CURSO TOPOGRAFIA 2

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FACULTADDE INGENIERIA INSTITUTODE AGRIMENSURA- DEPARTAMENTODE GEODESIA TOPOGRAFIA 2 CURSO TOPOGRAFIA 2 2º Semestre 2020

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CURSO TOPOGRAFIA 2 2º Semestre 2020

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1_PRESENTACIÓN

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PLAN DE ESUTIDOS 1997 CARRERA: INGENIERO AGRIMENSOR

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La materia TOPOGRAFIA no solo es la que tiene mas créditos (que equivalen a horas de dedicación) dentro de las materias técnicas / tecnológicas, sino que lo es dentro de toda la estructura de la carrera.

Que implica esto? Porque es así, pese a los avances técnicos / tecnológicos en aéreas como PR, SIG, OT, etc.?

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La topografía es la base / apoyo de las actividades y técnicas aplicadas en las diferentes ramas en las que nos desempeñamos los Ingenieros Agrimensores

PERFIL DEL INGENIERO AGRIMENSOR

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PLAN DE ESUTIDOS 1997 TOPOGRAFIA 2

Que quiere decir? Que implica 15 créditos?

1 crédito = 15 horas 15 créditos = 225 horas

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PLAN DE ESUTIDOS 1997 TOPOGRAFIA 2

1 crédito = 15 horas 15 créditos = 225 horas 105 horas de trabajo “receptivo” y 120 horas de trabajo “autodidacta”

METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA

1) Horas TEORICAS:

• Aplicación de técnica topográfica • Problemas de preanálisis metodológico • Procedimientos de investigación operativa • Procedimiento de control y análisis de resultados 2) Horas PRACTICAS:

• Planificación de trabajos, preparación de informes y procesamiento de la información forma directa o

asistida. • Trabajo en equipo. • Realización de Informe Técnico (objetivos, condicionantes impuestas, requerimientos de ejecución,

desarrollo y conclusiones. 3) Horas LABORATORIO – CAMPO:

• Aplicación de los métodos operativos adoptados en el preanálisis. • Manejo fluido del instrumental en la ejecución y control de las operaciones topográficas.

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PLAN DE ESUTIDOS 1997 TOPOGRAFIA 2

Requerimientos mínimos para aprobar el curso y ganar derecho a rendir examen.

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PLAN DE ESUTIDOS 1997 TOPOGRAFIA 2

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Teoría del Instrumental Topografía 1

Topografía 2 Topografía 3

Topometría

TOPOGRAFIA

Análisis instrumental y metodológico para casos de alta precisión, requerimientos especiales, etc.

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RELACION DE LA TOPOGRAFIA CON OTRAS DISCIPLINAS

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2_CONSIDERACIONES BÁSICAS SOBRE LAS TAREAS DEL INGENIERO

AGRIMENSOR

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UN SISTEMA DE REFERENCIA O SISTEMA DE APOYO

MEDIR CONSTRUIR PLANIFICAR

SISTEMA DE APOYO EN TOPOGRAFIA

QUE ASEGURE UN NEXO ENTRE

OBRA PROYECTADA (a implantarse sobre el

terreno)

NUESTRO MODELO (producto del relevamiento

topográfico)

DURANTE EL TIEMPO QUE DURE LA OBRA Y EL EVENTUAL CONTROL POSTERIOR

¿COMO SE LOGRA UN SISTEMA DE CONTROL DE CALIDAD PARA NUESTRO TRABAJO?

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CARACTERISTICAS DE UN SISTEMA DE

