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Logica, discorso e conoscenza

Primo modulo:

Logica e verita (matematica)ovvero Logica, deduzione, verita

Lezioni 1, 2 e 3

Simone Martini

Dipartimento di Scienze dell’InformazioneAlma mater studiorum – Universita di Bologna

[email protected]

Collegio Superiore

Ottobre–novembre, 2006

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Outline

1 Prima lezione: la logica dall’informale al formale

Pillole di storia (e problemi) della logica

2 Seconda lezione: il linguaggio formale

Formalizzazione di semplici proprieta aritmetiche

3 Terza lezione: verita e validita

Formule vere dovunque e vere in classi di modelli

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Cos’e la logica?

Ars directiva ipsius actus rationis, per quam scilicet homo in ipso

actu rationis ordinate et faciliter et sine errore procedat.[Tommaso d’Aquino, An. posteriora, I, 1]

La parte della filosofia che studia quali sono le leggi del pensare,

che assicurano ad esso validita conoscitiva.

Si chiama logica formale lo studio in abstracto dei procedimenti

seguiti dal pensiero nella formazione dei concetti, dei giudizi, dei

ragionamenti, indipendentemente dai contenuti cui esso si puo

volta a volta applicare.[Lamanna-Adorno, Diz. di termini �loso�ci, 1971]

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Cos’e la logica?

Riflessione razionale sulle strutture (soprattutto formali) delragionamento

I Fascinazione per la ragioneI Consapevolezza di ragionamenti fallaciI Circoscrivere il corretto (e.g., la Scolastica)I Circoscrivere il dicibile (e.g., Wittgenstein)

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Cos’e la logica matematica?

Un settore della matematica che usa tecniche matematiche

per indagare il ragionamento (matematico)

In particolare i concetti diI DimostrazioneI ConsistenzaI TeoriaI Verita

all’interno della conoscenza matematica.

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Da Aristotele (384 – 322 a.C.)a Pietro Ispano (circa 1215–1277)

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Aristotele e la scolastica

Enunciazione vs Argomentazione

(proposizione vs dimostrazione, inferenza)

Proposizione:

Discorso completo che esprime un oggetto complesso sul

quale puo essere portato un giudizio (“vero” o “falso”)

I Affermative universali (A): Ogni uomo e mortaleI Affermative particolari (I): Qualche uomo e filosofoI Negative universali (E): Nessun uomo e un angeloI Negative particolari (O): Qualche chiaccherone non e noiosoI (Singolari: Socrate e un uomo, caso particolare di A)

e delle loro relazioni reciproche (conversione)

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Analizziamo una proposizione

Nessun intento filologico relativo alla logica aristotelica!

In particolare: non conosce la quantificazione individuale

concetti singolari (termini: Socrate) che designano individui

concetti universali (variabili quantificate universalmente: ogni

uomo)

concetti particolare (variabili quantificate esistenzialmente:

qualche uomo)

giudizio affermativo o negativo (tutti gli uomini, nessun uomo)

predicati: e un angelo

una proposizione (semplice) risulta dalla predicazione relativa

a (su un) un concetto: ogni uomo e mortale

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Inferenza: la conversione

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Inferenza: il sillogismo

Un sillogismo (di prima figura, “in BArbArA”):I Ogni uomo e mortaleI Ogni neonato e un uomoI dunque: Ogni neonato e mortale

La struttura generale della prima figura:

Premessa maggiore: (M,T )

Premessa minore : (t,M)

Conclusione (dunque:) (t,T )

Variando la disposizione di T , t,M nelle premesse si

ottengono le quattro figure

Per ogni figura, si ottengono i diversi modi, a seconda se le

premesse siano di tipo A, E, I, O

Non tutti i modi sono legittimi, quanto alla validita

dell’inferenza10 / 70

Il sillogismo, 2

Un sillogismo (di seconda figura, “in BArOccO”):I Ogni uomo stolto e noiosoI Qualche chiaccherone non e noiosoI dunque: Qualche chiaccherone non e stolto

La struttura generale della seconda figura:

Premessa maggiore: (T ,M)

Premessa minore : (t,M)

Conclusione (dunque:) (t,T )

Un “sillogismo” scorretto (di prima figura, EAA)I Alcuni uomini sono santiI I criminali sono uominiI dunque: I criminali sono santi

(In prima figura) sit minor affirmans, nec maior particularis

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Una prima morale(dal punto di vista moderno)

