve essere passato o da B1 o da B2 e quindi la probabilita divederlo in Ci si ottiene sommando la probabilita delle alternative che portano a questo risultato, ovverola probabilita che arrivi in Ci passando da B1 e quella che vi arrivi passando da B2.

1.1 Le basi sperimentali della fisica quantistica 15

Ma il caso delle onde e diverso. Se A e la sorgente di un’onda, l’onda passa simultaneamente da B1

e da B2 (si veda la Figura 1.5). Se le due fenditure sono sufficientemente strette, ciascuna di esse puoessere a sua volta interpretata come una sorgente puntiforme, e le due onde che escono dalle due fendituresi sovrappongono secondo il principio di Fresnel. Per capirlo, ricordiamo che un’onda e caratterizzata daun’ampiezza A, da una frequenza ω , e da una fase ϕ:

R = A cos(ωt+ ϕ), (1.5)

che possiamo anche scrivere in termini di un numero complesso

R = ReW, W = Aei(ωt+ϕ). (1.6)

Notiamo che l’ampiezza e pari al modulo:

A = |W |. (1.7)

La sovrapposizione di due onde dipende da tutt’e tre queste caratteristiche. Consideriamo persemplicita il caso di due onde aventi fasi diverse, ma la stessa ampiezza e la stessa fase:

W1 = Aei(ωt+ϕ1), W2 = Aei(ωt+ϕ2). (1.8)

La sovrapposizione di queste due onde e data da

R = R1 +R2 = Re (W1 +W2)

= ReAeiωt(eiϕ1 + eiϕ2

)(1.9)

= ReAeiωt+i(ϕ1+ϕ2

2 )(ei(

ϕ1−ϕ22 ) + e−i(

ϕ1−ϕ22 )

)= 2A cos

(ϕ1 − ϕ2

2

)cos

(ϕ1 + ϕ2

2+ ωt

)= Re 2A cos

(ϕ1 − ϕ2

2

)ei(

ϕ1+ϕ22 +ωt). (1.10)

La sovrapposizione e quindi un’onda di ampiezza

AR = 2A cos

(ϕ1 − ϕ2

2

)= |W1 +W2|. (1.11)

Questo significa che se le due onde hanno la stessa fase, si sommano, ma se hanno fasi diverse possonointerferire sia costruttivamente che distruttivamente, e se sono sfasate in modo che una abbia un massimomentre l’altra ha un minimo si cancellano.

Se dalla sorgente dell’esperimento partono onde, l’onda risultante in ogni punto dello schermo finale siottiene sovrapponendo le onde che provengono dalle due fenditure. Se le due fenditure sono equidistantidalla sorgente le onde arrivano su ciascuna fenditura dalla sorgente con la stessa fase. Quando le ondearrivano sullo schermo hanno quindi una differenza di fase che dipende dalla diversa distanza del puntodello schermo da ciascuna delle fenditure:

ϕ1 − ϕ2 =2π

λ∆L, (1.12)

dove λ e la lunghezza d’onda, e ∆L e la differenza della lunghezza dei cammini tra le due fenditure ed ilpunto dato dello schermo. Questa e a sua volta

∆L = d sin θ (1.13)

dove d e la distanza tra le fenditure, θ l’angolo formato dai due cammini con la retta parallela ai dueschermi e abbiamo supposto che tale angolo sia lo stesso per entrambi i cammini nel limite in cui ladistanza fra i due schermi e molto piu grande di d (vedi Figura 1.6).


Figura 1.6: Differenza di fase tra i cammini

1.1.2 Onde e particelle

Un attimo di riflessione mostra che i risultati dell’esperimento di Zeilinger dal punto di vista della mecca-nica classica sono contraddittori. Infatti, nell’esperimento si misura la distribuzione di singole molecole.Le distribuzioni di oggetti singoli si sommano secondo la Eq. (1.1), come rappresentato nella Figura 1.1.Questo, come abbiamo visto e conseguenza della Eq. (1.2), ossia del fatto che il singolo oggetto passa oda una fenditura o dall’altra.

Ma il risultato dell’esperimento di Zeilinger invece mostra il comportamento che corrisponde a dis-tribuzioni che si sommano come le onde, cioe secondo la Eq. (1.10). D’altra parte

|R1 +R2| =√|R1|2 + |R2|2 + 2Re(R1R∗2) 6= |R1|+ |R2|, (1.14)

come e del resto ovvio dalle figure: la sovrapposizione di onde puo essere distruttiva, ma quella di conteggidi particella singola no. Siamo quindi obbligati a concludere che non e vero che la particella e passatada una fenditura o dall’altra: una conclusione che contraddice un principio di base della meccanicaclassica, e cioe che la traiettoria di un oggetto e definita in modo unico, da una posizione ed una velocitaunivocamente determinate a tutti i tempi t.

D’altra parte, questo e a sua volta un fatto sperimentalmente verificabile: possiamo immaginare dimettere un rivelatore nei pressi delle fenditure (o anche solo di una di esse) che ci permetta di vedereda quale fenditura la molecola e passata prima di essere rivelata. In pratica, questo e stato realizzatoda Zeilinger in un esperimento successivo3 realizzando l’esperimento in una camera a vuoto, e ripetendol’esperimento quando nella camera si inietta un gas di pressione crescente: l’interazione delle molecolecon il gas permette di ottenere informazione sul cammino seguito dalla molecola.

B C

A

R

Figura 1.7: Esperimento con rivelatore

Eseguendo l’esperimento, si osserva che se e possibile osservare da che fenditura e passata la particella,la figura di interferenza scompare (si veda Figura 1.7) e si trova il risultato classico dell’Eq. (1.1). Non c’equindi contraddizione: effettivamente se la particella passa o da una fenditura o dall’altra, le probabilitasi sommano.

3L. Hachermuller, K. Hornberger, A. Zeilinger e M. Arndt, and , Appl. Phys. B77 (2003) 781

1.2 Stati 17

Siamo cosı costretti a concludere che quando si osserva la figura di interferenza non ha senso chiedersida quale fenditura sia passata la molecola, perche se lo facciamo otteniamo una contraddizione logica.Il fatto che le probabilita non si sommano quando non sappiamo da che fenditura la molecola e passatasi puo solo spiegare dicendo che, se non misuriamo da che fenditura e passata, non possiamo dire chela particella sia passata da una fenditura o dall’altra. Siamo obbligati a concludere che l’affermazione(classica) che la particella e passata o da una fenditura o dall’altra quantisticamente non e vera.

1.1.3 Dall’esperimento ai principi

L’esperimento di Zeilinger ci permette di formulare alcuni principi base della fisica quantistica.

1. I sistemi quantistici hanno un comportamento intrinsecamente casuale. Non possiamo predireil risultato di una misura quantistica (nell’esperimento di Zeilinger, la posizione di arrivo dellaparticella sullo schermo), ma solo la sua probabilita.

2. Lo stato del sistema, cioe l’informazione che ci permette di calcolare queste probabilita, si comportacome un’onda. In particolare, sistemi composti da sottosistemi (le due fenditure) si sovrappongonosecondo le leggi di composizione dei fenomeni ondulatori (principio di Fresnel).

3. Le misure rivelano eventi singoli.

4. Le probabilita di eventi singoli si compongono secondo le leggi della probabilita standard.

Un modo di riassumere questi principi e noto come “interpretazione di Copenhagen” della fisicaquantistica: quando si esegue una misura del sistema, il suo stato cambia, “collassando” in uno degli staticorrispondenti ai risultati possibili della misura. Finche il collasso non avviene, le diverse alternative (idiversi stati del sistema, come passare dall’una o dall’altra fenditura in assenza di rivelatore) interferiscono,ma dopo aver eseguito la misura l’interferenza scompare perche lo stato del sistema e quello corrispondenteall’alternativa che si e effettivamente realizzata. Questo modo di descrivere la situazione e forse idealizzato,un po’ come i punti materiali, e le palline che rotolano senza strisciare in assenza di attrito che si usanocomunemente nel formulare la meccanica classica. E pero del tutto adeguato in pratica: per il momentolo adotteremo e solo molto piu avanti ci interrogheremo sulle sue eventuali limitazioni e sul suo significatoprofondo, nella Sezione 7.5.2 e nell’ultimo Capitolo 14.

Per il momento, limitiamoci a capirne con precisione il significato. Lo stato del sistema rappresental’informazione che noi abbiamo su di esso. Visto che gli eventi fondamentali sono casuali, possiamo diresolo a posteriori quale di essi si e realizzato: a priori lo stato ci permette solo di calcolare la probabilitache un particolare evento si realizzi. Quando osserviamo quale evento si e realizzato, l’informazione cheabbiamo sul sistema cambia. Questo cambiamento e cio che descriviamo come “collasso” della funzioned’onda: il “collasso” della funzione d’onda esprime il fatto che noi osserviamo il verificarsi di uno dei tantieventi possibili. In questo contesto che l’evento sia stato “osservato” significa che il sistema ha interagitocon qualche cosa che permette di tenere traccia di cio che e accaduto. Nell’esempio che abbiamo discusso,l’evento “particella rivelata in un punto dello schermo” ha una probabilita che possiamo calcolare notolo stato del sistema. Questo stato e la sovrapposizione di due stati, corrispondenti al passaggio dellaparticella da ciascuna delle fenditure. Dopo aver rivelato sullo schermo lo stato diventa, in conseguenzadell’osservazione, quello corrispondente alla particella nel punto in cui e stata vista. Se pero introduciamoun qualunque apparato che ci permette di rivelare da quale fenditura la particella passa, lo stato delsistema cambia nel momento in cui la particella passa dall’una fenditura o dall’altra, in conseguenzadi questa prima misura, che ci dice da dove la particella e passata. Poiche lo stato non e piu unasovrapposizione quando facciamo la seconda misura, che dice dove la particella e arrivata sullo schermo,non osserviamo piu l’interferenza.

1.2 Stati

Come abbiamo visto, la natura casuale degli eventi quantistici ci obbliga ad introdurre un concetto nuovo:quello di stato del sistema. Lo stato e l’oggetto che ci permette di calcolare la probabilita degli eventi, e


contiene quindi l’informazione che abbiamo sul sistena. In termini di stati possiamo formulare in modopiu preciso e quantitativo i principi enunciati nella Sezione 1.1.3.

1.2.1 Bra, ket e sovrapposizione

Per descrivere gli stati di un sistema quantistico, utilizziamo una notazione introdotta da Dirac. Uno statodel sistema e associato ad un oggetto chiamato ket. Un ket viene rappresentato mediante la notazione|x〉. Gli stati che caratterizzano il sistema sono esclusivi ed esaustivi : ciascuno di essi corrisponde adun possibile risultato distinto di una misura (esclusivi), e il loro insieme corrisponde a tutti i risultatipossibili (esaustivi).

In questo capitolo e nel seguente, per semplicita, considereremo in particolare un sistema che puotrovarsi solo in due stati. Questo sistema viene denominato qubit, perche, come vedremo nel prossimocapitolo, e il sistema quantistico che contiene la minima quantita di informazione. Tuttavia, tutti irisultati che discuteremo si generalizzano facilmente a sistemi che si trovano in un numero qualunque distati. Un sistema a due stati ha una sola proprieta, e la sua misura puo dare uno solo di due risultatipossibili. Nell’esempio della sezione precedente, |+〉 e |−〉 potrebbero corrispondere rispettivamente a “laparticella e passata per la fenditura B1” e “la particella e passata per la fenditura B2”.

Misura

Per descrivere la situazione discussa nel capitolo precedente, supponiamo che il sistema si possa in generaletrovare in una qualunque sovrapposizione dei due stati (ad esempio, se non misuriamo da quale delle duefenditure e passato). Il piu generale stato e una combinazione dei due stati |±〉:

|ψ〉 = a+|+〉+ a−|−〉, (1.15)

dove a+ e a− sono in generale dei numeri complessi, che interpretiamo nel modo seguente: quandomisuriamo il sistema la probabilita che la misura dia l’uno o l’altro dei due risultati possibili e

P± = |a±|2. (1.16)

Se normalizziamo le probabilita a 1 ne segue che a± devono soddisfare la condizione di normalizzazione

|a+|2 + |a−|2 = 1. (1.17)

Prima della misura lo stato ci dice qual e la probabilita dei possibili risultati della misura. Dopo lamisura sappiamo con certezza che risultato abbiamo ottenuto. Quindi dopo la misura il sistema si trova onello stato |+〉, o nello stato |−〉. Lo stato del sistema ci dice che informazione abbiamo sui risultati dellemisure: questa informazione e in generale probabilistica. Ma dopo la misura, l’informazione e completa:sappiamo in che stato si trova il sistema. Si trova nello stato nel quale la misura ci ha detto che e. Quindila misura cambia lo stato del sistema. Ripetiamo ancora una volta che e ovvio che l’informazione cheabbiamo sul sistema cambia nel momento in cui lo misuriamo. Cio che non e ovvio e che in generaleprima di eseguire la misura tale informazione non sia completa, ma solo probabilistica.

Sovrapposizione

Visto che vogliamo che gli stati si possano sovrapporre come onde, supponiamo che valga il principio disovrapposizione: dati due stati qualunque |ψ1〉 e |ψ2〉, dati da

|ψ1〉 = a1+|+〉+ a1−|−〉|ψ2〉 = a2+|+〉+ a2−|−〉 (1.18)

anche la loro sovrapposizione |ϕ〉

|ϕ〉 = N(c1|ψ1〉+ c2|ψ2〉

)(1.19)

1.2 Stati 19

e uno stato (e piu in generale lo e qualunque loro combinazione lineare); N e una costante di normaliz-zazione, che introduciamo se vogliamo che anche per lo stato |ϕ〉 valga una condizione di normalizzazionedella forma della (1.17). Lo stato sovrapposizione |ϕ〉 e anch’esso possibile ed e dato da una combinazionelineare degli stati. Qualunque sovrapposizione di stati genera un nuovo stato possibile.

Come esempio, consideriamo un sistema che si trova in una sovrapposizione, con uguale probabilita,dei due stati |ψ1〉 e |ψ2〉 Eq. (1.18):

|ϕ〉 =1√2

(|ψ1〉+ |ψ2〉

)=

1√2

[(a1+ + a2+

)|+〉+

(a1− + a2−

)|−〉]. (1.20)

Quale e la probabilita di |+〉 e di |−〉? Notiamo essa non si ottiene componendo le probabilita, perchec’e un termine di interferenza:

P± =1

2|a1± + a2±|2

=1

2

(|a1±|2 + |a2±|2 + a1±a

∗2± + a2±a

∗1±)

(1.21)

e quindi

P± 6=1

2(P1± + P2±). (1.22)

Possiamo vedere questo esempio come una realizzazione idealizzata del caso discusso nella situazioneprecedente, in cui sullo schermo finale vi siano solo due posizioni C+ e C−. In tal caso i due stati |±〉corrispondono al fatto che la molecola venga rivelata nell’una o nell’altra di queste posizioni sullo schermo.Gli stati |ψ1〉 e |ψ2〉 possono essere interpretati come gli stati che corrispondono a rivelare che il sistemae passato da ciascuna delle due fenditure, mentre lo stato |ϕ〉 Eq. (1.20) e lo stato in cui il sistema sitrova quando entrambe le fenditure sono aperte. Quindi le probabilita P± sono le probabilita di rivelarela particella sullo schermo, e la Eq. (1.22) ci dice che e violata la legge di composizione classica delleprobabilita Eq. (1.1).

Notiamo che se invece si esegue una misura che determina da che fenditura la particella e passataessa dopo la misura si trova nello stato |ψ1〉 quando passa dalla fenditura superiore, e nello stato |ψ2〉 sepassa da quella inferiore. Le probabilita dei risultati di questa misura sulla fenditura sono entrambe 1

2 ,come si vede dalla Eq. (1.20). In seguito, le probabilita dei risultati della misura sul secondo schermo sitrovano usando la Eq. (1.16), ma con il sistema posto o nello stato |ψ1〉 o nello stato |ψ2〉. Quindi in talcaso vale la legge di composizione classica delle probabilita. Se, grazie ad una misura precedente, e notala fenditura da cui la particella e passata, l’interferenza scompare.

1.2.2 Prodotto scalare

Per descrivere il principio fisico di sovrapposizione abbiamo supposto che lo spazio degli stati fisici siauno spazio vettoriale complesso, di cui i ket sono vettori; e naturale supporre che in questo spazio siadefinito il concetto di norma di un vettore, che assoceremo naturalmente alla probabilita di un evento.Uno spazio vettoriale normato (e completo) e detto spazio di Banach. Ma il fatto che i ket siano associatia risultati indipendenti di misure porta naturalmente a vederli come vettori di base, e questo a sua voltasuggerisce di introdurre un prodotto scalare.

A questo fine, poniamo ogni ket in corrispondenza con un bra:

|ψ〉 ↔ 〈ψ|

e definiamo il prodotto scalare tra due stati |ψ〉 e |ϕ〉 come

〈ψ|ϕ〉. (1.23)

Il prodotto bra-ket ha le seguenti proprieta:


• 〈ψ|ϕ〉 ∈ C;

• 〈ψ|ϕ〉 = 〈ϕ|ψ〉∗ (hermitianita o hermiticita);

• 〈ψ|ψ〉 ≥ 0 (positivita; notare che la proprieta di hermiticita implica che 〈ψ|ψ〉 e reale);

• se |ϕ〉 = a|+〉+ b|−〉 allora 〈ψ|ϕ〉 = a〈ψ|+〉+ b〈ψ|−〉 (linearita).

Lo spazio dei bra e lo spazio vettoriale duale dello spazio dei ket: infatti se |ψ〉 = a|+〉 + b|−〉 allora〈ψ| = a∗〈+|+ b∗〈−|. Infatti:

〈ψ|ϕ〉 =(〈ϕ|ψ〉

)†=(〈ϕ|+〉a+ 〈ϕ|−〉b

)†=(a∗〈+|+ b∗〈−|

)|ϕ〉

Dal punto di vista matematico, lo spazio dei bra e lo spazio degli operatori lineari a valori complessiche agiscono sullo spazio dei ket (ossia lo spazio duale a quello dei ket). Come si e visto negli esempiprecedenti, infatti, un elemento dello spazio dei bra agisce su un elemento dello spazio dei ket e restituisceun numero complesso. Si puo mostrare che se lo spazio dei ket e finito-dimensionale, lo spazio dei brae isomorfo ad esso; il caso infinito-dimensionale comporta delle complicazioni matematiche in cui non ciaddentriamo. Uno spazio vettoriale lineare con un prodotto scalare e detto spazio di Hilbert. Lo spaziodegli stati fisici della meccanica quantistica e uno spazio di Hilbert.

1.2.3 Vettori di base e misura

I due stati |±〉 in cui il sistema si puo trovare possono essere visti come una base ortonormale rispetto alprodotto scalare appena introdotto:

〈+|+〉 = 〈−|−〉 = 1 (1.24)

〈+|−〉 = 〈−|+〉 = 0. (1.25)

La probabilita Eq. (1.16) del risultato di una misura puo ora essere vista come la lunghezza dellaproiezione dello stato |ψ〉 in cui il sistema si trova lungo il vettore di base che corrisponde al risultatodella misura stessa. Infatti, se lo stato e dato dalla Eq. (1.15) la probabilita di trovare ciascuno dei duepossibili risultati della misura e

P± = |〈±|ψ〉|2 = |a±|2. (1.26)

Notiamo infine che la normalizzazione dello stato, che possiamo fissare secondo la Eq. (1.17), e ilprodotto scalare dello stato con se stesso

〈ψ|ψ〉 =(〈+|a∗+ + 〈−|a∗−

)(a+|+〉+ a−|−〉) = |a+|2 + |a−|2, (1.27)

dove per eseguire il calcolo abbiamo usato l’espressione esplicita Eq. (1.15) dello stato e le condizioni diortonormalizzazione Eq. (1.24). La Eq. (1.27) e detta appunto norma dello stato |ψ〉.

Naturalmente, vi e un’infinita di basi ortonormali possibili. Ad esempio, consideriamo i due stati

|ψ1〉 =1√2

(|+〉+ |−〉

)|ψ2〉 =

1√2

(|+〉 − |−〉

). (1.28)

Notiamo che

〈ψ1|ψ2〉 = 〈ψ2|ψ1〉 = 0;

〈ψ1|ψ1〉 = 〈ψ2|ψ2〉 = 1. (1.29)

(1.30)

Quindi anche gli stati |ψ1〉 e |ψ2〉 formano una base ortonormale.

1.2 Stati 21

Finora abbiamo supposto che lo stato del sistema sia scritto in una base di stati corrispondenti atutti i risultati di misure. Tuttavia, come abbiamo visto, vi sono infinite basi possibili. In effetti, datoun qualunque stato |ϕ〉 che corrisponde ad un risultato ben determinato per la misura di una osservabilepossiamo supporre che faccia parte di una base, se combinato con altri stati che corrispondono agli altririsultati possibili: per esempio, uno dei due stati |ψi〉 Eq. (1.18) che corrispondono al passaggio dellaparticella da una delle due fenditure.

Possiamo quindi in generale interpretare il modulo del prodotto scalare

Pϕψ = |〈ϕ|ψ〉|2 (1.31)

come la probabilita che un sistema che si trova nello stato |ψ〉 dia sotto misura il risultato associato a|ϕ〉. Naturalmente, dopo la misura, il sistema si trova nello stato |ϕ〉 .

Questo da luogo ad una situazione interessante. Consideriamo gli stati |ψi〉 Eq. (1.28). Supponiamoche il sistema si trovi inizialmente nello stato |ψ1〉. Esso quindi non si trova nello stato |ψ2〉, che e adesso ortogonale. Eseguiamo ora la misura per determinare se il sistema si trovi in |+〉 od in |−〉. Nel50% dei casi troveremo che esso si trova in |+〉 . Dopo la misura il sistema quindi e nello stato |+〉. Oramisuriamo di nuovo se il sistema si trovi nello stato |ψ2〉. E facile vedere che nel 50% dei casi troveremoche esso si trova in |ψ2〉. Quindi la misura intermedia di |±〉 ha rigenerato la componente |ψ2〉 dello stato|ψ1〉, inizialmente assente.

1.2.4 La relazione di completezza

Alcune delle manipolazioni che abbiamo compiuto possono essere considerevolmente semplificate medianteuna osservazione semplice, ma di notevole portata. Osserviamo infatti che possiamo scrivere un ket distato |ψ〉 come

|ψ〉 = 〈+|ψ〉|+〉+ 〈−|ψ〉|−〉 =(|+〉〈+|+ |−〉〈−|

)|ψ〉

Di conseguenza abbiamo che

|+〉〈+|+ |−〉〈−| = I (1.32)

lascia invariato lo stato ed e quindi una rappresentazione dell’operatore identita. La Eq. (1.32) e notacome relazione di completezza o risoluzione d’identita.

Il risultato vale in generale nel caso in cui i risultati possibili per la misura siano n, per cui, data unabase

|ei〉 i = 1....n (1.33)

la condizione di ortonormalita e

〈ei|ej〉 = δij (1.34)

dove δij e la delta di Kronecker definita come

δij =

0 se i 6= j

1 se i = j. (1.35)

In tal caso, la risoluzione dell’identita e

I =∑i

|ei〉〈ei|. (1.36)

La risoluzione dell’identita semplifica diversi calcoli, tra cui:

• decomposizione di un vettore su una base: da

|ψ〉 =∑i

|ei〉〈ei|ψ〉 =∑i

|ei〉cψi (1.37)

si ha

cψi = 〈ei|ψ〉; (1.38)


• calcolo della norma di un vettore

〈ψ|ψ〉 =∑i

〈ψ|ei〉〈ei|ψ〉 =∑i

|cψi |2; (1.39)

• prodotto scalare tra due vettori

〈ϕ|ψ〉 =∑i

〈ϕ|ei〉〈ei|ψ〉 =∑i

(cϕi )∗cψi . (1.40)

1.3 Operatori

L’operazione di misura come descritta finora presuppone la conoscenza di un insieme esclusivo ed esaus-tuvo di stati associati ai risultati della misura. Come si e visto, vi possono essere diversi insiemi di stati,quindi diverse misure possibili, per lo stesso sistema. Per caratterizzare questa situazione, ed in parti-colare studiare e classificare tutte le possibili misure che possono essere eseguite su un sistema, convieneintrodurre il concetto di operatore.

1.3.1 Operatori e matrici

Un operatore e un oggetto che applicato ad un qualunque stato fisico da un altro stato fisico

A|ψ〉 = |ψ′〉, (1.41)

ossia, piu formalmente, un’applicazione dello spazio degli stati fisici in se stesso. Noi considereremospecificamente operatori lineari, cioe tali che

A(a1|ψ1〉+ a2|ψ2〉

)= a1A|ψ1〉+ a2A|ψ2〉 (1.42)

L’azione di un operatore lineare e interamente determinata dalla sua azione su un insieme ket di base.Infatti, decomponendo uno stato qualunque |ψ〉 su una base di stati ei〉, con coefficienti cψi = 〈ei|ψ〉) (siricordi la Eq. (1.38)) si ha

|ψ′〉 = A|ψ〉 =∑i

cψi A|ei〉. (1.43)

Ma possiamo anche decomporre ciascuno degli stati ottenuti dall’azione di A sui ket di base:

|e′i〉 ≡ A|ei〉 =∑j

cAji|ej〉 (1.44)

con cAji = 〈ej |e′i〉. Quindi

|ψ′〉 =∑ij

cψi cAji|ej〉. (1.45)

Nella notazione di Dirac, la linearita e implicita nel formalismo, e questo risultato si puo ritrovaresemplicemente utilizzando la risoluzione dell’identita:

A|ψ〉 =∑i

A|ei〉〈ei|ψ〉 =∑ij

|ej〉〈ej |A|ei〉〈ei|ψ〉 =∑ij

|ej〉Ajicψi (1.46)

L’equazione (1.46) puo essere letta come l’affermazione che qualunque operatore lineare puo essererappresentato come

A =∑ij

|ei〉Aij〈ej | (1.47)

1.3 Operatori 23

dove abbiamo indicato con

Aij ≡ cAij = 〈ei|A|ej〉. (1.48)

gli elementi di matrice dell’operatore. Associamo cosı a qualunque operatore una matrice.Notiamo che l’azione successiva di due operatori e data da

AB|ψ〉 =∑ijkl

|ei〉〈ei|A|ej〉〈ej |ek〉〈ek|B|el〉〈el|ψ〉

=∑ijl

|ei〉AijBjlcψl , (1.49)

dove nel passaggio intermedio abbiamo utilizzato l’ortonormalita Eq. (1.34). Si vede cosı che l’azionesuccessiva di due operatori e pari a quella dell’operatore la cui matrice e il prodotto (righe per colonne)delle matrici associate ai due operatori che agiscono successivamente. Si noti che, ovviamente, il risultatoin generale cambia a seconda dell’ordine con cui i due operatori agiscono.

1.3.2 Operatore associato ad un’osservabile

E naturale associare un operatore a ciascuna osservabile fisica, come conseguenza del fatto che un’osserv-abile e caratterizzata dall’insieme di stati |ei〉 che corrispondono ai possibili risultati della sua misura,oltre che, ovviamente, ai valori λi dell’osservabile misurata (come, ad esempio, la posizione sullo schermo,o l’indice che numera le fenditure). Notare che gli stati |ei〉 sono sempre una base, se supponiamo che irisultati delle misure dell’osservabile siano esclusivi ed esaustivi.

Per capire l’origine della relazione tra osservabili ed operatori, supponiamo di voler calcolare il valormedio di misure ripetute di una certa osservabile O, per un sistema che si trova in un certo stato |ψ〉.Esso e solitamente indicato con 〈O〉, ed e dato da

〈O〉 =∑i

λiPi =∑i

λi|〈ei|ψ〉|2. (1.50)

Possiamo interpretare questo risultato definendo l’operatore associato all’osservabile

O =∑i

λi|ei〉〈ei|. (1.51)

Il valor medio e quindi l’elemento di matrice di tale operatore nello stato dato:

〈O〉 = 〈ψ|O|ψ〉, (1.52)

infatti

〈ψ|O|ψ〉 =∑i

λi〈ψ|ei〉〈ei|ψ〉 =∑i

λi|〈ei|ψ〉|2.

Possiamo quindi associare ad ogni osservabile un operatore della forma Eq. (1.52). Notiamo che

O|ei〉 = λi|ei〉. (1.53)

Questo vuol dire che i possibili stati |ei〉 in cui il sistema si trova dopo la misura sono autostati del-l’osservabile, ed i possibili risultati λi della misura sono gli autovalori associati a tali autostati. Visto chel’osservabile e completamente caratterizzata dalla sua matrice, ma una matrice e a sua volta completa-mente caratterizzata dai suoi autovalori ed autovettori, la definizione Eq. (1.51) ci permette di associare(bi)univocamente un operatore ad un’osservabile.

Notiamo tuttavia che la condizione che si tratti di un’osservabile si riflette nella richiesta che gliautostati |ei〉 siano ortonormali (risultati della misura esclusivi ed esaustivi) e che gli autovalori λi sianoreali (nessuna di queste due proprieta dipende dalla scelta di base). Quindi gli operatori associati adosservabili sono quelli con autovettori ortonormali ed autovalori reali.


La matrice associata Oij , se espressa nella base fornita dagli stati |ei〉, e diagonale: infatti

Oij = λiδij . (1.54)

Quindi in questa base un’osservabile e descritta da una matrice diagonale con elementi reali. Ci chiediamoquale sia la condizione in una base generica.

Aggiunto di un operatore e operatori hermitiani

A questo fine, introduciamo il concetto di aggiunto di un operatore. Dato un qualunque operatore A taleche

A|ψ〉 = |ψ′〉, (1.55)

il suo aggiunto, che si denota con A†, e l’operatore tale che

〈ψ′| = 〈ψ|A†. (1.56)

Usando la definizione, possiamo facilmente determinare la relazione tra elementi di matrice di A e diA†. Abbiamo che

〈ϕ|A|ψ〉 = 〈ϕ|ψ′〉, (1.57)

〈ψ|A†|ϕ〉 = 〈ψ′|ϕ〉, (1.58)

ma

〈ψ′|ϕ〉 = (〈ϕ|ψ′〉)∗ , (1.59)

quindi

〈ψ|A†|ϕ〉 = (〈ϕ|A|ψ〉)∗ . (1.60)

In particolare, se |ϕ〉, |ψ〉 sono vettori di base,

〈ei|A†|ej〉 = 〈ej |A|ei〉∗, (1.61)

cioe (A†)ij

= A∗ji. (1.62)

Quindi la matrice aggiunta si ottiene prendendo la trasposta, e poi il complesso coniugato di ogni elemento.

Proprieta degli operatori associati ad osservabili

Si vede immediatamente che l’operatore associato ad un’osservabile O Eq. (1.51) e autoaggiunto, infattii suoi elementi di matrice Eq. (1.54) soddisfano

O†ij = λ∗i δji = λiδij = Oij . (1.63)

Tale proprieta non dipende dalla scelta di base. Infatti in una base qualunque

Oij = 〈e′i|O|e′j〉 =∑k

〈e′i|ek〉λk〈ek|e′j〉

=∑k

λk(〈e′j |ek〉〈ek|e′i〉)∗ = (〈e′j |O|e′i〉)∗ = O∗ji

Abbiamo quindi dimostrato che un operatore con autovalori reali ed autovettori ortogonali e hermi-tiano (condizione sufficiente). Dimostriamo la condizione necessaria, cioe che se un operatore e hermitiano,allora esso ha autovalori reali ed autovettori ortogonali.


Possiamo quindi applicare l’ortogonalizzazione di Gramm-Schmidt nel sottospazio dato:

|eai 〉 → |e′ai 〉 (1.72)

|e′1i 〉 = c1|e1i 〉 tale che 1 = 〈e′1i |e′1i 〉 = |c1|2〈e1

i |e1i 〉 (1.73)

|e′2i 〉 = c2(|e2i 〉 − |e′1i 〉〈e′1i |e2

i 〉)

(1.74)

...

|e′ni 〉 = cn

(|eni 〉 −

∑j

|e′ji 〉〈e′ji |e

ni 〉)

(1.75)

dove gli n vettori sono gia ortonormalizzati. Verifichiamo che sono ortogonali:

〈e′1i |e′2i 〉 = c2(〈e′1i |e2

i 〉 − 〈e′1i |e′1i 〉〈e′1i |e2i 〉)

= c2(〈e′1i |e2

i 〉 − 〈e′1i |e2i 〉)

= 0. (1.76)

1.3.3 Operatori di proiezione e misure generali

Un ulteriore tipo di operatore, utile per formulare il concetto di misura, e l’operatore di proiezione suuno stato (o proiettore), definito come

PS ≡ |S〉〈S| (1.77)

dove |S〉 e uno stato correttamente normalizzato. La misura puo essere descritta in termini di proiezione:dato un sistema quantistico che si trova nello stato |ψ〉, se una misura su di esso produce il risultatoassociato allo stato |S〉, dopo la misura il sistema si trova nello stato

|S〉 = NPS |ψ〉, (1.78)

dove N e una costante di normalizzazione. E importante osservare che anche se lo stato |ψ〉 e corretta-mente normalizzato, lo stato proiettato PS |ψ〉 in generale non lo e, e quindi la costante N e necessariaaffinche anche |S〉 sia normalizzato correttamente.

Notiamo anche che la probabilita che la misura riveli il sistema nello stato |S〉 e

PS = |〈S|ψ〉|2 = 〈ψ|S〉〈S|ψ〉 = 〈ψ|PS |ψ〉, (1.79)

ossia il valor medio dell’operatore di proiezione dello stato risultato della misura, calcolato nello statodato.

Generalizzando opportunamente la definizione di proiettore possiamo di descrivere la misura nel casopiu generale di una misura che non determina completamente lo stato del sistema. Un esempio e, per unsistema che puo trovarsi in piu di due stati, una misura che dice solo se il sistema si trova o no in uno diessi. In tal caso, se la misura da come risultato che il sistema non e nello stato |S〉, allora dopo la misurail sistema e nello stato

|ψS〉 = NPS |ψ〉, (1.80)

dove PS e il proiettore sullo stato non-S, definito da

PS = I− |S〉〈S| = I− PS . (1.81)

Naturalmente, la probabilita di questo risultato e

PS = 1− PS = 〈ψ|PS |ψ〉, (1.82)

dove abbiamo usato la Eq. (1.79). Quindi sia l’espressione in termini di proiettori per la probabilita diuna misura Eq. (1.79), che quella per il risultato di una misura Eq. (1.78) valgono in questo caso piugenerale.

1.4 Postulati della meccanica quantistica 27

Definiamo quindi nel caso piu generale operatore di proiezione un operatore P tale che, dato unqualunque stato |ψ〉, e definita la decomposizione

|ψ〉 = P |ψ〉+ (I− P )|ψ〉 = |α〉+ |β〉|α〉 = P |ψ〉; |β〉 = (I− P )|ψ〉 (1.83)

allora

P |α〉 = |α〉 e 〈α|β〉 = 0. (1.84)

L’operatore P e quindi definito come l’operatore che estrae dallo stato |ψ〉 le sue componenti in unsottospazio dello spazio di stati possibili, mettendo a zero le altre componenti.

La piu generale misura dice se il sistema si trova in un sottoinsieme di tutti i suoi stati possibili, ossiain un sottospazio dello spazio complessivo di stati. La probabilita di questa misura e data dalla sommadelle probabilita di tutti gli stati in questo sottospazio, cioe dalla Eq. (1.79), essendo P il proiettore nelsottospazio dato. Dopo la misura, il sistema si trova nello stato proiettato nel sottospazio, dato dallaEq. (1.78).

1.4 Postulati della meccanica quantistica

Possiamo ora riassumere i principi di base (o postulati) della meccanica quantistica. I principi enun-ciati qui sono sufficienti per una formulazione completa della fisica quantistica, con la sola aggiuntadi un postulato sull’evoluzione temporale che vedremo nella sezione 4.1.3 nello specifico contesto dellameccanica.

• Postulato 1 Lo stato di un sistema quantistico e associato ad un vettore (vettore di stato), in unospazio in cui vale il principio di sovrapposizione ed e definito un prodotto scalare con le proprietaelencate nella Sezione 1.2.2 (spazio di Hilbert).

• Postulato 2 Risultati possibili di misure sul sistema sono associati a stati esclusivi ed esaustivi checostituiscono una base ortonomale. Questo postulato viene a volte formulato (equivalentemente,come abbiamo visto) dicendo che ad ogni osservabile e associato un operatore hermitiano.

• Postulato 3 La misura di un sistema che si trova in uno stato |ψ〉 produce uno degli stati |ei〉 associatiall’osservabile, con probabilita data da Pi = |〈ei|ψ〉|2 (regola di Born). Dopo la misura il sistema sitrova nello stato |ψ〉.

La prima ipotesi ci dice quali sono gli stati fisici dei sistemi; la seconda classifica l’informazione che epossibile acquisire sui sistemi fisici, cioe quali siano le possibili misure, e la terza ipotesi ci dice cosa succedequando si effettua una misura sul sistema. In tempi sorprendentemente recenti4 e stato dimostrato chequesti postulati possono essere riformulati in un modo equivalente, ma forse concettualmente piu chiaro.In particolare, l’ortogonalita degli stati (secondo postulato) in combinazione con la seconda parte delterzo (dopo la misura il sistema si trova nello stato), e equivalente a postulare che una misura ripetutadia sempre lo stesso risultato, o, ancora equivalentemente, che la misura sia una proiezione, con misurediverse corrispondenti a proiezioni su sottospazi ortogonali. Possiamo quindi sostituire il secondo ed ilterzo postulato con

• Postulato 2’ La misura proietta lo stato del sistema in un sottospazio; misure che danno risultatidistinti proiettano il sistema in sottospazi ortogonali.

• Postulato 3’ La probabilita della misura e il modulo quadro dell’ampiezza.

4W. H. Zurek, Phys. Rev. A76 (2007) 052110

Capitolo 2

Proprieta quantistiche

Abbiamo visto come i principi fondamentali della fisica quantistica richiedano l’introduzione del concettodi stato: un vettore in uno spazio di Hilbert, che ci permette di calcolare le probabilita dei risultatidelle misure e quindi codifica e contiene tutta l’informazione che abbiamo su di un sistema quantistico.Per rispondere alle domande “quali sono le misure possibili?” e “che cosa succede allo stato dopo lamisura?” abbiamo introdotto il concetto di operatore lineare, e in particolare, di operatore hermitiano(che associamo ad un’osservabile) e operatore di proiezione (che trasforma lo stato sotto misura).

Sorgono ora spontanee due domande. L’informazione contenuta in uno stato si puo rappresentare inun modo solo, o in tanti modi equivalenti, e in tal caso quali? Qual e la massima quantita di informazioneche possiamo estrarre da un sistema attraverso la misura? La risposta a ciascuna di queste domande sarail tema delle prossime due sezioni. Lo studio dell’informazione che puo essere accumulata in uno sistemaquantistico, e dei modi di classificarla, ottimizzarla e manipolarla e oggetto della teoria dell’informazionequantistica. Si tratta di un insieme di tematiche molto ampio, che sfioreremo appena nella terza sezionedi questo capitolo.

2.1 Unitarieta

In questa sezione ci chiediamo quale sia il modo piu generale di rappresentare uno stato quantistico,e quindi quale sia il piu generale insieme di trasformazioni che collegano diverse rappresentazioni dellostesso stato.

2.1.1 Cambiamenti di base

Abbiamo visto che sia stati che operatori possono essere rappresentati rispetto a diverse basi. Consideri-amo uno stato |ψ〉 e le due basi |ei〉 e |e′i〉: nella prima base |ψ〉 ha la forma

|ψ〉 =∑i

|ei〉〈ei|ψ〉 =∑i

|ei〉cψi , (2.1)

e nella seconda

|ψ〉 =∑i

|e′i〉〈e′i|ψ〉 =∑i

|e′i〉c′ψi . (2.2)

Possiamo definire una matrice di cambiamento di base notando che

c′ψi = 〈e′i|ψ〉 =∑j

〈e′i|ej〉〈ej |ψ〉 =∑j

Uijcψj (2.3)

dove abbiamo definito

Uij = 〈e′i|ej〉. (2.4)

2.2 Indeterminazione 31

Gli operatori unitari conservano il prodotto scalare, e quindi in particolare la norma. Infatti, dati duestati |ϕ〉, |ψ〉, e definita l’azione di un operatore unitario qualunque U su di essi

|ϕ′〉 ≡ U |ϕ〉; |ψ′〉 = U |ψ〉, (2.18)

abbiamo che

〈ψ′|ϕ′〉 = 〈ψ|U†U |ϕ〉 = 〈ψ|ϕ〉 (2.19)

2.1.3 Trasformazioni unitarie di operatori

Un cambiamento di base coinvolge sia gli stati che gli operatori. L’azione di un cambiamento di base suun operatore qualunque A, i cui elementi nella base |ei〉 sono

Aij = 〈ei|A|ej〉, (2.20)

e la seguente:

A′ij = 〈e′i|A|e′j〉 = 〈ei|UAU†|ej〉 = 〈ei|A′|ej〉. (2.21)

Per ottenere il risultato abbiamo utilizzato il fatto che

〈ei|U = 〈e′i|, (2.22)

infatti

〈ei|U = 〈ei|∑n

|en〉〈e′n| =∑n

δin〈e′n| = 〈e′i| (2.23)

e quindi

U†|ei〉 = |e′i〉. (2.24)

Pertanto sotto cambiamento di base l’operatore si trasforma come

A′ = UAU† = UAU−1. (2.25)

Questa e detta azione aggiunta della trasformazione unitaria.Due operatori collegati da tale trasformazione, cioe due operatori A,B tali che B = UAU† si dicono

unitariamente equivalenti. E facile vedere che due operatori unitariamente equivalenti hanno lo stessospettro di autovalori. Consideriamo infatti l’operatore A avente autostati |ek〉 con autovalori µk

A|ek〉 = µk|ek〉, (2.26)

e l’operatore B = UAU† unitariamente equivalente ad A. Gli stati |e′k〉 = U |ek〉 soddisfano

B|e′k〉 = UAU†(U |ek〉

)= Uµk|ek〉 = |e′k〉 (2.27)

e sono quindi autostati di B con gli stessi autovalori di A.

2.2 Indeterminazione

Abbiamo visto nella Sezione 1.3.3 che un’operazione di misura puo fornire una informazione incompletasullo stato del sistema, proiettando su un sottospazio dello spazio degli stati possibili. Per esempio, peruna particella che passa attraverso uno schermo su cui sono praticate tre fenditure, un rivelatore piazzatonei pressi di una fenditura non fornisce informazione circa le altre due fenditure: la misura effettuata daquel rivelatore non ci da alcuna informazione sulla sovrapposizione di stati relativi al passaggio attraversole altre due fenditure in cui il sistema eventualmente si trova. Ma una seconda misura potrebbe dareinformazione piu dettagliata: per esempio aggiungendo un secondo rivelatore su un’altra fenditura.

In questa sezione ci chiediamo come determinare il massimo insieme di osservabili che possono esseremisurate simultaneamente su un dato sistema. Questo ci permettera anche di rispondere alla ovviadomanda associata, e cioe che cosa possiamo aspettarci circa i risultati di misure di altre osservabili, chenon facciano parte di questo insieme di osservabili misurabili simultaneamente.


2.2.1 Osservabili compatibili e incompatibili

Il fatto che una misura proietti il sistema su un autostato dell’operatore associato all’osservabile misurataimplica che la misura di due osservabili distinte, associate ad operatori A e A′, produce risultati moltodiversi a seconda che essi ammettano o no una base comune di autostati. Supponiamo che

A|ei〉 = λi|ei〉 (2.28)

A′|e′i〉 = λ′i|e′i〉. (2.29)

Consideriamo prima il caso in cui |ei〉 = |e′i〉, ossia i due operatori ammettono una base comune diautostati (seppure, in generale, con diversi autovalori, λ′i 6= λi). In tal caso, se una misura di A fornisceil valore λi, dopo la misura il sistema si trova nell’autostato |ei〉. Misure ripetute danno sempre lo stessovalore λi. Se dopo aver fatto questa misura di A si misura A′, poiche abbiamo supposto che |ei〉 siaanche autostato di A′, ma con autovalore λ′i, la misura di A′ dara anch’essa sempre lo stesso valore λ′i.Quindi possiamo dire che dopo la misura di A il sistema si trova in uno stato per cui sia l’osservabile Ache l’osservabile A′ hanno un valore ben definito, λi e λ′i, rispettivamente.

Supponiamo invece che |ei〉 6= |e′i〉, ossia che in generale gli autostati dei due operatori siano diversifra di loro. In tal caso, dopo una misura di A il sistema si trova in un suo autostato |ei〉. Ma questo none un autostato di A′, quindi deve essere una sovrapposizione dei suoi autostati:

|ei〉 =∑k

|e′k〉〈e′k|ei〉. (2.30)

Pertanto se anche in questo caso si misura A′ dopo aver fatto la misura di A , il sistema verra rivelatonello stato |e′k〉 con probabilita |〈e′k|ei〉|2. Percio, in tal caso il sistema non puo avere un valore bendefinito di A ed A′ simultaneamente: se si misura A, dopo la misura il sistema e in una sovrapposizionedi stati associati a diversi valori di A′, e viceversa. In particolare, se anche il sistema era in |ei〉, unamisura di A′ rigenera anche componenti |ej〉 con j 6= i, come abbiamo visto nella Sezione 1.2.3.

Due operatori sono detti compatibili se ammettono una base comune di autostati, ed incompatibili senon ne ammettono alcuna. Concludiamo quindi che si puo dire che un sistema abbia simultaneamenteun valore ben determinato di due osservabili diverse sono se esse sono compatibili.

2.2.2 Commutazione di operatori

Ci chiediamo sotto quali ipotesi due operatori associati ad osservabili (quindi hermitiani) siano compatibilio no. A tal fine, introduciamo il commutatore di due operatori A e B definito come l’operatore

[A,B] ≡ AB −BA. (2.31)

Puo essere utile anche definire l’anticommutatore fra due operatori A, B come

A,B = AB +BA. (2.32)

Dimostriamo ora che due operatori A e B sono compatibili, cioe diagonalizzabili simultaneamente, see solo se il loro commutatore e nullo. Dimostriamo prima la condizione necessaria. Consideriamo dunquei due operatori A e B tali che

A|ei〉 = λi|ei〉 (2.33)

B|ei〉 = µi|ei〉 (2.34)

Calcoliamo l’elemento di matrice del commutatore:

(AB −BA)ij = 〈ei|AB −BA|ej〉 = (λiµi − λjµj)〈ei|ej〉 = 0. (2.35)

Concludiamo che il commutatore ha tutti gli elementi di matrice nulli, ossia gli operatori commutano.


2.2.3 Il principio di indeterminazione

Per quantificare la dispersione dei risultati della misura di un’osservabile quando il sistema non si trova inun suo autostato, definiamo l’indeterminazione dell’operatore nello stato |ψ〉 come la deviazione standarddei risultati dalla misura, e cioe

∆2Aψ = 〈ψ|A2|ψ〉 −(〈ψ|A|ψ〉

)2. (2.49)

Poiche vale la relazione:

〈x2〉 − 〈x〉2 = 〈(x− 〈x〉)2〉 (2.50)

possiamo scrivere

∆2Aψ = 〈ψ|(A− 〈ψ|A|ψ〉

)2|ψ〉. (2.51)

E facile vedere che l’indeterminazione e proprio la deviazione standard, sviluppando su una base diautostati |ei〉 di A associati agli autovalori λi:

〈ψ|A|ψ〉 = 〈ψ|A†|ψ〉 =∑i

〈ψ|A|ei〉〈ei|ψ〉 =∑i

λi〈ψ|ei〉〈ei|ψ〉 =∑i

λi|〈ei|ψ〉|2 =∑i

λiPi, (2.52)

e quindi

∆2Aψ =∑i

λ2iPi −

(∑i

λiPi

)2

. (2.53)

L’indeterminazione di un operatore A e nulla se e solo se lo stato |ψ〉 in cui il sistema si trova e unautostato di A: vale a dire ∆2Aψ = 0 ⇔ A|ψ〉 = λ|ψ〉. Dimostriamo prima la condizione sufficiente. Siha:

A2|ψ〉 = λ2|ψ〉 (2.54)

quindi

∆2Aψ = 〈ψ|A2|ψ〉 −(〈ψ|A|ψ〉

)2= λ2〈ψ|ψ〉 − λ2〈ψ|ψ〉2 = λ2 − λ2 = 0 (2.55)

(supponendo che la norma di |ψ〉 sia 1).Veniamo ora alla condizione necessaria. Supponiamo che ∆2Aψ = 0. Possiamo sempre supporre che

lo stato |ψ〉 sia un elemento di una base ortonomale |ei〉 — basta che sia correttamente normalizzato.

Ricordando che A = A† e che il valor medio di un operatore e un numero reale,∣∣〈ei|A|ej〉∣∣2 =

(〈ej |A|ei〉

)2,

abbiamo

0 = 〈ei|A2|ei〉 −(〈ei|A|ei〉

)2=∑j

〈ei|A|ej〉〈ej |A|ei〉 −(〈ei|A|ei〉

)2=∑j

∣∣〈ei|A|ej〉∣∣2 − ∣∣〈ei|A|ei〉∣∣2 =∑i 6=j

∣∣〈ei|A|ej〉∣∣2Ma una somma di moduli si puo annullare solo se ciascuno di essi e uguale a 0, e quindi necessariamenteAij si annulla se i 6= j, che significa appunto che |ei〉 e autostato di A.

Abbiamo visto che se due operatori non commutano, essi non possono essere simultaneamente di-agonalizzati. Quindi, il risultato che abbiamo appena dimostrato implica che se due operatori noncommutano, allora il sistema deve necessariamente trovarsi in uno stato in cui almeno uno dei due haindeterminazione diversa da zero. Possiamo in effetti dimostrare che l’indeterminazione di una coppia dioperatori deve sempre soddisfare una disuguaglianza: il principio di indeterminazione.


Prima di arrivare al principio di indeterminazione abbiamo bisogno di alcune disuguaglianze prelim-inari. Per prima cosa, dimostriamo la Disuguaglianza di Schwarz: Dati due operatori autoaggiunti A,B, ∣∣〈ψ|AB|ψ〉∣∣2 ≤ 〈ψ|A2|ψ〉〈ψ|B2|ψ〉, (2.56)

che possiamo riscrivere definendo gli stati |α〉 e |β〉

A|ψ〉 = |α〉 e B|ψ〉 = β, (2.57)

in termini dei quali la Eq. (2.56) prende la forma∣∣〈α|β〉∣∣2 ≤ 〈α|α〉〈β|β〉. (2.58)

In questa forma, la disuguaglianza e la consueta disuguaglianza triangolare, che afferma che il prodottoscalare di due vettori e al piu pari al prodotto delle loro lunghezze.

Decomponiamo ora il ket |α〉 separando la parte lungo |β〉:

|α〉 = z|β〉+ |δ〉, (2.59)

dove |δ〉 e tale che 〈β|δ〉 = 0. Ne segue che

〈β|α〉 = z〈β|β〉+ 〈β|δ〉 = z〈β|β〉, (2.60)

e quindi

z =〈β|α〉〈β|β〉

. (2.61)

Vediamo quindi facilmente che

〈α|α〉 = |z|2〈β|β〉+ 〈δ|δ〉 =

∣∣〈β|α〉∣∣2〈β|β〉

+ 〈δ|δ〉, (2.62)

dove nel secondo passaggio abbiamo usato la Eq. (2.61). Pertanto,

〈α|α〉〈β|β〉 =∣∣〈β|α〉∣∣2 + 〈δ|δ〉〈β|β〉 ≥

∣∣〈β|α〉∣∣2, (2.63)

ossia ∣∣〈α|β〉∣∣2 ≤ 〈α|α〉〈β|β〉, (2.64)

che e appunto la disuguaglianza di Schwarz.Dimostriamo quindi una seconda disuguaglianza ausiliaria:∣∣〈ψ|AB|ψ〉∣∣2 ≥ 1

4

∣∣〈ψ|[A,B]|ψ〉∣∣2. (2.65)

Si dimostra facilmente che AB puo essere decomposto nella somma di una parte hermitiana A,B/2e una parte antihermitiana [A,B]/2. Inoltre osserviamo che gli elementi di matrice diagonali di unoperatore hermitiano sono reali, mentre gli elementi di matrice diagonali di un operatore anti-hermitianosono immaginari puri. Infatti se X = X†

〈ψ|X†|ψ〉 = (〈ψ|X|ψ〉)∗ = 〈ψ|X|ψ〉, (2.66)

dove nel primo passaggio abbiamo usato la definizione di aggiunto e nel secondo l’hermiticita. Analoga-mente se Y = −Y †

〈ψ|Y †|ψ〉 = (〈ψ|Y |ψ〉)∗ = −〈ψ|Y |ψ〉. (2.67)


Questo significa che, se indichiamo con z = 〈ψ|AB|ψ〉,

x ≡ Re z =1

2〈ψ|A,B|ψ〉 (2.68)

iy ≡ iIm z =1

2〈ψ|[A,B]|ψ〉, (2.69)

e, di conseguenza,∣∣〈ψ|AB|ψ〉∣∣2 = |z|2 = x2 + y2 ≥ y2 =∣∣12〈ψ|[A,B]|ψ〉

∣∣2 =1

4

∣∣〈ψ|[A,B]|ψ〉∣∣2. (2.70)

Combinando le due disuguaglianze Eq. (2.64) ed Eq. (2.65) possiamo dimostrare ora il principio diindeterminazione, che dice che per ogni coppia di operatori hermitiani C, D,

∆2Cψ∆2Dψ ≥1

4

∣∣〈ψ|[C,D]|ψ〉∣∣2. (2.71)

Combinando le Eq. (2.64), Eq. (2.65) abbiamo infatti

〈ψ|A2|ψ〉〈ψ|B2|ψ〉 ≥ 1

4

∣∣〈ψ|[A,B]|ψ〉∣∣2 (2.72)

valida per ogni coppia A,B di operatori hermitiani. In particolare, definiti

A ≡ C − 〈C〉, B ≡ D − 〈D〉, (2.73)

abbiamo

〈ψ|A2|ψ〉 = ∆2Cψ; 〈ψ|B2|ψ〉 = ∆2Dψ, (2.74)

e

[A,B] = [C − 〈C〉, D − 〈D〉] = [C,D], (2.75)

da cui

∆2Cψ∆2Dψ ≥1

4

∣∣〈ψ|[C,D]|ψ〉∣∣2, (2.76)

come si voleva dimostrare.

2.3 Informazione quantistica

La teoria dell’informazione quantistica si pone la domanda di come un sistema quantistico possa essereutilizzato per accumulare, trasmettere, ed elaborare informazione. Qui ci poniamo le piu semplici do-mande che ne sono alla base, nel caso piu semplice possibile di un sistema di un solo qubit: qual e lamaggior quantita di informazione che e possibile estrarre da un sistema quantistico? Come possiamocodificarla? Qual e la piu generale misura? Possiamo determinare lo stato di un sistema quantistico?

2.3.1 L’informazione in un qubit

Consideriamo il ket di stato per un sistema a due livelli

|ψ〉 = a+|+〉+ a−|−〉. (2.77)

Quanta informazione contiene, e come possiamo estrarla?

2.3 Informazione quantistica 37

A priori, lo stato Eq. (2.77) e determinato dai due coefficienti complessi a±, quindi da quattro numerireali. Di questi pero uno e determinato per normalizzazione. Inoltre, osserviamo che la fase globale di|ψ〉 non e misurabile. Infatti, la probabilita di qualunque misura e

Pi = |〈ei|ψ〉|2, (2.78)

e quindi e invariante sotto la trasformazione |ψ〉 → eiθ|ψ〉. La classe di equivalenza di stati che differisconoper una fase e nota come raggio in uno spazio di Hilbert. Quindi piu propriamente gli stati di un sistemaquantistico non sono vettori, bensı raggi, cioe classi di equivalenza di vettori, in uno spazio di Hilbert.

Ne concludiamo quindi che l’informazione contenuta nello stato |ψ〉 e parametrizzata da due numerireali, i due coefficienti complessi a meno della normalizzazione e della fase relativa, che possiamo quindiscegliere ad esempio come

a+ = ρ (2.79)

a− = (1− ρ2)12 eiθ, (2.80)

Questi coefficienti ci danno solo la probabilita dei risultati di misure. Pero supponendo di poter prepararetanti sistemi tutti nello stesso stato (ad esempio, tante molecole nell’esperimento di Zeilinger ed Arndt,tutte nello stesso stato iniziale), possiamo cercare di determinare questi coefficienti.

Se sappiamo di avere a che fare con un sistema che e appena stato preparato attraverso la misuradi un’osservabile, ci basta eseguire una nuova misura della stessa osservabile per determinare in chestato e il sistema. Infatti, sappiamo che si deve trovare in un autostato dell’osservabile, e una misuraripetuta lo rivelera nell’autostato nel quale la prima misura lo ha posto con probabilita 100%. Nel casodi degenerazione, naturalmente, servira un insieme completo di osservabili. Ma se non sappiamo in chestato il sistema e stato preparato, oppure se il sistema e cambiato nel tempo dopo la preparazione, visara una distribuzione di probabilita di risultati possibili per la misura di qualunque osservabile.

Consideriamo inizialmente una osservabile A, e scegliamo gli autovettori di base |±〉 come i suoiautovettori:

A = λ+|+〉〈+|+ λ−|−〉〈−| (2.81)

Il valor medio di questa osservabile nello stato del sistema e

〈ψ|A|ψ〉 = 〈A〉 = P+λ+ + P−λ−, (2.82)

con

P+ = |a+|2, P− = |a−|2. (2.83)

Queste probabilita sono interamente determinate dal valor medio:

λ+P+ + λ−P− = 〈A〉 (2.84)

P+ + P− = 1. (2.85)

Quindi, per un sistema bipartito, la misura del valor medio di un’osservabile determina interamente ladistribuzione di probabilita dei risultati della misura di quella osservabile. Non possiamo pero apprenderenulla sulla fase relativa, visto che qualunque misura di A non ne dipende.

Per avere ulteriori informazioni sul sistema siamo obbligati a effettuare misure di (almeno) un’altraosservabile, incompatibile con A. Infatti, se consideriamo invece una nuova osservabile A′ compatibilecon A abbiamo

A′ = λ′+|+〉〈+|+ λ′−|−〉〈−|, (2.86)

da cui

〈A′〉 = P+λ′+ + P−λ

′−, (2.87)

che nuovamente ci permette di determinare P+ e P−, ma non la fase relativa. Ci chiediamo quindi qualimisure determinano lo stato completamente.


2.3.2 La matrice densita

Le misure di valor medio che abbiamo visto finora possono essere caratterizzate in termini dell’operatoredensita o matrice densita del sistema. Per un sistema che si trova in uno stato |ψ〉 la matrice (od operatore)densita e definita come

ρψ = |ψ〉〈ψ| (2.88)

ed e ovviamente un operatore hermitiano.La matrice densita permette di caratterizzare facilmente il valor medio delle misura di osservabili sul

sistema: abbiamo infatti che

〈A〉 = Tr(Aρ), (2.89)

dove la traccia di un generico operatore O, che denotiamo Tr(O), e definita come

Tr(O) =∑i

〈ei|O|ei〉, (2.90)

dove |ei〉 e una qualunque base ortonormale per il sistema.Per vedere questo, supponiamo dapprima che |ei〉 siano autostati di A, A|ei〉 = λi|ei〉. Allora

Tr(Aρ) =∑i

〈ei|Aρ|ei〉 =∑i

〈ei|A|ψ〉〈ψ|ei〉 =∑i

λi〈ei|ψ〉〈ψ|ei〉 =∑i

λi∣∣〈ei|ψ〉∣∣2 =

∑i

λiPi = 〈A〉.

(2.91)

Ma ora osserviamo che la traccia e indipendente dalla base. Per vederlo, notiamo prima che la traccia eciclica, cioe e invariante per permutazioni:

Tr(O1O2 · · ·On) = Tr(Oσ(1)Oσ(2) . . . Oσ(n)) (2.92)

dove (σ(1), σ(2), . . . σ(n)) e una permutazione ciclica di (1, 2, . . . n). Questo si dimostra facilmente:riferendoci per semplicita al al caso di n = 2 operatori abbiamo che∑

i

= 〈ei|O1O2|ei〉 =∑ij

〈ei|O1|ej〉〈ej |O2|ei〉 =∑ij

〈ej |O2|ei〉〈ei|O1|ej〉 =∑j

〈ej |O2O1|ej〉. (2.93)

Allora, notando che sotto cambiamenti di base O → UOU†, dove U e un operatore unitario, concludiamoche

Tr(UOU†) = Tr(U†UO) = Tr(O), (2.94)

quindi la traccia non dipende dalla base.Concludiamo quindi che la proprieta data dalla Eq. (2.91) e vera indipendentemente dalla scelta di

base, e quindi

Tr(Aρ) =∑〈e′i| (A|ψ〉〈ψ|) |e′i〉 = 〈ψ|A|ψ〉. (2.95)

Notiamo infine che la matrice densita soddisfa per definizione la proprieta di normalizzazione sotto traccia

Tr(ρ) = 1. (2.96)

Infatti

Tr(ρ) =∑i,j

〈ei|ψj〉〈ψj |ei〉Pi =∑i

Pi〈ψi|ψi〉 =∑i

Pi = 1. (2.97)


Stati puri e stati misti

Il formalismo della matrice densita permette di descrivere anche la situazione in cui si ha informazioneincompleta sullo stato di un sistema quantistico, cioe la situazione in cui, anziche sapere che il sistema sitrova nello stato |ψ〉, possiamo solo dire che il sistema ha una certa probabilita Pi di trovarsi in ciascunodegli stati |ψi〉. Questo e l’analogo quantistico della situazione statistica classica, in cui il sistema e unensemble di sottosistemi (ad esempio, un insieme di particelle), e sono note solo le proprieta collettive diquesto ensemble.

Distinguiamo quindi due situazioni. Nella prima, il sistema si trova in uno stato puro |ψ〉, vale a direche sappiamo esattamente in che stato si trovi il sistema, nel qual caso la matrice densita e

ρ = |ψ〉〈ψ|. (2.98)

La possibilita alternativa e che il sistema si trovi in uno stato misto (o una miscela di stati), cioe inciascuno degli stati |ψi〉 con probabilita Pi. In tal caso, la matrice densita e

ρ =∑i

Pi|ψi〉〈ψi| =∑i

Piρi, (2.99)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo posto ρi = |ψi〉〈ψi|.In questa situazione piu generale, la matrice densita permette di calcolare il valore medio di qualunque

misura, che e sempre dato dalla Eq. (2.89), purche gli stati |ψi〉 siano correttamente normalizzati:〈ψi|ψi〉 = 1. Notiamo che questo resta vero anche se gli stati |ψi〉 non sono ortogonali. Abbiamo infatti

〈A〉 = Tr(Aρ) =∑j

〈ej |Aρ|ej〉 =∑ij

〈ej |A|ψi〉〈ψi|ej〉Pi =∑ij

〈ψi|ej〉〈ej |A|ψi〉Pi

=∑i

〈ψi|A|ψi〉Pi,

che e la media pesata dalla probabilita Pi della media in ciascuno degli n stati |ψi〉.Questo e vero anche quando gli stati |ψi〉 non sono ortogonali perche la matrice densita per uno

stato misto corrisponde ad una miscela classica di stati, non ad una sovrapposizione quantistica. In unasovrapposizione quantistica, il risultato di una misura e o l’uno, o l’altro, e quindi gli stati devono essereortogonali. In una sovrapposizione classica, si sta solo dicendo che c’e una certa probabilita che i risultatisiano caratterizzati da un dato valoro medio. In tal caso caso, basta che le corrispondenti probabilitasommino ad uno, ma ovviamente i risultati delle misure, essendo a loro volta dei valori medi, non devononecessariamente essere esclusivi.

Possiamo illustrare la differenza tra uno stato sovrapposizione ed una miscela statistica con un sempliceesempio. Un esempio di stato (puro) sovrapposizione e lo stato

|ψ1〉 =1√2

(|+〉+ |−〉

), ρψ1

= |ψ1〉〈ψ1|

Questo stato e autostato dell’operatore la cui matrice nella base degli stati |±〉 e data da

A =

(0 11 0

)Pertanto una misura di A produce il risultato

Tr(Aρψ1) = 〈A〉ψ1

= 〈ψ1|A|ψ1〉 = 1

Infatti facendo la misura troviamo sempre l’autovalore corrispondente e tale autovalore e uguale a 1.Un esempio di stato misto e uno stato che ha il 50% di probabilita di essere in |+〉 e il 50% di essere

in |−〉, per cui

ρm =1

2|+〉〈+|+ 1

2|−〉〈−|.


La misura di A in questo stato produce il risultato

Tr(Aρm) =1

2〈+|A|+〉+

1

2〈−|A|−〉 = 0.

Vediamo quindi che il valor medio della misura di A da risultati diversi, mostrando cosı la differenza tramiscela statistica e sovrapposizione quantistica.

E da notare tuttavia che una misura dell’operatore

B =

(1 00 −1

),

i cui autostati sono gli stati |±〉 da invece lo stesso risultato sia per lo stato puro che per lo stato mistoin esame:

Tr(Bρm) = Tr(Bρψ1) = 0.

Infatti, in entrambi i casi una misura ha il 50% di rivelare il sistema nello stato |+〉 ed il 50% di rivelarloil sistema nello stato |−〉. Quindi e possibile distinguere tra uno stato puro ed uno stato misto, ma none detto che una misura qualunque lo permetta.

Come possiamo caratterizzare la matrice densita, in modo da distinguere il caso di stato puro daquello di stato misto? Potrebbe infatti non essere immediatamente evidente se una particolare matricedensita corrisponda a uno stato puro oppure ad uno stato misto. Basta pero esaminare ρ2: e facile vedereche se il sistema e in uno stato puro, allora ρ2 = ρ. Infatti, per uno stato puro

ρ2 = |ψ〉〈ψ|ψ〉〈ψ| = |ψ〉〈ψ| = ρ. (2.100)

La condizione e anche necessaria. Ricordiano infatti che la matrice densita soddisfa la condizione dinormalizzazione sotto traccia Eq. (2.96). Ma

Tr(ρ2) = Tr

∑ij

|ψi〉〈ψi|ψj〉〈ψj |

PiPj =∑ijk

〈ek|ψi〉〈ψi|ψj〉〈ψj |ek〉PiPj =∑ij

|〈ψi|ψj〉|2PiPj . (2.101)

Se lo stato e misto, la sommatoria contiene piu di un termine e quindi possiamo scrivere

Tr(ρ2) =∑i

P 2i +

∑i 6=j

PiPj |〈ψi|ψj〉|2 <∑i

P 2i +

∑i 6=j

PiPj =∑ij

PiPj =

(∑i

Pi

)∑j

Pj

= 1,

(2.102)

dove abbiamo sfruttato il fatto che 〈ψi|ψj〉 < 1 se i 6= j e i due ket sono entrambi normalizzati, inconseguenza della disuguaglianza triangolare Eq. (2.58). L’unico modo di avere una uguaglianza, anzicheuna disuguaglianza stretta, e che il termine con i 6= j sia assente, cioe che la somma abbia un solo termine.Se vi sono piu termini, e quindi lo stato e misto, allora la Eq. (2.102) mostra che ρ2 ha traccia diversada ρ, e quindi non puo essere uguale a ρ. Dunque per uno stato misto ρ2 6= ρ e la condizione ρ2 = ρ enecessaria e sufficiente affinche lo stato sia puro.

Concludiamo pertanto che uno stato e puro se e solo se la matrice densita e un operatore di proiezione.Naturalmente, possiamo in modo del tutto equivalente usare la condizione sulla traccia per caratterizzarelo stato, in quanto l’argomento precedente implica che

Tr(ρ2) = 1 stato puro, Tr(ρ2) < 1 stato misto. (2.103)

Nel caso particolare di un sistema bipartito vi e un altro criterio. Infatti, in questo caso in ogni base visono solo due vettori. Quindi, un operatore di proiezione e caratterizzato dal fatto di avere un autovettorepari ad uno (lo stato su cui si proietta) e un altro uguale a zero (lo stato ad esso ortogonale). Quindi,una matrice densita (cioe una matrice hermitiana con traccia uguale ad uno) con un autovalore nullo e


automaticamente un operatore di proiezione, e percio corrisponde ad uno stato puro. Ne segue che perun sistema bipartito uno stato e puro se e solo se

det(ρ) =∏i

Pi = 0. (2.104)

Notiamo che per un sistema con N > 2 stati la condizione e necessaria ma non sufficiente: infatti il deter-minante potrebbe annullarsi per uno degli stati, ma il sistema potrebbe essere misto, e sovrapposizionedei restanti N − 1 stati.

2.3.3 La piu generale misura

In definitiva, una misura e interamente specificata noto l’operatore associato all’osservabile che vienemisurata, e la matrice densita associata allo stato (puro o misto) in cui il sistema si trova. Ma la piugenerale osservabile e il piu generale operatore hermitiano, e la piu generale matrice densita e il piugenerale operatore hermitiano con traccia uguale ad uno (e, per uno stato puro, tale che il suo quadratoe uguale a se stesso). Per un sistema bipartito e facile caratterizzare questi oggetti nel caso piu generale.

Matrici di Pauli

Per un sistema bipartito, sia la matrice densita che un operatore generico possono essere rappresentaticome una matrice hermitiana due per due, in una qualunque base. Una generica matrice hermitiana dueper due Mij e caratterizzata da quattro parametri reali: infatti, i suoi due elementi diagonali sono reali,

Mii = M†ii = M∗ii, con i = 1, 2, mentre i sue due elementi non-diagonali sono uno il complesso coniugato

dell’altro M12 = M†12 = M∗21. Conviene quindi introdurre un insieme di quattro matrici hermitiane dueper due linearmente indipendenti (tali cioe che nessuna di esse possa essere ottenuta come combinazionelineare delle altre.

Una scelta conveniente e data dalla matrice identita e della tre matrici di Pauli definite come:

I =

(1 00 1

)(2.105)

σ1 =

(0 11 0

)(2.106)

σ2 =

(0 −ii 0

)(2.107)

σ3 =

(1 00 −1

,

)(2.108)

che indichiamo collettivamente come σi, supponendo che i = 0, 1, 2, 3 e ponendo convenzionalmenteσ0 = I.

Queste quattro matrici hanno l’utile proprieta

Tr(σiσj) =

0 i 6= j2 i = j

,

(2.109)

che segue dal fatto che per i = 1, 2, 3 il prodotto di due qualunque di queste matrici diverse fra di loro eproporzionale ad un’altra di esse mentre

Trσi = 0, (2.110)

e che per i = 0, 1, 2, 3

σ2i = I. (2.111)

Possiamo interpretare la Eq. (2.109) come una relazione di ortonormalita, interpretando la traccia delprodotto di due matrici come un prodotto scalare far di esse.


In termini di matrici di Pauli, una generica matrice hermitiana puo essere scritta come

M = aI +~b · ~σ = aI + b1σ1 + b2σ2 + b3σ3 =

(a+ b3 b1 − ib2b1 + ib2 a− b3

). (2.112)

Questa e dunque la piu generale osservabile.La piu generale matrice densita deve soddisfare l’ulteriore condizione che la sua traccia sia pari a 1.

Ma

Tr(M) = 2a, (2.113)

quindi la piu generale matrice densita puo essere scritta nella forma della Eq. (2.112), ma con a = 12 .

