Prove scritte di Meccanica Razionale (testi e soluzioni) · Corso di laurea in Matematica SAPIENZA...

Corso di laurea in Matematica

SAPIENZA Universita di Roma

Prove scritte di Meccanica Razionale

(testi e soluzioni)

Paolo Butta & Piero Negrini

Dipartimento di Matematica“Guido Castelnuovo”

SAPIENZA Universita di Roma

Indice

1 Testi 31.1 Compito 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Compito 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Compito 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Compito 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Compito 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Compito 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Compito 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Compito 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9 Compito 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.10 Compito 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.11 Compito 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.12 Compito 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.13 Compito 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.14 Compito 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.15 Compito 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.16 Compito 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.17 Compito 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.18 Compito 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.19 Compito 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.20 Compito 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.21 Compito 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.22 Compito 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.23 Compito 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.24 Compito 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.25 Compito 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.26 Compito 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.27 Compito 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.28 Compito 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.29 Compito 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.30 Compito 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.31 Compito 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Soluzioni 222.1 Soluzione Compito 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Soluzione Compito 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Soluzione Compito 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Soluzione Compito 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1

2.5 Soluzione Compito 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6 Soluzione Compito 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.7 Soluzione Compito 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.8 Soluzione Compito 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.9 Soluzione Compito 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.10 Soluzione Compito 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.11 Soluzione Compito 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.12 Soluzione Compito 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.13 Soluzione Compito 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.14 Soluzione Compito 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.15 Soluzione Compito 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.16 Soluzione Compito 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.17 Soluzione Compito 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.18 Soluzione Compito 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.19 Soluzione Compito 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.20 Soluzione Compito 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.21 Soluzione Compito 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.22 Soluzione Compito 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.23 Soluzione Compito 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.24 Soluzione Compito 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.25 Soluzione Compito 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.26 Soluzione Compito 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.27 Soluzione Compito 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.28 Soluzione Compito 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.29 Soluzione Compito 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.30 Soluzione Compito 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.31 Soluzione Compito 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2

1 Testi

1.1 Compito 1

In un piano verticale una sbarra materiale di massa M , di estremi A,B, lun-ghezza 2`, con distribuzione di massa omogenea, e libera di ruotare attornoal suo centro fisso O. Sulla sbarra e fissato un punto materiale P di massam ad una distanza `

2 da B.Su una retta immateriale orizzontale passante per O puo scorrere senza

attrito un punto materiale P1 di ugual massa m. Tra i punti P e P1 si esercitauna forza elastica di costante k, k > 0. Assunta la retta orientata come assecoordinato, sia x la corrispondente ascissa del punto P1 e θ l’angolo che la

direzione−−→AB forma con il suddetto asse. Si chiede:

1) Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni diEulero-Lagrange.

2) Individuare le posizioni di equilibrio, al variare del parametro λ =2mgk` , studiandone le relative proprieta di stabilita. Si determinino

quindi le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizionedi equilibrio stabile.

3) Si consideri ora lo stesso sistema ma su un piano orizzontale. Fissatele condizioni iniziali θ0 = 0, θ0 = 0, determinare i corrispondenti moti.

1.2 Compito 2

Su un piano verticale, sia {O;x, y} un sistema di riferimento ortonormale conl’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Una sbarretta omogeneaAB,di massa M e lunghezza `, giace in tale piano ed ha l’estremo A vincolato ascorrere senza attrito lungo l’asse delle ascisse. L’estremo B della sbarrettae richiamato dall’origine delle coordinate attraverso una molla di costanteelastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si denoti con x l’ascissa del punto

A e con θ l’angolo che la direzione−−→AB forma con l’asse delle ascisse.

Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equili-

brio e se ne discuta la stabilita al variare del parametro λ =Mg

2k`.

Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad unaposizione di equilibrio stabile.

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1.3 Compito 3

Su un piano verticale, sia {O;x, y} un sistema di riferimento ortonormalecon l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Il baricentro G di unasbarretta omogenea AB di massa m e lunghezza 2 e vincolato a scorreresenza attrito lungo la guida curvilinea di equazione y = x2/2. L’estremo Adella sbarretta e attratto dall’asse delle ordinate tramite una molla idealedi costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si indichino con x

l’ascissa del punto G e con θ l’angolo che il vettore−→GA forma con l’asse

delle ascisse.

1) Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equi-librio e se ne discuta la stabilita. Si calcolino inoltre le frequenze dellepiccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

2) Si modifichi il sistema assumendo che anche l’estremo B della sbar-retta e attratto dall’asse delle ordinate tramite una molla ideale diuguale costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si scri-va la lagrangiana del problema individuando due integrali primi delmoto. Quindi si discutano qualitativamente i moti del sistema, conparticolare riguardo all’esistenza di soluzioni periodiche non banali.

1.4 Compito 4

Sia {O;x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse z direttosecondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P1 di massa me vincolato a scorrere senza attrito lungo la guida circolare di centro l’origineO, raggio unitario e giacente sul piano coordinato {O;x, y}. Tale punto eattratto da un secondo punto pesante P2, di ugual massa m, tramite unamolla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Il puntoP2 e a sua volta vincolato a scorrere senza attrito lungo la guida circolare dicentro l’origine O, raggio unitario e giacente sul piano coordinato {O; y, z}.Si indichino con ϕ l’angolo che il vettore

−−→0P1 forma con l’asse delle ascisse

x e con θ l’angolo che il vettore−−→OP2 forma con l’asse delle ordinate z.

Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equili-brio e se ne discuta la stabilita. Si calcolino inoltre le frequenze delle piccoleoscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

1.5 Compito 5

Una guida parabolica (immateriale) e libera di ruotare attorno l’asse verti-cale u, passante per il punto fisso O. Si introduca un sistema di riferimento

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fisso {O;x, y, z}, con origine in O ed asse z diretto coincidente con l’asse u ediretto come la verticale ascendente. Si consideri un sistema di riferimentosolidale alla guida {O; ξ, η, ζ}, con piano della guida π assegnato da η = 0,asse ζ coincidente con u e diretto come la verticale ascendente. In questosistema di coordinate la guida e rappresentata da

ζ =a

2ξ2, a > 0.

Sia infine φ l’angolo che π forma col piano fisso y = 0, contato in versoantiorario. Sulla guida e libero di scorrere senza attrito un punto materialeP , di massa m. Inoltre, fissato sulla guida nel punto di coordinata ξ = L,vi e il punto Q, di massa M .

1) Si scrivano le coordinate dei punti P ed Q nel sistema fisso. Si scrivadi conseguenza la Lagrangiana del sistema e le relative equazioni diLagrange.

2) Si individui l’integrale primo del sistema di Lagrange L corrispondentealla coordinata ciclica, e lo si denoti con P . Si consideri poi il sistemalagrangiano L, ad un grado di liberta, ottenuto restringendo l’originalesistema sulla superficie assegnata da P = k, k ∈ R.

3) Si considerino gli equilibri del sistema lagrangiano L al variare del

parametro λ = |k|ML2√ga , studiando le relative proprieta di stabilita.

4) Si disegnino le orbite del sistema L nello spazio delle fasi, nel casoλ > 1.

1.6 Compito 6

Si consideri un cerchio rigido libero di ruotare attorno al suo diametro fissatosu un asse verticale (u). Sia R il raggio del cerchio, O il suo centro, M lasua massa distribuita con densita uniforme µ.

Si assuma come sistema di riferimento fisso il sistema {O;x, y, z} conasse coordinato z diretto come l’asse (u) contro orientato rispetto all’acce-lerazione di gravita. Sia poi φ l’angolo che il piano solidale al disco formacon il piano fisso y = 0. Quindi, se indichiamo con {O; ξ, η, z} un sistemaortonormale solidale, l’ angolo φ e quello che l’asse coordinato ξ forma con l’asse coordinato x, mentre il piano solidale ha equazione η = 0. Sul cerchioe libero di scorrere (senza attrito) un punto materiale P di massa m. Que-

sto e richiamato dall’asse (u) con una forza−→f proporzionale alla reciproca

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distanza. Precisamente, denotato con Q il piede della perpendicolare da Pad (u), detta K una costante positiva la forza che si esercita su P e

−→f = K

−−→PQ

Infine, si denoti con ψ l’angolo che individua la posizione di P sul cerchio.Scelte come coordinate lagrangiane (φ, ψ) si risponda alle seguenti domande.

1) Scrivere la lagrangiana del sistema.

2) Scrivere il sistema di Lagrange e determinarne gli integrali primi.

3) Studiare le soluzioni del sistema di Lagrange in corrispondenza al datoiniziale φ(0) = 0. In particolare, usando gli integrali primi, analizzarei moti della cordinata ψ, rappresentando le relative orbite nel pianodelle fasi.

1.7 Compito 7

Due punti materiali P1 e P2 di uguale massa m sono vincolati agli estremi diun’asta immateriale di lunghezza 2` il cui centro G e vincolato a muoversisu una guida circolare di raggio R (R > `), fissa in un piano orizzontaleπ. Si consideri un riferimento fisso ortonormale {O, i, j, k} con origine Onel centro della guida e versore k perpendicolare a π, orientato lungo laverticale ascendente. Il punto P1 e attratto, tramite una molla elastica dicostante K, dal punto immateriale Q1 situato sull’asse k alla stessa quotadi P1. Analogamente P2 e attratto, tramite una molla elastica di ugualecostante K, dal punto immateriale Q2 situato sull’asse k alla stessa quotadi P2.

Sia θ ∈ [0, 2π) l’angolo che−−→OG forma con la direzione i e si denoti con

ψ l’angolo che−−→GP2 forma con la direzione k. Si restringa il dominio di ψ

all’intervallo aperto (0, π) e, detta H la proiezione di P2 sul piano π, sia

infine ϕ ∈ [0, 2π) l’angolo che−−→GH forma con i.

Si chiede:

1) Scrivere la lagrangiana L(θ, ϕ, ψ, θ, ϕ, ψ) e determinare tre integraliprimi del moto.

2) Utilizzando i suddetti integrali primi si dimostri che il problema la-grangiano e risolubile per quadrature. In particolare si dimostri che siriduce ad un problema unidimensionale nella coordinata ψ.

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3) Si denoti con pϕ l’impulso coniugato alla coordinata ϕ. Restringendosial caso pϕ 6= 0 si discuta il diagramma delle orbite nello spazio dellefasi per il suddetto problema unidimensionale al variare del parametro

λ =p2ϕ

4Km`4.

4) Si determini una soluzione periodica del sistema lagrangiano completo.

1.8 Compito 8

Sia π una lastra piana rigida, di distribuzione di massa omogenea, di formaquadrata con lato l, massa tootale M . Si G il suo baricentro. La lastra evincolata a ruotare attorno ad una sua retta r (immateriale) orizzontale eparallela ad uno dei lati, passante per G.

Su un asse verticale passante per G e fissato l’estremo Q di una mollaelastica di costante K. Tale molla si esercita sul punto materiale P di massam, libero di muoversi senza attrito sulla lastra.

Si assuma una terna fissa levogira di assi i, j, k e origine il baricentrodella lastra. Siano (X,Y, Z) le corrispondenti coordinate. Per definitezza sisupponga la terna orientata in modo tale che

Q ≡ (0, 0, Z0), Z0 ≥ 0

Inoltre sia j il versore della retta r. Sia c un versore normale a π. Si denoticon φ l’angolo (contato in modo antiorario) che c forma con k. Siano poi(x, y) le coordinate del punto P relativamente ad un sistema solidale piano,con secondo asse coincidente con j, origine nel baricentro della lastra.

1) Si scriva la lagrangiana del sistema, in funzione delle coordinate la-grangiane (φ, x, y).

2) Si determini il moto della coordinata y del punto P .

3) Si individuino le posizioni di equilibrio del sistema. Si consideri inparticolare il caso

λ :=mg −KZ0

K6= 0

e si discuta la stabilita degli equilibri.

4) Si consideri il caso λ = 0 e si determini esplicitamente il moto delsistema.

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1.9 Compito 9

Si consideri in un piano verticale Π una guida rettilinea immateriale. Taleguida e libera di ruotare attorno ad un suo punto fisso O ed ha fissato su diessa, a distanza ` da O, un punto materiale P di massa m. Sull’asta e poilibero di scorrere senza attrito il centro G di un disco omogeneo, di massaM e raggio R. Il disco e libero di ruotare, mantenendosi nel piano Π. Tra ipunti P e G si esercita una forza elastica di costante K.

Siano ϕ l’angolo che la direzione−−→OP forma con l’asse coordinato oriz-

zontale, ψ l’angolo di rotazione propria del disco ed s ∈ R l’ascissa di Glungo la guida. Assunti come parametri lagrangiani (ϕ,ψ, s), si chiede:

1) Scrivere la lagrangiana del sistema, mostrando che

L(ϕ,ψ, s, ϕ, ψ, s) = L1(ϕ, s, ϕ, s) + L2(ψ)

e determinare quindi il moto di ψ.

2) Si consideri ora il sistema corrispondente ad L1(ϕ, s, ϕ, s). Se ne de-terminino gli equilibri e le relative proprieta di stabilita al variare delparametro

λ =K`(M +m)

M2g

nell’insieme (0, 1) ∪ (1,+∞).

3) Si determinino le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad unaposizione di equilibrio stabile.

1.10 Compito 10

Sia U un asse verticale fisso, orientato come la verticale ascendente. Unpiano Π e libero di ruotare attorno ad U (il piano e considerato senza massa).Su di un asse orizzontale V , fisso in questo piano e passante per il puntoO ∈ U , e disposto il centro Q di un cerchio C, solidale a Π , di massaanch’essa ignorabile, raggio r, con r < |OQ| := R.

Infine un punto materiale P , di massa m, e libero di scorrere senza attritolungo C. Su P si esercita una forza di richiamo elastica, di costante elasticak. Il centro di applicazione della forza e fissato nel punto D ∈ U al di sopradi O; la distanza d := |OD| e scelta tale che k = mg

d .

1) Si scriva la lagrangiana del sistema, utilizzando come coordinate la-grangiane l’angolo θ che identifica P su C e l’angolo φ che il piano Π

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forma con il piano Y = 0 di un sistema di coordinate fisso {O;X,Y, Z}(l’asse Z essendo diretto lungo U).

2) Dimostrare che una delle due coordinate e ciclica e scrivere quindi, uti-lizzando il corrispondente integrale primo, la lagrangiana del sistemaridotto.

3) Determinare gli equilibri di tale sistema ridotto al variare dei parame-tri. Discuterne quindi le relative proprieta di stabilita.

4) Mostrare che il sistema completo ammette soluzioni periodiche esiben-done almeno una.

1.11 Compito 11

Su un piano verticale, sia {O;x, y} un sistema di riferimento ortonormalecon l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Due punti materialipesanti P1 e P2 di uguale massa m sono vincolati agli estremi di un astaimmateriale di lunghezza 2. Il centro C di tale asta e libero di scorreresenza attrito lungo la guida curvilinea di equazione y = −x2 ed e richiamatodal punto Q di coordinate (0, 1) attraverso una molla di costante elastica

K > 0. Si indichi con x l’ascissa del punto C e con ϕ l’angolo che−−−→P1P2

forma con l’asse delle ascisse. Si richiede:

1) Calcolare la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate (x, ϕ),mostrando che

L(x, ϕ, x, ϕ) = L(1)(x, x) + L(2)(ϕ, ϕ).

2) Integrare esplicitamente il moto della coordinata ϕ.

3) Discutere qualitativamente il moto della variabile x al variare delparametro

λ =mg

K.

4) Si calcoli, nel caso λ = 1, la frequenza delle piccole oscillazioni at-torno ad una posizione di equilibrio stabile relativa alla lagrangianaL(1)(x, x).

5) Esistono soluzioni non globali delle equazioni del moto nel caso in cuiK = 0 (ovvero si escluda la molla)?

6) Esistono soluzioni periodiche del problema completo t 7→ (x(t), ϕ(t))tali che x(t) e ϕ(t) siano entrambe funzioni non costanti?

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1.12 Compito 12

Sia {O;x, y} un sistema di riferimento ortonormale su un piano verticaleΠ, con l’asse delle ordinate y diretto secondo la verticale ascendente. Unpunto materiale P di massa m giace su tale piano ed e vincolato a rimanerea distanza costante ` > 0 dal punto materiale Q di uguale massa m, che elibero di scorrere lungo l’asse delle ascisse x. Il punto P e richiamato dalpunto geometrico C di coordinate (0, `) attraverso una molla di costanteelastica k > 0. Si richiede:

1) Scrivere la lagrangiana del sistema, utilizzando come coordinate l’ascis-

sa x del punto Q e l’angolo θ che il vettore−−→QP forma con la direzione

verticale discendente.

2) Determinare le posizioni di equilibro del sistema al variare del para-metro

λ =mg

k`.

Discuterne quindi le relative proprieta di stabilita restringendosi alcaso λ 6= 2.

3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizio-ne di equilibrio stabile nel caso λ > 2.

1.13 Compito 13

Un punto materiale pesante P di massa m e vincolato senza attrito allasuperficie di rotazione d’asse verticale x3 ascendente, descritta in coordinatecartesiane dall’equazione

x3 = log√x2

1 + x22.

Si richiede:

1) Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate polari(r, ϕ) definite da

x1 = r cosϕ, x2 = r sinϕ.

2) Determinare due integrali primi del sistema.

3) Discutere i moti del punto P utilizzando gli integrali primi e restrin-gendosi al caso di condizioni iniziali tali che ϕ(0) 6= 0.

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4) Determinare almeno una soluzione periodica delle equazioni del moto.

5) Discutere i moti del punto P per condizioni iniziali tali che ϕ(0) = 0.Esistono in tal caso soluzioni non globali delle equazioni del moto?

1.14 Compito 14

Su un piano verticale sia {O;x, y} un sistema di riferimento ortonormale conl’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Due punti materiali P1 e P2

di uguale massa m sono vincolati a scorrere senza attrito lungo una guidacurvilinea di equazione

y = ax2, a 6= 0.

