PROGETTARE CON IL METODO DEGLI STATI LIMITE · progettare con il metodo degli stati limite...

PROGETTARE CON IL METODO DEGLI STATI LIMITE

Francesco Biasioli

QUADERNO TECNICO 8

STRUTTURE DI CALCESTRUZZO

PROGETTO DI EDIFICIO

SEMINARIO TECNICO LE STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO - PROGETTO ED ESECUZIONE ALLA LUCE DELLA NUOVA NORMATIVA

Forlì – 22 giugno 2007 EDIZIONE FUORI COMMERCIO

Stampato da: CS Riproduzione e Stampa snc - Corso Orbassano 226 – Torino Riservati per tutti i paesi i diritti di riproduzione, memorizzazione elettronica, traduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo. Gli aggiornamenti di questo volume e i programmi citati nel testo sono disponibili sul sito www.euroconcrete.it

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Presentazione

Nella serie dei Quaderni Tecnici dedicata al calcolo strutturale agli stati limite, il Quaderno n. 8 occupa un ruolo particolare in quanto, oltre che sintesi e applicazione pratica dei metodi presentati negli altri Quaderni, intende essere un esempio di applicazione della filosofia delle Norme Tecniche del 14/09/2005 applicata al calcolo di un edificio multipiano in zona sismica.

Obiettivo della serie di Quaderni infatti è fornire un esempio concreto di come si possano applicare le Norme Tecniche basandosi sulla loro caratteristica di essere, diversamente dal passato, essenzialmente norme “prestazionali”. Distinguendo ruoli e responsabilità, le Norme Tecniche si occupano di ciò che è alla base del progetto – i metodi di verifica della sicurezza, le azioni e le loro combinazioni, le caratteristiche dei materiali e i loro tassi di lavoro, i criteri di controllo dei materiali e delle strutture - ma non trattano più, come nel passato, né potrebbero trattare in quanto norme prestazionali, questioni di dettaglio o metodi specifici di progetto.

Per tali aspetti al Progettista è chiesto di fare riferimento, sotto la sua responsabilità, a metodi documentati e di comprovata affidabilità. Tra questi le Norme citano quelli trattati nella serie degli Eurocodici e, parzialmente, nell’Ordinanza 3274. Agli Eurocodici 2 e 8, oltre che all’Ordinanza 3274 si fa pertanto riferimento nel testo che segue.

Particolare rilievo viene dato, nell’esposizione, alla fase di predimensionamento degli elementi strutturali e al controllo della disposizione planimetrica degli elementi resistenti verticali di controvento. Solo un progetto correttamente impostato può infatti portare a strutture affidabili e sicure.

In sintonia con le indicazioni delle Norme, nel progetto sono utilizzati materiali strutturali con caratteristiche tali da garantire nel tempo opere, oltre che affidabili e sicure, anche durabili ed economiche. Sul presupposto di una garantita e accertata qualità dei materiali sia le Norme che gli Eurocodici basano infatti i modelli di calcolo e la verifica della sicurezza.

Segnalazioni di errori, commenti e osservazioni sono ovviamente graditi.

Francesco Biasioli Torino, gennaio 2007

RINGRAZIAMENTI La serie dei Quaderni Tecnici è stata messo a punto per una serie di corsi di aggiornamento organizzati dalla FIOPA; la Federazione Interregionale degli Ordini degli Ingegneri del Piemonte e della Valle d’Aosta, coordinati dall’ing. Ennio Nebiolo. I Quaderni non esisterebbero senza la capacità, pazienza e disponibilità dell’ing. Carlo Doimo a cui va il mio più sincero ringraziamento. Per il calcolo delle sollecitazioni e per alcune verifiche si è fatto uso di fogli di calcolo e di programmi liberamente disponibili su Internet (www.euroconcrete.it). Si ringrazia l’autore dei programmi, il prof. Piero Gelfi, per la cortese disponibilità. Il programma “Ellisse delle rigidezze” è stato messo a punto nell’ambito del progetto auto-CA di sviluppo di procedure in ambito Autocad ™ per il il disegno della carpenteria ed armatura delle strutture in calcestruzzo armato (www.auto-ca.it)

QT8 – STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO DEFINIZIONI E SIMBOLOGIA

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Definizioni e simbologia Termini e definizioni Di seguito si elencano in ordine alfabetico alcuni termini comunemente adottati nel linguaggio tecnico:

Additivo Componente del calcestruzzo aggiunto prima o durante il suo mescolamento della miscela per modificarne le proprietà allo stato fresco e indurito. Aggregato Materiale granulare naturale o di frantumazione (sabbia, ghiaia, pietra frantumata). E’ definito aggregato fine (sabbia) se con diametro massimo convenzionale del grano dg ≤ 4 mm. Nei calcestruzzi strutturali l’aggregato grosso in genere dg ≤ 32 mm, per calcestruzzi a facciavista o autocompattanti dg ≤ 20 mm. Altezza h di un elemento inflesso Dimensione verticale della sezione trasversale di un elemento orizzontale Altezza utile d Distanza tra la fibra estrema del calcestruzzo compresso e il baricentro delle armature tese Ancoraggio Estremità di una barra che garantisce mediante un meccanismo di aderenza la trasmissione delle forze di trazione al calcestruzzo. Dispositivo usato per ancorare un elemento non strutturale alla struttura Anima bw di una trave Porzione verticale sottile, avente sezione ad “I”, che unisce la/e ali Armatura Barra d’acciaio usate per rinforzare il calcestruzzo Armatura a flessione Armatura disposta per resistere alla forza di trazione indotta dal momento flettente Armatura a taglio Armatura disposta per resistere alle forze di taglio che collega le parti tesa e compressa di una sezione Armatura di compressione Armatura disposta per resistere alla forza di compressione indotta dalla forza assiale e/o dal momento flettente Armatura trasversale Armatura con inclinazione da 45 a 90* sull’asse longitudinale dell’elemento Azioni permanenti Azioni dovute al peso proprio della struttura, alle murature, alle finiture e alle attrezzature fisse Azioni variabili Azioni dovute ai carichi di esercizio, al vento o alla neve Capacità portante del terreno Carico per unità di superficie su un terreno di fondazione che fornisce un’adeguata sicurezza nei confronti del collasso del terreno portante, o un cedimento della fondazione che non porta danno alla struttura. Carichi gravitazionali Carichi convenzionalmente agenti verso il basso, causati dall’accelerazione di gravità agente sulla massa degli elementi. Casseforme Carpenteria temporanea che contiene il calcestruzzo allo stato plastico e dà la forma finale all’elemento.

DEFINIZIONI E SIMBOLOGIA QT8 – STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO

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Cedimento differenziale Movimento di differente entità della fondazione e/o di parti diverse di una struttura. Cemento Legante idraulico che aggiunto ad acqua ha la proprietà di indurire. Calcestruzzo Miscela di legante idraulico, aggregato fine, aggregato grosso, acqua, additivi ed eventuali aggiunte. Classe di esposizione ambientale Descrizione sintetica del livello di aggressività dell’azione chimico-fisica dovuta all’ambiente sul calcestruzzo. Combinazione dei carichi di progetto Combinazione di carichi che tiene conto della ridotta probabilità che carichi variabili di diversa natura si presentino simultaneamente. Copriferro Spessore di calcestruzzo tra la superficie esterna di qualsiasi armatura e la faccia esterna più vicina dell’elemento di calcestruzzo. Corrosione Trasformazione della superficie di un metallo in ossido di ferro in presenza di umidità o ossigeno. Diametro nominale Diametro approssimato di una barra d’acciaio ad aderenza migliorata, valutato sulla base della sezione della barra piena equipesante Elemento non strutturale Componente architettonico, meccanico o elettrico non facente parte della struttura Coefficiente di carico Coefficiente che moltiplicano i carichi caratteristici per ottenere i carichi di progetto Ala Parte superiore o inferiore di una sezione a forma di “T” di spessore hf Gancio Tratto curvo all’estremo di una barra d’armatura, classificato in base all’angolo ( 90°, 135°, 180°). Lunghezza teorica di campata Distanza tra gli assi teorici degli appoggi di un elemento orizzontale, chiamata anche “luce” Progetto della miscela del calcestruzzo Scelta e proporzionamento degli ingredienti di un calcestruzzo Malta Miscela di pasta e sabbia (aggregato fine) Modulo di elasticità (longitudinale/trasversale) Rapporto tra la tensione di trazione o compressione, al di sotto del limite di proporzionalità del materiale, e la corrispondente deformazione o tra la tensione di taglio e la corrispondente deformazione. Momento flettente (positivo/negativo) Effetto di una forza posta a una data distanza da un asse, che produce effetti di curvatura su un elemento strutturale. Definito “negativo” quando produce tensioni nella parte superiore di una sezione di un elemento orizzontale o quasi orizzontale, “positivo” quando produce tensioni nella parte inferiore di una sezione di un elemento orizzontale o quasi orizzontale Pasta di cemento Miscela di acqua e cemento


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Pilastro Elemento verticale in grado di portare forze di compressione o pressoflessione. Plinti Elementi che trasmettono al suolo direttamente (fondazioni dirette) o indirettamente (fondazioni su pali) i carichi dei pilastri o dei muri strutturali in calcestruzzo.

Prodotti di maturazione Prodotti intesi a mantenere il calcestruzzo umido per un certo periodo di tempo, solitamente alcuni giorni, dal momento del getto in grado di garantire l’umidità interna sufficiente a sviluppare il processo di idratazione. Il momento di applicazione dipende dalla temperatura, dall’umidità relativa dell’aria, dal vento, dall’esposizione diretta ai raggi solari, dal tipo di miscela del calcestruzzo. Protezione al fuoco dell’armatura Spessore di calcestruzzo richiesto per isolare l’armatura dalle alte temperature provocate da un incendio Resistenza a compressione del calcestruzzo f c Resistenza cilindrica del calcestruzzo a compressione, in N/mm2. Resistenza allo snervamento dell’acciaio f y Resistenza minima allo snervamento, in N/mm2. Soletta Parte superiore di un solaio in calcestruzzo armato portata da travetti, travi o pilastri. Staffe Armatura disposta per assorbire le forze di taglio e/o torsione in un membro strutturale. Armatura che racchiude l’armatura longitudinale nelle travi o le barre verticali nei pilastri Stato limite Condizione superata la quale una struttura o una sua parte non è più idonea a svolgere le funzioni per cui è stata realizzata Taglio Forza interna perpendicolare all’asse longitudinale dell’elemento Tensione Forza per unità di area Trave Elemento strutturale, orizzontale o quasi orizzontale, sorretto da uno (nel caso di mensola) o più punti, ma non per tutta la sua lunghezza, che porta carichi trasversali al suo asse e sollecitato principalmente a flessione. Trave principale Trave principale orizzontale, che può portare altre travi secondarie Travetto Trave a forma di “T” disposta in serie parallele, che porta direttamente i carichi del pavimento o del soffitto, a sua volta portata da travi principali, travi secondarie o muri portanti Trave di fondazione Trave che poggia sul suolo di fondazione e collega i pilastri o gli elementi verticali o i loro plinti


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Simbologia Lettere greche

αcc αct Coefficiente di riduzione della resistenza di progetto del calcestruzzo rispettivamente a compressione e trazione γ Coefficiente di sicurezza parziale (generico) γA Coefficiente di sicurezza parziali per le azioni eccezionali A γc Coefficiente di sicurezza parziali per le proprietà del materiale calcestruzzo γG Coefficiente di sicurezza parziali per le azioni permanenti G

γg Coefficiente di sicurezza parziali per le azioni permanenti, che tengono conto delle incertezze di modello

γM Coefficiente di sicurezza parziali per una proprietà di un materiale, che tengono conto delle incertezze della proprietà stessa e del modello di calcolo utilizzato

γm Coefficiente di sicurezza parziali per una proprietà di un materiale, che tengono conto solo delle incertezze inerenti alla proprietà del materiale

γQ Coefficiente di sicurezza parziali per le azioni variabili Q γs Coefficiente di sicurezza parziali per le proprietà dell’armatura ordinaria δ Rapporto tra momento residuo dopo la ridistribuzione e momento prima della redistribuzione εc Deformazione del calcestruzzo (negativa) εs Deformazione dell’acciaio teso ε's Deformazione dell’acciaio meno teso o più compresso η Taglio adimensionale μ Momento adimensionale ν Forza assiale adimensionale, coefficiente di riduzione della resistenza del calcestruzzo ξ Rapporto x/d tra profondità x dell’asse neutro e altezza utile d φ Diametro di una barra d’armatura ρ Rapporto geometrico dell’armatura tesa ρ0 Rapporto geometrico dell’armatura che equilibra le compressioni del calcestruzzo ρ’ Rapporto geometrico dell’armatura più compressa o meno tesa σs Tensione dell’armatura tesa σc Tensione del calcestruzzo σ’s Tensione dell’armatura più compressa o meno tesa ψ Coefficiente che definisce i valori di combinazione delle azioni variabili ψ0 Coefficiente di combinazione - carichi caratteristici o rari ψ1 Coefficiente di combinazione - carichi frequenti ψ2 Coefficiente di combinazione - carichi quasi permanenti ω Rapporto meccanico di armatura ω' Rapporto meccanico di armatura dell’armatura meno tesa o più compressa ω0 Rapporto meccanico dell’armatura tesa che equilibra il calcestruzzo compresso


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Lettere latine maiuscole A Azioni eccezionali - Area Ac Area della sezione lorda di calcestruzzo As Area dell’armatura più tesa As0 Area dell’armatura tesa che equilibra il calcestruzzo compresso A’s Area dell’armatura più compressa o meno tesa Ecm Modulo elastico secante di un calcestruzzo di densità normale Ec(28) Modulo elastico tangente di un calcestruzzo di densità normale alla tensione σc=0 e a 28 giorni Es Modulo elastico dell’armatura ordinaria G Azioni permanenti (gravity) MSd Valore di progetto del momento flettente sollecitante MRd Valore di progetto del momento flettente resistente NSd Valore di progetto della forza assiale agente NRd Valore di progetto della forza assiale resistente Q Azioni variabili TRd Valore di progetto del momento torcente resistente VSd Valore di progetto del taglio sollecitante VRd Valore di progetto del taglio resistente

Lettere latine minuscole

b Larghezza della sezione trasversale o beff Larghezza effettiva di calcolo dell’ala di una trave a T o L bf Larghezza teorica dell’ala (flangia) di una trave a T o L bw Larghezza dell’anima nelle travi a T o L d Altezza utile della sezione d’ Distanza della fibra più compressa o meno tesa dal baricentro dell’armatura più compressa o meno tesa fcd Valore di progetto della resistenza a compressione cilindrica fck Resistenza caratteristica cilindrica a compressione del calcestruzzo a 28 gg fyd Tensione di snervamento di calcolo dell’armatura ordinaria fyk Tensione di snervamento caratteristica dell’armatura ordinaria h Altezza totale della sezione trasversale hf Altezza della soletta in una trave a T (altezza della piattabanda) leff Luce efficace (di calcolo) di un elemento strutturale x Profondità dell’asse neutro z Braccio di leva delle forze interne di trazione/compressione in una sezione inflessa


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Bibliografia e riferimenti Nel testo si fa riferimento ai documenti elencati nella tabella che segue indicando, a margine

di pagina, la sigla indicata nella prima colonna e il capitolo/paragrafo del documento a cui fare riferimento.

Sigla Documento NT D.M. 14/09/2005 Norme tecniche per le costruzioni, G.U. n.° 222 del 23/09/2005.

OR Ordinanza della Presidenza del Consiglio dei Ministri 20/03/2003, n. 3274, allegati 2 e 4, aggiornata all’OPCM 3/05/2005, n. 3431.

3519 OPCM 28/04/2006, n. 3519, criteri generali per l’individuazione delle zone sismiche e per la formazione e l’aggiornamento degli elenchi delle medesime zone (G.U. 11/05/2006).

EC2 EN 1992-1-1, Eurocodice 2, Brussels, CEN, dicembre 2004. EC8 EN 1998-1-1, Eurocodice 8, Brussels, CEN, dicembre 2004. 206 UNI EN 206 -1 Calcestruzzo, specificazione, prestazione, produzione e conformità, Ottobre 2001.

11104 UNI EN11104 - Calcestruzzo, specificazione, prestazione, produzione e conformità, istruzioni complementari per l’applicazione della EN206-1, marzo 2004.

ATE Capitolato speciale per la prescrizione del calcestruzzo per edifici residenziali QT1 Strutture di calcestruzzo: Le basi del progetto strutturale, Politeko Edizioni, Torino, 2007 QT2 Strutture di calcestruzzo: Durabilità, materiali, ritiro, viscosità, Politeko Edizioni, Torino, 2007 QT3 Strutture di calcestruzzo: Stati limite d’esercizio, Politeko Edizioni, Torino, 2007 QT4 Strutture di calcestruzzo: Forza assiale, flessione, instabilità, Politeko Edizioni, Torino, 2007 QT5 Strutture di calcestruzzo: Taglio e torsione, Politeko Edizioni, Torino, 2007 QT6 Strutture di calcestruzzo: Il punzonamento, Politeko Edizioni, Torino, 2007

QT8 – STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO CAPITOLO 1

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CAPITOLO 1 Riferimenti, basi del progetto, durabilità e materiali

Dopo una descrizione delle fasi della procedura di progetto, il Quaderno descrive i dati essenziali dell’opera e tratta la durabilità strutturale e le conseguenze che ne derivano in termini di criteri di definizione dei copriferri e scelta dei materiali.

1.1 Procedura di progetto

Il progetto di un edificio multipiano in calcestruzzo armato può essere articolato in una sequenza logica di operazioni (figura 1.1):

1. Definizione in pianta e in altezza della struttura e disposizione in pianta degli elementi strutturali (cap. 1)

2. Identificazione delle classi di esposizione ambientale, calcolo dei copriferri e scelta dei materiali (cap. 1)

3. Calcolo della intensità delle azioni verticali (carichi gravitazionali - cap. 2) 4. Verifica agli stati limite di esercizio (tensioni, fessurazione, deformazione); definizione degli

spessori strutturali e predimensionamento di solai e travi (cap. 3) 5. Calcolo dei carichi verticali totali, predimensionamento agli stati limite ultimi degli elementi

verticali – pilastri - e degli elementi di controvento setti e nuclei ascensore (cap. 4) 6. Analisi della distribuzione planimetrica degli elementi di controvento (cap. 5) 7. Calcolo delle azioni orizzontali (imperfezioni geometriche, vento e sisma), selezione e ripartizione

sugli elementi strutturali dell’azione orizzontale di riferimento (cap. 6) 8. Progetto delle armature degli elementi verticali .- pilastri- e orizzontali - solai, travi – cap. 7 9. Progetto delle armature degli elementi di controvento (nuclei e setti) 10. Progetto delle fondazioni 11. Disegni costruttivi.

Gli argomenti del punto 1 sono oggetto del presente capitolo, quelli dei punti da 2 a 8 dei capitoli che seguono.

CAPITOLO 1 QT8 – STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: CALCOLO DI EDIFICIO

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10) DISEGNI COSTRUTTIVI

7) PROGETTO/VERIFICA ARMATURE SOLAI , TRAVI, PILASTRI

5) PREDIMENSIONAMENTO PILASTRI, NUCLEI, SETTI - SLU

MODIFICA SEZIONI e/o AGGIUNTA ELEMENTI

8) PROGETTO/VERIFICA ARMATURE NUCLEI, SETTI

9) PROGETTO FONDAZIONI

6) DISTRIBUZIONE DELLE RIGIDEZZE

CAP. 1) DEFINIZIONE E DISPOSIZIONE DEGLI ELEMENTI STRUTTURALI

2) DURABILITà, COPRIFERRI, MATERIALI

3) AZIONI

4) PREDIMENSIONAMENTO SOLAI E TRAVI - SLE

DISTRIBUZIONE PLANIMETRICA ACCETTABILE?NO

SI

Figura 1.1 Progetto strutturale di un edificio



1.2 Progetto strutturale 1.2.1 Piante dei fili fissi e dei pilastri La pianta dei fili fissi include le informazioni di riferimento relative alla struttura (figura 1.2)1: a) una griglia di assi secondo due direzioni principali in pianta: gli assi si incrociano in corrispondenza

dei “fili fissi” degli elementi verticali (pilastri, nuclei, setti);2 b) la disposizione in pianta degli elementi verticali continui a ogni piano fino alle fondazioni; c) le distanze orizzontali tra le linee della griglia d) una tabella quotata contenente le distanze parziali e progressive dei centri degli elementi strutturali

e le coordinate (x,y) rispetto al riferimento (0,0). Le piante dei pilastri e delle fondazioni contengono le informazioni relative a tutti gli elementi verticali e di fondazione (posizione, dimensioni, distanze relative).

1.2.2 Carpenteria piano tipo Per ogni piano tipo è richiesto un disegno di carpenteria (figura 1.3) che contenga: a) la posizione del perimetro di piano sulla griglia degli assi; b) la posizione e la denominazione delle travi principali, secondarie e pilastri; c) le informazioni relative alla foronomia; d) l’orientamento e la denominazione dei solai di piano.

1.2.3 Sezioni verticali

Una o più sezioni strutturali verticali (figura 1.4) forniscono le informazioni rilevanti sulla struttura in elevazione: a) il numero di piani; b) l’altezza di interpiano di tutti i piani, definita come la distanza verticale dal piano del pavimento finito

del piano considerato fino allo stesso livello di un piano adiacente; c) la pendenza e la forma del tetto; d) l’altezza libera verticale tra il piano di pavimento finito e il soffitto del piano; e) lo spazio verticale (a pavimento o a soffitto) necessario ad alloggiare gli impianti tecnici relativi alla

distribuzione dell’energia elettrica, dell’acqua (sia potabile che di scarico), al riscaldamento, alla ventilazione o all’aria condizionata;

f) la quota e l’eventuale pendenza del terreno in relazione con il piano terreno del fabbricato o il piano seminterrato, se presente.

1 Tutti i disegni di carpenteria e armatura sono stati effettuati mediante la proceduta Auto-Ca (www.auto-ca.it).

2 I “fili fissi sono segmenti che individuano punti notevoli di un elemento: centro o spigoli di un pilastro, asse o spigolo di un setto ecc. e che, non cambiando di posizione ai piani, possono essere utilizzati per il tracciamento delle carpenterie di piano.



Figura 1.2 Riferimenti, pianta e coordinate fili fissi

x y

Pilastro

[cm] [cm] ASC B 3 795 450 ASC B 10 2585 450

C A 1 0 0 A 2 360 0 A 3 795 0 A 5 1085 0 R

A 6 1400 0 C A 7 1780 0

A 8 2160 0 A 9 2475 0 A 11 2765 0 R

A 12 3200 0 C A 13 3560 0 R C 1 0 650

C 2 360 650 C 6 1400 650 C 7 1780 650 C 8 2160 650

Q

C 12 3200 650 R C 13 3560 650 C D 1 0 1300

D 2 360 1300 D 3 795 1248 D 5 1085 1247 D 6 1400 1300 D 7 1780 1300 D 8 2160 1300 D 9 2475 1248 D 11 2765 1248

R

D 12 3200 1300 C D 13 3560 1300



Figura 1.3 Carpenteria piano tipo



Figura 1.4 Sezione verticale

Quote in cm



1.3 Descrizione dell’opera 1.3.1 Localizzazione

DM05 3.2.2.1 L’edificio è situato in una zona pianeggiante ubicata nell'area urbana di una località del Piemonte a quota 350 m s.l.m. DM05 2.5 La località è classificata in zona sismica 4. L’edificio, a uso residenziale, è classificato come struttura di

classe 1. Per tale classe la vita utile di progetto Td è pari a 50 anni e il periodo di ritorno delle azioni naturali (vento, neve) a 10 x Td = (10x50) = 500 anni.

L’edificio è costituito da sei piani fuori terra, un piano sottotetto e un interrato. La configurazione in pianta è di un corpo unico compatto rettangolare, senza giunti di dilatazione, con simmetrie longitudinale e trasversale (fig. 1.5). La copertura è inclinata di un angolo α = 10,7°.

Ciascun solaio ha superficie lorda pari a (36,10 x 13,70) = 490 m2 circa. Il volume fuori terra del fabbricato (vuoto per pieno) è pari a [36,10 x 13,70 x (20,83+19,30/2)] = 9924 m3 circa

Figura 1.5 – Dimensioni complessive

1.3.2 Struttura di elevazione La struttura d’elevazione è costituita da telai di calcestruzzo armato gettati in opera con elementi verticali costituti da pilastri, setti e vani ascensore e elementi orizzontali costitutiti da travi in spessore di solaio. I solai misti con alleggerimenti in laterocemento e soletta di completamento in calcestruzzo sono orditi trasversalmente all’asse principale dell’edificio. Lo schema strutturale è misto telai – controventi: ai telai è affidata la resistenza alle sole azioni verticali, agli elementi di controvento (vani ascensore) la resistenza alle azioni orizzontali (imperfezioni geometriche, vento, sisma). Poiché l’edificio è realizzato in zona sismica, per gli elementi strutturali sono previsti meccanismi di rottura tali da assicurare un comportamento d’insieme di tipo duttile tale da dissipare l’energia indotta da un sisma di limitata intensità. Assumendo come quota 0,00 quella del terreno finito circostante il fabbricato, risultano definite le quote: - del primo solaio al finito: + 0,17 m - del piano delle fondazioni e dei muri contro terra: - 3.15 m

Le dimensioni in altezza sono (figura 1.4): - altezze interne nette: interrato: 2,40 m; piani tipo: 2,70 m; sottotetto: variabile da 1,0 m in gronda) a

2,30 m al colmo; - altezze interne lorde: piano interrato, dallo spiccato delle fondazioni: plinti: 2,50 m, muri: 2,65 m;

piano tipo: 2,80 m; piano sottotetto variabile da 1,04 a 2,35 m; - spessore solaio: al rustico, a tutti i piani: (0,18 + 0,05) = 0,23 m; al finito: piano terreno 0,32 m; piani

tipo: 0,33 m; sottotetto: 0,28 m



Le altezza totali del fabbricato risultano: - da quota + 0,00 all’estradosso in gronda del solaio di copertura: [0,17 + 6 x 2,70 + 5 x 0,33 + 0,28 + 1,0 + 0,23] = 19,53 m - da quota + 0,00 all’estradosso del colmo del solaio di copertura: [19,30 + 1,53] = 20,83 m - dallo spiccato dei plinti all’intradosso del colmo della copertura: m 23,25. - dalla base dei plinti all’estradosso del colmo della copertura: [23,25 + 0,50 + 0,23] = 23,98 m

1.3.3 Terreno e struttura di fondazione In base ai sondaggi il terreno di fondazione risulta costituito da una serie di strati sabbioso – limosi intercalati da strati ghiaioso – sabbiosi.

DM 3.2.1 Le prove geognostiche definiscono un valore NSPT variabile tra 24 e 40. Poiché 15 < NSPT < 50 si può classificare il terreno nella categoria C.

Per la zona non sono disponibili dati relativi a fenomeni di instabilità, subsidenza o erosione del suolo. Le fondazioni sono dirette e costituite per i pilastri da plinti isolati di altezza 0,50 m con dimensioni in pianta adeguate alle caratteristiche meccaniche del terreno. Al piano interrato una serie di muri di calcestruzzo armato aventi fondazione di altezza 0,35 m forma un sistema scatolare di chiusura perimetrale che contrasta la spinta del terreno.



1.4 Durabilità strutturale 1.4.1 Classi di esposizione e prescrizione del calcestruzzo

DM 11.1.11 La durabilità di una struttura di calcestruzzo dipende dall’interazione tra le caratteristiche del materiale con cui la struttura è costruita e le azioni di tipo chimico – fisico, legate alle condizioni dell’ambiente in cui essa si trova e alle quali è soggetta nell’arco della sua vita utile. Tali azioni, non prese in conto nell’analisi strutturale, comportano un’opportuna scelta del tipo di calcestruzzo, adeguate disposizioni costruttive delle armature e un’esecuzione curata. Il requisito di durabilità si ritiene soddisfatto se la struttura, sottoposta alle azioni tipiche dell’ambiente e soggetta a ordinaria manutenzione, è in grado di continuare a fornire per tutta la vita utile di progetto le prestazioni per la quale è stata progettata e realizzata. In base alle indicazioni delle norme EN206-1 e UNI 11104 le condizioni prevalenti della struttura di elevazione dell’edificio possono essere classificate nelle classi di esposizione ambientale di tabella.3

Classe di esposizione Condizione di esposizione Elementi strutturali

XC1 Calcestruzzo asciutto o permanentemente bagnato Tutti le strutture all’interno del fabbricato

XC2 Bagnato, raramente asciutto (superfici di calcestruzzo a contatto con acqua per lungo tempo. Fondazioni e muri contro terra

XC3 Umidità moderata Logge, pilastri esterni, cornicioni

XA1 Ambiente chimico debolmente aggressivo nei suoli naturali ed acqua del terreno Fondazioni e muri contro terra

Tabella 1.1 –Classi di esposizione ambientale EC2 4.4.1.2 Per le diverse classi di esposizione e una durata di vita di 50 anni secondo l’EC2 e la norma UNI 11104 11104 prosp. 4 per il copriferro e la classe di resistenza del calcestruzzo minimi valgono le seguenti prescrizioni:

- classe XC1: copriferro minimo per la durabilità cmin,dur = 15 mm; calcestruzzo classe C25/304 - classe XC2 cmin,dur = 25 mm; calcestruzzo classe C25/30 - classe XC3: cmin,dur = 25 mm, calcestruzzo classe C28/35 - classe XA1: nessuna indicazione di copriferro minimo; calcestruzzo classe C28/35. Per le fondazioni e i muri contro terra, classificati nelle classi (XC2 + XA1), per soddisfare le richieste di entrambe le classi di esposizione la classe di resistenza minima per il calcestruzzo è la C28/35, In base ai dati di tabella per i solai di piano sarebbe necessario prescrivere due diversi tipi di calcestruzzo: per le zone interne (classe ambientale XC1) un calcestruzzo C25/30, per le logge e i balconi (classe ambientale XC3) un calcestruzzo C28/35. Ciò evidentemente non è agevole in cantiere, dato che il getto avviene in contemporanea su tutta la superficie del solaio.

Peraltro gli elementi orizzontali delle logge sono a rischio di degrado in quanto direttamente esposti all’ ambiente esterno. Una soluzione che ovvia alla minor durabilità intrinseca di tali parti ma è tecnicamente praticabile tiene conto del fatto che l’aggressione possibile - degrado da ossidazione delle armature dovuto a carbonatazione del calcestruzzo - dipende sia dalle caratteristiche di permeabilità superficiale del calcestruzzo che dallo spessore del copriferro. Si prescrive pertanto l’impiego di una unica classe di calcestruzzo C25/30, oltre che per le zone , anche per gli elementi orizzontali delle logge ma si impone di aumentare per queste ultime il copriferro minimo previsto per la classe XC3 (25 mm) di ulteriori 5 mm.

3 Per una descrizione esaustiva del procedimento vedere QT2 – Durabilità. 4 La classe di resistenza del calcestruzzo è identificata mediante la resistenza caratteristica a compressione

(N/mm2) misurata dopo 28 gg di maturazione. Nelle NT (Norme Tecniche) la resistenza è misurata su cubi di lato 160 mm e ha sigla: Rck (es. Rck 25, Rck 30 ecc.), nell’EC2 su cilindri di diametro 150 mm e altezza 300 mm - sigla fck - o su cubi di lato 160 mm – sigla fck,cu – e ha sigla C fck / fck,cu. Nel testo si adotta la simbologia dell’EC2.

QT2 Tab. 3.1


1-10 © 2007 F. Biasioli

1.4.2 Rapporto prezzo-prestazioni del calcestruzzo QT2 E’ sempre opportuno effettuare la valutazione economica delle soluzioni alternative stimando il rapporto

prezzo/prestazioni delle diverse classi di calcestruzzo. Per un calcestruzzo di riferimento con diametro massimo dei grani dg = 32 mm e classe di consistenza S3 è calcolato in tabella 1.2 per le classi di esposizione più significative il rapporto prezzo/prestazioni sulla base dei prezzi correnti nella località, assumendo come calcestruzzo di riferimento il calcestruzzo di classe C25/30.

Il minor costo teorico complessivo dell’opera che si otterrebbe impiegando, al posto di un calcestruzzo classe C20/25, un calcestruzzo classe C25/30 o C28/35 è rispettivamente pari al 12 e 20%, a condizione che le prestazioni di tali materiali siano utilizzate correttamente nel progetto strutturale. Il vantaggio effettivo è ovviamente minore del teorico, date le limitazioni poste dalle dimensioni minime delle sezioni di pilastri, solai e travi e dalla configurazione geometrica dell’edificio, ma certamente la presa in conto della durabilità attraverso la scelta di una classe di calcestruzzo adeguata non comporta incrementi del costo totale di costruzione, mentre ne garantisce migliori prestazioni (ridotta deformabilità degli elementi inflessi, resistenza addizionale per eventi non previsti nel calcolo ecc.).

Classe Variabile u.d.m.

C20/25 C25/30 C28/35 Classe di esposizione - XC1 XC3

Rck N/mm2 25 30 35 Prezzo €/m3 88 93 98,5 Prezzo relativo % 100 105,7 111,9 Prestazione relativa % 100 120 140 Rapporto prezzo/prestazioni 1 0,88 0,80

Tabella 1.2 – Confronto tecnico-economico QT2 tab. 3.1 In conclusione si prescrive l’impiego di due classi di calcestruzzo con le seguenti caratteristiche:

muri contro terra, plinti di fondazione, pilastri, setti e nuclei ascensore: - classe di resistenza C28/35, rapporto a/c max 0,55, dosaggio minimo cemento 320 kg/m3 - classe di esposizione (XC2 + XA1) o XC3 - classe di consistenza S3 - diametro massimo aggregato 32 mm

travi, solai, balconi, rampe scale, copertura - classe di resistenza C25/30 rapporto a/c max 0,60, dosaggio minimo cemento 300 kg/m3 - classe di esposizione XC1 - classe di consistenza S3 (per copertura, rampe scale ); S5 (per travi e solai) - diametro massimo aggregato 32 mm

1.4.3 Copriferri delle armature DM 5.1.6.1.3 Il copriferro è la distanza tra la superficie più esterna dell’armatura (incluse staffe e collegamenti) ) e la

superficie del calcestruzzo più vicina. Un copriferro minimo cmin deve essere assicurato per garantire: - la corretta trasmissione delle forze di aderenza - la protezione dell’acciaio contro la corrosione (durabilità) - un’adeguata resistenza al fuoco


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EC2 4.4.1 Il copriferro MINIMO cmin che soddisfa sia i requisiti relativi all’aderenza che alla durabilità vale:

cmin = max [cmin,b; (cmin,dur - Δc dur,add); 10 mm] [1.1]

cmin,b copriferro minimo dovuto al requisito di aderenza (b = “bond”) con cmin,b ≥ φ dell’armatura cmin,dur copriferro minimo dovuto alle condizioni ambientali (dur = “durability”) Δc dur,add riduzione del copriferro minimo per la durabilità in presenza di protezioni aggiuntive (ad es. tavelle di laterizio, intonaco, vernici protettive ecc). I requisiti di copriferro per la durabilità non risultano mai critici per le travi e i pilastri interni, protetti da intonaco di spessore 10 mm, e per le armature superiori delle travi e dei balconi, protette dall’ambiente esterno dalla presenza del sottofondo e del pavimento (i balconi, anche dalla guaina impermeabile). La condizione più severa in tutti questi casi è pertanto il rispetto delle condizioni di aderenza. Le armature del solaio di tutti i piani sono protette, alla base delle nervature, da una tavella di laterizio di spessore 12 mm ricoperto da intonaco di spessore 8 mm. Pertanto:

Δc dur,add = 12 + 8 = 20 mm Le superfici inferiori delle solette piene, dei pilastri e delle travi delle logge sono tutte protette da 10 mm di intonaco. Dato che il calcestruzzo di tali elementi è di classe C25/30 anziché di classe C28/35, come sarebbe richiesto per la classe XC3, si incrementa di 5 mm il copriferro di 25 mm richiesto per classe XC3. Il copriferro NOMINALE cnom , da considerare nel progetto delle armature e riportare nei disegni esecutivi, è somma:

- del copriferro minimo cmin, - della tolleranza di posizionamento delle armature Δc, assunta pari a 8 - 10 mm.

DM 5.1.6.1.3 Per le NT deve essere cnom ≥ 20 mm. Pertanto:

cnom = cmin + Δc = max [cmin + (8 – 10) mm; 20 mm] [1.2] Per i getti del piano interrato (plinti e muri) in cui un lato è contro terra, dunque non ispezionabile si deve assumere cnom ≥ 40 mm. Nell’ipotesi di utilizzare:

- staffe φ 8 mm per i pilastri e le travi - barre φ 16 mm per pilastri, travi, plinti e muri - barre φ 12 mm per solai e solette dei balconi

si ottengono i valori teorici di tabella. Tenuto conto delle tipologie di distanziatori disponibili in commercio, nel progetto si adottano i valori evidenziati nell’ultima colonna.

Elemento strutturale

Classe di esposizione

φ, cmin,b (mm)

cmin,dur (mm)

Δcdur,add (mm)

cdur (mm)

cmin (mm)

cnom (mm)

Travi, pilastri interni, nuclei XC1 8 15 - 10 5 8

Solai XC1 12 15 -20 - 12

Solette/travi logge (arm. sup.) XC3 12 - - - 12

20

Solette/travi logge (arm. inf.) XC3 12 25 + 5 -10 20 20

Pilastri esterni logge XC3 8 25 -10 15 25 30

Fondazioni, muri contro terra XC2+XA1 16 25 - 25 25 40

Tabella 1.3 Copriferri nominali


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1.5 Materiali 1.5.1 Calcestruzzo La classe del calcestruzzo è identificata mediante la resistenza caratteristica a compressione (N/mm2) misurata dopo 28 gg di maturazione. Nelle NT (Norme Tecniche) la resistenza è misurata su cubi di lato 160 mm e ha sigla: Rck (es. Rck 25, Rck 30 ecc.), nell’EC2 su cilindri di diametro 150 mm e altezza 300 mm - sigla fck - o su cubi di lato 160 mm – sigla fck,cu. Per l’EC2 la denominazione è C fck / fck,cu.

DM 11.1.10.1 Per entrambe le norme è Rck = fck,cu, mentre la resistenza cilindrica fck, varia: secondo le NT si assume fck, = 0,83 Rck , secondo l’EC2 è fck, ≈ 0,80 fck,cu. Adottando le indicazioni delle NT si ottengono:

Denominazione C25/30 C28/35 Destinazione solai/travi pilastri, setti, nuclei resistenza a compressione cubica caratteristica Rck 30 35 N/mm2

resistenza a compressione cilindrica (0,83 Rck) fck 25 29 N/mm2

resistenza a trazione media fctm 2,6 2,8 N/mm2

modulo elastico (secondo EC2) Ecm 31 32 kN/mm2

coeff. di sicurezza parziale (da applicare a Rck) γm,c 1,9 resistenza a compressione cilindrica di calcolo fcd 15,8 18,4 N/mm2

coefficiente effetti di lungo termine αcc 1 resistenza a trazione di calcolo fctd 1,8 1,2 N/mm2

1.5.2 Acciaio DM 11 2 2 1 Gli acciai per armatura sono definiti dai valori caratteristici delle tensioni di snervamento fyk e di rottura ftk,

del rapporto (ft/fy)k e dal valore caratteristico della deformazione εuk corrispondente alla tensione massima sotto carico. Per le NT e l’EC2 è:

ykyd

s

ff =

γ

Secondo le N.T è γs = 1,15. La deformazione di progetto al limite elastico vale ydsyd

s

fE

ε =

DM 5.1.2.1.1.4 Nel seguito sono riportati i valori caratteristici e di progetto di tensioni e deformazioni per acciaio laminato EC2 2.4.2.4 a caldo B450C controllato in stabilimento. Per il calcolo di εsyd si è assunto, come nell’EC2,

Es = 200⋅103 N/mm2. resistenza a trazione caratteristica ftk 540 N/mm2

tensione di snervamento caratteristica fyk 450 N/mm2

allungamento uniforme al carico massimo εuk > 70 ‰ rapporto tra resistenza e tensione di snervamento 1,15 < (ft / fy)k <1,35

modulo elastico (secondo EC2) Es 200 kN/mm2

coeff. di sicurezza parziale γs 1,15 tensione di snervamento di calcolo fyd 391 N/mm2 deformazione di snervamento di calcolo εsyd 1,96 ‰ deformazione limite allo SLU εud = 0,90 εuk εud 63 ‰

QT8 – STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO CAPITOLO 2


CAPITOLO 2 Analisi dei carichi 2.1 Stati limite 2.1.1 Definizione e classificazione Stati limite: sono stati al di là dei quali una struttura non soddisfa più le esigenze per le quali è stata progettata. Si suddividono in stati limite ultimi e stati limite di esercizio.

a. Stati limite ultimi

Gli stati limite ultimi sono quelli associati al collasso o ad altre forme di cedimento strutturale che possono mettere in pericolo la sicurezza delle persone. Le situazioni che precedono il collasso sono trattate anch’esse come stati limite ultimi. Gli stati limite ultimi per cui è richiesta la verifica riguardano:

− la perdita di equilibrio della struttura o di una parte di essa, considerata come corpo rigido; − il dissesto per deformazione eccessiva, rottura o perdita di stabilità della struttura o di una parte di

essa, compresi i vincoli e le fondazioni.

b. Stati limite di esercizio

Gli stati limite di esercizio corrispondono a stati al di là dei quali non risultano più soddisfatti i requisiti di uso richiesti. Gli stati limite di esercizio per cui è richiesta la verifica riguardano:

− le deformazioni o inflessioni che nuocciono all’aspetto o modificano la possibilità d’uso della struttura (inclusi i malfunzionamenti di apparecchiature e impianti) o danneggiano le finiture o gli elementi non strutturali;

− la fessurazione del calcestruzzo se può influire negativamente sull’aspetto, sulla durabilità o sulla impermeabilità all’acqua dell’opera;

− il danneggiamento del calcestruzzo in presenza di compressione eccessiva, che può portare a perdita di durabilità;

− le vibrazioni se possono causare disturbo agli occupanti, danno all’edificio o ai beni in esso contenuti o limitarne l’idoneità all’uso.