Possiamo utilmente riscrivere questo risultato nella forma

ρ =1

2(I + ~p · ~σ), (2.114)

dove quindi ~p = 2~b.Infine, la matrice densita per uno stato puro nel caso bipartito deve soddisfare la condizione che il suo

determinante si annulli. Ma

det(ρ) =1

4(1− p2

1 − p22 − p2

3) =1

4

(1− |~p|2

)(2.115)

quindi uno stato puro ha una matrice densita della forma Eq. (2.114), ma con

|~p| = 1. (2.116)

Ne segue che generica matrice densita per uno stato puro e caratterizzata da due numeri reali, inquanto trovati due elementi del vettore ~p il terzo e determinato dalla condizione Eq. (2.116), in accordocon la nostra conclsuione che un generico stato quantistico (puro) e determinato da due numeri reali.

Determinazione dello stato

Possiamo ora rispondere alla domanda che ci siamo posti al termine della sezione 2.3.1, e cioe come sipuo determinare completamente lo stato di un sistema supponendo di poter preparare molti sistemi nellostesso stato, ed eseguire misure ripetute su di essi. Utilizzando la Eq. (2.109) vediamo immediatamenteche il valor medio della misura di una osservabile il cui operatore e una matrice di Pauli e

Tr(ρσi) = Tr

(1

2(I + ~p · ~σ)σi

)= pi. (2.117)

Quindi per determinare completamente uno stato e sufficiente essere in grado di effettuare misure ripetutedi una coppia di osservabili che siano linearmente indipendenti se sviluppate su una base di matrici diPauli.

Le considerazioni fatte fin qui per i sistemi di un qubit possono essere estese a sistemi piu complicaticonsiderando sistemi di molti qubit, ossia sistemi il cui vettore di stato e il prodotto diretto di tanti ket|ψ〉i, ciascuno dei quali e uno stato che vive in uno spazio a due livelli:

|Ψ〉 = |ψ〉1 ⊗ |φ〉2 ⊗ · · · ⊗ |χ〉n, (2.118)

ed in generale gli stati nei vari sottospazi sono diversi fra loro.

2.3.4 Il teorema di no-cloning

Abbiamo visto che e possibile determinare completamente lo stato di un sistema se si suppone di poterpreparare un numero arbitrariamente grande di sistemi in quello stato, ed effettuando misure ripetutesu di essi. Per esempio, nell’esperimento di Zeilinger possiamo misurare la distribuzione di probabilita


di arrivo delle molecole sullo schermo ripetendo la misura con tante molecole. Se le molecole sono tuttepreparate nello stesso stato, questa probabilita e determinata dal vettore di stato del sistema.

Ci si puo chiedere se cio sia possibile su un sistema unico, “clonando” lo stato. L’idea e la seguente.Supponiamo che il sistema sia in uno stato di tanti qubit, della forma della Eq. (2.118), e che esso si troviin uno stato

|Ψ〉 = |φ〉1 ⊗ |x〉2 ⊗ · · · ⊗ |x〉n, (2.119)

dove gli stati |x〉i sono stati sconosciuti qualunque. Supponiamo che esista una macchina, ossia un’evoluzioneunitaria, che prende tale stato, e lo fa evolvere nello stato

|Ξ〉 = |φ〉1 ⊗ |φ〉2 ⊗ · · · ⊗ |φ〉n. (2.120)

Chiamiamo questa macchina un quantum cloning device, in quanto essa ha copiato lo stato |φ〉1 dal primosottosistema a tutti gli altri.

Se questa macchina esiste, e chiaro che possiamo eseguire una unica misura sullo stato |Ξ〉 Eq. (2.120)che determina completamente lo stato |φ〉, purche il numero di sottosistemi sia sufficientemente grande,misurando due osservabili ortogonali (due matrici di Pauli) ciascuno sulla meta dei sottosistemi.

Ma cio non e possibile1, come si vede considerando il caso piu semplice di due sottosistemi. In talcaso, ci chiediamo se esista un operatore unitario tale che per qualunque stato

|α〉 = U(|ψ〉 ⊗ |x〉) = |ψ〉 ⊗ |ψ〉. (2.121)

Visto che cio deve essere vero per qualunque stato, allora anche

|β〉 = U(|ϕ〉 ⊗ |x〉) = |ϕ〉 ⊗ |ϕ〉. (2.122)

Ma se l’operatore U che realizza la clonazione e unitario il prodotto scalare tra gli stati |α〉 e |β〉 prima edopo la “clonazione” deve restare invariato:

〈β|α〉 = 〈ϕ|ψ〉〈x|x〉 = 〈ψ|ϕ〉〈ψ|ϕ〉, (2.123)

dove il primo risultato e calcolato prima della clonazione, ed il secondo, dopo. Usando la condizione dinormalizzazione 〈x|x〉 = 1 si ottiene

〈ϕ|ψ〉 =(〈ϕ|ψ〉

)2(2.124)

il che comporta

〈ϕ|ψ〉 = 1 oppure 〈ϕ|ψ〉 = 0. (2.125)

Si possono quindi clonare gli stati di una base ortonormale. Ma questo non aggiunge nulla a quanto sipuo fare con una misura: se sappiamo che lo stato che ci viene dato e uno o l’altro di una certa baseortormale, allora possiamo determinare quale eseguendo una misura, e quindi “clonarlo” eseguendo lastessa misura sugli altri stati e scartando gli stati per i quali la misura non da il risultato desiderato. Manon puo esistere un dispositivo che cloni uno stato generico.

Ne concludiamo che le misure quantistiche sono inevitabilmente distruttive. Il singolo stato non hauna realta fisica: non contiene nient’altro che informazione sui risultati delle misure ripetute, ciascunadelle quali e intrinsecamente probabilistica.

1W.K Wootters e W.H Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned, Nature 299 (1982), 802; D. Dieks, Communicationby EPR devices, Phys. Lett. A92 (1982) 271.

Parte II

Fondamenti della meccanicaquantistica

Capitolo 3

Quantizzazione canonica: lameccanica quantistica

Giunti a questo punto, possiamo cominciare a costruire la meccanica quantistica. Applichiamo cioe iprincipi di base discussi fino ad ora alla meccanica. I sistemi di cui ci occupiamo a partire da questomomento vivono in uno spazio delle configurazioni: l’osservabile di base e la posizione, da cui possiamotentare di derivare l’altra osservabile che caratterizza completamente lo spazio delle configurazioni classico,ossia la velocita, o l’impulso. Questo comporta qualche complicazione formale perche lo spazio delleconfigurazioni ha dimensione infinita, con la potenza del continuo.

Costruiamo dapprima le osservabili posizione ed impulso, secondo un procedimento che va sotto ilnome di quantizzazione canonica (ossia standard), che ci permette di costruire gli operatori quantisticiassociati alle osservabili meccaniche. Questo porta naturalmente alla versione quantistica della formu-lazione Hamiltoniana della meccanica. Costruiamo quindi, con lo stesso procedimento, le leggi del motoche forniscono la dipendenza temporale del sistema, e sono quindi l’analogo quantistico delle leggi delmoto classiche.

3.1 La rappresentazione delle coordinate

Consideriamo un sistema per il quale l’osservabile e la posizione. Per semplicita, consideriamo il casounidimensionale: la posizione del sistema puo essere pensata come un punto su una retta, oppure unaposizione descritta da una coordinata lagrangiana generalizzata.

In qualunque situazione realistica, nessuna posizione puo essere misurata con accuratezza infinita,ne puo essere misurata in tutto lo spazio: quindi strettamente parlando l’insieme delle posizioni e sem-pre finito, la posizione puo solo essere assegnata su un segmento di lunghezza finita, diviso in intervallidi larghezza pari alla risoluzione dell’apparato di miusro. Lavorare con un numero finito di stati com-porterebbe un maggiore rigore matematico, ma una notevole complicazione pratica: per esempio, lavelocita, che e una derivata, diventa una differenza finita. Quindi in pratica risulta piu comodo supporreche il sistema vive nel continuo; il prezzo da pagare e una maggior complicazione (od un minor rigore)del formalismo dal punto di vista matematico

3.1.1 L’operatore posizione

Consideriamo quindi un sistema che vive in uno spazio unidimensionale, per cui l’osservabile e la posizione,dimodoche il ket di stato |ψ〉 fornisce l’ampiezza di probabilita di misure di posizione. Definiamo quindiun operatore posizione x, i cui autostati |x〉 corrispondono a stati di definita posizione, ed in cui autovalorix ad essi relativi forniscono il valore della posizione stessa:

x|x〉 = x|x〉. (3.1)

48 Quantizzazione canonica: la meccanica quantistica

Il significato di questa scrittura e che noi stiamo supponendo che esista un sistema (quantistico) di cuipossiamo misurare la posizione, che chiamiamo x. I postulati della meccanica quantistica ci dicono chedopo una misura di posizione questo sistema si trova in uno stato ben determinato: chiamiamo |x〉 lo statoin cui si trova qujando la misura di posizione da come risultato x. Definiamo inoltre x come l’operatorehermitiano i cui autovettori ed autovalori sono rispettivamente |x〉 ed x. Quindi, la Eq. (3.1) va presacome la definizione dell’operatore posizione.

La componente di uno stato generico |ψ〉 lungo il vettore |x〉, autostato della posizione, e

〈x|ψ〉 = ψ(x). (3.2)

Al solito, il modulo quadro di questa componente∣∣ψ(x)∣∣2 =

∣∣〈x|ψ〉∣∣2 = p(x) (3.3)

e la probabilita che il sistema si trovi nel punto x. Osserviamo tuttavia che, visto che x e una variabilecontinua, p(x) e una densita di probabilita, anziche una probabilita vera e propria, che si ottiene da essaper integrazione. Infatti, la probabilita che il sistema si trovi tra x e x+ ∆ e data da

P∆[x, x+ ∆] =

∫ x+∆

x

dx′∣∣ψ(x′)

∣∣2. (3.4)

La funzione ψ(x) Eq. (3.2) e detta funzione d’onda del sistema. Una descrizione matematicamenterigorosa dello spazio degli stati fisici per un sistema siffatto richiede il concetto di “ spazio di Hilbertequipaggiato”. Non approfondiremo questi aspetti matematici, e ci accontenteremo del formalismo in-trodotto negli anni ’30 da Dirac per descrivere questa situazione, che fu messo su basi matematiche solidesolo molto piu tardi, negli anni ’50.

3.1.2 La distribuzione delta di Dirac

Ci chiediamo cosa diventino nel caso infinito-dimensionale la relazione di completezza e la condizione diortonormalizzazione degli stati.

Se gli autostati della posizione fossero un insieme discreto, potremmo scrivere una relazione dicompletezza della forma |ψ〉 =

∑i |ei〉〈ei|ψ〉 decomponendo |ψ〉 come:

|ψ〉 =∑i

|xi〉〈xi|ψ〉 =∑i

ψ(xi)|xi〉. (3.5)

Nel limite continuo questa diventa

|ψ〉 =

∫dx|x〉〈x|ψ〉 =

∫dx ψ(x)|x〉 : (3.6)

Questa scrittura ci obbliga ad introdurre un oggetto peculiare, la delta di Dirac. Si tratta di un oggettomatematico che prende il nome di distribuzione; la teoria fu costruita negli anni ’50, principalmente graziea Laurent Schwartz (1925-2002). Per capirne la necessita, scriviamo l’elemento di matrice di |ψ〉 su unautostato della posizione utilizzando la risoluzione dell’identita appena introdotta:

ψ(x) = 〈x|ψ〉 =

∫dx′ 〈x|x′〉〈x′|ψ〉 =

∫dx′ 〈x|x′〉ψ(x′). (3.7)

Ma la funzione d’onda ψ(x) e una qualunque funzione a valori complessi di una variabile reale. Devequindi esistere una quantita

〈x′|x〉 ≡ δ(x′, x). (3.8)

tale che

f(x′) =

∫dx f(x)δ(x′, x), (3.9)

3.1 La rappresentazione delle coordinate 49

Properieta della delta

La definizione Eq. (3.9) implica diverse proprieta interessanti:

1. Normalizzazione: ∫dx δ(x, x′) = 1. (3.10)

Dimostrazione: segue dalla Eq. (3.9) quando f(x) = 1.

2. Invarianza per traslazioni:

δ(x′, x) = δ(x′ + a, x+ a) (3.11)

Dimostrazione:∫ ∞−∞

dx′ δ(x+ a, x′ + a)f(x′) =

∫ ∞−∞

dx′ 〈x+ a|x′ + a〉f(x′) =

∫ ∞−∞

dx′′ 〈x+ a|x′′〉f(x′′ − a)

(3.12)

avendo posto x′′ = x′ + a. Ma∫ ∞−∞

dx′′ 〈x+ a|x′′〉f(x′′ − a) =

∫dx′′ δ(x+ a, x′′)f(x′′ − a) = f(x+ a− a) = f(x). (3.13)

Questa proprieta implica, equivalentemente, che la delta non dipende separatamente da x e da x′,ma solo dalla loro differenza. D’ora in poi quindi scriveremo la delta come funzione di un unicoargomento: δ(x− x′).

3. Simmetria

δ(x′ − x) = δ(x− x′). (3.14)

Dimostrazione: usando nuovamente la completezza

〈ψ|x〉 =

∫dx′ 〈ψ|x′〉〈x′|x〉 =

∫dx′ ψ∗(x′)δ(x′, x) = ψ∗(x). (3.15)

Ma la ψ(x) e una funzione qualunque quindi confrontando con la definizione Eq. (3.9) ne seguel’asserto.

4.

xδ(x) = 0; g(x)δ(x) = g(0)δ(x); g(x)δ(x− x′) = g(x′)δ(x− x′). (3.16)

Dimostrazione: seguono immediatamente dalla definizione Eq. (3.9).

5.

δ(ax) =1

|a|δ(x), (3.17)

con a una costante reale diversa da zero. Dimostrazione:∫dx′ δ(ax′)ψ(x′) =

1

|a|

∫dx′′δ(x′′)ψ

(x′′

a

)=

1

|a|ψ(0), (3.18)

dove il valore assoluto nel secondo passaggio e dovuto al fatto che se a < 0, il cambio di variabile diintegrazione da x′ a x′′ = ax scambia i due estremi di integrazione.

Notiamo che l’ultima proprieta equivale a dire che la δ si comporta come una misura di integrazione.Infatti

∫dx δ(x) = 1, quindi il riscalamento della x comporta che anche la δ debba riscalare come come

il reciproco del proprio argomento.


Significato della delta

La delta di Dirac non puo essere interpretata come una funzione ordinaria: infatti essa e diversa da zerosolo in un punto di misura nulla e ciononostante il suo integrale vale uno, Eq. (3.10). Noi prendiamoEq. (3.9) come definizione della delta. Questo vale a dire che definiamo la delta come un funzionale,che agendo su una funzione da un’altra funzione. Un altro modo di definire la delta e come limite. Peresempio si puo considerare una successione di gaussiane

∫ ∞−∞

dxe−

(x−x′)2σ

√πσ

= 1 (3.19)

che diventano sempre piu piccate su x′ (vedi figura 3.1) Ne segue che in tale limite, la delta e dappertutto

xʹ

Figura 3.1: δ di Dirac come limite di gaussiane.

nulla, eccetto che nel punto in cui il suo argomento si annulla, dove diverge. Evidentemente non si trattadi una funzione ordinaria.

3.1.3 Relazione di ortonormalizzazione e risoluzione dell’identita

La delta fornisce una generalizzazione al caso continuo della relazione di ortonormalita. Infatti, la relazione

〈i|j〉 = δij (3.20)

nel continuo diventa

〈x|x′〉 = δ(x− x′). (3.21)

Si parla in questo caso di ortonormalizzazione impropria. Notiamo infatti che la “normalizzazione” none definita, in quanto se x = x′ la delta diverge.

Veniamo ora alla risoluzione dell’identita. Nel caso discreto tale relazione era:∑i

|i〉〈i| = I (3.22)

da cui ∑n,m

〈en|i〉〈i|em〉 = Inm. (3.23)

3.2 L’operatore impulso e le traslazioni 51

Nel caso continuo ∫dx |x〉〈x| = I, (3.24)

e se vogliamo vedere i singoli termini di matrice

〈x′|

(∫dx |x〉〈x|

)|x′′〉 =

∫dx 〈x′|x〉〈x|x′′〉 =

∫dx δ(x′ − x)δ(x− x′′) = δ(x′ − x′′) = 〈x′|x′′〉. (3.25)

Possiamo quindi vedere la delta di Dirac come come una matrice identita infinito-dimensionale continua.Consideriamo infine il prodotto scalare. Si ha

〈ϕ|ψ〉 =

∫dx 〈ϕ|x〉〈x|ψ〉 =

∫dx ϕ∗(x)ψ(x), (3.26)

e quindi nel caso particolare |ψ〉 = |ϕ〉

〈ψ|ψ〉 =

∫dx〈ψ|x〉〈x|ψ〉 =

∫dx|ψ(x)|2, (3.27)

cioe la condizione di normalizzazione della densita di probabilita Eq. (3.3).

3.1.4 Operatori

Qualunque osservabile funzione delle coordinate (ad esempio, il seno oppure il coseno della coordinata)puo essere espressa da un operatore diagonale nella base delle coordinate. Consideriamo Θ(x), espressocome sviluppo in serie di potenze

Θ(x) =

∞∑i=0

Θi(x)i = Θ0 + Θ1x+ Θ2x2 + .... (3.28)

Gli elementi di matrice di Θ(x) sono

〈x′|Θ(x)|x〉 = 〈x′|∞∑i=0

Θi(x)i|x〉 =

∞∑i=0

Θi(x)i〈x′|x〉 = Θ(x)δ(x′ − x). (3.29)

In particolare, se consideriamo l’operatore posizione stesso x, si ha:

〈x′|x|x〉 = xδ(x′ − x) = xδ(x′ − x). (3.30)

3.2 L’operatore impulso e le traslazioni

Come e noto, la descrizione della dinamica di un sistema classico richiede che oltre alla sua posizioneconosciamo la sua velocita (in una formulazione lagrangiana) o, equivalentemente, il suo impulso (in unaformulazione hamiltoniana). Per ragioni che saranno chiare piu avanti, e piu semplice rendere compatibilile leggi della meccanica con i principi della fisica quantistica usando il formalismo hamiltoniano. Studier-emo quindi per prima la meccanica quantistica in formulazione hamiltoniana; la versione lagrangianaverra presentata nel capitolo 11.2.

Dobbiamo percio capire prima di tutto come definire l’operatore impulso: avendo costruito lo spaziodegli stati fisici per un sistema di cui si possa misurare la posizione, vogliamo costruire l’operatore impulsoper questo sistema. Realizzeremo questo obiettivo richiedendo che la meccanica quantistica e la meccanicaclassica abbiano la stessa struttura di simmetria: questa ci fornira una procedura per la quantizzazionedei sistemi meccanici che va sotto il nome di quantizzazione canonica.


3.2.1 Il teorema di Noether

In meccanica classica i risultati di misure di un sistema sono strettamente legate alle sue simmetrie. Lapossibilita di una misura presuppone infatti che una quantita resti invariata almeno per il tempo dellamisura, e le invarianze, cioe le leggi di conservazione classiche, sono legate alle sue simmetrie. Questolegame e dato dal teorema di Noether, che afferma che in un sistema meccanico classico c’e una quantitaconservata per ogni invarianza del sistema. E quindi possibile identificare ogni osservabile classica con lacorrispondente invarianza: cio permette di caratterizzare le variabili indipendentemente dalla dinamica.

L’asserto del teorema di Noether afferma che se c’e una invarianza nel sistema, allora lungo le traiettoriedescritte dalle soluzioni delle equazioni del moto c’e una quantita che si conserva. Il risultato si dimostraper un sistema che soddisfa le equazioni del moto di Eulero-Lagrange ottenute a partire da una lagrangianaL = L(q, q)

d

dt

∂L

∂q=∂L

∂q; (3.31)

q e una coordinata lagrangiana generalizzata, e le equazioni del moto determinano q(t) e q(t) in terminidi una condizione iniziale q(t0), q(t0). D’ora in poi, utilizzeremo indifferentemente q o x per indicare lacoordinata. Indichiamo inoltre con il punto la derivata rispetto al tempo, come si fa comunemente nelformalismo lagrangiano: q ≡ d

dtq. Con invarianza, intendiamo che sotto la trasformazione

q → q′; q → q′ (3.32)

la lagrangiana e invariata:

L(q′, q′) = L(q, q). (3.33)

Per dimostrare il teorema, consideriamo il caso di trasformazioni infinitesime, cioe

q → q′ = q + δq; q → q′ = q +d

dtδq. (3.34)

La variazione della lagrangiana, e quindi la condizione di invarianza Eq. (3.33) diventa

δL =∂L

∂qδq +

∂L

∂qδq = 0. (3.35)

Utilizzando l’equazione del moto Eq. (3.31) e la trasformazione infinitesima della velocita Eq. (3.34) lacondizione di invarianza della Lagrangiana si puo riscrivere nella forma

0 =

(d

dt

∂L

∂q

)δq +

∂L

∂q

d

dtδq =

d

dt

(∂L

∂qδq

). (3.36)

Ne segue che la quantita

Q =∂L

∂qδq, (3.37)

detta carica di Noether, si conserva:

d

dtQ = 0. (3.38)

E facile vedere che quando la lagrangiana e invariante per traslazioni la carica di Noether conservatacoincide (a meno di una costante) con l’impulso. La trasformazione della coordinata sotto traslazioni einfatti

q → q′ = q + δ, (3.39)


e quindi

δq = δ. (3.40)

Percio

Q =∂L

∂qδ = pδ. (3.41)

Ma δ e una costante arbitraria, quindi la Eq. (3.41) dice che l’impulso p si conserva.

3.2.2 Le traslazioni in meccanica quantistica

In meccanica classica, l’impulso e la quantita conservata quando vi e invarianza per traslazioni. Costru-iamo quindi l’operatore impulso quantistico come l’operatore i cui autovalori si conservano quando vie invarianza per traslazioni. Sorprendentemente, vediamo che possiamo determinare completamente ilrisultato anche senza conoscere ancora le leggi del moto che forniscono l’evoluzione temporale dei sistemiquantistici, e limitandoci a supporre che valgano i principi della fisica quantistica che abbiamo studiatofinora.

La procedura che seguiremo puo essere seguita in generale per costruire l’operatore quantistico icui autovalori si conservano in presenza di una data invarianza, ma per semplicita e concretezza noi ladescriveremo nel caso delle traslazioni.

Per realizzare questo programma, iniziamo quindi da uno studio di come si realizzano le traslazioniper un sistema quantistico definito nello spazio delle coordinate. Possiamo vedere una traslazione comeun cambiamento della base di autostati dell’operatore posizione, realizzata da un operatore T :

T |q〉 = |q − δ〉. (3.42)

Poiche sia gli stati di partenza che quelli trasformati formano una base, e abbiamo visto che un cambia-mento di base e realizzato da una trasformazione unitaria, ne segue che l’operatore T e unitario.

L’azione di T su uno stato qualunque |ψ〉 e

T |ψ〉 =

∫dq T |q〉〈q|ψ〉 =

∫dq |q − δ〉ψ(q) =

∫dq′ |q′〉ψ(q′ + δ), (3.43)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo cambiato variabile di integrazione da q a q′ = q − δ. Pertanto

〈q|T |ψ〉 = ψ(q + δ). (3.44)

Si arriva alla stessa conclusione sfruttando l’unitarieta di T :

T−1|q〉 = T †|q〉 = |q + δ〉 =⇒ 〈q|T = 〈q + δ| (3.45)

e di conseguenza

〈q|T |ψ〉 = 〈q + δ|ψ〉 = ψ(q + δ). (3.46)

L’elemento di matrice dell’operatore traslazione Eq. (3.44) pio essere riscritto attraverso uno sviluppoin serie di Taylor:

ψ(q + δ) =

∞∑k=0

δk

k!ψ(k)(q) =

( ∞∑k=0

δk

k!

(d

dq

)k)ψ(q) = eδ

ddqψ(q), (3.47)

dove negli ultimi due passaggi abbiamo ottenuto la serie dall’azione ripetuta dell’operatore di derivazionerispetto a q, a sua volta rappresentata come esponenziale.


Osserviamo che un operatore unitario U puo sempre essere scritto come esponenziale di un oper-atore hermitiano H, infatti se poniamo U = exp(iH) e supponiamo che H sia hermitiano ne segueimmediatamente che U e unitario, perche

U† =(eiH)†

= e−iH†

= e−iH = U−1. (3.48)

Poniamo quindi

Tδ = eikδ. (3.49)

Ma le Eq. (3.44,3.47) ci dicono che

〈q|eikδ|ψ〉 = ψ(q + δ) = eδddqψ(q). (3.50)

Sviluppando al primo ordine in δ quest’ultima equazione possiamo determinare l’elemento di matricedell’operatore k:

〈q|1 + ikδ|ψ〉+O(δ2) = ψ(q) + δd

dqψ(q) +O(δ2) (3.51)

e quindi

〈q|k|ψ〉 = −i ddqψ(q). (3.52)

Vediamo cosı che l’azione dell’operatore di traslazione T e interamente determinata dagli elementi dimatrice dell’operatore k. Questo e generalmente vero quando si sfrutta la rappresentazione di un operatoredi trasformazione unitario in termini di esponenziale di un operatore hermitiano. L’operatore hermitiano,nel nostro caso k, e detto generatore della trasformazione. Nel nostro caso specifico, k e il generatoredelle traslazioni.

3.2.3 L’operatore impulso

Possiamo ora costruire l’operatore impulso in meccanica quantistica come la quantita conservata quandovi e invarianza per traslazioni. Con “invarianza per traslazioni” intendiamo quanto segue. Supponiamoche esista un certo operatore unitario S che fornisce l’evoluzione temporale del sistema, cioe che agendoagendo sullo stato del sistema |ψ〉 dia lo stato evoluto ad un tempo t:

S(t, t0)|ψ(t0)〉 = |ψ(t)〉. (3.53)

Usando questo operatore, possiamo calcolare l’ampiezza di probabilita che un sistema, preparato nellostato |ψ(t0)〉 al tempo t0, dia lo stato |ϕ(t)〉 se al tempo t viene eseguita una misura. L’ampiezza diprobabilita corrispondente e

〈ϕ(t)|ψ(t)〉 = 〈ϕ(t)|S(t, t0)|ψ(t0)〉. (3.54)

Diciamo che vi e invarianza per traslazioni se eseguendo una traslazione dell’intero sistema, cioe unatraslazione di tutti gli stati, e quindi anche dello stato |ψ(t0)〉 e dello stato |ϕ(t)〉, i risultati delle misurerestano invariati, e quindi l’ampiezza Eq. (3.54) non cambia. L’invarianza per traslazioni corrispondequindi alla richiesta che

〈ϕ(t)|ψ(t)〉 = 〈ϕ(t)|T †S(t, t0)T |ψ(t0)〉. (3.55)

Nel caso particolare di una trasformazione infinitesima, Tε = 1 + iεk ( e T †ε = 1 − iεk) il membrodestro della Eq. (3.55) si puo riscrivere come

〈ϕ(t)|T †S(t, t0)T |ψ(t0)〉 = 〈ϕ(t)|(1− iεk)S(t, t0)(1 + iεk)|ψ(t0)〉

= 〈ϕ(t)|S(t, t0)|ψ(t0)〉 − iε〈ϕ(t)|kS(t, t0)− S(t, t0)k|ψ(t0)〉+O(ε2)

= 〈ϕ(t)|S(t, t0)|ψ(t0)〉 − iε〈ϕ(t)|[k, S(t, t0)]|ψ(t0)〉,


e quindi la condizione di invarianza diventa

〈ϕ(t)|ψ(t)〉 = 〈ϕ(t)|S(t, t0)|ψ(t0)〉 − iε〈ϕ(t)|[k, S(t, t0)]|ψ(t0)〉. (3.56)

Si ha quindi invarianza per traslazioni se e solo se

[k, S(t, t0)] = 0. (3.57)

Consideriamo ora gli autostati ed autovalori dell’operatore (hermitiano) k:

k|k〉 = k|k〉. (3.58)

Utilizzando la relazione di completezza rispetto a questi stati nell’equazione Eq. (3.57) abbiamo

0 = 〈ϕ(t)|[k, S(t, t0)]|ψ(t0)〉 =

∫dkdk′ 〈ϕ(t)|k〉〈k|[k, S(t, t0)]|k′〉〈k′|ψ(t0)〉

=

∫dkdk′ 〈ϕ(t)|k〉〈k|kS(t, t0)− S(t, t0)k|k′〉〈k′|ψ(t0)〉

=

∫dkdk′ 〈ϕ(t)|k〉(k − k′)〈k|S(t, t0)|k′〉〈k′|ψ(t0)〉.

Ne segue che

〈k|S(t, t0)|k′〉 = 0 se k 6= k′. (3.59)

Ma la Eq. (3.59) e proprio una legge di conservazione: dice che se il sistema e in un autostato di k altempo t0, resta nello stesso autostato al tempo t1: l’ampiezza che una misura lo trovi in qualunque altroautostato e nulla. Quindi abbiamo dimostrato che se il sistema e invariante per traslazioni, qualunqueevoluzione temporale unitaria preserva l’autovalore del generatore delle traslazioni. Possiamo quindiidentificare, a meno di una costante di proporzionalita, l’operatore impulso con l’operatore hermitianoche genera le traslazioni.

3.2.4 Operatori e leggi di conservazione

E facile vedere che l’argomento che abbiamo presentato nella Sezione 3.2.3 vale in forma del tutto generale:se una trasformazione unitaria puo essere scritta come esponenziale di un generatore hermitiano, alloragli autovalori di questo operatore si conservano se e solo se esso commuta con l’operatore di evoluzionetemporale. Infatti, in tutto l’argomento dato, a partire dalla Eq. (3.55) fino al risultato finale Eq. (3.59)

non abbiamo mai usato il fatto che k generi le traslazioni, piuttosto che qualunque altra trasformazione.Osserviamo ora che, per ragioni dimensionali, tra l’operatore impulso ed il generatore delle traslazioni

deve esservi una una costante di proporzionalita. Infatti, le dimensioni di k sono

[k] = [L]−1, (3.60)

come si vede dalla Eq. (3.52). D’altra parte le dimensioni di p sono

[p] = [E][T ][L]−1 (3.61)

come si vede dal fatto che p = ∂L∂q (ricordando che la lagrangiana e la differenza di energia cinetica e

potenziale, e quindi ha le dimensioni di energia). Ne segue che la costante di proporzionalita tra p e k,che chiamiamo ~,

p = ~k (3.62)

ha le dimensioni di

[~] = [E][T ], (3.63)


ossial le dimensioni di una azione.Facciamo quindi l’ipotesi che la costante ~ sia universale: cioe per ogni osservabile classica, facciamo

l’ipotesi che l’operatore quantistico associato si possa costruire seguendo la procedura che abbiamo seguitonel caso dell’impulso. Si determina la trasformazione tale per cui l’osservabile classica e conservata quandovi e invarianza. Si determina il generatore di questa trasformazione sugli stati quantistici. Si identificainfine l’operatore quantistico associato all’osservabile data come questo generatore, moltiplicato per ~.La costante ~ e nota come costante di Planck.

Naturalmente, la normalizzazione dell’osservabile classica e convenzionale (se si conserva p si conservaanche 2p, e cosı via), cosı come e convenzionale la normalizzazione del generatore da cui si ottienel’osservabile quantistica (nulla ci vieta di definire la traslazione come la tasformazione q → q + 2δ).Tuttavia, la normalizzazione relativa dell’osservabile classica e del generatore quantistico ha un significatoassoluto, come possiamo capire studiando l’azione dell’operatore impulso sull’operatore coordinata.

3.2.5 Il commutatore canonico

Consideriamo quindi l’azione dell’operatore di traslazione T sull’operatore q. Giacche, come si e detto,una traslazione puo essere vista come un cambiamento di base nello spazio delle coordinate, ci bastaricordare la forma forma generale della trasformazione di un operatore sotto cambiamento di base, ossial’azione aggiunta Eq. (2.25) della trasformazione:

T−1qT |q〉 = T−1q|q − δ〉 = T−1(q − δ)|q − δ〉 = (q − δ)T−1|q − δ〉 = (q − δ)|q〉. (3.64)

Ne segue che

T−1qT = q − δ. (3.65)

Nel caso particolare di una trasformazione infinitesima Tε = 1 + iεk = 1 + iε 1~ p si ha

T−1ε qTε =

(1− iε 1

hp

)q

(1 + iε

1

hp

)= q − ε, (3.66)

che implica

q − iε1

~(pq − qp) +O(ε2) = q − ε (3.67)

e quindi

[p, q] = −i~. (3.68)

Notiamo che anche questo argomento e del tutto generale: per qualunque trasformazione T generatada un generatore hermitiano G, cioe tale che Tδ = exp iδG la variazione di un operatore A sotto l’effettodella trasformazione e proporzionale al commutatore del generatore con l’operatore: infatti l’operatoretrasformato e

A′ = T−1AT =(

1− iεG)A(

1 + iεG)

= A+ i[G,A] (3.69)

e quindi

δA = A′ −A = i[G,A]. (3.70)

Il commutatore Eq. (3.68) e detto commutatore canonico: il ragionamento che abbiamo fatto qui perdedurre la forma dell’operatore impulso puo essere equivalentemente espresso dicendo che si postula che laparentesi di Poisson classica tra le variabili p e q sia quantisticamente sostituita dal commutatore canonico.Questo modo di formulare la quantizzazione dei sistemi meccanici (quantizzazione canonica, appunto) edovuto a Dirac: chiedere la sostituzione delle parentesi di Poisson con i commutatori e equivalente arichiedere l’invarianza della struttura di simmetria perche le parentesi di Poisson possono essere utilizzate

3.3 Base delle coordinate e base degli impulsi 57

per formulare le trasformazioni di coordinate nel caso classico (trasformazioni canoniche) e quindi leinvarianze sotto di esse. Capiamo quindi che la costante ~ fornisce il fattore di conversione tra parentesidi Poisson classiche e commutatori quantistici, che, secondo la Eq. (3.70) danno la trasformazione delleosservabili, cioe degli operatori, nel caso quantistico. Come sappiamo dalla meccanica classica, le parentesidi Poisson possono essere usate per esprimere i cambi di variabile sullo spazio delle configurazioni classicoattraverso il formalismo delle trasformazioni canoniche. Capiamo quindi che la quantizzazione canonicafornisce la corrispondenza tra la meccanica classica e la meccanica quantistica traducendo le trasformazionisullo spazio delle configurazioni classico (realizzate come trasformazioni canoniche) in trasformazioni suglistati quantistici.

Notiamo che il commutatore canonico implica immediatamente che p e q sono operatori incompatibili.Non possono esser diagonalizzati simultaneamente, e le loro rispettive indeterminazioni devono soddisfare,per la Eq. (2.71), la disuguaglianza

∆2p∆2q ≥ ~2

4. (3.71)

La relazione di indeterminazione posizione-impulso Eq. (3.71) e nota come principio di indeterminazionedi Heisenberg.

3.3 Base delle coordinate e base degli impulsi

Poiche gli operatori posizione e impulso non commutano, essi non possono essere diagonalizzati simultane-amente. Possiamo quindi scegliere di esprimere la meccanica (quindi, ad esempio, rappresentare stati edoperatori) nella base degli autostati dell’uno o dell’altro operatore, ma non di entrambi simultaneamente.

3.3.1 La base delle coordinate

Abbiamo costruito esplicitamente gli elementi di matrice degli operatori posizione ed impulso nella basedegli austostati Eq. (3.1) |q〉 dell’operatore posizione:

〈q|q|ψ〉 = qψ(q) (3.72)

〈q|p|ψ〉 = −i~ ddqψ(q), (3.73)

dove la seconda equazione segue dall’identificazione Eq. (3.62) dell’operatore impulso con il generatoredelle traslazioni, e dall’espressione Eq. (3.52) dell’azione di quest’ultimo sugli stati. In particolare, glielementi di matrice degli operatori posizione ed impulso tra autostati della posizione sono dati da

〈q|q|q′〉 = qδ(q − q′) (3.74)

〈q|p|q′〉 = −i~ ddqδ(q − q′). (3.75)

Verifichiamo ora che gli operatori posizione e impulso cosı definiti sono hermitiani. Per l’operatoreposizione si ha

〈q′|q†|q〉 =(〈q|q|q′〉

)∗= q′δ(q′ − q) = qδ(q′ − q) = 〈q′|q|q〉, (3.76)

avendo sfruttato l’identita Eq. (3.16) soddisfatta dalla delta di Dirac. Quindi l’operatore q e manifesta-mente hermitiano e, ovviamente, diagonale nella base delle coordinate.

Per l’operatore impulso si ha

〈q′|p†|q〉 =(〈q|p|q′〉

)∗= i~

d

dqδ(q − q′) = −i~ d

dq′δ(q − q′) = −i~ d

dq′δ(q′ − q) = 〈q′|p|q〉, (3.77)

avendo sfruttato la simmetria della delta, e l’ovvio fatto che la derivata di una funzione simmetrica eantisimmetrica.


L’hermiticita dell’operatore impulso ha una interessante implicazione per il prodotto scalare: infattisi ha da una parte

〈ϕ|p|ψ〉 =

∫dq 〈ϕ|q〉〈q|p|ψ〉 =

∫dq ϕ∗(q)(−i~)

d

dqψ(q), (3.78)

mentre l’hermiticita dell’operatore implica che

〈ϕ|p|ψ〉 = 〈ϕ|p†|ψ〉 =(〈ψ|p|ϕ〉

)∗=

(∫dq ψ∗(q)(−i~)

d

dqϕ(q)

)∗=

∫dq ψ(q)i~

d

dqϕ∗(q). (3.79)

Ricordando la formula dell’integrazione per parti,∫ b

a

dx f(x)d

dxg(x) = f(x)g(x)

∣∣∣ba−∫ b

a

dx g(x)d

dxf(x), (3.80)

vediamo che l’hermiticita e soddisfatta e le due espressioni Eq. (3.78,3.79) sono uguali se e solo se sipossono integrare le funzioni d’onda per parti ed il termine di bordo si annulla. Se lo spazio si estendeda −∞ a +∞ questo e sempre vero per stati normalizzabili in senso proprio: infatti∫ ∞

−∞dx∣∣ψ(x)

∣∣2 = 1 ⇔ ψ(x)x→∞∼ 1

x12 +ε

. (3.81)

e la stessa considerazione vale per ϕ(x). Piu in generale, l’hermiticita dell’operatore impulso e soddisfattasotto opportune ipotesi sullo spazio degli stati fisici, ed in particolare sotto l’ipotesi che sia possibile sempreintegrare per parti trascurando il termine di bordo. Fisicamente, questa e un’ipotesi di localizzazione deglistati. Nel seguito supporremo sempre che questa ipotesi sia soddisfatta.

3.3.2 Autostati dell’operatore impulso

Poiche posizione ed impulso non commutano, l’operatore p non e diagonale nella base delle posizioni.Determiniamo quindi i suoi autostati, ossia gli stati |k〉 tali che

p|k〉 = ~k|k〉. (3.82)

Ovviamente, possiamo indifferentemente decidere di etichettare gli stati con l’autovalore di p o del gener-atore delle traslazioni k, visto che i due operatori sono proporzionali. Nella base delle posizioni gli stati|k〉 sono delle funzioni della posizione

ψk(q) ≡ 〈q|k〉 (3.83)

che soddisfano l’equazione

〈q|p|k〉 = ~k〈q|k〉, (3.84)

ossia l’equazione differenziale

−i~ ddqψk(q) = ~kψk(q). (3.85)

La soluzione di tale equazione e

ψk(q) = Nkeikq. (3.86)

Le autofunzioni sono quindi onde piane.Vorremmo determinare la costante di normalizzazione Nk. Osserviamo che lo spettro di valori di k e

continuo, e quindi gli stati |k〉 non possono soddisfare una condizione di normalizzazione in senso proprio.


Richiedendo che valga una relazione di completezza, ossia la risoluzione dell’indentita per questi stati,troviamo che essi devono soddisfare una condizione di normalizzazione impropria

〈k′|k〉 = δ(k′ − k), (3.87)

dimodoche

ψ(k) = 〈k|ψ〉 =

∫dk′〈k|k′〉〈k′|ψ〉 =

∫dk′〈k|k′〉ψ(k′). (3.88)

La costante Nk e quindi determinata dalla condizione di normalizzazione Eq. (3.87). Utilizzando lacompletezza della base delle autofunzioni |q〉 abbiamo

δ(k′ − k) = 〈k′|k〉 =

∫ ∞−∞

dq 〈k′|q〉〈q|k〉 = |Nk|2∫ ∞−∞

dq e−ik′qeikq = |Nk|2

∫ ∞−∞

dq ei(k−k′)q, (3.89)

dove abbiamo posto N ∗k′Nk = |Nk|2 sfruttando il fatto che il risultato deve essere proporzionale ad unaδ(k − k′), e dunque f(k)δ(k − k′) = f(k′)δ(k = k′).

Quindi, sostituendo l’espressione esplicita Eq. (3.89) nella relazione di completezza Eq. (3.88) si trova

ψ(k′) =

∫ ∞−∞

dk ψ(k)δ(k′ − k) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

dkdq ψ(k)ei(k−k′)q|Nk|2

= limλ→∞

∫ ∞−∞

dk

∫ λ

−λdq |Nk|2ei(k−k

′)qψ(k) = limλ→∞

∫ ∞−∞

dk|Nk|2ei(k−k

′)q

i(k − k′)

∣∣∣λ−λψ(k)

= limλ→∞

∫ ∞−∞

dk |Nk|2ei(k−k

′)λ − e−i(k−k′)λ

i(k − k′)ψ(k). (3.90)

Ciascuna delle due funzioni e±i(k−k′)λ

i(k−k′) ψ(k) ha un polo semplice per k → k′. L’integrale ha quindi un

polo semplice in k = k′ lungo il cammino di integrazione. Esso puo essere definito nel senso del valorprincipale di Cauchy, cioe come la media degli integrali in cui la singolarita viene aggirata da sopra e dasotto: ∫ ∞

−∞dk |Nk|2

e±i(k−k′)λ

i(k − k′)=

1

2

[∫C1

dk |Nk|2e±i(k−k

′)λ

i(k − k′)+

∫C2

dk |Nk|2e±i(k−k

′)λ

i(k − k′)

], (3.91)

dove i cammini C1 e C2 sono disegnati in Figura 3.2.

Figura 3.2: Cammini di integrazione

In definitiva quindi l’integrale puo essere scritto come la somma di quattro integrali, cioe gli integralidelle due funzioni singolari, ciascuna integrata passando sopra o sotto la singolarita. Ciascuno di essipuo essere semplicemente calcolato mediante il teorema dei residui, osservando che se (k − k′)λ > 0 ((k − k′)λ < 0) e possibile chiudere il cammino nel semipiano Re > 0 (Re < 0). Si ha cosı

|Nk|2∫ ∞−∞

dke±i(k−k

′)λ

i(k − k′)ψ(k) = πiRes(f±(k), k′) =

0±π|Nk|2ψ(k′)

, (3.92)


a seconda che la singolarita sia fuori (esponente positivo cammino C1 o negativo, cammino C2) o dentroil cammino (esponente negativo cammino C1 o positivo, cammino C2).

Abbiamo cosı infine

ψ(k′) = limλ→∞

∫ ∞−∞

dk |Nk|2ei(k−k

′)λ − e−i(k−k′)λ

i(k − k′)ψ(k) = 2π|Nk|2ψ(k′). (3.93)

Ne deduciamo che la costante di normalizzazione cercata e

|Nk|2 =1

2π, (3.94)

e quindi ponendo arbitrariamente la fase uguale a uno

Nk =1√2π. (3.95)

Possiamo interpretare quindi la Eq. (3.89) come una rappresentazione della δ di Dirac:

δ(x) =1

2π

∫ ∞−∞

dq eiqx. (3.96)

Questo significa che la δ di Dirac e la trasformata di Fourier dell’identita.Concludiamo che le autofunzioni ψk(q) sono1:

ψk(q) =1√2πeiqk (3.97)

3.3.3 La base degli impulsi

Avendo a disposizione l’espressione degli autostati dell’impulso nella base delle posizioni possiamo costru-ire anche l’espressione degli autostati della posizione nella base degli autostati dell’impulso. Infatti siha

〈q|k〉 =1√2πeikq (3.98)

〈k|q〉 =1√2πe−ikq, (3.99)

e quindi possiamo usare le 〈q|k〉 come matrice di passaggio dalla base degli autostati della posizione allabase degli autostati dell’impulso.

Per uno stato fisico generico |ψ〉 abbiamo

ψ(k) =

∫dq 〈k|q〉〈q|ψ〉 =

∫dq

1√2πe−ikqψ(q) (3.100)

ψ(q) =

∫dk 〈q|k〉〈k|ψ〉 =

∫dk

1√2πeikqψ(k), (3.101)

ovvero ψ(q) e ψ(k) sono una la trasformata di Fourier dell’altra. Esse contengono quindi la stessainformazione: le relazioni (3.100) permettono di ricavare ψ(q) da ψ(k) e viceversa. Questo vuol direche impulso e posizione non sono quindi indipendenti, e in effetti lo stesso vettore di stato determina ladistribuzione di probabilita dei risultati delle misure di entrambi.

Possiamo in conclusione scrivere gli autostati degli operatori posizione ed impulso sulla base degliautostati dell’impulso. Ovviamente l’operatore impulso e diagonale nella base dei suoi autostati:

〈k|p|ψ〉 = ~kψ(k); 〈k|p|k′〉 = ~k′δ(k − k′). (3.102)

1A seconda che scegliamo k o p, oppure |k〉 o |p〉 come autostati, otteniamo espressioni lievemente differenti in quanto

p = ~k. Scegliendo autostati |p〉 si avrebbe 〈p|p|ψ〉 = pψ(p) e 〈q|p〉 = 1√2π~

eiqp~ .


Invece 〈k|q|ψ〉 non e diagonale:

〈k|q|ψ〉 =

∫dq 〈k|q|q〉〈q|ψ〉 =

∫dq√2πe−ikqψ(q)q = i

d

dk

∫dq

1√2πe−ikqψ(q) = i

d

dkψ(k). (3.103)

Dalle Eq. (3.103) possiamo immediatamente leggere che nella base degli impulsi gli elementi di matricedell’operatore posizione hanno la forma

〈k|q|ψ〉 = id

dkψ(k). (3.104)

In altri termini, l’operatore posizione e proporzionale al generatore delle traslazioni dell’impulso.

Capitolo 4

Evoluzione temporale

4.1 Il generatore dell’evoluzione temporale

Abbiamo definito l’operatore di evoluzione temporale S(t, t0) Eq. (3.53) come l’operatore unitario che,agendo sugli stati fisici ad un tempo “iniziale” t0 produce gli stati fisici ad un tempo “finale” t1. Notiamoche non e detto che t1 > t0, ed il fatto che l’operatore sia unitario implica che l’evoluzione temporale ereversibile. Ora vogliamo costruire questo operatore esplicitamente.

4.1.1 Traslazioni temporali e leggi di conservazione quantistiche

In un contesto non relativistico, il tempo non e un’osservabile, ma un parametro, dal quale dipendono leconfigurazioni. Le configurazioni del sistema sono date dai vettori di stato |ψ〉, pertanto quando diciamoche consideriamo le evoluzioni temporali i vettori di stato diventano delle famiglie ad un parametro |ψ(t)〉parametrizzate dal tempo1. Un ket di stato dipendente dal tempo puo sempre essere scritto come

|ψ(t+ δ)〉 = eδddt |ψ(t)〉 = eiδ(−i

ddt )|ψ(t)〉, (4.1)

cioe come il risultato di una traslazione temporale generata dall’operatore −i ddt .L’esistenza di un operatore unitario S calcolabile che realizza la traslazione temporale rende la mec-

canica quantistica predittiva. L’unitarieta dell’operatore S implica che esso possa essere scritto comeesponenziale di un opportuno operatore hermitiano OH :

S(t1, t0) = eiOH(t1,t0). (4.2)

Per un’evoluzione temporale infinitesima si ha t1 − t0 = ε e

S(t1, t0) = S(t0 + ε, t0) = I + iε∂

∂t1OH(t1, t0)

∣∣∣t1=t0

, (4.3)

ovvero, definendo

H(t) ≡ ∂

∂t′OH(t′, t)

∣∣∣t′=t

, (4.4)

S(t0 + ε, t0) = I + iεH(t). (4.5)

Mostriamo ora che un argomento analogo a quello della Sezione 3.2.3 porta immediatamente a con-cludere che se la dinamica e invariante per traslazioni temporali, allora gli autovalori di H(t) si conservano.Invarianza per traslazioni temporali significa che

〈ϕ|S(t1, t0)|ψ〉 = 〈ϕ|S(t1 + δ, t0 + δ)|ψ〉, (4.6)

1Una generalizzazione consistente al caso relativistico della meccanica quantistica richiede il passaggio alla descrizionedi sistemi con infiniti gradi di liberta, cioe alla teoria quantistica dei campi, di cui la meccanica quantistica relativistica puoessere costruita come limite.

64 Evoluzione temporale

e cioe, visto che |ψ〉, |ϕ〉 sono stati generici,

S(t1, t0) = S(t1 + δ, t0 + δ) (4.7)

Nel caso infinitesimo, la Eq. (4.7) implica che

I + iεH(t) = I + iεH(t+ δ) (4.8)

ovvero che H non dipende da t:

dHdt

= 0. (4.9)

Ma da questo segue immediatamente che H commuta con S. Infatti,

S(t1, t0) = S(t1 + δ, t0 + δ) = S(t1 + δ, t1)S(t1, t0)S(t0, t0 + δ)

= S(t1 + δ, t1)S(t1, t0)S−1(t0 + δ, t0)

= S(t1 + δ, t1)S(t1, t0)S†(t0 + δ, t0) = (I + iδH)S(t1, t0)(I− iδH)

= S(t1, t0) + iδ[H, S(t1, t0)] +O(δ2) (4.10)

e quindi

[H, S(t1, t0)] = 0. (4.11)

D’altra parte, lo stesso argomento della Sezione 3.2.3 mostra che se H commuta con l’operatore dievoluzione temporale, allora i suo autovalori sono conservati. Supponiamo che H abbia autostati edautovalori

H|E〉 = E|E〉. (4.12)

La proprieta di commutazione Eq. (4.11) implica che sfruttando quanto determinato sopra

0 =〈ϕ|[H, S(t1, t0)]|ψ〉 = 〈ϕ|(HS(t1, t0)− S(t1, t0)H|ψ〉 =

∫dEdE′ 〈ϕ|E〉〈E|(HS − SH)|E′〉〈E′|ψ〉

=

∫dEdE′ 〈ϕ|E〉

(E〈E|S|E′〉 − E′〈E|S|E′〉

)〈E′|ψ〉 =

∫dEdE′

(E − E′

)〈ϕ|E〉〈E|S|E′〉〈E′|ψ〉,

(4.13)

e quindi

〈E|S|E′〉 = 0 se E′ 6= E, (4.14)

che significa che l’evoluzione temporale S collega solo stati che hanno lo stesso valore di E.

4.1.2 Il teorema di Noether per trasformazioni dipendenti dal tempo

Classicamente la quantita che si conserva quando vi e invarianza per traslazioni temporali e l’Hamilto-niana H. Per dimostrarlo, dobbiamo considerare la generalizzazione del teorema di Noether al caso ditrasformazioni dipendenti dal tempo. In tal caso, la quantita la cui invarianza determina la legge diconservazione e l’azione, ossia l’integrale della Lagrangiana rispetto al tempo. Il teorema afferma chevi e una quantita conservata ogniqualvolta che per una qualunque trasformazione che agisce sia sullecoordinate che sui tempi, cioe (nel caso infinitesimo)

q(t)→ q′(t) = q(t) + δq, (4.15)

t→ t′(t) = t+ δt (4.16)

4.1 Il generatore dell’evoluzione temporale 65

l’azione e invariante, cioe

L(q′(t′), q′(t′), t′)dt′ = L(q(t), q(t), t)dt. (4.17)

La dimostrazione generalizza quella della sezione 3.2.1. Definita l’azione infinitesima A = L(q, q, t)dt,la condizione di invarianza e

δA = L(q′(t′), q′(t′), t′)dt′ − L(q(t), q(t), t)dt. (4.18)

D’altra parte la variazione dell’azione e esplicitamente data da

δA =(∂L∂qδq +

∂L

∂qδq +

dL

dtδt)dt+ Lδdt. (4.19)

Usando come nella Eq. (3.36) l’equazione del moto Eq. (3.31), ed osservando che

δdt = dt′ − dt =dt′

dtdt− dt =

(dt′dt− 1)dt =

d

dt(t′ − t)dt =

( ddtδt)dt, (4.20)

si ha:

0 = δA =( ddt

∂L

∂qδq +

∂L

∂q

d

dtδq)dt+

(dLdtdt)dt+

(Ld

dtδt)dt, (4.21)

ossia

dQ

dtdt = 0, (4.22)

avendo posto

Q =∂L

∂qδq + Lδt, (4.23)

che e la carica di Noether conservata.Specializziamo al caso di traslazione temporale:

t→ t′ = t+ δ. (4.24)

Se la traslazione agisce solo sui tempi si ha che

q(t) = q′(t′), (4.25)

e quindi, nel caso infinitesimo,

q′(t+ δ) = q′(t) + q′(t)δ, (4.26)

che implica

q′(t) = q(t)− q(t)δ (4.27)

ossia

δq = q′(t)− q(t) = −q(t)δ. (4.28)

La carica di Noether Eq. (4.23) nel caso di invarianza sotto traslazioni temporali e quindi data da

Q = −∂L∂qqδ + Lδ = δ

(L− ∂L

∂qq)

= −δH, (4.29)

e dunque la quantita conservata e proprio l’Hamiltoniana

H ≡ ∂L

∂qq − L. (4.30)


4.1.3 Il postulato dell’evoluzione temporale

Classicamente quando vi e invarianza per traslazioni temporali l’hamiltoniana si conserva, mentre quan-tisticamente l’operatore il cui spettro e conservato quando vi e invarianza per traslazioni temporali e ilgeneratoreH Eq. (4.4) dell’evoluzione temporale. Questo suggerisce di identificare, a meno di una costantedi proporzionalita, questo operatore con l’hamiltoniana. Questa viene costruita utilizzando il principio dicorrispondenza, cioe partendo dall’hamiltoniana classica vista come funzione di p e q e sostituendo questiultimi con i rispettivi operatori quantistici:

H = cH(p, q). (4.31)

Cio ancora una volta realizza il principio della quantizzazione canonica di Dirac, e cioe che le relazionidi commutazione dell’hamiltoniana con gli operatori canonici (e quindi le funzioni di essi) riproducano lastruttura delle corrispondenti parentesi di Poisson classiche.

Per determinare la dimensionalita della costante di proporzionalita c notiamo che la Eq. (4.5) im-plica immediatamente che la combinazione εH deve essere adimensionale (tutti i termini a membrodestro dell’equazione devono avere la stessa dimensione), ossia H ha le dimensioni di [T−1]. Quindi,visto che l’hamiltoniana ha le dimensioni di un’energia (ovviamente, visto che classicamente ha propriol’interpretazione di energia) le dimensioni della costante sono

[c] = [E−1][T−1], (4.32)

ossia quelle del reciproco di ~. Poniamo cosı

H = −1

~H, (4.33)

dove, come vedremo, il segno meno e necessario per riprodurre il limite classico.Con la scelta di costante di proporzionalita Eq. (4.33) la struttura di simmetria della meccanica classica

e pienamente riprodotta a livello quantistico: per esempio, l’evoluzione temporale classica puo essere vistacome una trasformazione canonica, da cui l’evoluzione temporale quantistica si ottiene rimpiazzandoparentesi di Poisson con parentesi di commutazione. Di questo non daremo una dimostrazione formale,ma ci limiteremo a mostrare che le equazioni del moto classiche sono riprodotte dai valori medi delleosservabili quantistiche.

L’esistenza di un operatore di evoluzione temporale puo essere vista come l’ultimo dei postulati dellameccanica quantistica, da aggiungere a quelli elencati nella sezione 1.4:

• Postulato 4 Esiste un operatore hermitiano H(t) che genera l’evoluzione temporale dei sistemiquantistici, cioe tale per cui l’operatore di evoluzione temporale infinitesima ha la forma Eq. (4.33-4.5,4.33)

S(t0 + ε, t0) = I− i

~H(t). (4.34)

Questo postulato puo essere visto come una proprieta fondamentale della fisica quantistica che va aldi la della meccanica, e della forma specifica che l’operatore di evoluzione temporale assume per sistemimeccanici, e che consiste nel postulare che l’evoluzione temporale dei sistemi quantistici deterministica eunitaria, cioe equivalentemente generata da un operatore hermitiano.

4.2 L’equazione di Schrodinger

Eguagliando l’evoluzione temporale identicamente definita come una traslazione del tempo secondo laEq. (4.1), con quella dinamicamente ottenuta da S(t1, t0) Eq. (4.2) con il generatore Eq. (4.4), espressoin termini dell’hamiltoniana mediante la Eq. (4.33) troviamo che l’operatore di evoluzione temporale, equindi lo stato fisico, devono soddisfare un’equazione differenziale del primo ordine rispetto al tempo:l’equazione di Schrodinger.

4.2 L’equazione di Schrodinger 67

4.2.1 Forme alternative dell’equazione di Schrodinger

Per trasformazioni infinitesime abbiamo(I +

i

~(t− t0)H(t)

)|ψ(t0)〉 =

(I + (t− t0)

d

dt

)|ψ(t)〉

∣∣∣t=t0

(4.35)

da cui

i~d

dt|ψ(t)〉 = H(t)|ψ(t)〉, (4.36)

che e appunto l’equazione di Schrodinger. Nella forma data dalla Eq. (4.36) essa e vista come equazionedifferenziale soddisfatta dai ket di stato.

E particolarmente interessante considerare una Hamiltoniana H scritta come somma di un terminecinetico e di un termine potenziale dipendente solo dalla posizione, H = T + V , ossia

H =p2

2m+ V (q). (4.37)

L’espressione dell’equazione di Schrodinger nella base delle coordinate si trova notando che

d

dt〈q|ψ(t)〉 =

∂

∂tψ(q, t), (4.38)

poiche la derivata agisce sulla dipendenza parametrica dal tempo dei coefficienti della decomposizione delvettore di stato sui vettori di base (autostati della coordinata indipendenti dal tempo). Inoltre, usandola Eq. (3.29) si ha immediatamente

〈q|V (q)|ψ(t)〉 = V (q)ψ(q, t), (4.39)

e

〈q|p2|ψ(t)〉 =

∫dq′ 〈q|p|q′〉〈q′|p|ψ〉 =

∫dq′

(− i~ ∂

∂q

)δ(q − q′)(−i~)

∂ψ(q′)

∂q′= −~2 ∂

2ψ

∂q2. (4.40)

Si ottiene cosı infine

i~∂ψ(q, t)

∂t= − ~2

2m

∂2ψ(q, t)

∂q2+ V (q)ψ(q, t). (4.41)

Questa e la forma piu comune dell’equazione di Schrodinger, ed anzi spesso il nome viene usato inriferimento a questa specifica forma, che pero e meno generale della Eq. (4.36) perche valida solo perhamiltoniane della forma Eq. (4.37).

Come gia detto, l’equazione di Schrodinger puo anche essere vista come un’equazione per l’operatoredi evoluzione temporale stesso, come si vede riscrivendo l’Eq. (4.36) come

i~∂

∂tS(t, t0)|ψ(t0)〉 = H(t)S(t, t0)|ψ(t0)〉, (4.42)

da cui

i~∂

∂tS(t, t0) = H(t)S(t, t0). (4.43)

Possiamo quindi ottenere l’operatore di evoluzione temporale come soluzione formale della Eq. (4.43),con la condizione inziale

S(t0, t0) = I. (4.44)

Risolviamo quindi la Eq. (4.43), considerando tre casi di complessita crescente:


1. L’Hamiltoniana e indipendente dal tempo:

dH

dt= 0; (4.45)

2. l’hamiltoniana dipende dal tempo, ma commuta a tempi diversi:

dH

dt6= 0 ma [H(t), H(t′)] = 0 ∀ t, t′; (4.46)

3. l’hamiltoniana dipende dal tempo e a tempi diversi non commuta:

dH

dt6= 0 e in generale [H(t), H(t′)] 6= 0. (4.47)

4.2.2 Soluzione dell’equazione di Schrodinger: hamiltoniane commutanti

Risolviamo dapperima l’equazione differenziale (4.43) con la condizione iniziale (4.44) nel caso ∂H∂t = 0.

La soluzione e l’esponenziale

S(t, t0) = exp1

i~(t− t0)H. (4.48)

Verifichiamo che sia una soluzione:

S(t, t0) = exp1

i~(t− t0)H = I +

1

i~(t− t0)H +

( 1

i~

)2 1

2(t− t0)2H2 + . . .

e quindi

i~∂

∂tS(t, t0) = H exp

1

i~(t− t0)H.

Consideriamo ora il caso di hamiltoniane dipendenti dal tempo, ma commutanti. Risolviamo nuova-mente l’equazione differenziale (4.43) con la condizione al contorno (4.44). Abbiamo

S(t, t0) = exp1

i~

∫ t

t0

dt′ H(t′), (4.49)

come possiamo verificare:

∂

∂tS(t, t0) =

∂

∂t

(I +

1

i~

∫ t

t0

dt′ H(t′) +1

2

( 1

i~

)2∫ t

t0

dt′ H(t′)

∫ t

t0

dt′′ H(t′′) + . . .)

(4.50)

=1

i~H(t) +

1

22( 1

i~

)2

H(t)

∫ t

t0

dt′′ H(t′′) + . . . (4.51)

=1

i~H(t)S(t, t0). (4.52)

4.2.3 Soluzione dell’equazione di Schrodinger: hamiltoniane non commutanti

Se le hamiltoniane a tempi diversi non commutano si ha:

d

dt

∫ t

t0

dt′ H(t′)

∫ t

t0

dt′′ H(t′′) = H(t)

∫ t

t0

dt′′ H(t′′) +

(∫ t

t0

dt′ H(t′)

)H(t) 6= 2H(t)

∫ t

t0

dt′ H(t′),

(4.53)

quindi il passaggio Eq. (4.50) non e piu corretto, e la soluzione Eq. (4.49) non vale piu. Per costruire unasoluzione in questo caso, definiamo il prodotto cronologico di due operatori:

T [O1(t1), O2(t2)] ≡O1(t1)O2(t2) se t1 > t2O2(t2)O1(t1) se t2 > t1

(4.54)

4.2 L’equazione di Schrodinger 69

Figura 4.1: Interpretazione geometrica dell’Eq (4.58). L’integranda T (H(t′), H(t′′)) e simmetrica rispettoalla retta t′ = t′′.

La soluzione in tal caso e data da

S(t, t0) = T exp1

i~

∫ t

t0

dt′ H(t′) (4.55)

Per dimostrarlo, calcoliamo esplicitamente fino al secondo ordine il prodotto cronologico dell’esponen-ziale. Troviamo

T exp1

i~

∫ t

t0

dt′ H(t′) = I +1

i~

∫ t

t0

dt′ H(t′) +1

2

1

(i~)2

∫ t

t0

dt′∫ t

t0

dt′′ T (H(t′), H(t′′)) + . . . , (4.56)

ma ∫ t

t0

dt′∫ t

t0

dt′′ T (H(t′), H(t′′)) =

∫ t

t0

dt′∫ t′

t0

dt′′H(t′)H(t′′) +

∫ t

t0

dt′∫ t

t′dt′′ H(t′′)H(t′). (4.57)

Ma ora notiamo che (vedi Figura 4.1)∫ t

t0

dt′∫ t

t′dt′′H(t′′)H(t′) =

∫ t

t0

dt′′∫ t′′

t0

dt′ H(t′′)H(t′) =

∫ t

t0

dt′∫ t′

t0

dt′′H(t′)H(t′′) (4.58)

e quindi ∫ t

t0

dt′∫ t

t0

dt′′ T (H(t′), H(t′′)) = 2

∫ t

t0

dt′∫ t′

t0

dt′′ H(t′)H(t′′). (4.59)

Iterando lo stesso argomento, si puo dimostrare che

T∫ t

t0

dt1 H(t1)

∫ t

t0

dt2 H(t2) · · ·∫ t

t0

dtn H(tn) = n!

∫ t

t0

dt1

∫ t1

t0

dt2 · · ·∫ tn−1

t0

dtn H(t1) · · · H(tn), (4.60)

con

tn < tn−1 < · · · < t1. (4.61)

Ne segue quindi che S(t, t0) Eq. (4.55) puo essere riscritta come

S(t, t0) =I +1

i~

∫ t

t0

dt1 H(t1) +1

2

1

(i~)22

∫ t

t0

dt1

∫ t1

t0

dt2 H(t0)H(t1) + . . .

. . .+1

n!

1

(i~)nn!

∫ t

t0

dt1 · · ·∫ tn−1

t0

dtn H(t1) · · · H(tn),

(4.62)


che e nota come serie di Dyson.Possiamo ora verificare esplicitamente che la serie di Dyson e una soluzione dell’equazione di Schrodinger:

i~∂

∂tS(t, t0) = H(t) +

1

i~

∫ t

t0

dt2 H(t2) + . . .1

(i~)n−1H(t)

∫ t

t0

dt2 · · ·∫ tn−1

t0

dtn H(t1) · · · H(tn) (4.63)

= H(t)

(I +

1

i~

∫ t

t0

dt1 H(t1) + . . .1

(i~)k

∫ t

t0

dt1 · · ·∫ tk−1

t0

dtk H(t1) · · · H(tk)

)(4.64)

= H(t)S(t, t0). (4.65)

4.2.4 Stati stazionari

Le soluzioni formali dell’equazione di Schrodinger costruite nelle due sezioni 4.2.2-4.2.3 riducono il cal-colo dell’evoluzione temporale alla determinazione degli autostati dell’hamiltoniana. Questo e partico-larmente utile nel caso di una Hamiltoniana che non dipende dal tempo, in cui la soluzione e espressadalla Eq. (4.48). Infatti, in tal caso, l’operatore di evoluzione temporale e funzione di un unico oper-atore, l’hamiltoniana indipendente dal tempo, ed e percio diagonale nella base dei suoi autostati, pureindipendenti dal tempo.

Per dimostrarlo, introduciamo autovettori |n〉 ed autovalori En dell’hamiltoniana

H|n〉 = En|n〉. (4.66)

Suppponiamo per semplicita che lo spettro di autovalori sia discreto; nel caso di spettro continuo l’argo-mento vale con minime modifiche (come la sostituzione della somma con un integrale). L’operatore dievoluzione temporale Eq. (4.48), sviluppando sulla base degli autostati di energia, diventa

S(t, t0) =∑n,m

|m〉〈m|S(t, t0)|n〉〈n| =∑n

exp

(1

i~(t− t0)En

)|n〉〈n|. (4.67)

Ne segue che S(t, t0) e diagonale in questa base:

〈i|S(t, t0)|j〉 = exp

(1

i~(t− t0)Ei

)δij . (4.68)

Di conseguenza se il sistema si trova in un autostato di energia ci rimane. Sia infatti |ψ(t0)〉 = |k〉:

|ψ(t)〉 = S(t, t0)|k〉 = exp

(1

i~(t− t0)Ek

)|k〉 (4.69)

che differisce dallo stato iniziale per una fase. Naturalmente, questa e la verifica esplicita della conser-vazione dell’energia quando vi e invarianza per traslazioni temporali, da cui siamo partiti per costruirel’operatore di evoluzione temporale stesso.

Per uno stato qualsiasi si ha:

|ψ(t)〉 =∑n

exp

(1

i~(t− t0)En

)|n〉〈n|ψ(t0)〉 =

∑n

cn(t0) exp

(1

i~(t− t0)En

)|n〉 =

∑n

cn(t)|n〉 (4.70)

e inoltre

Pn(t) = |cn(t)|2 = |cn(t0)|2, (4.71)

quindi la probabilita che una misura riveli il sistema in uno qualunque degli autostati di energia nondipende dal tempo.

Questo implica immediatamente che il valor medio di qualunque operatore A in un autostato di energianon dipende dal tempo; questa conclusione pero vale solo nel caso di spettro discreto. Infatti il valormedio di A e

〈ψ|A|ψ〉 =∑n,m

〈ψ|n〉〈n|A|m〉〈m|ψ〉 =∑n,m

c∗n(t)〈n|A|m〉cm(t). (4.72)

4.3 Evoluzione temporale alla Schrodinger e alla Heisenberg 71

Se |ψ〉 e un autostato dell’energia,

〈n|A|n〉 = 〈n(t0)| exp

(− 1

i~(t− t0)En

)A exp

(1

i~(t− t0)En

)|n(t0)〉 = 〈n(t0)|A|n(t0)〉. (4.73)

Per questa ragione gli autostati dell’energia sono detti stati stazionari. Nel caso di spettro continuo none possible pero raggiungere questa conclusione: infatti in tal caso, come abbiamo visto nel paragrafo 3.3gli elementi di matrice degli operatori in generale sono ben definiti solo fra stati diversi, nel senso delladistribuzioni. Quindi nel caso di spettro continuo possiamo solo affermare che

〈n′|A|n〉 = exp

(1

i~(t− t0)(En′ − En)

)〈n′(t0)|A|n(t0)〉, (4.74)

ma l’elemento di matrice e in generale mal definito se n′ = n e quindi nulla si puo dire. Vedremoun esempio di questa situazione nello studio della dipendenza dal tempo dell’operatore posizione negliautostati dell’energia per una particella libera, nel paragrafo 5.

4.3 Evoluzione temporale alla Schrodinger e alla Heisenberg

Mentre in meccanica classica lo stato di un sistema e specificato dai valori di alcune delle osservabili chelo caratterizzano (ad esempio la posizione e l’impulso, in un formalismo hamiltoniano), abbiamo vistocome in meccanica quantistica sia necessario distinguere lo stato di un sistema (dato dal suo ket di stato)dai valori delle sue osservabili (che sono i risultati delle misure che possiamo eseguire su di esso, note soloprobabilisticamente). Questo significa che mentre in meccanica classica vi e un unico modo di descriverel’evoluzione temporale di un sistema, attraverso la dipendenza dal tempo dei valori delle osservabili(posizione ed impulso), quantisticamente vi sono due possibilita. La prima e di supporre, come abbiamofatto finora, che lo stato dipenda dal tempo, e ci dica come cambiano nel tempo le probabilta dei risultatidelle misure di osservabili. La seconda e di supporre che siano gli operatori associati ad osservabili adipendere dal tempo, e che gli stati restino fissi. La prima formulazione dell’evoluzione temporale, cheabbiamo considerato finora, e detta formulazione (o rappresentazione) di Schrodinger, mentre la seconda,che ora introduciamo, e detta formulazione (o rappresentazione) di Heisenberg.

