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  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

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    Parte terza

    Il calcoloagli "stati limite"

    delle sezioni n

    cementoarmato

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    2/291

    Capitolo nono

    La

    sicurezza trutturale

    9.1. Cenni

    storici

    e

    presentazione

    del

    problema

    Il

    concettodi sicurezza

    quindi

    i

    codici e le norme sulla sicurezza elle

    costruzioni

    imontano

    probabilmente

    ai

    primordi

    dell'attività stessa el

    co-

    struire,associandosi utomaticamente lla

    responsabilità,

    n casodi crolli e

    danni,

    'idea

    stessa

    ella

    sictrezza.

    Sembra

    accertatoche tale

    problema

    fossemolto

    sentito dagli antichi

    babilonesi i

    quali

    è attribuito

    quello

    che si

    può

    ritenere l

    primo

    codice n

    materia, l codice Hammurabi degli anni 2100 a.C. il

    quale

    prevedeva

    a

    condanna morte del costruttorenel casodi decesso egli

    abitanti a causa

    del crollo del manufatto. È inoltre ben noto che i Romani

    avevanodelle

    normemolto preciseper le costruzionimilitari.

    I

    primi

    studi a caratterescientificosulla resistenza ei materiali

    e

    delle

    strutturesono dovuti a Galileo

    (1638),

    che esaminò

    sperimentalmente

    teoricamentea resistenza rottura di travi in casodi trazione

    o

    flessione.

    Nel secolo iciottesimo urono

    sviluppate

    icerche

    sulla

    resistenza rottura

    di archi n muratura

    (Coulomb

    1773),ma

    solo

    nel

    diciannovesimo ecolo u

    studiatoa

    fondo il

    problema

    base della sicurezza elle strutture, e cioè

    quello

    della

    esistenza

    el

    materiale.Vennero

    nfatti formulati i

    piir

    impor-

    tanti criteri, a tutt'oggi usati,

    ntesi

    a caratterizzareo statodi crisi

    puntuale

    delmateriale.Vanno ricordatianzitutto criteri che mpongonodelle imita-

    zioni

    solo allo stato

    di

    tensione,

    quali

    ad esempio:

    -

    criterio delle massime ensioni

    principali:

    la crisi del materiale, ntesa

    come snervamento rottura, è attribuita al massimovalore

    assoluto

    delle ensioni

    rincipali

    Lamé,

    1833;Rankine,1875);

    -

    criteriodell'attrito

    interno: a

    crisi è dovutaal superamento i un valore

    limite, funzione del rapporto fra tensione angenziale normale

    Cou-

    lomb, 1776;Mohr, 1882);

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    3/291

    258

    Teoria

    e fecnica

    delle

    costruzton!

    -

    criterio

    dera

    massima

    ensione

    angenziale:

    a

    crisi

    è

    attribuita

    ar

    varore

    assimo

    ella

    ensione

    angenziale

    ff..r.",

    flij;ì.

    Venanr,

    g72).

    Con

    lo

    studio

    deì

    comportamento

    elastico

    dei

    materiali

    il

    concetto

    di

    esÌsrenza

    unruale

    .r.

    :.^r^l^:g1r:.

    quello

    Ji

    ,r*rr.l*"

    del

    materiale,

    ando

    uogo

    ad

    esempio

    ai

    seguenti

    ben

    noti

    crite;i

    ;;-s;curezza

    puntuale:

    -

    criterio

    della

    massima,

    ilatazione:

    a

    crisi

    è dovuta

    all,allungamento

    untuate

    massimo

    subito

    dat

    _"r*i"i"

    ìpo;;;;;i, ,rrr,

    Grashof,

    -

    criterio

    dell,energia

    di

    -deformazione;

    a

    crisi

    è

    dovuta

    ad

    eccesso

    i

    nergia

    etasticaassorbita. at.m^ateriaiete.rii"Àill's85);  crirerio

    delt'energia

    lastica.di

    ".rn",:;bi:;ji;;;,0,

    energia

    i

    de_

    ormazione

    ovuta

    u1,,_u:i:l:

    i

    f;;;;;;";iiih"

    e

    ..rpon.uul.

    ella

    risi Huber,

    904;

    .

    Mises,

    Sjl,

    ù"".k"

    iilq.

    Dai

    criteri

    di

    crisi

    richiamati

    e dallo

    sviluppo

    della

    teoria

    dell,elasticità

    bbe

    origine

    l

    concetro

    i

    3:il**j,1fifi

    ".".*,

    nl'.l"lJií:L*lf

    :,#:il:

    :iilffiliJiJ',::a

    Al

    successivo

    pprofondimento.

    €llostudiodelcomportamento eima_eriali ortre l rimiteelastico.

    e,cioè

    el;;;;;;ìt":iico

    del

    materiale

    ino

    alla

    rottura,

    è

    dovuta

    a

    ,

    za,cheviene"Jil;til;;;:ffiil::TiJ:l:,'i$,""T:i:H:,,.;1

    TT;

    l,:ilnT.."

    mareriare,

    a

    nei

    iiuardi

    .ii;;il;-;

    pTrte

    ael,tntera

    Le prime

    formulazioni

    ul

    ^calcolo

    rottura

    di

    strutture

    perstatiche

    ensono

    atte

    isatire

    Kirsr

    19t7).e

    i";;;;;

    ù;ó;"

    soto

    dopo

    a

    econda

    uerra

    mondiale

    i ebbe

    l

    pi.n"

    ,;i;;;;

    ;ì;';íirilr,"r"

    der

    :

    l

    primo

    resto

    orsanico

    ull,argom#o

    l"r"riio"

    ,^"no

    l94g

    ÍTí"*1"ÌlTllirnentre

    a=rimas.r;;;;;;;; ;;J"1u'n" e4e

    Bri-

    La

    successiva

    voluzione

    el

    concetto_

    i

    sicurezza

    dovuta

    all,affermar_

    i

    di

    una

    visione

    più

    realisricae

    precisa

    del

    -;0";;;;;;delra

    struttura,

    he

    si basa

    u

    un'analisi

    ratisric;

    "i

    *.i.rri

    Jà'.'rrr;;#;;

    del

    mareriare,

    :,,:l

    ""u

    valu.tazione

    robabitistica

    .l

    s.ud;;-;ì; ;;;;;,

    ;;"struuura:

    si

    runge

    osi

    alla

    visione

    moderna

    .l

    _*"tt.

    aì'ri"".i,

    iru

    "n"viene

    ad

    ssere

    irettamente

    olegato

    on

    tap.ooauiiiia;iÀìla;;

    a1,,"

    struttura,

    uanto

    meno

    ella

    ua

    uoriuscita

    iservizio.

    .,.*.

    ràrfii statisticheui

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    4/291

    La sícurezzaslruttufale 259

    carichi

    agenti sulle strutture e sulla

    resistenza ei materiali sono dovute a

    Levi

    (1950)

    e Freudenthal

    1956).

    L'approccio semi-probabilistico

    u intro-

    dotto daVr'ierzbicki1946),mentre primi studi di tipo probabilistico,ntesi

    a

    valutare a

    probabilità

    di collasso

    della struttura, sono dovuti a Levi

    (1953),

    orroya

    (1959),

    reudenthal

    1960).

    Da

    quanto

    detto si

    può

    asserire

    heallo stato attualedelleconoscenze,

    principi

    dellasicurezza trutturale

    possano

    ondarsisu re diverse oncezioni:

    -

    il criterio delle

    tensioni ammissibili;

    -

    il metodo della verifica a

    rottura;

    -

    il

    procedimento

    emiprobabilistico

    gli stati-limite.

    Il

    primo

    criterio

    presta

    l fianco a numerose ritiche fra

    le

    quali

    la

    più

    importante

    quella

    di limitare

    a verifica

    a

    punte

    ensionaliche nsorgono n

    determinate

    ibre di determinate ezioni

    maggiormente

    ollecitate,

    estando

    largamente d antieconomicamente

    l di sotto dei

    valori

    ammissibili

    onven-

    zionali a maggior

    parte

    delle sezioni

    della

    struttura.

    Inoltre non

    può

    venir

    chiaramente videnziata

    'influenza di coazioni

    mpresse,

    oprattutto

    al di

    fuori

    del campo

    elastico.Per

    quanto

    riguarda

    poi

    I'esamedel solo compor-

    tamento n serviziodelle strutture,

    non sempre

    puramente

    lastico,è chiaro

    che l metodonon garantisce emmenol proporzionamento iù convenien-

    te nei

    riguardi

    della

    sicurezza rottura.

    Queste

    onsiderazioni

    ontribuiscono ribadire che

    l metododelle en-

    sioni

    ammissibilinon

    può

    costituire

    I'unico fondamento di una moderna

    normativa,

    pur

    dovendosi

    iconoscere he,

    per

    taluni aspetti

    del

    comporta-

    mentodellestrutture,esso i

    presenta

    ncora

    nteressante,enon altro

    per

    a

    mancanza i adeguati

    metodi di verifica mediante a teoria degli stati

    imite.

    Per

    quanto

    riguarda

    a

    verifica a

    roîtura il

    procedimento

    disponibileè

    quello

    del

    che corrispondead una situazionestatica

    ben

    definita, e che consente ffettivamentedi conseguire n dimensionamento

    efficace

    i fini della resistenza.

    nche

    a tale

    metodo

    possonoperaltro

    muo-

    versialcunecritiche

    fra le

    quali

    la

    piir

    importante è che,

    preoccupandosi

    della sola siclurezza

    rottura, non si è automaticamente

    arantiti per

    un

    soddisfacenteomportamento

    n condizioni di esercizio.

    Ad ambedue

    li

    anzidetti

    procedimenti

    a

    poi

    addebitatodi non tenere

    in alcunconto

    l

    carattere

    aleatoriodellediverse

    randezze

    n

    gioco, quali

    le

    azioniesterne

    e

    caratteristiche

    ei materialida cui dipendeessenzialmente

    il comportamento ella struttura.

    Inoltre, operandosin ambedue casi con ampi fattori di sicurezza, i

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    5/291

    260 Teorío e tecnico delle costruzíotu

    lascia

    ai

    vari responsabili

    del

    processo

    ostruttivo

    la

    sensazione i

    poter

    disporreciascunoa

    proprio

    vantaggiodi

    un

    largo margine.

    Sulla basedelle considerazioniatte va riconosciutoche una corretta

    impostazione el

    problema

    dellasicurezza eve ener

    presente

    utti

    gli

    aspet-

    ti del comportamentodella costruzione

    per

    ciascunodi essi

    prevedere

    n

    metodo di verifica che

    prenda

    n conto tutti

    gli

    elementidi incerfezza.