I punti sono soggetti alla forza peso ed inoltre si attraggono reciprocamenteattraverso una forza di energia potenziale

Uin(x1, x2) =k

4(x1 − x2)4, k > 0,

essendo x1 ed x2 le ascisse dei punti P1 e P2 rispettivamente. Si richiede:

1) Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate lagrangia-ne (x1, x2).

2) Determinare le posizioni di equilibro del sistema al variare del para-metro a 6= 0 e discuterne le relative proprieta di stabilita.

3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizio-ne di equilibrio stabile nel caso a > 0.

4) Integrare le equazioni del moto nel caso in cui a = 0.

1.15 Compito 15

Su un piano verticale, sia {O;x, y} un sistema di riferimento ortonormalecon l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Il baricentro C di unasbarretta omogenea AB di massa m e lunghezza 2 e vincolato a scorreresenza attrito lungo la guida rettilinea di equazione y = −x. L’estremo Adella sbarretta e attratto dal punto d’origine O del sistema di riferimentotramite una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposonulla. L’estremo B della sbarretta e attratto dall’asse delle ordinate tramiteuna molla ideale di uguale costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla.

Si indichino con x l’ascissa del punto C e con θ l’angolo che il vettore−→CA forma con l’asse delle ascisse.

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1) Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equi-librio e se ne discuta la stabilita al variare del parametro λ = mg

4k ,limitandosi ai casi in cui la stabilita e riconosciuta dalla parte lineare.Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad unaposizione di equilibrio stabile.

2) Si modifichi il sistema bloccando il baricentro C della sbarretta nellaposizione x = 0. Si discutano qualitativamente i moti del sistema,rappresentando le orbite nello spazio delle fasi.

1.16 Compito 16

Su un piano verticale, sia {O;x, y} un sistema di riferimento ortonormalecon l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Su tale piano giace unasbarretta omogenea AB di massa 2m e lunghezza 1. L’estremo A della sbar-retta e vincolato a scorrere senza attrito lungo l’asse delle ascisse. L’estremoB e attratto dal punto Q di coordinate (0, 1) tramite una molla ideale di co-stante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si indichino con x l’ascissa

del punto A e con θ l’angolo che il vettore−−→AB forma con l’asse delle ascisse.

Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equili-brio e se ne discuta la stabilita al variare del parametro λ = 1− mg

k , limitan-dosi ai casi in cui la stabilita e riconosciuta dalla parte lineare. Si calcolinoinoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione diequilibrio stabile.

1.17 Compito 17

Un punto materiale di massa m e libero di muoversi su un piano orizzontaleed e soggetto all’azione di una forza di energia potenziale

U(x, y) = λx2 +1

2y2 − log(1 + x2 + y2),

essendo (x, y) le coordinate del punto in un riferimento ortonormale {O;x, y}nel piano e λ e un parametro positivo.

1) Si scriva la lagrangiana del sistema e si individuino le posizioni diequilibrio al variare del parametro λ > 0; se ne discuta la stabilitalimitandosi ai casi in cui essa e riconosciuta dalla parte lineare. Sicalcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad unaposizione di equilibrio stabile.

12

2) Si consideri ora il caso λ = 12 . Si individuino due integrali primi del

moto e si determini almeno una soluzione periodica delle equazioni delmoto.

1.18 Compito 18

Sia {O;x, y} un riferimento ortonormale in un piano orizzontale. Un puntomateriale P di massa m = 1 e vincolato a scorrere senza attrito lungo laguida curvilinea di equazione

y =x4

2− x2

ed e soggetto al campo di forza

F (x, y) =

(x1

).

1) Si scriva la lagrangiana del sistema utilizzando come coordinata l’a-scissa x del punto P .

2) Si discuta qualitativamente il moto di P . In particolare si disegni ilritratto delle fasi, specificando il numero di orbite su ciascun livello dienergia, ed il tipo di moto corrispondente a ciascuna di esse. Esistonomoti che non sono definiti globalmente nel tempo?

3) Si calcoli la frequenza delle piccole oscillazioni attorno ad una posizionedi equilibrio stabile.

4) Sia x(t) la soluzione di dati iniziali x(0) = 0, x(0) = 1. Calcolare

limt→+∞

x(t).

1.19 Compito 19

Sia {O;x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse z direttosecondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P di massa me vincolato a muoversi senza attrito sulla superficie cilindrica di equazionex2 +y2 = 1. Il punto P e richiamato dall’origine O tramite una molla idealedi costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Tale punto e inoltresottoposto alla forza di energia potenziale

Uα(x, y, z) = −αyz

13

con α un parametro positivo. Si denoti con z la quota del punto P e con

θ l’angolo che la direzione−−→OQ forma con l’asse delle ascisse, essendo Q la

proiezione di P sul piano coordinato orizzontale.


2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne le proprieta di sta-

bilita al variare del parametro λ =mg

α, limitandosi ai casi in cui esse

sono riconosciute dalla parte lineare.

3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizio-ne di equilibrio stabile.

4) Posto α = 0, si determini esplicitamente la soluzione delle equazionidi Eulero-Lagrange di dati iniziali

z(0) = −mgk, z(0) = 0, θ(0) = 1, θ(0) = 1.

1.20 Compito 20

Sia {O;x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse z direttosecondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P di massa me vincolato a muoversi senza attrito sulla superficie di equazione z = −x−y2.Il punto P e richiamato dall’origine O tramite una molla ideale di costanteelastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla.

1) Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni diEulero-Lagrange, utilizzando le coordinate cartesiane orizzontali (x, y)del punto P come coordinate lagrangiane.


bilita al variare del parametro λ =mg

k, limitandosi ai casi in cui esse

sono riconosciute dalla parte lineare. (Facoltativo: studiare anche ilcaso critico in cui le proprieta di stabilita non sono riconosciute dallaparte lineare).


14

1.21 Compito 21

Sia {O;x, y} un sistema di riferimento ortonormale su un piano orizzontale.Due sbarrette omogenee AB ed A′B′, di uguale massa m e lunghezza ` =2√

3, giacciono su tale piano. La sbarretta AB ha gli estremi vincolati ascorrere senza attrito lungo la guida circolare di raggio r = 2 e centro O =(0, 0). Analogamente, la sbarretta A′B′ ha gli estremi vincolati a scorreresenza attrito lungo la guida circolare di uguale raggio e centro O′ = (2d, 0),essendo d un parametro positivo. I baricentri G, G′ delle sbarrette ABed A′B′ si attraggono attraverso una molla di costante elastica k > 0 elunghezza a riposo nulla. Si denotino con θ e φ gli angoli che le direzioni−−→OG e

−−→O′G′ rispettivamente formano con l’asse delle ascisse.


2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilita al variaredel parametro d > 0, limitandosi ai casi in cui la stabilita e riconosciutadalla parte lineare.


1.22 Compito 22

Sia {O;x1, x2, x3} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse x3 direttosecondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P di massa me vincolato senza attrito alla superficie di equazione

x3 =x2

1 + x22

2− 1

2log(x2

1 + x22

).

Il punto P e inoltre sottoposto all’azione di una forza costante ~F = f ~e1,f ∈ R, essendo ~e1 il versore dell’asse x1.

1) Utilizzando le coordinate cilindriche (r, ϕ, x3), r > 0, ϕ ∈ [0, 2π) siscriva la lagrangiana del sistema. Nel caso f 6= 0 si individuino le po-sizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilita al variare dei parametriin gioco.

2) Si consideri il caso f = 0. Utilizzando gli integrali primi del sistemasi discutano qualitativamente i moti del punto P . Si determini inoltreuna soluzione periodica delle equazioni del moto.

15

1.23 Compito 23

Si considerino due sistemi di riferimento ortonormali, levogiri, l’uno fisso(O,X, Y, Z) l’altro (O, x, y, Z), libero di ruotare attorno all’asse coordinatoZ. Tale asse e orientato come la verticale ascendente. Si denoti con φl’angolo che l’asse coordinato x forma con l’asse coordinato X. L’angolo econtato positivamente in senso antiorario a partire dall’asse X. Sul pianox = 0 e posto un cerchio immateriale C, di centro O e raggio di lunghezza 1.Su C si trovano due punti P1 e P2 di rispettive masse m1 ed m2. Il punto P1

puo scorrere liberamente sul cerchio e la sua posizione e individuata dallaanomalia θ, contata positivamente in senso antiorario a partire dall’ asse y.Il punto P2 e fisso su C in (x2, y2, Z2) = (0, 1, 0), ed e sottoposto ad unaforza schematizzata come quella di molla di costante elastica k (k > 0) epunto di applicazione in X = Z = 0, Y = L, L > 0.

1) Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni diLagrange.

2) Si individuino le soluzioni di equilibrio.

3) Si scelga una posizione di equilibrio stabile e in corrispondenza sideterminino le frequenze delle piccole oscillazioni.

4) Si determini il moto di φ in corrispondenza alle condizioni iniziali φ0 =π, φ0 = 0.

1.24 Compito 24

In un piano verticale e posta un’asta omogenea di massa M e lunghezza `,libera di ruotare attorno ad un suo estremo fisso. Si consideri un sistema dicoordinate {O;x, y} con origine O nell’estremo fisso, asse orizzontale x edasse verticale y diretto secondo la verticale ascendente.

Detto G il baricentro dell’asta, si consideri la retta immateriale (r), pas-sante per G e perpendicolare all’asta stessa. Si orienti questa retta in modo

tale che il corrispondente versore n si allinei alla direzione−−→OG mediante una

rotazione oraria si π/2.Sia P un punto materiale di massa m libero di scorrere su (r) e sia s la

sua coordinata su (r), precisamente−−→GP = s n. Il punto e richiamato da G

tramite una molla elastica di costante k.Sia infine θ l’angolo che l’asta forma con l’asse verticale, contato in verso

antiorario, con θ = 0 corrispondente alla posizione piu bassa dell’estremolibero dell’asta.

16

1) Si scriva la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate (s, θ).

2) Si determinino le posizioni di equilibrio del sistema e le relative pro-prieta di stabilita al variare del parametro positivo

λ =M +m

2m2gk`,

limitandosi ai casi in cui tali proprieta sono riconosciute dalla partelineare.

3) Si cambi ora problema abolendo la molla (k = 0). Si studino le posi-zioni di equilibrio e le loro proprieta di stabilita per la corrispondentelagrangiana.

1.25 Compito 25

Si consideri un piano orizzontale Π e su di esso una guida circolare C dicentro O e raggio unitario. La guida e immateriale. Si assuma un sistema diriferimento ortonormale {O;x, y, z}, con asse z orientato lungo la verticaleascendente. Su tale asse e libero di scorrere un punto P1 di massa m1.Sulla guida circolare C e libero di scorrere un punto P2 di massa m2. Infine,sull’asse x e libero di scorrere un punto P3 di massa m3.

Tra il punto P1 ed il punto P2 si esercita una forza elastica (una molla)di costante k, k > 0. Tra il punto P2 ed il punto P3 si esercita una forzaelastica (una molla) di costante k′, k′ > 0.

Si denoti con θ l’anomalia angolare che il raggio vettore di P2 forma conl’asse x. Si denoti con z la coordinata di P1 sull’asse verticale, con x lacoordinata di P3 sull’asse corrispondente.

1) Si scriva la lagrangiana L(x, θ, z, x, θ, z) del sistema, mostrando che sisepara in due lagrangiane indipendenti,

L(z, θ, x, z, θ, x) = L1(z, z) + L2(θ, x, θ, x).

2) Si studi per primo il sistema lagrangiano di lagrangiana L1(z, z), de-terminandone la soluzione generale e, in particolare, le soluzioni diequilibrio.

3) Si passi quindi allo studio del sistema di lagrangiana L2(θ, x, θ, x), de-terminandone le soluzioni di equilibrio ed il loro carattere di stabilita.

4) Scelta una soluzione di equilibrio stabile, si determinino le frequenzedei modi normali.

17

1.26 Compito 26

Su un piano verticale, sia {O;x, y} un sistema di riferimento ortonormalecon l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Una sbarretta omogeneaAB, di massa m e lunghezza 2`, giace in tale piano ed ha gli estremi vincolatia scorrere senza attrito lungo una guida circolare di raggio r =

√2 ` e

centro l’origine O. Un punto materiale P di uguale massa m e libero discorrere senza attrito lungo una guida rettilinea immateriale passante pergli estremi A e B della sbarretta. I punto P e richiamato dal baricentro Gdella sbarretta attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza

a riposo nulla. Detto ~e il versore di−−→GB, si denoti con ξ l’ascissa del punto

materiale P tale che−−→GP = ξ ~e, e con θ l’angolo che la direzione

−−→OG forma

con l’asse delle ascisse.


2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilita al va-

riare del parametro α =2k`

mg, limitandosi ai casi in cui la stabilita e

riconosciuta dalla parte lineare.

3) Si modifichi il problema trascurando la forza peso. Individuare dueintegrali primi del moto e mostrare come, mediante questi, l’integra-zione delle equazioni del moto si riconduce allo studio di un opportunoproblema unidimensionale efficace.

1.27 Compito 27

Su un piano orizzontale, sia {O;x, y} un sistema di riferimento ortonormale.Su tale piano si muovono due sbarrette omogenee di lunghezza 2` e massa mdi estremi rispettivamente A, B e B, C, incernierate tra loro in B ma liberedi ruotare senza attrito. Gli estremi A e C sono inoltre vincolati a scorreresenza attrito lungo l’asse delle ascisse. L’estremo A e richiamato dal puntoQ1 di coordinate (−`, 0) attraverso una molla di costante elastica k > 0 elunghezza a riposo nulla. Analogamente, l’estremo C e richiamato dal puntoQ2 di coordinate (`, 0) attraverso una molla di uguale costante elastica k > 0e lunghezza a riposo nulla. Si scelgano come variabili lagrangiane l’ascissa

x di B e l’angolo θ che la direzione−−→AB forma con l’asse delle ascisse.

1) Scrivere la lagrangiana del sistema e le relative equazioni di Eulero-Lagrange.

2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilita.

18


4) Trovare se esistono condizioni iniziali per cui il moto sia armonico nonsolo per piccole oscillazioni ma anche per oscillazioni finite.

1.28 Compito 28

Una sbarra rigida omogenea pesante OA di lunghezza ` e massa M = 2me posta in un piano verticale ed e libera di ruotare senza attrito attornoal suo estremo O. Per l’altro estremo passa una guida rettilinea di massatrascurabile ed ortogonale alla sbarra. Lungo tale guida si muove senzaattrito un punto materiale pesante P di massa m. Tale punto e richiamatodall’estremo O attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezzaa riposo nulla.

Si scelgano come variabili lagrangiane l’angolo θ che la direzione−→OA

forma con la verticale discendente e l’ascissa ξ del punto P lungo la guida.


2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilita al va-

riare del parametro α =2k`

mg, limitandosi ai casi in cui la stabilita e

riconosciuta dalla parte lineare.


1.29 Compito 29

Sia {O;x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse z direttosecondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P di massa me vincolato a muoversi senza attrito sulla superficie di equazione z = xy.Il punto P e richiamato dall’origine O tramite una molla ideale di costanteelastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla.

1) Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate cartesianeorizzontali (x, y) del punto P come coordinate lagrangiane.


bilita al variare del parametro positivo λ =mg

k, limitandosi ai casi in

cui esse sono riconosciute dalla parte lineare.

19


4) Studiare le proprieta di stabilita delle posizioni di equilibrio nel casocritico, ovvero quando esse non sono riconosciute dalla parte lineare.

1.30 Compito 30

Su un piano verticale, sia {O;x, y} un sistema di riferimento ortonormale conl’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Una sbarra omogenea AB,di massa M e lunghezza 2`, giace in tale piano ed ha l’estremo A vincolato ascorrere senza attrito lungo l’asse delle ordinate. Il baricentro G della sbarrae richiamato dall’origine delle coordinate attraverso una molla di costanteelastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si denoti con y l’ordinata del

punto A e con θ l’angolo che la direzione−−→AB forma con l’asse delle ascisse.

1) Si scriva la lagrangiana del sistema.

2) Si individuino le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilita.

3) Si calcolino le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posi-zione di equilibrio stabile.

4) Si modifichi ora il problema bloccando l’estremo A della sbarra allaquota y = Mg

k . Si discutano qualitativamente i moti del sistema,

rappresentando le orbite nello spazio delle fasi (θ, θ).

1.31 Compito 31

Su un piano verticale sia {O;x, y} un sistema di riferimento ortonormale conl’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Su tale piano si muovonodue sbarrette omogenee pesanti di lunghezza 2` e massa M di estremi rispet-tivamente A, B e B, C, incernierate tra loro in B ma libere di ruotare senzaattrito. Gli estremi A e C sono inoltre vincolati a scorrere senza attrito lun-go l’asse delle ascisse. L’estremo in comune B delle sbarrette e richiamatodall’origine delle coordinate attraverso una molla di costante elastica K > 0e lunghezza a riposo nulla. Si scelgano come variabili lagrangiane l’ascissa

x di B e l’angolo θ che la direzione−−→AB forma con l’asse delle ascisse.

1) Si scriva la lagrangiana del sistema.

20

2) Si individuino le posizioni di equilibrio al variare del parametro α =Mg

2K`(dove g e l’accelerazione di gravita) e se ne discutano le relative

proprieta di stabilita, limitandosi ai casi in cui tali proprieta sonoriconosciute dalla parte lineare.

3) Si calcolino le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posi-zione di equilibrio stabile.

21

2 Soluzioni

2.1 Soluzione Compito 1

1) Siano ~e1 ed ~e2 rispettivamente i versori degli assi coordinati orizzontale everticale ascendente. Si ha

−−→OP =

`

2cos θ ~e1 +

`

2sin θ ~e2,

−−→OP1 = x~e1,

cosicche−→vP = − `

2θ sin θ ~e1 +

`

2θ cos θ ~e2,

−→vP1 = x ~e1.

