X A (Y v Z)

X V Z

X v Z

S A (U v V)

T v ZU v Z

T v ZU v Z

o(S A U) v (S A V)

verso l'alto, a partire da almeno uno dei due. Se si identifica l'operazio-ne di intersezione con la parola e e l'operazione di unione con la parolao, il reticolo può costituire un modello delle relazioni logiche fra enun-ciati. La struttura del reticolo determina la validità o meno di relazionidistributive per le operazioni di intersezione (frecce in nero) e di unione(frecce in colore). Per il reticolo nelle figure n e b l'intersezione dix conl'unione di y ez e l'unione dell'intersezione di x ey con l'intersezione dix e: portano allo stesso punto: le due operazioni soddisfano una formadella legge distributiva. Un reticolo di tal fatta costituisce un modelloper la logica classica, o distributiva. Per il reticolo nelle figure e e d,invece, le due operazioni non portano allo stesso punto. Il reticolocostituisce un modello per quella logica non distributiva che sembraessere necessaria per la descrizione dei fenomeni quantomeccanici.(L'operazione di unione nelle figure b ed non è indicata da una freccia,dal momento che si resta sempre al punto più basso, cioè al punto O.)

S

e la zia Agata è morta e o l'ha uccisail macellaio o l'ha uccisa il giardi-niere, allora sicuramente o la zia

Agata è morta e l'ha uccisa il macellaiooppure la zia Agata è morta e l'ha uccisa ilgiardiniere. Se una moneta da cento liresta in una scatola e indica o testa o croce,allora o quella moneta da cento lire sta inuna scatola e indica testa, oppure quellamoneta sta in una scatola e indica croce.In ambedue questi casi il ragionamentonon fa una grinza: date le premesse, non sipuò non concordare sulla conclusione,per quanto banale essa appaia. Inoltre, ilcontenuto di queste frasi è un elementodel tutto incidentale per la validità delleinferenze: né la ricchezza della zia Agata,né la cupidigia del macellaio, né il concet-to di morte hanno alcun rilievo per laprima argomentazione; né il valore dellamoneta da cento lire, né la definizione ditesta o croce possono modificare la con-clusione della seconda argomentazione.Poiché il contenuto non ha alcun rilievo,la validità di queste inferenze dipendesolamente dalle regole della logica: inparticolare dipende solo dal comporta-mento strutturale esibito dai connettivilogici e o o.

Consideriamo ora certi fenomeni fisicia scala microscopica, nei termini in cuisono descritti dalla teoria dei quanti. Se-condo questa teoria, l'elettrone (come uncerto numero di altre particelle) possiedeun momento angolare intrinseco, o spin.Lo spin è quantizzato: si trova che assumesempre o l'uno o l'altro di due valori, «su»o «giù», qualunque sia la direzione rispet-to alla quale viene misurato. Tuttavia,non si può specificare lo spin di un elet-trone rispetto a due assi spaziali simulta-neamente. Se, per esempio, lo spin di unelettrone, misurato rispetto all'asse x, è«su», non è possibile assegnare alcun va-lore definito allo spin dell'elettrone ri-spetto all'asse y.

Supponiamo che un fascio di elettroniabbia spin completamente polarizzatorispetto all'asse x, il che significa che,ogniqualvolta si misura lo spin rispetto

all'asse x, si trova che tutti gli elettroni delfascio hanno Io stesso valore di spin (di-ciamo, per esempio, «su»). Poiché il fa-scio non è stato polarizzato rispetto all'as-se y, si può dire di ciascun elettrone delfascio preparato che il suo spin rispettoall'asse x è «su», e che il suo spin rispettoall'asse y è o «su» o «giù». Seguendo loschema di ragionamento esemplificatonell'analisi dell'omicidio della zia Agata,l'enunciato relativo all'elettrone implicache o lo spin rispetto all'asse x è «su» e lospin rispetto all'asse y è «su», o lo spinrispetto all'asse x è «su» e lo spin rispettoall'asse y è «giù».

In questa affermazione, tuttavia, am-bedue i disgiunti violano il principio dellameccanica quantistica secondo cui lo spinnon può essere specificato simultanea-mente rispetto a due assi. Poiché nessunodei due disgiunti può essere accettato, civediamo costretti a rifiutare nel suo com-plesso tutta l'affermazione. Pertanto bi-sogna, o rifiutare l'enunciato di partenzasulla natura del fascio preparato, oppureinvalidare un procedimento logico perdefinire le conseguenze dell'enunciato,che nel ragionamento comune sembravadel tutto innocuo. Non abbiamo alcunmotivo per rifiutare l'enunciato di par-tenza e, pertanto, sembra che almeno unadelle leggi della logica classica non possaessere applicata al dominio dei fenomeniquantistici.

gniproposta di sottoporre a revisionele leggi della logica, o anche solo di

considerarle suscettibili di revisione, vacontro convinzioni radicate, universal-mente ritenute valide. Ciononostante,l'alternativa - conservare la logica classi-ca, negando validità alla teoria dei quanti- sembra poco affascinante. A cinquan-t'anni dalla sua formulazione, la meccani-ca quantistica è una delle teorie scientifi-che di maggior successo: presenta unaversatilità e una efficacia di previsionetali, da non temere seri rivali. Viene ap-plicata di routine e con elevata precisionenello studio delle interazioni delle parti-

celle elementari e fornisce anche un mez-zo per descrivere una ampia gamma dialtri fenomeni, comprese fra l'altro la fisi-ca e la chimica di atomi, molecole e mate-riali solidi.

Secondo alcuni filosofi della scienza, lastoria della fisica presenta almeno un pre-cedente per quel tipo di spostamento con-cettuale che conseguirebbe a una modifi-cazione della logica classica. È ormai unluogo comune affermare che, nello svi-luppo della fisica dopo Einstein, le nozio-ni di spazio, tempo, energia, quantità dimoto e massa sono state profondamentemodificate. Questo cambiamento puòessere espresso in modo formale dicendoche nel linguaggio della fisica moderna iruoli di parole come spazio, tempo, ener-gia, quantità di moto, massa sono diversida quelli che esse ricoprivano nel linguag-gio della fisica classica. Analogamente, sipuò pensare che, se il linguaggio dellafisica incorpora la struttura concettualedella fisica, allora anche i ruoli di parolecome e, o e non non sono esenti da revi-sione. Poiché tradizionalmente questeparole sono state associate con le ricerchelogiche, e poiché lo spostamento dei lororuoli è motivato dallo sviluppo della mec-canica quantistica, è sensato dare il nomedi «logica quantistica» al risultato di que-sto spostamento.

Come si può caratterizzare il ruolosvolto in un linguaggio da parole che fun-gono da connettivi logici? Supponiamoche P designi la frase «La zia Agata è statauccisa», Q designi la frase «l'ha uccisa ilmacellaio», e R designi la frase «l'ha ucci-sa il giardiniere». Allora la struttura logi-ca della nostra prima inferenza può es-sere espressa in questo modo:

da P e (Q o R)si inferisce (P e Q) o (P e R).

Quando si presenta in questo modo laforma logica del ragionamento. si vuoleindicare che l'inferenza è valida indipen-dentemente dalle effettive frasi dichiara-tive che si sostituiscono alle lettere P, Q

e R. La formula rappresenta una dellecosiddette «leggi distributive» della logi-ca; in un'altra legge distributiva le posi-zioni dei connettivi e e o sono scambiate.Queste leggi logiche presentano unastretta somiglianza con la legge distribu-tiva della somma rispetto al prodotto, inaritmetica, secondo cui, per esempio, l'e-

a

spressione 2 x (3 + 4) è uguale a (2 x 3)+ (2 x 4).

