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Progetto del controllore

2

“Loop shaping” e sintesi per tentativi Reti anticipatriciReti attenuatriciReti integro-derivativeImplicazioni sull’attività sul comando

Principali reti di compensazione

4

Il concetto del “loop shaping” (1/3)

Nel consueto schema di controllo ad un grado di libertà

il controllore C(s) deve essere progettato in modo che la funzione d’anello Ga(s) = C(s)F(s) presenti le caratteristiche necessarie per il soddisfacimento delle specifiche date

ydesr

–

e u yF(s)

+Kr

C(s)

ch

KC(s) C (s)

s′= ⋅

5

L’analisi delle principali specifiche permette infatti di individuare una serie di vincoli su C(s) e su alcune caratteristiche di Ga(s); in particolare

Le specifiche statiche impongono vincoli sul guadagno Kc e sul numero h di poli in s = 0Le specifiche sulla prontezza di risposta del sistema (tempo di salita) o sulla banda passante portano ad individuare un valore desiderato (ωc,des) per la pulsazione di taglioLe specifiche sulla sovraelongazione massima o sul picco di risonanza determinano un valore minimo di margine di fase (mϕ,min)


6

Una volta determinato il blocco della parte statica del controllore Kc/sh a partire dalle specifiche statiche, la parte dinamica C’(s) viene costruita in modo che Ga(s) presenti

Si parla di loop shaping proprio perché C(s) viene progettata in modo da assegnare alla funzione d’anello la “forma” idonea al soddisfacimento delle specifiche


c c,des

,minm mϕ ϕ

ω ω

≥

7

Si definisce la funzione d’anello “di partenza”contenente il sistema dato e la parte statica del controllore già definita

La costruzione dell’anello (1/2)

ca1 h

KG (s) F(s)

s=

8

Si valutano e e si calcolano

La variazione di fase Δϕ necessaria per ottenere mϕ > mϕ,min alla pulsazione ωc,des

Solitamente il sistema viene stabilizzato mediante un anticipo di fase in ωc,des (Δϕ ≥ 0); solo in alcuni casi particolari è necessario introdurre invece un opportuno ritardo di fase

La variazione di modulo Δm (o ΔmdB in decibel) necessaria per portare ωc in ωc,des

La costruzione dell’anello (2/2)

a1 c,desG (j )ω( )a1 c,desarg G (j )ω

dB a1 c,des dBm G (j )Δ = − ω

9

Nel caso di sistemi stabilizzabili per mezzo di un controllore stabile, il desiderato “loop shaping”per la risultante Ga(s) = C’(s) Ga1(s) può essere ottenuto costruendo C’(s) come prodotto di reti di compensazione elementari

Ogni rete viene progettata in modo da apportare una modifica “ad hoc” nelle caratteristiche della funzione d’anello (modulo e/o fase)L’effetto complessivo di tutte le reti introdotte deve portare la Ga(s) risultante a presentare le caratteristiche necessarie per il soddisfacimento delle specifiche (in particolare ωc e mϕ)

Reti di compensazione (1/2)

10

A seconda delle più significative modifiche apportate all’andamento della funzione d’anello (in termini di variazione di fase e/o di modulo), si distinguono fra le principali reti di compensazione

Reti anticipatrici o derivativeReti attenuatrici o integrativeReti integro-derivative o lead-lag (formate dall’unione di reti dei due tipi precedenti)

Reti di compensazione (2/2)

11

Sintesi per tentativi

Questa tecnica di progetto è indicata anche come sintesi per tentativi, perché l’effettivo soddisfacimento di tutte le specifiche avviene spesso per correzioni successive (tentativi) nella definizione delle reti di compensazioneIl soddisfacimento dei vincoli individuati su Ga(s) non garantisce infatti l’automatico soddisfacimento delle specifiche sul sistema in catena chiusaÈ fondamentale, dopo aver determinato C(s) tale da soddisfare i vincoli su Ga(s), procedere ad una completa verifica delle specifiche su W(s)

13

Una rete anticipatrice o derivativa è descritta da una fdt della forma

La rete presentaUno zero in -1/τd

Un polo in -md/τd

Caratteristiche delle reti anticipatrici (1/6)

dd

d

d

1 sR (s)

1 sm

+ τ=

τ+ d dcon > 0, m > 1τ

Essendo md > 1, il polo si trova sempre ad una pulsazione mdvolte maggiore di quella dello zero

14


25

Pulsazione normalizzata ωτd

0

5

10

15

20

Mod

ulo

(dB

)

10 -10

30

60

90

Fas

e (g

radi

)

10 0 10 1 10 2

DdB delle reti anticipatrici normalizzati rispetto a τd

Lo zero è alla pulsazione normalizzata pari a 1

Il polo è alla pulsazione normalizzata pari a md

15


25


0

5

10

15

20

Mod

ulo

(dB

)

10 -10

30

60

90

Fas

e (g

radi

)

10 0 10 1 10 2

md = 2md = 3md = 4md = 6md = 8md = 10md = 12md = 14md = 16

md crescente

md crescente

DdB delle reti anticipatrici normalizzati rispetto a τd

16


Una rete anticipatrice introduce un aumento (anticipo) di fase di entità massima nell’intervallo compreso fra la pulsazione dello zero e quella del poloL’entità di tale aumento e l’ampiezza dell’intervallo di pulsazioni corrispondente crescono al crescere del valore di md

0

30

60

90

Fas

e (g

radi

)

10 -1 10 0 10 1 10 2

17


Una rete anticipatrice introduce un aumento (anticipo) di fase di entità massima nell’intervallo compreso fra la pulsazione dello zero e quella del poloL’entità di tale aumento e l’ampiezza dell’intervallo di pulsazioni corrispondente crescono al crescere del valore di md

