257

Il potenziale elettrostatico

1. L’energia potenziale elettrostatica

Per quali motivi è stata introdotta la grandezza fisica “lavoro”? Il lavoro è stato introdotto perché l’evidenza sperimentale mostra che esiste una differen-za fra i due fenomeni seguenti:

a) su di un sistema è applicata una forza il cui punto di applicazione si muove;

b) su di un sistema è applicata una forza il cui punto di applicazione resta fisso.

Se il punto di applicazione della forza si sposta durante l’azione, infatti, a seconda dell’angolo che essa forma con lo spostamento, il sistema aumenta o diminuisce la propria capacità di agire modificando se stesso e l’ambiente. A tale capacità di modificare le cose si dà il nome di energia. Una seconda evidenza sperimentale mostra che l’effetto, sull’energia di un sistema, di una forza il cui punto di applicazione si muo-ve, è differente se la forza in questione ha una componente diretta lungo lo sposta-mento oppure se gli è perpendicolare. Si decide pertanto di misurare queste proprie-tà introducendo un’opportuna grandezza fisica chiamata lavoro. Si dice quindi che quando il punto di applicazione di una forza costante F

subisce uno spostamento

rettilineo, individuato da un vettore s come in figura, essa ha compiuto il lavoro

elementare L : | || | cosL F s F s

dove | | cosF F

è la componente (con segno) della forza lungo s , e per sem-

plicità si è indicato il modulo del vettore spostamento semplicemente con s . Quindi le forze sono gratis ma il lavoro si paga? Le forze per le quali non si sposta il punto di applicazione sono “gratis”. Non dob-biamo pagare alcun costo per averne una. Vogliamo una forza diretta verso l’alto per equilibrare il nostro peso? Ecco che il pavimento ce la fornisce. Serve una spinta lun-

8 F

s

cos 0F F

0L

s

cos 0F F

0L F

s

0L F

0F

258

go un angolo rispetto al terreno, che ci tenga parcheggiata la macchina in una strada in pendenza? L’attrito fra le gomme e l’asfalto la esercita gratuitamente. Gan-ci e muri sono sempre disponibili, per trazioni e supporti, e basta un cuneo per ruo-tare la retta lungo cui la forza agisce. La cosa difficile non è disporre di una forza, ma spostare il punto in cui la forza viene applicata. Per svolgere questo compito la natura ci presenta immancabilmente un conto. Il lavoro è la grandezza fisica che s’introduce per misurare l’entità di questo conto. Qual è il significato del segno del lavoro elementare? Come si vede in figura, il segno del lavoro elementare ha un significato fisico: una forza F

che forma un angolo 0 90 con s

, (e quindi | | cos 0F

), com-

pie lavoro elementare positivo, che viene detto lavoro motore, perché F

sta contri-buendo al moto nella direzione dello spostamento. Se viceversa 90 180 compie un lavoro negativo, detto lavoro resistente perché F

sta contrastando il moto

nella direzione di s .

E se la traiettoria è curvilinea? Per spostamenti più complessi, che seguono traiettorie curve, e forze che variano la loro direzione e la loro intensità lungo il percorso, la definizione di lavoro si genera-lizza suddividendo la traiettoria del punto di applicazione in tanti spostamenti elementari rettilinei is

come in figura, ad ognuno dei quali associamo un vettore

costante iF

, che rappresenti F

nel tratto interessato, ed un angolo i :

cosi i iL F s

Come fa un sistema ad immagazzinare energia? La “capacità di agire” che chiamiamo energia, e che il sistema acquista (o cede) per l’azione di forze che spostano il proprio punto di applicazione, può essere imma-gazzinata solo in due modi:

(1) nello stato di moto in cui le parti del sistema si sono portate: questa modalità di incamerare si dice energia cinetica e si indica con K .

(2) nella configurazione che le sue parti assumono: questa modalità di incame-rare è detta energia potenziale e si indica con U .

Come si misura l’energia cinetica di un sistema? Il contenuto di energia cinetica K incamerato in un sistema viene definito come il lavoro che occorre fare per portare tutte le sue parti da una situazione in cui sono ferme fino alla loro velocità attuale. Come abbiamo a suo tempo dimostrato, per un oggetto pun-tiforme di massa m e velocità v tale lavoro vale:

212

K m v

Quindi l’energia cinetica di un sistema è la somma di tanti addendi della forma 21

2 m v ognuno relativo ad una delle sue parti (supposte puntiformi). Vale inoltre il

teorema dell’energia cinetica, secondo il quale il lavoro complessivamente svolto su di una particella è pari alla variazione della sua energia cinetica:

totL K

1F

2F

3F

4F

iF

1s

3s

is

2

i

A

B

2s

1

259

Come si misura l’energia potenziale di un sistema? Un sistema è in grado di incamerare energia potenziale solo nel caso in cui può com-piere un tipo di lavoro tutto a spese (o a vantaggio) di un cambio nella sua configu-razione.

Un lavoro pagato solo con una variazione nella configurazione non può dipendere dalla traiettoria seguita per andare dalla situazione iniziale a quella finale, come in-vece accade nel caso più generale.