4.3.1 La rappresentazione di Heisenberg

La rappresentazione di Heisenberg e basata sull’idea di rendere dipendenti dal tempo gli operatori: quindi,dato un operatore associato ad un’osservabile, la sua dipendenza dal tempo si puo ottenere attraversol’azione dell’evoluzione temporale, vista come una trasformazione unitaria dell’operatore. Come abbiamovisto nella sezione 2.1.3, sotto una trasformazione unitaria un operatore si trasforma per azione aggiuntaEq. (2.25). Dato un certo operatore A al tempo t0 il suo evoluto temporale a qualunque altro tempo haquindi la forma

AH(t) = SH−1(t, t0)AH(t0)SH(t, t0), (4.75)

dove l’indice H su tutti gli operatori ci ricorda che stiamo cercando una nuova forma, diversa da quellaconsiderata finora sia degli operatori che della dipendenza temporale. E facile vedere che la dipendenzatemporale degli elementi di matrice di A e la stessa di quella alla Schrodinger studiata finora se facciamol’ipotesi che

AH(t0) = AS ; |ϕH〉 = |ϕS(t0)〉 SH(t, t0) = S(t, t0), (4.76)

cioe:

• che l’operatore al tempo iniziale sia l’operatore alla Schrodinger, ossia l’operatore indipendente daltempo considerato finora;

• che gli stati alla Heisenberg in cui si calcolano gli elementi di matrice siano indipendenti dal tempo,ed eguali agli stati alla Schrodinger considerati finora, ma presi al tempo iniziale t = t0;


• che l’operatore di evoluzione temporale sia identico a quello introdotto nella sezione precedente.

Abbiamo infatti che, usando il formalismo di Schrodinger della sezione 4.2,

〈ψ|A|ϕ(t)〉 = 〈ψS(t)|A|ϕS(t)〉 = 〈ψS(t0)|S−1(t, t0)AS(t, t0)|ϕS(t0)〉. (4.77)

D’altra parte, la legge di evoluzione alla Heisenberg degli operatori Eq. (4.75) con le identificazioniEq. (4.76) implica che

〈ψ(t)|A|ϕ(t)〉 = 〈ψ(t0)|S−1(t, t0)AS(t, t0)|ϕ(t0)〉, (4.78)

che manifestamente coincide con la Eq. (4.77).Piu in generale, vediamo che la legge di evoluzione alla Heisenberg degli operatori Eq. (4.75), con le

identificazioni Eq. (4.76), fornisce le stesse predizioni delle leggi di evoluzione temporale alla Schrodingerdella sezione precedente per il risultato di qualunque misura. In rappresentazione di Schrodinger, l’ampiez-za di probabilita, per un sistema che si trova nello stato |ψS(t0)〉 al tempo t0, di rivelare il sistemanell’autostato |n〉 associato all’autovalore λn dell’operatore A,

A|n〉 = λn|n〉 (4.79)

e

an(t) = 〈n|S(t, t0)|ψ(t0)〉. (4.80)

In rappresentazione di Heisenberg lo stato non dipende piu dal tempo, ma se vale la Eq. (4.75), sonogli autostati |nH(t)〉 di AH(t) a dipendere dal tempo. Notare che ciononostante gli autovalori non nedipendono, visto che gli operatori A(t) a tutti i tempi t sono tutti unitariamente equivalenti fra di loro(si ricordino le Eq. (2.26-2.27)). Si ha

AH(t)|nH(t)〉 = λn|nH(t)〉, (4.81)

che, sfruttando la Eq. (4.75), implica

S−1(t, t0)AS(t, t0)|nH(t)〉 = λn|nH(t)〉, (4.82)

ovvero

A(t0)S(t, t0)|nH(t)〉 = λnS(t, t0)|nH(t)〉. (4.83)

Pertanto, gli stati S(t, t0)|nH(t)〉 coincidono con gli autostati di A al tempo t0, ossia, se A(t0) = A, congli stati |n〉 Eq. (4.79):

|n〉 = |nH(t0)〉 = S(t, t0)|nH(t)〉, (4.84)

ovvero

|nH(t)〉 = S−1(t, t0)|n〉. (4.85)

L’ampiezza di probabilita di una misura che rivela il sistema nello stato associato all’autovalore λn equindi

〈nH(t)|ψ〉 = 〈n|S(t, t0)|ψ〉, (4.86)

che manifestamente coincide con la Eq. (4.80). Visto che le ampiezze di probabilita dei risultati di misureesprimono il contenuto predittivo della meccanica quantistica, ne concludiamo che le formulazioni allaSchrodinger ed alla Heisenberg delle leggi di evoluzione temporale sono del tutto equivalenti.


4.3.2 Leggi del moto alla Heisenberg

Analogamente a quanto fatto in rappresentazione di Schrodinger, vogliamo ora scrivere le leggi del motoalla Heisenberg sotto forma di equazioni differenziali. Visto che in rappresentazione di Heisenberg sonogli operatori, e non gli stati, a dipendere dal tempo, l’equazione di Schrodinger Eq. (4.36) per gli stati erimpiazzata da un’equazione per gli operatori.

Utilizzando la legge Eq. (4.75), che esprime la dipendenza temporale degli operatori alla Heisenbergattraverso l’operatore di evoluzione temporale, l’identificazione Eq. (4.76) tra operatori alla Schrodinger aalla Heisenberg, e l’Equazione di Schrodinger Eq. (4.43) soddisfatta dall’operatore di evoluzione temporale,troviamo che

d

dtAH(t) =

d

dt

(S−1(t, t0)ASS(t, t0)

)=

=∂S−1(t, t0)

∂tAS(t, t0)S(t, t0) + S−1(t, t0)

∂AS∂t

S(t, t0) + S−1(t, t0)AS∂S(t, t0)

∂t.

(4.87)

Notiamo che il primo e l’ultimo termine contengono la dipendenza dal tempo dell’operatore A dovuta allasua evoluzione temporale alla Heisenberg Eq. (4.75), mentre il secondo contiene una eventuale dipendenzaparametrica dal tempo gia presente nell’operatore alla Schrodinger. Infatti, la legge di evoluzione allaHeisenberg Eq. (4.75) per gli operatori vale per qualunque operatore: sia quelli che alla Schrodinger nondipendono dal tempo (come per esempio l’impulso), sia per quelli che ne dipendono (come per esempiouna hamiltoniana alla Schrodinger con un potenziale che dipende dal tempo).

L’equazione di Schrodinger (4.43) fornisce un’espressione per ∂S∂t , ed inoltre implica che(

i~∂S

∂t

)†= (HS)†, (4.88)

da cui, sfruttando l’unitarieta di S e l’hermiticita di H,

−i~∂S−1

∂t= S−1H. (4.89)

Sostituendo quest’ultima espressione e la Eq. (4.43) nella legge del moto per gli operatori (4.87)otteniamo

d

dtAH(t) = − 1

i~S(t, t0)−1H(t)ASS(t, t0) + S−1(t, t0)

∂AS∂t

S(t, t0) + S−1(t, t0)ASH(t)

i~S(t, t0), (4.90)

e quindi, usando di nuovo la Eq. (4.75),

d

dtAH(t) = − 1

i~S(t, t0)−1H(t)S(t, t0)AH(t) + S−1(t, t0)

∂AS∂t

S(t, t0) +AH(t)S−1(t, t0)H(t)

i~S(t, t0)

(4.91)

che possiamo riscrivere come

d

dtAH(t) =

1

i~[AH(t), HH(t)] +

∂AH(t)

∂t, (4.92)

dove abbiamo posto, in accordo con la Eq. (4.75) (l’hamiltoniana e un operatore come gli altri)

HH(t) = S(t, t0)−1HS(t)S(t, t0). (4.93)

Notiamo che l’eventuale dipendenza temporale sia dell’hamiltoniana HS che dell’operatore AS allaSchrodinger e una dipendenza parametrica: HS = HS(pS , qS ; t), con pS e qS indipendenti dal tempo, econ un’eventuale dipendenza dal tempo contenuta dei parametri del sistema (per esempio, nei coefficientiche caratterizzano il potenziale). In caso di dipendenza parametrica, AS = A(t) e le Eq. (4.75-4.76)andrebbero piu propriamente riscritte come

AH(pH(t), qH(t); t) = SH−1(t, t0)AH(t0; t)SH(t, t0), AH(t0; t) = AS(t), (4.94)


che nel caso particolare dell’hamiltoniana coincide con la Eq. (4.93). La derivata parziale nell’ultimotermine a membro destro della Eq. (4.92) indica la derivata rispetto al tempo per fissi p e q. Naturalmente,se le hamiltoniane a tempi diversi commutano (e quindi in particolare se il sistema e invariante pertraslazioni temporali) HH(t) = HS(t).

Per i singoli elementi di matrice dell’operatore abbiamo invece:

d

dtAϕψ(t) =

d

dt〈ϕS(t)|AS |ψS(t)〉 (4.95)

=d

dt〈ϕH |AH(t)|ψH〉 (4.96)

= 〈ϕH |1

i~[AH(t), HH(t)]|ψH〉+ 〈ϕH |

∂AH(t)

∂t|ψH〉 (4.97)

= 〈ϕS(t)| 1i~

[AS , H]|ψS(t)〉+ 〈ϕS(t)|∂AS∂t|ψS(t)〉. (4.98)

4.3.3 Leggi di conservazione: il teorema di Noether in meccanica quantistica

Le equazioni (4.95-4.98) mostrano esplicitamente che tutti gli elementi di matrice di un operatore checommuta con l’hamiltoniana (e non dipende dal tempo esplicitamente) si conservano. D’altra parte, ilcommutatore del generatore di una trasformazione con un operatore fornisce la trasformazione dell’op-eratore stesso: si ricordi la Eq. (3.70). Quindi un operatore commuta con l’hamiltoniana se e solo se latrasformazione da esso generata lascia l’hamiltoniana invariata. In tal caso, lo spettro dell’operatore siconserva. Concludiamo percio che anche nel caso quantistico ad un’invarianza della dinamica — nel nos-tro caso un’invarianza dell’hamiltoniana — corrisponde una quantita conservata: condizione necessariae sufficiente affinche l’evoluzione temporale preservi l’autovalore di un operatore e che esso commuti conl’hamiltoniana.

Questo e il risultato la cui dimostrazione (si ricordi la Sezione 3.2.4) ha motivato la costruzione deglioperatori associati ad osservabili. Ora vediamo che esso e immediata conseguenza delle leggi del moto allaHeisenberg. Cio esprime, nella forma piu generale e compatta, l’insieme delle leggi di conservazione cheabbiamo gia visto, nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo nel paragrafo 3.2, e nel paragrafo 4.1nel caso delle traslazioni temporali.

4.3.4 Teorema di Ehrenfest e transizione classico-quantistico

Le equazioni del moto per gli operatori in rappresentazione di Heisenberg sono strettamente legate alleequazioni del moto classiche. Consideriamo in particolare le equazioni del moto per gli operatori posizioneed impulso alla Heisenerg:

dqHdt

=1

i~[qH , HH ] (4.99)

dpHdt

=1

i~[pH , HH ]. (4.100)

Il commutatore tra q ed una funzione f(p), o tra p ed una funzione f(q), si puo calcolare ricordandoche una funzione di un operatore e definita dalla sua serie di Taylor (o di Laurent):

[q, f(p)] =

[q,∑k

fkpk

]=∑k

fk[q, ppk−1] =∑k

fkp[q, pk−1] +

∑k

fk[q, p]pk−1 (4.101)

=∑k

fkp[q, pk−1] + i~

∑k

fkpk−1 =

∑k

fkp(p[q, pk−2] + [q, p]pk−2

)+ i~

∑k

fkpk−1 (4.102)

=∑k

fkp2[q, pk−2] + 2i~

∑k

fkpk−1 = · · · = i~

∑k

fkkpk−1. (4.103)

Analogamente

[p, f(q)] = −i~∑k

fkkqk−1. (4.104)


Ne segue che

[q, f(p)] = i~∂f(p)

∂p(4.105)

[p, f(q)] = −i~∂f(q)

∂q(4.106)

Possiamo sfruttare le Eq. (4.105-4.106) per determinare le equazioni del moto (4.99-4.100) per unahamiltoniana della forma Eq. (4.37):

dqHdt

=∂H

∂p=pHm

(4.107)

dpHdt

= −∂H∂q

= −∂V (q)

∂q, (4.108)

che coincidono con le equazioni classiche del moto nella forma di Hamilton, con la sostituzione dellevariabili canoniche classiche con i corrispondenti operatori quantistici.

Nel caso di potenziali che dipendono anche dalla velocita l’argomento in generale non vale: la funzioneV (p, q) in generale dipende dall’ordinamento degli operatori p e q. Tuttavia, se

V (q, p) = pf(q) + f(q)p (4.109)

le equazioni del moto continuano ad avere la stessa forma delle equazioni classiche, infatti

dq

dt=

p

m+ 2f(q) =

p

m+∂V (q, p)

∂p(4.110)

dp

dt= −

(p∂f(q)

∂q+∂f(q)

∂qp

). (4.111)

Le equazioni del moto Eq. (4.107-4.108) implicano le equazioni per i valori medi

d

dt〈q〉 =

⟨∂H

∂p

⟩(4.112)

d

dt〈p〉 =

⟨− ∂H

∂q

⟩, (4.113)

che evidentemente valgono indipendentemente dalla scelta della rappresentazione, visto che i valori medidegli operatori sono osservabili fisiche, la cui dipendenza temporale e univocamente predetta dalla teoria.

Le Eq. (4.112-4.113) sono note come teorema di Ehrenfest. Esso afferma che i valori medi deglioperatori quantistici soddisfano le leggi del moto classiche. La meccanica classica emerge quindi dallameccanica quantistica nel limite in cui l’indeterminazione, ossia la deviazione standard dei risultati diuna misura, e piccola rispetto al tipico valore della misura stessa. Stimeremo questa deviazione standardnel prossimo capitolo.

4.3.5 Leggi del moto, parentesi di Poisson e commutatori

La legge di evoluzione temporale di una osservabile classica A(q, p) e data da

dA

dt=∂A

∂qq +

∂A

∂pp+

∂A

∂t(4.114)

=∂A

∂q

∂H

∂p− ∂A

∂p

∂H

∂q+∂A

∂t(4.115)

= A,H+∂A

∂t, (4.116)


dove A,H e la parentesi di Poisson delle funzioni A e H. Vediamo cosı come le leggi del moto quantis-tiche nella forma di Heisenberg Eq. (4.92) si possano ottenere da quelle classiche sostituendo le parentesidi Poisson con un commutatore, a meno di un fattore i~. Questo dimostra esplicitamente quanto af-fermato al termine della sezione 4.1.3, e cioe che l’evoluzione temporale quantistica si ottiene da quellaclassica, rimpiazzando la trasformazione canonica generata dalle parentesi di Poisson con una traslazionetemporale generata dalle parentesi di commutazione.

Parte III

Meccanica quantistica in unadimensione

Capitolo 5

La particella unidimensionale libera

Studieremo ora gli stati fisici, ed in particolare lo spettro dell’hamiltoniana, per diversi sistemi unidimen-sionali nello spazio delle coordinate, con hamiltoniane della forma H = T + V Eq. (4.37). Finora abbiamoindicato l’operatore posizione con q, sottintendendo che il suo autovalore q potesse corrispondere al val-ore di una coordinata Lagrangiana qualunque. In questo capitolo faremo esplicito rifermiento a sistemidescritti da una coordinata cartesiana, che chiameremo x: l’operatore p ne generera le traslazioni, ed ilcommutatore canonico sara quindi

[p, x] = −i~. (5.1)

Cominciamo dal caso piu semplice, in cui il potenziale e nullo, V = 0 dimodoche

H =p2

2m: (5.2)

la particella libera.

5.1 Autostati dell’hamiltoniana

Gli autostati dell’hamiltoniana per una particella libera possono essere scelti come autostati dell’operatoreimpulso, visto che [H, p]=0: se

p|k〉 = ~k|k〉 (5.3)

si ha quindi

H|k〉 = Ek|k〉 (5.4)

Ek =~2k2

2m. (5.5)

Notiamo che vi e una coppia di autostati dell’impulso, |±k〉, associati ad ogni autovalore Ek dell’energia:si dice in tal caso che lo spettro e degenere (doppiamente degenere). Questo implica in particolare chequalunque combinazione lineare

|ψE〉 = c1|k〉+ c2| − k〉 (5.6)

di questi due stati e ancora un autostato associato allo stesso autovalore Ek. Poiche una delle duecostanti ci puo essere fissata per normalizzazione (essendo al solito inosservabile la fase globale dellafunzione d’onda), in questo caso di doppia degenerazione il piu generale autostato di fissa energia dipendeda un parametro libero.

Nella base delle coordinate l’equazione agli autovalori

〈q|H|k〉 = Ek〈q|k〉 (5.7)

80 La particella unidimensionale libera

ha la forma esplicita

− ~2

2m

∂2

∂x2ψk(x) = Ekψk(x), (5.8)

e le ψk(x) possono essere scelte come onde piane

ψk(x) =1√2πeikx, (5.9)

che soddisfano la condizione di normalizzazione impropria

〈k|k′〉 = δ(k − k′). (5.10)

5.1.1 Evoluzione temporale degli stati

La dipendenza dal tempo degli autostati dell’hamiltoniana si determina immediatamente usando laEq. (4.69) ed e data da

〈x|k; t〉 = 〈x|e 1i~ Ht|k; t0 = 0〉 = e

1i~Ekt〈x|k; 0〉 =

1√2πei(kx−Ek~ t

)(5.11)

che spesso viene riscritta come

〈x|k; t〉 =1√2πei(kx−ωkt

), (5.12)

dove si e definita la pulsazione

ωk =Ek~, (5.13)

e per un’onda piana

ωk =~k2

2m. (5.14)

Gli autostati evolvono nel tempo come le onde piane libere dell’elettrodinamica. Contrariamentealle onde elettromagnetiche, la relazione tra la frequenza di oscillazione nel tempo e la frequenza dioscillazione nello spazio e di tipo quadratico, mentre nel caso dell’ottica la relazione e di proporzionalitadiretta. L’equazione (5.14) viene chiamata relazione di dispersione non relativistica, in quanto e basatasulla relazione Eq. (5.5) tra energia cinetica ed impulso per la particella non relativistica libera.

5.1.2 Equazioni del moto per posizione ed impulso

In rappresentazione di Heisenberg, lo stato di un sistema di particella libera e l’onda piana Eq. (5.9), atutti i tempi, mentre gli operatori dipendono dal tempo. Come abbiamo visto, la dipendenza dal tempodegli operatori posizione ed impulso soddisfa equazioni del moto che coincidono con quelle classiche. Nesegue che gli operatori pH(t), xH(t) dipendono dal tempo secondo le leggi del moto classiche:

pH(t) = pH(t0) = pS (5.15)

xH(t) = xH(t0) + (t− t0)pHm

= xS + (t− t0)pSm. (5.16)

E istruttivo chiedersi come lo stesso risultato si possa ritrovare utilizzando la rappresentazione diSchrodinger: come vedremo, si trova lo stesso risultato, ma in modo piu laborioso. Per l’operatoreimpulso abbiamo

〈k′; t|p|k; t〉 = ~k〈k′; t|k; t〉 = ~k∫dx 〈k′; t|x〉〈x|k; t〉 = ~k

∫dx

2πexp i[(k − k′)x− (ωk − ω′k)t] (5.17)

= ~ke−i(ωk−ω′k)t

∫dx

2πei(k−k

′)x = ~ke−i(ωk−ω′k)tδ(k − k′) (5.18)

= ~kδ(k − k′), (5.19)

5.1 Autostati dell’hamiltoniana 81

dove nell’ultimo passaggio abbiamo notato che se k = k′ allora Ek = Ek′ . Quindi gli elementi di matricedell’operatore impulso non dipendono dal tempo

〈k′; t|p|k; t〉 = ~kδ(k − k′). (5.20)

Studiamo ora la dipendenza temporale degli elementi di matrice dell’operatore posizione x

〈k′; t|x|k; t〉 =

∫dx 〈k′; t|x|x〉〈x|k; t〉 =

∫dx x〈k′; t|x〉〈x|k; t〉 (5.21)

=

∫dx

2πx exp i[(k − k′)x− (ωk − ω′k)t]. (5.22)

Ora osserviamo che

1

i

d

dkei[(k−k

′)x−(ωk−ω′k)t] = xei[(k−k′)x−(ωk−ω′k)t] +

1

i(−it)dωk

dkei[(k−k

′)x−(ωk−ω′k)t] (5.23)

= xei[(k−k′)x−(ωk−ω′k)t] − ~kt

mei[(k−k

′)x−(ωk−ω′k)t], (5.24)

e di conseguenza

xei[(k−k′)x−(ωk−ω′k)t] =

(1

i

d

dk+

~ktm

)ei[(k−k

′)x−(ωk−ω′k)t]. (5.25)

Possiamo quindi riscrivere la Eq. (5.22) come

〈k′; t|x|k; t〉 =

∫dx

2π

(1

i

d

dk+

~ktm

)ei[(k−k

′)x−(ωk−ω′k)t] = −i ddkδ(k − k′)ei(ωk−ω

′k)t +

~ktmδ(k − k′),

(5.26)

cioe

〈k′; t|x|k; t〉 = −i ddkδ(k − k′) +

~ktmδ(k − k′). (5.27)

Pertanto gli elementi di matrice dell’operatore posizione soddisfano

〈k′|x|k〉 = 〈k′|xS |k〉+t

m〈k′|pS |k〉, (5.28)

che e lo stesso risultato che avevamo trovato in rappresentazione di Heisenberg. Notiamo che, comeavevamo osservato nella discussione degli stati stazionari nel paragrafo 4.2, quando, come in questo caso,lo spettro di energia e continuoo, non possiamo concludere che l’elemento di matrice diagonale deglioperatori in uno stato stazionario e indipendente dal tempo, perche l’elemento di matrice diagonale none ben definito, e quindi possiamo solo concludere che l’elemento di matrice tra due autostati dell’energiadipende daql tempo, come nel caso dell’Eq. (5.28)

5.1.3 Dipendenza dal tempo dell’indeterminazione

Una immediata conseguenza di queste leggi del moto e il fatto forse sorprendente che anche per unaparticella libera, quindi non soggetta a forze, gli operatori posizione alla Heisenberg a tempi diversi noncommutano fra loro:

[xH(t), xH(t′)] =(t− t′)m

[xS , xS ] =i~(t− t′)

m. (5.29)

Quindi se il sistema e preparato in un autostato della posizione al tempo t0, esso non e piu in un autostatodella posizione a tempi successivi.


Infatti, il principio di indeterminazione, assieme al commutatore Eq. (5.29), implica

∆2ψx(t)∆2

ψx(t′) ≥ ~2(t− t′)2

4m2. (5.30)

Cio significa che, per un sistema non soggetto a forze, se si effettua una misura di posizione con unacerta indeterminazione, la dispersione dei risultati di una seconda misura di posizione fatta ad un temposuccessivo e tanto piu grande quanto piu tempo e passato tra le due misure.

Questo si puo capire fisicamente nel modo seguente: se al tempo t si effettua una misura di posizione

con indeterminazione ∆2ψx(t), allora l’impulso ha indeterminazione ∆2

ψp(t) ≥ ~2

41

∆2ψx(t)

. Ma visto che per

il teorema di Ehrenfest Eq. (4.112-4.113) le leggi del moto classiche valgono in media, la dispersione divalori dell’impulso implica una dispersione di valori di posizione che cresce nel tempo secondo la leggedel moto classica. Renderemo questo argomento piu quantitativo nella Sez. 5.3.2.

5.2 Pacchetti d’onde

Le autofunzioni dell’impulso, e quindi le autofunzioni dell’hamiltoniana di particella libera, ossia le ondepiane Eq. (3.97), sono stati di definito impulso e quindi posizione completamente indeterminata, come sivede notando che la densita di probabilita per una misura di posizione che se ne ottiene e una costanteindipendente dalla posizione. Tuttavia, in qualunque situazione realistica, l’impulso viene misurato conrisoluzione finita, su sistemi localizzati in una porzione finita di spazio. Una qualunque particella liberarealistica e cioe in uno stato sovrapposizione di autostati dell’impulso: un pacchetto d’onde.

Il piu generale pacchetto d’onde si ottiene costruendo una sovrapposizione di autostati dell’impulso,ciascuno dei quali evolve nel tempo come onda piana:

ψ(x; t) =

∫dk 〈x|k〉〈k|ψ(t)〉 =

∫dk 〈x|k〉〈k|S(t, 0)|ψ(t = 0)〉 =

∫dk

1√2πei(kx−ωkt)ψ(k; t = 0). (5.31)

Sapendo come e fatto lo stato sulla base di autostati dell’impulso al tempo iniziale possiamo calcolare lasua evoluzione per tempi successivi dato che e nota quella dei suoi autostati.

5.2.1 Stati di minima indeterminazione

Ci concentriamo ora su una particolare classe di pacchetti d’onda, cioe quelli di minima indeterminazione,tali da soddisfare, al tempo iniziale t = 0 la condizione

∆2ψx∆2

ψp =~2

4, (5.32)

ossia il minimo valore del prodotto delle indeterminazioni posizione-impulso permesso dal principio diindeterminazione di Heisenberg.

Per costruire uno stato di minima indeterminazione ricordiamo la dimostrazione del principio di in-determinazione presentata nella Sez. 2.2.3: dati due operatori A e B abbiamo ottenuto la relazione diindeterminazione combinando le due disuguaglianze

〈ψ|A2|ψ〉〈ψ|B2|ψ〉 ≥∣∣〈ψ|AB|ψ〉∣∣2 (5.33)∣∣〈ψ|AB|ψ〉∣∣2 ≥ 1

4

∣∣〈ψ|[A,B]|ψ〉∣∣2. (5.34)

Pertanto, identifichiamo

A = ∆p = p− 〈p〉; B = ∆x = x− 〈x〉, (5.35)

e chiediamo che le due disuguaglianze Eq. (5.33-5.34) siano soddisfatte come uguaglianze. Attenzionealla notazione: ∆p e ∆q sono operatori (definiti secondo la Eq. (5.35)). Invece le indeterminazioni ∆2

ψp

5.2 Pacchetti d’onde 83

e ∆2ψq sono dei numeri — si tratta infatti di deviazioni standard di risultati di misure. Con le nostre

definizioni

∆2ψp = 〈ψ| (∆p)2 |ψ〉∆2

ψq = 〈ψ| (∆q)2 |ψ〉.

Cominciamo trovando le condizioni per l’uguaglianza nella disuguaglianza di Schwartz Eq. (5.33).Come nella Sez. 2.2.3, poniamo

A|ψ〉 = |α〉 e B|ψ〉 = |β〉 (5.36)

dimodoche la disuguaglianza ∣∣〈α|β〉∣∣2 ≤ 〈α|α〉〈β|β〉 (5.37)

diventa un’uguaglianza se

|β〉 = z|α〉. (5.38)

Per quanto concerne la Eq. (5.34), ricordiamo che

〈ψ|AB|ψ〉 =1

2〈ψ|A,B|ψ〉+

1

2〈ψ|[A,B]|ψ〉 (5.39)

= Re 〈ψ|AB|ψ〉+ iIm 〈ψ|AB|ψ〉, (5.40)

quindi, affinche la (5.34) sia soddisfatta come uguaglianza, e necessario che

〈ψ|A,B|ψ〉 = Re 〈ψ|AB|ψ〉 = 0, (5.41)

che, utilizzando la Eq. (5.38), implica

Re (z〈ψ|A2|ψ〉) = 0, (5.42)

e quindi

z = iλ (5.43)

con λ reale, visto che 〈ψ|A2|ψ〉 = 〈φ|φ〉, avendo definito |φ〉 = A|ψ〉.Usando la Eq. (5.35), e combinando le Eq. (5.38-5.42) si ha cosı che la condizione necessaria affinche

lo stato |ψ〉 sia di minima indeterminazione e

∆p|ψ〉 = iλ∆q|ψ〉. (5.44)

Nella base delle coordinate, la Eq. (5.44) diventa l’equazione differenziale

〈x|(p− 〈p〉

)|ψ〉 = iλ〈x|

(x− 〈x〉

)|ψ〉. (5.45)

Ponendo

x0 ≡ 〈x〉; p0 ≡ 〈p〉 (5.46)

la Eq. (5.44) diventa

∂ψ(x)

∂x=ip0

~ψ(x)− λ

~(x− x0)ψ(x), (5.47)

la cui soluzione e

ψ(x) = N exp

[ip0x

~− λ

2~(x− x0)2

], (5.48)


dove la condizione iniziale N e fissata per normalizzazione. Quest’ultima e fissata dalla condizione

1 = 〈ψ|ψ〉 =

∫ ∞−∞

dx |N |2e−λ~ (x−x0)2

=

∫ ∞−∞

dx′ |N |2e−λ~x′2

= |N |2√π~λ, (5.49)

da cui

|N | =(λ

π~

) 14

. (5.50)

Concludiamo che lo stato di minima indeterminazione e una gaussiana, centrata in x0 (che determinacosı il valor medio della posizione), di larghezza inversamente proporzionale a λ e modulata da un’ondapiana che determina il valore medio p0 dell’impulso.

5.2.2 Indeterminazione del pacchetto d’onde

Vogliamo ora calcolare l’indeterminazione di posizione ed impulso in questo stato. Calcoliamo quindi∆2ψx = 〈(x − 〈x〉)2〉 e ∆2

ψp = 〈(p − 〈p〉)2〉. Innanzitutto verifichiamo che effettivamente x0 = 〈x〉 ep0 = 〈p〉:

〈x〉 = 〈ψ|x|ψ〉 =

∫ ∞−∞

dx |ψ(x)|2x = |N |2∫ ∞−∞

dx e−λ~ (x−x0)2

x = |N |2∫ ∞−∞

dx′ e−λ~x′2

(x′ + x0) = x0,

(5.51)

dove nell’ultimo passaggio il termine contenente x′ si annulla perche si tratta dell’integrale di una funzionedispari su dominio pari, ed abbiamo usato la condizione di normalizzazione |N |2

∫∞−∞ dx′ e−

λ~x′2

= 1.Analogamente

〈p〉 = 〈ψ|p|ψ〉 =

∫ ∞−∞

dx ψ∗(x)(−i~)∂ψ(x)

∂x=

∫ ∞−∞

dx ψ∗(x)

((−i~)

ip0

~

)ψ(x) (5.52)

+

∫ ∞−∞

dx ψ∗(x)(−i~)

(− λ

2~

)2(x− x0)ψ(x) =

∫ ∞−∞

dx |ψ(x)|2p0 = p0, (5.53)

dove nuovamente il secondo termine e nullo in quanto si tratta dell’integrale di una funzione dispari sudominio pari.

Possiamo ora calcolare le indeterminazioni:

〈ψ|(p− p0)2|ψ〉 =

∫ ∞−∞

dx ψ∗(x)

(− i~ ∂

∂x− p0

)(− i~ ∂

∂x− p0

)ψ(x) (5.54)

=

∫ ∞−∞

dx ψ∗(x)

(− i~ ∂

∂x− p0

)(−i~)

(− λ

~(x− x0)

)ψ(x) (5.55)

= ~λ− λ2

∫ ∞−∞

dx |N |2(x− x0)2e−λ~ (x−x0)2

(5.56)

= ~λ− λ2

∫ ∞−∞

dx′ |N |2x′2e−λ~x′2

=~λ2. (5.57)

L’ultimo integrale e stato calcolato a partire da quello gaussiano differenziando sotto il segno di integrale:∫ ∞−∞

dx x2e−∆x2

=

∫ ∞−∞

dx

(− d

d∆

)e−∆x2

= − d

d∆

∫ ∞−∞

dx e−∆x2

= − d

d∆

√π

∆=

1

2∆

√π

∆(5.58)

Per la posizione abbiamo

〈ψ|(x− x0)2|ψ〉 =

∫ ∞−∞

dx|ψ(x)|2(x− x0)2 =

∫ ∞−∞

dx′ |N |2x′2e−λ~x′2

=~2λ, (5.59)

5.2 Pacchetti d’onde 85

facendo nuovamente uso della Eq. (5.58).Siamo quindi arrivati a stabilire che

∆2p =~λ2

(5.60)

∆2x =~2λ

: (5.61)

di conseguenza, abbiamo confermato che il pacchetto gaussiano che abbiamo trovato e effettivamente unpacchetto di minima indeterminazione, per cui

∆2p∆2x =~2

4. (5.62)

Conviene esprimere λ in termini dell’indeterminazione in posizione usando la Eq. (5.60). Otteniamo cosı

〈x|ψ〉 = ψ(x) = N exp

[(ip0

~x)− 1

4

(x− x0)2

∆2x

], (5.63)

che mostra esplicitamente come l’indeterminazione in posizione ∆2x determini la larghezza della densitadi probabilita di posizione.

5.2.3 Indeterminazione posizione-impulso

Il fatto che la larghezza del pacchetto gaussiano dia l’indeterminazione in posizione e intuitivamentechiaro. Che il suo reciproco determini l’indeterminazione in impulso e di nuovo chiaro ricordando che lafunzione d’onda nello spazio degli impulsi e la trasformata di Fourier della funzione d’onda nello spaziodelle posizioni, si ricordi la Eq. (3.100), e che la trasformata di Fourier di una gaussiana e anch’essa unagaussiana, di larghezza reciproca:

ψ(k) =

∫ ∞−∞

dx√2πe−ikxψ(x) = N

∫ ∞−∞

dx√2π

ei(p0~ −k)x− λ

2~ (x−x0)2

(5.64)

= N ei(k0−k)x0

∫ ∞−∞

dx′√2π

ei(k0−k)x′− λ2~x′2

= N ′e−ikx0e(k0−k)2~

2λ (5.65)

dove

|N ′| =(

~πλ

) 14

. (5.66)

Alternativamente, possiamo ottenere ψ(k) ricordando che abbiamo ottenuto ψ(x) come soluzione del-l’equazione differenziale ottenuta scrivendo l’Eq. (5.44) nella base delle posizioni. Ma se invece scriviamola stessa equazione nella base degli impulsi abbiamo

〈k|(p− 〈p〉

)|ψ〉 = iλ〈k|

(x− 〈x〉

)|ψ〉, (5.67)

ossia, ponendo di nuovo 〈x〉 = x0 e 〈p〉 = p0,(− i~ ∂

∂k+ ~x0

)ψ(k) =

i~2

λ(k − k0)ψ(k), (5.68)

che ha per soluzione

ψ(k) = N ′ exp

[− ikx0 −

~2λ

(k − k0)2

], (5.69)

in accordo con la Eq. (5.65) trovata prima.


Il fatto che la trasformata di Fourier di un pacchetto d’onde localizzato in un punto abbia larghezzareciproca di quella del pacchetto originario e qualitativamente vero per qualunque pacchetto. Per capirlo,consideriamo la trasformata di Fourier

ψ(k) =

∫ ∞−∞

dx eikxψ(x) =

∫ ∞−∞

dx(cos kx+ i sin kx)ψ(x) (5.70)

di una funzione ψ(x) che supponiamo localizzata attorno ad un punto x = 0 (si veda la Fig. 5.1). L’ondapiana ha una parte reale ed una parte immaginaria, che oscillano in x con periodo 2π

k . Se la frequenzadelle oscillazioni e elevata rispetto alla scala della variazione della ψ(x), cioe se la ψ(x) e circa costantelungo un periodo, allora l’integrale in x si annulla. Infatti, la media del seno o del coseno su un periodo ezero. Se il seno od il coseno sono modulati da una funzione circa costante, l’integrale e circa zero. Vistoche il periodo di oscillazione e 2π

k , se la scala di variazione della ψ(x) e ∆x, ne concludiamo che ψ(k) ≈ 0se k 2π

∆x . Quindi, la ψ(k) e localizzata intorno a k = 0, con larghezza circa proporzionale al reciprocodella larghezza della ψ(x). Il coefficiente di proporzionalita esatto dipende dalla forma esplicita dellafunzione.

Figura 5.1: Onda piana rapidamente oscillante rispetto alla scala della variazione della funzione d’ondaψ(x).

L’argomento e facilmente generalizzabile al caso di funzioni d’onda ψ(x) e ψ(k) localizzate attorno ax0 e k0 rispettivamente, sfruttando l’invarianza per traslazioni sia rispetto a x che rispetto a k.

5.3 Moto di un pacchetto d’onde

In un pacchetto d’onda generalizzato la dipendenza dal tempo e data da

ψ(x; t) =

∫dk ei(kx−ωk(k)(t−t0))ψ(k; t0), (5.71)

ossia dalla dipendenza dal tempo dei fattori di fase che compaiono nello sviluppo in autostati di energia,ciascuno dei quali oscilla nel tempo con pulsazione ωk.

5.3.1 Velocita di fase e velocita di gruppo

Ciascuno degli autostati di energia di cui il pacchetto e sovrapposizione si muove nel tempo con impulsok e velocita di fase definita da:

vk =k

m. (5.72)

5.3 Moto di un pacchetto d’onde 87

Tuttavia, il pacchetto puo essere considerato come un oggetto singolo, che si muove con un’unica velocita,detta velocita di gruppo, che identifichiamo con la velocita con cui si sposta il valor medio (che possiamointerpretare come il “centro”) del pacchetto:

vg =d

dt〈x〉 . (5.73)

La velocita di gruppo puo essere determinata facilmente ricordando che, come visto nella Sez. 4.3, glioperatori canonici alla Heisenberg x e p soddisfano le leggi del moto classiche, ovvero

pH(t) = pS , (5.74)

xH(t) = xS +t

mpS . (5.75)

Ne segue che

〈x(t)〉 = 〈ψ|xH |ψ〉 = 〈ψ|xS |ψ〉+ 〈ψ| tmpS |ψ〉 = x0 +

~k0

mt (5.76)

〈p(t)〉 = 〈ψ|pH |ψ〉 = ~k0, (5.77)

e quindi

vg =~k0

m. (5.78)

5.3.2 Allargamento di un pacchetto d’onde

Abbiamo visto nella Sez. 5.1.3 che gli operatori posizione alla Heisenberg a tempi diversi non commutano,e che cio implica che, oltre allo spostamento del centro del pacchetto, si assiste in generale anche ad un suoallargamento. Vogliamo ora determinare esattamente il tasso di allargamento del pacchetto (anziche solouna maggiorazione su di esso), sia in generale che per i pacchetti gaussiani. Data la forma esplicita dellafunzione d’onda al tempo iniziale, la Eq. (5.71) permette di determinarne la forma a tutti i tempi, chepuo essere utilizzata per calcolare l’indeterminazione. Risulta tuttavia piu generale ed efficiente utilizzarela rappresentazione di Heisenberg per calcolare

∆2p(t) = 〈p2H(t)〉 − 〈pH(t)〉2 (5.79)

∆2x(t) = 〈x2H(t)〉 − 〈xH(t)〉2. (5.80)

Utilizzando le equazioni del moto (5.75-5.74) troviamo immediatamente che

∆2p(t) = 〈p2S〉 − 〈pS〉2 = ∆2p(0) (5.81)

cioe l’indeterminazione in impulso non dipende dal tempo. Questa e una conseguenza del fatto chel’operatore impulso commuta con l’hamiltoniana, e quindi si conserva: il potenziale non dipende dallaposizione, e quindi il sistema e invariante per traslazioni.

L’indeterminazione in posizione dipende dal tempo come

∆2x(t) = 〈(xS +

t

mpS

)2

〉 − 〈xS +t

mpS〉2

= 〈x2S〉 − 〈xS〉2 +

t2

m2

(〈p2S〉 − 〈pS〉2

)+

t

m(〈xS pS + pS xS〉 − 2〈xS〉〈pS〉) (5.82)

= ∆2x(0) +t2

m2∆2p+

t

m(〈∆xS∆pS + ∆pS∆xS〉) , (5.83)

dove ∆2x(0) e ∆2p sono le indeterminazioni in posizione ed impulso al tempo iniziale (quest’ultima pariall’indeterminazione in impulso a qualunque tempo, secondo la Eq. (5.81)), e ∆xS e ∆pS sono gli operatoridefiniti nella Eq. (5.35). Si vede quindi che, al crescere di t in modulo, l’indeterminazione in posizione


aumenta, e per grandi t cresce quadraticamente. Notiamo che mentre t→∞ il termine quadratico dominae quindi l’indeterminazione cresce sempre, per piccoli tempi potrebbe dominare il termine lineare in t, edin tal caso l’indeterminazione puo anche diminuire, visto che possiamo sempre considerare intervalli ditempo sia positivi che negativi.

Consideriamo ora il caso particolare di un pacchetto gaussiano Eq. (5.48). Osserviamo che la con-dizione Eq. (5.41), avendo identificato gli operatori A e B con ∆p e ∆x rispettivamente, secondo laEq. (5.35), implica

〈∆p∆x+ ∆x∆p〉 = 0. (5.84)

Possiamo verificarlo esplicitamente:

〈xS pS + pS xS〉 = 2Re 〈xS pS〉, (5.85)

ma ricordiamo che il ket di stato per un pacchetto gaussiano soddisfa la condizione Eq. (5.44), che, conle definizioni Eq. (5.46) e usando la Eq. (5.60) ha la forma

p|ψ〉 = p0|ψ〉+ i~

2∆2x(xS − x0)|ψ〉. (5.86)

Di conseguenza

2Re 〈ψ|xS pS |ψ〉 = 2Re

(p0〈ψ|xS |ψ〉+ i

~2∆2x

〈ψ|xS(xS − x0)|ψ〉)

= 2x0p0. (5.87)

Quindi il termine lineare in t nella Eq. (5.82) si annulla, e per un pacchetto gaussiano abbiamo

∆2x(t) = ∆2x(0) +t2

m2∆2p. (5.88)

Quindi il pacchetto e di minima indeterminazione esclusivamente al tempo t = 0, mentre a tutti glialtri tempi l’indeterminazione e maggiore. Il secondo termine a membro destro della Eq. (5.88) puo essereinterpretato come un termine di diffusione: se al tempo t = 0 l’impulso e indeterminato di ∆p, allora lavelocita e indeterminata di ∆p

m , e quindi in assenza di forze (e quindi per moto uniforme) la posizione finale

e indeterminata di t∆pm . L’incertezza quadratica sulla posizione e percio data dalla somma in quadratura

di tale incertezza, e dell’incertezza sulla posizione iniziale.Notiamo inoltre che, usando la condizione di minima indeterminazione al tempo iniziale, possiamo

riscrivere l’Eq. (5.88) come

∆2x(t) = ∆2x(0) +~2t2

4m2∆2x(0)(5.89)

Ma ricordando che il principio di indeterminazione applicato a misure di posizione a tempi diversiEq. (5.29) implica

∆2x(t) ≥ ~2t2

4m2∆2x(0)(5.90)

vediamo che per t grande l’indeterminazione del pacchetto gaussiano cresce, ma con il minimo valorecompatibile con la Eq. (5.30).

5.3.3 L’ordine di grandezza degli effetti quantistici

Possiamo chiederci quanto questi effetti di indeterminazione ed allargamento siano rilevanti in situazionirealistiche. La relazione tra indeterminazione in posizione ed impulso e fissato dal valore della costante~.

In contesti in cui gli effetti quantistici sono rilevanti si usano solitamente unita di misura tipiche dellafisica atomica o nucleare. Le energie si misurano in elettronvolt (eV): 1 eV e l’energia cinetica acquisita

5.3 Moto di un pacchetto d’onde 89

da un elettrone sottoposto ad una differenza di potenziale di 1 Volt. Le distanze vengono misurate inFermi (Fm), che e dell’ordine di grandezza del raggio di un protone. In questo contesto e convenienteutilizzare la stessa unita di misura per masse, energie, ed impulsi, utilizzando la velocita della luce

c = 3 · 1010 cm s−1 (5.91)

come fattore di conversione. La relazione tra queste unita di misura per energia e lunghezza e le consueteunita macroscopiche e

1 eV = 1.6 · 10−19J = 1.8 · 10−36 kg c2, (5.92)

(infatti una massa per una velocita al quadrato ha le dimensioni di un’energia), mentre

1 Fm = 10−13 cm. (5.93)

La conversione tra lunghezza e energie si effettua facilmente ricordando che

~c = 197 MeV Fm. (5.94)

Supponiamo ora di misurare l’energia o l’impulso di una particella con un’accuratezza

∆p ∼ 100 eV. (5.95)

Per riferimento, la massa di un elettrone e circa 0.5 MeV, mentre quella di un protone e circa 1 GeV: sitratta quindi di una misura piuttosto accurata. In una condizione di minima indeterminazione ∆x ∼ 1

2~

∆p .Usando ~c come fattore di conversione, possiamo dire che vale

1 Fm ' 1

200 MeV(5.96)

e quindi

∆x ∼ 1

2

~∆p

=~

200 eV= 106 Fm = 10−7 cm = 10−3 µm (5.97)

In Fig. 5.2 si mostrano le tracce lasciate da particelle cariche in un’emulsione nucleare. La tipicaenergia ceduta dalla particella alle molecole dell’emulsione (energia di ionizzazione) e dell’ordine dellaEq. (5.95), quindi la minima indeterminazione con cui e possibile misurare la posizione della particella edata dalla Eq. (5.97). Si vede che la traccia inizia a mostrare fluttuazione che sono dell’ordine di almenouno o forse due ordini di grandezza piu grandi rispetto a questo limite.

Figura 5.2: Tracce di particelle (nuclei di O e C e protoni) in un’emulsione nucleare.

Veniamo ora all’indeterminazione a tempi successivi. Si e detto che l’allargamento e dovuto all’in-certezza che si ha sull’impulso. Supponiamo di misurare la posizione di un oggetto a tempi diversi che ha


lasciato una traccia in un rivelatore. La posizione finale ha sia una indeterminazione che riflette quellainiziale, sia una indeterminazione dovuta al fatto che l’impulso iniziale avesse una sua indeterminazione.Dopo un tempo t, una particella di impulso costante si e spostata di una lunghezza

l =p

mt, (5.98)

e l’indeterminazione extra dovuta all’allargamento del pacchetto e

∆tx =∆p

mt. (5.99)

Quindi l’incertezza sulla posizione della particella, in percentuale della lunghezza della traccia, e

∆tx

l=

∆p

p. (5.100)

In situazioni come quella discussa prima, in cui l’indeterminazione relativa in impulso e piccola l’effettodi allargamento e trascurabile: nell’esempio precedente, l’indeterminazione relativa per un protone p ∼1 GeV e ∆p

p ∼ 10−7, quindi l’allargamento della traccia e di un fattore 10−7 piu piccolo della sua lunghezza.

Capitolo 6

Problemi unidimensionali

Affronteremo ora la determinazione dello spettro dell’hamiltoniana per alcuni semplici potenziali, chepossono essere usati per modellizzare schematicamente alcune situazioni realistiche. Ci limiteremo per ilmomento alla trattazione di problemi unidimensionali, e considereremo in particolare potenziali costantia tratti, come buche rettangolari, gradini e barriere. Saremo in particolare interessati a descrivere dueclassi di problemi: quelli in cui si possono formare degli stati legati in una buca di potenziale (mostrataschematicamente in a sinistra in Fig. 6.1), e quelli in cui la presenza di un potenziale localizzato (peresempio un gradino, mostrato schematicamente a destra in Fig. 6.1) influenza il moto di una particellaaltrimenti libera. Essi costituiscono rispettivamente il prototipo di problemi di stato legato, e di problemid’urto (o diffusione).

Figura 6.1: Buca di potenziale e gradino di potenziale.

6.1 La buca di potenziale infinita

Il primo problema che affrontiamo e il piu semplice dei problemi di stato legato: consideriamo una bucarettangolare centrata nell’origine con un potenziale

V (x) =

0 se |x| < a

V0 se |x| > a con V0 →∞. (6.1)

Dal punto di vista classico i moti consentiti sono quelli di particella libera all’interno della buca; ognivolta che il sistema urta contro le pareti rimbalza elasticamente. I moti sono quindi moti liberi con velocitav uniforme, periodici con periodo v

4a , e possono assumere ogni valore di energia cinetica permesso.

6.1.1 Determinazione dello spettro

Come nella maggior parte dei problemi che seguiranno, utilizziamo la rappresentazione delle coordinate.L’equazione agli autovalori per l’Hamiltoniana H

H|ψE〉 = E|ψE〉 (6.2)

diventa

92 Problemi unidimensionali

Figura 6.2: Buca di potenziale

1. regione |x| < a:

− ~2

2m

∂2ψE(x)

∂x2= EψE(x) (6.3)

2. regione |x| > a:

− ~2

2m

∂2ψE(x)

∂x2= (E − V0)ψE(x) (6.4)

Le soluzioni si determinano facilmente in entrambe le regioni.

1. regione |x| > a

Le soluzioni dell’Eq. (6.4) sono

ψE(x) = NE exp

(±x√

2m

~2(V0 − E)

). (6.5)

Poiche siamo interessati al limite V0 →∞, l’argomento della radice e reale positivo per ogni valoredell’energia E. Ne segue che solo una delle due soluzioni Eq. (6.5) e normalizzabile, mentre l’altradiverge all’infinito. Abbiamo quindi che l’unica soluzione fisicamente accettabile e

ψE(x) = NE exp−k|x|; k =

√2m

~2(V0 − E). (6.6)

Nel limite V0 →∞, ψE(x) = 0 identicamente in questa regione.

2. regione |x| < a

In questa regione l’hamiltoniana e quella di particella libera, quindi le soluzioni generale dell’e-quazione agli autovalori (6.3) per fissata energie E e (ricordando la sezione 5.1)

ψE(x) = A′EeikEx + B′Ee−ikEx; E =~2k2

E

2m, (6.7)

che possiamo equivalentemente riscrivere come

ψE(x) = AE sin kEx+ BE cos kEx. (6.8)

6.1 La buca di potenziale infinita 93

La soluzione generale dell’equazione agli autovalori (6.3) nel limite V0 → ∞ e quindi data dallaEq. (6.8), con la condizione al contorno

ψE(±a) = 0, (6.9)

necessaria per raccordare le soluzioni nelle due regioni. Notiamo che nella regione |x| > a si annullanola funzione d’onda e tutte le sue derivate, quindi il problema va considerato come un problema agliautovalori formulato in una regione finita. L’equazione agli autovalori Eq. (6.4) fornisce una condizionesulla derivata seconda della funzione (quindi in particolare la condizione al contorno Eq. (6.9) implicache anche la derivata seconda si annulla). Non vi sono ulteriori condizioni in quanto nel punto x = ail potenziale ha una discontinuita di ampiezza infinita. Ora, e facile vedere, integrando in un intornodella discontinuita ,che se la derivata seconda ha una discontinuita di ampiezza finita, la derivata primae continua, ma se la discontinuita e infinita anche la derivata prima diventa discontinua.

Le uniche soluzioni Eq. (6.8) compatibili con la condizione Eq. (6.9) corrispondono al caso in cui ilcoefficiente davanti al seno oppure al coseno si annulla: infatti, il seno ed il coseno non possono mai essereentrambi nulli in x = a per fisso k. Abbiamo quindi due classi di soluzioni:

• BE = 0

In tal caso

ψIE(x) = AE sin kx (6.10)

e imponendo sin(ka) = sin(−ka) = 0 otteniamo la condizione ka = πn, ossia

kn =2nπ

2a; En =

~2k2n

2m. (6.11)

• AE = 0

In tal caso

ψIIE (x) = BE cos kx (6.12)

e imponendo cos(ka) = cos(−ka) = 0 otteniamo la condizione ka = π2 + πn = (2n+ 1)π2 , ossia

kn =(2n+ 1)π

2a; En =

~2k2n

2m. (6.13)

Lo spettro di autovalori di eneregia e quindi:

En =~2k2

n

2m(6.14)

con

kn =nπ

2acon

n pari soluzione In dispari soluzione II

(6.15)

Di conseguenza possiamo riscrivere

En =~2n2π2

8a2m=

~2n2π2

2L2m(6.16)

dove L e la larghezza della buca. Osserviamo che lo spettro e non-degenere, ovvero per ogni autovaloredi energia vi e una sola autofunzione.

Determiniamo infine la normalizzazione delle autofunzioni:∫ a

−adx cos2 (2n+ 1)π

2ax =

∫ a

a

dx sin2 2nπ

2ax = a, (6.17)

quindi AE = BE = 1√a.


6.1.2 Proprieta delle autofunzioni

Lunghezza d’onda

Le autofunzioni Eq. (6.10,6.12) oscillano con lunghezza d’onda

λn =2π

kn=

2π2a

nπ=

2L

n(6.18)

Cio significa che la buca contiene un numero intero di semiperiodi: le funzioni d’onda si comportano comeuna corda vibrante fissa alle estreminta. Vi e uno stato di energia minima, o stato fondamentale, checorrisponde ad una soluzione di tipo II ed ha energia

k =π

2a; E =

~2π2

8a2m. (6.19)

Gli stati con n > 1, o stati eccitati, corrispondono alle armoniche della frequenza fondamentale delsistema. Ne concludiamo che una particella quantistica libera vincolata su un segmento puo assumerevalori discreti di impulso, corrispondenti, secondo la Eq. (6.18), alle lunghezze d’onda permesse per unsistema oscillatorio classico della stessa lunghezza (si veda la Fig. 6.3). Vedremo piu avanti che perun’ampia classe di potenziale le autofunzioni normalizzabili dell’hamiltoniana danno sempre luogo aduno spettro discreto di autovalori di energia.

𝑎-𝑎

Figura 6.3: Stato fondamentale e primi due stati eccitati per una buca di potenziale infinita

Parita

Le soluzioni che abbiamo trovato hanno tutte parita definita. Infatti, definendo l’operatore parita Pcome

〈x|P|ψ〉 = 〈−x|ψ〉 (6.20)

che ha come autovalori 1 e -1 e le cui autofunzioni sono le funzioni pari (con autovalore 1) e le funzionidispari (con autovalore -1), si ha che:

P|ψE〉 = ±|ψE〉 =

+1 soluzione tipo II−1 soluzione tipo I

. (6.21)

6.1 La buca di potenziale infinita 95

Il fatto che le autofunzioni di energia siano anche autofunzioni della parita e conseguenza del fatto cheil potenziale e simmetrico attorno all’origine, e quindi l’hamiltoniana e invariante sotto una trasformazionedi parita:

P−1HP = H, (6.22)

il che implica immediatamente che

[P, H] = 0. (6.23)

Poiche l’hamiltoniana e la parita commutano, i due operatori possono essere diagonalizzati simultanea-mente. Ma poiche lo spettro e nondegenere le autofunzioni dell’energia devono essere automaticamenteautofunzioni della parita.

Energia di punto zero ed indeterminazione

Abbiamo visto che lo spettro ammette uno stato fondamentale di minima energia, pari a E0 Eq. (6.19).La ragione per cui l’energia dello stato fondamentale non puo essere nulla e legato al principio di indeter-minazione. Infatti, poiche il sistema e localizzato nell’intervallo |x| < a, l’indeterminazione in posizionenon puo crescere indefinitamente, ed ha un valore massimo dell’ordine di ∆2x . a2. Ma il principio diindeterminazione implica quindi che l’indeterminazione in impulso e vincolata inferiormente:

∆2p &~2

4a2, (6.24)

e quindi

Emin ∼∆2p

2m∼ ~2

8ma2, (6.25)

in accordo qualitativo con la Eq. (6.19).E importante notare che l’indeterminazione in impulso per ciascun autostato dell’hamiltoniana non e

mai nulla, in seguito al fatto che la condizione al contorno ci obbliga a scegliere le autofunzioni di energiacome sovrapposizioni di coppie di autostati dell’impulso con valore dell’impulso uguale e contrario, anzichecome autostati dell’impulso, che darebbero luogo ad indeterminazione ∆p = 0.

6.1.3 Degenerazione dello spettro e stati legati

Lo spettro di energia della buca di potenziale infinita non e degenere. Questa in realta e una proprietagenerale dello spettro per qualunque hamiltoniana della forma Eq. (4.37) in una dimensione quando leautofunzioni sono normalizzabili. Possiamo dimostrare cioe che due autofunzioni normalizzabili di unahamiltoniana unidimensionale del tipo Eq. (4.37) associate allo stesso autovalore differiscono al piu per unacostante moltiplicativa (e quindi corrispondono allo stesso stato del sistema, visto che la normalizzazionee convenzionale e la fase e inosservabile).

Supponiamo che siano date due autofunzioni ψI(x), ψII(x) di un’hamiltoniana della forma standardEq. (4.37) associate allo stesso autovalore di energia E:

d2ψI(x)

dx2=

2m

~2(V (x)− E)ψI(x) (6.26)

d2ψII(x)

dx2=

2m

~2(V (x)− E)ψII(x). (6.27)

Le Eq. (6.26-6.27) implicano immediatamente che

ψII(x)d2ψI(x)

dx2− ψI(x)

d2ψII(x)

dx2= 0, (6.28)


ossia

d

dx

(ψII(x)

dψI(x)

dx− ψI(x)

dψII(x)

dx

)= 0 (6.29)

che implica

ψII(x)dψI(x)

dx− ψI(x)

dψII(x)

dx= k, (6.30)

dove k e una costante arbitraria.Ma affinche gli stati ψI e ψII siano normalizzabili,

limx→±∞

ψI(x) = limx→±∞

ψII(x) = 0, (6.31)

e quindi k = 0. Pertanto

ψ′I(x)

ψI(x)=ψ′II(x)

ψII(x), (6.32)

ossia

d

dxlnψI(x) =

d

dxlnψII(x), (6.33)

da cui

lnψI(x) = lnψII(x) + λ, (6.34)

dove λ e una costante arbitraria, cioe

ψI(x) = eλψII(x), (6.35)

e quindi ψI(x) ψI(x) sono proporzionali, come si voleva dimostrare.

6.2 Il gradino di potenziale

Il potenziale a gradino e la schematizzazione piu semplice di una situazione fisica reale in cui il potenzialevaria in modo spazialmente localizzato. Nel nostro modello il potenziale vale:

V (x) = V0 Θ(x) =

0 se x < 0

V0 se x > 0(6.36)

dove Θ e la funzione detta theta di Heaviside (si veda la Figura 6.4).

6.2.1 Funzione a gradino e condizioni di continuita

Per affrontare questo problema, conviene fare alcune considerazioni preliminari sulla theta di Heaviside.Puo essere utile vedere la theta come una distribuzione, anziche come una funzione discontinua, ossiainterpretarla attraverso la sua azione su una funzione di prova sotto integrazione. In tal caso, possiamomostrare che la theta soddisfa l’equazione

dΘ(x)

dx= δ(x). (6.37)

Questo significa che sotto integrazione con una funzione di prova f(x)∫ ∞−∞

dxdΘ(x)

dxf(x) =

∫ ∞−∞

dx δ(x)f(x). (6.38)

6.2 Il gradino di potenziale 97

Figura 6.4: Potenziale a gradino

Per dimostrare la Eq. (6.38) osserviamo dapprima che∫ ∞−∞

dx Θ(x)f ′(x) =

∫ ∞0

dx f ′(x) = f(∞)− f(0). (6.39)

D’altra parte, integrando per parti,∫ ∞−∞

dx Θ(x)f ′(x) = Θ(x)f(x)∣∣∣∞−∞−∫ ∞−∞

dxdΘ(x)

dxf(x) = f(∞)−

∫ ∞−∞

dxdΘ(x)

dxf(x), (6.40)

Uguagliando i membri di destra delle Eq. (6.39-6.2.1) si ottiene immediatamente la Eq. (6.38).La Eq. (6.37) implica immediatamente alcune interessanti conclusioni circa la forma delle autofunzioni

per potenziali del tipo di quello della Fig. 6.4, ossia in generale dei potenziali continui a tratti e condiscontinuita isolate. Osserviamo che l’equazione agli autovalori dell’hamiltoniana

∂2ψE(x)

∂x2= −2m

~2(E − V0Θ(x))ψE(x) (6.41)

implica che nell’origine la derivata seconda della funzione d’onda e discontinua. Possiamo pero concludereche la funzione d’onda e la sua derivata sono funzioni continue nell’origine. Se infatti la funzione d’ondaavesse derivata discontinua, allora la derivata seconda dovrebbe essere proporzionale ad una δ, e sead essere discontinua fosse la funzione d’onda stessa, allora la sua derivata seconda dovrebbe essereproporzionale alla derivata di una δ: ma nessuno di questi casi e compatibile con la Eq. (6.41). Dobbiamoquindi risolvere il problema separatamente nelle regioni x < 0 ed x > 0, imponendo quindi le condizionidi raccordo

limε→0

ψ(x+ ε) = limε→0

ψ(x− ε) (6.42)

limε→0

ψ′(x+ ε) = limε→0

ψ′(x− ε). (6.43)

E chiaro che questo vale per qualunque potenziale che abbia una discontinuita localizzata, cioe uncontributo proporzionale ad una funzione a gradino: la corrispondente equazione agli autovalori perl’hamiltoniana andra risolta separatamente a sinistra ed a destra della discontinuita, e la continuita dellafunzione e della derivata prima dovra quindi essere imposta nel punto in cui il potenziale e discontinuo.Ricordiamo che, come gia osservato, nel caso della buca infinita discusso nella sezione precedente ilcoefficiente della discontinuita, ossia il coefficiente della funzione a gradino, e infinito: percio non vi e unacondizione di continuita della derivata prima nel punto di discontinuita.

6.2.2 Autofunzioni di energia: stati di scattering

Possiamo ora determinare le autofunzioni di energia che soddisfano la Eq. (6.41). Distinguiamo duecasi E > V0 e E < V0, che chiamiamo rispettivamente caso di urto (scattering) e caso di penetrazione(tunneling), per ragioni che saranno chiare fra breve.


Discutiamo dapprima il caso E > V0. In tal caso, le autofunzioni di energia Eq. (6.41) nelle dueregioni I (x < 0) e II (x > 0) (vedi Fig. 6.4) sonoψ

IE(x) = AEe

ikEx +BEe−ikEx, kE =

√2m~2 E

ψIIE (x) = CEeik′Ex +DEe

−ik′Ex, k′E =√

2m~2 (E − V0)

, (6.44)

con le condizioni di raccordo ψIE(0) = ψIIE (0)∂ψIE(0)∂x =

∂ψIIE (0)∂x

, (6.45)

che implicano i vincoli AE +BE = CE +DE

ikEAE − ikEBE = ik′ECE − ik′EDE

. (6.46)

Le soluzioni sono cioe onde piane in entrambe le regioni, con diversi valori dell’impulso, determinatiin modo che l’energia rimanga la stessa, e normalizzazione relativa fissata dalle condizioni di raccordo.Osserviamo che le condizioni di raccordo Eq. (6.46) forniscono due condizioni sui quattro coefficienti(complessi) AE , BE , CE , DE da cui dipende la soluzione Eq. (6.44). Di questi quattro coefficientiuno non e significativo, in quanto il suo modulo e fissato per normalizzazione, mentre al solito la fasecomplessiva della funzione d’onda e inosservabile. Pertanto, la piu generale soluzione per fissato valoredi energie dipende da un parametro libero. Questo significa che (come nel caso della particella liberaEq. (5.6)) per fissata energia vi e una famiglia ad un parametro di soluzioni, ovvero vi sono due soluzioniindipendenti, di cui la soluzione generale puo essere scritta come combinazione lineare.

Determiniamo quindi una soluzione ponendo a zero una delle quattro costanti, e mostrando che conquesta scelta la soluzione esiste. Discuteremo in seguito come costruire un’altra soluzione linearmenteindipendente da essa. Poniamo quindi DE = 0, sicche la Eq. (6.46) diventa

AE +BE = CE

ikEAE − ikEBE = ik′ECE .(6.47)

Abbiamo tre incognite e due equazioni, che usiamo per esprimere BE e CE in funzione di AE :BE =

kE−k′EkE+k′E

AE

CE = 2kEkE+k′E

AE .(6.48)

Queste condizioni fissano completamente la soluzione Eq. (6.44) a meno della costante di normaliz-zazione AE : ψIE(x) = AE

(eikEx +

kE−k′EkE+k′E

)e−ikEx

ψIIE (x) = AE2kE

kE+k′Eeik′Ex.

(6.49)

6.2.3 Corrente di probabilita

Per interpretare fisicamente la soluzione che abbiamo trovato introduciamo il concetto di corrente diprobabilita, definita come

j(x, t) ≡ − i~2m

(ψ∗(x, t)

∂ψ(x, t)

∂x−(∂ψ∗(x, t)

∂x

)ψ(x, t)

). (6.50)

La corrente j(x, t) soddisfa l’equazione di continuita

∂j(x, t)

∂x+∂ρ(x, t)

∂t= 0, (6.51)

6.2 Il gradino di potenziale 99

dove

ρ(x, t) =∣∣〈x|ψ(t)〉

∣∣2 =∣∣ψ(x, t)

∣∣2 (6.52)

e la consueta densita di probabilita per il risultato di una misura di posizione. Abbiamo infatti che

∂j(x, t)

∂x= − i~

2m

(ψ∗(x, t)

∂2ψ(x, t)

∂x2− ∂2ψ∗(x, t)

∂x2ψ(x, t)

), (6.53)

ma l’equazione di Schrodinger nella base delle coordinate

∂2ψ(x, t)

∂x2= −2m

~2

(i~∂ψ(x, t)

∂t− V (x)ψ(x, t)

)(6.54)

implica appunto che

∂j(x, t)

∂t= −

[ψ∗(x, t)

∂ψ(x, t)

∂t+∂ψ∗(x, t)

∂tψ(x, t)

]= −∂ρ(x, t)

∂t. (6.55)

L’equazione (6.51) implica che j(x, t) e il flusso spaziale della densita di probabilita di posizione, nelsenso che ∫ b

a

dx ∂tρ(x, t) = −∫ b

a

dx ∂xj(x, t) = −(j(b, t)− j(a, t)), (6.56)

ovvero j(a, t) − j(b, t) misura la “quantita di probabilita” integrata nell’intervallo [a, b] che fluisce entrodi esso dai suoi estremi. Osserviamo inoltre che valor medio della corrente di probabilita vale∫

dx j(x, t) =1

m

∫dx 〈ψ|x〉〈x|p|ψ〉 =

1

m〈ψ|p|ψ〉, (6.57)

che vuol dire che il valor medio della corrente corrisponde al valor medio dell’impulso diviso per m,consistentemente con l’interpretazione di j come flusso di probabilita.

Infine, notiamo che, in un autostato dell’impulso 〈x|k〉,

j(x, t) =~km|〈x|k〉|2 ≡ jk|〈x|k〉|2 =

1

2πjk, (6.58)

indipendente dal tempo e dalla posizione. Inoltre, in una sovrapposizione di onde piane con impulsi ugualie opposti

ψ(x, t) = exp(iωt) [A exp(ikx) +B exp−(ikx)] (6.59)

si ha

j(x, t) =− i~2m

[ (A∗e−ikx +B∗eikx

)ik(Aeikx −Be−ikx

)− ik

(−A∗e−ikx +B∗eikx

) (Aeikx +Be−ikx

) ]

=~km

(|A|2 − |B|2

)= |A|2jk + |B|2j−k, (6.60)

dove nell’ultimo passaggio usando la Eq. (6.58) abbiamo identificato i due contributi a membro destro dellaEq. (6.59) come correnti di probabilita associate alle due componenti della funzione d’onda (indipendentidal tempo e dalla posizione). In altri termini se il vettore di stato |ψ〉 e la sovrapposizione di due autostatidell’impulso associati ad autovalori eguali in modulo ed opposti in segno

|ψ〉 = |k〉〈k|ψ〉+ | − k〉〈−k|ψ〉, (6.61)


allora la corrente di probabilita e la somma di due termini, corrispondenti ciascuno al flusso di probabiltaassociato alle due componenti:

j(x, t) =~km

(|〈k|ψ〉|2 − |〈−k|ψ〉|2

), (6.62)

dove |〈k|ψ〉|2 e |〈−k|ψ〉|2 sono due coefficienti costanti.Possiamo finalmente usare questi risultati per interpretare fisicamente la soluzione Eq. (6.44). Vediamo

che nella regione I (x < 0) vi e una sovrapposizione di due onde piane, e quindi la corrente di probabilitaha la forma Eq. (6.60), mentre nella regione II la soluzione e una singola onda piana, e la corrente hala forma Eq. (6.58). Notiamo inoltre che nel nostro caso manifestamente la densita di probabilita nondipende dal tempo (si tratta di uno stato stazionario), quindi la densita di corrente non dipende da x, el’equazione di continuita implica che

|A|2jk + |B|2j−k = |C|2jk′ , (6.63)

ossia, usando l’espressione esplicita Eq. (6.58)

|A|2jk = |B|2jk + |C|2jk′ , (6.64)

dove abbiamo notato che la Eq. (6.58) implica j−k = −jk. E facile verificare, utilizzando le condizioni diraccordo Eq. (6.48), che quest’ultima condizione e soddisfatta.

Possiamo quindi interpretare la corrente

ji ≡ |A|2jk (6.65)

come corrente di probabilita incidente sul gradino da sinistra, e le correnti

jt ≡ |C|2jk′ ; jr ≡ |B|2jk (6.66)

rispettivamente come corrente trasmessa dalla regione I alla regione II e come corrente riflessa all’indietrodal gradino nella regione I, con impulso opposto. La Eq. (6.64) esprime la conservazione della corrente diprobabilita, ossia il fatto che la corrente incidente e pari alla somma della corrente trasmessa e di quellariflessa. Possiamo infine identificare i coefficienti

T ≡ jtji

=

[2kEk

′E

kE + k′E

]2

; R =jrji

=

[kE − k′EkE + k′E

]2

(6.67)

rispettivamente come dei coefficienti di trasmissione e riflessione, che esprimono la percentuale di correnteincidente che e stata trasmessa attraverso la barriera o riflessa all’indietro.

6.2.4 Soluzione regressiva

Abbiamo finora determinato solo una delle due soluzioni indipendenti che sono a priori permesse dal fattoche uno dei parametri della soluzione generale Eq. (6.44) e libero. Una soluzione indipendente puo esserecostruita ponendo A = 0 e usando le condizioni di raccordo Eq. (6.46) per determinare C e D in terminidi B. Seguendo la discussione della sezione 6.2.3, interpretiamo questa soluzione fisicamente come lasituazione in cui la particella che interagisce con il potenziale ora proviene da destra, essendone in parteriflessa ed in parte trasmess.

Si vede immediatamente che questa situazione corrisponde a eseguire le sostituzioni x→ −x e V0(x)→V0(−x) nell’equazione di Schrodinger. Quindi, la soluzione si ottiene dalla forma esplicita della soluzioneEq. (6.49) scambiando le regioni I e II e scambiando dappertutto x→ −x e kE ↔ k′E . I nuovi coefficientidi trasmissione e riflessione si ottengono scambiando kE ↔ k′E nell’espressione Eq. (6.67), e sono quindiinvariati. Quindi i coefficient di trasmissione e riflessione sono gli stessi sia che l’onda arrivi da sinistra,sia che arrivi da destra.

6.3 La barriera di potenziale 101

6.2.5 Autofunzioni di energia: stati di tunneling

Passiamo ora al caso E < V0. La soluzione ora ha la formaψIE(x) = AEe

ikEx +BEe−ikEx, kE =

√2m~2 E

ψIIE (x) = CEe−β′Ex, βE =

√2m~2 (V0 − E)

: (6.68)

nella regione I ovviamente non e cambiato nulla, mentre nella regione II la soluzione ora e esponenzial-mente smorzata. Notare che abbiamo scartato la soluzione esponenzialmente crescente, che divergerebbeall’infinito, come gia fatto nel caso della buca Eq. (6.6). Le condizioni di raccordo Eq. (6.47) e la soluzioneEq. (6.48) restano invariate con l’identificazione

k′E = iβE . (6.69)

Ne segue che in questo caso vi e una soluzione sola per ogni valore di energia.Si vede immediatamente che in questo caso la corrente nella regione II si annulla identicamente, infatti

jC(x, t) = − i~2m

[C∗e−βEx(−βE)Ce−βEx − C∗(−βE)e−βExCe−βEx

]= 0. (6.70)

Ne segue che l’equazione di continuita implica

jA = −jB , (6.71)

ed in effetti, usando le condizioni di raccordo Eq. (6.48) con l’identificazione Eq. (6.69) troviamo

R =

∣∣∣∣BA∣∣∣∣2 =

∣∣∣∣k − iβEk + iβE

∣∣∣∣2 = 1. (6.72)

Osserviamo che la densita di probabilita a destra della barriera non e nulla: vi e penetrazione attraversola barriera, con una densita di probabilita esponenzialmente soppressa di rivelare il sistema al di ladella barriera stessa. Tuttavia, il flusso di probabilita a destra della barriera si annulla, e la corrente diprobabilita subisce una riflessione totale.

