MODELLO QUANTOMECCANICOAD UN NUMERO FINITO DI LIVELLI

PER L’ORACOLO QUANTISTICO OQ-ORACOLO

Universita’ degli studi di Napoli Federico IIFacoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e NaturaliCorso di Laurea in Fisica

CandidatoLuigi Cimmino

RelatoreProf. Giuseppe MarmoCorrelatoreProf. Giuseppe Trautteur

A. A. 2008 / 09

Premesse ed Organizzazione del Lavoro

Oracolo e Calcolabilità Relativizzata Potenza e Limiti del Quantum Computing Logica della Selezione di Stati Quantistici Teletrasporto di Stati Quantistici e Misura Q-Sistema Applicazione all’Algoritmo di Shor

Oracolo e Calcolabilita’ relativizzata

Un oracolo è una entità arbitraria, associata ad un insieme numerico A, capace di rispondere

si o no istananeamente e con certezza a domande del tipo

Il numero n appatiene ad A?

Oracolo e Calcolabilita’ relativizzata

Nel contesto della Macchina di Turing (MT), l’oracolo O è un sistema caratterizzato da ingressi ed uscite discreti, ma i cui organi interni non sono necessariamente della stessa natura.

La MT interroga l’oracolo O ed attende una risposta per procedere il calcolo

Funzione Caratteistica dell’Insieme A

Quantum Computing Il più piccolo elemento di informazione è il qubit

Un registro quantistico n-dimensionale è il prodotto tensore di n spazi di Hilbert bidimensionali ed è un sistema 2n-dimensionale

L’azione di un operatore unitario sul singolo qubit, è ottenuta mediante l’ applicazione della matrice rappresentativa

Quantum Computing L’azione di un operatore su di un registro n-dimensionale

avviene per applicazione della matrice rappresentativa

Porte Logiche Quantistiche

Universalità

L’algoritmo di ShorLa fattorizzazione di un numero intero N avviene attraverso la ricerca del numero r tale che ar ≡ 1 mod N, con gcd(a,N)=1.

Si opera la QFT Sul primo registro

Si calcola la funzione restoan (mod N) mediante Uf

QFT, n = br + ke si misura il primo registro

t0 è misurato, q lo si conosce si cerca la frazione x/r che minimizza |t0 /q – x /r| tale che x r (mod N)

Simulando l’Algoritmo di Shor

Esperimento di Chuang11r (mod 15)7 r (mod 15)

Simulazione di Shorx r (mod 33)

x=5 r=10

r = 2

r = 4

Cos’e’ un Q-oracolo?

Ipotesi Q• Processo

Operativo• Insondabile• Deterministic

o

Quantum Computing• Procedura

Formale• Conoscibile

Teoria della Calcolabilità• Insieme

Numerico• Determini

stico

Ogni processo formale è operativo, non tutti i processi operativi sono formali

Un Gioco di LogicaA e B sono agenti complementari, nel senso che mentre uno dice il vero, l’altro invece afferma il falso, ed indistinguibili. Si vuole conoscere quale delle due porte sullo sfondo conduce in paradiso (per esclusione l’altra condurrà all’inferno) e si ha a disposizione una sola domanda da rivolgere ad entrambi.

Esiste una unica domanda che permette di risalire alla porta che interessa ed, inoltre, basta porla indifferentemente ad uno soltanto dei due agenti.

Cosa risponderebbe l’altro agente se gli chiedessi quale è la porta per il paradiso?

Teletrasporto e POVM Teletrasporto Quantistico

fenomeno basato sull’entanglement, mediante il quale è possibile trasferire lo stato di un sistema quantistico da A (lo stato è distrutto in questa locazione) a B.

Teletrasporto e POVM TelePOVM

Questa tipologia di teletrasporto permette ad A di creare in B un determinato ensemble di stati. B esegue una POVM sullo stato trasportato, mediante la misura sulla parte della coppia EPR in suo possesso accoppiato ad una ancilla.

Ensemble di stati creati da A in B come effetto del teletrasporto

Misura Selettiva

Stato del canale EPR

Stato precedente all’invio del qubit

Stato successivo all’invio del qubit

Sistema non composto macchina + canale EPR

Sistema composto macchina

Misura SelettivaSistema composto macchina + selettore

Stato successivo all’invio del qubit

Rappresentazione degli operatori di accoppiamento

Si ipotizza la possibilità di creare un ensemble di stati tale che

ε arbitrariamente piccolo

Misura SelettivaSistema composto selettore + ancilla (bit ricevuto)

Se la macchina invia al selettore il bit

0Se la macchina invia al

selettore il bit

1

Misura SelettivaSistema composto selettore + ancilla (accoppiamento)

Misura SelettivaSistema composto selettore + ancilla (bit richiesto)

Se il bit i-esimo deve essere selezionato a

0Se il bit i-esimo deve essere selezionato a

1

Modello di Q-sistemaDefinizione :

Applicato all’algoritmo di Shor

QFT

Calcolo funz. resto

SelezioneRisposta

Impostazione circ.quantistici

Misura Selettiva

( 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14; 15; r )

r = 2 -> NO r = 4 -> SI

La MT Z formula la domanda

15 = 3 x 5

GAME OVER