Poiche il baricentro della sbarra e fissato in O l’energia cinetica della sbarrae

Tsbarra =1

2Iω2 =

M`2

6θ2,

essendo I = M2`

∫ `−`dr r

2 = M`2

3 il momento di inerzia della sbarra rispetto

al baricentro ed ω = θ la velocita angolare della sbarra. Quindi l’energiacinetica totale e

T = Tsbarra +m

2|−→vP |2 +

m

2|−→vP1 |2 =

m

2x2 +

(M`2

6+m`2

8

)θ2,

Il punto fisso della sbarra coincide con il suo baricentro e la quota del puntoP1 non varia. Quindi l’energia potenziale e

U = mg−−→OP · ~e2 +

k

2|−−→PP1|2 =

mg`

2sin θ +

k

2

[(x− `

2cos θ

)2

+`2

4sin2 θ

],

ovvero, a meno di una costante additiva,

U =k

2

(x2 − `x cos θ +

1

2λ`2 sin θ

),

avendo introdotto il parametro λ = 2mgk` . Concludiamo che la lagrangiana

L = T − U = L2 + L0 e

L =1

2

[mx2 +

(M`2

3+m`2

4

)θ2

]− k

2

(x2 − `x cos θ +

1

2λ`2 sin θ

)e le equazioni di Eulero-Lagrange sono

mx = −kx+1

2k` cos θ,

(M`2

3+m`4

2

)θ = −1

2k`x sin θ − 1

4k`2λ cos θ.

22

2) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema∂L0

∂x= −kx+

1

2k` cos θ = 0,

∂L0

∂θ= −1

2k`x sin θ − 1

4k`2λ cos θ = 0,

ovvero {x =

`

2cos θ,

(sin θ + λ) cos θ = 0.

Per ogni valore del parametro λ > 0 si hanno le soluzioni(0,±π

2

). Se λ ≤ 1

si hanno inoltre le soluzioni

(x±, θ±) =

(± `

2

√1− λ2,−π

2±(π

2− arcsinλ

)).

Studiamone la stabilita; la matrice hessiana di L0 e

H(x, θ) =

(−k −1

2k` sin θ−1

2k` sin θ −12k`x cos θ + 1

4k`2λ sin θ

).

Quindi

H(

0,π

2

)=

(−k −1

2k`−1

2k`14k`

2λ

), H

(0,−π

2

)=

(−k 1

2k`12k` −

14k`

2λ

)e

H(x±, θ±) =

(−k −1

2k`λ−1

2k`λ −14k`

2

),

da cui si ricava che(0, π2

)e instabile,

(0,−π

2

)e stabile se λ > 1 ed instabile

se λ < 1, mentre le posizioni (x±, θ±) sono stabili se λ < 1 (ovvero quandoesistono distinte da

(0,−π

2

)).

Nel caso critico λ = 1, in cui la soluzione(0,−π

2

)biforca, la stabilita non

e riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana possiede un autovalorenegativo ed uno nullo). Osserviamo pero che in tal caso si ha

L0 = −k2

(x2 − `x cos θ +

1

2`2 sin θ

)= −k

2

(x− `

2cos θ

)2

+k`2

8g(θ),

con g(θ) = cos2 θ − 2 sin θ = 2 − (1 + sin θ)2. Poiche g(θ) possiede unmassimo proprio in θ = −π

2 , si ricava immediatamente che(0,−π

2

)e un

23

punto di massimo proprio di L0. Siamo quindi nelle ipotesi del teorema diLagrange-Dirichlet, dunque

(0,−π

2

)e stabile anche per λ = 1.

Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-zione

(0,−π

2

)per λ > 1. Sia A la matrice dell’energia cinetica calcolata in(

0,−π2

), ovvero

A =

(m 0

0 M`2

3 + m`2

4

).

Posto H = H(0,−π

2

), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =√

−µ±, essendo µ± le radici dell’equazione caratteristica

det(H − µA) = det

(−k − µm 1

2k`12k` −1

4k`2λ− µ

(M`2

3 + m`2

4

) ) = 0

ovvero (Mm

3+m2

4

)`2µ2 + k`2

(1

4mλ+

M

3+m

4

)µ− 1

4k2`2 = 0,

da cui, ponendo α = m4

(M3 + m

4

)−1,

ω± =

√k

m

√αλ+ 1±

√(αλ+ 1)2 + 4α.

3) Quando il sistema e posto su un piano orizzontale la lagrangiana e

L(x, θ, x, θ) =1

2

[mx2 +

(M`2

3+m`2

4

)θ2

]− k

2x2 − 1

2k`x cos θ

e le equazioni di Eulero-Lagrange sonomx = −kx+

1

2k` cos θ,

(M`2

3+m`2

2

)θ = −1

2k`x sin θ.

Cerchiamo le soluzioni di dati iniziali (x(0), x(0)) = (x0, x0) e (θ(0), θ(0)) =(0, 0). Osserviamo che la seconda equazione e identicamente soddisfatta

24

dalla funzione θ(t) ≡ 0 (che soddisfa le condizioni iniziali). Possiamo quin-di ricercare la soluzione delle equazioni nella forma (x(t), θ(t)) = (x(t), 0).Sostituendo si ricava che x(t) deve essere soluzione dell’equazione

mx = −kx+1

2k`,

che e un oscillatore armonico nella variabile y = x− 12`. Quindi la soluzione

del problema e x(t) =

`

2+A cos

(√k

mt+ φ

),

θ(t) = 0,

dove le costanti A > 0, φ ∈ [0, 2π) sono fissate dalle condizioni iniziali:

A cosφ = x0 − `2 , −A

√km sinφ = x0.


Siano ~e1 ed ~e2 i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente. Si ha

−→OA = x~e1,

−−→OB = (x+ ` cos θ)~e1 + ` sin θ ~e2,

e quindi, detto G il baricentro della sbarretta,

−−→OG =

(x+

`

2cos θ

)~e1 +

`

2sin θ ~e2,

cosicche−→vG =

(x− `

2θ sin θ

)~e1 +

`

2θ cos θ ~e2.

Per il teorema di Koenig, l’energia cinetica della sbarretta e

T =M

2|−→vG|2 +

1

2Iω2,

essendo I = M`

∫ `/2−`/2dr r

2 = M`2

12 il momento di inerzia della sbarretta

rispetto al baricentro ed ω = θ la velocita angolare della sbarretta. Quindi

T =M

2

[(x− `

2θ sin θ

)2

+`2

4θ2 cos2 θ

]+M`2

24θ2,

25

da cui

T =M

2

[x2 +

`2

3θ2 − ` sin θxθ

].

L’energia potenziale e

U = Mg−−→OG · ~e2 +

k

2|−−→OB|2 =

Mg`

2sin θ +

k

2

[(x+ ` cos θ)2 + `2 sin2 θ

],


U =k

2x2 + k`x cos θ +

Mg`

2sin θ.

Concludiamo che la lagrangiana L = T − U = L2 + L0 e

L(x, θ, x, θ) =M

2

[x2 +

`2

3θ2 − ` sin θxθ

]− k

2x2 − k`x cos θ − k`2λ sin θ,

avendo introdotto il parametro λ = Mg2k` .

Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema∂L0

∂x= −kx− k` cos θ = 0,

∂L0

∂θ= k`x sin θ − k`2λ cos θ = 0,

ovvero {x = −` cos θ,(sin θ + λ) cos θ = 0.

Per ogni valore del parametro λ > 0 si hanno le soluzioni(0,±π

2

). Se λ ≤ 1

si hanno inoltre le soluzioni

(x±, θ±) =(∓`√

1− λ2,−π2±(π

2− arcsinλ

)).


H(x, θ) =

(−k k` sin θ

k` sin θ k`x cos θ + k`2λ sin θ

).

Quindi

H(

0,π

2

)=

(−k k`k` k`2λ

), H

(0,−π

2

)=

(−k −k`−k` −k`2λ

)26

e

H(x±, θ±) =

(−k −k`λ−k`λ −k`2

),

da cui si ricava che(0, π2

)e instabile,

(0,−π

2

)e stabile se λ > 1 ed instabile

se λ < 1, mentre le posizioni (x±, θ±) sono stabili se λ < 1 (ovvero quandoesistono distinte da

(0,−π

2

)).

Nel caso critico λ = 1, in cui la soluzione(0,−π

2

)biforca, la stabilita non

e riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana possiede un autovalorenegativo ed uno nullo). Osserviamo pero che in tal caso si ha

L0 = −k2x2 − k`x cos θ − k`2 sin θ = −k

2(x+ ` cos θ)2 +

k`2

2g(θ),

con g(θ) = cos2 θ − 2 sin θ = 2 − (1 + sin θ)2. Poiche g(θ) possiede unmassimo proprio in θ = −π

2 , si ricava immediatamente che(0,−π

2

)e un

punto di massimo proprio di L0. Siamo quindi nelle ipotesi del teorema diLagrange-Dirichlet, dunque

(0,−π

2

)e stabile anche per λ = 1.

Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-zione

(0,−π

2

)per λ > 1. Sia A la matrice dell’energia cinetica calcolata in(

0,−π2

), ovvero

A =

(M M`

2M`2

M`2

3

).

Posto H = H(0,−π

2

), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =√

−µ±, essendo µ± le radici dell’equazione caratteristica


(−k − µM −k`− µM`

2

−k`− µM`2 −k`2λ− µM`2

3

)= 0

ovveroM2`2

12µ2 +Mk`2

(λ− 2

3

)µ+ k2`2(λ− 1) = 0,

da cui

ω± =

√k

M

√6λ− 4±

√36λ2 − 60λ+ 28.


1) Siano ~e1 ed ~e2 i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente. Si ha

−−→OG = x~e1 +

x2

2~e2,

−→vG = x~e1 + xx~e2.

27

Il momento di inerzia della sbarretta AB rispetto a G e I = m2

∫ 1−1ds s

2 = m3 .

Quindi l’energia cinetica del sistema e

T =m

2|−→vG|2 +

1

2Iθ2 =

m

2

[(1 + x2)x2 +

1

3θ2

].

Essendo−→OA = (x+ cos θ)~e1 +

(x2

2+ sin θ

)~e2,

l’energia potenziale e

U = Umolla + Upeso =k

2(x+ cos θ)2 +

mg

2x2,

cosicche la lagrangiana L = T − U = L2 + L0 e

L(x, θ, x, θ) =m

2

[(1 + x2)x2 +

1

3θ2

]− k

2(x+ cos θ)2 − mg

2x2.


∂x= −(k +mg)x− k cos θ = 0,

∂L0

∂θ= k(x+ cos θ) sin θ = 0.

Per ogni valore dei parametri si hanno le quattro soluzioni

(x1, θ1) =(

0,π

2

), (x2, θ2) =

(0,

3π

2

),

(x3, θ3) =

(− k

k +mg, 0

), (x4, θ4) =

(k

k +mg, π

).


H(x, θ) =

(−k −mg k sin θk sin θ −k sin2 θ + k(x+ cos θ) cos θ

).

Quindi

H(x1, θ1) =

(−k −mg k

k −k

), H(x2, θ2) =

(−k −mg −k−k −k

),

28

H(x3, θ3) = H(x4, θ4) =

(−k −mg 0

0 − k2

k+mg + k

),

da cui si ricava che (x1, θ1) e (x2, θ2) sono stabili mentre (x3, θ3) e (x4, θ4)sono instabili.

Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla po-sizione (x1, θ1). Sia A la matrice dell’energia cinetica calcolata in (x1, θ1),ovvero

A =

(m 00 m

3

).

Posto H = H(x1, θ1), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =√−µ±, essendo µ± le radici dell’equazione caratteristica


(−k −mg −mµ k

k −k − m3 µ

)= 0

ovverom2

3µ2 +

m

3(4k +mg)µ+mgk = 0,

da cui, posto λ = mgk ,

ω± =

√k

m

√4 + λ±

√λ2 − 4λ+ 16

2.

2) Essendo−−→OB = (x− cos θ)~e1 +

(x2

2− sin θ

)~e2,

l’energia potenziale del sistema con la molla aggiuntiva e

U =k

2(x+ cos θ)2 +

k

2(x− cos θ)2 +

mg

2x2 =

2k +mg

2x2 + k cos2 θ,

cosicche la lagrangiana L = T − U e

L(x, θ, x, θ) = L(1)(x, x) + L(2)(θ, θ)

con

L(1)(x, x) =m

2(1 + x2)x2 − 2k +mg

2x2

L(2)(θ, θ) =m

6θ2 − k cos2 θ.

29

Il problema e completamente separato nei due problemi unidimensiona-li di lagrangiane L(1) ed L(2). Sono quindi integrali primi del moto lecorrispondenti energie

E1(x, x) =m

2(1 + x2)x2 +

2k +mg

2x2

E2(θ, θ) =m

6θ2 + k cos2 θ.

Consideriamo i moti sul livello E1(x, x) = E1, E2(θ, θ) = E2. Se E1 = 0 ilmoto della coordinata x e stazionario: x(t) = 0; se E1 > 0 il moto di x eperiodico di periodo

T1(E1) = 2

∫ x+(E1)

x−(E1)dx

√m(1 + x2)

2E1 − (2k +mg)x2, x±(E1) =

√2E1

2k +mg.

Se E2 = 0 il moto della coordinata θ e stazionario: θ(t) = π2 o θ(t) = 3π

2 . Se0 < E2 < k il moto di θ e periodico attorno a θ = π

2 od a θ = 3π2 , di uguale

periodo

T2(E2) = 2

∫ θ+(E1)

θ−(E1)dθ

√m

6(E2 − k cos2 θ), θ±(E1) = ± arccos

√E2

k.

Se E2 = k il moto di θ e stazionario, θ(t) = 0 o θ(t) = π, oppure lungoun’orbita eteroclina che connette tali punti. Infine, se E2 > k, il moto di θe periodico con rotazioni complete della barretta di periodo

T2(E2) =

∫ 2π

0dθ

√m

6(E2 − k cos2 θ).

Per avere moti periodici non banali del sistema completo e necessario che leenergie E1 ≥ 0 ed E2 ≥ 0, E2 6= k, siano scelte in modo tale che esistanointeri N,M per cui NT1(E1) = MT2(E2).


Siano ~e1, ~e2 ed ~e3 i versori degli assi coordinati x, y e z rispettivamente. Siha −−→

OP1 = cosϕ~e1 + sinϕ~e2,−−→OP2 = sin θ ~e2 + cos θ ~e3.

L’energia cinetica del sistema e

T =m

2

(|−→vP1 |2 + |−→vP2 |2

)=m

2

(ϕ2 + θ2

),

30

mentre l’energia potenziale e


2|−−−→P1P2|2 +mg

(−−→OP1 +

−−→OP2

)· ~e3

= −k sinϕ sin θ +mg cos θ + costante,

cosicche la lagrangiana L = T − U = L2 + L0 e

L(ϕ, θ, ϕ, θ) =m

2

(ϕ2 + θ2

)+ k sinϕ sin θ −mg cos θ.


∂ϕ= k cosϕ sin θ = 0,

∂L0

∂θ= k sinϕ cos θ +mg sin θ = 0.

Per ogni valore dei parametri si hanno le otto soluzioni

(ϕi, θi) = (0, 0), (0, π), (π, 0), (π, π),(π

2,− arctanλ

),(

−π2, arctanλ

),(π

2, π − arctanλ

),(−π

2, π + arctanλ

),

(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8),

avendo posto λ = kmg . Studiamone la stabilita; la matrice hessiana di L0 e

H(ϕ, θ) = mg

(−λ sinϕ sin θ λ cosϕ cos θλ cosϕ cos θ −λ sinϕ sin θ + cos θ

).

Si ha

H(ϕi, θi) = mg

(0 λ cosϕi cos θi

λ cosϕi cos θi 0

), i = 1, 2, 3, 4,

H(ϕi, θi) = mg

(λ2 cos θi 0

0 (λ2 + 1) cos θi

), i = 5, 6, 7, 8.

Essendo detH(ϕi, θi) = −k2 per i = 1, 2, 3, 4 e cos θi > 0 se i = 5, 6, le primesei posizioni di equilibrio sono instabili. Viceversa, cos θi < 0 se i = 7, 8,dunque gli equilibri (ϕ7, θ7) e (ϕ8, θ8) sono stabili.

31

Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-zione (ϕ7, θ7) =

(π2 , π − arctanλ

). La matrice dell’energia cinetica e costan-

te

A =

(m 00 m

).

Poiche sia la matrice A che H(ϕ7, θ7) sono diagonali, le frequenze dellepiccole oscillazioni si determinano immediatamente:

ω− =√−gλ2 cos θ7 =

√k

m

√λ√

λ2 + 1,

ω+ =√−g(λ2 + 1) cos θ7 =

√k

m

√√λ2 + 1

λ,

essendo gλ = km e (cos θ7, sin θ7) =

(−1√λ2+1

, λ√λ2+1

).


Le coordinate assolute e le coordinate del sistema solidale sono legate dax = ξ cosφ− η sinφy = ξ sinφ+ η cosφz = ζ

Quindi

−−→OP =

ξ cosφξ sinφa2ξ

2

,−−→OQ =

L cosφL sinφa2L

2

Ne consegue che l’energia cinetica del sistema e

T =m

2(1 + ξ2)ξ2 +

φ2

2(mξ2 +ML2),

e l’energia potenziale e

U =m

2gaξ2.

Quindi la lagrangiana si scrive

L =m

2(1 + ξ2)ξ2 +

φ2

2(mξ2 +ML2)− m

2gaξ2.

32

La ciclicita di φ comporta l’esistenza dell’integrale primo

P = φ(mξ2 +ML2).

Si conserva inoltre l’energia meccanica

E =m

2(1 + ξ2)ξ2 +

φ2

2(mξ2 +ML2)− m

2gaξ2.

