Processi di controllo con parametri distribuiti in insiemi non limitati. Controllabilith completa approssimata (*) (**).

GIUSEPPE PULVII%ENTI - GIUSEPPE SAI~TAGATI (Catania)

Sl*mmary. - We study the (~ given place ~> approximate complete controllability o/ the ]o~Iowing control process:

z ~ + A(x,y)z~+ B(x ,y)z~§ C(x ,y ) z= ~(x ,y)U(x,y) + G(x,y) q.o. (x,y) eL(a, fl),

L(~, fl) = ([0, :[ • + cr u ([0, + ~ [ • ~[), a, fl~]O, § c~].

We take the trace o] z on 5(0, 0) ---- ([0, + c~[ • (0})~J ((0} x [0, + c~[) as the indtial state and the trace o] z on l(a, b) -~ ([a, + ~ [ • (b}) w ({a} x [b, + oo[), (a, b) e ]0, ~[ x ]0, fl[, as the/inal state. With this choice both the initial and the/inal state belong to the same/une- tional space.

1. - I n t r o d u z i o n e .

Denotato, per ogni (u, v) e ]0, -~ z<)], con •(u, v) l ' insieme non l imitato di R ~

L(~, ~) = fro, u[ • [0, + ~[) u fro, + ~ [ • [o, v[),

si consideri il provesso di eontro~lo

(E) z~ + A(x, y)z~ + B(x, y)z~ + C(x, y)z =

---- F(x, y) U(x, y) + G(x, y) q.o. (x, y) e Z(~, fi),

dove: a, f i e ]0, ~-c~]; A, B, C,_~ ed il termine perturbatore G sono assegnate fun- zioni definite in L(a, fl), a valo~i matrici di dimensioni appropriate, verificanti op- 1)ortune ipotesi; il controllo U ~ una funzione m-vettore, e]emento di Z~oc(L(a , fl), R +~) e la risposta z ~ ana funzione n-vettore, elemento di un opportuno spazio fun- zionale (del t ipo di Sobolev).

Posto, inoltre, se u, v e [0, + c~[,

~(u, +) = flu, + ~ [ • {~})u ({u}• + ~ [ ) ,

(*) Entrato in Redazione il 21 agosto 1982. (**) Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A. del C.N.R.

36 GYUSEPPE t)ULVIlCES~TI - GIUSEPPE SANTAGATI: Processi di vontrollo 7 etc.

fissato (a, b) e ]0, ~[ • ]07 fl[, in a n recente lavoro (A. ~ILLANI [8]) 6 stato studiato il problema della controllabilit~ completa (di tipo <~ esatto ~>) del processo di con- trollo (E), assumendo come 8tato iniziale la traccia di z sn l(0, 0) e come stato ]inale la traccia di z su l(a, b), elementi arbitrari di nno stesso spazio funzionale (aneho qnesto del t ipo di Sobolev).

La possibilit~ 4i scegliere gli s tat i iniziale e finale in nno stesso spazio funzio- nale e senza condizioni (< di raccordo ~>, contrar iamente a quanto accade abitnal- mente per processi di controllo del tipo (:E) su insiemi l imitat i (cfr. per es. G. PUL- VlI~E~TI - G. SAETAGAmI [3], [4]7 [5], S. A. Mi~YUK [2]) 7 era s ta ta osservata in nn precedente lavoro (A. VIY.LA~I [7]) 7 dedicato allo studio delle soluzioni di (E).

Poich~ per il processo di controllo (E) lo spazio degli s tat i ~ ad infinite dimen- sioni, oltre al concerto di completa controllabilit~ di tipo <( esatto >>7 come qne!lo considerato in A. VI~LANI [8], ~ importante studiare ulteriori concerti di completa eontrollabilit~ meno esigenti e cio~ di tipo <~ approssimato ~>. Cib costituisce l 'oggetto del presente lavoro.

Precisamente, dol~o aver r ichiamato nei nn. 2, 3 i principali r isultati di A. u LANI [7] dei quali si dovr~ fare uso, viene definita, ncl n. 4, ]a completa ~.~(n)-s-con- trollabilit~ de1 processo di eontrollo (E) in nn pnnto (a 7 b)e ]0, ~[• fl[, fissato a priori, e ne vengono date alcune semp]ici caratterizzazioni. Nel n. 5 viene s tndia ta la permanenza della completa ~(~)-t-controllabilit~ al <( crescere ~> dei parametr i a e b. Nel n. 6 viene stabilita una caratterizz~zione della com pleta ~~ di pifl facile utilizzazione r ispetto a quelle del n. 4, e ne viene f a t t a una applicazione. Eel n. 7, infinc, vengono fa t te alcune osservazioni ed7 in particolare, vengono messe a confronto le due nozioni di completa g(~')-controllabilit~ e compler ~(~")-s-con~rol- labilitY.

2. - A l c u n i spaz i funz i o na l i .

Siano, d'ora in avanti , p e [1, + c~], ~, f l e ]0, -{- oo]. l~iportiamo di segnito le definizioni e le principali propriet~ degli spazi funzionali

che verranno utilizzati nel presente lavoro; per maggiori dettagli r inviamo al n. 2 di A. VI~LANI [7].

DEFI~IZIONE 2.1. -- Se X ~ un sottoinsieme misurabile di R d, denotiamo con L~oo(X, R 8) lo spazio 1.t. (1) eompleto delle [classi di] /unzioni misurabili h, da X in R ~, le cui restrizioni ad ogni oompatto C c_ X appartengono a L~(C, R8)7 con la ]amiglia di se- minorme

~c(h) = lihll~<c,,,) Vh e Zroo( X, R ' ) ,

al variare del vompatto C c X .