    La

    prima

    esigenza

    veniresoddisfattaattraverso na opportunadefi-

    nizione e classificazione egli stati limite, ovvero di

    quelle

    situazioni che

    corrispondono a soglie di

    funzionalità

    della costruzione;e su

    questo

    si

    ritornerà nel

    paragrafo

    che segue.

    La seconda

    uestioneuò

    venir isolta mpostandoa verifica,

    erquan-

    to

    possibile,

    su metodi

    probabilistici,

    e cioè attraverso l controllo della

    probabilità

    che venga aggiuntouno stato imite in relazione,ad esempio,

    alle effettive

    resistenze

    ei

    materiali impiegati rispetto

    ai

    valori

    assunti

    n

    sededi

    progetto

    ed all'intensità dei carichi e delle deformazioni mpresse

    statisticamente

    revedibili.

    Nella

    pratica

    ecnica ale criterio

    risulta nappli-

    cabile

    per

    la mancanzadi dati statistici ad es. sulle variabili menzionate

    quindiper

    'impossibilità i esprimereutte e ncer tezzen valoridi

    probabi-

    lità. Si adotta

    perciò

    una soluzione i compromesso

    semiprobabilistico>,

    con a

    quale

    si

    rinunzia

    a calcolare na

    probabilità

    di

    raggiungimento

    i uno

    stato

    limite, ma

    si opera

    ricoprendo

    una

    parte

    delle

    incertezze

    con dei

    coefficienti forfettari, ovvero,praticamente,ntroducendodellegrandezze

    significativedal

    punto

    di

    vista

    probabilistico

    che sono

    ed

    ui ouali si torneràal nar. 9.3.

    9.2.

    Definizione

    e classificazione egli

    "stati

    limite"

    Gli stati imite sonodellesituazionia

    partire

    dalle

    quali

    la costruzione

    una delle sue

    parti

    cessa i assolvere

    a funzione

    alla

    quale

    era destinata,e

    per

    la

    quale

    era stata

    progettata

    e costruita.Pertanto a sicurezza ovrebbe

    caratterizzarea

    probabilità

    che

    questi

    stati non siano superati.

    Il modo di ragionare n

    presenza

    egli stati

    limite

    ed

    in

    funzione del

    probabilismo

    il

    seguente:

    -

    definire

    i fenomeni

    che si

    vogliono

    evitare, cioè

    gli

    stati limite;

    -

    stimare

    a

    gravità

    dei rischi legati a

    questi

    fenomeni;

    -

    dedurre delle

    regole

    da seguireaffinché la

    probabilità

    di ognuno di

    questi

    fenomeni

    sia

    dportata

    ad un

    valore molto

    basso,

    per

    essere

    accettata n funzione della stima del rischio.

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    6/291

    LQ

    sicurczzo

    slrutlLtrule

    261

    Ladef in iz ionedeitènomenidaevitarecompoltaunasuddivis ionefra

    stati

    imite

    ultimi,

    il cui

    superamento

    omporta

    a

    rovina

    mmediata

    on

    un

    ,ir.t io .f.uu,o di perditedi viteumane,e gli stati

    imite

    di

    esercizio'

    l

    cui

    ;;;;;;;;.".iorta

    la

    fuoriuscita

    i servizio

    i

    elementi

    ellacostruzio-

    ".?tr^

    ."*o-Àissione

    dell'incolumità

    ubblica'

    e spesso

    on

    possibilità

    di

    riutilizzo

    di

    certe

    parti della

    struttura'

    -'

    ^

    eiuiproporito

    è

    ài

    notevole

    mportanza

    l

    fatto

    che

    a struttura

    ornisca

    o

    meno

    ndicazioni

    lrca

    un suo

    st;to

    di

    crollo

    mminente'

    ome

    pure

    che

    ;;;t;;;;;;o

    god"t" di

    una

    certa

    idistribuzione

    elle

    sollecitazioni

    interne.

    Questo

    omporla

    una

    differenza

    el

    gradodi

    rischio

    accettabile'

    '--'-p.i,uito

    gli

    stati

    imite

    che

    devono

    onsiderarsi

    sualmente

    r

    possono

    ascriverelledue

    categorle:

    l)

    stati

    imite

    ultìmi,

    corrispondenti

    l

    valore

    estremo

    ella

    capacità

    or-

    tante;

    z)

    sluJìl-ite

    di

    esercizio,

    egati

    alle

    esigenze

    i

    impiego

    normale

    e

    di

    durata.

    Le cause

    he

    possono

    rodurre

    li

    stati

    imite

    ultimi

    sono

    ad

    esernpio

    e

    seguenti:

    - perdìta i stabilità i unaparteo dell'insiemeellastruttura onsidera-

    ta

    come

    corPo

    igido;

    -

    io,,utu

    locaiiztaia

    della

    struttura

    per

    azioni

    statiche;

    -

    collasso

    er

    trasformazione

    ella

    struttura

    o

    di

    una

    sua

    parte n

    un

    meccanlsmo;

    -

    instabilità

    Per

    deformazione;

    -

    ......

    rottura

    localizzala

    della

    struttl'ua

    per

    Iatlca;

    -

    deformazione

    lastlca

    di

    fluage,

    essurazione

    scorrimento

    i

    giuntí

    checonducanoadunamodif icadel lageometr ia, ta ledarendereneces.

    ,u. iutusort i tur ionedel lastrut turaodisuepart i fondamental i l

    -

    aagruJutione

    corrosione

    he endano ecessariaa sostituzioneella

    struttura

    o

    di

    sue

    parti fondamentali;

    -

    collasso

    ncrementale

    er effetto

    di

    azioni

    ipetute;

    -

    collasso

    er

    effetto

    del

    fuoco

    o

    di

    esplosioni

    tc'

    Gli stati

    imite

    di

    esercizio

    ossono

    ssere

    nvece

    aratlerizzati

    ai

    se-

    guenti enomenl:

    -

    deformazioni

    ccessive

    er una

    utilizzazione

    ormale

    della

    struttura;

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    7/291

    262

    Teoia

    e

    tecnica

    delle

    costtuzioni

    tessurazrone rematura

    o eccessiva;

    degradazione

    corrosione;

    spostamenti

    ccessivi enzaperdita dell'equilibrio:

    vibrazioni

    eccessive

    tc.

    Il raggiungimento

    i

    uno

    stato imite può

    essere

    rovocato

    dall'interven-

    to

    concomitante

    di

    vari

    fattori

    di

    carattere

    aleatorio

    quali

    quelli

    anzidetti,

    relativi

    alla valutazione

    de|a

    resistenza

    ei

    materiari

    delle

    azioni

    esterne.

    L'obiettivo

    delle verifiche

    di

    sicurezza

    di mantenere

    a

    probabilità

    di

    raggiungimento

    ello

    stato imiter

    considerato

    ntro il

    valore

    prestabilito

    n

    relazione

    al

    tipo

    di

    costruziole preso

    in

    esame,

    alla

    sua

    influenza

    sulla

    incolumità

    delle

    persone

    ed

    alla

    prevista

    durata ài esercizio

    9.3.

    Le

    verifiche

    di

    sicurezza:

    i valori

    caratteristici

    ed i valori

    di

    calcolo

    Per

    poter

    effettuare,

    sulla

    base

    di

    quanto

    esposto,

    e verifiche

    agli

    stati

    limite

    ultimi

    ed

    agli

    stati limite

    di

    esercizio,

    occorre

    partire

    dalle

    potesi

    di

    carico,

    e cioè

    conoscere reventivamente

    e

    azioni'-F-

    da

    considerare

    ene

    '

    I

    pdncipali

    criteri

    n

    baseai

    quali

    si

    può

    scegliere

    are

    probabilità

    sono

    di

    diversa

    natura:

    cÍiteri

    economici,

    essenzialiuando

    si rratta

    ad

    es.di valutare

    'impossibilità

    di riutiliz_

    zo

    della

    costruzione er

    un certo

    periodo,

    ma non

    esclusivi uandoia

    scelta

    el ivello

    di

    sicurezza

    mettere

    n

    gioco

    dellevite

    u-ane.

    Da

    essi

    caiuiisce

    inozone

    rmportan_

    te.di

    di

    progetto

    di una

    costruzione;

    criteri

    -analogici,

    he

    possono

    onsentire

    a scelta

    del

    grado

    di

    sicurezza aragonandolo

    ai.riqultati

    sservati.e

    l le

    regole

    mmesse

    n

    altri cimpi

    a.ifì i"g.e;.riu;

    cnrtn

    gtundtct.

    he tevono

    ercare

    i

    adeguarsi

    empre iùallaconcezionerobabil isti_ca, svincolandosi alla forte caricadeterministica i

    iui oggi

    risentono

    e leggi

    e

    le

    sentenze,

    tenendo

    presente

    he l limite

    tra

    errore

    ed approis-imazione

    on

    puó

    ess"re

    netto

    e 'efiore

    ed l

    caso ntervengono

    pesso

    imultaneàmente

    n

    quasi

    utti

    gìi

    nciden_

    criteri

    morali,

    l

    cui

    apporto

    è ess€nziale

    n

    quelle

    decisioni

    he

    possono

    mettere

    n

    gioco

    vlte

    umane.

    ,.

    Sono

    questi

    principi

    sui quali

    si

    inseriscono

    uLti

    tental ivi i i t

    modernt

    i normariva

    vrl lo

    lnternaztonale

    .sui

    quali

    si r i t iene

    ogico

    basare

    nche

    l regolamenro

    tal iano.

    ..^_,Ìl , i lo',.u":or..,.aaone

    qt

    ogni causa

    i insieme

    i

    cause

    carichi

    ermanenri,

    arichi

    vanaorl '

    oerormazlonr

    mpresse,

    tc.)

    capaci

    i indurfe

    stati imite

    n

    una

    srruttura.

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    8/291

    Lq sícurezza

    strutturale

    263

    verifiche,

    al

    fine di

    determinare

    e sollecitazioni'

    S

    nei vari stati

    imite'

    Tali

    azioni

    possono

    osì

    classificarsi:

    -

    azioni

    dirette

    (forze),

    suddivise

    n carichi

    permanenti

    peso

    proprio

    ed

    altri

    carichi

    fissi)

    e carichi

    variabili

    (carichi di esercizio,

    ento,

    sisma,

    -

    azioni

    indirette

    (deformazioni

    mpresse)

    uali

    ad es'

    variazioni

    termi

    che,

    ritiro,

    presollecitazioni, tc.;

    -

    azioni

    di carattere

    himico-fisico

    dovule

    ad agenti

    atmosferici,

    enome-

    ni aggressivi,

    tc.