Nella logica classica i ruoli dei connet-tivi logici e o o sono definiti, almeno inparte, implicitamente negli schemi cheformano nella legge distributiva. Nelladescrizione quantomeccanica dello spindell'elettrone, tuttavia, il passaggio logico

dalla premessa alla conclusione della leg-ge distributiva è bloccato. Supponiamoche P designi la frase «Lo spin rispettoall'asse x è "su"», Q designi la frase «Lospin rispetto all'asse y è "su"» e R designila frase «Lo spin rispetto all'asse y è"giù"». Allora la formula P e (Q o R) puòessere vera, ma la formula (P e Q) o (P e

La logica quantisticaNella teoria quantistica non valgono più taluni schemi di inferenzaclassici: è necessario che le parole logiche «e» e «o» svolgano nuoviruoli; la teoria dei reticoli ci consente di costruirne un modello

di R. I. G. Hughes

(X n Y)o v (X n Z)

In logica, la legge distributiva afferma che, dati tre enunciati qualunqueP, Q e R, se è vero l'enunciato compostoP e (Q o R), allora deve essere

vero anche l'enunciato composto (P e Q) o (P r R). Si può dare unmodello della legge distributiva mediante un reticolo: una serie di puntie una rete di linee che collegano i punti inferiori con quelli superiori. Ipunti rappresentano enunciati e le linee rappresentano relazioni diimplicazione. Un enunciato rappresentato da un dato punto implicatutti gli enunciati rappresentati da punti che si trovano più in alto nelreticolo e che possono essere raggiunti dal punto dato procedendolungo linee verso l'alto. Sul reticolo si possono definire due operazioni,chiamate rispettivamente unione e intersezione e rappresentate rispet-tivamente dai simboli v e A. L'intersezione di due punti è il punto piùalto a cui ambedue i punti dati sono collegati mediante linee che vannoverso il basso da almeno uno di essi. L'unione di due punti è il più bassofra tutti i punti a cui i punti dati sono collegati mediante linee che vanno

100

101

Le proprietà osservate dello spin, o momento angolare intrinseco,fanno pensare che la legge distributiva non possa essere applicata alladescrizione di una particella atomica o subatomica. In base alla mecca-nica classica, particelle il cui spin è orientato in maniera casuale do-rebbero venire deflesse lungo una serie continua di percorsi da parte di

un campo magnetico variabile da punto a punto. Nel 1921 Otto Stern eWalther Gerlach scoprirono che un tale campo deflette le particellelungo due soli percorsi, il che indica una quantizzazione dello spin (a);la componente dello spin misurata rispetto a un qualunque asse presta-bilito è invariabilmente o «su» o «giù». In ciascuno dei fasci defiessitutte le particelle hanno una componente di spin «su» rispetto all'assedel campo magnetico (per esempio, l'assex ), e hanno o una componen-te di spin «su» o una componente di spin «giù» rispetto a un asseperpendicolare al campo (per esempio l'asse y). Nella logica classica

questo equivale a dire che alcune particelle nel fascio deflesso hannospin «su» rispetto all'asse x e spin «su» rispetto all'asse v, e alcunehanno spin «su» rispetto all'asse x e spin «giù» rispetto all'asse y. Unsecondo campo magnetico perpendicolare al primo può suddividereuno dei faci nelle sue due componentiy. Ci si aspetterebbe che un terzocampo magnetico, orientato lungo l'assex come il primo, dia luogo a unfascio solo, dal momento che le particelle in precedenza sono stateesposte a campi che ne polarizzavano lo spin prima lungo l'asse x e poilungo l'asse y (b). In% ece dal terzo campo emergono due fasci: ciascunfascio è polarizzato lungo l'asse x, ma la componente y è orientata inmaniera casuale (c). Il risultato indica che è impossibile assegnare v alo-ti esatti simultaneamente alle componenti x e y dello spin di una parti-cella. Non vale più l'equivalenza derivata dalla legge distributiva, poichéle componenti x e y dello spin non sono definibili simultaneamente.

SCHERMODI RIVELAZIONE

SORGENTEDI ELETTRONI

SCHERMOCOLLIMATORE

ELETTROMAGNETE ELETTRONICON SPIN «GIÙ»

RISULTATO ATTESOIN BASE ALLA

LOGICA CLASSICASPIN (Y) «SU»

SPIN (X) «SU

SPIN (Y) «GIÙ»

SPIN (x) «SU»

SPIN (X) « GIÙ-

RISULTATOOSSERVATO

ELETTRONICON SPIN «SU»

a

AMPIEZZADI PROBABILITÀ

«GIÙ »DI SPIN 'SU»

Lo stato di spin di una particella dà la probabilità che lo spin misurato rispetto a un dato assespaziale sia «su» o «giù». Per convenzione, se si chiudono le dita della mano destra nello stessosenso dello spin, il pollice della mano destra indica la direzione di spin «su». La probabilità ditrovare che la particella abbia spin «su» rispetto all'asse dato è il quadrato del valore assoluto di unvettore chiamato ampiezza di probabilità di spin «su». Analogamente, la probabilità di trovareche la particella abbia spin «giù» rispetto a un dato asse è il quadrato della ampiezza di probabilitàdi spin «giù». La probabilità che lo spin della particella sia o «su» o «giù» è 1, per cui anche lasomma dei quadrati delle due ampiezze di probabilità è 1. Se si rappresentano le ampiezze diprobabilità come vettori perpendicolari, la loro somma vettoriale è l'ipotenusa di un triangolorettangolo, la cui lunghezza è 1. Pertanto qualunque stato di spin di una particella può essererappresentato come un vettore che è il vettore somma delle due ampiezze di probabilità; l'insiemedi tutti i possibili stati di spin corrisponde a un cerchio di raggio unitario in uno spazio astrattochiamato spazio delle fasi. Una analisi completa degli stati di spin richiede l'introduzione deinumeri complessi, cioè di numeri che possiedono sia una parte reale sia una parte immaginaria.

a SPIN (Y) «GIÙ-

SPIN (X) SPIN (X) «SU»

VETTORE DISTATO DI SPIN

2'/ I

SPIN (Y) «SU»

COMPONENTE X

AMPIEZZADI PROBABILITÀ

DI SPIN «GIÙ»

COMPONENTE YDELLO STATO

DI SPIN

45 90' 135° 180°

Il principio di indeterminazione di Werner Heisenberg afferma che i valori di particolari coppie divariabili che caratterizzano lo stato di una particella non possono essere noti contemporaneamen-te con precisione illimitata. Le componenti x e y dello spin di una particella costituiscono unacoppia del genere: si dice che sono incompatibili. Qui sono date le ampiezze di probabilità di spin«su» e di spin «giù» per le componenti i e y dello spin (a). Il vettore di stato di spin (freccia ingrigio) può essere visto come vettore somma o delle due ampiezze della componente x (frecce innero) o delle due ampiezze della componente y (frecce in colore). Il diagramma costituisce solouna approssimazione: una rappresentazione completa dello stato di spin dovrebbe comprendereanche la componente z e potrebbe essere disegnata solo in uno spazio i cui punti rappresentinonumeri complessi. Quando il vettore ruota allontanandosi dall'asse di spin «su» peri' verso l'assedi spin «su» per x la probabilità di trovare che la componente x dello spin è «su» va aumentando,ma il risultato di qualunque misurazione della componente v diventa più incerto. Se si immaginache il vettore di stato di spin continui a ruotare in senso antiorario, si può costruire un grafico delleincertezze associate alle due componenti di spin (b). Quando l'incertezza relativa al valore di unacomponente scende a zero, l'incertezza relativa al valore dell'altra componente è massima.

COMPONENTE Y

R) non può essere conservata. Il tipo dimodificazione della logica richiesto dallameccanica quantistica sarebbe pertantoun cambiamento nei ruoli dei connettivi ee o per cui, in riferimento agli enunciatidella meccanica quantistica, non valga piùla legge distributiva.

Come avere la certezza che una talemodificazione del linguaggio non rendainsensata la struttura logica tradizionale enon conduca a inconsistenze o paradossi?La risposta tradizionale a questa doman-da è stata quella di costruire un modellomatematico che incorporasse la modifica-zione richiesta, ma presentasse ancora uncomportamento ragionevole. (Quel che siintende con «comportamento ragionevo-le» probabilmente non può essere specifi-cato in anticipo.) Un esempio istruttivo diquesto processo è fornito dallo sviluppodella geometria non euclidea.