APOYO

EXTENSION EXACTITUD

PERMANENCIA

SISTEMA DE APOYO EN TOPOGRAFIA

DEFINICION

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Para lograr un sistema de control de calidad de nuestro trabajo, no solo en el momento de realizar el relevamiento inicial sino, posteriormente, al realizar un relevamiento de detalle de alguna zona en particular, o para el replantear de la obra proyectada y su futuro control, en el caso que sea requerido, es necesario definir (planificar, construir y medir) un SISTEMA DE REFERENCIA o SISTEMA DE APOYO que nos asegure el nexo entre el nuestro modelo, surgido del relevamiento de lo existente, con la futura obra proyectada sobre dicho terreno, durante el tiempo que dure nuestro trabajo. Características del Sistema de Apoyo: • Definición: se deben planificar, construir, medir y ajustar los puntos que definen nuestro sistema. • Permanencia: Los puntos fundamentales deben estar materializados de forma tal de asegurar su permanencia durante el tiempo necesario de trabajo. Deberán estar correctamente balizados para lograr su ubicación en forma rápida, segura e inequívoca. • Exactitud: debemos asegurarnos que nuestro sistema de apoyo fundamental nos asegure la tolerancia mas restrictiva del trabajo, generalmente la exactitud requerida para el replanteo de la obra. • Extensión que debe abarcar: Por lo general, si es una obra de gran porte (por ejemplo, no enmarcada como puede ser un edificio entre medianeras) es necesario considerar que con el avance del proyecto se requiera una ampliación del relevamiento en cuanto a la superficie circundante. Por tal motivo se deberá de tener en cuenta puntos de nuestro sistema de apoyo que queden fuera del área exclusiva de la obra y que nos permitan visuales mas amplias de forma tal que podamos relevar información como: obras próximas existentes, empalmes de las vías de circulación proyectadas con las vías existentes, conexiones con los servicios subterráneos (líneas de luz, gas, saneamiento, agua potable, etc.), posibles ampliaciones de la obra, etc.

NECESIDAD DE UN SISTEMA DE APOYO

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LOS PROCESOS TOPOGRAFICOS EN LAS DISTINTAS FASES DE UN PROYECTO

FASES

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CARACTERISTICAS RELACIONADAS CON EL ASPECTO GEOMETRICO DE LA OBRA

AGRIMENSOR OBRAS CIVILES

RELEVAR

REPRESENTAR

MODELAR

PROYECTAR

REPLANTEAR

INGENIERO AGRIMENSOR

CASO PARTICULAR: LAS OBRAS CIVILES Y EL PAPEL DEL INGENIERO AGRIMENSOR

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3_EL INSTRUMENTAL TOPOGRAFICO

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¿QUE MEDIDAS SE OBTIENEN EN CADA

CASO?

¿COMO INFLUYEN LAS PRECISIONES?

NIVEL

GNSS

INSTRUMENTAL BÁSICO

ETACION TOTAL

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INSTRUMENTAL

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INSTRUMENTAL TOPOGRAFICO: ESTACIÓN TOTAL

CUAL o CUALES SON LOS INSTRUMENTOS

“ANTECESORES”

QUE DATOS SON PRODUCTO DE MEDIDA

DIRECTA?

QUE DATOS SON PRODUCTO DE

CALCULO?

QUE OTRAS FUNCIONALIDADES

TIENE?

QUE ES LA CONSTANTE DE

PRISMA?

RELACIÓN: CIFRAS SIGNIFICATIVAS DE LOS DATOS EN LA PANTALLA

vs. PRECISIÓN

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ERRORES INSTRUMENTALES: • Error de ejes (principal, secundario, terciario) • Error instrumental (distancia) y de puntería (angular): proporcionados por el

fabricante (manuales)

ERRORES DE PROCEDIMIENTO: • Error medición de altura de prima

• Error de medición de altura de instrumento • Error de estación • Error de inclinación del bastón (prisma)

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DOCENTES: Ing. Agrim. MAGALI MARTINEZ, Ing. Agrim. RODOLFO MENDEZ

MEDICION CON ESTACIÓN TOTAL: VARIABLES INVOLUCRADAS

V

d inclinada

t

m

A

Bhi

Superficie terreno

ΔH AB

(altura de prisma)

(altura instrumento)

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1) ALTURA INSTRUMENTAL Incertidumbre al evaluar la altura instrumental “hi”: ¿De que depende? De la precisión y esmero con que el operador realice la tarea. ¿En cuanto se puede estimar? Si se mide con cinta métrica, podemos suponer como error máximo 5 mm

MEDICIÓN CON ESTACIÓN TOTAL: FUENTES DE INCERTIDUMBRE

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2) DISTANCIA VERTICAL Incertidumbre el término “t=di*cos(V)”: ¿De que depende? ¿Qué variables intervienen?. Independientemente que la ET nos de la posibilidad de obtener la distancia topográfica, distancia vertical, coordenadas, etc., debemos considerar que éstos datos son producto del calculo a partir de las mediciones efectuadas por el instrumento de distancia inclinada y ángulo cenital. Por tanto, las variables que intervienen son: distancia inclinada (di) y ángulo cenital (V) Aplicando la regla de propagación de errores:

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MEDICIÓN CON ESTACIÓN TOTAL: FUENTES DE INCERTIDUMBRE

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¿Que elementos intervienen en el error de la distancia inclinada “di”? Error instrumental: einst

Corresponde al error estándar asociado a la medida de electromagnética de distancias especificado por el fabricante. En el caso de las ET se estima en ei=3mm±3ppm Error de estación: eest

Corresponde al error relacionado a la puesta de estación del instrumento en un punto del terreno utilizando la plomada óptica. Error de la señal: eseñal

Corresponde al error en el prisma al momento de ubicar el prisma sobre el punto a medir. La incertidumbre asociada a la señal es diferente si se considera el prisma sobre un trípode o el prisma sobre un jalón. Error de inclinación del jalón: einclinacion jalon

Corresponde a la inclinación del jalón al momento de tomar la medida. Los valores son diferentes si consideramos el bastón con nivel esférico o sin él.

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MEDICIÓN CON ESTACIÓN TOTAL: FUENTES DE INCERTIDUMBRE

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¿Que elementos intervienen en el error del ángulo cenital “V”? Error de verticalidad: everticalidad

Depende del instrumento utilizado. En el caso de la Estación Total tiene un sensor de inclinación por lo que este error puede ser despreciable (everticalidad ~ 0) Error de lectura: electura

Depende del sistema de lectura (mecánico o electrónico). En el caso de la Estación Total podemos considerarlo despreciable, puesto que corresponde a un calculo interno (interpolación) y el operador no tiene incidencia alguna en ello (electura ~ 0) Error de puntería: epunteria

El fabricante proporciona este dato como desviación típica angular en las especificaciones instrumentales.

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MEDICIÓN CON ESTACIÓN TOTAL: FUENTES DE INCERTIDUMBRE

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MEDICIÓN CON ESTACIÓN TOTAL: FUENTES DE INCERTIDUMBRE

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3) ALTURA DE PRISMA Incertidumbre el término “m”, correspondiente a la lectura de mira o altura del prisma: ¿De que depende? ¿Qué variables intervienen?. Corresponde al error en el desnivel producto de la puntería al prisma al momento de tomar la observación. Para el caso de medición con Estación Total intervienen dos componentes:

• variable m’: La que se relaciona directamente con la medida de la altura de la señal. Esta componente que varía si se considera el prisma sobre el bastón (error en la graduación del bastón) o si se encuentra sobre un trípode (error en medir altura del trípode mas distancia de la base de éste a la señal). • variable m”: El error en la distancia cenital producto de la medición de este Angulo sobre el prima o señal afectado por la falta de verticalidad.

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MEDICIÓN CON ESTACIÓN TOTAL: FUENTES DE INCERTIDUMBRE

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INSTRUMENTAL TOPOGRAFICO: NIVEL

¿COMO SE CLASIFICAN

LOS NIVELES?

¿CUAL ES EL ACCESORIO COMPLEMEN

TARIO?

¿QUE DATOS SON

PRODUCTO DE MEDIDA DIRECTA?

¿QUE DATOS SON

PRODUCTO DE CALCULO?

PARÁMETROS QUE INFLUYEN

EN LA PRECISIÓN DE LAS LECTURAS

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INSTRUMENTAL TOPOGRAFICO

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INSTRUMENTAL TOPOGRAFICO

¿CUAL ES LA UNIDAD DE MEDIDA DE CADA

UNO?

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ERRORES NATURALES, PERSONALES Y ASOCIADOS AL PROCEDIMIENTO: • Verticalidad de la mira • Distancia MIRA – NIVEL (vs. errores sistemáticos debido a curvatura y refracción

terrestres) • Condiciones climáticas • Precauciones respecto de los tramos donde se realizan las lecturas sobre la mira

(reverberación del aire) • Error de paralaje ERRORES INSTRUMENTALES: • Error de eje de colimación • Error de puntería (asociado a los aumentos del sistema óptico del instrumento, y a

la apreciación y estimación de la lectura de mira) • Error de horizontalidad (depende de la sensibilidad del nivel y la distancia a la

mira) Error de lectura:

ei = √ ep2 + eh

2

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INSTRUMENTAL TOPOGRÁFICO

ECUACIÓN DE ESTADIMETRÍA

K: constante estadimétrica multiplicativa

Valor= 100 (para la mayoría de los instrumentos)

