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QUADERNO 2 E – 2 F – 2019/2020

Quaderno n.13: SISTEMI DI GRADO SUPERIORE

DEFINIZIONI (richiamo)Un sistema di equazioni (o disequazioni) è un insieme di equazioni (o disequazioni).Risolvere un sistema di equazioni (o disequazioni) significa determinare l'intersezione di tutti gliinsiemi di soluzioni di ciascuna equazione.Il grado di un sistema di equazioni (o disequazioni) polinomiali si determina moltiplicando isingoli polinomi caratterizzanti le singole equazioni (o disequazioni) ridotte in forma normale.[cap. 2 vol.Algebra 2]

OSSERVAZIONE (richiamo)Abbiamo già conosciuto i sistemi di equazioni di primo grado, detti anche “sistemi lineari”: inparticolare abbiamo preso in considerazioni dei metodi standard di risoluzione: il metodo disostituzione, il metodo del confronto, il metodo di riduzione e il metodo di Cramer.Il metodo di Cramer non potrà essere esteso ai sistemi di grado superiore, il metodo di riduzione,quello più potente, potrebbe essere anche applicato ma solo in casi molto particolari e quindi nonsarà poi così utile. Il metodo di sostituzione e quello del confronto invece torneranno ancora utili.[cap. 2 vol.Algebra 2]

OSSERVAZIONE (richiamo)Abbiamo anche lavorato, forse inconsapevolmente, con sistemi di disequazioni di primo e secondogrado (per esempio determinando le condizioni di esistenza di una frazione algebrica).[cap. 5 vol.Algebra 2]

OSSERVAZIONE (richiamo)Abbiamo già conosciuto il piano cartesiano e le equazioni della retta.

y=m x+q Equazione esplicita di rette non verticali.x=c Equazione esplicita di rette verticali.a x+b y+c=0 Equazione intrinseca di una retta qualunque.

Abbiamo anche conosciuto, seppure in modo superficiale, l'equazione della parabola con asseverticale.

y=a x2+b x+c[cap. 1 vol.Algebra 2][cap. 4 vol.Algebra 2]

OSSERVAZIONE (richiamo)Abbiamo già imparato a risolvere le disequazioni di secondo grado, utilizzando l'interpretazionegeometrica e soprattutto le caratteristiche geometriche dei coefficienti:Se a>0 la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto.Se a<0 la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.Se Δ≥0 le intersezioni della parabola con gli assi cartesiani sono (x 1 ;0);(x 2 ;0);(0 ; c)avendo indicato con x1 , x2 le soluzioni dell'equazione a x2+b x+c=0[cap. 4 vol.Algebra 2]

DEFINIZIONEUn'equazione in due incognite si dice simmetrica se scambiando di posto le due incognitel'equazione rimane la stessa. Un sistema di equazioni simmetriche si dice simmetrico.[pag.407 vol.Algebra 2]

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ESEMPIOL'equazione 2 x 2+2 y 2=45 è simmetrica

L'equazione 2 x 2−2 y2=45 non è simmetrica

DEFINIZIONE

La forma {x+ y= sx y= p

; con s , p∈ℝ si dice forma canonica (o normale) di un sistema

simmetrico di secondo grado.[pag.408 vol.Algebra 2]

TEOREMA (non c'è sul libro)Un sistema simmetrico di secondo grado, determinato, è equivalente ad un sistema simmetrico disecondo grado in forma canonica.

Dimostrazione:

{a x2+b x+c x y+b y+a y 2

=dp x+ p y=q

è un generico sistema simmetrico di secondo grado con a ,b , c ,d , p ,q∈ℝ .

Supponiamo a≠0∨c≠0 altrimenti il sistema non sarebbe di secondo grado.Supponiamo anche p≠0 altrimenti il sistema, oltre a non essere di secondo grado, non sarebbenemmeno molto interessante. Per non parlare del fatto che i coefficienti devono essere tali che ilsistema sia determinato (questo ci sarà utile più avanti).

Raccolgo i fattori comuni:

{a( x2+ y2

)+b(x+ y)+c x y=dp( x+ y)=q

Per la prima equazione utilizzerò la cosiddetta “formula di Waring”: x 2+y 2=(x+y)2−2 x yche deriva direttamente dal prodotto notevole “quadrato del binomio”.

Quindi il nostro sistema diventa:

{a(x+ y)2−2 a x y+b(x+y)+c x y=d

x+ y=qp {a(x+ y)2+b(x+ y)+(c−2 a) x y=d

x+y=qp

Sostituendo la somma nella prima equazione:

{a (qp)

2

+b(qp)+(c−2a) x y=d

x+ y=qp

{a (qp)

2

+b(qp)+(c−2a) x y=d

x+ y=qp

Ovvero:





{x y=−a(

qp)

2

+b(qp)

c−2 a

x+y=qp

{ x y=rx+ y= s

Che, supponendo c−2 a≠0 è proprio la forma canonica, come volevasi dimostrare.

Nel caso c−2 a=0 e ricordando che avevamo posto a≠0∨c≠0 che in questo caso diventaa≠0∧c≠0 possiamo ragionare in questo modo: non importa applicare la formula di Waring,

perché il quadrato lo abbiamo già:

{a(x+ y)2+b(x+ y)=d

x+y=qp {a (

qp)

2

+b(qp)=d

x+ y=qp

Questo sistema ha soluzione se la prima uguaglianza è verificata, altrimenti è impossibile.Nel caso sia verificata la prima uguaglianza avremmo comunque infinite coppie tali che

x+y=qp

e quindi il sistema sarebbe indeterminato. La nostra intenzione era dimostrare

l'equivalenza con la forma canonica per i sistemi determinati.

OSSERVAZIONENegli esercizi cercheremo comunque di riportarci alla forma canonica, strada facendo ci potremorendere conto se il sistema è indeterminato o impossibile.