(1) Per brevits chiameremo spazi 1.~. gli sp~zi line~ri topologici separati e loc~lmen~e convessi.

GIusEPP]~ ~ULVIRENTI - GIUSEPPE SA~NTAGATI: t)roeessi di eontrollo~ eve. 37

]~ i m m e d i a t o ver i f icare che condiz ione necessa r i a e sufficiente affinchb I~oo(X , R ~)

sia u n o spazio di F r 6 c h e t 6 che es i s ta u n a successione {C~} di so t to in s i emi c o m p a t t i

4i X t a l e che, p e r ogni e o m p a t t o C c X, r i su l t i m(C',,,C~) = 0 pe r qua lche k e ~Y.

Q u e s t a e i r cos t anza h a s e m p r e luogo nei casi qui cons idera t i .

DEFINIZIONE 2.2. -- Se X ~ un sottoinsieme misurabile di R ~, denotiamo eon I ~ ( X ,

R ~) lo spazio 1.t. delle [elassi di] ]unzioni misurabili (r, da X in R~ the appartengono a Iv(X~ R ~) e sono a supporto eompatto in X~ eon Ia ]amiglia di seminorme

z~(~) = ,~rsuplj~*(x'""x~)l(x"'"'d~)dx'"'dx~

al variare di Y nelIa famiglia degli insiemi limitati (~) di L~oc(X, R~), l ip + l i P ' = 1.

DEFINIZIONE 2.3. - Denotiamo yon l~*(L(o% fl), R ~) lo spazio di ~rdehet delle [elassi di] ]unzioni misurabili (x, y)--> w(x, y), da L(a, fl) in R ~, le eui restrizioni ad ogni aperto limitato ~2 tale ehe D c I (~, fl) appartengono a W*([2, R ~) (a), con la ]amiglia di seminorme

(2.z)

al variare di [2 nella ]amiglia degli insiemi aperti e limitati tali ehe ~ c I(c~ fl).

O v ~ i a m e n t e gli e l e m e n t i di l ~ * ( I ( a , fl), R ") sono t u t t e e sole le funz ioni w che

a p p a r t e n g o n o a L~or fl), R ~) a s s i eme Mle 4e r i va t e (nel senso delle 4 i s t r ibuz ion i

su L(~, fl)) w~, w~, ~ . Si ha , ino l t r%

TE0~E~A 2.1. - Tutte e sole le /unzioni w E 17V*(t(o% fl), R') sono quelle della ]orma

(2.2) 0~ y x y

0 0 0 0

V(x, y) e L(~,/~)

con h e L~oo(~(~, ~), R~), h,e ~roo([0, + ~ [ , R'~), i = 1 ,2 , ~ e R ~.

(2) Nel senso degli spazi lineari topologiei. (8) Se ~ ~ un aperto di R 2, denotiamo con W*(D, R ~) (cfr. R. DI VI~e]~Nzo - A. VILLX-

~I [1], M. B. Svi~Y),NA~AYANX [6]) 10 spazio di Banaeh delle [classi di] funzioni misurabili (x, y) --~ w(x, y), da ~ in R", che appa~engono a Lv(Q, R~) assieme alle derivate (nel senso delle distribuzioni su T2) we, w~, w**, con la norma

Ilw~lIL,(~,R,,)) , 1< p < + ~ ,

38 Gs 2ULVI~E~TI - G~SEPPE SANTAG~TI: .Processi di eonlrollo~ eeo.

Per tan to , si ha che

P~oPos~z~oN]~ 2.1. - Le /unzioni w e $*(Z(~, fl), R ~) sono continue in Z(~, fl).

Denota to , poi~ con 8~ il p rodo t to topologico

zL(z(~, t~), m) x Z~oo([o, + ME, m) x zL([o, + ~[, m) •

si h~ anche che

P~0P0S~Z~0~E 2.2. - La tras/ormazione ehe ad ogni (h, h~, h~, ~) e 8~ associa l'ele- mento w e I~*(~(a, fl), R ' ) date dalla (2.2) ~ un isomor/ismo algebrieo e topologieo

tra 8~ e I~*(Z(a, fl), R ' ) .

DEFI~IZI0~E 2.4. -- Denotiamo con WI'~([0, -+- c~[, R ~) lo ss di ~rdchet delle [elassi di] /unzioni misurabili % da [0, ~- c~[ in R ~, le cui restrizioni ad ogni aperto limitato A c [0, ~ co[ appartengono allo spazio (di Sobolev) W~'~(A, R ' ) con la /a- miglia di seminorme

al variare del~'aperto limitato A c [0,--~ c~[.

Ov~-iamente gli e lement i di l~,v([0, + co[, R ~) sono t u t t e e sole le funzioni ehe appar tengono a L~oo([0 , + c~[, R ~) assieme alla der ivata p r ima (he1 sense delle dis tr ibuzioni su ]0, + c~[).

I n per fe t t a analogia a quanto vis to per l~*(L(a, fl), R ~) si ha che

TEol~E~• 2.2. - Tutte e sole le /unzioni q~ e ~/'l'v([0, -~ c~[, R ~) sono quelle della /orma

t

(2.3) q~(t) = f k ( s ) ds + 6 Vt e [0, + cx~[ 0

con ~ e ~oo([0, + ~ [ , R"), ~ e R".

PROP0SIZIO:NE 2.3. - Ze /unzioni q~ e [/VI'~([0, "~- (X:), R ~) sono continue in [0, -{- c~[.