2.1.2 Metodi di verifica

QT3 Una struttura deve essere verificata per tutti gli stati limite considerati significativi, sia ultimi che di esercizio. In genere le verifiche agli stati limite di esercizio vengono effettuate utilizzando modelli che ipotizzano il comportamento elastico dei materiali, modificato per tener conto della fessurazione del calcestruzzo (sezione parzializzata omogeneizzata). Si possono usare metodi tabellari semplificati, che forniscono indicazioni utili in fase di predimensionamento degli elementi strutturali (vedere QT3).

QT4 QT5 QT6 Il progetto/verifica agli stati limite ultimi si basa su modelli plastici. I metodi di progetto/verifica delle armature, diversi a seconda dei diversi stati limite (sollecitazioni di pressoflessione e flessione, taglio, torsione e punzonamento), sono facilitati dall’uso di tabelle e grafici basati su parametri adimensionali (vedere QT 4-5-6). Per tutti gli stati limite occorre preliminarmente cumulare le azioni permanenti (peso proprio e carichi permanentemente portati) e variabili (carichi di esercizio, vento, neve) mediante idonee “combinazioni di carico” e disporre i carichi variabili sulla struttura in modo da “massimizzare” l’effetto sfavorevole considerato.

CAPITOLO 2 QT8 – STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PROGETTO DI EDIFICIO


2.2 Azioni 2.2.1 Classificazione e variabilità nel tempo

DM 2.6.3 Le NT definiscono come azione ogni causa o insieme di cause capace di indurre stati limite in una struttura. In genere per gli edifici si considerano azioni variabili di intensità convenzionale aventi la possibilità di variare la posizione (disposizioni di carico). I carichi si classificano come:

- carichi permanenti (G) che agiscono durante tutta la vita utile della struttura con variazioni di intensità nel tempo così piccole e lente da poter essere considerati con sufficiente approssimazione costanti nel tempo: pesi propri della struttura e carichi permanentemente portati;

- carichi variabili (Q) suddivisi in carichi di lunga durata - che agiscono, anche non continuativamente, con intensità significativa per un tempo non trascurabile rispetto alla vita utile della struttura - e di breve durata - che agiscono per un tempo breve rispetto alla vita utile della struttura.

- carichi eccezionali (A), legati ad eventi fortuiti (incendi, esplosioni, urti, impatti, sisma ecc…)1.

Fig. 2.1 – Variabilità di un’azione nel tempo

DM 2.6.4.2 Di ciascun carico variabile nel tempo sono definiti una serie di valori rappresentativi (fig. 2.1): Qk il valore caratteristico dell’azione, caratterizzato da un’assegnata probabilità di essere superato nel periodo di riferimento Tu (frattile di ordine k della distribuzione statistica del carico);

ψ0 Qk, il valore di combinazione dell’azione, in cui il coefficiente ψ0 < 1 tiene conto della ridotta probabilità di occorrenza simultanea di due o più azioni indipendenti entrambe di intensità pari al valore caratteristico: è utilizzato per gli SLU e SLE irreversibili (fessurazione);

ψ1 Qk il valore frequente dell’azione, in cui ψ1 < ψ0 è scelto in modo che il periodo di tempo in cui il valore l’intensità ψ1 Qk viene superata sia al più una frazione, generalmente il 10%, del periodo di riferimento Tu. E’ utilizzato per gli SLE reversibili (verifica di fessurazione di strutture precompresse); ψ2 Q il valore quasi – permanente dell’azione k, in cui ψ2 < ψ1 è scelto in modo che il periodo di tempo in cui ψ2 Qk risulta superata sia al più una frazione (generalmente il 50%) del periodo di riferimento Tu: E utilizzato per il calcolo degli effetti a lungo termine negli SLE reversibili (deformazione della struttura) e nelle condizioni che vedono dominante l’azione sismica.

QT1 Essendo tutti i coefficienti ψ < 1 i valori che si ottengono corrispondono ad intensità dell’azione via via minori, più facilmente superabili durante la vita utile della struttura e corrispondenti a “periodi di ritorno” T minori del periodo associato al valore caratteristico dell’azione stessa.

I valori dei fattori di combinazione ψ adottati in Italia dipendono dal tipo di azione considerata, dalla destinazione d’uso della struttura e dalla situazione di progetto.

1 Anche se le NT non classificano l’evento sismico come eccezionale, esso è da intendersi come tale secondo le

indicazioni dell’EC0, 4.1.2 (9).

DM05 2.6.4.1

1



2.2.2 Azioni permanenti DM 6.1.1 Per le parti strutturali e non strutturali le azioni permanenti sono valutate in base alle masse volumiche dei

materiali di cui è composta la costruzione e/o alle loro caratteristiche geometriche Per elementi strutturali e di finitura per edifici si possono applicare i valori di tabella 2.1.

Tabella 2.1 - Masse volumiche e intensità

Nel seguito è sviluppata l’analisi dei carichi dei diversi di elementi strutturali, rappresentati in sezione. Per tutti gli elementi il peso proprio è identificato dal simbolo gk0.

A) SOLAI E SOLETTE SOLAIO PIANO TIPO H = (18 + 5) cm

a) solaio in latero-cemento interasse (38+12) h = 18 cm 0,75 kN/m2

⋅ getto di completamento in calcestruzzo armato nervature i = 50 cm e soletta s = 5 cm (0,12⋅0,18⋅2 + 0,05⋅1,0⋅1,0)⋅25 2,33 kN/m2

gk0 = 3,08 kN/m2 b) sottofondo in calcestruzzo alleggerito s = 8 cm 0,08⋅16 1,28 kN/m2 c) pavimento in ceramica 1 cm 0,01⋅25 0,25 kN/m2 d) intonaco d'intradosso 1 cm 0,01⋅20 0,20 kN/m2

gk1 = 1,73 kN/m2

Materiali massa volumica/ intensità

u.d.m.

Calcestruzzo non armato / armato 24 / 25 Conglomerato leggero per sottofondi 14 - 20 Intonaco di cemento 20 Mattoni semipieni 16 Mattoni forati 11 Pietre naturali, piastrelle ecc 30

kN/m3

Laterizio per solai – interasse nervature i = (40+10) o (38+12) cm

h = 18 cm 0,75 h = 20 cm 0,82 h = 22 cm 0,89 h = 24 cm 1,00

kN/m2

Manto di tegole (coppi) o marsigliesi 0,70

Manto di tegole (marsigliesi) 0,40



SOLAIO LOGGIA E PIANO SOTTOTETTO - H = (18 + 5) cm

a) solaio in latero-cemento e calcestruzzo H = (18 + 5) cm gk0 = 3,08 kN/m2

b) sottofondo in calcestruzzo alleggerito s = 3 cm 0,03⋅16 0,48 kN/m2 c) pavimento in ceramica 1 cm 0,01⋅25 0,25 kN/m2 d) intonaco d'intradosso 1 cm 0,01⋅20 0,20 kN/m2

gk4 = 0,93 kN/m2

SOLAIO COPERTURA- H = (18 + 5) cm

a) solaio in latero-cemento e calcestruzzo H = (18 + 5) cm gk0 = 3,08 kN/m2 b) guaina e isolamento 0,24 kN/m2 c) manto di tegole e listellatura 0,90 kN/m2

gk5 = 1,14 kN/m2 SOLETTA SCALE- H = 15 cm

a) soletta in calcestruzzo h = 15 cm 0,15⋅25 gk0 = 3,75 kN/m2 b) sottofondo gradini spessore medio 5 cm 0,05⋅18 90 kN/m2

c) pedata in ceramica s = 1 cm 0,25 kN/m2

d) intonaco di intradosso s = 1 cm 0,20 kN/m2

gk7 = 1,35 kN/m2



B) MURATURE ESTERNE ED INTERNE MURATURA DI TAMPONAMENTO ESTERNA SP. CM 35

quote in cm

12 128 21

35

bdaac

Muratura di chiusura esterna - sezione verticale

a) muratura interna in mattoni forati s = 12 cm 0,12⋅11 1,32 kN/m2 b) muratura interna in mattoni semipieni s = 12 cm 0,12⋅16 1,92 kN/m2 c) intonaco interno s =1 cm 0,01⋅20 0,20 kN/m2

intonaco in cassavuota rustico s =1 cm 0,01⋅20 0,20 kN/m2 d) isolamento termico s = 8 cm 0,08⋅0,9 0,06 kN/m2

Totale 3,70 kN/m2 Per ciascun piano di altezza a rustico h = 2,80 m il carico medio a metro lineare di muratura netto, tenendo conto delle aperture esterne (finestre e porte finestre), risulta

perimetro totale edificio (35,7 + 14,0) ⋅2 100 m altezza interpiano al rustico 2,80 m superficie muratura lorda totale edificio 100⋅2,80 280 m2

superficie aperture porte-finestre n. 16 16⋅1,20⋅2,20 42 m2

finestre n. 14 14⋅1,20⋅1,50 15 m2

Totale 67 m2

incidenza aperture su totale muratura (67/280) ⋅100 24% peso medio lineare muratura lorda 3,70⋅2,80 = 10,36 kN/m peso medio lineare muratura netta (1-0,24)⋅10,36 gk2 = 7,88 kN/m

MURATURA DI PARTIZIONE INTERNA SP. CM 10

181

a bb

quote in cm

a) muratura interna in mattori forati s = 8 cm 0,08⋅11 0,88 kN/m2 b) intonaco interno ed esterno s =(1+1) cm 0,02⋅20 0,40 kN/m2

Totale 1,28 kN/m2

interno

interno



Per ciascun piano di superficie netta 470 m2 circa il carico medio a metro quadrato di solaio, tenendo conto delle aperture interne, risulta

sviluppo totale muratura interna 165 m altezza interpiano al rustico 2,80 m superficie muratura lorda totale edificio 165⋅2,80 462 m2

superficie aperture: porte n. 30 30⋅0,80⋅2,20 53 m2

incidenza aperture su totale muratura (53/462) ⋅100 11,5% peso totale muratura lorda 1,28⋅462 = 591 kN peso totale muratura netta (1-0,115)⋅591= 523 kN Per il calcolo dei solai degli edifici di civile abitazione in grado, come nel caso di esame, di avere adeguata capacità di ripartizione trasversale dei carichi, il carico lineare costituito dai divisori può essere trasformato in un carico uniformemente, la cui intensità è calcolata come rapporto tra il peso complessivo della muratura e la superficie netta del solaio (462 m2 nel caso in esame). Peso della muratura per unità di superficie di solaio 523/462 gk3 = 1,13 kN/m

2.2.3 Peso delle travi Il peso a metro lineare delle travi in spessore aventi dimensioni (b⋅h) è calcolato come differenza tra i pesi propri di una trave piena di altezza h e larghezza b e quello di una striscia di solaio di larghezza b Esprimendo b e h in metri, assumendo come massa volumica del calcestruzzo il valore per elementi armati (25 kN/m3) e come peso proprio quello del solaio (3,08 kN/m2) risulta: per trave di spina gk0 = (25 b h – 3,08 b) = b (25 h – 3,08) kN/m per travi di bordo o cordoli gk0 = (25 b h – 3,08 b/2) = b (25 h – 1,54) kN/m Per solaio di spessore h = 0,23 m porta gk0 = 2,67 b kN/m per trave di spina; gk0 = 4,21 b kN/m per trave di bordo o cordoli

2.2.4 Azioni variabili Le azioni variabili dipendono dalla destinazione d’uso dell’opera. I modelli di tali azioni sono: - carichi uniformemente distribuiti qk

- carichi orizzontali lineari Hk , applicati alle pareti alla quota di 1,20 m. dal piano di calpestio, oppure ai mancorrenti alla quota del bordo superiore e utilizzati solo per verifiche locali

- carichi concentrati Qk applicati su impronte di carico di (50⋅50) mm [per rimesse e parcheggi su impronte (200⋅200) mm distanti 1,60 m].

I valori dei carichi caratteristici e/o nominali da utilizzare nel progetto, ricavati dalle NT in funzione della categoria dell’edifico, sono riportati in tabella 2.2.

Cat. Ambiente qk (kN/m2)

Qk (kN)

Hk (kN/m)

1 Locali di abitazione, logge 2,00 2,00 1,00

5 Balconi, ballatoi, scale 4,00 3,00 2,00

6 Sottotetti accessibili per sola manutenzione 1,00 2,00 1,00

8 Rimesse e parcheggi per autovetture fino a 30 kN 2,50 2 x 10,00 1,00

Tabella 2.2 - Carichi di esercizio



2.2.5 Azioni variabili ambientali e naturali - neve L’intensità del carico di neve sulla copertura di un edificio dipende da una serie di fattori legati a variabili topografiche (zona geografica e quota sul livello del mare della costruzione, ventosità del sito, presenza di edifici circostanti) e alla tipologia della copertura (inclinazione delle falde, rugosità della superficie, presenza di fonti di calore sotto la copertura ecc). L’azione statica si ottiene moltiplicando il carico di neve qs, considerato agente in proiezione orizzontale della copertura, per l’area ove esso è presente. Il carico di neve qS è calcolato a partire da: - il carico di neve qref(TR) che dipende da un carico di riferimento caratteristico qsk funzione dei parametri

che caratterizzano il sito (zona geografica ed effetti locali legati all’ubicazione) modificato per tener conto del periodo di ritorno TR specifico per la costruzione considerata;

- i parametri che caratterizzano la tipologia strutturale e il tipo di opera (coefficienti di forma, di esposizione e termico).

A) Carico di neve caratteristico qsk e di riferimento qref (TR) Il carico di neve caratteristico qsk, è il frattile 99,5% della distribuzione dei massimi annuali dei carichi di neve al suolo. Tale valore ha probabilità di superamento, in qualsiasi anno, pari a p = (1 - 0,995) = 0,005 dunque periodo di ritorno TR = 1/0,005 = 200 anni.

DM 3.5.4. Tutte le località del Nord Italia (esclusa quelle della regione Liguria) a quota minore di 1500 m sono classificate dalle NT nella zona geografica I. Per tale zona è: - qsk = 1,60 kN/m2 se la località in cui è localizzato il fabbricato è ad altezza as ≤ 200 m s.l.m.

- qsk = ( )s3,0 a -2001,60 +

1000 se 200 < as ≤ 750 m

La località in cui è ubicato l’edificio si trova a quota as = 350 m s.l.m. Si ottiene:

qsk = ( )3,0 350-2001,60 + =1000

. 2,05 kN/m2

Il carico qsk va modificato in funzione del periodo di ritorno TR del fenomeno, variabile in base alla classe strutturale dell’opera,secondo la relazione:

qref (TR) = αR (TR) qsk Il coefficiente αR (TR) dipende dal periodo di ritorno TR che viene assunto pari a 10 volte la vita di progetto convenzionale dell’opera Td. Per strutture con vita di progetto Td = 50 anni (classe 1) sono pertanto TR = 10 x 50 = 500 anni e αR (500) = 1,12 (+12%).

qref (500) = αRn (500) qsk = 1,12 x 2,05 = 2,30 kN/m2 B) Carico di neve qs Il carico di neve qs ha espressione qs = μi qref (TR) ce ct

μi coefficiente di forma della copertura, varabile per copertura a una falda da 0,80 a 0 in funzione dell’inclinazione α sull’orizzontale (delle inclinazioni αi delle falde, se diverse, per coperture a due falde) nell’ipotesi che non risulti impedito lo scivolamento della neve. La presenza di un parapetto e/o di elementi fermaneve impongono il valore μi = 0,80.

ce coefficiente di esposizione, variabile tra 0,8 e 1,2, che tiene conto che la neve può essere asportata dal vento in misura variabile in funzione delle caratteristiche topografiche del sito ove è localizzato l’opera.

In zona aperta senza ostacoli all’effetto del vento ce = 0,80; in zona in cui non si ha rimozione significativa ce = 1,0; in zona riparata dall’effetto del vento (edifici bassi contornati da edifici alti e/o da alberi alti) ce = 1,20. In assenza di indicazioni specifiche si assume ce = 1,0.



ct coefficiente termico, che tiene conto della possibilità che la neve venga sciolta per effetto di dispersioni termiche della struttura di copertura. In assenza di dati specifici o in presenza di sottotetto non riscaldato si assume ct = 1,0.

L’edificio ha copertura a due falde di uguale inclinazione con cornicione ed elementi fermaneve (μi = 0,80), è in condizioni normali di esposizione e realizzato in zona edificata in cui non si ha rimozione della neve (ce = 1,0) e ha un sottotetto non riscaldato (ct = 1,0). Pertanto:

qs = μi qref (500) ce ct = 0,80⋅2,30⋅1,0⋅1,0 = 1,84 kN/m2

2.2.6 Sommario delle azioni (peso proprio, carichi permanenti e variabili) In tabella 2.4 viene presentato un sommario dei carichi agenti sui diversi orizzontamenti. Tutti i valori di tabella sono valori caratteristici considerati in proiezione orizzontale.

1) PIANO TIPO Intensità Totale

1a) Solai e terrazzi

Gk0 peso proprio 3,08

Gk1 + Gk3 carichi permanenti + muratura 2,86 5,94 kN/m2

Qk1 carico variabile 2,00 kN/m2

1b) Muratura di chiusura esterna

Gk2 peso proprio 7,88 kN/m

1c) Logge e sottotetto


Gk4 carico permanente 0,93 4,01 kN/m2

Qk3 carico variabile (logge) 2,00 kN/m2

1d) Travi

Gk0 p.p. trave di spina 2,67 b kN/m

Gk0 p.p. travi di bordo / cordoli 4,21 b kN/m

2) SOTTOTETTO



Qk6 carico variabile 1,00 kN/m2

3) COPERTURA

Gk0 peso proprio2 3,14

Gk5 carico permanente2 1,16 4,30 kN/m2

Qk4 neve 1,84 kN/m2

4) SCALE



Qk7 carico folla 4,00 kN/m2

Tabella 2.3 - Carichi su orizzontamenti 2 Dato che la copertura ha falde inclinate sull’orizzontale di α = 10,75°, le intensità dei carichi permanenti in

proiezione orizzontale si ottengono dividendo per (cos α) i valori calcolati, nell’analisi dei carichi, considerando una sezione perpendicolare alla falda. In proiezione orizzontale il carico permanente totale, somma del peso proprio gk0 e del carico permanente portato gk5 , ha pertanto intensità pari a: (3,08 + 1,14)/0,982 = 4,30 kN/m2.



2.3 Combinazione delle azioni Le azioni che possono agire su una struttura sono numerose e in generale la presenza di una azione non implica necessariamente la presenza o l’esclusione di altre azioni: le azioni variabili, considerate tra loro indipendenti possono manifestarsi anche contemporaneamente, ma la probabilità della presenza contemporanea di azioni variabili aventi tutte intensità significative è ovviamente ridotta. Le azioni devono essere combinate in uno scenario di carico che massimizzi gli effetti sulla struttura. Una azione variabile non deve mai essere presa in conto se, in una data combinazione di carico, ha effetto “favorevole”, cioè riduce l’effetto di carico (sollecitazione, deformazione, tensione) in esame. Nel caso di strutture non precompresse le combinazioni da utilizzare sono:

− per gli SLU la combinazione

FONDAMENTALE d G,j k,j Q,1 k,1 Q,i 0,i k,ii i > 1

E = E G + Q + Q⎧ ⎫

γ γ γ ψ⎨ ⎬⎩ ⎭∑ ∑

Il simbolo E significa “effetto provocato dalla presenza dei carichi G e Q,”, il simbolo “+” significa “in combinazione con”. Tra i carichi variabili, il carico Qk,1 è quello che massimizza l’effetto nella sezione e per la verifica in esame, i coefficienti moltiplicativi delle azioni sono indicati in tabella 2.4. Nel caso di più azioni variabili tutte peggiorative dell’effetto di carico in esame, per tener conto della ridotta probabilità che esse siano tutte contemporaneamente presenti con il valore caratteristico si assume il valore caratteristico dell’azione che fornisce il contributo più significativo e, per le altre, valori ridotti (valori di combinazione) ottenuti moltiplicando il valore caratteristico di ciascuna per il suo coefficiente di combinazione ψ0.

Effetto γG γQ

Favorevole 1.0 0

Sfavorevole 1.4 1.5

Tabella 2.4 - Coefficienti delle azioni

− per gli SLE le combinazioni:

RARA d k,j k,1 0,i k,ii i >1

E = E G +Q + Q⎧ ⎫

ψ⎨ ⎬⎩ ⎭∑ ∑

Il carico variabile che fornisce il contributo più significativo è preso con il valore caratteristico, i carichi che lo accompagnano con i valori di combinazione;

QUASI PERMANENTE d k,j 2,i k,ii i

E = E G + Q⎧ ⎫

ψ⎨ ⎬⎩ ⎭∑ ∑

Tutti i carichi variabili sono ridotti moltiplicandoli per il rispettivo coefficiente. I valori dei coefficienti ψ0 e ψ2 sono riportati in tabella 2.5.

Carico ψ0 ψ2

Locali di abitazione, logge balconi, ballatoi, scale 0,70 0,30

Neve 0,60 0,10

Tabella 2.5 – Coefficienti ψ

DM 2.6.5.


2-10 © 2007 F. Biasioli

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CAPITOLO 3 Predimensionamento e verifiche agli stati limite di esercizio

Nel capitolo si esaminano le prescrizioni delle NT relative alla geometria degli elementi strutturali e viene svolto il predimensionamento della geometria di solai e travi e la verifica agli stati limite di esercizio (limitazione delle tensioni, fessurazione e deformazione). La verifica allo stato limite di limitazione delle tensioni è effettuata in modalità semplificata, sulla base dei soli dati relativi all’intensità e ai coefficienti di combinazione e di sicurezza dei carichi agenti. La verifica allo stato limite di fessurazione definisce i diametri massimi delle barre di armatura e della loro posizione nelle travi La verifica allo stato limite di deformazione di solai e travi inflessi richiede il predimensionamento allo stato limite ultimo delle loro sezioni (geometria e armatura): essa è pertanto preceduta dall’individuazione delle aree di carico di competenza di ciascun elemento strutturale.

3.1 Elementi strutturali EC2 5.3.1 Gli elementi strutturali sono classificati in base alla loro natura e funzione come travi, pilastri, piastre, muri

ecc. e in base alle loro caratteristiche geometriche come: • monodimensionali, se una dimensione è prevalente rispetto alle altre: gli elementi, individuati dal loro

asse geometrico, possono essere analizzati con la “teoria delle travi”; • bidimensionali, se due dimensioni sono prevalenti rispetto alla terza, quest'ultima pari, in generale, allo

spessore: a tali elementi si dà il nome di piastre o lastre; • tridimensionali, se le tre dimensioni sono dello stesso ordine di grandezza (elementi tozzi). La struttura d'elevazione dell'edificio è formato da un insieme di elementi monodimensionali orizzontali (solai e travi) e verticali (pilastri e nuclei).

OR 4.11.1.5 I solai in calcestruzzo gettato in opera con alleggerimenti in laterizio sono considerati diaframmi infinitamente rigidi in grado di trasmettere le azioni orizzontali (vento, imperfezioni geometriche, eventuale sisma) agli elementi verticali di controvento (nuclei ascensore, setti).1 I nuclei ascensore sono considerati come mensole incastrate in fondazione e vincolate ai piani dai solai di piano. In particolare il solaio di piano terreno, collegato ai muri laterali in modo da formare una scatola rigida, impedisce lo spostamento nel piano orizzontale di tutti gli elementi verticali.

1 Secondo la 3274 i solai possono essere considerati diaframmi rigidi se le aperture presenti non ne riducono

significativamente la rigidezza; se realizzati in laterocemento, devono avere una soletta di calcestruzzo di spessore minimo 40 mm. Seguendo le indicazioni valide in zona sismica la rigidezza effettiva si può valutare considerando il solaio come una trave alta appoggiata agli elementi verticali, soggetta a un carico distribuito ottenuto dividendo il peso del solaio incrementato del 30% per la lunghezza complessiva di trave.



3.2 Stato limite di esercizio: limitazione delle tensioni I materiali (calcestruzzo e acciaio) degli elementi strutturali non devono essere soggetti, in esercizio, a tensioni di lavoro troppo elevate. Ne deriverebbero infatti effetti negativi quali: - per tensioni di compressione eccessive del calcestruzzo: fessure longitudinali, microfessurazioni, elevata

viscosità; - per tensioni eccessive di trazione dell’acciaio: deformazioni anelastiche con fessurazione e deformazioni

eccessive delle strutture inflesse. Per le classi di esposizione ambientale e le combinazioni di carico previste devono essere rispettati i valori limite dei rapporti σc/ fck e di σs/ fyk di tabella 3.1.

Calcestruzzo σc/ fck Acciaio σs/ fyk combinazione di carico Condizioni

ambientali Classe di

esposizione quasi permanente rara

Ordinarie X0 ≤ 0,45

Aggressive XC ≤ 0,42 ≤ 0,80

Tab. 3.1 - Rapporti limite di tensione per ambiente, materiale e combinazione di carico QT2 Nel caso degli elementi inflessi una stima delle tensioni del calcestruzzo e dell’acciaio in esercizio può

essere effettuata ancor prima del dimensionamento delle sezioni utilizzando le relazioni approssimate:

K

c ES K

Kck ULG Q

K

Q1+σ M G0,68 0,68 Qf M +

G

ψ≅ ≅

γ γ [3.1]

K

s ES K

Kyk ULG Q

K

Q1+σ M G0,93 0,93 Qf M +

G

ψ≅ ≅

γ γ [3.2]

Tale possibilità è importante perché dal livello delle tensioni dipendono sia alcune scelte di dettaglio (diametro e interferro delle armature) che la verifica allo stato limite di deformazione.

Per i coefficienti γG = 1,40, γQ = 1,50 e ψ0 (combinazione rara) e ψ2 (combinazione quasi permanente) fissati dalle NT per ciascun carico (cap. 2) si ottengono i valori di tabella 3.2.

COMBINAZIONE QUASI PERMANENTE

COMBINAZIONE RARA

Elemento Gk kN/m2

Qk kN/m2

Qk Gk

ψ2 ψ2 Qk Gk

σc fck

σs fyk

ψ0 ψ0 Qk Gk

σs fyk

Solaio p.tipo 5,94 2,00 0,34 0,30 0.10 0.39 0.54 0,70 0.24 0.60

Loggia 4,01 2,00 0,50 0,30 0.15 0.36 0.50 0,70 0.35 0.58

Sottotetto 4,01 1,00 0,25 0,30 0.08 0.41 0.56 0,70 0.18 0.62

Copertura 4,22 1,64 0,39 0,10 0.04 0.36 0.49 0,60 0.23 0.58

Scale 5,10 4,002 0,78 0,30 0.23 0.33 0.45 0,70 0.55 0.56

Tab. 3.2 – Rapporti di tensione Dal confronto delle tabella 3.1 e 3.2 la verifica allo stato limite ultimo delle tensioni sia del calcestruzzo che dell’acciaio è per i carichi del caso specifico sempre soddisfatta. In tabella sono evidenziati i casi che forniscono i rapporti più elevati.



imax

imax

φmax

3.3 Stati limite di esercizio: fessurazione EC2 7.3.1 La fessurazione delle strutture inflesse di calcestruzzo armato non precompresse è un fenomeno

inevitabile e la presenza delle fessure è alla base dei modelli di calcolo delle strutture in c.a. (sezione parzializzata). Un certo livello di fessurazione è pertanto accettato, ma l’ampiezza delle fessure deve essere limitata sia per ragioni estetiche che per ridurre il pericolo di corrosione delle armature. L’EC2 considera sono le fessure dovute ad applicazione delle azioni dirette e indirette Per ridurre il pericolo di corrosione occorre tenere conto dell’aggressività dell’ambiente in cui l’opera è collocata: pertanto l’EC2 fissa dei valori limite di apertura delle fessure in funzione della classe di esposizione ambientale (Tab. 3.3).

Classe di esposizione wk (mm)

X0, XC1 0,4

XC2-3-4, XD, XS 0,3

Tab. 3.3 – Fessure - apertura limite I valori di tabella vanno intesi come “valori caratteristici” e devono essere verificati per la combinazione di carico quasi permanente. Per le classi di esposizione X0 e XC1 l’ampiezza delle fessure non influenza la durabilità e il limite indicato serve solo a garantire un aspetto accettabile dell’opera.

EC2 9.2.1.1 Nelle travi inflesse, per evitare rotture repentine per strappo delle armature alla formazione della prima fessura nel calcestruzzo, deve essere presente un’armatura longitudinale minima in quantità tale da rispettare il rapporto geometrico (bt è la larghezza media della zona tesa di calcestruzzo):

sl

t

A = 0,15%b d

ρ ≥ [3.3]

EC2 7.3.3 Se nella trave è presente almeno l’armatura minima è possibile evitare fessure incontrollate e limitarne l’ampiezza a valori minori di wk = 0,3 mm, dunque soddisfare sempre le condizioni di tabella 3.3 per tutte le classi di esposizione, se: - per fessurazione dovuta a deformazioni impresse, si limita il diametro φmax delle barre longitudinali; - per fessurazione dovuta a carichi, si limita il diametro delle barre o, in alternativa, la distanza massima

imax tra due barre adiacenti (fig. 3.1 ). I valori φmax e imax variano in funzione del tasso di lavoro σs delle armature e sono riportati in tabella 3.4.

σs (N/mm2)

φmax (mm)

imax (mm)

240 16 200 260 14 175

Tab. 3.4 – Valori limite per verifica a fessurazione Fig. 3.1 Diametro e interferro massimi Nella combinazione di carico quasi permanente il tasso di lavoro massimo delle armature si verifica nei solai del piano tipo e del sottotetto e vale σs @ 0,56 fyk (tab. 3.2). Per acciaio B450C la tensione risulta σs @ 0,56 x 450 = 250 N/mm2, a cui corrisponde, in tabella 3.4, un diametro massimo delle barre compreso tra 14 e 16 mm e una distanza massima pari a circa 185 mm. Dato che la stima approssimata delle tensioni con le formule [2.2] e [2.3] è a favore di sicurezza e il calcolo esatto fornirebbe valori minori di quelli stimati, nel progetto si adottano ovunque barre di diametro φ ≤ 16 mm. Con tale scelta si può considerare verificato lo stato limite di fessurazione.



3.4 Distanze d’

Sulla base dei valori di copriferro dei diversi elementi strutturali riportati nel cap. 2 si calcolano le distanze d’ del baricentro delle armature longitudinali dalla superficie esterna di calcestruzzo più vicina ad esse.

Per travi e pilastri (fig. 3.2): lnom std' = c + +

2φ

φ

d'cnom

φstaffe

φ /2long

h d

d'

d'

Fig, 3.2 – Distanze d’ – travi e pilastri

Per solai e solette lnomd' = c +

2φ

I solai in laterocemento hanno la sezione di figura 3.3.2 L’elemento di base del travetto tralicciato prefabbricato, di altezza totale 37 mm, incorpora un fondello di laterizio di spessore 12 mm. Le armature predisposte nel getto in stabilimento distano 12 mm dal bordo superiore del fondello di laterizio dunque, nel caso di barre di diametro 12 mm, hanno baricentro a distanza (12 + 12 + 12/2) = 30 mm dal bordo inferiore del travetto (fig. 3.3).

Se è presente dell’armatura integrativa, questa viene appoggiata sul getto di calcestruzzo del travetto (fig. 3.3). Se anche l’armatura integrativa ha diametro 12 mm il suo baricentro dista dal bordo inferiore del travetto (37 + 12/2) = 43 mm. Per il sistema delle tre barre si può assumere per d’ la posizione del baricentro complessivo posto a distanza::

d’ = [2 ⋅ 30 + 1 ⋅ 43]/3 = 34 mm

Fig, 3.3 – Distanze d e d’ - solai

Per le travi e i pilastri si assumono staffe diametro 8 mm e barre longitudinali diametro 16 mm. Sulla base dei valori dei copriferri nominali cnom di tabella (1.3) si ottengono i valori di tabella 3.5. In base a tali valori, in tabella sono anche riportate le “altezze utili” d, distanza del baricentro dell’armatura tesa dal bordo del calcestruzzo compresso. Essendo i solai e le travi in spessore di solaio è:

d = h – d’ = 230 – d’

2 La soletta di completamento è opportuno abbia spessore minimo 50 mm in quanto date le condizioni di scarsa accuratezza

del getto delle superfici dei solai lo spessore reale può facilmente risultare minore del valore teorico. Il DM infatti penalizza i getti di strutture armate di spessore minore di 50 mm aumentando il fattore parziale di sicurezza del 25% (DM05, 5.1.2.1.4.1. e 5.1.2.1.4.2.). Tale limitazione rende di fatto antieconomica la realizzazione di getti di spessore minore di 50 mm.



Elemento strutturale

φst

(mm)φl

(mm)cnom (mm)

d’ (mm)

d = h – d’ (mm)

Pilastri interni 8 16 20 36 -

Travi interne 8 16 20 36 194

Solai (armatura inf.) 12 20 30/34 200/196

Solette logge (arm. sup.) 14 20 27 202

Solette logge (arm. inf.) 14 30 37 193

Travi logge (arm. sup.) 8 14 20 35 195

Travi logge (arm. inf.) 8 14 30 45 185

Pilastri esterni logge 8 16 30 45 -

Plinti e fondazioni 16 45 53 -

Tab. 3.5 – Valori d, d’

3.5 Aree di carico Per dimensionare travi e pilastri occorre definirne le zone di carico “di competenza” di ciascun elemento: tutti i carichi (distribuiti, lineari, concentrati) compresi all’interno di ciascuna area vanno attribuiti all’elemento strutturale presente all’interno della stessa. Le zone di competenza possono essere individuate sulla base delle intersezioni di linee che identificano le zone di taglio nullo nei modelli di calcolo (ad es. trave continua) utilizzati per solai e travi. Si considera una singola condizione di carico che vede tutte le campate degli elementi caricate con un carico distribuito costante di valore unitario: note le reazioni vincolari è possibile calcolare l’estensione di zona caricata di competenza di ciascun elemento.3 Data la simmetria dell’edificio è sufficiente operare su metà pianta. In figura 3.4 sono riportati, in verticale a sinistra e a destra i modelli di calcolo dei solai, in orizzontale superiormente e inferiormente i modelli di calcolo delle travi. Le luci di calcolo sono calcolate in base alle distanze asse-asse degli elementi portanti: per i solai, si considerano le linee d’asse delle travi, per le travi i baricentri dei pilastri. Per le travi che terminano sul vano ascensore, si considera un vincolo di incastro posto in una sezione a distanza d = 20 cm dal filo esterno del vano. I modelli di calcolo utilizzati sono:

trave di bordo inferiore allineamento da A1 a A7: trave continua a cinque campate su appoggi con incastro terminale4; travi centrali riferimenti C1 - C2 – B4: trave continua a due campate con appoggio iniziale e incastro finale nel vano ascensore riferimenti B4 – C6 - C7: trave continua a due campate con incastri di estremità e appoggio centrale. travi di bordo superiori (due travi separate dal vano scale) riferimenti D1 – D2 – D3: trave continua a due campate su appoggi semplici riferimenti D5 – D6 – D7 : trave continua a due campate con appoggio iniziale e incastro finale.

I punto di taglio nullo sono quotati in figura. Le aree di carico di maggior estensione sono quelle che competono alle travi centrali, ai pilastri C2 e C7 e al vano ascensore B4.

3 Dalla relazione T(z) = R – q z = 0 per q = 1 è z = R. 4 Il vincolo di incastro deriva dalla simmetria dell’edificio in corrispondenza dell’allineamento n.7



Fig, 3.4 – Aree di competenza



3.6 Predimensionamento degli elementi inflessi

3.6.1 Solai – armatura a flessione EC2 5.3.1 Per il calcolo i solai a travetti sono considerati piastre nervate con portanza monodirezionale poiché, per

qualsiasi nervatura, il rapporto tra la luce minima lmin e lo spessore h risulta lmin/h ≥ 5. Le luci di calcolo dei solai sono assunte pari alla distanza tra gli assi delle travi. Per la verifica allo stato limite di esercizio di deformazione occorre stimare le quantità di armatura tesa per flessione nelle sezioni di campata. Con riferimento alla carpenteria di piano si considerano: - le nervature S03 - S01 con schema statico di trave continua a due campate di luci teoriche pari a

l = (0,55/2 + 5,925 + 0,65/2) = 6,525 m non si considerano momenti di semi incastro alle estremità delle nervature;

- la nervatura S04 in corrispondenza del vano ascensore, con schema statico di trave semplicemente appoggiata di luce teorica l = (0,55/2 + 4,15 +0,20/2) = 4,525 m

lI solaio del piano tipo sono soggetti ai carichi permanenti Gk = 5,94 kN/m2 e variabili Qk = 2,0 kN/m2 per metro di larghezza (due nervature) descritti nella tabella 2.3. Il carico totale di progetto allo SLU vale:

Gd + Qd = (1,4 ⋅ 5,94 + 1,5 ⋅ 2) = (8,31 + 3,0) = 11,31 kN/m2. Nervature S03 –S01 Considerando le disposizioni del carico variabile Qk che forniscono le sollecitazioni massime in campata e sull’appoggio, le reazioni vincolari e i diagrammi di inviluppo sono riportati in figura 3.5.

Scala momenti 1:25 - Sollecitazioni SLU

M min 0 -60.22 0M max 39.45 39.45R max 29.88 92.30 29.88R min 12.34 48.45 12.34

Scala tagli 1:25 - Sollecitazioni SLU

T maxs 0 -46.15 -29.88T maxd 29.88 46.15 0Luci 6.525 6.525gk 5.94 5.94qk 2 2

Fig, 3.5 S03-S03 - diagrammi di inviluppo delle sollecitazioni

L’ascissa del momento massimo è a distanza z = 29,88/11,31 = 2,64 m dall’appoggio iniziale. In presenza di armatura integrativa l’altezza utile vale (tab. 3.5) d = (h-d’) = 196 mm.



Per il calcolo dell’armatura tesa si assume una coppia resistente calcestruzzo – acciaio avente braccio di leva pari alla distanza tra il baricentro delle soletta superiore e il baricentro dell’armatura inferiore, dunque con valore z = 196 – 50/2 = 171 mm. Il tasso di lavoro dell’armatura allo SLU è pari a fyd = 450/1,15 = 391 N/mm2 Per le sollecitazioni massime e per metro di larghezza di solaio si ottiene:

As = MSd / ( z fyd) = 39,45 ⋅ 106 / (171 ⋅391) = 590 mm2 /m

Si dispongono (2 + 1) φ 12 per nervatura con un’area complessiva pari a 2 ⋅ (3 ⋅ 113) = 678 > 590 mm2/m e

rapporto geometrico sA 6 113= 100 = 0,34bd 1000 196

⋅ρ =

⋅%

Nervatura S04 La sollecitazione di momento massimo vale M = Gd l2 /8 = 11,31 ⋅ 4,5252 /8 = 28,95 kNm. In assenza di armatura integrativa l’altezza utile d risulta d = (h-d’) = (230 – 30) = 200 mm (fig. 3.3) di conseguenza:

As = MSd / ( z fyd) = 28,95 ⋅ 106 / (200 ⋅391) = 370 mm2 /m

Si dispongono 2 φ 12 per nervatura con un’area complessiva pari a 2 ⋅ (2 ⋅ 113) = 452 > 370 mm2.

3.6.2 Travi – larghezza e armatura a flessione Secondo l’EC2 si definisce trave un elemento monodimensionale a sviluppo orizzontale e prevalente comportamento flessionale, soggetto a carichi normali all’asse longitudinale e per il quale sia:

l ≥ 3h essendo l e h rispettivamente la luce della trave e l’altezza della sezione trasversale. Per non essere tenuta in conto nel calcolo, una eventuale forza assiale di progetto NSd (presente ad es. nelle travi inclinate della copertura), deve avere intensità tale per cui

Sd

c cd

N 0,10A f

ν = ≤

ν forza assiale ridotta Ac area della sezione trasversale della trave fcd resistenza a compressione cilindrica di progetto del calcestruzzo

L’altezza utile d, identica per le tutte travi in spessore di solaio, vale d = h – d’ = 194 mm (tab. 3.5). Occorre definire, oltre che l’armatura tesa As, la larghezza b delle travi. Un valore della larghezza minima bmin può essere ottenuta fissando un valore limite del momento ridotto μ:

Sd2

cd

Mbd f

μ =

QT4 Il valore μlim è legato al rapporto (x/d)li m allo SLU: se (x/d)lim = 0,450 è μlim = 0,296 (vedi QT4). Nella carpenteria di piano sono previste travi con larghezza costante sia di bordo che centrali. In base all’analisi delle aree di carico del punto 3.5 le travi più caricate risultano:

- per la travata centrale, la trave compresa tra i riferimenti C1-C2-B4 (vano ascensore) - per le travate di bordo, la trave compresa tra i riferimenti D1-D2-D3.

Travata centrale T09 – T10 La trave tra i riferimenti C1 –C2 – B4 è formata dalle due campate T009-T010. Lo schema statico è di trave appoggiata ai pilastri e incastrata nel muro del vano ascensore. Il vincolo di incastro si assume attivo a partire da una sezione a distanza 20 cm @ d (d = altezza utile della trave) dal filo esterno del vano. Le luci di calcolo tra i vincoli teorici sono:



T009 l = 3,60 m T010 l = (4,35 – 0,10 + 0,20) = 4,25 m. L’area di carico (fig. 3.4) ha larghezza .8,13 m. In base all’intensità del carico totale di progetto del solaio (tab. 3.2) il carico di progetto per metro lineare di trave, trascurando la differenza tra il peso proprio della trave e il peso proprio del solaio, risulta pari a:

11,31 ⋅ 8,13 = 92 kN/m Considerando le disposizioni del carico variabile Q le sollecitazioni massime in campata e sull’appoggio, le reazioni vincolari e i diagrammi di inviluppo sono riportate in figura 3.6.