OSSERVAZIONE (metodo di risoluzione)Nel caso particolare di un sistema simmetrico di secondo grado, potrei quindi utilizzare un metododi risoluzione standard.

Primo passo: trasformo il sistema nel suo equivalente in forma canonica.Secondo passo: risolvo l'equazione di secondo grado t 2−st+ p=0 che mi fornirà i due valorisoluzioni del sistema (se l'equazione è impossibile lo è anche il sistema).[pag.408 vol.Algebra 2]

ESEMPIO / ESERCIZIORisolvere il sistema:

{ x y=−13 x+3 y=8

In forma canonica:

{x y=−1

x+ y=83





Dunque l'equazione da risolvere è t 2−83

t−1=0

Applicando la formula risolutiva: t=

+83±√64

9+4

2=

83±√100

92

=

83±

103

2=

8±106

Da cui t=3∨t=−13

Di conseguenza le soluzioni del sistema è {x=3

y=−13

∨{x=−13

y=3

[pag.408-409 vol.Algebra 2]

OSSERVAZIONEAttenzione! Qui siamo in una di quelle situazioni in cui molti ragazzi calcolano giustamente mascrivono la risposta in modo sbagliato e/o confuso. Le soluzioni del sistema sono due! Si tratta didue coppie che potremmo definire simmetriche (simmetria centrale nel piano cartesiano), ma pursempre due coppie diverse! Quindi chi disgraziatamente nel compito in classe ne scrivesse soltantouna, non darebbe la risposta corretta! Ma soltanto metà risposta! Voto 5!

DEFINIZIONEUn sistema di equazioni si dice omogeneo, se tutte le sue equazioni sono omogenee e dello stessogrado.[pag.409 vol.Algebra 2]

ESEMPIO

Il sistema {4 x2−3 x y+2 y2

=05 x2−3 x y−7 y2=0

è un sistema omogeneo: le equazioni sono entrambe

omogenee di secondo grado (e quindi il sistema è di quarto grado).

OSSERVAZIONEL'esempio precedente ci fa vedere anche che non è detto che un sistema omogeneo sia anchesimmetrico, anche se qualcuno potrebbe essere portato a pensarlo.

OSSERVAZIONE

Qualunque sistema omogeneo ha tra le sue soluzioni {x=0y=0

OSSERVAZIONEPurtroppo, come accade un po' ovunque, anche nell'ambiente della matematica a volte ci si lasciaandare a degli “abusi di linguaggio” e quindi in molti testi vengono detti omogenei anche sistemi

del tipo {a 1 x2+b1 x y+c1 y2=d 1

a2 x2+b2 x y+c2 y2=d 2

con d 1≠0∨d 2≠0 .

In realtà sono omogenei solo i polinomi che stanno a sinistra del simbolo uguale e non le equazioni,visto che i termini noti sono monomi di grado 0.Inoltre c'è anche il rischio di confondersi: perché per quanto riguarda i sistemi detti impropriamente





“omogenei” non vale l'osservazione precedente.[pag.409 vol.Algebra 2]

OSSERVAZIONE (metodo di risoluzione)Per i sistemi (veramente) omogenei potremmo impostare un metodo di risoluzione.

{a1 x 2+b1 x y+c1 y 2=0

a2 x2+b2 x y+c2 y2=0

Come si è osservato in precedenza una soluzione è {x=0y=0

.

Cerchiamo dunque le soluzioni con x≠0∨y≠0 anzi, se ci fate caso, non esistono soluzioni incui soltanto uno dei due valori è nullo: o lo sono entrambi o non lo è nessuno dei due.

Dunque cerchiamo soluzioni del tipo x≠0∧y≠0Consideriamo la y come parametro e la x come incognita, da questo punto di vista abbiamo a chefare con due equazioni di secondo grado (rispetto ad x)! Per ciascuna di questa equazione potremocalcolare il discriminante:

Δ1=(b1 y)2−4 a1 c1 y2=(b1−4 a1 c1) y2

Δ2=(b2 y)2−4 a2 c2 y 2=(b2−4 a2 c2) y2 .

Si osservi che il segno di questo discriminante dipende esclusivamente dai coefficienti. Se uno solodei due discriminanti è negativo allora mi fermo: l'unica soluzione è quella con due zeri. Anche nelcaso in cui entrambi i discriminanti sono nulli, allora l'unica soluzione è quella con due zeri.

Altrimenti continuiamo ricavandoci i possibili valori di x in funzione di y, supponendo che entrambii discriminanti non siano nulli:

p1( y);q1( y) per la prima equazione; p2( y); q2( y) per la seconda equazione.

A questo punto risolviamo i seguenti sistemi:

{x= p1( y)x= p2( y)

∨{x= p1( y)

x=q2( y)∨{x=q1( y)

x= p1( y)∨{x=q1( y)

x=q2( y)

Da questi quattro sistemi ricaveremo le soluzioni del sistema (fra le quali anche quella banale condue zeri). Ovviamente se uno dei due discriminanti è nullo i sistemi diventano soltanto due.[pag.428 vol.Algebra 2]

ESERCIZI n.1,2 pag.413 (vero/falso)1a_Le equazioni di un sistema di secondo grado sono tutte di secondo grado.Falsissimo, per esempio un sistema con due equazioni di secondo grado è di quarto grado, visto cheper determinare il grado di un sistema occorre calcolare il prodotto dei gradi delle singoleequazioni.

1b.L’equazione risolvente di un sistema di secondo grado può essere di primo grado.Vero. [pag.405 del vol.Algebra 2]

1c.Se un sistema di secondo grado ha una sola soluzione, allora questa è sempre una soluzionedoppia.Falso. Se l'equazione risolvente è di primo grado, ottengo una soluzione unica in tutti i sensi.