Fissato il livello P = k, il sistema ristretto ha quindi lagrangiana

L =m

2(1 + ξ2)ξ2 − m

2gaξ2 − k2

2(mξ2 +ML2)

Gli equilibri sono assegnati dai punti critici di

L0 = −m2gaξ2 +

k2

2(mξ2 +ML2),

ovvero le soluzioni di

ξm

(−ga+

k2

(mξ2 +ML2)2

)= 0

che sono

ξ = 0, ξ± = ±

√1

m

(|k|√ga−ML2

)Ovviamente la soluzione ξ = 0 esiste per ogni valore di k, mentre ξ± esistono

solo se |k|√ga > ML2, cioe se λ > 1. Per conoscere la stabilita delle soluzioni

di equilibrio esaminiamo la derivata seconda di L0. Si ha

d2L0

dξ2= −m

(ag +

k2

(mξ2 +ML2)2− 4

k2mξ2

(mξ2 +ML2)3

)Quindi ξ = 0 e un massimo propio per λ < 1 e quindi equilibrio stabile,mentre e un minimo proprio per λ > 1, quindi equilibrio instabile. Alcontrario, quando ξ± esistono (cioe per per λ > 1) sono massimi per L0

e quindi equilibri stabili. Per λ = 1, l’equilibrio ξ = 0 e multiplo, quindila derivata seconda e nulla e l’esame della stabilita abbisogna di ulterioriinvestigazioni. Si puo facilmente vedere dal grafico dell’energia potenzialeche in effetti, in questo caso, ξ = 0 e equilibrio stabile.

33


La relazione tra coordinate solidali e coordinate fisse e data dax = ξ cosφ− η sinφy = ξ sinφ+ η cosφz = ζ

Quindi, il generico punto solidale al cerchio puo essere individuato tramitele coordinate

x = R cosχ cosφy = R cosχ sinφz = R sinχ

Al variare di χ tra 0 e 2π otteniamo tutti i punti del cerchio. Le coordinatedel punto P , libero di muoversi sul cerchio sono invece

x = R cosψ cosφy = R cosψ sinφz = R sinψ

L’energia cinetica del cerchio e puramente rotazionale. Si ha

TC =φ2

2R3µ

∫ 2π

0cos2 χdχ =

R2

4Mφ2.

L’energia cinetica del punto P e

TP =R2

2m(φ2 cos2 ψ + ψ2).

Infine, l’energia potenziale e

V = mgR sinψ +K2R2

2cos2 ψ.

Pertanto

L =R2

4Mφ2 +

R2

2m(φ2 cos2 ψ + ψ2)−mgR sinψ − K2R2

2cos2 ψ

Quindi le equazioni di Lagrange sonod

dt[R2(

M

2+m cos2)φ] = 0

d

dt[R2mψ] = −R2(mφ2 −K) cosψ sinψ −mgR cosψ

34

da cui gli integrali primi,

P =

[R2(

M

2+m cos2 ψ)φ

],

E =R2

4Mφ2 +

R2

2m(φ2 cos2 ψ + ψ2) +mgR sinψ +

K2R2

2cos2 ψ.

In particolare, eliminando φ dalla prima equazione, equivalentemente otte-niamo

φ =P

R2(M2 +m cos2 ψ),

E =R2

2mψ2 +mgR sinψ +

K2R2

2cos2 ψ +

P 2

2R2(M2 +m cos2 ψ).

Consideriamo ora i moti corrispondenti alla condizione iniziale φ(0) = 0.Essi soddisfano allora le condizioni

P = 0,

E =R2

2mψ2) +mgR sinψ +

K2R2

2cos2 ψ,

percio la coordinata ψ e governata dalla stessa legge del moto unidimensio-nale di lagrangiana ridotta

Lr =R2

2mψ2 −mgR sinψ − K2R2

2cos2 ψ

Basta quindi, per conoscere il comportamento delle orbite, studiare la fun-zione V . Si ha

V ′ = cosψ[mgR− K2R2

2sinψ],

quindi abbiamo sempre i due equilibri

ψ1,2 = ±π2.

Se poi λ := mgKR < 1 si aggiungono gli equilibri

ψ3 = arcsinmg

KR, ψ4 = π − arcsin

mg

KR

Si ha infineV ′′ = −KR2{sinψ[λ− sinψ]− cos2 ψ}.

Dunque ψ1 e stabile se λ < 1 instabile se λ > 1, ψ1 e stabile. Nel caso λ < 1si vede subito che ψ3,4 sono minimi per V e quindi stabili. Il grafico di V neidue casi λ < 1 e λ > 1 permette subito di tracciare i corrispondente graficidelle orbite delle soluzioni nel piano delle fasi.

35


1) Si ha−−→OP2 =

−−→OG+

−−→GP2,

−−→OP1 =

−−→OG+

−−→GP1

con−−→GP1 = −

−−→GP2 a causa del vincolo. Quindi, posto

vG =d

dt

−−→OG, v =

d

dt

−−→GP2,

l’energia cinetica del sistema e

T =m

2|vG + v|2 +

m

2|vG − v|2 = m|vG|2 +m|v|2.

Ma −−→OG = R

(cos θ i+ sin θ j

)mentre

−−→GP2 =

−−→GH +

−−→HP2 = ` sinψ

(cosϕ i+ sinϕ j

)+ ` cosψ k

da cuiT = mR2θ2 +m`2 sin2 ψ ϕ2 +m`2ψ2


V =K

2

(|−−−→Q1P1|2 + |

−−−→Q2P2|2

)+mg (zP1 + zP2) .

MazP1 = −zP2 ,

−−−→Q2P2 =

−−→OG+

−−→GH,

−−−→Q1P1 =

−−→OG−

−−→GH

per cui

V = K(|−−→OG|2 + |

−−→GH|2

)= K

(R2 + `2 sin2 ψ

)Quindi, trascurando la costante additiva KR2, la lagrangiana del sistema e

L = mR2θ2 +m`2 sin2 ψ ϕ2 +m`2ψ2 −K`2 sin2 ψ

Le variabili θ e ϕ sono cicliche. Abbiamo quindi i tre integrali primi dell’e-nergia E e degli impulsi coniugati pθ e pϕ,

E = mR2θ2 +m`2 sin2 ψ ϕ2 +m`2ψ2 +K`2 sin2 ψ

pθ =∂L

∂θ= 2mR2θ, pϕ =

∂L

∂ϕ= 2m`2 sin2 ψ ϕ

36

2) Inserendo gli integrali primi degli impulsi nell’integrale dell’energia tro-viamo che, per ogni moto (θ(t), ϕ(t), ψ(t)), la ψ(t) e soluzione del problemaunidimensionale di energia

E = m`2ψ2 +p2θ

4mR2+

p2ϕ

4m`2 sin2 ψ+K`2 sin2 ψ

La soluzione completa si ottiene quindi dagli integrali primi degli impulsi:

θ(t) = θ(t0) +pθ

2mR2(t− t0), ϕ(t) = ϕ(t0) +

∫ t

t0

dsp2ϕ

2m`2 sin2 ψ(s)

3) Sia ora pϕ 6= 0. A meno del termine costantep2θ

4mR2 , il potenziale efficacee dato dalla funzione

Veff(ψ) = K`2(

λ

sin2 ψ+ sin2 ψ

), λ =

p2ϕ

4Km`4> 0,

definita sull’aperto (0, π) e simmetrica rispetto a π2 . Si ha Veff(ψ)→ +∞ per

ψ → 0+ o ψ → π−. Per λ ≥ 1 vi e un minimo in ψ = π2 , mentre se 0 < λ < 1

si hanno tre punti critici ψ1 <π2 < ψ2 di cui ψ1, ψ2 sono di minimo e π

2e di massimo. Quindi per λ ≥ 1 tutte le orbite sono chiuse (una soluzionestazionaria stabile e moti periodici attorno ad essa), mentre per 0 < λ < 1si hanno sia orbite aperte (corrispondenti ai moti a meta asintotica verso laposizione di equilibrio instabile) che orbite chiuse (le soluzioni stazionarieed i moti periodici attorno ad una delle due posizioni di equilibrio stabilioppure attorno ad entrambe).

4) Sia ψ(t) = ψ0 una delle soluzioni stazionarie del moto unidimensionale.Allora

θ(t) = θ(t0)+pθ

2mR2(t−t0), ϕ(t) = ϕ(t0)+

p2ϕ

2m`2 sin2 ψ0(t−t0), ψ(t) = ψ0

e soluzione periodica del sistema lagrangiano completo purche il rapporto

ωθ/ωϕ tra le frequenze ωθ = pθ2mR2 e ωϕ =

p2ϕ2m`2 sin2 ψ0

sia razionale.

37


1) Si ha X = x cosφY = yZ = −x sinφ

Quindi, detto I il momento di inerzia dell’asta rispetto ad r (I = M12L

2), siha

L =I

2φ2 +

m

2(x2φ2 + x2 + y2) +mgx sinφ− K

2(x2 + y2 + 2x sinφZ0)

Si vede quindi che si tratta di due problemi disaccoppiati

L1 =m

2y2 − K

2y2

ed

L2 =I

2φ2 +

m

2(x2φ2 + x2) + (mg −KZ0)x sinφ− K

2x2 = T + U

2) Il moto di y e quindi assegnato da

y(t) = A cosωt+B sinωt, ω =

√K

m,

cioe un oscillatore armonico.

3) Passiamo allo studio di L2. Gli equilibri relativi sono assegnati dallesoluzioni del sistema

∂U

∂x= −(mg −KZ0) sinφ−Kx = 0

∂U

∂φ= −(mg −KZ0)x cosφ = 0

Si ricordi la definizione del parametro λ;

λ =mg −KZ0

K

38

Per λ 6= 0 si hanno i seguenti equilibri:

(I) : (x1, φ1) = (0, 0)

(II) : (x2, φ2) = (0, π)

(III) : (x3, φ3) =(− λ, π

2

)(IV ) : (x4, φ4) =

(λ,−π

2

)

Se λ = 0 gli equilibri sono un continuum:

(V ) : (0, φ), φ ∈ [0, 2π).

Naturalmente gli equilibri del sistema con Lagrangiana totale L sono iden-tificati da quanto sopra scritto e y = 0 Passiamo alla stabilita degli equilibriper λ 6= 0. Ovviamente le parti quadratiche di L1, L2 sono disaccoppiate,percio dobbiamo esaminare solo lo Hessiano di U,

H(x, φ) := K

(−1 +λ cosφ

+λ cosφ λx sinφ

)nei vari casi. Nei casi (I) e (II) si ha

detH < 0,

dunque (I) e (II) sono instabili. Nei casi (III) e (IV) si ha

detH = K2λ2, TrH = −K(1 + λ2),

e quindi (III) e (IV) sono stabili.

4) Il caso λ = 0 presenta una degenerazione. Per λ = 0 la lagrangiana L2 siriduce a

L2 =I

2φ2 +

m

2(x2φ2 + x2)− K

2x2

e quindi

φ =c

I +mx2

essendo c la costante asssegnata dalle condizioni iniziali L’evoluzione dellacoordinata x e assegnata dalla legge di conservazione

x2 =2

m

(E − Kx2

2+

c2

2(I +mx2)

)39

essendo E l’energia del sistema di lagrangiana L2. Si ha quindi per I <√mc2

K una doppia buca di potenziale, mentre per I ≥√

mc2

K una buca con

un solo minimo. Si completi tracciando il grafico delle curve integrali nellospazio delle fasi.


1) Fissato un riferimento cartesiano sul piano Π di origine O ed asse verticaleascendente, i punti P e G hanno rispettivamente coordinate (` cosϕ, ` sinϕ)ed (s cosϕ, s sinϕ). Quindi, detto I il momento di inerzia del disco rispettoall’asse ortogonale al piano Π e passante per il baricentro, la lagrangiana delsistema e L = L1 + L2 con

L1 =1

2

[(Ms2 +m`2)ϕ2 +Ms2

]− K

2(s− `)2 − g sinϕ(Ms+m`)

ed

L2 =I

2ψ2.

Il moto di ψ e quindi ψ(t) = ψ(0) + ω0t con ω0 = ψ(0) la velocita angolareiniziale del disco.

2) Le posizioni di equilibrio per la lagrangiana L1 sono le soluzioni delsistema {

−g cosϕ(Ms+m`) = 0,−K(s− `)−Mg sinϕ = 0.

Per ogni valore del parametro λ > 0 si hanno le soluzioni

(ϕ1, s1) =

(π

2, `− Mg

K

), (ϕ2, s2) =

(3π

2, `+

Mg

K

).

Quando λ ∈ (0, 1] si hanno inoltre le soluzioni

(ϕ3, s3) =

(arcsinλ,−m`

M

), (ϕ4, s4) =

(π − arcsinλ,−m`

M

)(se λ = 1 allora (ϕ1, s1) = (ϕ3, s3) = (ϕ4, s4)). Studiamone la stabilita; lamatrice hessiana del potenziale e

H(ϕ, s) =

(g sinϕ(Ms+m`) −Mg cosϕ−Mg cosϕ −K

)

40

Quindi

H(ϕ1, s1) =

(−M2g2(1−λ)

K 00 −K

), H(ϕ2, s2) =

(−M2g2(1+λ)

K 00 −K

)

H(ϕi, si) =

(0 −Mg cosϕi

−Mg cosϕi −K

), i = 3, 4.

Ricaviamo quindi che (ϕ1, s1) e stabile se λ ∈ (0, 1) ed instabile se λ > 1,(ϕ2, s2) e stabile per ogni λ > 0, mentre (ϕi, si), i = 3, 4, sono instabili perλ ∈ (0, 1).

3) La matrice dell’energia cinetica relativa ad L1 e

A(ϕ, s) =

(Ms2 +m`2 0

0 M

).

Consideriamo l’equilibrio stabile (ϕ1, s1), λ ∈ (0, 1); le matrici A(ϕ1, s1) edH(ϕ1, s1) sono diagonali e quindi calcoliamo subito le frequenze,

ω(1)1 =

√M2g2(1− λ)

K(Ms21 +m`2)

, ω(2)1 =

√K

M.

Analogamente, per l’equilibrio stabile (ϕ2, s2), λ > 0, otteniamo

ω(1)2 =

√M2g2(1 + λ)

K(Ms22 +m`2)

, ω(2)2 =

√K

M.


1) Sia {O;x, y, z} un sistema solidale a Π, tale che z = Z e l’asse delle ascissex e diretto lungo V . Si ha allora

X = x cosφ− y sinφY = x sinφ+ y cosφZ = z

Poiche le coordinate di P nel sistema solidale sono x = R + r cos θ, y = 0 ez = r sin θ, ne consegue che le coordinate inerziali di P sono

X = (R+ r cos θ) cosφY = (R+ r cos θ) sinφZ = r sin θ

41

Di qui si ricava subito che l’energia cinetica e

T =m

2

[(R+ r cos θ)2φ2 + r2θ2

].

Il potenziale dovuto alla molla e

Umolla = −kRr cos θ + kdr sin θ,

mentre quello dovuta alla forza peso e

Upeso = −mgY = −mgr sin θ.

Con le richieste fatte su d (kd = mg) si ha allora

U = Umolla + Upeso = −kRr cos θ.

Quindi la lagrangiana e

L = T + U =m

2

[(R+ r cos θ)2φ2 + r2θ2

]− kRr cos θ.

2) Si vede che resta conservato l’impulso coniugato a φ,

p = m(R+ r cos θ)2φ,

per cui φ e ciclica. Sostituendo nell’integrale primo dell’energia,

E = T − U =m

2

[(R+ r cos θ)2φ2 + r2θ2

]+ kRr cos θ,

troviamo

E =m

2r2θ2 + kRr cos θ +

p2

2m(R+ r cos θ)2,

da cui ricaviamo che la lagrangiana ridotta e

Lridotta =m

2r2θ2 − kRr cos θ − p2

2m(R+ r cos θ)2.

3) Denotando con Ueff il potenziale efficace,

Ueff = −kRr cos θ − p2

2m(R+ r cos θ)2,

42

si hadUeff

dθ=

[kRr − rp2

m(R+ r cos θ)3

]sin θ.

Si hanno sempre i punti critici

θ1 = 0, θ2 = π.

Gli altri punti critici sono le soluzioni di

cos θ =1

r

[(p2

mkR

)1/3

−R],

ovvero

θ3 = arccos

[1

r

(p2

mkR

)1/3

− R

r

], θ4 = 2π − θ3,

che esistono se e solo se A1 ≤ |p| ≤ A2 dove

A1 =√mkR(R− r)3, A2 =

√mkR(R+ r)3.

(in particolare, se |p| = A1 allora θ2 = θ3 = θ4, mentre se |p| = A2 alloraθ1 = θ3 = θ4). Infine si ha

d2Ueff

dθ2(θ1) = kR− p2

m(R+ r)3,

d2Ueff

dθ2(θ2) =

p2

m(R− r)3− kR

e, se A1 ≤ |p| ≤ A2,

d2Ueff

dθ2(θ3) =

d2Ueff

dθ2(θ4) = − 3r2p2 sin2 θ3

m(R+ r cos θ3)4.

Quindii) se |p| ≤ A1 allora θ1 e instabile e θ2 e stabile.ii) se |p| ≥ A2 allora θ1 e stabile e θ2 e instabile.iii) se A1 < |p| < A2 allora θ1 e θ2 sono instabili mentre θ3 e θ4 sono

stabili.Si osservi che nel caso critico |p| = A1 (rispettivamente |p| = A2) si ha

U ′′eff(θ2) = 0 (rispettivamente U ′′eff(θ1) = 0). Possiamo comunque affermareche il punto θ2 (rispettivamente θ1) e stabile poiche si vede facilmente che eun punto di massimo proprio del potenziale, per cui siamo nelle ipotesi delTeorema di Lagrange-Dirichlet.

43

4) Ovviamente, in corrispondenza ai punti critici θi, i = 1, 2, 3, 4, del poten-ziale efficace troviamo le soluzioni periodiche (θi, φi(t)) del sistema completocon

φi(t) =p

m(R+ r cos θi)2t+ φ0.


1) Siano e1 ed e2 i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente. Si ha

−−→OC = xe1 − x2e2,

−−→QC = xe1 − (1 + x2)e2,

−−→OP1 = (x+cosϕ)e1 +(−x2 +sinϕ)e2,

−−→OP2 = (x−cosϕ)e1−(x2 +sinϕ)e2,

e quindi−→vP1 = (x− ϕ sinϕ)e1 + (−2xx+ ϕ cosϕ)e2,

−→vP2 = (x+ ϕ sinϕ)e1 − (2xx+ ϕ cosϕ)e2.

