Lezione 3 PROBLEMI GEODETICI DELLA TOPOGRAFIA (estratto dal testo Inghilleri: Topografia)

Teorema di LEGENDRE.

Il Teorema di LEGENDRE, permette di risolvere un triangolo sferico, contenuto nel campo

geodetico, con gli algoritmi della trigonometria piana.

Triangolo sferico

Prima di dare l'enunciato di questo teorema è necessario precisare che la somma dei tre angoli A,

B e C di un triangolo sferico è superiore a π di una quantità, che si denota con 3ε, chiamata

eccesso sferico, e cioè

A + B + C - π = 3ε;

si dimostra facilmente che l'eccesso sferico è numericamente valutabile, in radianti, facendo il

rapporto fra l'area S del triangolo ed il quadrato del raggio della sfera e cioè

Si può ora osservare che, dato un triangolo sferico di lati a, b e c, si può sempre costruire un

triangolo piano che ha i lati rettilinei di lunghezza a, b e c, per cui se si conoscono le relazioni

che legano gli angoli, noti, del triangolo sferico, a quelli, incogniti, del triangolo piano, in modo

da poter derivare facilmente quest'ultimi dai primi, il calcolo dei lati del triangolo sferico

potrebbe essere eseguito con le formule della trigonometria piana.

L'enunciato del teorema di LEGENDRE è: Sia dato un triangolo sferico i cui lati l siano una

piccola frazione del raggio R della sfera e si assuma il rapporto l/R come quantità piccola del 1°

ordine; commettendo un errore dell'ordine di (l/R)4 gli angoli del triangolo piano che ha i lati

della stessa lunghezza dei lati del triangolo sferico si possono derivare dagli angoli di

quest'ultimo sottraendo ad ognuno di essi un terzo dell'eccesso sferico.

Per dare un'idea delle approssimazioni derivanti dall'applicazione del teorema di LEGENDRE, si

può notare che un triangolo sferico equilatero avente i lati di 60 km, ha una superficie di circa

1600 km2, che l'eccesso sferico vale circa 4 • 10-5 rad = 24cc, e che l'errore con cui si ricavano gli

angoli del triangolo piano è dell'ordine di limitando l'errore a 10-6

ponendo cioè (l/R)4 < 10-6 si può dedurre che deve essere l < 200 km, per cui il teorema di

LEGENDRE si può applicare a tutti i triangoli contenuti nel campo geodetico.

Per il calcolo di triangoli di dimensioni più grandi si potrebbero usare formule più complesse che

considerano l'eccesso ellissoidico, ma queste formule hanno un interesse più che altro teorico,

dato che con gli usuali strumenti di misura non si possono eseguire osservazioni fra punti che

non siano compresi entro il campo geodetico.

Per poter applicare il teorema di LEGENDRE occorre calcolare l'eccesso sferico, ovvero l'area

del triangolo sferico; si può a questo proposito dimostrare che a meno di errori dell'ordine di

(l/R)4, ovverosia nello stesso ordine d'approssimazione del teorema di LEGENDRE, l'area del

triangolo sferico può essere calcolata con le formule della trigonometria piana utilizzando gli

elementi sferici noti.

Il teorema di LEGENDRE fornisce in effetti un artificio per risolvere con le formule della

trigonometria piana un triangolo che andrebbe risolto impiegando le formule della trigonometria

sferica; l'applicazione del teorema di LEGENDRE non è più necessaria se i lati del triangolo non

eccedono in lunghezza i 15 km; in tal caso l'eccesso sferico è dell'ordine di 2,5 • 10-6 rad = 1,5cc e

la correzione da apportare ad ogni angolo è di 0,5cc inferiore cioè all'approssimazione con cui

sono in genere effettuate le misure di angoli. Si dimostra così, per altra via, che i calcoli relativi a

figure geometriche contenute nel campo topografico, da considerare sempre teoricamente

ellissoidiche, possono essere eseguiti impiegando gli algoritmi della geometria e trigonometria

piana.