N.B.: Nel caso limite di md molto elevato (tendente all’infinito) il comportamento di una rete anticipatrice è assimilabile a quello di uno zero con 90° di recupero massimo di fase

18


L’incremento di recupero di fase all’aumentare di md di qualche unità è significativo però solo per valori non eccessivamente elevati di md(all’incirca non superiori a 16)

Non è opportuno pertanto utilizzare reti anticipatrici con md troppo elevati: quando è necessario aumentare molto la fase, è preferibile impiegare più reti

⇒

19

Utilizzo delle reti anticipatrici (1/2)

Le reti anticipatrici sono utilizzate ogni volta in cui è necessario recuperare fase in corrispondenza della pulsazione di taglio desiderata ωc,des per ottenere il margine di fase richiesto (mϕ > mϕ,min)L’inserimento di una rete anticipatrice in C(s) introduce anche un aumento di modulo

25

0

5

10

15

20

Mod

ulo

(dB

)

10 -1 10 0 10 1 10 2

20

Utilizzo delle reti anticipatrici (2/2)

Le reti anticipatrici sono utilizzate ogni volta in cui è necessario recuperare fase in corrispondenza della pulsazione di taglio desiderata ωc,des per ottenere il margine di fase richiesto (mϕ > mϕ,min)L’inserimento di una rete anticipatrice in C(s) introduce anche un aumento di modulo

L’utilizzo di sole reti anticipatrici è indicato quando è necessario aumentare il valore di ωc e recuperare fase per soddisfare i vincoli su Ga(s)

21

Procedura “base” di progetto di Rd(s) (1/4)

Si sceglie md in modo da garantire il recupero di fase necessario, sfruttando il massimo recupero di fase ϕmax consentito dalla rete

Si determina τd dai DdB normalizzati delle reti imponendo che ϕmax sia raggiunto proprio in ω = ωc,des

( )( )

maxdmax d

d max

1 sinm 1arcsin m

m 1 1 sin+ ϕ⎛ ⎞−

ϕ = ⇒ =⎜ ⎟+ − ϕ⎝ ⎠

c,des d dmω τ =Ascissa normalizzata del punto di massimo recupero di fase

22


Se il recupero di fase Δϕ che deve essere introdotto non è troppo elevato (non superiore a circa 60°), è sufficiente utilizzare una sola rete anticipatrice con md corrispondente a ϕmax = ΔϕSe Δϕ è elevato (> 60°), si introducono due (o più) reti anticipatrici Rd,i(s), scelte in modo che

max,ii

Δϕ = ϕ∑

23


L’inserimento di ciascuna rete anticipatrice determina un aumento di modulo in ω = ωc,des leggibile sul DdB normalizzato del modulo in corrispondenza della pulsazione

(ascissa di ϕmax) e pari a

dd

ddB

mR j

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟τ⎝ ⎠

d dmωτ =

24

Nella scelta delle reti anticipatrici è necessario verificare che tale aumento di modulo sia “compatibile” con l’aumento di ωc richiestoIn particolare, la procedura “base” di progetto presuppone che l’aumento di modulo inserito sia non significativamente superiore a ΔmdB

Se l’aumento di modulo apportato dalla rete risulta inferiore a ΔmdB, è sufficiente successivamente aumentare il guadagno stazionario Kc, in modo da ottenere |Ga(jω)| = 1 (= 0 dB) per ω = ωc,des


25

Dato il seguente schema di controllo:

progettare C(s) in modo che il sistema in catena chiusa soddisfi le seguenti specifiche

per r(t) = tTempo di salita ts della risposta al gradino unitario pari a circa 0.4 s (con tolleranza di )Sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25%

r

10F(s)

s(s 2)(s 4)K 1

=+ +

=

Esempio 1 (1/12)

–

e u yF(s)

ydes

+C(s)

r,e 0.2∞ ≤

15%±

26

Esempio 1 (2/12)

Si considera la specifica “statica”per r(t) = t

Poiché il sistema è di tipo 1 ed il riferimento è di primo grado, non è necessario introdurre poli in s = 0Essendo KF = 1.25, la specifica implica

Si sceglie Kc di segno positivo per garantire la stabilizzabilità del sistema (con C(s) stabile)

r,e 0.2∞ ≤

rr, c

c F

Ke 0.2 K 4

K K∞ = ≤ ⇒ ≥

Già discussa nella lezione precedente

27

Esempio 1 (3/12)

Si considerano le specifiche “dinamiche”Tempo di salita ts della risposta al gradino unitario pari a circa 0.4 s (con tolleranza di )

B c,des7.5 rad/s 4.7 rad/s⇒ ω ≅ ⇒ ω ≅

15%±

s0.34 t 0.46 s≤ ≤

s3 / t B0.63 ⋅ ω

28

Esempio 1 (3/12)

Si considerano le specifiche “dinamiche”Tempo di salita ts della risposta al gradino unitario pari a circa 0.4 s (con tolleranza di )

Sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25%

B c,des7.5 rad/s 4.7 rad/s⇒ ω ≅ ⇒ ω ≅

o or ,minM 1.39 2.85 dB m 43 45ϕ⇒ ≤ = ⇒ ≅ ÷

15%±

ˆ1 s0.9+ o o

r,max r,max dB60 /M 60 5 (M )≅ − ⋅

29

Esempio 1 (4/12)

Si assume C(s) della forma

con Kc = 4 (minimo valore ammissibile, eventualmente aumentabile successivamente) e si definisce conseguentemente la funzione d’anello di partenza

cC(s) K C (s)′=

a1 c

40G (s) K F(s)

s(s 2)(s 4)= ⋅ =

+ +

30

Esempio 1 (5/12)