    L'adozionedel metodosemiprobabilistico revede, anto per le azioni

    quanto

    per

    le resistenze,

    he:

    -

    vengano

    ntrodotti

    i cosiddetti

    valori

    caratteristici,

    owero

    le resistenze

    caratteristiche

    o e le

    azioni caratteristiche

    Fr;

    -

    vengano

    rasformati

    ali

    valori caratteristici

    mediante

    opportuni

    coeffi-

    cienti

    "r-

    e

    "y,

    n

    valori di

    calcolo,

    e

    più precisamentee resistenze

    e n

    R "

    resistenze

    i calcolo

    no:

    -

    ,

    e

    le azioni

    F*

    in azioni

    di calcolo

    F o = y . F p |

    -

    vengano

    onfrontati

    fra di

    loro

    i ,

    verificando

    che

    e

    sollecitazioni

    di calcolo

    non superino

    quelle

    compatibili

    con

    lo stato

    limite

    considerato.

    Per

    quanto

    riguarda

    e dimensioni

    geometriche, moduli

    elastici

    E

    e

    G)

    dei mateiiali

    ed

    i coefficienti

    di dilatazione,

    essi

    possono

    essere

    onsiderati

    come

    parametri

    da valutare,

    n

    prima

    approssimazione,

    u

    basedetermini-

    stica.

    Viene

    noltre definito

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    9/291

    264

    Teoriq

    e tecnica

    delle

    costruzíoni

    R r = R . - K s

    (e.1)

    dove:

    R.

    =

    resistenza

    media;

    S

    =

    scarto

    quadratico

    medio;

    K

    =

    coefficiente

    he

    dipende

    dalla

    probabilità

    prefissata.

    er

    il

    valore

    pri_

    ma

    ndicato

    e

    con riferimento

    ad una

    distribuzione

    tatistica

    ormale

    si ha rK

    :

    1,64.

    (e.3)

    Per

    quanto

    riguarda

    i

    valori

    caratteristici

    delle

    azioni

    esterne

    e delle

    deformazioni mpresseFo e F,o,essi sono i frattili di ordine 0,95 e 0,05

    rispettivamente

    elle

    relative

    distribuzioni

    statistiche.

    Valgono

    quindi,

    le

    relazioni:

    F k = F , , + K S

    (9.2)

    F L = F ^ - x s

    dello

    stessoipo

    della

    (9.1),

    con a

    differenza

    che n

    questo

    aso a

    valutazio_

    ne deicoefficienliK e K,, chedipendonodalledistribuzioni n esame, resa

    difficoltosa

    dalla

    mancanza

    i

    dati

    statistici

    specifici.

    euali

    valori

    caratteri-

    stici delle

    azioni

    si assumono

    allora,

    in

    generale,

    valori

    nominali

    indicati

    dalle

    normative

    specifiche,

    ermo

    restando

    a

    possibilità

    di

    aggiornamenti

    sulla base

    delle

    definizioni

    ora riportate

    e di

    adeguate

    sservazioni

    tatisti-

    che.

    Come

    già

    detto,

    i valori

    di

    calcolo

    della resistenza

    ,

    e dell'azione

    F,

    si

    ottengono

    dai valori

    caratteristici

    mediànte

    e relazionii

    R ,

    R o

    =

    i i F a :

    " b . F *

    dove

    7.

    dipende

    dallo

    stato limite

    considerato,

    dal materiale

    e

    dalle

    sue

    condizioni

    di

    produzione

    e di impiego,

    mentre

    T/

    dipende

    dallo

    stato imite

    in

    esame,

    alla

    combinazione

    ei carichi

    considerata

    dal

    modello

    di

    calco-

    lo

    desunto,

    come

    sarà

    meglio

    precisato

    nel

    paragrafo

    che

    segue.

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    10/291

    La sicurezza

    struttursle

    265

    9.4. Le combinazioni

    di carico

    e I'analisi delle

    sollecitazioni

    La valutazione elle sollecitazioni a fatta considerando pportune

    combinazioni

    delle azioni esterne;

    n

    particolare

    nei

    calcoli

    allo stato

    imite

    ultimo

    va fatto

    riferimento alla seguente

    ombinazione:

    F a

    =

    ^ t sG t ̂ t pP k

    t lO , ,

    +

    (r tr",O,))

    (e.4)

    essendo:

    G, il valore caratteristicodelle azioni permanenti;

    Pk il valore caratteristico

    della eventuale

    orza di

    precompressione;

    Q,r

    il

    valore caratteristico

    dell'azionedi

    basedi ogni

    combinazione;

    Qn

    i

    valori caratteristici

    dellealtre azioni

    variabili tra

    loro indipendenti;

    ú",

    i

    coefficienti

    di combinazione

    llo

    stato

    limite ultimo.

    I coefficienti

    7,,

    7e

    e

    74

    sono

    presentati

    ella abella9.1

    mentre coeffi-

    cienti

    y'", ella abella

    9.2; n

    particolare

    coefficienti

    ú,i

    tengono

    conto della

    più piccola

    probabilità

    che

    hanno

    massimivalori delle

    altre azioni

    di essere

    contemporanei l massimovalore dell'azionedi base.

    Tabella9.1

    (si

    assumono

    valori

    fra

    parentesi uando

    isultano

    piir

    sfavorevoli

    ai

    fini della

    sicurezza)

    Coefficienti

    y,

    stato

    imite ultimo

    stato

    imite di esercizio

    "lc

    0.85

    1.20)

    0.85

    1.20)

    ^t,1

    1.50 0) I

    Si osservi he

    nel cemento

    armato ordinario

    (&

    =

    0) ed in

    presenza

    i

    una

    sola azione

    variabile

    Qrla

    (9.4)

    fornisce:

    t

    Fa

    =

    1.5 Gk +

    1.5

    Qk

    (e.5)

    Con riferimento

    nveceallo stato

    imite di esercizio

    anno considerate

    e

    seguenti

    ombinazioni

    elleazioni:

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    11/291

    266 Teoria e

    tecnica delle costtuzíoní

    F a : G r ' l P r I

    -

    frequenti:

    F a : G t + P k + " ! , \ Q k

    -

    quasi permanenti:

    ( ú , i Q * \

    ( ú n Q u \

    Fa: Gt +

    Pr

    +

    I

    \ !z ,Q* )

    o-. + \-

    + !

    z )

    (e.6)

    /o ?\

    (e.8)

    essendo

    ,,

    e

    ry'r,

    coefficienti

    di combinazione

    di tabella

    9.2. In

    pratica

    il

    valore

    !'r,Q,r

    calcolato

    n modo che

    non vengasuperato

    per

    il 9590della

    vita

    della

    struttura,

    mentre l

    valore

    l.,

    ,Q,r

    n modo che

    non vengasuperato

    nel 5090della

    vita della struttura.

    Tabella 9.2

    Nel caso

    di civile abitazione

    con struttura

    in

    cemento

    armato ed

    unico

    carico

    variabile,

    i

    ha dunque:

    -

    combinazione

    ara:

    F o = G e * Q s

    -

    combinazione

    frequente:

    Azione

    úo

    ,!,

    Carichi variabili

    nei

    fabbricati

    per

    abitazione

    0,7

    0,35 0,2

    0,7

    0,6

    0,3

    0,7

    0,7

    0,6

    Vento, neve

    0,7

    o,2

    0

    (e.e)

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    12/291

    Ls sicurezza

    sf utturale

    267

    Fa

    =

    Gt' + 0'35

    Qk

    -

    combinazione

    quasi permanente:

    (e.10)

    F a : G * + 0 . 2 8 *

    (e.1

    )

    Valutate

    le azioni agenti,

    l'analisi delle sollecitazioni

    viene condotta

    generalmente

    n

    campo

    ineare.

    Ciò naturalmente

    ntroduce nelle strutture

    iperstatiche

    n'approssimazione

    n

    quanto

    e non linearità

    presenti

    nel

    pro-

    blema

    anno

    variare l risultato,

    introducendouna

    ridistribuzionedelle sol-

    lecitazioni.

    In

    pratica

    se utte

    le sezionisono

    progettate

    allo stato

    limite ultimo

    la

    ridistribuzione

    attesaè

    piuttosto

    modesta, n

    quanto

    è connessa

    lla sola

    variazione

    di rigidezzadovuta

    alla fessurazione

    egli elementi;

    a meno di

    quest'ultimo

    enomeno utte

    le

    sezioni

    giungono

    alla crisi

    pressoché

    ontem-

    poraneamente,

    enzaalcuna

    possibilità

    di ridistribuzione.

    Diversoè

    l

    caso

    dellestrutture

    volutamente

    rogettate er

    avere

    idistri-

    buzione;

    ad esempio ale tipo

    di

    progettazione

    consentita

    elle ravi conti-

    nue,doveè

    possibile

    idurre l

    momentodi

    progetto,

    aumentando

    momenti

    nelle altre sezioninel rispetto dell'equilibrio; ciò a patto che a sezione i

    progetto

    abbia

    i necessari

    equisiti di duttilità, owero

    che n condizioni

    di

    crisi

    possa

    sviluppare

    sufficienti curvature

    n campo

    plastico.

    A tal

    fine è necessario he

    le sezioni

    vadano in crisi con

    I'acciaio in

    condizioni

    di accentuata

    eformazione

    lastica;questa

    condizionesi

    mani-

    festa,comesi

    vedrà

    nel

    capitolo

    10,

    per piccoleprofondità

    dell'asse

    eutro a

    ro[ura.

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    13/291

    r

    apitolo

    decimo

    Stato imite

    ultimo

    per

    tensioni

    normali

    10.1.

    Generalità

    La

    verifica

    strutturale

    può

    essere

    ondotta

    con

    riferimento

    agli stati

    imi_

    te n

    alternativa

    l metodo

    delle ensioni

    ammissibili.

    n

    base

    a

    quanto

    detto

    nel

    capitolo

    precedente

    i valutano

    e

    azioni

    di

    progetto

    F, e le

    conseguenti

    sollecitazioni

    i

    progetto

    So.

    D,altra

    parte,

    con riferimento

    allo

    stato imite

    considerato,

    ltimo

    o di esercizio,

    i valutano

    e resistenze

    i

    progetto

    Rd

    del_

    l'elemento partire

    dalle esistenze

    i

    progetto

    dei

    materiali.

    La

    verifica

    con_

    sisten definitiva

    nel

    constatare

    heRo

    )

    Sa.Nel

    presente

    apitolo

    si analizza

    to

    stato imite

    ultirno

    per

    tensioni

    normali,

    mentre

    nei

    capitoli

    che

    seguono

    i

    valutanoaltri stati imite ultimi e di esercizio ignificativi.