Sillogismo valido (corretto):I costruito in uno dei 19 modi legittimi (delle quattro figure)

Sillogismo vero:I sillogismo valido nel quale entrambe le premesse sono vereI impone la verita della conclusione

La correttezza dipende dalla struttura formale del sillogismo

La verita della conclusione e ipotetica: subordinata alla verita

delle premesse (e alla correttezza del sillogismo)

Semantica a varı livelliI Termini =⇒ individuiI Proposizioni =⇒ valori di veritaI Sillogismi =⇒ relazioni ipotetiche tra valori di verita

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Esercizio

La terza figura: (M,T ), (M, t) dunque (t,T ).

Un sillogismo di terza figura in Darapti:I Un centauro e un uomo-cavalloI Un centauro e un essere immaginarioI Dunque, qualche essere immaginario e un uomo-cavallo

Si tratta di un sillogismo legittimo per la scolastica

Si trovi una sua applicazione fallace

Da cosa dipende la fallacia?

(Per chi conosce un po’ di simbologia formale)

Si formalizzi Darapti e si discuta la sua correttezza nel

contesto logico-formale

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I paradossi

Abbiamo sognato [il mondo] resistente, misterioso, visibile, ubiquonello spazio e fermo nel tempo; ma abbiamo ammesso nella suaarchitettura tenui ed eterni interstizi di assurdita, per sapere che efinto. [J. L. Borges, La perpetua corsa di Achille e la tartaruga]

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Il mentitore

Cretenses semper mendaces.[Ad Titum 1, 12]

Epimenide di Creta: “[Tutti] i Cretesi sono bugiardi”

E un paradosso?

Basta che esista un cretese che dice la verita e la frase e falsa.

Eubulide di Mileto: “Io sto mentendo in questo momento”

La chiave: autoriferimento

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Gottfried Wilhelm Leibniz

1646-1716

characteristica universalis

ars combinatoria

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Leibniz e la characteristica universalis

Id (. . . ) efficiendum est, ut omnis paralogismus nihil aliud sit

quam error calculi (. . . ). Quo facto, quando orientur controversiae,

non magis disputatione opus erit inter duos philosophos, quam

inter duos computistas. Sufficiet enim calamos in manus sumere

sedereque ad abacos, et sibi mutuo (. . . ) dicere: calculemus![t. VII, 200]

1 Linguaggio formale: Descrizione esatta ed univoca dei concetti

2 Inferenza combinatoria, puramente sintattica (da computistae)3 Proprieta fondamentali:

I Correttezza: non sono possibili paralogismi, da prop vere a

prop vereI Completezza: tutti i paralogismi sono errori di calcolo;

forzando un po’ la mano: ogni prop vera e ottenibile per

calcolo

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Intermezzo:Argomentazioni vs Conclusioni

Leibniz insiste sulla completezza per le argomentazioni (fallaci)

La logica moderna insistera (soprattutto) sulla completezzaper le conclusioni (corrette e/o vere)

I Sistemi formali completi: esprimono tutte le proposizioni vere

(su un certo dominio)I Per ciascuna di esse e sufficiente una argomentazione

(dimostrazione)I Dimostrazioni in formati molto vincolati, non “naturali”

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La crisi dei fondamenti:Bertrand Russell (1872 – 1970)

Gottlob Frege (1848 – 1925)

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La crisi dei fondamenti della matematica

La matematica si credeva immune dai paralogismi

Alla fine del XIX secolo scopre, con sorpresa, di essernecontagiata essa stessa

I Russell scrive a Frege:

Un insieme e normale se non contiene se stesso.

Sia N l’insieme di tutti e soli gli insiemi normali.

N e normale?

I Frege risponde a Russell:

Solatium miseris socios habuisse malorum

I Perche tanta drammaticita?I I ragionamenti per assurdo sono presenti sin da EuclideI Russell non ha semplicemente dimostrato che N non esiste?

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La formalizzazione della matematica

Per costruire N si usano solo operazioni elementari di

comprensione

Occorre limitare quelle

Necessita di un linguaggio formale preciso (e dalla semantica

precisa)

Per tagliare un capello in quattro

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David Hilbert (1862-1943)

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Il progetto di Hilbert per la consistenza

Come essere sicuri che anche con tale linguaggio formale i

paradossi non si presentino?