DdB di Ga1(s)

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Mag

nitu

de(d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se(d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Δϕ = 70o

26° stabilità

44° mϕ

System: Ga1

Frequency (rad/sec): 4.7

Magnitude (dB): -11.4

Phase (deg): -206

System: Ga1


31

Esempio 1 (5/12)

DdB di Ga1(s)

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Mag

nitu

de(d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se(d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

ΔmdB = 11.4 dB

Δϕ = 70o

System: Ga1


Magnitude (dB): -11.4

Phase (deg): -206

System: Ga1


32

Esempio 1 (6/12)

Per soddisfare le specifiche dinamiche (garantendo asintotica stabilità in catena chiusa) è necessario recuperare fase (almeno 70°) ed aumentare la ωc da 2.57 rad/s (valore attuale) a ωc,des = 4.7 rad/s (aumentando il modulo in ωc,des di circa 11.4 dB)

Il problema di controllo può essere risoltointroducendo solo reti anticipatrici

33

Esempio 1 (7/12)

Per ottenere un recupero totale di fase di (almeno) 70° è necessario utilizzare due reti anticipatriciSoluzione proposta: due reti con md = 4

Ogni rete permette di recuperare circa 36.9° nel suo punto di massimo (ωτd = 2), in corrispondenza del quale si ha un aumento del modulo di circa 6 dB Pari a arcsin(3/5)

10-2

10-1

100

101

102

0

10

20

30

40

Fas

e (g

radi

)


Rete anticipatrice con md = 4

34

Esempio 1 (7/12)


Ogni rete permette di recuperare circa 36.9° nel suo punto di massimo (ωτd = 2), in corrispondenza del quale si ha un aumento del modulo di circa 6 dB

2

4

6

8

10

12

14

Mod

ulo

(dB

)

0


10-2

10-1

100

101

102


35

Esempio 1 (7/12)


Ogni rete permette di recuperare circa 36.9° nel suo punto di massimo (ωτd = 2), in corrispondenza del quale si ha un aumento del modulo di circa 6 dBL’aumento totale del modulo è di poco superiore a ΔmdB Ci si aspetta di ottenere ωc leggermente superiore al valore desiderato

⇒

36

Esempio 1 (8/12)

Imponendo ωc,desτd = 2, si ricava τd = 0.425La rete anticipatrice prescelta è quindi

d

1 0.425sR (s)

0.4251 s4

+=

+

2

2d

1 0.425sC (s) R (s)

0.4251 s4

⎛ ⎞⎜ ⎟+′ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

c2d

C(s) K C (s)4 R (s)

′= ⋅= ⋅

Controllore risultante

37

Esempio 1 (9/12)

Si verifica il rispetto dei “requisiti operativi” suωc e mϕ sul DdB di Ga(s) = C(s)F(s)Si determina il sistema in catena chiusa W(s) e se ne valuta il comportamento per verificare ilsoddisfacimento delle specifiche date (in questo caso la risposta al gradino unitario)

Se qualcuna delle specifiche dinamiche non risulta soddisfatta, è necessario “correggere” il progetto di C’(s) (ed eventualmente il valore di Kc)

Ad esempio se ts risultasse troppo elevato, si dovrebbe aumentare ωc per far aumentare ωB

38

Esempio 1 (9/12)

Si verifica il rispetto dei “requisiti operativi” suωc e mϕ sul DdB di Ga(s) = C(s)F(s)Si determina il sistema in catena chiusa W(s) e se ne valuta il comportamento per verificare ilsoddisfacimento delle specifiche date (in questo caso la risposta al gradino unitario)

Se qualcuna delle specifiche dinamiche non risulta soddisfatta, è necessario “correggere” il progetto di C’(s) (ed eventualmente il valore di Kc)Il mancato soddisfacimento di una specifica statica indicherebbe la presenza di un errore progettuale!

39

Esempio 1 (10/12)

DdB di Ga(s)

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de(d

B)

10-1 100 101 102 103-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se(d

eg)

Gm = 10.6 dB (at 10.5 rad/sec) , Pm = 44.2 deg (at 4.99 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Ottenuto con margin (Ga)

40

Esempio 1 (10/12)

DdB di Ga(s)

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de(d

B)

10-1 100 101 102 103-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se(d

eg)

Frequency (rad/sec)

mϕ


Soddisfa il requisito imposto

41

Esempio 1 (10/12)

DdB di Ga(s)

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de(d

B)

10-1 100 101 102 103-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se(d

eg)


Frequency (rad/sec)

ωc

Leggermente superiore a ωc,des come previsto

42

Esempio 1 (11/12)

Risposta al gradino di W(s)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Time (sec)

Am

plitu

de

Ulteriore valutazione (non oggetto di specifica):ta,2% = 1.7 s

ta,2%

specifica soddisfattas0.34 t 0.46 s≤ ≤ ⇒

specifica soddisfatta

s 25%< ⇒

Step ResponseSystem: W Peak amplitude: 1.24 Overshoot (%): 23.9At time (sec): 0.582

System: W Time (sec): 0.397Amplitude: 1

43

Esempio 1 (12/12)

Per completezza si verifica anche la specifica statica sull’errore di inseguimento alla rampa

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Errore di inseguimento a ydes(t) = t

tempo(s)

e 0.2∞ = ⇒ specifica soddisfatta

è pari al valore maxconsentito perché è stato scelto per Kc il valore minimo ammissibile

e∞

44

Come contenere l’aumento di modulo (1/4)

