PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHELogica Matematica

PRINCIPI DELLA LOGICA ARISTOTELICA

1) A=A

2) ¬(A ¬A)

3) A v ¬A

INDIMOSTRABILI DI CRISIPPO

1. Se p, allora q. Ma p dunque q. ( es. Se é giorno, c'é luce. Ma é giorno, dunque c'é luce)

2. Se p, allora q. Ma non q, dunque non p ( es . Se é giorno, c'é luce. Ma non c'é luce, dunque non é giorno )

3. Non possono essere p e q insieme. Ma p, dunque non q ( es . Non può essere insieme giorno e notte. Ma é giorno, dunque non é notte )

4. O p o q. Ma p, dunque non q ( es . O é giorno o é notte. Ma é giorno, dunque non é notte)

5. O p o q. Ma non q, dunque p ( es . O é giorno o é notte. Ma non é notte, dunque é giorno)

PROPOSIZIONI E CONNETTIVI

Una proposizione atomica è un’espressione di senso compiuto formata da un soggetto, un predicato ed eventuali complementi per la quale abbia senso chiedersi se è vera o falsa.

Le proposizioni composte si ottengono da quelle atomiche tramite i connettivi: 1) v : vel (disgiunzione inclusiva) 2) : aut (disgiunzione esclusiva) 3) → : se… allora… (implicazione logica) 4) <↔> : se e solo se (coimplicazione logica) 5) ∧ : et (congiunzione logica)

TAVOLA DELLE VERITÀ

P Q P ∧Q P∨ Q P Q P→Q P<↔>Q

F F F F F V V

F V F V V V F

V F F V V F F

V V V V F V V

VERIFICA CON ESEMPIO

Stasera vado al cinema o in pizzeria Non vado al cinema

-------------------------------- (corretto)

Vado in Pizzeria

Un esempio di ragionamento scorretto (detto anche paralogismo) è invece il seguente:

Se la benzina finisce allora la macchina si ferma

La benzina non finisce

---------------------------------(non corretto)

Allora la macchina non si ferma

PROBLEMINO LOGICO

Antonio afferma che Barbara mente

Barbara afferma che Carlo mente

Carlo afferma che Antonio e Barbara mentono

E’ facile accorgersi che Antonio non può dire il vero, altrimenti Barbara direbbe il falso, da cui Carlo direbbe il vero: “Antonio e Barbara mentono”. Quindi avremmo che “Antonio mente e non mente” , contraddizione. Quindi Antonio mente, Barbara dice il vero e Carlo mente.

QUANTIFICATORI

In logica ci sono i quantificatori universale e esistenziale che corrispondono rispettivamente alle espressioni “ogni cosa” e “qualcosa”

In simboli : :per ogni

:esiste almeno un

CANTORCantor Dato un insieme X, l'insieme delle parti di X (cioè l'insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi di X) ha sempre cardinalità maggiore di quella di X.

DIMOSTRAZIONE TEOREMA DI CANTOR (DIAGONALE DI CANTOR)

1 2 3 4 ….

Pari NO SI NO SI …

Dispari SI NO SI NO …

Primi NO SI SI NO …

Multipli di 3

NO NO SI NO …

…. … … … … …

Nuovo SI SI NO SI

Questo nuovo sottoinsieme non è corrispondente di nessun numero naturale, non si trova in alcuna riga della tabella.

Sia A = N e P(A) l’insieme dei sottoinsiemi di N. Si suppone, per assurdo, che esista una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di N e i sottoinsiemi di N. Si costruisce una tabella nelle cui colonne sono inseriti i numeri naturali e nelle righe i sottoinsiemi, il primo insieme è quello dei numeri pari e così via.

CANTOR E L’INFINITO 1.Supponiamo per assurdo che l'intervallo [0,1] sia numerabile. 2.ciò implica che gli elementi di [0,1] possono essere posti in

corrispondenza biunivoca con i numeri naturali dando luogo ad una successione di numeri reali {r1, r2, r3, ...} che esaurisce tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1.

3.Possiamo rappresentare ciascun numero della successione in forma decimale e visualizzare la successione di numeri reali come una matrice infinita che avrà più o meno quest'aspetto:

r1 = 0, 5 1 0 5 1 1 0 ... r2 = 0, 4 1 3 2 0 4 3 ... r3 = 0, 8 2 4 5 0 2 6 ... r4 = 0, 2 3 3 0 1 2 6 ... r5 = 0, 4 1 0 7 2 4 6 ... r6 = 0, 9 9 3 7 8 3 8 ... r7 = 0, 0 1 0 5 1 3 5 ... ... In realtà ci sono numeri che hanno più di una rappresentazione decimale:

quelli che terminano con una sequenza infinita di 9 o di 0 ne hanno due, in tal caso conveniamo di prendere la rappresentazione che termina con 0.

4.Costruiamo un r* tale che abbia la prima cifra decimale diversa da quella r1, la seconda cifra decimale diversa da quella di r2, la terza cifra decimale diversa da quella di r3, e così via...

5.Si deduce dunque che r* non è nell'elenco mostrato, il quale aveva lo scopo di enumerare tutti i numeri reali compresi nell'intervallo [0,1]. L'intervallo in questione dunque non è numerabile e a maggior ragione non lo è R.

COROLLARI DEL TEOREMA Ogni insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio

Un segmento è equipotente ad una retta Un segmento è equipotente ad un quadrato

Indicata con L la cardinalità di N, l’insieme delle parti di N, cioè P(N), ha cardinalità maggiore di

Tale cardinalità è chiamata “cardinalità del continuo” .

Risulta: < 2In particolare l’insieme dei numeri reali ha la cardinalità del continuo.

TORRI DI CANTOR

…… ……..

PPPPX Y PPPPY Z

PPPX PPPY

PPX PPY

PX …….. PY

X PPPPZ Y

PPPZ PPZ PZ Z

ANTINOMIE …

Paradosso del mentitoreIo dico: “Sto mentendo” .

Ho detto la verità ??

… CELEBRI

RussellConsideriamo l’insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi. Se esso è un elemento di se stesso, allora non è un elemento di se stesso. Se non lo è, lo è.

REALIZZATO DA…

Serena Pinelli

Andrea Raia

Marco Preziosi

Giuseppe Iodice