Topografia e Tecniche di Rilevamento

Definizioni.

Le misure in topografia.

Principi di statistica: le variabili aleatorie.

Distribuzione di Gauss.

Il metodo delle Osservazioni Indirette.

Le superfici di riferimento in topografia.

Le osservabili nel rilevamento topografico (angoli, distanze e dislivelli)

Richiami Utili al

Corso

Rilievo planimetrico: soluzioni tradizionali e calcolo con le Osservazioni Indirette.

Rilievo altimetrico: soluzioni tradizionali e calcolo con le Osservazioni Indirette.

Inserimento delle misure nei sistemi di riferimento locali e nella cartografia.

Metodi Tradizionali

di Rilevamento

Topografico

Movimenti del suolo.

Movimento delle strutture: Controlli e Collaudi tipici dell’ingegneria edile/civile.

Misure per il

controllo dei

movimenti e delle

deformazioni

Funzionamento del sistema.

Tecniche di posizionamento.

Precisioni raggiungibili.

Applicazioni.

Sistemi di riferimento e reti di stazioni GPS permanenti.

Il rilevamento

satellitare GPS

(Global Positioning System)

Insieme delle procedure teoriche ed operative finalizzate al rilievo (rilevamento)

di aree di limitata estensione e degli oggetti, naturali ed antropici, inclusi. Topografia

Rilevamento

Presuppone la determinazione delle posizioni relative ed assolute di punti

rappresentativi della zona che siano in grado di rappresentare il territorio e/o gli

oggetti contenuti con un livello di dettaglio che è funzione degli scopi del rilievo

stesso ed è correlato alla scala del rilievo o della successiva rappresentazione.

Disciplina che si occupa di definire la forma e la dimensione della Terra

attraverso teorie e procedure operative (una di queste è la Topografia). Geodesia

Definizioni Generali (1/2)

Superficie di

riferimento

La rappresentazione di aree più o meno estese della superficie terrestre

richiede l’adozione di una superficie di riferimento e di un sistema di

coordinate in grado di identificare la posizione dei punti rilevati e stabilire

delle relazioni analitiche fra gli stessi.

Caratteristiche

1. essere di semplice formulazione matematica;

2. approssimare nel miglior modo possibile la forma e la dimensione della

porzione di superficie terrestre su cui è svolto il rilievo;

3. consentire l’adozione di un sistema di coordinate per la

rappresentazione dei punti rilevati sul territorio.

Tipologie Ellissoide, sfera, piano

Definizioni Generali (2/2)

Sistema

Informativo

Territoriale

Contenitore di dati territoriali con capacità aggiuntive

elaborare le informazioni geografiche di base secondo diversi livelli di

complessità;

di produrre nuove informazioni utili alla gestione del territorio in senso

ampio (ambientale, politico, urbanistico, socio-economico ecc.).

Geographical

Information

System

Strumento (ambiente di lavoro, software) che consente di creare e gestire un

SIT.

Disciplina che ricerca e stabilisce le procedure che consentono di

rappresentare sul piano la superficie terrestre e le caratteristiche degli

oggetti presenti.

Cartografia

Richiami (1/3)

Misure

Topografiche

Distanze

Angoli

Metro (numero multiplo della lunghezza d’onda dell’elemento chimico

Cripto86)

Sistemi

Analitici

Radiante (valore dell’angolo sotteso da un arco di

circonferenza che presenta una lunghezza uguale

al raggio della stessa)

Sistemi

Geometrici

Grado sessagesimale (circonferenza 360°)

Grado centesimale (circonferenza 400°)

rr

r

r

29577951,572

360

017453293,0360

2

3602

Funzioni di

un angolo

r

y

r

x sincos

x

y

x

yarctan

cos

sintan

Richiami (2/3)

tan 90arctan90

Risoluzione

di Triangoli

Piani

180

Rcba

2sinsinsin

coscos cba

cos2222 bccba

Relazione tra gli angoli

interni

Teorema dei Seni

Teorema delle Proiezioni

Teorema di Carnot

y

x

r

α

α

β

γ

a

b

c

Precisione

ed

Accuratezza

Richiami (3/3)

Precisione

Quantifica lo scostamento

tra misure (o osservazioni)

successive

Accuratezza

Quantifica la vicinanza al

valore reale della

grandezza misurata

Errori nelle

misure

Sistematici Derivano da un difetto strumentale o dalla incorretta rettifica delle parti

costituenti. Non possono essere individuati a partire dalle misure eseguite.

Casuali

Dato dalla somma di tanti fattori concomitanti, si presenta ad ogni

determinazione spostandola dal valore vero che rimane puramente

teorico.

Cenni di Statistica (1/3)

Grandezza x n misure di uguale

precisione

Varianza della

Media

Media delle

misure

Varianza della

misura

n

i

in x

nx

n

xxxx

1

21 1...

n

i

ix xxn 1

22

1

1

n

i

ix xxnn 1

22

1

1

Scarto Quadratico

Medio

(Deviazione

Standard)

n

i

ix xxn 1

2

1

1

Grandezza x n misure di diversa

precisione

n

i

i

n

i

ii

n

nn

p

px

xppp

pxpxpxx

1

1p

21

2211p

...