Ovviamente, quando il gradino e di altezza infinita V0 →∞ questa e l’unica soluzione. In tal caso siha che βE →∞, e

limβE→∞BE = −AElimβE→∞ CE = 0

. (6.73)

Questo significa che la funzione d’onda e la densita di probabilita si annullano sotto la barriera, e l’ondaviene interamente riflessa. Notiamo che in questo limite le condizioni di raccordo sono analoghe a quelledella buca infinita: ψ(0) = 0, ma la derivata nell’origine diventa discontinua.

6.3 La barriera di potenziale

Un problema d’urto leggermente piu complesso e quello che si ha in presenza di un potenziale a barriera

V (x) =

0 se |x| > a

V0 se |x| < a. (6.74)

6.3.1 Autofunzioni di energia ed effetto tunnel

In questo caso, vi sono tre regioni (si veda la Fig. 6.5). La soluzione generale puo assumere due formediverse, a seconda che nella regione II l’energia sia maggiore o minore del potenziale V0:


Figura 6.5: Barriera di potenziale

1. V0 < E Si ha

ψE(x) =

ψIE(x) = AEe

ikEx +BEe−ikEx se x < −a

ψIIE (x) = CEeik′Ex +DEe

−ik′Ex se − a < x < a

ψIIIE (x) = FEeikEx +GEe

−ikEx se x > a

, (6.75)

con

kE =

√2mE

~2(6.76)

k′E =

√2m(E − V0)

~2; (6.77)

2. V0 > E Si ha

ψE(x) =

ψIE(x) = AEe

ikEx +BEe−ikEx se x < −a

ψIIE (x) = CEe−βEx +DEe

βEx se − a < x < a

ψIIIE (x) = FEeikEx +GEe

−ikEx se x > a

(6.78)

con

kE =

√2mE

~2(6.79)

βE =

√2m(V0 − E)

~2. (6.80)

Le soluzioni con E > V0 sono una semplice generalizzazione del problema del gradino di potenzialediscusso nella sezione precedente. Gli andamenti che si trovano sono simili a quelli di onde luminoseche si propagano tra mezzi con diversi indici di rifrazione: in particolare, come nel caso della luce, peropportuni valori dell’energia si possono avere fenomeni di riflessione totale.

Il caso V0 > E e particolarmente interessante: in questo caso si vede come una particella incidente,ad esempio dalla regione I, su una barriera di altezza finita non ne venga completamente riflessa anche sel’altezza della barriera e maggiore dell’energia cinetica della particella. In generale, vi e una componentedi onda che viene trasmessa al di la della barriera, e si propaga quindi nella regione III, dove continua apropagarsi come una particella libera. Questa situazione (rappresentata schematicamente in Fig. 6.6) edetta effetto tunnel.

6.3 La barriera di potenziale 103

𝑎-‐𝑎

V0

Figura 6.6: Effetto tunnel

6.3.2 Soluzione generale di tunneling

Consideriamo quindi in dettaglio la costruzione della soluzione nel caso E < V0. Abbiamo quattrocondizioni di raccordo:

ψIE(−a) = ψIIE (−a)

ψ′IE (−a) = ψ

′IIE (−a)

ψIIE (a) = ψIIIE (a)

ψ′IIE (a) = ψ

′IIIE (a)

. (6.81)

In questo caso vi sono quindi quattro equazioni e sei costanti, quindi, con una costante fissata pernormalizzazione, abbiamo una famiglia ad un parametro di soluzioni, ossia due soluzioni linearmenteindipendenti, come nel caso del gradino di potenziale. Ad esempio, potremmo determinare la soluzioneponendo GE = 0: questa scelta corrisponde ad un’onda incidente sulla barriera da sinistra.

Per risolvere il sistema di condizioni di raccordo Eq. (6.81) conviene far uso di una notazione matriciale:le prime due condizioni implicano(

e−ikEa eikEa

e−ikEa −eikEa)(

AEBE

)=

(eβEa e−βEa

− βEikE

eβEa βEikE

e−βEa

)(CEDE

). (6.82)

Ora, osserviamo che se si moltiplica la matrice a primo membro per un fattore 1√2

si ottiene una

matrice unitaria, e quindi possiamo riscrivere il sistema Eq, (6.82) come(AEBE

)=

1

2

(eikEa e−ikEa

e−ikEa −eikEa)(

eβEa e−βEa

− βEikE

eβEa βEikE

e−βEa

)(CEDE

)= M(a)

(CEDE

), (6.83)

dove la matrice M(a) e esplicitamente data da

M(a) =1

2

(1 + iβE

kE

)e(βE+ikE)a

(1− iβE

kE

)e(−βE+ikE)a(

1− iβEkE

)e(βE−ikE)a

(1 + iβE

kE

)e(−βE−ikE)a

. (6.84)

Osserviamo ora che la simmetria del problema implica che(FEGE

)= M(−a)

(CEDE

)(6.85)


da cui (AEBE

)= M(a)M−1(−a)

(FEGE

)= T

(FEGE

). (6.86)

La soluzione generale viene cosı espressa in termini di una cosiddetta matrice di trasferimento T , chefornisce i coefficienti nella regione III in termini dei coefficienti nella regione I, raccordando le soluzioninelle due regioni in cui l’onda si propaga come una particella libera.

Utilizzando la forma esplicita Eq. (6.84 della matrice M(a) abbiamo che

M−1(−a) =1

2

(1− iβE

kE

)e(βE+ikE)a

(1 + iβE

kE

)e(βE−ikE)a(

1 + iβEkE

)e(−βE+ikE)a

(1− iβE

kE

)e(−βE−ikE)a

, (6.87)

e quindi

T =1

2

( (cosh 2βEa+ i ε2 sinh 2βEa

)e2ikEa iη

2 sinh 2βEa

− iη2 sinh 2βEa(cosh 2βEa− i ε2 sinh 2βEa

)e−2ikEa

), (6.88)

dove abbiamo posto

ε =βEkE− kEβE

(6.89)

η =βEkE

+kEβE

. (6.90)

6.3.3 Coefficienti di trasmissione e riflessione

Costruiamo ora una soluzione particolare ponendo GE = 0. Come nel caso del gradino di potenziale,possiamo definire densita e correnti di probabilita, e conseguentemente coefficienti di trasmissione eriflessione

T ≡ jtji

=

∣∣∣∣FEAE∣∣∣∣2 ; R ≡ jr

ji=

∣∣∣∣BEAE∣∣∣∣2 . (6.91)

Abbiamo

FEAE

=

(cosh 2βa+

iε

2sinh 2βEa

)−1

e−2ikEa (6.92)

BEAE

=BEFE

FEAE

;BEFE

= −iη2

sinh 2βEa. (6.93)

Troviamo cosı

T =1

1 +(1 + ε2

4

)sinh2(2βEa)

; R = 1− T, (6.94)

avendo usato la conservazione della corrente. Notiamo infine che nel limite in cui βEa 1 si ha

T ∼ e−4βEa. (6.95)

Questo significa che la probabilita di attraversare la barriera resta finita, ma e esponenzialmente soppressaal crescere della larghezza della barriera.

6.4 Problemi di stato legato: una discussione qualitativa 105

6.4 Problemi di stato legato: una discussione qualitativa

Ci chiediamo ora in generale quali siano le caratteristiche qualitative dello spettro per una

H =p2

2m+ V (x). (6.96)

Osserviamo che l’equazione di Schrodinger

∂2ψ(x)

∂x2=

2m

~2(V (x)− E)ψ(x) (6.97)

lega in ogni punto la derivata seconda della funzione al valore della funzione stessa. Ne segue chel’andamento qualitativo delle soluzioni e determinato dal segno di V (x)− E.

Questo ci permette innanzitutto di capire quando le autofunzioni di energia sono normalizzabili insenso proprio. Infatti, osserviamo che se, per x → ±∞, V (x) > E, allora le soluzioni all’infinito hannoun andamento di tipo esponenziale, mentre se V (x) < E esse hanno un andamento oscillante. Ne segueche possiamo avere soluzioni normalizzabili, ossia stati legati, se e solo se V (x) > E sia quando x → ∞che quando x→ −∞. Questo, a sua volta, e possibile solo se il potenziale ha un minimo al finito. Quindisolo un potenziale con un minimo ammette stati legati, che possono quindi esistere per valori dell’energiaE < limx→±∞ V (x).

Consideriamo quindi per semplicita il caso particolare di un potenziale simmetrico con un unicominimo al finito un minimo, tale cioe che V (x) < 0, V (x) = V (−x), limx→±∞ = 0 (si veda la Fig. 6.7).Questo e il caso piu semplice di potenziale attrattivo. Il potenziale e definito a meno di una costante,che scegliamo imponendo che il potenziale si annulli all’infinito. Nel caso piu generale naturalmente ilpotenziale non e simmetrico.

Figura 6.7: Generico potenziale attrattivo

L’andamento qualitativo delle soluzioni nelle varie regioni e determinato dalla Eq. (6.97). I casipossibili sono i seguenti:

1. V (x)−E > 0 Questo e il caso in cui E < V (x) (Fig. 6.8). Ne segue che ψ′′ ha lo stesso segno di ψ,cioe la funzione e concava.

Se ψ(x) > 0 allora anche ψ′′(x) > 0 e quindi si hanno delle soluzioni della forma mostrata in Fig. 6.9:per x > 0

• se ψ(x) decresce, continua a decrescere tendendo a 0 sempre piu lentamente;

• se ψ(x) cresce, continua a crescere sempre piu velocemente,


Figura 6.8: Regione E < V (x)

Figura 6.9: Forma qualitativa delle soluzioni se V (x) > E e ψ > 0


Gli andamenti per x < 0 si determinano per simmetria.

Se ψ(x) < 0 allora anche ψ′′(x) < 0 e quindi si hanno delle soluzioni della forma mostrata inFig. 6.10: per x > 0

• se ψ(x) cresce, continua a crescere sempre piu lentamente;

• se ψ(x) decresce, continua a decrescere sempre piu velocemente.

Figura 6.10: Forma qualitativa delle soluzioni se V (x) > E e ψ < 0

2. V (x) − E < 0 Questo e il caso in cui V (x) < E. Ne segue che ψ′′ ha il segno opposto a ψ, cioe lafunzione e convessa.

Figura 6.11: Regione E > V (x). I punti x0 in cui V (x) = E sono detti punti di inversione.

Se ψ(x) > 0 allora ψ′′(x) < 0 e quindi si hanno delle soluzioni della forma mostrata in Fig. 6.12:per x > 0

• se ψ(x) decresce, continua a decrescere tendendo a 0 sempre piu velocemente;

• se ψ(x) cresce, continua a crescere sempre piu lentamente.

Se ψ(x) < 0 allora ψ′′(x) > 0 e quindi si hanno delle soluzioni della forma mostrata in Fig. 6.13:per x > 0

• se ψ(x) decresce, continua a decrescere sempre piu lentamente;

• ψ(x) cresce, continua a crescere sempre di piu velocemente.

Le soluzioni per l’equazione agli autovalori si determinano raccordando gli andamenti descritti sopranelle varie regioni. Definendo Vmin il valore del potenziale al minimo, possiamo considerare tre casi:


Figura 6.12: Forma qualitativa delle soluzioni se V (x) < E e ψ > 0

Figura 6.13: Forma qualitativa delle soluzioni se V (x) < E e ψ < 0

1. V (x)− E > 0 ∀xIn questo caso non possono esistere soluzioni normalizzabili, in quanto la soluzione dovrebbe averela forma mostrata nelle Fig. (6.9-6.10) per ogni x. Si vede quindi che la soluzione o ha derivatadiscontinua nell’origine, o non e normalizzabile. Questo corrisponde all’aspettativa fisica che nonpossano esistere soluzioni aventi energia minore del minimo del potenziale.

2. Vmin < E < 0

In questo caso, esistono due punti (detti punti di inversione, si veda la Fig. 6.11) x = ±x0, in cuil’energia e uguale al potenziale, V (±x0) = E, e quindi E > V (x) all’interno dell’intervallo |x| <x0. La funzione d’onda ha quindi l’andamento delle figure Fig. 6.12-6.13 all’interno dell’intervallocompreso tra i punti di inversione, e l’andamento delle figure Fig. 6.9-6.10 all’esterno di questointervallo. I punti di inversione sono punti di flesso per la funzione d’onda (la derivata secondasi annulla). All’aumentare dell’energia i punti di inversione si muovono verso l’esterno, mentre,avvicinandosi all’origine, a seconda che la derivata della funzione sia negativa o positiva per x > 0(rispettivamente figura di sinistra o di destra nella Fig. 6.12) la curvatura rispettivamente cresce, odecresce.

Le soluzioni per x < 0 e x > 0 si possono raccordare solo se nell’origine sono continue sia ψ(x) cheψ′(x). Questo puo essere fatto in due modi, nei due casi appena visti: se la curvatura nell’originee massima, la derivata prima cambia segno e la funzione d’onda nell origine e diversa da zero.In tal caso si raccordano due soluzioni della forma Fig. 6.12 oppure due soluzione della formaFig. 6.13: la derivata prima si annulla nell’origine. Questa e la soluzione di tipo pari mostrata inFig. 6.14. Se invece la curvatura nell’origine e minima questo vuol dire che la funzione d’onda si deveannullare, mentre la derivata nell’origine e diversa da zero. In tal caso si raccorda una soluzionedella forma Fig. 6.12 con una della forma Fig. 6.13: la funzione d’onda, e la derivata seconda adessa proporzionale, si annullano. Questa e la soluzione di tipo dispari mostrata in Fig. 6.14.

E facile convincersi del fatto (che si puo dimostrare rigorosamente) che almeno una soluzionepari e sempre possibile. Infatti, per quanto sia poco profondo il potenziale, possiamo semprescegliere un valore di |E| sufficientemente prossimo a zero per cui i punti di inversione si allontaninoarbitrariamente, finche la curvatura nell’origine si raccorda.

Al crescere dell’energia compaiono quindi soluzioni in cui la derivata cambia segno, ed il numerodi tali soluzioni dipende dalla profondita del potenziale. All’interno della regione compresa tra ipunti di inversione si hanno cosı delle soluzioni di tipo oscillante. All’esterno della regione compresa


Figura 6.14: Soluzioni di stato legato: caso pari (sinistra) e caso dispari (destra).

tra i punti di inversione si hanno soluzioni della forma Fig. 6.9-6.10, che quindi all’infinito hannosempre andamenti di tipo esponenziale: sara quindi sufficiente scegliere la soluzione esponenzial-mente smorzata, raccordandola opportunamente alla soluzione oscillante all’interno dell’intervallotra i punti di inversione.

Si vede cosı che si ottiene uno spettro discreto e di stati legati, cioe localizzati al finito e normaliz-zabili.

3. E > 0

In questo caso, le soluzioni non sono mai esponenzialmente smorzate, ed all’infinito si riducono astati di particella libera. Si ottiene cosı uno spettro continuo di autostati di energia, normalizzabilisolo in senso improprio.

Capitolo 7

L’oscillatore armonico

Figura 7.1: Il potenziale armonico

Il potenziale armonico e di grande importanza in quanto descrive la situazione generica di piccoleoscillazioni attorno ad un minimo stabile. Infatti, qualunque potenziale V (x) che abbia un minimo in

x = x0, cioe tale che dV (x)dx

∣∣x=x0

= 0, puo essere sviluppato attorno al minimo

V (x) = V (x0) +1

2(x− x0)2 d

2V (x)

dx2

∣∣x=x0

+O((x− x0)2). (7.1)

Il potenziale Eq. (7.1) e detto potenziale armonico (Fig. 7).

7.1 L’oscillatore armonico classico

L’oscillatore armonico classico e descritto dall’Hamiltoniana

H =p2

2m+

1

2mω2x2. (7.2)

112 L’oscillatore armonico

L’equazione del moto che governa il sistema e:

x(t) = −ω2x(t), (7.3)

la cui generica soluzione e:

x(t) = A sinωt+B cosωt (7.4)

che possiamo anche riscrivere come

x(t) = C cos(ωt+ ϑ). (7.5)

Poiche p(t) = mx(t), si ottiene

p(t) = −mωC sin(ωt+ ϑ). (7.6)

Il potenziale e invariante per traslazioni temporali, ma non per traslazioni spaziali. Di conseguenzasi ha conservazione dell’energia totale, mentre l’energia cinetica e quella potenziale non si conservanoseparatamente. Infatti

T + V =1

2mω2C2(cos2(ωt+ ϑ) + sin2(ωt+ ϑ)) =

1

2mω2C2 (7.7)

e indipendente dal tempo, mentre manifestamente p(t) Eq. (7.6) dipende dal tempo, e quindi ne dipendonol’energia cinetica e percio anche quella potenziale.

7.2 Lo spettro di energia dell’oscillatore armonico quantistico

Quantisticamente, la dinamica dell’oscillatore armonico e descritta dall’hamiltoniana

H =p2

2m+

1

2mω2x2. (7.8)

Determineremo dapprima lo spettro di autovalori di energia, quindi le autofunzioni, e studieremo infinel’evoluzione temporale.

7.2.1 Caratteristiche qualitative dello spettro

Visto che il potenziale armonico ha la forma di una buca infinitamente profonda, la discussione qualitativadella sezione precedente suggerisce che lo spettro e discreto e consiste di un numero infinito di stati legati.Possiamo dimostrare facilmente che gli autovalori di energia sono tutti positivi, e che lo spettro e discreto,manipolando l’equazione agli autovalori

H|n〉 = En|n〉. (7.9)

• Autovalori positivi

Gli autovalori di energia soddisfano

En =∑k

[〈n|p|k〉〈k|p|n〉

2m+

1

2mω2〈n|x|k〉〈k|x|n〉

](7.10)

=1

2m

∑k

|〈n|p|k〉|2 +1

2mω2

∑k

|〈n|x|k〉|2, (7.11)

sicche En ≥ 0. Osserviamo inoltre che En = 0 richiederebbe 〈n|p|k〉 = 〈n|x|k〉 = 0 per ogni k. Maquesto e vietato dal principio di indeterminazione, in quanto∑

k

[〈n|x|k〉〈k|p|n〉 − 〈n|p|k〉〈k|x|n〉] = i~ > 0. (7.12)

Pertanto En > 0.

7.2 Lo spettro di energia dell’oscillatore armonico quantistico 113

• Spettro discreto

Osserviamo che

[x, H] = i~p

m; [p, H] = −i~ω2mx. (7.13)

Ne segue che

〈n|x|k〉(Ek − En) = i~〈n| pm|k〉 (7.14)

〈n|p|k〉(Ek − En) = −i~〈n|mω2x|k〉. (7.15)

Sostituendo la prima equazione nella seconda abbiamo

(Ek − En)2〈n|x|k〉 = ~2ω2〈n|x|k〉, (7.16)

che implica che 〈n|x|k〉 = 0 a meno che En−Ek = ±~ω. Concludiamo che le matrici degli operatorix e p hanno elementi nonnulli solo tra autostati di energia associati ad autovalori che differiscono di±~ω. Poiche l’hamiltoniana e un polinomio in x e p, questo implica immediatamente che lo spettrodeve essere discreto.

7.2.2 Operatori di creazione e distruzione

La struttura delle matrici degli operatori x e p suggerisce di definire gli operatori

a =

√mω

2~

(x+

ip

mω

)(7.17)

a† =

√mω

2~

(x− ip

mω

), (7.18)

che sono l’uno l’aggiunto dell’altro.L’hamiltoniana si scrive facilmente in termini di questi operatori notando che

a†a =mω

2~

(x2 +

p2

m2ω2

)+

i

2~[x, p], (7.19)

e quindi

H = ~ω(a†a+

1

2

). (7.20)

Conviene cosı definire l’operatore

N = a†a (7.21)

in termini del quale

H = ~ω(N +

1

2

). (7.22)

Ma lo spettro dell’operatore N , che a sua volta determina facilmente lo spettro dell’hamiltoniana, sipuo ottenere notando che

[a, a†] =mω

2~2i[x,

p

mω] = 1, (7.23)

che implica

[N, a] = −a; [N, a†] = a†. (7.24)

Lo spettro di N e quindi determinato dalle due seguenti osservazioni:


• Dato un autostato |z〉 di N con autovalore z

N |z〉 = λz|z〉 (7.25)

anche a†|z〉 ed a|z〉 sono autostati di N , aventi rispettivamente autovalori piu grandi o piu piccolidi una unita. Infatti, usando le relazioni di commutazione Eq. (7.24) , si vede immediatamente che

Na†|z〉 = (a†N + a†)|z〉 = (λz + 1)a†|z〉 (7.26)

Na|z〉 = (aN − a)|z〉 = (λz − 1)a|z〉. (7.27)

• Deve esistere un autostato |0〉 di N tale che

a|0〉 = 0. (7.28)

Infatti, gli autovalori λz sono non-negativi:

λz =〈z|N |z〉〈z|z〉

=〈z|a†a|z〉〈z|z〉

=〈z − 1|z − 1〉〈z|z〉

≥ 0, (7.29)

dove abbiamo definito |z − 1〉 ≡ a|z〉. Ma la Eq. (7.27) implica che

Nak|z〉 = (λz − k) |z〉. (7.30)

Questo comporta che per k sufficientemente grande lo stato ak|z〉 sia un autostato di N con auto-valore negativo, e quindi una contraddizione con la Eq. (7.29), a meno che non esista un valore dik0 < λz tale per cui lo stato

|0〉 = ak0 |z〉 (7.31)

soddisfi la Eq. (7.28) e

N |0〉 = 0. (7.32)

In altri termini, deve esistere uno stato |0〉 = 0, autostato di N associato all’autovalore nullo.Osserviamo inoltre che la Eq. (7.28) (e la sua aggiunta 〈0|a† = 0) implicano immediatamente chegli elementi di matrice diagonali degli operatori a ed a† si annullano tutti:

〈0|ap|0〉 = 〈0|(a†)p|0〉 = 0 (7.33)

Concludiamo quindi che gli autostati di N sono

|n〉 = Kn(a†)n|0〉 (7.34)

(dove Kn e una costante di normalizzazione) con autovalori

N |n〉 = n|n〉. (7.35)

Lo stato fondamentale |0〉 e comunemente detto “vuoto”, gli operatori a† ed a sono detti rispettiva-mente operatori di creazione e distruzione (o di innalzamento ed abbassamento), e l’operatore N e dettooperatore numero.

Noto lo spettro dell’operatore numero, la Eq. (7.22) determina immediatamente lo spettro dell’hamil-toniana:

En = ~ω(n+

1

2

). (7.36)

Lo stato fondamentale ha quindi energia

E0 =~ω2. (7.37)

7.2 Lo spettro di energia dell’oscillatore armonico quantistico 115

7.2.3 Normalizzazione ed elementi di matrice

La costante di normalizzazione degli stati Kn si determina usando ripetutamente le relazioni di commu-tazione

1 = 〈n|n〉 = |Kn|2〈0|(a)n(a†)n|0〉 = |Kn|2〈0|(a)n−1(aa†)(a†)n−1|0〉 (7.38)

= |Kn|2〈0|(a)n−1(a†a+ 1)(a†)n−1|0〉 = |Kn|2〈0|an−1(N + 1)(a†)n−1|0〉 (7.39)

= |Kn|2n〈0|(a)n−1(a†)n−1|0〉 = |Kn|2n(n− 1)〈0|(a)n−2(a†)n−2|0〉 (7.40)

= · · · = |Kn|2n!〈0|0〉. (7.41)

Notiamo che lo stesso argomento implica immediatamente che

〈n|m〉 = 0, se n 6= m, (7.42)

in quanto, se n 6= m, nell’ultimo passaggio resta sempre l’elemento di matrice di una potenza di a o di a†

nel vuoto, che si annulla per la Eq. (7.33).Supponendo che il vuoto sia normalizzato

〈0|0〉 = 1 (7.43)

si ha

Kn =1√n!. (7.44)

Con questa normalizzazione la Eq. (7.42) implica che lo spettro di autostati e ortonormalizzato:

〈n|m〉 = δnm. (7.45)

La normalizzazione determina completamente l’azione degli operatori di creazione e distruzione sugliautostati di energia:

a†|n〉 =Kn

Kn+1|n+ 1〉 =

√n+ 1|n+ 1〉 (7.46)

a|n〉 =√n|n− 1〉, (7.47)

da cui si ottengono immediatamente gli elementi di matrice

〈m|a†|n〉 = δm,n+1

√n+ 1 (7.48)

〈m|a|n〉 = δm,n−1

√n. (7.49)

Invertendo l’espressione Eq. (7.17-7.18) degli operatori di creazione e distruzione in termini di posizioneed impulso abbiamo

x =

√~

2mω(a+ a†) (7.50)

p = −i√mω~

2(a− a†), (7.51)

e quindi anche gli elementi di matrice di posizione ed impulso negli autostati di energia sono completa-mente determinati:

〈m|x|n〉 =

√~

2mω

(δm,n−1

√n+ δm,n+1

√n+ 1

)(7.52)

〈m|p|n〉 = −i√m~ω

2

(δm,n−1

√n− δm,n+1

√n+ 1

). (7.53)


Possiamo rappresentare la matrice dell’operatore x come:

〈m|x|n〉 =

√~

2mω

0√

1 . . . 0√1 0

√2√

2 0√

3...

. . ....

0 . . . 0

(7.54)

e analogamente per l’operatore p. Naturalmente, questa e la proprieta che avevamo dimostrato in prece-denza (si ricordi la Eq. (7.16)), per cui gli elementi di matrice dell’operatore x sono nonnulli solo traautostati di energia associati ad autovalori che differiscono di ~ω. Notiamo in particolare che

〈n|x|n〉 = 0; 〈n|p|n〉 = 0. (7.55)

Calcoliamo infine i valori medi delle indeterminazioni di posizione ed impulso in un autostato dienergia. Osserviamo che

x2 =~

2mω

(a2 + a†

2+ aa† + a†a

)=

~mω

(a2 + a†

2+ 2N + 1

)(7.56)

p2 =~mω

2

(−a2 − a†2 + aa† + a†a

)= ~mω

(−a2 − a†2 + 2N + 1

). (7.57)

Pertanto

〈n|x2|n〉 =~mω

(n+

1

2

)(7.58)

〈n|p2|n〉 = ~mω(n+

1

2

). (7.59)

Ne segue che i valori medi di energia cinetica e potenziale sono eguali fra loro, e dati da

〈T 〉 = 〈 p2

2m〉 =

~ω2

(n+

1

2

), (7.60)

〈V 〉 =1

2mω2〈x2〉 =

~ω2

(n+

1

2

). (7.61)

L’indeterminazione in posizione ed impulso si calcola utilizzando le equazioni Eq. (7.55,7.58,7.59):

∆2nx =

~mω

(n+

1

2

)(7.62)

∆2np = ~mω

(n+

1

2

)(7.63)

da cui segue che

∆2nx∆2

np = ~2

(n+

1

2

)2

. (7.64)

Questo significa che lo stato fondamentale e uno stato di minima indeterminazione, mentre il prodottodelle indeterminazioni cresce al crescere dell’energia.

7.3 Autofunzioni nella base delle coordinate

Vogliamo ora determinare le autofunzioni nella base delle coordinate.

7.3 Autofunzioni nella base delle coordinate 117

7.3.1 Funzione d’onda per lo stato fondamentale

Osserviamo innanzitutto che la condizione Eq. (7.28), ovvero che l’operatore di distruzione annichiliil vuoto, determina completamente la funzione d’onda dello stato fondamentale. Infatti, utilizzandol’espressione Eq. (7.17) dell’operatore di distruzione in termini di operatori posizione ed impulso, e lenote espressioni di questi ultimi nella base delle coordinate, e definendo

〈x|ψ〉 = ψ0(x) (7.65)

la Eq. (7.28) implica

∂ψ0(x)

∂x= −xψ0(x)

mω

~, (7.66)

la cui soluzione e

ψ0(x) = N0 exp

(−x

2mω

2~

), (7.67)

cioe una gaussiana di larghezza ∆x = ~mω . La condizione di normalizzazione Eq. (7.43) fissa

N0 =(mωπ~

) 14

. (7.68)

Notiamo che il fatto che lo stato fondamentale sia una gaussiana e in accordo con la Eq. (7.64) chedice che lo stato fondamentale e di minima indeterminazione.

7.3.2 Stati eccitati e polinomi di Hermite

Gli stati eccitati si ottengono utilizzando la Eq. (7.34), cioe agendo sul vuoto con l’operatore di creazione.In particolare il primo stato eccitato e

ψ1(x) = N0

√mω

2~

(x− ~

mω

∂

∂x

)exp

(−mωx

2

2~

)=

√mω

2~2xN0 exp

(−mωx

2

2~

). (7.69)

Agendo ripetutamente con l’operatore di creazione si trovano potenze crescenti di x e ulteriori derivate,che agendo sull’esponenziale si riducono a potenze di x che moltiplicano l’esponenziale. Si vede cosı chela funzione d’onda per l’n-esimo stato eccitato ha la forma

ψn(x) = 〈x|n〉 = ψ0(x)Hn(x) (7.70)

dove Hn(x) e un polinomio di grado n (si veda la Fig. 7.2).I polinomi Hn(x) sono noti come polinomi di Hermite. La condizione di ortonormalizzazione Eq. (7.45)

implica che essi devono soddisfare

〈n|m〉 =

∫dx|ψ0(x)|2H∗n(x)Hm(x) = δnm. (7.71)

Essi sono cioe ortonormali rispetto ad una misura di integrazione con un peso gaussiano. Si dimostrainoltre che essi soddisfano la relazione di completezza∑

n

|n〉〈n| = I, (7.72)

che noi abbiamo finora supposto essere valida senza dimostrazione. E interessante osservare che larelazione di completezza Eq. (7.72), scritta nella base delle coordinate, puo essere vista come unarappresentazione esplicita della delta di Dirac∑

n

〈x|n〉〈n|x′〉 = δ(x− x′). (7.73)


4 2 2 4

2

4

6

8

Figura 7.2: Rappresentazione delle autofunzioni dell’oscillatore armonico unidimensionale.

7.4 Evoluzione temporale

7.4.1 Operatore di evoluzione temporale ed evoluzione degli stato

L’operatore di evoluzione temporale nella base delle coordinate ha la forma

S(t, 0) =

∞∑k=0

〈x|n〉〈n|x′〉e−iEnt

~ =

∞∑k=0

ψ∗n(x)ψn(x′)e−iω(n+ 12 )t, (7.74)

dove le autofunzioni ψn(x) sono date dalla Eq. (7.70). L’evoluzione temporale di un vettore di statoqualunque in rappresentazione di Schrodinger e quindi data da

ψ(x, t) = 〈x|ψ(t)〉 =∑n

Cψn e−iω(n+ 1

2 )t|n〉, (7.75)

con

Cn = 〈n|ψ(0)〉. (7.76)

7.4.2 Evoluzione degli operatori posizione ed impulso e formule di BCH

E interessante studiare l’evoluzione temporale degli operatori posizione ed impulso in rappresentazionedi Heisenberg. Ricordiamo le equazioni del moto

dxHdt

=pHm

(7.77)

dpHdt

= −mω2xH . (7.78)

La dipendenza temporale puo ora essere determinata in vari modi, di cui il piu diretto e la risoluzione diquesto sistema accoppiato di equazioni differenziali. Discutiamo pero altri due metodi, ciascuno dei qualipresenta aspetti istruttivi.

Il primo metodo consiste nell’osservare che la soluzione formale delle equazioni di Hisenberg in terminidell’operatore di evoluzione temporale, e cioe

xH(t) = e−1i~ HtxSe

1i~ Ht (7.79)

pH(t) = e−1i~ HtpSe

1i~ Ht (7.80)

7.4 Evoluzione temporale 119

puo essere resa esplicita se si e in grado di determinare espressioni del tipo

exp(−A)B exp(A). (7.81)

Questo si puo fare usando le cosiddette formule di Baker-Campbell-Hausdorff. Abbiamo in primoluogo che

e−ABeA =B + [−A, B] +1

2![−A, [−A, B]] +

1

3![−A, [−A, [−A, B]]] + . . .

+1

n![−A, [−A, · · · [−A, B]] · · · ] (7.82)

(prima formula di BCH). Per dimostrarlo, notiamo che, sviluppando in serie di Taylor, possiamo scrivere

e−λABeλA|λ=1 =

[ ∞∑n=0

(λ)n

n!

d

dλne−λABeλA

∣∣∣λ=0

] ∣∣∣∣∣λ=1

= B + e−λA(−AB + BA)eλA + . . .+ +1

n!(−A . . . B + . . . BA) (7.83)

= B + [−A, B] +1

n![−A, . . . B].

Utilizzando questo risultato, si puo ulteriormente dimostrare la seconda formula di BCH,

eAeB = eA+Be12 [A,B]e . . . (7.84)

di cui omettiamo la dimostrazione.Usando la formula di BCH Eq. (7.82) troviamo quindi

xH(t) = e−1i~ HStxSe

1i~ HSt = xS +

(it

~

)[H, xS

]+

1

2

(it

~

)2 [H,[H, xS

]]+ . . . (7.85)

pH(t) = e−1i~ HStpSe

1i~ HSt = pS +

(it

~

)[H, pS

]+

1

2

(it

~

)2 [H,[H, pS

]]+ . . . . (7.86)

I commutatori si calcolano facilmente:

i

~

[H, xS

]=pSm

(7.87)(i

~

)2 [H,[H, xS

]]=i

~

[H,

pSm

]= −ω2xS (7.88)(

i

~

)2 [H,[H,[H, xS

]]]= − i

~ω2[H, xS

]= −ω2 pS

m(7.89)

e

i

~

[H, pS

]= −mω2xS (7.90)(

i

~

)2 [H[H, pS

]]=i

~mω2

i~

[H, xS

]= −ω2pS (7.91)(

i

~

)3 [H,[H,[H, pS

]]]=

[iH

~,−ω2pS

]= − i

~(ω2)

[H, pS

]= (ω2)2mxS . (7.92)

Vediamo quindi come commutando un numero pari di volte H con xS si trovi xS volte una potenzadi ω2, e commutando un numero dispari di volte H con xS si trovi pS volte una potenza di ω2, ed


inversamente scambiando pS con xS . Troviamo cosı

xH(t) =pSmω

[t− ω3t3

3!+ω5t5

5!+ . . .

]+ xS

[1− t2

2!(ω2) +

t4

4!(ω2)4 + . . .

]=xS cos(ωt) +

pSmω

sin(ωt); (7.93)

pH(t) =−mωxS[t− ω3t3

3!− ω5t5

5!+ . . .

]+ pS

[1− t2

2!ω2 +

t4

4!ω4 + . . .

](7.94)

=−mωxS sin(ωt) + pS cos(ωt). (7.95)

Naturalmente, queste coincidono con le equazioni classiche del moto.

7.4.3 Evoluzione temporale degli operatori di creazione e distruzione

Il secondo metodo di soluzione consiste nell’osservare che gli operatori di creazione e distruzione soddisfanoequazioni del moto disaccoppiate. Usando i commutatori Eq. (7.24) abbiamo infatti che

da

dt=

1

i~[a, H] = −iωa (7.96)

da†

dt=

1

i~[a†, H] = iωa†. (7.97)

La soluzione e percio immediata:

aH(t) = exp(−iωt)aS (7.98)

a†H(t) = exp(iωt)a†S . (7.99)

L’evoluzione temporale degli operatori di creazione e distruzione e consistente con il fatto che essiaggiungono o tolgono un quanto di energia. Infatti

〈n+ 1|a†H(t)|n〉 = eiωt〈n+ 1|a†S |n〉 = eiωt√n+ 1, (7.100)

ma d’altra parte

〈n+ 1; t|a†S |n; t〉 = 〈n+ 1|e−Hti~ a†SeHti~ |n; t〉 = 〈n+ 1|e−

1i~~ω(n+1+ 1

2 )ta†Se~ω(n+ 1

2 )t|n〉

= e−ωti 〈n+ 1|a†S |n〉 = eiωt

√n+ 1. (7.101)

Possiamo usare questo risultato per determinare l’evoluzione temporale degli operatori posizione edimpulso: usando le loro espressioni Eq. (7.50) in termini degli operatori di creazione e distruzione abbiamo

x(t) =

√~

2mω(a(t) + a†(t)) =

√~

2mω(e−iωtaS + eiωta†S)

=

√~

2mω

(e−iωt

√mω

2~

(xS +

ipSmω

)+ eiωt

√mω

2~

(xS −

ipSmω

))(7.102)

= xS cos(ωt) +pSmω

sin(ωt)

p(t) = −i√mω~

2(a(t)− a†(t)) = −i

√mω~

2(e−iωtaS − eiωta†S)

= −i√mω~

2

(e−iωt

√mω

2~

(xS +

ipSmω

)− eiωt

√mω

2~

(xS −

ipSmω

))(7.103)

= −mωxS sin(ωt) + pS cos(ωt),

che naturalmente riproduce il risultato Eq. (7.93).

7.5 Stati coerenti e “gatti di Schrodinger” 121

7.5 Stati coerenti e “gatti di Schrodinger”

Possiamo ora descrivere un tipico esperimento di interferenza quantistica, come l’esperimento in Zeilingervisto nella Sez. 1.1 utilizzando opportuni stati, realizzati come sovrapposizioni di stati di energia dioscillatore armonico: gli stati coerenti.

7.5.1 Gli stati coerenti

In presenza di un potenziale armonico, e possibile costruire dei pacchetti d’onda di minima indeter-minazione che non si allargano nel tempo, e tali per cui il centro del pacchetto oscilla con il periododell’oscillatore armonico classico, sia nella base delle posizioni che nella base degli impulsi. Questi statisono detti stati coerenti, e possono essere cosrtuiti come autostati dell’operatore di distruzione, come oravediamo. Consideriamo un’Hamiltoniana di oscillatore armonico,

H =p2

2m+

1

2mω2x2.

Cerchiamo degli stati |z〉 in modo che si abbia:

a|z〉 = z|z〉 (7.104)

con z ∈ C.In particolare, dato |n〉 autostato dell’Hamiltoniana (ovvero dell’operatore numero):

|z〉 =

∞∑n=0

|n〉〈n|z〉. (7.105)

si ha:

a|z〉 =

∞∑n=0

a|n〉〈n|z〉 =

∞∑n=0

√n|n− 1〉〈n|z〉 =

∞∑n′=0

√n′ + 1|n′〉〈n′ + 1|z〉. (7.106)

Tuttavia abbiamo imposto che |z〉 sia un autostato di a. Quindi posssiamo scrivere:

a|z〉 = z

∞∑n=0

|n〉〈n|z〉. (7.107)

Le due espressioni devono essere uguali: quindi otteniamo che il coefficiente dell’n-esimo stato e:

z〈n|z〉 =√n+ 1〈n+ 1|z〉. (7.108)

Ne segue che

〈n|z〉 =z√n〈n− 1|z〉 =

z√n

z√n− 1

〈n− 2|z〉 = . . . =zn√n!〈0|z〉. (7.109)

Lo stato coerente |z〉 e quindi

|z〉 =

∞∑n=0

|n〉zn√n!〈0|z〉 =

∞∑n=0

(za†)n

n!|0〉〈0|z〉 = eza

†|0〉〈0|z〉. (7.110)

La condizione di normalizzazione dello stato e

〈z|z〉 = |〈0|z〉|2∞∑

n,m=0

〈m|n〉zn(z∗)n√n!m!

=

∞∑n=0

|z|n

n!|〈0|z〉|2 = e|z|

2

|〈0|z〉|2, (7.111)


da cui segue

〈0|z〉 = e−12 |z|

2

. (7.112)

L’espressione generale di uno stato coerente e dunque

|z〉 = e−12 |z|

2

eza†|0〉. (7.113)

Calcoliamo i valori medi di x e p a tempo t = 0, servendoci degli operatori di creazione e distruzionee ricordando la Eq. (7.50):

〈z|x|z〉 =

√~

2mω〈z|(a+ a†)|z〉 =

√~

2mω(z + z∗) =

√2~mω

Re z (7.114)

〈z|p|z〉 = −i√m~ω

2〈z|(a− a†)|z〉 = −i

√~

2mω(z − z∗) =

√2m~ω Im z. (7.115)

Al tempo t invece si ha

|z; t〉 = e−12 |z|

2∞∑n=0

zn√n!e−iω(n+ 1

2 )t|n〉 = e−12 |z|

2−i 12ωt

∞∑n=0

(ze−iωt)n√n!

|n〉 = e−i12ωt|ze−iωt〉. (7.116)

Quindi, a meno di un fattore di fase globale e−i12ωt

|z; t〉 = |ze−iωt〉. (7.117)

Vediamo quindi che l’evoluzione temporale di uno stato coerente puo essere espressa in termini delladipendenza dal tempo del parametro z che lo caratterizza: z(t) = ze−iωt si muove in senso orario sullacirconferenza di raggio |z| nel piano complesso. Vediamo ora conme questo implichi che lo stato coerentenon si allarga durante l’evoluzione temporale.

A questo fine, calcoliamo l’indeterminazione:

∆2x = 〈z|(x− 〈x〉)2|z〉 =~

2mω〈z|((a+ a†)− (〈a〉+ 〈a†〉))2|z〉. (7.118)

Tuttavia, essendo |z〉 autostato di a si ha che

〈a〉 = z; 〈a†〉 = z∗. (7.119)

Percio

∆2x =~

2mω〈z|(a+ z∗ − z − z∗)(z + a† − z − z∗)|z〉 (7.120)

=~

2mω〈z|(a− z)(a† − z∗)|z〉 =

~2mω

〈z|(a† − z∗)(a− z) + [(a− z), (a† − z∗))]|z〉 (7.121)

=~

2mω〈z|[a, a†]|z〉 =

~2mω

. (7.122)

Allo stesso modo si ha:

∆2p = −~mω2〈z|((a− a†)− (〈a〉 − 〈a†〉))2|z〉 (7.123)

= −~mω2〈z|((a− a†)− (〈a〉 − 〈a†〉))((a− a†)− (〈a〉 − 〈a†〉))|z〉 (7.124)

=~mω

2〈z|[a, a†]|z〉 =

~mω2

. (7.125)


Di conseguenza, riassumendo

∆2x =~

2mω(7.126)

∆2p =~mω

2. (7.127)

Vediamo quindi che gli stati coerenti sono effettivamente stati di minima indeterminazione:

∆2x∆2p =~2

4. (7.128)

Inoltre, abbiamo visto che la dipendenza temporale dello stato puo essere espressa come una dipendenzadal tempo del parametro z. Ma le indeterminazioni Eq. (7.126) non dipendono da z, quindi ne concludiamoche lo stato coerente non si allarga.

Possiamo quindi riscrivere in termini delle indeterminazioni, indipendenti dal tempo, le leggi del motoper i valori medi di posizione ed impulso, Eq. (7.114), ricordando che

〈x〉 = 2∆x Re z

〈p〉 = 2∆p Im z. (7.129)

Si ha cosı

〈x(t)〉 = 2∆x Re z(t) =

√2~mω

Re ze−iωt =

√2~mω

Re

(√mω

2~

(x0 +

ip0

mω

)e−iωt

)= x0 cosωt+

p0

mωsinωt

〈p(t)〉 = 2∆p Im z(t) =√

2~mω Im ze−iωt =√

2~mω Im

(√mω

2~

(x0 +

ip0

mω

)e−iωt

)= p0 cosωt−mωx0 sinωt.

Vediamo quindi che il centro del pacchetto oscilla sia nello spazio delle posizioni che nello spazio degliimpulsi, mantenendo costante l’indeterminazione:

〈x(t)〉 = x0 cosωt+p0

mωsinωt (7.131)

〈p(t)〉 = p0 cosωt−mωx0 sinωt. (7.132)

Notiamo anche che le Eq. (7.129) ci dicono che l’interpretazione fisica del parametro z e di fornire il valormedio di impulso e posizione (a seconda che se ne considerino la parte reale o la parte immaginaria) inunita di indeterminazione. Questo vuol dire che uno stato coerente con le parti reale ed immaginaria diz sufficientemente grandi puo essere visto come uno stato ben localizzato sia in posizione che in impulso.

Consideriamo infine il prodotto scalare tra due stati coerenti |z1〉 e |z2〉. Si ha

〈z1|z2〉 =

∞∑n=0

(z∗1z2)n

n!e−

12 |z1|

2

e−12 |z2|

2

= ez∗1z2e−

12 |z1|

2− 12 |z2|

2

. (7.133)

Quindi gli stati coerenti sono normalizzati, ma non sono ortogonali. Tuttavia, consideriamo per esempioil caso in cui se |z1〉 = |z〉 e |z2〉 = | − z〉,

〈z| − z〉 = e−|z|2

e−12 |z|

2− 12 |z|

2

= e−2(Re2+Im2z). (7.134)

Ricordando che

Re z =1

2

〈x〉∆x

Im z =1

2

〈p〉∆p

vediamo che se gli stati coerenti sono localizzati in punti lontani in unita di indeterminazione, nello spaziodelle posizioni o degli impulsi, il loro prodotto scalare e sopresso esponenzialmente e quindi gli stati sonoquasi rtogonali.


7.5.2 Gatti di Schrodinger

Possiamo riprodurre molte delle idee dell’esperimento di Zeilinger considerando uno stato sovrapposizionedella forma

|ψcat〉 = eiα1 |z1〉+ eiα2 |z2〉, (7.135)

che chiamiamo “gatto di Schrodinger”. Nel caso dell’espemento di Zeilinger, i due stati |zi〉 corrispondonoad aver fatto passare il sistema attraverso fenditure, in esperimenti di ottica quantistica essi possonocorrispondere a far passare il sistema attraverso un interferometro di Mach-Zender (si veda la Figura 7.3),nel qual caso i due stati corrispondono al sistema che si e propagato attraverso ciascuno dei due braccidell’interferometro.

Figura 7.3: Interferometro di Mach-Zender

Per fabbricare un gatto a partire da uno stato coerente |z〉 lo si fa interagire con un potenziale op-portuno per un tempo opportuno. Al termine dell’interazione si ottiene uno stato |ψcat〉. Un esempiosemplice consiste nell’introdurre un potenziale di interazione dato dalla somma di un termine di inter-azione libero (di oscillatore armonico) e del prodotto di un termine di accoppiamento per il quadratodell’operatore numero, cosa che si puo realizzare mediante campi elettrici appositamente calibrati (effettoKerr):

H = H0 + ~gN2. (7.136)

L’evoluzione temporale dello stato coerente iniziale e

|ψ; t〉 = e1i~~gN2t|z(t)〉, (7.137)

dove l’effetto del termine H0 e gia contenuta nell’evoluzione temporale che trasforma z in z(t). Si haquindi

|ψ; t〉 = e1i~~gN2t|z〉 =

∞∑n=0

e1i~~gN2t|n〉〈n|z〉 =

∞∑n=0

e1i~~gn2t|n〉〈n|z〉. (7.138)

Possiamo ora fabbricare uno stato di tipo gatto scegliendo t in modo che

|ψ; t〉 =

∞∑n=0

(e−i

π2

)n2

|n〉〈n|z〉. (7.139)


Si ha:

(e−i

π2

)n2

= (−i)n2

=

1 n pari

−i n dispari, (7.140)

e quindi (e−i

π2

)n2

=1√2

(e−i

π4 + ei

π4 (−1)n

). (7.141)

Lo stato “gatto” Eq. (7.139) e quindi

|ψ; t〉 =1√2

(e−i

π4 |z〉+ ei

π4

∞∑n=0

|n〉〈n|z〉(−1)n

)=

1√2

(e−i

π4 |z〉+ ei

π4 | − z〉

). (7.142)

Vediamo ora come questo stato ci permetta di riprodurre la situazione che abbiamo visto negli es-perimenti di misura quantistica, come l’esperimento di Zeilinger. Inizialmente, eseguiamo una misura diposizione sullo stato. Supponiamo di partire con uno stato avente z = ip0, co p0 reale, dimodoche

〈x〉 = 2∆x Re z = 0, (7.143)

〈p〉 = 2∆p Im z = 2p0∆p. (7.144)

Lo stato gatto in tal caso e la sovrapposizione di due stati aventi impulso medio eguale ed opposto.Calcoliamo la probabilita di posizione |〈x|ψcat〉|2. Le funzioni d’onda nello spazio delle posizioni sono

della forma

〈x| ± z〉 = N e±ip0x

~ e−14x2

∆2x , (7.145)

visto che si tratta di stati di minima indeterminazione. Si ha percio:

P (x) = |〈x|ψcat〉|2 =1

2

∣∣e−iπ4 〈x|z〉+ eiπ4 〈x| − z〉

∣∣2 =1

2

∣∣∣e−iπ4N e ip0x~ e−

14x2

∆2x + eiπ4N e−

ip0x~ e−

14x2

∆2x

∣∣∣2=

1

2|N |2e−

12x2

∆2x

∣∣∣e−iπ4 e i~p0x + eiπ4 e−

i~p0x

∣∣∣2 = 2|N |2e−12x2

∆2x cos2(p0x

~− π

4

). (7.146)

Troviamo quindi la figura di interferenza tipica di esperimenti tipo Zeilinger, in cui lo stato del sistema euna sovrapposizione di stati sfasati: specificamente, troviamo una probabilita gaussiana modulata da uncoseno. La lunghezza d’onda di oscillazione del coseno e

λ =~p0

=~

2∆pIm z=

∆x

Im z, (7.147)

mentre la larghezza della gaussiana e ∆x.Pertanto, saranno visibili dell’ordine di Im z oscillazioni prima che la gaussiana smorzi l’interferenza,

che e quindi visibile purche Im z sia abbastanza grande, cioe purche i due stati di cui stiamo considerandola sovrapposizione siano abbastanza ben separati nello spazio degli impulsi. Lo stato “gatto” descrivequindi la situazione in cui si ha uno stato che e sovrapposizione di due stati ben distinti, come gli statidell’esperimento di Zeilinger corrispondenti alla particella passata dalla prima o dalla seconda fenditura.

Vediamo ora come una misura fa sparire l’interferenza: in questo caso quindi l’interferenza scomparese si esegue una misura di impulso che ci dice in quale dei due stati di cui il gatto e sovrapposizione essosi trova. Nel caso dell’esperimento di Zeilinger, questo corrisponde ad avere un rivelatore che ci dice dache fenditura sia passata la particella.) Un rivelatore, per definizione, e un ulteriore grado di liberta delsistema, al quale percio e associato un ket di stato. In presenza di rivelatore, quindi, il ket di stato delsistema e

|ψcat〉det = |ψcat〉|ψdet〉 (7.148)


dove |ψdet〉 e lo stato in cui si trova il rivelatore.Lo stato gatto in presenza di rivelatore e quindi

|ψcat〉det =1√2

(e−i

π4 |z〉|+det〉+ ei

π4 | − z〉|−det〉

), (7.149)

dove ±det〉 sono due stati in cui il rivelatore si trova, che supponiamo ben distinti,

〈+det|−det〉 = 0, (7.150)

per definizione di cioo che intendiamo con rivelatoreLa probabilita di una misura di posizione e ora

P (x) =1

2|〈x|ψcat〉det|2

=1

2

(|〈x|z〉|2|〈+det|+det〉|2 + |〈x| − z〉|2|〈−det|−det〉|2 + e−i

π2 〈z| − z〉〈+det|−det〉+ ei

π2 〈−z|z〉〈−det|+det〉

)(7.151)

=(|〈x|z〉|2|〈+det|+det〉|2 + |〈x| − z〉|2|〈−det|−det〉|2

),

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la Eq. (7.150). L’interferenza e quindi scomparsa perche itermini di interferenza sono pesati dal prodotto 〈+det|−det〉.

Possiamo ad esempio supporre che gli stati |±〉 siano anch’essi stati coerenti, cui gli stati di cui il“gatto” e sovrapposizione cede una frazione del proprio impulso:

|±〉 = | ± µp〉, (7.152)

dove µ e una costante sufficientemente piccola che dopo la misura gli stati ±p〉 non siano eccessivamenteperturbati, ma sufficientemente grande perche valga la Eq. (7.150).

Vediamo cosı che il “collasso della funzione d’onda”, ossia il fatto che dopo una misura la funzioned’onda si riduca a quella dello stato in cui il sistema e stato rivelato e inevitabile conseguenza dell’avertrattato anche il rivelatore in modo quantistico.

Parte IV

Meccanica quantistica in piudimensioni

Capitolo 8

Sistemi quantistici in piu di unadimensione

8.1 Spazi prodotto diretto

Introduciamo problemi quantistici in spazi rappresentabili come prodotto diretto. Consideriamo sinonimiprodotto diretto o prodotto tensoriale: dati due spazi vettoriali lineari H, K, ne denotiamo il prodottodiretto con H ⊗ K, e lo definiamo nel modo seguente. Prima di tutto, dati due insiemi di stati di base|ei〉 ∈ H e |fi〉 ∈ K, definiamo gli stati prodotto diretto |ei〉 ⊗ |fj〉. Il prodotto scalare tra due statiprodotto diretto e definito come

(〈ei′ | ⊗ 〈fj′ |) (|ei〉 ⊗ |fj〉) ≡ 〈ei′ |ei〉〈fi′ |fj〉. (8.1)

Si noti che il prodotto scalare cosı definito eredita le consuete proprieta di linearita e hermiticita daiprodotti scalari relativi agli spazi H e K. Se le basi sono ortonormali si ha cosı

(〈ei′ | ⊗ 〈fj′ |) (|ei〉 ⊗ |fj〉) = δii′δjj′ . (8.2)

Lo spazio prodotto diretto H⊗K e definito come lo spazio lineare ricoperto dagli stati

|ψ〉 =∑i,j

cij |ei〉 ⊗ |fj〉, (8.3)

dove cij sono numeri complessi. Bisogna prestare attenzione al fatto che anche se gli stati di base sonoun prodotto diretto, gli stati generici sono una sovrapposizione di stati prodotto diretto, ma non sono ingenerale scrivibili come prodotti: uno stato della forma

|φ〉 =

(∑i

ai|ei〉

)⊗

∑j

bj |fj〉

(8.4)

puo essere sempre sempre essere scritto nella forma Eq. (8.3) sviluppando il prodotto, ma naturalmentenon tutti gli stati Eq. (8.3) possono essere scritti nella forma fattorizzata Eq. (8.4). Vedremo molto piuavanti, nella sezione 14, come questo fatto sia alla base del fenomeno fisico dell’entanglement.

130 Sistemi quantistici in piu di una dimensione

8.1.1 Sistemi di dimensione finita

Come primo semplice esempio, consideriamo un sistema formato da 2 qubit1. In questo caso abbiamo i4 stati complessivi possibili

|ψ1〉 =|+〉 ⊗ |+〉|ψ2〉 =|+〉 ⊗ |−〉|ψ3〉 =|−〉 ⊗ |+〉 (8.5)

|ψ4〉 =|−〉 ⊗ |−〉.

Possiamo usare questo insieme di stati per descrivere una situazione fisica in cui lo stato del sistema ecaratterizzato da due osservabili, ciascuna delle quali puo assumere due valori possibili.

Per semplicita di notazione useremo nel seguito, qualora non ci siano ambiguita, una notazione in cuiil segno di prodotto tensoriale viene omesso, scrivendo i quattro stati come nella Eq. (8.6) ma senza ilsegno di prodotto diretto, oppure anche come

|ψ1〉 =|+ +〉|ψ2〉 =|+−〉|ψ3〉 =| −+〉 (8.6)

|ψ4〉 =| − −〉.

Osserviamo che un operatore che agisce sullo spazio degli stati fisici non e la somma di due matrici2× 2, ma un’unica matrice 4× 4, i cui elementi sono

〈mn|A|ij〉 = Amn,ij . (8.7)

Ponendo |mn〉 = |a〉 e |ij〉 = |b〉 possiamo scrivere

〈mn|A|ij〉 = Aa,b, (8.8)

chiamando i 4 stati, per esempio, 1, 2, 3, 4. Nel caso finito-dimensionale generale, il prodotto diretto didue spazi di dimensione n e uno spazio di dimensione n× n. Gli operatori su tale spazio sono matrici ilcui rango e pari alla dimensione del nuovo spazio prodotto diretto.

8.1.2 Piu dimensioni e piu particelle

Il concetto di spazio prodotto diretto ci permette di estendere al caso d-dimensionale la trattazione deisistemi meccanici sviluppata nel Capitolo 4 della prima parte.

Definiamo la versione d-dimensionale dell’operatore di posizione x, ossia il vettore di operatori #»x .Esso e una collezione di operatori:

#»x =

x1

x2

...xd

(8.9)

dove ogni coordinata e indipendente dalle altre. Come in geometria, si puo preferire una rappresentazionedi tipo vettoriale, in cui si manipolano dei vettori #»x , una rappresentazione esplicita in cui si rappresentanoi vettori come colonne e si indicano le loro componenti od ancora una notazione per componenti in cui sidenota l’i-esima componente con xi.

Notiamo una potenziale ambiguita terminologica che potrebbe essere fonte di confusione. Abbiamospesso usato il termine “vettore” per indicare gli stati nello spazio di Hilbert (come nell’espressione

“vettore di stato”). L’operatore #»x e invece un vettore nel senso della Eq. (8.9), ossia una collezione di

1Ricordiamo che un qubit e il sistema formato da una particella che puo trovarsi in due stati |+〉 o |−〉.

8.1 Spazi prodotto diretto 131

operatori etichettati da un indice, che corrisponde al fatto che ciascun xi e l’operatore posizione relativo adun diverso spazio unidimensionale — quello relativo alla i-esima coordinata. Non vi e in generale alcunarelazione tra lo spazio vettoriale cui appartiene questo vettore di operatori — lo spazio delle coordinate— e lo spazio vettoriale cui appartengono i vettori di stato — lo spazio degli stati fisici. Ad esempio,lo spazio delle coordinate e uno spazio vettoriale reale, mentre lo spazio degli stati fisici e uno spazio diHilbert, cioe uno spazio vettoriale complesso.

Dato un vettore di operatori posizione, possiamo introdurre lo spazio degli stati fisici costruito apartire dai risultati di misure di ciascuna delle componenti di questo operatore, in analogia con il casounidimensionale, dove gli autostati |xi〉 della posizione rispetto alla i-esima coordinata soddisfano

xi|xi〉 = xi|xi〉. (8.10)

In d dimensioni il vettore di operatori agisce su stati fisici costruiti a partire dagli autostati della po-sizione d-dimensionale. Effettuando una misura del vettore posizione riveliamo il sistema in un autostatodel vettore di operatori:

#»x | #»x 〉 = #»x | #»x 〉. (8.11)

La notazione compatta | #»x 〉 indica lo stato prodotto diretto

| #»x 〉 = |x1〉 ⊗ |x2〉 ⊗ · · · |xd〉, (8.12)

ossia lo stato in cui il sistema sia simultaneamente in un autostato della posizione lungo ciascuno dei d assicoordinati. Notiamo qundi che la componente i−esima del vettore #»x , ossia l’operatore xi e l’operatoreche agisce come l’operatore posizione sul vettore di base |xi〉 che entra a costituire il prodotto direttoEq. (8.12), e come l’identita su tutti gli altri vettori |xi〉

La densita di probabilita di rivelare in #»x un sistema d-dimensionale che si trova in nello stato |ψ〉 edata da

dP #»x = |〈 #»x |ψ〉|2d #»x , (8.13)

dove ψ( #»x ) e la funzione d’onda

〈 #»x |ψ〉 = ψ(x1, x2, . . . , xd) = ψ( #»x ). (8.14)

La funzione d’onda e quindi una funzione a valori complessi di d variabili reali. Il fatto che, comeabbiamo gia osservato, lo stato fisico generico non si possa scrivere nella forma fattorizzata Eq. (8.4)equivale a dire che in generale non e detto che la funzione d’onda si possa fattorizzare in tante sotto-funzioni d’onda: generalmente

ψ( #»x ) 6= ψ1(x1)ψ2(x2) · · ·ψd(xd), (8.15)

anche se naturalmente questo puo succedere in casi particolari.Oltre che per descrivere sistemi in piu di una dimensione, gli spazi prodotto tensoriale servono a

descrivere il caso di sistemi di piu di una particella. Lo spazio degli stati fisici per un sistema di nparticelle e il prodotto diretto degli n spazi di stati ad una particella. Indichiamo con |mk〉 i vettori dibase della k-esima particella: ad esempio, autostati di energia associati all m-esimo autovalore Em. Inquesto casi, possiamo costruire descrivere un sistema di n particelle come

|ψ〉 =∑

m1,...,mm

cm1,...,mn |m1〉 ⊗ |m2〉 ⊗ · · · |mn〉. (8.16)

8.1.3 Sistemi d-dimensionali in coordinate cartesiane

Consideriamo ora il caso di un sistema di una particella soggetta ad un potenziale in d dimensioni, descrit-to da un vettore di stato che nello spazio delle posizioni ha la forma della funzione d’onda d-dimensionale


ψ( #»x ) Eq. (8.14). Gli operatori canonici, posizione ed impulso, si possono costruire generalizzando diret-tamente al caso d dimensionale la costruzione unidimensionale vista nella prima parte: ad esempio, lacomponente dell’impulso lungo l’i-esimo asse si costruisce a partire dal generatore delle traslazioni lungoquell’asse:

〈 #»x | #»p |ψ〉 = −i~ #»∇ψ( #»x ) = −i~

∂∂x1

...∂∂xd

ψ( #»x ). (8.17)

L’evoluzione temporale del sistema e generata da un’hamiltoniana che possiamo scrivere per sistemimeccanici come somma di un termine cinetico d-dimensionale e di un potenziale, generalizzando in modoovvio il caso unidimensionale:

H =#»p

2

2m+ V ( #»x ). (8.18)

Esplicitamente, il termine cinetico e dato da

〈 #»x |#»p

2

2m|ψ〉 =

1

2m〈 #»x | #»p · #»p |ψ〉 =

1

2m〈 #»x |(p1)2 + (p2)2 + · · ·+ (p2)d|ψ〉 =

1

2m

d∑j=1

(−i~ ∂

∂xj

)2

ψ( #»x )

= − ~2

2m

d∑j=1

∂2

∂(xj)2ψ( #»x ) = − ~2

2m

#»∇ · #»∇ψ( #»x ). (8.19)

In particolare se d = 3

〈 #»x |#»p

2

2m|ψ〉 = − ~2

2m4ψ( #»x ), (8.20)

dove con 4 si intende il Laplaciano.

8.2 Separabilita

In molti casi, la trattazione di un problema in piu di una dimensione puo essere ridotta alla risoluzionedi un problema definito in uno spazio di dimensione meno elevata. Un caso particolarmente semplice equello di hamiltoniane separabili.

8.2.1 Potenziali separabili in coordinate cartesiane

Consideriamo una particella d-dimensionale soggetta ad un hamiltoniana della forma della Eq. (8.18), macon un potenziale della forma

V ( #»x ) = V1(x1) + V2(x2) + . . . Vd(xd) =

d∑i=1

Vi(xi). (8.21)

In tal caso, l’Hamiltoniana puo essere scritta come somma di hamiltoniane unidimensionali. Infatti

H =#»p

2

2m+∑i

Vi(xi) =

n∑i=1

Hi, (8.22)

dove

Hi =#»p

2

i

2m+ Vi(xi). (8.23)

8.2 Separabilita 133

La determinazione dello spettro dell’hamiltoniana si riduce cosı alla determinazione dello spettro dihamiltoniane unidimensionali:

〈 #»x |H|ψ〉 = 〈 #»x |H1|ψ〉+ 〈 #»x |H2|ψ〉+ . . .

=

(− ~2

2m

∂2

(∂x1)2+ V (x1)

)ψ( #»x ) +

(− ~2

2m

∂2

(∂x2)2+ V (x2)

)ψ( #»x ) + . . . . (8.24)

Una hamiltoniana che puo essere scritta come somma di hamiltoniane unidimensionali si dice separabilein coordinate cartesiane.

Se conosciamo gli autostati |ψki 〉 della i-esima hamiltoniana

Hi|ψki 〉 = Eki |ψki 〉; 〈xi|ψk〉 = ψki (xi) (8.25)

si verifica facilmente che lo stato prodotto

ψk1k2···kd( #»x ) = ψk1(x1)ψk2

(x2) · · ·ψkd(xd) (8.26)

e autostato dell’hamiltoniana complessiva Eq. (8.22). Infatti

〈 #»x |H|ψk1k2···kd〉 = − ~2

2m

∂2ψk1(x1)

∂x12

ψk2(x2) · · ·ψkn(xd) + V (x1)ψk1k2···ks(#»x )

− ~2

2mψk1

(x1)∂2ψk2(x2)

∂x22· · ·ψkd(xd) + V (x2)ψk1k2···kd( #»x ) + · · · , (8.27)

ma le ψki sono autofunzioni di Hi:

− ~2

2m

∂2

∂x12ψki(xi) + Vi(xi)ψki(xi) = Ekiψki(xi), (8.28)

e quindi

〈 #»x |H|ψk1k2···kd〉 = Ek1ψk1k2···kd( #»x ) + Ek2ψk1k2···kd( #»x ) + · · ·+ Ekdψk1k2···kd( #»x )

= (Ek1 + Ek2 + . . . Ekd)ψk1k2···kd( #»x ). (8.29)

8.2.2 Hamiltoniane separabili

E facile vedere che le autofunzioni Eq. (8.26) sono le piu generali, cioe che tutte e sole le autofunzionidell’hamiltoniana hanno questa forma. L’argomento ci fornisce inoltre un metodo generale per capirequando una hamiltoniana e separabile, e che cosaq questo comporta.

Notiamo preliminarmente che la generalizzazione d-dimensionale del commutatore canonico

[p, x] = −i~ (8.30)

e

[pi, xj ] = −i~δij [xi, xj ] = 0 [pi, pj ] = 0. (8.31)

Infatti, la i-esima componente del vettore impulso genera le traslazioni lungo l’i-esimo asse lascian-do tutte le altre coordinate invariate. Dal commutatore Eq. (8.31) segue che le singole hamiltonianeunidimensionali commutano tra loro

[Hi(xi, pi), Hj(x

j , pj)] = 0 se i 6= j, (8.32)

e di conseguenza, possono essere diagonalizzate simultaneamente (e simultaneamente alla H Eq. (8.22),che ne e la somma).


Ne segue immediatamente che

Ek = Ek1+ Ek2

+ . . . Ekd . (8.33)

Inoltre, la dipendenza dell’autofunzione 〈 #»x |ψ〉 = ψ( #»x ) da ciascuna delle d variabili xi e fissata dal fattoche la funzione e autofunzione dell’Hamiltoniana relativa a tale variabile.

Questo argomento si generalizza immediatamente a qualunque hamiltoniana che puo essere scrittacome somma di hamiltoniane che commutano. Infatti, se

H = H1 + · · ·+ Hn (8.34)

e

[Hi, Hj ] = 0 (8.35)

le hamiltoniane sono diagonalizzabili simultaneamente

Hi|ki〉 = Eki |ki〉, (8.36)

e una base di autofunzioni per l’hamiltoniana d-dimensionale H Eq. (8.34) e

|k1 . . . kd〉 = |k1〉 ⊗ · · · ⊗ |kd〉. (8.37)

L’argomento precedente implica inoltre che gli autostati dell’hamiltoniana Eq. (8.34) sono gli stati fat-torizzati Eq. (8.37), con autovalore dato da

Ek1...kd = Ek1+ · · ·+ Ekd . (8.38)

Una hamiltoniana H che si puo scrivere come somma di hamiltoniane che commutano e detta sepa-rabile, e vediamo cosı che i suoi autovalori e le sue autofunzioni possono sempre essere scritti rispettiva-mente usando la Eq. (8.33) e la Eq. (8.37) in termini delle autofunzioni e degli autovalori Eq. (8.36) dellehamiltoniane Hi in termini delle quali e stata separata.

8.2.3 Esempi tridimensionali

Buca di potenziale cubica

Consideriamo l’Hamiltoniana

H =#»p

2

2m+ V ( #»x ), (8.39)

con

V ( #»x ) =

3∑i=1

Vi(xi), (8.40)

dove

Vi(xi) =

0 se |xi| < ai

∞ se |xi| > ai. (8.41)

Essa corrisponde ad una buca di potenziale parallelepipedale (sistema confinato all’interno di un paral-lelepipedo nello spazio tridimensionale).

Possiamo scomporre il problema in tre sottoproblemi come visto prima:(pi2

2m+ Vi(x

i)

)|ψni〉 = Eni |ψni〉 (8.42)

8.2 Separabilita 135

dove

Eni =~2k2

ni

2mkni =

niπ

2ai(8.43)

con ni = 1, 2 . . .∞. Ricordiamo che la forma esplicita delle autofunzioni e:

〈xi|ψni〉 =

Ani cos knix

i ni = 2n+ 1

Bni sin knixi ni = 2n

. (8.44)

Lo spettro dell’Hamiltoniana totale e definito dall’equazione agli autovalori

H|ψn1n2n3〉 = En1n2n3

|ψn1n2n3〉 (8.45)

con

En1n2n3=

~2π2

8m

(n2

1

a21

+n2

2

a22

+n2

3

a23

). (8.46)

n1, n2, n3 sono detti numeri quantici.Se i valori di ai sono commensurabili, e possibile che lo spettro presenti delle degenerazioni. Consid-

eriamo ad esempio il caso a1 = a2 = a3 = a (buca cubica). In questo caso si ha

En1n2n3 =~2π2

8ma2(n2

1 + n22 + n2

3). (8.47)

Lo stato fondamentale e

E111 =~2π2

ma2

3

8(8.48)

e non presenta degenerazioni. Per il primo stato eccitato si ha invece

E211 = E121 = E112 =~2π2

ma2

3

4, (8.49)

e lo stato e quindi 3 volte degenere. Al crescere dell’energia aumenta il numero di stati diversi associatial medesimo autovalore. Calcolare il livello di degenerazione al crescere di E e un problema complessodi algebra combinatoria, che si puo risolvere per n1 + n2 + n3 tendente ad infinito: in questo limite ilnumero di stati cresce come la superficie di una sfera.