Lo sviluppo della geometria non eucli-dea cominciò quando i matematici inizia-rono a mettere in dubbio l'autoevidenzadel quinto postulato di Euclide. Tale po-stulato afferma che per un punto nel pia-no, esterno a una retta data, può esseretracciata una e una sola parallela alla rettadata. Negando il quinto postulato, e as-sumendo invece che per il punto dato sipossano tracciare o infinite parallele onessuna parallela alla retta data, gli stu-diosi di geometria del XIX secolo riusci-rono a costruire sistemi formali di notevo-le ricchezza. Tali sistemi erano costituitida postulati e teoremi che inizialmentenon potevano essere interpretati comeenunciati relativi alla geometria.

Nn onostante tali sistemi formali siano intrinsecamente interessanti per il

matematico, è difficile usarli, se non vi èmodo di interpretarne i teoremi e i postu-lati. Inizialmente gli studiosi di geometrianon potevano offrire garanzie della noncontraddittorietà di tutti i loro risultati, nériuscivano a percepire come tutti i varisistemi formali fossero fra loro profon-damente legati. Dopo un po' di tempo,tuttavia, ci si rese conto che gli enunciatidei sistemi formali potevano essere inter-pretati come enunciati relativi alla geo-metria delle superfici curve, come la su-perficie di una sfera o la superficie iperbo-lica infinita a forma di sella.

La costruzione di modelli geometriciconsentì una comprensione di natura piùintuitiva: gli schemi astratti dei sistemiformali potevano essere visualizzati sottoforma di relazioni geometriche, ed erapossibile capire visivamente se un teore-ma aveva senso o meno. I matematici,poi, cominciarono a considerare ciascunmodello geometrico semplicemente comeun caso all'interno di uno studio più gene-rale sulle superfici curve: la geometria diun particolare modello poteva venir ca-ratterizzata specificando la curvatura del-la superficie. La geometria euclidea, peresempio, è lo studio delle superfici piane,cioè delle superfici a curvatura nulla. Inquesto modo l'interpretazione geometri-ca dei vari sistemi formali indicava chequesti non erano privi di collegamenti fraloro, ma facevano parte di un'unica fami-

102103

IL QUARTO IL QUARTOINDICA CROCE' TESTA

Un semplice sistema fisico costituito da una scatola, una moneta da un penn y e una moneta da unquarto di dollaro, ammette quattro stati: ambedue le monete indicano testa-, ambedue le moneteindicano croce, il penny indica croce e il quarto indica testa, il penny indica testa e il quarto indicacroce. Ciascuno stato può essere rappresentato graficamente mediante un quadrante di un disco, acui è associato un numero binario a quattro cifre. Regioni del disco costituite da varie combinazio-ni dei quadranti corrispondono a tutti i possibili insiemi di stati del sistema, e di conseguenzacorrispondono anche a tutte le «espressioni teoriche» che fanno riferimento a qualche statoo a qualche combinazione di stati. Il disco rappresenta lo spazio delle fasi del sistema.

104

IL PENNYINDICATESTA

J,IL PENNY

INDICACROCE

1100

1 o

0

1 o

O o

NON-P E NON-O

1 o

0 o

1 o

O

NON-P E Q

1 O

0 o

1 1

O o

PE NON-O

0011

0111

1011

NON-P O NON-O

NON-O

NON-P O Q

o

o

10 01

(PE Q) O (NON-P E NON-Q)

o

o

1

1

1110

P Q P O NON-P

P O Q

Le tavole di verità mostrano come i ‘alori di verità degli enunciatipossano essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri binariassociati alle regioni di un disco. Ciascun quadrante del disco rappre-senta un singolo stato del sistema penny-quarto e tutte le regionipossibili sono rappresentate in forma univoca dalla somma binaria deinumeri assegnati ai quadranti che costituiscono il disco. Per due enun-ciati qualunque P e Q una tavola di verità mostra come la verità (rap-presentata come 1) o la falsità (rappresentata come O) di un enunciato,

composto partendo da P e Q con l'ausilio di determinati connettivi logi-ci, dipendano dalla verità o dalla falsità di P e Q solamente. Per quel cheriguarda i due enunciati di partenza, si danno quattro sole possibilicombinazioni di valori di verità: per ciascuna di queste combinazionil'enunciato derivato può risultare o vero o falso. Pertanto vi sono in tut-to 24, cioè 16 possibili tavole di verità distinte. Per ciascuna tavola diverità è possibile trovare un enunciato il cui valore di verità è funzionedei valori di verità di P e Q secondo lo schema fornito da quella tavola.

105

0100 1000

00100001

0000

1000

0100

000 1

00 1 0

0100

0001

P E NON-P

o

o

o

o

P EO

O

o

O

P0

o

o

P

o

O

o

o

P

1

1

0

O

1010

Q

o

o

0101

01 10

P O NON-O

o

1

O

O

(P E NON-Q) O (NON-P E Q)

o

o

NON-P

O

o

o

glia. Si capì che i teoremi all'interno di unsistema avevano degli analoghi fra i teo-remi dell'altro: i teoremi dei vari sistemisvolgono ruoli analoghi nelle geometriedi superfici fra loro diverse.

Nel 1932 John von Neumann cominciòa studiare le proprietà di certe strutturematematiche, chiamate reticoli, al fine dicostruire un modello di questo genere,che consentisse una interpretazione dellalogica quantistica. Von Neumann, che

lavorava all'Institute for Advanced Studydi Princeton, presentò la sua impostazio-ne nel 1936, in un articolo scritto in colla-borazione con Garrett Birkhoff dellaHarvard University. Von Neumann eBirkhoff mostrarono come la struttura areticolo di una teoria fisica possa essereconsiderata un modello matematico delsistema di logica adeguato per tale teoria.Il concetto di reticolo è molto generale.Qui lo applicherò alla struttura logica di

una teoria molto semplice, formulata afini di esemplificazione. ma può essereusato anche per caratterizzare le strutturedella fisica classica e della meccanicaquantistica. Nell'ultimo decennio circa,fisici e filosofi sono tornati all'analisi me-diante reticoli, introdotta da von Neu-mann e Birkhoff.

L'interpretazione di una struttura logi-ca per mezzo di un reticolo è analogaall'interpretazione di un sistema formaleper mezzo di una geometria particolare. Iruoli dei connettivi logici nella teoria fisi-ca possono essere identificati con i ruoli dialcune operazioni e relazioni identificatesul reticolo associato alla teoria. Il risulta-to è una concezione più comprensiva,analoga alla comprensione più generaledella geometria ottenuta introducendol'idea di curvatura. La logica astratta, dicui sono modello reticoli diversi in teoriefisiche diverse, può abbracciare quellatrasformazione della legge distributivache è richiesta dalla meccanica quantisti-ca, pur conservando tale legge distributi-va per le teorie della fisica classica.

Prima di passare a una descrizione dellestrutture reticolari è utile esaminare piùda vicino le affermazioni della teoriaquantistica che hanno costituito lo stimo-lo per queste indagini logiche astratte. Lameccanica quantistica propone un buonnumero di affermazioni imbarazzanti su-gli eventi fisici a scala microscopica, comeil dualismo onda-particella, ma qui milimiterò a parlare degli effetti di spin. Iconcetti necessari per comprendere lanatura quantistica dello spin riflettono, informa non complicata, ma al tempo stessonon banale, la struttura concettuale fon-damentale necessaria per tutta la mecca-nica quantistica.

T spin quantomeccanico di una particel-i la è analogo alla rotazione di un og-getto comune come una trottola. Lo spinha una componente rispetto a ciascunodei tre assi di uno spazio tridimensionale:tali componenti sono chiamate le compo-nenti x, y e Z. Per convenzione, se si chiu-dono le dita della mano destra nello stessosenso dello spin, il pollice della mano de-stra indica la direzione di spin «su».

Lo spin di una particella che porta unacarica elettrica può essere rivelato e ma-nipolato per mezzo del momento magne-tico generato dalla carica in rotazione. Ilmetodo di rivelazione consiste nel far pas-sare la particella attraverso una regione incui un campo magnetico varia notevol-mente da punto a punto. Secondo la fisicaclassica, un tale gradiente di campo de-fletterà la traiettoria di una particella inmoto, in misura proporzionale al momen-to magnetico della particella stessa.