1d.Un sistema di secondo grado può essere impossibileVero, per esempio

{x2+x+1=0

y 2+ y+2=0

2a_Il grado di un sistema è la somma dei gradi delle sue equazioni.Falsissimo, bisogna calcolare il prodotto.

2b_Il seguente sistema è di quarto grado:

{x2+ y=5 x y3

x+ y=4Vero, per ingannarci il sistema non è stato scritto in forma canonica, ovvero in questa forma:

{x2+ y−5 x y3

=0x+ y−4=0

In questa forma vediamo meglio che la prima equazione è di quarto grado e la seconda è di primo, equindi il sistema è di quarto grado, essendo 4 il prodotto di 4 e 1.

2c_Il seguente sistema è indeterminato.

{( x+y)2−2 x y=x 2+y 2

(xy)−1

=yx

Ovviamente vero: entrambe le equazioni sono delle identità, la prima grazie al prodotto notevoledel quadrato del trinomio, la seconda per definizione di potenza con esponente negativo.

2d_La terna (0,0,0) è soluzione del seguente sistema:

{x2+ y2+z2=0x+y=0x z−1

=0Falso. L'inganno sta nell'ultima equazione dove la variabile z è elevata a -1 e quindi non può essereuguale a 0.

ESERCIZIO n.7 pag.415Risolvere il seguente sistema.

{ y−2 x=02 x 2− y2+3 x=3( y−9)

Risolvo la prima equazione (quella facile) rispetto a y (nel modo più facile).

{ y=2 x2 x 2− y2+3 x=3( y−9)

Poi sostituisco la y nella seconda equazione.

{ y=2 x2 x 2−(2 x)2+3 x=3(2 x−9)

Adesso lavoro sulla seconda equazione per portarla in forma canonica.





{ y=2 x2 x 2−4 x2+3 x=6 x−27 { y=2 x

−2 x2−3 x+27=0 { y=2 x2 x 2+3 x−27=0

Possiamo risolvere la seconda equazione utilizzando la formula risolutiva.

x=−3±√9+216

4=

−3±√2254

=−3±15

4Quindi x=−

92∨x=3 .

Riprendendo la prima equazione possiamo finalmente scrivere le due soluzioni richieste:

{x=−92

y=−9

∨{x=3y=6

ESERCIZIO n.8 pag.415Risolvere il seguente sistema:

{x( x+2 y)=04 x−y=18

Cominciamo dalla seconda equazione, la più facile, risolvendola rispetto a y, nel modo più facile.

{x( x+2 y)=04 x−18= y

Poi sostituiamo la y nella prima equazione:

{x( x+2(4 x−18))=0y=4 x−18

Adesso lavoriamo sulla prima equazione per portarla alla forma canonica:

{x( x+8 x−36)=0y=4 x−18 {x(9 x−36)=0

y=4 x−18 {9 x 2−36 x=0

y=4 x−18Risolviamo la prima equazione, è una spuria e quindi possiamo risolverla semplicemente tornandoal passaggio precedente, dove la x è raccolta fuori di parentesi. Le soluzioni della prima equazionesono: x=0∨x=4 .Sostituendo questi valori nella seconda equazione determiniamo le soluzioni richieste:

{ x=0y=−18

∨{ x=4y=−2


{ 2 x−y=0( x−y)2=4+x y

Risolviamo la prima equazione, quella più facile, rispetto ad y, nel modo più facile.

{ y=2 x( x−y)2=4+x y

Poi sostituisco la y nella seconda equazione.

{ y=2 x( x−2 x)2=4+x(2 x)

Lavoriamo sulla seconda equazione per portarla ad una forma canonica:





{ y=2 x(−x)2=4+2 x2 { y=2 x

x2=4+2 x2 { y=2 xx2+4=0

Siamo riusciti a portare la seconda equazione alla forma canonica, ma ci rendiamo subito conto chetale equazione non ha alcuna soluzione, di conseguenza il sistema stesso non ha alcuna soluzione o,per meglio dire, è impossibile.


{ x+ y=8x2−( y 2+16)=16

Risolviamo la prima equazione, quella più facile. In questo caso, la scelta dell'incognita rispetto allaquale risolvere la prima equazione è irrilevante rispetto alla facilità di calcolo, scegliamo dirisolvere rispetto ad x perché risulta leggermente più comodo nella sostituzione che verrà dopo.

{ x=8−yx2−( y 2+16)=16

Adesso sostituiamo la x nella seconda equazione:

{ x=8−y(8−y)2−( y2+16)=16

Lavoriamo sulla seconda equazione per portarla alla forma canonica:

{ x=8−y64−16 y+ y2−y2−16=16 { x=8−y

32−16 y=0La cosiddetta “equazione risolvente” è di primo grado, dunque abbiamo soltanto una soluzione perla y e di conseguenza abbiamo una sola soluzione per il sistema:

{x=6y=2


{2 x+ y+7=04 x2=( y+7)2

Risolviamo la prima equazione, quella più facile, rispetto a y, il modo più facile.

{2 x+ y+7=04 x2=( y+7)2

Sostituiamo la y nella seconda equazione:

{ y=−2 x−74 x2=(−2 x−7+7)2

Lavoriamo sulla seconda equazione per portarla alla forma canonica:

{ y=−2 x−74 x2=(−2 x)2 {y=−2 x−7

4 x2=4 x 2

La seconda equazione risulta essere un'identità e quindi qualunque valore assunto dalla x èsoluzione, in altre parole la seconda equazione è indeterminata e di conseguenza anche il sistema èindeterminato.






{( x+y)(x+1)=2(1−x)−51+2[ x−(1−y+x)]=1

Il sistema a prima vista appare piuttosto intricato, però ad osservare bene, la scelta più semplice èquella di risolvere rispetto a y la seconda equazione e poi sostituire nella prima.