C: constante estadimétrica aditiva (en los niveles modernos vale cero)

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INSTRUMENTAL TOPOGRAFICO

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INSTRUMENTAL TOPOGRÁFICO / GEODÉSICO

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INSTRUMENTAL TOPOGRÁFICO / GEODÉSICO

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INSTRUMENTAL TOPOGRÁFICO / GEODÉSICO

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4_PREANALISIS

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El PREANÁLISIS es el proceso inverso al de PROPAGACIÓN DE VARIANZAS Propagación de varianzas: partimos de las magnitudes observadas con sus correspondientes errores y mediante esos datos podemos calcular las precisiones finales del trabajo. Preanálisis: permite planificar en cuanto a instrumental y procedimientos, que vamos a utilizar para realizar el trabajo.

PREANÁLISIS

DEFINICIÓN: Es el análisis que se realiza de forma previa a cualquier trabajo topográfico y permite determinar, en función de las exigencias del mismo, la metodología de trabajo y en función de ésta, qué instrumental se debería utilizar. En el caso de ya conocer el instrumental a utilizar, su utilización puede servir para determinar con qué errores podremos convivir y, a partir de ellos, validar o rechazar la metodología propuesta bajo esas condiciones de trabajo, así como estimar los costos y tiempos de ejecución del trabajo.

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PREANÁLISIS

CONDICIONES para trabajar con PREANÁLISIS:

• VARIABLES INDEPENDIENTES entre si

• NO ERRORES SISTEMÁTICOS (deben eliminarse previamente)

• OBSERVACIONES EQUILIBRADAS (igual peso) Establecer la TOLERANCIA DEL TRABAJO es establecer una COTA MÁXIMA DE ERROR Establecemos como TOLERANCIA del trabajo, 3 veces la desviación estándar (99,7% confianza), basado en la alta probabilidad de pertenecer al intervalo, dentro del modelado de las mediciones con comportamiento normal :

T=3σ

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INSTRUMENTOS

PROCEDIMIENTOS

PRECISIÓN FINAL DEL TRABAJO

¿PARA QUE SIRVE? Es claro que realizar un adecuado planeamiento previo a cualquier actividad es una tarea muy importante. Si a esto se añade un detallado preanálisis se pueden optimizar, entre otras cosas, los aspectos de tiempo y dinero.

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EJEMPLO: Se desea encontrar el error máximo que se puede cometer en una nivelación cerrada en una manzana próxima a la Facultad de Ingeniería. La tolerancia establecida corresponde a T=(8mm)*√k, en donde k es la distancia total de la nivelación expresada en kilómetros. Estimemos la distancia en 0.4km T=(8mm)*√0.4 = 5.1mm Por lo tanto: σ = T/3 = 1.7mm Esto indica que se debe utilizar un instrumento que me garantice dicho error en el cierre de la nivelación en el tramo correspondiente.

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5_REPASO DE TERORIA DE ERRORES

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MAGNITUD FISICA

Atributo observable y medible de un

fenómeno, cuerpo o sustancia

CLASE DE MAGNITUD

Conjunto de todas las magnitudes de la misma naturaleza (longitud, masa,

tiempo, etc.)

UNIDAD DE MEDIDA Magnitud cuyo valor numérico se admite

como 1

Existen varios sistemas de unidades de medidas. Nosotros usamos el S.I. (Sistema Internacional).

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MEDIR:

“Conjunto de operaciones que tiene por objeto determinar el valor de una magnitud física”

Implica comparar cierta magnitud con su unidad (patrón), con el fin de averiguar cuantas veces la primera contiene a la segunda.

La medida, en la práctica, se encuentra siempre afectada de un error.

MEDIDA:

ANALOGICA: Se presenta en forma continua, traduciendo de algún modo la magnitud da medir en otra mas directamente perceptible por los sentidos

Ej.: Lectura en regla graduada.

DIGITAL: Se presenta en forma discontinua, mediante una serie de cifras.

Ej.: Visor de la Estación Total.

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OPERACIONES DE AGRIMENSURA

Buscan alcanzar

MODELO MATEMATICO

Representativo de la realidad

Como????