Nella procedura “standard” di progetto di una rete anticipatrice, md viene scelto in modo da massimizzare il recupero di fase consentito dalla rete, sotto l’ipotesi che l’aumento di modulo introdotto non sia (significativamente) superiore al ΔmdB richiestoPer contenere l’aumento di modulointrodotto dalle reti anticipatrici, qualora richiesto dalle specifiche, è possibile seguire una linea “alternativa” di progetto, che prevede l’impiego di reti con parametro md maggiore

45


Si sceglie un valore di md più elevato del minimo necessario, corrispondente ad una rete tale da introdurre il Δϕ richiesto prima del punto di massimo recupero di fase, in un punto di ascissa normalizzata ωτd = xd in cui si abbia congiuntamente l’aumento di modulo ΔmdBdesideratoSi determina τd dai DdB normalizzati delle reti anticipatrici imponendo

c,des d dxω τ =

46

Esempio: confronto fra reti con md = 4 e md = 6

10 -2 10 -1 100 101 102

0

30

600

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20


Fas

e (g

radi

)M

odul

o (d

B)

md = 6

md = 4

Aumento di modulo: 6 dBRecupero fase (max): 36.9°

md = 4

Aumento di modulo: 3.2 dBRecupero fase: 36.9°

md = 6


47


Il principale svantaggio associato all’utilizzo di reti anticipatrici con md elevato consiste in un aumento dell’attività sul comando, come verrà analizzato in dettaglio nell’ultima parte della lezione

È possibile utilizzare questa procedura di progetto previa verifica che il sistema reale sia in grado di “sopportare” tale maggiore attività sul comando oppure quando l’inserimento di successive reti di altro tipo in C’(s) determini una riduzione dell’effettiva attività sul comando

48

Per il sistema precedentemente considerato


per r(t) = tSovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25%Banda passante pari a circa 6 rad/s (con tolleranza di )

r

10F(s)

s(s 2)(s 4)K 1

=+ +

=

Esempio 2 (1/14)

–

e u yF(s)

ydes

+C(s)

r,e 0.2∞ ≤

15%±

Specifiche invariate

Nuova specifica

49

Esempio 2 (2/14)

La specifica statica è invariata e quindi anche in questo caso C(s) sarà della forma

con Kc = 4 (minimo valore ammissibile, eventualmente aumentabile successivamente) e la funzione d’anello di partenza è nuovamente data da

cC(s) K C (s)′=

a1 c

40G (s) K F(s)

s(s 2)(s 4)= ⋅ =

+ +

50

Esempio 2 (3/14)

Si considerano le specifiche “dinamiche”La specifica sulla sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario (invariata) implica

La nuova specifica (banda passante pari a circa 6 rad/s) implica

o o,minm 43 45ϕ ≅ ÷

c,des B,des0.63 3.8 rad / sω ≅ ⋅ ω ≅

51

Esempio 2 (4/14)

DdB di Ga1(s)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se(d

eg)

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Mag

nitu

de(d

B)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

ΔmdB = 7 dB

Δϕ = 60o

System: Ga1 Frequency (rad/sec): 3.8 Magnitude (dB): -7.08

System: Ga1 Frequency (rad/sec): 3.8 Phase (deg): -196

52

Esempio 2 (5/14)

Per soddisfare le specifiche dinamiche (garantendo asintotica stabilità in catena chiusa) è necessario recuperare fase (circa 60°) ed aumentare la ωc da 2.57 rad/s (valore attuale) a ωc,des = 3.8 rad/s (aumentando il modulo in ωc,des di soli 7 dB)

Il problema di controllo può essere risoltointroducendo sole reti anticipatrici progettatein modo da contenere l’aumento di modulo

53

Esempio 2 (6/14)

Per ottenere un recupero totale di fase di 60°

sarebbe possibile utilizzare due reti anticipatrici con md = 3, sfruttandone il max recupero di fase possibile, ma l’aumento di modulo risulterebbe troppo elevato!

10-2

10-1

100

101

102

10

20

30

40

Fas

e (g

radi

)



0

Δϕ = 30° pari a arcsin(1/2) in d 3ωτ =

54

Esempio 2 (6/14)

Per ottenere un recupero totale di fase di 60°

sarebbe possibile utilizzare due reti anticipatrici con md = 3, sfruttandone il max recupero di fase possibile, ma l’aumento di modulo risulterebbe troppo elevato!

10-2

10-1

100

101

102


01

2

3

4

5

6

7

8

9

10Rete anticipatrice con md = 3

Mod

ulo

(dB

)

In si ha un aumento di 4.76 dB

d 3ωτ = L’aumento totale di modulo (9.52 dB) risulterebbe 7dB!

55

Esempio 2 (7/14)

La soluzione proposta prevede l’utilizzo di due reti anticipatrici, una con md,1 = 3 e l’altra con md,2 = 4, progettate entrambe in modo da combinare il recupero di fase richiesto (60°) con un aumento complessivo di modulo non superiore a 7 dBLe reti vengono progettate facendo riferimento a due pulsazioni normalizzate xd1 e xd2 inferiori a quelle corrispondenti ai rispettivi punti di massimo recupero di fase

56

Esempio 2 (8/14)

DdB normalizzati delle reti con md,1 = 3 e md,2 = 4

0

2

4

6

8

10

12

14

Mag

nitu

de(d

B)

10-2

10-1

100

101

102

0

10

20

30

40

Pha

se(d

eg)

md,1 = 3

md,2 = 4


In xd1 = 1.3:

Δm = 3.55 dBΔϕ = 28.9o

In xd2 = 1.16:

Δm = 3.38 dBΔϕ = 33o

tot

otot

m 7dB

62

Δ ≅

Δϕ ≅

57

Esempio 2 (9/14)

Le reti anticipatrici sono così definiteRd1(s) con md,1 = 3, ωc,desτd1 = 1.3 τd1 = 0.34