DETERMINAZIONE DELLE COORDINATE CURVILINEE DI PUNTI SULLA

SUPERFICIE DI RIFERIMENTO

Determinazione delle coordinate geografiche mediante misure eseguite sulla superficie di

riferimento (coordinate ellissoidiche).

- Generalità.

Si consideri (fig. 1) un insieme di punti di inquadramento Pi sull'ellissoide congiunti a due a due

da archi di geodetica che si possono brevemente chiamare lati, in modo da formare dei triangoli

ellissoidici, o altre figure poligonali e si supponga di avere eseguito un numerò sufficiente di

misure di angoli e di distanze (in pratica il numero eccede il minimo necessario e si deve

eseguire una compensazione) in modo che, o per misura diretta o per calcolo siano note le

lunghezze di tutti i lati e gli angoli fra i lati.

Nel punto P0 (centro di emanazione) si determinino con misure astronomiche la latitudine ϕ0, la

longitudine λ0 e l'azimut α0 di una geodetica uscente da P0 e passante per uno dei punti Pi e si

assumino tali misure come riferentesi all'ellissoide; in altre parole si faccia la supposizione che

nel punto P0 la verticale (normale al geoide) e la normale all'ellissoide coincidano, ovvero che

nel punto P0 l'ellissoide di rotazione di semiassi a e c sia tangente al geoide. Per orientale

completamente l'ellissoide, che avrebbe ancora la possibilità di ruotare intorno alla normale, si

assuma l'azimut astronomico α0 coincidente con l'azimut ellissoidico.

Ciò posto, il problema fondamentale da risolvere per calcolare, con riferimento all'ellissoide, le

coordinate curvilinee dei punti di inquadramento Pi si può cosi enunciare: dato un punto O di cui

si conoscono le coordinate geografiche ellissoidiche ϕ0, λ0, noti la lunghezza s dell'arco di

geodetica compreso fra O ed un punto P e l'azimut α0 di tale geodetica in O, calcolare le

coordinate geografiche ellissoidiche ϕ, λ di P nonché l'azimut α della stessa geodetica in P.

Da notare:

a) L'operazione di orientamento dell'ellissoide riguarda le reti di punti di inquadramento del 1°

ordine, ovvero quelle reti di punti che vengono rilevate quando nella zona non esiste alcun

rilievo geodetico precedente, ed è stata descritta per motivi di chiarezza; nel caso più comune

nella zona del rilievo da eseguire esistono già dei punti rilevati a cui riferirsi; è quindi sempre

disponibile un punto O di coordinate geografiche note inserito nel rilievo, ed un azimut di

partenza desunto da un altro punto O' di coordinate geografiche note.

b) Il calcolo dell'azimut α della geodetica in P è richiesto perché in generale a partire dal punto P

si devono calcolare le coordinate geografiche di un altro punto Q della rete, per cui è necessario

conoscere l'azimut in P della geodetica PQ; il calcolo di questo azimut può facilmente eseguirsi

come mostra la figura 2 : una volta noto α si calcola l'azimut reciproco α+π, ovvero l'azimut in P

della geodetica PO, e si aggiunge l'angolo θ, che si suppone noto, fra la geodetica PO e la

geodetica PQ.

e) Le semplificazioni esposte in precedenza riguardano solo la maniera di determinare, con

misure o con calcoli relativi a figure geometriche ellissoidiche, le lunghezze di archi di

geodetiche e gli angoli fra le geodetiche fra punti dell'ellissoide; noti però questi valori la

determinazione delle posizioni dei punti, ovvero il calcolo delle coordinate curvilinee, va

eseguito tenendo debito conto che le linee che li congiungono sono geodetiche ellissoidiche;

negli sviluppi che seguono il fatto che si tiene conto che i lati della rete sono archi di geodetiche

ellissoidiche risulta dall’uso della relazione di CLAIRAUT che caratterizza questo tipo di curve.