Individuare un nucleo di base cui ridurre tutta la restante

matematica

L’aritmetica formalizzata

Indagare il nucleo con strumenti (matematici, anzi aritmetici)

cosı semplici da non sollevare dubbi sulla loro consistenza

Dimostrare cosı che il nucleo e (auto-)consistente

Cruciale: la struttura dei numeri naturali

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Kurt Godel (1906-1978)

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Godel: successi e insuccessi hilbertiani

Il teorema di completezza (“sintattica”), 1927I Ogni proposizione vera in tutti i modelli e derivabile nel

sistema formale

Il teorema di incompletezza (“semantica”), 1930I Vi sono proposizioni vere nella struttura dei numeri naturali

che non sono derivabili nel sistema formaleI Tra di esse c’e la proposizione che esprime la consistenza del

sistema formale

Gran parte del corso sara dedicata a chiarire questi due

enunciati. . .

Cioe: cosa sono i “modelli”?

E cosa significa lo scarto tra “vero in tutti i modelli” e “vero

in una struttura particolare”?

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Semplici proprieta aritmetiche, 1

Il numero 0 e l’elemento neutro della somma

Per ogni numero n, n + 0 = n

8n(n + 0 = n)

Nomi di individui: 0

“Nomi” generici (variabili): n

Un predicato (binario): =

L’applicazione di un predicato ad individui da una

proposizione: n + 0 = n

Un’operazione che trasforma individui in individui: +

Un quantificatore su individui (generici): 8

La relativizzazione della quantificazione (“ogni numero”) e

scomparsa

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Semplici proprieta aritmetiche, 2

Zero non e il successore di alcun numero (in N)

8n ¬(s(n) = 0)

Un altro simbolo di operazione (funzione): s

Un nuovo operatore che trasforma proposizioni in

proposizioni: ¬

Per ogni n, l’inverso e unico

8n8m18m2(n + m1 = 0) ∧ (n + m2 = 0) → m1 = m2

Nuovi operatori che trasformano proposizioni: ∧, →27 / 70

Alcune bipartizioni

1 Logica vs Dominio di indagine (e.g., aritmetica)

2 Proposizioni vs Quantificazione

3 Sintassi vs Semantica

4 Linguaggio vs Metalinguaggio

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Bipartizioni, 1

1 Logica vs Dominio di indagine (e.g., aritmetica)I Livello logico comune: rende conto degli aspetti generali del

ragionamento (e.g., connettivi, quantificatori ecc.)I Livello specifico: rende conto degli aspetti specifici del dominio

che si formalizza (e.g., N, Z, ecc.)




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Bipartizioni, 2


2 Proposizioni vs QuantificazioneI Nomi, variabili e funzioni denotano individui, che possono

essere quantificatiI L’applicazione di predicati (e.g., =) a individui da proposizioniI Proposizioni manipolate con connettivi: congiunzione,

disgiunzione, implicazione, negazione, ecc.I Proposizioni che contengono individui generici, possono dar

luogo ad altre proposizioni mediante quantificazione:

universale, esistenziale



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Bipartizioni, 3



3 Sintassi vs SemanticaI Sintassi

F I simboli usatiF I modi di comporli in “frasi” sensateF I modi di derivare frasi (conclusioni) da frasi (ipotesi)

I SemanticaF Gli oggetti che i simboli denotanoF I valori di verita che corrispondono alle frasiF La relazione di conseguenza tra la verita di certe frasi (ipotesi)

e la verita di altre frasi (conclusioni)


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Bipartizioni, 4




4 Linguaggio vs MetalinguaggioI Linguaggio della logicaI (Meta-)linguaggio nel quale la logica e descrittaI “0+1=0” e un teorema dell’aritmeticaI Teoremi e metateoremi (o meglio: teoria e metateoria)

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Sintassi: termini

Fissiamo un insieme di (simboli di) costante (e.g., 0)

Fissiamo un insieme di (simboli di) funzione (e.g., +, s), col

loro numero di argomenti (“arieta”) (e.g., +2, s1)

Assumiamo di avere una riserva infinita di nomi di variabili

(n,m, x , y , . . .)