In un esperimento effettuato nel 1921,Otto Stern e Walther Gerlach fecero vapo-rizzare dell'argento in una caldaia e poidiressero gli atomi di argento, medianteuna serie di schermi, entro un campomagnetico fortemente variabile. Il proce-dimento sperimentale è efficace per ren-dere casuale il momento magnetico degliatomi di argento e, per questo, Stern eGerlach si aspettavano che gli atomi ve-

P O NON-P1111

ot~

1101 dt--- . . 1011P O NON-O r 'l NON-P O O

NON-P O NON4 Ah"0111

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1001NON O

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0010NON-P E Q

1110P O 0

0100PE NON-O

0000P E NON-P

nissero rivelati come un alone diffuso suuna lastra fotosensibile. Trovarono inve-ce che la lastra registrava due macchieben definite, dove era concentrata lamaggior parte degli atomi, dal che appa-riva che il momento magnetico degli ato-mi assumeva solamente due valori distin-ti. Da allora il risultato è stato verificato inmolti altri esperimenti, con apparecchia-ture più sensibili: in tutti i casi si è trovatoche il momento magnetico di una particel-la elementare o di una struttura composi-ta (per esempio un atomo) è quantizzato.

Per la quantizzazione del momentomagnetico è possibile separare particelleil cui spin ha una certa orientazione, sele-zionando solo uno dei fasci che emergonoda un campo magnetico. Il fascio prescel-to ha spin polarizzato in direzione paralle-la al gradiente del campo. Per comoditàipotizzerò che il fascio sia in moto lungol'asse z e che, dopo essere passato attra-verso il campo magnetico, tutte le parti-celle abbiano una componente di spin ri-spetto all'asse x in direzione «su». Il fa-scio con spin polarizzato si può quindi farpassare attraverso un secondo campomagnetico, perpendicolare al primo eparallelo all'asse y. A questo punto sisupporrebbe che il fascio sia polarizzatotanto nella direzione x quanto nella dire-zione y. Se si facessero passare attraversoun terzo campo, orientato in direzione x,ambedue i fasci emergenti dal secondocampo magnetico, ci si aspetterebbe ditrovare soltanto valori «su» per la com-ponente x dello spin. Invece sullo scher-mo compaiono ancora due macchie. Inqualche modo il fascio ha perso la suapolarizzazione di spin rispetto all'asse x, ele misurazioni danno una combinazionecasuale di valori «su» e «giù» (si vedal'illustrazione a pagina 102).

uesto esperimento, un po' idealizza-to, illustra diversi principi fonda-

mentali della meccanica quantistica. Se

Un reticolo di punti e linee visualizza le rela-zioni di inclusione fra le regioni del disco sud-diviso in quattro parti. Ciascun punto rappre-senta una diversa regione del disco. I colori deicerchi concentrici tracciati attorno a ciascunpunto corrispondono ai colori dei quadrantidel disco che costituiscono la regione corri-spondente (si veda l'illustrazione della paginaprecedente). Punti che giacciono in un datopiano rappresentano tutti regioni del disco co-stituite dallo stesso numero di quadranti. Laregione rappresentata da un punto in posizioneinferiore è un sottoinsieme di tutte le regionirappresentate da punti superiori, cui il puntoinferiore sia collegato per mezzo di linee diret-te verso l'alto. I numeri in binario associati aipunti corrispondono alle regioni del disco ealle tav ole di v erità degli enunciati che carat-terizzano i punti (si veda l'illustrazione dellapagina precedente). Anche le linee del re-ticolo hanno una interpretazione logica.Quando rappresentano relazioni di inclusio-ne per le regioni del disco, rappresentanoanche relazioni di implicazione. Un enun-ciato rappresentato da un punto implica tuttigli enunciati rappresentati da punti superioria quello cui corrisponde e che possano esse-re raggiunti lungo linee dirette verso l'alto.

106

a

V = 2A

V= —V2A

C

V È INDIPENDENTEDA A

SOTTOSPAZIOGENERATO DA A

xA + yB

SOTTOSPAZIOGENERATODA A E B

un fascio, polarizzato rispetto all'asse x,viene fatto passare attraverso un campomagnetico orientato in modo da polariz-zare la componente y, la polarizzazionedella componente x si distrugge. Si puòdire, più in generale, che una qualunqueoperazione su una particella elementare,tale da determinare il valore di qualchevariabile quantomeccanica, deve con-temporaneamente rendere casuale il va-lore di almeno un'altra variabile: si diceche due variabili collegate in questo modosono incompatibili. Se si conosce con cer-tezza la componente y dello spin, il valoredella componente x deve rimanere com-pletamente sconosciuto: si tratta di unagrandezza casuale, e le probabilità deivalori «su» e «giù» sono uguali (e quindipari a 1/2).

In generale, quando cresce la probabili-tà di ottenere un particolare valore di una

v = A + B

variabile in una misurazione, la probabili-tà di ottenere nella misurazione un parti-colare valore di una variabile incompati-bile diminuisce. Per esempio, se la com-ponente y dello spin è stata polarizzatasolo in parte, nel passaggio del fascio at-traverso il secondo campo magnetico, laprobabilità che la componente x sia «su»sarebbe minore di 1, ma maggiore di 1/2.Il principio di indeterminazione, formula-to da Werner Heisenberg, specifica informa quantitativa come la probabilità dirilevare un particolare valore di una va-riabile dipende dalla probabilità assegna-ta a una variabile incompatibile.

Passerò ora a descrivere come si possarappresentare la struttura di un semplicesistema fisico mediante un reticolo ecome si possa innestare sul reticolo unastruttura logica. Immaginatevi una scato-la, contenente una moneta da un penny e

una moneta da un quarto di dollaro, conun coperchio trasparente. Si può conside-rare la scatola come un sistema fisico il cuistato è determinato dalla faccia superioredi ciascuna moneta. Il sistema pertantopuò trovarsi in quattro stati diversi: am-bedue le monete danno testa, ambedue lemonete danno croce, il penny dà testa e ilquarto dà croce, il penny dà croce e ilquarto testa. (Devo a Ariadna Chernav-ska dell'Università della Columbia Bri-tannica l'idea di discutere un sistema consoli quattro stati possibili, anche se l'e-sempio non è suo.)

In una semplice rappresentazione sipuò assegnare, a ciascuno degli stati pos-sibili del sistema, un quadrante di un di-sco. Se il disco è diviso da una riga vertica-le e da una orizzontale, il quadrante adestra in alto può corrispondere allo statoin cui ambedue le monete segnano testa, ilquadrante a sinistra in alto allo stato in cuiil penny dà testa e il quarto dà croce, ilquadrante a sinistra in basso allo stato incui ambedue le monete danno croce, e ilquadrante a destra in basso allo stato incui il penny indica croce e il quarto testa. Iquadranti possono essere rispettivamen-te identificati con i numeri binari 1000,0100, 0001 e 0010. Qualunque regionedel disco che comprenda un numero inte-ro di quadranti può essere indicata me-diante un numero binario a quattro cifre.In ciascuna posizione la cifra è un 1 se unodei quadranti inclusi nella regione data haun I in quella posizione; altrimenti la cifraè uno 0. Per esempio, la regione del discoche comprende tutti i quadranti trannequello a destra in basso verrà indicatacome 1101. Ogni quadrante deve esseredefinito in modo da non avere alcun pun-to in comune con gli altri quadranti, fattaeccezione per il punto al centro del disco.Assumerò pertanto che, dei due raggi chedelimitano un quadrante, solo quello chesi raggiunge procedendo in senso orariodall'interno del quadrante appartenga aquel quadrante.

Una teoria fisica può essere conside-rata un enunciato sugli stati possibili

o reali di un sistema fisico. La teoriapuò riguardare stati o insiemi di stati.Nel sistema penny-quarto, supporrò cheogni combinazione dei quattro stati pos-sa essere il riferimento di una «teoriafisica» relativa al sistema. Esistono 16combinazioni degli stati, formate asso-ciando i quadranti del disco in tutti imodi possibili.

Supponiamo che ciascuna combinazio-ne di stati sia rappresentata da un punto. I16 punti, allora, possono essere collegatida una rete di linee che indichino comecerte regioni del disco possano essereconsiderate sottoinsiemi di altre (si vedal'illustrazione a pagina 106). Una lineache collega due punti indica che il pun-to più in basso dei due, all'interno deldiagramma, è un sottoinsieme del puntopiù in alto. Per dirla con maggior preci-sione, la regione rappresentata dal puntoinferiore è inclusa nella regione rappre-sentata dal punto superiore.