    L'influenza

    del

    taglio

    sulle

    condizioni

    di rottura

    per

    flessione

    emplice

    flessione

    omposta

    viene

    generalmente

    rascurata.

    La rottura

    per

    flessione

    semplice

    o composta

    si raggiunge

    quando

    si

    verificano

    e

    seguenti

    ondizioni

    ndipendenti:

    a)

    eccesso

    i deformazioneplastica

    nell'acciaio

    eso:

    b) schiacciamento

    el

    calcestruzzo

    er

    flessione;

    c) schiacciamento

    el

    calcestruzzo

    er

    compressione;

    La

    condizione

    ) si attinge

    convenzionalmente

    uando

    a

    deformazione

    specifica

    ell'acciaio

    eso aggiunge

    l valore

    del l0goo. e condizionib) e c)si attingono rispettivamente uando la

    deformazione

    specifica

    del

    calce_

    struzzo

    è

    pari

    al 3,5%o

    d,

    al 2Voo.

    10.2. potesi

    di calcolo

    Il

    calcolo

    è condotto

    nella potesi

    che e

    sezioni imanganopiane

    ino

    a

    rottura,

    di modo

    che l

    diagramma

    delle

    deformazioni

    specifiche

    ella

    sezio_

    ne

    si conserva

    ettilineo.

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    14/291

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    15/291

    Stqto límite ultímo

    per

    tensioni

    normalí 2'Ìl

    I

    Figuru 10.2

    coefficiente i materialedell'acciaio,maggioredi 1. In tale diagramma cfr.

    fie. 10.2), e

    deformazioni isultano

    così

    imitate:

    -

    allungamento

    pecificomassimo

    pari

    al 10%o

    -

    accorciamento

    pecifico

    massimo

    pari

    al 3,5%0.

    10.3. Campi

    di rottura

    In virtù

    delle imitazioni

    indicate

    per

    le

    deformazioni

    del

    calcestruzzo

    dell'acciaio

    i

    possono

    ndividuare

    sei diverse egioni

    nelle

    quali

    potrà

    tro-varsi a retta di deformazione:n altre parole l diagrammadelle deforma-

    zioni

    specifiche

    nella

    sezione

    può

    sostanzialmente

    ssere ompreso

    nelle

    regioni ndividuate

    nella

    fig. 10.3.

    Tale figura

    è costruita iportando

    al lembo

    superiore

    ompresso

    valori

    limite

    della deformazione

    pecifica

    del calcestruzzo,

    ari

    come

    già

    detto

    al

    2rftro

    d al 3.5fto

    rispettivamente

    nel caso

    di compressione

    emplice

    e di

    flessioneemplice

    composta.

    In

    corrispondenza

    ell'armatura

    esasono noltre

    riportati

    i valori della

    massima

    eformazione

    mmissibile

    di

    quella

    e,,corrispondente

    lla

    tensio-

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    16/291

    272 Teoriq

    e tecnica delle costruzioni

    ,t Fígurs 10.3

    ne

    di snervamento ell'accìaio;

    ale deformazione

    ,,è

    quella

    cui corrispon-

    de la

    tensioneoor.

    Si

    qossono

    osì ndividuare e

    seidiverse egioni

    nelle

    quali

    saràcompre-

    sa la retta delle deformazionisoecifiche:

    -

    Regione

    1 Le rette

    di deformazione

    ppartengono d

    un fascio

    pas-

    sante

    per

    l

    punto,4

    mentre a

    distanzadell'asse eutro

    dal

    lembo

    compresso

    otrà

    variare ra

    -o

    e 0. L'armatura

    è

    tesa con la massima

    deformazione

    plastica

    ollerabile

    e

    cioè

    possiede

    n allungamento

    pecifico

    pari

    al

    10%0.

    s-

    sendo utta la

    sezione esa

    sarà

    questo

    l caso

    di trazione

    semplice

    o composta.

    Le rette di deforrnazione ppartengono ncoraad un fa-

    scio

    passante

    er

    il

    punto

    A, rÍentre la

    distanzadell'asse

    neutro

    dal lembo compresso

    otrà

    variare

    da 0 a 0,259h;

    per

    tale ultima

    posizione

    dell'asse eutro

    si attinge nfatti

    la deformazionemassima

    el

    calcestruzzo ompresso

    ari

    a 3,5%o ome

    si deducedalla

    similitudine:

    - Regione2:

    h

    3sW

    .

    3 ,5* .

    |

    2%.

    I

    l*-*1

    3,5%o 10%o

    =

    0,259h

    (10.4)

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    17/291

    - Regione :

    Sîato limite ultimo

    Der

    tensioni normoli

    2'73

    La sezione

    isulterà n

    parte

    tesa ed

    in

    parte

    compressa

    quindi

    sarà sollecitata

    a flessione empliceo

    composta.

    Le rette di deformazioneappartengono d un fasciopas-

    sante

    per

    l

    punto

    B mentre a distanza

    dell'asse eutro dal

    lembo compresso

    arierà fra 0,259

    h

    ed

    1l

    valore

    x",,,.

    La

    posizione

    imite dell'asse

    eutro /,, è legata

    alla deforma-

    zionespecifica

    alla

    relazione:

    3,5%o

    - ' tt,

    3,5%o

    -t

    e

    o,

    Poichéè d'altra parteper l'acciaio:

    oo.f ooÍ

    -or

    Et

    2.1

    x 106

    la

    (10.5)

    diventa:

    0,003s

    o^.

    0 . 003s; x r0 '

    (10.5)

    (10.6)

    h

    =

    Eri^h

    (10.7)

    I valori del coefficienre

    ,,.

    sono

    iportati nella abella

    10.1

    in funzione della

    tensionedi calcolo

    o,r.

    Tabella

    0.l

    La

    massima ensione

    nel

    calcestruzzo

    n

    questa

    egioneè

    pari

    a

    quella

    di

    rottura di calcoloo,",

    mentre 'armatura

    è

    ancora

    deformata

    n

    campo

    plastico.

    In tale

    dominio la sezione

    è

    quindi

    ancora sollecitata

    a

    flessione emplice

    composta.

    2200

    -:----=

    I , l )

    220Q

    -

    I , J

    3200

    t , s

    3200

    -

    3800

    -:--:=

    I , l J

    3800 4400

    1J5

    4400

    -

    t . .

    0,7430, 8130,'725

    0,749 0,689 0 ,7 t5

    0,657 0,685

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    18/291

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    19/291

    Stato limite ulÍimo

    Der

    tensioni nomali 2'75

    M

    a - - - - -

    l D

    I

    I

    "x

    N o

    N

    Figura 10.4

    ipotizzando na

    posizione

    dell'asse

    eutro x

    e

    calcolando o

    sforzo

    normale

    di

    rottura N,

    ed

    il momento corrispondenteM"

    =

    N"

    .

    e essendo la

    distanzara il

    punto

    di applicazione

    ,

    e

    ì'armatura

    esa'.

    Fissatotinfattiun

    valore

    della distanzadell'asse

    eutro

    dal

    lembo

    com-

    presso,

    isulta altresì

    nota la regionenella

    quale

    a

    sezione

    iene

    a trovarsi

    nellecondizionidi rottura: ciò significa che risulta nota la deformazione

    specifica

    massimadel

    calcestruzzo

    dell'acciaio eso.

    Infatti

    nella regione I

    e

    2

    come

    già

    detto, l'acciaio teso

    possiede

    na

    deformazione pecifica

    ari

    al 10%o entrenelle egioni 3, 4 e 5 il calcestruz-

    zo

    possiede

    na deformazione pecifica

    del 3,5%0. ota l'una

    o

    I'altra delle

    duedeformazionispecifiche, d avendo issatauna

    posizione

    dell'asse

    eu-

    tro,

    risulta

    completamente

    ndividuato l diagrammadelledeformazionidal-

    la condizionedi congruenza

    fig.

    10.5):

    '

    Nellascritturadelleequazioni he

    reggono l

    problema

    conviene onsiderare

    'equilibrio

    alla otazionentomo all'armatum tesa.

    Poiché

    generalmente

    l momento

    è

    valutato ispetto

    al baricentro

    geometrico

    della sezione msversale,

    nteressamaggiormentel momento di

    rottura

    iferito

    a tale

    punto.

    Essovale:

    M..

    U,o

    =

    i

    G

    -

    tc

    +

    c\

    =

    N,

    (e

    -

    xc

    +

    c)

    essendo

    úo a distanzadel baricentro

    geometrico

    dal lembo di calcestruzzomaggiormente

    teso.

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    20/291

    276

    Teoria e

    tecnics delle costruzioní

    i o ( t l

    L'equilibrio alla

    traslazione

    quello

    alla rotazione

    ntorno al baricentro

    delle armature tesepermettono nline di conoscereo sforzo normale di

    rottura

    N, ed l momento

    corrispondente,ispetto

    alle armature

    ese,

    À/,e.Si

    ha così:

    N,,

    =

    +

    A,oi

    -

    A,oÍ

    (10.e)

    f-

    M , = N , ' s = | b ( y \ o ( y ) ( h - x + y ) d . y A ' p i @ - c ) ( 1 0 . 1 0 )

    'Jo

    dove

    a o(y) sarà

    ornita dalla

    (10.2)

    owero

    dalla

    (10.3)

    a seconda he

    a

    e"

    sarà minore

    o

    maggioredel

    2(mn

    otendosi

    porre

    attraverso

    a

    (10.8):

    E"

    ty e'1

    1

    r

    y

    x - c

    h - x

    lou"'"t"0'

    (10.8)

    v

    € ( ) )

    (10 .11)

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    21/291

    Stato limite ultimo

    per

    tensìoni normqli

    277

    10.5.

    Metodo

    semplificato di calcolo: diagramma

    delle tensioni

    nel

    calcestruzzo

    a blocco

    Un metodo di

    calcolo semplificato,suggerito

    da

    varie

    normative

    ecni-

    che,

    consiste

    ello

    schematizzarel

    diagrammadelle

    ensioninel calcestruz-

    zo

    come ettangolare

    on tensioni

    pari

    alla resistenza

    i calcolo

    e

    profondità

    pari

    a 0,8 volte I'asse

    eutroa rottura' .