PlC0P0SlZIO~E 2.4. - La tras/ormazione vhe ad ogni (k, (~) e L~oc([0, + oo[, R " ) • R ~ assovia l'elemento q~ ~ 1~1,~([0, ~- c<)[, R n) date dalla (2.3) ~ un isomor/ismo algebrieo e topotogieo tra ~L([o, + ~ [ , r") • e $~'~([o, + ~ [ , r").

Per la Proposizione 2.3 ha sense la seguente

DEFI~IZI0~E 2.5. -- Denotiamo con ~(~) lo spazio di Frdehet

{(% ~,) e ~1,~([o, + ~ [ , R ~) x ~:,~([o, + ~ [ , R"): (p(o) = ~(o)}

GIUSEPPE P ~ V I ~ , N T I - GYUSEPPE SANTAGATI: _Proeessi di eontrollo, eee. 39

sottospazio lineare (ehiuso) di I~za'v([O, -}- c~[, R") X l~'~([O, ~- c<)[, R") munito della ]amiglia di seminorme

7~A,B(~O , ~0) = 7~A(~2 ) -{- 7~B(~) ) V(~9, ~0) e ~l'~([O, "-}- (:~[, ,~n) X ~/~/-l'~([O, -[- OO[, l~n),

al variare degli aperti limitati A , B c [O,-~ oo[.

Siu (xo,yo) e[O,~[• Se welZV*(Z(~,f l) ,R~), hu senso, per la Proposi- zione 2.1, considerure l~ restrizione di w a l(xo, Yo). Utilizz~ndo i Teoremi 2.1, 2.2 si verific~ che t~le restr izione individu~ un e lemento y(~o,~o)W -~ (~(~~ ~f(x~ di ~(~') med ian te la loosizione

(2.4) ~(~.,v.),~(t) = w(x o + t, Yo) ,

Ponium% quincli~ 1~ seguente

~p(~o,~o),~(t) = W(Xo, Yo § t) Vt>~0.

D]~x~IzIo~E 2.6. - Per ogni w e IYV*(L(~,/3), Rn), dieiamo traveia di w su l(xo, Yo), (x0, Yo) e [0, ~[ • [0, fl[, l'elemento 7(~.,Vo) w e ~(n) individuato dalla (2.4).

Si h~ che

TEo~E~A 2.3. - Per ogni (Xo, Yo) e [O, ~[• fl[ l'apl~lieazione w-~y(~.,v.)w ~ li- neare e eontinua da I~*(L(o~,/3), R ~') su ~,(~').

3. - Soluzioni di (E) e loro rappresentazione.

Supponiamo, d 'ora in avant i , ".4, B, C, A~, B~e C~ fl), R~,~) ; F e L~or ,/3),

R',~); ~ e Zroo(L(~,/3), R~ Denot i amo con P l 'opera tore

t): w - + P w = w ~ § A w ~ § B w ~ § r

linet~re e cont inuo d~ l~*(Z(a, fi), R ") in JL~oo(Z(~ ,/3), R ' ) . D~I Teorem~ 3.1 di A. u [7] segll~3 ChO

TE01CE~A 3.1. -- Per ogni (% ~p)e ~(~) ed ogni U e L~oc(Z(~ ,/3), R m) esiste una ed una sold ]unzione (x, y) -> z(x, y; (~, ~p), U), elemento di l~*(L(g, fl), R~), soluzione del processo di eontrotlo (E) e tale ehe ~(o,o)Z(. ; (% ~), U) ~ (% yJ). Inoltre, l'appliea- ~io~e ((v, v), v) -~ z(.; (v, ~), v), da $(~")• ~), R ~) in }~*(L(~, ~), R"), a]fine e eontinua.

~0 G I U S E P P E PULVII~ENTI - GYUSEPPE S A ~ T A G A T I : Proeessi di eontrotlo, e e e .

Dal Teorema 4.3 di A. VIZLA_NI [7] si ha, poi, che, per ogni (9, ~) e ~(~'~) ed ogni U e LFo,(Z(g, 8), R~), la funzione z(. ; (9, ~), U) ha la seguente rappresentazione:

z(x, y; (9, ~), ~) = ~(x, v; (9, ~)) + y

+f fv(u, ~; ~, y)~(~, ~)v(~, ~) e~ d~ + 0 0

x y

0 0

d . o v e

(x, v) -~ ~(x, v; (9, ~)) =

= V(0, 0; x, y)9(0) + f V ( u , 0; x, y)[9'(u) + B(u, 0)9(u)] du + y 0

+fv(o,v;x,y)[V(v)+A(O,v)W(v)]dv, (x, y) eL(~,/~), 0

6 l'unica solnzione del problems

e W,(Z(~, Z), R')

Y~ = 0

~(o,o)~ = (9, ~)

e V ~ la matriee di evoluzione associata all'operatore P, della quale riportiamo qui di segaito 1~ defmizione, rinviando per ulteriori ragguagli al n. 4 di A. VILLA~I [7].

Osservato che (cfr. il Teorema 4.1 di A. VILLA:~I [7]), per ogni rettangolo chiuso D = [a, b] • [e, d] c Z(~, fl), esiste una ed un~ sol a funzione (u, v;x, y) --> r v; x, y) da D • in R ~*'~, continua in D • insieme con le derivate ~U~, ~U,, r r ~U~, ~U~ e tale che, per ogni fissato (x, y) e D, la funzione (u, v) -+ ~U(D)(u, v; x, y) soluzione del problema

~ - - ( ~ A ) ~ - - ( ~ B ) ~ + ~ C = 0

r v = y , Vue[a,b]

~ - - ~ U A = O u - - x , Y v e % d ]

r y) = I

V(u, v) e D

o posto

T(~, fl) = {(u, v; z, y) e R , : (x, y) eL(~ , ~), 0 < u < x , 0 < v < y } ,

si d~ la seguente definizione.