Fig. 3.6 T009 –T010 - Diagrammi di inviluppo delle sollecitazioni Il momento massimo in campata vale M = 98 kNm. Adottando μlim = 0,296 si ottiene la larghezza minima:

6Sd

min 2 2lim cd

M 98 10b 556 mmd f 0,296 194 15,8

⋅= = =

μ ⋅ ⋅

Si assume una trave di larghezza b = 650 mm. Il momento ridotto effettivo diventa

μ = 0,296 x 556/650 = 0,253

a cui corrisponde (QT4) il rapporto meccanico di armatura ωo = 0,300 e il rapporto geometrico

cd

yd

f 15,8=0,300 100 = 1,21f 391

%ρ = ω

Per la trave T010 la quantità di armatura dunque il rapporto geometrico varia in proporzione alla variazione della sollecitazione. Risulta pertanto

ρ = (78/98) x 1,21 = 0,96%


3-10 © 2007 F. Biasioli

Travata di bordo T001-T002 Si considera la trave compresa tra i riferimenti D1 – D2 – D3, formata da due campate T001-T002 aventi luci teoriche (assi pilastri) rispettivamente pari a 3,60 e 4,35 metri. L’area di carico (fig. 3.4) ha larghezza .2,74 m. In base all’intensità del carico totale di progetto del solaio (tab. 3.2) il carico di progetto per metro lineare di trave, trascurando la differenza tra il peso proprio della trave e il peso proprio del solaio, risulta pari a:

11,31 ⋅ 2,74 = 31 kN/m

a cui va sommato il carico sulla trave dovuto alla muratura esterna, con intensità (1,4⋅7,88) = 11 kN/m. Si ottiene un carico totale pari a (31 + 11) = 42 kN/m. Considerando le disposizioni del carico variabile Q le sollecitazioni massime in campata e sull’appoggio, le reazioni vincolari e i diagrammi di inviluppo sono riportate in figura 3.7.

Fig, 3.7 T001 –T002 - Diagrammi di inviluppo delle sollecitazioni

Con le ipotesi precedenti per MSd = 67 kNm

6Sd

min 2 2lim cd

M 67 10b 381 mmd f 0,296 194 15,8

⋅= = =

μ ⋅ ⋅

Si assume una trave di larghezza b = 550 mm, a cui corrispondono:

μ = 0,296 x 381/550 = 0,205 ωo = 0,233 ρ = ω fcd/fyd = (0,233 ⋅ 15,8/391) ⋅ 100 = 0,94%


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3.7 Verifiche allo stato limite di deformazione

3.7.1 Solai QT3 4.2 Per la verifica allo stato limite di esercizio di deformazione di elementi inflessi con luce fino a 7 metri il rapporto l/d

tra la luce e l’altezza utile (la “snellezza”) della trave deve rispettare la relazione5:

s yk s yk

l 310 l 310 1 ls k = s k d d f f d0 0/

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ [3.4]

con: s fattore che dipende dalla forma della sezione: s = 1,0 per sezioni rettangolari o a T con rapporto tra le

larghezze dell’ala compressa beff e dell’anima bw (beff / bw ) ≤ 3; s = 0,80 per sezioni a T con (beff / bw ) > 3 k coefficiente che tiene in conto dello schema statico del sistema strutturale (tabella 3.6) σs tensione dell’armatura tesa in esercizio (combinazione di carico quasi permanente). (l/d)0 rapporto luce/altezza utile di base

Sistema strutturale k Travi semplicemente appoggiate Piastre semplicemente appoggiate mono o bidirezionali (in base alla luce minore)

1,0

Campata terminale di travi continue o di piastre continue monodirezionali di piastre bidirezionali continue su un lato lungo (in base alla luce minore) 1,3

Campata intermedia di travi continue Campata intermedia di piastre mono o bidirezionali (in base alla luce minore)

1,5

Piastre non nervate sorrette da pilastri senza travi (in base alla luce maggiore) 1,2

Mensole 0,4

Tab. 3.6 - Valori k Dalla tabella 3.2 il rapporto massimo σs/ fyk dell’armatura nella combinazione quasi permanente, per ψ2 = 0,30 e Qk/Gk = 2,0/5,94 = 0,34, vale :

σs/ fyk = 0,54 QT2 tab. 3.7 Per individuare il rapporto (l/d)0 si può utilizzare o un metodo tabellare (QT2 tab. 3.7) o una delle formule

proposte dall’EC2. La tabella o la formula da utilizzare dipende dal parametro

ρ0 = 10-3 √fck.

Per un calcestruzzo C25/30 con fck = 0,83 Rck = 0,83⋅30 = 25 N/mm2 vale ρ0 = 10-3 √25 = 0,50%.

Il valore (l/d)0 può essere calcolato con l’espressione dell’EC2 valida per ρ ≤ ρ0 Per il rapporto geometrico ρ = 0,34% si ottiene:

3

0 0ck ck

0

ρ ρl = 11+ 1,5 f + 3,2 f -1d ρ ρ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[3.5]

S03-S01 3

0

l 0,50 0,50= 11+ 1,5 25 + 3,2 25 -1 = 11 + 11 + 5 = 27d 0,34 0,34

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Per i solai è beff / bw = 50/12 > 3 dunque s = 0,80.

5 Per luci leff maggiori di 7 metri il risultato della [3.1] va moltiplicato per il rapporto 7/ leff


3-12 © 2007 F. Biasioli

Per un acciaio B450C con s = 0,80 e k = 1,3 considerando la nervatura di luce maggiore l = 6,525 m la [3.3] diventa:

yk s yk

l 310 1 l 310 1 6525 = s k = 0,8 1,3 27 = 36 > = 33d f /f d 450 0,54 196

⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟σ ⎝ ⎠0

La verifica allo stato limite di esercizio di deformazione è soddisfatta e l’altezza del solaio è compatibile con i valori limite di inflessione. Per confronto è sovente utilizzato, anziché il rapporto l/d, il rapporto l/h (h = altezza totale dell’elemento inflesso). Risulta:6

l l d 196 = = 36 = 31h d h 230

⋅

I campi di solaio compresi tra le travi dovrebbero avere, ove possibile, dimensioni multiple delle dimensioni di ogni blocco (25 ⋅ 50 cm). L’interasse tra le nervature del solaio deve essere minore di 15 volte lo spessore della soletta: in questo caso l’interasse è di 50 cm < (15 ⋅ 5 ) = 75 cm.

Per la larghezza minima delle nervature bw deve risultare bw ≥ 1/8 dell’interasse tra i travetti, e comunque non inferiore a 80 mm: nel caso in esame con i = 500 mm è bw = 120 mm > 500/8. Per irrigidire il solaio e ripartire il peso delle murature delle logge vengono realizzate due nervature trasversali, di larghezza bw = 22,5 e 20 cm.

3.7.2 Travi QT3 4.2 Per la verifica allo stato limite di esercizio di deformazione vale la relazione [3.4] e il metodo di

progetto/verifica è simile a quello adottato per i solai. Nel caso delle travi peraltro il rapporto geometrico delle armature tese supera sempre il valore di riferimento ρ0 = 0,50% (le travi inflesse correttamente dimensionate sono armate con rapporti geometrici dell’armatura tesa ρ nell’intorno dell’1%).

Se ρ0 > 0,50% si può tener conto, nel calcolo della snellezza (l/d)0, anche dell’eventuale contributo positivo di una armatura A’s posta nella zona compressa della sezione, identificata dal rapporto A’s/As. Per un calcestruzzo C25/30 valgono i valori di snellezza di base (l/d)0 di tabella 3.7.

C25/30 ρ0 = 0,50%5 As'/ As ρ

(%) 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.500.50 18 19 21 22 24 26 0.75 16 17 17 18 20 21 1.00 15 15 16 17 18 19 1.25 14 15 15 16 16 17 1.50 13 14 14 15 16 16

Tab. 3.7 – Rapporto (l/d)0 per travi - calcestruzzo C25/30 Per ρ > ρ0 la relazione da cui sono ricavati i valori di tabella vale:

0ck ck

0 0

l ρ 1 ρ'= 11+ 1,5 f + fd ρ - ρ' 12 ρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

[3.6]

6 Il valore (l/h) = 31 paragonato al valore 25 indicato per i solai nel DM 9/1/96 può sembrare elevato, ma occorre

considerare che le formulazioni del DM facevano implicito riferimento a classi di resistenza del calcestruzzo minori di quella adottata nel caso in esame. Con una classe C20/25 (Rck = 25N/mm2) risulterebbe (l/d)0 = 23, l/d = 31 e l/h = 26, cioè un valore allineato a quello del DM.


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I fattori k che tengono conto delle condizioni di vincolo sono sempre quelli di tabella 3.6. Anche in questo caso per travi con sezione a T i valori (l/d)0 di tabella devono essere moltiplicati per 0,8, e nel caso di luci leff > 7 m, per il rapporto 7/leff.

Travata centrale T09 – T10 La trave T09 ha rapporto ρ = 1,21%. Per tale valore la tabella 3.7 fornisce,per A’s = 0, rapporti (l/d)0 vicini a 14. I valori esatti possono essere calcolati con la formula [3.6]. Per la trave T010 è ρ = 0,96% Trascurando il contributo favorevole delle barre reggistaffe compresse e tenendo conto dei due diversi schemi di vincolo per s = 1 (sezione rettangolare) k = 1,3 (trave T009) e k = 1,5 (trave T010) si ottiene

T009 0

l 0,50 l 310 1 3600= 11+ 1,5 25 = 11 + 3 = 14 = 1,3 14 = 23 = 19d 1,21 d 450 0,54 194

⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ >⎜ ⎟⎝ ⎠

T010 0

l 0,50 l 310 1 4250= 11+ 1,5 25 = 11 + 4 = 15 = 1,5 15 = 29 = 22d 0,96 d 450 0,54 194

⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ >⎜ ⎟⎝ ⎠

La verifica allo stato limite di deformazione delle travi centrali è soddisfatta.

Travata di bordo T001-T002 Per il valore ρ = 0,94% la tabella 3.8 fornisce un rapporto (l/d)0 pari a 15 circa. Il valore esatto può essere calcolato con la [3.6] tenendo conto dello schema di vincolo per cui è k = 1,3.

0

l 0,50 l 310 1 4250T002 = 11+ 1,5 25 = 11 + 4 = 15 =1,3 15 = 25 > = 22d 0,94 d 450 0,54 194

⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

La verifica allo stato limite di deformazione della trave di bordo è soddisfatta.

3.8 Geometria del solaio La sezione corrente del solaio del piano tipo con le dimensioni delle travi è riportata in figura 3.8.

Fig. 3.8 – Solaio tipo – sezione

quote in [cm]


3-14 © 2007 F. Biasioli

[PAGINA BIANCA]



CAPITOLO 4 Predimensionamento degli elementi verticali

Nel capitolo si calcolano, in base alle aree di competenza definite nel capitolo 3, i carichi verticali totali sugli elementi verticali Il predimensionamento viene effettuato sulla base di criteri che tendono ad evitare problemi di instabilità o dei singoli pilastri o del sistema di controvento.

4.1 Carichi totali verticali

4.1.1 SLE – combinazione quasi permanente Il carico totale agente varia in funzione della verifica da effettuare. Per verifiche allo SLE di deformazione e allo SLU per il calcolo delle masse inerziali per le verifiche sismiche si considera la combinazione di carico “quasi permanente”, ottenuta applicando a ciascun carico variabile Qk il rispettivo coefficiente ψ2. I carichi di progetto da prendere in considerazione sono pertanto:

Solaio piano tipo (carico distribuito) 5.94 + 0,3⋅2,0 = 6,54 kN/m2 Scala e pianerottoli (carico distribuito) 5,10 + 0,3⋅4,0 = 6,30 kN/m2 Solaio di sottotetto (carico distribuito) 4,01 + 0,3⋅1,0 = 4,31 kN/m2 Solaio di copertura (carico distribuito 4,30 + 0,1 1,84 = 4,48 kN/m2 Murature di tamponamento (carico lineare) 7,88 kN/m Incremento di carico per trave di spina b = 0,65 m 2,67⋅0,65 = 1,74 kN/m Incremento di carico per trave di bordo b = 0,55 m 4,21⋅0,55 = 2,32 kN/m

4.1.2 SLU – combinazione fondamentale I carichi di progetto allo stato limite ultimo da prendere in considerazione sono

Solaio piano tipo (carico distribuito) 1,40⋅5,94 + 1,50⋅2,0 = 11,32 kN/m2 Scala e pianerottoli (carico distribuito) 1,40⋅5,10 + 1,50⋅4,0 =13,14 kN/m2 Solaio di sottotetto (carico distribuito) 1,40⋅4,01 + 1,50⋅1,0 = 7,11 kN/m2 Solaio di copertura (carico distribuito 1,40⋅4,30 + 1,50 1,84 = 8,77 kN/m2 Murature di tamponamento (carico lineare) 1,40⋅7,88 = 11,03 kN/m Incremento di carico per trave di spina b = 0,65 m 1,40⋅2,67⋅0,65 = 2,43 kN/m Incremento di carico per trave di bordo b = 0,55 m 1,40⋅4,21⋅0,55 = 3,24 kN/m

4.1.3 Carichi sugli elementi verticali - SLE e SLU Le tabelle 4-1 e 4.2 riportano nell’ordine, per ciascun elemento verticale: - la sigla di ciascun elemento, definita in base al sistema di riferimento; - la tipologia (R = rettangolare o quadrato, C = circolare, ASC = vano ascensore); - le dimensioni Δx e Δy nelle direzioni globali x,y di ciascuna area di competenza e l’area A; - per tutti i piani (terra, tipo, sottotetto e copertura): i carichi unitari e totali dovuti al solaio, alle travi, alle

murature e alle scale e le estensioni dei carichi lineare - i carichi totali per elemento e complessivo su ciascun pilastro (escluso il peso proprio) di ciascun piano.



Tab. 4.1 – Carichi su pilastri e totali - SLE



Tab. 4.2 – Carichi su pilastri e totali - SLU



4.2 Predimensionamento degli elementi verticali - pilastri Un pilastro è un elemento monodimensionale verticale caricato da una forza assiale di progetto NSd tale che:

Sd

c cd

N = > 0,10A f

ν

Per non essere considerato una parete i rapporti geometrici tra le dimensioni devono risultare (fig, 3.9) 1: h/b ≤ 4 l/h ≥ 3 Predimensionamento Fig. 4.1 – Pilastro La geometria della sezione trasversale di un pilastro può essere definita in modo da non dover prendere in conto gli effetti del “secondo ordine” , che dipendono dalla snellezza:

0

min

l= i

λ [4.1]

con l0 lunghezza di libera inflessione (distanza tra i punti di flesso della linea elastica) imin raggio d’inerzia minimo della sezione di calcestruzzo non fessurata: per sezioni

rettangolari di lato minimo h è mini = b/ 12 ; per sezioni circolari di diametro D imin = D/4

EC2 5.8.3.1 Nel caso di un pilastro isolato si possano trascurare gli effetti del secondo ordine se risulta λ ≤ λlim . La snellezza limite vale

lim20 A B C

λ =ν

[4.2]

Nella formula ν è la forza assiale ridotta con espressione sopra indicata. I coefficienti ABC tengono conto:

A = 1/(1 +0,2ϕef) degli effetti viscosi, espressi mediante il coefficiente efficace di viscosità ϕef

B = 1 + 2ω della quantità di armatura totale As espressa come rapporto meccanico s yd

c cd

A f=

A fω ;

C = 1,7 - rm dell’eccentricità delle forze assiali alle estremità del pilastro, espressa come rapporto

tra i momenti del primo ordine alle estremità 01m

02

Mr = M

con 02 01M M≥ .

Secondo l’EC2 in prima approssimazione si possono assumere A = 0,7 (ϕef = 2,14) e B = 1,1 (cioè ω = 0,105). Il coefficiente C dipende dalla forma del diagramma del momento flettente che sollecita il pilastro: momenti flettenti di ugual segno generano una deformata del pilastro avente lunghezza libera di inflessione (distanza tra le sezioni di momento nullo) maggiore di quella dovuta a momenti flettenti di segno opposto: in quest’ultimo caso infatti la sezione di momento nullo suddivide il pilastro in due parti che presentano curvature opposte e a cui corrispondono lunghezze di libera inflessione ridotte. (fig. 4.2)

Fig, 4.2 – Lunghezze di libera inflessione e diagrammi di momento

1 In zona sismica deve essere bmin non minore di 0,1 volte la distanza massima tra il punto di momento nullo gli estremi del pilastro.



Se, come nel caso in esame, l’edificio è controventato i momenti alle estremità dei pilastri sono dovuti ai carichi verticali ed hanno segno opposto: si può assumere M02 = - M01 dunque rm = - 1 e C = 2,7. Con i valori suggeriti dall’EC2 nel caso di pilastri per edifici la [4.2] risulta pertanto

lim20 A B C 20 0,7 1,1 2,7 41,6 = = = ⋅ ⋅ ⋅

λν ν ν

[4.3]

Per una forza assiale centrata nel baricentro della sezione la relazione tra la forza assiale ridotta ν e il rapporto geometrico di armatura ω vale:

ν = 1 + ω

Imponendo ω = 0,105 e sostituendo nella [4.3] si ottengono due CRITERI DI PREDIMENSIONAMENTO

ν = 1,105 λlim = 40 [4.4] in base ai quali è possibile definire la geometria (area e dimensione minima) dei pilastri e setti. Per dimensionare le sezioni la sequenza operativa è la seguente:

1) si calcolano le forze assiali di progetto NSd allo SLU che sollecitano i pilastri in fondazione (per i pilastri perimetrali, le forze assiali allo spiccato del muro del piano interrato);

2) si definiscono gli eventuali vincoli geometrici delle dimensioni legati al progetto architettonico; 3) dalla [4.4] per ν = 1,105 si ottiene l’area Ac; 4) assumendo, a favore di sicurezza come lunghezza di libera inflessione l0 la distanza di interpiano;

dalla [4.1] per λ = λlim = 40 si calcolano il raggio minimo di inerzia ρ e, in base alla forma della sezione, la dimensione minima della sezione

5) si fissano le dimensioni finali; 6) in base alla lunghezza totale di ciascun pilastro, valutata dallo spiccato di fondazione

all’intradosso della copertura (dallo spiccato dei muri per i pilastri perimetrali) si calcola il peso proprio che, moltiplicato per γG = 1,40 e sommato alla forza assiale allo SLU NSd dovuta al carico dei solai, fornisce la forza assiale totale NSd in fondazione.

Nel caso in esame: - la lunghezza di libera inflessione è pari a l0 = (270 + 23 + 10 = 303 cm) - i pilastri circolari sono richiesti avere diametro massimo pari a 30 cm - i pilastri delle travate di bordo devono essere contenuti nella muratura esterna dunque avere

dimensione trasversale massima b = 25 cm - i pilastri centrali devo avere dimensione trasversale massima b = 30 cm. - l’altezza media dell’edificio è h = 20,83 m

I valori ottenuti dal predimensionamento sono da considerare come valori di prima approssimazione e possono non essere rispettati, tenendo presente che - se l’area totale di un pilastro risulta minore dell’area minima derivata dal criterio di predimensionamento, lo stesso andrà armato con un rapporto di armatura maggiore di ω = 0,105 - se la dimensione minima di un pilastro è minore della dimensione minima del predimensionamento, risulterà λ > λlim e il pilastro va verificato tenendo conto degli effetti del secondo ordine.

4.3 Predimensionamento degli elementi verticali - setti QT4 Se i pilastri sono elementi adibiti essenzialmente a portare carichi verticali, i setti sono chiamati ad

assorbite i carichi derivanti dalle azioni orizzontali: avendo schema di mensola incastrata al piede, sono quindi sollecitati da momenti flettenti elevati. Di tale loro caratteristica si tiene conto nel criterio di predimensionamento.



OR 5.5.5.1 In un diagramma di interazione il momento flettente ridotto (adimensionale) μ risulta massimo se la forza assiale ridotta vale ν ≈ 0,40. Per identificare le pareti strutturali l’ordinanza 3274 assume proprio la condizione:

ν ≤ 0,40 Le condizioni

ν = 0,40 λlim = 40 [4.5] forniscono il criterio di predimensionamento dei setti. Il procedimento è lo stesso utilizzato per i pilastri. Si considerano setti gli elementi D3, D5, D9, D11. Adottando i criteri di predimensionamento per pilastri e setti, si ottengono i valori di tabella 4.3 In tabella la tipologia di ciascun elemento è indicata con i simboli R = Rettangolare; Q = Quadrato; C = Circolare; il simbolo ASC indica i vani ascensore, S i setti.

Tab. 4.3 – Carichi su pilastri e predimensionamento In base ai valori di tabella i pilastri C2 e C12 non rispettano la prescrizione di progetto e devono pertanto essere verificati anche per gli effetti del secondo ordine.



4.4 – Predimensionamento degli elementi verticali – vani ascensore Le strutture degli edifici possono risultare controventate o non controventate, a seconda che nel complesso strutturale siano o non siano previsti degli specifici elementi strutturali a cui è affidato l’assorbimento delle forze orizzontali (vento, sisma, imperfezioni geometriche).

EC2 5.8.3.3 I telai delle strutture, sia controventate che non controventate, possono essere a nodi fissi o a nodi mobili. Un telaio si definisce a nodi fissi se, nel calcolo dei pilastri, è lecito trascurare gli effetti del II° ordine dovuti a non linearità geometrica (eccessiva deformabilità dell’elemento) o meccanica (comportamento non lineare dei materiali); in caso contrario è classificata a nodi mobili. Ove possibile, è opportuno realizzare strutture a telaio a nodi fissi associandole ad adeguati elementi di controvento, così da contenere le dimensioni dei pilastri dei telai e disporre di due distinte strutture di trasferimento dei carichi: i telai per i carichi verticali, i controventi per i carichi orizzontali. In un edificio in cui gli elementi di controvento sono distribuiti in modo sostanzialmente simmetrico, in modo da evitare effetti torsionali significativi sotto l’azione delle forze orizzontali, i telai controventati possono essere considerati a nodi fissi se la rigidezza flessionale (Ecd Ic/L) dei controventi soddisfa per entrambe le direzioni principali (X, Y) la condizione

cd csV,Ed 1 2

s

E InF = kn +1,6 L

∑ [4.6]

ns numero di piani dell'edificio L altezza totale (m) dell’edificio misurata dal vincolo flessionale degli elementi di controvento,

assunto, per il caso in esame, in corrispondenza dell’impalcato del piano terreno FV,Ed carico verticale (kN) totale allo SLU agente sugli elementi controventati e di controvento;

nella stima di FV,Ed i carichi vanno assunti fissi e senza riduzione ai piani

Ecd valore di progetto del modulo elastico (kN/m2) del calcestruzzo: cmcd

EE = 1,20

2

Ic momento d’inerzia della sezione (m4) degli elementi di controvento. k1 coefficiente pari a 0,31 se allo stato limite ultimo gli elementi di controvento si assume che

siano fessurati, a 0,62 se si assume che siano non fessurati.

La formula [4.6] permette il calcolo del valore minimo dell’inerzia flessionale (ΣIc) complessiva degli elementi di controvento realizzati con un calcestruzzo di modulo elastico Ecd . Si ottiene:

2

V,Edc

1 cd s

F L 1,6 I = 1 + k E n

⎛ ⎞Σ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Per l’edificio in esame sono: numero di piani (incluso copertura) ns = 7 altezza dell'edificio (colmo copertura) L = 20,83 m peso totale della struttura in esercizio - primo solaio (tab. 4.2) FV,Ed = 47.673 kN

modulo di elasticità calcestruzzo Rck35 (Ecm = 32⋅ 106 kN/m2) Ecd = 27 ⋅ 106 kN/m2

Nell’ipotesi di sezione non fessurata (k1 = 0,62) si ottiene

2 2

V,Ed 4c 6

1 cd s

F L 1,6 47673 20,83 1,6I = 1+ = 1+ = 1,52 mk E n 70,62 27 10

⎛ ⎞ ⋅ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

Per la verifica si considerano, a favore di sicurezza, come strutture di controvento i soli vani ascensore, di dimensioni esterne complessive (220x200) cm e con muri di spessore 20 cm.

2 Il valore suggerito dall’Eurocodice è γcE = 1,20.


4-10 © 2007 F. Biasioli

Le caratteristiche geometriche della sezione a C sono calcolate suddividendo la sezione in elementi rettangolari (fig. 4.4). Da tale suddivisione si ottengono le caratteristiche in tabella 4.4.

bx by xi yi A Sxi Syi Elemento

[mm] [mm] [mm] [mm] [mm2] [mm3] [mm3]

1a 550 200 275 2100 110000 231000000 30250000

1b 550 200 1725 2100 110000 231000000 189750000

2a 200 1800 100 1100 360000 396000000 36000000

2b 200 1800 1900 1100 360000 396000000 684000000

3 2000 200 1000 100 400000 40000000 400000000

Totale 1340000 1294000000 1340000000

Tab. 4.4 – Vani ascensore – caratteristiche geometriche Fig. 4.3 – Suddivisione Le coordinate del baricentro rispetto al sistema di riferimento xy risultano:

y xG G

S S1340000000 1294000000x = = = 1000mm y = = = 966mmA 1340000 A 1340000

I momenti di inerzi rispetto ai due assi passanti x y per il baricentro sono calcolati in tabella 4.5.

bx by xi yi Ixg Ay2 Ixtot Iyg Ax2 Ixtot Elemento

[mm] [mm] [mm] [mm] [mm4] [mm4] [mm4] [mm4] [mm4] [mm4]

1a 550 200 -725 1134 366666667 1.4154E+11 1.42E+11 2.8E+09 5.782E+10 6.06E+10

1b 550 200 725 1134 366666667 1.4154E+11 1.42E+11 2.8E+09 5.782E+10 6.06E+10

2a 200 1800 -900 134 97200000000 6495878815 1.04E+11 1.2E+09 2.916E+11 2.93E+11

2b 200 1800 900 134 97200000000 6495878815 1.04E+11 1.2E+09 2.916E+11 2.93E+11

3 2000 200 0 -866 1333333333 2.9975E+11 3.01E+11 1.3E+11 0 1.33E+11

7.92E+11 8.40E+11

Tab. 4.5 – Vani ascensore – caratteristiche meccaniche Con riferimento alla formula in appendice al capitolo 5. le coordinate del centro di taglio rispetto al sistema di riferimento indicato in figura valgono:

xCT = 1000 mm per simmetria della sezione rispetto all’asse y 2 2 3

CT 3 2 2 3 21

3 1800 2100+ 6 1800 450 - 8 450y = 2100 -100 = 887 mm1800 + 6 1800 2100+ 6 1800 450+ 8b + 12 1800 450

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Dalla tabella 4.5 risulta

Elemento Ix0 [m4]

Iy0 [m4]

B4 0,79 0,84

B10 0,79 0,84

Totale 1,58 1,68

Tab. 4.6 – Nuclei - momenti di inerzia Poiché Imin = 1,58 > 1,52 m4 la verifica è soddisfatta: il complesso di telai della struttura può essere considerato a nodi fissi e non sono rilevanti gli effetti del II° ordine.


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4.5 – Calcestruzzo – volumi di getto teorici e effettivi

Una stima della quantità di calcestruzzo utilizzata nei getti si ottiene considerando per ogni impalcato l’incidenza % del peso del calcestruzzo dei diversi elementi strutturali sul carico totale di solaio allo SLU (tab. 4.7). Tale valore, moltiplicato per il carico totale di piano allo SLU di tabella 4.2, fornisce il peso del calcestruzzo per ciascun solaio, a cui va aggiunto il contributo dovuto all’incremento di peso delle travi.

Carichi Cls SLU Incidenza

[kN/m2] [kN/m2] [%] Piano Tipo 2,33 11.32 20.6 Sottotetto 2.33 7.11 32.8 Copertura 2.33 8.77 26.6

Scale 3.75 13.14 28.5 Tab. 4.7 – Stima della quantità di calcestruzzo

Dalla tab. 4.2: {(2726 + 5· 5094)· 20,6 + 3202· 32,8 + 3949· 26,6 + (199 + 5· 423 + 212)· 28,5} /100 = 8629 kN

L’incremento totale di peso dovuto alle travi è (127 + 5· 427 + 427)/1,4 = 1921 kN

Il peso totale di calcestruzzo per il getto degli impalcati è pertanto pari a (8629 + 1921) = 10550 kN, a cui corrisponde un volume teorico di calcestruzzo pari a (1550/25) = 422 m3. Peso e il volume di calcestruzzo di pilastri, setti e nuclei (tab. 4.3) risultano

2983 + 224 = 3207 kN 3207/25= 128 m3 Non sono state stimate le quantità di calcestruzzo destinate alle opere di fondazione e ai muri controterra che formano la scatola di chiusura del piano interrato. I volumi sopra indicati sono teorici e devono essere incrementati per tener conto delle tolleranze dovute a imperfezione dei casseri, dimensioni geometriche delle travi diverse da quelle teoriche, calcestruzzo che finisce negli elementi di alleggerimento in laterizio, calcestruzzo richiesto per l’avviamento della pompa o che rimane nelle tubazioni della medesima ecc. Una buona stima dei volumi effettivi si ottiene aumentando le quantità teoriche di almeno il 10%. Il volume di calcestruzzo degli elementi verticali (pilastri, setti e vani ascensore) a cui è affidata la sicurezza globale dell’edificio è particolarmente contenuto e giustifica la scelta di una classe di resistenza diversificata per tali elementi.


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[PAGINA BIANCA]



CAPITOLO 5 La ripartizione delle azioni orizzontali

5.1 Rigidezze e baricentro delle rigidezze Per il calcolo dell’inerzia degli elementi di controvento si è fatta l’ipotesi (cap. 4.4) che gli stessi abbiano disposizione planimetrica tale da minimizzare gli effetti torsionali delle forze orizzontali agenti sull’edificio. Perché il sistema di controventi risulti efficace le strutture di controvento, oltre che presenti in quantità adeguata, devono dunque essere disposte planimetricamente in modo adeguato ed occorre valutare l’efficacia della loro disposizione. Si adotta un modello semplificato che considera solo il primo solaio dell’edificio che può presentare spostamenti e rotazioni per effetto di un insieme di forze orizzontali applicate al complesso strutturale. Tale solaio, assunto come infinitamente rigido nel suo piano dunque indeformabile, collega le estremità superiori degli elementi verticali (pilastri, setti e nuclei - fig. 5.1) assunti come incastrati al piede.. Si assume che tutti gli elementi verticali abbiano lati paralleli ai lati principali del solaio e siano indeformabili assialmente: il piano deformato dunque non si sposta in direzione verticale.

Fig. 5.1 - Modello di solaio

La parte di edificio soprastante il solaio è trattata come un unico corpo rigido che si muove seguendo il movimento del primo solaio (fig. 5.2). A causa di tale approssimazione il modello fornisce indicazioni sufficientemente precise solo per edifici “regolari” in pianta e in altezza1; nel caso di edifici alti o privi di regolarità strutturale i risultati del modello possono essere fortemente approssimati ma il modello è in grado di evidenziare grossolane criticità nella disposizione dei controventi.

Fig. 5.2 - Modello di edificio

1 La regolarità strutturale è definita nel paragrafo 5.2.



Un solaio infinitamente rigido soggetto a un sistema di forze orizzontali agenti nel suo piano e comunque orientate ruota e si sposta. Con riferimento a un sistema di riferimento (x,y) con origine in un punto O qualsiasi, interno o esterno al solaio, gli spostamenti nelle direzioni x e y e la rotazione del solaio attorno all’origine O sono individuati dallle tre grandezze: u0, v0 e θ, rispettivamente gli spostamenti dell’origine O nelle direzioni x e y e la rotazione del piano rispetto all’origine del sistema di reiferimento (fig. 5.3).

Fig. 5.3 – Componenti dello spostamento

Gli spostamenti del baricentro (per sezioni con due assi di simmetria) o del centro di taglio (per i nuclei) dell’i-esimo elemento verticale di coordinate xi e yi valgono:

ui = u0 + Δxi = u0 - θ yi vi = v0 +Δyi = v0 + θ xi e fanno nascere all’estremità dell’elemento le forze di reazione Fxi e FYi, legate alle rigidezze a flessione e taglio dell’elemento secondo le direzioni x,y:

Fxi = kxi ui = kxi (u0 - θ yi) Fyi = kyi vi = kyi (v0 + θ xi) [5.1a]

La rotazione θ fa nascere nell’elemento i-esimo il momento torcente di reazione MTi legato alla rigidezza torsionale kθ,i dell’ elemento dalla relazione

MTi = kθi θ [5.1.b]

Fig. 5.4 - Risultante del sistema di forze

Se X, Y e M sono le componenti della risultante F del sistema d forze e il momento risultante del sistema rispetto all’origine O, il sistema delle forze reattive interne (Fxi Fyi MTi ), di cui una terna di componenti per un generico elemento i-esimo è rappresentato in figura 5.4, equilibra il sistema di forze esterne (X, Y, M). Con riferimento a un sistema di coordinate ortogonali x,y con origine posta nel baricentro del pilastro A1 (fig. 1.2) nella tabella 5.1 sono riportati, per ciascun elemento: - il tipo e il riferimento - le coordinate x,y del baricentro o del centro di taglio - le dimensioni in pianta della sezione trasversale, l’altezza, l’area e i momenti di inerzia rispetto a due

assi locali passanti per il baricentro o il centro di taglio



- il fattore di taglio t della sezione (t = 6/5 per sezioni rettangolari, t = 10/9 per sezione circolare, t =2 per i vani ascensore)2

- il coefficiente di deformazione α (vedi appendice) - il coefficiente di forma per torsione β (vedi appendice) - le rigidezze a flessione e taglio kxi e kyi dei singoli elementi e la loro incidenza % sul totale - i momenti statici delle rigidezze calcolati rispetto agli assi di riferimento x,y.

Tab. 5.1 – Rigidezze a flessione e taglio Dai valori di tabella si nota come i nuclei ascensore forniscano il (44,8+44,8) = 89,6% della rigidezza complessiva in direzione x e il (41+42) = 82% della rigidezza complessiva in direzione y. Tali elementi pertanto assorbirebbero la maggior parte delle forze orizzontali, in assenza di effetti torsionali significativi. Le coordinate del baricentro K delle rigidezze rispetto al sistema globale x y avente origine nel baricentro del pilastro A1 risultano:

6 6ky y,i i -3 x,i i -3kx

k k3 3y y,i x x,i

S k x k y69243 10 S 14014 10x = = 10 = 17,80 m y = = = 10 = 3,82 m K k 3890 10 K k 3669 10

⋅ ⋅=

⋅ ⋅∑ ∑∑ ∑

2 Per i nuclei il fattore t ha valore variabile tra 2 e 3



Con riferimento a un sistema (x, y) la cui origine è nel baricentro K delle rigidezze in tabella 5.2 sono riportate per ciascun elemento: - le coordinate xi,yi del baricentro o del centro di taglio, - la rigidezza torsionale propria kt,i (vedi appendice) - i momenti del secondo ordine delle rigidezze kx e ky - la rigidezza torsionale specifica kT,i, somma della rigidezza propria kt,i e delle rigidezze torsionali “di

posizione”kx yi2 ,e ky xi2, nelle quali le distanze calcolate rispetto al baricentro delle rigidezze K - l’incidenza % della rigidezza torsionale dell’elemento sulla rigidezza torsionale totale.

Tab. 5.2 – Rigidezze torsionali

L’esame dei valori di tabella evidenzia che i vani ascensore forniscono, oltre che la massima parte della rigidezza flessionale, anche il (37,1 + 37,1)= 74,2% della rigidezza torsionale totale KT. Altri elementi che hanno rigidezza torsionale significativa sono i pilastri (riferimenti C1 e C13) agli angoli del fabbricato e i setti (riferimenti D3 e D11) in corrispondenza del vano scale, che complessivamente forniscono il 13,2% della rigidezza torsionale globale. Per tali elementi il valore della rigidezza torsionale “di posizione” è dello stesso ordine di grandezza della rigidezza propria.



5.2 Classificazione della struttura, raggi ed ellisse delle rigidezze La struttura di un edificio può essere classificata come regolare o non regolare. Una struttura regolare contrasta con efficacia l’azione delle forze orizzontali, presenta minor aleatorietà di comportamento e può essere studiata con modelli di calcolo semplificati. La verifica della regolarità strutturale (obbligatoria in zona sismica) permette di convalidare le ipotesi semplificative assunte per la modellazione della struttura (controventi) e i procedimenti d’analisi. Il DM non descrive come verificare la regolarità strutturale e richiama nel merito la letteratura tecnica consolidata: nel seguito si fa riferimento alle prescrizioni dell’Ordinanza 3274 e dell’EC8. Per la valutazione della regolarità le indicazioni dell’EC8 sono più complete di quelle della 3274 perché, oltre alle prescrizioni relative alla configurazione geometrica in verticale, la norma fornisce indicazioni in merito alla configurazione planimetrica degli elementi strutturali. La tabella 5.3 fornisce il sommario delle rigidezze. Per l’edificio in esame: il complesso strutturale è organizzato secondo un reticolo ortogonale di telai sostanzialmente

simmetrico rispetto ai due assi principali del fabbricato, che individua due direzioni principali con rigidezze flessionali totali dello stesso ordine di grandezza (tab. 5.3);

è valida l’ipotesi di solaio infinitamente rigido perchè la rigidezza del solaio, valutata nel proprio, piano è significativamente maggiore di quella degli elementi strutturali verticali.

valori di confronto per sistema rigidezze

totali u.d.m. pilastri controv. totale controv totale

a telaio-pareti a pareti

KX kN/m⋅ 103 330 3339 3669 91% > 50% > 65%

KY kN/m⋅ 103 290 3600 3890 93% > 50% > 65%

KT kNm/rad⋅103 71 274 345 80%

Tab. 5.3 – Sommario rigidezze Dai vqlori di tabella secondo l’EC8 il complesso strutturale può essere classificato come controventato - poiché la maggioranza delle azioni orizzontali è assorbita dalla struttura di controvento (setti e vani ascensore) - e come sistema misto telaio – pareti, in quanto le azioni orizzontali risultano assorbite in quantità maggiore del 50% dagli elementi di controvento. Per valutare la disposizione planimetrica degli elementi resistenti, si valutano i raggi torsionali (“raggi di rigidezza”) del sistema di elementi verticali e li si confronta con le eccentricità delle forze agenti calcolate rispetto al baricentro delle rigidezze K. I raggi di rigidezza sono i semiassi dell’“ellisse delle rigidezze”, la figura geometrica con centro nel baricentro delle rigidezze K che evidenzia come sono distribuite le rigidezze intorno al baricentro. 3 I raggi di rigidezza nelle direzioni x,y hanno espressione:

T TX Y

x Y

K Kr = r =K K

[5.2]

Dai valori di tabella 5.3 si ottiene:

3 3

X Y345 10 345 10r = = 9,70 m r = = 9,42 m

3669 3890⋅ ⋅ [5.3]

3 I raggi torsionali hanno significato affine a quello dei raggi giratori di un sistema di forze o ai raggi di inerzia polari delle sezioni, entrambi calcolati come radice quadrata del quoziente tra il momento di secondo ordine delle forze o delle aree elementari e la risultante delle forze o delle aree elementari.



I due raggi hanno valore molto simile tra loro: l’“ellisse delle rigidezze” ha pertanto forma di cerchio, evidenziando una struttura con elementi verticali disposti planimetricamente in modo da renderla sostanzialmente indifferente alla direzione delle forze sollecitanti di piano (fig. 4.2): le superfici e la disposizione planimetrica degli elementi verticali sono pertanto corrette, ma occorre ancora valutare se il sistema degli elementi di controvento è in grado di limitare gli effetti torsionali. Secondo l’EC8 la disposizione planimetrica degli elementi resistenti risulta accettabile e si può assumere che l’edificio non subisca effetti torsionali significativi per effetto delle forze orizzontali se i rapporti tra le eccentricità e0X e0y misurate tra il centro delle rigidezze e le rette di azione delle forze esterne e i rispettivi raggi di rigidezza soddisfano le condizioni.4

e0X / rx ≤ 0,30 e0y / ry ≤ 0,30 [5.4] In pratica il baricentro delle forze esterne deve risultare all’interno di un “nocciolo”, una zona di forma affine alla forma dell’ellisse posta nell’intorno del baricentro delle rigidezze ed estesa al 9% dell’area dell’ellisse.5 Per tracciare l’ellisse delle rigidezze si può utilizzare un semplice programma di disegno/calcolo.6 Nel caso specifico si ottiene l’ellisse di figura 5.2 , di forma quasi circolare. In base alla [5.4] la retta di azione delle forze orizzontali deve essere compresa all’interno della zona evidenziata di figura.

Fig, 5.5 – Raggi, ellisse delle rigidezze e nocciolo

4 Occorre inoltre considerare che la rigidezza torsionale KT è stata calcolata, a favore di sicurezza, assumendo i

nuclei come costituiti da pareti isolate dunque più deformabili di quanto non siano nella realtà: un stima più accurata aumenterebbe il valore di KT e i raggi di rigidezza in maniera significativa.

5 L’area A di una ellisse di semiassi a,b vale A = π a b 6 Il programma “Ellisse delle rigidezze” sviluppato nell’ambito del progetto Auto-CA può essere scaricato liberamente

dal sito www.euroconcrete.it



APPENDICE: Flessibilità, rigidezze, baricentro ed ellisse delle rigidezze DEFINIZIONI In meccanica le rigidezza assiale Kz, flessionale Kϕ e torsionale KT di una molla sono rispettivamente la forza Fz la coppia Mx e la coppia Mz da applicare alle estremità della molla per ottenere, rispettivamente un loro spostamento relativo δ, o una loro rotazione relativa ϕ oppure θ di valore unitario. L’inverso di ciascuna rigidezza è una “flessibilità”, definita come lo spostamento o la rotazione relativa provocate da una forza o una coppia di valore unitario.

zz z z

z z

xx

F 1F = k RIGIDEZZA ASSIALE k = FLESSIBILITA' ASSIALE f = = k F

MM = k RIGIDEZZA FLESSIONALE k = FLESSIBILITA' ϕ ϕ

δδ

δ

ϕϕ x

zz

z

1FLESSIONALE f = = k M

M 1M = k RIGIDEZZA TORSIONALE k = FLESSIBILITA' TORSIONALE f = = k M

ϕϕ

θ θ θθ

ϕ

θθ

ϕ

Fig. A1 – Molle a trazione, compressione, torsione e….flessione

Le definizioni di rigidezza e flessibilità possono essere estese al comportamento degli elementi strutturali soggetti alle sollecitazioni di forza assiale, flessione, taglio e torsione. Le formule che seguono sono valide per materiali con comportamento elastico definito dalle tre costanti elastiche: modulo di elasticità longitudinale E, modulo di elasticità tangenziale G e coefficiente di Poisson ν. Tra le costanti vale la

relazione EG = 2 (1+ )ν

.

