Proc solescercaparabolastaccasegmentosuassex
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METODO D
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TESTO DELL’ESERCIZIO
Libro “Nuova Matematica” a colori 3 vol di Leonardo Sasso, editore Petrini
Pag. 443 n.290
“Utilizzando il metodo dei fasci, scrivi le equazioni delle parabole che soddisfano le condizioni assegnate” :
passa per i punti A(0,1) e B(-1,0) e stacca sull’asse x una corda di misura 2.
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1) DALL’ANALISI DEL TESTO AL PROCEDIMENTO passa per i punti A(0,1) e B(-1,0)
Supponiamo che i due punti siano i due punti base di un fascio di parabole.
a) Pertanto la prima operazione da fare è quella di scrivere l’equazione del fascio con i due punti base assegnati A e B
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2) DALL’ANALISI DEL TESTO AL PROCEDIMENTOe stacca sull’asse x una corda di misura 2.
Occorre determinare una corda della parabola sull’asse x
Pertanto è necessario Trovare le intersezioni del fascio di parabole con l’asse x Quindi scrivere la lunghezza del segmento corda Ed imporre che questa lunghezza misuri 2
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3) DETTAGLIO DEL PROCEDIMENTO DELLA SOLUZIONEscrivere l’equazione del fascio con i due punti base assegnati
A e B
Conoscendo I punti base conviene:
trovare subito le due parabole degeneri
Scrivere I’equazione del fascio come combinazione lineare delle due parabole degeneri
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4) DETTAGLIO DEL PROCEDIMENTO DELLA SOLUZIONETrovare le intersezioni del fascio di parabole con l’asse x
Si determinano I due punti di intersezione come funzioni del parametro k
x1=f(k) x2=g(k)
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5) DETTAGLIO DEL PROCEDIMENTO DELLA SOLUZIONE scrivere la lunghezza del segmento corda
Si prende il valore assoluto della differenza dei due punti di intersezione x1 e x2
=
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ATTENZIONE EVITARE I POSSIBILI ERRORI
Se non si introduce il valore assoluto e si scrive =
Si perdono delle soluzioni. Ossia si trova una sola soluzione anzichè due!
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ATTENZIONE ALLE VARIANTI
Se il testo chiedesse di determinare la parabola che stacca una corda di lunghezza data, su di un asse obliquo di cui si conosce l’equazione della retta y=mx+q,
Allora dovrei fare il sistema tra il fascio di parabole e l’equazione di quella retta, ed i punti di intersezione P1(x1,y1), P2(x2,y2) avrebbero anche un’ordinata non nulla.
In tal caso quando scrivo la lunghezza del segmento della corda uso la formula della distanza di due punti:
Naturalmente questa formula si riduce al valore assoluto, quando I due punti hanno le ordinate nulle: =
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6) DETTAGLIO DEL PROCEDIMENTO DELLA SOLUZIONEQuindi si uguaglia la lunghezza della corda al valore d dato dal
problema
=d
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SVOLGIMENTO I
Le Parabole degeneri passanti per I punti base A(0,1) e B(-1,0)
le due rette verticali di ascissa 0 e -1:
x = 0 x(x+1)=0x =-1
La retta passante per I due punti A e B:
m = Δy/ Δx= (0-1)/(-1-0)=1
y-y1=m(x-x1) => y-1=x
y= x+1
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SVOLGIMENTO II
L’equazione del fascio costruito con le generatrici parabole degeneri
Y=mx+q+k(x-x1)(x-x2)Sostituendo le equazioni delle parabole degeneri trovate:
y = x+1 + kx(x+1)
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SVOLGIMENTO III
Per determinare le intersezioni con l’asse x
Faccio il sistema tra l’equazione del fascio e l’equazione dell’asse x
y = x+1 + kx(x+1) y = 0
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PASSAGGI ALGEBRICI
x1= x2=
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DISTINGUO DUE CASI: PRIMO CASO, PRIMO SOTTOCASO
a)Per k 1 si ha:
x1 x2
La lunghezza del segmento è: devo pertanto considerare due sottocasi Se , allora si ha =
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PRIMO CASO, SECONDO SOTTOCASO
Se , allora non posso avere soluzioni perchè sto lavorando sempre nel
caso a) con k1
Pertanto nel primo caso non ci sono soluzioni.
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SECONDO CASO, PRIMO SOTTOCASO
b) Per k 1 si ha:
x1 x2
La lunghezza del segmento è: devo pertanto considerare due sottocasi Se , allora si ha = Soluzione accettabile perchè positiva e minore di 1.
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SECONDO CASO, SECONDO SOTTOCASO
Se , allora si ha =
Soluzione accettabile perchè k minore di zero e quindi anche di 1.
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RIEPILOGO DELLE SOLUZIONI
Abbiamo quindi trovato due soluzioni accettabili:
K=1/3
K=-1
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LE EQUAZIONI DELLE PARABOLE CERCATE 1.Sostituiamo k=1/3 nella equazione del fascio di parabole
y = x+1 + kx(x+1)
quindi otteniamo:
y = x+1 + x(x+1) ovvero y=
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LE EQUAZIONI DELLE PARABOLE CERCATE 2.Sostituiamo k=-1 nella equazione del fascio di parabole
y = x+1 + kx(x+1)
quindi otteniamo:
y = x+1 -x(x+1) ovvero y=
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FINE