I termini sono definiti induttivamente come segue:1 Ogni costante e un termine2 Ogni nome di variabile e un termine3 Se f n e un simbolo di funzione n-aria e t1, . . . , tn sono termini,

allora f (t1, . . . , tn) e un termine4 Nient’altro e un termine

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Sintassi: formule

Fissiamo un insieme di (simboli di) predicato ciascuno col

proprio numero di argomenti (“arieta”)

Il predicato di uguaglianza e sempre presente

Le formule sono definite induttivamente come segue:1 Se t1 e t2 sono termini, allora t1 = t2 e una formula2 Se Pn e un simbolo di predicato n-ario e t1, . . . , tn sono

termini, allora P(t1, . . . , tn) e una formula3 Se A e B sono formule, allora ¬A,A ∧ B,A ∨ B,A → B sono

formule4 Se A e una formula, e n e una variabile, allora 8n(A) e 9n(A)

sono formule5 Nient’altro e una formula

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Un linguaggio

La definizione di linguaggio e parametrica nei simboli di

costante, funzione e predicato. Tutto il resto e fissato.

Il linguaggio della somma: Lgruppo

I Simboli di costante: {0}I Simboli di funzione: {+2}I Simboli di predicato: ;

Esempi di termini:

0, 0 + 0, n, n + m, (n + 0) + m

Esempi di formule:

n = n, 0 + 0 = m, n = m ∧ m = n, n = m ∧ m = p → n = p

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Altri linguaggi

Il linguaggio di somma e prodotto: Lanello

I Simboli di costante: {0, 1}I Simboli di funzione: {+2,�2}I Simboli di predicato: ;

Il linguaggio di zero e successore: Lsucc

I Simboli di costante: {0}I Simboli di funzione: {s1}I Simboli di predicato: ;

Il linguaggio dell’aritmetica: LPA

I Simboli di costante: {0}I Simboli di funzione: {s1,+2,�2}I Simboli di predicato: ;

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Una semantica “canonica”?

Ricordiamo Lgruppo :I Simboli di costante: {0}I Simboli di funzione: {+2}I Simboli di predicato: ;

Siamo tentati di dire che alcune sue formule sono “vere”:

8n(n = n), 8n(n + 0 = n), 8n8m8p(n = m ∧ m = p → n = p)

e che altre sono “false”: 8m(0 + 0 = m), 9n8m(n + m = 0)

Ma non e cosı!

“verita” e “falsita” pre-suppongono un’interpretazione

canonica dei simboli del linguaggio

Nessuna formula e “vera” o “falsa” in assoluto, ma solo in

riferimento ad una specifica interpretazione (cioe una

semantica) del linguaggio

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Sintassi e semantica per un linguaggio

Prendiamo L+,s :I Simboli di costante: {0}I Simboli di funzione: {s1,+2}I Simboli di predicato: ;

Una semantica di L+,s sara costituita da:I un insieme di individui (per interpretare i termini)I in tale insieme saranno interpretati i simboli di costante e

funzioneI simboli di predicato saranno interpretati come relazioniI = e sempre intepretato con l’identita

Indicheremo con [[ ]] la funzione dalla sintassi alla semantica

che stabilisce una data interpretazione

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Diverse interpretazioni per L+,s

N:I [[0]] = 0N

I [[s]] = successoreN

I [[+]] = +N

Z:I [[0]] = 0Z

I [[s]] = successoreZ

I [[+]] = +Z

S = {�} (l’insieme che contiene il solo elemento �)I [[0]] = �

I [[s]] = succ, dove succ(�) = �

I [[+]] = g , dove g(�, �) = �

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Verita in una interpretazione

P = 8n ¬(s(n) = 0)

e una formula nel linguaggio L+,s

P eI vera in NI falsa in ZI falsa in S = {�}

Esercizio:I Si consideri l’insieme {0, 1}I Si diano due diverse interpretazioni di L+,s su tale insiemeI In modo che in una interpretazione P sia vera, nell’altra falsa

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Intermezzo: Linguaggi del prim’ordine e diordine superiore

La sintassi da noi descritta e detta del prim’ordine:I quantificazione solo su variabili individualiI cioe, semanticamente, solo su elementi del dominio

Un linguaggio si dice del secondo ordine, se:I permette la quantificazione anche su variabili di predicatoI cioe, semanticamente, anche su sottoinsiemi del dominioI Esempio: 8P8n(P(n) → P(n + 1))

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Intermezzo:Linguaggi di programmazione

L’esempio piu diffuso di linguaggi formali e quello dei

linguaggi di programmazione

Semantica dichiarativa vs semantica imperativa

La “variabilita” della semantica e vitale per la coesistenza di

“implementazioni” diverse

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Informatica, figlia della logica