FLESSIBILITA’ E RIGIDEZZA DI ASTE E NODI Un elemento di forma prismatica di lunghezza lz non vincolato alle estremità è sollecitato, nelle sezioni di estremità, da una forza assiale Nz (fig. A2, sin.): le sezioni di estremità si avvicinano (o allontanano) della quantità Δl, mentre tutte le sezioni sono soggette alla tensione costante σZ = Nz /A. In campo elastico vale la legge di Hooke σz = E εz pertanto:

z z zz

z

l N N l ll EA EAΔ

ε = = Δ =

Per Nz = 1 si ottiene la FLESSIBILITA’ ASSIALE zz

l fEA

= e di conseguenza la

RIGIDEZZA ASSIALE zz z

1 EA k = =f l

Se l’asta è vincolata alle estremità la rigidezza dipende oltre che dalla rigidezza propria dell’asta anche dal tipo di vincolo, che definisce la possibilità di spostamento di ciascun nodo. La rigidezza di un nodo libero è pari alla rigidezza dell’asta. Un nodo di cui è impedito il movimento ha flessibilità nulla, dunque rigidezza infinita (fig. A2, destra).



Δlkz

N

N

lz

l2

N

N

Δl = N l EA k = EA

l

N

N

= EAl

kz = ∞

lz

z

kz

Δ

l2Δ

z z Δl = N l EA

z z

z

z

N

N

z

z

z

z

z z

z

N

N

z

z

z

Fig. A2 – Rigidezza e flessibilità assiale

La presa in conto della rigidezza assiale è utile nello studio dell’equilibrio di strutture che possono essere considerate come infinitamente rigide (cioè non deformabili a flessione), portate da elementi deformabili assialmente. Se la struttura rigida presenta simmetria geometrica e di carichi (includendo nei carichi anche le rigidezze degli elementi portanti, considerati alla stregua delle reazioni vincolari) si ha solo una traslazione verticale di tutta la struttura rigida. E’ il caso ad esempio dei carichi trasmessi da plinti o platee rigide ai pali di fondazione. La struttura di figura A3 vincolata ai pali di fondazione ha distribuzione delle rigidezze e dei carichi agenti simmetrica rispetto all’asse della struttura. La struttura si sposta solo in direzione verticale della quantità Δz e tutte le estremità dei pali sono obbligate al medesimo accorciamento Δzi = Δz.

P1 = =

kz1

Δz

P2

kz2 kz1

R1 R2 R1

P1 P2

= =

Fig. A3 – Struttura simmetrica caricata simmetricamente

Poiché il carico che agisce su ogni palo dipende dalla rigidezza assiale kz,i del nodo di estremità secondo la relazione:

Ri = kz,i Δzi

dall’equilibrio alla traslazione in direzione verticale Σ Ri = Σ Pi sostituendo si ottiene:

Σ kz,i Δzi = Σ Pi

Poiché Δzi = Δz = costante

Δzi = Δz = Σ Pi /Σ kz,i pertanto Ri = (kz,i/Σ kz,i) Σ Pi

Nel caso di struttura simmetrica caricata simmetricamente la quota del carico totale (Σ Pi) che sollecita ciascun palo è pertanto proporzionale al “peso” della rigidezza assiale (kz,i) del palo sulla rigidezza totale (Σ kz,i). A parità di deformazione i pali più flessibili (meno rigidi) portano una quota di carico minore dei pali meno flessibili (più rigidi - es. 1). Se non si ha simmetria di carichi e di rigidezze, oltre allo spostamento verticale, la struttura è soggetta a una rotazione che comporta spostamenti Δzi delle estremità di ciascun palo diversi tra loro. Per il calcolo della reazione fornita da ciascun palo si utilizza anche in questo caso l’ipotesi relativa alla deformazione di insieme del corpo, cioè che la struttura nel suo complesso si muova con un moto rigido.



Dato che le deformazioni – spostamenti e rotazioni - sono piccole, confondendo inclinazioni e angoli gli abbassamenti delle teste dei pali posti a distanza xi dall’origine sono legati dalla relazione (fig. A6)

zi = z0 + tg ϕ0 xi ≈ z0 + ϕ0 xi

in cui z0 è l’abbassamento dell’origine O(x, z) del sistema di riferimento delle coordinate e ϕ0 è la rotazione dell’elemento rispetto all’asse orizzontale x (fig. A4).

z

x

1 2 3 i

x1x2

xi

P1 P2 Pi

z

x

k1 k2 k3 ki

R1 R2 R3 Ri

z

x

z1 z2 z3 zi

z0

0φ

o

o

o

P1 P2 Pi

P1 P2 Pi

Fig. A4 – Caso generale

Il carico sul palo la cui testa si abbassa della quantità zi dipende dalla sua rigidezza kz,i con la relazione:

Ri = kz,i zi = kz,i (z0 + ϕ0 xi)

Essendo due le incognite del moto rigido (z0 e ϕ0) occorre utilizzare due equazioni di equilibrio, una alla traslazione verticale e una alla rotazione attorno all’origine O:

Σ Ri = Σ Pi Σ kz,i (z0 + ϕ0 xi) = Σ Pi

Σ Ri xi = Σ Pi xi Σ kz,i (z0 + ϕ0 xi) xi = Σ Pi xi

Sviluppando i termini delle equazioni si ottiene un sistema di due equazioni nelle incognite z0 e ϕ0

(Σ kz,i ) z0 + (Σ kz,i xi) ϕ0 = Σ Pi

(Σ kz,i xi )z0 + (Σ kz,i xi 2) ϕ0 = Σ Pi xi

I coefficienti (Σ kz,ixi) delle incognite simmetrici rispetto alla diagonale, uguali tra loro, rappresentano i momenti statici delle rigidezze rispetto all’origine del sistema: il sistema dunque si semplifica con una opportuna scelta della posizione dell’origine O del sistema di coordinate, Se si assume come origine O del sistema rispetto alla quale calcolare le distanze xi delle forze e delle rigidezze il “baricentro delle rigidezze” di coordinata:

zi iK

zi

k x x = k

ΣΣ

i coefficienti dei termini che non sono sulla diagonale principale - i momenti statici delle rigidezze – nel nuovo sistema di coordinate si annullano e il sistema si riduce a:

(Σ kz,i ) z0 + 0 = Σ Pi

0 + (Σ kz,i xi 2) ϕ0 = Σ Pi xi Le distanze delle forze e delle rigidezze nel nuovo sistema di coordinate con origine nel baricentro delle rigidezze sono indicate con xi . Ogni equazione pertanto fornisce un’incognita:


5-10 © 2007 F. Biasioli

i i i0 0 2

zi zi i

P P x z = = k k x

Σ Σϕ

Σ Σ

Noti z0 e ϕ0 si calcola lo spostamento zi della testa di ciascun palo e la forza Ri che lo sollecita (es. 2 3 4) FLESSIBILITA’ E RIGIDEZZA FLESSIONALE Le sezioni di estremità di un’ asta libera di lunghezza lz soggetta a due coppie uguali Mx (fig. A5, sinistra) in campo elastico ruotano, una rispetto all’altra, della quantità:

xz z

x

1 MΔ = l = lEJ

ϕρ

Nella formula ρ è il raggio di curvatura dell’elemento.

Per Mx = 1 si ottiene la FLESSIBILITA’ FLESSIONALE z

x

lf = EJϕ

e di conseguenza la RIGIDEZZA FLESSIONALE x

z

1 EJk = = f lϕϕ

k =4EJl

MxMx

Δφ

= ∞kx

zk = 3EJl

xz

Mx

Mx

Mx

Mx

lz

φ φ

φ

lz

lz

E, Jx

x

y

Δφ Δφ

Fig. A5 – Rigidezza e flessibilità flessionali

Se l’asta è vincolata alle estremità si devono considerare sia dalla rigidezza dell’asta che il tipo di vincolo, cioè le sue possibilità di spostamento e rotazione. Se l’asta è appoggiata e in una delle sezioni di estremità è applicata una coppia di momento flettente Mx (fig. A5, centro) la rotazione della sezione e la rigidezza del nodo valgono:

x z

x

M lΔ = 3EJ

ϕ x

z

3EJk = lϕ

Se la trave è incastrata all’estremità opposta a quella dove è applicata la coppia (fig. A5, destra), la rotazione della sezione e la rigidezza del nodo libero valgono:

x z

x

M lΔ = 4 EJ

ϕ x

z

4 EJk = lϕ

La rigidezza pertanto aumenta se aumenta il grado di vincolo dell’asta. Il nodo incastrato ha rotazione nulla (flessibilità nulla) per qualsiasi valore di momento applicato: dalla relazione Mx = kϕ Δϕ la rigidezza flessionale del nodo incastrato è pertanto kϕ = ∞. La conoscenza della rigidezza flessionale dei nodi di estremità delle aste permette la soluzione dei problemi iperstatici. Nel caso degli edifici travi e pilastri convergono in uno stesso nodo e sono vincolati in varia misura all’estremità opposta (fig. A6). Se i nodi non si spostano (strutture a nodi fissi) la ripartizione di un momento M applicato al nodo può essere effettuata se si sa valutare la rigidezza flessionale del nodo di estremità di ciascun elemento.


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k1

k2 k3

k4

Δφik

l2 l3l1

l4

Mφ

Δφi

Mi

lzΔφi

kφiMi

Fig. A6– Rigidezza e flessibilità flessionali dei nodi di travi

Poiché la struttura è a nodi fissi, le estremità di tutte le aste che convergono nel nodo C ruotano di uno stesso angolo Δϕi = Δϕ (condizione di congruenza). Il momento nell’estremità di un’asta che ruota della quantità Δϕi dipende dalla rigidezza flessionale del nodo kϕ,i secondo la relazione Mi = kϕ,i Δϕi.

Dato che tutte le estremità delle aste che convergono nel nodo sono obbligate alla rotazione comune Δϕ, dalla condizione di congruenza e dall’equazione di equilibrio alla rotazione: Σ Mi = M si ottiene:

Σ kϕ,i Δϕi = M Δϕi = Δϕ = M/Σ kϕ,i Mi = kϕ,i Δϕi = kϕ,i/Σ kϕ,i M

La quota di momento che sollecita l’estremità di ciascuna asta anche in questo caso pari al “peso” della sua rigidezza flessionale sulla rigidezza flessionale totale: le aste più flessibili sono sollecitate una quota del momento M minore di quella che sollecita le aste più flessibili (es. 5). FLESSIBILITA’ E RIGIDEZZA A TAGLIO Le sezioni di estremità di un’asta di lunghezza lz sollecitata da forze di taglio di uguale intensità Vy si spostano in direzione verticale una relativamente all’altra della quantità (fig. A7):

y zV ly = t

GAΔ

V

V

V

V

Δy

= GAt l = ∞ky ky

lz

z

lz

Fig. A7 – Flessibilità e rigidezza a taglio

Nella formula t è il “fattore di taglio” il cui valore dipende dalla forma della sezione trasversale (t = 6/5 per sezione rettangolare, t = 10/9 per sezioni circolari).

Per Vy = 1 si ottiene la FLESSIBILITA’ A TAGLIO zy

lf = tGA

e di conseguenza la RIGIDEZZA A TAGLIO yy z

1 GAk = = f t l

Se l’asta è incastrata a una delle estremità Il nodo incastrato ha spostamento nullo (flessibilità nulla) per qualsiasi valore della forza applicata; dalla relazione Vy = ky Δy la rigidezza del nodo è pertanto ky = ∞.


5-12 © 2007 F. Biasioli

M=Pl=T

P

ll

2

T1

1

2

lz

P

T

FLESSIBILITA’ E RIGIDEZZA TORSIONALE La rigidezza torsionale – cioè la coppia Tz da applicare all’estremità libera di un elemento di lunghezza l incastrato alla base per ottenere una rotazione θ unitaria - ha espressione diversa a seconda che l’elemento abbia sezione piena (es. pilastri o setti) o a parete sottile (es. nuclei ascensore). Nel secondo caso la rigidezza torsionale varia se la forma della sezione a parete sottile è aperta (sezione a C) o chiusa (sezione anulare). La sezione d’estremità di un elemento di lunghezza lz incastrato alla base e sollecitato all’estremità libera da una coppia di momento Tz ruota della quantità (fig. A.8):

z z

t

T lGJ

θ =

Per Vy = 1 si ottengono la FLESSIBILITA’ TORSIONALE z

t

lf = GJθ

e di conseguenza la RIGIDEZZA TORSIONALE t

z

GJk = lθ

Nella formula Jt è il momento di inerzia torsionale che vale:

• per sezioni circolari piene di raggio r Jt = Jp = π r4/2

• per sezioni rettangolari di dimensioni a e b con a > b:

3

ta b 3J = =

1 - 0,63 b/aβ

β tende al valore 3 se a >10 b

• per sezioni che possono essere suddivise in rettangoli di dimensioni (ai ⋅ bi) con ai > bi si sommano i contributi dei rettangoli cercando la suddivisione che rende massimo il momento Jt:

3i i

ti i

a b 3J = = 1 - 0,63 b /ai

iΣ β

β • per sezioni anulari chiuse con pareti di spessore costante s la cui “linea media” posta a distanza

s/2 dai bordi ha lunghezza u e racchiude l’area Ω: 2t

sJ = 4 u

Ω

Imponendo le condizioni di equilibrio e congruenza si possono risolvere i casi iperstatici. In figura A9 una mensola di luce lz è portata da una trave incastrata alle estremità. L’asse della mensola

individua una sezione che dista l1 e l2 dalle estremità della trave. Il momento flettente M all’estremità della mensola si trasforma in momento torcente T applicato alla trave. La sezione in cui è applicato T ruota di un angolo Δθ e le estremità dei due tratti di trave di lunghezze l1 e l2 devono ruotare entrambe dell’angolo Δθi = Δθ sotto l’effetto di una frazione Ti del momento T.

Dalla condizione di congruenza Δθi = Δθ e dall’equazione di equilibrio: Σ Ti = T risulta:

Σ kθ,i Δθi = T Δθi = Δθ = T/Σ kθ,i Ti = kθ,i Δθi = T kθ,i/Σ kθ,i La quota Ti del momento torcente T che sollecita ciascun tratto della trave è proporzionale al “peso” della sua rigidezza torsionale sulla rigidezza torsionale totale. Il tratto più lungo (più flessibile) è sollecitato da una quota del momento T minore del tratto di trave più corto (meno flessibile - es. 6).

Fig. A.8 – Rigidezza torsionale

Fig. A9 – Torcente di equilibrio


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Fig. A:10– Centro di taglio

IL CENTRO DI TAGLIO DELLE SEZIONI A PROFILO APERTO Per gli elementi con sezione a profilo aperto sia le caratteristiche di sollecitazione che le caratteristiche geometriche delle sezione trasversali (momenti di inerzia flessionali e torsionali, da cui dipendono le rigidezze) vanno riferite a un punto della sezione diverso dal baricentro, detto “centro di taglio”. Per tale punto passa la risultante delle tensioni tangenziali che si hanno sulla sezione quando una sollecitazione di taglio ha retta d’azione che passa per il baricentro della sezione. Il centro di taglio, oltre che il punto rispetto al quale si devono calcolare tutte le caratteristiche di sollecitazione, è anche il punto attorno a cui la sezione ruota se soggetta a torsione. Se la sezione è dotata di un asse di simmetria, il centro di taglio si trova su tale asse, se ha due assi di simmetria, il centro di taglio coincide con il baricentro.

Se la sezione ha forma di L, il centro di taglio è posto all’incrocio degli assi delle due ali, se ha forma di T, è posto all’incrocio degli assi dell’ala e dell’anima.

In una sezione a parete sottile a forma di C simmetrica rispetto a un asse orizzontale posto a metà altezza dell’anima verticale, il centro di taglio dista dall’asse dell’anima della quantità (fig. A.10):

2 2 31 1

3 2 2 3 21 1 1

3h b + 6h b - 8be = bh + 6h b + 6h b + 8b +12hb

Per una sezione a C senza risvolti è b1 = 0. LA RIGIDEZZA DEGLI ELEMENTI DI CONTROVENTO All’estremità di un elemento che subisce gli spostamenti ui e vi e la rotazione θ nascono delle forze e coppie di reazione che, all’annullarsi dell’azione che ha provocato lo spostamento, tendono a riportare l’elemento nella sua posizione originale. In figura A.11 sono evidenziate le forze reattive che nascono all’estremità di due pilastri, proporzionali alla rigidezza a flessione e taglio di ciascuno di essi. Eventuali coppie di reazione dovute a una rotazione θ del piano sarebbero proporzionali alla loro rigidezza torsionale.

Fig. A.11– Forze attive e reattive

Negli edifici sono presenti elementi di controvento - i setti e i vani ascensore – che si assumono come incastrati in fondazione, e altri elementi - i pilastri di piano – che sono collegati alle travi dei piani superiori e inferiori dei telai: se tali travi sono considerate infinitamente rigide, le estremità dei pilastri non possono ruotare. In assenza di rotazione del solaio setti, vani ascensore e pilastri sono obbligati ad avere tutti gli stessi spostamenti ma si deformano in modo diverso: i setti e i vani ascensore come mensole di altezza pari all’altezza d’edificio, i pilastri come elementi di altezza pari all’interpiano.


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Fig. A.12 – Deformate di elementi di controvento e di pilastri

L’effetto del solaio rigido è simulato in figura A.12 dalla biella inestensibile che collega un generico setto con un generico telaio, e dalle presenza delle travi di piano indeformate. Sia gli elementi di controvento che i pilastri si deformano per flessione e taglio: la forza reattiva che sviluppano dipende dalla rigidezza a flessione e taglio di ciascun elemento, che si può ricavare a partire dalla sua “deformabilità globale”.

Figura A.13 – Deformate di interpiano – mensola

Con riferimento alla parte di struttura che comprende il primo impalcato evidenziata in fig. A.12, si esaminano due elementi, un tratto di mensola e uno dei pilastri del telaio, entrambi con altezza pari all’altezza l dell’interpiano. Il tratto di mensola soggetto a una generica forza F applicata a livello del primo impalcato, presenta le sollecitazioni di fig. A.13. Lo spostamento dell’estremità del tratto, somma degli spostamenti per flessione δM e taglio δV, vale:

3

M Vl l = + = + t F

3 E J G A ⎡ ⎤

δ δ δ ⎢ ⎥⎣ ⎦

J, A, l momento d'inerzia baricentrico, area della sezione trasversale e lunghezza dell'elemento t fattore di taglio della sezione trasversale E, G moduli di elasticità longitudinale e tangenziale del materiale. Se F = 1 il termine entro parentesi rappresenta la “flessibilità globale” dell’elemento, somma di due addendi di cui il primo è la flessibilità a flessione , il secondo la flessibilità a taglio.

Posto EG = 2 (1+ )ν

(ν è il coefficiente di Poisson del materiale), esprimendo il momento di inerzia

mediante il raggio giratore ρ (J = A ρ2 ) invertendo la flessibilità “globale” si ottiene la “rigidezza globale”

dell’elemento a mensola:

231 E A 1k =

ll t l 1 l+ + 2 t (1+ ) 3 E J G A 3 ρ

=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞

ν⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦


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Uno qualsiasi dei pilastri di piano avente la stessa lunghezza della mensola se soggetto a uno spostamento relativo δ delle estremità presenta una deformata antisimmetrica (fig.A.14). In corrispondenza dell’asse di simmetria orizzontale posto a metà altezza si trova il punto di inversione della curvatura della linea elastica (punto di flesso). In tale punto il raggio di curvatura ρ ha valore infinito: stante la relazione, valida in campo elastico, (1/ρ) = M/EJ tra curvatura 1/ρ e momento M il momento flettente M ha dunque valore nullo.

Figura A.14 – Deformate di interpiano – pilastro

Per l’antisimmetria della deformazione lo spostamento orizzontale della sezione di mezzeria è pari alla metà dello spostamento relativo δ delle estremità: ”tagliando” il pilastro nella sezione di simmetria dato che M = 0 l’unica forza che si trasferisce è il taglio V = F. che agisce su una mensola incastrata di luce l/2. Le relazioni precedenti si scrivono:

3

2(l/2) l/2 E A 1 = + t F k =

2 3 E J G A l 1 l + 2 t (1+ ) 12 ρ

⎡ ⎤δ⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎛ ⎞

ν⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Le espressioni nei due casi differiscono solo per il coefficiente che, nella parentesi a denominatore, moltiplica la snellezza (l/ρ). In entrambi i casi la rigidezza a flessione e taglio può pertanto essere espressa con la formula:

2E A 1k =

l 1 l + 2 t (1+ ) ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞ν⎢ ⎥⎜ ⎟α ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

nella quale α = 3 per gli elementi di controvento (nuclei ascensore e setti) e α = 12 per i pilastri. Per il coefficiente di Poisson si può assumere ν = 0,20 se si considera che un elemento non sia fessurato – come può avvenire per i nuclei e i setti - e ν = 0 se si considera che l’elemento sia fessurato, come risultano sempre essere i pilastri. Nella formula la “rigidezza“assiale” [EA/l] risulta ridotta dalla presenza del termine entro parentesi a denominatore della frazione. In tale termine il primo addendo dipende dalla snellezza (l/ρ), il secondo per una sezione geometricamente definita (fattore t) e un dato materiale (coefficiente ν) ha valore costante. Il “peso relativo” di ciascuno dei due addendi sul totale dipende pertanto dal valore del rapporto (l/ρ).

Per sezioni rettangolari di lati bx, by nelle direzioni X e Y A = bx by Y,Xx,y

b=

12ρ

56=t

Per sezioni circolari di raggio r A = π r2 r = 2

ρ 10t = 9

Un elemento “tozzo” come un setto o un nucleo ascensore ha dimensione in pianta b significativa, dunque raggio giratore ρ dello stesso ordine di grandezza dell’altezza l: il primo addendo è dello stesso ordine di grandezza del secondo, entrambi sono relativamente piccoli e la rigidezza globale dell’elemento risulta molto elevata rispetto a quella del solaio. Dunque il solaio non riesce a impedire la rotazione del nodo di


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’estremità dell’elemento: risulta confermata l’ipotesi che prevede una deformata affine a quella di una mensola (deformata “bending type” – fig. A.13).

Un elemento “snello” quale può essere considerato un pilastro ha altezza l >> ρ: la snellezza (l/ρ) è molto grande e il primo termine in parentesi prevale sul secondo: la rigidezza globale k dell’elemento risulta piccola rispetto alla rigidezza del solaio. Il nodo d’estremità che collega il pilastro alla trave non ruota e la deformazione è di tipo “a taglio” (deformata “shear type” - fig. A.14) 7.

CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI DI PIANO Un solaio infinitamente rigido che collega una serie di elementi verticali (pilastri, setti, nuclei ascensore) incastrati al piede, se soggetto a un sistema di forze orizzontali comunque dirette si sposta e ruota rimanendo nel piano. Con riferimento a un sistema di riferimento (x,y) con origine in un qualsiasi punto del piano (fig. A.15):

- le grandezze u0 , v0 e θ sono gli spostamenti dell’origine O secondo x e y e la rotazione del piano; - le grandezze X, Y e M sono le componenti della risultante F del sistema d forze orizzontali e il momento

risultante del sistema rispetto all’origine O. Si ammette che tutti gli elementi verticali abbiano lati paralleli alle direzioni degli assi coordinati e siano indeformabili assialmente: il piano deformato dunque non presenta spostamenti in direzione verticale.

Fig. A.15 - Risultante del sistema di forze

Gli spostamenti del centro di taglio dell’elemento verticale i-esimo di coordinate xi e yi

ui = u0 - θ yi vi = v0 + θ xi fanno nascere all’estremità dell’elemento le forze di reazione Fxi e FYi, legate alle rigidezze a flessione e taglio dell’elemento secondo le due direzioni x,y dalle relazioni:

Fxi = kxi ui = kxi (u0 - θ yi) Fyi = kyi vi = kyi (v0 + θ xi)

La rotazione θ fa nascere nell’elemento i-esimo il momento torcente di reazione MTi legato alla rigidezza torsionale kθ,i dell’ elemento dalla relazione

MTi = kθi θ Il sistema delle forze reattive interne (Fxi Fyi MTi ), di cui una terna di componenti per il generico elemento i-esimo è rappresentato in figura A.15, equilibra il sistema di forze esterne F (X, Y, M). Considerando le direzioni positive delle forze e dei momenti come in figura si scrivono tre equazioni di equilibrio:

alla traslazione secondo X Σ Fxi = Σ kxi (u0 - θ yi) = X

alla traslazione secondo Y Σ Fyi = Σ kyi (v0 + θ xi ) = Y

alla rotazione risp. a O - ΣFxi yi + Σ Fyi xi + Σ MTi = - Σ kxi (u0 - θ yi)) yi + Σ kyi (v0 + θ xi )xi + Σ kθi θ = M

7 Nei casi reali l’interazione tra i molti telai e gli elementi di controvento fa si che i telai “trattengano” gli elementi di controvento

ai piani inferiori e siano “trattenuti” dalle mensole ai piani superiori. L’interazione tra gli elementi dunque è complessa ma per lo scopo di questo studio, tali effetti mutui possono essere trascurati.


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Raccogliendo i termini ed esplicitando sempre nelle tre equazioni tutte le incognite, anche quelle i cui coefficienti sono nulli, si ottiene un sistema di tre equazioni nelle tre incognite u0, v0 e θ:

(Σ kxi )u0 [ + 0 v0] – (Σ kxi yi ) θ = X

[ + 0 u0] + (Σ kyi ) v0 + (Σ kyi xi ) θ = Y

- (Σ kxi yi)u0 + (Σ kyi xi) v0 + (Σ kyi xi2 + Σ kxi yi2 + Σ kθi ) θ = M Ponendo Kx = Σ kxi Ky = Σ kyi somma delle rigidezze nelle direzioni x e y Skx = Σ kxi yi Sky = Σ kyi xi momenti statici delle rigidezze nelle direzioni x e y rispetto agli assi KT = Σ kyi xi2 + Σ kxi yi2 + Σ kθ,i somma delle rigidezze torsionali proprie e dei momenti del secondo ordine delle rigidezze a flessione e tagli rispetto agli assi e si ottiene8

Kx u0 [ + 0 v0] – Skx θ = X [ + 0 u0] + Ky v0 + Sky θ = Y – Skx u0 + Sky v0 + KT θ = M Le tre equazioni diventano disaccoppiate, cioè ciascuna equazione fornisce un’incognita, se tutti i termini simmetrici rispetto alla “diagonale principale” si annullano. Tali termini sono i momenti statici Skx e Sky delle rigidezze in direzione x e y rispetto agli assi coordinati: per annullarli è dunque sufficiente che l’origine O del sistema di riferimento sia posta nel BARICENTRO DELLE RIGIDEZZE o CENTRO DI TAGLIO K del sistema, le cui coordinate nel sistema di coordinate iniziale sono:

ky yi i kx xi ik k

y yi x xi

S k x S k yx = y = K k K k

= =∑ ∑∑ ∑

A tale nuova origine vanno ovviamente digerite, oltre che le coordinate di tutti gli elementi, tutte le forze agenti, modificando di conseguenza il momento di trasporto M che assume il valore M. In tale riferimento le tre incognite valgono

0 0x y T

X Y Mu = v = = K K K0θ

Adottando le coordinate xi e yi riferite al nuovo sistema di riferimento, centrato sul baricentro delle rigidezze K, le forze reattive su ciascun elemento risultano:

x,ix,i x,i 0 i i

x T

y,iy,i y,i 0 i i

y T

k MF = k (u - y ) = X - y K Kk MF = k (v + x ) = Y + x K K

0

0

θ

θ

Le forze che sollecitano ciascun elemento hanno pertanto una componente proporzionale al “peso” delle rigidezze nelle direzioni x,y rispetto alla rigidezza totale corrispondente, a cui si somma l’effetto del momento M. Tale effetto essendo direttamente proporzionale alla distanza di ciascun elemento dal baricentro delle rigidezze, risulta massimo per gli elementi più distanti dal baricentro delle rigidezze.

Se la risultante del sistema di forze F passa per il baricentro delle rigidezze è M = 0 dunque θ = 0: i punti del piano si spostano tutti nelle direzioni x,y delle quantità:

i 0 i 0x y

X Yu = u = v = v = K K

8 La matrice dei coefficienti delle incognite ha i termini simmetrici rispetto alla diagonale principale uguali e i termini della

diagonale principale tutti positivi: tali condizioni garantiscono che per un assegnato sistema di forze (X,Y,M) esiste un’unica soluzione (u0 v0 θ).


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Le forze reattive su ciascun elemento sono proporzionai al peso della sua rigidezza sulla rigidezza totale:

x,ix,i x,i 0

x

y,iy,i y,i 0

y

kF = k u = X

Kk

F = k v = Y K

Se il sistema di forze si riduce a una coppia (cioè se X = Y = 0 e M ≠ 0) risultano u0 = v0 = 0 e θ ≠ 0. Gli spostamenti dei punti del piano valgono:

i i i i i iT T

M Mu = - y = - y v = x = xK K0 0θ θ

Il baricentro delle rigidezze ha coordinate (0,0) dunque per esso sono u = v = 0. Esso è dunque il solo punto che non si sposta quando il piano è soggetto a un momento torcente M: è il punto rispetto al quale tutti gli altri punti del piano ruotano. Il baricentro delle rigidezze è dunque anche il CENTRO DI TORSIONE del sistema.9

Se X = Y = 0 e M ≠ 0 le forze reattive su ciascun elemento sono proporzionai alla distanza dell’elemento dal baricentro delle rigidezze:

x,i x,i i i

T

y,i y,i i iT

MF = - k y = - y KMF = k x = x K

0

0

θ

θ

REGOLARITA’ STRUTTURALE ED ELLISSE DELLE RIGIDEZZE Per il calcolo dell’inerzia complessiva degli elementi di controvento si fa l’ipotesi che gli stessi abbiano disposizione planimetrica tale da minimizzare, in presenza di forze orizzontali, gli effetti torsionali sull’edificio. Ciò è possibile solo se l’edificio presenta “regolarità strutturale in pianta”. cioè se il baricentro delle forze orizzontali non dista in modo significativo dal baricentro delle rigidezze K degli elementi verticali. In tal caso il momento torsionale M e i relativi spostamenti sono poco significativi dunque la struttura si considera dotata di rigidezza torsionale adeguata. Nella valutazione della rigidezza torsionale dei nuclei si considerano le sezioni aperte come formate da pareti rettangolari “sottili” senza tenere conto di fenomeni quali l’ingobbamento impedito delle sezioni, che ne aumentano notevolmente la rigidezza torsionale. Nel caso di nuclei aperti (sezioni a C. a L e a T o comunque prive di due assi di simmetria) le rigidezze si considerano applicate nel centro di taglio della sezione. Calcolati i valori delle rigidezze di tutti gli elementi è possibile classificare il sistema strutturale in base alla suddivisione delle rigidezze tra i diversi elementi resistenti (tabella A.1) . Se il rapporto tra la rigidezza flessionale degli elementi di controvento C e la rigidezza flessionale totale T supera i valori di tabella, il sistema può essere classificato come a telaio/pareti o a pareti.

valori di confronto per sistema rigidezze u.d.m. pilastri controv. totale

controv totale

a telaio-pareti a pareti

KX e kY kN/m⋅ 103 P C P+ C = T C/T % > 50% > 65%

Tab. A.1– Classificazione dei sistemi strutturali

9 La coincidenza tra centro di taglio e centro di torsione può anche essere dimostrata con il teorema di Betti - Maxwell.


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Per quanto riguarda la regolarità strutturale, un edificio può essere classificato come regolare o non regolare in verticale e in pianta. Una struttura regolare contrasta con efficacia l’azione delle forze orizzontali, presenta minor aleatorietà di comportamento e può essere studiata con modelli di calcolo semplificati. La verifica della regolarità strutturale (obbligatoria in zona sismica) permette dunque di convalidare le ipotesi semplificative assunte nella modellazione della struttura e i procedimenti d’analisi. Per la valutazione della regolarità in verticale si può fare riferimento alle prescrizioni dell’Ordinanza 3274, per quella della regolarità in pianta, non considerata nell’Ordinanza, alle prescrizioni dell’EC8. Per valutare se una disposizione planimetrica degli elementi resistenti è accettabile, secondo l’EC8 si calcolano i “raggi di rigidezza” del sistema strutturale e li si confronta con le eccentricità e0 delle forze agenti, calcolate rispetto al baricentro delle rigidezze K. I “raggi di rigidezza” nelle direzioni x,y valgono

T TX Y

x Y

K Kr = r =K K

sono i semiassi dell’“ellisse delle rigidezze”, la figura geometrica che evidenzia come sono distribuite le rigidezze intorno al baricentro delle rigidezze10. Se i raggi hanno valore molto simile tra loro, l’“ellisse delle rigidezze” ha forma circolare. Un’ellisse a forma circolare è di particolare interesse in quanto evidenzia un complesso strutturale in cui gli elementi di controvento sono disposti in modo da renderla sostanzialmente indifferente alla direzione delle forze di piano agenti. La geometria e la disposizione planimetrica degli elementi è in tal caso ottimale. Definiti i raggi delle rigidezze, secondo l’EC8 le eccentricità e0X e0y tra il centro delle rigidezze e le rette di azione delle forze esterne si considerano limitate se risultano verificate le due condizioni:

e0X / rx ≤ 0,30 e0y / ry ≤ 0,30] cioè se il baricentro delle forze cade all’interno di un “nocciolo”, una zona limitata nell’intorno del baricentro delle rigidezze estesa a circa il 9% della superficie di questa.11 Se ad esempio l’ellisse delle rigidezze ha la forma circolare di fig. A.16, la retta d’azione delle forze orizzontali dovrebbe passare all’interno del cerchio tratteggiato. Il rispetto di tale condizione assicura che un edificio non subisce effetti torsionali significativi per effetto delle forze orizzontali.

Fig. A.16 – Raggi di rigidezza, ellisse delle rigidezze e nocciolo.

L’ellisse delle rigidezze è pertanto una figura geometrica di assoluto interesse per il progettista, in quanto può essere tracciata in base alle sole informazioni geometriche relative agli elementi verticali e alla loro posizione in pianta.

10 I raggi di rigidezza, detti anche raggi torsionali, hanno significato affine a quello dei raggi giratori di un sistema di forze

o ai raggi di inerzia polari delle sezioni, in entrambi i casi calcolati come radice quadrata del quoziente tra il momento di secondo ordine delle forze o delle aree elementari e la risultante delle forze o delle aree elementari.

11 L’area A di una ellisse di semiassi a,b vale A = π a b


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Per un assegnato sistema di controventi, un definito baricentro delle rigidezze e un dato sistema di forze, occorre dunque “massimizzare” i termini a denominatore dei due quozienti, cioè i raggi di rigidezza. Per massimizzare i raggi di rigidezza, a parità di rigidezza totale Kx e Ky occorre massimizzare la rigidezza torsionale KT .

KT = Σ kyi xi2 + Σ kxi yi2 + Σ kθ,i A parità di sezione complessiva degli elementi di controvento, è opportuno dunque che questi siano disposti alle massime distanze xi yi possibili dal baricentro delle rigidezze K. E’ opportuno ricordare che nel modello descritto la rigidezza torsionale dei nuclei è stata calcolata, a favore di sicurezza, assumendo gli stessi come costituiti da pareti isolate, dunque più deformabili a torsione di quanto non siano nella realtà: un stima più accurata tenendo conto dell’ingobbamento impedito delle sezioni ne aumenterebbe la rigidezza torsionale kθ,i dunque il valore di KT. L’approccio proposto è pertanto a favore di sicurezza.


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ES1 Un plinto di fondazione è sollecitato da un pilastro che trasmette il carico P1 = 1200 kN ed è portato da due pali di fondazione disposti simmetricamente come in figura. Ciascun palo ha rigidezza assiale kz = 300 kN/mm. Nell’ipotesi che il plinto si comporti come un corpo rigido, calcolare l’abbassamento della testa di ciascun palo e il relativo carico.

=

kzΔz

P

kz

R R=

P

Σ Ri = P = 1200 kN Σ kz,i = 300 + 300 = 600 kN/mm

Δzi = Δz = Σ Pi /Σ kz,i = 1200/600 = 2,0 mm

Ri = Σ Pi (kz,i/Σ kz,i) R1 = R2 = 1200 x 300/600 = 600 kN ES2 Un plinto di fondazione con la geometria di figura è caricato da due pilastri che trasmettono i carichi

P1 = 1000 kN e P2 = 1200 kN. I pilastri sono posti a distanza 1,36 m e 4,70 m dal bordo sinistro del plinto. Il plinto è portato da due pali di fondazione aventi rigidezza assiale kz1 = 200 kN/mm e kz2 = 300 kN/mm posti a distanza 1,00 m e 5,00 m dallo stesso bordo. Nell’ipotesi che il plinto si comporti come un corpo rigido, calcolare il carico e l’abbassamento della testa di ciascun palo.

z

x

12001000

4,70 m1,36

kz1 kz2

x

zz2z1

R2R15,00 m

1,00

Con origine del sistema di coordinate O(x,z) posta come in figura il sistema si scrive

(200 + 300) z0 + (200 x 1 + 300 x 5 ) ϕ0 = 2200

(200 x 1 + 300 x 5 )z0 + (200 x 12 + 300 x 52) ϕ0 = 1000 x 1,36 + 1200 x 4,70

500 z0 + 1700 ϕ0 = 2200

1700 z0 + 7700 ϕ0 = 7000

La soluzione è z0 = 5,25 mm ϕ0 = - 0,25 rad

Gli spostamenti delle teste dei pali sono z1 = 5,25 – 0,25 x 1 = 5 mm z2 = 5,25 – 0,25 x 5 = 4 mm I carichi che porta ciascun palo sono R1 = 5 x 200 = 1000 kN e R2 = 4 x 300 = 1200 kN.


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ES3 Svolgere l’esempio precedente adottando come origine del sistema di riferimento il baricentro delle rigidezze K. Rispetto all’origine dell’esercizio 2 il baricentro delle rigidezze K è posto a distanza

z,i ikzk

z z,i

k xS 200 1+ 300 5x = = = = 3,40 mK k 200 + 300

⋅ ⋅∑∑

In base ai risultati precedenti tale punto si sposta della quantità zk = 5,25 – 0,25 x 3,40 = 4,40 mm. Rispetto a un sistema di riferimento (x,z) avente l’origine nel baricentro delle rigidezze K si ottengono: - il momento dei carichi esterni (momenti assunti positivi se antiorari)

M = 1000 (1,36 - 3,40 ) + 1200 (4,70 - 3,40) = - 480 kNm - la rigidezza torsionale totale

KT = Σ kzi (xi – xK )2 = 200 (1-3,40)2 + 300 (5-3,40)2 = 1920 kNm Lo spostamento verticale del baricentro delle rigidezze e la rotazione del plinto sono

kz

R 2200 M - 480z = = = 4,40 mm = = = - 0,25 radK 500 K 19200

ϕ

ϕ

Tali risultati coincidono con i valori calcolati precedentemente: di conseguenza saranno uguali gli spostamenti della testa e le reazioni dei pali. ES4 Alla struttura dell’esempio precedente viene aggiunto un terzo palo di rigidezza k3 = 250 kN/mm a distanza d3 = 3,00 m dall’origine. Calcolare i carichi sui pali.

z

xkz1 kz2

x

zz2z1

R2R1

kz3 z3

R3

1200 kN1000

4,70 m1,36

3,00

1,00

5,00

Utilizzando i [m] per la misura delle distanze il sistema risulta:

(200 + 300 + 250) z0 + (200 x 1 + 250 x 3,00 + 300 x 5,0 ) ϕ0 = 2200 (200 x 1 + 250 x 3,00 + 300 x 5,0 ) z0 + (200 x 12 + 250 x 3,002 + 300 x 52) ϕ0 = 7000 750 z0 + 2450 ϕ0 = 2200 2450 z0 + 9950 ϕ0 = 7000 La soluzione è z0 = 3,25 mm ϕ0 = - 0,096 rad

Gli spostamenti delle teste e i carichi sui pali risultano pari a z1 = 3,25 – 0,096 x 1 = 3,15 mm R1 = 3,15 x 200 = 630 kN z2 = 3,25 – 0,096 x 5 = 2,77 mm R2 = 2,77 x 300 = 830 kN z3 = 3,25 – 0,096 x 3 = 2,29 mm R3 = 2,96 x 250 = 740 kN R1 + R2 + R3 = 2200 kN


© 2007 F. Biasioli 5-23

Il baricentro delle rigidezze, posto alla distanza dal bordo sinistro

z,i ikzk

z z,i

k xS 200 1+ 300 5+ 250 3 2450x = = = = = 3,27 mK k 200 + 300 + 250 750

⋅ ⋅ ⋅∑∑

si sposta verticalmente di zk = 3,25 - 0,096x 3,27 = 2,94 mm Rispetto a un sistema di riferimento (x,z) avente l’origine nel baricentro delle rigidezze K si ottengono: - il momento dei carichi esterni (positivi se antiorari)

M = 1000 (1,36 - 3,27) + 1200 (4,70 - 3,27) = -194 kNm - la rigidezza torsionale totale

KT = Σ kzi (xi – xK )2 = 200 (1-3,27)2 + 300 (5 - 3,27)2 + 250 (3,0 - 3,27)2 = 1947 kNm Lo spostamento verticale del baricentro delle rigidezze K e la rotazione del plinto

kz

R 2200 M -194z = = = 2,94 mm = = = 0,096 radK 750 K 19470

ϕ

ϕ

coincidono con i valori precedentemente calcolati, così come le reazioni sui pali. ES5 Il nodo di figura è sollecitato da una coppia di momento di intensità M = 200 kN/m. Calcolare la

quota di tale momento che sollecita ciascuna asta che converge nel nodo. Le aste orizzontali hanno tutte sezione rettangolare di dimensioni (300 x 500) mm, i pilastri verticali hanno tutti sezione quadrata di lato 300 mm. Materiale; calcestruzzo con Ecm = 32 kN/mm2

k1

k2 k3

k4

Δφik

l2 l3l1

l4

Mφ

Δφi

Mi

lz

Le rigidezze flessionali valgono

Aste 1-2: 3

-6x

z

3EJ 3 32 300 500k = = 10 = 75 kNml 4000 12ϕ

⋅ ⋅= /rad

Aste 3-4: 3

-6x

z

4EJ 4 32 300 300k = = 10 = 28,8 kNml 3000 12ϕ

⋅ ⋅= /rad

Dalla relazione Mi = M kϕ,i/Σ kϕ,i si ottiene

1,2 3,475 28,8M = 200 = 72,6 kNm M = 200 = 27,8 kNm

(2 75 + 2 28,8) (2 75 + 2 28,8) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ L’equilibrio al nodo risulta soddisfatto.