Oscillatore armonico tridimensionale

Consideriamo ora l’hamiltoniana

H =#»p

2

2m+ V ( #»x ) (8.50)

con

V ( #»x ) =

3∑i=1

Vi(xi) (8.51)

e dove

Vi(xi) =

1

2mω2

i (xi)2. (8.52)

Lo spettro di energia ha la forma

H|ψn1n2n3〉 = En1n2n3

|ψn1n2n3〉, (8.53)


e la ψ( #»x ) e il prodotto di tre autofunzioni dell’oscillatore armonico in x, y, z. Gli autovalori sono

En1n2n3= ~

(n2ω1 + n2ω2 + n3ω3 +

1

2(ω1 + ω2 + ω3)

). (8.54)

Supponiamo ora che ω1 = ω2 = ω3 = ω (oscillatore isotropo). Il potenziale e quindi

V ( #»x ) =1

2mω2

3∑i=0

(xi)2 =

1

2mω2 #»x

2. (8.55)

Si vede quindi che il potenziale ha simmetria sferica (dipende solo dalla norma del vettore #»x ). In talecaso si ha

En1n2n3= ~ω

(n1 + n2 + n3 +

3

2

)= ~ω

(N +

3

2

)(8.56)

con N = 0, 1, . . .∞.Lo spaziamento dei livelli e quindi identico a quello del caso unidimensionale, pur essendo cambiata

l’energia dello stato fondamentale. Inoltre, l’N -esimo livello energetico ora e degenere. La degenerazionesi calcola notando che possiamo scegliere n1 in N + 1 modi diversi (n1 = 0, 1, 2, . . . , N). Una volta scelton1 possiamo scegliere n2 in N − n1 + 1 modi diversi (n2 = 0, 1, . . . , N − n1). Una volta scelti n1 ed n2,n3 e fissato: n3 = N − n1 − n2. La degenerazione e quindi

d =

N∑n1=0

(N − n1 + 1) = (N + 1)

N∑n1=0

1−N∑

n1=0

n1 = (N + 1)2 − 1

2N(N + 1) =

1

2(N + 1)(N + 2). (8.57)

8.3 Problemi a due corpi e problemi centrali

8.3.1 Il problema dei due corpi

Un sistema di due corpi che interagiscono attraverso un potenziale che dipende solo dalla loro separazionefornisce un esempio classico di problema separabile attraverso un semplice cambio di coordinate. Ilsistema e descritto dall’Hamiltoniana:

H =#»p

2

1

2m1+

#»p2

2

2m2+ V ( #»x 1 − #»x 2) : (8.58)

il potenziale dipende solo dalla differenza delle coordinate. Le variabili canoniche per questo problemasoddisfano le regole di commutazione

[pia, xjb] = −i~δijδab (8.59)

[pia, pjb] = [xia, x

jb] = 0, (8.60)

dove a, b = 1, 2 etichettano le due particelle mentre i, j = 1, 2, 3 etichettano le tre coordinate spaziali.Il problema si separa definendo le coordinate relative e quelle del baricentro

#»r = #»x 1 − #»x 2 (8.61)

#»

R =m1

#»x 1 +m2#»x 2

m1 +m2. (8.62)

A queste vanno associate i rispettivi impulsi coniugati

#»p =m2

#»p 1 −m1#»p 2

m1 +m2(8.63)

#»

P = #»p 1 + #»p 2. (8.64)

8.3 Problemi a due corpi e problemi centrali 137

Si verifica facilmente che le coordinate e gli impulsi Eq. (8.61-8.63) soddisfano relazioni di commutazionecanoniche;

[pi, rj ] = −i~δij [P i, Rj ] = −i~δij (8.65)

[pi, pj ] = [ri, rj ] = [P i, P j ] = [Ri, Rj ] = [ri, P j ] = [pi, Rj ] = 0. (8.66)

Ad esempio,

[pi, rj ] =

[m2p

i1 −m1p

i2

m1 +m2, xj1 − x

j2

]=

1

m1 +m2(m1(−i~)δij +m2(−i~)δij) = −i~δij ; (8.67)

[pi, Rj ] =

[m2p

i1 −m1p

i2

m1 +m2,m1x

j1 +m2x

j2

m1 +m2

]=

1

m1 +m2(m1m2δ

ij −m1m2δij) = 0, (8.68)

e cosı via.Si verifica facilmente con il calcolo esplicito che nelle nuove coordinate Eq. (8.61-8.63) il termine

cinetico nell’hamiltoniana Eq. (8.58) si separa

T =#»p

2

1

2m1+

#»p2

2

2m2=

#»

P2

2M+

#»p2

2µ, (8.69)

dove la massa totale M e la massa ridotta µ sono rispettivamente

M = m1 +m2 (8.70)

1

µ=

1

m1+

1

m2, (8.71)

sicche l’hamiltoniana diventa

H =

#»

P2

2M+

#»p2

2µ+ V ( #»r ), (8.72)

Il problema dei due corpi e percio separabile in due problemi ad un corpo,

H = HB(#»

R,#»

P ) + Hr(#»r , #»p ) (8.73)

con

HB =

#»

P2

2M(8.74)

Hr =#»p

2

2µ+ V ( #»r ) (8.75)

e con

[HB , Hr] = 0. (8.76)

Lo spettro puo quindi essere determinato come discusso nella Sez. 8.2.E importante capire la logica con cui il cambiamento di coordinate viene costruito. Innanzitutto, e

necessario scegliere #»r = #»x 1− #»x 2 affinche il potenziale dipenda da una coordinata sola. Inoltre, data unascelta di cambiamento di coordinate posizione, il cambiamento delle coordinate impulso e interamentefissato dalle relazioni di commutazione canoniche, come dimostreremo nella prossima sezione. Quindi per

ogni scelta di#»

R sono completamente fissati#»

P e #»p . D’altra parte, per ogni scelta di#»

P , c’e una solascelta di #»p che separa il termine cinetico nella somma di due termini secondo la Eq. (8.69): questo efacile dimostrare con un argomento identico a quello classico, visto che tutti gli operatori che compaiononel termine cinetico commutano fra loro e quindi possono essere trattati come oggetti classici. Quindi la

scelta#»

R = m1#»x 1+m2

#»x 2

m1+m2e fissata dalla richiesta che si separi il termine cinetico.


8.3.2 Cambiamenti lineari di coordinate

Il passaggio dalle coordinate dei due corpi alle coordinate relative e del baricentro discusso nella sezioneprecedente e un caso particolare di un cambiamento lineare di coordinate della forma(

#»x′1

#»x′2

)= M

(#»x 1#»x 2

), (8.77)

tale che la matrice M sia invertibile. il cambio di coordinate Eq. (8.61) ne e un caso particolare: usandola notazione piu compatta

#»x′1 ≡ #»r (8.78)

#»x′2 ≡

#»

R, (8.79)

esso corrisponde alla scelta

M =

(1 −1m1

m1+m2

m2

m1+m2

). (8.80)

Si dimostra facilmente che, per un cambiamento di coordinate della forma generale Eq. (8.77), latrasformazione associata degli impulsi che preserva le relazioni di commutazione canoniche, ovvero taleche

[p′i

a′ , x′jb′ ] = −i~δijδa′b′ . (8.81)

e data da

( #»p′1

#»p′2) = ( #»p 1

#»p 2)N (8.82)

con

N = M−1, (8.83)

ovvero, in componenti

#»p′a′ = #»p aNaa′ (8.84)

dove sottintendiamo che gli indici ripetuti vanno sommati.Infatti:

[p′i

a′ , x′jb′ ] = [pia, x

jb]Naa′Mb′b = −i~δijδabNaa′Mb′b = −i~δij(MN)b′a′ . (8.85)

Di conseguenza si ha:

[p′i

a′ , x′jb′ ] = −i~δij(I)b′a′ ⇔ N = M−1. (8.86)

Possiamo ricavare la trasformazione degli impulsi Eq. (8.82-8.83) da principi primi, costruendo gliimpulsi come generatori delle traslazioni. Questo puo essere semplicemente fatto utilizando la rappresen-tazione delle coordinate, dove

〈 #»x | #»p |ψ〉 = −i~ #»∇ψ( #»x ) (8.87)

〈 #»x | #»p | #»x ′〉 = −i~ #»∇xδ( #»x − #»x ′). (8.88)

Per semplificare la notazione, scriviamo

pi = −i~ ∂

∂xi, (8.89)


osservando tuttavia che questo e un abuso di notazione: gli elementi di matrice dell’operatore impulsohanno la forma Eq. (8.87) nella base delle coordinate, ma non possiamo identificare l’operatore impulsocon l’operatore derivata (sono operatori che agiscono su spazi diversi: l’uno sullo spazio dei vettori distato, l’altro sulle funzioni). Possiamo pero vedere la Eq. (8.89) come una notazione abbreviata perl’operatore differenziale −i~∂i, che scegliamo di indicare, con abuso di notazione, con lo stesso simbolousato per l’operatore impulso.

Come esercizio, calcoliamo il commutatore canonico con questa notazione. Il calcolo standard e

〈 #»x |[pi, xj ]|ψ〉 = −i~ (∂ixj − xi∂j)ψ( #»x ) = −i~δijψ( #»x ). (8.90)

Con la notazione Eq. (8.89) scriviamo

[pi, xj ] = −i~ (∂ixj − xi∂j) = −i~δij . (8.91)

Visto che nella notazione Eq. (8.89) gli operatori pi sono operatori differenziali, si sottintende che essiagiscano (a destra) su una funzione d’onda. Questo spiega l’ultimo passaggio: nel termine ∂ixj la derivataagisce sia su xj (producendo il risultato finale), sia sulla funzione d’onda (non scritta), e il termine in cuisi agisce sulla funzione d’onda si elide con −xi∂j .

Quindi, con questa notazione compatta, tutti gli operatori posizione sono rimpiazzati dai loro autoval-ori, gli operatori impulso sono rimpiazzati da derivate, ed infine ogni derivata va fatta su tutti gli oggettiche si trovano alla sua destra, sottintendendo sempre un’ultima derivata della funzione d’onda (anchequando questa non viene scritta).

Avendo introdotto questa notazione semplificata, abbiamo che i generatori delle traslazioni nelle nuovevariabili sono

p′ia′ = −i~ ∂

∂x′ia′. (8.92)

Usando la regola della derivata composta

−i~ ∂

∂x′(i)a′

= −i~ ∂x(i)a

∂x′(i)a′

∂

∂x(i)a

, (8.93)

dove la parentesi attorno all’indice i indica che esso, pur essendo ripetuto, non va sommato (la trasfor-mazione di coordinate viene infatti eseguita separatamente per ciascuna coordinata i). Ma per il cambiodi coordinate Eq. (8.77)

∂x′(i)a′

∂x(i)a

= Ma′a, (8.94)

e percio

∂x(i)a

∂x′(i)a′

= M−1aa′ . (8.95)

Quindi

p′ia′ = −i~ ∂

∂x′ia′= −i~ ∂

∂xiaM−1aa′ = piaM

−1aa′ = p′

ia′ , (8.96)

in accordo con le Eq. (8.82-8.83).Notiamo infine che il caso discusso qui, in cui il cambio di coordinate rimescola le coordinate delle

due particelle, ma non diverse componenti cartesiane della coordinate di ciascuna particella, ed inoltre ilcambio e lo stesso per tutte le coordinate, e un caso particolare di un piu generale cambio di coordinatein cui la matrice M e una matrice generale sei per sei. La generalizzazione a questo caso e ovvia edimmediata.


8.3.3 Problemi centrali

Avendo separato il moto relativo da quello del baricentro ci concentriamo ora su una hamiltoniana adun corpo. Per non appesantire la notazione, indichiamo la massa con m anche se nel caso del problemaottenuto riducendo un problema a due corpi si tratta della massa ridotta. Consideriamo inoltre il caso dipotenziali che dipendono solo dal modulo dell’operatore posizione, ossia

H =#»p

2

2m+ V (|| #»x ||). (8.97)

Potenziali di questo tipo sono detti centrali.In analogia con il caso classico, vogliamo separare il moto angolare dal moto radiale. A questo scopo,

introduciamo coordinate sferiche: x1 = r sinϑ cosϕ

x2 = r sinϑ sinϕ

x3 = r cosϑ

(8.98)

In coordinate sferiche si ha V = V (r), quindi il problema si separa se siamo in grado di separare iltermine cinetico. In meccanica classica, il termine cinetico in coordinate sferiche si separa

#»p 2 = p2r +

#»

L2

r2(8.99)

utilizzando l’identita vettoriale

( #»a · #»

b )2 = || #»a ||2|| #»b ||2 − || #»a × #»

b ||2, (8.100)

da cui la Eq. (8.99) segue immediatamente ponendo

#»a = #»x ;#»

b = #»p ;#»

L = #»a × #»

b (8.101)

e definendo pr = 1||~x||~x · ~p. Quantisticamente dobbiamo tuttavia ricordare che #»x e #»p sono operatori non

commutanti.Ricordiamo dapprima la dimostrazione dell’identita Eq. (8.100). Introduciamo il tensore completa-

mente antisimmetrico εijk, definito dalle relazioni

εijk = −εjik = εkij = −εikj ε123 = 1. (8.102)

La definizione implica che εijk si annulla quando due indici sono uguali, e pari a +1 per ogni permutazioneciclica degli indici rispetto all’ordinamento 123, ed e pari a −1 per ogni permutazione anticiclica. Ilprodotto esterno di due vettori si puo scrivere in termini del tensore completamente antisimmetrico come

( #»a × #»

b )i = εijkajbk. (8.103)

Si verifica facilmente che

εijkεiab = (δjaδkb − δjbδka), (8.104)

da cui la Eq. (8.100) segue immediatamente:

|| #»a × #»

b ||2 = εimnεijkambnajbk = (δmjδnk − δmkδnj)ambnajbk = ajajbkbk − ajbjakbk

= || #»a ||2|| #»b ||2 − ( #»a · #»

b )2. (8.105)

Nel caso quantistico, identifichiamo innanzitutto la componente radiale dell’operatore impulso. Incoordinate cartesiane si ha

#»p = −i~ #»∇ (8.106)


(continuando ad usare la notazione introdotta in Eq. (8.89)). Proiettiamo tale impulso lungo la compo-nente radiale. Chiamiamo quindi

pr :=#»x

r· #»p . (8.107)

E facile vedere che

#»x

r· #»∇ =

∂

∂r, (8.108)

per cui

pr = −i~ ∂∂r

(8.109)

e

[pr, r] = −i~, (8.110)

dimodoche ˆpr genera le traslazione della coordinata radiale. Vedremo tuttavia piu avanti che esso nonpuo essere direttamente identificato con l’impulso radiale, in quanto non e hermitiano, e percio non eassociabile ad una osservabile fisica.

Per dimostrare la Eq. (8.108), notiamo che

∂i =

(∂ir

∂

∂r+ ∂iϑ

∂

∂ϑ+ ∂iϕ

∂

∂ϕ

). (8.111)

Il secondo e il terzo termine sono dei termini trasversali a r: se li proiettiamo lungo la direzione radialetroviamo 0.

∂ϑ

∂xixi =

∂ϕ

∂xixi = 0. (8.112)

Questo puo essere dimostrato esplicitamente ma si puo vedere senza eseguire alcun calcolo: se conside-riamo ϑ( #»x ) e ϕ( #»x ) come funzioni a valori reali nell spazio tridimensionale, ∂ϑ

∂xi e ∂ϕ∂xi sono i gradienti di

tali funzioni, e quindi sono perpendicolari alle superfici di ϑ e ϕ costante. Ma ovviamente la direzione divariazione della coordinata radiale, a ϑ e ϕ invariati, e parallela in ogni punto al vettore xi, che e quindiortogonale alla direzione di entrambi questi gradienti. Troviamo quindi

xi

r∂i =

xi

r

∂r

∂xi∂

∂r=xi

r

∂

∂xi

√(x1)2 + (x2)2 + (x3)2

∂

∂r=xi

r

xi√(x1)2 + (x2)2 + (x3)2

∂

∂r=

∂

∂r. (8.113)

Possiamo ora ripetere il calcolo Eq. (8.3.3) con l’identificazione #»a = #»x ,#»

b = #»p dove #»x e #»p sonooperatori quantistici che soddisfano relazioni di commutazione canoniche

[pi, xj ] = i~δij . (8.114)

Si ha:

εijkεilmxjpkxlpm = (δjlδkm − δjmδkl)xjpkxlpm = xjpkxjpk − xjpkxkpj

= r2 #»p 2 − i~xjpj − (xjpjpkxk + xjpk[xk, pj ])

= r2 #»p 2 − i~xjpj − (xjpjxkpk + xjpj [pk, xk] + i~xjpj)

= r2 #»p 2 − i~ #»x · #»p −# »

(x · p)(x · p)− ( # »x · p(−i~)3 + i~ # »x · p)= r2 #»p 2 − i~ #»x · #»p + 2i~ #»x · #»p − ( #»x · #»p )2

= r2 #»p 2 + i~ #»x · #»p − ( #»x · #»p )2. (8.115)


Definiamo ora l’operatore

#»

L = #»x × #»p , (8.116)

che, come vedremo piu avanti, puo essere legato al momento angolare quantistico, e nella base dellecoordinate prende la forma

Li = −i~εijkxj∂k. (8.117)

Si vede immediatamente che#»

L e ortogonale ad #»x :

#»x · #»

L = xiLi = εijkxixjpk =

1

2εijk[xi, xj ]pk = 0. (8.118)

Di conseguenza si tratta di un operatore differenziale che proiettato lungo la direzione radiale si annulla,e quindi non puo contenere derivate rispetto ad r:

#»

L =#»

L

(∂

ϑ,∂

ϕ, ϑ, ϕ

). (8.119)

Mantenendo l’ordinamento, possiamo quindi riscrivere la Eq. (8.115) come

#»p 2 =1

r2

(( #»x · #»p )2 − i~( #»x · #»p ) +

#»

L2). (8.120)

Abbiamo cosı espresso #»p 2 come la somma di un termine dipendente dalla componente radiale ed uno chenon contiene derivate rispetto ad essa. Possiamo usare la Eq. (8.120) per separare l’operatore cinetico,in analogia alla separazione classica Eq. (8.99):

#»p 2

2m=

1

2mr2

((−i~)2r

∂

∂rr∂

∂r+ (−i~)2r

∂

∂r+

#»

L2

)= − ~2

2m

(∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r+

#»

L2

2mr2

), (8.121)

avendo fatto uso del fatto che ∂rr = r∂r+1. Nell’ultimo passaggio abbiamo inoltre tenuto conto del fattoche

#»

L non contiene derivate rispetto a r e quindi l’ordinamento di#»

L e r e irrilevante.Possiamo riscrivere la Eq. (8.121) in modo particolarmente elegante in termini di impulso radiale.

Come si e detto, ˆpr non e hermitiano. Infatti:

ˆp†r =

(#»x

r· #»p

)†=

(#»p†·

#»x†

r†

)(8.122)

che non puo essere identificato con ˆpr perche r e ˆpr non commutano. Troviamo cosı

p†r = −i~∂ixi

r= −i~x

i

r∂i − i~

(∂ixi

r

)= pr − i~

(3

r+ xi

(∂i

1

r

))= pr −

2i~r. (8.123)

A questo punto e possibile definire un impulso radiale autoaggiunto come

pr =1

2(ˆpr + ˆp†r) = ˆpr −

i~r, (8.124)

ovvero

pr = −i~(∂

∂r+

1

r

). (8.125)


Notiamo ora che

p2r = −~2

(∂

∂r+

1

r

)(∂

∂r+

1

r

)= −~2

(∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r+

[∂

∂r,

1

r

]+

1

r2

)+

#»

L2

2mr2= −~2

(∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r

).

(8.126)

Confrontando con la Eq. (8.121) vediamo quindi che il termine cinetico puo essere scritto come

#»p2

2m=

1

2m

p2r +

#»

L2

r2

(8.127)

che quindi coincide con l’espressione classica.

Capitolo 9

Il momento angolare

Lo studio del momento angolare in meccanica quantistica e, anche storicamente, il prototipo per lo studiodelle simmetrie nella fisica teorica. La sua importanza va quindi al di la del suo pur significativo ruolonella descrizione dei sistemi quantistici tridimensionali.

9.1 Momento angolare e rotazioni

Viene spontaneo definire l’operatore momento angolare quantistico a partire da quello classico usando ilprincipio di corrispondenza, e cioe definendo, come in Eq. (8.116),

#»

L = #»x × #»p , (9.1)

dove #»x e #»p sono gli operatori posizione ed impulso. D’altra parte, abbiamo visto che in generale un’osserv-abile quantistica viene costruita a partire dalla legge di conservazione classica corrispondente. Ricordiamoquindi che in meccanica classica il momento angolare e la quantita che si conserva quando la dinamica einvariante per rotazioni. Verifichiamo quindi che l’espressione dell’operatore momento angolare in mec-canica quantistica che si ottiene a partire dal generatore delle rotazioni, il cui spettro si conserva quandoc’e’ invarianza per rotazioni, coincide con l’espressione Eq. (9.1) che si ottiene usando il principio dicorrispondenza.

9.1.1 Il caso classico: teorema di Noether

Ricordiamo innanzitutto che il momento angolare classico e la carica di Noether conservata quando vie invarianza per rotazioni: specificamente, la componente di

#»

L lungo un asse si conserva quando c’einvarianza per rotazioni attorno a tale asse, ossia se il problema e invariante per rotazioni sul piano adesso ortogonale.

Per dimostrarlo, consideriamo per semplicita un vettore che si trova nel piano xy e che ruota attornoall’asse z: il vettore e

#»x =

(r cosϕr sinϕ

). (9.2)

e sotto una rotazione infinitesima di angolo ε diventa

#»x → #»x ′ =

(r cos(ϕ+ ε)r sin(ϕ+ ε)

)=

(r(cosϕ− ε sinϕ)r(sinϕ+ ε cosϕ)

)+O(ε2). (9.3)

Di conseguenza

δ #»x ′ = #»x ′ − #»x =

(−εr sinϕεr cosϕ

)(9.4)

146 Il momento angolare

vale a dire

δx1 = −εx2 (9.5)

δx2 = εx1. (9.6)

Passando ora al caso tridimensionale

δ3 #»x = ε

−x2

x1

0

(9.7)

che possiamo scrivere in componenti come

δ3xi = ε εi3jxj = ε εikjn

(3)k xj , (9.8)

dove #»n (3) = (0, 0, 1) e il versore lungo il terzo asse, e n(3)k ne e la k-esima componente. In notazione

vettoriale

δ3 #»x = ε #»n (3) × #»x . (9.9)

Naturalmente, non vi e nulla di speciale nella scelta del terzo asse, e la Eq. (9.9) per la rotazioneattorno ad un asse generico #»n prende la forma

δ(n) #»x = ε #»n × #»x , (9.10)

ossia, in componenti

δ(n)xi = ε εijlnjxl. (9.11)

Il versore diretto lungo il k-esimo asse e

n(k)j = δjk, (9.12)

percio la variazione della i-esima coordinata per rotazioni attorno al k-esimo asse e

δkxi = ε εijlδjkxl = ε εklix

l. (9.13)

La carica di Noether conservata quando vi e invarianza rispetto a tale rotazione e quindi data da

Qk =∂L

∂xiδkxi = piε εiklx

l = ε εklixlpi = ε Lk (9.14)

con

Lk = ε εkijxipj , (9.15)

cioe il consueto momento angolare classico.

9.1.2 Il caso quantistico: generatore delle rotazioni

Verifichiamo ora che che l’operatore#»

L Eq. (8.116) e proprio il generatore delle rotazioni a meno di unfattore ~. Questo significa verificare che l’operatore

Rε = eiε#»n~· #»L = I +

iε #»n

~· #»

L +O(ε2), (9.16)

i cui elementi di matrice nella base delle coordinate sono

〈 #»x |Rε|ψ〉 =(1 + ε εijknixj∂kψ( #»x )

)+O(ε2) (9.17)

9.2 Proprieta del momento angolare 147

realizza una rotazione, ossia ha la proprieta che

〈 #»x |Rε|ψ〉 = ψ( #»x + δ(n)#»x ), (9.18)

dove #»x +δ(n)#»x e il vettore #»x trasformato sotto una rotazione infinitesima di ε attorno all’asse #»n , secondo

la Eq. (9.10-9.11).Calcoliamo il membro di destra della Eq. (9.18):

ψ( #»x + δ(n)#»x ) = ψ( #»x ) + δ(n)

#»x · #»∇ψ( #»x ) +O(ε2). (9.19)

Ricordando la forma Eq. (9.11) di δ(n)#»x si ha

ψ( #»x + δ(n)#»x ) = ε εijlnjx

l∂iψ( #»x ) +O(ε2) (9.20)

che coincide appunto con la Eq. (9.17).

9.2 Proprieta del momento angolare

9.2.1 Ordinamento

La definizione dell’operatore momento angolare Eq. (8.116) non dipende dall’ordinamento: infatti

εijkxj pk = εijk

(pkxj + [xj , pk]

)= εijk

(pkxj + i~δkj

)= εijkp

kxj . (9.21)

Questo implica in particolare che il momento angolare e hermitiano, infatti

(Li)† = εijkpkxj = εijkx

j pk. (9.22)

9.2.2 Espressione esplicita in coordinate sferiche

Le espressioni esplicite delle tre componenti del momento angolare in coordinate sferiche si possonodeterminare dalla definizione, con il risultato

Lx = i~(

sinϕ∂

∂ϑ+

cosϑ

sinϑcosϕ

∂

∂ϕ

)(9.23)

Ly = i~(− cosϕ

∂

∂ϑ+

cosϑ

sinϑsinϕ

∂

∂ϕ

)(9.24)

Lz = −i~ ∂

∂ϕ. (9.25)

Solo la terza componente, che genera rotazioni dell’angolo azimutale, ha un’espressione semplice. Diamoper completezza anche l’espressione del quadrato del momento angolare

#»

L2

= −~2

(∂2

∂ϑ2+

cosϑ

sinϑ

∂

∂ϑ+

1

sin2 ϑ

∂2

∂ϕ2

). (9.26)

9.2.3 Relazioni di commutazione

Per un sistema invariante per rotazioni, il momento angolare commuta con l’hamiltoniana. Tuttavia, lediverse componenti del momento angolare non commutano tra loro. Si ha infatti che

[Li, Lj ] = [εiabxapb, εjlmx

lpm] = εiabεjlm[xapb, xlpm] = εiabεjlm(xl[xa, pm]pb + xa[pb, xl]pm

)= εiabεjlm(i~δamxlpb − i~δblxapm) = i~(εbiaεjlax

lpb − εiabεmjbxapm)

= i~[(δbjδil − δblδij)xlpb − (δimδaj − δijδam)xapm] = i~(xipj − #»x · #»p δij − xj pi + #»x · #»p δij)

= i~(xipj − xj pi). (9.27)


Dove abbiamo fatto uso dell’identita Eq. (8.104). Notiamo inoltre che

xipj − xj pi = εijkLk, (9.28)

infatti

εijkLk = εijkεkabx

apb = εijkεabkxapb = (δiaδjb − δibδja)xapb = xipj − xj pi. (9.29)

Di conseguenza

[Li, Lj ] = i~εijkLk. (9.30)

Notiamo, confrontando con la Eq. (9.11), che il membro destro del commutatore e pari alla variazionedi un vettore sotto una rotazione attorno all’i-esimo asse. D’altra parte, abbiamo visto che Li e ilgeneratore delle rotazioni, e sappiamo (si ricordi l’Eq. (3.70) che il commutatore di un generatore diuna trasformazione con un operatore fornisce la variazione dell’operatore sotto la trasformazione stessa.Quindi, possiamo interpretare il commutatore Eq. (9.30) come la variazione dell’operatore Lj sotto unatrasformazione generata da Li. Il fatto che questa variazione sia eguale a quella di un vettore sotto unarotazione ci dice che il momento angolare sotto rotazioni si trasforma come un vettore.

Questo suggerisce immediatamente che invece il modulo di#»

L sia invariante sotto rotazioni, e quindicommuti con ciascuna delle componenti Li, come e facile verificare esplicitamente:

[#»

L2

, Li] = Lk[Lk, Li] + [Lk, Li]Lk = i~LkεkijLj + i~εkijLjLk = i~εkij(LkLj + LjLk) = 0. (9.31)

9.3 Lo spettro del momento angolare

Poiche le componenti del momento angolare non commutano fra di loro, non possono essere diagonalizzatesimultaneamente. Possiamo tuttavia diagonalizzare simultaneamente una delle componenti del momentoangolare ed il momento angolare totale. Convenzionalmente si sceglie di diagonalizzare la terza com-ponente del momento angolare Lz, essenzialmente per la semplicita della sua espressione in coordinatesferiche Eq. (9.23). Come in altri casi gia studiati (ad esempio l’oscillatore armonico) e possibile deter-minare lo spettro sia usando la rappresentazione esplicita degli operatori nella base delle coordinate, siasfruttando le relazioni di commutazione. Utilizziamo questo secondo metodo, non solo per la sua sem-plicita, ma anche perche, come vedremo, ci permettera di studiare una classe piu ampia di autofunzionidel momento angolare di quelle che si ottengono dalla rappresentazione nella base delle coordinate.

Determiniamo quindi lo spettro di autofunzioni comuni ad L2 ed Lz (d’ora in poi ometteremo l’indi-cazione esplicita che si tratti di operatori, e che L2 e il modulo quadro di un vettore), ossia gli stati |` m〉tali che

Lz|` m〉 = ~m|` m〉 (9.32)

L2|` m〉 = λ`|` m〉, (9.33)

dove il fattore ~ nella definizione dell’autovalore di Lz e stato introdotto per futura comodita, e ` e unindice che numera le autofunzioni di L2. Supponiamo che gli stati siano normalizzati in senso propriocome

〈λ`′m′|λ`m〉 = δ`′`δm′m. (9.34)

Che una normalizzazione in senso proprio sia possibile si puo dedurre dal fatto che gli operatori di momentoangolare, visti come operatori differenziali, agiscono su un dominio compatto: l’insieme di valori possibiliper le variabili angolari, o, equivalentemente, la superficie di una sfera di fisso raggio.

9.3 Lo spettro del momento angolare 149

9.3.1 Costruzione dello spettro

Introduciamo gli operatori

L± = Lx ± iLy, (9.35)

che commutano con il momento angolare totale:

[L2, L±] = 0. (9.36)

Osserviamo che

[Lz, L±] = [Lz, Lx]± i[Lz, Ly] = ±~(Lx ± iLy) = ±~L± (9.37)

e inoltre

[L+, L−] = [Lx + iLy, Lx − iLy] = 2~Lz. (9.38)

La Eq. (9.37) implica immediatamente che L± sono operatori di innalzamento ed abbassamento perlo spettro di Lz: ossia, dato uno stato |` m〉, autostato simultaneo di L2 e Lz, gli stati L±|` m〉 sonoautostati di Lz con autovalore rispettivamente abbassato od aumentato di una unita. Infatti

Lz(L±|` m〉) = L±Lz|` m〉 ± ~L±|` m〉 = ~(m± 1)L±|` m〉. (9.39)

Inoltre, la Eq. (9.36) implica che gli stati L±|` m〉 continuano ad essere autostati di L2 associati allostesso autovalore `.

Osserviamo ora che la serie di stati che si ottengono per azione di questi operatori di innalzamento edabbassamento e necessariamente limitata. Infatti

L+ = (L−)† (9.40)

per cui

〈ψ|L+L−|ψ〉 ≥ 0 (9.41)

〈ψ|L−L+|ψ〉 ≥ 0, (9.42)

come si vede dal fatto che se si definisce |ϕ〉 ≡ L+|ψ〉, allora 〈ϕ| = 〈ψ|L−, e quindi le Eq. (9.41,9.42) sononorme di vettori.

D’altra parte,

L+L− = (Lx + iLy)(Lx − iLy) = L2x + L2

y − i[Lx, Ly] = L2 − L2z + ~Lz

L−L+ = (Lx − iLy)(Lx + iLy) = L2x + L2

y + i[Lx, Ly] = L2 − L2z − ~Lz. (9.43)

Combinando queste due relazioni arriviamo al risultato che ci interessa:

〈` m|(L2 − L2z)|` m〉 = 〈` m|

(L+L− + L−L+

2

)|` m〉 = (λ` − ~2m2), (9.44)

avendo supposto gli stati normalizzati ad uno, secondo la Eq. (9.34). Quindi le condizioni Eq. (9.41-9.42)implicano

(λ` − ~2m2) ≥ 0. (9.45)

Ne segue inevitabilmente che, per fisso λ`, m non puo aumentare o diminuire indefinitamente senza violarela Eq. (9.45). Devono percio esistere due stati |` mmax〉 e |` mmin〉 tali che

L+|` mmax〉 = 0, L−|` mmin〉 = 0. (9.46)


Imponendo che la serie di stati termini sia superiormente che inferiormente, i valori ammessi di λ` em sono determinati univocamente. Infatti, possiamo riscrivere la coppia di relazioni Eq. (9.46) come

L−L+|` mmax〉 = 0, L+L−|` mmin〉 = 0, (9.47)

che, utilizzando le Eq. (9.43) forniscono la coppia di condizioni

0 = (L2 − L2z − ~Lz)|` mmax〉 = (λ` − ~2m2

max − ~2mmax)|` mmax〉0 = (L2 − L2

z + ~Lz)|` mmin〉 = (λ` − ~2m2min + ~2mmin)|` mmin〉. (9.48)

Sostituendo una equazione nell’altra otteniamo

~2mmax(mmax + 1)− ~2mmin(mmin − 1) = 0 (9.49)

e quindi

m2max +mmax −m2

min +mmin = 0. (9.50)

La soluzione di questa equazione di secondo grado e

mmax =−1± (2mmin − 1)

2. (9.51)

L’unica soluzione accettabile e

mmax = −mmin. (9.52)

Ma ovviamente

mmax = mmin +N, N ∈ N, (9.53)

quindi

mmax =N

2. (9.54)

Ne concludiamo che gli autovalori m sono interi o seminteri. Inoltre fissato mmax la Eq. (9.48) implica

λ` = ~2mmax(mmax + 1), (9.55)

e quindi definendo

` ≡ N

2(9.56)

λ` = ~2`(`+ 1). (9.57)

Abbiamo quindi determinato l’insieme degli autovalori possibili:

L2|` m〉 = ~2`(`+ 1)|` m〉 (9.58)

Lz|` m〉 = ~m|` m〉, (9.59)

con ` = N2 , N ∈ N e −` ≤ m ≤ `. Gli stati sono ortonormalizzati come

〈`′m′|`m〉 = δ``′δmm′ . (9.60)

9.3 Lo spettro del momento angolare 151

Possiamo costruire tutti gli stati per azione degli operatori di innalzamento ed abbassamento, con lanormalizzazione fissata da

L+L−|` m〉 = ~2(`(`+ 1)−m(m− 1))|` m〉L−L+|` m〉 = ~2(`(`+ 1)−m(m+ 1))|` m〉, (9.61)

dimodoche se 〈` m|` m〉 = 1 allora anche

|` m+ 1〉 =1

~√`(`+ 1)−m(m+ 1)

L+|` m〉 (9.62)

e normalizzato come 〈` m+ 1|` m+ 1〉. Analogamente

|` m− 1〉 =1

~√`(`+ 1)−m(m− 1)

L−|` m〉 (9.63)

9.3.2 Autofunzioni nella base delle coordinate

Avendo costruito lo spettro partendo dalle relazioni di commutazione, possiamo determinare la formaesplicita delle autofunzioni in una specifica rappresentazione. Per prima cosa, studiamo la base dellecoordinate. In tal caso, ricordiamo che gli operatori di momento angolare sono operatori differenziali,la cui forma esplicita in coordinate sferiche e stata data nelle Eq. (9.23-9.25). In coordinate sferiche, leautofunzioni sono quindi funzioni degli angoli ϑ e ϕ:

〈ϑ ϕ|` m〉 = Y`,m(ϑ, ϕ). (9.64)

Usando la Eq. (9.25) l’equazione agli autovalori per la terza componente del momento angolare

〈ϑ ϕ|Lz|` m〉 = ~m〈ϑ ϕ|` m〉 (9.65)

diventa l’equazione differenziale

−i~ ∂

∂ϕY`,m(ϑ, ϕ) = ~mY`,m(ϑ, ϕ). (9.66)

La soluzione e banale:

Y`,m(ϑ, ϕ) = eimϕN`,mP`,m(cosϑ). (9.67)

Le funzioni Y`,m(ϑ, ϕ) sono dette armoniche sferiche.Possiamo costruire esplicitamente le armoniche sferiche senza risolvere l’equazione agli autovalori per

L2 (che e un’equazione a derivate parziali del second’ordine), ma utilizzando invece la condizione

〈ϑ ϕ|L−|` mmin〉 = 0 (Lx − iLy)Y`,−`(ϑ, ϕ) = 0, (9.68)

che e del primo ordine, in analogia a quanto si e fatto quando si e costruito lo stato fondamentaledell’oscillatore armonico nella base delle coordinate. Ricordando l’espressione Eq. (9.23-9.24) di Lx e Lyin coordinate sferiche si ha

L− = ~(

(i sinϕ− cosϕ)∂

∂ϑ+

cosϑ

sinϑ(i cosϕ− sinϕ)

∂

∂ϕ

)= ~e−iϕ

(− ∂

∂ϑ+ i

cosϑ

sinϑ

∂

∂ϕ

). (9.69)

Ricordando la forma esplicita Eq. (9.67) si vede immediatamente che il prefattore e−iϕ nell’espressionedell’operatore di abbassamento fa sı che esso abbassi di un’unita l’autovalore m di Lz.

La condizione Eq. (9.68) corrisponde quindi all’equazione differenziale del primo ordine

~e−iϕ(− ∂

∂ϑ+ i cotϑ

∂

∂ϕ

)Y`,−`(ϑ, ϕ) = 0 (9.70)


ossia (− ∂

∂ϑ+ ` cotϑ

)e−iϕ`P`,−`(cosϑ) = 0. (9.71)

Possiamo scrivere di conseguenza

∂

∂ϑP`,−`(cosϑ) = cotϑ `P`,−`(cosϑ). (9.72)

Notiamo poi che

∂

∂ϑ=∂ sinϑ

∂ϑ

∂

∂ sinϑ= cosϑ

∂

∂ sinϑ. (9.73)

Possiamo quindi riscrivere l’equazione differenziale come:

∂

∂ sinϑP`,−`(cosϑ) =

`

sinϑP`,−`(cosϑ) (9.74)

vale a dire

dP`,−`(cosϑ)

P`,−`(cosϑ)= `

d sinϑ

sinϑ(9.75)

da cui segue

P`,−` = (sinϑ)`. (9.76)

Di conseguenza

Y`,−`(ϑ, ϕ) = e−i`ϕ(sinϑ)`N`,−`. (9.77)

Tutte le altre armoniche sferiche si possono ottenere per azione dell’operatore di innalzamento. Peresempio

Y`,−`+1 = KL+Y`,−` = Keiϕ(− ∂

∂ϑ− cotϑ `

)e−i`ϕ(sinϑ)`N`,−`, (9.78)

dove K e un’opportuna costante di normalizzazione, e cosı via. Vediamo quindi che le armoniche sferichesono polinomi in sinϑ e cosϑ. In particolare

P`,−` ∼ (sinϑ)`

P`,−`+1 ∼ (sinϑ)`−1 cosϑ...

P`,0 ∼ (cosϑ)`....

P`,` ∼ (sinϑ)`.

(9.79)

Le armoniche sferiche Eq. (9.67) sono una base ortonormale completa per lo spazio delle funzionidefinite sulla sfera. Questo significa che per le armoniche sferiche valgono le relazioni di ortonormalitaEq. (9.60) sotto integrazione sulla sfera∫

dΩ 〈`′m′|ϑϕ〉〈ϑϕ|`m〉 =

∫d cos θdφ Y ∗`′,m′(ϑ, ϕ)Y`,m(ϑ, ϕ) = δ``′δmm′ , (9.80)

e la relazione di completezza ∑`m

|` m〉〈` m| = I (9.81)

9.4 Lo spin 153

sulla sfera, cioe∑`m

〈ϑ ϕ|` m〉〈` m|ϑ′ ϕ′〉 =∑`m

Y ∗`,m(ϑ′, ϕ′)Y`,m(ϑ, ϕ) = δ(cosϑ− cosϑ′)δ(ϕ− ϕ′). (9.82)

Quando m = 0 le armoniche sferiche non dipendono da ϕ, e coincidono con P`,0(cosϑ), a meno dellanormalizzazione. Le P`,0(cosϑ) a loro volta sono polinomi in cos θ. I polinomi corrispondenti al casom = 0, ossia le P`,0(ϑ) possono essere scritti come polinomi in cosϑ, P`,0(cosϑ). Inoltre, la Eq. (9.67)implica che quando m = 0 le armoniche sferiche non dipendono da ϕ, e coincidono con P`,0(cosϑ), a menodella normalizzazione. Ne segue che in tal caso le condizioni di ortonormalita Eq. (9.80) e completezzaEq. (9.82) diventano rispettivamente∫

dΩ 〈`′0|ϑϕ〉〈ϑϕ|`0〉 = 2π

∫d cos θ|N`,0|2P ∗`′,0(cosϑ)P`,0(cosϑ) = δ``′ (9.83)

e ∑`

〈ϑ|` 0〉〈` 0|ϑ′〉 =∑`

|N`,0|2P ∗`,0(cosϑ′)P`,0(cosϑ) = δ(cosϑ− cosϑ′). (9.84)

I polinomi P`,0(cosϑ) sono cioe una base ortonormale completa sul cerchio. Essi sono noti come polinomidi Legendre, e possono essere equivalentemente visti come un sistema ortonormale completo sul segmentocosϑ ∈ (−1, 1).

Possiamo chiederci su che valori deve correre la somma su `,m affinche la Eq. (9.82) sia vera. Abbiamovisto che dal punto di vista algebrico, tutti i valori interi o semi-interi di ` sono ammissibili, mentre mprende i 2` + 1 valori −` ≤ m ≤ `: di conseguenza se ` e semintero anche m e semintero. Ora, seimponiamo che la funzione d’onda sia monodroma, essa deve soddisfare la condizione al contorno

Y`,m(ϑ, ϕ+ 2π) = Y`,m(ϑ, ϕ). (9.85)

Ma se ` e quindi m sono semi-interi, quando si confronta il valore dell’autofunzione in π con quello inφ+ 2π il fattore di fase nella Eq. (9.67) vale

eim(ϕ+2π) = −1. (9.86)

Pertanto, imponendo che sia soddisfatta la condizione al contorno Eq.(9.85) i valori semi-interi di m equindi di ` sono proibiti. Che la Eq. (9.82) valga quando la somma corre su tutti i valori interi di ` puonaturalmente essere dimostrato con il calcolo esplicito.

Il momento angolare realizzato su funzioni monodrome nella base delle coordinate e detto momentoangolare orbitale.

9.4 Lo spin

Ci si puo quindi chiedere se gli stati con ` semintero abbiano un significato fisico. A questo fine, ricordiamoche abbiamo introdotto il momento angolare studiando la trasformazione del vettore di stato del sistemasotto rotazioni. Quindi, il modo piu generale per realizzare il momento angolare si ottiene chiedendosiquale sia il modo piu generale per realizzare le rotazioni.

Finora, abbiamo considerato la possibilita di avere funzioni d’onda 〈 #»x |ψ〉 = ψ( #»x ), e abbiamo iden-tificato il momento angolare studiando le realizzazioni dell’operatore di rotazione su un autostato dellaposizione | #»x 〉. Abbiamo quindi realizzato il momento angolare su uno spazio infinito-dimensionale, incui le rotazioni agiscono ruotando le coordinate. Tuttavia, anche classicamente, possiamo considerareun’altra classe di sistemi che si trasformano sotto rotazioni: si tratta di tutti i sistemi fisici il cui statocontiene l’informazione su una direzione nello spazio, come ad esempio i sistemi rappresentati da variabilivettoriali. Come semplice esempio possiamo pensare alla direzione del vento in un punto: la direzione incui punta la direzione del vento e un vettore sul quale le rotazioni possono agire. Se cambiamo il sistemadi coordinate la direzione del vento cambiera nel senso che le coordinate che corrispondono ad una certa


direzione del vento fissata cambieranno. Tale cambiamento e diverso dal cambiamento di posizione. Unacosa sono le coordinate di un certo punto che a loro volta sono soggette a rotazioni, una cosa diversa ela direzione del vento in quel punto. Un altro esempio e un campo elettrico classico

#»

E =#»

E( #»x ). Essodipende dalla coordinata #»x e quindi le rotazioni possono agire sulla coordinata del punto in cui noi diamoil campo elettrico. Tuttavia il campo elettrico e una campo vettoriale; se consideriamo come si trasformail campo sotto rotazioni dobbiamo ricordarci del fatto che si trasforma non solo perche si trasforma lacoordinata sotto rotazioni ma perche cambia anche la direzione del vettore. Se consideriamo poi la ro-tazione del campo elettrico nel punto #»x =

#»0 otteniamo una rotazione del vettore che pero non cambia

la coordinata.Nei sistemi classici e di conseguenza anche in sistemi quantistici possiamo pensare di realizzare le

rotazioni in due modi diversi: sullo spazio delle coordinate ma anche sullo spazio che corrisponde ad unindice portato dalla quantita di cui stiamo parlando; se la quantita di cui stiamo parlando e un vettore,possiamo studiare l’azione delle rotazioni su tale vettore. In quest’ultimo caso, stiamo considerandol’azione delle rotazioni su sistemi che hanno dimensione finita, la cui base consiste in un numero finito distati

9.4.1 Spin uno

Per costruire un primo esempio di sistema in cui le rotazioni si realizzano sugli stati, consideriamo unsistema tripartito, cioe su cui puo essere effettuata una misura che ha tre risultati possibili, corrispondentiagli stati |1〉, |2〉 e |3〉. Con un leggero abuso di notazione scriviamo questi stati di base come vettori:

|1〉 =

100

; |2〉 =

010

; |3〉 =

001

. (9.87)

Strettamente parlando questo e un abiuso di notazione perche la notazione di Dirac non comporta unascelta di base, mentre la rappresentazione vettoriale sı: essa value appunto avento scelto i tra stati daticome vettori di base. Tuttavia in questa sezione useremo sempre questa particolare scelta di base. Lostato generico |v〉 si puo scrivere in notazione vettoriale come

|v〉 = c1|1〉+ c2|2〉+ c3|3〉 =

c1c2c3

, (9.88)

dove naturalmente ci sono numeri complessi, |c1|2 + |c2|2 + |c3|2 e fissato per normalizzazione, e la fasecomplessiva e inosservabile.

Possiamo definire un momento angolare su questo spazio di stati se supponiamo che i tre stati di basepossano agire le rotazioni. Questa naturalmente e un’ipotesi fisica: per esempio, i tre stati potrebberocorrispondere a tre possibili direzioni in cui puo puntare una variabile vettoriale. Le rotazioni in tal casocorrispondono semplicemente ad un cambiamento del sistema di riferimento in cui esprimiamo questedirezioni. In tal caso, gli stati si trasformano sotto rotazioni come vettori in uno spazio tridimension-ale. Costruiamo quindi il generatore della trasformazione infinitesima, ed in termini di esso costruiamol’operatore momento angolare.

Consideriamo dapprima il caso particolare dello stato

#»v =

cosϕsinϕ

0

(9.89)

e studiamo l’effetto su di esso di una rotazione infinitesima attorno all’asse z. Si ha:

#»v ′ = Rε(z)#»v =

cos(ϕ+ ε)sin(ϕ+ ε)

0

=

cosϕ− ε sinϕsinϕ+ ε cosϕ

0

+O(ε2). (9.90)

9.4 Lo spin 155

Vogliamo vedere cio come ottenuto dall’azione di un generatore:

#»v ′ =

(I− i

~εLz +O(ε2)

)#»v . (9.91)

Notiamo che il segno nella Eq. (9.91) e coerente con quello della definizione del momento angolareorbitale: infatti le Eq. (9.16-9.17) possono essere riscritte come

ψ( #»x ′) = 〈 #»x ′|ψ〉 = 〈 #»x |(I +

i

~εLz

)|ψ〉, (9.92)

che implica che la quantita sottoposta a rotazioni e il bra 〈 #»x ′|. Si ha percio:

〈 #»x ′| = 〈 #»x |(I +

i

~εLz

), (9.93)

ossia

| #»x ′〉 =

(I +

i

~εLz

)†| #»x 〉 =

(I− i

~εLz

)| #»x 〉, (9.94)

coerentemente con la Eq. (9.91).Abbiamo quindi

δ #»v = #»v ′ − #»v = ε

− sinϕcosϕ

0

= −ε

0 1 0−1 0 00 0 0

cosϕsinϕ

0

. (9.95)

Possiamo percio identificare Lz come:

Lz = −i~

0 1 0−1 0 00 0 0

. (9.96)

Il generatore e una matrice 3× 3 che possiamo scrivere come (Lz)ij = 〈i|Lz|j〉.Possiamo generalizzare l’argomento scrivendo l’azione di una rotazione sullo stato generico nella forma

|v′〉 = Rε(z)|v〉 =

cos ε − sin ε 0sin ε cos ε 0

0 0 0

#»v

=

1 +O(ε2) −ε+O(ε2) 0ε+O(ε2) 1 +O(ε2) 0

0 0 0

#»v =

I− ε 0 1 0−1 0 00 0 0

#»v . (9.97)

Vediamo cosı che il risultato non dipende dalla forma particolare dello stato |v〉, e segue dall’ipotesi chesotto rotazioni lo stato si trasformi secondo le consuete matrici di rotazione.

Analogamente, i generatori delle rotazioni attorno agli altri due assi sono le matrici:

Lx = −i~

0 0 00 0 10 −1 0

Ly = −i~

0 0 −10 0 01 0 0

. (9.98)

Possiamo quindi in scrivere (Lz)ij come

(Lz)ij = −i~εzij , (9.99)

e, in generale,

(Lk)ij = −i~εkij . (9.100)


Possiamo verificare esplicitamente che gli operatori Eq. (9.100) cosı costruiti soddisfino le relazioni dicommutazione del momento angolare:

(Li)ab(Lj)bc − (Lj)ab(Li)bc = −~2(εiabεcjb − εjabεcib) = −~2(δicδaj − δijδac − δjcδai + δjiδac)

= −~2(δicδaj − δjcδai). (9.101)

D’altra parte

i~εijk(Lk)ac = i~εijk(−i~)εkac = −~2εijkεcak = −~2(δicδaj − δjcδai), (9.102)

e quindi il commutatore Eq. (9.30) e riprodotto.Determiniamo ora gli autovalori e autovettori degli operatori di momento angolare appena definiti.

Possiamo diagonalizzare simultaneamente L2 e Lz, poiche valgono le usuali relazioni di commutazione.Per prima cosa determiniamo l’autovalore di L2. Usando l’espressione esplicita degli operatori si trova

L2x = −~2

0 0 00 −1 00 0 −1

L2y = −~2

−1 0 00 0 00 0 −1

L2z = −~2

−1 0 00 −1 00 0 0

(9.103)

e quindi

L2 = L2x + L2

y + L2z = 2~2

1 0 00 1 00 0 1

= 2~2I. (9.104)

Gli autovettori di questa matrice sono tutti i vettori dello spazio: infatti la matrice identita applicataad ogni vettore da il vettore stesso

L2|v〉 = 2~2|v〉. (9.105)

Poiche l’autovalore di L2 in generale e uguale a ~2`(`+ 1) si ottiene `(`+ 1) = 2 e quindi ` = 1.Abbiamo quindi scoperto che la realizzazione del momento angolare che abbiamo costruito corrisponde

all’insieme di stati con momento angolare pari ad uno. Qualunque stato in questo spazio ha ` = 1. Unostato di questo tipo viene chiamato stato di spin uno. La dimensione dello spazio e data dal numero deipossibili valori di m, che deve variare in passi interi da -1 a 1. I valori di m permessi sono (−` ≤ m ≤ `)1, 0 e -1. Cio spiega perche lo spazio sia tridimensionale: lo spazio degli stati fisici per un sistema di spinuno ha dimensione tre, poiche il piu generale stato e la sovrapposizione dei tre autostati con autovalori1, 0 e -1 di una delle componenti del momento angolare.

Possiamo determinare esplicitamente la forma degli autovettori, ovvero dei vettori #»v +,#»v − e #»v 0 tali

che

Lz#»v± = ±~ (9.106)

Lz#»v 0 = 0. (9.107)

Si verifica facilmente che gli autovettori sono

#»v ± =1√2

1±i0

; #»v 0 =

001

. (9.108)

Notiamo che i vettori #»v ± corrispondono ai vettori di polarizzazione circolare noti dall’elettromagnetismoclassico.

Osserviamo in conclusione che le rotazioni , che abbiamo usato per definire il momento angolare,possono essere viste come un cambiamento di base sullo stato degli stati fisici, ma non sono il piu generalecambiamento di base. Questo e dovuto al fatto che il generico vettore nello spazio degli stati fisici hacomponenti complesse, e quindi il piu generale cambiamento di base e dato da una trasformazione untiaria,mentre le rotazioni sono date da matrici a componenti reali, e quinei ortogonali, in quanto una matrice

9.4 Lo spin 157

unitaria reale e ortogonale. Per esempio, potremmo scegliere di utilizzare i tre vettori Eq. (9.108) comevettori di base. La base da cui siamo partiti Eq. (9.87) e solitamente chiamata base cartesiana, mentre itre vettori di cui le Eq. (9.108) forniscono le componenti in base cartsiana costituiscono la base sferica.Il passaggio dalla base cartesiana alla base sferica e manifestamente realizzato da una trasformazioneunitaria che non e una rotazione.

9.4.2 Spin 12

Possiamo ora costruire uno spazio con spin 12 . Per un sistema di 1

2 i possibili valori per la terza componentesono 1

2 e − 12 : si tratta quindi di un sistema bipartito. Lo spazio degli stati fisici e lo spazio delle

sovrapposizioni degli stati | 1212 〉 e | 12−

12 〉. La notazione per i due stati puo essere semplificata ulteriormente

scrivendo semplicemente |+〉 e |−〉.Il piu generale stato fisico puo essere espresso come combinazione lineare dei due stati di base |±〉:

|ψ〉 = c+|+〉 + c−|−〉, e puo essere equivalentemente rappresentato come un vettore colonna a duecomponenti complesse, detto spinore, rappresentano i due stati di base come

u+ =

(10

); u− =

(01

), (9.109)

sicche lo stato generico e

u =

(〈+|ψ〉〈−|ψ〉

)=

(c+c−

). (9.110)

Vogliamo ora vedere come si rappresentino gli operatori di momento angolare sulla base degli statiEq. (9.110). Partiamo dall’osservazione che la terza componente dello spin sz e diagonale sugli stati dati,cioe

sz|±〉 = ±~2|±〉, (9.111)

e quindi

〈±|sz|±〉 =~2

(1 00 −1

.

)(9.112)

Possiamo quindi costruire gli operatori sx e sy. Per fare cio ci serviamo degli operatori di innalzamentoe abbassamento che nel caso specifico sono:

s± = sx ± isy. (9.113)

Poiche la loro azione e di alzare ed abbassare l’autovalore sz si ha

|+〉 = N+s+|−〉. (9.114a)

|−〉 = N−s−|+〉. (9.114b)

La normalizzazione si calcola ricordando le Eq. (9.62-9.63), da cui

N+ =1√

~2(`(`+ 1)−m(m+ 1))(9.115)

N− =1√

~2(`(`+ 1)−m(m− 1)). (9.116)

In particolare nel caso spin 12 si ha

N+ = N− = ~, (9.117)


e quindi

s+|−〉 = ~|+〉 (9.118)

s−|+〉 = ~|−〉. (9.119)

Otteniamo infine gli elementi di matrice degli operatori sx e sy esprimendoli in termini di operatoridi innalzamento e abbassamento

sx =1

2(s+ + s−), sy =

1

2i(s+ − s−). (9.120)

Visto che nella base degli stati |±〉

〈±|s+|±〉 = ~(

0 10 0

); 〈±|s−|±〉 = ~

(0 01 0

)(9.121)

si ha

sx =~2

(0 11 0

); sy =

~2

(0 −ii 0

). (9.122)

Gli operatori di spin 12 possono quindi essere scritti come

si =~2σi, (9.123)

dove σi sono le matrici di Pauli.Ricordando le relazioni tra le matrici di Pauli

σiσj = iεijkσk, σiσj = −σjσi, σ2k = I. (9.124)

e immediato verificare le relazioni di commutazione

[si, sj ] =~2

4(σiσj − σjσi) = i~εijk

~2σk = i~εijksk. (9.125)

L’operatore spin totale infine e uguale a

s2 = s2x + s2

y + s2z =

~2

43I = ~2 3

4I = ~2 1

2

(1

2+ 1

)I, (9.126)

coerentemente con il fatto che lo spazio degli stati fisici e lo spazio degli autostati dello spin totale associatoa spin totale uguale a 1

2 , dimodoche tutti gli stati del sistema sono suoi autostati associati allo stessoautovalore

s2|ψ〉 =3

4~2|ψ〉. (9.127)

Gli stati di spin semi-intero hanno un comportamento peculiare sotto rotazioni. Consideriamo infattiuno stato |ψ〉 = c+|+〉+ c−|−〉 e compiamo una rotazione di 2π di tale stato attorno all’asse z:

R2πz |ψ〉 = e−iπσz

(c+|+〉+ c−|−〉

), (9.128)

ma |±〉 sono autostati di σz, e quindi

R2πz |ψ〉 = c+e

−iπ|+〉+ c−eiπ|−〉 = −|ψ〉. (9.129)

Questo significa che ruotando il sistema di 360 uno stato di spin semi-intero ritorna in meno se stesso.Questo impedisce di rappresentare il vettore di stato di un sistema di spin semi-intero come una funzioned’onda sullo spazio delle coordinate, ma non viola alcun principio fondamentale, ed anzi da luogo adeffetti sperimentalmente osservabili: per esempio, la funzione d’onda del sistema di partenza e di quelloruotato possono essere fatte interferire fra di loro.

Notiamo in conclusione che in tutta questa discussione dei sistemi di spin 12 abbiamo scelto di rapp-

resentare i vettori di stato come spinori Eq. (9.110), cioe in termini di autostati della terza componentedel momento angolare, ossia in una base che e l’analogo della base sferica Eq. (9.108) vista nel caso dispin uno.

9.5 Composizione di momenti angolari 159

9.5 Composizione di momenti angolari

9.5.1 Sistemi con momento angolare orbitale e spin

Possiamo considerare sistemi fisici che portano sia momento angolare orbitale che spin: gli elettroni edi nuclei atomici sono esempi di sistemi di questo tipo. La funzione d’onda per un sistema siffatto puoessere scritta come

〈 #»x |ψ〉 =∑`m

s∑sz=−s

〈 #»x |` m sz〉〈sz ` m|ψ〉 =∑`msz

Y`,m(ϑ, ϕ)uszcsz`m(r). (9.130)

Nel caso particolare di spin 12 possiamo scrivere la funzione d’onda di spin come uno spinore Eq. (9.109,9.110):

〈 #»x |ψ〉 =∑`m

Y`,m(ϑ, ϕ)

(10

)c

12

`m(r) +∑`m

Y`,m(ϑ, ϕ)

(01

)c− 1

2

`m (r)

=

( ∑`m Y`,m(ϑ, ϕ))c

12

`m(r)∑`m Y`,m(ϑ, ϕ)c

− 12

`m (r)

)=

(ψ

12 (r, ϑ, ϕ)

ψ−12 (r, ϑ, ϕ)

). (9.131)

Al solito, i vettori di base sono fattorizzati, visto che lo spazio e un prodotto diretto:

〈θ φ|` m sz〉 = 〈θ φ| (|` m〉 ⊗ |sz〉) = Y`,m(ϑ, ϕ)usz , (9.132)

ma lo stato generico non lo e:

u( #»x ) =

(ψ+( #»x )ψ−( #»x )

). (9.133)

La densita di probabilita che una misura di posizione riveli il sistema in #»x e il modulo quadro dellafunzione d’onda sommata su tutti gli spin:

ρ( #»x ) = | #»u ( #»x )|2 =∑

sz=−,+|usz ( #»x )|2, (9.134)

mentre la probabilita che una misura di spin lungo l’asse z dia come risultato ± 12 e

P±12 =

∫d3 #»x |ψ±( #»x )|2. (9.135)

9.5.2 Coefficienti di Clebsch-Gordan e cambi di base

Se un sistema porta sia momento angolare orbitale che spin puo essere utile descriverne la dinamica intermini di momento angolare totale, anziche utilizzare separatamente il momento angolare e lo spin: lasituazione tipica e quella in cui il momento angolare e lo spin sono accoppiati fra loro. Si definisce quindiun operatore momento angolare totale

#»

J =#»

S +#»

L, (9.136)

e se ne studiano le proprieta. Con lo stesso formalismo e possibile descrivere anche un sistema di duecorpi, ciascuno con un suo momento angolare (orbitale o di spin), del quale si puo quindi considerareil momento angolare totale. Manterremo quindi per la semplicita la notazione Eq. (9.136), intendendo

che#»

S ed#»

L siano generalmente due operatori di momento angolare che vivono in spazi diversi (spin emomento angolare di una stessa particella, spin oppure momenti angolari di due diverse particelle).

Poiche vivono in spazi diversi, gli operatori#»

L e#»

S commutano tra loro:

[Li, Sj ] = 0 (9.137)


per ogni i, j. Le componenti dell’operatore momento angolare totale Eq. (9.136) soddisfano le regole dicommutazione del momento angolare

[Ji, Jj ] = i~εijkJk, (9.138)

infatti

[Ji, Jj ] = [Si + Li, Sj + Lj ] = [Li, Lj ] + [Si, Sj ] = i~εijk(Lk + Sk). (9.139)

Ne segue quindi che

[J2, Ji] = 0. (9.140)

Pertanto possiamo diagonalizzare simultaneamente J2 e Jz.Ci chiediamo ora se sia possibile diagonalizzare simultaneamente il momento angolare totale ed i due

momenti angolari che lo compongono. Osserviamo che

[J2, L2] = [(L+ S)2, L2] = [L2 + S2 + 2LiSi, L2] = 0, (9.141)

visto che [L2, Li] = 0. Analogamente,

[J2, S2] = 0. (9.142)

Si ha inoltre

[Jz, L2] = [Lz + Sz, L

2] = 0, (9.143)

[Jz, S2] = [Lz + Sz, S

2] = 0, (9.144)

e quindi, simultaneamente a J2 e Jz e possibile diagonalizzare anche S2 e L2.Notiamo invece che

[J2, Lz] = [L2 + 2LiSi + S2, Lz] = 2[LiSi, Lz] = 2[Li, Lz]Si = 2i~εizkLkSi 6= 0. (9.145)

Un discorso analogo vale per il commutatore [S2, Sz]. Pertanto non e possibile diagonalizzare simultane-amente anche questi due operatori. Concludendo, se scegliamo di diagonalizzare J2 ed una delle suecomponenti possiamo anche diagonalizzare L2 ed S2 ma non le loro singole componenti.

Possiamo quindi fare due diverse scelte di base per gli stati del sistema: gli stati |j jz ` s〉, caratterizzatidagli autovalori degli operatori J2, Jz, L

2 e S2, oppure gli stati |` s `z sz〉, caratterizzati dagli autovaloridegli operatori L2, Lz, S

2 e Sz. Possiamo passare da una base all’altra attraverso una trasformazioneunitaria introducendo una risoluzione dell’identita:

|` s `z sz〉 =∑jjz

|j jz ` s〉〈j jz ` s|` s `z sz〉 (9.146)

|j jz ` s〉 =∑`zsz

|` s `z sz〉〈` s `z sz|j jz ` s〉. (9.147)

I coefficienti 〈j jz ` s|` s `z sz〉 e 〈` s `z sz|j jz ` s〉 sono noti come coefficienti di Clebsch-Gordan.Per determinare i coefficienti di Clebsch-Gordan, dobbiamo prima capire quali sono i valori possibili

di j e jz per tali ` ed s. Naturalmente, per fissi ` ed s, vi sono (2`+ 1)(2s+ 1) stati di base |` s `z sz〉.Dobbiamo quindi capire quali valori di j e jz ci forniscono un insieme di (2`+ 1)(2s+ 1) stati |` s `z sz〉che possiamo esprimere come combinazioni lineari di stati |` s `z sz〉 ottenendo cosı una nuova base.

A tal fine, osserviamo innanzitutto che

〈` s sz `z|j jz ` s〉 ∝ δjz,`z+sz . (9.148)

Infatti per costruzione Jz = Lz + Sz e quindi

0 = 〈` s sz `z|Jz − Lz − Sz|j jz ` s〉 = (jz − `z − sz)~〈` s sz `z|j jz ` s〉, (9.149)


che implica appunto che o jz = `z + sz, oppure 〈` s sz `z|j jz ` s〉 = 0. Questo significa che per ognidato valore di jz lo stato |j jz ` s〉 e una combinazione lineare esclusivamente degli stati |` s sz `z〉 taliche jz = `z + sz.

Ne segue in particolare che il massimo valore accessibile di jz e pari alla somma dei massimi valoriaccessibili di `z ed sz

jmaxz = `maxz + smaxz , (9.150)

ma `maxz = `, smaxz = s e quindi da un lato, il massimo valore possibile di j e j = `+ s, dall’altro, lo stato|j = `+ s jz = j ` s〉 puo essere ottenuto in un modo solo

|j = `+ s jz = j ` s〉 = |` s `z = ` sz = s〉. (9.151)

Notiamo pero che il valore jz = `+ s−1 puo essere ottenuto in due modi diversi nella base |` s sz `z〉,e quindi lo stato |j = ` + s jz = ` + s − 1`s〉 e una sovrapposizione degli stati |` s `z = ` sz = s − 1〉 e|` s `z = ` − 1 sz = s〉. Possiamo a questo punto rispondere alla domanda di partenza: quali e quantivalori di j e jz forniscono una base, attraverso un semplice conteggio degli stati. Dimostriamo infatti chese

|`− s| ≤ j ≤ `+ s (9.152)

allora il numero di stati della base |j jz ` s〉 e pari a (2`+ 1)(2s+ 1), ossia al numero di stati nella base|` s sz `z〉. Si ha

`+s∑j=`−s

(2j + 1) =

2s∑k=0

(2(k + `− s) + 1)

= (1 + 2(`− s))2s∑k=0

+2

2s∑k=0

k = (2s+ 1)(2`− 2s+ 1) + 21

22s(2s+ 1) = (2`+ 1)(2s+ 1).

(9.153)

Visto che gli stati |j, jz, `, s〉 sono tutti linearmente indipendenti ed ortonormali (infatti sono associatia diversi autovalori di operatori commutanti), e possono essere scritti come combinazioni lineari degli stati|`, `z, s, sz〉, essi possono essere scelti come nuovi vettori di base. Concludiamo quindi che per fissi `, s glistati |j jz ` s〉 forniscono una base ortonormale completa purche j vari nell’intervallo Eq. (9.152), con−j ≤ jz ≤ j. I coefficienti di Clebsch-Gordan possono essere a questo punto determinati per costruzioneesplicita, come vediamo in un esempio esplicito.

9.5.3 Composizione di due spin 12

Consideriamo ora in particolare l’esempio di un sistema composto da due sottosistemi di spin 12 : ad

esempio un sistema di due elettroni. Gli stati possibili sono quindi gli stati

|s1 =1

2s2 =

1

2sz1 =

1

2sz2 =

1

2〉 ≡ |+ +〉 (9.154)

|s1 =1

2s2 =

1

2sz1 =

1

2sz2 = −1

2〉 ≡ |+−〉 (9.155)

|s1 =1

2s2 =

1

2sz1 = −1

2sz2 =

1

2〉 ≡ | −+〉 (9.156)

|s1 =1

2s2 =

1

2sz1 = −1

2sz2 = −1

2〉 ≡ | − −〉, (9.157)

dove nell’ultimo passaggio si e introdotta per semplicita una notazione compatta.Definiamo ora gli operatori di momento angolare totale

Si = Si1 + Si2, (9.158)


e costruiamo gli stati che sono autostati simultanei di S2, Sz, S21 ed S2

2 . La condizione |s1 − s2| ≤ S ≤s1 + s2 implica immediatamente che i valori permessi dello spin totale sono S = 0, 1. I quattro stati,nella base in cui e diagonale lo spin totale, sono quindi i tre stati di spin uno

|1 1〉; |1 0〉 |1− 1〉, (9.159)

(tripletto) e lo stato di spin zero

|0 0〉 (9.160)

(singoletto).Vogliamo ora determinare i coefficienti di Clebsch-Gordan. L’Eq. (9.151) implica immediatamente che

|1 1〉 = |+ +〉 (9.161)

poiche entrambi gli stati sono normalizzati a 1, e ponendo arbitrariamente ad uno la fase relativa (questae una scelta del tutto convenzionale). Possiamo costruire lo stato |1 0〉 osservando che la Eq. (9.158)implica

S± = S±1 + S±2 , (9.162)

dove S±, S±1 e S±2 sono rispettivamente gli operatori di innalzamento ed abbassamento per lo spin totalee per ciascuno dei due spin. Ma combinando la Eq. (9.162) con la Eq. (9.161) si ha che

S−|1 1〉 = (S−1 + S−2 )|+ +〉. (9.163)

Ricordando che per qualunque operatore di momento angolare

S−|S Sz〉 = ~√S(S + 1)− Sz(Sz − 1)|S Sz − 1〉 (9.164)

troviamo subito che

~√

2|1 0〉 = ~(| −+〉+ |+−〉) (9.165)

ossia

|1 0〉 =1√2

(| −+〉+ |+−〉). (9.166)

Lo stato |1 − 1〉 potrebbe essere costruito agendo ancora con l’operatore di abbassamento, ma e piusemplice osservare che

|1− 1〉 = | − −〉. (9.167)

Infine, lo stato |0 0〉 e, per la Eq. (9.148) necessariamente una combinazione di | + −〉 e | − +〉, come lostato |1 0〉.

|0 0〉 = a|+−〉+ b| −+〉. (9.168)

Inoltre deve essere ortogonale a tutti gli altri autostati. In particolare

〈1 0|0 0〉 = 0. (9.169)

Questo e sufficiente a determinare

|0 0〉 =1√2

(| −+〉 − |+−〉), (9.170)

a meno di una fase arbitraria. Questo metodo puo essere utilizzato in generale per combinare momentiangolari: si parte dallo stato piu alto e poi si agisce con gli operatori di innalzamento e abbassamento.


Concludiamo con una osservazione. In questo esempio, siamo partiti da un sistema di due particelleaventi spin 1

2 , che a priori sono completamente identiche, nel senso che lo spazio degli stati fisici per i duesottosistemi e lo stesso. Gli stati |s1

z s2z〉 distinguono le due particelle assegnando a ciascuna delle sue un

valore ben definito della terza componente dello spin. Quando pero si passa agli autostati di spin totale|s sz〉 si perde l’informazione circa la singola particella: lo stato del sistema complessivo e univocamentedeterminato, ma non e piu possibile distinguere le due particelle. Abbiamo cioe fabbricato un sistemacollettivo, i cui stati sono simmetrici o antisimmetrici sotto lo scambio delle particelle:

• |1 1〉, |1 0〉 e |1− 1〉 sono simmetriche

• |0 0〉 e antisimmetrica.

Come vedremo piu avanti nel Capitolo 13, questo non e un fatto accidentale: il fatto che la funzioned’onda di un sistema quantistico di oggetti identici sia simmetrica oppure antisimmetrica sotto scambioe una proprieta generale.

Capitolo 10

Problemi tridimensionali

Abbiamo ora tutti gli strumenti per affrontare il problema della determinazione dello spettro di un’hamil-toniana tridimensionale invariante per rotazioni. Dopo una discussione generale della struttura dell’e-quazione di Schrodinger radiale e della forma delle sue soluzioni, affronteremo due problemi tridimension-ali, e cioe l’oscillatore armonico isotropo, e l’atomo di idrogeno.

10.1 L’equazione di Schrodinger radiale

Il nostro punto di partenza e una generica hamiltoniana tridimensionale invariante per rotazione, chepossiamo ad esempio pensare come il risultato di una separazione di variabili di un problema a due corpicon potenziale centrale

H =p2

2m+ V (r) =

p2r

2m+

L2

2mr2+ V (r) (10.1)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo separato il termine cinetico in parte angolare e parte radiale secondola Eq. (8.127), e con l’impulso radiale pr definito nella Eq. (8.125).

