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Fisica Applicata alla BiomedicinaR. Zei

Corrente elettrica e circuiti


Materiali: prima classificazione

• Conduttori : sostanze nelle quali alcune o tutte le cariche elettriche possono muoversi liberamente sotto l'azione di forze elettriche (elettroni di conduzione nei metalli, ioni nelle soluzioni acquose).

• Isolanti (dielettrici) : gli elettroni sono vincolati agli atomi (es.: vetro, ebanite).

• Semiconduttori : classe di materiali intermedia tra i conduttori e gli isolanti per le loro proprietà di condurre elettricità (es. : silicio, germanio). In realtà in questi la conduzione avviene in modo piuttosto peculiare


Induzione e polarizzazione

• Entrambi i fenomeni sono dovuti all’azione tra cariche

• L’induzione si presenta con i conduttori: l’attrazione di cariche di segno opposto e la repulsione di cariche dello stesso segno si traduce in uno spostamento macroscopico degli elettroni nel corpo e quindi una separazione macroscopica di carica

• La polarizzazione si presenta con gli isolanti: l’attrazione e la repulsione si traducono in uno spostamento microscopico delle cariche all’interno di ogni atomo. Si ottiene anche in questo caso una separazione macroscopica di carica


Conduttori

Un conduttore si può caricare:

• per contatto con un corpo carico (acquista la stessa carica)

• per induzione elettrostatica (acquista carica opposta)


Proprietà dei conduttori

• E=0 all’interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico posto in campo esterno. Schermo elettrostatico (conduttori cavi).

• Le cariche si distribuiscono sulla superficie esterna del conduttore (da legge di Gauss).

• Il conduttore ha potenziale costante.

• Le linee di forza del campo elettrico cadono perperdicolarmente sulla superficie del conduttore. E=σ/ε0 in prossimità del conduttore. Effetto delle punte


Isolanti

• Se si avvicina a un isolante una sbarretta carica gli atomi vengono deformati e si produce eccesso di carica (di “polarizzazione”) sulla superficie del corpo.


Corrente elettrica

• Finora abbiamo considerato le cariche elettriche fisse

• La carica in moto forma una corrente elettrica

• L’intensità di corrente è uguale al “tasso” (rapidità) con cui le cariche si muovono attraverso una ipotetica sezione di un conduttore

• La direzione della corrente è definita come la direzione in cui si muovono le particelle cariche positivamente. La corrente è uno scalare.

dt

dQi ≡

l d d

QQ n V q n A x q n A v t q I n q v A

t

∆∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∆ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ∆ ⋅ ⇒ = = ⋅ ⋅ ⋅∆


Corrente stazionaria (continua)

• Una corrente elettrica la cui intensità non varia nel tempo.

• Una volta raggiunto lo stato stazionario, la corrente è la stessa attraverso una qualunque sezione di un conduttore (continuità).

• La carica totale che passa attraverso una sezione in un intervallo di tempo t è data da:

∫ ==∫=t

itidtdqq0

[ ]

=s

CA


Metalli – Legge di Ohm (I)

• Lega la differenza di potenziale con l’intensità di corrente in un conduttore metallico

• Le due grandezze V e I risultano proporzionali

– R: resistenza

– 1/R: conduttanza

• Legge di OHM non è una legge fondamentale della natura!

• Piuttosto è una relazione empirica valida soltanto per certi materiali e/o dispositivi, in un campo limitato di condizioni! es. i semiconduttori, ed i dispositivi (diodo, transistor) sono non-ohmici

IRV •=R

VI =

[ ]

=ΩA

V


Metalli – Legge di Ohm (II)

• Un materiale conduttore obbedisce alla legge di Ohm quando la resistività del materiale è indipendente dall’intensità e direzione del campo elettrico applicato.

• Comunque, la resistività è, in generale, dipendente dalla temperatura. La dipendenza è all’incirca lineare (per i metalli), i.e.

• I metalli obbediscono alla legge di Ohm solo quando la temperatura èmantenuta costante durante la misura.

ohmico non-ohmico

( )000 TT −=− αρρρ Coefficiente di temperatura della resistività


Metalli – Legge di Ohm (III)

• Resistività e coefficienti termici della resistivitàper alcuni materiali:


Resistenza

• La resistenza è definita come il rapporto tra la d.d.p. applicata e la corrente che la attraversa.

