Problema generale dell’elettrostatica -...

Problema generale

dell’elettrostatica

Determinare il campo elettrico in tutto lo spazio

quando per M conduttori sono fissati i

potenziali e per i rimanenti N sono note le

cariche possedute

Nello spazio esterno ai conduttori vale

l’equazione di Laplace

Problema generale


Si risolve il problema di Dirichlet, identificando

le soluzioni dell’equazione di Laplace che

soddisfano le condizioni al contorno specificate

Dal potenziale si calcola il campo elettrico nei

punti infinitamente vicini alla superficie dei

conduttori

Problema generale


Dal campo elettrico sulla superficie si ottiene la

densita` di carica superficiale ( = 0E) e da

questa la carica totale Q

Per gli N conduttori in cui sono note le cariche

si deve risolvere il problema di Neumann (piu`

complesso)

Elettrostatica dei

conduttori

Campo elettrostatico nei conduttori

Schermo elettrostatico

Capacita` di un conduttore isolato

Sistemi di conduttori

Condensatori

Energia elettrostatica

Campo elettrostatico nei

conduttori

Considereremo conduttori metallici (no gas,

semiconduttori, ecc): elettroni di conduzione liberi

di muoversi

Applichiamo un campo elettrostatico: movimento

di cariche - transiente fino al raggiungimento di uno

stato di equilibrio

(media macroscopica dei campi elettrici microscopici che localmente

possono differire significativamente da zero)

0E all’interno del conduttore


conduttori

Campo elettrico nullo all’interno

per la legge di Gauss non vi puo` essere eccesso

di cariche nel volume del conduttore


conduttori




la carica elettrica puo` risiedere solo sulla

superficie esterna, con densita` ( )r


conduttori




la carica elettrica puo` risiedere solo sulla

superficie esterna, con densita`

il potenziale deve essere costante, inclusa la

superficie (altrimenti moto di cariche)

( )r


conduttori

superficie equipotenziale campo elettrostatico

normale alla superficie

int0E 0

E nteorema di Coulomb

++++ -------

(una componente tangenziale

metterebbe in movimento le

cariche elettriche)


conduttori

equilibrio

Inseriamo un conduttore

Ridistribuzione della carica superficiale del conduttore

La somma dei campi elettrico esterno e quello generato dalla carica superficiale (indotto) e` nulla all’interno del conduttoretransiente

extE

indE

ext ind0E E

( / )d c


conduttori

equilibrio

transiente

Per l’unicita` della soluzione dei

problemi di potenziale, la

distribuzione di carica che rende

nullo il campo interno e` unica!

extE

indE

ext ind0E E


conduttori: punte

se diventa troppo grande (es. punte) e i

conduttori non sono nel vuoto insorgono

limitazioni pratiche

(scariche)

0

E n


conduttori: punte

21V V (equipotenziale)

V

2

q

2r

1

E1

r2

E2

V1q1

21

0 22

1

101

21

4

1

4

q

r

q

r

q q

r r

2

1 1 2

2

2 1 2

E q r

E r q

1E

r

2

1

r

r

Conduttore cavo

E=0 La carica totale sulla superficie che

delimita la cavita` e` nulla

+++

- - -

C1

C2

CE ds

Non possono esservi nemmeno cariche

spazialmente separate

0C

E ds impossibile, il campo e` conservativo

0

QE ndA

=00

1

0C

E ds

1 2C C

E ds E ds=0

Conduttore cavo

In un conduttore cavo le cariche si distribuiscono

sulla superficie esterna

Il potenziale all’interno della cavita` e` uguale a

quello del conduttore, altrimenti si genererebbe

un campo elettrico diverso da zero

Conduttore cavo

Dentro alla cavita` non c’e` mai una differenza di

potenziale diversa da zero, indipendentemente

dal potenziale a cui si trova il conduttore

Il conduttore cavo si comporta da schermo verso

il mondo esterno

Mettiamo una carica Q

all’interno della cavita`

All’interno del conduttore S il

campo elettrico e` nullo

Applicando Gauss a si

ottiene zero, perche` non

c’e` campo e quindi non

c’e` flusso

Ne consegue che la carica

totale entro e` zero

Inizialmente scarico

S

+

+

+ + ++

++

+

+

+ + + + +

++ +Q

C






c’e` flusso


totale entro e` zeroDi conseguenza sulla superficie

interna del conduttore si deve trovare

una carica –Q (induzione completa)

Inizialmente scarico

S

+

+

+ + ++

++

+

+

+ + + + +

++

-

-

-

-

-

-

-

- -

-

-

-

-

-

-

-

C+Q

-Q










c’e` flusso


totale entro e` zeroDi conseguenza sulla superficie

interna del conduttore si deve trovare

una carica –Q (induzione completa) La carica libera totale in S e` nulla,

per cui sulla superficie esterna ci

deve essere la carica +QInizialmente scarico

S

+

+

+ + ++

++

+

+

+ + + + +

++

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+

+

+

-

+

-

-

-

-

-

-

- -

-

-

-

-

-

-

-

C+Q

-Q

+Q

Schermo elettrostatico

La carica Q sulla superficie esterna si distribuisce secondo le caratteristiche geometriche della superficie generando una data densita` superficiale .