5-24 © 2007 F. Biasioli

M=Pl=T

P

ll

2

T1

1

2

lz

P

T

ES6 Per la struttura di figura sono P = 10 kN lz = 2,50 m l1 = 2,50 m e l2 = 3,50 m. La trave portante ha sezione rettangolare di dimensioni (300 x 500) mm. Calcestruzzo con Ecm = 32 kN/mm2 ν = 0,20

Il modulo di elasticità tangenziale vale 2E 32G = = = 13,33 kN/mm2 (1+ ) 2 (1+0,2)ν

M = T = P lz = 10 x 2,5 = 25 kNm, Per tutte le sezioni della trave portante di dimensioni a = 500 mm b = 300 mm

b/a = 0,60 β = 3/(1-0,63 x 0,60) = 4,82 3 3

6 4t

a b 500 300J = = = 2799 10 mm 4,823

⋅⋅

β

Le rigidezze torsionali delle due parti della trave portante valgono

Parte 1: 6

-6t

1

GJ 13,33 2799 10k = = 10 = 14,9 kNm/radl 25001ϑ

⋅ ⋅=

Parte 2: 6

-6t

2

GJ 13,33 2799 10k = = 10 = 10,7 kNm/radl 35002ϑ

⋅ ⋅=

Dalla relazione Ti = T kθ,i/Σ kθ,i si ottiene

t,1 t,214,9 10,7M = 25 = 14,5 kNm M = 25 = 10,5 kNm

(14,9 + 10,7) (14,9 + 10,7)

Le due semitravi sono sollecitate da una quota di T che, in campo elastico, è proporzionale al “peso” della rigidezza torsionale di ciascuna di esse rispetto alla somma delle rigidezze delle due parti.



CAPITOLO 6 Azioni orizzontali Il capitolo confronta le diverse azioni orizzontali al fine di individuare le azioni più gravose da utilizzare. Le azioni prese in considerazione sono:

• imperfezioni geometriche

• azioni naturali - vento

• azioni naturali – azioni sismiche1.

6.1 Imperfezioni geometriche EC2 5.2 Allo SLU si deve tenere conto degli effetti legati alle possibili imperfezioni non intenzionali della geometria

della struttura. Tali effetti si trascurano se minori degli effetti dovuti ad altre azioni orizzontali (vento o sisma).

Le imperfezioni geometriche sono prese in conto assumendo che la struttura nel suo complesso, o un singolo elemento, siano inclinati rispetto alla verticale di un angolo θi (i = “imperfections”) – fig- 6.1.

Fig, 6.1 – Imperfezioni geometriche e forze orizzontali equivalenti

L’angolo di inclinazione θi è definito dalla relazione

θi = θo αh αm [6.1] In cui:

θ0 inclinazione “di base” in radianti: il valore raccomandato è θ0 =1/200 rad

αh coefficiente riduttivo relativo all’altezza “l” dell’edifico in metri αh = 2 /√ l 2/3 ≤ αh ≤ 1

αm coefficiente riduttivo che tiene conto della ridotta probabilità che “m” elementi verticali siano tutti contemporaneamente inclinati di uno stesso angolo

⎛ ⎞α ⎜ ⎟⎝ ⎠

m1= 0,5 1+m

• per un elemento isolato: l = lunghezza dell’elemento; m = 1;

• per un sistema di elementi di controvento: l = altezza dell’edificio; m = numero di elementi verticali che contribuiscono alla forza orizzontale agente sul sistema di controvento;

1 DM 3.2.2.1 Le NT equiparano le azioni sismiche a un’azione naturale in quanto, con la nuova zonazione, tutta l’Italia è 3519 classificata come sismica.



Per valutare gli effetti delle imperfezioni geometriche si può, in alternativa: - schematizzare la struttura con elementi verticali inclinati dell’angolo θ (fig. 6.1, sinistra), oppure - assumere un sistema di forze orizzontali H agente sulla struttura indeformata (fig. 6.1, destra). Nel secondo caso se Vi è la risultante dei carichi verticali agenti sul piano i-esimo i cui elementi verticali sono tutti inclinati di uno stesso angolo θi, confondendo, per la piccolezza delle deformazioni, l’angolo di inclinazione θi con (sin θi) la forza orizzontale equivalente al piano i-esimo vale:

Hi = sin θi Σ Vi ≈ θi Σ Vi [6.2] Per gli elementi di controvento l’effetto delle imperfezioni geometriche si calcola applicando il peso totale del controvento alla sommità dell'elemento. Per stimare la forza globale orizzontale HI agente su tutto il complesso strutturale dovuta alle imperfezioni geometriche ci si può basare sul carico totale verticale Fv allo spiccato del piano terreno, somma dei carichi agenti a tutti i piani fuori terra escluso il piano terreno e del peso proprio degli elementi verticali. La forza globale orizzontale massima Him , applicata a livello del primo impalcato ha intensità:

Him = θi FV = θ0 αh αm FV [6.3]

Il coefficiente αh è definito in base all’altezza della parte in elevazione del fabbricato a partire dalla quota 0,00. Assumendo, a favore di sicurezza, la quota media del baricentro della copertura (fig. 6.2) si ottiene:

l = 19,30 + 1,53/2 = 20,07 m αh = 2 /√ 20,07 = 0,45 < 2/3 pertanto αh = 2/3 = 0,667

Per il calcolo di αm ci si basa sul numero totale dei pilastri. Le forze orizzontali dovute alle imperfezioni geometriche sono infatti trasmesse agli elementi di controvento attraverso il comportamento a diaframma del solaio, assunto infinitamente rigido nel suo piano. Si ottengono i valori di tabella 6.1.

Direzione θ0 l

[m] αh m αm

Fv [kN]

Him

[kN]

x, y 1/200 20,07 0.667 25 0,72 47673 115

Tabella 6.1 – Imperfezioni geometriche La risultante Himp si assume sia applicata nel baricentro delle forze FV , di coordinate (17,80; 5,96) m – vedi par 6.3.2. Fig. 6.2 – altezza di calcolo



6.2 Azioni ambientali e naturali - vento DM 3.3 L’edificio in esame avendo “configurazione e tipologia strutturale ordinaria, semplice o di limitata

estensione” risulta essere “poco sensibile all’azione dinamica del vento”. In tale situazione è possibile descrivere le azioni indotte dal vento “attraverso sistemi di forze o di pressioni i cui effetti siano equivalenti a quelli del vento turbolento, considerando di regola la direzione orizzontale ed utilizzando la formulazione quasi – statica equivalente”. L’azione quasi-statica equivalente si ottiene moltiplicando la pressione cinetica di picco q(z), legata alla velocità di picco del vento vp(z), per l’area di fabbricato su cui tale pressione risulta applicata. Occorre tenere conto: - per la velocità vp(z), dei parametri che caratterizzano il sito (zona geografica, periodo di ritorno, effetti

locali legati all’ubicazione del sito e all’altezza dal suolo degli elementi della costruzione); - per la pressione cinetica q(z), dei parametri che caratterizzano la tipologia strutturale e il tipo di opera

(coefficienti di pressione esterna e interna, coefficiente dinamico). Nel seguito sono sviluppati tutti i passaggi per il calcolo di tale pressione.

A) Velocità di riferimento vR (TR) Si parte dalla velocità di riferimento vref,0. Le località del Nord Italia (escluse Liguria, Emilia Romagna e zona di Trieste) a quota ≤ 1000 m s.l.m. sono classificate nella zona geografica I per cui è vref,0 = 25 m/s. La velocità vref,0 è il frattile 98% della distribuzione dei massimi annuali delle velocità medie del vento misurate in sequenze di intervalli successivi di tempo di durata 10 minuti. Tale valore ha probabilità di superamento, in ciascun anno, pari a p = (1-0,98) = 0,02 dunque periodo di ritorno Td = 1/0,02 = 50 anni. Essa va moltiplicata per un coefficiente αR (TR) funzione del periodo di ritorno TR del fenomeno.

vR (TR) = αR (TR) vref,0 [6.4] Il periodo di ritorno TR è assunto pari a 10 volte la vita di progetto convenzionale dell’opera Td ,che varia in base alla classe strutturale dell’opera. Le strutture in classe 1 devono essere progettate per una vita di progetto Td = 50 anni, pertanto è TR = 500 anni. Per TR = 500 anni secondo le NT è αR (500) = 1,122 (+12,2%)2 pertanto:

vR(500) = αR (500) vref,0 = 1,122 x 25 = 28,05 m/s B) Velocità di di picco vP(z)

DM 3.3.7.1 Il valore vR(500) deve essere modificato per tener conto • degli effetti locali legati al sito dove è posta la costruzione, e • dell’altezza z sul suolo delle diverse parti da cui essa è composta.

Si definisce una “classe di rugosità del terreno” variabile in funzione della presenza, più o meno diffusa, di ostacoli che possano ridurre la velocità del vento in prossimità del suolo e nell’intorno della struttura. Per una costruzione in zona fortemente urbanizzata si adotta la classe di rugosità A. In funzione della classe di rugosità, della zona geografica, della distanza dal mare e dell’altezza del sito sul livello del mare si individua una “categoria di esposizione” del sito, classificata dalla I (più severa) alla V (meno severa). La velocità di picco vP(z) vale:

vp (z) = cev(z) vR(TR) [6.5]

cev (z) il coefficiente di esposizione, funzione della categoria di esposizione, che definisce il “profilo” della velocità in funzione della distanza (z) dal suolo. Fino a una quota zmin in prossimità del suolo la velocità è costante, al di sopra della quota zmin la velocità cresce con z.

2 Per strutture in classe 2 sono Td = 100 anni, TR = 1000 anni, αR (1000) = 1,156 (+15,6%).



I due tratti sono definiti dalle relazioni

cev (z) = cev (zmin) per z ≤ zmin

( )ev r t0 0

z zc z =k c ln 7+lnz z

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ per z > zmin [6.6]

Nelle formule kr fattore di terreno, variabile in base alla categoria di esposizione del sito ct coefficiente di topografia, assunto nelle NT con valore ct = 1 nei casi normali e ct > 1

per edifici isolati posti sulla sommità o sulle pendici di una collina z0 lunghezza di rugosità, variabile in base alla categoria di esposizione del sito zmin altezza, a partire dal terreno, della zona in cui la velocità del vento è assunta costante

I profili di velocità per le diverse pareti sono rappresentati in fig. 6.3.

Fig. 6.3 - Andamento della velocità del vento

Per l’edificio in esame sono: classe di rugosità A, zona geografica I, h < 500 m s.l.m, distanza dal mare > 30 km. In base a tali caratteristiche il sito è classificato nella categoria di esposizione V per cui:

kr = 0,23 ctt =1 z0 = 0,70 m zmin = 12 m Il profilo della velocità in funzione della quota (z) vale pertanto:

vp (z) = ( ) [ ]evz z z zc z = 0,23 1 ln 7 + ln 28,05 = 6,45 ln 7 + ln m/s

0,70 0,70 0,70 0,70⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Per z ≤ 12 m vp (z) = ( )ev12 12c 12 = 6,45 ln 7 + ln = 34,12 m/s

0,70 0,70⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

costante

La velocità del vento sulle pareti sottovento3 si assume con valore costante, valutato per un’altezza convenzionale z = h* pari alla quota altimetrica del baricentro della copertura. Nel caso in esame (fig. 6.2):

h* = (19,30 + 20,83) /2 = 20,07 > 12 m

vp (h*) = ( )ev20,07 20,07c 20,07 = 6,45 ln 7 + ln = 38,03 m/s0,70 0,70

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

costante

3 3 Assimilando il vento a un fascio di luce sono sopravento gli elementi illuminati, sottovento quelli in ombra



C) Pressione cinetica di di picco q (z) DM 3.3.6 La pressione cinetica di picco q(z) è legata alla velocità del vento dalla legge di Bernoulli:

( ) ( ) 2p

1q z = ρ v z2

⎡ ⎤⎣ ⎦ [6.7]

Assumendo per la densità dell’aria ρ = 1,25 kg/m3 se la velocità del vento è in [m/s] la pressione cinetica di picco q(z) risulta espressa in [N/m2]. Pertanto:

Pareti sopravento z ≤ 12 m q (12) = 0,625 ⋅ 34,122 = 727 N/m2 = 0,73 kN/m2 costante

Pareti sopravento z > 12 m q (z) = -3z z26,0 ln 7 + ln 100,70 0,70

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

[kN/m2]

Pareti sottovento z = h*= 20,07 m q (20.07) = 0,625 ⋅ 38,032 = 904 N/m2 = 0,90 kN/m2 costante

D) Azioni quasi statiche equivalenti “L’azione d’insieme esercitata dal vento su una costruzione è data dalla risultante delle azioni agenti sui singoli elementi considerando di regola, come direzione del vento, quella corrispondente a una degli assi principali della costruzione alla volta”. Si assumono gli assi di riferimento x,y di figura;

Il vento esercita in direzione perpendicolare agli elementi di parete o di copertura pressioni (positive) e depressioni (negative) a seconda della posizione degli elementi (sopravento o sottovento, interni o esterni) e della loro inclinazione rispetto all’orizzontale (vento radente – vedi figura):

Fig.6.4 - Pressioni e depressioni dovute al vento

L’intensità delle pressioni/depressioni varia in funzione della geometria dell’elemento e della pressione cinetica di picco q(z) secondo la relazione: w(z) = cp cd q(z) [6.8]

z quota altimetrica valutata a partire dal terreno cp coefficiente di pressione

cpe di pressione esterna: cpe = + 0,80 per elementi sopravento con inclinazione sull’orizzontale α ≥ 60°; cpe = - 0,40 per elementi sottovento paralleli alla direzione del vento (vento radente) e per falde sopravvento e sottovento con α ≤ 15°;

cpi di pressione interna: per costruzioni non stagne e con aperture regolarmente distribuite di superficie uniforme cpi = ± 0,20 scegliendo il segno che da luogo alla combinazione più sfavorevole.

cd coefficiente dinamico variabile tra 0,05 e 1,15, tiene conto degli effetti riduttivi associati alla non contemporaneità delle massime pressioni locali e degli effetti amplificativi dovuti alle vibrazioni strutturali. Il suo valore dipende dalla tipologia (struttura in calcestruzzo o



muratura, in acciaio o mista in acciaio-calcestruzzo) e dalle rapporto tra le dimensioni dell’edificio. Per l’edificio in esame cd = 0,95.

DM 3.3.4 Per il calcolo dell’effetto globale del vento sulle pareti esterne verticali (α = 90°) nelle due direzioni x e y si cumulano gli effetti delle pressioni e depressioni sulle pareti sopravento e sottovento.4 La pressione unitaria totale agente nelle direzioni rispettivamente X e Y vale pertanto

Per z ≤ 12 m q (z) = ± 0,95 (0,80 ⋅0,73 + 0,40 ⋅ 0,90 ) = ± 0,95 (0,584 + 0,36) = ± 0,90 kN/m2

Per z > 12 m q (z) = -3z z± 0,95 0,80 26 ln 7 + ln 10 + 0,40 0,900,70 0,70

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

[kN/m2]

Nell’ipotesi che la struttura abbia solai infinitamente rigidi nel proprio piano, l'azione del vento può essere schematizzata con un sistema di forze orizzontali applicate a livello di ciascun solaio, considerate agenti separatamente secondo gli assi principali x e y dell'edificio e, per ciascuna direzione, alternativamente nei due versi opposti. Stante la modesta inclinazione delle falde (α = 10,7° < 15°), sulla copertura si hanno pressioni e depressioni le cui componenti orizzontali si annullano vicendevolmente. L’intensità delle forze di piano è il prodotto della pressione q(z) per la superficie di facciata di competenza di ciascun impalcato (semialtezza di piano x larghezza facciata). La pressione q(z) si assume convenzionalmente alle quote z di ciascun solaio indicate. Le rette d'azione delle forze risultanti sono applicate a livello del solaio e passano per la linea d’asse di ogni facciata, di coordinate (17,80; 5,96) m – vedi par 6.3.2. Cumulando le pressioni e depressioni agenti sulle due pareti ortogonali alle direzioni x e y si ottengono le forze di piano di tabella 6.2 e fig. 6.5.

Vento in direzione X Vento in direzione Y Piano

quota di piano

(m)

pressione unitaria (kN/m2)

altezza di influenza profondità

(m) area(m2)

Fxi (kN)

profondità (m)

area (m2)

Fyi (kN)

ST 18,26 1,00 2,79 38,2 ± 38,2 100,7 ± 100,7P5 15,23 0,94 ± 39,0 ± 102,8P4 12,20 P3 9,17 P2 6,14 P1 3,11

0,90 3,03

13,70 41,5

± 37,4 36,10

109,4 ± 98,8

Totale Fx = ± 227 kN Totale Fy = ±599 kN

Tabella 6.2 - Carichi di vento – Azioni statiche equivalenti

Fig. 6.5 - Carichi di vento

4 Il coefficiente cpi va preso in conto solo per la verifica dei singoli elementi e ha effetto nullo sull’effetto globale.



Per edifici, come quello in esame, aventi altezza maggiore di 18 m si devono considerare anche gli “effetti torsionali” dovuto al vento agente in modo asimmetrico. Per edifici ordinari le NT individuano i 4 casi di carico di figura 6.6. In figura il simbolo “p” significa “pressione”, e “d” depressione.

Fig. 6.6 - Azione “torsionale” del vento

I casi 2 e 4 possono essere ridotti a una forza equivalente con la relativa eccentricità. Nel caso 2 definita ln la lunghezza della parete normale alla direzione del vento sono:

Risultante delle forze di vento: R = (p + d) (0,5 ln + 0,75 ⋅ 0,5 ⋅ ln) = 0,875 ln (p + d) Momento della forze rispetto al lato inferiore del fabbricato

M = (p + d) [(0,5 ln ⋅ 0,75 ln ) + (0,75 ⋅ 0,5 ⋅ ln) ⋅ 0,25 lv ] = 0,47 ln2 (p + d) La risultante R agisce pertanto alla distanza e = M/R = (0,47/0,875) ln = 0,54 ln dal lato inferiore, dunque è posta a distanza (4%ln) oltre la mezzeria delle pareti. Si devono pertanto considerare l’87,5% delle forze di tabella 6.2 (casi 1x e 1y) a una distanza, dalla mezzeria dei lati del fabbricato ortogonali alla direzione del vento, pari al 4% della loro lunghezza dei lati- Tali distanze sono dunque rispettivamente pari a (0,04 x 13,70) = 0,55 m e (0,04 x 36,10) = 1,44 m rispetto agli assi di simmetria del solaio che distano 17,80 m e 6,50 m dall’origine del sistema di riferimento globale. Nel caso 4, somma di due casi (2x) e (2y), entrambe le forze sono eccentriche. Calcolando le distanze rispetto all’origine del sistema globale si ottengono i valori di tabella 6.3.

Fx ey Fy ex caso [kN] [m] [kN] [m]

1x ± 227 6,50 1y ± 599 17,80 2x ± 0,875·227 = ± 199 6,50+0,55 = 7,05 2y ± 0,875·599 = ± 524 17,80+1,44 =19,24 3 ± 0,75·227 = ± 170 ± 0,75·599 = ± 449 4 ± 199 7.05 ± 524 19,24

Tabella 6.3 – Azioni del vento



6.3 Azioni ambientali e naturali - sisma 6.3.1 Accelerazione di progetto Sd (T) – stato limite ultimo

DM 3.2 L’edificio è localizzato in zona sismica 4, una zona per la quale ciascuna Regione può richiedere la verifica sismica. Si assume una Classe di Duttilità (CD) bassa.

L’azione sismica in zona 4 è definita da:

• valori di accelerazione amax con una probabilità di superamento pari al 10% in 50 anni compresi tra il 2,5% e il 5% dell’accelerazione di gravità (0,025 g ≤ amax ≤ 0,05 g);

• un’accelerazione di ancoraggio al suolo dello spettro di risposta elastico ag = 0,05g. Per strutture regolari in altezza la verifica può essere effettuata utilizzando l’analisi statica equivalente anziché l’analisi dinamica modale. Se la struttura è, come quella in esame, anche regolare in pianta è possibile scindere l’azione sismica in due azioni separate, studiando un modello piano della struttura per ciascuna direzione principale.5 In via semplificata la 3274 consente che non siano effettuare le verifiche allo stato limite di danno se si assume, per la verifica allo SLU, un valore di accelerazione delle masse di intensità 0,05g. In alternativa per una valutazione più precisa si può adottare l’azione sismica di progetto Sd(T1) ricavata dallo spettro di risposta in accelerazione. Gli effetti di un terremoto su una struttura dipendono dall’interazione tra le caratteristiche della struttura e le caratteristiche del sisma, cioè l’accelerazione a cui la struttura è sottoposta. Tale interazione viene definita attraverso lo spettro di risposta di progetto Sd (T), una funzione che ha in ascissa il periodo di vibrazione T dell’oscillatore elastico “equivalente” al sistema strutturale specifico, in ordinata l’accelerazione Sd a cui è soggetta la massa dell’oscillatore a seguito dell’applicazione, sul substrato rigido del sedime di fondazione, dell’accelerazione di “ancoraggio al suolo” ag ( g = “ground”, terreno). Un coefficiente S ≥1 amplifica l’accelerazione di ancoraggio ag per tenere conto degli effetti di risonanza/amplificazione dovuti alle caratteristiche stratigrafiche del terreno nella zona compresa tra il substrato rigido e l’opera di fondazione. Lo spettro è formato da diverse parti individuate dalle equazioni:

0 ≤ T ≤ TB ( ) ( )d gB B

2,5 T TS T = a S + 0,4q 1-q T T

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

TB ≤ T ≤ TC ( ) ( )d g2,5S T = a Sq

⋅ ⋅

TC ≤ T ≤TD ( ) ( ) Cd g

2,5 TS T = a Sq T

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

[6.9]

TD ≤ T ≤ 4 s ( ) ( ) C Dd g 2

2,5 T TS T = a Sq T

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

nelle quali: ag accelerazione di ancoraggio al suolo relativa ad un terreno di tipo A (roccia) S coefficiente che tiene conto degli effetti locali di amplificazione dovuti al terreno q fattore di struttura che modella il comportamento anelastico della struttura TB, TC, TD valori dei periodi che identificano i diversi rami dello spettro, dipendenti anch’essi dal

profilo stratigrafico del terreno di fondazione.

5 Per le strutture in zona 4 l’analisi statica equivalente separata secondo due direzioni è sempre applicabile,

indipendentemente dalla regolarità strutturale, purché si adotti un’accelerazione di progetto “convenzionale” pari a Sd(T1) = 0,05 g.



Parametri dello spettro di risposta allo SLU Per i terreni nei quali non sono presenti strati superficiali alluvionali di spessore compreso tra 5 e 20 m, i parametri dello spettro di risposta allo stato limite ultimo che caratterizzano l’azione applicata alla struttura hanno i valori di tabella 6.4:

Tipo terreno S TB [s]

TC [s]

TD [s]

B, C, D 1,25 0,15 0,50 2,0

Tabella 6.4 – Parametri dello spettro di SLU Periodo fondamentale di vibrazione T1

OR 4.5.2 Se si applica l’analisi statica lineare, nel caso di edifici la cui altezza è minore di H = 40 m il periodo fondamentale di vibrazione T1 può essere stimato in via semplificata mediante la formula: T1 = C1 H3/4 [s] [6.10] Secondo l’Ordinanza 3274 per edifici con struttura a telaio in calcestruzzo armato è C1 = 0,075, per altri tipi di edificio C1 = 0,050. Nel caso specifico adottando l’altezza H = 18,26 m a livello del sottotetto il periodo fondamentale di vibrazione dell’edificio è pari a

T1 = C1 H3/4 = 0,075· 18,263/4 = 0,66 s. In base ai valori di tabella 6.4 il periodo T1 identifica la parte di spettro compresa tra i limiti TC e TD e di conseguenza la terza equazione delle [6.9]. Fattore di struttura q

DM 5.7 Il fattore di struttura q è un valore adimensionale che individua indirettamente la duttilità della struttura. Può essere calcolato in via semplificata con la relazione

q = (Kα KD KR ) q0 [6.11] qo valore “di base” che dipende dal livello di duttilità attesa, pari a 4,0 per strutture miste telaio – pareti.

Kα fattore di duttilità della struttura, che dipende dal rapporto tra il valore αu dell’azione sismica per il quale si verifica la formazione di un numero di cerniere plastiche tale da rendere labile la struttura e α1 per il quale il primo elemento strutturale raggiunge la sua resistenza flessionale; per strutture classificabili come “miste telaio – pareti” è Kα = αu/α1 = 1,20.

KD fattore che dipende dalla Classe di Duttilità CD; per CD “B” è KD = 0,7. KR fattore che dipende dalla regolarità dell'edificio; per edificio regolare in altezza è KR = 1, per edificio

non regolare è KR = 0,80.

Nel caso in esame q = Kα KD KR q0 = 1,2· 0,7·1· 4 = 3,36 Per T = T1 e TC ≤ T1 ≤TD. si ottiene:

( ) Cd 1 g

1

T2,5 2,5 0,50S T = a S = 0,05 g 1,25 = 0,035gq T 3,36 0,66

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

La presa in conto dello spettro elastico consente una riduzione delle forze sismiche del 30% rispetto alla soluzione semplificata basata su una accelerazione “convenzionale” di intensità 0,05g. Gli effetti del sisma dell’edificio si riducono dunque nello stesso rapporto. La scelta di adottare l’accelerazione spettrale invece della accelerazione convenzionale impone peraltro la verifica di stato limite di danno.


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6.3.2 Accelerazione di progetto Se (T) – stato limite di danno

DM 3.2.2.6 Lo spettro di progetto per lo stato limite di danno è definito dalle equazioni:

0 ≤ T ≤ TB ( ) ( )e gdB B

T 0,4 TS T = a S η 2,5 + 1-T η T

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

TB ≤ T ≤ TC ( ) ( )e gdS T = a S η 2,5⋅ ⋅ ⋅

TC ≤ T ≤TD ( ) ( ) Ce gd

TS T = a S η 2,5T

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

[6.12]

TD ≤ T ≤ 4 s ( ) ( ) C De gd 2

T TS T = a S η 2,5T

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Per S, TB TC e TD continuano a valere i valori definiti per lo spettri di SLU (tab. 6.4). agd (d = “danno”) è l’accelerazione di ancoraggio dello spettro per la quale la probabilità di superamento è pari al 50% in 50 anni. L’accelerazione agd , essendo riferita a eventi caratterizzati da una frequenza di accadimento più elevata di quelli su cui si basa la verifica allo SLU, ha valore minore di ag. Sulla base di quanto indicato nell’OPCM 3519/2006 e nelle successive mappe di pericolosità6 è possibile assumere, per la maggior parte delle zone del nord Italia un valore di agd compreso tra 0,025g e 0,05g. In base alle considerazioni sopra riportate nel caso in esame si assume agd = 0,025g. Parametri dello spettro di risposta di SLD Per tutti i terreni in cui non sono presenti strati superficiali alluvionali di spessore compreso tra 5 e 20 m, i parametri di identificazione dello spettro di stato limite di danno hanno i valori di tabella:

Tipo terreno S TB [s]

TC [s]

TD [s]

B, C, D 1,5 0,05 0,25 1,2

Tabella 6.5 – Parametri dello spettro di SLD Fattore di correzione dello smorzamento η Il coefficiente percentuale di smorzamento viscoso equivalente dell’azione sismica ξ dipende dal tipo di materiali utilizzati, dalla tipologia strutturale e dal terreno di fondazione. Le norme suggeriscono il valore ξ = 5%. Il fattore di correzione η serve a tener conto di un coefficiente ξ avente valore diverso dal 5%. Nel caso in esame si assumono ξ = 5% dunque η = 1. Il valore del periodo fondamentale dell’edificio T1 = 0,66s identifica la parte di spettro compresa tra i valori TC e TD. In base ai parametri sopra indicati per TC ≤ T1 ≤TD risulta pertanto:

( ) ( ) Ce gd

T 0,25S T = a S η 2,5 = 0,025g 1,25 1 2,5 = 0,030gT 0,66

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dato che i tamponamenti presenti nella struttura possono ridurne la deformabilità, occorre inoltre verificare che gli spostamenti relativi di interpiano non superino il valore dr ≤ 0,5%h, essendo h l’altezza di interpiano. Per tale verifica occorre dunque determinare gli spostamenti del solaio.

6 Le mappe di pericolosità relative a probabilità annuali di eccedenza diverse dalla probabilità su cui si basa la

verifica allo SLU (10% in 50 anni) sono state redatte dal medesimo gruppo di lavoro che ha definito la mappa dell’OPCM 3519/2006 e sono scaricabili dal sito www.ingv.mi.it.


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6.3.3 Modello delle azioni sismiche orizzontali L’effetto delle azioni sismiche può essere trattato in modo analogo all’effetto delle azioni dovute al vento, assumendo l’ipotesi di solai infinitamente rigidi. Nell’analisi statica equivalente il sisma è modellato con un sistema di forze orizzontali di piano ottenute ripartendo proporzionalmente all’altezza di piano il “tagliante alla base” Fh che vale:

Fh = Sd(T1)· λ W·/g [6.12] W è il peso complessivo del fabbricato (v. oltre) dunque W/g rappresenta la massa totale del fabbricato. Il coefficiente λ tiene conto in modo forfetario della massa "modale" che realmente partecipa al modo di vibrare fondamentale: per edifici a telaio in calcestruzzo armato con più di tre piani per i quali T1 < 2TC, è λ = 0,85.

DM 3.2.3 Sia i pesi dei singoli piani Wi che il peso complessivo dell’edificio W sono calcolati per i carichi che sono sempre “mediamente” presenti, cioè nella combinazione di carico quasi permanente:

Gk + Σi (ψ2i Qik)

SI assumono ψ2i = 0,30 per carichi di abitazione e sulle scale e ψ2i = 0,20 per i carichi su tetti e coperture. Con tali ipotesi il carico totale della parte di fabbricato libera di oscillare è W = 28968 kN (tabella 6.6). Il tagliante alla base vale pertanto

Fh = 0,035g·0,85 ·28968/g = 862 kN allo SLU Fh = 0,030g·0,85·28968/g = 739 kN allo SLD

Esso si distribuisce sui vari piani in proporzione al momento statico delle masse del singolo piano zi Wi

rispetto al momento statico delle masse di tutto l’edificio Σ(zj Wj):

Fi = Fh zi Wi/ Σ(zj Wj) [6.13] Ciascuna forza di piano agisce nel baricentro delle masse (“centro di massa”) di ciascun solaio. La posizione del centro di massa può essere calcolata con sufficiente precisione in base al valore dei carichi agenti sui pilastri: dato che per la [6.12] la forza orizzontale sismica è proporzionale al carico totale verticale si può assumere anche per ogni elemento verticale una forza orizzontale proporzionale al carico verticale che gli compete. I La tabella 6.6 riporta, per la combinazione di carico quasi permanente, il carico verticale agente su ciascun elemento verticale. In base alla posizione di ciascun elemento il centro di massa ha coordinate:

xm = 17,80 m ym = 5,96 m Per tenere conto dell’incertezza relativa alla distribuzione reale delle masse in condizioni di esercizio, la retta d’azione della forza sismica si considera possa passare non nel centro di massa, ma con eccentricità eai pari al ± 5% della dimensione massima del solaio nella direzione perpendicolare alla direzione dell’azione sismica considerata. La retta d’azione si trova dunque nella zona compresa tra le rette xm = 17,80 ± 36,10· 0,05 = 17,80 ± 1,81 m = (15,99 m; 19,61 m) ym = 5.96 ± 13,70· 0,05 = 5,96 ± 0,69 m = (5,25 m; 6,65 m) Si dovrà tenere conto della condizione che rende massima la distanza tra la retta d’azione della forza sismica e la posizione del baricentro delle rigidezze K, punto attorno a cui ruota il solaio.


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coordinate

x y

forza verticale My Mx

tipo rif.

[m] [m] [kN] [kNm] [kNm] ASC B 4 7.95 4.50 2583 22856 9073 ASC B 10 25.85 4.50 2583 69085 9073

C A 1 0.00 0.00 437 0 0 A 2 3.60 0.00 818 2944 0 A 3 7.95 0.00 663 5268 0 A 5 10.85 0.00 491 5328 0 R

A 6 14.00 0.00 730 10218 0 C A 7 17.80 0.00 725 12908 0

A 8 21.60 0.00 730 15766 0 A 9 24.75 0.00 491 12154 0 A 11 27.65 0.00 663 18321 0 R

A 12 32.00 0.00 818 26170 0 C A 13 35.60 0.00 437 15562 0 R C 1 0.00 6.50 995 0 6469

C 2 3.60 6.50 1623 5842 10547 C 6 14.00 6.50 1462 20468 9503 C 7 17.80 6.50 1457 25943 9473 C 8 21.60 6.50 1462 31580 9503

Q

C 12 32.00 6.50 1623 51926 10547 R C 13 35.60 6.50 995 35431 6469 C D 1 0.00 13.00 432 0 5617

D 2 3.60 13.00 893 3214 11605 D 3 7.95 12.48 696 5532 8680 D 5 10.85 12.48 508 5515 6341 D 6 14.00 13.00 700 9806 9106 D 7 17.80 13.00 725 12901 9422 D 8 21.60 13.00 700 15129 9106 D 9 24.75 12.48 508 12581 6341 D 11 27.65 12.48 696 19239 8680

R

D 12 32.00 13.00 893 28565 11605 C D 13 35.60 13.00 432 15383 5617 Totale 28968 515634 172780

m m515634 172780x = = 17,80 m y = = 5,96 m28968 28968

Tab. 6.6 – Coordinate del centro di massa


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6.4 Azioni orizzontali Nella tabella 6.7 sono riportate

- l’ntensità delle diverse azioni orizzontali - la distanza ey o ex delle relative rette d’azione dall’origine del sistema di riferimento globale - la distanze e = max (ex – yK ; ey – x ) tra le rette d’azione delle forze orizzontali e il baricentro delle

rigidezze K avente coordinate (17,80; 3,82) m. Nel caso in cui ey o ex abbiano segno ± , la distanza e è calcolata assumendo il segno che ne rende massimo il valore

- il momento torcente Mz ottenuto applicando alla forza in esame l’eccentricità e.

F ex ey e Mz Tipo Caso/ direzione

[kN] [m] [m] [m] [kNm]

Imp. geometriche x,y 115 17,80 5,96 2,14 248

1x 227 6,50 2,68 608 2x 199 7,05 3,23 643 1y 599 17,80 0 0 2y 524 19,24 1,44 755 3x 170 6,50 0 3y 449 17,80 0

0

199 7,05 3,23

Vento

4 524 19,24 1,44

1398

x 6,65 2,83 2440 Sisma SLU

y 862

19,61 1,81 1560 x 6,65 2,83 2091

Sisma SLD y

739 19,61 1,81 1338

Tabella 6.7 – Confronto delle azioni orizzontali Moltiplicando l’intensità di ciascuna forza per l’eccentricità “e” si ottiene il momento torcente Mt applicato al solaio. Gli effetti delle imperfezioni geometriche sono nettamente inferiori a quelli del vento e del sisma: esse non vengono pertanto ulteriormente considerate. Allo SLU si verificano due diverse combinazioni: - la combinazione che cumula gli effetti del vento con i massimi carichi verticali - la combinazione sismica.


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6.5 Combinazione delle azioni – carichi verticali e vento

6.5.1 Pilastri Allo SLU gli effetti dell’azione del vento sugli elementi verticali si valutano considerando il solaio del primo piano come infinitamente rigido. La ripartizione della forza totale orizzontale dovuta al vento si effettua con le modalità descritte nel capitolo 5

• affidando l’intera forza ai soli elementi di controvento; • comunque considerando, a favore di sicurezza, nelle verifiche di ciascun pilastro, la forza

orizzontale che ad esso risulta dalla ripartizione. Dalla tabella 6.7 il caso “dominante” per il vento risulta il n.°4, che genera il maggior effetto torsionale. Tale caso è somma dei casi 2x e 2y: il vento in direzione x ha risultante Fx = 199 kN, e momento torcente Mt = 199·3,23 @ 643 kNm, il vento in direzione y ha risultante Fy = 524 kN, e momento torcente Mt = 524· 1,44 @ 755 kNm, dunque il momenti torcente totale vale Mt = 643 + 755 @ 1398 kNm. Dalla ripartizione si ottengono su ciascun elemento le azioni di tab. 6.8.

I momenti Mz,i = (Mi + Fx,i yi2 + Fx,i xi2) tengono conto dei momenti torcenti Ti dovuti alla rotazione θ del piano e del contributo dovuto all’intensità delle forze reattive Fx,i Fx,i di ciascun elemento, considerate passanti per il centro di taglio dell’elemento. La risultante delle forze interne di componenti (Fx,i Fx,i Mz,i) ha i valori evidenziati in grassetto alla fine delle colonne relative ed è in equilibrio con le forze sollecitanti.

Tabella 6.8 – Azioni del vento – pilastri


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6.5.2 Elementi di controvento In base ai valori di tabella 6.8 il contributo offerto dai controventi all’assorbimento delle azioni orizzontali è pari a circa il 92% per ogni direzione considerata. I valori delle azioni - forze e coppie - su tali elementi sono ripetuti nelle prime colonne di tabella 6.9. Poiché convenzionalmente agli elementi di controvento si vuole affidare il 100% degli effetti delle forze orizzontali, calcolato il rapporto tra le azioni globali e il totale parziale delle azioni assorbite dai soli elementi di controvento si moltiplica per tale rapporto ciascuna azione. Le tre ultime colonne di tabella 6.9 riportano i valori ricalcolati.

Fx,i Fy,i Mi Fx,i Fy,i Mi Tipo rif. [kN] [kN] [kNm] [kN] [kN] [kNm]

B 4 91.25 157.11 0.36 99.0 169.7 0.6 ASC B 10 91.25 272.84 0.36 99.0 294.8 0.6 D 3 0.24 9.69 0.07 0.3 10.5 0.1 D 5 0.24 10.89 0.07 0.3 11.8 0.1 D 9 0.24 16.64 0.07 0.3 18.0 0.1 S

D 11 0.24 17.84 0.07 0.3 19.3 0.1 Tot. controventi 183 485 0.99

Tot. generale 199 524 1,70 199 524 1.70 Rapporto 1,09 1,08 1.72

Tabella 6.9 – Azioni del vento – controventi Gli elementi più sollecitati risultano il vano ascensore B10 e il setto D11 evidenziali in tabella. Per il calcolo delle sollecitazioni su tali elementi occorre considerare che

- essendo le strutture di controvento considerate come mensole incastrate alla base, per il calcolo del momento di incastro le forze di tabella 6.9 vanno ripartite lungo tutta l’altezza di tali strutture (fig- 6.7). A tal fine si attribuisce, a ciascun piano, una quota delle azioni di tabella 6.9 proporzionale al peso che la forza vento, a livello di ciascun piano, ha rispetto alla totale forza di vento, utilizzando i valori di tabella 6.2;

- per calcolare il momento torcente che sollecita i vani ascensore occorre tener presente che le azioni orizzontali di tabella 6.9 sono applicate nel centro di taglio, esterno alla sezione e distinto dal baricentro. Riportando la forza eccentrica Fx nel baricentro nasce un momento torcente di trasporto, che va sommato al torcente proprio.

Tipo rif. Fy,i Fx,i ey Mi MI,tot [kN] [kN] [m] [kNm] [kNm]

ASC B 4 169,7 99.0 1.95 0.6 194 B 10 294,8 99.0 1.95 0.6 194

In tabella 6.10 sono riportate le azioni applicate, a livello di ciascun solaio su ascensori e setti. Poiché in fase di predimensionamento si è ipotizzato che i vani ascensore lavorino in condizioni non fessurate sotto gli effetti del vento, occorrerà validare anche tale ipotesi.

Fig. 6.7 – Controvento – forze di piano


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forze di piano vano ascensore quota di piano Fxi Fyi Fx Fy My Mx Mz Piano [m] [kN] [kN] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm]

ST 18.26 34 88 16.7 49.3 304.4 900.1 32.7 P5 15.23 34 90 17.0 50.7 259.2 771.7 33.3 P4 12.2 33 87 16.3 48.7 199.1 594.2 32.0 P3 9.17 33 87 16.3 48.7 149.7 446.6 32.0 P2 6.14 33 87 16.3 48.7 100.2 299.0 32.0 P1 3.11 33 87 16.3 48.7 50.8 151.5 32.0

Totali 199 524 99.0 294.8 1064 3163 194

Tab. 6.10a – Azioni del vento – vano ascensore B10

forze di piano setto vano scala D11 quota di piano Fxi Fyi Fx Fy My Mx Mz

Piano [m] [kN] [kN] [kN] [kN] [kNm] [kNm] [kNm] ST 18.26 34 88 0.04 3.2 0.8 58.9 0.02 P5 15.23 34 90 0.04 3.3 0.7 50.5 0.02 P4 12.2 33 87 0.04 3.2 0.5 38.9 0.02 P3 9.17 33 87 0.04 3.2 0.4 29.2 0.02 P2 6.14 33 87 0.04 3.2 0.3 19.6 0.02 P1 3.11 33 87 0.04 3.2 0.1 9.9 0.02

Totali 199 524 0.3 19.3 3 207 0.12

Tab. 6.10b – Azioni del vento – setto D11


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6.6 Combinazione delle azioni – carichi verticali e azione sismica

Come per il vento, anche gli effetti dell’azione sismica si prendono in conto:

• affidando l’intera forza ai soli elementi di controvento,e contemporaneamente

• considerando, a favore di sicurezza, anche la quota spettante al singolo pilastro.