{( x+y)( x+1)=2(1−x)−51+2 [ x−1+ y−x ]=1 {( x+y)( x+1)=2(1−x)−5

1−2+2 y=1

{( x+y)( x+1)=2(1−x)−52 y=2 {( x+y)( x+1)=2(1−x)−5

y=1Come spesso succede con gli esercizi dei libri le cose si sono aggiustate quasi da sole, adessosostituiamo il valore trovato per la y nella prima equazione:

{( x+1)(x+1)=2(1−x)−5y=1 {x2

+2 x+1=2−2 x−5y=1 {x2

+4 x+4=0y=1

{( x+2)2=0

y=1Ovviamente la prima equazione ha soluzione (doppia) x=−2 e dunque la soluzione del sistema

è {x=−2y=1

OSSERVAZIONESe la tradizione di chiamare “soluzione doppia” o “soluzioni coincidenti” il valore x=−2 perl'equazione x 2+4 x+4=0 ha senso se si pensa alla fattorizzazione (x+2)(x+2)=0 , talemodo di esprimersi perde senso nel contesto dei sistemi di grado superiore. Questa è onestamenteuna mia opinione personale, sul libro invece si vuole sottolineare come la soluzione sia “doppia”scrivendola per due volte.


{2 x y+ y2+x−4=0

3 x+2 y+1=0

La scelta dell'incognita da cui cominciare la nostra risoluzione è irrilevante, le difficoltà sonosostanzialmente le stesse, io scelgo di cominciare da x soltanto perché così non devo elevare alquadrato nel passaggio successivo (dunque è più una scelta pigra che una scelta tattica).

Risolvo la seconda equazione rispetto ad x:

{2 x y+ y2+x−4=0

x=−2 y−1 {2 x y+ y2

+x−4=0

x=−2 y−1

3





Poi sostituisco la x nella prima equazione e ci lavoro:

{−2(2 y+1

3) y+ y2−

2 y+13

−4=0

x=−2 y+1

3{−

43

y2−23

y+ y2−23

y−13−4=0

x=−2 y+1

3

{−43

y2−23

y+ y2−23

y−13−4=0

x=−2 y+1

3{−

13

y2−43

y−133

=0

x=−2 y+1

3{

y 2+4 y+13=0

x=−2 y+1

3

Adesso dovremmo risolvere l'equazione di secondo grado in y, ma è piuttosto evidente che ildiscriminante sia nullo. Infatti: Δ=42−4×13=16−52<0Dunque l'equazione è impossibile e dunque il sistema è impossibile.

ESERCIZIO n.38 pag.417Risolvere il seguente sistema

{x+3 y=5xy−

yx=

32

In questo caso troviamo le incognite anche come denominatori, dunque dobbiamo porre dellecondizioni di esistenza:

x≠0∨y≠0Fatto questo, lavoriamo sulla seconda equazione per trasformarla in un'equazione senzadenominatori:

{x+3 y=5x 2− y2

x y=

32 {

x+3 y=5

x2−y2=32

x y

A questo punto possiamo risolvere la prima equazione rispetto ad x ed effettuare la sostituzionenella seconda:

{x=5−3 y

x2−y2=32

x y {x=5−3 y

(5−3 y)2− y2=32(5−3 y) y

{x=5−3 y

25−30 y+9 y2−y2=152

y−92

y2 {x=5−3 y

25−30 y+9 y2−y2−152

y+92

y2=0

{x=5−3 y

252

y 2−752

y+25=0 { x=5−3 yy 2−3 y+2=0

Non c'è bisogno della formula risolutiva per osservare che le soluzioni della seconda equazionesono y=1∨y=2 , che rispettano le condizioni di esistenza.Dunque le soluzioni del sistema sono:





{x=2y=1

∨{x=−1y=2

che rispettano le condizioni di esistenza.


{y−2 x=−1

1−x1−y

=2

1+2 y

Poniamo le condizioni di esistenza: y≠1∧y≠−12

Lavoriamo sulla seconda equazione per togliere le incognite dai denominatori:

{ y−2 x=−1(1−x)(1+2 y)=2(1− y) { y−2 x=−1

1−x+2 y−2 x y=2−2 y

{ y−2 x=−11−x+2 y−2 x y−2+2 y=0 { y−2 x=−1

4 y−1−x−2 x y=0

Risolviamo la prima equazione rispetto ad y e sostituiamo nella seconda:

{ y=2 x−14 y−1−x−2 x y=0 { y=2 x−1

4(2 x−1)−1−x−2 x (2 x−1)=0

{ y=2 x−18 x−4−1−x−4 x2+2 x=0 { y=2 x−1

−4 x2+9 x−5=0 { y=2 x−14 x2−9 x+5=0

Risolviamo la seconda equazione utilizzando la formula risolutiva:

x=9±√81−80

8=

9±18

e dunque x=54∨x=1 da cui le possibili soluzioni del sistema:

{y=32

x=54

∨{y=1x=1

ma la seconda proposta non rispetta le condizioni di esistenza, dunque l'unica

soluzione del sistema è {y=32

x=54






{1

x−3−

1y−1

=13

y+1x+3

=1

Poniamo le condizioni di esistenza: x≠3∧x≠−3∧ y≠1

Lavoriamo su entrambe le equazioni per togliere le incognite dai denominatori:

{y−1−x+3

( x−3)( y−1)=

13

y+1=x+3 {y−x+2=( x−3)( y−1)

3y+1=x+3

{3( y−x+2)=(x−3)( y−1)y+1=x+3

Già che c'ero, ho tolto anche il 3 dal denominatore, sperando di fare i calcoli con più comodità. Èabbastanza indifferente scegliere se risolvere la seconda equazione rispetto ad x o ad y, risolviamorispetto ad y e sostituiamo nella prima.