I

VR ≡

A

lR ρ=

Effetto delle dimensioni:

• All’aumentare della lunghezza, il flusso di elettroni è limitato

• All’aumentare dell’area della sezione il flusso è favorito

• Analogia (macroscopica) con il flusso di acqua in una conduttura

LLLLAAAA

EEEE

j

Legge di Ohm: indipendente dalla forma del resistore

Valida per conduttori di sezione erbitraria, ma solo se la sezione èla stessa per tutta la lunghezza


Potenza – Effetto Joule

• In un intervallo di tempo dt, la quantità di carica che si muove da a a b è quindi dq = idt. La variazione nell’energia potenziale associata con questa carica è

dU dq V idt V= ⋅ = ⋅

dUP iV

dt= =

22 V

P i RR

= =

La potenza associata con il trasferimento di carica è

Per un dispositivo di resistenza R, la dissipazione di potenza è


Generatore di forza elettromotrice

• Un dispositivo che mantiene una differenza di potenziale tra una coppia di terminali

– Batterie

– Generatori elettrici

– Celle solari

– Termopile

– Celle a combustibile

• L’energia si conserva! Un dispositivo f.e.m. converte semplicemente altre forme di energia (p.es., chimica, meccanica, solare, termica, e cosìvia) in energia elettrica.


F.e.m.

• All’interno di un dispositivo f.e.m., i portatori di carica positiva si muovono dal terminale a potenziale più basso (cioè, il terminale negativo) a quello a potenziale più alto (cioè, il terminale positivo).

• Quindi del lavoro deve essere svolto nel processo. La f.e.m. del dispositivo èdefinita come lavoro per unità di carica:

dqdW≡ε


Dispositivi f.e.m. ideali e reali

• Dispositivo f.e.m. ideale: un dispositivo f.e.m. in cui i portatori di carica non subiscono alcun effetto di resistenza elettrica quando si muovono da un terminale all’altro. In questo caso, la differenza di potenziale tra i due terminali è eguale alla f.e.m. del dispositivo.

• Dispositivo f.e.m. reale: un dispositivo f.e.m. in cui i portatori di carica subiscono un effetto di resistenza elettrica quando si muovono da un terminale all’altro. In questo caso, la differenza di potenziale tra i due terminali è più piccola della f.e.m. del dispositivo, a causa della dissipazione di energia interna. Ci riferiamo a questo fenomeno come caduta di tensione Ohmica.


Conservazione energia

• Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale (B) con f.e.m. ε, un resistore R, e due fili di connessione (con resistenza trascurabile).

• Conservazione Energia: l’energia dissipata nel resistore deve eguagliare il lavoro fatto dalla batteria

• Durante un intervallo di tempo dt, il lavoro svolto dalla batteria è dW = εdq = εi dt, e l’energia dissipata nel resistore è dE = i2R dt.

• Eguagliando le due relazioni si ha i = ε/ R.


Generatore di f.e.m. reale

• La resistenza interna del generatore deve essere trascurabile rispetto a quella del carico per avere un efficiente trasferimento di energia.

2 2batt

V I r poichè V I R

I R I r

IR r

P I I R I r

εε

ε

ε

∆ = − ∆ == +

=+

= = +


Resistenze in serie

• Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale e duelampadine con resistenze R1 e R2.

• La resistenza equivalente di un insieme di resistori collegati in serie è uguale alla somma delle singole resistenze ed è sempre maggiore di ciascuna di esse

cost=I 21 IRIRVVVV bcabac +=+==∆

)( 21 RRIIRV eq +==∆ 21 RRReq +=


Resistenze in parallelo

• Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale e duelampadine collegate in parallelo con resistenze R1 e R2.

• L’inverso della resistenza equivalente di due o più resistori collegati in parallelo èuguale alla somma dell’inverso delle singole resistenze ed è sempre minore del piùpiccolo resistore

cost=∆VeqR

V

R

V

R

VIII

∆=∆+∆=+=21

21

21

111

RRReq

+=


Circuiti elettrici stazionari

• Come facciamo a determinare le correnti che fluiscono negli elementi circuitali (resistenze) quando le combinazioni di tali elementi diventano più complesse (circuiti) ?

• Cioè non possiamo “ridurre” ad un’unico resistore equivalente le resistenze presenti nel circuito.


Leggi di Kirchoff (I)

• La somma delle correnti che entrano in nodo deve essere eguale alla somma delle correnti che escono dal nodo stesso

– Questa legge deriva dal principio di conservazione della carica, valido in ogni nodo.

– Le correnti che entrano e escono dai nodi del circuito sono note come “correnti di ramo”.

– Ciascun ramo deve avere una distinta corrente, Ii assegnata ad esso

∑= outin II


Leggi di Kirchoff (II)

• La somma algebrica delle differenze di potenziale rilevate su un circuito chiuso in un giro completo è nulla

• Questo è soltanto un altro modo per ribadire ciò che sapevamo: la differenza di potenziale è indipendente dal cammino!

∑ =maglia

0nV

εεεε1111R1 εεεε2222

R2IMuovendosi in senso orario sulcircuito: ++++ εεεε1111 −−−− IR1 −−−− IR2 −−−− εεεε2222 ==== 0


Leggi di Kirchoff (III)

• Gli incrementi di potenziale sono positivi, le diminuzioni (“caduta”) sononegative.

• Scegliamo una direzione ARBITRARIA per la corrente e (p. es.) percorriamoil circuito nella medesima direzione.