Trasporto delle coordinate geografiche: problema diretto,

Fissato l'azimut α0 della geodetica uscente da O (fig. 3), le coordinate geografiche ϕ, λ di un

punto generico sulla geodetica e l'azimut α sono funzione solo della distanza s da O, ovvero

Queste funzioni non possono però essere espresse in termini finiti e occorre ricorrere ad uno

sviluppo in serie di TAYLOR, e cioè

II problema si riduce quindi a determinare le espressioni delle derivate che appaiono nelle [2] e

di specificarne il valore per ϕ = ϕ0, λ = λ0 e α = α0.

Fig. 3. Trasporto delle coordinate geografiche.

Si consideri (fig. 3) in un punto A generico della geodetica OP un elemento infinitesimo ds di

geodetica ed i due elementi infinitesimi ρdϕ ed rdλ di meridiano e parallelo; si determina cosi un

triangolo infinitesimo retto in B che, a meno di infinitesimi di ordine superiore si può

considerare piano; si ha quindi

da cui

e

proseguendo per le successive derivate si giunge a:

Da tenere presente che le coordinate geografiche vanno calcolate con l'approssimazione del

millesimo di secondo sessagesimale (5 • 10-9 rad) in quanto a tale quantità corrisponde per la

coordinata ϕ uno spostamento del punto lungo il meridiano di 3 cm, e per la coordinata λ uno

spostamento, lungo il parallelo, inferiore, tranne che all'equatore, in dipendenza del valore del

raggio r del parallelo. Ne deriva che il termine in s2 non può mai essere trascurato, mentre quello

in s3 raggiunge il valore di 0,001” per s = 10 km, per cui se ne deve tenere conto per archi di

geodetica da 10 a 60 km; a quest'ultima distanza il termine in s4 diventa dell'ordine di 5 • 10-9

rad; il termine in s5 può essere trascurato anche per valori di s di un centinaio di chilometri.

Non è necessaria ovviamente la stessa precisione di calcolo per il trasporto dell'azimut, ove è

necessario raggiungere un'approssimazione di un ordine di grandezza pari ad una frazione dello

scarto quadratico medio che caratterizza la misura diretta o la determinazione indiretta di un

angolo; tenuto conto che tale s.q.m. è dell'ordine di ± 0,5", l'approssimazione di 0,1" (5 • 10-7

rad) è da ritenersi più che sufficiente; la terza delle [11] è infatti arrestata al termine in s2, che

garantisce questa approssimazione sino a valori di s di 50 km, in analogia con gli altri sviluppi

riportati; si può dimostrare che con la stessa approssimazione α è dato dalla

dove

la differenza

viene chiamata convergenza dei meridiani relativa all'arco di geodetica OP.

Definizione di DATUM

Dal punto di emanazione, posto per l’Italia presso l’osservatorio astronomico di Monte Mario, le

coordinate geografiche ellissoidiche vengono propagate tramite una rete geodetica lungo il

territorio italiano. La possibilità dunque di determinare le coordinate geografiche di vertici sul

territorio, deve essere eseguito tramite il collegamento delle proprie reti topografiche ai vertici di

coordinate note propagate dal punto di emanazione.

- La definizione dell’ellissoide di riferimento (per l’Italia ellissoide Internazionale di

Hayford)

- Il suo orientamento (coincidenza tra normale e verticale fisica a Monte Mario)

- La definizione della quota ellissoidica a Monte Mario

- La definizione di un azimut noto (Monte Mario con il Monte Soratte in prossimità di

Roma)

- La rete che propaga le coordinate geografiche lungo il territorio

I punti precedentemente elencati concorrono alla definizione di DATUM. Il Datum italiano

prende il nome di RM40, in quanto la rete che propaga nel territorio il sistema di riferimento

ellissoidico fu misurata nel 1940.

La rete europea, European Datum, prende il nome di ED50, e utilizza anch’essa l’ellissoide di

riferimento di Hayford.

Nella figura successiva si riporta lo schema generale della rete geodetica di inquadramento

italiana, misurata con strumentazione classica (teodoliti e basi).