    Figura 10.6

    Net

    iaso di sezione otata di asse i

    simmetria e equazioni

    di equilibrio

    fornisconoevidentementefig. 10.6):

    N , = o . y ' " + A t o ' t - e r o ,

    M,

    =

    N,. e

    =

    o*5,

    +

    Aroî(h

    -

    c)

    (10.12)

    (10.13)

    avendo ndicato

    con A" I'area della sezione

    di calcestruzzo

    ompressa

    di

    altezza ,8

    x) e con S. l momento

    staticodi.,4" ispetto

    all'armatura esa. n

    presenza

    i sezione ettangolare e

    (10.12)

    e

    (10.13)

    si semplificano n:

    N,

    :

    o*b 0,8 x

    + o74

    -

    olr

    (10 .14)

    '

    Tale metodo

    è

    giustificato

    dal fatto che, nelle

    sezioni ettangolari,usando l

    simbolismo

    che

    er rà

    nt rodot toe l

    par .

    10 .6 ,per t>0 ,259s iha l ' :0 ,8095=0.8e) ,=0,416=0,4 .

    In ogni

    caso

    per

    valori

    diversi di

    f

    l'errore

    che si commettecon I'assunzione

    emplificata

    dsulta molto

    piccolo.

    Per sezioni iverse a

    quelle

    ettangolari

    'assunzione

    onsente'analisidel comportamento

    ultimo in

    modo agevole, fornisce

    quindi

    un utile strumento

    progettuale.

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    22/291

    278

    Teoria e tecnica delle costruziont

    M,: o*b 0,8x

    (h

    -

    0,40 r)

    +

    o74"(h

    -

    c)

    (10 .15)

    Nell'utilizzare

    e

    (10.12)

    +

    (10.15)

    l significato

    delle

    regioni

    ntrodotte

    in precedenzaienemeno.Nelle(10.12)+ (10.15)

    i

    pone

    n

    genere

    ',

    =

    6"r,

    mentre l valore

    di o, dipendeda x", risultando:

    o,

    --

    o.,

    per

    x"

    2

    xr^

    (10.16)

    10.6. La

    sezione ettangolare

    .

    Nel

    seguitosi analizza n dettaglio

    l caso della

    sezione ettangolare,

    tanto n terminidi progettoquantodi verifica.

    10.6.1.Le regioni

    di rottura

    Si riportano

    qui

    di seguitoe equazioni

    10.8),

    10.9) (10.10)

    pecializ-

    l .

    o

    ' l

    Fìguro 10.7

    -

    Regione1:

    (trazione

    sempliceo composta).

    Si ha

    (fig.

    10.7):

    rettangolare

    con

    ,_u

    H

     

    l ' ' l

    t l

    , /,=",".1

    f -

    zate

    al caso di sezione

    t

    il-"-l

    I l

    l l

    A f

    I

    N,

    =

    A,o",

    +

    A,o'1 (10.17)

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    23/291

    M , = N , . e = A t o i @ - c )

    e l = o , o r l l j

     

    x + n

    Stato limite

    ultìmo

    per

    tensioni

    normali 2:79

    (10.18)

    (10.19)

    Ed inoltre:

    o

    =

    Zte't, se isultae't

    < e.t:

    owero:

    o'r

    --

    ox, se

    isultae,r. ej'

    (

    109t0.

    -

    Regione

    :

    (Flessione

    emplice

    composta).

    Figura 10.8

    Si ha

    (fie.

    10.8):

    9=

    ' ' t

    -

    o 'o lo

    x x - c

    h - x

    (10.20)

    (

    \

    o0)

    aY

    3 ,5 % .

    N"

    =

    b +

    A

    to'r

    -

    Ayo"'

    =

    xb o,"tl

    +

    ,l

    ,o|

    -

    Ato"t

    (10.21)

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    24/291

    280 Teoria

    e tecnica

    delle costruziont

    M " : l r l , . s = g

    (h

    -

    x

    +

    y)

    dy

    +

    A'1oi(h

    =

    xbo.J'(h

    M)

    +

    A,oi(h

    -

    c)

    avendo atto

    le

    posizioni:

    f

    ",,,

    - v ) d v

    -

    c )

    =

    (10.22)

    (10.23\

    (10.24)

    f"

    I

    o0)

    aY

    o.J

    '|

    f"

    ì

    "(Y)

    '

    " 0

    lo,,r,

    ,

    Il

    coefficiente

    rappresenta

    uindi

    l

    rapporto

    ra

    I'area

    effettiva

    del

    dia_

    grammadelle ensioninel calcestruzzo I'areadel diagramma ettangolare

    o,.r,

    mentre

    la

    grandezza

    ÀJú appresenta

    a

    distanza

    del

    baricentro

    del

    diagramma

    delle

    ensioni

    del

    calcestruzzo

    al lembo

    superiore

    ella egione.

    I coefficienti y'

    tr

    sono iportati

    nella

    abella

    10.2

    n funzione

    della

    distanza

    dell'asse

    neutro

    dal

    lembo

    compresso,

    uest,ultima

    apportata

    all'alfezza

    utile della

    sezione

    mediante

    l coefficiente

    adimensionale

    =

    f.

    Si aeve

    n

    ancora

    ilevare

    che

    per

    valori

    piccoli

    di x il

    contributo

    delle

    armature

    com-

    presse

    elle

    10.21)

    (10.22)

    generalmente

    rascurarsi.

    a

    tensione

    í

    dell'armaturacompressa uò comunquedeterminarsin funzionedella ei

    ricavata

    dalla

    (10.20),

    enendo

    presente

    a

    schemalizzazione

    ssunta

    oer il

    diagramma

    -

    e dell'acciaio.

    -

    Regione

    3:

    (Flessione

    emplice

    o

    composta).

    Si ha

    (fie.

    10.9):

    c t "

    _

    - I

    _

    ì '

    x - c

    h - x

    0,0035

    (10.25)

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    25/291

    Stoîo

    imite

    ultimo

    per

    tensioní

    normali

    281

    Nu

    =

    0,8}95bxoo"

    +

    A

    7o"1

    Af"t

    Nu. e = O,8195bxo,"(h 0'416 ) + Ar4'r@ - c)

    iempre,

    in regione

    3:

    r/

    =

    0'809s

    I

    =

    0,416

    (r0.28)

    e" .0,0035

    o.c

    .

    Figura

    10.9

    '

    Si.osservi

    he

    nel

    calcestruzzo

    i

    sviluppa

    per

    intero

    il diagramma

    p.t-"Uotu:..tt*gqlo,

    e

    chq

    'acciaio

    compresso

    sollecitato

    lla

    resistenza

    i

    'calcalo

    opr'.

    :r

    Rectone

    4:

    (Flessione

    emplice

    composta)'

    Siha (fig. 10.10)

    l-

    -i

    n+1

    ì

    {

    {

    -

    g

    ,

    (r0.2ó)

    00.n)

    (10.29)

    I

    t

    -r

    0,003

    ei

    er

    x .

    x - c

    h - x

    !

    Ipotizzando

    infatti

    e1

    =

    0.159

    x O,ú35/O,259

    x

    =

    0,259

    =

    0,W21

    >

    h e

    c

    =

    O , l Q

    h , d a l l a

    ( 1 0 ' 2 5 ) s i

    ricava

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    26/291

    282 Teoria e tecnico

    delle costruzioni

    Tabella

    10.2

    E ,l'

    À

    0,0800

    0,37178

    0,34746

    0,0900

    0,41299

    0,34978

    0,1000

    o,45267

    0,35227

    0 ,1100

    0,49068

    0,35495

    0, 200

    0,52686

    0,35784

    0,1300

    0,56r06

    0,36097

    0,1400

    0,59312

    0,36436

    0,1500

    0,62284

    0,36806

    0,r600

    0,65004

    0,37209

    0,1667

    0,66674

    0,31502

    r

    0,1700

    0,67451

    0,37652

    0,1800 o,69629 0,38126

    0,1900

    0,715'79

    0,38611

    0,2000

    0,73333

    0,39091

    0,2100

    0,74921

    0,39559

    0,2200

    o,76364

    0,4001

    0,2300

    0,77681

    0,40444

    0,2400 0,78889 0,40857

    0,2500

    0,80000

    0,41250

    0,259

    0,80927

    0,41587

    0,2593

    0,80953

    0,416

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    27/291

    Stoto limite ultimo

    per

    tensioni normali

    281

    e"

    =

    0,0035

    Deformaz ion i

    Tens ion ine l

    calcèstauzzo

    Figwa 10.10

    N,:0,8095bxo"" +

    A

    10"7

    Aro'

    (10.30)

    Mì=

    N,. e

    =0,8Ù95bxo,"(h

    0,416x)

    +

    Ato"t(h

    -

    c)

    (10.31)

    essendo empre

    alide e

    (10.28)

    anche

    n regione4. Infatti

    anche

    n

    questa

    regione

    si

    sviluppa

    per

    intero

    il

    diagramma

    parabola-rettangolo

    el calce-

    struzzo,

    mentre a rottura si verifica

    per

    schiacciamento

    el

    calcestruzzo

    a

    con armatura

    esa n fase elastica

    (rottura

    fragile>).

    -

    Regione5:

    (Flessione

    empliceo composta).

    Si ha

    (fig.

    10.11):

    F-l-|

    f - l

    l ^ ' l

    t l

    l - 5 |

    M,

    =

    N,. er

    =

    O,8095bxo."(0,416xc)

    +

    Agt(h

    -

    c)

    (10.34)

    avendo

    iferito

    questa

    volta il momento ultimo

    M,

    all'armatura superiore

    Ai. Anche

    per questa

    egione isultano ancora valide le

    (10.28).

    0,0035_ , î _ er

    x x - c

    t - i

    N,

    =

    0,8095bxo." A

    io,,

    +

    Aro,

    (10.32)

    (10.33)

    A:ra"l

    € r

    S a o t

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    28/291

    E5 voo

    284

    Teoris

    e tecnica

    delle

    costruzioni

    . b l

    r---ì +

    II-IFT

    I , ' l l , l

    l t t l

    | | g t J = r

    f

    Deformazioni Tensioni

    nel

    calcestfu

    zo

    Figura

    I0'11

    =

    Regione

    6:

    (Compressione

    emplice

    o

    composta)'

    Si

    ha

    (fie.

    10.12):

    0,0020

    =

    ,!

    =

    x - 3 / 7 H

    x - h

    N , = b H o . " { + A t o x

    e' t

    x - c

    -

    Aft

    (10.35)

    (10.36)

    F 4 ,

    Tl

    "j+

    l t l

    l ' l l

    - t l

    3 l + .

    T

    Ec<

    3,5 %o

    Figurs10.12

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    29/291

    Stato

    imíte

    ultimo

    per

    tensioni

    normali

    285

    M,

    =

    N, 'e r

    =

    bHo" "Ú( \H

    c )

    t

    A

    ro r (h

    c )

    (10 '37 )

    Icoeff ic ient iÀe/variano, inquestaregione,conlaposiz ionedel l 'asse

    neutro

    e sono

    riportati

    in tabella

    l0'3

    in

    funzione

    del

    rapporto

    g =

    I'

    Anche

    per

    a

    regione

    6,

    come

    per

    a

    5, il

    momento

    ultimo

    è stato

    iferito

    al-

    l'armatura

    superiore

    4

    .