Rd2(s) con md,2 = 4, ωc,desτd2 = 1.16 τd2 = 0.3

⇒

⇒

d1

1 0.34sR (s)

0.341 s3

+=

+

d2

1 0.3sR (s)

0.31 s4

+=

+

58

Esempio 2 (10/14)

Rd1(s) e Rd2(s) definiscono la parte dinamica C’(s) del controllore, che risulta quindi dato da

in cui Kc è rimasto pari al valore assegnato inizialmente (Kc = 4)Si verifica il rispetto dei “requisiti operativi” suωc e mϕ sul DdB di Ga(s) = C(s)F(s), prima di passare alla verifica delle specifiche sul sistema in catena chiusa W(s)

c d1 d2C(s) K R (s) R (s)= ⋅ ⋅

59

Esempio 2 (11/14)

DdB di Ga(s)

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de(d

B)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se(d

eg)


Frequency (rad/sec)

mϕ

Maggiore del minimo richiesto

60

Esempio 2 (11/14)

DdB di Ga(s)

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de(d

B)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se(d

eg)


Frequency (rad/sec)


ωc

61

Esempio 2 (12/14)

Risposta al gradino di W(s)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de Ulteriori valutazioni (non oggetto di specifica):ts = 0.493 s, ta,2% = 1.68 s

ts ta,2%

System: W Peak amplitude: 1.23 Overshoot (%): 22.7At time (sec): 0.75 specifica

soddisfattas 25%< ⇒

62

Esempio 2 (13/14)

DdB di W(s)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se(d

eg)

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de(d

B)

System: W Frequency (rad/sec): 6.64

Magnitude (dB): -3

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

specifica soddisfattaB5.1 6.9 rad / s≤ ω ≤ ⇒

63

Esempio 2 (14/14)

Il controllore C(s) progettato garantisce l’asintotica stabilità del sistema in catena chiusa ed il soddisfacimento di tutte le specifiche dinamicheÈ facile verificare che anche la specifica staticaè soddisfatta, con = 0.2, avendo scelto per Kc il valore minimo (come nel caso precedente)

e∞

65

Una rete attenuatrice o integrativa èdescritta da una fdt della forma

La rete presentaUn polo in -1/τi

Uno zero in -mi/τi

Caratteristiche delle reti attenuatrici (1/5)

i

ii

i

1 sm

R (s)1 s

τ+

=+ τ i icon > 0, m >1τ

Essendo mi > 1, lo zero si trova sempre ad una pulsazione mivolte maggiore di quella del polo

66


DdB delle reti attenuatrici normalizzati rispetto a τi

-25

-20

-15

-10

-5

0

Mag

nitu

de(d

B)

10-1

100

101

102

-90

-60

-30

0

Pha

se(d

eg)

Pulsazione normalizzata ωτi

Il polo è alla pulsazione normalizzata pari a 1

Lo zero è alla pulsazione normalizzata pari a mi

67


DdB delle reti attenuatrici normalizzati rispetto a τi

-25

-20

-15

-10

-5

0

Mag

nitu

de(d

B)

10-1

100

101

102

-90

-60

-30

0

Pha

se(d

eg)


mi crescente

mi crescente

mi = 2mi = 3mi = 4mi = 6mi = 8mi = 10mi = 12mi = 14mi = 16

68

Una rete attenuatrice introduce una attenuazione del modulo di entità massima per pulsazioni superiori a quella dello zeroTale attenuazione massima è pari proprio al valore di mi:

10 -1 10 0 10 1 10 2

i idB dBR (j ) m∞ = −

-25

-20

-15

-10

-5

0

Mag

nitu

de(d

B)


69

Una rete attenuatrice introduce una attenuazione del modulo di entità massima per pulsazioni superiori a quella dello zeroTale attenuazione massima è pari proprio al valore di mi:

N.B.: Nel caso limite di mi molto elevato (tendente all’infinito) il comportamento di una rete attenuatrice è assimilabile a quello di un polo

i idB dBR (j ) m∞ = −


70

Utilizzo delle reti attenuatrici (1/3)

Le reti attenuatrici sono utilizzate ogni volta in cui sia necessario ridurre il modulo della funzione d’anello per portare la pulsazione di taglio nella posizione desiderata ωc,des, senza ridurre il guadagno Kc per preservare il soddisfacimento delle specifiche staticheL’inserimento di una rete attenuatrice in C(s) introduce anche una perdita di fase di massima entità nell’intervallo compreso fra la pulsazione del polo e quella dello zero, che si annulla per pulsazioni sufficientemente elevate (maggiori di mi/τd)

71

L’utilizzo di sole reti attenuatrici è solitamente indicato quando è necessario ridurre ωc fino a portarla al valore ωc,des, in cui la fase della fdtd’anello sia già tale da garantire l’asintotica stabilità in catena chiusa, con un mϕ idoneo al soddisfacimento dei requisiti imposti dalle specifiche dinamichePer sfruttare interamente la capacità di attenuazione del modulo e contenere la perdita di fase, le singolarità della rete attenuatrice devono essere collocate a pulsazioni inferiori a ωc,des


72

Si utilizza altresì una rete attenuatrice anche nei casi in cui sia necessario perdere fase in un intorno di un’opportuna pulsazione ωp per stabilizzare il sistema

Questo particolare utilizzo delle reti attenuatricisarà trattato nella prossima lezione, nel caso del pendolo inverso


73

Progetto di Ri(s) (1/5)

Detta la fdt d’anello ottenuta primadell’inserimento della rete attenuatrice, si sceglie mi pari all’attenuazione di modulo necessaria per imporre la pulsazione di taglio desiderata ωc,des