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Sintassi: Alfabeto

Sia ΣC un insieme (numerabile) di simboli di costante

Sia ΣF un insieme (numerabile) di simboli di funzione

Sia ΣP un insieme (numerabile) di simboli di predicato

I tre insiemi appena definiti sono disgiunti

Sia Σ = ΣC [ ΣF [ ΣP

L’alfabeto del linguaggio LΣ e dato daI Simboli propri: ΣI Un insieme numerabile di simboli di variabile: x , y , . . .I Connettivi: ¬,∧,∨,→I Quantificatori: 8,9I Uguaglianza: =I Simboli ausiliari: (, ), , (virgola)

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Sintassi: Termini e Formule

I termini sono definiti induttivamente come segue:1 Ogni costante e un termine2 Ogni nome di variabile e un termine3 Se f n e un simbolo di funzione n-aria e t1, . . . , tn sono termini,

allora f (t1, . . . , tn) e un termine4 Nient’altro e un termine

Le formule sono definite induttivamente come segue:1 Se t1 e t2 sono termini, allora t1 = t2 e una formula2 Se Pn e un simbolo di predicato n-ario e t1, . . . , tn sono

termini, allora P(t1, . . . , tn) e una formula3 Se A e B sono formule, allora ¬A,A ∧ B,A ∨ B,A → B sono

formule4 Se A e una formula, e n e una variabile, allora 8n(A) e 9n(A)

sono formule5 Nient’altro e una formula

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Interpretazione: linguaggio

Dato un linguaggio LΣ una sua interpretazione e data da

Un insieme D, detto dominio

Per ogni simbolo c 2 ΣC , un fissato elemento cD 2 D

Per ogni simbolo f k 2 ΣF una fissata funzione f D : Dn → D

Per ogni simbolo Pk 2 ΣP una fissata funzione

PD : Dn → {V ,F }

Un’interpretazione e data da (i) un dominio e (ii) un’associazione

di significato ai simboli propri.

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Interpretazione: termini

Sia A un’interpretazione per un linguaggio LΣ.

L’interpretazione si estende in modo canonico ai termini:

Sia ρ un ambiente, cioe una funzione ρ : Variabili → D

[[c ]]Aρ = cD

[[x ]]Aρ = ρ(x)

[[f (t1, . . . , tn)]]Aρ = f D([[t1]]

Aρ , . . . , [[tn]]

Aρ )

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Interpretazione: formule

Sia A un’interpretazione per un linguaggio LΣ.

L’interpretazione si estende in modo canonico alle formule:

Sia ρ un ambiente, cioe una funzione ρ : Variabili → D

[[t1 = t2]]Aρ = V sse [[t1]]

Aρ = [[t2]]

Aρ

[[P(t1, . . . , tn)]]Aρ = V sse PD([[t1]]

Aρ , . . . , [[tn]]

Aρ ) = V

[[¬A]]Aρ = V sse [[A]]Aρ = F

[[A ∧ B]]Aρ = V sse [[A]]Aρ = V e [[B]]Aρ = V

[[A ∨ B]]Aρ = V sse [[A]]Aρ = V oppure [[B]]Aρ = V

[[A → B]]Aρ = V sse [[A]]Aρ = F oppure [[B]]Aρ = V

[[8x(A)]]Aρ = V sse per ogni d 2 D, [[A]]Aρ[x←d ] = V

[[9x(A)]]Aρ = V sse esiste un d 2 D, [[A]]Aρ[x←d ] = V

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Verita in un’interpretazione

Sia A una formula sul linguaggio LΣ

Sia A una interpretazione per LΣ

A e vera in A sse per ogni ρ, [[A]]Aρ = V

In simboli: A |= A

Leggi: A e un modello di A

Si estende ad insiemi di formule Γ :

A |= Γ sse per ogni A 2 Γ , si ha A |= A

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Esempi (gia visti)

P = 8n ¬(s(n) = 0)

e una formula nel linguaggio L+,s

N, Z, {�} sono tutte interpretazioni per L+,s

N |= P

Z 6|= P

{�} 6|= P

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Formule vere in ogni interpretazione?