6.6.1 Sisma - SLU Il sisma in direzione x genera a livello del primo impalcato la forza orizzontale Fx = 862 k e il momento Mt = 1560 kNm. Si ottengono gli spostamenti

u0 = 0,235 mm v0 = 0 mm θ = 7,1 x 10-6 rad.

Le reazioni dei singoli elementi e gli spostamenti ui = u0 - θ yi vi = v0 + θ xi

e complessivo 2 2i i i= u + vδ sono riportati nella tabella 6.11.

Tabella 6.11 – Azione sismica di SLU in direzione x – primo solaio

Il sisma in direzione y genera la forza orizzontale Fx = 862 kN e il momento Mt = 2440 kNm. Si ottengono gli spostamenti

u0 = 0 mm v0 = 0,22 mm θ = 4,52 x 10-6 rad.

Le reazioni dei singoli elementi e gli spostamenti ui = u0 - θ yi vi = v0 + θ xi

e complessivo 2 2i i i= u + vδ sono riportati nella tabella 6.12.


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Tabella 6.12 – Azione sismica di SLU in direzione y – primo solaio

6.6.2 Verifica allo SLD – calcolo dello spostamento di interpiano Le verifiche di SLD richiederebbero una seconda ripartizione delle azioni, adottando le intensità di tab. 6.8 ma è possibile evitare la procedura utilizzando i risultati già disponibili per lo SLU. Stante l’ipotesi di modello lineare, gli spostamenti di SLD si possono ricavare da quelli di SLU moltiplicando gli spostamenti di quest’ultimo per il rapporto tra le forze sismiche nei due casi. In via semplificata e a favore di sicurezza, in tabella 6.12 l’elemento che presenta il massimo spostamento è quello con sigla A13, per il quale per sisma agente in direzione Y lo spostamento vale δ = 0,30 mm. Per proporzionalità lo spostamento dello stesso elemento allo SLD risulta:

r,max,SLDd = 0,30 739/862 = 0,26 mm⋅

Poiché l’elemento è assunto come incastrato alla base, tale spostamento corrisponde con lo spostamento massimo di interpiano che, perché sia verificato lo stato limite di danno, deve essere minore del valore di confronto dr = 0,5% h = 0,005· 3030 = 15 mm:. La verifica è soddisfatta.


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6.6.3 Azione sismica - elementi di controvento Dai dati delle tabelle 6.11 e 6.12, il sistema di controventi risulta assorbire più del 90% delle azioni orizzontali: Con le stesse modalità adottate per le azioni dovute al vento, agli elementi di controvento viene affidato il 100% delle azioni sismiche I valori che assume la forza totale a livello del primo solaio sono, per ciascun nucleo o setto e per le due direzioni del sisma, riassunti in tabella 6.13. Le tre ultime colonne contengono i valori ricalcolati per fornire il 100% della forza orizzontale.

Fx,i Fy,i Mz,i Fx,i Fy,i Mz,i tipo rif.

[kN] [kN] [kNm] [kN] [kN] [kNm]

B 4 389.89 -100.99 0.63 426.2 -110.4 0.7 ASC B 10 389.89 100.99 0.63 426.2 110.4 0.7 D 3 2.14 -7.12 0.12 2.3 -7.8 0.1 D 5 2.14 -5.02 0.12 2.3 -5.5 0.1 D 9 2.14 5.02 0.12 2.3 5.5 0.1

S

D 11 2.14 7.12 0.12 2.3 7.8 0.1 Totale 788.3 0.0 1.7 Tot.

Generale 861.8 0.0 1.9 861.8 0.0 1.9

sisma x

Rapporto 1.1 0.0 1.1

Fx,i Fy,i Mz,i Fx,i Fy,i Mz,i tipo rif.

[kN] [kN] [kNm] [kN] [kN] [kNm]

B 4 2.28 288.97 0.40 2.5 312.2 0.4 ASC B 10 2.28 418.16 0.40 2.5 451.8 0.4 D 3 -0.48 18.09 0.08 -0.5 19.5 0.1 D 5 -0.48 19.43 0.08 -0.5 21.0 0.1 D 9 -0.48 25.85 0.08 -0.5 27.9 0.1

S

D 11 -0.48 27.19 0.08 -0.5 29.4 0.1 Totale 2.6 797.7 1.1 Tot.

Generale 2.9 861.8 1.2 2.9 861.8 1.2

sisma y

Rapporto 1.1 1.1 1.1

Tab. 6.13 – Azioni sui controventi Come per il vento, gli elementi più sollecitati sono il vano ascensore B10 e il setto D11 evidenziali in tabella. Anche in questo caso le azioni globali vanno distribuite tra i vari piani adottando la formula [6-13] e riportate, nel caso dei vani ascensore, dal centro di taglio al baricentro. Le tabelle 6.14 riportano i valori così ottenuti.


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Tab. 6.14a – Azioni sismiche - vani ascensore

Tab. 6.14b – Azioni sismiche - setti

6.7 Combinazione delle azioni Le azioni verticali e orizzontali agiscono simultaneamente sulla struttura è necessario cumularle secondo le “regole” definite al paragrafo 2.3. In campo elastico lineare l’effetto del vento in condizioni di SLU può essere tenuto in conto moltiplicando i valori delle tabb. 6.8, 6.10 e 6.11 per il coefficiente ψ0 = 0,6.

DM 3.2.3 La combinazione degli effetti dovuti al sisma con quelli relativi ai carichi verticali avviene utilizzando una “regola di combinazione” di SLU differente rispetto a quella che si usa nella condizione “statica”. Si considerano i carichi verticali nella combinazione di carico quasi permanente e li si combina con l’effetto di progetto del sisma.

EX/Y + Gk + Σi ψ2i Qik OR 4.6 Ciascuna azione sismica di progetto EX o EY è ottenuta combinando gli effetti dell’azione sismica secondo

una direzione con il 30% con gli effetti secondo l’altra direzione EX = EEdx + 0,30 EEdy EY = EEdy + 0,30 EEdx

Le azioni sollecitanti di progetto su un elemento si ottengono dunque per sovrapposizione degli effetti.



CAPITOLO 7 Solai

Il comportamento dei solai in laterocemento, come in genere di tutte le strutture snelle in cui non sono presenti armature trasversali per taglio, si basa su un meccanismo di trasferimento dei carichi agli appoggi (travi e muri) di tipo “arco-tirante”: in tale schema le spinte di un arco di calcestruzzo compresso molto ribassato sono equilibrate da un tirante realizzato dalle armature inferiori del solaio. Da qui l’importanza che almeno parte delle armature inferiori sia presente su tutta la lunghezza del solaio e sia ancorata in modo adeguato alle due estremità, prolungando le barre all’interno delle travi di bordo. Il dimensionamento delle armature viene effettuato considerando, a seconda della sollecitazione, sezioni a forma di T (in campata) o a forma rettangolare estesa (sull’asse delle travi) o ristretta (nelle zone di collegamento tra le nervature e le travi, se soggette a momento negativo). Data l’ampia zona di calcestruzzo compresso per la presenza della soletta le sezioni hanno in genere un basso rapporto di armatura e la verifica delle tensioni nel calcestruzzo, almeno per i carichi e le luci comuni negli edifici, non è mai critica. Per il calcolo delle armature sono sufficienti metodi approssimati basati sull’equilibrio. Nel seguito assunti come già verificati (cap. 3) gli stati limite di esercizio di deformazione, fessurazione e limitazione delle tensioni, si descrivono in sequenza: - il diagramma di inviluppo delle sollecitazioni agenti, calcolate con modelli elastico-lineari; - il calcolo dell’armatura teorica ed effettiva inferiore in campata; - il calcolo della quantità d’armatura inferiore che deve essere portata fino agli appoggi di estremità - il calcolo dell’armatura superiore all’appoggio centrale; - le verifiche a taglio - il calcolo delle lunghezze di ancoraggio.

7.1 Analisi delle sollecitazioni Il solaio è caricato dai carichi permanenti Gk = 5,94 kN/m2 e Qk = 2,0 kN/m2 . Per una larghezza di solaio pari a un metro (due nervature) il carico totale di progetto allo SLU ha intensità:

γG··Gd + γQ··Qd = (1,4 ⋅ 5,94 ⋅1 + 1,5 ⋅ 2⋅1) = (8,32 + 3,0) = 11,32 kN/m/m Due schemi statici coprono tutte le tipologie presenti nel solaio: nervature S03-S01 trave continua su due campate di luce 6,525 m con appoggi di estremità nervatura S04 trave appoggiata di luce 4,525 m Per tutte le nervature non si considerano, per il calcolo delle sollecitazioni, a favore di sicurezza momenti di semi incastro agli appoggi di estremità. Per le nervature S03-S01 la disposizione dei carichi variabili genera i diagrammi di inviluppo delle sollecitazioni di momento e taglio di figura 7.1.1 Le reazioni massime sono dovute alla combinazione con entrambe le campate caricate e γG = 1,4 γQ = 1,5. Per la nervatura S04 la sollecitazione massima vale:

( ) 2 2G k Q k

maxG + Q l 11,32 4,525M = = = 29,0

8 8γ γ ⋅ ⋅ kNm

EC2 5.3.2.4 Se un elemento è continuo su un appoggio che non costituisce vincolo alla rotazione, come è per le nervature S03 – S01 il vincolo rappresentato dalla trave centrale, il momento sull’appoggio può essere 1 I diagrammi di inviluppo sono calcolati con il programma “TraveConDWG” del prof. Gelfi, scaricabile liberamente

dal sito www.euroconcrete.it



ridotto perchè la reazione d’appoggio R non risulta concentrata in un punto, ma uniformemente distribuita sulla larghezza “t” dell’appoggio. Da considerazioni di equilibrio la riduzione vale (fig. 7.2):

ΔM = R t/8

La trave centrale ha larghezza t = 0,65 m ed è R = 92,30 kN/m. Risulta ΔM = 92,30⋅0,65/8 = 7,5 kNm/m

Scala momenti 1:25 - Sollecitazioni SLU

M min 0 -60.22 0M max 39.45 39.45R max 29.88 92.30 29.88R min 12.34 48.45 12.34

Scala tagli 1:25 - Sollecitazioni SLU

T maxs 0 -46.15 -29.88T maxd 29.88 46.15 0Luci 6.525 6.525gk 5.94 5.94qk 2 2

Fig, 7.1 – S03-S01 - diagrammi di inviluppo delle sollecitazioni

Fig, 7.2 – S03 – S01 Riduzione del momento sull’appoggio

Per il progetto delle armature le sezioni di interesse e le sollecitazioni allo SLU di momento MSd e taglio VSd sono: S03-S01 asse della trave centrale MSd = (60,2 - 7,5) = 52,7 kNm/m filo della trave centrale (prima sezione ristretta) MSd = 45,8 kNm/m campata, a z = 29,88/11,32 = 2,64 m dall’asse della trave di bordo MSd = 39,5 kNm/m prima sezione ristretta a filo della trave centrale: VSd = 46,15 – 11,32 x 0,325 = 42,5 kN/m

S04: campata a distanza z = 2,23 m dall’asse della trave di bordo MSd = 29,0 kNm/m sezione ristretta a filo della trave centrale: VSd = 25,61 – 11,32 x 0,525 = 19,7 kN/m



7.2 Verifiche a flessione 7.2.1 Armature inferiori

EC2 5.3.1 I solai in laterocemento sono stati predimensionati (altezza e armatura) nel capitolo 3. Le sezioni di una nervatura sono rappresentate in figura 7.3. Il baricentro delle armature varia a seconda della luce e dello schema statico delle nervature. La distanza del baricentro delle armature inferiori tese al bordo inferiore del solaio S03 – S01 (intradosso laterizio) è d’ = 34 mm, l’altezza utile di conseguenza: d = h - d’ = 230 – 34 = 196 mm (fig. 7.3, sinistra); per il solaio S04 è d’ = 30 mm, pertanto d = 230 – 28 = 202 mm. (fig. 7.3, destra).

Fig. 7.3 – Nervature S03 – S01 e S04– sezione

La larghezza minima delle nervature bw deve risultare ≥ 1/8 dell’interasse i tra i travetti, con un minimo di 80 mm. Nel caso in esame:

i = 500 mm bw = 100 > 500/8 La quantità di armatura tesa in campata, stimata nel paragrafo 3.4.1, fornisce i rapporti geometrici e meccanici: S03 – S01

3 φ 12 per nervatura sA 6 113= 100 = 0,35%bd 1000 196

⋅ρ =

⋅ yd

cd

f 0,35 391= = 0,09f 100 15,8

ω= ρ ⋅

S04

2 φ 12 per nervatura sA 4 113= 100 = 0,22%bd 1000 202

⋅ρ =

⋅ yd

cd

f 0,22 391= = 0,05f 100 15,8

ω= ρ ⋅

QT4 6.5 Per una sezione a T con asse neutro nell’anima ma molto vicino al bordo inferiore dell’ala, nell’ipotesi che la coppia resistente interna sia realizzata dalle risultanti delle tensioni di compressione di intensità fcd nella soletta superiore uniformemente compressa, e delle tensioni fyd delle armature inferiori, risulta::

f flim lim

h h50 50= = = 0,26 = = = 0,25d 196 d 202

ω ω

Tale rapporto è maggiore di entrambi i valori precedenti, pertanto l’asse neutro taglia certamente l’ala e i travetti si verificano, a momento positivo, come sezioni rettangolari di larghezza pari alla larghezza dell’ala.

QT4 STR 2 Dalla tabella QT4 STR 2 ai rapporti meccanici corrispondono le profondità dell’asse neutro e i momenti resistenti :

S03 – S01 ω0 = 0,09 ξ = 1,235 ω0 = 0,105 x = ξ d = 0,105 x 196 = 22 < 50 mm μ = ω0 (1 – 0,513 ω0) = 0,09 (1 – 0,513 0,09) = 0,086 2 2 -6

Rd cdM = bd f = 0,086 1000 196 15,8 10 = 51,6 > 39,5 kNm/mμ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ S04 ω0 = 0,05 ξ = 1,235 ω0 = 0,062 x = ξ d = 0,062 x 202 = 13 < 50 mm μ = ω0 (1 – 0,513 ω0) = 0,05 (1 – 0,513 0,05) = 0,049 2 2 -6

Rd cdM = bd f = 0,049 1000 202 15,8 10 = 32,2 > 29,0 kNm/mμ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Per assicurare un'adeguata resistenza nei confronti di un eventuale vincolo di incastro parziale alle estremità delle travi l'EC2 richiede che, anche se nell’analidi delle sollecitazioni si sono assunti alle estremità vincoli di appoggio semplice, le sezioni d'estremità siano armate in modo da essere in grado di portare un momento negativo pari ad almeno il 25% del momento in campata, dunque per il momento maggiore pari a:



MSd = 0,25 x 39,5 = 9,9 kNm/m

L’armatura prevista in campata per il solaio S04 (4 φ 12/metro) fornisce il momento resistente MRd = 32,6 kNm/m dunque ciascuna barra contribuisce al momento totale per una quota pari a 32,2/4 = 8,1 kNm/m. E’ pertanto sufficiente disporre superiormente all’estremità del solaio e in tutte le nervature una barra φ 12, in grado di realizzare un momento resistente MRd = 2 x 8,1 = 16,2 > 9 kNm/m. Il meccanismo arco-tirante prevede che alle estremità della trave sia presente una quantità d’armatura tale da realizzare il tirante inferiore. L’arco, fortemente ribassato, si assume inclinato alle estremità di un angolo θ a cui corrisponde la forza di trazione NSd = Vsd cot θ (fig. 7.4) A favore di sicurezza si assume per l’angolo l’inclinazione minima sull’orizzontale θ = 21,8° (cot θ = 2,5) permessa dall’EC2 per le bielle di calcestruzzo Fig. 7.4 – Arco-tirante compresso nel caso di travi armate a taglio. Nell’ipotesi che le armature lavorino tutte al tasso fyd la quantità minima di armatura longitudinale Asl richiesta per il tirante risulta:

S03 – S01 NSd = Vsd cot θ = 29,9 ⋅ 2,5 = 74,8 kN/m Asl = NSd /fyd = 74,8 ⋅ 103 /391 = 191 mm2/m

S04 NSd = Vsd cot θ = 25,6 ⋅ 2,5 = 64 kN/m Asl = NSd /fyd = 64 ⋅ 103 /391 = 164 mm2/m

Portando alle estremità del solaio una barra per nervatura è: Asl = 2 ⋅ 113 = 226 > 191 mm2/m. Tali amature devono ovviamente essere adeguatamente ancorate (v. oltre).

7.2.2 Armature superiori La sezione di solaio in corrispondenza dell’asse delle travi ha forma rettangolare di dimensioni (b x h)= (1000 x 230) mm. Nella parte inferiore della sezione, soggetta a momento negativo, risultano presenti e ancorate due delle barre di campata, una per travetto, ma tale armatura non viene presa in conto in quanto essendo posizionata al di sopra dell’armatura longitudinale delle travi, dunque molto distante dal lembo compresso della sezione, è poco sollecitata.

Se si utilizzano barre φ 14 mm valgono le grandezze geometriche (fig. 5.2): - distanza d’ del baricentro delle barre superiori tese dal bordo di calcestruzzo più vicino d’ = 32 mm - altezza utile delle armature tese: nella sezione sulla trave d = 230 – 32 = 198 mm; nella sezione

all’attacco trave.solaio con tavella inferiore di laterizio sp. 8 mm: d = 198 – 8 = 190 mm Il massimo momento negativo arrotondato ha intensità MSd = 52,7 kNm/m. Risultano:

6Sd2 2

cd

M 52,7 10 0,085bd f 1000 198 15,8

⋅μ = = =

⋅ ⋅

( ) ( )0,975 1 - 1- 2,05 0,975 1 - 1 - 2,05 0,085 0,089ω= μ = ⋅ =

cd

yd

bdf 0,089 1000 198 15,8 713f 391

ω ⋅ ⋅ ⋅= = =sA mm2/m

Si dispongono 3φ14 per nervatura (6 barre per metro) con area As = 6 x 154 = 924 > 713 mm2/m. Il momento nella prima sezione ristretta all’attacco tra le nervature e la trave (b = 2 x 120 = 240 mm), vale

MSd = 45,8 kNm/m. 6

245,8 10 0,335

240 190 15,8⋅

μ = =⋅ ⋅

( )0,975 1 - 1 - 2,05 0,335 0,429ω= ⋅ =

cd

yd

bdf 0,429 240 190 15,8 790f 391

ω ⋅ ⋅ ⋅= = =sA mm2/m: si mantengono 3φ14 per nervatura



7.3 Lunghezze di ancoraggio Per calcolare le lunghezze di taglio delle barre, alla lunghezza teorica, calcolata sulla base delle richieste strutturali, occorre sommare le lunghezze di ancoraggio. Per queste ultime occorre definire: - le condizioni locali di aderenza (buona o mediocre): tutte le barre, sia inferiori che superiori, presenti in

getti di spessore minore di 250 mm sono considerate in condizioni di “buona aderenza”; - il valore di progetto fbd della tensione di aderenza che, per barre con diametro fino a 32 mm in

condizioni di “buona aderenza” vale2:

ctk,0,05 2/3 2/3 2/3ctmbd ctd ck ck ck

c

0,85 f 0,7 ff = 2,25 f = 2,25 1,913 0,837 0,30 f 0,251 (0,83R ) = 0,222 R1,60

= = ⋅ ⋅ = ⋅γ

[7.1]

Per un calcestruzzo Rck 30 fbd = 0,222 . 302/3 = 2,14 N/mm2

Una barra di diametro φ, perimetro πφ e area πφ2/4 che lavora alla tensione di trazione fyd trasmette al calcestruzzo una forza pari a (πφ2/4) fyd. Per evitare che la barra si sfili dal calcestruzzo, tale forza deve essere equilibrata dalla risultante delle tensioni di aderenza fbd che si sviluppano sul perimetro della barra per una lunghezza lbd0, detta “lunghezza di ancoraggio di riferimento”. Risulta:

2

ydbd0 bd yd bd

bd

f l ( ) f f l

4 fφ φ

πφ = π =0 4 [7.2]

Se la barra lavora alla tensione σsd < fyd la lunghezza di ancoraggio si riduce proporzionalmente: si ottiene la “lunghezza di ancoraggio di base” lbd:

sdbd bd

ydl = l

f0σ

Tutte le barre che non si considerano più collaboranti a partire da una data sezione devono essere ancorate oltre la sezione per almeno la lunghezza lbd > lbmin. Per valutare la tensione σsd si devono considerare TUTTE le barre presenti nella sezione, sia quelle collaboranti che quelle non collaboranti.

In una sezione sollecitata da un momento MSd armata con barre di diametro φ e area As siano: - n il numero ESATTO di barre richiesto per assorbire il momento MSd lavorando al tasso fyd; - n1 > n il numero totale di barre presenti nella sezione

Per l’equilibrio è n As fyd = n1 As σsd di conseguenza sdbd bd0 bd0

yd 1

nl = l lf nσ

= > lbmin [7.3]

La lunghezza minima di ancoraggio lbmin è la maggiore tra:

- 10 volte il diametro φ della barra; - 100 mm - il 30% o il 60% di lbd0 rispettivamente per ancoraggi in trazione o in compressione: ciò comporta

che il rapporto n/n1 deve essere sempre maggiore, a seconda del caso, di 0,30 o 0,60 dunque che non si possono mai ancorare più del (1 – 0,30) = 70% delle barre tese presenti in una data sezione, o più del (1 – 0,60) = 40% delle barre compresse.

Nel caso in esame si adottano i seguenti schemi di armatura: A) barre inferiori: due barre estese per tutta la lunghezza della nervatura del solaio (armatura di corredo

del travetto a tralicci), a cui vengono aggiunti in mezzera una barra per la quota di momento eccedente e alle estremità degli spezzoni per garantire la continuità del “tirante” inferiore;

B) barre superiori sull’appoggio: due barre su tre interrotte, con la terza che si estende.

2 La tensione di aderenza fbd della [8.1] va ridotta del 30% per condizioni di aderenza “mediocri”.



Le lunghezze di ancoraggio di riferimento valgono pertanto:

barre φ 14 : ydbd0

bd

f 14 391l = = 640 mmf 4 2,14

φ=

4 barre φ 12: yd

bd0bd

f 12 391l = = 548 mmf 4 2,14

φ=

4

S03 – S01

M (+) barre φ 12 bd2l = 548 = 365 mm3

n/n1 = 0,67 > 0,30

M (-) barre φ 14 bd1l = 640 = 213 mm3

n/n1 = 0,33 > 0,30

Forza di trazione all’appoggio s,reqsdbd bd bd0

yd s,prov

A 191l = l = l = 548 = 463 mmf A 226σ

0

S04

Forza di trazione all’appoggio bd164l = 548 = 398 mm226

Gli ulteriori requisiti relativi alla lunghezza minima di ancoraggio (> 10 φ , > 100 mm) sono rispettati.

7.4 Traslazione del diagramma di momento QT5 3.2 Nel caso di barre soggette a trazione/compressione per flessione alla lunghezza lbd occorre SEMPRE

aggiungere un’ulteriore lunghezza al che tiene conto della “traslazione” del diagramma dei momenti dovuta alla sollecitazione composte di flessione e taglio (fig. 8.5). Nel caso dei solai la lunghezza al non deve essere aggiunta alle lunghezze di ancoraggio delle barre previste per assorbire le forze di trazione all’appoggio.

Inviluppo della forzadi trazione agente

Linea inviluppodi Fs

traslazione

traslazione

Fig. 7.5 Traslazione del diagramma di momento

Nel caso dei solai è a favore di sicurezza assumere al = d con d altezza utile del del solaio. Con d = 202 mm le lunghezze di ancoraggio comprensive della lunghezza al risultano: S03 – S01 armature inferiori in campata 2 x (365 + 202) = 1134 mm arrotondata a 1200 mm S03 – S01 armature inferiori su trave di bordo (2 x 463) = 926 mm arrotondata a 1000 mm S03 – S01 armature inferiori su trave centrale (2 x 463 + 650) = 1576 mm arrotondata a 1750 mm S03 – S01 armature superiori interrotte (213 + 202) = 415 mm arrotondato a 500 mm S03 – S01 armature superiori non interrotte (140 + 202) = 342 mm arrotondato a 500 mm S04 armature inferiori (2 x 398) = 796 mm arrotondata a 1000 mm



7.5 Sezioni di ancoraggio e lunghezze di taglio Per individuare le sezioni a partire dalle quali occorre provvedere la lunghezza di ancoraggio:

- si calcolano i momenti resistenti MRd delle sezioni “ideali” in cui risulta presente un numero di barre esattamente pari al numero delle barre non interrotte; tali barre lavorano tutte al tasso fyd;

- si cercano, sul diagramma di inviluppo dei momenti sollecitanti, le sezioni per le quali MSd = MRd. Per le varie nervature e per metro di larghezza di solaio risulta: S03 – S01 momento M (+) in campata Barre non interrotte (2+2) φ 12 inserite nei travetti con area totale AS = 4 x 113 = 452 mm2. La capacità portante della sezione armata con tale armatura risulta pari a

MRd = 32,2 kNm/m Per le nervature S01 e S03 la condizione MRd = MSd identifica due sezioni poste a distanza x = 1,5 m e x = 3,8 dall’asse della trave di bordo. S03 – S01 momento M (-) su appoggio centrale Barre non interrotte (1+1) φ 14 superiori con area totale AS = 2 x 154 = 308 mm2. La capacità portante della sezione armata con tale armatura risulta pari a

MRd = 45,8 ⋅ 308/790 = 17,8 kNm/m Per le nervature S01 e S03 la condizione MRd = MSd identifica due sezioni poste a distanza x = 1,15 m dall’asse della trave centrale (x = 0,91 m dal filo della trave). La sezione di momento nullo dista x = 2,50 m dall’asse della trave: a partire da tale sezione deve essere predisposta solo la lunghezza di ancoraggio minima (10 φ = 140 mm). La lunghezza di taglio delle barre in cm risultano pertanto:

armature inferiori 2 φ12/ travetto di corredo ai tralicci esteso su tutta la lunghezza (592 cm)

1φ12/ travetto di lunghezza l = (380 – 150) + 120 = 350 cm

1φ12/ travetto di lunghezza l = 100 cm in corrispondenza delle travi esterne

1φ12/ travetto di lunghezza l = 175 cm in corrispondenza della trave centrale

armature superiori 2φ14/ travetto l = 2 ⋅ (1150 + 500) = 3200 mm arrotondato a 350 cm

1φ14/travetto l = 2 ⋅ (2500 + 500) = 5280 mm arrotondato a 600 cm

Alle estremità 1φ12/travetto l = 1750 mm arrotondato a 175 cm S04 armature inferiori 2 φ12/travetto di corredo ai tralicci esteso su tutta la lunghezza (400 cm)

1φ12/travetto di lunghezza l = 100 cm in corrispondenza di ciascuna estremità In allegato è riportato lo schema delle armature di entrambe le nervature. Le armature superiori alle estremità sono piegate a 45°, per avere l’ancoraggio delle barre nella zona compressa della sezione. Le armature che entrano nelle travi hanno alle estremità ganci a 90°. La parte di barra che si estende oltre la piegatura deve avere lunghezza almeno pari a 5 volte il diametro. Nel caso in esame il piego è di 100 mm > (5 x 12) = 60 mm . La barra dovrebbe essere disposta con il piego preferibilmente disposto in orizzontale, in modo da risentire dell’effetto favorevole di compressione dovuto alla biella di calcestruzzo dell’arco di scarico.



7.6 Verifiche a taglio I solai per edifici di civile abitazione sono strutture generalmente poco sollecitate, dotate di una sufficiente capacità di ripartizione dei carichi e prive di armatura a taglio. Secondo l’EC2 perché un elemento non richieda armatura a taglio devono risultare soddisfatte entrambe le condizioni:

VSd ≤ VRd,c VSd ≤ VRd,c,max dove

VSd forza di taglio sollecitante di calcolo VRd,c forza di taglio resistente di calcolo di un elemento privo di armatura a taglio VRd,c,max forza di taglio resistente massima delle bielle di calcestruzzo compresse con valore:

VRd,c,max = 0,5 [0,6(1-fck/250)] fcd bw d Il termine entro parentesi quadra è un fattore di riduzione della resistenza del calcestruzzo fessurato per taglio. Per i solai la condizione VSd ≤ VRd,c,max non è mai determinante.

Nel caso di appoggio indiretto, come è il caso dei solai portati da travi, la verifica a taglio va eseguita nella sezione ristretta posta a distanza pari all’altezza utile d dal filo trave (fig. 7.5).

Fig. 7.5 – Verifica a taglio

In tale ipotesi dato lo schema statico del solaio, la sezione più sollecitata a taglio è in prossimità della trave centrale, a distanza (650/2 +196) = 521 mm dall’asse della trave centrale. In tale sezione il taglio sollecitante è pari a

VSd = 46,2 – 11,32 x 0,521 = 40,3 kN/m QT5 Secondo l’EC2 il taglio resistente in assenza di precompressione vale:

3Rd,c w l ck w min w

c

0,18V = b d = k 100 f b d > b d ⎡ ⎤

ν ρ ν⎢ ⎥γ⎣ ⎦

La tensione ν è una “tensione di taglio modificata” che tiene conto: - della tensione tangenziale “di base” 2

c

0,18 0,18 = = 0,113 N/mm1,60γ

- dell’effetto “ingranamento” degli inerti 200k = 1+ 2 per d = 190 mm k = 2d

≤ →

- dell’effetto “spinotto” delle armature tese presenti e ancorate nella sezione posta a distanza h dalla sezione considerata, (fig. 7.6 destra) e valutate come percentuale geometrica di armatura sl

lw

A= < 0,02 b d

ρ

In tale sezione sono presenti superiormente ed ancorate 3 barre φ 14 mm . Pertanto

l l3 154= = 0,024 > 0,02 = 0,02

100 196⋅

ρ → ρ⋅

La tensione di taglio modificata “minima” ha espressione: 32min ck= 0,035 k f ν



Fig. 7.6 – Armatura longitudinale nella verifica a taglio (A = sezione di verifica)

Nel calcolo della larghezza a taglio dell’anima bw si può tenere conto anche dello spessore del laterizio (0,8 cm) a diretto contatto con la nervatura: pertanto bw = 2 x (120 +8 +8) = 256 mm/m

Per un calcestruzzo C25/30 con fck = 0,83 Rck = 25,0 N/mm2 si ottiene:

233l ck

c

0,18 = k 100 f = 0,113 2 100 0,02 25,0 = 0,83 N/mm ν ρ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅γ

2 23 3 2min ck= 0,035 k f = 0,035 2 25 = 0,49 N/mmν

ll taglio resistenze vale -3Rd,cV = 0,83 256 196 10 = 41,6⋅ ⋅ ⋅ > 40,3 kN/m

La verifica a taglio nella sezione considerata è soddisfatta. L’approccio di calcolo evidenzia che, nel caso di un solaio, risultano critiche: - l’altezza totale, che si riflette sul valore dell’altezza utile d .- la scelta della tipologia di blocchi: a parità di altezza è preferibile l’impiego di blocchi senza aletta di

larghezza 38 cm portati da travetti con fondello in laterizio e in grado di realizzare nervature di spessore (50 – 38) = 12 cm.

.- la scelta del calcestruzzo: utilizzando classi di resistenza minori di quella specificata per il caso in esame (C25/30) la verifica non risulterebbe mai soddisfatta.

La forza di taglio resistente massima per fcd = 15,9 N/mm2 vale V Rd,c,max = 0,3 (1-fck/250) fcd bw d = 0,3 (1- 25/250) 15,8 240 196 10-3 = 202 kN/m

7.7 Schemi delle armature Nelle figure 7.7 e 7.8 sono riportat gli schemi delle armature per le due nervature tipo.

Fig. 7.7 – Esecutivo armature solaio S04

45o45o

VSd

lbd

45o

Asl

dd

VSd

VSdAslAsl

lbdlbd A

A A



CAPITOLO 8 Travi Si considera la travata centrale costituita dalle travi T09 - T010 comprese tra i pilastri C1, C2 e il vano ascensore. Tutte le travi hanno sezione rettangolare di dimensioni (650 x 230) mm e altezza utile d = h – d’ = (230 – 36) = 194 mm.

8.1 Calcolo delle sollecitazioni 8.1.1 Analisi dei carichi L’ncremento del peso proprio della trave è pari a Gk = 2,67 b = 2,67 x 0,65 = 1,74 kN/m. In base alll’area di competenza della trave di ampiezza i = 8,13 m i carichi sulla trave risultano: SLE SLU peso proprio Gd0 1, 0 ⋅ 1,71 = 1,74 kN/m 1,40 ⋅ 1,71 = 2,43 kN/m carico permanente portatiGd1 1,0 ⋅ (5,94 ⋅ 8,13) = 48,29 kN/m 1,40 ⋅ 48,29 = 67,61 kN/m carico permanente totale Gd0 + Gd’ 50,0 kN/m 70,0 kNm/m carico variabile Qd 1,0 ⋅ 0,30 ⋅ (2,0 ⋅ 8,13) = 4,88 kN/m 1,5 ⋅ (2,0 ⋅ 8,13) = 24,4 kN/m carico totale Gd0 + Gd’ + Qd = 54,9 kN/m 94,4 kNm/m

8.1.2 Modello di calcolo e diagrammi di inviluppo delle sollecitazioni Lo schema statico assunto è quello di un “semitelaio”, con vincoli di cerniera posti a metà altezza dei pilastri. Le luci di calcolo sono definite in base alle distanze tra gli assi dei pilastri La campata che termina sul vano ascensore si considera incatrata in una sezione posta a una distanza circa pari all’altezza utile d ≈ 0,20 m dal filo del setto del vano ascensore. Risulta pertanto

T09 l = 3,60 m T010 l = (4,35 – 0,10 + 0,20) = = 4,25 m

I diagrammi di inviluppo delle sollecitazioni di momento M e di taglio V, calcolati in campo elastico lineare1, per le combinazioni di carico di SLU e SLE e diverse disposizioni del carico variabile Qd sono riportati nelle figure 8.1 e 8.2. In base ai valori di momento taglio nella sezione di incastro e al carico totale si calcolano le sollecitazioni nella sezione a filo setto posta a distanza 0,20 m dall’incastro teorico):

SLU MSd = -168,3 + 236,1 ⋅ 0,20 = - 121,1 kNm VSd = 236,1 – 94,4 ⋅ 0,20 = 217 kN

SLE MSd = -92,5 + 129,8 ⋅ 0,20 = - 66,5 kNm VSd = 129,8 – 54,9 ⋅ 0,20 = 119 kN Tali sollecitazioni sono confrontabili con le corrispondenti sollecitazioni sulll’appoggio centrale: queste ultime vengono assunte come riferimento per il progetto.

1 Il programma utilizzato è Telaio2D sviluppato dal prof. P. Gelfi, liberamente disponibile e scaricabile gratuitamente

dal sito www.euroconcrete.it.



Fig. 8.1 – Inviluppo delle sollecitazioni M e V - SLU

Fig. 8.2 – Inviluppo delle sollecitazioni M e V - SLE



8.1.3 Ridistribuzione dei momenti E’ possibile ridistribuire le sollecitazioni di momento delle travi continue di telai a nodi fissi, purchè allo stato limite ultimo le sezioni delle travi siano in grado di garantire sufficiente capacità di rotazione. La ridistribuzione si applica riducendo i momenti negativi alle estremità delle travi MSd,el, calcolati con un modello elastico lineare, al valore Mred = MSd,el - ΔMSd,el. Il valore di ΔMSd,el dipende dalla capacità di rotazione delle sezioni. Se si riducono i momenti negativi agli appoggi/incastri per l’equilibrio devono aumentare i momenti di campata. Occorre dunque evitare che un momento di campata incrementato a seguito della ridistribuzione superi il momento massimo ottenuto dall’inviluppo dei momenti, calcolato per una disposizione di carico diversa da quella che fornisce il momento da ridistribuire. Se ciò non si verifica la ridistribuzione comporta una riduzione dei momenti agli appoggi con riduzione delle quantità d’armatura.

QT1 La massima quota di ridistribuzione ammessa discende da considerazioni relative a:

• duttilità delle sezioni allo SLU: la sezione in cui viene ridotto il momento deve essere in grado di garantire allo SLU una assegnata capacità di rotazione, definita in funzione della profondità relativa dell’asse neutro ξ = x/d dalla relazione

Sd,red

Sd,el

M 0,44 1,25 0,70

Mδ = = + ξ ≥

ξ è la profondità relativa dell’asse neutro nella sezione per il momento MSd,red = δMSd,el.

• limitazione delle tensioni in esercizio nelle sezioni: una ridistribuzione troppo elevata comporta una significativa riduzione della quantità di armatura, dunqe possibili elevate tensioni delle armature in condizioni in esercizio, quando le sollecitazioni dovute ai carichi di esercizio sono valutate in assenza di ridistribuzione. Per evitare tale situazione è cautelativo assumere una ridistribuzione limitata al 15% circa (δ = 0,85).

Per ridistribuire il momento MSd,el si applicare alle estremità di ciascuna trave un momento positivo

ΔMSd,el = (MSd,el - Mred) = MSd,el (1 - δ) Sul pilastro C1 per MSd,el = 92,9 kNm e δ = 0,85 si ottengono:

ΔMSd,el = (1-0,85) 92,9 = 14 kNm MSd,red = 92,9 ⋅ 0,85= 79 kNm.

A sinistra del pilastro C2 per MSd,el = 134,7 kNm e δ = 0,85 si ottengono

ΔMSd,el = (1-0,85) 134,7 = 20,2 kNm MSd,red = 134,7 ⋅ 0,85= 114,5 kNm.

A destra del pilastro C2 per MSd,el = 163,1 kNm e δ = 0,85 si ottengono

ΔMSd,el = (1-0,85) 163,1 = 24,5 kNm MSd,red = 163,1 ⋅ 0,85= 138,6 kNm. Non si ridistribuisce il momento a filo setto del vano ascensore in quanto la stessa combinazione di carico che determina il massimo momento positivo determina anche il massimo momento di campata.

Applicando la coppia ΔMSd,el per l’equilibrio alle estremità di ciascuna trave di luce l, nascono forze di taglio di intensità Vred = ± ΔMSd,el/l . Tali forze riducono le sollecitazioni di taglio dovute ai carichi in prossimità dell’appoggio centrale (sollecitazioni massime nel caso di trave continua) e contemporaneamente aumentano quelle all’estremità di ciascuna trave. Risulta

- trave T09 - luce l = 3,60 m Vred = ± ΔMSd,el /l = ± (20,2 – 14) / 3,60 = ± 1,7 kN - trave T010 - luce l = 4,25 m Vred = ± ΔMSd,el /l = ± 24,5 / 4,25 = ± 5,8 kN Dopo la ridistribuzione i tagli sull’appoggio centrale risultano pertanto VSd = 187,3 + 1,7 = 189,0 kN a destra dell’asse del pilastro C1 VSd = 210,6 – 1,7 = 208,9 kN a sinistra delll’asse del pilastro C2 VSd = 233,6 – 5,8 = 227,8 kN a destra dell’asse del pilastro C2 VSd = 217 + 5,8 = 222,8 kN a filo del vano ascensore dell’asse del pilastro C2



8.2 Armature a flessione Lo schema di progetto è il seguente:

• si calcola l’armatura di campata nell’ipotesi che sia presente solo armatura tesa; • si fissa la quantità dell’armatura di campata che si intende mantenere costante su tutta la

lunghezza della travata, ancorata in corrispondenza dei pilastri di estremità; • tenendo conto di tale armatura, compressa per momenti di segno negativo, per la sollecitazione

di momento ridistribuito si calcola l’armatura superiore tesa agli appoggi. Dato che le sollecitazioni di campata delle travi della travata hanno pressoché la medesima intensità, il procedimento viene sviluppato per la trave T010 e per l’appoggio centrale costituito dal pilastro C2.

8.2.1 Armature di campata QT4 ST2 Dal diagramma di figura 8.1 il momento massimo positivo nella campata T010 vale MSd = 83,85 kNm.

Perché sia sufficiente la presenza di sola armatura tesa la profondità relativa ξ dell’asse neturo dever risultare essere ξ ≤ 0,45. Al valore ξlim = 0,45 corrisponde il momento ridotto μlim = 0,296.

Per MSd = 83,85 kNm ⋅μ < μ

⋅ ⋅

6

lim283,85 10= = 0,216 = 0,296

650 194 15,9

Dato che la condizione è rispettata è sufficiente disporre solo armatura inferiore. Al valore μ = 0,216 corrisponde il rapporto meccanico di armatura ω = 0,247 e l’area teorica di armatura in campata

As = 0,247⋅650⋅194⋅15,9/391 = 1267 mm2

Si dispongono 6 barre φ16 con area As = 1608 mm2. Nell’ipotesi di estendere fino alle estremità delle travi 4 barre φ16, nella sezione in cui le barre restanti (2φ16) non vengono considerate attive il momento resistente vale:

4φ16 ω = 0,247 ⋅ 804/1267 = 0,157 μ = 0,144 MRd = 0,144· 83,85/0,216 ≈ 56 kNm

Sul diagramma di inviluppo delle sollecitazioni le sezioni in cui MSd = MRd = 56 kNm sono poste alle distanze, misurate dagli assi dei pilastri C1 e C2:

T09 z = 1,30 m e z = 2,10 m T010 z = 1,40 m e z = 2,80 m

8.2.2 Armature all’appoggio Il progetto dell’armatura a flessione si effettua considerando le sollecitazioni nella sezione di trave a filo del pilastro. C2. Il pilastro ha dimensione, nella direzione della trave, 400 mm. Risulta:

MSd = (138,6 – 227,8 ⋅ 0,40/2) = 93 kNm Il baricentro dell’armatura superiore della trave dista d’ = 36 mm dal lembo della sezione. Sono presenti nella zona inferiore compressa 4φ16 con area A’s = 804 mm2 e d’ = 36 mm. Il rapporto δ = d’/d vale δ = 36/194 = 0,186.