L’energia cinetica e

T =m

2

(−→vP12 +−→vP2

2)

= m[(1 + 4x2)x2 + ϕ2

]L’energia potenziale dovuta alla molla e

Umolla =K

2|−−→QC|2 =

K

2

[x2 + (1 + x2)2

],

mentre quella dovuta alla forza peso e

Upeso = mg(yP1 + yP2

)= mg

(− x2 + sinϕ− x2 − sinϕ

)= −2mgx2,

Quindi, a meno di una costante additiva, l’energia potenziale totale U =Umolla + Upeso e

U = U(x) =K

2

[(3− 4λ)x2 + x4

].

La lagrangiana L = T − U si decompone come richiesto essendo

L(1)(x, x) = m(1 + 4x2)x2 − U(x), L(2)(ϕ, ϕ) = mϕ2.

2) L’equazione di Lagrange per ϕ e quella di un moto libero (ϕ = 0), da cui

ϕ(t) = ϕ(0) + ϕ(0)t.

44

3) Il moto della variabile x si determina qualitativamente utilizzando l’inte-grale primo dell’energia generalizzata

E(x, x) = x∂L(1)

∂x(x, x)− L(1)(x, x) = m(1 + 4x2)x2 + U(x).

Osserviamo che U(x) → +∞ se |x| → +∞, cosicche tutti i moti sonolimitati. Distinguiamo due casi:

i) λ ≤ 3/4. L’energia potenziale U possiede un unico punto di minimoin x = 0. Esiste quindi un unico insieme di livello critico, quello di energiaE0 = U(0) = 0, costituito dal singolo punto (0, 0), che rappresenta la curvadi fase della soluzione stazionaria x(t) ≡ 0. Ogni insieme di livello di energiaE > E0 e costituito da una curva di fase chiusa che corrisponde ad un motoperiodico.

ii) λ > 3/4. L’energia potenziale U possiede un punto di massimorelativo in x = 0 e due punti di minimo assoluto in

x± = ±√

4λ− 3

2.

Si hanno due insiemi di livello critici di energia E1 = U(x−) = U(x+) < 0ed E0 = U(0) = 0. Il primo e costituito dall’unione dei punti (x−, 0) ed(x+, 0), curve di fase delle soluzioni stazionarie x−(t) ≡ x− ed x+(t) ≡ x+

rispettivamente. Gli insiemi di livello di energia E1 < E < E0 sono l’unionedi due curve di fase chiuse corrispondenti a soluzioni periodiche attorno alleposizioni di equilibrio x±. L’insieme di livello critico di energia E = E0 einvece l’unione di tre curve di fase, il punto (0, 0), relativo alla soluzionestazionaria x(t) ≡ 0, e le due curve aperte corrispondenti ai moti a metaasintotica verso x = 0. Infine gli insiemi di livello di energia E > E0

sono costituiti da un’unica curva di fase chiusa, corrispondente ad un motoperiodico.

4) Se λ = 1 le posizioni di equilibrio stabili sono x± = ±√

1/2. Per simme-tria la frequenza e la stessa per entrambe; per fissare la notazione conside-riamo la posizione x+. Posto (ξ, ξ) = (x− x+, x), la lagrangiana quadraticaattorno a x+ e

L(ξ, ξ) = m(1 + 4x2+)ξ2 − 1

2U ′′(x+)ξ2 = 3mξ2 −Kξ2

da cui

ω =

√K

3m.

45

5) Se si esclude la molla l’energia potenziale si riduce ad U(x) = −2mgx2,cosicche, a parte la soluzione stazionaria x(t) ≡ 0, tutti gli altri moti dix sono illimitati (il punto C “cade” lungo la guida. Per stabilire se talimoti sono soluzioni globali dobbiamo stimare il tempo necessario per lacaduta. Restringiamoci al caso in cui una soluzione x(t) tende a +∞ (perla simmetria di U non e limitativo). Dopo una prima eventuale fase dimoto retrogrado il moto diventa progressivo, e durante tale fase il temponecessario ad andare da una posizione x a +∞ e

t(x→ +∞) =

∫ +∞

xdx

√m(1 + 4x2)

E + 2mgx2

con E = E(x(0), x(0)) l’energia del moto considerato. Poiche la funzio-ne integranda converge al valore positivo

√2/g per x → +∞, l’integrale

improprio diverge. Quindi t(x → +∞) = +∞ e tutte le soluzioni sonoglobali.

6) La risposta e affermativa. Consideriamo un qualsiasi moto periodico dellavariabile x; se x1 < x2, sono i punti di arresto di tale moto allora il periodoe

Tx = 2

∫ x2

x1

dx

√m(1 + 4x2)

E − U(x),

essendo E = U(x1) = U(x2). D’altra parte il moto della variabile angolareϕ e uniforme con periodo Tϕ = 2π/ϕ(0). E sufficiente quindi sceglierela velocita iniziale ϕ(0) tale che il rapporto Tx/Tϕ sia razionale perche lasoluzione t 7→ (x(t), ϕ(t)) sia periodica.


1) Il punto Q ha coordinate (x, 0), mentre il punto P ha coordinate (x +` sin θ,−` cos θ). L’energia cinetica e

T =m

2

(|−→vQ|2 + |−→vP |2

)=m

2

(2x2 + 2` cos θ xθ + `2θ2

).

L’energia potenziale dovuta alla molla e

Umolla =k

2|−−→CP |2 =

k

2x2 + k`x sin θ + k`2 cos θ + k`2,

mentre quella dovuta alla forza peso e

Upeso = −mg` cos θ.

46

Quindi (a meno di una costante additiva) la lagrangiana e L = L2 +L0 con

L2 =m

2

(2x2+2` cos θ xθ+`2θ2

), L0 = −k

2x2−k`x sin θ+(mg`−k`2) cos θ.


∂x= −kx− k` sin θ = 0

∂L0

∂θ= −k`x cos θ − (mg`− k`2) sin θ = 0

La prima equazione implica x = −` sin θ; sostituendo nella seconda e ricor-dando la definizione di λ troviamo{

x = −` sin θ(cos θ − λ+ 1) sin θ = 0

Quindi per tutti i valori di λ > 0 si hanno le soluzioni

(x1, θ1) = (0, 0), (x2, θ2) = (0, π).

Inoltre, nel caso in cui 0 < λ ≤ 2 si hanno anche le soluzioni

(x3, θ3) = (−` sin θλ, θλ), (x4, θ4) = (` sin θλ,−θλ),

essendo θλ = arccos(λ− 1), ovvero l’angolo tale che

cos θλ = λ− 1, sin θλ =√

1− (λ− 1)2.

Chiaramente se λ = 2 allora (x1, θ1) = (x3, θ3) = (x4, θ4), ovvero λ = 2 eun punto di biforcazione della soluzione (x1, θ1). Studiamo la stabilita degliequilibri trovati. La matrice hessiana di L0 e

H(x, θ) =

(−k −k` cos θ

−k` cos θ k`x sin θ − (mg`− k`2) cos θ

).

Poniamo Hi := H(xi, θi) per i = 1, 2, 3, 4. Quindi

H1 =

(−k −k`−k` −(mg`− k`2)

)=⇒

{detH1 = k`2(λ− 2)TrH1 = −k − k`2(λ− 1)

da cui ricaviamo che (x1, θ1) e stabile per λ > 2 ed instabile per 0 < λ < 2.

H2 =

(−k k`k` (mg`− k`2)

)=⇒

{detH2 = −k`2λTrH2 = −k + k`2(λ− 1)

47

da cui ricaviamo che (x2, θ2) e instabile per ogni λ > 0. Infine, per i = 3, 4si ha

Hi =

(−k −k`(λ− 1)

−k`(λ− 1) −k`2)

=⇒{

detHi = k2`2[1− (λ− 1)2]TrHi = −k(1 + `2)

da cui ricaviamo che (xi, θi) sono stabili per 0 < λ < 2.

3) Se λ > 2 l’unica posizione di equilibrio stabile e (x1, θ1) = (0, 0). Sia Ala matrice dell’energia cinetica A(x, θ) calcolata in (0, 0), ovvero

A =

(2m m`m` m`2

).

Detto H = H(0, 0) l’hessiano di L0 in (0, 0), le frequenze delle piccole oscil-lazioni sono ω± =

√−µ±, essendo µ± le radici dell’equazione caratteristica


(−k − 2mµ −k`−m`µ−k`−m`µ −(mg`− k`2)−m`2µ

)= 0,

ovvero, ricordando la definizione di λ,

m2µ2 +mk(2λ− 3)µ+ k2(λ− 2) = 0,

da cui

ω± =

√2λ− 3±

√4λ2 − 16λ+ 17

2

√k

m.


1) Nelle coordinate polari (r, ϕ), r > 0, ϕ ∈ [0, 2π], l’equazione dellasuperficie e

x3 = log r.

Siano inoltre

~er.= cosϕ~e1 + sinϕ~e2, ~eϕ

.= − sinϕ~e1 + cosϕ~e2.

essendo {~e1, ~e2, ~e3} i versori degli assi coordinati. Si ha allora

−−→OP = r ~er + log r ~e3,

−→vP = r ~er + rϕ~eϕ +r

r~e3.

da cui ricaviamo che l’energia cinetica e

T =m

2|−→vP |

2 =m

2

[(1 +

1

r2

)r2 + r2ϕ2

],

48


V = mgx3 = mg log r.

Concludiamo che la lagrangiana e

L =m

2

[(1 +

1

r2

)r2 + r2ϕ2

]−mg log r.

2) La lagrangiana e indipendente dal tempo ed inoltre la variabile ϕ e ciclica.Sussistono quindi gli integrali primi

E =m

2

[(1 +

1

r2

)r2 + r2ϕ2

]+mg log r,

Pϕ =∂L

∂ϕ= mr2ϕ.

3) Le equazioni del moto si riducono a quadratura mediante gli integraliprimi. Piu precisamente si ha

ϕ(t) = ϕ(0) +

∫ t

0ds

Pϕmr(s)2

,

con t 7→ r(t) soluzione due volte differenziabile di

E =m

2

(1 +

1

r2

)r2 + Veff(r),

avendo posto

Veff(r).=

P 2ϕ

2mr2+mg log r.

Osserviamo che ϕ(0) 6= 0 se e solo se Pϕ 6= 0. Consideriamo allora il po-tenziale efficace Veff per Pϕ 6= 0: essendo V ′eff(r) = −P 2

ϕ/(mr3) + mg/r,

il potenziale possiede un unico punto critico in r0 = |Pϕ|/√m2g; inoltre

Veff(r) → +∞ per r → 0+ oppure r → +∞. Posto allora E0 = Veff(r0) edosservato che

r = ±

√2[E − Veff(r)

]r2

m(1 + r2),

concludiamo che tutti i moti possibili t 7→ r(t) sono limitati (l’insieme{r : Veff(r) ≤ E} e un intervallo chiuso e limitato per ogni E ≥ E0). In

49

particolare l’insieme di livello critico E = E0 si compone del singolo pun-to {(r0, 0)}, che e l’orbita nello spazio delle fasi della soluzione stazionariar(t) ≡ r0. Se invece E > E0 l’insieme di livello e costituito da una curvaregolare chiusa, orbita nello spazio delle fasi di un moto periodico t 7→ r(t).

4) Una soluzione periodica per il moto complessivo t 7→ (r(t), ϕ(t)) e

r(t) = r0, ϕ(t) = ϕ(0) +Pϕmr2

0

t

(quindi si ottengono infinite soluzioni periodiche variando il parametro Pϕ 6=0).

5) Se ϕ(0) = 0 allora Pϕ = 0, cosicche ϕ(t) ≡ ϕ(0) mentre t 7→ r(t) esoluzione due volte differenziabile di

E =m

2

(1 +

1

r2

)r2 +mg log r,

ovvero

r = ±

√2(E −mg log r)r2

m(1 + r2).

Quindi per ogni valore di E ∈ R si hanno cadute nel centro (se r(0) > 0 lacaduta nel centro e preceduta da una fase di moto progressivo fino al puntodi arresto rE

.= − exp[−E/mg]). Infine il tempo necessario alla caduta e

t(r → 0) =

∫ r

0dr

√m(1 + r2)

2(E −mg log r)r2= +∞,

per cui tutte le soluzioni sono globali.


1) Le coordinate cartesiane di P1 [risp. P2] sono (x1, ax21) [risp. (x2, ax

22)].

Quindi le velocita di P1 e P2 hanno componenti (x1, 2ax1x1) e (x2, 2ax2x2)rispettivamente. L’energia cinetica e dunque

T =m

2

[(1 + 4a2x2

1) x21 + (1 + 4a2x2

2) x22

].

L’energia potenziale e invece

U = Uin + Upeso =k

4(x1 − x2)4 +mga(x2

1 + x22).

50

Quindi la lagrangiana e

L = T−U =m

2

[(1+4a2x2

1) x21+(1+4a2x2

2) x22

]− k

4(x1−x2)4−mga(x2

1+x22).

2) Le posizioni di equilibrio del sistema sono i punti critici di L0 = −U ,ovvero le soluzioni del sistema

∂L0

∂x1= −k(x1 − x2)3 − 2mgax1 = 0

∂L0

∂x2= k(x1 − x2)3 − 2mgax2 = 0

da cui {x1 + x2 = 0x3

1 + mga4k x1 = 0

Concludiamo che per ogni a 6= 0 esiste la posizione di equilibrio (x1, x2) =(0, 0), mentre se a < 0 si hanno inoltre le posizioni

(x1, x2) = (A,−A), (x1, x2) = (−A,A), essendo A =

√mg|a|

4k.

Calcoliamo l’hessiano di L0

H(x1, x2) =

(−3k(x1 − x2)2 − 2mga 3k(x1 − x2)2

3k(x1 − x2)2 −3k(x1 − x2)2 − 2mga

).

Quindi

H(0, 0) = −2mga

(1 00 1

),

cosicche la posizione (0, 0) e stabile se a > 0 ed instabile se a < 0. Se a < 0si ha inoltre

H(±A,∓A) =

(−12kA2 − 2mga 12kA2

12kA2 −12kA2 − 2mga

)= mg|a|

(−1 33 −1

),

cosicche le soluzioni (±A,∓A) sono instabili (l’ultima matrice possiede au-tovalori λ1 = −4, λ2 = 2).

3)Se a > 0 abbiamo l’unica posizione di equilibrio stabile e (x1, x2) = (0, 0).La matrice dell’energia cinetica e

A(x1, x2) = m

(1 + 4a2x2

1 00 1 + 4a2x2

2

),

51

cosicche

A = A(0, 0) = m

(1 00 1

).

Abbiamo gia calcolato l’hessiano H = H(0, 0), anch’esso proporzionale allamatrice identita. Le frequenze sono quindi

ω1 = ω2 =√

2ga.

4) Se a = 0 l’equazione del vincolo diventa y = 0, ovvero i due punti sonovincolati a scorrere lungo l’asse coordinato orizzontale. La lagrangiana delsistema e allora

L =m

2

(x2

1 + x22

)− k

4(x1 − x2)4.

Poiche l’interazione dipende solo dalla differenza delle coordinate dei duepunti, conviene utilizzare le coordinate del loro centro di massa e della loroposizione relativa, ovvero

xG.=x1 + x2

2, x

.= x1 − x2.

In tali coordinate la lagrangiana si scrive

L = mx2G +

m

4x2 − k

4x4.

Osserviamo che essa non dipende esplicitamente dal tempo e che la varia-bile xG e ciclica. Quindi si conservano l’energia meccanica ed il momentoassociato a xG:

E = mx2G +

m

4x2 +

k

4x4, P = 2mxG.

Dalla conservazione di P ricaviamo che il baricentro si muove di motorettilineo uniforme:

xG(t) = xG(t0) +P

2m(t− t0).

Sostituendo xG = P/(2m) nell’integrale primo dell’energia possiamo infinedeterminare i moti della variabile x quali soluzioni due volte differenziabilidell’equazione

E =m

4x2 +

k

4x4,

essendo E.= E−P 2/(4m) l’energia meccanica dei due punti in un riferimento

inerziale solidale al baricentro. Chiaramente il livello di energia E = 0 sicompone del singolo punto (x, x) = (0, 0) che corrisponde alla soluzionestazionaria x(t) ≡ 0. I livelli di energia E > 0 sono invece delle curveregolari chiuse che corrispondono a moti periodici di x.

52


1) Siano ~e1 ed ~e2 i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente. Si ha

−−→OC = x~e1 − x~e2,

−→vC = x~e1 − x~e2.

Il momento di inerzia della sbarretta AB rispetto a C e I = m2

∫ 1−1ds s

2 = m3 .

Quindi l’energia cinetica del sistema e

T =m

2|−→vC |2 +

1

2Iθ2 =

m

2

(2x2 +

1

3θ2

).

Essendo

−→OA = (x+ cos θ)~e1 + (−x+ sin θ)~e2,

−−→OB = (x− cos θ)~e1 + (−x− sin θ)~e2,

l’energia potenziale e

U = Umolle + Upeso =k

2

[(x+ cos θ)2 + (−x+ sin θ)2 + (x− cos θ)2

]−mgx,


U =k

2

(3x2 − 2x sin θ + cos2 θ − 8λx

), λ

.=mg

4k.

La lagrangiana L = T − U = L2 + L0 e dunque

L(x, θ, x, θ) =m

2

(2x2 +

1

3θ2

)− k

2

(3x2 − 2x sin θ + cos2 θ − 8λx

).


∂x= −k

(3x− sin θ − 4λ

)= 0,

∂L0

∂θ= k

(x+ sin θ

)cos θ = 0.

Per ogni valore dei parametri si hanno le due soluzioni

(x1, θ1) =

(4λ+ 1

3,π

2

), (x2, θ2) =

(4λ− 1

3,3π

2

).

Se λ ∈ (0, 1) si hanno le altre due soluzioni

(x3, θ3) = (λ,− arcsinλ) , (x4, θ4) = (λ, π + arcsinλ) .