Il punto più basso nella rete rappresen-

Il sottospazio vettoriale generato da una base di vettori è l'insieme di tutti i vettori che si possonoottenere come combinazione lineare dei vettori della base, cioè come somma di vettori della base,eventualmente moltiplicati per uno scalare. (Uno scalare è una grandezza caratterizzata solo da unnumero relativo e non anche da una direzione.) Il sottospazio generato dal singolo vettore A(freccia in blu) è la retta passante peri stesso, poiché tutti i vettori ottenibili da.4 (frecce in rosso)rappresentano il prodotto di uno scalare per .4 o la somma di vettori ottenuti per moltiplicazionescalare dal, e quindi giacciono tutti sulla medesima retta (figure ae I vettori che non possonoessere generati mediante tale operazione sono vettori indipendenti da A (figura c). Due vettori fraloro indipendenti .4 e B si combinano, mediante le operazioni di somma vettoriale e di prodottoscalare, secondo la regola del parallelogramma (figure d ed e). Il sottospazio che generanoè un piano, poiché qualunque punto del piano può essere raggiunto mediante somma vet-toriale di qualche multiplo scalare di .4 e di qualche multiplo scalare di B (figura D.

108

Le relazioni di inclusione fra sottospazi vettoriali dello spazio fisico tridimensionale (R 3 ) possonoessere rappresentate da reticoli. In a i sottospazi rappresentati dalle linee s e t generano ilsottospazio rappresentato dal piano unione di s e t. Analogamente, le linee s e: generano il pianounione di s e Z, le linee t e Z il piano unione di t e z. In b le linee u, v e Z generano pianicorrispondenti, dove le linee u e v giacciono nello stesso piano delle linee s e t. I punti dei reticoli ce d rappresentano i sottospazi vettoriali formati dalle linee e dai piani, dal sottospazio nullo (ilpunto in cui si intersecano le tre linee di ciascun diagramma ) e dallo spazio vettoriale R 3 stesso,!vettori che si trovano in un sottospazio rappresentato da un certo punto nel reticolo si trovanoanche in tutti i sottospazi rappresentati da punti superiori, raggiungibili dal punto dato mediantelinee del reticolo dirette verso l'alto. I due reticoli possono essere collegati in corrispondenza dipunti che rappresentano gli stessi sottospazi, e cioè i punti R 3, unione di s e t (che equivale al puntounione di u e v), z e O. Il reticolo risultante (e) non è distributivo ed è identico ai reticoli sulla de-stra nell'illustrazione di pagina 101. Il reticolo composto presenta le relazioni di inclusioneche varrebbero fra i sottospazi vettoriali se i due piani rispettivamente unione di s et e unionedi u e v coincidessero, e se le linee s, t, u, v e Z si incontrassero tutte nell'origine.

ta la regione zero (0000), la regione delpunto al centro del disco, che tutti i qua-dranti hanno in comune. Dal punto zero sidipartono quattro linee, che lo colleganoai quattro punti (1000, 0100, 0001 e0010) che rappresentano le regioni di cia-scuno dei quattro quadranti del disco.Come indicano le linee congiungenti, cia-scuna di queste regioni include il puntocentrale come sottoinsieme. Al di sopradei quattro punti che rappresentano iquadranti si trovano punti che rappre-sentano regioni del disco più grandi, cia-scuna delle quali include almeno duequadranti e il punto centrale. Alla som-mità della rete si trova il punto 1111, cherappresenta la regione di tutto il disco.Le relazioni di inclusione insiemisticapossono essere indicate non solo con unalinea diretta verso l'alto, ma anche me-diante una linea che passa attraversopunti intermedi. Così il punto più alto ècollegato a tutti i punti che stanno al disotto di esso. Si può anche pensare checiascun punto sia collegato a se stesso.

A questo punto è possibile definire, sul-la rete di punti e linee, due operazioni,che così fanno della rete un reticolo nelsenso definito da von Neumann e Birk-hoff. Dati due punti a e b nella rete, il piùbasso dei punti del reticolo a cui sia a sia bsono collegati da linee dirette verso l'altoda almeno uno di essi è indicato comeunione di a e b (in simboli a v b). Se tantoa quanto b sono collegati direttamenteallo stesso punto superiore, questo puntoè l'unione di a e b. Se a e h sono connessil'uno all'altro, allora l'unione di a eb è ilpiù alto dei due punti. Per il reticolo cherappresenta le regioni del disco l'unionedi due regioni è il punto che rappresentala più piccola regione tale da includerleentrambe; nella teoria degli insiemi que-sto concetto corrisponde alla comuneoperazione di unione insiemistica. L'u-nione di 0000 (il punto centrale del disco)e 1000 (il quadrante a destra in alto) è1000, dato che il quadrante include ilpunto centrale. L'unione di 1000 e 0100(il quadrante superiore sinistro) è 1100:la metà superiore del disco.

Una seconda operazione sul reticolo èdefinita come la selezione del punto piùalto fra quelli a cui sia a sia b sono connes-si mediante linee che vanno verso il bassoa partire da almeno uno di essi; tale puntoè chiamato intersezione di a e h (in simbo-li: a A b). Sul disco l'intersezione di dueregioni è la regione più grande che essehanno in comune: il corrispettivo dellacomune intersezione insiemistica. L'in-tersezione di 1100 (la metà superiore) e1010 (la metà destra) è 1000: il quadran-te superiore destro. L'intersezione di1000 e 0000 è il punto 0000.

I reticoli di cui parlerò sono denominatireticoli complementati: per ogni punto anella rete esiste un altro punto della retea', definito il complemento di a, tale chel'unione di a e a' è il punto più alto dellarete (1111) e l'intersezione di a e a' è ilpunto più basso (0000). Sul disco il com-plemento di una regione è un'altra areache non ha alcun punto in comune con laprima, eccetto il centro del disco, ma che,

110

LOGICA CLASSICA A DUE VALORI

P V V F F

0 V F V F

NON-P F F v v

NON-O F V F V

P 0 O V V V F

PEQ V F F F

P IMPLICA Q V F V V

P è EQUIVALENTE A Q V F F V

LOGICA A TRE VALORI DI REICHENBACH

p v v v I i I F F F

Q V I F V I F v I F

NON-P (CICLICO) I I I F F F-

v v v

NON-P (DIAMETRALE) F F F I I I V V V

NON- P (COMPLETO) I I I V V V V V V

P 0 O V V V V I I v I F

PEQ V I F I I F F F F

P IMPLICA O(STANDARD) V F F V V V v V v

P IMPLICA Q(ALTERNATIVO)

v F F V V V V V V

P IMPLICA 0(QUASI)

vI F I I I I I I

P È EQUIVALENTE A Q(STANDARD)

v I F I V l F I V

P è EQUIVALENTE A Q(ALTERNATIVO)

v F F F V F F F V

Nella logica a tre valori proposta da Hans Reichenbach nel 1944, alcuni enunciati che descrivonofenomeni quantomeccanici non sono né veri né falsi, ma indeterminati. Per esempio, se si sa che lacomponentex dello spin di una particella è «su», un enunciato che affermasse che la componente vha uno specifico valore verrebbe classificata, secondo lo schema di Reichenbach, come indetermi-nata. Invece di fermarsi sulla legge distributiva, Reichenbach definì per mezzo delle tavole diverità dei connettivi logici con schemi più complessi. Le tavole assegnano uno fra tre valori diverità (V, vero; F, falso;!, indeterminato) a ciascuna delle nove possibili combinazioni di valori diverità per gli enunciati P e Q. Sono qui presentate dieci funzioni di verità che hanno un ruolo spe-ciale nella logica della meccanica quantistica. Le funzioni di verità della logica bivalente classicasono casi speciali delle funzioni di verità estese (in colore). Nella logica trivalente esistono 3 9 (ecioè 19 683 ) possibili funzioni di erità per gli enunciati composti con due costituenti elementari.