Dicemmo:I Siamo tentati di dire che alcune sue formule sono “vere”:

8n(n = n), 8n(n + 0 = n), 8n8m8p(n = m ∧ m = p → n = p)I e che altre sono “false”: 8m(0 + 0 = m), 9n8m(n + m = 0)I “verita” e “falsita” pre-suppongono un’interpretazione

canonica dei simboli del linguaggioI Nessuna formula e “vera” o “falsa” in assoluto, ma solo in

riferimento ad una specifica interpretazione (cioe una

semantica) del linguaggio

Siamo sicuri?

Consideriamo P → P, o 8x(x = x)

Per una interpretazione qualsiasi A, queste formule sono vere

in A

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Leggi logiche

Il linguaggio ha due livelli:1 Livello logico comune: connettivi, quantificatori ecc.2 Livello specifico: aspetti specifici del dominio

La semantica del livello specifico dipende dall’interpretazione

perche dipende da come si associano oggetti semantici ai

simboli

La semantica del livello logico e invece fissata nella nozione di

“funzione semantica”, [[ ]]

E.g., [[A ∧ B]]Aρ = V sse [[A]]Aρ = V e [[B]]Aρ = V

[[t1 = t1]]Aρ = V sse [[t1]]

Aρ = [[t2]]

Aρ

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Validita

Una formula A e valida sse per ogni interpretazione A, si ha A |= A

|= A

Le formule valide sono “leggi logiche”

La loro verita non dipende dal dominio, ma dalla semantica

dei connettivi e dei quantificatori

Questa semantica e per noi “connaturata” (“built-in”) alla

logica che stiamo descrivendo

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Alcune leggi logiche proposizionali

1 P → P

2 P → (Q → P) a fortiori

3 P ∧ Q → P

4 P → ¬¬P doppia negazione debole

5 (P → Q) → (¬Q → ¬P) tollendo tollens

6 P → (¬P → ¬Q) legge debole di Duns Scoto

7 P → (¬P → Q) legge forte di Duns Scoto

8 P ∨ ¬P terzo escluso

9 ¬¬P → P doppia negazione forte

10 (P → Q) ↔ (¬P ∨ Q) legge di Filone Megarico

11 ((P → Q) → P) → P legge di Pierce

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Alcune leggi logiche quantificate

1 (8xP) → (9xP)

2 9x8yP → 8x9yP

3 8xP ↔ ¬9x¬P

4 9xP ↔ ¬8x¬P

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Procedimento di decisione?

Legge proposizionaleI Tavola di veriaI Meccanizzabile (ma richiede tempo esponenziale)

Legge quantificataI Ragionare a partire dalla definizioneI Meccanizzabile?

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Intermezzo: logica classica e altre logiche

La logica che descriviamo viene detta classica

Sono state studiate logiche diverse, il cui insieme di leggi e un

sottinsieme proprio di quello della logica classica

Corrispondono a diverse semantiche dei connettivi (e dei

quantificatori)

Ricordiamo le logicheI minimaleI intuizionista

E.g., per l’intuizionista le leggi proposizionali da 8 in poi (e le

3 e 4 delle leggi quantificate) non sono valide

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Una validita “condizionata”?

Consideriamo le due formule1 8n(n + 0 = n)2 8n8m(n + m = m + n)

8n(0 + n = n) e certamente vera tutte le volte che (1) e (2)

sono vere

Piu precisamente:

In ogni interpretazione che e un modello di (1) e (2), anche

8n(0 + n = n) e vera

Diciamo che 8n(0 + n = n) e conseguenza logica di (1) e (2)

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Conseguenza logicaformule chiuse

Sia Γ un insieme di formule chiuse e P una formula.

P e conseguenza logica di Γ (scrivi: Γ |= P)

sse

per ogni interpretazione A,

se A |= Γ , allora A |= P.

P e necessariamente vera laddove le formule di Γ sono vere.

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Conseguenza logicacaso generale

Sia Γ un insieme di formule e P una formula.

P e conseguenza logica di Γ (scrivi: Γ |= P)

sse

per ogni interpretazione A, e per ogni ambiente ρ su A:

per tutte le Q 2 Γ [[Q]]Aρ = V =⇒ [[P]]Aρ = V

P e necessariamente vera laddove le formule di Γ sono vere,

nello stesso ambiente.

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Centralita della conseguenza logica

La matematica e incentrata su questa nozione

La logica del novecento nasce per chiarire questa nozione

Un insieme di formule caratterizza (assiomatizza) una certa

nozione matematica (gli ordini parziali, i gruppi, gli anelli ecc.)