N.B.: (e quindi mi) è sicuramente maggiore di 1 (cioè di 0 dB), avendo riscontrato la necessità di attenuare il modulo della fdtd’anello in ωc,des

i a c,desm G (j )′= ω

aG (s)′

a c,desG (j )′ ω

74


Sui DdB normalizzati della rete attenuatricecorrispondente al valore di mi scelto, si individua un punto di ascissa normalizzata xi in cui si abbia già l’attenuazione richiesta con una perdita di fase “accettabile”Tale perdita è “accettabile” se la fase residua ètale da garantire mϕ idoneo al soddisfacimento dei requisiti imposti dalle specifiche dinamicheSi determina conseguentemente τi imponendo

c,des i ixω τ =

75


Esempio: attenuazione richiesta pari a 4 (= 12 dB)

-25

-20

-15

-10

-5

0

Mag

nitu

de(d

B)

10-1

100

101

102


im 4=

mi = 4

Per pulsazioni normalizzate > 40 si ha la completa attenuazione (12 dB)

76


Si verifica la corrispondente perdita di fase

La perdita di fase in ωτi = 40 è pari a 4.3°

Se tale perdita è sopportabile in ωc,des, allora si sceglie xi = 40Altrimenti si sceglie xi > 40, in modo da contenere tale perdita entro un valore accettabile

mi = 4

10-1

100

101

102

-90

-60

-30

0

Pha

se(d

eg)


77


È opportuno contenere quanto possibile il valore di xi per non far aumentare il tempo di assestamento della risposta del sistema

Quanto più è elevato xi, tanto maggiore risulta τi

Il modo associato a tale polo lento rallental’assestamento dellarisposta del sistema

Ri(s) introduce in Ga(s) una coppia polo-zero a pulsazioni tanto minoriquanto maggiore è τi

In W(s) nasce un polo di BF (lento), ad una ω

prossima allo zero di Ri(s)

78



per r(t) = tSovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25%Banda passante minore di 1.8 rad/s

r

10F(s)

s(s 2)(s 4)K 1

=+ +

=

Esempio 3 (1/11)

–

e u yF(s)

ydes

+C(s)

r,e 0.2∞ ≤ Specifiche invariate

Nuova specifica

79

Esempio 3 (2/11)



cC(s) K C (s)′=

a1 c

40G (s) K F(s)

s(s 2)(s 4)= ⋅ =

+ +

80

Esempio 3 (3/11)


La nuova specifica (banda passante minore di 1.8 rad/s) implica

o o,minm 43 45ϕ ≅ ÷

c,des B,max0.63 1.1 rad / sω < ⋅ ω <

81

Esempio 3 (4/11)

DdB di Ga1(s)

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Mag

nitu

de(d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se(d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Si può scegliere ωc,des = 0.9 rad/s

ωc dovrà essere minore di 1.1 rad/s

|Ga1(j0.9)| = 13.9 dB

arg(Ga1(j0.9)) = -127°

82

Esempio 3 (5/11)

Per portare la pulsazione di taglio nel valore prescelto ωc,des = 0.9 rad/s è necessario

Attenuare il modulo della fdt d’anello in tale pulsazione di 13.9 dBContenere un’eventuale perdita di fase entro 7°

per ottenere un margine di fase di almeno 45°

La scelta ωc,des = 0.9 rad/s appare idonea perchéla fase della fdt risulta sufficientemente elevata

Il problema di controllo può essere risoltointroducendo una rete attenuatrice

83

Esempio 3 (6/11)

Poiché si utilizza una rete attenuatrice con mi = 5

a1 c,desG (j ) 13.9 dB 5ω = ≅

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Mag

nitu

de(d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-60

-30

0

Pha

se(d

eg)


Per ωτi > 50 si ha l’attenuazione richiesta

In ωτi = 50 si ha una perdita di fase accettabile(4.6°)

84

Esempio 3 (7/11)

La rete attenuatrice è pertanto così definitaRi(s) con mi = 5, ωc,desτi = 50 τi = 55.5

Il controllore risulta quindi dato da

Si verifica il rispetto dei “requisiti operativi” suGa(s) = C(s)F(s), prima di verificare le specifiche sul sistema in catena chiusa W(s)

⇒

i1 11.1s

R (s)1 55.5s+

=+

c iC(s) K R (s)= ⋅

Kc è rimasto uguale al valore iniziale (Kc = 4)

85

Esempio 3 (8/11)

DdB di Ga(s)Maggiore del minimo richiesto

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de(d

B)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se(d

eg)


Frequency (rad/sec)

mϕ

86

Esempio 3 (8/11)

DdB di Ga(s)

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de(d

B)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se(d

eg)


Frequency (rad/sec)

ωc


87

Esempio 3 (9/11)

Risposta al gradino di W(s)Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

⇒

ts

ta,2%

Si osserva un “effetto coda” nella risposta, ovvero un peggioramento del tempo di assestamento, dovuto alla presenza della rete attenuatrice: zero di Ri(s) in -0.09 rad/s polo di W(s) in -0.097 rad/s (τ = 10.3 s)

ta,2% = 15.2 s, nonostante ts = 2 s

⇒

specifica soddisfattas 25%< ⇒

System: W Peak amplitude: 1.23 Overshoot (%): 22.9At time (sec): 3.1

88

Esempio 3 (10/11)

DdB di W(s)P

hase

(deg

)M

agni

tude

(dB

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)10-2 10-1 100 101 102

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

System: W

Frequency (rad/sec): 1.61Magnitude (dB): -3

specifica soddisfattaB 1.8 rad / sω < ⇒

89

Esempio 3 (11/11)