Mediante la

TEORIA DE LA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

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PROCESO CONOCER EL VALOR

Puede ser SIMPLE o COMPLEJO MEDIDA

• Valor final del proceso

• Matemáticamente es una VARIABLE

• El ERROR es la magnitud de esa variación

CARACTERISTICAS DE LA MEDIDA

• Ninguna medida es exacta.

• Toda medida esta afectada de errores.

• Nunca se conoce el verdadero valor de una dimensión.

• El error exacto que se comete en cualquier medida es siempre desconocido.

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La TEORIA DE LAS OBSERVACIONES trata acerca de las MEDIDAS (observaciones).

Las operaciones de agrimensura buscan alcanzar un MODELO MATEMATICO que represente la realidad.

Para ello se usa la TEORIA DE LA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA, donde las medidas son tratadas como VARIABLES ALEATORIAS.

r = n - n0 • Grados de libertad

• Número de observaciones superabundantes

Número total de observaciones

Mínimo número de medidas que definen el modelo matemático.

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CONJUNTO DE OBSERVACIONES

CARACTERISTICAS:

• PRECISION: Grado de conformidad que presenta la serie de medidas entre si.

• EXACTITUD: Grado de conformidad que presenta la serie de medidas en relación al verdadero valor.

• INCERTIDUMBRE: Entorno alrededor de un valor estimado en donde existe determinada probabilidad de que se encuentre el verdadero valor de la magnitud.

ENTORNO

Valor estimado

1

incertidumbre precisión

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SERIE DE MEDIDAS AJUSTE O COMPENSACION

permite

obtener

• Valor mas probable • Error en cada observación • Error total.

OBJETIVOS

SERIES DE OBSERVACIONES:

• DIRECTAS: Surgen de la observación del instrumento.

• INDIRECTAS: Surgen de relaciones analíticas.

• CONDICIONALES: Mantienen un vinculo que las relaciona, lo que permite determinar el error cometido al combinarlas.

• INDEPENDIENTES: Realizadas en forma autónoma.

CONJUNTO DE OBSERVACIONES

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CONJUNTO DE OBSERVACIONES

CALIDAD DE LAS OBSERVACIONES

Depende de diferentes factores, tanto objetivos como subjetivos:

• Precisión del instrumental.

• Condiciones ambientales.

• Visual del observador.

• Experiencia del operador.

• otros.

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CANTIDADES APROXIMADAS

Los valores resultantes de medir magnitudes físicas están afectados de cierta incertidumbre con respecto al valor verdadero de la magnitud. Por ello se le denominan cantidades aproximadas.

Cifras exactas: El error absoluto es igual o inferior a una unidad de su orden de magnitud.

Cifras significativas: El orden de magnitud es igual o superior al del error absoluto.

3 , 1 4 1 5 9 2 ± 0 , 0 0 0 2

Cifras significativas

No significativas, no exactas

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CANTIDADES APROXIMADAS

147,64 5 cifras significativas

0,0044 2 cifras significativas

17,710 5 cifras significativas

CRITERIOS DE REDONDEO:

• Si la cifra que se omite es <5, se elimina

• Si la cifra que se omite es ≥5, se incrementa en 1 unidad la ultima cifra retenida

• Otro criterio dice que si la cifra que se omite es igual a 5, depende de la cifra inmediatamente anterior:

si es par, de deja igual

si es impar, se incrementa en 1 unidad la cifra retenida

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CANTIDADES APROXIMADAS OPERACIONES:

• ADICION: El resultado debe redondearse al numero mas chico de decimales.

165,21

149,7

+ 65,495

2,2167

382,6217 382 , 6

• PRODUCTO: El resultado debe tener el mismo numero de cifras que el que tiene menos números de cifras significativas (excluyendo las constantes).

2 * ( 2,15 * 11,1234 ) = 23,9

3 cifras 3 cifras

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• POTENCIACION Y RADICACION: El resultado debe tener igual numero de cifras significativas que la base.

( 2,981)2 = 8.886

• CONSTANTES O CANTIDADES EXACTAS: no cuentan.

2 * ( 2,15 * 11,1234 ) = 23,9

constante

CANTIDADES APROXIMADAS

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CLASIFICACION DE ERRORES

El resultado de una medición es una cantidad aproximada y su error esta acotado por la incertidumbre de la medida.