GIUSEPPE 1)ULVI~ENTI - G1-USEPPE SANTAGATI: 2roeessi di vontrollo, eee. 41

DEFINIZIONE 3 . 1 . - Si chiama matriee di evoluzione assoeiata all'operatore t) la ]unzione (u~ v; x, y) -~ V(u, v; x, y) da T(~, fl) in R ~'', de/inita ponendo, per ogni (u, v; x, y) ~ T(~, fl)-, V(u, v; x, y) = ~U(~)(u, v; x, y), essendo D un qualsiasi rettangolo ehiuso di R ~, eontenuto in Z(:r fl) e tale ehe (u, v; x, y )~ D •

Concordeme~te a quanto fa t to in A. V~LLA~I [8], n. 3, per ogni (~, ~) e [0, ~[• • [0, fl[, assumerem0 come state della z(- ; (% F), U), corrispondente ai v~lori ~ e y dei parameCri, l 'e lemento 7(~.~)z(-; (V, V), U) di ~.~('), t raccia di z( . ; (V, F), U) su

y).

4. - Completa S~)-r

Siamo adesso in grade di porre la seguente

D]~FI~Z~0~E ~.1. - ~issato (a, b) ~ ]0, ~[ • ]0, fl[, il processo di vontrollo (]~) dieesi eompletamente approssimativamente ~(~)-eontrollabile (o, p i~ brevemente, eompletamente ~(~)-~-eontrollabile) relativamente ad (a, b) se, per ogni (q:, ~p), (~, ~) ~ ~.(~), ogni ~ > 0 ed ogni seminorma ~(~.~) su F_.(~) esiste U e L~o~(L(~, fl), R ~) tale ehe

(4.1)

In altre parole, il processo di controllo (E) ~ complc~amente ~(2)-e-controllabilo relat ivamenr ad (a, b) se e solo se, per ogni (q, ~ )~ ~(v ~), l ' insieme

(4.2)

denso in ~(~'). Allo scope di 4are una pr ima caratterizzazione dei processi di controllo com-

p le tamente ~(~)-~-controllabili, r icordiamo che (cfr. A. VILZA~I [8], n. 4) l'applica- zione A c h e a4 ogni U e Z~or , fl), R ~) associa l ' e l emen toAU di I~*(L(~, fl), R ~) date da

y

0 0

l ineare e continua; quindi, posto, per ogni (~, ~) e [0, ~[• [0, fi[,

A(;.;) Y = y(~.?)A U V U e L~oo(L(e, fi), R ~) ,

(t) 0, equivalen~emente, esiste U e L~or b), R ~) tale che per un sue qu~lsiasi prolun- gamento U e L~'o~ fl), R ~) si abbi~ la (4.1).

42 GIUSEPPE :PuLvII~ENTI - GIUSEPPE SANTAGATI: 2Proeessi di eontroUo, eee.

si ha (cfr. il Teorema 2.3) che, per ogni (~, y) ~ [0, ~[ • [0, fl[, l 'applicazione A(~,~)

l ine , re e continu~ da Z~oc(]~(~ , fl), R ~) in ~(~) = if('*) l ' insieme (4.2) 6 un sottospazio affine di ~v Poiehb, qualunque sia (% ~) ~ ..~ ,

~raslato de1 sottospazio l ineare

#),

si ha ehe

P~OP0SlZlONE 4.1. - Condizione neeessaria e sq~]]ieiente a//ineh~ il proeesso di eontrollo (E) sia eompletamente ff~(v~)-e-eontrollabile relativamen$e ad (a~ b) ~ ehe il sot- tospazio lineare (4.3) di ~(~) sia dense in ~(v ~) (~).

Inoltre~ o w i ~ m e n t e ,

P~0P0SlZlO~E 4.2. - Condizione neeessaria e su]fieiente a]]inehJ il proeesso di eontrollo (E) sia eompletamente ~)-e-controtlabile relativamente ad (a, b) ~ ehe il sot-

~(n) tospazio a]]ine (4.2) di ~(~) sia dense in ~(~) per qualehe (% ~p) ~ ..,~ .

Da]l~ Proposizione ~.1 segue che, analogamente ~ quanto osservato in A. VIL- LA~I [8], Proposizione 4.5, re l~t ivamente alla completa ~(~)-controllabilit~, anche la completa S(~)-e-controllabilits del proeesso di controllo (E) ~ una propriet~ indi- pendente da G, cio6

P~oPOSlZlO~CE 4.3. - I1 proeesso di eontrollo (E) ~ eompletamente ~(v~)-~-eontrolla - bile relativamente ad (a, b) s ee solo se tale ~ il proeesso di eontro~Io

z ~ + A ( x , y ) z ~ + B ( x , y ) z ~ + C ( x , y ) z = F ( x , y ) U ( x , y ) q.o. (x,y) e Z ( ~ , f l ) .

Supporremo quindi, d 'ora in avant i , G = 0.

5. - P e r m a n e n z a della completa ~(~)-~-controllabilith.

U~'al t ra analogia tr~ i due t ipi di complet~ controll~bilit~ (<~ es~tta ~) e (~ appros- s imata ~)) ~ da ta dal fa t to che, s imilmente a quanto aceade per la eompleta ~(v~)-con -

~(n) �9 �9 , trollabil i tg (A. VILLA~I [8], Teoremg 5.1), anche la completa ..~ -s-eontrollablllt~ una propriet~ che pe rmane ~1 ~( crescere ~) dei pa ramet r i ; si ha inf~tti il seguente

TE0~E~A 5.1. -- S e i l proeesso di eontrollo (E) b completamente ~_.(~~ relativamente ad (a, b)~ ]0, ~[X]0, fl[, allora (E) ~ eompletamente fi.(~)-s-eontrollabile relativamente ad ogni (a', b') ~ [a, ~[ • [b, #[.