Il campo verso l’esterno dipende solo da e non dalla posizione della carica nella cavita`.

Se la carica interna viene spostata (lentamente) non c’e` alcun effetto verso il mondo esterno.

La distribuzione della carica –Q sulla superficie interna del conduttore S e` sempre tale che sommando con la carica +Q su C il campo elettrico e` sempre nullo all’esterno della cavita`.

Schermo elettrostatico:

illustrazione con geometria

sferica

R1

R2

R3

Q

-Q

Q

Ricordare che per un guscio sferico di

raggio R con carica totale Q

0

0

4( )

4

Q

V rQ

r RR

r Rr


illustrazione con geometria sferica

10 r R

1 2R r R

2 3R r R

3r R

04 ( )V r

04 ( )E r

0 1

1 2 3

4q q q

VR R R

2 3

q q q

r R R

q q q

r r r

0 2

3

4q q q

Vr r R

0 0 0 0

2 20 0

q

r

q

r

2 20 0

q q

r r

2 2 2 2

q

r r

q q

r r

q

R1

R2

R3

Q

-Q

Q



10 r R

1 2R r R

2 3R r R

3r R

04 ( )V r

04 ( )E r

0 1

1 2 3

4q q q

VR R R

2 3

q q q

r R R

q q q

r r r

0 2

3

4q q q

Vr r R

0 0 0 0

2 20 0

q

r

q

r

2 20 0

q q

r r

2 2 2 2

q

r r

q q

r r

q

R1

R2

R3

Q

-Q

Q

r



10 r R

1 2R r R

2 3R r R

3r R

04 ( )V r

04 ( )E r

0 1

1 2 3

4q q q

VR R R

2 3

q q q

r R R

q q q

r r r

0 2

3

4q q q

Vr r R

0 0 0 0

2 20 0

q

r

q

r

2 20 0

q q

r r

2 2 2 2

q

r r

q q

r r

q

r

R1

R2

R3

Q

-Q

Q

R1

R2

R3

Q



10 r R

1 2R r R

2 3R r R

3r R

04 ( )V r

04 ( )E r

3

q

R

3

q

R

q

r

3

q

R

0

0

0

2

q

r

Q

-Q

Stesso campo e potenziale di prima verso il mondo esterno



R1

R2

R3

Q

-Q

Q

10 r R

1 2R r R

2 3R r R

3r R

04 ( )V r

04 ( )E r

0 1

1 2

0 4 'q q

VR R

2

0q q

r R

0q q

r r

0 20 4 '

q qV

r r

0 00 0

2 20 0

q

r

q

r

2 20 0

q q

r r

2 20 0

q q

r r

Campo nullo all’esterno. Campo invariato all’interno. Il potenziale

e` diminuito di q/4 0R3 (R3 e` il riferimento, prima era all’infinito).

Ma la differenza di potenziale non

cambia! Solo se n=2 nella legge di Coulomb.

Verifiche della legge di

Coulomb: si varia la

carica su R3: V2-V1 non

cambia.



R1

R2

R3

Q

-Q

Q’

V1

V2

Capacita` di un conduttore

isolato

Carica sulla superficie di un conduttore isolato

( ')Q x dA

Potenziale del conduttore in un punto qualsiasi

0

1 ( ')

4 '

xV dA

r

La distribuzione di carica tale da rendere nullo il

campo all’interno del conduttore e` unica

Capacita` di un conduttore

isolato

( ')Q x dA

0

1 ( ')

4 '

xV dA

r

'Q Q Q '

'V V V

QC

V

Non varia al variare della

carica sul conduttore.

Dipende solo dalla geometria.

Capacita`

faradC

F =V

Esempio: capacita` di un

conduttore sferico di raggio R

La carica q e` distribuita sulla superficie

0

( ) 4

qV R

R 04

( )

qC R

V R

R (m) C (F)

0.1 11x 10-12

6.4x106 0.712x10-3

9x109 1

capacita` della terra ~ 712 F

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