53


H(x, θ) = k

(−3 cos θ

cos θ −x sin θ + cos(2θ)

).

Quindi

H(x1, θ1) = k

(−3 0

0 −4(λ+1)3

), H(x2, θ2) = k

(−3 0

0 4(λ−1)3

),

H(x3, θ3) = k

(−3

√1− λ2

√1− λ2 1− λ2

),

H(x4, θ4) = k

(−3 −

√1− λ2

−√

1− λ2 1− λ2

).

Chiaramente (x1, θ1) e stabile per ogni valore del parametro λ > 0 mentre(x2, θ2) e stabile per λ ∈ (0, 1) ed instabile per λ > 1. Infine, essendo

detH(x3, θ3) = detH(x4, θ4) = −4(1− λ2),

le posizioni (x3, θ3) ed (x4, θ4) sono instabili per λ ∈ (0, 1), ovvero quandoesistono distinte da (x2, θ2).

Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-zione stabile (x1, θ1). La matrice dell’energia cinetica in (x1, θ1) e

A =

(2m 00 m

3

).

Essendo diagonale anche la matrice hessiana H(x1, θ1), le frequenze dellepiccole oscillazioni si calcolano immediatamente,

ω1 =

√3k

2m, ω2 =

√4(λ+ 1)k

m.

2) Con l’ulteriore vincolo x = 0 si giunge al problema unidimensionale dilagrangiana

L(x, x) =m

6θ2 − k

2cos2 θ.

che si integra mediante l’integrale primo dell’energia,

H(θ, θ) =m

6θ2 +

k

2cos2 θ.

54

Il livello critico E = 0 si compone delle orbite corrispondenti alle soluzionistazionarie (θ, θ) =

(π2 , 0),(

3π2 , 0

). I livelli 0 < E < k

2 si compongono delleorbite corrispondenti ai moti periodici attorno alle posizioni di equilibrioθ = π

2 ,3π2 . Il livello critico E = k

2 si compone delle orbite corrispondenti alle

soluzioni stazionarie (θ, θ) = (0, 0) , (π, 0) ed ai relativi moti a meta asinto-tica. Infine i livelli E > k

2 si compongono di moti progressivi o retrogradicorrispondenti a rotazioni complete della sbarretta attorno al suo baricentro.


Siano ~e1 ed ~e2 i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente edindichiamo con G il baricentro della sbarretta. Si ha

−−→OQ = ~e2,

−→OA = x~e1,

−−→OB = (x+ cos θ)~e1 + sin θ ~e2,

−−→OG =

(x+

1

2cos θ

)~e1 +

1

2sin θ ~e2,

−→vG =(x− 1

2θ sin θ

)~e1 +

1

2θ cos θ ~e2.

Il momento di inerzia della sbarretta AB rispetto a G e I = 2m∫ 1/2−1/2ds s

2 =m6 . Quindi l’energia cinetica del sistema e

T =2m

2|−→vG|2 +

1

2Iθ2 =

m

2

(2 x2 +

2

3θ2 − 2 sin θ x θ

).


U = Upeso +Umolla = 2mgyG+k

2

∣∣−−→QB∣∣2 =k

2x2 +k x cos θ+(mg−k) sin θ+k.

La lagrangiana L = L2 + L0 e dunque

L(x, θ, x, θ) =m

2

(2 x2 +

2

3θ2 − 2 sin θ x θ

)− k

2x2−k x cos θ−(mg−k) sin θ.


∂x= −kx− k cos θ = 0,

∂L0

∂θ= kx sin θ − (mg − k) cos θ = 0.

Per ogni valore dei parametri si hanno le due soluzioni

(x1, θ1) =(

0,π

2

), (x2, θ2) =

(0,

3π

2

).

55

Se |λ| < 1 si hanno le altre due soluzioni

(x3, θ3) =(−√

1− λ2, arcsinλ), (x4, θ4) =

(√1− λ2, π − arcsinλ

).


H(x, θ) = k

(−1 sin θ

sin θ x cos θ − λ sin θ

).

Quindi

H(x1, θ1) = k

(−1 11 −λ

), H(x2, θ2) = k

(−1 −1−1 λ

),

H(x3, θ3) = H(x4, θ4) = k

(−1 λλ −1

),

Chiaramente (x1, θ1) e instabile per ogni valore del parametro λ < 1 mentre(x2, θ2) e stabile per λ < −1 ed instabile per |λ| < 1. Infine, le posizioni(x3, θ3) ed (x4, θ4) sono stabili per |λ| < 1, ovvero quando esistono distinteda (x2, θ2).

Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-zione stabile (x2, θ2) per λ < −1. La matrice dell’energia cinetica in (x1, θ1)e

A =

(2m mm 2m

3

).

Posto H = H(x2, θ2), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =√−µ±, essendo µ± le radici dell’equazione caratteristica


(−k − 2mµ −k −mµ−k −mµ kλ− 2m

3 µ

)= 0,

ovverom2

3µ2 − 2mk

3(2 + 3λ)µ− k2(λ+ 1) = 0,

da cui

ω± =

√k

m

√−2− 3λ±

√9λ2 + 15λ+ 7.

56


1) La lagrangiana L = L2 + L0 e

L(x, y, x, y) =m

2

(x2 + y2

)− λx2 − 1

2y2 + log(1 + x2 + y2).


∂x= −2λx+

2x

1 + x2 + y2= 0,

∂L0

∂y= −y +

2y

1 + x2 + y2= 0,

ovvero del sistema x(x2 + y2 − 1− λ

λ

)= 0,

y(x2 + y2 − 1

)= 0.

Per ogni valore di λ 6= 12 si hanno le soluzioni (0, 0) e (0,±1). Se λ ∈ (0, 1)

si hanno le ulteriori soluzioni

(±√

1−λλ , 0

). Infine, se λ = 1

2 si ha un

continuo di soluzioni, precisamente tutti i punti sulla circonferenza unitaria.Studiamone la stabilita; la matrice hessiana di L0 e

H(x, y) = 2

−λ+

1− x2 + y2

(1 + x2 + y2)2− 2xy

(1 + x2 + y2)2

− 2xy

(1 + x2 + y2)2−1

2+

1 + x2 − y2

(1 + x2 + y2)2

.

Quindi

H(0, 0) =

(2(1− λ) 0

0 1

), H (0,±1) =

(1− 2λ 0

0 −1

),

H

(±√

1− λλ

, 0

)=

(4λ(λ− 1) 0

0 2λ− 1

).

Si deduce che l’equilibrio (0, 0) e instabile, gli equilibri (0,±1) sono stabili

se λ > 12 ed instabili se λ ∈

(0, 1

2

), gli equilibri

(±√

1−λλ , 0

)sono stabili se

57

λ ∈(

0, 12

)ed instabili se λ ∈

(12 , 1)

. Le frequenze delle piccole oscillazioni

attorno alle posizioni (0,±1) per λ > 12 sono

ω1 =

√2λ− 1

m, ω2 =

√1

m.

2) Se λ = 12 il campo di forze e centrale, ovvero l’energia potenziale e funzione

della sola distanza del punto dall’origine O delle coordinate. In tale caso,oltre all’integrale primo dell’energia meccanica,

H(x, y, x, y) =m

2

(x2 + y2

)+

1

2

(x2 + y2)− log(1 + x2 + y2),

e integrale primo del moto anche il momento della quantita di moto rispettoal centro O, ovvero la grandezza

P (x, y, x, y) = m(xy − xy).

Per determinare una soluzione periodica conviene utilizzare le coordinatepolari (r, θ), nelle quali gli integrali primi si scrivono

H(r, θ, r, θ) =m

2(r2 + r2θ2) +

r2

2− log(1 + r2), P (r, θ, r, θ) = mr2θ.

Quindi, fissati i livelli E edM di tali integrali, il moto della variabile angolaree

θ(t) = θ(0) +

∫ t

0ds

M

mr(s)2,

dove r(t) e una soluzione due volte differenziabile del problema del prim’or-dine

m

2r2 + UM (r) = E, dove UM (r) :=

r2

2− log(1 + r2) +

M2

2mr2.

Possiamo facilmente determinare diverse soluzioni periodiche. Una primaclasse di queste e costituita dai moti circolari uniformi che si ottengonofissando M 6= 0 e scegliendo r(t) = r∗M , con r∗M un punto critico dellafunzione UM (r), che esiste sicuramente poiche, se M 6= 0,

limr→0+

UM (r) = limr→+∞

UM (r) = +∞.

E facile determinare anche un’altra classe di soluzioni periodiche. Infatti seM = 0 la funzione UM (r) ha un minimo in r = 1

2 . Quindi, fissando M = 0ed indicando con r(t) un qualsiasi moto periodico attorno alla posizioner = 1

2 , la coppia (r(t), θ(t)) = (r(t), θ(0)) fornisce una soluzione periodicadel sistema.

58


1) Il punto P ha coordinate (x, 12x

4−x2) e quindi velocita ~vP di componenti

(x, 2x(x2 − 1) x). Poiche U(x, y) := −x2

2 − y e l’energia potenziale associataal campo di forza F (x, y) la lagrangiana del sistema si scrive

L(x, x) =1

2|~vP |2 − U

(x,

1

2x4 − x2

)=

1

2

[1 + 4x2(x2 − 1)2

]x2 +

1

2(x4 − x2).

2) L’analisi qualitativa si realizza utilizzando l’integrale primo dell’energiageneralizzata

H(x, x) = x∂L

∂x(x, x)− L(x, x) =

1

2

[1 + 4x2(x2 − 1)2

]x2 − 1

2(x4 − x2).

L’insieme di livello E dell’energia e l’unione dei grafici delle funzioni x =±fE(x) con

fE(x) = ±

√2E + x4 − x2

1 + 4x2(x2 − 1)2.

I livelli critici dell’energia sono E = 0 ed E = 18 . Su ogni livello E < 0

si hanno due moti illimitati, ciascuno con un punto di inversione del moto;sul livello E = 0 si hanno due moti illimitati, ciascuno con un punto diinversione del moto, e la soluzione stazionaria corrispondente all’equilibriox = 0; su ogni livello 0 < E < 1

8 si hanno due moti illimitati, ciascuno conun punto di inversione del moto, ed un moto periodico attorno ad x = 0;sul livello E = 1

8 si hanno le due soluzioni stazionarie corrispondenti agli

equilibri x = ±√

12 , due moti a meta asintotica, uno progressivo ed uno

retrogrado, che connettono tali equilibri tra loro, e quattro moti a metaasintotica, due progressivi e due retrogradi, che connettono gli stessi equilibria ±∞ rispettivamente; sul ogni livello E > 1

8 si hanno due moti illimitati,uno progressivo ed uno retrogrado, che connettono −∞ a +∞. Asseriamoinfine che tutti moti sono definiti globalmente nel tempo. Infatti, essendofE(x) → 0 per x → ±∞, si ha in particolare che tutti i moti illimitatiraggiungono l’infinito in un tempo infinito.

3) L’unica posizione di equilibrio stabile e x = 0. La parte quadratica dellosviluppo della lagrangiana attorno a (0, 0) e L(x, x) = 1

2 x2− 1

2x2, che descrive

un moto armonico di frequenza ω = 1.

4) L’energia corrispondente ai dati iniziali (x(0), x(0)) = (0, 1) e E0 = 12 >

18 ,

quindi il moto x(t) e progressivo illimitato. Pertanto

limt→+∞

x(t) = limx→+∞

fE0(x) = 0.

59


1) Il punto P ha coordinate (cos θ, sin θ, z), da cui

−→vP =

−θ sin θ

θ cos θz

, T =m

2|−→vP |2 =

m

2

(z2 + θ2

).


U =k

2|−−→OP |2 + Upeso + Uα


U =k

2z2 +mgz − αz sin θ.


L =m

2

(z2 + θ2

)− k

2z2 −mgz + αz sin θ

e le relative equazioni di Eulero-Lagrange sonomz = −kz −mg + α sin θ,

mθ = αz cos θ.


∂z= −kz −mg + α sin θ = 0,

∂L0

∂θ= αz cos θ = 0,

ovvero le soluzioni di almeno uno dei sistemi{−kz −mg + α sin θ = 0,cos θ = 0,

{−kz −mg + α sin θ = 0,z = 0.

Ricordando che λ = mgα , il primo ha soluzioni

(z1, θ1) =(αk

(1− λ),π

2

), (z2, θ2) =

(−αk

(λ+ 1),−π2

).

60

Il secondo ammette soluzioni solo per λ ≤ 1, precisamente

(z3, θ3) = (0, arcsinλ) , (z4, θ4) = (0, π − arcsinλ) .


H(z, θ) =

(−k α cos θ

α cos θ −αz sin θ

).

Quindi

H(z1, θ1) =

(−k 0

0 α2

k (λ− 1)

), H(z2, θ2) =

(−k 0

0 −α2

k (λ+ 1)

),

H(z3, θ3) =

(−k α

√1− λ2

α√

1− λ2 0

),

H(z4, θ4) =

(−k −α

√1− λ2

−α√

1− λ2 0

),

da cui si ricava che (z1, θ1) e stabile se λ < 1 ed instabile se λ > 1, (z2, θ2)e sempre stabile, mentre le posizioni (z3, θ3), (z4, θ4) sono instabili se λ < 1(ovvero quando esistono distinte da (z1, θ1)).

Il caso λ = 1, in cui la soluzione (z1, θ1) biforca, e critico, ovvero la stabi-lita non viene riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana possiedeun autovalore negativo ed uno nullo).

3) Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizionestabile (z2, θ2). La matrice dell’energia cinetica e costante e diagonale,

A =

(m 00 m

).

Essendo diagonale anche H(z2, θ2) le frequenze delle piccole oscillazioni sideducono immediatamente,

ω1 =

√k

m, ω2 =

√α2

km(λ+ 1).

3) Se α = 0 le equazioni di Eulero-Lagrange diventanomz = −kz −mg,

mθ = 0.

61

La prima descrive un oscillatore armonico nella variabile ζ = z + mgk , la

seconda un moto uniforme della variabile angolare θ. I dati iniziali per lavariabile z corrispondono alla soluzione stazionaria dell’oscillatore, pertanto

z(t) = −mgk, θ(t) = 1 + t.


1) Il punto P ha coordinate (x, y,−x− y2), da cui

−→vP =

xy

−x− 2yy

, T =m

2|−→vP |2 =

m

2

[2x2 + (1 + 4y2)y2 + 4yxy

].


U =k

2|−−→OP |2 + Upeso

ovvero

U =k

2

[x2 + y2 + (x+ y2)2

]−mg(x+ y2).


L =m

2

[2x2 + (1 + 4y2)y2 + 4yxy

]− k

2y4− 1

2(k−2mg)y2−kxy2−kx2+mgx

e le relative equazioni di Eulero-Lagrange sono2mx+ 2myy = −2my2 − ky2 − 2kx+mg,

2myx+m(1 + 4y2)y = −2mxy − 8myy2 − 2ky3 − (k − 2mg)y − 2kxy,

che possono successivamente essere poste in forma normale.


∂x= −ky2 − 2kx+mg = 0,

∂L0

∂y= −2ky3 − (k − 2mg)y − 2kxy = 0,

ovvero le soluzioni di almeno uno dei sistemi{−ky2 − 2kx+mg = 0,y = 0,

{−ky2 − 2kx+mg = 0,−2ky2 − k + 2mg − 2kx = 0.

62

Ricordando che λ = mgk , il primo ha soluzione

(x1, y1) =

(λ

2, 0

).

Il secondo ammette soluzioni solo per λ ≥ 1, precisamente

(x2, y2) =

(1

2,√λ− 1

), (x3, y3) =

(1

2,−√λ− 1

).


H(x, y) =

(−2k −2ky−2ky −6ky2 − k + 2mg − 2kx

).

Quindi

H(x1, y1) =

(−2k 0

0 k(λ− 1)

),

H(x2, y2) =

(−2k −2k

√λ− 1

−2k√λ− 1 4k(1− λ)

),

H(x3, y3) =

(−2k 2k

√λ− 1

2k√λ− 1 4k(1− λ)

),

da cui si ricava che (x1, y1) e stabile se λ < 1 ed instabile se λ > 1, mentrele posizioni (x2, y2), (x3, y3) sono stabili se λ > 1 (ovvero quando esistonodistinte da (x1, y1)).

Il caso λ = 1, in cui i tre equilibri coincidono con il punto (12 , 0), e critico,

ovvero la stabilita non viene riconosciuta dalla parte lineare (la matricehessiana possiede un autovalore negativo ed uno nullo). D’altra parte, in talcaso si ha

L0(x, y)− L0

(1

2, 0

)= −k

2

[x2 + y2 + (x+ y2)2 − 2(x+ y2)

]− k

4

= −k2

[(x+ y2 − 1

2

)2

+

(x− 1

2

)2],

che e una quantita negativa per ogni (x, y) 6= (12 , 0). Quindi L0 possiede un

massimo proprio in (12 , 0) e pertanto tale equilibrio e stabile per il teorema

di Lagrange-Dirichlet.

63

3) Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione diequilibrio stabile (x1, y1) per λ < 1. La matrice dell’energia cinetica e

A(x, y) =

(2m 2my2my m(1 + 4y2)

),

pertanto

A(x1, y1) =

(2m 00 m

).

Essendo diagonale anche H(x1, y1) le frequenze delle piccole oscillazioni sideducono immediatamente,

ω1 =

√k

m, ω2 =

√k

m(1− λ).


1) I baricentri G e G′ hanno coordinate (cos θ, sin θ) e (2d + cosφ, sinφ)rispettivamente. Pertanto le velocita di tali punti sono

−→vG = θ

(− sin θcos θ

), −→vG′ = φ

(− sinφcosφ

).

L’angolo che la direzione−−→AB forma con l’asse delle ascisse e pari a θ − π

2 ,

pertanto la velocita angolare della sbarretta AB e ω1 = θ. Analogamentela velocita angolare della sbarretta A′B′ e ω2 = φ. Essendo I = m`2

12 = mil momento di inerzia di ciascuna sbarretta rispetto al proprio baricentro,concludiamo che l’energia cinetica totale e

T =m

2

(∣∣−→vG∣∣2 +∣∣−→v′G∣∣2)+

1

2I(ω2

1 + ω22

)= m(θ2 + φ2).