(5) Per la continuit~ di A(a,b), il ruolo di (4.3) pub essere preso da un qualsiasi sottospazio lineare di ~(~) ~, del ~ipo A~a.~)E, con E sottosp~zio line,re 4i ~oe(~(~, fl), R ~) dense in/~oc(]~(~, #), R m) (per es. E = LI~ #), R'~)).

G1-USEPPE PULVIEE:NTI - G1-USEPPE SANTAGATI: iProeessi di eontrollo, eve. 43

~(") dimostr iamo che r ins ieme D ~ o s ~ A z ~ o ~ . - Fissato (% v/) e ~.~ ,

{v(o..~.)z(. ; (% ~), v) : u e Z~oo(Z(~, ~), ~ ' ) }

denso in ~,(~), cio~ che, per ogni 0 c ~(~) aperto e non vuoto, esiste U e Z~o~(Z(~ , fl), R ~) tale che y(,,.~,)z(.; (% ~), U) e 0. A tale scopo, cominciamo con l 'osservare che, posto, per ogni (x, y) e L ( ~ - - a , f i - -b) , .~(x, y) = A(x + a, y + b), .B(x, y) = B(x -J- a, y + b), C(x, y) = C(x -+- a, y + b), si ha -~, B, C, _~., B~e C~ - - a, fl - - b), R~'"). Quindi, posto, per ogni ~ e I ~ * ( L ( ~ - a, f l - b), R~),

lccito applicare all 'operatore _P il Teorema 3.1 di A. VILLA~I [7]; pertanto, fissato un qualsiasi U 1 e Z~oc(L(~ , fl), R ~) e posto, per q.o. (x, y) ~ L(~ - - a, fl - - b), .F(x, y) = = F(x + a, y + b), Ul(x,y) = U~(x + a, y + b), r isultando ~U~eZ~o~(L(o;--a, f l - -b) , R~), si ha cho per ogni (g, z) e ~,(~) esiste una ed una sola soluzione ~ ( . ; (g, ~)) del problema

{ ~ ~ F~*(JL(o: - - a, ~ - - b), R n)

y(0.o)~ ---- (a, ~);

~.nzi l 'applicazione (g, ~) -+ ~( . ;(g, ~)) ~ affine e continua 4a ~(~')in l ]~*(Z(a- a, fl - - b), R ' ) . Per il Teorema 2.3 l 'applicazione (a~ ~) --> y(,,_,.b,_b)~(" ; (a, ~)) ~ affine

~(') allora anche e continua da ~.~(") in s~. Per tan to , se 0 ~ nn aperto non vuoto di ~.~ ,

ol = {(~, ,) e e(,). (~, ,)) e o} ~.~ �9 ~ ( a , _ a , b , _ b ) W ( " ;

un aperto di ~(~); inoltre 01 ~ non vuoto, come 6 facile verificare utilizzando an ragionamento analogo a quello seguito nclla nora (6) di A. VIL~.A~I [8]. Poich~ (E) completamente ~(~)-~-controllabile re la t ivamente a4 (a, b) esiste U 2 e Z~oc(Z(~ , fl), R m) tale che, posto z~ = z( . ; (q, ~), Us), si ha y(~.b)z2e01. Dct to (cfr. ancora la nora (s) di A. VILLA~I [8]) zl ~n elemento di l~*(Z(~, fl), R n) tale che .Pz 1 = ~ U 1 e y(a.b)z~ = = y(~.b)z2, si ha~ come ~ facile verificare,

zl(x , y) - - ~ (x - - a, y - - b; y(a.b)z2) V(x, y) ~ Z(~, f l)~L(a, b);

posto

i z~(o~, y) , V(x, y) e Z(a~ b) Za(X~ Y) [ z~(x, y) V(x, y) e Z(~, /5) \Z(a , b),

~ GIUSEPPE PULu - GIUSEPPE S.~NTAGATI: Proeessi di vontrollo, eee.

risulta (per es. utilizzando il Teorema 2.1) z~e I~*(L(~,f l ) , t l ~) e quindi

(Pza)(x, y) = ~(x , y) U~(x, y) q.o. (x, y) e.L(~, fl) ,

esse~ado U~ l 'elemento di Z~oo(L(~ , fl), R ~) dar da

U~(x, y) q.o. (x, y) e ~5(a, b)

U~(x, y) = U~(x, y) q.o. (x, y) ~ L(o~, f l ) \L (a , b) .

Poich~ y(0,0)zs = y(o.o)Z~= (% y~) si ha, in defini~iva~ z s = z( . ; (% ~), U~). D'al tr~ par- to~ poich5 y(~,~)z.~ 0~, risulta 7(~,,~,)zs = y(a, b,)Zl : y(a,_a,b, b)W(" ; ~(a,b)Z2) ~ O.

I1 teorema ~ cosi dimostrato.

OSSEnVAZm~E 5.1. -- L 'Esempio 5.1 di A. ViLLA~I [8] mostra snche che, se il proeesso di controllo (E) 4 completamente ~(~')-s-controllubile re la t ivamente ad (a~ b), non ~ det~o che esista an in~orno J di (a, b) ~ale che (E) sia eomple tamente ~(~)-e- controllabile relativamen~e ad ogni (a'~ b ' ) e J , come facilmente si verifica utiliz- za~do il suceessivo Corollario 6.1.