    Tabella

    10.3

    coefficienti

    ú

    e \

    nella

    regione

    ó

    E ,1,

    À

    t

    ',, À

    I ,00

    0,80953

    0,4r59' 7

    1 , 6 5

    0,95831

    0,48446

    1,05

    0,83894

    0,43144

    I , 70

    0,96153

    0,48571

    1 , 1 0

    0,86204

    0,44284

    0,96438

    0,48681

    I , l 5

    0,88049

    0,45r53

    1,80

    0,96693

    0,487' 79

    r)o

    0,89548

    0,45832

    I ,90

    0,91127

    0,48944

    1 , 2 5 0,90'782

    o,463'74

    2,00 0,9'7 81 0,49007

    1 ,30

    0,91809

    0,46814

    , ) \

    0,98125

    0,49318

    | 1 5

    0,92674

    0,47171

    2,50

    0,98551

    0,494'7

    I ,40

    0,93409

    0,4'7

    80

    ) 1 \

    0,98846

    0,49583

    1 4 5

    0,94039

    0,47736

    3,00

    0,99059

    0,49661

    1,50

    0,94583

    0,4'7954

    3 ,50

    0,99341

    0,49' 763

    1 5 5

    0,95054 0,48142

    4,00

    0,99513 0,49825

    I

    ,60

    0,9546' 7

    0,48304

    5,00

    0,99' 702

    0,49893

    >

    5,00

    I,00000

    0,50000

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    30/291

    -

    286 Teorìa

    e tecnìco

    delle costruzioni

    10.6.2. Il

    progetto

    della sezíone

    rettangolare

    inflessa

    Il

    progetto

    della sezione

    ettangolare

    nflessa

    può

    condursicon le stessemodalità operativedel metodo

    delle

    ensioni

    ammissibili

    cft. par.3.2.2.\.

    Considerando

    ad

    esempio l

    caso di

    sezione on

    semplice

    armatura,

    e

    definendo

    comeal

    solito a

    profondità

    dell'asse

    eutto

    a rottura nel

    seguen-

    te modo:

    l'equilibrio

    alla rotazione

    rr;;

    l'*."rura

    tesa ornisce:

    M, = bh2o.",trE\ - ì't) = bh2o""c

    avendo

    posto

    (cfr.

    eq.

    (3.31)):

    c = ú É ( 1

    _ À f )

    Si ricava

    dunque:

    M " = o y ' t ( h - > w " )

    da

    cui

    (cfr.

    eq.

    (3.35)):

    A t =

    =

    or4/(l

    -

    ^t)

    =

    oy'rr

    (10.38)

    (10.39)

    (10.40)

    (1

    -

    Àg)

    (10.43)

    h =

    (10.41)

    con

    la

    posizione

    cfr.

    eq.

    (3.33)):

    (10.42)

    Analogamente,

    acendo

    'equilibrio

    alla rotazione

    ntorno

    al

    Dunto di

    applicazione

    ello

    sforzo di

    compressione

    i ha:

    ,t"

    ,

    orr(

    -

    N)

    =

    t

    1[a

    "u

    (10.44)

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    31/291

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    32/291

    288 Teoria e rccnica delle costruzíoni

    Tabelta O.4

    -

    o-

    =

    Il0 kg/cm2

    /

    (per

    diversi

    valori

    di o"', i\ kg/cm")

    t

    oo;.3000

    KP/Cm

    3200 3400 3600

    1800

    4000

    0,08 0,5607 0,00061 0,00057 0,00054 0,00051 0,00048 0,00046

    0,09 0,5025 0,00068 0,00064 0 ,00060 0,00057 0,00054 0 ,00051

    0 , 1 0 0,4562 0,00076

    0 ,00071 0 ,00067 0,00063 0,00060 0,00057

    0 , 1 I 0,4187 0,00083 0,00078 0,00073 0,00069 0,00065 0,00062

    0 , t 2

    0,3876 0,00090 0,00084 0,00079 0,00075 0,0007 0,00067

    0 , l 3 0 ,3616 0,00097 0,00091 0,00085 0,00081 0,00076 0,00073

    0,14 0,3391 0,00103

    0,00097

    0,00091

    0,00086 0,00082 0,00078

    0 , 1 5

    0,3209 0,0 01l0

    0,00r03

    0,00097 0,00092 0,00087 0,00082

    0 , 1 6 0,3049 0,0 0116

    0 ,00109 0 ,00103 0,00097 0,00092 0,00087

    o,t'7 0,2910 0,00122 0,0015 0 ,0 0r 08 0,00102 0.00097 0,00092

    0 , r8

    o,2791 0,00128 0,00120 0 ,001l 3 0,00 07 0,00101 0,00096

    0 , 1 9 0,2686 0,00134 0,00126 0 , 00 11 8

    0,00112 0,00r06 0,00100

    0,20 0,2593

    0,00r 9 0,00r3 0,00123 0,001 l6 0,001100,00105

    0,21 0,2510 0,00145 0,00136 0,00128

    0,00121

    0,00114 0,00109

    0,22 0,2436 0,00150

    0,00141

    0,00132

    0,00r25 0,001180,001r3

    0,23 0,2449 0,00155 0,00145 0,00137 0,00129 0,00123 0,00116

    0,24 0,2307

    0,00160

    0,00r 0 0,00r41

    0,00r33

    0,00126

    0,00r20

    0,25 0,2251 0,00165 0,00r 5

    0 ,0 01 46 0 ,0 0t

    8

    0,00130 0,00124

    0,26 0,220r 0,00170 0,00159 0,00150 0,00142 0,001340,00127

    0,27 0,2t65 0,00173 0,00163

    0,00153 0,00145 0,00137 0,00130

    0,28

    0,2131 0,00177 0,00166 0,001560,00148 0,00140 0,00133

    0,29 0,2098 0,00181 0,00169 0,00159 0,00151

    0, 00141 0 , 00 13

    0,30 0,2068

    0,00184 0,00173 0,00162 0,00153 0,00145 0,00138

    0,32 0,2012 0,00191 0,00179 0,00169 0,00159 0,00151 0,00143

    0,34 0,1961 0,00198 0,00186 0,00175 0,00165 0,001560,00148

    0,36 0 , 1 9 1 5 0,00205

    0,00192 0,001810,00171 0,00162 0,00154

    0,38 0, l8?4 0,0021l 0,00198 0 ,00186 0 ,00176 0 ,00167 0 ,00158

    0,40 0,1835 0,00218 0,00204

    0,00192

    0,00182

    o,oot'720,00163

    0,42

    0,1800 0,00224 0,00210 0 ,0 01 98 0,00r 7 0 ,0 01 77 0, 00 16 8

    0,44 0,1767 0,00231 0,0021ó 0,00204

    0,00192 0,00182 0 ,0 01 73

    0,46

    0,1718 o,00237 0,00222 0,00209 0,00198 0,00187 0,00r 8

    0,48 0 , 1 7 1 0 0,00244

    0,00228 0,00215 0,00203 0,00192 0,00183

    0,50 0 , r684 0,00250 0,00234 0,00221 0,00208 0,00197

    0,00187

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    33/291

    Ststo limíte

    ullitl|o

    per

    lensioníno nali 289

    Tabella

    10.5

    -

    o,,

    =

    l3O kg/cm2

    t

    o,/:3000

    kg/cm'

    3200 3400

    3600 3800 4000

    0,08

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    0,00059 0, 00055 0,00052 0,00050

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    0 ,00 074 0,00070 0,00066 0,00062 0,00059

    0,00056

    0 , 1 0 0,4t91 0,00082 0,00077

    0 ,00073 0 ,00069

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    0 , 1 1 0,3851

    0,00090 0,00084 0,00079

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    0,00092

    0,00086 0,00081 0,00077

    0,00073

    0 ,1 3 0,332'7

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    0 ,00083 0 ,00079

    o, t4 0,3t24 0,00112 0,00105

    0,00099

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    0, l5

    0,2952 0,00120

    0,00112

    0,00105 0,00100

    0,00094

    0,00090

    0 , 1 6

    0,2804 0,00r26 0 ,0 01 18

    0 ,00112 0 ,00105

    0,001000,00095

    0 , 1 7

    o,26't'l

    0,00133

    0,00125

    0 , 0 0 1 1 7 0 , 0 0 1

    1 0,00105 0,00100

    0 , 1 8 0,2567 0,00139

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    0 , 1 9

    0,247

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    0 , 00 12 1 0 , 00 1t 5 0,00r09

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    0 0,00114

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    0,00t2'7

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    0 ,00 1 63 0 ,0 01 5 4 0 ,0 01 45 0,001370,0013

    0,25

    0,20'7 0,00179

    0,00168

    0,00158

    0 ,0 0t 5 0 0, 00142 0,0013

    0,26 0,2024

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    0,00138

    0,21

    0,1991

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    0 ,00157 0 ,00149 0,0014

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    0,00144

    0,29

    0,1930

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    0 ,00240 0 ,00226 0,002150,00204

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    34/291

    290

    Teoria

    e

    tecnica

    delle costruzioni

    Tabella

    10.6

    -

    oo"

    =

    150

    kg/cm2

    I

    È

    o"r=

    3000

    ig/cm2

    J200

    3400

    3600

    3800

    4000

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    0,09

    0,4303

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    0,00075

    0,00071

    0,00067

    0,00063

    0,00060

    0 , 1 0

    0,3907

    0,00088

    0,00083

    0,000?8

    0,000'74

    0,000?0

    0,00066

    0 , 1 I

    0,3585

    0,00097

    0,00091

    0,00085

    0,0008r

    0,00076

    0,00073

    0,12

    0,J319

    0,00105

    0,00098

    0,00093

    0,00087

    0,00083

    0,00079

    0,13

    0,309?