U =k

2|−−→GG′|2 =

k

2

[(2d+ cosφ− cos θ)2 + (sinφ− sin θ)2

],


U = −k cos(θ − φ)− 2kd(cos θ − cosφ).


L = m(θ2 + φ2) + k cos(θ − φ) + 2kd(cos θ − cosφ)

64

e le relative equazioni di Eulero-Lagrange sono2mθ = −k sin(θ − φ)− 2kd sin θ,

2mφ = k sin(θ − φ) + 2kd sinφ.


∂θ= −k sin(θ − φ)− 2kd sin θ = 0,

∂L0

∂φ= k sin(θ − φ) + 2kd sinφ = 0.

ovvero {sin θ = sinφ,sin(θ − φ) = −2d sinφ.

La prima equazione implica φ = θ oppure φ = π − θ. Pertanto le posizionidi equilibrio sono le soluzioni di almeno uno dei due sistemi{

φ = θ,sin θ = 0,

{φ = π − θ,sin(2θ) = 2d sin θ.

Il primo ha soluzioni (θ, φ) = (0, 0), (π, π). Per ogni valore del parametrod > 0 il secondo ha soluzioni (θ, φ) = (0, π), (π, 0). Se d < 1 esso ammetteinoltre le soluzioni

(θ±, φ±) = (± arccos d, π ∓ arccos d).

Chiaramente (θ+, φ+) = (θ−, φ−) = (0, π) se d = 1.Studiamo la stabilita di tali equilibri; la matrice hessiana di L0 e

H(θ, φ) =

(−k cos(θ − φ)− 2kd cos θ k cos(θ − φ)

k cos(θ − φ) −k cos(θ − φ) + 2kd cosφ

).

Quindi

H(0, 0) =

(−k − 2kd k

k −k + 2kd

),

H(π, π) =

(−k + 2kd k

k −k − 2kd

),

H(0, π) =

(k − 2kd −k−k k − 2kd

), H(π, 0) =

(k + 2kd −k−k k + 2kd

),

65

H(θ±, φ±) =

(−k k(1− 2d2)

k(1− 2d2) −k

),

da cui si ricava che (0, 0), (π, π), (π, 0) sono instabili, (0, π) e stabile sed > 1 ed instabile se d < 1, mentre le posizioni (θ±, φ±) sono stabili se d < 1(ovvero quando esistono distinte da (0, π)).

Il caso d = 1, in cui la soluzione (0, π) biforca, e critico, ovvero la stabilitanon viene riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana possiede unautovalore nullo).

3) Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-zione stabile (0, π) per d > 1. La matrice dell’energia cinetica e costante ediagonale,

A =

(2m 00 2m

).

Posto H = H(0, π), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =√−µ±,

essendo µ± le radici dell’equazione caratteristica,


(k − 2kd− 2mµ −k

−k k − 2kd− 2mµ

)= 0,

ovvero(k − 2kd− 2mµ)2 = k2,

da cui

ω+ =

√k

md, ω− =

√k

m(d− 1).


1) Nelle coordinate cilindriche (r, ϕ, x3), r > 0, ϕ ∈ [0, 2π), l’equazionedella superficie e

x3 =r2

2− log r.

Siano inoltre

~er.= cosϕ~e1 + sinϕ~e2, ~eϕ

.= − sinϕ~e1 + cosϕ~e2,

essendo {~e1, ~e2, ~e3} i versori degli assi coordinati. Si ha allora

−−→OP = r ~er +

(r2

2− log r

)~e3,

−→vP = r ~er + rϕ~eϕ +

(r − 1

r

)r ~e3,

66

da cui ricaviamo l’energia cinetica

T =m

2|−→vP |

2 =m

2

[(r2 +

1

r2− 1

)r2 + r2ϕ2

],


U = Upeso + U~F = mgx3 − fx1 = mg

(r2

2− log r

)− fr cosϕ,

cosicche la lagrangiana L = T − U = T + L0 si scrive

L =m

2

[(r2 +

1

r2− 1

)r2 + r2ϕ2

]−mg

(r2

2− log r

)+ fr cosϕ.

Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del seguente sistema,∂L0

∂r= −mg

(r − 1

r

)+ f cosϕ = 0,

∂L0

∂ϕ= −fr sinϕ = 0.

Posto λ = f2mg , se il parametro f e non nullo si hanno le due soluzioni

(r1, ϕ1) =(λ+

√λ2 + 1, 0

), (r2, ϕ2) =

(−λ+

√λ2 + 1, π

).

Se invece f = 0 si ha l’insieme continuo di soluzioni {(1, ϕ) ; ϕ ∈ [0, 2π)}.Studiamone la stabilita nel caso f 6= 0; la matrice hessiana di L0 si scrive

H(r, ϕ) =

(−mg

(1 + r−2

)−f sinϕ

−f sinϕ −fr cosϕ

).

Quindi

H(r1, ϕ1) =

(−mg

(1 + r−2

1

)0

0 −fr1

),

H(r2, ϕ2) =

(−mg

(1 + r−2

2

)0

0 fr2

).

da cui si ricava che (r1, ϕ1) e stabile [risp. instabile] se f > 0 [risp. f < 0]mentre (r2, ϕ2) e instabile [risp. stabile] se f > 0 [risp. f < 0].

67

2) Nel caso f = 0 la lagrangiana e indipendente dal tempo ed inoltre lavariabile ϕ e ciclica. Sussistono quindi gli integrali primi

E =m

2

[(r2 +

1

r2− 1

)r2 + r2ϕ2

]+mg

(r2

2− log r

),

Pϕ =∂L

∂ϕ= mr2ϕ.

Le equazioni del moto si riducono a quadratura mediante gli integrali primi.Piu precisamente si ha

ϕ(t) = ϕ(0) +

∫ t

0ds

Pϕmr(s)2

,

con t 7→ r(t) soluzione due volte differenziabile di

E =m

2

(r2 +

1

r2− 1

)r2 + Ueff(r),

avendo posto

Ueff(r).=

P 2ϕ

2mr2+mg

(r2

2− log r

).

Osserviamo che ϕ(0) 6= 0 se e solo se Pϕ 6= 0. Consideriamo il potenzialeefficace Ueff : essendo U ′eff(r) = −P 2

ϕ/(mr3) +mgr−mg/r, esso possiede un

unico punto critico in

r0 =

√√√√1

2+

√1

4+

P 2ϕ

m2g;

inoltre Ueff(r)→ +∞ per r → 0+ e per r → +∞. Posto allora E0 = Ueff(r0)ed osservato che

r = ±

√2[E − Ueff(r)

]r2

m(r4 + 1− r2),

concludiamo che tutti i moti possibili t 7→ r(t) sono limitati (l’insieme{r : Ueff(r) ≤ E} e un intervallo chiuso e limitato per ogni E ≥ E0). Inparticolare l’insieme di livello critico E = E0 si compone del singolo pun-to {(r0, 0)}, che e l’orbita nello spazio delle fasi della soluzione stazionariar(t) ≡ r0. Se invece E > E0 l’insieme di livello e costituito da una curvaregolare chiusa, orbita nello spazio delle fasi di un moto periodico t 7→ r(t).

68

Una soluzione periodica per il moto complessivo t 7→ (r(t), ϕ(t)) e

r(t) = r0, ϕ(t) = ϕ(0) +Pϕmr2

0

t

(si ottengono pertanto infinite soluzioni periodiche variando il parametroPϕ 6= 0).


Le coordinate solidali e le coordinate assolute sono correlate nel seguentemodo: X

YZ

=

cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0

0 0 1

xyZ

.

Le coordinate solidali di P1 sono:

x1 = 0, y1 = cos θ, Z1 = sin θ.

Pertanto le coordinate di P1 e P2 nel sistema assoluto sono:

P1 ≡ (− sinφ cos θ, cosφ cos θ, sin θ),

P2 ≡ (− sinφ, cosφ, 0).

I corrispondenti vettori velocita:

vP1 ≡ φ(− cosφ cos θ,− sinφ cos θ, 0) + θ(sinφ sin θ,− cosφ sin θ, cos θ),

vP2 ≡ −φ(cosφ, sinφ, 0).

L’energia potenziale U :

U = −kL cosφ+m1g sin θ.

La lagrangiana e quindi:

L =1

2(m2 +m1 cos2 θ)φ2 +

m1

2θ2 + kL cosφ−m1g sin θ.

Le equazioni di Lagrange sono:

d

dt[(m2 +m1 cos2 θ)φ] = −kL sinφ

θ = −m1

2sin 2θφ2 +m1g cos θ. (1)

69

I punti stazionari dell’energia potenziale sono individuati da:

∂U

∂φ= kL sinφ = 0,

∂U

∂θ= m1g cos θ = 0.

Si hanno gli equilibri:

(1) : (φ1, θ1) = (0,π

2)

(2) : (φ2, θ2) = (0,−π2

)

(3) : (φ3, θ3) = (π,π

2)

(4) : (φ4, θ4) = (−π,−π2

)

La matrice hessiana di U in una generica posizione e:

H(φ, θ) =

(kL cosφ 0

0 −m1g sin θ

).

Si vede quindi che l’unica posizione di equilibrio stabile e la (2). La matricedell’energia cinetica corrispondente e:

A :=

(m2 00 m1

).

Gli zeri del polinomio caratteristico:

det(µA+H(0,−π2

)) = 0.

sono:

µ1 = −kLm2

, µ2 = −g.

Infine dalle (1) si vede che alle condizioni iniziali φ0 = π, φ0 = 0 corrispondeil moto φ(t) ≡ π, mentre la variabile θ e governata dall’equazione:

θ = m1g cos θ.

70


1) Le coordinate del baricentro G sono

xG =`

2sin θ, yG = − `

2cos θ.

Il versore n ha componenti (cos θ, sin θ), pertanto le coordinate del punto Psono

xP =`

2sin θ + s cos θ, yP = − `

2cos θ + s sin θ.

Essendo I = M`2/3 il momento d’inerzia dell’asta rispetto al suo estremofisso, l’energia cinetica dell’asta e

Tasta =M`2

6θ2.

Il punto P ha velocita di componenti

xP =

(s+

`

2θ

)cos θ − sθ sin θ, yP =

(s+

`

2θ

)sin θ + sθ cos θ,

pertanto la sua energia cinetica e

TP =m

2

[s2 + `sθ +

(`2

4+ s2

)θ2

].

L’energia potenziale del sistema e


2

∣∣−−→GP ∣∣2 +mg yP +Mg yG,

dunque

U =k

2s2 +mg

(s sin θ − `

2cos θ

)−Mg

`

2cos θ.

La lagrangiana e L = T − U = Tasta + TP − U , dunque L = L2 + L0 con

L2 =1

2

{ms2 +m`sθ +

[(M

3+m

4

)`2 +ms2

]θ2

},

L0 = −k2s2 −mgs sin θ + (M +m)g

`

2cos θ.

71

2) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del seguente sistema,∂L0

∂s= −ks−mg sin θ = 0,

∂L0

∂θ= −mgs cos θ − (M +m)g

`

2sin θ = 0.

Esplicitando la variabile s nella prima equazione e sostituendo nella secondasi ricava subito che per ogni λ > 0 si hanno le soluzioni

(s1, θ1) = (0, 0), (s2, θ2) = (0, π),

e che, se λ < 1, si hanno le due ulteriori soluzioni

(s±, θ±) =(∓mg

k

√1− λ2,± arccosλ

)(coincidenti con (s1, θ1) per λ = 1). Studiamone la stabilita nel caso noncritico λ 6= 1. La matrice hessiana di L0 si scrive

H(s, θ) =

(−k −mg cos θ

−mg cos θ mgs sin θ − (M +m)g `2 cos θ

).

Quindi

H(s1, θ1) =

(−k −mg−mg −(M +m)g `2

), H(s2, θ2) =

(−k mg

mg (M +m)g `2

).

Poiche H(s1, θ1) ha traccia negativa e determinante positivo [risp. negativo]se λ > 1 [risp. λ < 1], deduciamo che (s1, θ1) e stabile se λ > 1 ed instabilese λ < 1; invece, poiche H(s2, θ2) ha determinante sempre negativo, (s2, θ2)e instabile per ogni λ > 0. Infine, se λ < 1, si ha

H(s±, θ±) =

(−k −mgλ−mgλ −m2g2

k (1− λ2)− (M +m)g `2λ

)

=

(−k −mgλ−mgλ −m2g2

k

).

PoicheH(s±, θ±) ha traccia negativa e determinante positivo, deduciamo che(s±, θ±) sono stabili se λ < 1, ovvero quando esistono distinti da (s1, θ1).

3) Il sistema senza molla ha lagrangiana L = L2 + L0 con

L0 = −mgs sin θ + (M +m)g`

2cos θ.

72

Gli equilibri sono assegnati dalle soluzioni del sistema∂L0

∂s= −mg sin θ = 0,

∂L0

∂θ= −mgs cos θ − (M +m)g

`

2sin θ = 0.

Quindi essi sono (solo) (s1, θ1) = (0, 0) e (s2, θ2) = (0, π). Le rispettivematrici jacobiane,

H(s1, θ1) =

(0 −mg−mg −(M +m)g `2

), H(s2, θ2) =

(0 mg

mg (M +m)g `2

),

sono a determinante negativo. Quindi entrambi gli equilibri sono instabili.


1) Le coordinate dei tre punti materiali sono rispettivamente,

P1 = (0, 0, z), P2 = (cos θ, sin θ, 0), P3 = (x, 0, 0).

L’energia cinetica e pertanto

T =m1

2z2 +

m2

2θ2 +

m3

2x2,

mentre, essendo∣∣∣−−−→P1P2

∣∣∣2 = 1 + z2 e∣∣∣−−−→P2P3

∣∣∣2 = x2 − 2x cos θ + 1, l’energia

potenziale e

U = Umolle + Upeso =k

2z2 +

k′

2(x2 − 2x cos θ) +m1gz.

Pertanto la lagrangiana e L = T − U = L1 + L2 con

L1(z, z) =m1

2z2 − k

2z2 −m1gz,

L2(θ, x, θ, x) =m2

2θ2 +

m3

2x2 +

k′

2(2x cos θ − x2).

2) La lagrangiana L1(z, z) e quella di un oscillatore armonico con posizionea riposo in z = −m1g/k e frequenza ω1 =

√k/m1. Quindi la soluzione

generale del problema e z(t) = z+A cos(ω1t) +B sin(ω1t) con A,B costantifissate dalle condizioni iniziali, e la posizione di equilibrio (unica) e z = z.

73

3) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del seguente sistema,∂L2

∂θ(θ, x, 0, 0) = −k′x sin θ = 0,

∂L2

∂x(θ, x, 0, 0) = k′ cos θ − k′x = 0.

Si hanno quindi le seguenti quattro posizioni di equilibrio,

(θ1, x1) =(π

2, 0), (θ2, x2) =

(3π

2, 0

),

(θ3, x3) = (0, 1), (θ4, x4) = (π,−1).

La matrice hessiana di L2(θ, x, 0, 0) e

H(θ, x) =

(−k′x cos θ −k′ sin θ−k′ sin θ −k′

),

da cui si deduce immediatamente che (θi, xi), i = 1, 2, sono instabili e (θi, xi),i = 3, 4, sono stabili.

4) Essendo

H(θ3, x3) = H(θ4, x4) =

(−k′ 00 −k′

),

le posizioni di equilibrio stabile (θi, xi), i = 3, 4, hanno uguali frequenze deimodi normali, ω2 =

√k′/m2 e ω3 =

√k′/m3.


1) Siano ~e1 ed ~e2 i versori degli assi coordinati orizzontale e verticale ascen-

dente. L’angolo che la direzione−−→AB forma con l’asse delle ascisse e uguale

a θ − π2 , pertanto ~e = sin θ ~e1 − cos θ ~e2. Si ha allora

−−→OG = ` cos θ ~e1 + ` sin θ ~e2,

−−→OP =

−−→OG+ ξ ~e = (` cos θ + ξ sin θ)~e1 + (` sin θ − ξ cos θ)~e2.

Pertanto le velocita di tali punti sono

−→vG = `θ

(− sin θcos θ

), −→vP = ξθ

(cos θsin θ

)+ (ξ − `θ)

(sin θ− cos θ

).

74

Essendo I =m(2`)2

12=m`2

3il momento di inerzia della sbarretta rispetto

al baricentro ed ω = θ la velocita angolare della sbarretta, concludiamo chel’energia cinetica di quest’ultima e

Tsbarretta =m

2

∣∣−→vG∣∣2 +1

2Iω2 =

m

2`2θ2 +

m

6`2θ2 =

2m

3`2θ2.

L’energia cinetica totale e quindi

T =m

2|−→vP |2 + Tsbarretta =

m

2

[ξ2θ2 + (ξ − `θ)2

]+

2m

3`2θ2

=m

2

[ξ2 +

(7`2

3+ ξ2

)θ2 − 2`ξθ

].


U =k

2|−−→GP |2 +mg (yG + yP ) =

k

2ξ2 +mg (2` sin θ − ξ cos θ) .


L =m

2

[ξ2 +

(7`2

3+ ξ2

)θ2 − 2`ξθ

]− k

2ξ2 +mgξ cos θ − 2mg` sin θ.


∂ξ= −kξ +mg cos θ = 0,

∂L0

∂θ= −mgξ sin θ − 2mg` cos θ = 0,

ovvero ξ =

mg

kcos θ,

(mgk

sin θ + 2`)

cos θ = 0.

Per ogni valore del parametro α =2k`

mg> 0 si hanno le soluzioni

(ξ1, θ1) =(

0,π

2

), (ξ2, θ2) =

(0,−π

2

).

75

Nel caso α ∈ (0, 1) si hanno le due ulteriori soluzioni,

(ξ3, θ3) =(mgk

√1− α2,− arcsinα

),

(ξ4, θ4) =(−mg

k

√1− α2, π + arcsinα

).


