03. Massimo, Minimo, Maggioranti e Minoranti. Insiemi Limitati. Estremi Superiori Ed Inferiori.

7/16/2019 03. Massimo, Minimo, Maggioranti e Minoranti. Insiemi Limitati. Estremi Superiori Ed Inferiori.

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3. Massimo, minimo, maggioranti e minoranti. Insiemi limitati. Estremi superiori ed inferiori.

3. Massimo, minimo,

maggioranti e minoranti.Insiemi limitati.

Estremi superiori edinferiori.




Sia A un insieme di numeri reali.

Def. Si dice massimo di A, se esiste, quelnumero M che appartiene ad A ed è maggioreo uguale di ogni altro elemento dell’insieme A

a M Aa

A M

Adimassimo M R A

≥∈∀

∈

⇔⊂ ,

Definizione: Massimo




Sia A un insieme di numeri reali.

Def. Si dice minimo di A, se esiste, quel

numero m che appartiene ad A ed è minore o

uguale di ogni altro elemento dell’insieme A

am Aa

Am

Adiminimom R A

≤∈∀

∈

⇔⊂ ,

Definizione: Minimo




Non tutti gli insiemi di numeri reali sono dotatidi massimo o di minimo!

Insiemi senza Massimo e minimo




Esempio 1.Sia A l’insieme dei numeri reali positivi

{ }0: >∈= x R x Aallora sicuramente possiamo affermare che

A e A maxmin ∃∃infatti lo zero sicuramente non può essere il

minimo poiché A∉0

Insiemi senza Massimo e minimo




Si può facilmente verificare che, seesistono, il massimo o il minimo di un

insieme sono unici

Dimostrazione (per assurdo):

siano dati M 1=max A ed M 2=max A con M 1

≠ M 2; allora vale che:

121

2

2

,

M M A M se

Aaa M

A M

≥⇒∈

∈∀≥

∈

Massimo e minimo sono unici

212

1

1

,

M M A M se

Aaa M

A M

≥⇒∈

∈∀≥

∈

M 1= M 2




Esempio 2. Consideriamo l’insieme N deinumeri naturali. Allora

max ma 1min N N ∃=∃Esempio 3. Consideriamo l’insieme Zp deinumeri relativi pari:

{ },...6,4,2,0,2,4..., −−= p Z

allora:

p p Z Z max e min ∃∃

Esempi




Esempio 4. Consideriamo l’insieme

,...1,...,

4

1,

3

1,

2

1,10 ed :

1

=

≠∈=n

n N n

n

B

1max ma min =∃∃ B B

allora

infatti

0

u

11/21/4

Esempi




Esempio 5. Consideriamo l’insieme I =]2,9[Sicuramente possiamo affermare che

max e min I I ∃∃

Esempi




Def. Un numero reale L si dice maggioranteper un insieme A di numeri reali se è maggiore

o uguale di ogni elemento di A. In simboli:

Aaa L Adiemaggiorant L ∈∀≥⇔ ,

Def. Un numero reale l si dice minorante per

un insieme A di numeri reali se è minore o

uguale di ogni elemento di A. In simboli:

,diminorante Aaal Al ∈∀≤⇔

Maggiorante e minorante: definizione




OSSERVAZIONE 1

ovviamente, il massimo ed il minimo di un

insieme, se esistono, sono ancherispettivamente un maggiorante ed un

minorante.

Ma NON è vero il viceversa

Relazione maggiorante/minorante con max/min




OSSERVAZIONE 2

Un insieme di numeri reali non sempre ammettemaggioranti o minoranti

Esempio. Sia dato l’insieme

{ }0: >∈= x R x Anon solo A A max e min ∃∃

inoltre A A imaggiorant ma minoranti ∃∃

(lo 0, così come tutti numeri negativi sono dei minoranti di A)

Maggiorante e minorante: osservazioni




I= [2,9]

I= (2,9]

I= [2,9)

I= (2,9)

Zp={…, ‐4, ‐2, 0, 2, 4, …}

N numeri naturali

D={x∈R : x<4}

C={x∈R : x>0}B={x∈R : x≥7}

A={x∈R : 5≤x≤12}

supInf Maggioranti

(esistono)

Minoranti(esistono)

MaxMinInsieme

Esercizio




Def. Un insieme A di numeri reali si dicelimitato superiormente se ammette unmaggiorante

Def. Un insieme A di numeri reali si dicelimitato inferiormente se ammette unminorante

Def. Un insieme A di numeri reali si dicelimitato se è limitato sia superiormente che

inferiormente. In simboli:

,:,limitato Aa Lal R Ll A ∈∀≤≤∈∃⇔

Definizione: limitato superiormente/inferiormente




Def. Sia A un insieme di numeri reali nonvuoto e limitato superiormente (⇒ammette

maggioranti). Allora si dice che M ∈ R èl’ estremo superiore di A se è il minimo deimaggioranti di A. In simboli:

xε M A xε

A x x M A M

<−∈∃>∀

∈∀≥⇔=

:,0

, sup

Definizione: estremo superiore




Estremi (sup e inf) di un insieme numerico

Def. Sia A un insieme numerico limitato superiormente.