...

n

i

iix xxpn 1

2

p

2

1

1

n

i

iin

i

i

x xxp

pn 1

2

p

1

2

)1(

1p

n

i

iix xxpn 1

2

p1

1

Grandezze

Mono

Dimensionali 2

20

i

ip

Grandezze

Multi

Dimensionali

Covarianza

n

i iixy yyxxn 11

1

Misura il grado di correlazione tra coppie di variabili (a

due a due) che definiscono una grandezza n-dimensionale

2

2

2

),,(C

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zyx

Matrice di

Varianza-

Covarianza

Contiene informazioni complete sugli errori associati alle

variabili stimate

Nei problemi del rilevamento (topografia, geodesia, rilevamento satellitare, fotogrammetria,

ecc.) si effettuano diverse misure (osservazioni) per determinare i parametri incogniti del

problema (che normalmente sono le coordinate dei punti). Tali misure non possono essere

trattate singolarmente sia a causa dell’effetto che hanno l’una sull’altra, sia per la dipendenza

statistica presente tra di esse.

1. la matrice è simmetrica;

2. gli elementi diagonali sono positivi;

3. la matrice non deve essere singolare (ossia la matrice deve

essere invertibile, ossia il determinante deve essere ≠ 0).

Caratteristiche

Cenni di Statistica (2/3)

Coefficiente di

Correlazione yx

xyyxxy

Misura la forza della correlazione tra due variabili

Casi possibili

10

0

01

Correlazione negativa

Non correlazione

Correlazione positiva

Probabilità

p(x)

Cenni di Statistica (3/3)

Rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili

Limiti 1. il numero dei casi possibili deve essere finito;

2. gli eventi devono essere equi-probabili.

Frequenza

f(x) Rapporto tra nx (numero di casi in cui si verifica l’evento) e ntot (numero di repliche totali)

)()(lim xpxfn

All’aumentare del numero di repliche totali la frequenza f(x)

dell’evento x si stabilizza e tende alla probabilità p(x) dello stesso

evento

Probabilità

Totale

Probabilità

Composta

)()()( ypxpyxp

)()()( ypxpxyp

Probabilità che uno dei due eventi si

verifichi

Probabilità che entrambi gli eventi si

verifichino

x, y sono eventi

non correlati

Distribuzione

di Gauss

Si può dimostrare che gli errori casuali di misura appartengono ad una distribuzione gaussiana

del tipo N(0, σ2), ossia con media 0 e varianza σ2. Quindi le misure appartengono ad una

distribuzione gaussiana del tipo N(μ, σ2).

Densità di

Probabilità È la funzione che rappresenta la dispersione di misure soggette ad errori casuali. Identifica la

probabilità che un certo evento si verifichi.

2

2

1

e2

1)(

x

xf

Caratteristiche

1. il valore medio μ è anche il più probabile;

2. ha due flessi in corrispondenza dei punti μ±σ;

3. al crescere di σ2 (determinazioni meno precise) la curva si

appiattisce;

4. la funzione è tale che

1d)( xxf

Distribuzione di Gauss per variabili monodimensionali (1/2)

Densità di

Probabilità Consente di calcolare la probabilità che una misura x cada nell’intervallo dei valori A – B

B

AxxfAfBfBxAP d)()()()(

xxxxP

x

x

x

de2

1),(

2

1

2

2

1

21

L’integrale può essere calcolato ma

dipende dal set di misure effettuato (μ, σ).

Per svincolarsi da questa condizione, si

procede alla standardizzazione della

funzione con l’introduzione della

variabile normalizzata u.

2

2

1

e2

1)(

u

ufx

u

%73,99de2

1)]3,3([

%45,95de2

1)]2,2([

%27,68de2

1)],([

3

3

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

2

2

2

uxP

uxP

uxP

u

u

u

Probabilità degli

intervalli particolari

Tutte le misure x per cui vale la

condizione |x – μ|>3σ

possono essere considerate

affette da errore grossolano

(condizione di tolleranza).

Distribuzione di Gauss per variabili monodimensionali (2/2)

Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria (1/3)

Grandezza

fisica x

n misure

(x1, x2, …, xn)

1. stima del valore più plausibile della grandezza fisica x;

2. stima della varianza di ogni misura (x1, x2, …, xn);

3. stima della varianza del valore più plausibile.

x può essere considerata una

variabile aleatoria n-

dimensionale in cui le n

determinazioni sono tutte

indipendenti e soggette a sole

fluttuazioni casuali

Funzione di

Verosimiglianza È la densità di probabilità della variabile aleatoria x e rappresenta la probabilità che tale

evento si manifesti.

n

i

iinnn xfxfxfxfxxL1

22111 ...,...,

Criterio di

Massima

Verosimiglianza

le singole funzioni di

probabilità contengono

ovviamente i valori di

media e varianza del

campione

I parametri incogniti (media e varianza) sono quelli che massimizzano la funzione di

verosomiglianza.