Il controllore C(s) progettato garantisce l’asintotica stabilità del sistema in catena chiusa ed il soddisfacimento di tutte le specifiche dinamicheAnche in questo caso la specifica statica (di facile verifica) è soddisfatta con = 0.2, avendo scelto nuovamente il valore minimo per Kc

e∞

91

Una rete integro-derivativa (“lead-lag”) èespressa da una fdt del secondo ordine, data dal prodotto di una rete attenuatrice e di un’anticipatrice

Le reti integro-derivative (1/3)

i

diid

di

d

1 s1 sm

R (s)1 s 1 s

m

τ++ τ

= ⋅τ+ τ +

i d i dcon , > 0, m ,m >1τ τ

Rete attenuatrice(o integrativa)

Rete anticipatrice(o derivativa)

92

Una rete integro-derivativa unisce le principali caratteristiche delle due reti da cui è formata, permettendo di introdurre contemporaneamente le azioni di:

Recupero di faseAttenuazione del modulo

Si utilizza questo tipo di rete se la fdt d’anello in ωc,des presenta contemporaneamente

Fase insufficiente a garantire il margine di fase richiestoModulo maggiore di 1 (0 dB)


93


Esempio di rete integro-derivativa

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-60

-30

0

30

Mag

nitu

de(d

B)

Pha

se(d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

ωc,des = 2 rad/s

94



-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-60

-30

0

30

Mag

nitu

de(d

B)

Pha

se(d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Rete derivativa: md = 3, τd = 0.866

zero in -1.155 rad/spolo in -3.465 rad/s

⇒⇒

ωc,des = 2 rad/s

Recupero di fase in ωc,des

Inevitabile aumento di modulo

95



-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-60

-30

0

30

Mag

nitu

de(d

B)

Pha

se(d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

ωc,des = 2 rad/s

Rete integrativa: mi = 4, τi = 40 s

polo in -0.025 rad/szero in -0.1 rad/s

⇒⇒

Attenuazione desiderata di modulo

Perdita di fase per ω < ωc,des

96



-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-60

-30

0

30

Mag

nitu

de(d

B)

Pha

se(d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

La rete èdetta anche a sella per il caratteristico andamento del modulo

Modulo in AF pari a md/mi

97

Progetto di Rid(s) (1/3)

Si progetta prima la rete anticipatrice(o derivativa) in modo da garantire in ωc,desun recupero di fase maggiore di quanto strettamente necessario

La fase recuperata in eccesso potrà essere persa per effetto della rete attenuatrice, garantendo comunque un soddisfacente mϕ

Se il modulo della fdt d’anello in ωc,des è 1 (0 dB), può essere opportuno progettare la rete anticipatrice in modo da contenere l’aumento di modulo, evitando così il successivo utilizzo di una rete attenuatrice con mi troppo elevato

98


Se il recupero di fase richiesto è elevato si utilizzano più reti anticipatrici: in questo caso l’ordine della rete aumenta conseguentemente

i

d, jiid

d, jji

d, j

1 s1 sm

R (s)1 s 1 s

m

⎛ ⎞τ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + τ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅τ⎜ ⎟+ τ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∏

99


Si progetta successivamente la rete attenuatrice tenendo conto nella scelta di mianche dell’aumento di modulo generato dalla rete derivativa precedentemente introdotta

La perdita di fase, sopportabile in ωc,des grazie ad un lieve sovradimensionamento della rete derivativa, permette di fissare le singolaritàdell’attenuatrice ad una pulsazione non eccessivamente bassa, così da ridurre il tempo di assestamento della risposta del sistema in catena chiusa

100



per r(t) = tSovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25%Banda passante pari a circa 3.2 rad/s (con tolleranza di )

r

10F(s)

s(s 2)(s 4)K 1

=+ +

=

Esempio 4 (1/14)

–

e u yF(s)

ydes

+C(s)

r,e 0.2∞ ≤

15%±

Specifiche invariate

Nuova specifica

101

Esempio 4 (2/14)



cC(s) K C (s)′=

a1 c

40G (s) K F(s)

s(s 2)(s 4)= ⋅ =

+ +

102

Esempio 4 (3/14)


La nuova specifica (banda passante pari a circa 3.2 rad/s con tolleranza di ) implica

o o,minm 43 45ϕ ≅ ÷

c,des B,des0.63 2 rad / sω ≅ ⋅ ω ≅

B2.72 3.68 rad/s≤ ω ≤

15%±

103

Esempio 4 (4/14)

DdB di Ga1(s)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se(d

eg)

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Mag

nitu

de(d

B)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

La fase è insufficiente a garantire il mϕ richiesto: è necessario recuperare almeno 25o

Il modulo è > 0 dB e quindi dovrà essere attenuato

Phase (deg): -162

System: Ga1 Frequency (rad/sec): 2

System: Ga1 Frequency (rad/sec): 2 Magnitude (dB): 3.91

104

Esempio 4 (5/14)

Per soddisfare le specifiche dinamiche ènecessario recuperare fase in ωc,des = 2 rad/s(almeno 25°) ed attenuare il modulo, in modo da ridurre la ωc da 2.57 rad/s (valore attuale) al valore desiderato

Il problema di controllo può essere risoltointroducendo una rete integro-derivativa

105

Esempio 4 (6/14)

Progetto della rete derivativa:Si sceglie md = 3, a cui corrisponde un recupero massimo di fase di 30° in ωτd = 1.73 (5° in più del minimo necessario)Si progetta la rete in modo da sfruttare proprio il massimo recupero di fase, poiché non saràcomunque necessaria una forte attenuazione, dato che il modulo della fdt d’anello è di poco superiore a 0 dB e l’aumento introdotto da una rete anticipatrice con md = 3 è contenuto

Imponendo ωc,desτd = 1.73 si ricava τd = 0.866

106

Esempio 4 (7/14)