Diciamo che M ∈R è l’estremo superiore di A, indicato col

simbolo supA, se M è il minimo dei maggioranti di A. Cioè,

M verifica le due proprietà:

A x x M i ∈∀≥ ,) x M A xii <−∈∃>∀ ε ε :,0)

0

u

M

M -ε

A




Def. Sia A un insieme di numeri reali nonvuoto e limitato inferiormente (⇒ammette

minoranti). Allora si dice che m∈

R èl’ estremo inferiore di A se è il massimo deiminoranti di A. In simboli:

xεm A xε

A x xm Am

>+∈∃>∀

∈∀≤⇔=

:,0

, inf

Definizione: estremo inferiore




Estremi (sup e inf) di un insieme numerico

Def. Sia A un insieme numerico limitato inferiormente.

Diciamo che m∈R è l’estremo inferiore di A, indicato col

simbolo infA, se m è il massimo dei minoranti di A. Cioè, m

verifica le due proprietà:

A x xmi ∈∀≤ ,) xm A xii >+∈∃>∀ ε ε :,0)

0

u

m

m+ε

A




TEOREMA. Sia A un insieme di numeri reali,con A ≠ , allora vale che:

• se A è limitato superiormente ⇒ Aammette estremo superiore

• se A è limitato inferiormente ⇒ Aammette estremo inferiore

Limitato sup/inf => estremo superiore/inferiore




OSSERVAZIONE. Se A è un insieme dinumeri reali, con A ≠ e non limitatosuperiormente, allora si pone:

+∞= Asup

Allo stesso modo, se A è un insieme dinumeri reali, con A ≠ e non limitatoinferiormente, allora si pone:

−∞= Ainf

Limitato sup/inf: osservazioni




Ogni insieme di numeri reali diversodall’insieme vuoto ammette sia estremosuperiore che estremo inferiore.

In particolare:

• se è limitato superiormente, ammetteestremo superiore finito

• se è limitato inferiormente, ammetteestremo inferiore finito

Limitato sup/inf: osservazioni




Esempio 1. Consideriamo l’insieme dei numerireali positivi

Vediamo le diverse proprieta’

{ }0: >∈= x R x A

A A max e min ∃∃

A A imaggiorant ma minoranti ∃∃

Inoltre possiamo dire che

+∞== A A sup e 0inf

Limitato sup/inf: esempi




Esempio 2. Sia dato

abbiamo già detto che

Inoltre possiamo dire che

+∞=−∞= p p Z Z sup e inf

{ },...6,4,2,0,2,4..., −−= p Z

p p Z Z max e min∃∃

p p Z Z imaggiorant e minoranti ∃∃





Esempio 3. Consideriamo di nuovo l’insieme

,...1,...,4

1,3

1,2

1,10 ed :

1

=

≠∈=n

n N nn

B

1max ma min =∃∃ B B

Abbiamo già detto che

inoltre possiamo dire che

1maxsup e 0inf === B B B





Esempio 4. Consideriamo l’insieme

,...1

,...,4

3,3

2,2

1,00 ed :

1

−

=

≠∈−

=n

nn N n

n

nC

1sup , max , 0inf min =∃∃== C C C C

allora vale che

0

u

11/2 2/3 3/4


Li it t /i f t i fi




Esempio 5. Consideriamo l’insieme E =[2,7)allora si ha che E è limitato sia superiormente cheinferiormente e vale che

7sup , max , 2inf min =∃∃== E E E E

x E x

x E x

<−∈∃>∀

≥∈∀

ε ε 7:,0

7,0

u

72

7-ε

E

Limitato sup/inf: rappresentazione grafica

C bbi i t




Cosa abbiamo imparato

,

dimassimo

≥∈∀

∈⇔

a M Aa

A M A M

≥∈∀

⇔a L Aa

A L,

diemaggiorant

aε M Aaε

a M Aa A M

<−∈∃>∀

≥∈∀⇔=

:,0

, sup

C bbi i t




Cosa abbiamo imparato

1. massimo minimo (def. punto)

2. maggioranti e minoranti (def. punto)

3. insiemi limitato superiormente e inferiormente

(def. Insieme)

4. estremi superiori ed estremi inferiori (def.punto)

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