1) EQUIVOCACIONES se ELIMINAN

2) SISTEMATICOS se CORRIGEN

3) ALEATORIOS se PROCESAN

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1) ERRORES GROSEROS O EQUIVOCACIONES

• Responde a un proceso erróneo de medición de una magnitud.

• Se ELIMINAN.

Como?

Mediante controles de campo:

algebraico

lecturas múltiples

verificación de escritura

punterías varias

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2) ERRORES SISTEMATICOS

• Obedecen a una ley predeterminada que lo hace influir siempre en igual sentido y magnitud.

• Obedecen a diversas causas, por ejemplo:

• mal ajuste del instrumento.

• falta de un tramo en una cinta métrica.

• dilatación de la cinta.

• Se CORRIGEN

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3) ERRORES ALEATORIOS

• Son las diferencias que persisten luego de depurar las equivocaciones y corregir los errores sistemáticos.

• No pueden ser determinados a priori y no guardan relación entre si.

• Su comportamiento es al azar.

• la MEDIDA se comporta como una VARIABLE ALEATORIA.

• Son errores intrínsecos al proceso de medición.

• Se PROCESAN

Tratamiento analítico de los datos mediante la aplicación de la teoría de PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

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Constituyen la base para:

• COMPENSACION de modelos matemáticos que asumimos como representativos de la realidad.

• AJUSTES de las observaciones de campo.

• Posibilitar su tratamiento mediante el cálculo probabilístico.

Si las mediciones se efectúan en las mismas condiciones (mismo operador, mismo instrumento), cumplen con las tres propiedades de las variables probabilísticas:

• Para un numero suficientemente grande de observaciones (n → ∞), la probabilidad de un desvío en ambos sentidos es la misma.

• Desvíos pequeños ocurren con mayor frecuencia que desvíos grandes.

• Existe un limite para los desvíos, por encima del cual la ocurrencia de un suceso no es posible.

3) ERRORES ALEATORIOS

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TOPOGRAFIA 2

TEORICAMENTE: ε = T - X

ERROR VERDERO

DESCONOCIDO

VALOR VERDADERO

DESCONOCIDO

OBSERVACION

EN LA PRACTICA: v = X - X

ERROR RESIDUAL

DESCONOCIDO

VALOR APROXIMADO

MEDIA DE LAS OBSERVACIONES

OBSERVACION

3) ERRORES ALEATORIOS

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TOPOGRAFIA 2

COMPORTAMIENTO DE ERRORES SISTEMATICOS O CONOCIDOS - PROPAGACION DE ERRORES

CASO LINEAL: y = a * x + b ∂ y * dx

∂ x dy = a

CASO NO LINEAL: y = f (x1, x2, ……, xn)

∂ y * dx1 + ∂ y * dx2 + …….. + ∂ y * dxn

∂ x1 ∂ x2 ∂ xn

dy =

X1 0 X2 0 Xn 0

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TOPOGRAFIA 2

CASO GENERAL: (y1, y2, …, ym) = f (x1, x2, ……, xn)

y1

y2

… ym

=

y10

y20

… ym0

+

J1

J2

… Jm

*

Δx1

Δx2

… Δxn

Δxi = x - xi Δx es una matriz columna

∂ y

∂ xi = Ji

x0

J (JACOBIANO) es una matriz fila

Y = Y0 + J * ΔX

COMPORTAMIENTO DE ERRORES SISTEMATICOS O CONOCIDOS - PROPAGACION DE ERRORES

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TOPOGRAFIA 2

AJUISTE SIMPLE - METODO DE MINIMOS CUADRADOS (M.M.C.)

Realiza un ajuste de las observaciones realizadas de forma tal que la suma cuadrática de los residuales debe ser mínima.

IMPLICA:

• se modifica MINIMAMENTE las observaciones realizadas.

• el método realiza el ajuste de forma INDEPENDIENTE del operador.

ASUMIMOS:

• observaciones no relacionadas

de igual precisión

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TOPOGRAFIA 2

V i = ℓ – ℓ i V i residual

ℓ valor ajustado

ℓ i valor observado

Φ = Σ vi sea mínimo 2

Φ función de mínimos cuadrados

Voy a resolver un sistema de ecuaciones en vi y a despejar dichos residuales,

usando: ∂ Φ

∂ vi

= 0 para todos vi

r = n - n0 • Grados de libertad

• Número de observaciones

superabundantes Número total de

observaciones

Mínimo número

de medidas que

definen el modelo

matemático.