6. - Una caratterizzazione della completa ~')-s-controllabilith.

Allo seol0o di dare una ulteriore condizione necessaria e sufficiente di completa ~,(~)-s-controllabilits di pifi facile utilizzazione rispetr a qaelle espresse dalle Pro- posizioni 4.1 e 4.2, cominciamo con Posservare ehe, per and nota propriet~ delle trasformazioni lineari (err. ad es. A. WILA~SKY [10], Corollary 11-1-8), dalla Pro- 1)osizione 4.1 segue che

PI~OPOSIZIONE 6.1. - Condizione neeessaria e su//ieiente a//ineh~ it provesso di eon- troll, o (]]) sia eompletamente ~(~%e-vontrollabi~e rdativamente ad (a, b) e ]0, ~[ • ]0, fl[ ehe F applieazione

Ai,,b): (~.(~))'-+ (Lroo(Z(~ , fl), Rm)) ' ,

aggiunta di A(~.b), sia iniettiva.

Osserviamo che, se X ~ un sottoinsieme misurabile di R d e p e [1, @ c~[, l 'appli- cazione che ad ogni ~ ~L~'(X, R~), l i p ~- 1 / p ' = 1, f~ corrispondere Pelemento 2J di

w))' dato da

Z(1) =J~*(x l , ..., x~)I(xl, ... , xd) dxl ... dx~ Vl L~oo( X , R ~ )

X

un isomorfismo algebrico e topologieo t ra I~ ' (X, R ~) e (L~oc(X, RS)) '. Per tan to identifieheremo tall spazi mediante il suddet to isomorfismo.

G I U S E P P E ~ U L V I I ~ E ~ T I - G I U S E P P E S A N T A G A T I : Processi di eontrollo~ ece. 45

Osserviamo che, in virtfl della Proposizione 2.4, l'applieazione che ad ogni (q, ], g) e R"•162 + ~x)[, R") • + c~[, R") associa l 'elemento (~, ~p) di 2(~ ") date da

~(t) = q + f ~ ( ~ ) a~ Vt e [o, + ~ [ , 0

t

w(t) = q +fg(~) a~ vt e [0, -[- c~[, 0

m~ isomorfismo algebrico e topologico tra R ~ • , + c~[, R ~) • Z~oc([O , + c~[, R") ~(n)

e , . ~ ,

Dalle osservazioni precedenti si deduce ehe, se p e [1, + c~[, l'applicazione che ad ogni (2, #, ~) e R~XL~'([0, + c~[, R") XL~'([O, + cr R') assoeia l 'elemento Q di (~(~"))' dato da

+ c o + c o

(6.1) ((% ~p), Q} = ~*~0(0) ~-f#*(t)qJ(t) dt -~- fv*(t)~o'(t) dt V(~, V) e ,.,~(~') 0 0

un isomorfismo algebrico e topologico tra R ' • L~' ([0, ~- oo[, R ~) • J5~' ([0, + c~[, R") e (~(~))'. Identificheremo, quindi, tali spazi mediante il s~ddetto isomorfismo.

i In virtfi delle identificazioni fatte A(~,b ) l~ub essere riguardata, se p E [1, ~ c~[, come un'aloplicazione lineare e continua da R" • + c~[, R") • + c~[, R") in Z~'(Z(~, fl), R~). Preeisamente, posto, per ogni U e Z~oc(L(~, fl), R~), A(~.b ) U = ---- (O~(a,b) U, T(a,b ) U) e i o e

a+t b

0 0 a b+t

o 0

tenendo presente la (6.1), si ha, per ogni (~,/~, v)eR"• ~-c~[, R")XZ~'([0, + ,~[, R"),

(6.2) (U, A~..o(~, tt, v)) = ((a(o,b)U, z(.,b)U), (~, re, v)) = ~*(a(~.oU)(O) + + c o +(:,o

0 0

Fissato un qualsiasi intervallo [tl, t~] c_ [0, ~- c~[ e posto D : [0, a ~ t~] • [O, b], si ha, con le notazioni del n. 3, per ogni t ~ [tl, t~],

a+t b

0 0

46 GIUSEPPE P U L V I l C E N T I - GIUSEPPE SAI~T• .Proeessi di eontrollo, eee.

quindi, per noti teoremi di derivazione sotto il segno di integrale (cfr. ad es. M. VoI~- PATo [9], Teorema 2 e formula (48)), risulta, per q.o. t e [t~, t~],

a + t b

~'~t ( f f(a,b) U ) ( t ) "---- f f Tl:~)(u, v; a -~ t, b)F(u, v) U(u, v) du dv -~ 0 0 b

+ fcu(~'(a + t, v; 4 + t, b)f(a @ t, v) U(a @ t, v) dv 0

o Y v e r o

(6.3)

a + t b

~(a(a,b)U)(t)=f fV~(u,v;4 +t ,b)F(u,v)U(u,v)dudv-~ 0 0 b

+ f v(4 + t, v; a + t, b)N(a @ t, v) U(a @ t, v) dv; 0

per l 'arbitrariet~ di Its, t~] la sulta, per q.o. t e [0, ~ oo[,

a b + t

(6.4)

