PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, MATEMATICA Convegno finale - 5 maggio 2009 Centro Convegni del...

PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, MATEMATICA

Convegno finale - 5 maggio 2009Centro Convegni del Complesso Universitario di Monte

S.Angelo

L.S. “R. Caccioppoli”Matematizzare la realtà: dalle ipotesi..al modello.

Università Federico II di Napoli Ufficio Scolastico Regionale per la Campania

Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli

Matematizzare la realtàMatematizzare la realtà

“… I modelli sono come le macchinette. Ci

metti dentro un fenomeno. Giri una manovella. Ti danno una spiegazione. O anche una previsione. La macchinetta va bene fin quando non appare un fenomeno che essa non riesce più a spiegare. A quel punto che cosa fa lo scienziato? Costruisce una nuova macchinetta. Cioè elabora un nuovo modello …”

Corriere del Mezzogiorno, 15/04/2009 Prof. Guido Trombetti

(Rettore Università Federico II)


L’importanza della matematicaLa matematica, scoperta o invenzione che sia, è nata per risolvere problemi concreti e, anche se

nel corso dei secoli è diventata sempre più astratta e generale, costituisce uno strumento formidabile d’indagine della realtà in quanto

offre numerosi modelli per interpretare i fenomeni naturali.

Un modello interessante di numerosi fenomeni è rappresentato dalla Funzione

Esponenziale,utilizzato nel modello di Malthus..


N(t) = numero di individui di una certa popolazione al tempo t


ipotesi di modello della dinamica di crescita di una popolazione

velocita’ di crescita proporzionale alla popolazione stessa

equazione differenziale soluzioni:

Tre grafici di funzioni malthusiane ottenute facendo variare la costante k

N(t)=N(0)ekt


La crescita tende…all’infinito?

Secondo il modello Malthusiano la crescita della popolazione segue la legge esponenziale N(t) = N(0) ekt, mentre le risorse alimentari crescono secondo un modello lineare e ciò porta all’impossibilità della popolazione di alimentarsi a sufficienza.

Nella realtà naturale la crescita di una popolazione è influenzata da fattori ambientali che ne inibiscono lo sviluppo esponenziale.

L'inquinamento ambientale, l'accumularsi di rifiuti tossici, l'esaurimento delle risorse, riducono progressivamente il tasso di crescita che si stabilizza su un valore Nmax di individui e non supera tale numero.


Occorre apportare delle modifiche al modello per esprimere questa diversa valutazione dell'andamento della crescita, e i correttivi apportati all'equazione rispetto a quella malthusiana portano ad evidenziare il limite massimo di crescita degli individui sotto forma di un asintoto orizzontale della curva, che è il limite di tendenza della curva esponenziale.

Dopo aver analizzato il modello di Malthus sappiamo che la crescita esponenziale di una popolazione potrebbe essere illimitata, ma soltanto in condizioni favorevoli. Quindi il modello di Malthus risulta limitato e teorico nel caso in cui cominciano a variare le condizioni di vita di una popolazione.


Numerosi fenomeni possono essere studiati con lo stesso modello

Andamento esponenzialeCarica e scarica del condensatore

Il montante nella capitalizzazione composta

Decadimento radioattivo

Attenuazione della radiazione elettromagnetica

Tensione di vapore saturo


Il modello preda-predatore(Lotka-Volterra)

• Lo studio matematico dei sistemi biologici fu suggerito a Volterra da suo genero, il biologo Umberto D'Ancona

• D'Ancona aveva osservato che le popolazioni di piccoli pesci commestibili (sardine...) e quelle di predatori (squali...) dell'alto Adriatico avevano andamenti oscillanti di uguale periodo, ma erano sfasate tra loro

• La popolazione di sardine raggiungeva il suo massimo prima di quella dei predatori

• La diminuzione di sardine era seguita, con un certo ritardo, dalla diminuzione di predatori

• Il ciclo poi riprendeva con nuovi aumenti sfasati


Come funziona il modello

• Se non ci fossero predatori, il numero di prede salirebbe senza limiti, perché il cibo è sempre disponibile

• Se non ci fossero le prede, i predatori si estinguerebbero per mancanza di cibo

• In presenza di entrambe le specie, gli incontri tra prede e predatori porterebbero a:

– diminuzioni del numero di prede– aumento del numero di predatori, che avrebbero cibo a

disposizione e potrebbero riprodursi più facilmente

• È quindi possibile che si crei una situazione che consente la sopravvivenza di entrambe le specie


N0 = numero iniziale di prede ,

P0 = numero iniziale di predatori

• Prede senza predatori: la variazione delle prede ΔN’ nel tempo Δt è direttamente proporzionale al loro numero iniziale:

ΔN’ = a N0Δt (a costante >0) N cresce

esponenzialmente

• Predatori senza prede: la variazione dei predatori è direttamente proporzionale al loro numero iniziale (ma ha un segno negativo):

ΔP’ = – c P0Δt (c costante >0) P decresce

esponenzialmente

Traduzione in linguaggio matematico


• Prede e predatori: gli incontri tra le due specie portano a una diminuzione di prede e a un aumento di predatori.

Nel caso più semplice, queste variazioni sono direttamente proporzionali al prodotto N0P0 :

ΔN’’ = –b N0P

0Δt , ΔP’’ = d N

0P

0Δt

(b, d costanti >0)


le equazioni di Volterra-Lotka sono equazioni differenziali alle

derivate parziali.

Abbiamo considerato un modello semplificato “discreto” in cui si

considerano intervalli di tempo finiti (e non infinitesimi)


La figura mostra un tipico andamento delle due popolazioni ottenibile dal modello, in buon accordo qualitativo con le osservazioni di D’Ancona (N=prede, P=predatori)

L’altezza relativa dei picchi delle 2 popolazioni non è l’aspetto più significativo e dipende dalla coppia di specie considerate.

La caratteristica importante è la ciclicità (sfasata) dei due andamenti

Il periodo è legato alle costanti che caratterizzano la crescita/decrescita delle due popolazioni


Analisi del modello

Risolvendo il sistema si ottengono due possibili soluzioni:

N0=0; P

0=0 corrisponde all'assenza delle due specie

N0=c/d; P

0=a/b l'interazione prede-predatori produce

effetti esattamente contrari a quelli della loro crescita-decrescita spontanea

Oscillazioni: in assenza di equilibrio le popolazioni oscillano con uno sfasamento di circa π/2 (¼ di periodo) attorno al punto di equilibrio (N

0=c/d; P

0=a/b)


““L.S.S. R. Caccioppoli”L.S.S. R. Caccioppoli”

Alunni partecipanti:• Cuofano AntonioCuofano Antonio• De Luca EmanueleDe Luca Emanuele• Martorelli Maria IreneMartorelli Maria Irene• Menna EmiliaMenna Emilia• Nocerino RaffaellaNocerino Raffaella• Palumbo PierluigiPalumbo Pierluigi• Piscopo AntonioPiscopo Antonio• Soria GiovanniSoria Giovanni

Relatori: P. Palumbo – E. MennaRelatori: P. Palumbo – E. Menna

Docenti referenti : Vincenzo Gagliotta – Salvatore MontesanoDocenti referenti : Vincenzo Gagliotta – Salvatore Montesano

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