Il nostro obiettivo e di risolvere l’equazione agli autovalori

H|ψ〉 = E|ψ〉 (10.2)

sfruttando l’invarianza per rotazioni ([Li, H] = 0, V = V (r)), che implica la possibilita di diagonalizzarecontemporaneamente gli operatori H, L2, Lz. Poiche le autofunzioni del momento angolare sono uninsieme completo nello spazio delle funzioni sulla sfera (si ricordino le Eq. (9.81,9.82)) la richiesta che lafunzione d’onda sia un’autofunzione del momento angolare, cioe che abbia valori definiti di `, m, ne fissacompletamente la dipendenza angolare. In altri termini, possiamo sempre decomporre la funzione d’ondasecondo la Eq. (9.130) (di cui ora stiamo considerando il caso particolare in cui lo spin e nullo e quindinon vi e somma sugli spin), e se `, m sono fissi solo un termine contribuisce alla sommatoria.

Una autofunzione simultanea di energia e momento angolare e quindi fattorizzabile

ψE`m( #»x ) = Y`m(ϑ, ϕ)φE`m(r). (10.3)

L’equazione agli autovalori prende quindi la forma(p2r

2m+

L2

2mr2+ V (r)

)Y`m(ϑ, ϕ)φ(r) = EY`m(ϑ, ϕ)φE`m(r), (10.4)

da cui discende immediatamente l’equazione di Schrodinger radiale[p2r

2m+

~2`(`+ 1)

2mr2+ V (r)

]φE`(r) = EφE`(r), (10.5)

166 Problemi tridimensionali

dove abbiamo rimosso la dipendenza da m dell’autofunzione in quanto manifestamente l’autovalore dienergia non dipende da m: vi sara quindi degenerazione 2` + 1 rispetto a m per fissi E, `. Notiamoche il problema non e pero separabile in senso stretto, secondo la definizione data nella Sezione 8.2.2:l’hamiltoniana non puo essere scritta come somma di due hamiltoniane commutanti, in quanto il termineangolare proporionale ad L2 dipende da r, che non commuta con pr. La conseguenza di questo fatto e chebenche le autofunzioni sono fattorizzabili secondo la Eq. (10.3), le autofunzioni radiali φE`(r) dipendonodal valore del momento angolare `, cioe a differenza che nel caso di una hamiltoniana fattorizzabile insenso stretto le autofunzioni non possono essere scritte come prodotto di autofunzioni di due hamiltonianeindipendenti l’una dall’altra.

10.1.1 Funzione d’onda radiale

L’equazione di Schrodinger radiale Eq. (10.5) si semplifica notevolmente definendo

φ(r) =u(r)

r(10.6)

in seguito al fatto che

prφ(r) = −i~(∂

∂r+

1

r

)u(r)

r= −i~1

r

∂u

∂r, (10.7)

da cui discende immediatamente che

pnrφ(r) = (−i~)n1

r

∂nu

∂rn. (10.8)

Quindi l’azione dell’operatore impulso radiale sulla funzione u e particolarmente semplice.La ragione della semplificazione puo essere capita osservando che il prodotto scalare tra due vettori di

stato corrispondenti ad autofunzioni del momento angolare φ( #»x ) = Y`′m′(ϑ, ϕ)τ(r) e ψ = Y`m(ϑ, ϕ)χ(r)ha la forma

〈φ|ψ〉 =

∫ ∞0

dr r2τ∗(r)χ(r)

∫d cosϑdϕ Y ∗`′m′(ϑ, ϕ)Y`m(ϑ, ϕ) = δ``′δmm′

∫ ∞0

dr r2τ∗(r)χ(r). (10.9)

Ponendo ora

χ(r) =χ

r; τ(r) =

τ

r(10.10)

si trova

〈φ|ψ〉 = δ``′δmm′

∫ ∞0

dr τ∗(r)χ(r), (10.11)

ossia la ridefinizione della funzione d’onda radiale assorbe il fattore dovuto alla misura di integrazione.Questo in particolare implica che l’operatore −i ∂∂r sulle funzioni ridefinite e hermitiano, il che spiega

perche sulle funzioni ridefinite l’impulso radiale agisca proprio come −i ∂∂r , secondo la Eq. (10.7).Possiamo ora risolvere l’equazione agli autovalori con la sostituzione appena introdotta, in modo tale

da trasformarla in una equazione unidimensionale. In termini della funzione d’onda radiale ridefinita u(r)l’equazione di Schrodinger radiale diventa(

− ~2

2m

∂2

∂r2+

~2`(`+ 1)

2mr2+ V (r)

)u(r) = Eu(r). (10.12)

Questa ha la forma di un’equazione di Schrodinger unidimensionale, con un potenziale efficace dato dallasomma di un termine radiale e di un termine centrifugo repulsivo (barriera centrifuga di potenziale), il cuieffetto aumenta al crescere di `. Tuttavia, l’Eq. (10.12) differisce da un’equazione di Schrodinger unidi-mensionale standard perche la coordinata radiale e r ≥ 0, ed inoltre perche la soluzione deve soddisfare lecondizioni che corrispondono alla sua interpretazione come funzione d’onda radiale, e che ora discutiamo.

10.1 L’equazione di Schrodinger radiale 167

10.1.2 Condizioni al contorno ed andamenti asintotici

In primo luogo, ci chiediamo quali debbano essere i comportamenti asintotici u(r) per r → 0 e r → ∞.La funzione d’onda deve poter essere normalizzabile, ossia l’integrale∫ ∞

0

dr r2|φ(r)|2 =

∫ ∞0

dr |u(r)|2 = K (10.13)

deve essere convergente: la |u(r)|2 deve avere nell’origine al piu una singolarita integrabile. La condizioneaffinche questo accada e

u(r)r→∞∼ 1

rβ; β <

1

2. (10.14)

Tuttavia, per potenziali non eccessivamente singolari nell’origine la u(r) soddisfa una condizione piurestrittiva. Infatti, si dimostra che ∆ 1

r ∝ δ(3)(~x). Ne segue che, se φ(r) nell’origine diverge almeno come

1r e possibile soddisfare l’equazione di Schrodinger solo se il potenziale diverge almeno come una delta diDirac. Per potenziali che si comportano come una funzione anziche come una distribuzione quindi φ(r)deve divergere meno di 1

r e quindi la u soddisfa la condizione al contorno

u(r) = 0. (10.15)

Andamento nell’origine

Per r → 0 domina il termine centrifugo, a meno che il potenziale non cresca piu rapidamente che 1r2 .

Un potenziale attrattivo che cresca come 1r2 o piu e patologico: si dimostra infatti che esso da luogo ad

uno spettro di energia che non e limitato inferiormente. Un potenziale repulsivo che cresca come 1r2 non

ha nulla di intrinsecamente patologico e puo semplicemente essere visto come una correzione al terminecentrifugo, che ha lo stesso andamento. Un potenziale repulsivo che cresca piu che 1

r2 da luogo a funzionid’onda che quando r → 0 decrescono in modo molto rapido, dipendente dalla forma del potenziale.

Consideriamo quindi il caso in cui domina il termine centrifugo `(`+1)r2 . L’equazione di Schrodinger

diventa in tal caso

− ~2

2mu′′(r) = −~2`(`+ 1)

2mr2u(r) (10.16)

la cui soluzione generale e

u(r) = Ar`+1 + Br−`. (10.17)

La richiesta che u(r) si annulli nell’origine, ma anche la piu debole richiesta di integrabilita Eq. (10.14),implicano quindi che le uniche soluzioni accettabili siano della forma

u(r) = Ar`+1. (10.18)

Troviamo quindi che per qualunque valore di ` vale la Eq. (10.15).

Andamento all’infinito

L’andamento all’infinito e sempre del tipo di quello di particella libera purche il potenziale all’infinito siannulli. Se limr→∞ V (r) = 0 allora l’equazione di Schrodinger al limite diventa

− ~2

2mu′′(r) = Eu(r). (10.19)

Questo implica che qualunque stato legato (cioe avente autovalore di energia negativo) ha un andamento

u(r) = Ce−βr (10.20)

con

β =

√2m|E|

~. (10.21)

Se il potenziale all’infinito non si annulla l’andamento all’infinito e determinato da quello del potenzialee va studiato caso per caso.


Stati legati

Ci si puo infine chiedere quando siano da aspettarsi stati legati per un potenziale tridimensionale che siannulli all’infinito. Si e visto che nel caso unidimensionale esiste sempre almeno uno stato legato. Lo statofondamentale e pari e gli stati eccitati erano una successione di stati a parita alternata. Il problema radialeassociato ad un problema tridimensionale puo essere interpretato come un problema unidimensionale conr ≥ 0. Tuttavia abbiamo visto che si deve avere u(r)→ 0. Quindi solo le soluzioni dispari del problemaunidimensionale associato (che si annullano nell’origine) sono accettabili, e quindi in generale non e dettoche lo stato fondamentale esista. Osserviamo infine che, visto che il potenziale centrifuo e repulsivo, ingenerale il numero di stati legati decresce al crescere di `.

10.1.3 La particella libera

L’equazione agli autovalori per l’Hamiltoniana per la particella libera assume la forma

−~2 ∆

2mψ( #»x ) = Eψ( #»x ). (10.22)

Le soluzioni si determinano facilmente in coordinate cartesiane, dove hanno la forma di onde pianetridimensionali

ψ #»k ( #»x ) =

1

(2π)32

ei#»k · #»x , (10.23)

normalizzabili in senso improprio∫d3k ψ∗#»

k( #»x ′)ψ #»

k ( #»x ) = δ(3)( #»x − #»x ′), (10.24)

con autovalori

E =~2 #»

k 2

2m. (10.25)

Il problema tuttavia, oltre ad un’invarianza per traslazioni, presenta una invarianza per rotazioni; epossibile quindi ridurre il problema a un problema radiale ed a un problema angolare, esprimendo leautofunzioni nella forma

ψE`m( #»x ) = Y`m(ϑ, ϕ)uE`(r)

r, (10.26)

dove uE`(r) soddisfa l’equazione

− ~2

2m

∂2uE`(r)

∂r2+

~2`(`+ 1)

2mr2uE`(r) = EuE`(r), (10.27)

ossia

~2

2mE

[−u′′E`(r) +

`(`+ 1)

r2uE`(r)

]− uE`(r) = 0. (10.28)

Ponendo ora r′ = kr, con k =√

2mE~2 , in modo che ~2

2mE1r2 = 1

r′2, l’equazione diventa

d2uE`(r′)

dr′2− `(`+ 1)

r′2uE`(r

′) + uE`(r′) = 0. (10.29)

Questa e la cosiddetta equazione di Bessel. Date le condizioni al contorno, e possibile scrivere le soluzionidi tale equazione come

φE`(r) =uE`(r

′)

r= j`(rk), (10.30)

10.2 L’oscillatore armonico isotropo 169

dove nell’ultimo passaggio si e introdotta la funzione di Bessel j`, e la dipendenza dall’energia e contenutadel fattore k nell’argomento di quest’ultima.

Le autofunzioni di particella libera possono pertanto essere scritte come

ψE`m( #»x ) = Y`m(ϑ, ϕ)j`(kr). (10.31)

E noto che l’andamento asintotico della funzione di Bessel e proprio

j`(r)r→0∼ r`. (10.32)

10.2 L’oscillatore armonico isotropo

Il potenziale armonico isotropo

V (r) =1

2mω2(x2 + y2 + x2) =

1

2mω2r2. (10.33)

e fattorizzabile in coordinate cartesiane, come abbiamo visto nella sezione 8.2.3. Tuttavia, esso puoessere anche pensato come un potenziale centrale, e quindi l’equazione agli autovalori e anche trattabileseparando il moto angolare e risolvendo l’equazione agli autovalori per l’hamiltoniana radiale.

Cerchiamo quindi autofunzioni di energia |E ` m〉 fattorizzate, della forma Eq. (10.3). Per questeautofunzioni, il problema agli autovalori prende la forma

H|n ` m〉 = H`|n ` m〉 = En`|n ` m〉, (10.34)

dove n numera le autofunzioni e gli autovalori per fisso `, e l’hamiltoniana H` e data da

H` =p2r

2m+

~2`(`+ 1)

2mr2+

1

2mω2r2. (10.35)

10.2.1 Stati con ` = 0

Notiamo che nel caso ` = 0 l’hamiltoniana Eq. (10.35) diventa

H0 =p2r

2m+

1

2mω2r2. (10.36)

ed e quindi identica a quella di un oscillatore armonico unidimensionale, anche se le funzioni d’ondasoddisfano diverse condizioni al contorno. Basandoci su questa osservazione, esploriamo la possibilita dideterminare lo spettro con metodi algebrici come nel caso unidimensionale.

Osserviamo innanzitutto che impulso e coordinata radiali soddisfano la relazione di commutazionecanonica

[pr, r] = −i~. (10.37)

Definiamo percio:

d0 =

√mω

2~

(r + i

prmω

)d†0 =

√mω

2~

(r − i pr

mω

). (10.38)

dimodoche possiamo scrivere

H0 = ~ω(d†0d0 +

1

2

), (10.39)


Visto che

[d0, d†0] = 1 (10.40)

lo stesso argomento del caso unidimensionale porta a concludere che d0 e d†0 agiscono come operatori diabbassamento ed innalzamento, ed a riprodurre lo spettro trovato nel caso unidimensionale.

Ricordiamo pero che la funzione d’onda radiale deve soddisfare la condizione al contorno Eq. (10.15), edinoltre che l’equazione agli autovalori soddisfatta dalla u(r), Eq. (10.12) coincide con quella del corrispon-dente problema unidimensionale. Ma le autofunzioni di energia per l’oscillatore armonico unidimensionalesono

ψk(x) = N e−cx2

Hk(x); ψk(x) = (−1)kψk(−x). (10.41)

Pertanto, solo se k e dispari, k = 2n+ 1, si ha ψ2n+1(0) = 0. Dobbiamo percio scartare tutti gli autostatidi energia con k pari del problema unidimensionale, e troviamo che lo spettro di autovalori En` con ` = 0e dato da

En0 = ~ω(

2n+ 1 +1

2

). (10.42)

Osserviamo che il caso ` = 0 e il caso maggiormente attrattivo, a causa dell’annullarsi del potenzialecentrifugo. Lo stato E00 e pertanto lo stato fondamentale, con energia

E00 = ~ω3

2. (10.43)

Il fatto che le condizioni al contorno selezionino un sottoinsieme degli autostati algebricamente per-messi non ci sorprende. Si tratta di una situazione analoga a quella che abbiamo incontrato nel casodi del momento angolare, dove l’analisi delle relazioni di commutazione ci ha portato a concludere chesia i valori interi che quelli semi-interi del momento angolare sono permessi. Tuttavia, imponendo lacondizione al contorno Eq. (9.85) i valori interi del momento angolare semi-interi vengono esclusi.

10.2.2 Costruzione degli stati con ` generico

Quando ` 6= 0 nell’hamiltoniana compare anche un termine proporzionale a 1r , quindi ci serve anche il

commutatore di tale operatore con pr. Questo puo essere determinato facilmente ricordando che per unafunzione generica f(r) si ha [pr, f(r)] = −i~∂f∂r , da cui[

pr,1

r

]=i~r2. (10.44)

Vogliamo costruire degli operatori di creazione e distruzione che generalizzino gli operatori d0 e d†0al caso di ` generico, e ci permettano di scrivere una relazione analoga alla (10.39). A questo scopo,definiamo gli operatori

d` =

√mω

2~

((r +

~`mωr

)+ i

prmω

)d†` =

√mω

2~

((r +

~`mωr

)− i pr

mω

), (10.45)

che per ` = 0 si riducono agli operatori Eq. (10.38) definiti in precedenza.

Definiamo quindi una generalizzazione dell’operatore numero del caso unidimensionale, ossia

D` ≡ d†`d`. (10.46)


La sua espressione esplicita e

d†`d` =mω

2~

(r +

~`mωr

)2

+p2r

m2ω2− i

mω

[pr, r +

~`mωr

]

=mω

2~

[r2 +

~2`2

m2ω2r2+

p2r

m2ω2+

2~`mω− i

mω

(−i~ +

~`mω

i~r2

)](10.47)

=1

~ω

(p2r

2m+

1

2mω2r2 +

~2`(`+ 1)

2mr2

)+ `− 1

2,

che implica

D` =1

~ωH` + `− 1

2. (10.48)

Pertanto, gli operatori D` ed H` hanno i medesimi autostati, e, detti En` gli autovalori di D`

D`|n `〉 = En`|n `〉 (10.49)

la Eq. (10.48) implica

En` =1

~ωEn` + `− 1

2. (10.50)

Naturalmente, nel caso ` = 0, B` e il consueto operatore numero, ed il suo spettro si ottiene combinandola Eq. (10.42) con la Eq. (10.50):

En0 = 2n+ 1, (10.51)

che, come si e detto, contiene meta degli stati del problema unidimensionale associato in conseguenzadella condizione al contorno.

Per determinare lo spettro per ` generico introduciamo ora anche l’operatore

D` ≡ d`d†`. (10.52)

Un calcolo analogo al precedente ci porta a concludere che

D` =mω

2~

(r +

~`mωr

)2

+p2r

m2ω2+

i

mω

[pr, r +

~`mωr

]

=1

~ω

(p2r

2m+

1

2mω2r2 +

~2`(`− 1)

2mr2

)+ `+

1

2, (10.53)

che implica ora

D` =1

~ωH`−1 + `+

1

2. (10.54)

Usando questi risultati, possiamo mostrare che operatori d†` e d` agiscono come operatori di creazionee distruzione. Osserviamo innanzitutto che D` e D` sono collegati, in quanto

D`+1 =1

~ωH` + `+

3

2

D` =1

~ωH` + `− 1

2(10.55)

da cui

D`+1 = D` + 2, (10.56)


o, equivalentemente

D` = D`−1 + 2. (10.57)

Notiamo poi che

d`d†`d` = d`D` = D`d` = (D`−1 + 2) d`

d†`d`d†` = D`d

†` = d†`D` = d†` (D`−1 + 2) , (10.58)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato le Eq. (10.56-10.57).

Le Eq. (10.58) sono sufficienti a mostrare che d†` e d` agiscono come operatori di creazione e distruzione.

Infatti, supponiamo di conoscere un autostato |n `〉 di D`. Si vede immediatamente che d†`+1|n `〉 eanch’esso un autostato, ma di D`+1. Infatti

D`+1d†`+1|n `〉 = d†`+1 (D` + 2) |n `〉 = (En` + 2)d†`+1|n `〉, (10.59)

quindi d†`+1|n `〉 e autostato di D`+1 con autovalore E = En` + 2. Analogamente

D`−1d`|n `〉 = d` (D` − 2) |n `〉 = (En` − 2)d`|n `〉, (10.60)

quindi lo stato d`|n `〉 e autostato di D`−1 con autovalore En` − 2.Gli operatori che abbiamo costruito quindi collegano tra loro spettri di operatori diversi. Cominciamo

dal caso ` = 0, per il quale gia sappiamo che l’autovalore di energia associato allo stato |n 0〉 e dato dallaEq. (10.51). La Eq. (10.59) implica che

D1d†1|n 0〉 = (En0 + 2) d†1|n 0〉 = (2n+ 3)d†1|n 0〉

D2d†2d†1|n 0〉 = (En0 + 4) d†2d

†1|n 0〉 = (2n+ 5)d†2d

†1|n 0〉

. . .

Dk+1d†k+1 . . . d

†1|n 0〉 = (2n+ 2k + 1)d†k+1 . . . d

†1|n 0〉 (10.61)

e cosı via. Quindi per ogni autostato di energia con ` = 0 ed En0 = 2n + 1, ossia En0 = ~ω(2n + 3/2),possiamo costruire una sequenza di autostati |n `〉 della sequenza di operatori D` aventi autovalori

En1 = 2n+ 3

En2 = 2n+ 5

......

En` = 2n+ 2`+ 1. (10.62)

Dato lo spettro degli autovalori E , possiamo determinare lo spettro degli autovalori di energia,ricordando la Eq. (10.50), che implica

En` = ~ω(En` − `+

1

2

), (10.63)

dimodoche gli stati che abbiamo costruito sono anche autostati dell’`-esima hamiltoniana H` Eq. (10.35),associati ad autovalori (di energia)

En` = ~ω(

2n+ `+3

2

)= ~ω

(N +

3

2

), (10.64)

avendo posto

N = 2n+ `. (10.65)

Possiamo infine chiederci se gli stati costruiti siano tutti e soli i possibili autostati dell’`-esima hamil-toniana H`. Supponiamo per assurdo che vi sia un altro autostato, associato ad un autovalore diversoda quelli della sequenza sopra determinata Eq. (10.62). Agendo su questo stato ripetutamente con glioperatori di distruzione d` e sempre possibile ottenere da esso uno stato con ` = 0. Ma se questo statonon fosse contenuto nella sequenza originaria, allora avremmo costruito un nuovo autovalore dell’hamil-toniana H0: cio e assurdo perche lo spettro di autovalore En0 Eq. (10.42) contiene tutti gli autovalori diH0. Ne concludiamo che lo spettro dell’`-esima H` e proprio dato dalla Eq. (10.64).


10.2.3 Spettro e degenerazione

Abbiamo concluso che l’insieme di autovalori di energia Eq. (10.64) contiene tutti e soli gli autovaloridell’insieme di hamiltoniane Eq. (10.35) per ` ≥ 0 intero, e quindi fornisce lo spettro dell’oscillatorearmonico isotropo. Possiamo rappresentare graficamente la struttura dello spettro nel modo seguente:

En` ` = 0 ` = 1 ` = 2 ` = 3 d

112 ~ω |2 0〉 |1 2〉

...

92~ω |1 1〉 |0 3〉 10

72~ω |1 0〉 |0 2〉 6

52~ω |0 1〉 3

32~ω |0 0〉 1

Nell’ultima colonna abbiamo indicato la degenerazione di ogni livello, ottenuta ricordando che perogni valore fissato di n, ` vi sono 2` + 1 valori possibili di m. Confrontiamo ora la degenerazione totaletrovata con il valore ottenuto nel caso delle coordinate cartesiane, Eq. (8.57), e cioe d = 1

2 (N + 1)(N + 2).Possiamo verificare come questo valore possa essere riottenuto in coordinate sferiche. Distinguiamo il

caso di N pari o dispari:

N =

2M ` = 0, 2 . . . 2M

2M + 1 ` = 1, 3 . . . 2M + 1(10.66)

Nel primo caso possiamo porre ` = 2`′ con 0 ≤ `′ ≤M . La degenerazione totale e pari al numero di valoripossibili che assume `, facendo attenzione che per ` fissato esiste pero anche una ulteriore degenerazionedovuta ad m, che puo assumere 2`+ 1 valori. Si ha quindi:

d =

2M∑`=0

(2`+ 1) =

M∑`′=0

(4`′ + 1). (10.67)

Nel caso di N dispari in modo del tutto analogo si ha, ponendo ` = 2`′ + 1 con 0 ≤ `′ ≤M :

d =

2M+1∑`=0

(2`+ 1) =

M∑`′=0

(4`′ + 3). (10.68)

In generale

M∑`′=0

(4`′ + k) = 4

M∑`′=0

`′ + k

M∑`′=0

1 = (M + 1)(2M + k). (10.69)

Se specializziamo il calcolo per i casi in cui N e pari o dispari si ottiene:

pari (M + 1)(2M + k) =

(N

2+ 1

)(N + 1) =

1

2(N + 1)(N + 2) (10.70)

dispari (M + 1)(2M + k) =

(N − 1

2+ 1

)(N − 1 + 3) =

1

2(N + 1)(N + 2). (10.71)

Vediamo quindi come il numero di stati associati ad un medesimo valore di energia sia sempre lo stesso,ma come essi possano essere realizzati o come autostati cartesiani, o come autostati sferici. Naturalmente,e sempre possibile passare da una base di autostati all’altra attraverso una trasformazione unitaria, inciascun sottospazio di energia fissata.


10.2.4 Il teorema di degenerazione

Il risultato che abbiamo trovato fornisce un esempio del teorema di degenerazione, che afferma che, datauna Hamiltoniana H e due operatori A, B, tali che

[H,A] = [H,B] = 0 (10.72)

ma

[A,B] 6= 0 (10.73)

allora lo spettro dell’hamiltoniana e necessariamente degenere.La dimostrazione e immediata. Supponiamo per assurdo che lo spettro di H non sia degenere. In tal

caso, per ogni autovalore di energia En vi e un solo autostato |n〉 tale che

H|n〉 = En|n〉.

Ma poiche A e H commutano, sono diagonalizzabili simultaneamente, e quindi necessariamente

A|n〉 = an|n〉. (10.74)

D’altra parte, lo stesso vale per B, quindi

B|n〉 = bn|n〉. (10.75)

Ne segue che gli autostati di A sono anche autostati di B: ma due operatori aventi una base comune diautostati sono simultaneamente diagonalizzabili, e quindi commutano, [A,B] = 0, contro l’ipotesi.

Vediamo cosı che e solo grazie all’esistenza di piu autostati diversi associati ad uno stesso autovaloredi energia che e possibile costruire degli stati che siano autostati sia dell’hamiltoniana che dell’uno odell’altro degli operatori con cui questa commuta, ma non di entrambi: in ogni sottospazio degenere diautostati dell’hamiltoniana diverse combinazioni lineari degli stati associati ad un medesimo autovalorediagonalizzano l’uno o l’altro degli operatori. Ad esempio, qualunque hamiltoniana invariante per ro-tazioni commuta con ciascuno dei generatori del momento angolare, i quali pero non commutano fra loro.Quindi l’hamiltoniana puo contenere un termine proporzionale ad L2 (che commuta con tutti gli Li) manon un termine proporzionale ad uno degli Li, ad esempio Lz. Ne segue che se scegliamo di diagonalizzarel’hamiltoniana simultaneamente ad L2 ed Lz, tutti gli stati associati allo stesso valore di `, ma a diversivalori di m, sono degeneri.

Questo suggerisce inoltre un modo di legare il grado di degenerazione alla simmetria complessivadell’hamiltoniana. Nell’esempio del momento angolare, se l’hamiltoniana non ha nessun’altra simmetria,ossia se non ci sono altri operatori oltre ai tre generatori del momento angolare che commutano conl’hamiltoniana, la degenerazione complessiva e data dal numero di stati corrispondenti a diversi valori dim, ma associati allo stesso valore di `; infatti una rotazione cambia il valore di m, ma lascia ` invariato.

Nel caso piu generale, determiniamo tutti gli operatori diagonalizzabili simultaneamente all’hamil-toniana. Poi determiniamo tutti gli insiemi di stati che si possono ottenere l’uno dall’altro attraversotrasformazioni ottenute esponenziando questi operatori. La degenerazione e il numero di stati contenutiin ciascun insieme di stati di questo tipo: tecnicamente, questa e la dimensione della rappresentazioneirriducibile del gruppo di trasformazioni ottenuto esponenziando i generatori.

Nell’esempio del momento angolare, il gruppo e il gruppo delle rotazioni SO(3) (se si ammettono solomomenti angolari interi) o SU(2) (se si ammettono valori sia interi che semi-interi), le cui rappresentazioniirriducibili sono classificate dal valore di `: cio significa che per ogni ` fissato gli stati con diversi m siottengono l’uno dall’altro per azione delle trasformazioni del gruppo, ma non c’e nessuna trasformazioneche puo cambiare il valore di `. Il numero di stati per fisso ` fornisce la degenerazione.

10.2.5 Simmetria dell’oscillatore tridimensionale isotropo

Nel caso dell’oscillatore armonico tridimensionale isotropo, abbiamo visto che il grado di degenerazione emaggiore di quello dovuto all’invarianza per rotazioni: infatti, per ogni valore di N vi sono in generale piu


valori di ` che corrispondono allo stesso valore di energia, si ricordino le Eq. (10.67-10.68). Quindi devonoesistere altri operatori, oltre agli operatori di momento angolare, che commutano con l’hamiltoniana, manon fra loro.

Per capire quali sono, torniamo alle coordinate cartesiane, e scriviamo

H = Hx +Hy +Hz = ~ω(a†xax +

1

2

)+ ~ω

(a†yay +

1

2

)+ ~ω

(a†zaz +

1

2

)= ~ω

3∑i=1

(a†iai +

1

2

)(10.76)

con

ai =

√mω

2~

(xi + i

pi

mω

). (10.77)

E facile vedere che tutti i nove operatori

Oij ≡ a†iaj (10.78)

commutano con H. Infatti, ricordando che [a†i , aj ] = −δij , si ha

[Oij , H] = ~ω[a†iaj ,∑k

a†kak] = ~ω

([a†i ,

∑k

a†kak]aj + a†i [aj ,∑k

a†kak]

)= ~ω(−a†iaj − a

†iaj) = 0.

(10.79)

D’altra parte, gli Oij in generale non commutano tra di loro:

[Oij , Oab] = [a†iaj , a†aab] = a†i [aj , a

†aab] + [a†i , a

†aab]aj = −δibOaj + δjaOib. (10.80)

L’hamiltoniana e una combinazione lineare di tre di questi operatori

H =

3∑i=1

~ω(Oii +

1

2

), (10.81)

e quindi abbiamo otto operatori che commutano con l’hamiltoniana ma non tra di loro. Le relazione dicommutazione soddisfatte dagli operatori dati sono quelle dei generatori del gruppo SU(3).

E facile vedere che il momento angolare e un sottogruppo del gruppo appena trovato. I momentiangolari sono infatti proporzionali a differenze tra gli operatori Oij : ad esempio

O12 −O21 = (a†1a2 − a†2a1) =mω

2~

[(x− i px

mω

)(y + i

pymω

)−(y − i py

mω

)(x+ i

pxmω

)]=i

~(xpy − ypx) =

i

~Lz, (10.82)

ed in generale

Li = −i~εijkOjk. (10.83)

Questi operatori generano il gruppo SU(2); si puo verificare esplicitamente che la degenerazione cheabbiamo trovato e la dimensione delle rappresentazioni irriducibili del gruppo SU(3). Essa e piu grandedi quella del gruppo delle rotazioni, che ne e un sottogruppo.


10.3 Il potenziale coulombiano

La trattazione del potenziale coulombiano (o newtoniano) ha un ruolo molto importante sia in meccanicaclassica che in meccanica quantistica. Nel caso classico, porta alla discussione delle orbite dei pianeti: ilproblema di Keplero. Nel caso quantistico porta alla determinazione dello spettro di energia degli atomiidrogenoidi, ed e quindi alla base della struttura della materia.

L’equazione di Scrodinger radiale (10.12) in presenza di potenziale coulombiano e(− ~2

2m

∂2

∂r2+

~2`(`+ 1)

2mr2− Ze2

r

)u(r) = Eu(r), (10.84)

dove e e la carica dell’elettrone, e Z la carica del nucleo in unita di carica dell’elettrone, o piu generalmente−e e +Ze sono le due cariche che si attraggono attraverso un potenziale coulombiano.

10.3.1 Analisi dimensionale

La dipendenza dagli autovalori di energia E dai parametri del problema nella Eq. (10.84) e interamentefissata da considerazioni di natura dimensionale. Per vederlo, riscriviamo il termine cinetico ed il terminedi potenziale sostituendo la variabile radiale r con una sua controparte adimensionale. A questo fine,definiamo il parametro

a ≡ ~2

mZe2(10.85)

detto raggio di Bohr (se e e la carica dell’elettrone). E facile vedere dall’equazione di Schrodinger cheil raggio di Bohr ha le dimensioni di una lunghezza: infatti dimensionalmente il termine cinetico ed il

termine di potenziale ci dicono rispettivamente che [~2

m ] = [E][L2], e [e2] = [E][L]. Definiamo quindi lavariabile adimensionale

r′ = r/a, (10.86)

in termini della quale l’equazione agli autovalori (10.84) prende la forma[(−1

2

∂2

∂r′2+`(`+ 1)

2r′2

)− 1

r′− E

W0

]u(r′) = 0 (10.87)

dove

W0 ≡m(Ze2)2

~2(10.88)

ha manifestamente le dimensioni di energia, visto che ogni termine nella Eq. (10.87) e adimensionale.Questo e sufficiente a concludere che gli autovalori di energia hanno la forma

En = W0cn (10.89)

dove cn e un numero puro, e quindi la dipendenza dai parametri del problema e interamente specificatadalla costante W0 Eq. (10.88).

La determinazione esplicita dei valori di cn si puo ottenere mediante la risoluzione dell’equazionedifferenziale, ma anche attraverso uno studio delle simmetrie del problema. Quest’ultima e la strada cheseguiremo noi. Diamo tuttavia un breve cenno alla soluzione dell’equazione. A tal fine conviene porre

− E

W0=

1

2k2 (10.90)

riscrivendo cosı la (10.87) come [∂2

∂r2− `(`+ 1)

r2+

2

r− k2

]u(r) = 0. (10.91)

10.3 Il potenziale coulombiano 177

Tale scrittura risulta essere particolarmente conveniente ricordando la discussione dei comportamentiasintotici. Quando r →∞ l’equazione si riduce infatti a

u′′(r) = k2u(r). (10.92)

Di conseguenza u(r)r→∞∼ e−kr, mentre per r → 0 il comportamento della autofunzione deve essere del

tipo r`+1, ricordando la Eq. (10.18).Si scrive quindi la soluzione nella forma

u(r) = e−krr`+1f(r) (10.93)

con

f(r) =

∞∑n=0

anrn (10.94)

e si determinano i coefficienti an per ricorrenza, sostituendo l’Ansatz Eq. (10.93-10.94) nell’equazionedifferenziale (10.91). Si trova che affinche la soluzione sia normalizzabile e necessario che la serie dipotenze ad un certo punto si arresti (cioe che tutti i coefficienti an con n > n0 si annullino), e che questoa sua volta avviene solo se

k =1

n+ `, (10.95)

dove n > 0 e intero. Ne segue che

E = −1

2

(Ze2)2m

~2

1

n2, (10.96)

dove si e poston = n+ `. (10.97)

Questo spettro e rappresentato graficamente nella Fig. 10.1.

10.3.2 Il modello di Bohr

Prima di affrontare la determinazione dello spettro di energia nel caso quantistico sfruttando le simmetriedel problema, ricordiamo brevemente come Niels Bohr spiego i dati sperimentali sullo spettro dell’atomodi idrogeno attraverso una trattazione intuitiva basata su un’ipotesi di quantizzazione ad hoc.

Specificamente, Bohr suppose che l’elettrone dell’atomo di idrogeno, la cui Lagrangiana dipende daun potenziale coulombiano, potesse compiere delle orbite semiclassiche circolari e che inoltre il momentoangolare fosse quantizzato in multipli interi di ~. Dal punto di vista della meccanica quantistica non hasignificato parlare di orbite, cosı come non e esatto affermare che il momento angolare sia cosı quantizzato,poiche sappiamo che la dipendenza del modulo quadro del momento angolare non dipende dal quadrato diun numero intero, bensı da `(`+ 1). Tuttavia, questo semplice modello riproduce esattamente lo spettrodi energia per questo problema.

Seguiamo il ragionamento fatto da Bohr facendo l’ipotesi che la dinamica sia descritta dalla La-grangiana

L =1

2m(r2 + (rϑ)2) +

Ze2

r. (10.98)

Le equazioni di Lagrange sono quindi

d

dt

∂L

∂r=∂L

∂r(10.99)

d

dt

∂L

∂ϑ=∂L

∂ϑ. (10.100)


Figura 10.1: Livelli energetici per l’atomo di idrogeno

Il nostro obuettivo e di esprimere l’energia in termini del momento angolare, eliminando la dipendenzaesplicita dal raggio.

Questo puo essere fatto in due passi. In primo luogo, osserviamo che se l’orbita e circolare, r = 0, equindi la prima equazione del moto si riduce a

∂L

∂r= 0. (10.101)

Dalla Eq. (10.101) possiamo immediatamente dedurre che E = −T . Essa infatti implica che

mrϑ2 =Ze2

r2, (10.102)

ma se r = 0 l’energia cinetica si riduce al puro termine radiale T = 12mr

2θ2 e quindi 2T = −V , da cui

E = T + V = −T. (10.103)

Avendo espresso l’energia totale in termini di energia cinetica, e facile esprimere quest’ultima in terminidel momento angolare sfruttando la seconda equazione del moto, che implica che il momento angolare

l =∂L

∂ϑ= mr2θ (10.104)

e costante. Sostituendo questo risultato nella prima equazione del moto Eq. (10.102)

l2

mr3=Ze2

r2, (10.105)

esprimiamo il raggio in termini di momento angolare

r =l2

mZe2, (10.106)


da cui troviamo l’espressione per l’energia cinetica indipendente dal raggio

E = −T = −1

2mr2ϑ2 = −1

2

l2

mr2= −1

2

m(Ze2)2

l2. (10.107)

Imponendo la condizione di quantizzazione

l = n~ (10.108)

si ottiene cosı

E = −1

2

m(Ze2)2

~2

1

n2, (10.109)

che coincide con lo spettro Eq. (10.96).

10.3.3 Il problema di Keplero e le sue simmetrie

Prima di affrontare il problema quantistico, studiamo le simmetrie del problema classico, usando ilformalismo hamiltoniano, che useremo poi anche nel caso quantistico. L’Hamiltoniana e

H =#»p 2

2m− Ze2

r. (10.110)

Abbiamo tuttavia visto che tutta la dipendenza dalle costanti del problema puo essere predetta usandol’analisi dimensionale. Studiamo quindi l’hamiltoniana

H =#»p 2

2− 1

r, (10.111)

da cui si ricavano le equazioni del moto

#»x = #»p (10.112)

#»p = −#»x

r3. (10.113)

Studiamo ora le simmetrie del problema, attraverso le leggi di conservazione ad esse associate. Sap-piamo gia che, poiche il potenziale e invariante per rotazioni, il momento angolare si conserva. Si hainfatti

d

dt

#»

L =d

dt( #»x × #»p ) = 0, (10.114)

in quanto

d

dt( #»x × #»p ) = #»x × #»p + #»x × #»p = 0, (10.115)

per le Eq. (10.113-10.112).Inoltre, e possibile esibire un altro vettore le cui componenti si conservano: si tratta del vettore di

Laplace-Runge-Lenz. Per determinarne l’espressione, osserviamo che(d

dt( #»p × #»

L)

)i

= ( #»p × #»

L)i =

(−

#»x

r3× #»

L

)i

= − 1

r3εijkxjLk = − 1

r3εijkxjε

kabxapb

= − 1

r3(δiaδjb − δibδja)xjxaxb = − 1

r3(xi #»x · #»x − xir2) (10.116)

=xi

r− xi #»x · #»x

r3=

d

dt

xi

r.


Ne segue che il vettore di Laplace-Runge-Lenz

# »

M = ( #»p × #»

L)−#»x

r, (10.117)

e una costante del moto

d# »

M

dt= 0. (10.118)

Vi sono di conseguenza sette quantita conservate: il momento angolare, il vettore di Lenz, e l’energia.Tuttavia, un’orbita classica e completamente determinata da sei quantita, e quindi vi possono essere almassimo sei costanti del moto indipendenti. Infatti, l’orbita puo essere interamente ricostruita note trevelocita e tre posizioni al tempo iniziale. Inoltre, se il sistema e invariante per traslazioni temporali lascelta del tempo iniziale e irrilevante, e quindi ci si riduce a cinque quantita conservate. Ne segue che dellesette quantita elencate (le tre componenti del vettore di Lenz, le tre componenti del momento angolare,e l’energia) solo cinque sono indipendenti.

In effetti, osserviamo che il vettore di Lenz per costruzione giace nel piano dell’orbita, il quale a suavolta e ortogonale al momento angolare: infatti,

# »

M · #»

L = 0, (10.119)

e pertanto una delle sue componenti non e indipendente. Inoltre, il modulo del vettore di Lenz e

|| # »

M ||2 = || #»p × #»

L||2 + 1− 2#»x

r· ( #»p × #»

L) = #»p 2 #»

L2 + 1− 2

#»

L2

r(10.120)

in quanto

#»x · ( #»p × #»

L) = εijkxipjLk = ( #»x × #»p ) · #»

L =#»

L2. (10.121)

Si ha quindi

|| # »

M ||2 = 1 + 2#»

L2H, (10.122)

e quindi anche il modulo del vettore di Lenz non e indipendente.Si dimostra che per un’orbita ellittica il vettore di Lenz e diretto lungo l’asse maggiore dell’ellisse.

Si dimostra inoltre che || # »

M ||2 = ε2, dove ε e l’eccentricita dell’orbita, che e ε < 1 per orbite chiuse. Sivede percio dalla Eq. (10.122) che l’orbita e chiusa quando l’energia (cioe l’hamitoniana valutata sullatraiettoria) e H < 0.

10.3.4 Leggi di conservazione nel caso quantistico

Anche in meccanica quantistica, ovviamente, per una hamiltoniana idrogenoide Eq. (10.111) si conservanoil momento angolare e l’energia. Mostriamo ora che anche in questo caso si conserva pure il vettore diLenz. Notiamo innanzitutto che poiche pi e Lj non commutano, εijkLkpj 6= εijkpjLk. Dati due operatoriche non commutano, il loro anticommutatore e hermitiano. Definiamo quindi l’operatore vettore di Lenzcome

Mi =1

2εijkpj , Lk −

xir

= εijkpjLk + Lkpj

2− xi

r= εijk

pjLk − Ljpk2

− xir, (10.123)

ovvero, in notazione vettoriale

# »

M =( #»p × #»

L)− (#»

L × #»p )

2−

#»x

r. (10.124)

Vogliamo ora dimostrare che il vettore di operatori Eq. (10.124) commuta con l’hamiltoniana. Ricor-diamo innanzitutto che

[Li, pj ] = [εiabxapb, pj ] = εiab[xa, pj ]pb = i~εijbpb (10.125)

[Li, xj ] = i~εijbxb. (10.126)


I moduli dei vettori commutano con L e con le sue componenti:

[Li, r] = [Li, || #»p ||] = 0. (10.127)

Possiamo ora calcolare il commutatore di ciascuno dei termini che compongono il vettore di Lenz conl’hamiltoniana. Calcoliamo per primo il commutatore[

1

2εijkpj , Lk, H

]=

1

2εijk

([pj , H]Lk + Lk[pj , H]

)=

1

2εijk

[pj , H], Lk

. (10.128)

Abbiamo [εijk

2pj , Lk, H

]=εijk

2

[pj ,−1

r

], Lk

=εijk

2(−i~)

xj

|| #»x ||3, Lk

= − i~

2εijkεkab

(xj

|| #»x ||3xapb + pbxa

xj

r3

)(10.129)

= − i~2

(δiaδjb − δibδja)

(xj

r3xaxb + pbxa

xj

r3

)= − i~

2

(xi

r3#»x · #»p − 1

rpi + #»p · #»x

xi

r3− pi 1

r

).

Calcoliamo quindi il commutatore con l’hamiltoniana del secondo termine che compone il vettore diLenz: [

xi

r, pjpj

]=

1

2

(pj[xi

r, pj]

+

[xi

r, pj]pj)

=1

2

(pji~∂j

xi

r+ i~∂j

xj

rpj)

=i~2

(pj(δij

r− xixj

r3

)+

(δij

r− xixj

r3

)pj)

=i~2

(−x

i

r3#»x · #»p +

1

rpi − #»p · #»x

xi

r3+ pi

1

r

). (10.130)

Confrontando le Eq. (10.129) e (10.130) con la definizione del vettore di Lenz Eq. (10.124) concludiamoche il vettore di Lenz commuta con l’hamiltoniana:

[M,H] = 0. (10.131)

Vi sono quindi sei operatori che commutano con l’hamiltoniana: le tre componenti del momentoangolare e le tre componenti del vettore di Lenz. Anche nel caso quantistico abbiamo quindi sei costantidel modo, in aggiunta alla hamiltoniana. Si puo inoltre verificare che anche nel caso quantistico vi sonodue relazioni che legano all’hamiltoniana ed al momento angolare le sei componenti del vettore di Lenz.In primo luogo, si era osservato che classicamente

# »

M · #»

L =#»

L · # »

M = 0. (10.132)

Mostriamo che anche quantisticamente vale lo stesso risultato. A questo fine, conviene riscrivere il vettoredi Lenz sfruttando l’identita Lkpj = pjLk + [Lk, pj ] = pjLk + εkjai~pa:

M i = εijkpjLk +εijkεkja

2i~pa −

xir, (10.133)

e poiche

εijkεkja = −εijkεajk = −2δia (10.134)


si ha

M i = εijkpjLk − i~pi −xir. (10.135)

Ne segue quindi che

# »

M · #»

L =M iLi = εijkpjLkLi − i~ #»p · #»

L − 1

r#»x · #»

L

=i~εijkεkiapjLa = 0, (10.136)

dove abbiamo sfruttato il fatto che#»

L e ortogonale come operatore sia a #»x che a #»p , e abbiamo espressoil primo termine a membro destro come commutatore di due momenti angolari e nel secondo passaggioabbiamo usato di nuovo l’identita Eq. (10.134) . Le stesse considerazioni valgono per

#»

L · # »

M .Classicamente il modulo del vettore di Lenz e esprimibile in termini di hamiltoniana e momento

angolare. Quantisticamente si ha

M iM i = εijk1

2pj , Lkεiab

1

2pa, Lb+ 1− εijk

2

pj , Lk,

xir

. (10.137)

Un calcolo tedioso che omettiamo porta al risultato

M2 = 2H(L2 + ~2) + I. (10.138)

Possiamo quindi determinare le relazioni di commutazione tra tutti gli operatori che commutanocon l’hamiltoniana, e chiederci quali di essi possno essere diagonalizzati simultaneamente. Le relazionidi commutazione degli operatori di momento angolare sono note. Il commutatore tra componenti delmomento angolare e del vettore di Lenz segue dal fatto che il vettore di Lenz si trasforma come unvettore sotto rotazioni, essendo la somma di un vettore, e di un prodotto esterno fra vettori (che eanch’esso un vettore):

[Li,M j ] = i~εijkMk. (10.139)

Resta infine da calcolare il commutatore tra le diverse componenti di M . Anche in questo caso, cilimitiamo a dare il risultato del calcolo:

[M i,M j ] = −2Hi~εijkLk. (10.140)

Le equazioni Eq. (10.139-10.140), assieme alle consuete relazioni di commutazione Eq. (9.30) tracomponenti del momento angolare ci danno l’insieme completo di relazioni di commutazione tra i seioperatori che commutano con l’hamiltoniana (di cui cinque sono indipendenti fra loro). Queste relazionici permettono di determinare lo spettro nonche un insieme di costanti del moto.

10.3.5 Costruzione dello spettro

Possiamo ora determinare lo spettro utilizzando i risultati ottenuti. Il punto di partenza e l’osservazioneche la Eq. (10.138) lega lo spettro dell’hamiltoniana a quelli degli operatori M2 e L2. Pertanto, il problemadella determinazione dello spettro dell’hamiltoniana si riduce al problema della determinazione dello spet-tro di L2 ed M2. Notiamo che la relazione di commutazione Eq. (10.140) mescola gli operatori momentoangolare e vettore di Lenz, e quindi non e a priori ovvio che sia possibile diagonalizzare simultaneamenteH, L2 ed M2 .

Per ottenere questo risultato, innanzitutto semplifichiamo queste relazioni di commutazione studian-done gli elementi di matrice in un autostato di energia

H|E〉 = E|E〉, (10.141)

che non abbiamo ancora determinato ma di cui supponiamo l’esistenza. Agendo su questo stato

[M i,M j ] = −2Ei~εijkLk. (10.142)


Ricordando che E < 0 per stati legati, cio suggerisce di introdurre dei nuovi operatori definiti come

N i =M i

√−2E

. (10.143)

Le relazioni di commutazione di questi operatori ridefiniti con gli operatori di momento angolare hannola semplice forma

[Li, N j ] = i~εijkNk (10.144)

[N i, N j ] = i~εijkLk, (10.145)

che, assieme alle relazioni di commutazione fra generatori del momento angolare tra loro, ricordano quelledei generatori del gruppo di Lorentz, con gli operatori Ni identificati con i generatori dei boost. In terminidel vettore

#»

N la relazione Eq. (10.138) che lega l’energia a momento angolare totale e quadrato del vettoredi Lenz diventa

−2EN2 = 2E(L2 + ~2) + 1, (10.146)

ossia

−1 = 2E(N2 + L2 + ~2). (10.147)

Ma ora notiamo che le relazioni di commutazione Eq. (10.144-10.145), insieme a quelle degli operatoridi momento angolare, possono essere poste in una forma ben nota definendo gli operatori

F i± =1

2(Li ±N i). (10.148)

Ovviamente, possiamo considerare come costanti del moto equivalentemente i sei operatori Li ed N i,oppure i sei operatori F i±. Ma gli operatori F i± soddisfano le stesse relazioni di commutazione di dueoperatori di momento angolare indipendenti! Si ha infatti

[F i±, Fj±] =

1

4[Li ±N i, Lj ±N j ] = i~

εijk

4(Lk + Lk ±Nk ±Nk) = i~εijkF k± (10.149)

[F i±, Fj∓] =

1

4[Li ±N i, Lj ∓N j ] = i~

εijk

4(Lk − Lk ±Nk ∓Nk) = 0. (10.150)

Capiamo quindi in definitiva che l’insieme di leggi di conservazione corrisponde ad avere due insiemidi operatori, le cui regole di commutazione sono come quelle di momenti angolari che commutano conl’hamiltoniana: gli operatori F i±. Un insieme completo di operatori diagonalizzabili simultaneamenteall’hamiltoniana e quindi dato dai quattro operatori F 2

+, F 2−, F z+, F z−. Nel linguaggio della Sezione 10.2.4,

diciamo che la simmetria dell’hamiltoniana e data dal gruppo O(3)×O(3). Si dimostra che questo gruppocoincide con il gruppo O(4) - questa e la ragione dell’analogia delle relazioni di commutazione Eq. (10.144)con quelle del gruppo di Lorentz. Il gruppo O(4) e infatti il gruppo di trasformazioni che conservano lanorma di un vettore in uno spazio quadridimensionale, ossia r2 = x2

1 + x22 + x2

3 + x24; il gruppo di Lorentz

e il gruppo di trasformazioni che conservano la norma di un vettore quadridimensionale, ma con un segnocambiato, ossia d2 = x2

1 + x22 + x2

3 − x20.

Ricordiamo ora che solo cinque delle sei costanti del moto sono indipendenti dalla hamiltoniana, pervia della relazione sulle componenti del vettore di Lenz Eq. (10.136). Questa implica che gli autovaloridi F+ e F− non sono indipendenti. Infatti

F 2+ =

1

4(L2 +N2) = F 2

− (10.151)

dato che#»

L · #»

N =#»

N · #»

L = 0, essendo#»

L · # »

M =# »

M · #»

L = 0. Pertanto gli autostati di F 2+ sono anche autostati

di F 2− con lo stesso autovalore.


Possiamo ora riscrivere in termini degli operatori F 2± l’espressione Eq. (10.147) per l’autovalore di

energia:

−1 = 2E(N2 + L2 + ~2) = 2E(4F 2+ + ~2). (10.152)

Il problema della determinazione dello spettro di energia e cosı ridotto al problema della determinazionedello spettro di due operatori di momento angolare, con il vincolo che il loro autovalore sia il medesimo.Gli autostati ed autovalori sono quindi gli stati |ffz+fz−〉 tali che

F 2+|ffz+fz−〉 = F 2

−|ffz+fz−〉 = ~2f(f + 1)|ffz+fz−〉 (10.153)

F z±|ffz+fz−〉 = ~fz±|ff+z f−z 〉, (10.154)

con

−f ≤ fz± ≤ f. (10.155)

Le Eq. (10.137-10.146) implicano che gli stati |ff+z f−z 〉 sono anche autostati dell’hamiltoniana, con

autovalore dato da

Ef = − 1

2(~2 + 4~2f(f + 1))= − 1

2~2

1

(1 + 2f)2. (10.156)

Quindi lo spettro dell’hamiltoniana e

En = − 1

2~2

1

n2(10.157)

con

n = 2f + 1, (10.158)

intero ≥ 1; n e detto numero quantico principale. Gli autostati sono completamente determinati dagliautovalori di H, F z+ e F z− e possono quindi essere scritti equivalentemente come |nfz+fz−〉, tali che

H|nfz+fz−〉 = En|nfz+fz−〉, (10.159)

con En dato dalla Eq. (10.157).Possiamo infine ripristinare i fattori finora eliminati per comodita, sfruttando le Eq. (10.88,10.96):

troviamo cosı

En = −m(Ze2)2

2~2

1

n2. (10.160)

10.3.6 Degenerazione e base fisica

Avendo stabilito che gli autostati di energia del sistema sono gli stati |nfz+fz−〉, possiamo facilmentedeterminarne la degenerazione, osservando che tutti gli stati aventi diversi valori di fz± sono associati allostesso autovalore di energia; ma fisso n corrisponde a fisso f secondo la Eq. (10.158), e per dato f i valoriammessi di fz± sono dati dalla Eq. (10.155) e sono quindi pari a

d = (2f + 1)(2f + 1) = (2f + 1)2 = n2, (10.161)

E naturalmente preferibile esprimere gli autostati di energia in una base in cui sono diagonali deglioperatori aventi un’interpretazione fisica immediata. Ora, osserviamo che

F+ + F− = L. (10.162)

Quindi, gli autostati di F 2+ = F 2

−, F z+, F z− possono essere scritti come autostati di F 2+ = F 2

−, L2, Lzmediante l’uso di coefficienti di Clebsch-Gordan:

|n fz+fz−〉 =∑`m

|n`m〉〈n`m|n fz+fz−〉, (10.163)


dove

F 2+|n`m〉 = F 2

−|n`m〉 = ~2f(f + 1)|n`m〉L2|n`m〉 = ~2`(`+ 1)|n`m〉 (10.164)

Lz|n`m〉 = ~m|n`m〉.

I valori possibili di ` si ricavano dalle regole di composizioni dei momenti angolari: ricordando laEq. (9.152) sono

0 ≤ ` ≤ 2f = n− 1. (10.165)

Ne segue che per fisso n, tutti e soli i valori del momento angolare 0 ≤ ` ≤ n − 1 sono permessi.Naturalente, questo vuol dire che per fisso ` tutti e soli i valori del numero quantico principale n ≥ `+ 1sono permessi, come si era affermato nella Eq. (10.97). La degenerazione totale del livello n-esimo eovviamente sempre la stessa, come possiamo verificare esplicitamente. Fissato f , abbiamo 2f + 1 = npossibili valori per `, e, fissato quest’ultimo, 2`+ 1 possibili valori per m. Si ha quindi

d =

n−1∑`=0

(2`+ 1) = 21

2(n− 1)n+ n = n2. (10.166)

10.3.7 Autofunzioni nella base delle coordinate

Il metodo algebrico ci ha permesso di determinare completamente lo spettro senza risolvere l’equazionedifferenziale Eq. (10.84), tuttavia non ci ha dato nessuna informazione sulla forma delle autofunzioni

〈r ϑ ϕ|n ` m〉 = Y`m(ϑ, ϕ)φn`(r). (10.167)

Queste possono pero essere costruite come autofunzioni degli operatori F+ e F−, che a loro volta hannola forma di operatori di momento angolare. Le loro autofunzioni possono quindi essere determinate conuna procedura analoga a quella che ha portato alla costruzione delle armoniche sferiche, utilizzando laforma esplicita degli operatori F+ e F− nella base delle coordinate.

La costruzione dello stato fondamentale |1 0 0〉 e particolarmente semplice: infatti esso ha f = 0, ecorrisponde quindi ad un autofunzione di autovalore nullo di (F+)2 = (F−)2. Ha quindi autovalore nullodella componente di F+ e F− lungo qualunque asse:

N |1 0 0〉 = (F+ − F−)|1 0 0〉 = 0. (10.168)

Inoltre, esso ha ` = 0 e quindi

L|1 0 0〉 = (F+ + F−)|1 0 0〉 = 0. (10.169)

Le Eq. (10.168,10.169) determinano completamente la forma dell’autofunzione Eq. (10.167).Ricordando (Eq. (10.143)) che N e proporzionale al vettore di Lenz, e la definizione di quest’ultimo

in termini di operatori canonici Eq. (10.124), ed in particolare la sua forma Eq. (10.135), si ha(εijkpjLk − i~pi −

xi

r

)|1 0 0〉 = 0, (10.170)

ossia, usando la Eq. (10.169), (i~pi +

xi

r

)|1 0 0〉 = 0, (10.171)

da cui (i~

#»x

r· #»p + 1

)|1 0 0〉 = 0, (10.172)


cioe, ricordando che nella base delle coordinate, Eq. (8.108),#»xr ·

#»p = −i~ ∂∂r , si riduce a(

~2 ∂

∂r+ 1

)φ10(r) = 0. (10.173)

La soluzione e immediata:

φ10(r) = N exp− r

~2. (10.174)

La costante di normalizzazione si determina dalla condizione∫ ∞0

dr r2|φ10(r)|2 = |N1|2∫ ∞

0

dr r2 exp−2r

~2= 1, (10.175)

da cui, ricordando che ∫ ∞0

dx xne−σx =n!

σn+1, (10.176)

si ha

φ10(r) =2

~3exp− r

~2. (10.177)

L’autofunzione completa Eq. (10.167) si trova immediatamente osservando che l’armonica sfericaY00(ϑ, ϕ) e costante, ed e quindi completamente determinata dalla normalizzazione

Y00(ϑ, ϕ) =1√4π, (10.178)

da cui infine

〈r ϑ ϕ|100〉 = ψ100(ϑ, ϕ, r) = Y00(ϑ, ϕ)φ10(r) =1√π

1

~3exp− r

~2. (10.179)

Possiamo infine ripristinare le costanti dimensionali: ricordando le Eq. (10.85,10.86), ma notandoche la dipendenza da ~ e stata mantenuta nei calcoli precedenti, abbiamo che la dipendenza da esse siripristina sostituendo nella Eq. (10.179) il raggio adimensionale con la sua espressione in termini di raggiodi Bohr, ossia r → r/a0 = r(Ze2m). Troviamo cosı

ψ100(ϑ, ϕ, r) =1√π

(Ze2m)32

~3exp−Ze

2mr

~2. (10.180)

Per costruire gli stati eccitati si puo procedere in vari modi equivalenti. Una possibilita e di costruirlicome autostati di (F±)2 e f±z , e poi determinare da essi gli autostati di L2 e Lz utilizzando i coefficientidi Clebsch-Gordan. Una possibilita alternativa e di usare un metodo analogo a quello seguito nel casodell’oscillatore armonico isotropo tridimensionale, ossia di definire opportuni operatori di creazione edistruzione generalizzati

d` = ipr +`~r− 1

~`. (10.181)

Con argomenti analoghi a quelli usati per l’oscillatore armonico, si dimostra che essi hanno la proprietache

d†`+1|n ` m〉 = K+|n `+ 1 m〉, (10.182)

dl|n ` m〉 = K+|n `− 1 m〉. (10.183)

Per ogni n, lo stato con il massimo valore di ` = n− 1 e annichilato dall’operatore di innalzamento

d†n|nn− 1m〉 = 0, (10.184)


da cui, nella base delle coordinate,(−~(∂

∂r+

1

r

)+

~nr− 1

~n

)φn,n−1(r) = 0, (10.185)

ossia

dφn,n−1

φ= (n− 1)

dr

r− dr

n~2, (10.186)

la cui soluzione e

φn,n−1(r) = N rn−1 exp− r

n~2= Ln,n−1(r) exp− r

n~2(10.187)

dove N e una costante di normalizzazione e nell’ultimo passaggio abbiamo estratto il fattore polinomialein un’opportuna funzione Ln,n−1(r).

Figura 10.2: Andamento qualitativo delle autofunzioni radiali dell’atomo di idrogeno

Gli stati successivi si costruiscono agendo con d` sullo stato con ` = `max:

|n n− 2〉 = dn1|n n− 1〉. (10.188)

Manifestamente, l’azione dell’operatore dn−1 sull’autofunzione (10.187) produce termini proporzionali arn−1 e rn−2 volte l’esponenziale, quindi non cambia il grado del polinomio, che resta determinato dalvalore di n. L’autofunzione generica per l’n-esimo livello e quindi un polinomio Ln,`(r) di grado n − 1volte un esponenziale della forma Eq. (10.187). L’ortonormalita degli stati

〈n0|n′0〉 =

∫dr r2 exp

(− 2r

~2n

)Ln,0(r)Ln′,0(r) = δnn′ (10.189)

implica che i polinomi Ln,0(r) associati a ` = 0 formano una base ortonormale completa sotto inte-grazione nell’intervallo [0,∞] con un peso esponenziale. Essi sono legati ad una nota famiglia di polinomiortogonali, i polinomi di Laguerre.

L’andamento qualitativo delle autofunzioni radiali dell’atomo di idrogeno e mostrato in Fig. 10.2,mentre in Fig. 10.3 sono mostrate le autofunzioni corrispondenti allo stato fondamentale e ad alcuni deiprimi livelli eccitati.


Figura 10.3: Alcune autofunzioni radiali dell’atomo di idrogeno

Parte V

Metodi di approssimazione

Capitolo 11

Il limite classico della meccanicaquantistica

L’approssimazione semiclassica della meccanica quantistica, al di la del suo interesse per talune appli-cazioni, e di grande rilevanza concettuale in quanto permette di capire il legame tra la formulazioneclassica e quella quantistica della meccanica.

11.1 L’azione in meccanica classica

Finora, la meccanica quantistica e stata formulata da un punto di vista hamiltoniano. Nel caso classico,un sistema hamiltoniano e descritto da un punto nello spazio delle fasi (p, q) per una singola particellaunidimensionale, con ovvia generalizzazione al caso di molte particelle in molte dimensioni. I suoi motisono traiettorie nello spazio delle fasi, ottenute risolvendo le equazioni di Hamilton, del primo ordine nellederivate temporali di p e q. Nel caso quantistico p e q sono operatori non commutanti, quindi il vettore distato del sistema puo essere espresso in termini di una base di autofunzioni dell’uno o dell’altro operatore,e fornisce la probabilita di risultati delle misure dell’una o dell’altra osservabile.

Da un punto di vista classico e molto naturale la formulazione lagrangiana, in cui le leggi del motovengono date specificando una traiettoria q(t), e scrivendo una equazione differenziale del secondo ordineche determina tale traiettoria, date condizioni iniziali per le posizioni e le velocita: questo punto divista differisce da quello hamiltoniano perche si determina una traiettoria q(t) risolvendo un’equazionedifferenziale del secondo ordine, mentre nel caso hamiltoniano di risolvono due equazioni differenziali delprimo ordine accoppiate che determinano le traiettorie p(t) e q(t).

Il punto di vista hamiltoniano sembra prestarsi male ad una estensione al caso quantistico, in quantoil principio di indeterminazione ci impedisce di dare quantisticamente un senso al concetto di traiettoria,e quindi condizioni iniziali per la posizione e la velocita non possono simultaneamente essere asseg-nate. Questa difficolta puo essere superata utilizzando un approccio in cui le traiettorie classiche sonodeterminate assegnando il punto iniziale ed il punto finale di una traiettoria.

11.1.1 Azione e traiettoria classica

Un moto classico che congiunge due punti nello spazio delle configurazioni a tempi dati, q0(t0) e q1(t1), ecompletamente determinato dal principio di minima azione. Come e noto, l’azione classica e una funzionedel punto iniziale, del punto finale, del tempo iniziale e del tempo finale, ed e pari all’integrale in dt dellaLagrangiana del sistema:

S(q1, t1, q0, t0) =

∫ t1

t0

dt L(q, q, t) (11.1)

192 Il limite classico della meccanica quantistica

con le condizioni al contorno q(t0) = q0 e q(t1) = q1. L’azione cosı definita e un funzionale, ossia unaquantita che associa ad una funzione, la traiettoria classica nello spazio delle configurazioni, un numero,il valore dell’azione stessa.

Possiamo calcolare la variazione della azione sotto una variazione della traiettoria, variando cioe laposizione q(t) e la velocita q(t) ad ogni tempo t:

δS =

∫ t1

t0

dt(∂L∂qδq +

∂L

∂qδq). (11.2)

Poiche δq = ddtδq, si ha

δS =

∫ t1

t0

dt(∂L∂qδq +

∂L

∂q

d

dtδq)

(11.3)

ed integrando per parti

δS =

∫ t1

t0

dt[(∂L∂q− d

dt

∂L

∂q

)δq +

d

dt

(∂L∂qδq)]

=

∫ t1

t0

dt(∂L∂q− d

dt

∂L

∂q

)δq +

∂L

∂qδq∣∣∣t1t0. (11.4)

Se imponiamo che il punto iniziale e finale della traiettoria siano fissi, δq(t0) = δq(t1) = 0, la variazionee

δS =

∫ t1

t0

dt(∂L∂q− d

dt

∂L

∂q

)δq. (11.5)

Si vede cosı che le traiettorie classiche corrispondono alle curve lungo le quali l’azione e stazionaria, ossiaδS = 0: infatti la Eq. (11.5) mostra che tale condizione e soddisfatta se la traiettoria classica soddisfa leequazioni del moto di Lagrange

∂L

∂q− d

dt

∂L

∂q= 0. (11.6)

L’azione classica fornisce quindi uno strumento per calcolare la traiettoria classica per date posizioni inzialie finali: essa corrisponde al cammino che congiunge fisse e date posizioni iniziali e finali minimizzandol’azione stessa.

Inoltre, l’azione se valutata lungo la traiettoria classica stessa ha un’interpretazione suggestiva, che cifonisce una formulazione “ondulatoria” della meccanica classica. Per capirlo, osserviamo che l’Eq. (11.5)determina anche la variazione dell’azione lungo una traiettoria classica al variare del tempo t1. Infattilungo una traiettoria classica il termine in parentesi nell’ultimo passaggio della Eq. (11.4) si annulla e, seq(t0) e fisso ma q(t1) varia, si ha

δS(t1) =∂L

∂qδq(t1). (11.7)

Stiamo quindi vedendo l’azione da un punto di vista differente. Quando abbiamo ricavato le equazionidel moto, abbiamo considerato l’azione come un funzionale sullo spazio di tutte le possibili traiettorieclassiche, con fissate condizioni al contorno: le traiettorie classiche sono quelle che minimizzano l’azione.Invece nella Eq. (11.7) vediamo l’azione come funzione della traiettoria classica, S = S(q(t), t) aventeuna certa condizione iniziale fissata e valutata non piu sullo spazio di tutte le traiettorie, ma solo sullatraiettoria che minimizza l’azione stessa. Allo scorrere del tempo, la traiettoria viene percorsa, e l’azioneassume valori numerici differenti (si veda la Fig. 11.1), dipendendo dal tempo sia direttamente, siaattraverso q(t). Essa e una funzione della posizione q e del tempo t, perche essa e l’integrale definitodella lagrangiana rispetto al tempo fino a t (da cui quindi l’azione dipende perche e il limite superiored’integrazione), eseguito lungo la traiettoria classica, e soggetto alla condizione al contorno che al tempo tla particella si trovi in q, da cui quindi l’azione dipende perche questa condizione al contorno individua laparticolare traiettora classica lungo la quale si integra. Naturalmente, l’azione dipende anche dal tempo

11.1 L’azione in meccanica classica 193

Figura 11.1: Variazione dell’azione lungo la traiettoria classica: q0 e fissato, mentre q(t1) varia lungo latraiettoria classica.

inziale t0 e dalla posizione q0, infatti la traiettoria classica e determinata noti la posizione iniziale e quellafinale ai tempi iniziale e finale, ma noi ne consideriamo la variazione per fissi t0 e q0.

Avendo capito il significato della variazione dell’azione lungo la traiettoria osserviamo ora che ∂L∂q = p,

e quindi la Eq. (11.7) dice che

p(t1) =∂S

∂q1(q1, t1), (11.8)

in altri termini, l’impulso puo essere visto come la derivata parziale dell’azione, vista come funzione deltempo e della coordinata lungo una traiettoria classica, per fissa condizione iniziale. Tutto l’argomentosi generalizza in modo immediato al caso in cui le coordinate lagrangiane siano piu d’una, e quindi inparticolare al caso multidimensionale, per cui troviamo che

pi(t1) =∂S

∂qi1(q1, t1), (11.9)

vale a dire che l’impulso e il gradiente dell’azione classica lungo la traiettoria.La Equazione (11.9) esprime l’impulso classico come gradiente dell’azione e ricordare quindi l’azione

dell’operatore impulso quantistico sulle funzioni d’onda nella base delle coordinate. Fa quindi pensareall’azione come una sorta di “onda” che determina la traiettoria classica. L’analogia puo resa ancora piuprecisa riformulando la meccanica classica in modo opportuno.

11.1.2 La teoria di Hamilton-Jacobi

La formulazione di Hamilton-Jacobi della meccanica classica permette di spingere un po’ oltre l’interpre-tazione che abbiamo appena suggerito, dell’azione come una sorta di onda che determina i moti classici.In questa formulazione, si sfrutta la Eq. (11.8) per ricavare una equazione alle derivate parziali che deter-mina completamente l’azione lungo le traiettorie classiche come funzione di q e del tempo t. Nota l’azionegli impulsi e quindi le traiettorie classiche possono essere derivati da essa per differenziazione usando laEq. (11.8) stessa.

Considerando dapprima per semplicita un caso unidimensionale, la variazione dell’azione nel tempolungo una traiettoria classica e

dS

dt=∂S

∂t+∂S

∂qq =

∂S

∂t+ pq. (11.10)

Ma

dS

dt= L(q, q, t) (11.11)

e poiche L = pq −H

pq −H =∂S

∂t+ pq, (11.12)

vale a dire

∂S

∂t+H(q, p, t) = 0. (11.13)


Data la relazione Eq. (11.8) tra l’Hamiltoniana e gli impulsi possiamo scrivere l’equazione (11.13)come

∂S

∂t+H

(q,∂S

∂q, t

)= 0, (11.14)

nota come equazione di Hamilton-Jacobi). La funzione S(q, t) determinata risolvendo tale equazione,ovvero l’azione classica valutata in funzione del tempo lungo una traiettoria classica, e nota come funzioneprincipale di Hamilton.

Facciamo un esempio esplicito per capire il senso di queste manipolazioni. Consideriamo l’Hamiltoni-ana dell’oscillatore armonico

H =p2

2m+

1

2mω2q2. (11.15)

In tal caso, l’equazione di Hamilton-Jacobi (11.14) diventa

∂S

∂t+

1

2m

(∂S

∂q

)2

+1

2mω2q2 = 0. (11.16)

Poiche l’hamiltoniana non dipende dal tempo, l’energia (che coincide con la hamiltoniana valutata suuna traiettoria classica) e conservata, e quindi la Eq. (11.14) immediatamente implica che anche ∂S

∂t nondipende dal tempo:

∂S

∂t= −E. (11.17)

E quindi possibile risolvere l’equazione differenziale per separazione di variabili: la soluzione generaledella Eq. (11.17) e manifestamente

S(q(t), t) = −Et+W (q(t)) (11.18)

dove W e detta funzione caratteristica di Hamilton. Sostituendo nella Eq. (11.14) si ha percio

1

2m

(dW

dq

)2

+1

2mω2q2 = E, (11.19)

da cui otteniamo

W (q) = ±√

2mE

∫ q

q0

dq′√

1− 1

2Emω2q′2. (11.20)

Possiamo quindi determinare la funzione caratteristica di Hamilton calcolando l’integrale Eq. (11.20).Nota quest’ultima come funzione di q ne ricaviamo immediatamente l’impulso al tempo t mediante laEq. (11.8), e da questo risaliamo immediatamente alla traiettoria classica ponendo p = mq ed integrandol’equazione del primo ordine.