AJUISTE SIMPLE - METODO DE MINIMOS CUADRADOS (M.M.C.)

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TOPOGRAFIA 2

ERRORES ALEATORIOS – PROPAGACION DE VARIANZAS

El valor especifico del error no lo tenemos, o sea que no se pueden aplicar las técnicas de propagación.

• Se estudia el efecto de propagación en forma conjunta.

• Buscamos una distribución conjunta de los X e Y.

X vector aleatorio

representa el conjunto de medidas

Y vector aleatorio

representa el conjunto de cantidades calculadas

Y = f ( X ) Magnitudes calculadas

Magnitudes medidas

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TOPOGRAFIA 2

LEY ESPECIAL DE PROPAGACION DE VARIANZAS

y = f (x1, x2, ……, xn)

CASO LINEAL:

y = a1x1 + a2x2 + …….. + anxn

σy = a1σx1 + a2σx2 + …. anσxn

2 2 2 2 2 2 2 ,

(x1, x2, ……, xn) son variables independientes Matriz covarianza diagonal

CASO NO LINEAL:

σy = σx1 + σx2 +……. + σxn

2 ∂ y

∂ x1

2 ∂ y

∂ x2

2 2

2

∂ y

∂ xn

2 2

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TOPOGRAFIA 2

(y1, y2, …, ym) = f (x1, x2, ……, xn)

LEY ESPECIAL DE PROPAGACION DE VARIANZAS

CASO LINEAL:

T

XXYYAA

a11 ……. a1n

.. ..

.. ..

am1 ……. amn

A =

CASO NO LINEAL:

TYXXXYXYY JJ

n

mm

n

x

y

x

y

x

y

x

y

...

.....

.....

.....

...

1

1

1

1

Jxy =

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TOPOGRAFIA 2

(y1, y2, …, ym) = f (x1, x2, ……, xn)

LEY ESPECIAL DE PROPAGACION DE VARIANZAS

Donde las matrices COVARIANZAS son las siguientes:

2

221

212

1

xxx

xxx

σσ

σσΣ xx =

Σ yy =

2

221

212

1

yyy

yyy

σσ

σσ

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TOPOGRAFIA 2

SERIES DE OBSERVACIONES – DEPURACION Y TRATAMIENTO

Para una serie de pocas observaciones ( n ≤ 30 ) utilizamos el criterio de CHAUVENET.

Consiste en eliminar directamente las observaciones que caigan fuera del intervalo determinado de la siguiente manera:

[ μ – kσ, μ + kσ ] /

P( μ – kσ < x < μ + kσ ) = 1-(1/2n)

1/2n

n k n k

4 1,54 18 2,2

5 1,68 20 2,24

6 1,73 22 2,28

7 1,79 24 2,31

8 1,86 26 2,35

9 1,92 30 2,39

10 1,96 40 2,5

12 2,03 50 2,58

14 2,1 100 2,8

16 2,16 200 3,02

Cuadro de valores

para CHAUVENET

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TOPOGRAFIA 2

Los pasos para el tratamiento de una serie de observaciones es:

1) Medir n veces la magnitud, expresando los valores con sus cifras significativas, determinadas por el instrumento de medición.

2) Calcular x y la desviación estándar de cada observación s.

3) Depurar la serie, fijando el intervalo de tolerancia: x ± ks.

4) Rechazar todos los datos que estuvieren fuera del intervalo.

5) Recalcular x y s corregidos.

6) Calcular el error estandar del promedio ζ = s/√n.

7) El resultado deberá escribirse como: ( x ± ζ ) considerando que:

a) el valor mas probable de x es x.

b) la probabilidad de que el verdadero valor este en el intervalo ( x ± ζ )

es del 68%, o sea que la probabilidad de que al analizar una nueva

serie de medidas de x su promedio caiga en ( x ± ζ ) es del 68%.

SERIES DE OBSERVACIONES – DEPURACION Y TRATAMIENTO

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TOPOGRAFIA 2

Si escribimos ( x ± s ) podemos afirmar que:

a) el valor mas probable de x es x.

b) la probabilidad de que una nueva observación caiga en el intervalo ( x ± s ) es del 68%.

SERIES DE OBSERVACIONES – DEPURACION Y TRATAMIENTO