• Se una batteria viene attraversata dal terminale negativo a quello positivo, il potenziale aumenta, e quindi la tensione della batteria entra nell’equazionecon un segno +,

• Se il percorso scelto è tale da attraversare la batteria da (+) a (-) V diminuisce ed entra nell’equazione con il segno -.

• Attraversando un resistore (resistenza), nel verso della corrente, ilpotenziale diminuisce e quindi entra nell’equazione con un segno - .

εεεε1111R1 εεεε2222

R2I

++++ εεεε1111 −−−− IR1 −−−− IR2 −−−− εεεε2222 ==== 0

- + -+


Strumenti e circuiti di misura

• Amperometro

• Voltmetro

– e` un amperometro con una grande resistenza in serie, in modo daassorbire poca corrente e quindi perturbare il circuito studiato il meno possibile

• Potenziometro

• Ponte di Wheatstone


Amperometro e Voltmetro (I)

• Amperometro: strumento usato per misurare correnti

– Deve essere connesso in serie

– La resistenza interna di un amperometro deve essere la piùpiccola possibile.

• Voltmetro: uno strumento usato per misurare differenze di potenziale

– Deve essere connesso in parallelo

– La resistenza interna di un voltmetro deve essere la piùgrande possibile


Amperometro e Voltmetro (II)

• Amperometro: misura correnti

– connesso in serie: bisogna “interrompere” un ramo di circuito ed inserire lo strumento.

– In pratica l’Amperometro è essenzialmente una resistenza di “shunt”(di caduta) Rs molto bassa, inserita nel ramo del circuito, con un voltmetro ad elevata “impedenza” connesso ai suoi capi (dello “shunt”) che misura la corrente di “shunt” come

• Voltmetro: misura differenze di potenziale

– La resistenza interna di un voltmetro deve essere resa la più grande possibile rispetto alle resistenze presenti nel circuito dove effettuare la misura.

– Se Rvoltmetro = 100 x Rj essa ridurrà il valore effettivo di Rj di circa 1% e perturberà il flusso delle correnti nella maglia e, potenzialmente, anche in altre.

SRVI /=


Potenziometro (I)

A

XåR

R1

R2

X C

• Circuito di misura di fem incognita Ex consistente in:– una resistenza di precisione su cui

puo` scorrere un cursore C che la divide idealmente in due parti R1e R2

– Un amperometro di grande sensibilita`

– Un generatore campione di fem Ec– Un generatore ausiliario di fem E

per contrastare la fem del generatore campione

• R rappresenta una resistenza di carico, eventualmente comprendentela resistenza interna dell’amperometroe del generatore nella maglia di destra


Potenziometro (II)

A

XåR

R1

R2

X C

• Diciamo i la corrente che circolanella maglia di sinistra

• Si muove il cursore C finche’ la corrente iA misurata dall’amperometro e` nulla

• In questo stato la ddp tra il cursore e la terra e`

• La seconda uguaglianza segue dal fatto che la fem incognita si ritrova tutta tra C e terra, in quanto nella maglia di destra, in assenza di corrente, non c’e` caduta di potenziale

xiRV X== 2


Potenziometro (III)

• Si ripetono le operazioni descritte sostituendo il generatore con quello campione. Otteniamo un’equazione analoga:

• Il punto cruciale e` che in entrambi i casi i assume lo stessovalore

• Dal rapporto delle due equazioni, troviamo la fem incognita:

ciRV X== '2

'

'2

2

R

R

c

x =X

X


Ponte di Wheatstone (I)

A

R1 R2

RxR3

X

iA

• E` un circuito usato per la misura accurata di resistenza. E` costituito da:

– tre resistenze campione R1, R2, R3 di cui una (R3) variabile

– la resistenza incognita Rx

– un amperometro molto sensibile

– un generatore

• L’operazione da fare e` di variare R3 finchè la corrente iA dell’amperometro si azzera


Ponte di Wheatstone (II)

A

R1 R2

RxR3

X

i1

i3

• In questo stato la caduta di potenziale ai capi di R3 e` uguale a quella ai capi di R1 (se la corrente e` nulla, il potenziale ai due capidell’amperometro e` lo stesso)

• Tenuto conto che la corrente che passa per R1passa anche per R2 e che la corrente che passa per R3 passa anche per Rx, si puo` ripete il ragionamento per la coppia R2 e Rx, ottenendo

• Il rapporto delle due equazioni da` la resistenza incognita

3311 RiRi =

xRiRi 321 =

1

32

R

RRRx =


Capacità (I)

• Capacità elettrica Condensatore

• Condensatore = sistema per immagazzinare energia (elettrica)


Capacità (II)

• La capacità è una misura di quanta carica debba possedere un certo tipo di condensatore per avere una data differenza di potenziale tra le armature:

• maggiore capacità, maggiore è la carica necessaria.

• (la capacità è sempre positiva !)

QC

V≡

∆[ ]

=V

CF


Capacità condensatore

A

qE

00 εεσ ==

∫ ∫+

−

=== EddsEEdsVd

0

CVq =

CEdEA=0εd

AC 0ε=

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