Le Eq. (11.16,11.20) si generalizzano facilmente al caso di un generico potenziale indipendente daltempo: ponendo

H =p2

2m+ V (q) (11.21)

otteniamo

p =

(dW

dq

)= ±

√2m[E − V (q)]. (11.22)

Infine, possiamo generalizzare al caso tridimensionale, dove

H =#»p 2

2m+ V ( #»q ). (11.23)

11.2 L’azione in meccanica quantistica 195

In tal caso si ha

(#»∇W )2 = 2m(E − V ( #»q )) (11.24)

e

#»p =#»∇W ( #»q ). (11.25)

Quindi e possibile determinare il gradiente di W prendendo la radice quadrata di tale espressione eintegrando l’espressione ottenuta lungo un arco.

Vi sono tecniche piu efficienti per risolvere le equazioni del moto usando il metodo di Hamilton-Jacobi,ma quello che preme osservare qui e che il metodo consiste nel determinare una funzione, la funzioneprincipale di Hamilton, ossia la azione valutata lungo le traiettorie classiche, a partire dalla quale gliimpulsi si possono ottenere per differenziazione. In questo senso la funzione principale di HamiltonS(q; t), e, nel caso di sistemi invarianti per traslazioni temporali, la funzione caratteristica W (q) che ladetermina completamente, possono essere viste come “funzioni d’onda” classiche. Notiamo infatti che leEq. (11.25-11.24) ci dicono rispettivamente che il vettore tangente alla traiettoria classica e diretto lungoil gradiente di W ( #»q ), e che la sua lunghezza (cioe il modulo della velocita classica) e pari alla lunghezzadel gradiente, cioe sostanzialmente alla pendenza. La situazione e quindi analoga a quella di un oggettosospinto da un onda.

La velocita dell’oggetto sospinto dall’onda puo essere quindi interpretata come una “velocita di grup-po”, distinta dalla velocita di fase con cui si muovono i fronti d’onda. Quest’ultima si trova notandofacilmente per un sistema invariante per traslazioni temporali, per il quale vale la Eq. (11.18). Infatti,una superficie q0(t) su cui S costante si muove a velocita fissata dalla condizione dS

dt |q0(t) = 0 da cui

dW

dqq0 − E = 0, (11.26)

e quindi usando la Eq. (11.19)

q0 =E

±√

2m[E − V (q0(t))]= vf , (11.27)

che e quindi la velocita di fase. La velocita della singola traiettoria si trova invece usando la Eq. (11.22),ed e data da

q = ±√

2[E − V (q)]

m. (11.28)

11.2 L’azione in meccanica quantistica

Passiamo al caso quantistico studiando i “moti” in meccanica quantistica. Nel caso quantistico, non epossibile definire una traiettoria, pero e possibile calcolare la probabilita che un sistema che al tempo t0si trova in q0 al tempo t venga rivelato in q. L’insieme di tali probabilita al variare del tempo t forniscel’analogo quantistico della traiettoria classica. Vedremo che anche queste probabilita, e le ampiezze chele determinano, possono essere calcolate in termini della azione del sistema.

11.2.1 Il propagatore

Sappiamo gia che l’evoluzione temporale di uno stato quantistico e deterministica, ed e data dall’azionedi un operatore di evoluzione temporale S(t, t0) che, agendo sullo stato al tempo t0, |ψ(t0)〉, fornisce lostato al tempo t:

|ψ(t)〉 = S(t, t0)|ψ(t0)〉. (11.29)

La funzione d’onda al tempo finale si ottiene proiettando |ψ(t)〉 sugli autostati della posizione:

ψ(q; t) = 〈q|ψ(t)〉 = 〈q|S(t, t0)|ψ(t0)〉, (11.30)


che possiamo riscrivere come

ψ(q; t) =

∫dq′〈q|S(t, t0)|q′〉〈q′|ψ(t0)〉 =

∫dq′ 〈q|S(t, t0)|q′〉ψ(q′; t0). (11.31)

Vediamo cosı che la funzione d’onda al tempo t si puo ottenere facendo agire per convoluzione sullafunzione d’onda iniziale l’elemento di matrice dell’operatore di evoluzione temporale tra autostati dellaposizione:

K(qf , tf ; qi, ti) ≡ 〈qf |S(tf , ti)|qi〉. (11.32)

La K(qf , tf ; qi, ti) e detta propagatore, ed ha un ruolo analogo alla funzione di Green dell’elettrodinamicaclassica, che permette di determinare il campo (elettrico o magnetico) generato da una distribuzione dicarica o corrente: il propagatore permette di determinare la funzione d’onda “finale” determinata da unafunzione d’onda “iniziale”. Notare che non necessariamente tf > ti, cioe il tempo finale puo anche essereantecedente a quello iniziale, perche l’evoluzione temporale quantistica e deterministica, unitaria e quindireversibile.

Possiamo interpretare fisicamente il propagatore calcolando la Eq. (11.30) nel caso in cui al tempo t0il sistema si trova in un autostato della posizione, ossia

〈q′|ψ(t0)〉 = δ(q0 − q′). (11.33)

In tal caso si ha

ψ(q; t) =

∫dq′ K(q, t; q′, t0)δ(q0 − q′) = K(q, t; q0, t0). (11.34)

Il propagatore e quindi la funzione d’onda nello spazio delle posizioni q al tempo t, per un sistema cheal tempo iniziale t0 si trova in un autostato della posizione q0. Da questo punto di vista e definitoanalogamente alla funzione principale di Hamilton, che e stata anch’essa costruita come una quantita (laazione) definita per un sistema (classico) che al tempo t si trova in q, mentre al tempo iniziale t0 si trovain q0.

Una importante proprieta del propagatore, che esprime la causalita dell’evoluzione temporale, e la suaassociativita. Si ha infatti che, applicando ripetutamente l’operatore di evoluzione temporale,

|ψ(t)〉 = S(t, t1)|ψ(t1)〉 = S(t, t1)S(t1, t0)|ψ(t0)〉 = S(t, t0))|ψ(t0)〉, (11.35)

da cui

S(t, t0) = S(t, t1)S(t1, t0) (11.36)

e quindi, introducendo una risoluzione dell’identita,

K(q, t; q0, t0) = 〈q|S(t, t0)|q0〉 =

∫dq1〈q|S(t, t1)|q1〉〈q1|S(t1, t0)|q0〉

=

∫dq1K(q, t; q1, t1)K(q1, t1; q0, t0), (11.37)

che mostra come il propagatore sia associativo sotto convoluzione.

11.2.2 Propagatore ed azione

Vogliamo ora calcolare il propagatore esplicitamente. Ovviamente, ne conosciamo gia l’espressione informa hamiltoniana: per hamiltoniane indipendenti dal tempo,

S(t, t0) = e1i~H(t−t0). (11.38)

Ora ne vogliamo determinare un’espressione in forma lagrangiana. Affrontiamo il problema dapprima perun’evoluzione temporale infinitesima, da t0 a t = t0+ε. Consideriamo per semplicita un’hamiltoniana della


forma H = p2

2m + V (q) (la generalizzazione ad hamiltoniane dipendenti dal tempo e potenziali dipendentidalle velocita e possibile, ma richiede un po’ di lavoro in piu). Utilizzando la definizione Eq. (11.32)del propagatore, con la forma Eq. (11.38) dell’operatore di evoluzione temporale, e sviluppando al primoordine in ε, si ha

K(q′, t+ ε; q, t) = 〈q′| expε

i~

(p2

2m+ V (q)

)|q〉

=

∫dpdp′ 〈q′|p′〉〈p′|

[1 +

ε

i~

(p2

2m+ V (q)

)]|p〉〈p|q〉

=

∫dp′dp

2π~ei~ q′p′[δ(p′ − p) +

ε

i~p2

2mδ(p− p′) +

ε

i~V

(i~

d

dp′

)δ(p′ − p)

]e−

i~ qp, (11.39)

dove abbiamo sfruttato il fatto che le autofunzioni dell’impulso, correttamente normalizzate come 〈p|p′〉 =δ(p− p′), sono 〈q|p〉 = 1√

2π~ exp( i~pq), e, nell’ultimo passaggio, del fatto che nella base degli impulsi

〈p′|q|p〉 = i~∂

∂p′δ(p− p′), (11.40)

〈p′|V (q)|p〉 = V

(i~

∂

∂p′

)δ(p− p′). (11.41)

Ma ora, osservando che

i~∂

∂p′e−

i~p′q = qe−

i~p′q, (11.42)(

i~∂

∂p′

)ne−

i~p′q = qne−

i~p′q, (11.43)

V

(i~

∂

∂p′

)e−

i~p′q = V (q)e−

i~p′q, (11.44)

troviamo immediatamente

K(q′, t+ ε; q, t) =

∫dp′dp

2π~ei~ q′p′[1 +

ε

i~

(p2

2m+ V

(i~

∂

∂p′

))]δ(p′ − p)e− i

~ qp

=

∫dp

2π~ei~ (q′−q)p

(1 +

ε

i~

(p2

2m+ V (q)

)). (11.45)

Notiamo ora che, per una evoluzione temporale infinitesima, possiamo porre

q′ = εq + q : (11.46)

infatti, la velocita e per definizione

q = lim∆t→0

∆q

∆t. (11.47)

Si ha percio

K(q′, t+ ε; q, t) =

∫dp

2π~ei~pqε

(1 +

ε

i~

(p2

2m+ V (q)

))=

∫dp

2π~eiε~

(pq− p2

2m−V (q)), (11.48)

dove nel secondo passaggio abbiamo esponenziato il termine in ε, a meno di infinitesimi di ordine superiore.


Ma l’integrale in p puo ora essere eseguito come integrale gaussiano:

K(q′, ε, q) =1

2π~e−

i~ εV (q)

∫dp e

− iε~(

p√2m−q√

m2

)2

eiε~ q

2 m2 =

1

2π~eiε~ ( 1

2mq2−V (q))

√2~miε

∫dλ e−λ

2

=

√m

2πiε~eiε~ ( 1

2mq2−V (q)). (11.49)

Ricordando che dt = t − t0 = ε, riconosciamo il fattore di fase ad esponente come l’elemento di azioneinfinitesima lungo l’evoluzione temporale data, infatti

ε

(1

2mq2 − V (q)

)= dtL(q, q) = idS, (11.50)

da cui troviamo immediatamente che per un’evoluzione temporale infinitesima

K(q′, ε, q) =

√m

2πiε~eidS(t)

~ . (11.51)

L’elemento di matrice del propagatore tra due autostati della posizione e quindi dato da una fase, parialla azione misurata in unita di ~. Notiamo che il fattore di normalizzazione e fissato dalla richiesta che

limε→0

K(q′, ε, q) = 〈q′, t|q, t〉 = δ(q′ − q) : (11.52)

infatti il membro destro della Eq. (11.51) fornisce una rappresentazione della delta di Dirac nel limiteε→ 0 in quanto

limε→0

K(q′, ε, q) = limε→0

√m

2πiε~e

i2m~

(∆q)2

ε q2

, (11.53)

che nel limite e una gaussiana di larghezza decrescente, ma con fissa normalizzazione∫ √m

2πiε~e

i2m~

(∆q)2

ε q2

= 1. (11.54)

11.2.3 L’integrale di cammino

Possiamo ora determinare il propagatore per un’evoluzione temporale finita combinando una sequenza dievoluzioni temporali infinitesime mediante la proprieta associativa Eq. (11.37). Poniamo ora ∆t = t′−t

ncon limn→∞∆t = ε. L’associativita implica che

〈qf |S(t′, t)|qi〉 = 〈qf |n termini︷︸︸︷

S(tf , tn−1)S(tn−1, tn−2) · · ·S(t1, t) |qi〉, (11.55)

K(qf , tf ; qi, ti) =

∫dq1dq2 · · · dqn−1 〈qf |S(tf , tn−1)|qn−1〉 . . . 〈q2|S(tn2, t1)|q1〉〈q1|S(t1, t)|qi〉

=

∫dq1dq2 · · · dqn−1

√m

2πiε~eidS(tn−1)

~ . . .

√m

2πiε~eidS(t1)

~ . . .

√m

2πiε~eidS(t)

~ (11.56)

Questa equazione esprime in modo compatto il principio fondamentale della meccanica quantisticasecondo cui le ampiezze di transizione (il cui modulo quadro da la probabilita) si compongono secondoil principio di sovrapposizione. L’ampiezza di probabilita che un certo stato iniziale termini in un certostato finale si calcola considerando tutti i possibili stati intermedi a tutti gli istanti intermedi e sommandosu tutte le traiettorie.

Possiamo capire il significato di questo risultato ricordando l’esperimento di Zeilinger, cioe consideran-do una particella che al tempo t1 passa attraverso uno schermo S1 attraverso il quale sono praticate kfenditure, al tempo t2 attraverso uno schermo S2, e cosı via (si veda la Figura 11.2). In questo caso, a


ciascun tempo ti il sistema puo trovarsi in un numero finito k di posizioni, che corrispondono a ciascunadelle fenditure. In tal caso, gli n integrali dqi sono sostituiti da n sommatorie sui k diversi stati. Tuttele possibili storie del sistema corrispondono quindi a tutte le possibili kn diverse traiettorie che passanoattraverso una qualunque delle fenditure: la Eq. (11.56) ci dice che l’ampiezza di trovare un sistema in unqualunque punto a valle delle fenditure si trova sommando su tutte le traiettorie possibili, ciascuna pesatadall’esponenziale immaginario dell’azione valutata per quel cammino, espressa in unita di ~. L’espressioneEq. (11.56) corrisponde al limite in cui le k fenditure diventano una variabile continua di posizione, e lasommatoria diventa quindi un integrale.

Figura 11.2: Traiettorie seguite da un sistema quantistico con due schermi ciascuno con quattro fenditure.

Il propagatore e ulteriormente definito come il limite in cui n tende a infinito dell’espressione Eq. (11.56),cioe anche il tempo diventa una variabile continua. In questo caso l’integrale multiplo dell’Eq. (11.56)diventa un nuovo oggetto, chiamato integrale di cammino (path integral) o anche integrale di Feynman.Dal punto di vista matematico, esso e un integrale funzionale, o integrale di Kac.

Si tratta di un integrale in cui la funzione integranda e un funzionale ossia una funzione che associa unnumero ad una funzione: nel nostro caso, essa associa ad una traiettoria l’esponenziale di i volte l’azionevalutata su tale traiettoria, in unita di ~. L’integrale viene fatto su uno spazio di funzioni, nel nostro casotutte le traiettorie che uniscono il punto iniziale a quello finale, tenuti fissati. La misura di integrazionee pertanto il differenziale di una funzione, indicato con Dq(t), e l’integrale funzionale viene scritto come

K(qf , tf ; qi, ti) =

∫q(ti) = qiq(tf ) = qf

Dq(t)ei~S[q(t)], (11.57)

dove la misura di integrazione va definita prendendo il limite ε→ 0, ed include percio i i fattori√

m2πiε~

in modo che resti vera la condizione di normalizzazione Eq. (11.54).

Possiamo ora porci nuovamente il problema del limite semiclassico. In meccanica quantistica, l’ampiez-za di transizione si trova integrando su tutte le traiettorie secondo l’integrale di Feynman: tutti i camminiche portano dal punto iniziale a quello finale contribuiscono. Notare che vengono quindi inclusi camminidiscontinui, non differenziabili, e cosı via: infatti nella Eq. (11.56) le risoluzioni dell’identita ai tempiintermedi prevedono che si integri in ogni caso su tutte le possibili posizioni. L’ampiezza e quindi unamedia pesata su tutti i cammini, con un peso che e dato dall’esponenziale dell’azione espressa in unitadi ~. Notare che l’azione e qui vista proprio nel senso della funzione principale di Hamilton, cioe comeun’integrale della lagrangiana per fissi tempo e posizione iniziali, valutata in funzione ti tempo e posizionefinali.

In meccanica classica, invece, contribuisce solo la traiettoria di minima azione. Possiamo capirne ilsenso supponendo di definire l’integrale di cammino Eq. (11.57) per continuazione analitica a partire da


quello calcolato per tempo immaginario, cioe ponendo t→ it nella Eq. (11.57) dimodoche

K(qf , itf ; qi, iti) =

∫Dq(t) N (q(t))e−

1~S[q(t)]. (11.58)

L’integrale di cammino pesa quindi ciascun cammino con l’esponenziale di −S in unita di ~. Nel limiteclassico il cammino che da maggior contributo e proprio il cammino classico, che ha il peso statisticomaggiore. Tutti i cammini in cui l’azione e maggiore (ad esempio, i cammini discontinui) sono esponen-zialmente soppressi. Nel limite in cui ~→ 0 l’unico cammino a sopravvivere e quello classico. Definendoil path integral per continuazione analitica, cio resta vero anche per tempi reali.

Figura 11.3: Cammini che congiungono due punti: la traiettoria di minima azione e indicata in neretto,mentre le frecce indicano direzioni in cui l’azione e crescente.

Che il cammino di minima azione dia il contributo dominante puo essere anche capito direttamente,senza ricorrere alla continuazione analitica. L’integrale funzionale viene eseguito sui cammini: possiamopensare di integrare in un intorno del cammino di minima azione, includendo via via il contributo dicammini di azione sempre piu grande (si veda la Figura 11.3). Ma l’integranda, ossia il contributo diogni cammino, e dato da una fase, che diventa sempre piu grande man mano che ci allontaniamo dalcammino di minima azione. Stiamo quindi integrando una funzione che oscilla sempre piu rapidamente.Ma l’integrale di un seno o un coseno su un periodo e nullo. Quindi, se l’azione e grande in unita di~, anche piccole deformazioni del cammino intorno a quello classico fornisco contributi all’integrale dicammino che si cancellano, e solo il cammino classico e quelli vicinissimi ad esso contribuiscono. Seinvece il valore dell’azione classica e paragonabile ad ~, molti cammini contrbuiscono dando cosı luogoagli effetti di interferenza quantistica.

Siamo cosı infine in grado di dare un preciso significato quantitativo all’affermazione che abbiamo piuvolte fatto, per cui la fisica quantistica descrive sistemi con un numero sufficientemente piccolo di gradi diliberta: gli effetti quantistici si manifestano quando il valore numerico dell’azione, che possiamo pensarecome il volume di spazio delle fasi occupato dal sistema, e quindi come un conteggio di gradi di liberta,e piccolo in unita di ~.

11.2.4 L’equazione di Schrodinger dal path integral

Combinando la relazione Eq. (11.34) tra propagatore e funzione d’onda per un autostato della posizioneevoluto nel tempo, e l’espressione Eq. (11.57) del propagatore in termini di integrale di cammino, vediamoche la funzione d’onda puo essere espressa come

ψ(q; t) = K(qf , tf ; qi, ti) =


Dq(t)ei~S[q(t)]. (11.59)


Naturalmente, se lo stato iniziale non e un autostato della posizione, la funzione d’onda al tempo t e datada un path integral in cui si sovrappongono tutte le condizioni iniziali corrispondenti a diverse posizioniq al tempo iniziale, ciascuna pesata con la funzione d’onda iniziale:

ψ(q; t) = K(qf , tf ; qi, ti) =

∫dqi


Dq(t)ei~S[q(t)]ψ(qi). (11.60)

L’espressione Eq. (11.60 della funzione d’onda in termini di path integral e, nella formulazione diFeynman, l’ipotesi fondamentale da cui tutta la meccanica quantistica viene ricavata, semplicementepostulando che la funzione d’onda fornisca l’ampiezza di probabilita degli eventi. Questa ipotesi equivaleall’insieme dei principi enunciati nella Sezione 1.4, poich’ avendo espresso in termini di path integralla “regola di Born” per il calcolo delle probabilita, gli altri postulati esprimono delle proprieta dellafunzione d’onda che sono automaticamente soddisfatte dal path integral: in particolare, il principio disovrapposizione, e l’ortonormalita degli stati fisici.

Anche l’ultimo postulato della meccanica quantistica, formulato nella Sezione 4.1.3, e cioe la legge dievoluzione temporale, puo essere ricavato dal path integral. Possiamo cioe dimostrare direttamente che lafunzione d’onda la funzione d’onda Eq. (11.60) soddisfa l’equazione di Schrodinger. A tal fine, osserviamoche possiamo vedere la funzione d’onda come il risultato di una evoluzione temporale infinitesima dellafunzione d’onda ad un tempo immediatamente precedente:

ψ(q, ; t) =

∫dq′ 〈q t|q′t′〉〈q′t′|ψ〉

=

∫dq′√

m

2πi(t− t′)~exp

i

~(t− t′)

[1

2m

(∆q

t− t′

)2

− V (qf )

]ψ(q′; t′), (11.61)

dove abbiamo posto ∆q = q − q′. Consideriamo il limite in cui ∆t = t − t′ = ε → 0. In questo limiteanche ∆q → 0, perche

lim∆t→0

〈q t|q′t′〉 = 〈q|q′〉 = δ(q − q′). (11.62)

Al tendere a zero di ε, possiamo quindi sviluppare il risultato simultaneamente in potenze di ∆t e inpotenze di ∆q, considerando entrambe come quantita di ordine ε.

Sviluppiamo quindi la funzione d’onda ψ(q′, t′) in serie di Taylor attorno a q:

ψ(q′; t′) = ψ(q; t′)−∆q∂

∂qψ(q; t′) +

1

2(∆q)2 ∂

2

∂q2ψ(q; t′) +O((∆q3)). (11.63)

A meno di termini di ordine superiore, cambiando la variabile di integrazione da q′ a ∆q, si ha

ψ(q; t) = e−i~ ∆tV (qf )

∫d∆q

√m

2πi∆t~ei~

12m

(∆q)2

∆t

(ψ(q; t′)−∆q

∂

∂qψ(q; t′) +

1

2(∆q)2 ∂

2

∂q2ψ(q; t′)

).

(11.64)

Restano quindi da calcolare tre integrali:∫d∆q

√m

2πi∆t~ei~

12m

(∆q)2

∆t = 1 (11.65)

che e la condizione di normalizzazione Eq. (11.54);∫d∆q

√m

2πi∆t~ei~

12m

(∆q)2

∆t ∆q = 0 (11.66)

poiche e l’integrale di una funzione dispari su un dominio pari; ed infine

1

2

∫d∆q

√m

2πi∆t~ei~

12m

(∆q)2

∆t (∆q)2 =1

2

∂

∂α

∫d∆q

√m

2πi∆t~eα(∆q)2

=i

2

~∆t

m, (11.67)


dove nel secondo passaggio abbiamo posto α = im2~∆t .

La Eq. (11.64) diventa cosı

ψ(q; t) =

(ψ(q, t′) +

i

2

~∆t

m

∂2

∂q2ψ(q, t′)

)e−

i~ ∆tV (q). (11.68)

Ma

ψ(q; t′) = ψ(q; t)−∆t∂

∂tψ(q; t) +O((∆t)2) (11.69)

e

e−i~ ∆tV (q) = 1− i

~∆tV (q) +O((∆t)2), (11.70)

quindi tenendo solo termini al primo ordine la (11.68) diventa

ψ(q; t) = ψ(q; t)−∆t∂

∂tψ(q; t) +

i

2

~∆t

m

∂2

∂q2ψ(q, t)− i

~∆tV (q)ψ(q; t), (11.71)

e cioe

i~∂ψ(q; t)

∂t= − ~2

2m

∂2ψ(q; t)

∂q2+ V (q)ψ(q; t), (11.72)

che e proprio l’equazione di Schrodinger per la funzione d’onda ψ(q; t). Ne segue che la formulazionealla Schrodinger dell’evoluzione temporale nella base delle coordinate e segue dall’espressione dell’azionedell’operatore di evoluzione temporale per un tempo infinitesimo.

11.3 L’approssimazione WKB

L’espressione Eq. (11.59) della funzione d’onda in termini di path integral suggerisce come si possa costruireil limite semiclassico dell’equazione di Schrodinger: in tale limite, solo un cammino contribuisce, e lafunzione d’onda e una pura fase, eguale all’azione valutata lungo tale camino: ψ ∼ exp i

~S. Questosuggerisce che il limite classico dell’equazione di Schrodinger si puo ottenere scrivendo la funzione d’ondain forma esponenziale come

ψ( #»x ; t) = expi

~Θ( #»x , t), (11.73)

studiando l’equazione soddisfatta dalla funzione Θ( #»x , t), e trattando ~ come parametro di uno sviluppoperturbativo. Questo porta alla cosiddetta approssimazione WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin), che fuin effetti sviluppata negli anni ’20 del novecento, ben prima della formulazione di Feynman, a partire damanipolazioni formali dell’equazione di Schrodinger.

11.3.1 Limite semiclassico dell’equazione di Schrodinger

Sostituendo la funzione d’onda scritta nella forma Eq. (11.73) nell’equazione di Schrodinger (supponendo

al solito una hamiltoniana della forma H =#»p

2

2m+V ( #»x , t)) si trova immediatamente che la funzione Θ( #»x , t)deve soddisfare l’equazione

−∂Θ( #»x , t)

∂t=

1

2m

( #»∇Θ( #»x , t) · #»∇Θ( #»x , t))

+ V ( #»x , t)− i~2m4Θ( #»x , t). (11.74)

Possiamo ora costruire l’approssimazione semiclassica sviluppando Θ( #»x , t) in serie di ~

Θ( #»x , t) = S( #»x , t) +~iS1( #»x , t) +

(~i

)2

S2( #»x , t) + . . . , (11.75)

11.3 L’approssimazione WKB 203

dove i fattori di i sono stati introdotti per convenienza dei successivi calcoli, ed abbiamo chiamato S iltermine di ordine zero dello sviluppo ricordando il limite classico del path integral. Sostituendo questosviluppo nell’equazione di Schrodinger Eq. (11.74) soddisfatta dalla Θ( #»x , t), e identificando i coefficientidelle successive potenze di ~ troviamo cosı una sequenza di equazioni che determinano i termini successividello sviluppo Eq. (11.75).

All’ordine zero in ~ troviamo

−∂S∂t

=1

2m(

#»∇S)2 + V ( #»x ) (11.76)

che e l’equazione di Hamilton-Jacobi per la funzione S. Si vede cosı che nel limite ~ → 0 la funzioned’onda quantistica e l’esponenziale della funzione principale di Hamilton. In questo limite la funzioned’onda e una pura fase perche S e reale.

Risolvendo la Eq. (11.76) ritroviamo la funzione di Hamilton della meccanica classica: se il potenzialenon dipende dal tempo, come abbiamo visto nella sezione 11.1.2 (si ricordi la Eq. (11.18), possiamo porre

Θ( #»x , t) = −Et+ σ0( #»x ), (11.77)

dove σ0( #»x ), indipendente dal tempo, e la funzione caratteristica di Hamilton, che soddisfa l’equazione

E =1

2m(

#»∇σ0)2 + V (11.78)

da cui

#»∇σ0( #»x ) = ±√

2m(E − V ( #»x )), (11.79)

che nel caso unidimensionale si riduce ulteriormente a

dσ0

dx= ±

√2m(E − V ( #»x )), (11.80)

e quindi

σ0(x) = ±∫ x

x0

dx′√

2m(E − V ( #»x )). (11.81)

Vediamo cosı come la traiettoria classica emerga nel limite in cui ~→ 0.

11.3.2 Correzioni al primo ordine ed approssimazione semiclassica

Per capire la relazione tra traiettoria classica e funzione d’onda quantistica consideriamo ora la cor-rezione del primo ordine in ~. Osserviamo innanzitutto che per una hamiltoniana indipendente daltempo possiamo scrivere le soluzioni dell’equazione di Schrodinger nella forma di stati stazionari, ossia

ψ( #»x ; t) = e−i~Etψ( #»x ), (11.82)

dove ψ( #»x ) e un autostato della hamiltoniana. Ne segue immediatamente che, per uno stato stazionario,a tutti gli ordini in ~ possiamo porre

Θ( #»x , t) = −Et+ σ0( #»x ) +~iσ1( #»x ) +

(~i

)2

σ2( #»x ) + . . . , (11.83)

ossia tutti i contributi ad S Eq. (11.75) al di la del primo ordine sono indipendenti dal tempo.Al primo ordine in ~ troviamo cosı

0 = 2#»∇σ0

#»∇σ1 +4σ0, (11.84)


al secondo ordine

0 = 2#»∇σ0 ·

#»∇σ2 + (#»∇σ1)2 +4σ1, (11.85)

e cosı via. Queste equazioni ci permettono di determinare ordine per ordine la σi in termine delle σjcalcolate agli ordini precedent: nota la σ0, la Eq. (11.84) e un’equazione differenziale del primo ordineche determina la σ1, e cosiı cia.

Vediamo ora esplicitamente la correzione al primo ordine nel caso unidimensionale. Ponendo

p(x) ≡ d

dxσ0(x) (11.86)

l’equazione (11.84) diventa

dσ1

dx= −1

2

dp/dx

p(11.87)

che ha per soluzione

σ1(x) = −1

2ln |p(x)|+K. (11.88)

La soluzione semiclassica al primo ordine in ~ e quindi

ψ±(x; t) = expi

~

(−Et±

∫ x

x0

dx′ p(x′) +~i

(−1

2

)ln |p(x)|+K

)=

N√|p(x)|

exp1

i~Et exp± i

~

∫ x

x0

dx′ p(x′), (11.89)

dove N e una costante di normalizzazione.Vi sono quindi due soluzioni linearmente indipendenti, corrispondenti a due stati di definito impulso

semiclassico ±p(x) Eq. (11.86): infatti l’azione dell’operatore impulso su di esse e

−i~ d

dxψ±(x, t) = ±p(x)ψ±(x, t) +O(~), (11.90)

che, come abbiamo visto nella sezione 11.1.2, Eq. (11.22), e proprio l’impulso della traiettoria classica.La soluzione generale e la sovrapposizione

ψ(x; t) =1√|p(x)|

exp1

i~Et

(A exp

i

~

∫ x

x0

dx′ p(x′) + B exp− i~

∫ x

x0

dx′ p(x′)

), (11.91)

La soluzione Eq. (11.91) dell’equazione di Schrodinger al primo ordine non-banale dell’approssimazionesemiclassica e di solito chiamata approssimazione WKB tout court.

Nel caso E > V , p e reale; se consideriamo una soluzione di definito impulso (tale cioe che A = 0oppure B = 0) la probabilita di trovare la particella tra x e x+ dx e proporzionale a dx

p(x) , ossia, ponendo

p = mv, a dxv(x) = dt. Questo significa che la probabilita di trovarsi in un intervallo dx e proporzionale

al tempo impiegato a percorrerlo, proprio come nel caso classico. La soluzione generale, quando A = 0 eB = 0, puo anche essere scritta come

ψ(x; t) =1√p(x)

exp1

i~Et C sin

(1

~

∫ x

x0

dx′ p(x′) + δ

). (11.92)

Se invece E < V p = iβ con β = ±√

2m(V − E) e la soluzione generale e

ψ(x; t) =1√β(x)

exp1

i~Et

(A exp

1

~

∫ x

x0

dx′ β(x′) + B exp−1

~

∫ x

x0

dx′ β(x′)

). (11.93)


11.3.3 Validita dell’approssimazione semiclassica

Discutiamo ora le condizioni di validita dell’approssimazione semiclassica. E chiaro dall’Eq. (11.74) chele correzioni quantistiche all’equazione del moto classica sono dovute al fatto che il termine cineticonell’equazione di Schrodinger oltre al primo termine a membro destro della Eq. (11.74), contiene l’ultimotermine, propozionale a ~. L’approssimazione semiclassica richiede quindi che il secondo termine siapiccolo rispetto al primo, ossia che

|~4Θ| | #»∇Θ2|. (11.94)

Considerando per sempicita il caso unidimensionale la condizione diventa∣∣∣∣~dpdx∣∣∣∣ |p2|. (11.95)

In termini della lunghezza d’onda (di de Broglie), definita come

λ ≡ 2π~p. (11.96)

la condizione Eq. (11.95) ha la forma particolarmente semplice∣∣∣∣d(λ/2π)

dx

∣∣∣∣ 1. (11.97)

Quindi l’approssimazione vale quando la scala di variazione della lunghezza d’onda delle oscillazioni dellafunzioni d’onda e piccola rispetto alla lunghezza d’onda stessa espressa in unita di 2π, in altri terminiquando la lunghezza d’onda varia poco nel corso di un periodo di oscillazione.

Possiamo riscrivere la condizione Eq. (11.95) in termini di energia cinetica e potenziale ricordando laforma esplicita p =

√2m(E − V ) come

~√2m[E − V (x)]

2|E − V (x)|dV/dx

. (11.98)

L’approssimazione e buona quando l’energia e molto maggiore o molto minore del valore del potenzialenel punto: puo quindi essere usata per descrivere gli stati legati di minore energia in un potenziale moltoprofondo, oppure l’effetto tunnel sotto una barriera molto alta. Fallisce invece quando E ∼ V (x), cioe inprossimita dei punti di inversione (si ricordi la Fig. 6.11 nel Capitolo 6.4).

11.3.4 Trattazione semiclassica della buca di potenziale

Una classica applicazione dell’approssimazione semiclassica e la determinazione dello spettro di una bucadi potenziale di forma generica (si veda la Fig. 11.4). Come si e visto, il metodo WKB e accurato se|E − V (x)| 0, ossia lontano dai punti di inversione E = V (x). Possiamo pertanto risolvere il problemain approssimazione semiclassica in queste regioni (indicate come regioni I, II e III in figura).

Per raccordare queste soluzioni occorre pero procedere in un altro modo: occorre determinare unasoluzione nell’intorno dei punti di inversione (si veda la Fig. 11.5), e quindi raccordare l’andamento diquesta soluzione nella regione I di Fig. 11.5 con l’andamento della soluzione semiclassica nella regione IIdi Fig. 11.4, ed il suo andamento nella regione II di Fig. 11.5 con l’andamento della soluzione semiclassicanella regione III di Fig. 11.4. Al termine di questa doppia operazione di raccordo, si ottengono dellecondizioni che legano la soluzione semiclassica nella regione II a quella della regione III di Fig. 11.4.Un’analoga operazione permette di raccordare le soluzioni semiclassiche nelle regioni I e II della medesimafigura.

La soluzione nell’intorno del punto di inversione puo essere determinata sviluppando il potenziale inserie di Taylor:

V (x) = V (a) + V ′(a)(x− a) +O((x− a)2), (11.99)


Figura 11.4: Buca di potenziale generica. Sono indicate le regioni in cui vale l’approssimazione semiclassicaper data energia E.

e quindi risolvendo esattamente l’equazione di Schrodinger con il potenziale lineare che se ne ottiene.Non entriamo nei dettagli di questa trattazione, ci limitiamo a ricordare che la soluzione dell’equazione diSchrodinger con potenziale lineare puo essere determinata esattamente in termini di funzioni note comefunzioni di Airy.

Diamo quindi direttamente le condizioni di raccordo tra soluzioni semiclassiche che se ne ottengono.La soluzione nella regione II di Fig. 11.5 e della forma tipo oscillante Eq. (11.92), ed e parametrizzatadalla normalizzazione C e dalla fase δ, mentre la soluzione nella regione I e della forma esponenzialeEq. (11.93) ed e parametrizzata dalla normalizzazione A. Le condizioni di raccordo sono al solito due(continuita della funzione e della derivata) e fissano quindi C in termini di A e la fase δ. Nel caso di unpotenziale che cresce da sinistra a destra con un punto di inversione in a (Figura 11.5), si ha

ψ(x) =

2N√p(x)

sin(∫ a

xdx′ p(x

′)~ + π

4

)x a

N√β(x)

exp−∫ xadx′ β(x)

~ x a(11.100)

La condizione per un potenziale decrescente da sinistra a destra si ottiene da questa con ovvi cambiamentidi segno.

La coppia di condizioni che legano la soluzione nella regione II a quella delle regioni I e III determinanocompletamente lo spettro di una buca di potenziale (Figura 11.4) in approssimazione WKB. Notiamoinfatti che nella regione II la soluzione puo essere scritta in due modi diversi, o raccordandola alla I

ψI(x) =N√β(x)

exp

(−∫ a

x

dx′β(x)

~

)(11.101)

ψII(x) =2N√p(x)

sin

(∫ x

a

dx′p(x′)

~+π

4

), (11.102)

o raccordandola alla III

ψ′II(x) =2N ′√p(x)

sin

(∫ b

x

dx′p(x′)

~+π

4

)(11.103)

ψIII(x) =N ′√β(x)

exp

(−∫ x

b

dx′β(x)

~

). (11.104)

Ma ψII(x) e ψ′II(x) devono essere uguali. L’equazione sinα = sinβ ammette le due soluzioni α = βed α = π − β: e facile vedere che non e possibile soddisfare la condizione che gli argomenti del senonella ψII(x) e ψ′II(x) siano uguali per ogni x, mentre possiamo imporre che la loro somma valga π.


Figura 11.5: Potenziale nell’intorno del punto di inversione.

Troviamo inoltre un’altra soluzione quando la somma dei due argomenti vale 2π: in tal caso c’e un segnodi differenza che possiamo riassorbire nella normalizzazione. Ovviamente entrambe le condisioni possonoessere soddisfatte a meno di 2π, e troviamo cosı che, nel caso piu generale, le soluzioni ψII(x) e ψ′II(x)coincidono imponendo

N ′ = (−1)n+1N ; (11.105)(∫ x

a

dx′p(x′)

~+π

4

)+

(∫ b

x

dx′p(x′)

~+π

4

)= nπ. (11.106)

La Eq. (11.106) puo essere viosta come una condizione di quantizzazione sull’integrale∫ b

a

dx′p(x′)

~= nπ − π

2(11.107)

dove a, b sono i punti di inversione classici. Poiche

p(x) =√

2m(E − V (x)), (11.108)

l’integrale e determinato dalla forma del potenziale, e si ottiene la condizione di quantizzazione∫ b

a

dx√

2m(E − V (x)) = ~(n+

1

2

)π, (11.109)

con n intero.Questa condizione era stata gia postulata da Bohr e Sommerfeld sulla base di considerazioni analoghe a

quelle viste nella sezione 10.3.2 nella discussione del modello di Bohr dell’atomo di idrogeno, ed in partico-lare facendo l’ipotesi che che ogni sistema hamiltoniano dovesse soddisfare la condizione di quantizzazione(nota appunto come condizione di Bohr-Sommerfeld):∮

pdq = 2~πn (11.110)

che per n sufficientemente grande coincide la condizione da noi trovata applicando il metodo WKB. Inquesto caso l’integrale e valutato su un intero periodo del moto classico, da a a b e ritorno (questo spiegail fattore 2 aggiuntivo).


Osserviamo infine che l’andamento delle soluzioni semiclassiche trovate e in accordo con le conclusionidella discussione qualitativa dello spettro di una buca di potenziale generica che abbiamo gia visto.Infatti, nella regione II ha un andamento sinusoidale ψ(x) ∼ sin(f(x) + δ), con le condizioni f(a) + δ = π

4e f(b) + δ = π

4 + nπ. Ne segue che nell’intervallo tra i punti di inversione l’argomento del seno compieun semiperiodo di oscillazione quando il sistema e nello stato fondamentale, un periodo nel primo statoeccitato, un periodo e mezzo nel secondo e cosı via: il numero di nodi della funzione d’onda cresce alcrescere dell’energia, come si era trovato nella discussione qualitativa.

Capitolo 12

La teoria delle perturbazioni

I metodi perturbativi sono usati in pratica per risolvere la maggior parte dei problemi di fisica quantistica,ma anche classica, visto che i problemi risolubili esattamente sono molto pochi. La meccanica quantisticafornisce un contesto particolarmente semplice per introdurre e discutere questi metodi. Discuteremoin particolare la teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo, particolarmente utili nel risolvereproblemi di stato legato, e la teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo, che trova la sua applicazioneprincipale nella descrizione dei fenomeni d’urto.

12.1 Perturbazioni indipendenti dal tempo

I metodi perturbativi indipendenti dal tempo vengono usati in tutti i casi in cui si cerca di determinarelo spettro di un operatore (e specificamente una hailtoninana) che si puo scrivere come la somma di unoperatore il cui spettro e esattamente noto, piu una correzione.

Consideriamo quindi un sistema la cui hamiltoniana H puo essere scritta come la somma di unahamiltoniana H0 di spettro noto

H0|n0〉 = E(0)n |n0〉, (12.1)

e ortonormale

〈m0|n0〉 = δnm, (12.2)

ed una hamiltoniana H ′:

H = H0 + εH ′. (12.3)

Il parametro ε non e necessariamente piccolo, ma serve per organizzare lo sviluppo perturbativo: l’ideadel metodo perturbativo e infatti di determinare autofunzioni ed autovalori dell’hamiltoniana completa

H|n〉 = En|n〉 (12.4)

come uno sviluppo in serie di ε, sviluppando in serie autostati ed autovalori Eq. (12.4) dell’hamiltonianacompleta Eq. (12.3):

En = E(0)n + εE(1)

n + ε2E(2)n + . . . (12.5)

|n〉 = |n0〉+ ε|n1〉+ ε2|n2〉+ . . . . (12.6)

E importante osservare che, in generale, nulla garantisce che la serie perturbativa per l’autovalore ol’autostato converga.

210 La teoria delle perturbazioni

12.1.1 Spettro non degenere

Consideriamo innanzitutto il caso in cui lo spettro dell’hamiltoniana imperturbata Eq. (12.1) sia non-

degenere, ovvero E(0)n 6= E

(0)k quando n 6= k. Sostituendo gli sviluppi Eq. (12.5-12.6) nell’equazione agli

autovalori (12.4) si ottiene

(H0 + εH ′)(|n0〉+ ε|n1〉+ ε2|n2〉+ . . .

)=(E(0)n + εE(1)

n + ε2E(2)n + . . .

)(|n0〉+ ε|n1〉+ ε2|n2〉+ . . .

).

(12.7)

Identificando termini dello stesso ordine in ε si ottiene una sequenza di equazioni

ε0(H0 − E(0)n )|n0〉 = 0 (12.8)

ε1(H0 − E(0)n )|n1〉 = (E(1)

n − H ′)|n0〉 (12.9)

ε2(H0 − E(0)n )|n2〉 = (E(1)

n − H ′)|n1〉+ E(2)n |n0〉 (12.10)

......

εk(H0 − E(0)n )|nk〉 = (E(1)

n − H ′)|nk−1〉+ E(2)n |nk−2〉+ . . . E(k)

n |n0〉. (12.11)

La correzione al k-esimo ordine all’autovalore puo essere estratta dalle Eq. (12.8-12.11) proiettandociascuna equazione sugli autostati |n0〉 dell’hamiltoniana imperturbata. A questo fine, osserviamo chetutti i termini successivi al primo nello sviluppo perturbativo dello stato Eq. (12.6) possono essere sceltiortogonali al primo, ovvero tali che

〈n0|ni〉 = 0. (12.12)

Questo segue dall’osservazione che se |ni〉 e soluzione della i-esima equazione (12.8-12.11) allora lo e anche|ni〉 = |ni〉+ λ|n0〉. Infatti

(H0 − E(0))|n1〉 = λ(H0 − E(0)n )|n0〉+ (H0 − E(0)

n )|n1〉 = (H0 − E(0)n )|n1〉, (12.13)

e quindi il membro sinistro dell’i-esima equazione valutato per la |ni〉 e la |ni〉 coincidono. Pertanto, datauna soluzione |ni〉 dell’i-esima equazione tale che

〈ni|n0〉 6= 0 (12.14)

ne possiamo costruire una nuova, |ni〉, pure soluzione dell’i-esima equazione, tale che sia soddisfatta lacondizione (12.12), ponendo |ni〉 = |ni〉+ λi|n0〉 e scegliendo

λi = −〈n0|ni〉. (12.15)

Proiettando come si e detto su |n0〉 le equazioni (12.8-12.11), tutti i membri di sinistra si annullano,

cosı come tutti i contributi a membro destro proporzionali a E(k)n . Supponendo gli stati |n0〉 normalizzati,

Eq. (12.2), troviamo immediatamente che

E(1)n = 〈n0|H ′|n0〉 (12.16)

E(2)n = 〈n0|H ′|n1〉 (12.17)

...

E(k)n = 〈n0|H ′|nk−1〉. (12.18)

Quindi, la correzione all’ordine k − 1 dello stato determina immediatamente la correzione all’ordine k

per l’autovalore. In particolare, la correzione al primo ordine all’autovalore E(1)n e immediatamente data

dalla Eq. (12.16).La correzione al k-esimo ordine all’autostato si trova invece moltiplicando entrambi i membri di

ciascuna delle Eq. (12.8-12.11) per l’inverso dell’operatore H0 − E(0)n . Notiamo tuttavia che nello spazio

12.1 Perturbazioni indipendenti dal tempo 211

degli stati fisici questo operatore non e invertibile, in quanto manifestamente H0−E(0)n |n0〉 = 0, e quindi

tale operatore ha un autovalore nullo. Tuttavia, la Eq. (12.12) implica che tutte le |nk〉 appartengono alsottospazio ortogonale ad |n0〉, e quindi possiamo invertire l’equazione nel sottospazio come ora vederemoesplicitamente.

In sostanza dunque possiamo vedere ciascuna delle Eq. (12.8-12.11), che sono equazioni tra vettori,e quindi ne legano tutte le componenti, come due equazioni indipendenti. Una lungo la direzione del

vettore |n0〉, che determina la correzione di ordine k, E(k)n , all’autovalore: la Eq. (12.18). Ed una nel

sottospazio ortogonale al vettore |n0〉, che determina la correzione di ordine k all autovettore, |nk〉, e cheora studiamo.

Iniziando da primo ordine, sfruttiamo il fatto che |n1〉 appartiene al sottospazio ortogonale a |n0〉 perscriverlo come

|n1〉 =∑k

|k0〉〈k0|n1〉 =∑k 6=n

|k0〉〈k0|n1〉 : (12.19)

alla risoluzione dell’identita contribuiscono tutti gli stati tranne |n0〉. Vediamo quindi che anche se1

H0−E(0)n

non esiste nello spazio degli autostati di H0, ma esiste nello spazio ortogonale a |n0〉. Infatti, in

questo sottospazio

1

H0 − E(0)n

=∑k 6=n

1

H0 − E(0)n

|k0〉〈k0|. (12.20)

Poiche in generale

f(H0)|k0〉 = f(E

(0)k

)|k0〉 (12.21)

si ha

1

H0 − E(0)n

|k0〉 =1

E(0)k − E

(0)n

|k0〉 (12.22)

e quindi

1

H0 − E(0)n

=∑k 6=n

1

E(0)k − E

(0)n

|k0〉〈k0|. (12.23)

Possiamo cosı determinare la prima correzione all’autostato:

|n1〉 =∑k 6=n

1

E(0)k − E

(0)n

|k0〉〈k0|(E(1)n − H ′

)|n0〉 =

∑k 6=n

1

E(0)k − E

(0)n

|k0〉[δknE

(1)n − 〈k0|H ′|n0〉

]=∑k 6=n

〈k0|H ′|n0〉E

(0)n − E(0)

k

|k0〉. (12.24)

Notiamo che la perturbazione modifica lo stato di partenza, aggiungendo ad esso componenti lungo tuttele altre direzioni (tutti gli altri autostati imperturbati) nello spazio di Hilbert. La componente lungo unadirezione e tanto piu piccola quanto l’autovalore di energia e diverso.

La correzione a qualunque ordine perturbativo puo essere determinata iterando questa procedura. Percompletezza, determiniamo le correzioni ad autovalore ed autostato fino al secondo ordine. Sostituendol’espressione esplicita Eq. (12.24) nella Eq. (12.17) troviamo

E(2)n = 〈n0|H ′

∑m 6=n

〈m0|H ′|n0〉E

(0)n − E(0)

m

|m0〉 =∑m6=n

〈n0|H ′|m0〉〈m0|H ′|n0〉E

(0)n − E(0)

m

=∑m6=n

|〈m0|H ′|n0〉|2

E(0)n − E(0)

m

. (12.25)


Notiamo che la correzione al secondo ordine all’energia dello stato fondamentale (ossia di minima energia)e sempre negativa, poiche in tale caso il denominatore e sempre negativo.

La correzione al secondo ordine all’autostato e

|n2〉 =∑k 6=n

1

H0 − E(0)n

|k0〉〈k0|[(E(1)

n − H ′)|n1〉+ E(2)n |n0〉

]

=∑k 6=n

1

E(0)k − E

(0)n

|k0〉〈k0|

(〈n0|H ′|n0〉 − H ′) ∑m6=n

〈m0|H ′|n0〉E

(0)n − E(0)

m

|m0〉

. (12.26)

12.1.2 Caso degenere

Il caso di spettro degenere e piu complesso in seguito al fatto che la base di autostati di partenza equella dopo aver applicato la perturbazione in generale non coincidono. Ricordiamo ad esempio il casodell’oscillatore armonico isotropo. Abbiamo visto che gli autostati di energia possono essere scritti in duebasi differenti:

|n1 n2 n3〉 En = ~ω(N +

3

2

)N = n1 + n2 + n3 (12.27)

|n ` m〉 En = ~ω(N +

3

2

)N = 2n+ `. (12.28)

Queste sono solo due dell’infinita di basi possibili per il sistema. La perturbazione tuttavia potrebbeselezionare una di queste due basi: per esempio, una perturbazione lungo l’asse x seleziona la prima basecome privilegiata, mentre una perturbazione che dipende dal momento angolare seleziona la seconda base,o magari la perturbazione potrebbe selezionare una terza base.

Possiamo formalizzare la situazione come segue. Supponiamo che allo stesso autovalore di energia

E(0)n dell’hamiltoniana imperturbata H0 corrispondano d autostati |n(0)

k 〉, k = 1, 2, . . . , d. Per effettodella perturbazione, le energie di questi stati in generale possono diventare diverse fra di loro riducendood eliminando la degenerazione (od anche, eventualmente, lasciandola invariata). Pertanto, gli statiperturbati

|nk〉 = |n(0)k 〉+ ε|n(1)

k 〉+ . . . (12.29)

avranno in generale energia diversa fra loro. Ne segue quindi che, mentre qualunque combinazione lineare

degli stati |n(0)k 〉 e ancora autostato di H0, solo certe particolari scelte di stati |n(0)

k 〉 corrisponderanno alprimo ordine del risultato perturbato Eq. (12.29).

Per capire quali, osserviamo che la Eq. (12.9), moltiplicando a sinistra per il bra 〈n(0)j | si riduce a

〈n(0)j |H

′|n(0)k 〉 = E

(1)n,kδjk. (12.30)

Questo vuol dire che gli stati |n(0)k 〉 devono essere autostati dell’hamiltoniana perturbante; le correzioni

al primo ordine all’energia forniscono i rispettivi autovalori. Per determinare la perturbazione al primoordine all’energia dell’n-esimo autostato k volte degenere bisogna quindi diagonalizzare la matrice k × kdella perturbazione nel sottospazio degenere.

In seguito alla presenza della perturbazione, la degenerazione puo essere rimossa del tutto od in parte,

a seconda che gli autovalori E(1)n,k nella Eq. (12.30) siano tutti diversi fra si loro (degenerazione rimossa

completamente) o alcuni siano uguali fra loro. Se e rimossa del tutto, ci riduce al calcolo delle correzionisuccessive del caso non degenere. Puo accadere invece che la degenerazione non sia rimossa o sia rimossasolo parzialmente. In tal caso, ad ogni nuovo ordine dello sviluppo e quindi necessario ridiagonalizzarel’Hamiltoniana nel sottospazio che e rimasto degenere dopo aver introdotto la perturbazione all’ordineprecedente.

12.2 Perturbazioni dipendenti dal tempo 213

12.2 Perturbazioni dipendenti dal tempo

La teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo permette di affrontare in particolare i fenomeni d’urto(o diffusione), in cui il problema consiste nel valutare la probabilita che un sistema subisca una transizionetra un certo stato iniziale ed un certo stato finale per effetto di un potenziale, come quando una particellaincide sul potenziale stesso, e ne viene deflessa. In questa situazione si usa la teoria perturbativa dipen-dente dal tempo anche quando il potenziale e indipendente dal tempo stesso. Si suppone infatti che lostato iniziale sia preparato, e lo stato finale sia rivelato, in regioni lontane dal potenziale, in cui l’effettodel potenziale stesso e trascurabile. Si puo quindi supporre, con buona approssimazione, che il potenzialesia attivo per un tempo intermedio, e solo alla fine, come vedremo, prendere il limite in cui questo tempodiventa infinito. Di conseguenza, la teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo e di fatto il metodousato per trattare problemi d’urto.

12.2.1 La rappresentazione di interazione

Per descrivere le perturbazioni dipendenti dal tempo conviene introdurre una nuova rappresentazionedell’evoluzione temporale, per cosı dire intermedia tra la rappresentazione di Heisenberg e quella diSchrodinger. Scriviamo l’Hamiltoniana del sistema come la somma di un termine imperturbato nondipendente dal tempo H0 e di un termine di perturbazione, in generale dipendente dal tempo, V (t):

H = H0 + V (t). (12.31)

In rappresentazione di interazione, il contributo dei due termini all’evoluzione temporale viene trattato inmodo diverso: in sostanza, H0 viene trattato in rappresentazione di Heisenberg, e V (t) in rappresentazionedi Schrodinger.

Esplicitamente, definiamo la rappresentazione di interazione nel modo seguente. Supponiamo che|ψ; t〉S siano gli stati in rappresentazione di Schrodinger la cui evoluzione temporale e data dall’hamilto-niana Eq. (12.31). Gli stati in rappresentazione di interazione sono definiti come

|ψ; t〉I ≡ exp− 1

i~H0t|ψ; t〉S = S−1

0 (t, 0)|ψ; t〉S , (12.32)

(avendo scelto per semplicita t0 = 0 come tempo iniziale) mentre gli operatori in rappresentazione diinterazione sono collegati a quelli in in rappresentazione di Schrodinger da

AI = S−10 (t, 0)ASS0(t, 0). (12.33)

Segue immediatamente dalla definizione che la dipendenza dal tempo degli stati in rappresentazionedi interazione e data solo da V (t). Infatti si ha:

i~∂

∂t|ψ; t〉I = −

(exp− 1

i~H0t

)H0|ψ; t〉S +

(exp− 1

i~H0t

)(H0 + V (t))|ψ; t〉S

=

(exp− 1

i~H0t

)V (t)|ψ; t〉S = S−1

0 (t, 0)V (t)S0(t, 0)|ψ; t〉I

= VI(t)|ψ; t〉I , (12.34)

dove VI(t) e il potenziale in rappresentazione di interazione, ottenuto da quello in rappresentazione diSchrodinger mediante la Eq. (12.33) La soluzione dell’equazione di evoluzione temporale per gli stati inrappresentazione di interazione Eq. (12.34) e cosı

|ψ; t〉I = SI(t, t0)|ψ; 0〉 =

[T exp

1

i~

∫ t

t0

dt′ VI(t′)

]|ψ; 0〉, (12.35)

dove T e il prodotto cronologico, introdotto studiando l’evoluzione temporale per hamiltoniane dipendentidal tempo. Notare che il tempo t0 al quale si prende lo stato iniziale e generalmente diverso dal tempot = 0 al quale abbiamo definito la rappresentazione di interazione secondo la Eq. (12.32).


Possiamo verificare esplicitamente che la dipendenza temporale determinata usando la rappresen-tazione di Schrodinger coincida con quella che si trova in rappresentazione di interazione: in particolareche sia la stessa la probabilita dei risultati di misure, che fornisce il contenuto predittivo della meccani-ca quantistica. Ricordiamo che nella sezione 4.3 abbiamo gia visto come questo sia vero nel caso dellereppresentazioni di Schrodinger e di Heisenberg: se al tempo iniziale il sistema si trova in uno stato|ψ; 0〉, l’ampiezza di probabilita che al tempo t una misura dell’operatore hermitiano A riveli il sistemanell’autostato |n〉 di A e pari a

〈n|ψ; t〉 = 〈n|S(t, 0)|ψ; 0〉. (12.36)

In rappresentazione di Schrodinger questo si ottiene notando che

|ψ; t〉 = S(t, 0)|ψ; t〉, (12.37)

mentre in rappresentazione di Heisenberg lo stato |ψ〉 non dipende dal tempo, mentre e l’operatore A adipendere dal tempo, sicche i suoi autostati soddisfano l’equazione

|n(t)〉 = S−1(t, 0)|n〉, (12.38)

che porta nuovamente all’eq. Eq. (12.36).In rappresentazione di interazione gli autostati di AI(t) soddisfano

AI(t)|n(t)〉I = λn|n(t)〉I (12.39)

con AI(t) dato dalla Eq. (12.33). Un procedimento identico a quello che porta alla Eq. (12.38) troviamoche

|n(t)〉I = S−10 (t, 0)|n〉. (12.40)

D’altra parte, lo stato in rappresentazione di interazione soddisfa la Eq. (12.32), e quindi l’ampiezza diprobabilita che la misura dia come risultato λn e

I〈n(t)|ψ〉I = 〈n|S0(t, 0)|ψ; t〉I = 〈n|S0(t, 0)S−10 (t, 0)|ψ; t〉S = 〈n|S(t, 0)|ψ; 0〉, (12.41)

che ancora una volta coincide con quella calcolata alla Schrodinger, Eq. (12.36).

12.2.2 Sviluppo perturbativo dipendente dal tempo

Discutiamo ora il prototipo di problema che si tratta usando la teoria delle perturbazioni dal tempo:quello di un sistema che al tempo iniziale si trova in un autostato |n〉 dell’Hamiltoniana H0

H0|n〉 = E|n〉 (12.42)

(in generale degenere) e, interagendo con un potenziale V (t), compie una transizione ad un altro autostato|m〉 dell’hamiltoniana, che potrebbe essere associato ad una diversa energia, od anche, se l’hamiltoniana edegenere, essere un altro stato associato alla stessa energia. Questa e la situazione tipica di un problemadi urto.

L’ampiezza di probabilita per la transizione e

Anm(t) = 〈m|S(t, t0)|n〉, (12.43)

dove supponiamo per semplicita t0 fisso e quindi vediamo l’ampiezza come funzione del tempo t al qualesi esegue la misura finale. In rappresentazione di interazione, possiamo riscrivere l’ampiezza come

Anm(t) = I〈m|SI(t, t0)|n〉I = 〈m|S0(t, 0)SI(t, t0)S−10 (t0, 0)|n〉

= e−1i~ (Ent0−Emt)〈m|SI(t, t0)|n〉 = e−

1i~ (Ent0−Emt)Amn, (12.44)


dove abbiamo indicato con |n〉I e |n〉 gli autostati di energia rispettivamente in rappresentazione di inter-azione e in rappresentazione di Schrodinger, nel secondo passaggio abbiamo usato la relazione Eq. (12.40)tra gli autostati nelle due rappresentazioni, abbiamo quindi sfruttato il fatto che gli stati |m〉, |n〉 sonoautostati di H0, ed infine abbiamo posto

Amn(t) = 〈m|SI(t, t0)|n〉. (12.45)

Notare, di nuovo, che il tempo t0 al quale si prepara lo stato iniziale e diverso dal tempo t = 0 al qualeabbiamo scelto di definire la rappresentazione di interazione, e questo spiega i diversi argomenti deglioperatori di evoluzione temporale.

Ai fini della determinazione della probabilita di transizione il fattore di fase nella Eq. (12.44) eirrilevante: infatti

Pnm = |Amn|2 = |Amn|2, (12.46)

Calcoliamo quindi Amn(t). Si ha

Amn(t) = 〈m|I +1

i~

∫ t

t0

dt′ VI(t′) +

1

2(i~)2T∫ t

t0

dt′dt′′ VI(t′)VI(t

′′) + . . . |n〉

= δnm +1

i~

∫ t

t0

dt′ 〈m|S−10 (t′, 0)VS(t′)S0(t′, 0)|n〉+ (12.47)

〈m| 1

(i~)2

∫ t

t0

dt′∫ t′

t0

dt′′ S−10 (t′, 0)VS(t′)S0(t′, 0)S−1

0 (t′′, 0)VS(t′′)S0(t′′, 0)|n〉+ . . . (12.48)

Possiamo interpretare la Eq. (12.47) come uno sviluppo perturbativo per l’ampiezza Amn(t):

Amn(t) =

∞∑i=0

A(i)mn(t), (12.49)

con

A(0)mn(t) = δmn

A(1)mn(t) =

1

i~

∫ t

t0

dt′ 〈m|VS(t′)|n〉e 1ih (En−Em)t′ (12.50)

A(2)mn(t) =

1

(i~)2

∫ t

t0

dt′∫ t′

t0

dt′′∑k

〈m|VS(t′)|k〉e 1ih (Ek−Em)t′〈k|VS(t′′)|n〉e 1

ih (En−Ek)t′′ ,

... (12.51)

avendo introdotto una risoluzione dell’indentita rispetto agli autostati dell’hamiltoniana imperturbata.La serie di contributi Eq. (12.50) e nota come serie di Dyson per l’ampiezza di transizione, ed e il risultatodella teoria perturbativa dipendente dal tempo nella sua forma piu generale.

12.2.3 La regola aurea di Fermi

Consideriamo ora il caso particolare in cui la perturbazione e attiva solo a partire dal tempo t = 0, ma eper il resto indipendente dal tempo:

V (t) = VΘ(t), (12.52)

dove abbiamo scelto t = 0 come tempo cui accendere la perturbazione per semplicita. Come gia discusso,questo ci permette di trattare la situazione generica in cui il sistema viene preparato in uno stato inizialein una regione in cui il potenziale e trascurabile, lasciato interagire con quest’ultimo, ed infine di nuovorivelato in una regione in cui il potenziale e trascurabile. Si tratta della situazione tipica degli esperimenti


in cui si usa un fascio di particelle per studiare la struttura della materia, oppure la struttura delleinterazioni fondamentali.

In questo caso, determiniamo l’ampiezza di transizione tra due stati diversi al primo ordine: se m 6= n,

A(0)mn(t) = 0, per cui il primo ordine nonnullo e A

(1)mn(t). Abbiamo cosı

A(1)mn =

1

i~

∫ t

0

dt′ e1i~ (En−Em)t′〈m|V |n〉 (12.53)

dove abbiamo definito l’elemento di matrice

Vmn = 〈m|V |n〉 (12.54)

indipendente dal tempo, in quanto tutta la dipendenza temporale e nella funzione Θ(t). Riscriviamo laEq. (12.53) come

A(1)mn =

1

i~

(∫ t

0

dt′eit′(ωm−ωn)

)Vmn = − 1

(ωm − ωn)~(eit(ωm−ωn) − 1

)Vmn, (12.55)

dove abbiamo posto En = ~ωn.La probabilita di transizione per unita di tempo, calcolata al primo ordine, e quindi data da

1

tPnm =

1

t

|Vmn|2

[(ωn − ωm)~]2∣∣eit(ωm−ωn) − 1

∣∣2. (12.56)

Ma notiamo che

|eit(ωm−ωn) − 1|2 =∣∣eit (ωm−ωn)

2

(eit

(ωm−ωn)2 − e−it

(ωm−ωn)2

)∣∣2 = 4 sin2

[(ωm − ωn)t

2

], (12.57)

quindi

1

tPnm =

|Vmn|2

[(ωm − ωn)~]24

tsin2

[(ωm − ωn)t

2

]. (12.58)

Consideriamo ora il limite di grande t: il caso cioe in cui, appunto, la particella incidente arriva dauna regione lontana, e quindi la perturbazione agisce per un tempo molto lungo rispetto alla scala di

tempi tipici del potenziale stesso. Osserviamo che la funzione sin2(xt)x2 e una funzione che nel limite di

grande t diventa sempre piu piccata nell’origine, mantenendo costante il suo integrale∫ ∞−∞

dxsin2(xt)

x2= tπ (12.59)

(si veda la Fig. 12.1). Ne segue che

limt→∞

1

πt

sin2 xt

x2= δ(x), (12.60)

e quindi

limt→∞

sin2[ωm−ωn

2

][(ωn − ωm)]2

4

πt= δ

(ωm − ωn

2

). (12.61)

Possiamo quindi riscrivere l’equazione (12.58) come:

1

tPnm = |Vmn|2δ

(ωm − ωn

2

)π

~2= |Vmn|22π

δ(ωm − ωn)

~2= |Vmn|2

2π

~δ(Em − En). (12.62)

L’equazione (12.62) e nota come regola aurea di Fermi: essa fornisce la la probabilita di transizione perunita di tempo, ed esprime la conservazione dell’energia nei fenomeni d’urto. E particolarmente utile nelcaso di spettro continuo di energia, come vediamo immediatamente.


-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

x

y

Figura 12.1: La funzione 1πt

sin2 xtx2 per t pari a 3, 5, 10, 15.

12.2.4 Concetti base della teoria dell’urto

La teoria dell’urto (o della diffusione) e un capitolo molto ampio della meccanica quantistica, ricco diapplicazioni che vanno dalla fisica atomica alla fisica nucleare ed alla fisica delle particelle. Ci limitiamoqui ad introdurre alcuni concetti fondamentali.

Sezione d’urto

L’osservabile fondamentale in teoria dell’urto e la sezione d’urto σ. E definita, per problemi in cui vi eun flusso costante di particelle che incidono su un bersaglio, come il numero di particelle diffuse (vale adire il numero di particelle che hanno interagito con il bersaglio) per unita di flusso entrante e per unitadi tempo.

Il numero di particelle diffuse dipende da tre fattori: il numero di particelle proiettile per unita disuperficie, la velocita delle particelle e la forma del bersaglio. I primi due fattori determinano il flussodi particelle. La sezione d’urto contiene l’informazione relativa al terzo fattore, e quindi descrive leproprieta del bersaglio. Essa generalizza la sezione geometrica di un bersaglio. Infatti, se un flussocostante di particelle j = dn

dtds incide su un bersaglio, il numero totale di particelle che incide sul bersaglio

avente area S in un certo intervallo di tempo ∆T e N = j∆TS. Quindi S = Nj∆T : il numero di particelle

che interagiscono per unita di flusso per unita di tempo e l’area S del bersaglio. Questo vuol direche la probabilita che una particella interagisca e pari alla superficie intercettata dalla particella stessa.La sezione d’urto generalizza questa definizione: per esempio, al caso di un bersaglio “parzialmentetrasparente”, cioe tale che una particella abbia solo una probabilita finita di interagire con il bersaglio.

E utile definire una sezione d’urto differenziale per unita di spazio delle fasi dello stato finale, dσd

#»k

o dσdΩ o in generale dσ

d #»a , dove #»a e un vettore di osservabili che caratterizza la cinematica dello statofinale: questo vuol dire che anziche contare il numero totale di particelle diffuse (sezione d’urto totale) siconta il numero di particelle diffuse aventi un certo valore di un’osservabile, per esempio un certo valoredell’impulso ~k (sezione d’urto differenziale). In meccanica quantistica, naturalmente, questo vuol dire chesi suppone che vi siano molte copie di un sistema quantistico, tutte descritte dalla stessa hamiltoniana, e


tutte nello stesso vettore di stato, su cui vengono effettuate misure ripetute: la sezione d’urto ci permettedi calcolare la probabilita del risultato di queste misure, per esempio di trovare una particella uscente inuna certa direzione diversa da quella del flusso di particelle entranti.

La sezione d’urto e quindi definita come

dσ = limt→∞

1

ja∆t|〈b|S(t,−t)|a〉|2db (12.63)

dove j e il flusso di particelle incidenti, aventi tutte vettore di stato |a〉, |b〉 e lo stato finale (il risultato dellamisura) e S(t,−t) e l’operatore di evoluzione temporale dal tempo −t in cui il sistema e preparato nellostato |a〉 al tempo t in cui esso viene rivelato nello stato |b〉— dove “rivelare nello stato” significa “eseguireuna misura il cui risultato rivela il sistema in questo stato”, e ∆t = 2t e la lunghezza dell’intervallo ditempo tra la preparazione iniziale e la misura finale. L’elemento di matrice dell’evoluzione temporale nellimite di grandi tempi

Sab ≡ limt→∞〈b|S(t,−t)|a〉 (12.64)

e detto elemento di matrice S (da “scattering”, una terminologia dovuta a Heisenberg.).

Spazio delle fasi e fattore di flusso

Vogliamo ora ottenere un’espressione esplicita per la sezione d’urto differenziale, nella situazione tipicain cui sia lo stato iniziale che lo stato finale sono stati di definito impulso

〈 #»x | #»k 〉 = ψ #»k ( #»x ) =

1

(2π)32

ei#»k · #»x . (12.65)

Essi soddisfano la condizione di normalizzazione

〈 #»

k | #»k ′〉 = δ(3)(#»

k − #»

k ′). (12.66)

Per le applicazioni risulta di norma piu conveniente parametrizzare l’impulso in coordinate sferiche,cioe in termini del suo modulo k e di un elemento angolare dΩk = d cos θkdφk), dove θk e φk sono gli angoli

che parametrizzano la direzione di#»

k in coordinate sferiche. Inoltre, visto che la regola aurea di Fermida la probabilita di transizione tra autostati dell’energia, conviene ulteriormente esprimere il modulo diimpulso in termini dell’energia, che per una particella libera e

E =~2 #»

k 2

2m. (12.67)

che determina il suo modulo.Vogliamo quindi scrivere la sezione d’urto in termini di stati |EΩk〉, che differiscono dagli stati |~k〉

esclusivamente per una costante di normalizzazione. Per determinarla, osserviamo che

δ(E − E′) = δ

(~2

2m(k2 − k′2)

)=

m

~2kδ(k − k′). (12.68)

Abbiamo quindi che

〈EΩk|E′Ωk′〉 = δ(E − E′)δ(2)(Ωk − Ωk′) =m

~2kδ(k − k′)δ(2)(Ωk − Ωk′). (12.69)

D’altra parte la delta di Dirac in cordinate sferiche soddisfa

δ(3)(#»

k − #»

k ′) =1

k2δ(k − k′)δ(2)(Ωk − Ωk′). (12.70)


Quindi, usando questa relazione per confrontare le due diverse condizioni di normalizzazione Eq. (12.66)e Eq. (12.69) troviamo che

〈EΩk|E′Ωk′〉 =mk

~2〈 #»

k | #»k ′〉. (12.71)

Ne segue che gli stati |EΩk〉, che soddisfano la condizione di normalizzazione Eq. (12.69), sono legati

agli autostati dell’impulso | #»k 〉 Eq. (12.65) che soddisfano la condizione di normalizzazione Eq. (12.66),da

|EΩk〉 =

√mk

~2| #»k 〉, (12.72)

e quindi nella rappresentazione delle posizioni si ha

〈 #»x |EΩk〉 =

√mk

~2〈 #»x | #»k 〉 =

√mk

~2

1

(2π)32

ei#»k · #»x . (12.73)

Possiamo ora calcolare esplicitamente il flusso j = | #»j |, pari al modulo del vettore flusso delle par-ticelle entranti, nell’ipotesi che le particelle entranti siano tutte particelle libere nello stesso autostatodell’impulso. Ricordiamo che il vettore flusso e definito come

#»j = − i~

2m[ψ∗

#»∇ψ − #»∇ψ∗ψ]. (12.74)

Sostituendo la funzione d’onda Eq. (12.73) in questa espressione troviamo immediatamente che

#»j =

~ #»

k

m

mk

~2

1

(2π)3(12.75)

e quindi

| #»j | = k2

~(2π)3. (12.76)

Utilizzando questa espressione per il flusso, e supponendo che gli stati |a〉 e |b〉 siano stati di particellalibera di definito impulso scritti nella forma della Eq. (12.72), la sezione d’urto Eq. (12.63) diventa cosı

dσ = limt→∞

(2π)3~k2

1

∆t

∣∣〈E′Ωk′ |S(t,−t)|EΩk〉∣∣2dE′dΩk′ . (12.77)

L’approssimazione di Born

Possiamo ora calcolare la sezione d’urto al primo ordine in teoria delle perturbazioni utilizzando la regolaaurea di Fermi. Infatti, il limite per grande ∆t del modulo quadro dell’elemento di matrice S diviso per∆t che compare nell’espressione Eq. (12.77) per la sezione d’urto e proprio la probabilita di transizioneper unita di tempo Eq. (12.62). Sostituendo l’espressione di quest’ultima troviamo cosı

dσ =(2π)4

k2

∣∣〈E′Ωk′ |V |EΩk〉∣∣2δ(E′ − E)dE′dΩk′ . (12.78)

Capiamo ora l’utilita della regola aurea di Fermi: nell’Eq. (12.77) compare il modulo quadro dell’ampiezzadi transizione. Quest’ultima, per interazioni invarianti per traslazioni temporali, conserva necessariamentel’energia, e quindi si potrebbe pensare che l’ampiezza fosse proporzionale ad una delta di Dirac che esprimela conservazione dell’energia. Ma se cosı fosse, la probabilita di transizione risulterebbe proporzionale alquadrato di una delta, che non ha senso. La soluzione del problema consiste nell’osservare che gli statisono preparati e quindi rivelati come autostati dell’hamiltoniana libera; essi non sono quindi autostatidell’hamiltoniana totale, ed il potenziale puo indurre transizioni tra di essi. Il calcolo eseguito nella


Sez. 12.2.3 mostra che ciononostante, se il tempo durante il quale il potenziale agisce e molto lungo(dimodoche la dipendenza temporale dovuta al fatto che il potenziale viene “acceso” e poi “spento”diventa trascurabile), allora l’energia, ma la delta compare a livello di probabilita, non di ampiezze.

