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Transcript of Prof,.ssa Alessandra Sia Logaritmi INDICE 1.DefinizioneDefinizione 2.Proprietà dei...
prof,.ssa Alessandra Sia
Logaritmi
INDICE
1.Definizione2.Proprietà dei logaritmi3.Cambiamento di base4.Basi più comuni5.Cenni storici
prof,.ssa Alessandra Sia
Supponiamo di voler trovare l'esponente a della
potenza 3a per ottenere 81. Questa è un'operazione
inversa della potenza. Anche i radicali sono operazioni
inverse della potenza, in essi si deve ricavare la base,
ora invece il problema è ricavare l'esponente.
La soluzione prende il nome di logaritmo in base 3 di 81.
DefinizioneIl logaritmo in base a>0 di un numero b>0 è l'esponente x che da dare ad a per ottenere b.
prof,.ssa Alessandra Sia
Il logaritmo del prodotto di due o più numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori, cioè:
Proprietà
loga(bc)=logab+logac
Dimostrazione
Logaritmo del prodotto
prof,.ssa Alessandra Sia
Il logaritmo della potenza di un numero è uguale all'esponente di tale potenza per il logaritmo della base della potenza.
Proprietà
logabx=xlogab
Logaritmo della potenza
Dimostrazione
prof,.ssa Alessandra Sia
Il logaritmo del rapporto di due o più numeri è uguale al logaritmo del numeratore meno il
logaritmo del denominatore, cioè
ProprietàLoga(b/c)=logab –logac
Logaritmo del rapporto
Dimostrazione
prof,.ssa Alessandra Sia
Cambiamento di base
Si vuole trovare la relazione che intercorre fra il
Logaritmo di un numero in una base a e il
logaritmo dello stesso numero in un'altra base c.
Proprietà.
logablogcb=————— logac
Dimostrazione
prof,.ssa Alessandra Sia
Dimostrazione
posto logab=x e logac=y allora ax=b e ay=c quindi
bc=axay=ax+y (proprietà delle potenze)
loga(bc) =logaax+y loga(bc) =(x+y )logaa
logaa=1
cioè x+y=loga(bc) ma x+y=logab+logac c.v.d.
loga(bc)=logab+logac
prof,.ssa Alessandra Sia
logabx=xlogab
Dimostrazione
posto logab=y perciò ay=b e (ay)x=bx ma
(ay)x=ayx perciò
logabx=xy essendo
y= logab allora
logabx=xloga c.v.d.
prof,.ssa Alessandra Sia
Loga(b/c)=logab –logac Dimostrazione
posto
loga(b/c)=loga(bc-1)=
per il logaritmo del prodotto è uguale a
= logab+logac-1 =
per il logaritmo della potenza
= logab-logac c.v.d.
prof,.ssa Alessandra Sia
logablogcb=————— logac
Dimostrazione
posto y=logab e x=logcb
allora ay=b e cx=b quindi cx=ay
calcoliamo il logaritmo in base a di entrambe i membri
otteniamo logacx=logaay
quindi applicando il logaritmo della potenza
otteniamo xlogac=ylogaa cioè xlogac=y
sostituendo a x ed y le relazioni iniziali si ha
logcb∙logac=logab
prof,.ssa Alessandra Sia
Anche se in linea di principio i logaritmi possono essere calcolati in qualunque base, quelle più
utilizzate sono tre:
• base 10 (logaritmi decimali o volgari o di Briggs), usati per le operazioni di calcolo; li si indica con log10, più genericamente con log.
• base e (logaritmi naturali o neperiani), usati in analisi infinitesimale; li si indica con ln, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara).
• base 2 (logaritmi binari), usati soprattutto nell'analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con log2.
prof,.ssa Alessandra Sia
Cenni StoriciI logaritmi vennero proposti nel 1614 da John Napier, noto
anche col nome latinizzato di Neperus o in italiano Nepero, come ausilio per semplificare i calcoli. Infatti, è facile dimostrare che, scelta una base, il logaritmo del prodotto di due numeri è pari alla somma dei loro logaritmi: pertanto, al prezzo di due conversioni da un numero al suo logaritmo e una conversione inversa (verso il cosiddetto antilogaritmo) è possibile trasformare un prodotto in una somma. Le conversioni stesse venivano tabulate a priori e scritte in un volume ("Tavola dei logaritmi"). Lo stesso principio era usato nel regolo calcolatore.