Assumendo in prima approssimazione per le barre (4φ16) presenti nella zona inferiore compressa la tensione σ’s = fyd (dunque k’ = σ’s/fyd = 1), se si dispone un identico numero di armature nella parte compressa la coppia interna acciaio- acciaio allo SLU sviluppa il momento:

ΔM = 804 ⋅ 391 ⋅ (230 - 2 36) ⋅10-6 = 49,7 kNm. Il momento sollecitante residuo che deve essere fornito dalla coppia acciaio-calcestruzzo vale

M0 = 93 – 49,7 = 43,3 kNm 6

243,3 10= = 0,111

650 194 15,9⋅

μ⋅ ⋅0

QT 4 ST2 Per tale valore in tabella ST2 si ottiene δilm = 0,07 dunque l’armatura compressa lavora a una tensione minore di fyd. Operando con iterazioni successive si ottiene l’armatura

- con 6 φ16 superiori + 4 φ16 inferiori risulta MRd = 81,1 < 93 kNm



- con 7 φ16 superiori + 4 φ16 inferiori risulta MRd = 93,4 @ 93 kNm La sezione così armata ha la capacità portante indicata in figura 8.3

Fig. 8.3 – Sezione inflessa – momento resistente MRd

La distanza dell’asse neutro dal bordo compresso vale x = 48,5 mm dunque ξ = x/d = 48,5/194 = 0,25, per cui δ = 0,44 + 1,25 0,25 = 0,75 < 0,85. La ridistribuzione attuata è quindi accettabile.

Si dispongono superiormente 7 barre φ16, con As = 1407 mm2 di cui quattro interrotte e tre per l’intera lunghezza della trave. La sezione armata con 3 φ16 in zona tesa e 4 φ16 in zona compressa sviluppa il momento resistente (negativo) MRd = 43,5 kNm. Sul diagramma di inviluppo delle sollecitazioni che tiene conto della ridistribuzione tale valore si rileva nelle sezioni a distanza z = 0,50 m dall’asse dell’appoggio centrale. Al di la di tale punto dovrà essere garantita, per le barre interrotte, la lunghezza di ancoraggio. CALCOLO DELLA CAPACITÀ PORTANTE IN ZONA SISMICA

DM 5.1.6.1.1 In zona sismica è richiesto che il 50% dell’armatura tesa effettivamente disposta sia presente anche in zona compressa e non è possibile tenerne in conto il contributo nel calcolo di capacità portante.

Nella sezione al filo del pilastro centrale (C2) le armature presenti risultano 7φ16, con As = 1407 mm2 superiori tesi e 4φ16, con As = 804 mm2 inferiori compressi. La sezione “equivalente” in condizioni sismiche risulta pertanto: armatura tesa: As = 1407 mm2 armatura compressa A’s = 804 – 0,5· 1407 = 101 mm2 Nei calcoli è possibile tenere in conto la quota d’armatura superiore che supera il 50% dell’armatura disposta in zona tesa. Con tale disposizione il massimo momento negatvo sopportato dalla sezione risulta:

MRd,E = 92,3 kNm ξ = 0,320 Per il calcolo del massimo momento positivo si ha armatura tesa: As = 804 mm2 armatura compressa A’s = 1407 – 0,5· 804 = 1005 mm2 da cui

MRd,E = 56,1 kNm ξ = 0,188



8.3 Armature a taglio

8.3.1 Modello a traliccio Il progetto/verifica delle armature al taglio della trave può essere effettuato in base al valore del taglio sollecitante di calcolo agente nelle sezioni a distanza “d” dal filo dell’appoggio. Nel caso in esame le sollecitazioni di taglio sono valutate nelle sezioni che distano:

z = 0,125 + 0,194 ≈ 0,32 m dall’asse del pilastro C1

z = 0,200 + 0,194 ≈ 0,39 m dall’asse del pilastro C2 z = 0,19 m dal setto del vano ascensore. La resistenza di progetto fcd del calcestruzzo delle bielle inclinate compresse va ridotta mediante il coefficiente ν = 0,7 per tener conto dell’effetto combinato della compressione longitudinale e della trazione trasversale sulla resistenza delle bielle di calcestruzzo compresso. Il valore di calcolo della tensione di progetto di compressione nel calcestruzzo risulta:

ν1 fcd = 0,7 fcd = 0,7 15,9 = 11,1 N/mm2 I valori riportati nel diagramma di inviluppo del taglio derivano da diverse condizioni di carico. Le sollecitazioni di taglio di progetto VSd sono valutate tenendo in conto che la ridistribuzione di momento, agisce solamente sulla condizione di carico che massimizza il momento sull’appoggio (carico variabile presente su entrambe le campate a cavallo dell’appoggio). Il carico totale di progetto ha intensità 94,4 kN/m. Nella sezione a z = 0,39 m a destra del pilastro C2 risulta VSd = 227,8 – 0,39 x 94,4 = 191 kN.

L’armatura a taglio è costituita da staffe verticali (α = 90°) chiuse a due braccia, realizzate con barre di diametro 8 mm. Il gancio di chiusura è realizzato con un piego a 135°.2 Le staffe vanno disposte con passo longitudinale massimo:3

smax = 0,75 d (1+cot α) = 0,75 194= 146 mm arrotondato a 150 mm. In base al valore del taglio sollecitante il taglio ridotto adimensionale vale

3Sd

w 1 cd

V 191 10= = 0,136 < 0,310b d f 650 194 11,1

⋅η =

ν ⋅ ⋅

La larghezza della sezione di calcestruzzo è sovrabbondante. La larghezza teorica “minima” da prendere in conto per il calcolo delle armature è pari a:4

bmin = 650 x 0,136/0,310 = 285 mm

Al taglio minimo adimensionale η = 0,310 corrisponde l’inclinazione della biella compressa θ = 21.80° e il rapporto geometrico dell’armatura trasversale ωwη = 0,138 dunque l’armatura a taglio:

wη w 1 cdsw

ywd

ω b fA 0,138 285 11,1=s f 391

ν ⋅ ⋅= = 1,12 mm2/mm

2 La prescrizione serve per evitare che l’eventuale distacco del copriferro in condizioni di SLU permetta alla barra della staffa di

perdere aderenza, con conseguente riduzione dell’effetto di confinamento che offre al calcestruzzo. L’ancoraggio sviluppato da un uncino piegato a 135° garantisce un comportamento accettabile anche in caso di perdita completa del ricoprimento di calcestruzzo e manitiene la funzionalità della staffa medesima.

3 L’EC2 fornisce prescrizioni anche per la massima distanza trasversale tra i bracci delle staffe. Per la trave in esame risulterebbe una distanza pari a 146 mm dunque occorrerebbe disporre staffe a quattro bracci. Occorre peraltro considerare che i modelli a traliccio utilizzati per il calcolo delle armature a taglio sono validi per travi “alte”, a sezione rettangolare o a T : Nel caso di travi in spessore il modello taglio-resistente è più orientato al modello arco.tirante che al modello a traliccio: è dunque importante realizzare un “tirante” inferiore ben ancorato alle estremità piuttosto che fare eccessivo affidamento sul modello a traliccio.

4 Tale situazione si verifica spesso nelle travi in spessore. E’ pertanto possibile inserire fori in tali travi se si adottano opportuni accorgimenti (doppie staffe) purchè, nella zona del pilastro,sia disponibile una zona di larghezza adeguata a permettere la trasmissione diretta delle forze di compressione dell’arco al pilastro. Sono dunque da evitare fori in aderenza al pilastro.



Utilizzando staffe φ 8 a due bracci è Asw = 100 mm2 si ottiene il passo s = 89 mm. Le disposizioni per la zona sismica richiedono di disporre la prima staffa a non più di 5 cm dal filo del pilastro, mentre le successive ad una distanza non superiore al minimo tra - 0,25 d = 0,25 194 = 50 mm - 150 mm

- 6φl = 616 = 96 mm Tale limitazione è richiesta per una zona di lunghezza pari a d dal filo pilastro, ossia per i primi 200 mm. La disposizione delle staffe è riportata in figura 8.4.

Per l’inclinazione θ = 21.80° (cot θ = 2,5) le staffe con passo massimo smax = 150 mm forniscono la capacità portante

-3swRd,s ywd

A 100V = 0,9d f cotθ = 0,9 194 391 2,5 10 = 114 kNs 150

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Sul diagramma di inviluppo delle sollecitazioni di taglio le sezioni in cui si verifica tale sollecitazione sono alle distanze, misurate rispettivamente dagli assi dei pilastri C1 e C2:

T09 z = 0,60 e 2,65 m T010 z = 1,05 e 3,15 m All’interno di tali zone è sufficiente disporre staffe con passo smax = 150 mm. Al di fuori di tali zone il passo si riduce a s = 90 mm. E’ inoltre opportuno disporre due staffe in più a sinistra e a destra degli appoggi, per migliorare la zona di calcestruzzo confinata. La prima staffa dovrebbe essere posizionata entro 5 cm dal filo del pilastro. Tutte le staffe devono avere altezza tale da garantire il ricoprimento di 2 cm dunque con altezza della parte verticale pari a (230 – 40) = 190 mm.

8.3.2 Modello arco-tirante Le travi in spessore difficilmente si adattano al meccanismo taglio resistente descritto dal modello “a traliccio”. E’ opportuno pertanto verificare anche un meccanismo “arco-tirante” per il quale alle estremità della trave deve essere presente e ancorata una quantità di armatura tale da realizzare il tirante inferiore. L’arco, fortemente ribassato, è inclinato alle estremità di un angolo θ e a tale inclinazione corrisponde la forza di trazione Sd = Vsd cot θ.

QT5 L’angolo θ può essere calcolato considerando la sovrabbondanza di resistenza “lato calcestruzzo” ed imponendo pertanto che il collasso avvenga “lato acciaio”. Il carico totale di progetto ha intensità 94,4 kN/m. Nella sezione a filo del pilastro C1 a z = 0,125 m dall’asse, tenendo conto della ridistribuzione il taglio sollecitante è pari a:

VSd = 189 – 0,125 x 94,4 = 177.2 kN

Considerando staffe φ8 / 50 mm risulta:

swRd,s Sd ywd

A 100 177,2V = V = 0,9d f cotθ = 0,9 194 391 cotθ cotθ = = 1,30100s 50 0,9 194 39150

⋅ ⋅ ⋅ →⋅ ⋅

La forza di trazione nel tirante è Sd = Vsd cot θ = 177.2 x 1,30 = 230,3 kN.

Sono presenti 4φ16 con As = 804 mm2 in grado di sviluppare una forza SRd = 804 x 391 x 10-3 = 314 kN.



8.3.3 Verifiche sismiche OR 5.4.1.1. In zona sismica l’entità delle azioni di progetto è calcolata come somma del taglio dovuto ai carichi verticali

in condizioni quasi permanenti e del taglio dovuto ai momenti flettenti resistenti delle sezioni di estremità. Per il calcolo dei momenti flettenti, in questo caso, si utilizzano le armature effettivamente presenti all’interno della trave. Il taglio dovuto ai momenti resistenti risulta :

Trave Cond. MRd, sx MRd,dx VSd sisma 1 56,1 93.4 41,5 T009 sisma 2 93,4 56,1 41,5 sisma 1 56,1 93.4 35,2 T010 sisma 2 93,4 56,1 35,2

Tab. 8.1 – Sollecitazioni sismiche dovute ai momenti resistenti d’estremità Il taglio relativo ai carichi gravitazionali risulta: - carico permanente Gd = 1,71 = 1,71 kN/m - carico permanente portati Gd = 5,94 ⋅ 8,13 = 48,3 kN/m - carico variabile Qd = 0,30 ⋅ 2,0 ⋅ 8,13 = 4,9 kN/m - carico totale Gd + Qd = 54,9 kN/m Pertanto

Sd Sd54,9 3,60 54,9 4,25V = = 98,8kN V = = 116,7kN

2 2⋅ ⋅

Le sollecitazioni di progetto sono

Trave VSd,sisma T009 140,3 T010 151,9

Tab. 8.2 – Taglio di progetto - sisma In ogni caso l’azione sismica è minore di quella derivante dagli SLU statici, pertanto non si approfondiscono ulteriormente le verifiche. Le disposizioni per la zona sismica richiedono di disporre la prima staffa a non più di 5 cm dal filo del pilastro, mentre le successive ad una distanza non superiore al minimo tra - 0,25 d = 0,25 194 = 50 mm - 150 mm

- 6φl = 616 = 96 mm Tale limitazione è richiesta per una zona di lunghezza pari a d dal filo pilastro, ossia per i primi 200 mm. La disposizione delle staffe è riportata in figura 8.4.

8.4 Lunghezze di ancoraggio Per calcolare le lunghezze di taglio delle barre alla lunghezza calcolata sulla base delle richieste strutturali occorre sommare le lunghezze di ancoraggio. Per queste ultime occorre definire: - le condizioni locali di aderenza (buona o mediocre): tutte le barre, sia inferiori che superiori, presenti in

getti di spessore minore di 250 mm sono considerate in condizioni di “buona aderenza”; - il valore di progetto fbd della tensione di aderenza. Per un calcestruzzo Rck, per barre con diametro fino

a 32 mm e condizioni di “buona aderenza”: fbd = 0,222 . 302/3 = 2,14 N/mm2



La “lunghezza di ancoraggio di riferimento” per barre φ16 vale :

ydbd

bd

f 391l = 46 = 736 mm4 f 4 2,14φ

= = φ φ⋅0

Se la barra lavora alla tensione σsd < fyd la lunghezza di ancoraggio si riduce proporzionalemente e si ottiene la “lunghezza di ancoraggio di base” lbd:

sdbd bd

ydl = l

f0σ

In una sezione sollecitata da un momento MSd in cui sono: - n il numero di barre di area As richieste per assorbire il momento MSd al tasso fyd; - n1 > n il numero totale di barre di area As presenti,

bd bd01

nl = l n

> lbmin

La lunghezza minima di ancoraggio lbmin è la maggiore tra

- 10 volte il diametro φ della barra con un minimo di 100 mm - il 30% o il 60% di lbd rispettivamente per ancoraggi in trazione o in compressione: ciò comporta

che il rapporto n/n1 deve essere sempre maggiore, a seconda del caso, di 0,30 o 0,60. Nel caso in esame si adottano i seguenti schemi di armatura: A) barre inferiori: quattro barre di armatura su tutta la luce delle travi, due barre interrotte in campata B) barre superiori sull’appoggio intermedio: quattro barre su sette interrotte nelle sezioni a distanza z = 0,50 m dall’asse dell’appoggio, tre barre che corrono per tutta la lunghezza della trave. Le lunghezze di ancoraggio di base valgono pertanto: T09 – T10 M (-) app. C1 barre φ 16 bdl = 46 = 46 16 = 736 mmφ ⋅

Armature inferiori all’appoggio s,reqsdbd bd bd0

yd s,prov

A 230,2l = l = l = 736 = 540 mmf A 314σ

0 = 60 cm

M (+) barre φ 16 bd4l = 736 = 491 mm6

n/n1 = 0,67 > 0,30

M (-) app. C2 barre φ 16 bd3l = 736 = 315 mm7

n/n1 = 0,43 > 0,30

Gli ulteriori requisiti relativi alla lunghezza minima di ancoraggio (> 10φ = 160 mm , > 100 mm) sono sempre rispettati. Nel caso di barre soggette a trazione/compressione per flessione alla lunghezza lbd occorre SEMPRE aggiungere un’ulteriore lunghezza al che tiene conto della “traslazione” del diagramma dei momenti dovuta alla sollecitazione composte di flessione e taglio (QT4). La lunghezza al non deve essere aggiunta alle lunghezze di ancoraggio calcolate per assorbire le forze di trazione all’appoggio. Nel caso delle travi è al = ( )la = 0,9d cot - cot 2ϑ α con d altezza utile. Per d = 194 mm, cot θ = 2,5, cot α = 0 le lunghezze di ancoraggio, comprensive della lunghezza al, risultano: armature superiori appoggio C1 (736 + 437) = 1173 mm = 120 cm armature inferiori in campata (491 + 437) = 928 = 100 cm armature superiori appoggio C2 (315 + 437) = 752 mm = 75 cm lunghezza di ancoraggio minima (160 + 437) = 597 mm = 60 cm.


8-10 © 2007 F. Biasioli

8.5 Sezioni di ancoraggio e lunghezze di taglio Per individuare le sezioni al di là delle quali provvedere la lunghezza di ancoraggio:

- si calcolano i momenti resistenti MRd delle sezioni “ideali” , sezioni in cui si considerano presenti barre che lavorano tutte al tasso fyd in numero pari al numero delle barre non interrotte;

- si individuano, sul diagramma di inviluppo dei momenti sollecitanti, le sezioni per le quali MSd = MRd. T09 momento M (+) in campata Le sezioni sono state individuate alle distanze z = 1,30 m e z = 2,10 m dall’asse del pilastro C1. Aggiungendo per entrambe le estremità la lunghezza di ancoraggio pari a 100 cm, risultano barre di lunghezza totale l = (2,10 – 1,30 + 2 x 1,00) = 2,80 m arrotondata a 300 cm. La posizione della barra è a z = 0,30 m dall’asse del pilastro C1 dunque a z = 0,125 + 0,30 = 0,43 cm dal bordo esterno della stessa. T09 momento M (-)pilastro C1 La barra è posizionata a partire dal bordo esterno della trave, sempre garantendo il ricoprimento minimo pari a 3 cm. T09 - 010 momento M (-) su appoggio centrale Le sezioni sono state individuate alle distanze z = 0,50 m dall’asse del pilastro C2. Aggiungendo per entrambe le estremità la lunghezza di ancoraggio pari a 75 cm, risultano barre di lunghezza totale l = (2 x 0,50 + 2 x 0,75) = 2,50 m arrotondate a 300 cm. Setto ascensore Viene trattato come l’appoggio centrale, garantendo, dal filo setto e verso l’interno dello stesso, la lunghezza di ancoraggio di base pari a 75 cm. Risulta una lunghezza totale pari a (0,75 + 0,55 + 0,38) = 168 cm arrotondata a 175 cm. La disposizione delle armature è riportata in figura. 8.4.

Fig. 8.4 – Esecutivo armature trave T009 – T010



CAPITOLO 9 Pilastri

9.1 Sollecitazioni di progetto I pilastri, entrambi a livello di piano terreno, sono: - il pilastro d’angolo A1, con area di carico (fig.3.4) limitata ma, soggetto essendo ai vertici del fabbricato, a

significativi effetti torsionali legati alla rotazione di piano dovuta alle forze orizzontali; - il pilastro della travata centrale C2 a cui corrisponde la massima area di carico (fig.3.6 e tabella 3.9). Allo stato limite ultimo si considerano due combinazino di carico:

- “statica”: combinazione di carichi verticali e vento (par 2.3) d G,j k,j Q,1 k,1 Q,i 0,i k,ii i > 1

E = E G + Q + Q⎧ ⎫

γ γ γ ψ⎨ ⎬⎩ ⎭∑ ∑

- “sismica”: combinazione di carichi verticali e sisma (par. 6.6) d X/Y k, j 2, j k, jj j

E = E E + G + Q⎧ ⎫⎪ ⎪ψ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ ∑

Con riferimento alle convenzioni di figura in cui gli assi x,y di ciascun elemento sono paralleli agli assi X,Y globali del fabbricato, le azioni al piede di ciascun pilastro allo SLU sono: CARICHI VERTICALI In tabella 9.1 sono riporati: - le forze assiali NSd e i momenti MSd nella combinazione specifica (combinazione “statica”: γG = 1,40 γQ = 1,50; comb. “sismica” γG = γQ = 1,0). I momenti non tengono conto di eventuali ridistribuzione nelle travi. - tagli VSdx VSdy legati ai momenti MSd : possono essere calcolati, in base al modello a semitelaio assunto per il calcolo dei momenti, imponendo un punto di momento nullo a metà di altezza del pilastro, dividendo per l/2 (l = 3,03 m altezza pilastro) i momenti MSd.

NSd MSd,y VSd,x rif. tipo Comb. allo SLU

[kN] [kNm] [kN] A1 C statica 671 23,74 15,93

sismica 437 16,49 11,02 C2 R statica 2785 25,82 17,33

sismica 1623 9,01 6,05

Tab. 9.1 – Carichi verticali FORZE ORIZZONTALI Le azioni al piede di ciascun pilastro allo SLU sono: - tagli VSdx VSdy generati dalle forze orizzontali FX FY dovuti al vento (casi 1x, 1y, 2x, 2y e 4) o al sisma - momenti MSd dovuti alle forze orizzontali FX FY ottenuti moltiplicando i tagli VSd per l/2 (l altezza pilastro); Gli effetti delle forze orizzontali (taglio VSd e momento MSd) vanno calcolati applicando alle loro intensità caratteristiche i coefficienti di combinazione ψ e, nel caso di combinazione “sismica”, combinando l’effetto dovuto al sisma agente in una direzione al 30% dell’effetto del sisma nell’altra direzione:

EX = EEdx + 0,30 EEdy EY = EEdy + 0,30 EEdx.

Fig. 9.1 – Riferimenti



In tabella 9.2 sono riportati

- le forze orizzontali FX FY agenti nelle direzioni x,y e i relativi coefficienti di combinazione ψ per cui vanno moltiplicate rispettivamente nella combinazione “statica” e “sismica”

- i tagli ottenuti applicando i coefficienti di combinazione ψ - i momenti ottenuti applicando il modello “shear type” (M = V l/2) Ad esempio nel caso di vento agente in direzione X – caso 1x - si ottiene

VSd,x = ψ0 Fx = 0,60 ⋅ 0,42 = 0,25 kN MSd,y = 0,25 ⋅ 3,03/2 = 0,38 kNm Sisma agente in direzione X si ottiene:

VSd,x = 1,59 ⋅ 1 + 0,30 ⋅ 0,76 = 1,82 kN MSd,y = 1,82 ⋅ 3,03/2 = 2,75 kNm

VSd,y = 0,76 ⋅ 1 + 0,30 ⋅ 1,59 = 1,24 kN MSd,y = 1,24 ⋅ 3,03/2 = 1,88 kNm Le massime sollecitazioni sono evidenziate con fondo grigio

forza orizzontale VSd MSd Fx Fy x y x y

rif. tipo Comb. caso

[kN] ψ

[kN] ψ

[kNm] [kNm] [kNm] [kNm] 1x 0.42 0.19 0.25 0.11 0.17 0.38 1y 0.00 0.94 0.00 0.56 0.85 0.00 2x 0.37 0.20 0.22 0.12 0.18 0.34 2y 0.05 0.72 0.03 0.43 0.65 0.05

statica

4 0.42

0.6

0.92

0.6

0.25 0.55 0.84 0.38 x 1.59 0.76 1.82 1,24 1.88 2.75

A 1 C

sismica y 0.1 1 0.86 1 0.36 0.88 1.35 0.54 1x 1.36 0.34 0.82 0.20 0.31 1.24 1y 0 2.1 0.00 1.26 1.91 0.00 2x 1.17 0.36 0.70 0.22 0.33 1.06 2y 0.14 1.42 0.08 0.85 1.29 0.13

statica

4 1.31

0.6

1.78

0.6

0.79 1.07 1.62 1.19 x 5.15 1.37 5.56 2,91 4,41 8,43

C 2 R

sismica y 0.29 1 2.15 1 0.93 2.24 3.39 1,42

Tab. 9.2 – Pilastri - forze orizzontali Pilastro A1 Combinazione “statica” Cumulando le azioni dovute ai carichi verticali (tabella 9.1) e al vento (tabella 9.2) si ottiene NSd = 671 kN MSd,x = 0,84 kNm MSd,y = 23,74 + 0,38 = 24,12 kNm VSd,x = 15,93 + 0,25 = 16,18 kN VSd,y = 0,55 kN Le sollecitazioni risultanti sono

2 2 2 2Sd Sd,x Sd,yM = M +M = 0,84 + 24,12 = 24,14 kNm e = MSd/NSd = 0,036 m

2 2 2 2Sd Sd,x Sd,yV = V + V = 16,18 + 0,55 =16,19 kN

Combinazione “sismica” Cumulando le azioni dovute ai carichi verticali (tabella 9.1) e a sisma (tabella 9.2) si ottiene NSd = 437 kN MSd,x = 1,88 kNm MSd,y = 16,49 + 2,75 = 19,24 kNm VSd,x = 11,02 + 1,82 = 12,84 kN VSd,y = 1,24 kN Le sollecitazioni risultanti sono



2 2 2 2Sd Sd,x Sd,yM = M +M = 1,88 +19,24 =19,33 kNm e = MSd/NSd = 0,044 m

2 2 2 2Sd Sd,x Sd,yV = V + V = 12,84 +1,24 =12,90 kN

Dal confronto la combinazione più severa risulta essere quella “statica”. Pilastro C2 - SLU Statico Combinazione “statica” Cumulando le azioni dovute ai carichi verticali (tabella 9.1) e al vento (tabella 9.2) si ottiene NSd = 2785 kN MSd,x = 1,62 kNm MSd,y = 25,82 + 1,19 = 27,01 kNm VSd,x = 17,33 + 0,79 = 18,12 kN VSd,y = 1,07 kN Le sollecitazioni risultanti sono

2 2 2 2Sd Sd,x Sd,yM = M +M = 1,62 + 27,01 = 27,06 kNm e = MSd/NSd = 0,01 m

2 2 2 2Sd Sd,x Sd,yV = V + V = 18,12 +1,07 = 18,15 kN

Combinazione “sismica” Cumulando le azioni dovute ai carichi verticali (tabella 9.1) e a sisma (tabella 9.2) si ottiene NSd = 1623 kN MSd,x = 4,41 kNm MSd,y = 9,01 + 8,43 = 17,44 kNm VSd,x = 6,05 + 5,56 = 11,61 kN VSd,y = 2,91 kN Le sollecitazioni risultanti sono

2 2 2 2Sd Sd,x Sd,yM = M +M = 4,41 +17,44 =18,0 kNm e = MSd/NSd = 0,011 m

2 2 2 2Sd Sd,x Sd,yV = V + V = 11,61 + 2,91 =11,97 kN

Dal confronto la combinazione più severa risulta essere quella “statica”.

9.2 SLU di pressoflessione 9.2.1 Pilastro A1 SLU “STATICO” Eccentricità del I° ordine Il pilastro circolare con diametro D = 300 mm è in diretto contatto con l’ambiente esterno. La distanza del baricentro delle armature longitudinali dalla superficie del calcestruzzo (tab. 3.5) vale d ’ = 45 mm. Per tener conto delle incertezze sulla posizione del punto di applicazione della forza assiale NSd = 671 kN, le eccentricità dovute ai momenti flettenti devono in ogni caso essere almeno pari a ee = max (D/30; 20 mm) = max(10 mm; 20 mm) = 20 mm. Nel caso specifico l’eccentricità risulta ee = 0,036 m = 36 mm > 20 mm.

QT4 Per ottenere l’eccentricità totale del primo ordine all’eccentricità dovuta ai carichi si somma l’eccentricità dovuta alle imperfezioni geometriche

e1 = (ee + ei)

L’eccentricità ei vale: = θ = θ α α0 0i i 0 h m

l le2 2

θ =01 rad

200

h h m m2 2 11,14 1 1 0,5 1 m = 1 1

m3,03l⎛ ⎞α = = = > → α = α = ⋅ + → α =⎜ ⎟⎝ ⎠



0i 0 h m

l 1 3030e = = 1 1 = 8 mm2 200 2

θ α α ⋅ ⋅ ⋅ .

All’eccentricità totale etot = (ee + e1) = (36 + 8)= 44 mm corrisponde il momento di calcolo MSd = NSd etot = 671· 44· 10-3 = 29,5 kNm. Eccentricità del II° ordine Per valutare se sono da prendere in conto anche gli effetti del II° ordine si deve stimare l’armatura longitudinale. Nel caso di sezioni circolari devono essere disposte barre di diametro minimo 12 mm in un numero minimo di 6 con area As,min = (6⋅113) = 678 mm2. A tale valore corrisponde il rapporto meccanico:

s yd

c cd

A f 678 391 = = = 0,20A f 70685 18,4

⋅ω

⋅

La snellezza limite ha espressione lim20 A B C

λ =ν

i cui i termini sono:

- forza assiale ridotta 3

Sd

c cd

N 671 10 = = = 0,52A f 70685 18,4

⋅ν

⋅

01

02

M1 1A = 0,70 B = 1 2 1 2 0,20 1,18 C =1,7 - = 1,7 + 1 = 2,71 0,2 1 0,2 2 M

= = + ω = + ⋅ =+ ϕ + ⋅eff

lim20 A B C 20 0,70 1,18 2,7 62

0,52⋅ ⋅ ⋅

λ = = =ν

Assumendo come lunghezza libera di inflessione l0 l’altezza di interpiano è l0 = 3030 mm. 0

min limmin

lr 3030150 mm 20 622 150

ρ = = λ = = = < = λρ

: non vanno presi in conto gli effetti del II° ordine

Calcolo capacità portante Per un pilastro circolare la pressoflessione è sempre retta. Sul diagramma di interazione dimensionale tracciato per una sezione circolare di calcestruzzo C28/35 armata con 6 φ12 il punto di coordinate NSd = 671 kN, MSd = 29,5 kNm risulta all’interno del dominio resistente. La sezione è verificata (fig. 9.2).

Fig. 9.2 – Diagramma di interazione – sez. circolare, presso flessione retta



9.2.2 Pilastro C2 SLU STATICO Eccentricità del I° ordine Il pilastro, di forma rettangolare e dimensioni (300 x 400) mm è posto in ambiente interno. La distanza del baricentro delle armature longitudinali dalla superficie del calcestruzzo è d’ = 36 mm. Le eccentricità della forza assiale NSd = 2785 kN deve in ogni caso risultare almeno pari a ee = max (b/30; h/30; 20 mm) = max (13 mm; 20 mm) = 20 mm. Nel caso specifico l’eccentricità risulta ee = 0,01 m = 10 mm < 20 mm. Si assume e = 20 mm. L’eccentricità ei dovuta alle imperfezioni geometriche è uguale a quella del caso precedente (8 mm). L’eccentricità totale risulta pertanto etot = (ee + e1) = (20 + 8)= 28 mm e si considera presente in entrambe le direzioni x, y . Pertanto MSd,x = MSd,y = NSd etot = 2785⋅28⋅10-3 = 78 kNm Effetti del II° ordine Per sezioni rettangolari di dimensioni (300 x 400) mm devono essere disposte barre di diametro minimo φ = 12 mm in numero minimo di 6. Si dispongono 16 barre φ 18 con area totale As = (16 254) = 4064 mm2 a cui corrisponde il rapporto geometrico

s yd

c cd

A f 4064 391 = = = 0,72A f 120000 18,4

⋅ω

⋅

Per la snellezza limite lim20 A B C

λ =ν

A = 0,70 B = 1 2 1 2 0,72 1,56+ ω = + ⋅ = C = 2,7

3Sd

c cd

N 2785 10 = = = 1,26A f 120000 18,4

⋅ν

⋅ lim

20 A B C 20 0,70 1,56 2,7 531,26

⋅ ⋅ ⋅λ = = =

ν

La snellezza del pilastro per l0 = l e 0min lim

min

lb 3030 12 3530012

ρ = λ = = = < λρ

Calcolo capacità portante Per elementi soggetti a pressoflessione deviata è possibile effettuare due verifiche a pressoflessioni rette) secondo ciascuna delle due direzioni principali x,y se sono soddisfatte entrambe le condizioni:

y

x0,5 2

λ≤ ≤

λ y

x

e /h0,20

e /b≤ oppure x

y

e /b 0,20 e /h

≤

La prima condizione λy/λx = h/b = 400/300= 1,33 < 2 è soddisfatta, la seconda, essendo le due eccentricità del primo ordine ey = ex = 28 mm uguali, non lo è ed occorre effettuare la verifica in pressoflessione deviata. Sul diagramma di interazione dimensionale di figura 9.3 per una sezione rettangolare di calcestruzzo C28/35 armata con 16 φ18, il punto di coordinate NSd = 2785 kN, MSdx = 78 kNm si trova sulla frontiera del dominio resistente. La sezione è verificata.

Fig. 9.3 – Dominio di resistenza – sez. rettangolare, pressoflessione deviata



9.3 Verifiche allo SLU per taglio

9.3.1 Pilastro A1 COMBINAZIONE “STATICA” La verifica a taglio di un pilastro circolare può essere condotta considerando la larghezza b di una sezione rettangolare, inscritta all’interno della sezione (fig. 9.4) avente rapporto tra i lati b = 5/7 h, rapporto per cui risulta massima l’inerzia della sezione.

Risulta 2

2 2 25D = b + h = h + h = 1,23 h7

⎛ ⎞ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

da cui

h = 0,81·D = 0,81⋅300 = 244 mm b = (5/7)· h = 174 mm Il taglio sollecitante vale VSd = 16,2 kN Con d’ = 45 mm è d = h – d’ = 300 – 45 = 255 mm.

Per la disposizione delle staffe le indicazioni di norma sono:

- strutture in zona non sismica: passo massimo smax ≤ min (10 φl , 250 mm) = min (160; 250) = 160 mm - strutture in zona sismica: nelle zone di estremità estese a 1/3 della semialtezza netta (nel caso in esame,

espete per 0,33 (2700/2) = 450 mm): smax ≤ min (5 φl 100 mm) = 80 mm; al di fuori di tale zona valgono le regole per zona non sismica.

QT5 3.5 Con staffe circolari φ8 disposte con passo s = smax = 80 mm è Asw = 100 mm2. Utilizzando il metodo tabellare a tale armatura corrispondono l’armatura a taglio ridotta e il taglio adimensionale

sw ydw

w 1 cd

A f 100 391= = = 0,21b s f 180 80 0,7 18,4η

⋅ ⋅ω

⋅ ⋅ν ⋅ ⋅ ⋅ η = 0,370 < 0,450

Di conseguenza

VRd = η bw d ν1 fcd = 0,370· 180·255· 0,7·18,4· 10-3 = 214 > 16,2 kN Si mantiene la disposizione con passo 80mm fino a 450 mm dai fili superiore e inferiore del solaio. Nelle zone intermedie del pilastro il passo delle staffe è raddoppiato al valore s = 160 mm. COMBINAZIONE “SISMICA” Essendo le sollecitazioni minori di quelle in condizioni di SLU statico, la verifica si considera soddisfatta.

9.3.2 Pilastro C2 COMBINAZIONE “STATICA” La sollecitaziona massima VSd = 18,15 kN è di modesta entità ed è automaticamente soddisfatta se si rispettano le disposizioni minime d’armatura previste in normativa (staffe φ8/80 mm nei primi 450 mm dal filo solaio, φ8/160 nelle zone intermedie)

9.3.3 Disposizioni costruttive

In zona sismica la prima staffa non deve distare più di 50 mm dal’estremità del pilastro (filo interno del solaio): si suggerisce di adottare tale accorgimento anche in zona non sismica, in quanto facilita il confinamento del calcestruzzo compresso esercitato dalle staffe chiuse. Le staffe DEVONO essere chiuse e terminare con ganci piegati a 135°.

Fig. 9.4 – sezione di calcolo


© 2007 F. Biasioli 10-1

CAPITOLO 10 Elementi di controvento – Nuclei e setti

10.1 Premessa OR 5.5.1 Gli elementi di controvento, catalogati come pareti strutturali semplici o complesse, sono verificati nella

condizione di carico di SLU sismico. Possono essere considerate pareti gli elementi che sopportano le sole azioni orizzontali per le quali la forza assiale ridotta

Sd

c cd

N= 0,40A f

ν ≤⋅

La condizione limite n = 0,40 rappresenta la condizione di momento resistente massimo per una forza normale assegnata. Le pareti devono avere uno spessore s ≥ 150 mm. Gli elementi composti sono costituiti da elementi rettangolari disposti in modo da formare elementi a C, U, ecc. come i vani ascensore. Nel seguito per le verifiche di flessione e taglio dei vani ascensore e dei setti si utilizzano le prescrizioni contenute nell’OPCM 3274 .

10.2 Nuclei 10.2.1 Sollecitazioni Le azioni cui sono soggetti i controventi sono ottenute come combinazione degli effetti delle azioni veriticali e orizzontali calcolate in tab. 4.3 per NSd (carichi verticali) e 6.10 (SLU) e 6.14a (sisma) per M e F (azioni orizzontali).

Nd Mi,y Mi,x FiX FiY Mz,i [kN] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kNm]

vento 4302 1064 3163 99 294.8 194 sisma lungo x 2583 5685 1473 427 111 833 sisma lungo y 2583 33 6026 2,5 452 5,2

Tab. 10.1 Sollecitazioni di base - nuclei

Applicando le regole di combinazione contenute nei capitoli 2.3 e 6.7 a livello del primo impalcato si ha

NSd MSd,y MSd,x VSd,x VSd,y TSd [kN] [kNm] [kNm] [kN] [kN] [kNm]

vento 4302 638,4 1898 59,4 177,9 116,4 sisma lungo x 2583 5695 3281 428 246,6 835 sisma lungo y 2583 1739 6468 131 485 255

Tab. 10.2 Sollecitazioni di calcolo - nuclei


10-2 © 2007 F. Biasioli

10.2.2 Verifiche di compatibilità Nella fase di predimensionamento degli elementi di controvento si è assunto che questi siano in condizioni non fessurate sotto la combinazione di carico di SLU. Per validre tale ipotesi si esegue la verifica di fessurazione, considerando l’eccentricità del carico rispetto al “nocciolo” del vano ascensore. Se l’eccentricità dovuta ai carichi di SLU risulta interno al nocciolo del vano ascensore, l’elemento risulta interamente compresso e la verifica risulta soddisfatta. Applicando le formule della Scienza delle Costruzioni si ha:

2 11x

y,1G

2 11x

y,2G

2 11y

xG

i 7,923 10 1340000e = = = 612 mmy 966

i 7,923 10 1340000e = = = 479 mmh- y 2200 - 966i 8,40 10 1340000e = = = 626 mmx 1000

⋅

⋅

⋅

Le eccentricità risultano: ex = 638,4· 103/4302 = 148 mm ey = 1898· 103/4302 = 441 mm La struttura può risultare non completamente compressa per alcune direzioni dell’azione del vento, ma le tazioni risultano di modestissima entità. La verifica approssimata eseguita con il programma di calcolo (fig. 10.1) conferma, infatti, che la deformazione di trazione non è tale da pregiudicare l’ipotesi inziale, ossia

εel ≈ 0,02 ‰

Fig. 10.1 Verifica di compatibilità

La struttura è pertanto in condizioni non fessurate.


© 2007 F. Biasioli 10-3

10.2.3 Progetto/verifica delle armature Armature longitudinali

OR 5.5.5.1 Una parete è un elemento per il quale la forza assiale normalizzata 3

Sd

c cd

N 2583 10= 0,4 = = 0,10 0,4A f 1340000 18,4

⋅ν ≤ ⇒ ν <

⋅ ⋅

OR 5.4.5.2 Una parete composta di più elementi rettangolari tra loro collegati viene progettata considerando reagenti sia gli elementi che si allungano nella direzione considerata del sisma sia le eventuali ali, con dimensioni di calcolo massime definite come (H altezza del fabbricato): sisma direzione x: lf,eff = min {lf; i/2; 0,25 H} = min {2000; n.a.; 5208} = 2000 mm direzione y: lf,eff = min {lf; i/2; 0,25 H} = min {800; 900; 5208} = 800 mm

Fig. 10.2 sezione effettiva

Si considera quindi resistente l’intero vano ascensore. OR 5.4.5.1 Nella zona di base della parete si individua una “zona critica” in cui si concentrano le deformazioni

anelastiche in condizioni di SLU (fig. 10.4) la cui altezza hcr vale hcr = max { b; l; H/6} ≤ min { h; 2b; 2l} ï max { 2000, 2200; 3472} ≤ min { 3030; 4000; 4400} = 3030 mm

OR 5.5.5.2 Nella zona critica di base l’armatura viene calcolata con criteri differenti a seconda che sia disposta in una zona “confinata” o “non confinata”: le zone confinate sono in figura 10.3 e hanno spessore s e lunghezza “confinata” lc pari a

lc = 0,20 l ≥ 1,5· s ï 0,20· 2200 = 440 mm > 1,5· 200 = 300 mm ï lc = 440 mm comunque non superiori alla dimensioni effettive.

All’interno di tali zone il rapporto geometrico di armatura ρ deve risultare

1% ≤ ρ ≤ 4% Pertanto As,min = 0,01· 200· 440 = 880 mm2 As,max = 0,04· 200· 440 = 3520 mm2 Nelle zone non non confinate il rapporto geometrico di armatura ρ > 0,2%, ossia As,min = 0,002· 200· (2200 - 2· 440) = 528 mm2

Nelle otto zone confinate sono presenti 58φ16, con un’area totale As = 11658 mm2. In ogni zona è ρ < 4%. Nelle zone esterne a quelle confinate si dispongono 18φ12, con area As = 2034 mm2 (fig. 10.6). Sfruttando un programma di calcolo1 si ottiene il diagramma di interazione in figura 10.5, Nella figura a sinistra è riportata la condizione di sisma in direzione x, in quella a destra lungo y.