La rete derivativa è quindi descritta da

Si introduce tale rete, definendo la nuova funzione d’anello Ga2(s) = Ga1(s) Rd(s), di cui si valutano modulo e fase in ωc,des = 2 rad/s:

|Ga2(jωc,des)| = 8.75 dBarg(Ga2(jωc,des)) = -131.5°

d1 0.866s

R (s)0.8661 s

3

+=

+

Attenuazione da introdurre

La massima perdita di fase sopportabile è pari a circa 3.5°

107

Esempio 4 (8/14)

Progetto della rete integrativa:Si sceglie mi = 2.8 (pari circa all’attenuazione richiesta)

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

10-2

10-1

100

101

102

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Bode Diagram

Per ωτi > 20 si ha l’attenuazione richiesta

In ωτi = 40 si ha una perdita di fase accettabile(2.6°)

Mag

nitu

de(d

B)

Pha

se(d

eg)


108

Esempio 4 (9/14)

La rete attenuatrice è pertanto così definitaRi(s) con mi = 2.8, ωc,desτi = 40 τi = 20

La rete integro-derivativa risulta quindi data da

⇒

i

201 s2.8R (s)

1 20s

+=

+

id i dR (s) R (s) R (s)= ⋅

109

Esempio 4 (10/14)

Il controllore risultante è

Si verifica come al solito il rispetto dei “requisiti operativi” su Ga(s) = C(s)F(s), prima di verificare le specifiche sul sistema in catena chiusa W(s)

c idC(s) K R (s)= ⋅

Kc è rimasto uguale al valore iniziale (Kc = 4)

110

Esempio 4 (11/14)

DdB di Ga(s)Maggiore del minimo richiesto

Mag

nitu

de(d

B)

Pha

se(d

eg)

Frequency (rad/sec)

-150

-100

-50

0

50

100

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90


mϕ

111

Esempio 4 (11/14)

DdB di Ga(s)M

agni

tude

(dB

)P

hase

(deg

)

Frequency (rad/sec)

-150

-100

-50

0

50

100

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90


ωc


112

Esempio 4 (12/14)

Risposta al gradino di W(s)Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Ulteriori valutazioni (non oggetto di specifica):ts = 0.986 s, ta,2% = 7.36 s

ts ta,2%

specifica soddisfattas 25%< ⇒

System: W Peak amplitude: 1.23 Overshoot (%): 23.3At time (sec): 1.46

113

Esempio 4 (13/14)

DdB di W(s)P

hase

(deg

)M

agni

tude

(dB

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)10

-210

-110

010

110

210

3-270

-225

-180

-135

-90

-45

0-150

-100

-50

0

50

System: W Frequency (rad/sec): 3.51

Magnitude (dB): -3

specifica soddisfattaB2.72 3.68 rad / s≤ ω ≤ ⇒

114

Esempio 4 (14/14)

Il controllore C(s) progettato garantisce l’asintotica stabilità del sistema in catena chiusa ed il soddisfacimento di tutte le specifiche dinamicheAnche in questo caso la specifica statica (di facile verifica) è soddisfatta con = 0.2, avendo scelto nuovamente il valore minimo per Kc

e∞

116

Nel progetto del controllore C(s), tale da soddisfare le specifiche imposte, è necessario tenere conto delle implicazioni delle diverse tipologie di reti di compensazione sull’attività sul comando

L’attività sul comando (1/3)

117

Si consideri il consueto schema di controllo

Si consideri come riferimento un gradino, posto per semplicità di ampiezza unitaria: ydes(t) = ε(t)


–

e u yF(s)

ydes

+C(s)

Il riferimento a gradino è il più critico dal punto di vista dello “spunto iniziale” richiesto al comando, poiché corrisponde all’imposizione di un valore desiderato che l’uscita dovrebbe raggiungere istantaneamente!

118

Si consideri il consueto schema di controllo

Si consideri come riferimento un gradino, posto per semplicità di ampiezza unitaria: ydes(t) = ε(t)Dall’applicazione del teorema iniziale si ricava


–

e u yF(s)

ydes

+C(s)

{ } { } { }t 0 s s s

a

C(s) 1lim u(t) lim s u(s) lim s lim C(s)

1 G (s) s→ →∞ →∞ →∞

⎧ ⎫= ⋅ = ⋅ ⋅ =⎨ ⎬+⎩ ⎭

119

Se C(s) è dato da una funzione di guadagno Kc, priva di poli nell’origine e costituita dal prodotto di reti anticipatrici ed attenuatrici

l’attività iniziale sul comando risulta


( ) ( )c d,k i,jk j

C(s) K R (s) R (s)= ⋅ ⋅∏ ∏

{ }( )( )

d,kk

ct 0i,j

j

mlim u(t) K

m→= ⋅

∏∏

Aumenta all’aumentare dell’azione anticipatrice introdotta e diminuisce in funzione dell’azione attenuatrice inserita

120

Esempi

Andamento di u(t) per gli esempi precedenti

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

Time (sec)

Am

plitu

de

Es. 1: Kc = 4, md,1 = md,2 = 4 u(0) = 64⇒

Es. 2: Kc = 4, md,1 = 3, md,2 = 4 u(0) = 48⇒

Es. 3: Kc = 4, mi = 5 u(0) = 0.8⇒Es. 4: Kc = 4, md = 3, mi = 2.8 u(0) = 4.29⇒

121

Se C(s) contiene (almeno) un polo nell’origine risulta

Il comando raggiunge il valore massimo per t > 0Tale valore massimo cresce comunque al crescere dell’azione anticipatrice introdotta e si riduce all’aumentare dell’azione attenuatriceinserita

Osservazione

{ } { }t 0 slim u(t) lim C(s) 0→ →∞

= =

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