    0,00113

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    0,00100

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    0,00089

    0,00085

    0,14

    0,2909

    0,00121

    0,001r

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    0,00101

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    0,00r07

    0,00t02

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    0,001r3

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    0,00| ]2

    0,00125

    0,001 l8

    0,00tL2

    0,19

    0,2300

    0,00r

    6

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    4,22

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    0,2028

    0,00r

    1

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    0,00r75

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    0,0018r

    0,00170

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    0,00176

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    0,00t76

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    0,0024J

    0,00230

    0,002t9

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    35/291

    Stato

    ímíte

    ultimo

    per

    tensioní

    normsli

    291

    Tabella

    10.7

    -

    o^

    =

    l'7O g/cm2

    T

    t

    o"'=

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    Kg./cm

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    0 , l l

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    0,00171

    0,00162

    0,00154

    0,26

    0,t'770

    0,002

    0,00198

    0,00186

    0,00176

    0,00167

    0,00r

    8

    0,27

    0,1'l4l

    0,00216

    0,00202

    0,00190

    0,00180

    0,00170

    0,00162

    0,28

    0,1'7

    4

    0,00220

    0,00206

    0,00194

    0,00183

    0,00174

    0,00165

    0,29

    0,1688

    o,N225

    0,002t

    1 0,00198

    0,00187

    0,00177

    0,00168

    0,30

    0,1664

    0,00229

    0,00215

    0,00202

    0,00191

    0,0018r

    0,00172

    0,32

    0,1618

    0,00238

    0,00223

    0,00210

    0,00r98

    0,00188

    0,00178

    0,34

    0,1578

    0,00246 0,00231 0,00217 0,00205

    0,00194

    0,00185

    0,36

    0,1541

    0,00254

    0,00239

    0,00225

    0,00212

    0,00201

    0,00191

    0,38

    0,1507

    0,00263

    0,00246

    0,00232

    0,00219

    0,00207

    0,00r

    7

    0,40

    0,14'16

    0,002'71

    0,00254

    0,00239

    0,00226

    0,00214

    0,00203

    0,42

    0,1,148

    0,00279

    0,00262

    0,00246

    0,00232

    0,00220

    0,00209

    0,44

    0,t422

    0,00287

    0,00269

    0,00253

    0,00239

    0,00227

    0,00215

    0,46

    0,1398

    0,00295

    0,002'16

    0,00260

    0,M246

    0,00233

    0,00221

    0,48

    0,1375

    0,00303

    0,00284

    0,00261

    0,00252

    0,00239

    0,00221

    0,50

    0,1355

    0,0031l

    0,0029r

    0.00274

    0,00259

    0,00245

    0.00233

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    36/291

    292

    Teoria

    e tecnica

    delle costruzioni

    Tabella

    10.8

    o-

    =

    t90

    kg/cm2

    6

    =

    3000

    kg/cm'

    1200

    3400

    1600

    r800

    4000

    0,08

    o,4266

    0,00080

    0,00075

    0,00071

    0,00067

    0,00063

    0,00060

    0,09

    0,3824

    0,00090

    0,00084

    0,00079

    0,00075

    0,00071

    0,00068

    0 , l 0

    0,3472

    0,00100

    0,00093

    0,00088

    0,00083

    0,00079

    0,00075

    0 , 1 1

    0,3185

    0,00109

    0,00102

    0,00096

    0,00091

    0,00086

    0,00082

    0 , r2

    0,2949

    0,00118

    0,00111

    0,00104

    0,00098

    0,00093

    0,00089

    0 , 1 3

    0,2't

    52

    o,o0t27

    0,001 l9

    0 ,00112

    0,00106

    0,00100

    0,00095

    0, l4

    o,2584

    0,00136

    0,00t27

    0,00120

    0,00113

    0,00107 0,00102

    0 , 1 5 0,2442

    0,00144

    0,00135

    0,00127

    0,00120

    0,001 l4

    0,00108

    0, l6

    0,2320

    0,00153

    0,00143

    0,00135

    0,00t2'l

    0 ,00121

    0,001

    5

    0,1'l

    o,22t4

    0,00161

    0,00151

    0,00142

    0,00134

    0,0012'7

    0,00t21

    0 , 1 8

    0 , 2 t 2 i

    0,00169

    0,00158

    0,00149

    0,00140

    0,00r

    3

    0,00126

    0 , 1 9

    0,2044

    0,00176

    0,00165

    0,00r

    5

    0,00141

    0,00139

    0,00112

    0,20

    0,1973

    0,00183

    0,001'72

    0,00162

    0,00r53

    0,00145

    0,00137

    0,21

    0 , 1 9 1 0

    0,00190

    0,00178

    0,00168

    0,00159

    0,00150

    0,00143

    0,22

    0,1853

    0,00197

    0,00185

    0,00174

    0,00r64

    0,00156

    0,00148

    0,23

    0, 802

    0,00204

    0,0019

    0,00180 0,00170 0,00161

    0,00153

    0,24

    0,1756

    0,00211

    0,00197

    0,00186

    0,00175

    0,00166

    0,00r

    8

    0,25

    0 , 1 7 1 3

    0,00217

    0,00203

    0,00191

    0,00181

    0,00171

    0,00163

    0,26

    0,t6't

    0,00223

    0,00209

    0,00197

    0,00186

    0,00176

    0,00167

    0,2'7

    0,1647

    0,00228

    o,00214

    0,00201

    0,00r90

    0,00180

    0,00171

    0,28

    o, t62l

    0,00233

    0,00218

    0,00205

    0,00194

    0,00184

    0,00r75

    0,29

    0,159'7

    o,00231

    0,00223

    0,00209

    0,00198

    0,00187

    0,002'78

    0,10

    0,1574

    0,00242

    0,00221

    0,00214

    0,00202

    0,00191

    0,00182

    0,32

    0 , 1 5 3 1

    0,00251

    0,00235

    0,00222

    0,00209

    0,00198

    0,00288

    0,34

    0,1492

    0,00260

    0,00244

    0,00230 0,0021'7 0,00205

    0,00195

    0,16

    0,t457

    0,002ó9

    o,00252

    0,00237

    0,00224

    0,002t2

    0,00202

    0,3

    0,t426

    0,00278

    0,00260

    0,00245

    o,0023l

    0,002r9

    0,00208

    0,40

    0,1396

    0,00286

    0,00268

    0,00253

    0,00239

    0,00226

    0,00215

    0,42

    0,1370

    0,00295

    0,00216

    0,00260

    0,00246

    0,00233

    0,00221

    0,44

    0,1345

    0,00303

    0,00284

    0,00268

    0,00253

    0,00240

    0,00228

    0,46

    0,1322

    0,0032

    0,00292

    0,002'7

    0,00260

    0,00246

    0,00234

    0,48

    0,1301

    0,00320

    0,00300

    0,00282

    0,00267

    0,00253

    0,00240

    0,50

    0,1281

    0,00328

    0,00308

    0,00290

    0,0027

    0,00259

    0,00246

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    37/291

    Stato

    limite

    ultimo

    per

    tensioni

    normqli

    293

    Con

    le

    posizioni

    (10.46)

    e equazioni

    di

    equilibrio

    e di

    compatibilità

    Írssumono

    a

    forma seguente:

    o"

    ot

    v

    =

    trl'

    +

    a'

    --:-

    -

    a

    --:-

    oof

    ooJ

    (r0.47)

    (10.48)

    (10.49)

    p = t ú ( l

    _ À É )

    + @ '

    ec

    r

    ot^ o,

    - r

    ( t

    -

    ò r )

    =

    t .

    +

    o ' -1

    ( l

    -

    ò2 )

    ool

    e'"

    : "

    t - Ò z

    _ e f

    l - €

    ^ c

    - h

    Nella

    potesi

    i semplice

    rmatura

    co'=

    0) le

    (10'47)

    (10.48)

    ossono

    taùllarsi

    agevolmente

    àrnendo

    n funzione

    di

    {

    i

    corrispondenti

    alori

    di c'r

    e p = p"t tali valori sonoriportati nellatabella10.9.Occorre icordareche

    all'aumentare

    di

    É

    e

    quindi

    di

    p

    si

    passa

    dalla

    regione

    3 alla

    regione

    4;

    I'ingresso

    n tale ultima

    regioneè c

    Íatterizzafo

    da un

    valore di

    É

    detto

    É,,-

    cui

    corrisponde

    na deformazione

    pecifica

    ell'acciaio

    eso

    pari

    ad €,r'

    d un

    momento

    specifico

    1.t1,^.

    er

    t

    >

    t,,^

    e

    quindi

    F

    )

    llti,

    I'armatura

    tesa si

    trova,

    nellecondizioni

    di

    rottura, ancora

    n campo

    elastico;

    per

    tale

    motivo

    risulta

    generalmente

    onveniente,

    partire

    da tale

    valore

    del

    momentospe-

    cifico,

    aggiungere

    rmatura

    n compressione

    ì

    da

    potere

    utilizzare

    ntegral-

    rnente,

    'aimatura

    tesa

    disposta.

    Nella

    tabella

    10.9 sono

    quindi

    riportati

    i

    valori

    delle

    esistenze

    i calcolo

    dell'acciaio

    per

    e

    quali

    si

    verifica

    'ingresso

    nella egióne4. È immediatoosservare l riguardocheal diminuiredelle e-

    sistenze

    i calcolo

    corrispondenti

    alori

    limiti di

    {,.

    e di

    p/,.

    aumentano'

    Si

    riportano,

    qui

    appresso,

    lcune

    ndicazioni

    circa

    'impiego

    della abel-

    la

    nelle diverse

    situazioni:

    A)

    Progetto

    Flessione

    semplice

    con

    p

    {

    p1i^

    Noto

    il momento

    esterno

    e

    fissatiÓ,

    t e o,c

    possono

    dedursi

    dalla tabella

    10.9

    e

    Dercentuali

    meccaniche

    .r

    n funzione

    di

    p.