Possiamo quindi integrare la sezione d’urto su tutte le energie dello stato finale. La sezione d’urtodifferenziale per unita di angolo e quindi

dσ

dΩk′=

(2π)4

k2

∣∣〈E′Ωk′ |V |EΩk〉∣∣2. (12.79)

La Eq. (12.79), ossia l’espressione della sezione d’urto al primo ordine perturbativo, e nota come approssi-mazione di Born per la sezione d’urto.

Utilizzando l’espressione esplicita Eq. (12.72-12.73) degli stati |EΩk〉, l’elemento di matrice che com-pare nella Eq. (12.79) diventa

〈EΩk′ |V |EΩk〉 =mk

~2(2π)3

∫d3x ei

#»q · #»x V ( #»x ), (12.80)

dove

#»q =#»

k − #»

k ′ (12.81)

e l’impulso trasferito, e | #»k | = | #»k ′| = k visto che E′ = E.Si ha cosı

dσ

dΩ=

(2π)4m2

~4|f( #»q )|2, (12.82)

dove

f( #»q ) ≡ 1

(2π)3

∫d3 #»x V ( #»x )ei

#»q · #»x . (12.83)

e detto fattore di forma del bersaglio, ed abbiamo sottinteso che l’elemento angolare dΩ si riferiscaall’impulso dello stato finale

#»

k ′. Per potenziali centrali possiamo ulteriormente scrivere

f( #»q ) =1

4π2

∫ ∞0

dr

∫ 1

−1

d cos θ r2V (r)eiqr cos θ =1

2π2

∫ ∞0

dr rsin qr

qV (r). (12.84)

Sostituendo nella Eq. (12.82) troviamo infine

dσ

dΩ=

4m2

q2~4

∣∣∣∣∫ ∞0

dr r sin qrV (r)

∣∣∣∣2 . (12.85)

Parte VI

Sistemi di molti corpi

Capitolo 13

Particelle identiche

Nella discussione dei sistemi quantistici il cui spazio degli stati si ottiene prendendo un prodotto direttodi spazi di stati di dimensione inferiore ci siamo finora concentrati su problemi separabili. Abbiamo cioesempre tentato di ridurre problemi multidimensionali a piu problemi unidimensionali, il problema dei duecorpi a due problemi ad un corpo, e cosı via. In questi casi il vettore di stato si fattorizza completamente,anche se sappiamo che in generale non sempre questo e possibile. Un caso particolarmente sorprendentein cui questo succede e quello delle particelle identiche.

13.1 Indistinguibilita quantistica

La meccanica statistica, sia nel caso classico che nel caso quantistico, e basata sul conteggio degli stati diun sistema meccanico. Anche quando non si puo completamente osservare lo stato di un sistema, se nepossono descrivere molte proprieta in termini di medie, e per questo e ovviamente necessario contare glistati che hanno una certa proprieta (per esempio, tutti gli stati che hanno energia in un certo intervallo).Il conteggio degli stati in meccanica quantistica differisce profondamente dalla sua controparte classicaperche quantisticamente e diverso il concetto di identita di stati fisici.

In meccanica classica, infatti, due oggetti non sono mai completamente indistinguibili: classicamente,e sempre possibile (in linea di principio, se non in pratica) eseguire qualche misura che permetta didistinguerli. Anche due palle da biliardo perfettamente identiche possono essere distinte semplicementedefinendo come prima, o seconda, quella che ad un certo tempo occupa una certa posizione. Ma inmeccanica quantistica il principio di indeterminazione fa sı che il concetto di traiettoria di un oggettoperda di significato: quindi, assegnarne la posizione non permette di identificarlo a tutti i tempi successivisenza ambiguita.

E quindi possibile che in meccanica quantistica esistano oggetti completamente indistinguibili, nelsenso che non esiste alcuna misura che permette di dire qual e il primo e qual e il secondo. Per definire puprecisamente questa situazione, e capirne le implicazioni, consideriamo un sistema che vive in uno spazioprodotto diretto: ad esempio un sistema di due particelle. Il vettore di stato ha quindi la forma

|ψ〉 =∑nm

cnm|n〉 ⊗ |m〉, (13.1)

dove |n〉, |m〉 sono basi per gli spazi degli stati delle due particelle. Ad esempio, |n〉, |m〉 potrebberoessere i valori della terza componente dello spin per due particelle, oppure valori dell’energia e del modulodell’impulso per ciascuna particella. Quantisticamente, diciamo che due particelle sono identiche quando:

1. gli spazi degli stati |n〉, |m〉 sono copie dello stesso spazio degli stati (ossi se i due spazi sonoisomorfi): ad esempio, se si tratta di stati di terza componente dello spin, per particelle che hannolo stesso spin;

2. lo scambio dei numeri quantici relativi alla prima ed alla seconda particella lascia invariati i risultatidi qualunque misura che puo essere eseguita sul sistema.

224 Particelle identiche

13.1.1 L’operatore di scambio

Per studiare le proprieta delle particelle identiche, introduciamo un operatore di scambio P12, tale che

P12|m〉 ⊗ |n〉 = |n〉 ⊗ |m〉. (13.2)

Agendo su uno stato della forma Eq. (13.1) l’operatore di scambio produce il nuovo stato

|ψ′〉 = P12|ψ〉 =∑nm

cmn|n〉 ⊗ |m〉. (13.3)

Ricordando che la fase di uno stato quantistico e inosservabile, diciamo quindi che due particelle sonoidentiche se per ogni stato del sistema

|ψ′〉 = P12|ψ〉 = eiα|ψ〉. (13.4)

Poiche, ovviamente

P212 = I (13.5)

ne segue che

|ψ〉 = P212|ψ〉 = (eiα)2|ψ〉 (13.6)

quindi

eiα = ±1. (13.7)

In altri termini, due particelle sono identiche se tutti i loro stati sono autostati dell’operatore di scambio,ed i possibili valori dell’autovalore sono ±1.

E facile dimostrare che l’operatore di scambio e l’inverso di se stesso:

I = P212 = P12P12 (13.8)

e quindi

P12 = P−112 . (13.9)

Inoltre l’operatore di scambio e autoaggiunto: infatti usando la definizione Eq. (13.2) vediamo che i suoielementi di matrice sono (usando la sonsueta notazione compatta in cui omettiamo il simbolo di prodottodiretto)

〈m′, n′|P12|m,n〉 = δmn′δmn′ , (13.10)

e quindi manifestamente

〈m′, n′|P†12|m,n〉 = 〈m,n|P12|m′, n′〉)∗ = δmn′δmn′ (13.11)

da cui segue P12 = P†12. Assieme alla Eq. (13.9), cio implica immediatamente che esso e anche unitario.Poiche dopo la misura di un’osservabile qualunque il sistema si trova in un autostato dell’osservabile,

la Eq. (13.4) implica immediatamente che un sistema di particelle indentiche e un sistema tale per cuiqualunque operatore O associato ad un’osservabile soddisfa la condizione

P12OP12 = O. (13.12)

Infatti, misurando O possiamo porre il sistema in un qualunque autostato di |nO〉 di O, che soddisfa

O|nO〉 = λO|nO〉. (13.13)

13.1 Indistinguibilita quantistica 225

Pertanto lo stato |nO〉 deve soddisfare la Eq. (13.4) e quindi

P12OP12|nO〉 = eiαP12O|nO〉 = P12eiαλO|nO〉 = λO|nO〉 = O|nO〉. (13.14)

Ma questo deve essere vero per qualunque autostato, e quindi qualunque osservabile relativa al sistemadeve essere invariante sotto lo scambio degli spazi su cui agiscono gli operatori relativi alle due particelle.Per esempio, per un sistema di due particelle meccaniche avente hamiltoniana

H =#»p

2

1

2m1+

#»p2

2

2m2+ V ( #»x 1,

#»x 2) +W (1)( #»x 1) +W (2)( #»x 2) (13.15)

si ha

P12HP−112 =

#»p2

2

2m1+

#»p2

1

2m2+ V ( #»x 2,

#»x 1) +W (1)( #»x 2) +W (2)( #»x 1), (13.16)

quindi la condizione Eq. (13.12) e soddisfatta solo se m1 = m2, W (1)(x) = W (2)(x) e V (x, y) = V (y, x).Naturalmente, se la Eq. (13.17) vale per qualunque operatore, tutti gli stati accessibili al sistema soddis-fano la condizione di indistinguibilita Eq. (13.4), quindi possiamo equivalentemente dire che due particellesono identiche se per qualunque osservabile O vale la Eq. (13.17).

L’ Eq. (13.12) puo essere equivalentemente riscritta come

[P12, O] = 0, (13.17)

pertanto l’operatore di scambio e diagonalizzabile simultaneamente a qualunque osservabile del sistema,ed in particolare all’hamiltoniana. Un’osservazione importante e che sullo spazio degli autostati dell’op-eratore di scambio, anche il risultato della misura di un’osservabile relativa ad una singola particella nonpermette di distiguere di che particella si tratti: infatti, la Eq. (13.4) implica che

Cmn = eiαCnm. (13.18)

Ma la probabilita che una misura riveli il sistema nell’i-esimo stato della prima particella e

Pi =∑n

|Cin|2 (13.19)

che e quindi uguale alla probabilita che una misura riveli il sistema nello stesso stato della secondaparticella. Quindi, ad esempio, sullo spazio delle funzioni simmetriche o antisimmetriche se la misura dispin di una particella la rivela, poniamo, con spin su questo mi permette di dire che c’e una particellacon spin su, ma non quale particella abbia spin su. Quindi anche l’operatore di spin di una singolaparticella, se definito sullo spazio degli stati simmetrici o sullo spazio degli stati antisimmetrici soddisfala Eq. (13.17): l’operatore non e simmetrico sullo spazio di tutti gli stati prodotto diretto possibili, malo e sul sottospazio degli stati simmetrici o antisimmetrici.

13.1.2 Sistemi di n particelle e degenerazione di scambio

Quando le particelle identiche diventano piu di due la situazione si complica in modo interessante. Perun sistema di k particelle, il vettore di stato ha la forma

|ψ〉 =∑

n1...nk

cn1...nk |n1〉 ⊗ |n2〉 · · · ⊗ |nk〉. (13.20)

Si possono quindi definire 12k(k−1) operatori di scambio Pij che scambiano i numeri quantici della i-esima

e della j-esima particella,

Pij |ψ〉 =∑

n1...nk

cn1...nj ...ni...nk |n1〉 ⊗ . . . |ni〉 · · · ⊗ |nj〉 . . . |nk〉. (13.21)


Saremmo quindi portati a dire che k particelle sono tutte identiche fra loro se gli stati fisici sonoautostati di tutti gli operatori di scambio:

Pij |ψ〉 = eiαij |ψ〉. (13.22)

Osserviamo tuttavia che gli operatori di scambio non commutano fra di loro. Possiamo capire questo conun semplice esempio. Consideriamo uno stato a tre particelle, completamente fattorizzato, della forma|k1 k2 k3〉. E facile verificare che

P12P13|k1 k2 k3〉 = P12|k3 k2 k1〉 = |k2 k3 k1〉, (13.23)

mentre

P13P12|k1 k2 k3〉 = P13|k2 k1 k3〉 = |k3 k1 k2〉 6= P12P13|k1 k2 k3〉. (13.24)

Quindi gli operatori di scambio non commutano nello spazio prodotto diretto. Ne segue che per piudi due particelle le due condizioni Eq. (13.17) ed Eq. (13.4) non sono in generale equivalenti: possiamosempre soddisfare la prima, chiedendo che qualunque osservabile commuti con lo scambio di qualunquecoppia di particelle, ma non possiamo in generale soddisfare la seconda, chiedendo che gli stati sianosimultaneamente autostati di tutti i 1−2

k (k − 1) operatori di scambio, in quanto questi non commutanofra loro.

Nello spazio prodotto diretto possiamo quindi solo chiedere che valga la Eq. (13.4): questo vorrebbedire che vi sono 1−2

k (k − 1) operatori di scambio che non commutano fra di loro ma che commutanocon l’hamiltoniana, e con qualunque altra osservabile. Poiche vi sono sono k! permutazioni dello statofattorizzato |k1 k2 k3〉 questo vuol dire che nello spazio prodotto diretto vi sono k! autostati degeneri perqualunque osservabile fisica. Questa degenerazione e detta degenerazione di scambio. Per esempio, seconsideriamo una hamiltoniana per un sistema di tre particelle in una buca di potenziale unidimensionale,lo spettro di autovalori di energia e lo stesso di quello della buca di potenziale cubica, dato dagli En1n2n3

,Eq. (8.47). Ma e ovvio che tutti i sei (3!) stati |n1 n2 n3〉 che differiscono per una permutazione dei treindici sono associati allo stesso autovalore.

13.2 Statistiche quantistiche

Anche se gli operatori di scambio non commutano nello spazio di tutti gli stati fisici, esistono due sottospazidello spazio prodotto diretto nei quali gli operatori di scambio commutano. Se facciamo quindi l’ipotesiche gli unici stati fisicamente realizzati appartengano a questi sottospazi, allora e possibile diagonalizzaresimultaneamente tutti gli operatori di scambio e tutte le osservabili fisiche, e la degenerazione di scambiosparisce

13.2.1 Stati simmetrici ed antisimmetrici

Il sue sottospazi per cui gli operatori di scambio sono quelli degli stati a definita simmetria, cioe comple-tamente simmetrici o completamente antisimmetrici, ovvero tali che per ogni i, j

Pij |ψ〉 = ±|ψ〉. (13.25)

E ovvio che in questi sottospazi gli operatori di scambio commutano. Infatti, sia per stati simmetrici cheper stati simmetrici si ha, usando ripetutamente la Eq. (13.25),

PijPi′j′ |ψ〉 = Pi′j′Pij |ψ〉 = |ψ〉 (13.26)

per ogni scelta di i, j, i′, j′. Ma anche per stati antisimmetrici

PijPi′j′ |ψ〉 = |ψ〉 = Pi′j′Pij |ψ〉. (13.27)

Che sia possibile costruire stati completamente simmetrici o completamente antisimmetrici e garantitodal fatto che essi sono un sottospazio dello spazio di tutti gli stati prodotto diretto. Che gli stati simmetrici

13.3 Spin e statistica 227

lo siano e ovvio. Che lo siano anche gli stati antisimmetrici e meno ovvio: infatti, una qualunquepermutazione di n oggetti puo essere ottenuta attraverso un numero finito di scambi di due oggetti. Ingenerale, vi sono piu sequenze di scambi che portano alla stessa permutazione, e quindi potrebbe sorgere ildubbio che l’antisimmetria non sia univocamente definita, visto che lo stesso scambio puo essere ottenutocon diverse sequenze di permutazioni. Tuttavia, di puo dimostrare che se una permutazione puo essereottenuta attraverso una sequenza di un numero pari di scambi, qualunque altra sequenza che porti allastessa permutazione deve contenere un numero pari di scambi, e analogamente se puo essere ottenutaattraverso un numero dispari di scambi qualunque altra sequenza che porta alla stessa permutazione efatta di un numero dispari di scambi. Quindi la parita (o segnatura) di una qualunque permutazione eunivocamente definita, o come pari, o come dispari. Quindi uno scambio e una permutazione dispari, equalunque altra seuqenza di scambi che porti al medesimo risultato deve contenere un numero dispartidi scambi. E inoltre facile vedere che una combinazione lineare di stati simmetrici o antisimmetrici eanch’essa rispettivamente simmetrica o antisimmetrica. Gli stati simmetrici e antisimmetrici sono quindiun sottospazio dello spazio di partenza. E facile costruire questi spazi esplicitamente: nel caso simmetrico,basta aggiungere ad ogni stato |n1 . . . nk〉 tutti gli stati che differiscono da esso per una permutazione, enel caso antisimmetrico, basta aggiungere tutte le permutazioni pesate con un fattore (−1)s, dove s e lasegnatura della permutazione.

E facile verificare che questi sono gli unici due sottospazi per cui gli operatori di scambio commutano,cioe che in qualunque sottospazio a simmetria mista gli operatori di scambio non commutano: se vi sonoalmeno due autovalori diversi per due operatori di scambio diversi, allora si vede facilmente che l’ipotesiche gli stati siano autostati di entrambi porta ad una contraddizione. Possiamo dare il controesempionel caso di tre particelle visto prima, Eq. (13.23-13.24). Supponiamo che l’autovalore di P12 sia +1 el’autovalore di P13 sia −1, e consideriamo uno stato della forma |k1 k2 k3〉. Abbiamo che

|k1 k2 k3〉 = |k2 k1 k3〉 = −|k3 k1 k2〉 = −|k1 k3 k2〉 = |k2 k3 k1〉 = |k3 k2 k1〉 = −|k1 k2 k3〉, (13.28)

che e una contraddizione.Concludiamo che gli spazi degli stati completamente simmetrici o completamente antisimmetrici sono

tutti e soli gli spazi su cui gli operatoi di scambio commutano. Per un sistema di particelle identichedefinito nell’uno o nell’altro di questi sottospazi non c’e’ degenerazione di scambio.

13.3 Spin e statistica

13.3.1 Bosoni e Fermioni

Per quanto ne sappiamo, la natura ha scelto di non far uso della degenerazione di scambio: i sistemi diparticelle identiche realizzati in natura sono o completamente simmetrici, o completamente antisimmetrici.La proprieta di trasformazione sotto scambio del vettore di stato per un sistema di n particelle identichee nota come statistica delle particelle. Le particelle simmetriche sotto scambio sono dette bosoni, o,equivalentemente si dice che esse soddisfano la statistica di Bose-Einstein. Le particelle antisimmetrichesotto scambio sono dette fermioni, o equivalentemente si dice che esse soddisfano la statistica di Fermi-Dirac. In natura, tutte le particelle di spin intero sono bosoni e quelle di spin semi-intero sono fermioni.Cio va sotto il nome di relazione spin-statistica.

13.3.2 Il principio di esclusione

L’obbligo di simmetrizzare od antisimmetrizzare la funzione d’onda per un sistema di n particelle identicheha immediate conseguenze sullo spettro di energia per un sistema di n particelle, e puo essere visto comeun’interazione efficace non separabile tra le particelle anche in assenza di forze. Infatti, la funzioned’onda per un sistema di due particelle identiche soggette ad un medesimo potenziale V , cioe descrittedall’hamiltoniana completamente separabile

H = H1 +H2, Hi =p2i

2m+ V (xi) (13.29)


(come, ad esempio, due particelle in una buca di potenziale) non e mai fattorizzabile nel caso di fermioni,e non e in generale fattorizzabile nel caso di bosoni.

Supponiamo infatti noto lo spettro di Hi:

Hi|n〉 = E|n〉; 〈xi|n〉 = ψn(xi). (13.30)

Supponiamo inoltre che n sia intero, con n = 0 stato fondamentale. Nel caso di bosoni, lo statofondamentale per il sistema di due particelle e quindi

ψBg (x1, x2) = ψ0(x1)ψ0(x2) (13.31)

ma per un sistema di due fermioni esso e

ψFg (x1, x2) =1√2

(ψ0(x1)ψ1(x2)− ψ0(x2)ψ1(x1)) . (13.32)

Infatti, se si antisimmetrizza la funzione d’onda di stato fondamentale essa si annulla. Questo e il principiodi esclusione (di Pauli): per un sistema di n fermioni identici in un potenziale, non e possibile avere duefermioni nello stesso stato. Inoltre, anche nel caso di bosoni, il primo stato eccitato e dato da

ψB1 (x1, x2) =1√2

(ψ0(x1)ψ1(x2) + ψ0(x2)ψ1(x1)) , (13.33)

che pure non e fattorizzabile. Quindi anche in assenza di interazioni la funzione d’onda non e fattorizzabile,come se vi fosse un potenziale non separabile.

13.3.3 Il teorema spin-statistica

La relazione spin-statistica e un fatto sperimentale, cosı come il fatto che non esista degenerazione discambio, cioe che la simmetria mista in natura non sia realizzata. Tuttavia, ci si puo chiedere se visiano motivazioni teoriche per la relazione spin-statistica, ossia se essa si possa dedurre da altri principifisici. In effetti, un “teorema spin-statistica” fu dimostrato negli anni ’50 da Streater e Wightman, duefisici matematici interessati a dare una formulazione rigorosa alla teoria quantistica dei campi. Streatere Wightman dimostrarono che la relazione spin-statistica e necessaria perche una teoria quantistica dicampo abbia uno stato fondamentale stabile, e simultaneamente soddisfi una serie di assiomi ritenutiirrinunciabili, in particolare la causalita (unitarieta) e la localita.

Esistono tuttavia anche argomenti piu semplici che portano alla relazione spin-statistica, alcuni deiquali si possono riformulare nell’ambito della meccanica quantistica non relativistica. Esiste in partico-lare un’ampia letteratura sulla relazione spin-statistica in spazi bidimensionali. Il caso bidimensionalee particolarmente interessante perche in due dimensioni sono possibili altre statistiche oltre a quelle diBose e Fermi, che sono di interesse per fenomeni di fisica della materia condensata, come l’effetto Hallfrazionario.

Discutiamo quindi la relazione spin-statistica in due dimensioni. Ricordiamo innanzitutto che si ecostruito lo spin studiando le rappresentazioni delle rotazioni. In tre dimensioni ci sono tre generatori dirotazioni, le rotazioni attorno ai tre assi; in due dimensioni c’e un solo generatore delle rotazioni, l’asseperpendicolare allo spazio bidimensionale. Il gruppo delle rotazioni e pertanto il gruppo abeliano SO(2)delle rotazioni dei vettori bidimensionali. Esso e isomorfo al gruppo delle trasformazioni di fase: possiamosempre ad associare ad una rotazione di angolo θ la fase eiθ.

Pertanto, la piu generale funzione d’onda bidimensionale e

〈 #»x |ψ〉 = ψ(r, ϑ), (13.34)

e una rotazione di angolo α di tale funzione d’onda e

〈 #»x |Rα|ψ〉 = ψ(r, ϑ+ α) = eα∂∂ϑψ(r, ϑ) (13.35)


che possiamo anche esprimere in termini dell’operatore di momento angolare L

〈 #»x |Rα|ψ〉 = 〈 #»x |e i~αL|ψ〉, (13.36)

dato da

〈 #»x |L| #»x ′〉 = −i~ ∂

∂ϑδ(2)( #»x − #»x ′). (13.37)

Ovviamente, le autofunzioni di L sono le funzioni

〈θ|n〉 = einθ (13.38)

tali che

L|n〉 = ~n|n〉 (13.39)

e la richiesta che la funzione d’onda sia ad un valore implica che n e intero.Cosı come nel caso tridimensionale si puo definire uno spin. Lo spin e un momento angolare intrinseco

che in questo caso e generato dall’unico generatore s. Su una funzione d’onda |s〉, che vive in uno spazio

astratto, puo agire un operatore e−i~αs tale che

e−i~αs|s〉 = e−iαs|s〉, (13.40)

dove |s〉 sono autofunzioni

s|s〉 = ~s|s〉. (13.41)

Notiamo che in questo caso s potrebbe prendere qualunque valore (non c’e condizione di quantiz-zazione). Tuttavia, visto che desideriamo in seguito immergere il piano in uno spazio tridimensionale,concentriamoci sui casi di s intero e semi-intero che ammettono la generalizzazione a tre dimensioni.

La funzione d’onda totale di un sistema avente sia momenti angolare orbitale che spin e quindi

|ψs〉 = |ψ〉 ⊗ |s〉. (13.42)

Sotto una rotazione di angolo θ essa si trasforma come

eiθ(L+s)|ψs〉 = eiθseiθL|ψs〉 (13.43)

e quindi

〈 #»x |ψs〉 = ψs(#»x ), (13.44)

dove la ψs differisce dalla funzione d’onda spaziale ψ( #»x ) per una pura fase.Consideriamo ora la funzione d’onda per un sistema di due particelle in due dimensioni, con spin. La

funzione d’onda |ψs〉 e data da

〈 #»x 1#»x 2|ψs〉 = ψs(

#»x 1,#»x 2), (13.45)

dove ora sotto una rotazione di angolo α si ha

〈 #»x 1#»x 2|Rα|ψs〉 = e2iαsRαψs(

#»x 1,#»x 2), (13.46)

dove Rα realizza la rotazione spaziale, ed abbiamo supposto che lo spin sia s per entrambe le particelle.Osserviamo ora che la funzione d’onda spaziale per un sistema di due particelle si puo scrivere in

termini di coordinata del baricentro e coordinata relativa come

〈 #»x 1#»x 2|ψ〉 = ψ( #»x 1,

#»x 2) = ψ

(#»x 1 − #»x 2,

#»x 1 + #»x 2

2

)= ψ( #»r ,

#»

R) = ψ(r, ϑ, ϕ) (13.47)


Figura 13.1: Scambio di due particelle identiche A e B in due dimensioni tramite una rotazione attornoal loro baricentro.

dove nell’ultimo passaggio abbiamo ulteriormente parametrizzato coordinata del baricentro e coordinatarelativa in coordinate polari:

#»r (ϑ) =

(r cosϑr sinϑ

)(13.48)

#»

R(ϕ) =

(R cosϕR sinϕ

). (13.49)

Osserviamo ora che ne segue che l’operatore di scambio puo essere semplicemente realizzato da unarotazione intorno al baricentro del sistema, o piu in generale da una rotazione seguita da una traslazione(si veda la Fig. 13.1): infatti una rotazione di π manda la coordinata relativa #»r in − #»r , ma ovviamente

ψ( #»x 2,#»x 1) = ψ(− #»r ,

#»

R) = ψ(r, ϑ+ π, ϕ). (13.50)

Pertanto

P12|ψ〉 = Rπ|ψ〉. (13.51)

Ora calcoliamo l’azione di una rotazione di π su un sistema di particelle identiche, supponendo chesiano in uno stato di momento angolare orbitale relativo nullo. Usando la Eq. (13.46) abbiamo che

〈 #»x 1#»x 2|Rπ|ψs〉 = e2iπsRαψ( #»x 1,

#»x 2) = e2iπsψ( #»x 1,#»x 2), (13.52)

dove l’ultimo passaggio segue dall’ipotesi di momento angolare orbitale relativo nullo. Ma se le particellesono identiche abbiamo anche che

〈 #»x 1#»x 2|Rπ|ψs〉 = 〈 #»x 1

#»x 2|P12|ψs〉 = e2iπs〈 #»x 1#»x 2|ψs〉, (13.53)

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la Eq. (13.52). Ma questo ci dice immediatamente che la ψs eun autostato dell’operatore di scambio con autovalore ±1 a seconda che s sia intero o semi-intero.

D’altra parte, abbiamo visto che la simmetria della funzione d’onda deve essere una proprieta univer-sale per un sistema di particelle identiche, e quindi essa non puo dipendere dal valore del momento angolareorbitale. Ne deduciamo che la funzione d’onda deve essere necessariamente simmetrica (antisimmetrica)se lo spin e intero (semi-intero), cioe il teorema spin-statistica.

Questo stabilisce il teorema spin statistica in due dimensioni nel caso non relativistico. In piu dimen-sioni la dimostrazione comporta qualche complicazione tecnica, legata al fatto che in piu di due dimensioni


vi sono diversi modi di scambiare due particelle mediante una rotazione. Ma la motivazione profondadella relazione spin-statistica resta una conseguenza del fatto che scambiare tra loro due particelle e similead effettuare una rotazione di π, e quindi per spin seminteri lo scambio di due particelle si porta dietrouna fase di -1. Questo e l’argomento che sta alla base del teorema anche in teoria quanto-relativistica deicampi, dove vengono introdotti operatori di creazione e distruzione che dipendono dalla coordinata (cene sono per ogni punto dello spazio). Tali operatori per i fermioni devono anticommutare, e si vede checio da luogo appunto ad una fase di -1.

Capitolo 14

Entanglement

Abbiamo visto come per sistemi di due o piu particelle identiche, anche in assenza di interazione, lanecessita di simmetrizzare od antisimmetrizzare il vettore di stato impedisca di scriverlo come prodottodiretto: sempre, per i fermioni, e tutte le volte che almeno due delle particelle si trovano in stati diverse,per i bosoni. Gli stati che non si possono scrivere come prodotto diretto sono detti stati entangled, ovverointrecciati: il termine originale, dovuto a Heisember, e verschrankt, che significa conserto.

Gli stati entangled rivelano la natura non-locale della funzione d’onda e sono quindi, come vedremoin questo capitolo, al cuore della meccanica quantistica. Da un lato, e in presenza di entanglement chesi manifesta la differenza tra descrizione classica e descrizione quantistica dei fenomeni fisici. D’altraparte, e il comportamento dei sistemi entangled quando vengono eseguite delle misure che ci permette dicapire la transizione tra la descrizione quantistica e quella classica dei fenomeni fisici, ed in particolarecome la descrizione classica emerga quando la perdita di informazione sullo stato del sistema fa sı chel’interferenza quantistica non sia piu rilevabile.

Come abbiamo visto nella Sezione 2.3.2, l’informazione contenuta in un sistema quantistico e cod-ificata nella sua matrice densita. La struttura della matrice densita permette cosı di caratterizzarel’entanglement, e di dedurne le conseguenze.

14.1 Matrice densita

Come abbiamo gia visto la matrice densita permette di caratterizzare in modo del tutto generale lasituazione in cui vi e informazione incompleta circa lo stato di un sistema. In fisica quantistica, adifferenza che nel caso classico, e possibile prevedere gli eventi solo in modo statistico (cioe se ne puo solocalcolare la probabilita) anche quando si e in possesso di informazione completa sullo stato del sistema.Il formalismo della matrice densita permette di distinguere tra informazione probabilistica classica equantistica.

Ricordiamo che per un sistema che si trova in uno stato quantistico |ψ〉 ben definito, ossia in uno statopuro, la matrice densita e definita come il proiettore su tale stato:

ρ = |ψ〉〈ψ|. (14.1)

Se tuttavia si conosce solo l’insieme delle probabilita Pi che il sistema si trovi in uno degli stati |ψi〉 sidice che il sistema si trova in uno stato misto, anziche in uno stato puro, e la matrice densita e

ρ =∑i

Pi|ψi〉〈ψi|;∑i

Pi = 1. (14.2)

Notare che Pi sono probabilita, quindi numeri reali tali che 0 ≤ Pi ≤ 1.Il formalismo della matrice densita rende chiara la profonda differenza tra sovrapposizione quantistica

e la sovrapposizione statistica. Nella sovrapposizione quantistica, lo stato puro |ψ〉 e generalmente scrittocome sovrapposizione di altri stati. La matrice densita contiene quindi tutti i termini di interferenza tragli stati: se |ψ〉 = c1|φ1〉 + c2|φ2〉 chiaramente ρ Eq. (14.1) e la somma di quattro termini, sia quelli

234 Entanglement

contenenti le combinazioni |φ1〉〈φ1| e |φ2〉〈φ2|, sia i termini di interferenza |φ1〉〈φ2| e |φ2〉〈φ1|. Invece lasovrapposizione statistica classica Eq. (14.2) contiene solo termini diagonali, senza interferenze. Questa ela ragione per la quale la meccanica quantistica e diversa dalla meccanica statistica classica: in entrambii casi le le predizioni sono predizioni probabilistiche, pero nel caso quantistico, a differenza che nel casoclassico, cio che si sovrappone non sono probabilita, bensı ampiezze. Le probabilita sono il modulo quadrodelle ampiezze e di conseguenza compaiono dei termini di interferenza.

Ricordiamo che, sia che il sistema si trovi un uno stato puro, sia che si trovi in uno stato misto,cioe una sovrapposizione statistica, la matrice densita e un operatore autoaggiunto ρ† = ρ avente tracciaTrρ = 1, e il valor medio di una qualunque osservabile associata ad un operatore A e dato da

〈A〉 = TrAρ. (14.3)

Ricordiamo inoltre (si confronti la Eq. 2.103) che la matrice densita descrive uno stato puro se e solo seρ2 = ρ, ossia se e solo se Trρ2 = 1, mentre per uno stato misto si ha sempre Trρ2 < 1.

14.1.1 Meccanica statistica

La meccanica statistica quantistica puo essere formulata in termini delle proprieta della matrice densita.In particolare, la matrice densita per l’ensemble canonico, ossia per una sovrapposizione termica di stati,e data da

ρ =

∑k e−βEk|k〉〈k|∑k e−βEk

, (14.4)

dove β = 1kT in termini della temperatura T e della costante di Boltzmann k, e la somma corre su tutti gli

autostati di energia del sistema. L’evoluzione temporale della matrice densita segue dalla sua definizioneEq. (14.2): utilizzando l’equazione di Schrodinger si ha

d

dtρ =

(d

dt|ψ〉〈ψ|+ ψ〉 d

dt〈ψ|)

=1

i~(H|ψi〉〈ψi〉ψi| − |ψi〉〈ψi〉ψi|H) (14.5)

=1

i~[H, ρ],

che ricorda l’equazione del moto per gli operatori in rappresentazione di Heisenberg, ma col segno cambi-ato. L’Eq. (14.5) e l’analogo quantistico dell’equazione di Liouville che fornisce la dipendenza temporaledi una distribuzione di probabilita classica, dalla quale si ottiene sostituendo le parentesi di Poisson concommutatori divisi per i~, come gia si e visto per le equazioni di Hamilton nella Sezione 4.3.5.

14.1.2 Matrice densita e misure parziali

E un principio fondamentale della meccanica quantistica che dopo la misura di un’osservabile un sistemasi trova in un autostato di quell’osservabile. Questo peroo non necessariamente vuol dire che dopouna misura un sistema si trovi in uno stato puro: infatti, questo e vero solo se il risultato della misuracaratterizza completamente lo stato del sistema. Come e noto (si ricordi la discussione nella Sezione 1.3.3)la misura proietta lo stato del sistema sul sottospazio (eventualmente degenere) di stati associati al valoredell’osservabile misurata.

Una situazione particolarmente interessante si ha quando la misura determina solo le proprieta di unaparte del sistema complessivo. Per capirlo, consideriamo il caso di un sistema che vive in uno spazio diprodotto diretto, dove quindi si ha

|ψ〉 =∑mn

cmn|m1〉 ⊗ |n2〉; (14.6)

14.1 Matrice densita 235

|m1〉 sono vettori di base del sistema 1, mentre |n2〉 sono vettori di base del sistema 2. La matrice densitaha la forma:

ρ = |ψ〉〈ψ| =∑

mnm′n′

c∗m′n′cmn|m1〉|n2〉〈m′1|〈n′2|. (14.7)

Ci chiediamo ora cosa succede quando viene effettuata una misura in uno solo dei due sottospazi, ossiauna misura di un’osservabile che dipende soltanto dai gradi di liberta di uno dei due sottospazi. Questae naturalmente una situazione fisica tipica: in linea di principio, l’intero universo e descritto da un’unicafunzione d’onda, ma in pratica qualunque misura le proprieta di un sotto-sistema piu o meno piccolo.

Data una osservabile A2 che agisce solo nel secondo sottospazio, il suo valor medio e dato da:

〈A2〉 =∑mnn′

c∗mn′cmn〈n′2|A2|n2〉. (14.8)

Il risultato puo essere espresso come

〈A2〉TrA2ρ2, (14.9)

avendo definito una matrice densita ρ2 relativa al solo sottospazio ridotto, data da

ρ2 = Tr1ρ =∑mnn′

c∗mn′cmn|n2〉〈n′2|∣∣∣2

=∑nn′

dnn′ |n2〉〈n′2|∣∣∣2

(14.10)

dove nel primo passaggio Tr1 indica la traccia eseguita solo nel primo sottospazio, e

dnn′ =∑m

cmnc∗mn′ . (14.11)

La matrice densita ρ2 e dunque la matrice densita ottenuta prendendo la matrice di partenza e tracciandosolo rispetto al sottospazio 1, dove non misuriamo.

Consideriamo per esempio un sistema di due particelle di spin 12 , che si trova in uno stato di spin

totale uguale ad 1, e terza componente uguale a 0:

|ψ〉 =1√2

(|+〉|−〉+ |−〉|+〉

). (14.12)

Supponiamo che le due particelle non siano identiche (ad esempio, consideriamo un protone ed un elet-trone) e supponiamo di misurare lo spin dell’elettrone. Vogliamo misurare, ad esempio, lo spin lungol’asse #»n per l’elettrone. Consideriamo quindi l’operatore

σn = #»n · #»σ (2) (14.13)

dove #»σ (2) rappresenta il vettore delle matrici di Pauli che agiscono nel secondo sottospazio.L’operatore σn agisce solo nel secondo sottospazio. Si ha

Tr σnρ =1

2

(〈+1|〈−2|+ 〈−1|〈+2|

)σn(|+1〉|−2〉+ |−1〉|+2〉

)=

1

2

[〈+1|+1〉〈−2|σn|−2〉+ 〈−1|+1〉〈+2|σn|−2〉+ 〈+1|−1〉〈−2|σn|+2〉+ 〈−1|−1〉〈+2|σn|+2〉

]=

1

2

(〈−2|σn|−2〉+ 〈+2|σn|+2〉

)∣∣∣2. (14.14)

Abbiamo quindi

ρ2 = Tr1ρ = Tr11

2(|+1〉|−2〉+ |−1〉|+2〉) (〈+1|〈−2|+ 〈−1|〈+2|) . (14.15)

Notiamo che ρ2 e la matrice densita per uno stato misto completamente non polarizzato. Quindi, inquesto caso, benche il sistema si trovi in uno stato puro, l’impossibilita di misurarne completamente lecaratteristiche fa sı che esso appaia come uno stato misto. In altri termini, si puo passare da uno statosovrapposizione quantistica ad uno stato sovrapposizione classica facendo delle medie dei gradi di libertache non si misurano.

236 Entanglement

14.1.3 Entanglement e media sui sottosistemi

Si dimostra che condizione necessaria e sufficiente affinche la matrice densita di uno stato puro resti puroquando si misura solo un sottosistema e che lo stato si possa scrivere come prodotto diretto. Questo vuoldire che data ρ2 = Tr1ρ, se e solo se

|ψ〉 = |ψ1〉|ψ2〉 (14.16)

allora

ρ22 = ρ2 (14.17)

mentre se

|ψ〉 6= |ψ1〉|ψ2〉 (14.18)

allora

ρ22 6= ρ2. (14.19)

Verifichiamo esplicitamente che la condizione e sufficiente, omettendo la dimostrazione della condizionenecessaria. Il quadrato della matrice densita e:

ρ22 =

∑mnn′

cmnc∗mn′ |n〉〈n′|

∑ijj′

cijc∗ij′ |j〉〈j′| =

∑mnn′ijj′

cmnc∗mn′cijc

∗ij′ |n〉〈n′|j〉〈j′|

=∑mnijj′

cmnc∗mjcijc

∗ij′ |n〉〈j′| =

∑nj′

∑j

(∑m

cmnc∗mj

∑i

cijc∗ij′

)|n〉〈j′|

=∑nj′

∑j

(fnjfjj′) |n〉〈j′|. (14.20)

Ci chiediamo quando valga

ρ22 =

∑nj′

fnj′ |n〉〈j′|. (14.21)

Ipotizziamo che lo stato di partenza sia fattorizzato:

|ψ〉 =∑mn

cmn|m1〉|n2〉. (14.22)

Esso e non entangled se cmn = bmdn. In questo caso, infatti,

|ψ〉 =∑mn

(bm|m1〉

)(dn|n2〉

)= |ϕ1〉|ϕ2〉, (14.23)

avendo definito

|ϕ1〉 =∑m

bm|m1〉; (14.24)

|ϕ2〉 =∑n

dn|n2〉. (14.25)

Il fatto che

〈ϕ1|ϕ1〉 = 〈ϕ2|ϕ2〉 = 1 (14.26)

implica che ∑m

|bm|2 =∑n

|dn|2 = 1. (14.27)

14.2 Meccanica quantistica e realismo locale 237

Mostriamo ora che queste ipotesi sono sufficienti a stabilire ρ2 descrive uno stato puro. Si ha infatti

ρ22 =

∑nj′

∑j

(∑m

bmdnb∗md∗j

)(∑i

bidjb∗i d∗j′

)|n〉〈j′|

=∑nj′

∑j

dnd∗jdjd

∗j′ |n〉〈j′|

=∑nj′

dnd∗j′ |n〉〈j′| (14.28)

ma dnd∗j′ e proprio uguale a fnj′ =

∑m cmnc

∗mj′ , in quanto:

fnj′ =∑m

bmdnd∗j′b∗m = dnd

∗j′ (14.29)

e quindi effettivamente il quadrato della matrice densita e uguale alla matrice densita dalla quale eravamopartiti.

Questa proprieta garantisce che sia frequentemente possibile descrivere un sistema quantistico intermini della dinamica, e quindi dell’hamiltoniana, del sottosistema su cui si eseguono le misure. Seanche in linea di principio l’intero universo e descritto da un’unica funzione d’onda, in pratica, purche ilvettore di stato di un certo sottosistema fattorizzi rispetto, e possibile descrivere il sottosistema ignorandoil resto dell’universo. Questo vuol dire che il sottosistema in esame e disaccoppiato dall’ambiente.

Ma, al contrario, per un sistema entangled se si prescinde dall’ambiente, la natura del sistema cambia:sotto misura, un sistema che si trovava in uno stato puro si trasforma in una sovrapposizione statistica.

14.2 Meccanica quantistica e realismo locale

La descrizione quantistica della realta per sistemi entangled porta a conclusioni che appaiono essere inconflitto con il principio del cosiddetto realismo locale. Questo conflitto e stato espresso da Einsteinattraverso la descrizione di un esperimento inizialmente ideale, e poi in seguito realizzato, seppure conqualche modifica.

14.2.1 Il paradosso Einstein-Podolsky-Rosen

Nel suo lavoro1 Einstein considera un caso particolare di un sistema entangled formato da due sottosistemi.Usando una formulazione piu moderna dovuta a Bell2, l’esperimento si puo formulare nel modo seguente.Consideriamo due particelle di spin 1

2 che si trovano in uno stato di spin totale uguale a 0. La funzioned’onda del sistema e quindi

|ψ〉 =1√2

(|+〉|−〉 − |−〉|+〉

). (14.30)

Le due particelle vengono quindi allontanate senza che l’evoluzione temporale ne modifichi la funzioned’onda di spin, e, quando le due particelle sono sufficientemente lontane, su di esse vengono eseguitemisure causalmente disconnesse, cioe tali che nessun segnale che viaggia alla velocita della luce possatrasmettere l’informazione relativa alla misura di una particella quando viene eseguita la misura sull’altraparticella. L’ipotesi di realismo locale e che, essendo le particelle causalmente disconnesse, non c’e nullache puo succedere alla prima particella in conseguenza di quello che facciamo sulla seconda particella, eviceversa. Nelle parole di Einstein

...since at the time of measurement the two system no longer interact, no real change can takeplace in the second system in consequence of anything that may be done in the first system.

1Einstein A., Podolsky B., Rosen N., “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be ConsideredComplete?”, Phys. Rev. 47, 777-780 (May 15, 1935).

2Bell J. S. “On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox”, Physics 1, 195-200 (1964).

238 Entanglement

Secondo la meccanica quantistica, se eseguiamo la misura di spin di una delle due particelle per unsistema che si trova nello stato Eq. (14.30), dopo la misura il sistema viene proiettato su un autostatoche corrisponde al risultati della misura che abbiamo fatto. Se quindi la misura della prima particella larivela in uno stato con spin su, dopo la misura la funzione d’onda del sistema totale e proiettata sullostato

|ψ′〉 = |+〉|−〉 (14.31)

Lo spin della seconda particella e quindi obbligatoriamente giu.Cio sembra paradossale in quanto sembra ci sia trasferimento di informazione ad una velocita maggiore

di quella della luce. In realta sembrerebbe esserci una via d’uscita, come messo in luce da Bell attraversoil esempio delle “calze di Bertlsmann”3. Questo corrisponde alla situazione di due gemelli con due paia dicalze, l’una rossa e l’altra blu. Alla mattina non e noto chi si metta le calze rosse e chi si metta quelle blu,ma c’e il 50% di chance che siano dell’uno o dell’altro colore. Osservando il colore delle calze dell’uno,poniamo rosse, si deduce immediatamente che l’altro ha le calze blu. In cio non c’e nulla di paradossale,in quanto la scoperta di cio che avviene al sistema avviene a posteriori della scelta operata dai gemelli.

Il problema tuttavia nasce quando si osserva che il sistema in uno stato di spin totale uguale a 0 puoessere equivalentemente visto come sovrapposizione di spin opposti lungo un asse qualunque. In altritermini, lo stato puo anche essere scritto come

|ψ〉 =1√2

(|+〉x|−〉x − |−〉x|+〉x

)(14.32)

dove

|±〉x =1√2

(|+〉 ± |−〉

), (14.33)

e cosı via, usando autostati dello spin in una direzione qualunque. In effetti, ricordando che il proiettoresu uno stato di spin ± 1

2 lungo l’asse #»n , | #»n | = 1 e

P± =1

2(I± #»n · #»σ ) , (14.34)

si dimostra facilmente che la matrice densita per questo sistema ha la forma

ρ =1

4(I− #»σ 1

#»σ 2) (14.35)

dove #»σ 1#»σ 2 sono operatori di spin scritti sotto forma di matrici di Pauli che agiscono sullo spazio della

particella 1 e sulla particella 2. La forma Eq. (14.35) della matrice densita mostra chiaramente che nonvi e alcuna direzione privilegiata.

Quindi, se misuriamo lo spin della prima particella lungo l’asse z allora l’altra particella ha spinopposto lungo l’asse z. Ma se misuriamo lo spin lungo l’asse x allora la seconda particella ha spinopposto lungo l’asse x, e cosı via. Ma gli operatori di spin lungo diverse direzioni non commutano.Quindi la seconda non puo trovarsi, prima della misura, in uno stato ben determinato di spin sia rispettoall’asse x che rispetto all’asse z. Dobbiamo quindi concludere che e solo dopo la misura dello spin dellaprima particella, ed in conseguenza di essa, che la seconda particella acquisisce un valore ben definitodello spin lungo un asse. Questo dunque contraddice l’ipotesi di realismo locale, ovvero che non possaesserci influenza della misura della prima particella sullo stato della seconda particella quando le dueparticelle sono causalmente disconnesse.

14.2.2 Variabili nascoste

Una possibile via d’uscita e di supporre che la meccanica quantistica sia una teoria incompleta, e che ilrealismo locale sia una caratteristica di una teoria piu completa. L’apparente violazione del realismo locale

3Bell J. S., “Bertlmann’s socks and the nature of reality”, CERN-TH-2926 (1980).


in questa interpretazione e dovuta all’ignoranza di alcuni dei gradi di liberta della teoria soggiacente. Percapire come questo possa funzionare, consideriamo un sistema di spin 1

2 che si trova in uno stato puro|ψ〉. Sappiamo che la piu generale matrice densita per un sistema che su trovi in uno stato puro si puoscrivere come

ρ = |ψ〉〈ψ| = 1

2(I + #»σ · #»n); (14.36)

dove | #»n | = 1. Quindi tutta l’informazione sullo stato del sistema e determinata dalla conoscenza delvettore #»n .

Consideriamo ora una generica osservabile A per questo sistema. Essa si puo generalmente scriverecome

A = a0I + #»a · #»σ . (14.37)

La meccanica quantistica ci dice che una misura dell’osservabile A produce come risultati gli autovaloriλ± di A e che dopo la misura il sistema si trova nell’autostato associato. Gli autovalori sono

λ± = a0 ± | #»a |, (14.38)

e gli autostati soddisfano

#»a · #»σ |ψ±〉 = ±| #»a ||ψ±〉. (14.39)

La probabilita P± che la misura dia come risultato λ± e data dalla traccia della matrice densita per il

proiettore P± = 12

(I± #»σ · #»a

| #»a |

)sul corrispondende autostato:

P± = TrρP± = Tr1

2(I + #»σ · #»n)

1

2

(I± #»σ ·

#»a

| #»a |

)=

1

2

(1±

#»a · #»n

| #»a |

)=

1

2(1± cosϑna), (14.40)

dove nel penultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che TrI = 2, Trσi = 0, Trσiσj = 2δij .Possiamo dare una descrizione di questa operazione di misura compatibile con il realismo locale sup-

ponendo che lo stato completo del sistema sia descritto non solo dal vettore #»n , ma anche da un ulteriorevettore #»m a noi sconosciuto, ossia una variabile nascosta. Se si conoscesse la variabile nascosta allora perogni suo valore si sarebbe in grado di predire con certezza il risultato della misura di qualunque operatore(e quindi anche di operatori non commutanti).

A questo fine, supponiamo quindi che esista una funzione v dell’osservabile, dello stato del sistema (equindi del vettore #»n che ne caratterizza lo stato), ma anche della variabile nascosta #»m tale per cui, se siconoscesse m, allora la funzione v varrebbe o λ+ o λ−. E facile vedere che possiamo riprodurre i risultatidella meccanica quantistica supponendo che

v(A; #»n, #»m) =

λ+ se #»m · #»a < #»n · #»a

λ− se #»m · #»a > #»n · #»a(14.41)

Infatti, se non conosciamo il valore di #»m, il risultato della misura e indeterminato, ma il suo valormedio puo essere calcolato mediando sui risultati determinati da tutti i possibili valori di #»m. Basta allorasupporre che la distribuzione di probabilita di #»m sia uniforme per ritrovare la meccanica quantistica.Infatti, in tal caso si trova il valore λ+ quando l’angolo θma tra #»m e #»a soddisfa −1 < cos θma < cos θnae λ− se cos θna < cos θma < 1 (si veda la Fig. 14.1): ne segue che la probabilita di trovare λ± e 1±cosϑ

2 ,come nel caso della meccanica quantistica.

Se il valore della variabile nascosta #»m fosse noto, potremmo predire il risultato della misura diqualunque operatore, ed in particolare di operatori non commutanti. Naturalmente, sappiamo che sela misura viene eseguita, allora la meccanica quantistica ci dice che lo stato del sistema deve cambiare:ma questo lo possiamo descrivere dicendo che la misura cambia il valore della variabile #»m. In questainterpretazione, prima di eseguire la misura il sistema ha valori ben definiti anche per osservabili noncommutanti, che potremmo conoscere se in aggiunta allo stato del sistema (dato da #»n ) conoscessimoanche la variabile nascosta #»m. E la misura a distruggere questa informazione, in seguito al fatto che nonsappiamo come la misura influisca su #»m.

240 Entanglement

Figura 14.1: Esempio di variabile nascosta

14.2.3 La disuguaglianza di Bell

Possiamo chiederci se una costruzione basata sulle variabili nascoste sia sempre possibile. In effetti, persistemi piu complessi di quelli di spin 1

2 emergono delle difficolta. In particolare, si puo dimostrare cheper sistemi tripartiti (ad esempio sistemi di spin 1) non e in generale possibile assegnare simultaneamentevalori a tutte le osservabili possibili, anche in presenza di variabili nascoste (teorema di Bell-Kochen-Specker). Questo pero si dimostra solo sotto opportune ipotesi teoriche: ad esempio, che lo spazio deglistati fisici sia uno spazio di Hilbert. E molto difficile escludere che cio si possa fare rilassando alcuneipotesi, e non contraddicendo i dati sperimentali. Si dimostra tuttavia che se l’interpretazione realisticalocale vale, allora debbono essere soddisfatte delle disuguaglianze, a prescindere da come l’eventualeteoria realistica locale sia di fatto realizzata. Se il realismo locale valga o no diventa cosı decidibilesperimentalmente.

Per capirlo, supponiamo di avere un sistema che si trova in uno stato EPR, cioe nello stato di singolettodi spin

|ψ〉 =1√2

(|+−〉 − | −+〉), (14.42)

quindi con matrice densita

ρ =1

4(I− #»σ 1

#»σ 2). (14.43)

Chiediamoci quale sia la probabilita congiunta di una misura di spin che riveli la particella 1 con spin sulungo l’asse #»n1, la particella 2 con spin giıu lungo un certo altro asse #»n2.

La meccanica quantistica ci permette di calcolarla: la probabilita e data da

N+−( #»n1,#»n2) = |〈 #»n1↑|〈 #»n2↓|ψ〉|2 = TrρP #»n 1↑

#»n 2↓ (14.44)

dove il proiettore P #»n 1↑#»n 2↓ e:

P #»n 1↑#»n 2↓ =

(I + #»n1 · #»σ 1)

2

(I− #»n2 · #»σ 2)

2. (14.45)

Quindi

N+−( #»n1,#»n2) = Tr

1

4(I− #»σ 1

#»σ 2)(I + #»n1 · #»σ 1)

2

(I− #»n2 · #»σ 2)

2=

1

4(1 + #»n1 · #»n2), (14.46)

dove stiamo nuovamente usando la proprieta che Trσiσj = 2δij e che la traccia della matrice identita euguale a 2, e ricordando che la traccia rispetto alla particella 1 si effettua sulle matrici #»σ 1, mentre latraccia rispetto alla particella 2 si effettua sulle matrici #»σ 2.


Da questo risultato possiamo calcolare una famiglia di risultati collegati. N++( #»n1,#»n2), in particolare,

e uguale a quanto appena trovato a meno di un segno in quanto cambia il segno di uno dei due proiettori,quindi

N++( #»n1,#»n2) =

1

4(1− #»n1 · #»n2). (14.47)

Inoltre, ovviamente,

N−−( #»n1,#»n2) = N++( #»n1,

#»n2) =1

4(1− #»n1 · #»n2) (14.48)

N−+( #»n1,#»n2) = N+−( #»n1,

#»n2) =1

4(1 + #»n1 · #»n2). (14.49)

Cerchiamo ora di interpretare questa situazione da un punto di vista di realismo locale. Secondo talepunto di vista, se si conoscesse la teoria completa, si potrebbe predire il risultato di una misura di spindelle particelle lungo qualunque asse. Se si accetta cio, per ogni configurazione delle variabili nascosteciascuna delle due particelle ha spin ben definito rispetto a qualunque asse. Possiamo quindi chiederci,per esempio, qual e la probabilita che la particella 1 abbia simultaneamente spin su rispetto all’asse #»n1

e rispetto all’asse #»n2, o spin su rispetto all’asse #»n1 e spin giu rispetto all’asse #»n2, e cosı via. Notareche dal punto di vista della meccanica quantistica questo non ha senso, perche lo spin rispetto a dueassi corrisponde a variabili incompatibili, e quindi non ha senso chiedersi quale sia la probabilita di unamisura simultanea: o misuriamo lo spin di una particella rispetto ad un asse, o rispetto ad un altro asse.Ma in una teoria realistica locale sı: se conoscessimo le variabili nascoste sapremmo qual e lo spin dellaparticella 1 rispetto a qualunque asse, ed e solo la misura che rovina questa informazione perche nonsappiamo come la misura influisce sulle variabili nascoste.

Quindi, supponiamo che valga il realismo locale, e definiamo M++( #»n1,#»n2), la probabilita che la

particella 1 abbia spin su rispetto ad entrambi i due assi, ed analogamente per gli altri valori, su o giu,dello spin. Ma noi sappiamo che nello stato dato, lo spin della particella 1 rispetto a qualunque asse esempre opposto allo spin della particella 2 rispetto allo stesso asse. Quindi, in tale stato

M++( #»n1,#»n2) = N+−( #»n1,

#»n2),

M+−( #»n1,#»n2) = N++( #»n1,

#»n2). (14.50)

Notiamo ora che da un punto di vista realistico locale e definito il valore dello spin della particella 1rispetto a qualunque asse. Possiamo quindi introdurre un ulteriore asse #»n3, ed osservare che

M+−( #»n1,#»n2) = M+−+( #»n1,

#»n2,#»n3) +M+−−( #»n1,

#»n2,#»n3), (14.51)

dove M+−+( #»n1,#»n2,

#»n3) e la probabilita che lo spin sia su rispetto al primo asse, giu rispetto al secondo,e su rispetto al terzo, e cosı via. Naturalmente, pero, Ma ora osserviamo che ovviamente

Mijk( #»n1,#»n2,

#»n3) ≤Mij(#»n1,

#»n2)

Mijk( #»n1,#»n2,

#»n3) ≤Mik( #»n1,#»n3) (14.52)

Mijk( #»n1,#»n2,

#»n3) ≤Mjk( #»n2,#»n3) :

l’aggiunta di una condizione non puo che diminuire o al piu lasciar invariata la probabilita.Usando la Eq. (14.52) per maggiorare ciascuno dei due termini a membro destro della Eq. (14.51) si

ottiene quindi

M+−( #»n1,#»n2) ≤M−+( #»n2,

#»n3) +M+−( #»n1,#»n3), (14.53)

che puo essere riscritta riordinando gli argomenti mediante l’identita

M−+( #»n2,#»n3) = M+−( #»n3,

#»n2), (14.54)

242 Entanglement

con il risultato

M+−( #»n1,#»n2) ≤M+−( #»n3,

#»n2) +M+−( #»n1,#»n3), (14.55)

che la struttura di una disuguaglianza triangolare.Possiamo infine la Eq. (14.50) per convertire quest’ultima relazione in una disuguaglianza soddisfatta

dalle probabilita congiunte N , ossia

N++( #»n1,#»n2) ≤ N++( #»n3,

#»n2) +N++( #»n1,#»n3). (14.56)

Mentre la disuguaglianza (14.55) e sensata soltanto nel quadro di una teoria realistica locale, in cui e bendefinita la probabilita di una misura di spin lungo assi diversi, la disuguaglianza (??), che ne discende, eben definita anche in meccanica quantistica standard, perche si riferisce alla probabilita congiunta dellospin di particelle diverse lungo diversi assi. Questa e la disuguaglianza di Bell (in una delle sue forme);altre forme si possono ottenere esprimendo le probabilita in termini di valori medi di misure di spin.

Possiamo ora confrontare la disuguaglianza con il risultato della meccanica quantistica con il calcoloprima effettuato, dato dalla Eq. (14.47):

N++( #»n1,#»n2) =

1

4(1− cosϑ12) =

1

4(1− cos(ϑ2 − ϑ1)) =

1

2sin2 ϑ2 − ϑ1

2(14.57)

con ϑ12 angolo polare nel piano che i due versori #»n1 e #»n2 definiscono. Questa forma si presta facilmentealla verifica della disuguaglianza di Bell. Ci mettiamo ad esempio nella situazione in cui #»n3 e nel pianodefinito da #»n1 e #»n2 ed e la bisettrice dell’angolo ϑ12 (si veda la Fig. 14.2).

Figura 14.2: Violazione della disuguaglianza di Bell.

La disuguaglianza di Bell e:

sin2 ϑ2 − ϑ1

2≤ sin2 ϑ2 − ϑ3

2+ sin2 ϑ3 − ϑ1

2. (14.58)

Poniamo

ϑ2 − ϑ1

2= 2ϕ (14.59)

e quindi, nella configurazione della figura.

ϑ3 − ϑ1

2=ϑ2 − ϑ3

2= ϕ (14.60)

e la disuguaglianza di Bell diventa

sin2 2ϕ ≤ 2 sin2 ϕ (14.61)

14.3 Il problema della misura 243

ovvero

4 sin2 ϕ cos2 ϕ ≤ 2 sin2 ϕ. (14.62)

Si arriva alla condizione

cos2 ϕ?≤ 1

2. (14.63)

Ma ovviamente, nulla ci vieta di scegliere ϕ < π4 , ed in tal caso la disuguaglianza di Bell e violata. Di

conseguenza la disuguaglianza di Bell in meccanica quantistica puo essere violata, e pertanto ne dobbiamoconcludere che non esiste una interpretazione realistica locale della meccanica quantistica consistente conle predizioni della meccanica quantistica per l’esperimento EPR.

Esperimenti di verifica delle disuguaglianze di Bell sono stati fatti nel corso degli anni in modo viavia piu raffinato. Sono degli esperimenti molto difficili, in quanto bisogna essere certi di misurare unasingola particella di una coppia e non, invece, delle proprieta medie di un insieme di particelle chepossono dipendere dall’ambiente. Inoltre bisogna essere certi del fatto che non ci sia trasmissione diinformazione. Esperimenti di questo tipo furono fatti dal gruppo di A. Aspect4 ad una distanza tale danon permettere che i due eventi di misura fossero causalmente connessi, rendendo inoltre completamentecasuale la scelta dell’asse da misurare. Attualmente non sembra esserci dubbio che la disuguaglianza diBell e sperimentalmente violata, nel modo predetto dalla meccanica quantistica.

14.3 Il problema della misura

La verifica sperimentale della violazione delle disuguaglianze di Bell fornisce forte evidenza della corret-tezza di alcuni degli aspetti piu contro-intuitivi della meccanica quantistica. In particolare, suggerisceche il realismo locale sia semplicemente falso, e quindi la sua incompatibilita con la meccanica quantisticanon sia un sintomo dell’incompletezza di quest’ultima. Resta tuttavia un aspetto della meccanica che nepotrebbe suggerire l’incompletezza concettuale: il problema della misura.

Il problema e il seguente. In meccanica quantistica il vettore di stato evolve in maniera deterministica:

|ψ(t)〉 = S(t, t0)|ψ(t0)〉. (14.64)

Non ci puo essere violazione di causalita perche l’evoluzione quantistica e unitaria e causale. Tuttavia,quando il sistema viene misurato esso cambia in un modo che non e piu descritto dall’evoluzione temporale.Dato un operatore A con autovalore λA, tale per cui

A|ψA〉 = λA|ψA〉 (14.65)

se il risultato della misura e λA, allora la funzione d’onda dopo la misura e nello stato in |ψA〉. L’operazionedi misura non e piu una evoluzione temporale unitaria. Il cambiamento della funzione d’onda durantel’operazione di misura e spesso chiamato “collasso della funzione d’onda”: esso e manifestamente nonunitario ed irreversibile.

Il problema della misura e il seguente: questo “collasso” della funzione d’onda puo essere descrittodalla meccanica quantistica o no? Se no, allora la meccanica quantistica sembrerebbe incompleta, se sı,come e possibile ottenere un comportamento non unitario da un’evoluzione unitaria?

Chiediamoci quindi piu approfonditamente in che cosa consista una misura. Per esempio, che cosasignifica misurare che lo spin di una particella e in su o in giu? Un tipico modo di eseguire la misurae di accoppiare le particelle ad un campo magnetico, che deflette le particelle in due direzioni diverse aseconda del loro spin. Se la funzione d’onda di spin della particella e

|ψ〉 = c+|+〉+ c−|−〉, (14.66)

4Aspect A., Grangier P., Roger G., “Experimental tests of realistic local theories via Bell’s theorem”, Phys. Rev. Lett., 47p.460 (1981); Aspect A., Grangier P., Roger G., “Experimental realization of Einstein-Podolsky-Rosen gedankenexperiment;a new violation of Bell’s inequalities”, Phys. Rev. Lett., 49 p.91 (1982); Aspect A., Dalibard J., Roger G., “Experimentaltest of bell’s inequalities using time-varying analyzers”, Phys. Rev. Lett., 49 p.1804 (1982).

244 Entanglement

per misurare lo spin si assoggetta il sistema ad un’evoluzione temporale

S(t)|ψ〉 = |ψ(t)〉 = c+|+〉|x+(t)〉+ c−|−〉|x−(t)〉, (14.67)

dove |x±(t)〉 sono autostati di posizione che si propagano in direzioni diverse, e corrispondono al fattoche la particella viene individuata in posizioni diverse, e che sono macroscopicamente distinti, cioe

〈x±|x±〉 = 1, 〈x±|x∓〉 = 0. (14.68)

Dopo la misura, il sistema viene rivelato in uno degli stati |x±〉 e la sua funzione d’onda diventa cosı

|ψ〉 = |+〉|x+〉 (14.69)

con probabilita |c+|2 oppure

|ψ〉 = |−〉|x−〉. (14.70)

con probabilita |c−|2. Questo corrisponde alla situazione del “gatto di Schrodinger”. L’apparato dimisura e macroscopico: per esempio un rivelatore in cui compare una traccia su di uno schermo. Nellaversione originaria del paradosso, la particella se viene rivelata in |x+〉 innesca un meccanismo che uccideun gatto. Quindi il rivelatore diventa il gatto: se e morto lo spin e su, se e vivo e giu. Prima della misurail sistema e nello stato entangled Eq. (14.67). Dunque, c subito prima della misura il sistema e in unasovrapposizione di stati macroscopici (una sovrapposizione di “gatto vivo” e “gatto morto”), e la misurafa collassare lo stato in quello di gatto vivo o gatto morto.

14.3.1 Decoerenza

La risoluzione del paradosso del gatto e che la descrizione dello stato del sistema in termini della funzioned’onda entangled Eq. (14.67) non puo essere completamente corretta. Infatti, se si accoppia il sistema adun rivelatore esterno, questo e necessariamente a sua volta accoppiato all’ambiente esterno (ad esempio,il gatto se e vivo, respira). Del resto, se non fosse accoppiato all’ambiente esterno sarebbe impossibilevedere il risultato della misura. Percio piu propriamente la funzione d’onda del sistema prima della misurae

S(t)|ψ〉 = |ψ(t)〉 = c+|+〉|x+(t)〉|A+〉+ c−|−〉|x−(t)〉|A−〉 (14.71)

dove |A±〉 descrive lo stato dell’ambiente, ossia del resto dell’universo con cui il sistema e accoppiatoattraverso il rivelatore.

Ma, ovviamente, lo stato dell’ambiente non e osservabile nel suo complesso. Quindi, nel momento incui il sistema viene accoppiato ad un apparato di misura, la matrice densita del nostro sistema cambia.Se all’inizio la matrice densita era data da

ρ = |ψ〉〈ψ| = (c+|+〉+ c−|−〉)(c∗+〈+|+ c∗−〈−|) (14.72)

dopo l’interazione con il rivelatore, essa diventa

ρ(t) = TrA(S(t)|ψ〉〈ψ|S†(t)), (14.73)

dove TrA indica la traccia sulle variabile di ambiente, inosservate. Ma inevitabilmente

〈A|A〉 = 1, 〈A|A′〉 = 0 : (14.74)

stati di ambiente diversi sono macroscopicamente diversi, e quindi ortogonali. Ne segue quindi che

ρ(t) = |c+|2|+〉|x+(t)〉〈+|〈x+(t)|+ |c−|2|−〉|x−(t)〉〈−|〈x−(t)|, (14.75)

che e la matrice densita per uno stato misto. Un esempio esplicito di meccanismo perche questo possaaccadere e stato discusso nell’ambito degli stati coerenti nella sezione 7.5.2.

L’accoppiamento del sistema all’ambiente trasforma la sovrapposizione quantistica in una miscelastatistica. Questo fenomeno che avviene quando si accoppia l’ambiente ad un sistema quantistico vienechiamato decoerenza. Una teoria completa della decoerenza ancora non esiste. Esserne in possessosignificherebbe che sono stati compresi perfettamente i processi di misura quantistici.

14.3 Il problema della misura 245

14.3.2 Misura ed informazione

Questo tuttavia suggerisce fortemente che quello che noi chiamiamo misura in meccanica quantistica siacaratterizzato dalla decoerenza. Infatti, la misura e caratterizzata dal fatto che accoppiando il sistema alrivelatore l’interferenza scompare. Nel linguaggio dell’esperimento di Zeilinger, se un rivelatore ci dice dqache fenditura e passata la molecola, l’interferenza scompare. Ma questo lo possiamo capire in termini dicoerenza: la miusura e cosı un’approssimazione del fenomeno molto complicato per cui le matrici densitadi sistemi quantistici diventano matrici densita di sistemi statistici. La natura non unitaria dell’evoluzionee in questa interpretyazione dovutalla decoerenza, cioe alla perdita di informazione che deriva dalla nostraincapacita di effettuare una misura sul sistema completo.

Una volta scomparsa l’interferenza, il “collasso” della funzione d’onda non ha nulla di paradossale oconcettualmente insoddisfacente. Se si accetta il fatto che la realta non e deterministica, noi possiamosolo assegnare una probabilita agli eventi. Ma dopo la decoerenza, il sistema si trova in una sovrap-posizione statistica, la cui matrice densita descrive la nostra informazione incompleta su di esso. Dopoaver effettuato la misura (dopo aver letto il rivelatore) la nostra informazione sullo stato del sistema ecambiata: il sistema si trova in uno stato puro. L’apparentemente paradossale “collasso” della funzioned’onda descrive il fatto che prima dell’operazione di misura abbiamo una certa quantita di informazione,mentre dopo la misura abbiamo delle informazioni diverse. Nel momento della misura l’informazioneche abbiamo cambia in modo discontinuo. Il vettore di stato non e una proprieta dei sistemi, bensı diquello che noi sappiamo dei sistemi fisici. Quindi la misura e semplicemente un’approssimazione dellacombinazione di decoerenza, piu il cambiamento della nostra informazione quando vediamo quale deglieventi possibili si e effettivamente realizzato.

Ci si puo naturalmente porre la domanda se sia possibile scrivere un vettore di stato dell’universo, chequindi descrive tutta la realta, anziche la nostra informazione su un sottosistema. Se questo sia possibile,e se sı come, e controverso: vi sono diverse proposte, ma non vi e un consenso generalizzato. Questo eil problema dei fondamenti della meccanica quantistica: allo stato attuale delle cose, tuttavia, non vi ealcun modo di decidere sperimentalmente questo problema. L’atteggiamento per cui solo l’informazioneche abbiamo sul sistema e descritta dalla meccanica quantistica appare essere, allo stato attuale dellecose, tutto quanto possiamo verificare sperimentalmente.

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