(6.3) sussiste per q.o. t e [0,-~oo[; analogameate ri-

0 0 a

-~ f V(u, b -~ t; a, b + t)f(u, b -[- t) U(u, b ~- t) du . 0

Da (6.2), (6.3), (6.4) segue che, per ogni (~,/~, v) ~ R'XL~'([0, ~- c~[, R ~) • + c~[, R') ed ogni U ~ L~o~(Z(~ ,/~), R ~) si ha

a b

(U, A~a,b,(~ ,/~, ~)) -~f f~* V(u, v; a, b)~(u, v)U(u, v)du dv + O 0 +co a b

0 0 0 + ~ a+t b

+ f~*(t) dtf f v~(u, v; 4 + t, b).~(u, v)U(u, v)du dv Jr 0 a 0 +oo b

+ f~*(t) atf v(a + t, v; 4 + t, b)f(4 + t, v) V(4 + t, v) av + 0 0 +co a b

+ f~*(t) dt f f V~(u, v; a, b + t)~(u, v)U(u, v)du dv + 0 0 0 +c~ a b+ t

+ f~*(t) dt f f vv(u, v; a, b + t)P(u, v)U(u,v)du dv ~- 0 0 b -~co a

+ f~*(t) at f r(~, b + t; 4, b + t)F(~, b + t) V(~, b + t) a~ = 0 0

G I U S E P P E t ) U L V I R E N T I - G I U S E P P : E S • t)roeessi di eontrollo~ eve. 47

a b + c o

0 0 0 + c o

0 + c o b + c o

a 0 u - - a

+ #*(u --a) V(u, v; u, b)}f(u, v) U(u, v) dudv -4- a + r -I-oo

+f f{ o,b + + 0 b q)--b

~- v*(v - - b) V(u, v; a, v)}2~(u, v) U(u, v) du dv =

= <~, ~ ( ' ; (~, t,, ~'))>,

avendo denotato con H ( . ; (~,/~, v)) l 'e lemento di Z~'(L(~, fl), R ~) dato da

(6.5) ~*(~, ~; (~, /~, ~)) =

{~* r(~,, ~; ~, b) +f[~ ,*(t )V.(~ , ~; ~ + t, b) + 0

-]- v*(t) V~(u, v; a, b + t)] dt}.E(u, v)

q.o. (u, v) e [0, a [ • [O, b[

U--6

q.o. (u, v) e [a, -]- co[• [0, b[ + c o

v - - b

q.o. (u, v) c [0, a[ • [b, + co[

o q.o. (u, v) c Z(~, f l ) \L(a, b),

quin4i

A~,b)(~ , #, v) ---- H(' ; (~,/~, v))

V(~, ~, ~) e R" • L~'([0, + col, R")/L~'([O, + col, R").

Da quanto osservato e dMla Proposizione 6.1 segue il

TE01~E~A 6.1. -- Condizione nevessaria e su]]iviente a]]invh~ il proeesso di von- trollo (E) sia vompletamente ~.(~)-s-vontrollabile relativamente ad (a~ b)e]0, ~[• fl[,

3 - ~ i n n a l t d i M a t e m a t i c a

48 GI~S:EPPE PULVIRENTI - GIUSEPPE SANTAGATI: Proeessi di eontrollo~ ecv .

p e [1, + cob ~ vhe il problema

{ (~, ~, ~) e r~ x L['([o, + col, r ~) x z~'([o, + co[, r ' ) (6.6) H ( u , v ; ( ~ , / t , v ) ) = O q.o. (u,v) eL (a ,b )

(H dato dalla (6.5)) abbia soltanto la soluzione nulla, o, equivalentemente, che si abbia

L(a,b) v(~, if, ~) e r~ xLf([0, + co[, r ~) xZ~'([O, + co[, r~)\{O}.

I1 teorema precedente si pub facilmente applicare ad una classe di processi di controllo scalari che frequentemente vengono considerati in va.rie quest ioni di teoria dei controlli; si ha infatt i il seguente

CO~0LLA]r 6.1. - 2iano n = m = 1, p e [1, -~ co[. Condizione necessaria e su]- ]iviente a]]invh~ i~ proeesso di eontrollo

(6.7) z~ = ~(x, y) U(x, y) q.o. (x, y) e L(~, fl)

sia vompletamente ~(~)-e-eontroIlabile relativamente ad (a, b)e ]0~ :r ]0~ fl[ ~ vhe posto

S -~ {(x, y) eL (a , b): ~(x, y) # 0},

S~(x) -~ {y e [O, b[: (x, y) e S} Vx e [a, ~- co[,

S~(y) ~-- {x e [0, a[: (x, y) e S} Vy e [b, -~ co[,

si abbia

(6.8)

(6.9)

(6.10)

(m~ misura di JSebesgue su R~).

([o, a[• hi))> o, ml(21(x)) > 0 q.o. x e [a, -~ co[,

m~(S:(y)) > 0 q.o. y e [b, ~- col ,

DI~0STRAZIONE. -- Si ha A ~-- B ---- C ~ 0 ( q u i n d i V(u, v; x, y) ~ i i n T(~ , fl) e

pertanto, per ogni (2, #, v) e R• + co[, R) • ~- co[, R),

H(u, v; (~,/~, ~)) = # (u - - a )F(u , v)

~(v - - b )F(u , v)

0

q.o. (u, v) e[O, a[ • [0, b[

q.o. (u, v) e [a, ~- co[X [O, b[

q.o. (u, v) e [0, a[ • [b, + oo[

q.o. (~, v) e L(~, fl)\L(a, b).