SPIN (X)-SU-

SPIN (Y)-GIÙ-

SPIN (X) -SU» O SPIN (X) -GIÙ- SPIN (Y) «SU» O SPIN (Y)- GIÙ)

SPIN (X)-GIÙ-

SP1N (X) «SU» E SPIN (X) -GIÙ-

LA COMPONENTE X È ,S(.1- E LA COMPONENTE Y È O -SU» O -GIÙ»

SPIN (X) -SU- O SP1N (X) ,,GIÙ» SPIN (Y) -SU» O SPIN (Y) -GIÙ-

SPIN (X) SU» E SPIN (X) -GIÙ-

O LA COMPONENTE X è -SU- E LA COMPONENTE Y È «SU»O LA COMPONENTE X È -SU» E LA COMPONENTE Y È -GIÙ-

Si può dare un modello, in forma molto semplificata, alle relazioni logiche fra enunciati chedescrivono lo spin di una particella, mediante reticoli identici a quello tracciato da righe in nero dimaggior spessore, in basso nell'illustrazione di pagina 110.1 punti del reticolo corrispondono aenunciati che descrivono stati puri di spin. In ciascun reticolo la parola e è identificata conl'intersezione di due punti (frecce in nero) e la parola o è identificata con l'unione di due punti(frecce in colore). Gli enunciati indicati al di sotto dei reticoli, logicamente equivalenti in base allalegge distributiva, hanno come modello le operazioni indicate dalle frecce. Poiché la struttura deireticoli deriva dalla struttura della relazione di inclusione per gli spazi vettoriali, i reticoli non sonodistributivi. 1 due enunciati composti non sono rappresentati dallo stesso punto, e pertanto i re-ticoli ci danno un modello per gli enunciati relativi allo spin, per cui non vale la legge distributiva.

SPIN (X) SPIN (Y)

SPIN (X)-GIÙ-

insieme alla prima, dà tutta la regione deldisco. I punti 0100 (il quadrante superio-re sinistro) e 1011 (la regione costituitadai quadranti superiore destro, inferioredestro e inferiore sinistro) sono l'uno ilcomplemento dell'altro. Il corrispettivonella teoria degli insiemi è l'operazione dicomplementazione.

Il comportamento delle operazioni diunione e intersezione su reticoli dipendedal reticolo su cui sono definite. Nel casodel reticolo che rappresenta le regioni deldisco, tuttavia, il loro funzionamento è ditipo familiare: obbediscono alle stesseleggi delle corrispondenti operazioni(unione e intersezione) insiemistiche. Inparticolare, vale per esse la legge distribu-tiva: Se a, b, c sono tre punti qualunquedel reticolo, la intersezione di a con l'u-nione di b ec è lo stesso punto dell'unionedella intersezione di a e b con l'interse-zione di a e c. Analogamente l'unione di acon l'intersezione di b ec è lo stesso puntodell'intersezione dell'unione di a e b conl'intersezione di a e c. La struttura mate-matica risultante prende il nome di retico-lo distributivo complementato, ed è notaanche con il nome di algebra booleana, daGeorge Boole, logico inglese del dician-novesimo secolo.

Ho descritto le proprietà di una rappre-sentazione astratta del sistema pen-

ny-quarto, e cioè le relazioni insiemisti-che fra le regioni di un disco. Che tipodi enunciato si può usare, per descrivere ilsistema fisico stesso? Supponiamo che Pstia per l'enunciato «Il penny segna te-sta», Q stia per «Il quarto segna testa»,non-P stia per «Il penny segna croce» enon-Q stia per «Il quarto segna croce».Allora, qualunque proprietà del sistemapenny-quarto che un fisico voglia descri-vere per mezzo di una teoria sul sistemapuò essere definita scrivendo un enuncia-to composto. Per esempio. l'enunciatocomposto P e Q ci dà l'affermazione«Ambedue le monete segnano testa». Lafrase non-P o Q ci dice che nello statoattuale del sistema «O il penny segna cro-ce o il quarto segna testa», ovvero, in altreparole, ci dice che lo stato può esserequalunque, fatta eccezione per quello incui il penny segna testa e il quarto segnacroce.

In circostanze ordinarie (a differenzadi quel che accade nella meccanicaquantistica) l'intuizione logica costitui-sce una guida abbastanza affidabile perstabilire il modo in cui la verità o la fal-sità di un enunciato composto dipen-

dono dalla verità o falsità dei suoi co-stituenti. L'enunciato Pe Q è vero se esolo se P è vero e Q è vero, e pertantose e solo se ambedue le monete dannotesta; altrimenti l'enunciato composto èfalso. Il valore di verità dell'enunciatocomposto deve essere calcolato separa-tamente per ciascuna possibile combi-nazione di verità e falsità degli enuncia-ti che lo compongono.

Un resoconto completo del modo in cuiil valore di verità di un enunciato compo-sto è determinato dagli enunciati che locompongono prende il nome di funzionedi verità, e di solito i logici presentano lavalutazione di una funzione di verità inuna tabella denominata tavola di verità.Supponiamo che 1 stia per «vero» e O per«falso». Allora un qualunque enunciatocomposto dai due enunciati P e Q puòessere rappresentato da un numero bina-rio di quattro cifre, esattamente comevenivano classificate le regioni del nostrodisco. Nella tavola di verità si trova un I ouno O per ciascuna delle quattro possibilicoppie di valori di verità per P e Q. Per-tanto la funzione di verità per ogni possi-bile enunciato con due costituenti è datada una fra le 16 possibili tavole di veritàper la combinazione di due enunciati. Ivalori di verità dell'enunciato P e Q, peresempio, sono dati dalla funzione di veri-tà 1000: l'enunciato è vero solo nel qua-drante del disco che abbiamo denominato1000.

La relazione fra la funzione di verità diun enunciato composto e il numero corri-spondente alla regione del disco in cuil'enunciato composto è vero, è di caratte-re generale. I numeri binari sono gli stessi(si veda l'illustrazione a pagina 105), per-tanto a ciascuna regione del disco (e diconseguenza a ciascun punto sul reticolo),si può attribuire qualche enunciato costi-tuito dagli elementi P, Q, non, e, o. Piùprecisamente, si può associare a ciascunpunto del reticolo una classe di equiva-lenza di enunciati, costituita da tutti glienunciati che hanno la stessa tavola di ve-rità. L'enunciato non-(P e Q), per esem-pio, è associato allo stesso punto del reti-colo a cui è associato l'enunciato non-Po non-Q.

L'esito più importante di questa corri-spondenza fra enunciati e punti del retico-lo è che si vede come il reticolo possamostrare delle relazioni logiche. Se glienunciati A e B sono rappresentati nelreticolo dai punti a e b, allora gli enunciatiAeBeAoBsono rappresentati rispetti-vamente dai punti che costituiscono l'u-nione e l'intersezione di a e b. Inoltre, lelinee che collegano punti del reticolo apunti più in alto, rappresentano la rela-zione logica di implicazione. Si dice chel'enunciato A implica l'enunciato B se B èvero ogniqualvolta è vero A. (La tavola diverità per A implica B può contenereanche altri 1: per esempio, nel caso in cuiA sia falso, ma B vero.) Pertanto, nelreticolo che descrive la struttura logicadel sistema penny-quarto l'implicazione èrappresentata dalle stesse linee che rap-presentano la relazione di inclusione in-siemistica.

T I reticolo per il sistema penny-quartopresenta le stesse relazioni logiche del

reticolo che corrisponde alla meccanicanewtoniana, cioè alla meccanica classica.Lo stato di una particella newtoniana ècaratterizzato dalla posizione della parti-cella in un momento determinato e dallasua quantità di moto (il prodotto della suamassa per la sua velocità). Per semplicitàsupponiamo che il sistema newtoniano siacostituito da una sola particella, vincolataa spostarsi in una sola dimensione. Comeuno stato del sistema penny-quarto puòessere rappresentato da una regione su undisco, così lo stato della particella newto-niana può essere rappresentato da unpunto su un piano. Gli assi del sistema diriferimento sul piano danno i diversi valo-ri di posizione e quantità di moto, per cuiogni punto del piano corrisponde a qual-che coppia di valori per queste due varia-bili. Il piano viene chiamato spazio dellefasi del sistema.