{3( y−x+2)=(x−3)( y−1)y=x+2 {3(x+2−x+2)=( x−3)(x+2−1)

y=x+2

{12=( x−3)( x+1)y=x+2 {12=x2

−2 x−3y=x+2 {x2

−2 x−15=0y=x+2

Non c'è bisogno della formula risolutiva per capire che le soluzioni della prima equazione sonox=5∨x=−3 ma di queste soltanto x=5 soddisfa le condizioni di esistenza. Dunque la

soluzione del sistema è {x=5y=7

che soddisfa le condizioni di esistenza.

ESERCIZIO n.52 pag.418Risolvere il seguente sistema, al variare del parametro a:

{x y=43

a2

x=3 y

Non c'è nulla di veramente nuovo. Facciamo finta che a sia noto e procediamo come al solito, laseconda equazione è già pronta per permetterci di sostituire la x nella prima equazione.

{(3 y) y=43

a2

x=3 y {3 y2=

43

a2

x=3 y {y 2=

49

a 2

x=3 y

Le soluzioni della prima equazione sono y=23

a∨y=−23

a di conseguenza le soluzioni del

sistema sono





{y=23

a

x=2 a

∨{y=−23

a

x=−2a

ESERCIZIO n.57 pag.419Risolvere il seguente sistema al variare del parametro a.

{x 2

a 2+y

2 a=2

x+ y=3aCominciamo col porre delle condizioni di esistenza sul parametro: a≠0 . Quindi possiamosubito affermare che per a=0 il sistema non ha senso.

Passiamo ora alla ricerca delle soluzioni. Forse la via più facile per applicare la sostituzione èesplicitare la y nella seconda equazione e sostituirla nella prima:

{x 2

a 2+y

2 a=2

y=3 a−x {x 2

a2+3 a−x

2 a=2

y=3 a−x {x 2

a2+3 a2 a

−x

2 a−2=0

y=3a−x {x2

a2−x

2 a−

12=0

y=3a−x

Per rendere più comoda la risoluzione della prima equazione moltiplichiamo tutto per 2 a2 :

{2 x 2−a x−a2

=0y=3a−x

(Tale passaggio è valido a prescindere dal segno di a)

Adesso applichiamo la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado:

x=a±√a2+8 a2

4=

a±√9 a2

4=

a±3∣a∣4

Possiamo anche togliere il valore assoluto, visto che

qualunque sia il segno di a, otterremo comunque le seguenti scelte per la x: x=a∨x=−12

a

Dunque le soluzioni richieste sono:

{ x=ay=2 a

∨{x=−12

a

y=72

apurché a≠0

ESERCIZIO n.60 pag.419Risolvere il seguente sistema al variare del parametro b.

{2 x−y

b=1

2by+2 b

−b

x− y=

y2−4 x2

x y+2 b x−y2−2b y

La questione delle condizioni di esistenza è piuttosto complicata:sicuramente deve essere b≠0 e quindi possiamo già dire che per b=0 il sistema non hasenso.





Deve essere anche y≠−2b e questo lo verificheremo al termine della risoluzione.Anche la condizione x≠y la verificheremo alla fine.La cosa più difficile da imporre è che x y+2b x− y2−2b y≠0 , destreggiandoci col calcololetterale possiamo però osservare che: x y+2b x− y2−2b y=( x−y) y+2 b( x−y)=(x−y)( y+2b)(Anche incoraggiati dal fatto che negli esercizi dei libri va spesso a finire così).In definitiva, le condizioni già poste in precedenza mi garantiscono che anche il denominatore piùcomplicato sia diverso da zero. Inoltre sarà più comodo utilizzare questa forma fattorizzata anchenella risoluzione del sistema.

Possiamo finalmente cominciare a risolvere il sistema: credo che la via più semplice sia ricavare lay dalla prima equazione e poi sostituirla nella seconda:

{y=2 x−b

2b2 x−b+2b

−b

x−2 x+b=

(2 x−b)2−4 x2

( x−2 x+b)(2 x−b+2 b)

{y=2 x−b

2b2 x+b

−b

b−x=

4 x 2−4 b x+b2−4 x2

(b−x)(2 x+b)

Si osservi che non dobbiamo preoccuparci del fatto che potrebbe essere x=b , tale situazione ègià esclusa dalla condizione x≠y visto che se per assurdo fosse x=b allora sarebbe anche

y=2 b−b=b .Allo stesso modo siamo sicuri che 2 x+b≠0 grazie alla condizione y≠−2b . Infatti se per

assurdo fosse 2 x+b=0 ovvero x=−b2

allora sarebbe anche y=2(−b2)−b=−2b .

Passiamo tranquillamente al comune denominatore:

{y=2 x−b

2 b(b−x)−b(2 x+b)

(b−x)(2 x+b)=

−4 b x+b2

(b−x)(2 x+b)A questo punto (sempre parlando della seconda equazione) possiamo anche sbarazzarci deldenominatore, visto che l'uguaglianza dipende soltanto dal numeratore:

{ y=2 x−b2b2−2b x−2b x−b2=−4 b x+b2 {y=2 x−b

0=0

Colpo di scena! Abbiamo un'identità come seconda equazione, dunque il sistema è quasi sempreindeterminato, dobbiamo comunque riprendere in considerazioni le condizioni di esistenza e farscorrere il parametro.

Avevamo già osservato che con b=0 il sistema non ha senso. Negli altri casi le soluzioni sono le

infinite coppie: {y=2 x−b∧y≠−2bx≠y

, per farla breve possiamo semplicemente dire che è

indeterminato.