GlvsEPPE PVLV~EN~I - GrUSEPPE SANTAGATI: Proeessi di controlIo, eee. ~9

S e i l lorocesso (6.7) ~ comple tsmente ~(~l)-s-controllabile re la t ivamente 84 (a, b), per il teorema preeedente, da (~, #, v) :# 0 segue H(u, v; ($, #, v)) ~ 0 in un sottoin- sieme di Z(a, b) di misur8 posi t iva; so, in psrt icolare, si fissa ($,/t, v) ---- (1, 0, 0) si ot t iene 18 (6.8); se si fissa, 10oi, (~,/t, v) ~ (0, l~_a, 0) essendo E un 8rbitrario sot- toinsieme l imitato di [% + oo[ di misuru loositiv8 e 1~_~ la funzione indicatriee di

- - a , si ot t iene ~(u , v ) r 0 in un sottoinsieme di E X [0, b[ di mis~ra posit iv8 e, quindi~ per l '8rbitrariet~ di E, la (6.9); ans logsmente si 10rov~ la (6.10).

Viceversa, se sono verificate le (6.8), (6.9), (6.10) e se (~, #, v) ~ soluzione del pro- b lema (6.6), si ha immedia tamente (~,/~, v) ~ 0; quindi, per il Teorema 6.1, il pro- eesso di controllo (6.7) ~ completamente ~(~)-e-controllabile re la t ivamente ud (a, b).

7. - A l c u n e o s s e r v a z i o n i .

OSSE~VAZIOEE 7.1. -- l%elativsmente alla completa S(~)-e-controllabilit~ vale un'os- servazione per fe t tamente ansloga all 'Osservszione 7.2 f s t tu in A. VILLAS1 [8] 9roposito della comlolet8 ~(~n)-controllsbilit~.

OSSE~V• 7.2. -- Se i l proeesso eli eontrollo (E) ~ comple tsmente ~(~)-control- 18bile re la t ivamente 8d (a, b) ~ ]0, ~[ • ]0, fl[, esso risulta, ovviamente, coml01etamente ~(~')-e-controllabile rc la t ivamente ad (a, b), ma non ~ vero il viceversa, come mostra il seguente esempio.

:EsEiv~IO 7.1. - Sisno g = fl ~ -[- oo; n : m --~ 1; p ~ [1, + o o [ ; A -~ B = C ~ O (quindi V(u, v; x, y) ~ 1 in T ( + co, ~- c~)) ; E(x, y) ~ x - - 1 per ogni (x, y) e / ~ ( + oo, -]- co); (% b) = (1, 1).

Dul Corollario 6.1 segue immedia t smente che il processo di controllo (E) 6, in questo cas% comple tsmente ~(~l)-e-controllsbile re la t ivamente a (1, 1).

D'81tra ps~te non si ha completa ~,(~)-control!abilit~ re ls t ivamente 84 (1, 1); infatt i , r i s~ tando , per ogni U e L~oc(L(+ co, @ oo), R),

(AU)(x, y) = (u -- 1) U(u, v) du dv V(x, y) e L ( + eo, -t- c~), 0 0

se l 'applieazione A(1,1 ) fosse (err. la Proposizione 4.3 di A. VILLAS1 [8]) surgett iva, allora, 10osto

~(t) - - ~(t) - - t Vt ~ [o, + c~[

e det to U un elemento 4i L~oo(Z(+ 0% + oo), R) tale che A(1,1)U = (2, 4), si avrebbo in part icolare

1 + 5 1

0 0

50 GIUSEPPE PULVII~ENTI - GIUSEPPE SANTAGATI: _Proeessi di eontrollo~ eee.

da eui 1

f u(t + 1, v) dv = 1 q.o. t e [0, + co[ , t

0

1

il ehe ~ assurdo perch~ la fUllzione t --->fU(t - / 1 , v) dv a p p a r t i e n e a Z~oc([0 , ~- oo[, R) . 0

B I B L I O G R A F I A

[1] R. DI VI~CCENZO - A. VILLANI, Sopra un problema ai limiti per un'eqnazione lineare del terzo ordine di tipo iperbolico. Esistenza, unicit5 e rappresentazione della solnzione, Le Matematiche, 32 (1977), pp. 211-238.

[2] S. A. MINYUK, Control and Observation Theory o] Hyperbolic Systems, Differential Equa- tions, 15, ~. 9 (1979), pp. 1146-1152.

[3] G. PULVII~ENTI - G. SANTAGATI, Atenne osservazioni sulla controllabilit5 completa di nn processo di cantrollo con parametri distribniti, Le Matematiche, 28 (1973), pp. 196-207.

[4] G. PUI~VII~ENTI - G. SANT),GATI, Sulla controlIabilit~ eompleta in luogo determinato ed in lnogo variabile per nn processo di controllo con parametri distribniti, Boll. Un. Mat. Ital., 11, Suppl. fasc. 3 (1975), pp. 316-328.

[5] G. PUI, VII~ENTI - G. SAN~AGXT/, Sulla controllabilit~ in luogo variabiIe del processo di con- trollo z~ ~- A(x, y)z~ ~- B(x, y)zv + C(x, y)z = f(x, y, U(x, y) ), in corso di pubblicazione su Le 5~atematiche.

[6] M. B. SURVANARAYANA, A Sobolev Space and a Darboux Problem, Pacific J. Math., 69, (1977), pp. 535-550.

[7] A. VILLANI, Un problema al contorno per q~n sistema lineare iperbolieo sn un insieme non limitato, in corso di pubblicazione su Le Matematiche.

[8] A. VILLANI, Proeessi di controllo con parametri distribuiti in insiemi non limitati. Con- trollabilith completa esatta, in corso di pubblicazione su Ann. Mat. Pura Appl.

[9] M. VOLPATO, Snlla formula di Green nell'ambito delle fnnzioni continue rispetto ad una e misnrabili rispetto ad un'altra variabile, Nora I I I , Att i Accad. Naz. Lincei Rend. (VIII), 20 (1956), pp. 299-306.

[10] A. WILANSKY, Modern Methods in Topological Vector Spaces, McGraw-Hill, 1978.