A quale struttura matematica dellospazio delle fasi si conforma la teoria new-toniana semplificata? Gli enunciati dellafisica newtoniana fanno riferimento a re-gioni, ovvero a sottoinsiemi, dello spaziodelle fasi, proprio come gli enunciati sulsistema penny-quarto fanno riferimento aregioni del disco. Un enunciato corri-sponde a una regione del piano se e solose tale enunciato vale per ciascun punto diquella regione e per nessun altro punto.Per esempio, l'enunciato secondo cui unaparticella ha posizione a corrisponde auna retta nello spazio delle fasi; tale rettasi trova a distanza a dall'origine, calcolatasull'asse delle posizioni, ed è parallela al-l'asse della quantità di moto.

La classe delle regioni dello spazio del-le fasi newtoniano è infinita e, di conse-guenza, il reticolo corrispondente possie-de un numero infinito di punti. Sotto altripunti di vista, tuttavia, la struttura mate-matica del reticolo è identica alla struttu-ra del reticolo per il sistema penny-quar-to. Le regioni dello spazio delle fasi, equindi i punti del reticolo newtoniano,costituiscono un insieme su cui la inclu-sione insiemistica rappresenta una rela-zione d'ordine, e come prima le operazio-ni sul reticolo sono equivalenti all'unionee all'intersezione insiemistiche. Inoltre, lerelazioni logiche definite dalla strutturadel reticolo e dalle operazioni di unione eintersezione continuano a essere le rela-zioni della logica classica: le leggi distri-butive conservano la loro validità. Lospazio delle fasi e il reticolo, estesi pertrattare sistemi newtoniani tridimensio-nali con molte particelle, risultano com-plicati, ma in linea di principio non diffe-riscono dal caso monodimensionale, conuna sola particella.

Nella meccanica quantistica la situa-zione è completamente diversa. Lo statodi una particella non è più specificatodalla sua posizione e dalla sua quantità dimoto, poiché queste sono variabili in-compatibili, che non possono essere de-terminate simultaneamente. Lo stato diuna particella è definito invece da un co-strutto teorico, cui si dà il nome di fun-zione d'onda, che fornisce la probabilità

di trovare che tale particella possiede undeterminato valore per una variabile fisi-ca. Per esempio, lo stato di spin di unelettrone è dato da una funzione d'ondache specifica le probabilità secondo cui lecomponenti x, y e z dello spin sono «su»o «giù».

Consideriamo la componente y dellospin. La probabilità che il valore di talecomponente sia «su» può variare da 1 a O,mentre la probabilità che il valore sia«giù» varia da O a 1. Per qualunque statodi spin la somma delle due probabilità èpari a 1. È comodo, dal punto di vistamatematico, rappresentare lo stato dispin come un vettore: una grandezza ca-ratterizzata da un valore assoluto e da unverso. Il vettore di spin è la somma vetto-riale, calcolata secondo la «regola delparallelogramma», di due altri vettori,che sono orientati lungo rette fra loroperpendicolari e che rappresentano i duepossibili valori dello spin lungo l'asse y.Tali due vettori prendono il nome di am-piezza di probabilità, rispettivamente, dispin «su» e di spin «giù». Il quadrato del

valore assoluto del vettore che rappre-senta l'ampiezza di probabilità di spin«su» dà la probabilità di trovare che lacomponente y dello spin si trovi nellostato «su». Analogamente, il quadratodel valore assoluto del vettore che corri-sponde all'ampiezza di probabilità dispin «giù» dà la probabilità di trovareche la componente y del vettore di statodi spin abbia valore «giù» (si veda l'illu-strazione in alto a pagina 103).

T o, spazio vettoriale astratto con i suoi' assi perpendicolari «ampiezza diprobabilità di spin "su"» e «ampiezza diprobabilità di spin "giù"» è uno spaziodelle fasi della meccanica quantistica.Sovrapponendo allo spazio delle fasiun'ulteriore coppia di assi ortogonali, a45 gradi rispetto al primo sistema di assi, èpossibile rappresentare le caratteristicheessenziali del principio di indetermina-zione, nella forma in cui si applica allospin (si veda l'illustrazione in basso a pa-gina 103). Si può usare la seconda coppiadi assi per rappresentare le ampiezze di

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probabilità di spin «su» e «giù», rispetti-vamente, per la componente x dello spin,proprio come gli assi iniziali ci davanol'ampiezza della componente y. Se il vet-tore dello stato di spin giace sull'asse dispin «su» per la componente x (per cui ilrisultato di una misurazione della compo-nente x è previsto con certezza), il vettoresi trova sulla bisettrice dell'angolo fra gliassi di spin «su» e spin «giù» per la com-ponente y. La lunghezza della proiezionedel vettore sull'asse di spin «su» per lacomponente y è pertanto pari a V1/2, epertanto la probabilità di trovare che lacomponente y dello spin ha valore «su» èpari al quadrato di V1/2, cioè 1/2. Analo-gamente, la probabilità di trovare che lacomponente y dello spin ha valore «giù» èpari a 1/2. Così, in accordo con il principiodi indeterminazione, non vi è stato di spinin cui si possa assegnare probabilità 1 sia aqualche valore della componente x sia aqualche valore della componente y.

Il tipo di relazione di inclusione definitasu uno spazio vettoriale è la relazione disottospazio, anziché quella di semplicesottoinsieme, dello spazio vettoriale dato.Ciò che corrisponde alle proposizioni del-la teoria quantistica sono i sottospazi diuno spazio vettoriale.

Che cos'è un sottospazio vettoriale? Ilsottospazio deve essere a sua volta

uno spazio vettoriale. La proprietà piùimportante di uno spazio vettoriale èche la somma di due vettori qualunquedello spazio è ancora un vettore dellostesso spazio. Analogamente, il prodottodi un vettore qualunque dello spazio peruno scalare (cioè per una grandezza cheè caratterizzata solo da un valore e nonanche da una direzione) è ancora unvettore dello spazio. In termini matema-tici si dice che lo spazio vettoriale èchiuso rispetto alla somma vettoriale eal prodotto scalare.

Il criterio della chiusura può essere uti-lizzato per costruire uno spazio vettoriale.Lo spazio vettoriale completo può esseregenerato da vettori che costituiscono unabase dello spazio vettoriale se ogni vetto-re dello spazio può essere ottenuto som-mando vettori della base secondo la rego-la del parallelogramma, eventualmentedopo che tali vettori sono stati moltiplica-ti per una costante opportuna. (Il prodot-to scalare dà un accorciamento o un al-lungamento di un vettore, e può ancherovesciarne il verso, ma non può modifi-carne la direzione.) Lo spazio vettorialeottenuto in questo modo da due vettoribase A eB è il sottospazio generato da A eB (si veda l'illustrazione a pagina 108).

Si dice che un sottospazio è un sotto-spazio proprio se esiste almeno un vettoredello spazio che non è contenuto in al-cuno dei sottospazi che abbiano comebase vettori del sottospazio dato. Peresempio, il piano u-v è uno spazio vetto-riale che può essere generato da due vet-tori diretti lungo gli assi positivi u e v. Nonesiste alcun modo di sommare i due vetto-ri che consenta di ottenere un terzo vetto-re diretto al di fuori del piano u-v. Pertan-to il piano 14-1) è un sottospazio proprio

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«I love New Ya

dello spazio vettoriale costituito dallospazio tridimensionale.

Per formare un reticolo i cui punti cor-rispondano alle proposizioni della mec-canica quantistica si deve formare il reti-colo degli spazi vettoriali e dei loro sotto-spazi propri. Consideriamo lo spazio fisi-co tridimensionale con un punto O pre-scelto come origine. Fra i sottospazi dellospazio vi sono l'origine stessa, tutte le ret-te passanti per O, tutti i piani passanti perO e l'intero spazio tridimensionale. Alcunidei sottospazi sono ordinati dalla relazio-ne di inclusione, per cui sul reticolo l'im-plicazione logica può essere ancora rap-presentata dalla relazione di inclusionefra sottospazi.