ESERCIZIO n.61 pag.419Risolvere il seguente sistema al variare del parametro a:

{x2−y(2 y+x−5 a)=a(2 a+x)1

x+2=

1y−2

Per fortuna risulta piuttosto facile porre le condizioni di esistenza: x≠−2∧ y≠2 .In compenso è più difficile capire da dove cominciare, con un po' di furbizia potremmo riscrivere ilsistema in questo modo:

{x2−y(2 y+x−5 a)=a(2 a+x)

x+2= y−2in fin dei conti l'uguaglianza continua a valere anche

passando ai rispettivi reciproci. Diventa così più facile sostituire una delle due incognite, ledifficoltà mi sembrano equivalenti cominciando dall'uno piuttosto che dall'altra, senza un motivoparticolare comincio esplicitando la y nella seconda equazione e sostituendola nella prima:

{x2−y(2 y+x−5 a)=a(2 a+x)

y=x+4 {x2−(x+4)(2( x+4)+x−5 a)=a(2 a+x)

y=x+4

{x2−2 x2

−16 x−32−x2−4 x+5 a x+20a=2 a 2

+a xy=x+4

{−2 x2−20 x+4 a x−32+20 a−2a 2

=0y=x+4 {x2

+10 x−2 a x+16−10 a+a2=0

y=x+4

{x2+10 x−2 a x+16−10 a+a2

=0y=x+4

Ho anche manipolato la prima equazione per renderla

più comoda. Adesso è il momento di applicare la formula risolutiva delle equazioni di secondogrado:

x=2 a−10±√100−40 a+4 a2−64+40 a−4 a 2

2=

2 a−10±√362

=2a−10±6

2Come

succede spesso negli esercizi dei libri, sotto radici abbiamo il quadrato di un intero. Dunque lescelte possibile per la x sono: x=a−2∨x=a−8 da cui le soluzioni del sistema in funzione dia:

{x=a−2y=a+2

∨{x=a−8y=a−4

Queste soluzioni sono valide purché a≠0∧a≠6 , per questi valori

del parametro infatti non rispetteremmo le condizioni di esistenza. Per a=0∨a=6 il sistema èimpossibile.


{2 x+ y−z=1x−y+ z=5x2+z2=8

Affrontiamo adesso un sistema di tre equazioni in tre incognite di secondo grado. Concettualmentenon cambia niente, è soltanto un po' più scomodo e un po' più noioso.Visto che due delle tre equazioni sono di primo grado, potremmo utilizzare anche qualcosa chesappiamo sui sistemi lineari, per esempio potremmo utilizzare il metodo di riduzione per





trasformare il sistema in qualcosa di più comodo:

{3 x=6

x−y+ z=5x2+z2=8

Sostituendo la prima equazione con la somma della prima e la seconda, si può ricavareimmediatamente il valore di x.

{x=2

2−y+z=54+z 2=8

A cascata troviamo immediatamente due possibili valori per z.

{x=2

−y+ z=3z=2∨z=−2 {

x=2y=z−3

z=2∨z=−2Da cui ricaviamo le due soluzioni del sistema:

{x=2

y=−1z=2

∨{x=2

y=−5z=−2


{x+y+2 z=3

x−2 y−z=−24x2+ y2+z 2=126

Come abbiamo fatto nell'esercizio precedente, potremmo utilizzare il principio di riduzione pereliminare una delle incognite in una equazione, per esempio potremmo sostituire la prima equazionecon lei stessa meno la seconda:

{3 y+3 z=27

x−2 y−z=−24x2+ y2+z 2=126

Anche la seconda potrebbe essere sostituita da lei stesso più due volte la (vecchia) prima:

{3 y+3 z=27

3 x+3 z=−18x2+ y2+z 2=126 {

y+z=9x+ z=−6

x2+ y2+ z 2=126

Così facendo posso ricavarmi facilmente sia la x che la y in funzione di z:

{y=9−z

x=−6−zx2+ y2+z 2=126

A questo punto sostituiamo nella terza equazione:





{y=9−z

x=−6− z(−6−z)2+(9−z)2+ z2=126 {

y=9−zx=−6−z

36+12 z+ z2+81−18 z+z2+ z2−126=0

{y=9−z

x=−6−z3 z2−6 z−9=0 {

y=9−zx=−6−z

z2−2 z−3=0Non c'è bisogno della formula risolutiva, si osserva facilmente che

3+(−1)=23×(−1)=−3

Quindi le soluzioni dell'equazione di secondo grado in z sono z=−1∨z=3Dunque le soluzioni del sistema sono:

{y=10x=−5z=−1

∨{y=6

x=−9z=3

ESERCIZIO n.71 pag.421Risolvere il seguente sistema al variare del parametro a.

{x+2 y+z=5 a−x+y−z=a

x z−y z−x y=−2 a2

Sempre più difficile! Adesso abbiamo un sistema con tre equazioni e tre incognite e pure unparametro. Ma abbiamo già lavorato coi parametri e sappiamo che in un certo senso dobbiamo “farefinta” che siano numeri noti.Quindi, come già fatto prima posso lavorare sulle due equazioni di primo grado per semplificarmi illavoro, per esempio sostituendo la prima con la prima più la seconda e sostituendo la seconda con laprima meno due volte la seconda.

{3 y=6 a

3 x+3 z=3 ax z−y z−x y=−2 a2 {

y=2 ax+z=a

x z−y z−x y=−2 a2 {y=2 a

z=a−xx z−y z−x y=−2 a2

Le cose sono andate molto bene, perché abbiamo y in funzione soltanto del parametro a e possoricavare z in funzione di x (o viceversa se preferite). A questo punto posso sostituire nella terzaequazione:

{y=2 a

z=a−xx(a−x)−2 a(a−x)−2 a x=−2 a2 {

y=2 az=a−x

a x−x 2−2 a2+2a x−2 a x+2a2=0

{y=2 a

z=a−x−x 2+a x=0 {

y=2 az=a−x

x(a−x)=0

Non c'è bisogno della formula risolutiva per determinare le soluzioni dell'equazione di secondo





grado, che sono x=0∨x=a .Abbiamo così le soluzioni del sistema al variare di a:

{x=0

y=2 az=a

∨{x=a

y=2 az=0

ESERCIZIO n.72 pag.421Risolvi il seguente sistema:

{x+y+ z=0x+ y−z=a

4(x 2−y 2)=a(a−4)

Si osservi che nella terza equazione, che poi è quella di secondo grado, non compare z. In effettitutto quello che c'è da sapere su z lo scopriamo subito applicando il principio di riduzione:sostituiamo la prima equazione con la prima meno la seconda:

{2 z=−a

x+ y−z=a4(x 2−y 2)=a(a−4)

ovvero { z=−a2

x+ y−z=a4( x2−y 2)=a(a−4)

Sostituiamo z nella seconda equazione e poi esplicitiamo la y (ma se vi piaceva di più potevateanche esplicitare la x, le difficoltà sono le stesse):

{z=−

a2

x+ y−(−a2)=a

4( x2−y2)=a(a−4){

z=−a2

y=a2−x

4( x2−y2)=a(a−4)A questo punto sostituiamo la y nella terza equazione e poi ci lavoriamo:

{z=−

a2

y=a2−x

4( x2−(a2−x)

2

)=a(a−4) {z=−

a2

y=a2−x

4( x2−a2

4+a x−x2)=a(a−4)

{z=−

a2

y=a2−x

4 a x−a2=a2−4 a {z=−

a2

y=a2−x

a x=2 a2−4 a

4

Prima di proseguire con i nostri calcoli osserviamo che nel caso in cui sia a=0 la terza





equazione sarebbe un'identità e quindi il sistema sarebbe indeterminato con infinite soluzioni deltipo:

{x∈ℝ

y=−xz=0

Se invece a≠0 possiamo proseguire applicando il secondo principio di equivalenza:

{z=−

a2

y=a2−x

x=2a2−4 a

4 a

ovvero {z=−

a2

y=a2−x

x=a−2

2

ovvero {z=−

a2

y=a2−(

a2−1)

x=a−2

2

ovvero {z=−

a2

y=1

x= a−22

ESERCIZIO n.77 pag.422Risolvi il seguente sistema

{ x2+ y2

−10 y+30=03 x2+3 y2−10 x−10=0

Si tratta di un sistema di quarto grado, come ce la possiamo cavare? Applicando la formularisolutiva delle equazioni di secondo grado potrei ricavare un'incognita in funzione dell'altra, macon un'espressione decisamente molto scomodo, e pure col fastidio nel suddividere nei due casi“più” e “meno”... boh?Utilizziamo in modo furbo il metodo di riduzione: sostituiamo la prima equazione con la secondameno tre volte la prima:

{−10 x−10+30 y−90=03 x 2+3 y2−10 x−10=0

ovvero { −10 x+30 y−100=03 x2+3 y 2−10 x−10=0

In questo modo possiamo ricavare facilmente la x in funzione della y:

{ 10 x=30 y−1003 x2+3 y2−10 x−10=0

ovvero { x=3 y−103 x2+3 y2−10 x−10=0

Per poi sostituire nella seconda equazione e lavorarci:

{ x=3 y−103(3 y−10)2+3 y2−10(3 y−10)−10=0

{ x=3 y−103(3 y−10)2+3 y2−10(3 y−10)−10=0

{ x=3 y−1027 y2−180 y+300+3 y 2−30 y+100−10=0 { x=3 y−10

30 y 2−150 y+390=0Disgraziatamente il determinante della seconda equazione è negativo:

Δ=1502−4×30×390=−24300Dunque la seconda equazione è impossibile e di conseguenza lo è anche il sistema.






{x+z=2

x2+ y2+z2=24x2

−y2−z2

=8Possiamo essere molto furbi e utilizzare il metodo di riduzione per sostituire la seconda equazionecon la somma della seconda e della terza e poi anche sostituire la terza con la seconda meno laterza.

{x+z=22 x2=32

2 y 2+2 z2

=16ovvero {

x+ z=2x2=16

y 2+ z2

=8La seconda equazione ci dà due strade da seguire: x=4∨x=−4 . Cominciamo dalla prima:

{4+z=2

x=4y2+ z2=8

ovvero {z=−2x=4

y 2+(−2)2=8ovvero {

z=−2x=4

y2+4=8ovvero {

z=−2x=4y2=4

con due possibili scelte: y=2∨y=−2Vediamo dove ci porta la seconda strada:

{−4+ z=2

x=−4y2+ z 2=8

ovvero {z=6

x=−4y2+62=8

ovvero {z=6

x=−4y2+36=8

ovvero {z=6

x=−4y2=−28

Questa strada non ci ha portato a nulla: il sistema risulta impossibile.

Ricapitolando, abbiamo trovato due soluzioni:

{z=−2x=4y=2

∨{z=−2x=4

y=−2

ESERCIZIO n.88 pag.424Risolvi il seguente sistema simmetrico, di secondo grado, numerico.

{x+ y=9x y=18

Vi ricordate delle equazioni di secondo grado e del discorso somma/prodotto?Praticamente la soluzione di questo sistema è la coppia di valori soluzioni dell'equazione di secondogrado: x 2−9 x+18=0La risolviamo facilmente con l'intuizione: x=3∨x=6 (Se l'intuizione non dovesse arrivare, c'è

sempre la formula risolutiva). Dunque, le due soluzioni richieste sono: {x=3y=6

∨{x=6y=3






{2 x+2 y=13 x y=1

Per applicare la proprietà del somma/prodotto delle soluzioni di un'equazione di secondo grado,occorre scrivere il sistema nella forma standard:

{x+ y=12

x y=13

Dunque dobbiamo risolvere l'equazione di secondo grado: x 2−12

x+13=0 . L'intuizione i

questo caso ci aiuta poco, dobbiamo ricorrere alla formula risolutiva, ma prima riscriviamol'equazione in una forma più comoda (moltiplicando tutto per 6):

6 x2−3 x+2=0In questa forma ci salta subito all'occhio che il discriminante è negativo: Δ=9−4×6×2=−39Dunque il sistema non ha soluzioni, è impossibile.