H(y, θ) =

(−k −mg sin θ

−mg sin θ −mgξ cos θ + 2mg` sin θ

).

Quindi

H(ξ1, θ1) =

(−k −mg−mg 2mg`

), H(ξ2, θ2) =

(−k mgmg −2mg`

),

H(ξ3, θ3) = H(ξ4, θ4) =

−k mgα

mgα −(mg)2

k(1− α2) + 2mg`α

,

da cui si ricava che (ξ1, θ1) e sempre instabile, (ξ2, θ2) e stabile se α > 1ed instabile se α ∈ (0, 1), mentre le posizioni (ξ3, θ3), (ξ4, θ4) sono stabili seα ∈ (0, 1) (ovvero quando esistono distinte da (ξ2, θ2)).

Il caso α = 1, in cui la soluzione (ξ2, θ2) biforca, e critico, ovvero la stabi-lita non viene riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana possiedeun autovalore nullo).

3) In assenza di forza peso, ovvero ponendo l’accelerazione di gravita g = 0,la lagrangiana si riduce a

L =m

2

[ξ2 +

(7`2

3+ ξ2

)θ2 − 2`ξθ

]− k

2ξ2.

Oltre all’energia si conserva anche il momento cinetico associato alla varia-bile ciclica θ, pertanto sono costanti del moto

E =m

2

[ξ2 +

(7`2

3+ ξ2

)θ2 − 2`ξθ

]+k

2ξ2,

P =∂L

∂θ= m

(7`2

3+ ξ2

)θ −m`ξ.

Dalla seconda relazione di ricava

θ =3

3ξ2 + 7`2

(P

m+ `ξ

),

76

da cui, sostituendo nella prima relazione,

E =m

2

(1− 3`2

3ξ2 + 7`2

)ξ2 +

k

2ξ2 +

3P 2

2m (3ξ2 + 7`2).

Quindi, sul livello P del momento cinetico della variabile θ, i moti dellavariabile ξ sono governati dalla lagrangiana efficace

LP (ξ, ξ) =m

2

(1− 3`2

3ξ2 + 7`2

)ξ2 − k

2ξ2 − 3P 2

2m (3ξ2 + 7`2).


1) I baricentri G e G′ delle sbarrette AB e BC hanno coordinate

G = (x− ` cos θ, ` sin θ), G′ = (x+ ` cos θ, ` sin θ),

da cui−→vG =

(x+ `θ sin θ

`θ cos θ

), −→vG′ =

(x− `θ sin θ

`θ cos θ

).

L’angolo che la direzione−−→CB forma con l’asse delle ascisse e uguale a π− θ,

pertanto le velocita angolari delle sbarrette AB e BC sono rispettivamenteω = θ ed ω′ = −ω. Essendo

I =m(2`)2

12=m`2

3

il momento di inerzia di ciascuna sbarretta rispetto al proprio baricentro,concludiamo che l’energia cinetica del sistema e

T =m

2

[∣∣−→vG∣∣2 +∣∣−→vG′∣∣2]+

1

2I[ω2 + (ω′)2

]=m

2

[2x2 + 2`2θ2

]+m`2

3θ2

=m

2

[2x2 +

8`2

3θ2

].

Essendo A = (x− 2` cos θ, 0) e C = (x+ 2` cos θ, 0), l’energia potenziale e

U =k

2

[|−−→Q1A|2 + |

−−→Q2C|2

]=k

2

[2x2 + 2`2 + 8`2 cos2 θ − 8`2 cos θ

].

Concludiamo che la lagrangiana L = L2 + L0 e

L =m

2

[2x2 +

8`2

3θ2

]− kx2 − 4k`2 cos2 θ + 4k`2 cos θ,

77

da cui le equazioni del moto,2mx = −2kx,

8m`2

3θ = 4k`2 sin θ (2 cos θ − 1) .


∂x= −2kx = 0,

∂L0

∂θ= 4k`2 sin θ (2 cos θ − 1) = 0.

Esistono pertanto quattro posizioni di equilibrio,

(x1, θ1) = (0, 0), (x2, θ2) = (0, π), (x±, θ±) =(

0,±π3

).


H(x, θ) =

(−2k 0

0 4k`2[4 cos2 θ − 2− cos θ]

).

Quindi

H(x1, θ1) =

(−2k 0

0 4k`2

), H(x2, θ2) =

(2k 00 12k`2

),

H(x±, θ±) =

(−2k 0

0 −6k`2

),

da cui si ricava che (x1, θ1) e (x2, θ2) sono instabili, mentre le posizioni(x±, θ±) sono stabili.

3) Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alle posizioni(x±, θ±). La matrice dell’energia cinetica e costante, precisamente

A =

(2m 00 8m`2/3

).

Posto H = H(x±, θ±), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ωi =√−λi,

essendo λi, i = 1, 2, le radici dell’equazione caratteristica det(H − λA) =

78

0. Poiche in questo caso entrambe le matrici sono diagonali, ricaviamoimmediatamente

ω1 =

√k

m, ω2 =

√9k

4m.

4) Dalle equazioni di Eulero-Lagrange si vede che il moto della variabile x equello di un oscillatore armonico di frequenza

√k/m. Per ottenere un moto

armonico e pertanto sufficiente scegliere i dati iniziali in modo tale che lavariabile θ rimanga in quiete, ovvero

x(0) = x0, x(0) = x0, θ(0) = θ, θ(0) = 0,

con x0, x0 qualsiasi e θ = 0, π,±(π/3).


1) Sia {O;x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse y direttosecondo la verticale ascendente. Il baricentro G della sbarra ed il punto Phanno coordinate

G =( `

2sin θ,− `

2cos θ

), P = (` sin θ + ξ cos θ,−` cos θ + ξ sin θ),

da cui

−→vG =`

2θ

(cos θsin θ

), −→vP = (`θ + ξ)

(cos θsin θ

)+ ξθ

(− sin θcos θ

).

Essendo

I =M`2

3=

2m`2

3

il momento di inerzia della sbarra rispetto all’estremo fisso O ed ω = θ lasua velocita angolare, concludiamo che l’energia cinetica del sistema e

T =m

2

∣∣−→vP ∣∣2 +1

2Iω2 =

m

2

[(`θ + ξ)2 + ξ2θ2

]+m`2

3θ2

=m

2

[ξ2 + 2`ξθ +

(ξ2 +

5

3`2)θ2].


U =k

2|−−→OP |2 +MgyG +mgyP =

k

2(ξ2 + `2) +mg(ξ sin θ − 2` cos θ).

79


L =m

2

[ξ2 + 2`ξθ +

(ξ2 +

5

3`2)θ2]− k

2ξ2 −mg(ξ sin θ − 2` cos θ).


∂ξ= −kξ −mg sin θ = 0,

∂L0

∂θ= −mgξ cos θ − 2mg` sin θ = 0,

ovvero ξ = −mg

ksin θ,

(2`− mg

kcos θ

)sin θ = 0.

Per ogni valore del parametro α =2k`

mg> 0 si hanno le soluzioni

(ξ1, θ1) = (0, 0), (ξ2, θ2) = (0, π).

Nel caso α ∈ (0, 1) si hanno le due ulteriori soluzioni,

(ξ±, θ±) =(∓mg

k

√1− α2,± arccosα

).


H(ξ, θ) =

(−k −mg cos θ

−mg cos θ mgξ sin θ − 2mg` cos θ

).

Quindi

H(ξ1, θ1) =

(−k −mg−mg −2mg`

), H(ξ2, θ2) =

(−k mgmg 2mg`

),

H(ξ±, θ±) =

−k −mgα

−mgα −(mg)2

k(1− α2)− 2mg`α

,

da cui si ricava che (ξ2, θ2) e sempre instabile, (ξ1, θ1) e stabile se α > 1 edinstabile se α ∈ (0, 1), mentre le posizioni (ξ±, θ±) sono stabili se α ∈ (0, 1)(ovvero quando esistono distinte da (ξ1, θ1)).

80

Il caso α = 1, in cui la soluzione (ξ1, θ1) biforca, e critico, ovvero la stabi-lita non viene riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana possiedeun autovalore nullo).

3) Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione(ξ1, θ1) nel caso α > 1. La matrice dell’energia cinetica valutata in (ξ1, θ1) e

A =

(m m`m` 5m`2/3

).

Posto H = H(ξ1, θ1), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =√−λ±, essendo λ± le radici dell’equazione caratteristica

det(H − λA) = det

(−k − λm −mg − λm`−mg − λm` −2mg`− λ5m`2/3

)= 0.

Svolgendo i conti si trova

λ± = −

[5

2±√

25

4− 6

α− 1

α2

]k

m,

dunque

ω± =

√5

2±√

25

4− 6

α− 1

α2

√k

m.


1) Il punto P ha coordinate (x, y, xy), da cui

−→vP =

xy

yx+ xy

, T =m

2|−→vP |2 =

m

2

[(1 + y2)x2 + (1 + x2)y2 + 2xyxy

].


U =k

2|−−→OP |2 + Upeso

ovvero

U =k

2

(x2 + y2 + x2y2

)+mgxy.


L =m

2

[(1 + y2)x2 + (1 + x2)y2 + 2xyxy

]− k

2

(x2 + y2 + x2y2

)−mgxy.

81


∂x= −kx− kxy2 −mgy = 0,

∂L0

∂y= −ky − kx2y −mgx = 0,

ovvero, essendo λ =mg

k,

x = − λy

1 + y2,

y

[1 +

λ2y2

(1 + y2)2− λ2

1 + y2

]= 0,

Per ogni λ > 0 si ha la soluzione (x1, y1) = (0, 0). Nel caso λ > 1 sussistonole due ulteriori soluzioni,

(x2, y2) =(√

λ− 1,−√λ− 1

), (x3, y3) =

(−√λ− 1,

√λ− 1

).


H(x, y) = −k(

1 + y2 2xy + λ2xy + λ 1 + x2

).

Quindi

H(x1, y1) = −k(

1 λλ 1

),

H(x2, y2) = H(x3, y3) = −k(

λ 2− λ2− λ λ

),

da cui si ricava che (x1, y1) e stabile se λ < 1 ed instabile se λ > 1, mentrele posizioni (x2, y2), (x3, y3) sono stabili se λ > 1 (ovvero quando esistonodistinte da (x1, y1)).

3) Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione diequilibrio stabile (x1, y1) per λ < 1. La matrice dell’energia cinetica e

A(x, y) =

(m(1 + y2) mxymxy m(1 + x2)

),

82

pertanto

A = A(x1, y1) =

(m 00 m

).

Posto H = H(x1, y1), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =√−µ±, essendo µ± le radici dell’equazione caratteristica


(−k − µm −kλ−kλ −k − µm

)= 0.

Pertanto

ω± =

√k

m(1± λ).

4) Il caso critico e λ = 1, in cui i tre equilibri coincidono con il punto (0, 0)e la stabilita non viene riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessianapossiede un autovalore negativo ed uno nullo). Osserviamo pero che in talcaso, poiche k = mg, si ha

L0(x, y)− L0 (0, 0) = −k2

(x2 + y2 + x2y2 + 2xy

)= −k

2

[(x+ y)2 + x2y2

],

che e una quantita negativa per ogni (x, y) 6= (0, 0). Quindi L0 possiede unmassimo proprio in (0, 0) e pertanto tale equilibrio e stabile per il teoremadi Lagrange-Dirichlet.


1) Siano ~e1 ed ~e2 rispettivamente i versori degli assi coordinati orizzontale everticale ascendente. Si ha

−→OA = y ~e2 ,

−−→OB = 2` cos θ ~e1 + (y + 2` sin θ)~e2 ,

e quindi −−→OG = ` cos θ ~e1 + (y + ` sin θ)~e2 ,

cosicche−→vG = −`θ sin θ ~e1 + (y + `θ cos θ)~e2 .

Per il teorema di Koenig, l’energia cinetica della sbarra e

T =M

2|−→vG|2 +

1

2Iω2,

83

essendo I = M`

∫ `−`r

2 dr = M`2

3 il momento di inerzia della sbarra rispetto

al baricentro ed ω = θ la velocita angolare della sbarra. Quindi

T =M

2

[`2θ2 sin2 θ + (y + `θ cos θ)2

]+M`2

6θ2 ,

da cui

T =M

2

[y2 +

4`2

3θ2 + 2` cos θ yθ

].


U = Mg−−→OG · ~e2 +

k

2|−−→OG|2 = Mg(y + ` sin θ) +

k

2

[`2 cos2 θ + (y + ` sin θ)2

],


U =k

2y2 + k`y sin θ +Mgy +Mg` sin θ .


L(y, θ, y, θ) =M

2

[y2+

4`2

3θ2+2` cos θ yθ

]−k

2y2−k`y sin θ−Mgy−Mg` sin θ .


∂y= −ky −Mg − k` sin θ = 0 ,

∂L0

∂θ= −(k`y +Mg`) cos θ = 0 .

Si ricavano le seguenti quattro posizioni di equilibrio:

(y0, θ0) =(− Mg

k, 0), (y1, θ1) =

(− Mg

k, π),

(y±, θ±) =(− Mg

k∓ `,±π

2

).

Studiamone la stabilita. La matrice hessiana di L0 e

H(y, θ) =

(−k −k` cos θ

−k` cos θ (k`y +Mg`) sin θ

).

84

Quindi

H(y0, θ0) =

(−k −k`−k` 0

), H(y1, θ1) =

(−k k`k` 0

),

H(y±, θ±) =

(−k 00 −k`2

),

da cui si ricava che (y0, θ0) e (y1, θ1) sono instabili (poiche il determinante enegativo), mentre le posizioni (y±, θ±) sono stabili.

3) Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizionestabile (y+, θ+). La matrice A(y, θ) dell’energia cinetica e pari a

A(y, θ) =

(M M` cos θ

M` cos θ 4M`2/3

),

cosicche

A = A(y+, θ+) =

(M 00 4M`2/3

).

Posto H = H(y+θ+), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =√−λ±, essendo λ± le radici dell’equazione caratteristica

det(H − λA) = det

(−k −Mλ 0

0 −k`2 − (4M`2/3)λ

)= 0 .

Dunque

ω+ =

√k

M, ω− =

√3k

4M.

4) Il problema modificato ha lagrangiana

L(θ, θ) =4M`2

6θ2 − 2Mg` sin θ ,

che, a meno dei parametri, e la lagrangiana di un pendolo matematico piano(in cui l’angolo viene contato in senso antiorario partendo dalle ascisse). Ladiscussione dettagliata e lasciata al lettore.

85


1) I baricentri G e G′ delle sbarrette AB e BC hanno coordinate

G = (x− ` cos θ, ` sin θ), G′ = (x+ ` cos θ, ` sin θ) ,

da cui−→vG =

(x+ `θ sin θ

`θ cos θ

), −→vG′ =

(x− `θ sin θ

`θ cos θ

).

L’angolo che la direzione−−→CB forma con l’asse delle ascisse e uguale a π− θ,

pertanto le velocita angolari delle sbarrette AB e BC sono rispettivamenteω = θ ed ω′ = −ω. Essendo

I =M(2`)2

12=M`2

3

il momento di inerzia di ciascuna sbarretta rispetto al proprio baricentro,concludiamo che l’energia cinetica del sistema e

T =M

2

[∣∣−→vG∣∣2 +∣∣−→vG′∣∣2]+

I

2

[ω2 + (ω′)2

]=M

2

[2x2 + 2`2θ2

]+M`2

3θ2

=M

2

[2x2 +

8`2

3θ2].

Essendo B = (x, 2` sin θ) ed avendo i baricentri G e G′ uguale ordinatay = ` sin θ, l’energia potenziale e

U =K

2|−−→OB|2 + 2Mgy =

K

2

(x2 + 4`2 sin2 θ

)+ 2Mg` sin θ .


L =M

2

[2x2 +

8`2

3θ2

]− K

2

(x2 + 4`2 sin2 θ

)− 2Mg` sin θ .


∂x= −Kx = 0 ,

∂L0

∂θ= −4K`2 sin θ cos θ − 2Mg` cos θ = 0 .

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Per ogni valore dei parametri si hanno le due posizioni di equilibrio

(x1, θ1) = (0, π/2) , (x2, θ2) = (0,−π/2) .

Se α =Mg

2K`< 1 si hanno le ulteriori due posizioni di equilibrio

(x3, θ3) = (0,− arcsinα) , (x4, θ4) = (0, π + arcsinα) ,

che coincidono con (x2, θ2) nel caso critico α = 1.Studiamone la stabilita; la matrice hessiana di L0 e

H(x, θ) =

(−K 0

0 4K`2(2 sin2 θ − 1) + 2Mg` sin θ

).

Quindi, ricordando la definizione di α e che sin θ3 = sin θ4 = −α,

H(x1, θ1) =

(−K 0

0 4K`2(1 + α)

), H(x2, θ2) =

(−K 0

0 4K`2(1− α)

),

H(x3, θ3) = H(x4, θ4) =

(−K 0

0 4K`2(α2 − 1)

),

da cui si ricava che (x1, θ1) e instabile, (x2, θ2) e stabile se α > 1 ed instabilese α < 1, mentre le posizioni (x3, θ3) e (x4, θ4) sono stabili per α < 1.Nota. Nel caso critico α = 1, poiche

L0 = −K2x2 − 2K`2(sin θ + 1)2 + 2K`2 ,

si vede immediatamente che (x2, θ2) e un punto di massimo proprio di L0,dunque stabile per il teorema di Lagrange-Dirichlet.

3) Calcoliamo le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alle posizio-ni (x2, θ2) quando α > 1. La matrice dell’energia cinetica e costante,precisamente

A =

(2M 00 8M`2/3

).

Posto H = H(x2, θ2), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ωi =√−λi,

essendo λi, i = 1, 2, le radici dell’equazione caratteristica det(H − λA) =0. Poiche in questo caso entrambe le matrici sono diagonali, ricaviamoimmediatamente

ω1 =

√K

2M, ω2 =

√3K

2M(α− 1) .

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Prove scritte di Meccanica Razionale (testi e soluzioni) · Corso di laurea in Matematica SAPIENZA...

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