Una differenza cruciale, tuttavia, stanel fatto che l'operazione di unione sulreticolo dei sottospazi non è più l'opera-zione di unione insiemistica, ma dà il sot-tospazio generato dai vettori dei due sot-tospazi dati. Per esempio, sia l'asse u sial'asse v sono sottospazi unidimensionali.La loro unione è l'insieme di tutti i vettoriche hanno un estremo nell'origine e unaltro in un punto qualunque su uno deidue assi. Questo insieme tuttavia non è unsottospazio, perché non è chiuso sotto lasomma vettoriale. Pertanto l'unione in-siemistica degli assi non può essere rap-presentata da un punto nel reticolo deisottospazi. Il piano u-v è un sottospazio,per la precisione il sottospazio generatoda due sottospazi unidimensionali. Inol-tre, il sottospazio generato da u ev è il piùpiccolo sottospazio che comprende tutti ivettori che giacciono su l'uno o l'altroasse. Il punto del reticolo dei sottospaziche rappresenta il risultato dell'operazio-ne di unione di uev è pertanto il puntoche rappresenta il piano u-v.

Date le particolari proprietà dell'ope-razione di unione di sottospazi vet-

toriali, il reticolo dei sottospazi non è di-stributivo. Supponiamo che il reticolocomprenda i punti che rappresentano lequattro rette s, t, u e v; tutte queste rettegiacciono nel piano u-v e passano per l'o-rigine. Allora l'unione di set e l'unione diu e v sono rappresentate dallo stesso pun-to nel reticolo, per l'esattezza il punto checorrisponde al piano u-v.

Il punto che dà l'intersezione di s conl'unione di ue v è per definizione il mas-simo sottospazio che s e l'unione di u e vhanno in comune: poiché l'unione di u e vsi trova nel piano u-v e anche s si trova inquesto piano, il massimo sottospazio chehanno in comune è la retta s stessa. D'al-tra parte, l'intersezione di s eu e l'interse-zione di s e v hanno in comune solo l'ori-gine, ovvero il punto O del reticolo, e l'u-nione di queste espressioni (cioè l'unionedell'intersezione di s e u con l'intersezio-ne di s e v) è a sua volta costituita dal solopunto O. Ne segue che il punto designatocome intersezione di s con l'unione di u ev e il punto indicato come unione dell'in-tersezione di s e u con l'intersezione di s ev non sono identici nel reticolo dei sotto-spazi vettoriali.

Se i connettivi e eo e la relazione diimplicazione sono definiti sul reticolo dei

sottospazi come erano definiti sul reticolodei sottoinsiemi per il sistema penny--quarto. la struttura del reticolo è identi-ca alla struttura della logica quantisticanon distributiva. Il sottospazio s può es-sere identificato con l'enunciato «Lacomponente x dello spin è "sù"» e il sot-tospazio t può essere identificato con l'e-nunciato «La componente x dello spin è

Analogamente, i sttospazi u e vcorrispondono agli enunciati analoghiper la componente y. L'enunciato com-posto «La componente x dello spin è"su" e la componente y è o -su" o "giù"»è associato nel reticolo con il punto chedà l'intersezione di s con l'unione di u ev. L'enunciato composto «O la compo-nente x dello pin è "su" e la componentey è "su", o la componente x dello spin è"su" e la componente y è "giù"» è asso-ciato con il punto che dà l'unione dell'in-tersezione di s e u con l'intersezione di se v. Dal momento che questi punti delreticolo non coincidono, la struttura logi-ca associata con il reticolo non è distribu-tiva. Inoltre, il reticolo mostra che l'u-nione dell'intersezione di s e u conl'intersezione di s e v implica l'interse-zione di s con l'unione di u e v, mentrenon vale il contrario (si veda l'illustra-zione a pagina 112).

Di fronte al successo della teoria deireticoli nel fornire modelli delle re-

lazioni logiche in varie teorie fisiche, sitende a dimenticare che questa imposta-zione presuppone la soluzione di un pro-blema filosofico importante. Negli ultimiduecento anni uno dei temi dominantinella filosofia è stata la tesi che esistonodue tipi di enunciati veri: enunciati con-tingenti relativi al modo in cui il mondo è,e verità di logica che valgono indipenden-temente dal mondo. Il filosofo scozzeseDavid Fiume parlava rispettivamente di«questioni di fatto» e «relazioni di idee».Sostenere che la teoria quantistica richie-de una revisione della logica presupponeun rifiuto della tesi humeana dell'esisten-za di due tipi di verità.

Oggi, tuttavia, i filosofi sono inclini aconcordare con Willard Van Orman Qui-ne della Harvard University sull'impossi-bilità di difendere una netta distinzione diquesto tipo. Le leggi logiche, sostieneQuine, occupano un posto centrale nellarete delle nostre credenze, ma una fortesollecitazione alla periferia di questa rete,là dove vanno collocate le convinzionirelative all'osservazione, può far sì chevenga distorto anche il centro della rete.Considerazioni di carattere logico nonpossono da sole giustificare una revisionedella logica (e come potrebbero?), ma,per usare ancora una metafora di Quine,si può modificare il linguaggio quando ilmondo naturale non calza più bene nellinguaggio che abbiamo ereditato perdescriverlo.

Dando anche per scontata la possibili-tà di una revisione della logica, esistonomolte risposte possibili alla logica quan-tistica. Una posizione estrema è quelladi negare che la logica quantistica siauna logica, e di dire che si tratta sempli-

cemente di algebra sotto mentite spo-glie. La posizione all'altro estremo èquella di chi sostiene che la meccanicaquantistica tratta di particelle che sono icostituenti fondamentali dell'universo eche, pertanto, bisognerebbe sostituire lalogica classica con la logica quantistica,e si dovrebbe imparare a «pensarequanto-logicamente», per difficile chepossa essere.

La logica - si può rispondere a chi di-fende la prima posizione - per quanto dif-ficile a definirsi, come è ben noto, ha a chevedere con alcuni tipi di relazioni fra frasi:che cosa segue da che cosa, che cosa ècoerente con che cosa, e via dicendo. E lalogica quantistica fa altrettanto. Quel cherende la logica quantistica un caso pecu-liare è il fatto di trattare esclusivamentecon frasi che affermano che qualche vet-tore si trova in qualche sottospazio. Lestranezze della logica quantistica sonoconseguenze di due requisiti che debbonoessere soddisfatti da tutte le frasi su cuiverte la logica. In primo luogo, le frasidebbono ascrivere proprietà quantomec-caniche a sistemi individuali. In secondoluogo, quando si collegano due frasi delgenere per mezzo degli analoghi quanto-meccanici di e e o, la frase risultante deveancora descrivere il sistema fisico. Le re-lazioni logiche all'interno di questo in-sieme chiuso di frasi non sono quelle dellalogica classica.

Si è costretti per questo ad adottare laseconda posizione e a pensare «quanto--logicamente»? Almeno in parte, la ri-sposta è sì. Taluni tipi di enunciati che siincontrano in una teoria fisica si abbina-no in modi che non si conformano alleregole della logica classica. Questo perònon comporta in alcun modo che la lo-gica classica debba essere sostituitaovunque con la logica quantistica. Unarevisione così drastica del nostro modo dipensare di tutti i giorni potrebbe esseregiustificata solo qualora portasse con séuna grande semplificazione della teoriagenerale del mondo; ma è dubbio cheper tale via si possa realizzare una talesemplificazione. Anche all'interno dellameccanica quantistica l'impostazionelogico-algebrica, per quanto valida, nonha spazzato via tutte le perplessità. Inol-tre, anche se la logica quantistica ripor-tasse un successo totale nel suo dominio,la sua estensione ad altri domini sembre-rebbe del tutto peculiare. Si arriva allalogica quantistica considerando la strut-tura matematica del formalismo dellameccanica quantistica; questa struttura,tuttavia, è basata sugli schemi deduttividella logica classica. Pertanto la logicaclassica è presupposta nello sviluppo del-la logica quantistica.

Ci si trova, allora, con una famiglia dilogiche, in cui rientrano la logica classica,la logica quantistica e forse altre logicheancora. Fra queste una ha ancora la prio-rità. Le logiche non classiche possonotrovare applicazioni specializzate, ma lalogica usata per il ragionamento astratto,compreso il ragionamento sulla logica,continuerà probabilmente a essere la lo-gica classica.

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