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    38/291

    294 Teoriq

    e tecnics

    delle costruzioni

    Tabella

    10.9

    E

    p

    0,0891

    o,to42

    0,r 81

    0,1312

    0,1438

    0,1561

    0,t667

    0,1684

    0, l8 l0

    o,t937

    0,2066

    0,2198

    0,2330

    o,2466

    o,2590

    0,2608

    0,n96

    0,2988

    0,3183

    0,3383

    0,3587

    0,3796

    0,4012

    .0,4234

    0,4461

    0,4696

    o,4939

    0,5188

    0,5450

    0,5721

    0,6006

    0,6283

    0,6305

    o,64'16

    0,6613

    0,6681

    0,6788

    0,6952

    0,7310

    0,7690

    0,7788

    o,7935

    0,8119

    0,8597

    0,9152

    0.9848

    0,035

    0,04'7

    0,059

    0,070

    0,082

    0,094

    0,104

    0,106

    0,tt'l

    0,129

    0, !410,r52

    0,164

    0,176

    0,187

    0,188

    0,m0

    0,212

    0,223

    o,235

    o,u'7

    0,259

    0,n0

    0,282

    0,294

    0,305

    0,31"t

    o,329

    0,341

    0,352

    0,364

    0,375

    0,376

    0,383

    0,388

    0,390

    0,394

    0,400

    0,412

    0,423

    0,426

    o,430

    0,435

    0,447

    0,459

    0,475

    0,0365

    0,0488

    0,0614

    0,0'74r

    0,0869

    0,0999

    o,1t12

    0,1t29

    0,1263

    0,1399

    0,1536o,1677

    0,1819

    0,1963

    0,2096

    0,2112

    0,2263

    0,u19

    o,2576

    0,2'139

    0,2903

    0,3073

    o,32480,3921

    0,3610

    0,3802

    0,3993

    0,4200

    0,4412

    0,4632

    0,4862

    0,5086

    0,5103

    0,5242

    n 5 ? 5 7

    0,5408

    0,5495

    0,562'7

    0,5918

    0,6230

    0,6305

    0,6423

    0,1170

    0, t185

    0,1310

    0,14260,1481

    0,1580

    o,1746

    0,2188

    0,2832

    0,3021

    0,3357

    0,3859

    0,5801

    1,0883

    '7.0483

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    39/291

    Stato limife ultimo

    per

    tensioni nomali 295

    Flessione

    semplice con

    p

    >

    pt,h

    In

    questo

    asooccorrearmatura

    n

    compressione

    , , ' = ( p - t , , ^ ) ; l

    .

    |

    - o z

    (10.50)

    In altre

    parole

    a differenzadi momento

    F

    -

    Itri,

    viene assorbitadalle

    armature n comoressione:nfatti dalla 110.48) i ha:

    lt

    -

    pun

    =

    co(l

    -

    òz)

    (10 .51 )

    dove l termine co'(l - ó) rappresenta roprio il contributo al momento

    apportato dall'armatura compressa ssendo j certamenteegualea o"r.

    Consesuentemente'armatura tesa dovrà essere:

    u : a ' ! a , , ^

    (10.52)

    Flessione ompostacon

    p

    <

    ptitu

    La

    percentuale

    i armatura esaè in tale caso

    pari

    ad

    ptìn

    Deve esseren tale caso:

    a'

    :

    ( t "

    -

    t " t

    )

    (10.s3)

    (10.54)

    = a ,

    I

    @ t i ^ _ 2

    B) Verifica

    Posto

    coo o

    -

    c,.r'si istinguono seguenti asi

    Flessione semplice con oo

    <

    0

    (caso

    raro)

    Trascurando a collaborazione el calcestruzzoisulta

    p.

    =

    a'(1

    -

    òz)

    Flessione

    semplíce con 0 > ao ) ati^

    1

    -

    L - o z

    (10.55)

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    40/291

    296

    Teoriq

    e tecnica

    delle

    costruzíoni

    In

    corrispondenza

    i coo

    i egge

    dalla

    abella

    l valore

    di

    p

    che ndichiamo

    con po:

    l

    momento

    specifico

    complessivo

    ale:

    tt

    =

    tro

    t co(l

    -

    ò2)

    (10.56)

    Occorre

    però

    rilevare

    che il

    contributo

    dell'armatura

    compressa uò

    risultare

    n realtà

    nferiore

    a

    quello

    fornito

    dalla

    (10.56)

    dove

    si è potizzato

    implicitamente

    che

    sia oi

    =

    o,/.

    Pertanto

    se

    c,.:oade

    nella

    regionè

    2

    è

    più

    prudente

    orre

    co'=

    0.

    Flessione

    semplíce

    con

    @o

    > @!jù

    In

    questo

    caso,

    nvero

    non frequente,l momentoposi leggen funzione

    del rapporto

    9

    ld

    che risulta

    tabellato

    n

    corrispondenza

    ell,ultima

    co-

    oof

    lonna

    della

    abella

    10.9.

    Il momento

    specifico

    complessivo

    ale:

    lt

    :

    po

    *

    r,.r(1

    -

    ór)

    (10.57)

    '

    Flessione

    composta

    Si usano e stesseormule valideper la flessione emplice ostituendo o

    COn

    ')

    + ,,.

    Si ricorda

    che

    il momento

    associato

    allo

    sforzo

    z nelle

    condizioni

    di

    rottura

    è sempre

    iferito

    alle

    armature

    ese.

    C) Esempio

    di impiego

    nella

    tabe

    a 10.9

    Si

    consideri

    una

    sezione ettangolare

    he

    n

    condizioni

    ultime

    deve

    soo_

    portare

    un momento

    M,

    par

    a 15,49

    m.

    Fissando

    b

    =

    25 cm;

    h

    =

    57,5

    cmi

    oo.

    =

    137,5

    kg/cmz

    risulta:

    1549000

    =

    0.13ó

    5 7 , 5 2 x 2 5 x 1 3 7 , 5

    cui

    corrisponde

    dalla

    tabella

    10.9,

    effettuando

    'interpolazione

    a

    =

    0,147

    Avendo

    fissato

    o,r

    =

    3800

    kg/cm2

    si

    olliene:

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    41/291

    Stoto límite ultimo

    Der

    tensioní normali

    297

    A r =

    0,147x

    25 x 57

    5

    x 137

    5

    =

    I

    ,O)

    cm-

    10.7.

    Esercizi

    Si

    vuole verificare a

    sezione

    ella fig. 10.13attraverso

    l metodo delle

    tensioni mmissibilie

    quello

    degli stati limite.

    Si consideri

    a

    sezione

    oggettaa flessione emplice.

    Sia

    noltre:

    -

    calcestruzzo lasse

    250

    Ru, ) 250 kg/ cm2

    -

    acciaioFeB 38 controllato

    in

    stabilimento

    R.o

    2

    3800kglcm2

    Le

    corrispondenti

    esistenze i calcolo sono:

    3800

    o--= o,8s9{î:I : rro ks/cm2

    ,

    25

    cm

    ,

    r-------t

    5 7 5 c m

    5 O 1 4 = 7 , 7 c m z

    Figuro 10.13

    2 , 5

    m

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    42/291

    298 Teo a e tecnics delle costruzioni

    3800

    )

    ox

    =

    l , lS :

    55v+ S lcm-

    a) Con

    il metodo delle tensioni ammissibili si calcola

    l momento

    di

    esercizio.

    Le tensioni ammissibilivalgono:

    per

    l calcestruzzoc

    :

    60 -

    l4oJ1

    =

    85 kg/cm'

    Per

    I'acciaio or

    =

    2200k8/cm2.

    F

    Si calcolaa posizione ell'asse eutro si ponen :

    7

    : ttl

    15x 7,7

    (

    ) (

    =

    _ _ _ i s

    l _ l +

    I

    Il momento d'inerzia vale:

    ]

    =

    "''n "'

    1, = 18,893

    -l

    + ts x 7,7(57,5- 18,89)' = 22835r ma

    w"

    =

    12088 m3

    -

    M,"

    =

    85 x 12088 1027518 s cm

    wr

    =

    394cmt

    -

    Mr:2200 x 394

    =

    867429 g cm

    Il momento di esercizio

    pertanto

    l

    piÌr piccolo

    dei due momenti resi-

    stentie

    vale 8.67 m.

    b) La verifica allo stato limite di rottura richiede a valutazionedel

    momento di rottura. Occorrerebbe

    ertanto

    conoscere

    n

    quale

    regione a

    sezione

    aggiungea rottura in flessione emplice.Si potizza n

    primo

    tenta-

    tivo che ciò awiene

    nella regione3; in

    tale

    regione

    sono

    valide e

    (10.26)

    e

    (10.27)

    essendo

    oti i valori dei coefficienti

    y'

    À.

    Dalla

    (10.26),

    essendo "

    =

    0, si ottiene

    a

    distanza

    dall'asseneutro.

    A

    tox

    '7

    ,7

    x 3304

    ,!

    .b -

    o."

    0,8095 25 x 110

    =

    11,43

    cm

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    43/291

    Ststo limite ultimo

    per

    tensioni normali 299

    Occorreola controllare se ale distanza

    è compresa ra 0,259

    h ed x, e

    cioè

    seeffettivamente i si trova nella regione3. Essendo

    .259 x 57,5

    =

    14,89 11,43 n realtà a rottura si raggiungerà ella regione2. Utilizzando

    la tabella10.2 occorre

    quindi

    risolvere

    'equazione

    10.21)per

    tentativi.

    I"

    tentativo:

    posto

    É

    :

    0,22 della abella

    si ottiene

    y'

    =

    0,7636

    e

    quindi:

    7,7 x 3304

    =

    12,11

    m

    0,7636 25

    x 110

    1 ) 1 1

    cui orr isponde

    =':: '= =

    0,211.

    l / ì

    Si

    può pertanto

    ritenere

    di aver ottenuto col solo

    primo

    tentativo una

    sufficiente pprossimazione

    er

    cui dalla

    (10,22)può

    calcolarsi l momento

    di rottura in

    corrispondenza i

    tl.,

    0,7636,

    r

    =

    0,4001.

    Si ha così:

    M"

    =

    12,1t

    x

    25

    x 110 x 0,7636(57,5

    0,4001x 12,11)

    1339000

    tg cm

    :

    13,39 m

    Il rapporto ra tale momento

    e

    quello

    valutato

    alle ensioniammissibili

    è

    pertanto:

    t ? 1 0

    '

    : 1 \ 4

    8,67

    praticamente

    oincidente on l

    coefficiente1,5 di amplificazione

    ei carichi

    nel

    calcoloagli stati limite

    (cfr.

    eq.

    (9.5)).

    Si consideriora a stessaezione

    rima

    esaminata,ma armatacon 3 ó 14

    invece

    ei 5

    {

    14

    già

    disposti:

    potrebbe

    essere

    uesta

    a

    sezione i mezzeria i

    una rave

    per

    la

    quale

    a

    sezione

    esaminata i trovava

    all'incastro.Si ha

    quindi.,4,

    3 x 1,54

    =

    4,62

    cmz.

    a)

    Verifica

    elastica.Si otiiene:

    15 x 4,62

    (

    ^

    -

    ,< |

    -

    r

    -f

    \

    ) = " ' ' n "

  • 8/15/2019 3-Calcolo Stati Limite

    44/291

    I

    3N

    Teoria

    e

    lecnicq

    delle

    costruzionl

    l -

    =

    15.293

    2i n ,,

     

    3

    _

    x 4'62(5,1,5

    15,29)2

    !53259

    ma

    W"

    =

    10O23

    rn3

    M,"

    =85x

    10023

    =

    851994

    g

    cm

    Wt

    =

    Z4Z

    cm3

    -

    Mf

    =

    2200

    x

    242

    _

    532525

    rr

    r*

    Il

    momento

    di

    esercizio

    ale

    quindi

    5,32

    tm.

    b) Verifica

    allo

    stato

    imitei

    si

    procede

    er

    tentativi

    utilizzando

    a

    (10.21