{ x+y=6x2+ y2=10

La cosa più spontanea che si può fare è esplicitare una qualsiasi delle due incognite nella primaequazione e sostituirla nella seconda (ovviamente è indifferente la scelta dell'incognita da cuicominciare, visto che il sistema è simmetrico).

{ y=6−xx2+(6−x)2=10

ovvero { y=6−xx2+36−12 x+x 2=10

ovvero { y=6−x2 x 2−12 x+26=0

ovvero { y=6−xx2−6 x+13=0

La seconda equazione ha il discriminante negativo: Δ=36−4×13=−16 .Dunque il sistema è impossibile.


{x2+ y2

=30x+ y=4√3

Esplicitiamo la y nella seconda equazione e sostituiamola nella prima:





{x2+ y2

=30x+ y=4√3

e ci lavoriamo: {x2+48−8√3 x+x2

=30y=4√3−x

ovvero

{2 x 2−8√3 x+18=0y=4√3−x

ovvero: {x2−4√3 x+9=0y=4√3−x

L'intuizione (sempre per il discordo somma/prodotto) ci può aiutare per determinarex=√3∨x=3√3 .

Mi rendo conto che, essendoci di mezzo i radicali, tale intuizione può anche non arrivare, ma c'èsempre la formula risolutiva:

x=4√3±√48−36

2=

4√3±√122

=4√3±2√3

2da cui le due soluzioni intuite sopra.

A questo punto siamo in grado di scrivere le soluzioni del sistema:

{ x=√3y=3√3

∨{x=3√3y=√3


{3 x+3 y+2=0

x2+ y2+x y=79

Questo sistema si presta ad un furbo giochetto, anziché ricavare una delle due incognite, ricaviamola loro somma dalla prima equazione. Nella seconda equazione invece facciamo una cosa un po'strana:

{ x+y=−23

x2+ y2+2 x y=79+x y

ovvero { x+ y=−23

( x+ y)2=79+x y

Possiamo così sostituire la somma x+y nella seconda equazione:

{ x+ y=−23

(−23)

2

=79+x y

ovvero {x+ y=−23

49=

79+x y

ovvero {x+ y=−23

x y=−13

Da cui la cosiddetta “equazione risolvente”: x 2+23

x−13=0 che possiamo risolvere

intuitivamente: x=−1∨x=13

.

Ma mi rendo conto che l'intuizione non sempre arriva, se non arriva ci predisponiamo ad applicarela formula risolutiva, magari mettendoci comodi: 3 x2+2 x−1=0 e poi andiamo avanti con laformula risolutiva:





x=−2±√4+12

6=

−2±√166

=−2±4

6da cui le soluzioni intuite sopra.

Concludendo, le soluzioni del sistema sono:

{x=−1

y= 13

∨{ x=13

y=−1

ESERCIZIO n.112 pag.427Risolvi il seguente sistema

{x2+ y2

=29x y=−10

Riconosciamo che è un sistema omogeneo di secondo grado, dunque cerchiamo di ricondurci inqualche modo alla forma standard (con informazioni su somma e prodotto), il prodotto c'è già, macome somma abbiamo quella dei quadrati, occorre una mossa furba:

{x2+ y2

+2 x y=29+2 x yx y=−10

ovvero {( x+y)2=29+2 x y

x y=−10A questo punto, visto che grazie alla seconda equazione conosco il prodotto xy, posso sostituirlonella prima equazione:

{( x+y)2=29+2(−10)

x y=−10ovvero {( x+y)

2=29−20

x y=−10ovvero {( x+y)

2=9

x y=−10.

A questo punto ho due strade da percorrere, la prima:

{ x+y=3x y=−10

da cui l'equazione risolvente: x 2+3 x−10=0 per la quale si possono intuire le

due soluzioni x=2∨x=−5 (se non si intuiscono c'è sempre la formula risolutiva).La seconda strada da percorrere:

{x+ y=−3x y=−10

da cui l'equazione risolvente: x 2−3 x−10 per la quale (come sopra) si possono

intuire le due soluzioni x=−2∨x=5 (e se non si intuiscono... ci siamo capiti).Concludendo le soluzioni del sistema richieste sono:

{ x=2y=−5

∨{x=−5y=2

∨{x=−2y=5

∨{ x=5y=−2


{ x 2+ y2

=1x+ y+x y=1

La nostra mossa furba ormai l'abbiamo imparata bene:

{x2+ y2

+2 x y=1+2 x yx+y+x y=1

ovvero {( x+y)2=1+2 x y

x+ y+x y=1ovvero





{( x+y)2−2 x y−1=0

x+ y+x y−1=0

Adesso però occorre un'altra mossa furba (inedita). Potremmo applicare il principio di riduzione esostituire la prima equazione con la prima più due volte la seconda:

{( x+y)2+2( x+y)−3=0

x+y+x y−1=0Si osservi che la prima equazione, se la vedo come equazione di secondo grado con incognita

t=x+ y posso risolverla intuitivamente (o con la formula risolutiva) ottenendox+y=1∨x+ y=−3 .

Abbiamo dunque due strade da percorrere, la prima:

{ x+ y=11+x y−1=0

ovvero {x+ y=1x y=0

con soluzioni ovvie.

La seconda:

{ x+ y=−3−3+x y−1=0

ovvero {x+ y=−3x y=4

che ci porta all'equazione risolvente:

x 2+3 x+4=0 che però ha il discriminante Δ=9−16=−7<0

Concludendo, le soluzioni richieste sono:

{x=1y=0

∨{x=0y=1

, n.127,129 pag.428; n.192,193 pag.434; n.195,205 pag.435




QUADERNO 2 E – 2 F – 2019/2020 · 2020. 4. 30. · Il metodo di Cramer non potrà essere esteso...

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