Si studiano i teoremi che valgono per tutte quelle strutture

(tutti i gruppi, tutti gli anelli, tutti gli ordini parziali ecc.)

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L’insieme Ord

Sia LOrd il linguaggio senza costanti o funzioni e col solo simbolo

di predicato M

Sia Ord il seguente insieme di formule su LOrd :

8xM(x , x)

8x8y(M(x , y) ∧ M(y , x) → x = y)

8x8y8z(M(x , y) ∧ M(y , z) → M(x , z)

Ord esprime che M e un predicato (binario) riflessivo,

antisimmetrico e transitivo.

Cioe M e una relazione d’ordine.

Se A e un modello di Ord , deve avere un ordine

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Alcuni modelli di Ord

N |= Ord

Z |= Ord

{�} |= Ord

Molte altre interpretazioniI D0: D = {0, 1}, MD0(0, 0) = V ,MD0(1, 1) = VI D1: D = {0, 1}, MD1(0, 0) = V ,MD1(1, 1) = V ,MD1(0, 1) = VI D2: D = {0, 1}, MD2(0, 0) = V ,MD2(1, 1) = V ,MD2(1, 2) = V

Ci sono infiniti modelli di Ord!

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La teoria degli ordini parziali

Un modello di Ord e un ordine parziale

Le conseguenze logiche di Ord sono le proprieta che valgono

per tutti gli ordini parziali

Th(Ord) = {P | Ord |= P}

La teoria degli ordini parziali e costituita da tutte quelle

formule che sono conseguenza logica di Ord , cioe che sono

vere in ogni ordine parziale.

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Conseguenze di formule “logiche”

Consideriamo il linguaggio puro (no costanti, no variabili, un

insieme numerabile di simboli di predicato)

La conseguenza logica ha senso anche in questo caso

A,A → B |= B

B non e certo una legge logica. . .

¬B(c),8x(A(x) → B(x)) |= ¬A(c)

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I gruppi

Un gruppo e un insieme con un’operazione binaria associativa

L’operazione ha un elemento neutro

Ogni elemento ha un inverso

Il linguaggio: Lgruppo = {ε, �2}; nessun predicato.

Sia Grp l’insieme delle quattro formule seguenti:

8x8y8z [(x � y) � z = x � (y � z)]

8x(ε � x) = x) e anche 8x(x � ε) = x)

8x9y(x � y = 0) ∧ (y � x = 0)

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La teoria dei gruppi

Le conseguenze logica di Grp sono i teoremi sui gruppi

Th(Grp) = {P | Grp |= P}

Modelli di Grp sono Z con la somma; Q con il prodotto; Rcon il prodotto ecc. ecc.

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Quanti sono i modelli di una teoria?

1 Ci sono solo modelli finiti (il cui dominio e finito)I Linguaggio con una sola costante, diciamo 0

8x(x = 0) ha un solo modello, quello con un solo elementoI Linguaggio con due sole costanti, diciamo 0 e 1

8x(x = 0 ∨ x = 1) ∧ ¬(0 = 1) ha un solo modello, quello con

un due elementiI In questo caso i modelli di tali formule sono in numero finito

(uno solo, in entrambi i casi)2 Ci sono (anche) modelli infiniti (il cui dominio e infinito)

I Linguaggio con una sola costante (0) ed un simbolo di

funzione s1

I 8x¬(x = s(x)) ha modelli sia finiti (per esempi con due

elementi) sia infiniti (cioe di cardinalita infinita)I In questo caso e possibile dimostrare che esistono

necessariamente una quantita infinita di modelli (ciascuno di

essi con un dominio di cardinalita infinita)

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“Difficolta” della conseguenza logica

Se Γ ha (anche) modelli infiniti (col dominio infinito)

Allora Γ ha infiniti modelli (non e un gioco di parole. . . )

(Tale infinito e di una cardinalita estremamente grande)

L’insieme delle conseguenze logiche di Γ caratterizza cosı il

comportamento di una collezione vastissima di interpretazioni

Come stabilire allora una conseguenza logica?

Non possiamo ragionare su questa (enorme) collezione di

modelli!

Alla ricerca di metodi sintattici

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Dov’e finito “il mentitore”?

“Questa frase e falsa”

Non e una proposizione, perche una teoria non parla delle

proprie frasi

Ne tantomeno della loro verita

Il mentitore presuppone una metateoria riflessa nella teoria

O no?

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