1 Il programma utilizzato è VcaSLU, sviluppato dal prof. P. Gelfi, liberamente disponibile sul sito www.euroconcrete.it.

Fig. 10.4 Vano ascensore – zona

critica

Fig. 10.3 Zona confinata


10-4 © 2007 F. Biasioli

Fig. 10.5 Vano ascensore – disposizione delle armature e diagrammi di interazione

Armature trasversali QT5 3. La verifica a taglio del vano ascensore è condotta allo SLU considerando un comportamento a traliccio,

con fomazione di bielle compresse (calcestruzzo) e bielle tese (acciaio). Il progetto delle armature a taglio deve essere effettuato per due direzioni (x, y) tra loro ortogonali. Dalla tabella 10.2 risulta VSd,x = 427 kN; VSd,y = 485 kN, TSd = 835 kNm. È possibile trattare i due tagli in maniera separata, attribuendo a ciascuna membratura che si allunga nella direzione del taglio in esame la resistenza completa delle forze di taglio nella medesima direzione. Sostanzialmente, per le forze di taglio agenti in direzione x si considera resistente la sola parete di fondo del vano ascensore (l’unica intercettata dall’asse neutro nel caso di flessione reta attorno all’asse y), mentre per il taglio in direzione y si considera che entrambe le pareti resistano congiuntamente al taglio di progetto. Il momento torcente TSd = 835 kNm viene distribuito sui singoli elementi in maniera semplificata in base al rapporto tra la rigidezza torsionale della singola parete e la rigidezza torsionale totale. Sulla bese dele formule in appendice al cap. 5 si ha:

parete di fondo: t,i

z

GJk =

lθ vano ascensore t

z

GJk =lθ

poiché G e lz sono costanti, la ripartizione risulta TSd,i = TSd· Jt,i /Jt


© 2007 F. Biasioli 10-5

39

t,i2000 200J = = 5 10

3,20⋅

⋅ 3 9t

550 1800 2000J = 200 2 + 2 + = 16,2 103,89 3,23 3,20

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Da cui TSd,i = 835· 5 / 16,2 = 258 kNm QT5 4.2 La condizione peggiore risulta quella relativa al solo taglio in direzione x. A tale sollecitazione si deve

sommare il contributo dovuto alla torsione (QT5). La sezione tubolare equivalente ha spessore tef = (2000 200)/ 2 (2000 + 200) = 91 mm e comunque non minore di tmin = 2 36 = 72 mm. Per uno spessore di progetto td = 90 mm si ha

z1 = 2000- 2· 90/2 = 1910 mm z2 = 200- 2· 90/2 = 110 mm Ak = 1910· 110 = 210100 mm2 da cui VT = T· zi /2· Ak = 258· 1910/2· 210100 = 1,17 kN Il taglio di progetto su ogni parete della sezione tubolare risulta VSd = 428 /2 + 1,17 = 215,2 kN

OR 5.4.5 La verifica alla compressione dell’anima risulta: VSd,x ≤ VRd,2

con VRd,2 = 0,4· (0,7 – fck/200)· fcd· bw· z z braccio delle forze interne, valutabile come 0,8· l = 0,8· 2000 = 1600 mm viene

VRd,2 =0,4· (0,7 – 29/200) 18,4)· 90· 1600· 10-3 = 588 kN > VSd,x = 215,2 kN

Per il calcolo dell’armatura trasversale si considerano staffe φ8 mm a due braccia, per le quali su ogni parete è Asw = 50 mm2. Il passo a cui devono essere disposte risulta

( )sw ywdSd,x Rd,s max 3

Sd,x

A z f 50 0,8 2000 391V = V s = = = 145 mm

V 215,2 10⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒⋅

arrotondato a 140 mm

Il passo risulta accettabile poiché s < smax = min { 10φl; 250 mm} = min { 10· 16; 250} = 160 mm. Assumendo il passo s = 140 mm nella direzione ortogonale (y) risulta

( ) -3swRd,s ywd Sd

A 2 50V = z f = 0,8 2000 391 10 = 447 kN V = 215,2kNs 140

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ >

Al di sopra della zona critica è possibile aumentare il passo delle staffe e ridurre le armature longitudinali, ricordando che per le barre la distanza massima è 300 mm, mentre per le staffe le distanze da rispettare sono le medesime previste per il caso non sismico. Pertanto

smax = 0,75 d (1 + cot α) = 0,75 (2000 - 308) = 1269 mm ≤ 3 staffe/metro → s = 333 mm per s = smax = 333 mm è

( )swRd,s ywd

A 100V = z f = 0,8 2000 391= 188 kNs 333

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Poiché il contributo alla foza di taglio è costante per tutti i piani, e pari a 485 /5 = 97 kN/piano, la disposizione minima delle armature può essere prevista solamente per l’ultimo livello. La disposizione delle armature è riportata in figura 10.8


© 2007 F. Biasioli 10-7

10.3 Setti 10.3.1 Sollecitazioni di verifica Le azioni di progetto, cumulate come descritto precedentemente sono

NSd Mi,y Mi,x FiX FiY

rif [kN] [kNm] [kNm] [kN] [kN]

sisma lungo x 696 33 221 2,50 16,6 sisma lungo y

D 11 696 16 423 1 32

Tab. 10.3 Sollecitazioni di calcolo - setti I momenti torcenti non vengono presi in considerazione per la loro modestissima entità.

10.3.2 Progetto/verifica delle armature Il progetto dele armature è condotto nel medesimo modo utilizzato per i vani ascensore.

3Sd

c cd

N 696 10= 0,4 = = 0,16 0,4A f 200 1200 18,4

⋅ν ≤ ⇒ ν <

⋅ ⋅ ⋅

hcr = max { l; H/6} ≤ min { h; 2l} ï max { 1200; 3472} ≤ min { 3030; 2600} = 2600 mm. lc = 0,20 l ≥ 1,5 s ï 0,20· 1200 = 240 mm < 1,5· 200 = 300 mm ï lc = 300 mm Limiti d’armatura As,min = 0,01· 200· 300 = 600 mm2 As,max = 0,04· 200· 300 = 2400 mm2

Utilizzando 4φ16 per ogni zona confinata si ha As = 804 mm2, cui corrisponde

ρ = 100· 804 /(200· 300) = 1,34%. La sezione del setto è rettangolare. QT4 7.7 Per sollecitazioni di presso flessione deviata è possibile il calcolo in presso flessione retta se risulta

y

x

e /h0,20

e /b≤ oppure x

y

e /b 0,20 e /h

≤

Sisma lungo x ey = 221/696 = 0,31 m = 31 mm ex = 33/696 = 0,05 m = 5 mm da cui 5/31 = 0,16 < 0,20 → presso flessione retta Sisma lungo y ey = 423/696 = 0,60 m = 60 mm ex = 16/696 = 0,02 m = 2 mm da cui 2/60 = 0,03 < 0,20 → presso flessione retta


10-8 © 2007 F. Biasioli

Il diagramma di interazione che si ottiene risulta:

Fig. 10.7 Setto – diagramma di interazione

La zona intermedia non viene considerata reagente; si dispongono barre φ12 a distanza massima 300 mm, secondo lo schema riportato in fig. 10.8.

Armature trasversali Il taglio sollecitante di progetto VSd = 32 kN La verifica alla compressione della biella compressa al taglio risulta

VRd, max = 0,4· (0,7 – fck/200) fcd bw z = 0,4· (0,7 – 29/200)· 18,4 200· 0,8 1200 10-3 = 784 kN > VSd

Le staffe devono avere diametro minimo φ = 8 mm e passo non maggiore di

smax = min { 10φl; 250 mm} = min { 10· 16; 250} = 160 mm. Adottando staffe f8 a due bracci risulta Asw = 100 mm2 e la resistenza per smin è

-3Rd,s

100V = 0,8 1200 391 10 = 235160

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ > VSd = 32 kN nella zona critica

Al di fuori della zona critica è possibile aumentare il passo delle staffe fino al limite previsto per le zone non sismiche con un limite di 3 staffe al metro: s = 333 mm.

Rd,s160V = 235 = 113 kN333

⋅ > VSd= 32 kN


© 2007 F. Biasioli 10-9

10.3.3 Scorrimento lungo i piani OR 5.4.5.2 La verifica dei setti allo scorrimento (sliding) è

VRd,s = Vdd + Vfd + Vid ≥ VSd

con Vdd = 0,25 fyd ΣAsi effetto spinotto di progetto (dowel)

Vfd = 0,25 fcd ξ l b0 effetto di attrito (friction)

Vid = ΣAsi fyd cos φ effetto delle barre inclinate di un angolo φ rispetto al piano orizzontale (inclination)

Il calcolo del rapporto ξ = x/l tra la profondità x dell’asse neutro e l’altezza l della sezione del setto può essere effettuata attraverso un programma di calcolo che consideri la presenza dell’armatura in zona compressa. Si ottiene ξl = 242 mm (fig. 10.9).

L’area ΣAsi = 8· 201 = 1608 mm2 è quella delle barre verticali che attraversano il piano dell’impalcato e da tale sezione risultano debitamente ancorate. L’armatura inclinata in questo caso è nulla. Il contributo dei vari termini risulta Vdd = 0,25· 391· 1608· 10-3 = 157 kN Vfd = 0,25· 18,4· 242· 200· 10-3 = 223 kN

Vid = 0

VRd,s = 157 + 223 = 360 kN > 32 kN. La verifica è soddisfatta.

Fig. 10.8 Setto – disposizione schematica delle armature

PROGETTARE CON IL METODO DEGLI STATI LIMITE

FRANCESCO BIASIOLI CARLO DOIMO

QUADERNI TECNICI

STRUMENTI DI CALCOLO

SEMINARIO TECNICO LE STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO - PROGETTO ED ESECUZIONE ALLA LUCE DELLA NUOVA NORMATIVA

Forlì – 22 giugno 2007 EDIZIONE FUORI COMMERCIO

Stampato da: CS Riproduzione e Stampa snc - Corso Orbassano 226 – Torino

Riservati per tutti i paesi i diritti di riproduzione, memorizzazione elettronica, traduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo. Gli aggiornamenti di questo volume e i programmi citati nel testo sono disponibili sul sito www.euroconcrete.it

STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: DURABILITÀ, RITIRO E VISCOSITÀ STRUMENTI

© 2007 F. Biasioli – C. Doimo ST 1

DURABILITÀ

Tab. 1.1 - Classi di esposizione ambientale

Cond. ambientali Descrizione Classe di esposizione Ordinarie Tutte le situazioni, escluse le successive X0

Aggressive Ambiente aggressivo per cause naturali, caratterizzato da elevata umidità o soleggiamento nullo

XC

Molto aggressive Ambiente molto aggressivo per cause antropiche caratterizzato da presenza di liquidi o di aeriformi particolarmente corrosivi; ambiente marino.

XD XS

Tab. 1.2 - Correlazione NT – EC2

1 Nessun rischio di corrosione o di attacco

X0 Calcestruzzo privo di armatura o inserti metallici: tutte le esposizioni eccetto dove c’è gelo/disgelo, abrasione o attacco chimico. Calcestruzzo con armatura o inserti metallici molto asciutto.

Calcestruzzo all’interno di edifici con umidità dell’aria molto bassa.

2 Corrosione indotta da carbonatazione

XC1 Asciutto o permanentemente bagnato Calcestruzzo all'interno di edifici con bassa umidità relativa. Calcestruzzo costantemente immerso in acqua

XC2 Bagnato, raramente asciutto Superfici di calcestruzzo a contatto con acqua per lungo tempo. Molte fondazioni

XC3 Umidità moderata Calcestruzzo all'interno di edifici con umidità dell'aria moderata oppure elevata. Calcestruzzo esposto all'esterno protetto dalla pioggia

XC4 Ciclicamente bagnato e asciutto Superfici di calcestruzzo soggette al contatto con acqua, non nella classe di esposizione XC2

3 Corrosione indotta da cloruri XD1 Umidità moderata Superfici di calcestruzzo esposte a nebbia salina

XD2 Bagnato, raramente asciutto Piscine. Calcestruzzo esposto ad acque industriali contenenti cloruri

XD3 Ciclicamente bagnato ed asciutto Parti di ponti esposte a spruzzi contenenti cloruri Pavimentazioni stradali e di parcheggi

4 Corrosione indotta da cloruri presenti nell'acqua di mare

XS1 Esposto a nebbia salina ma non in contatto diretto con acqua di mare Strutture prossime oppure sulla costa

XS2 Permanentemente sommerso Parti di strutture marine

XS3 Zone esposte alle onde, agli spruzzi oppure alle maree Parti di strutture marine

5 Attacco di cicli gelo/disgelo

XF1 Moderata saturazione d’acqua, senza impiego di agente antigelo

Superfici verticali di calcestruzzo esposte alla pioggia e al gelo

XF2 Moderata saturazione d'acqua, con uso di agente antigelo Superfici verticali di calcestruzzo di strutture stradali esposte al gelo e nebbia di agenti antigelo

XF3 Elevata saturazione d'acqua, senza antigelo Superfici orizzontali di calcestruzzo esposte alla pioggia e al gelo

XF4 Elevata saturazione d'acqua, con antigelo oppure acqua di mare

Strade e impalcati da ponte esposti agli agenti antigelo Superfici di calcestruzzo esposte direttamente a nebbia contenente agenti antigelo e al gelo

6. Attacco chimico XA1 Ambiente chimico debolmente aggressivo Suoli naturali ed acqua del terreno

XA2 Ambiente chimico moderatamente aggressivo Suoli naturali ed acqua del terreno

XA3 Ambiente chimico fortemente aggressivo Suoli naturali ed acqua del terreno

STRUMENTI STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: DURABILITÀ, RITIRO E VISCOSITÀ

ST 2 © 2007 F. Biasioli – C. Doimo

SPECIFICA DEL CALCESTRUZZO – PREZZO/PRESTAZIONI

Tab. 2.1 – Esempio di listino calcestruzzo preconfezionato



DURABILITÀ - COPRIFERRI

Copriferro cmin,dur [mm] Classe di esposizione ambientale 15 25 30 35 40 45 50 55

XC1 C25/30, 0.60, 300

XC2 C25/30, 0.60, 300

XC3 C28/35, 0.55, 320

XC4 C32/40, 0.50, 340

XD1 C28/35, 0.55, 320

XD2 C35/45, 0.45, 360

XD3 C35/45, 0.45, 360

XS1 C28/35, 0.55, 320

XS2 C35/45, 0.45, 360

XS3 C35/45, 0.45, 360

XF1 C28/35, 0,50, 320

XF2 – XF3 C25/30, 0,50, 340

XF4 C28/35, 0,45, 360

XA1 C28/35, 0,55, 320

XA2 C32/40, 0,50, 340

XA3 C35/45, 0,45, 360

Tab. 3.1 - Copriferro cmin e caratteristiche di composizione del calcestruzzo (EN206-1 ed EC2)

cnom = max (cmin,b, cmin,dur) + 10 (mm) ≥ 20 mm

cmin,b = φ√nb nb numero di barre di un eventuale gruppo di barre; per barra singola nb = 1.

d'cnom

φstaffe

φ /2long

h d

d'

d'

Altezze d e d’

50 anni 100 anni



RITIRO

h0 kh βds (t-ts) per (t-ts) = [mm] 28 90 180 300 500 1000 100 1.000 0.41 0.69 0.82 0.88 0.93 0.96

150 0.911 0.28 0.55 0.71 0.80 0.87 0.93

200 0.850 0.20 0.44 0.61 0.73 0.82 0.90

250 0.813 0.15 0.36 0.53 0.65 0.76 0.86

300 0.750 0.12 0.30 0.46 0.59 0.71 0.83

350 0.748 0.10 0.26 0.41 0.53 0.66 0.79

400 0.722 0.08 0.22 0.36 0.48 0.61 0.76

Tab. 5.1 Relazione tra h0 e kh e βds (t-ts)

Classe Rck RH%

[N/mm2] 20 40 50 60 80 90 100 C20/25 25 -0.61 -0.58 -0.54 -0.48 -0.30 -0.17 0.00

C25/30 30 -0.58 -0.55 -0.51 -0.46 -0.29 -0.16 0.00

C28/35 35 -0.55 -0.52 -0.49 -0.44 -0.27 -0.15 0.00

C32/40 40 -0.53 -0.50 -0.46 -0.42 -0.26 -0.14 0.00

C35/45 45 -0.50 -0.47 -0.44 -0.40 -0.25 -0.14 0.00

C40/50 50 -0.48 -0.45 -0.42 -0.38 -0.23 -0.13 0.00

C45/55 55 -0.45 -0.43 -0.40 -0.36 -0.22 -0.12 0.00

Tab 5.2 Ritiro nominale εcd,0 (‰) per h0 = 100 mm per cementi di classe N

Nota: per cementi S moltiplicare i valori di tabella per 0,80; per cementi R per 1,40

EVOLUZIONE DELLA RESISTENZA NEL TEMPO

t0 βcc (t) = fcm(t)/fcm (28) Ecm(t)/Ecm(28)

[giorni] S N R S N R

7 0.68 0.78 0.82 0.89 0.93 0.94 14 0.85 0.90 0.92 0.95 0.97 0.98 28 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 90 1.18 1.12 1.09 1.05 1.03 1.03

180 1.26 1.16 1.13 1.07 1.05 1.04 300 1.30 1.19 1.15 1.08 1.05 1.04 1000 1.37 1.23 1.18 1.10 1.06 1.05

Tab. 6.1 Coefficienti di variazione di fcm e Ecm in funzione di t



VISCOSITÀ C25/30 - Rck = 30 N/mm2

RH = 45% RH = 65% RH = 85% t0 h0 h0 h0 [giorni] [mm] [mm] [mm]

100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 7 4.2 3.7 3.5 3.3 3.2 3.3 3.0 2.9 2.8 2.7 2.5 2.4 2.3 2.3 2.2

14 3.7 3.2 3.0 2.9 2.8 2.9 2.7 2.5 2.4 2.4 2.2 2.1 2.0 2.0 2.0

28 3.2 2.8 2.7 2.5 2.5 2.6 2.3 2.2 2.1 2.1 1.9 1.8 1.8 1.7 1.7

90 2.6 2.3 2.1 2.0 2.0 2.0 1.9 1.8 1.7 1.7 1.5 1.5 1.4 1.4 1.4

180 2.2 2.0 1.9 1.8 1.7 1.8 1.6 1.5 1.5 1.5 1.3 1.3 1.2 1.2 1.2

300 2.0 1.8 1.7 1.6 1.6 1.6 1.5 1.4 1.4 1.3 1.2 1.1 1.1 1.1 1.1

1000 1.6 1.4 1.3 1.3 1.2 1.3 1.2 1.1 1.1 1.0 1.0 0.9 0.9 0.9 0.9

C28/35 - Rck = 35 N/mm2


100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 7 3.7 3.3 3.1 3.0 2.9 3.0 2.7 2.6 2.5 2.5 2.3 2.2 2.1 2.1 2.0

14 3.3 2.9 2.7 2.6 2.5 2.6 2.4 2.3 2.2 2.2 2.0 1.9 1.8 1.8 1.8

28 2.9 2.5 2.4 2.3 2.2 2.3 2.1 2.0 1.9 1.9 1.7 1.7 1.6 1.6 1.6

90 2.3 2.0 1.9 1.8 1.8 1.8 1.7 1.6 1.6 1.5 1.4 1.3 1.3 1.3 1.3

180 2.0 1.8 1.7 1.6 1.6 1.6 1.5 1.4 1.4 1.3 1.2 1.2 1.1 1.1 1.1

300 1.8 1.6 1.5 1.5 1.4 1.5 1.3 1.3 1.2 1.2 1.1 1.1 1.0 1.0 1.0

1000 1.4 1.3 1.2 1.1 1.1 1.2 1.1 1.0 1.0 1.0 0.9 0.8 0.8 0.8 0.8

C32/40 - Rck = 40 N/mm2


100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 7 3.3 3.0 2.8 2.7 2.6 2.7 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2.0 1.9 1.9 1.9

14 2.9 2.6 2.4 2.4 2.3 2.4 2.2 2.1 2.0 2.0 1.8 1.7 1.7 1.7 1.6

28 2.5 2.3 2.1 2.1 2.0 2.1 1.9 1.8 1.8 1.7 1.6 1.5 1.5 1.5 1.4

90 2.0 1.8 1.7 1.6 1.6 1.7 1.5 1.5 1.4 1.4 1.3 1.2 1.2 1.2 1.2

180 1.8 1.6 1.5 1.4 1.4 1.4 1.3 1.3 1.2 1.2 1.1 1.1 1.0 1.0 1.0

300 1.6 1.4 1.4 1.3 1.3 1.3 1.2 1.2 1.1 1.1 1.0 1.0 0.9 0.9 0.9

1000 1.3 1.1 1.1 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7

Tab. 7.1 Coefficienti di viscosità ( )φ ∞ 0,t



RH = 45%

h0 (t-t0) [mm] [giorni]

7 14 28 90 180 300 1000 100 0.30 0.36 0.44 0.60 0.71 0.78 0.91 150 0.28 0.35 0.42 0.58 0.68 0.75 0.89 200 0.27 0.33 0.41 0.56 0.66 0.73 0.88 250 0.26 0.32 0.39 0.54 0.64 0.72 0.87 300 0.25 0.31 0.38 0.52 0.62 0.70 0.85 350 0.24 0.30 0.37 0.51 0.61 0.68 0.84 400 0.24 0.29 0.36 0.50 0.59 0.67 0.83 450 0.23 0.28 0.35 0.48 0.58 0.66 0.82 500 0.23 0.28 0.34 0.47 0.57 0.65 0.81

RH = 65%


7 14 28 90 180 300 1000 100 0.30 0.36 0.44 0.60 0.71 0.78 0.91 150 0.28 0.35 0.42 0.58 0.68 0.75 0.89 200 0.27 0.33 0.40 0.56 0.66 0.73 0.88 250 0.26 0.32 0.39 0.54 0.64 0.71 0.87 300 0.25 0.31 0.38 0.52 0.62 0.70 0.85 350 0.24 0.30 0.37 0.51 0.61 0.68 0.84 400 0.24 0.29 0.36 0.50 0.59 0.67 0.83 450 0.23 0.28 0.35 0.48 0.58 0.66 0.82 500 0.23 0.28 0.34 0.47 0.57 0.64 0.81

RH = 85%


7 14 28 90 180 300 1000 100 0.26 0.32 0.39 0.54 0.64 0.72 0.87 150 0.24 0.30 0.36 0.51 0.60 0.68 0.84 200 0.23 0.28 0.34 0.48 0.57 0.65 0.82 250 0.22 0.27 0.33 0.46 0.55 0.62 0.79 300 0.21 0.25 0.31 0.44 0.53 0.60 0.78 350 0.20 0.25 0.30 0.42 0.51 0.58 0.76 400 0.20 0.25 0.30 0.42 0.51 0.58 0.76 450 0.20 0.25 0.30 0.42 0.51 0.58 0.76 500 0.20 0.25 0.30 0.42 0.51 0.58 0.76

Tab. 7.2 βc (t-t0) per 30 N/mm2 ≤ Rck ≤ 40 N/mm2

STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: STATI LIMITE DI ESERCIZIO STRUMENTI

© 2007 F. Biasioli – C. Doimo ST-7

VERIFICA DELLE TENSIONI Combinazione di carico

Calcestruzzo Acciaio Condizioni ambientali

Classe di esposizione

Rara Q. permanente Rara Ordinarie X0 ≤ 0,57 fck ≤ 0,45 fck

Aggressive XC ≤ 0,54 fck ≤ 0,42 fck

Molto aggressive XD XS ≤ 0,50 fck ≤ 0,40 fck

≤ 0,80 fyk

Tab. 2.1 - Rapporti limite di tensione per ambiente, materiale e combinazione di carico

DM NS Destinazione d’uso

ψ0 ψ1 ψ2 ψ0 ψ2 Abitazioni, uffici 0,50 0,20 0,30

Uffici aperti al pubblico, negozi, scuole

0,60 0,30 0,60

Autorimesse 0,70 0,60 0,60

Tetti e coperture con neve 0,20 0,00

0,70

0,35

Vento

0,70

0,20 0,00 0,00 0,00

Magazzini, archivi n.d n.d n.d 1,00 0,80

Tab. 2.2 – Coefficienti di combinazione ψ

Qk/Gk Combinazione di carico ψ

0 0.10 0.20 0.30 0.35 0.40 0.50 1 2 4 0.10 0.48 0.44 0.41 0.38 0.36 0.35 0.33 0.26 0.18 0.13

0.30 0.48 0.45 0.42 0.40 0.39 0.38 0.36 0.30 0.25 0.20

0.60 0.48 0.46 0.45 0.43 0.43 0.42 0.41 0.37 0.34 0.31 QUASI

PERMANENTE

0.80 0.48 0.47 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.42 0.40 0.38

RARA 1.00 0.48 0.48 0.48 0.48 0.47 0.47 0.47 0.47 0.46 0.46

Tab. 2.3 - Rapporti σc/fck

Qk/Gk Combinazione di carico ψ

0 0.10 0.20 0.30 0.35 0.40 0.50 1 2 4 0.10 0.67 0.61 0.56 0.52 0.50 0.49 0.46 0.35 0.25 0.18

0.30 0.67 0.62 0.58 0.55 0.54 0.52 0.50 0.42 0.34 0.28

0.60 0.67 0.64 0.62 0.60 0.59 0.58 0.57 0.52 0.47 0.43 QUASI

PERMANENTE

0.80 0.67 0.65 0.64 0.63 0.62 0.62 0.61 0.58 0.55 0.53

RARA 1.00 0.67 0.66 0.66 0.66 0.66 0.65 0.65 0.64 0.64 0.63

Tab. 2.4 - Rapporti σs/fyk

K

c K

Kck

K

Q1+σ G0,68 Qf 1,40+ 1,50

G

ψ≅

K

s K

Kyk

K

Q1+σ G0,93 Qf 1,40+ 1,50

G

ψ≅

STRUMENTI STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: STATI LIMITE DI ESERCIZIO

ST-8 © 2007 F. Biasioli – C. Doimo

STATO LIMITE DI FESSURAZIONE

Classe di esposizione wk (mm)

X0, XC1 0,4

XC2-3-4, XD, XS 0,3

Tab. 3.1 - Ampiezza ammissibile delle fessure

σs (N/mm2)

φmax (mm)

imax (mm)

160 32 300 180 24 275 200 25 250 220 20 225 240 16 200 260 14 175 280 12 150

Tab. 3.2 Valori limite φmax imax

imax

imax

φmax

Interferro massimo imax

STATO LIMITE DI DEFORMAZIONE

Sistema strutturale k

Travi semplicemente appoggiate

Piastre semplicemente appoggiate mono o bidirezionali (in base alla luce minore)

1,0

Campata terminale di travi continue o di piastre continue monodirezionali di piastre bidirezionali continue su un lato lungo (in base alla luce minore)

1,3

Campata intermedia di travi continue Campata intermedia di piastre mono o bidirezionali (in base alla luce minore)

1,5

Piastre non nervate sorrette da pilastri senza travi (in base alla luce maggiore)

1,2

Mensole 0,4

Tab. 4.1 Sistema strutturale: valori k

STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: STATI LIMITE DI ESERCIZIO STRUMENTI


STATO LIMITE DI DEFORMAZIONE

C20/25 ρ0 = 0,46%5

As'/ As ρ (%) 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 20 20 20 20 20 20 0.50 17 18 19 20 22 24 0.75 15 16 16 17 18 20 1.00 14 15 15 16 17 18 1.25 13 14 14 15 16 16 1.50 13 14 14 14 15 16

C28/35 ρ0 = 0,54%5

As'/ As ρ (%) 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 25 25 25 25 25 25 0.50 20 20 20 20 20 20 0.75 17 18 18 20 21 23 1.00 15 16 17 18 19 20 1.25 14 15 16 16 17 18 1.50 14 14 15 16 16 17

C40/45 ρ0 = 0,61%5

As'/ As ρ (%) 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 33 33 33 33 33 33 0.50 24 24 24 24 24 24 0.75 18 19 21 22 24 26 1.00 17 17 18 19 21 23 1.25 15 16 17 18 19 20 1.50 15 15 16 17 18 19

C25/30 ρ0 = 0,50%5

As'/ As ρ (%) 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.500.40 22 22 22 22 22 22 0.50 18 19 21 22 24 26 0.75 16 17 17 18 20 21 1.00 15 15 16 17 18 19 1.25 14 15 15 16 16 17 1.50 13 14 14 15 16 16

C35/40 ρ0 = 0,58%5

As'/ As ρ (%) 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 29 29 29 29 29 29 0.50 22 22 22 22 22 22 0.75 18 19 20 21 22 25 1.00 16 17 18 18 20 21 1.25 15 16 16 17 18 19 1.50 14 15 15 16 17 18

C45/50 ρ0 = 0,64%5

As'/ As ρ (%) 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 36 36 36 36 36 36 0.50 27 27 27 27 27 27 0.75 19 20 22 23 25 28 1.00 17 18 19 20 22 24 1.25 16 17 18 19 20 21 1.50 15 16 17 17 18 20

Tab. 4.2 - Rapporti (l/d)0 per k = 1

b

d

h

sAd'

f

b eff

w

A's

eff wb 3b≤

s

w

Ab d

′′ρ =

s

w

A=b d

ρ sA'

A s

b

d'

dsA=

b d′

′ρ

sA=b d

ρ

STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: FLESSIONE E PRESSOFLESSIONE STRUMENTI


COEFFICIENTI β

εc (‰)

β1 β2

0 0 0 - 0,10 0,049 0,335 - 0,20 0,097 0,336 - 0,30 0,143 0,338 - 0,40 0,187 0,339 - 0,50 0,229 0,341 - 0,60 0,270 0,343 - 0,70 0,309 0,344 - 0,80 0,347 0,346 - 0,90 0,383 0,348 - 1,00 0,417 0,350 - 1,10 0,449 0,352 - 1,20 0,480 0,354 - 1,30 0,509 0,356 - 1,40 0,537 0,359

C - 1,50 0,563 0,361 A - 1,60 0,587 0,364 M - 1,70 0,609 0,366 P - 1,80 0,630 0,369 O - 1,90 0,649 0,372 - 2,00 0,667 0,375 - 2,10 0,683 0,378 2 - 2,20 0,697 0,382 - 2,30 0,709 0,385 - 2,40 0,722 0,388 - 2,50 0,733 0,391 - 2,60 0,744 0,394 - 2,70 0,753 0,397 - 2,80 0,762 0,400 - 2,90 0,770 0,402 - 3,00 0,778 0,405 - 3,10 0,785 0,407 - 3,20 0,792 0,410 - 3,30 0,798 0,412 - 3,40 0,804 0,414

3 - 4 4a

- 3,50 0,810 0,416

εc (‰)

εci (‰)

β1 β2

- 3,50 - 0,00 0,810 0,416 - 3,45 - 0,07 0,822 0,423 - 3,40 - 0,13 0,834 0,429 - 3,35 - 0,20 0,846 0,435 - 3,30 - 0,27 0,857 0,440 - 3,25 - 0,33 0,868 0,446

C - 3,20 - 0,40 0,878 0,450 A - 3,15 - 0,47 0,888 0,455 M - 3,10 - 0,53 0,898 0,459 P - 3,05 - 0,60 0,907 0,463 O - 3,00 - 0,67 0,915 0,467 - 2,95 - 0,73 0,924 0,470 - 2,90 - 0,80 0,931 0,474 5 - 2,80 - 0,93 0,946 0,480 - 2,70 - 1,07 0,959 0,485 - 2,60 - 1,20 0,970 0,489 - 2,50 - 1,33 0,979 0,492 - 2,40 - 1,47 0,986 0,495 - 2,30 - 1,60 0,992 0,497 -2,20 -1,73 0,997 0,499 - 2,10 -1,87 0,999 0,500 - 2,00 - 2,00 1,000 0,500

h

ciε

=-2

c

‰ x

h73

εc2

x

h

fcd

c

=A

β1 f cd εc

Acε

c2

STRUMENTI STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: FLESSIONE E PRESSOFLESSIONE


FLESSIONE – SEZIONE RETTANGOLARE – Acciaio B450C – εsyd = 1,96‰

ξ μ ω0 δ'(k' = 1)

0.458 0.300 0.370 0.20 0.468 0.305 0.379 0.21

C 0.478 0.310 0.387 0.21 A 0.488 0.315 0.395 0.22 M 0.499 0.320 0.404 0.22 P 0.509 0.325 0.412 0.22 O 0.520 0.330 0.421 0.23 0.531 0.335 0.430 0.23 0.542 0.340 0.439 0.24 3 0.554 0.345 0.448 0.24 0.565 0.350 0.458 0.25 0.577 0.355 0.467 0.25 0.589 0.360 0.477 0.26 0.601 0.365 0.487 0.27 0.614 0.370 0.497 0.27 0.626 0.375 0.507 0.28 0.640 0.380 0.518 0.28 0.641 0.381 0.519 0.28 0.648 0.383 0.540 0.29

C 0.653 0.385 0.556 0.29 A 0.667 0.390 0.603 0.29 C40/50 M 0.682 0.395 0.661 0.30 C35/45 P 0.695 0.400 0.717 0.31 O 0.713 0.406 0.804 0.31 C30/37 0.725 0.410 0.863 0.32 C28/35 0.742 0.415 0.963 0.33 C25/30 4 0.758 0.420 1.071 0.33 0.773 0.424 1.190 0.34 C20/25

A s

x

c

ε s

d

b

d'A' s

ε s'

ξ μ ω0 δ'(k' = 1)

0.056 0.044 0.045 0.02 C40/50 0.062 0.049 0.050 0.03 C35/45 0.070 0.055 0.056 0.03 C33/40 0.075 0.059 0.060 0.03 C30/37 0.079 0.062 0.064 0.03 C28/35 0.091 0.071 0.074 0.04 C25/30 0.110 0.085 0.089 0.05 C20/25 0.117 0.090 0.095 0.05 0.124 0.095 0.100 0.05 0.131 0.100 0.106 0.06 0.138 0.105 0.112 0.06 0.145 0.110 0.117 0.06 0.152 0.115 0.123 0.07 0.159 0.120 0.128 0.07 0.166 0.125 0.134 0.07

C 0.173 0.130 0.140 0.08 A 0.180 0.135 0.146 0.08 M 0.188 0.140 0.152 0.08 P 0.195 0.145 0.158 0.09 O 0.202 0.150 0.164 0.09 0.209 0.155 0.170 0.09 0.217 0.160 0.176 0.10 3 0.225 0.165 0.182 0.10 0.233 0.170 0.188 0.10 0.240 0.175 0.194 0.11 0.248 0.180 0.201 0.11 0.250 0.181 0.202 0.11 0.255 0.185 0.207 0.11 0.264 0.190 0.213 0.12 0.272 0.195 0.220 0.12 0.280 0.200 0.226 0.12 0.288 0.205 0.233 0.13 0.296 0.210 0.239 0.13 0.304 0.215 0.246 0.13 0.312 0.220 0.253 0.14 0.321 0.225 0.260 0.14 0.329 0.230 0.266 0.15 0.338 0.235 0.273 0.15 0.346 0.240 0.280 0.15 0.350 0.242 0.283 0.15 0.355 0.245 0.287 0.16 0.364 0.250 0.295 0.16 0.373 0.255 0.302 0.16 0.382 0.260 0.309 0.17 0.391 0.265 0.316 0.17 0.400 0.270 0.324 0.18 0.409 0.275 0.331 0.18 0.419 0.280 0.339 0.18 0.428 0.285 0.347 0.19 0.438 0.290 0.355 0.19 0.448 0.295 0.363 0.20 0.450 0.296 0.364 0.20

S d2

cd

so ydo

cd

Mxξ = μ =d b d f

A fω =

b d f'd

dδ =



PRESSOFLESSIONE – DIAGRAMMI DI INTERAZIONE



PRESSOFLESSIONE DEVIATA – DIAGRAMMI DI INTERAZIONE

AA

dN

d'

h

A A

b

N d

x, Mdy

ω yd

bhf=

cd

tot

hb f

Mbh f

bhf

yμ

A

=μ x

ν

=

=

2cd cd

2

f

dyMdxcd

dx

d'

d'

d'y, M

0.10

A =4A

d'

tot

hd'b

ACCIAIO B450C

0.10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55

μ x

μ y

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60

μ x

μ y

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60

μ x

μ y

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60

μ x

μ y

ν = 0,3

ν = 0,4 ν = 0,5

ν = 0,2

ω = 1

ω = 0,5

ω = 0

ω = 1

ω = 0,5

ω = 0

ω = 0

ω = 1

ω = 0,5 ω = 0,5

ω = 1

ω = 0



AA

dN

d'

h

A A

b

N d

x, Mdy

ω yd

bhf=

cd

tot

hb f

Mbh f

bhf

yμ

A

=μ x

ν

=

=

2cd cd

2

f

dyMdxcd

dx

d'

d'

d'y, M

0.10

A =4A

d'

tot

hd'b

ACCIAIO B450C

0.10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55

μ x

μ y

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

μ x

μ y

ν = 0,8 ν = 0,6

ω = 1 ω = 1

ω = 0 ω = 0

ω = 0,5 ω = 0,5

LE STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: TAGLIO E TORSIONE STRUMENTI


TAGLIO – SEZIONI RETTANGOLARE E A T

α = 90° α = 60° α = 45°

θ cot θ η ωwη η ωwη η ωwη

21.80 2.500 0.310 0.138 0.382 0.159 0.434 0.195 26,56 2,000 0,360 0,200 0,464 0,231 0,540 0,283 27,10 1,954 0,365 0,208 0,473 0,240 0,552 0,293 27,65 1,908 0,370 0,215 0,482 0,249 0,564 0,305 28,22 1,863 0,375 0,224 0,491 0,258 0,576 0,316 28,81 1,819 0,380 0,232 0,501 0,268 0,589 0,328 29,41 1,774 0,385 0,241 0,510 0,278 0,602 0,341 30,00 1,732 0,390 0,250 0,520 0,289 0,615 0,354 30,69 1,685 0,395 0,261 0,530 0,301 0,629 0,368 31,37 1,640 0,400 0,271 0,541 0,313 0,644 0,383 32,08 1,595 0,405 0,282 0,552 0,326 0,659 0,399 32,83 1,550 0,410 0,294 0,563 0,339 0,675 0,416 33,63 1,504 0,415 0,307 0,574 0,354 0,691 0,434 34,48 1,456 0,420 0,320 0,587 0,370 0,708 0,453 35,41 1,407 0,425 0,336 0,599 0,388 0,727 0,475 36,43 1,355 0,430 0,353 0,613 0,407 0,747 0,499 37,58 1,299 0,435 0,372 0,628 0,430 0,770 0,526 38,95 1,237 0,440 0,395 0,645 0,456 0,796 0,559 40,73 1,162 0,445 0,426 0,666 0,492 0,828 0,602 42,30 1,099 0,448 0,453 0,683 0,523 0,856 0,641 43,09 1,069 0,449 0,467 0,691 0,539 0,869 0,660 45,00 1,000 0,450 0,500 0,710 0,577 0,900 0,707

Sd

w 1 cd

sw ywdw

w 1 cd

21

V=b d f

A f=

b s f

= 0,7 per Rck < 70 N/mm

η

ην

ων

ν

wb wb

slAA sw

STRUMENTI LE STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: TAGLIO E TORSIONE


TORSIONE – SEZIONI COMPATTE

θ cot θ ζ ωwζ ωlζ

21.80 2.500 0.690 0.138 0.862 26,56 2,000 0,800 0,200 0,800 27,10 1,954 0,811 0,208 0,792 27,65 1,908 0,822 0,215 0,785 28,22 1,863 0,833 0,224 0,776 28,81 1,819 0,844 0,232 0,768 29,41 1,774 0,856 0,241 0,759 30,00 1,732 0,866 0,250 0,750 30,69 1,685 0,878 0,261 0,739 31,37 1,640 0,889 0,271 0,729 32,08 1,595 0,900 0,282 0,718 32,83 1,550 0,911 0,294 0,706 33,63 1,504 0,922 0,307 0,693 34,48 1,456 0,933 0,320 0,680 35,41 1,407 0,944 0,336 0,664 36,43 1,355 0,956 0,353 0,647 37,58 1,299 0,967 0,372 0,628 38,95 1,237 0,978 0,395 0,605 40,73 1,162 0,989 0,426 0,574 42,30 1,099 0,996 0,453 0,547 43,09 1,069 0,998 0,467 0,533 45,00 1,000 1,000 0,500 0,500

T

tef,i/2

tef,i ≥ 2d'd'

u

Asl

Asw

u

d'

tef,i

T

sl

At

tef,i ≥ 2d'

Ed

ef,i k cd

sw ywdw

ef,i cd

sl yldl

t cd

T=t A f

A ft s fA fA f

0,7 1250

ckf

ζ

ζ

ζν

ω =ν

ω =ν

⎛ ⎞ν = −⎜ ⎟⎝ ⎠

QT6 - STRUTTURE DI CALCESTRUZZO: PUNZONAMENTO STRUMENTI


Classe

cls

Rck

(N/mm2)

fck

(N/mm2) fcd

(N/mm2)

fctd

(N/mm2)

ν vRd,max

(N/mm2)

ρmin %

C20/25 25 20,8 13,1 1,0 0,55 3,6 0,081% C25/30 30 24,9 15,8 1,2 0,54 4,3 0,089% C28/35 35 29,1 18,4 1,2 0,53 4,9 0,096% C32/40 40 33,2 21,0 1,3 0,52 5,5 0,102% C35/45 45 37,4 23,7 1,4 0,51 6,0 0,109% C40/50 50 41,5 26,3 1,5 0,50 6,6 0,115%

Tabella 1 - vRd,max ρmin

fcd2 (N/mm2) per ρl = Classe cls

fck (N/mm2)

fcd1 (N/mm2) 0,3% 0,6% 0,8% 1% 1,2% 1,4% 1,6% 1,8% 2,0%

C20/25 20,8 7,2 1,16 1,47 1,61 1,74 1,85 1,95 2,03 2,12 2,19 C25/30 24,9 8,5 1,24 1,56 1,72 1,85 1,96 2,07 2,16 2,25 2,33 C28/35 29,1 9,8 1,30 1,64 1,81 1,95 2,07 2,18 2,28 2,37 2,45 C32/40 33,2 11,0 1,36 1,72 1,89 2,03 2,16 2,28 2,38 2,47 2,56 C35/45 37,4 12,1 1,42 1,78 1,96 2,12 2,25 2,37 2,47 2,57 2,67 C40/50 41,5 13,2 1,47 1,85 2,03 2,19 2,33 2,45 2,56 2,67 2,76

Tabella 2 - fcd1 fcd2

d (mm) 160 180 200 220 240 260 280 300 350 400 500 600

ηpc,max tab. 3a tab. 3a 0,360 0,352 0,344 0,338 0,332 0,327 0,316 0,307 0,294 0,284

fywd,ef 290 295 300 305 310 315 320 325 338 350 375 391

Tabella 3 - ηpc,max , fywd,ef

Classe cls

ηpc,max per d < 200 mm e ρl =

0,3% 0,4% 0,5%

C20/25 0,387 0,360 0,360 C25/30 0,399 0,363 0,360 C28/35 0,410 0,372 0,360 C32/40 0,419 0,381 0,360 C35/45 0,427 0,388 0,360 C40/50 0,435 0,395 0,367

Tabella 3a - ηpc,max per d ≤ 200 mm

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