n

i

ii x

n

n

i

x

nxxxP 1

2

22

2

2

1

221

22

21 e2

1e

2

1,,...,,,

Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria (2/3)

Misure di Peso Uguale

(stessa precisione)

n

iix

nnP

1

2

2

2

2

1ln

22ln

2ln

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

xn

xn

xnP

xP

1

22

1

1

2

422

12

1

1

02

1

2

ln

01ln

Si scrive la funzione nella

sua forma logaritmica

I valori cercati si trovano

uguagliando a zero le

derivate parziali di ln P

rispetto a μ e σ

La stima della varianza va

corretta in quanto gli scarti

rispetto alla media non sono

tutti indipendenti tra loro,

per cui i gradi di libertà

sono n – 1.

n

i

ixn

s1

22 ˆ1

1

Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria (3/3)

Misure di Peso Diverso

(diversa precisione)

2

12

2

2

1

1

21

2

)(

22

2

2

121 e

2

1e

2

1,...,,,,,...,,

n

i i

i

i

i x

n

i

i

n

n

i

x

i

nnxxxP

i

i

i

ip

p2

02

2

2

0

n

i

ii xp

n

n

i

i

nn

p

xxxP 1

2

202

1

22

0

1

21

22

2

2

121 e2

)...,,,,,,...,,(

Introducendo i pesi e

supponendo di conoscere le

varianze delle singole

misure

n

i

ii

n

i

iin

i

i

xpn

s

xp

p

1

22

0

1

1

1

1

1

Con un procedimento

analogo a quello precedente,

si determinano i valori di μ e

σ

Distribuzione di Gauss per variabili bidimensionali (1/2)

Variabili

casuali (x, y)

indipendenti

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

22e

2

1e

2

1e

2

1),,,(

y

y

x

x

y

y

x

xyx

yx

y

y

x

x

yxyxf

Le coordinate di un punto possono essere trattate come una variabile bidimensionale e la loro

determinazione introduce delle correlazioni proprio in funzione delle modalità operative svolte. Quindi la

formulazione della densità di probabilità cambia con introduzione del coefficiente di correlazione.

1dd, yxyxf

Per le applicazioni di interesse al rilevamento è utile analizzare le curve che si ottengono dall’intersezione della superficie

con piani z = f(x,y) = costante. Si può dimostrare che, in presenza anche delle covarianze trascurate nella formulazione, la

figura di intersezione è un’ellissi la cui dimensione dipende dalla definizione del piano a z costante.

Ellisse Standard

22

222222

2

222222

2

2arctan

2

12

4

2

4

xy

xy

xyyxyx

xyyxyx

b

a

Distribuzione di Gauss per variabili bidimensionali (2/2)

I valori di σx, σy e σxy

possono essere ricavati dalla

matrice di varianza-covarianza.

Quando tra le variabili non

vi è correlazione (σxy = 0)

l’ellisse presenterà gli assi

paralleli agli assi coordinati.

Rappresenta l’area all’interno della quale si ha il 39% della probabilità di un individuo

estratto a caso per quella popolazione (di variabili bidimensionali). Se l’ellisse ha semiassi

doppi la probabilità sale al 86% mentre per ellissi con semiassi tripli questa diventa del

99%.

Ellisse d’Errore Definisce la probabilità di un punto di coordinate (x, y) di cadere all’interno dell’ellissi

stessa. Questo consente di quantificare la precisione del calcolo e quindi la significatività

delle misure.

Propagazione Pitagorica degli Errori

Consente di valutare gli errori di variabili ottenute dalla combinazione di altre variabili (ad esempio valori misurati) a loro

volta soggetti ad errori nella determinazione. La propagazione di un errore lungo una formula o un criterio comporta un

aumento dell’incertezza finale.

2222222tzyx cbactbzayx

2

2

2

2

2

2

2,, tzyxt

f

z

f

y

ftzyfx

Funzione Lineare

Funzione non Lineare

Nel caso di variabili

non indipendenti

occorre conoscere

anche la covarianza che

lega le varie coppie di

variabili

Test del Chi-Quadro (χ2)

Permette di confrontare una serie di dati osservati sperimentalmente con la serie dei dati attesi in base a un’ipotesi teorica

(ipotesi nulla H0) e di stimare la bontà di questa ipotesi. Il problema statistico è di poter dedurre se la differenza è

trascurabile e quindi probabilmente dovuta solo al caso (ipotesi nulla H0), oppure se è di dimensione tali da fare più

ragionevolmente supporre una distribuzione realmente diversa da quella attesa (ipotesi alternativa H1).

Serie di Dati

Osservati Oi

Distribuzione

Associata ad una

Grandezza Misurata

Serie di Dati Attesi

Ei

Distribuzione Teorica

(p.e. Distribuzione

Gaussiana)

n

i i

ii

E

EO

d 1

2

2 1

Gradi di Libertà d

Differenza tra numero delle

osservazioni e numero delle

incognite

Per dare una significatività al

risultato del test occorre fissare

un livello di probabilità da

associare al risultato del test

stesso. Di solito questo livello

viene posto al 1% o 5% (0,01 o

0,05 rispettivamente).