Infatti, le possibili traiettorie che conducono da uno stato all’altro sono infinite: se il lavoro dipendesse dal tragitto seguito dai punti di applicazione delle forze, po-tremmo ottenere infiniti valori diversi per le stesse configurazioni, iniziale e finale. Ad esempio in figura abbiamo raffigurato tre fra le infinite traiettorie che portano un sistema di due cariche positive, 1q e 2q , dalla configurazione A (in cui sono distanti 1m) alla configurazione B (in cui distano fra loro 2m). Se il lavoro della forza di Cou-lomb assumesse i tre valori differenti in figura, non potremmo mai introdurre un’energia potenziale elettrostatica per esprimere un unico valore del lavoro della forza di Coulomb nel cambio di configurazione. Possiamo quindi introdurre un’energia potenziale, solo se fra le parti del sistema agiscono delle particolari for-ze, dette conservative, il cui lavoro non dipende dalla traiettoria, ma unicamente da quali sono la configurazione iniziale e finale del sistema. Nel caso in cui sia possibile l’introduzione di un’energia potenziale, si procede scegliendo una configurazione di riferimento R e si definisce energia potenziale U del sistema nella configurazione A , il lavoro che le forze conservative interne svolgono quando il sistema si porta da A nella configurazione R:

A A RU L Si può inoltre dimostrare che il lavoro delle forze conservative CL quando il sistema passa da una configurazione ad un’altra differente è pari alla varia-zione nell’energia potenziale cambiata di segno:

CL U La forza di Coulomb è conservativa? Sì, la forza elettrostatica è conservativa. Per dimostrarlo dobbiamo provare che il lavoro che essa compie non dipende dalla traiettoria che le cariche se-guono, ma solo dalle posizioni reciproche, iniziale e finale. Poniamoci in una regione di spazio dove è presente una carica puntiforme positiva Q , che

esercita una forza Coulombiana EF

su di una seconda carica puntiforme q , posta in una posizione A. Prendiamo q di valore molto più piccolo rispetto a Q , in modo che si possa trascurare la sua azione nello spazio rispetto a quella di Q . Supporremo che

q sia negativa, e quindi che EF

risulti attrattiva, ma il ragionamento che faremo si potrà ripetere anche nel caso di segno positivo. Supponiamo ora che la carica q si sposti dalla posizione A ad una nuova posizione B. Si faccia attenzione, perché non si sta dicendo che è la forza elettrostatica dovuta a Q ad essere la causa dello spostamento. Po-tremmo invece pensare di prendere q con le nostre mani e di portala da A in B men-tre Q viene mantenuta ferma. Durante una tale operazione la forza elettrostatica po-trebbe sia agevolarci che fare resistenza: dipenderà dalle posizioni A e B rispetto a Q . Costruiamo una quadrettatura dello spazio intorno a Q facendo uso solo di li-nee radiali e circolari. Supponiamo di muovere q da A in B spostandoci solamente lungo dei pezzettini di quadrettatura. In figura sono evidenziate due traiettorie di questo tipo, contrassegnate dai numeri 1 e 2, ma molte altre sono possibili. Il lavoro svolto dalla forza elettrostatica EF

lungo uno qualsiasi degli archi circolari è chiara-

1

2

A

B

Q

q

1q

1q

2q

2q

m1

A

m2

20JL

10JL

30JL

B

260

mente zero perché EF

è sempre diretta radialmente, e cioè perpendicolare in ogni punto a tutte le circonferenze centrate in Q . Durante uno spostamento radiale il lavo-ro non è in generale nullo, e dipende solo da quanto è distante da Q l’anello della quadrettatura cui appartiene il tratto percorso, ma non dalla posizione di q entro di esso. Infatti, sebbene la forza elettrica vari con l’inverso del quadrato della distanza da Q , essa ha simmetria sferica, e cioè ponendoci ad una fissata distanza r da Q , non ha alcuna importanza trovarsi sopra di essa o sotto, oppure ad est o a nord: misure-remo sempre uguale intensità e quindi EF

compirà lo stesso lavoro a parità di spo-

stamento. Inoltre EF

forma sempre con la traiettoria, un angolo di 0° se q si sta av-vicinando a Q (e quindi cos 1 ) oppure di 180° se q si sta allontanando da Q (e quindi cos 1 ). Allora, se lungo la traiettoria vi sono tratti radiali percorsi prima in avanti e poi indietro, anche se non consecutivamente, il lavoro associato ai due spostamenti sarà uguale ed opposto, e nel complesso nullo. Pertanto il percorso che conta ai fini del lavoro netto di EF

è solo la differenza fra il raggio della circonferen-

za su cui si trova la posizione di arrivo e quello della posizione di partenza. Questa proprietà permette di concludere che quando spostiamo q da A in B il lavoro che

EF

compie è indipendente dal fatto che si segua la traiettoria 1 o la 2, e cioè non di-pende dal percorso seguito. E se la traiettoria non è composta di tratti radiali e circolari? Anche se consideriamo una traiettoria qualunque, sarà sempre possibile, con una quadrettatura sufficientemente fitta, approssimarla con la precisione desiderata tra-mite un percorso di tratti radiali e circolari. Con attenzione a ciò che succede negli spigoli, calcolare il lavoro lungo la spezzata radiale e circolare è lo stesso che calco-larlo lungo la traiettoria curva. Grazie al principio di sovrapposizione poi, qualun-que sia la configurazione che origina la forza elettrostatica (uno strato piano, un filo carico, un corpo irregolare) essendo questa il risultato dell’azione di tante cariche

puntiformi, ed essendo conservative tutte le singole forze elettrostatiche cor-rispondenti, lo sarà anche la forza dovuta all’intera distribuzione di carica1. Dalla conservatività discende poi la possibilità di introdurre un’energia po-tenziale elettrostatica. Come è definita l’energia potenziale elettrostatica? La definizione di un’energia potenziale richiede una configurazione di rife-rimento, come si fa quando diamo una distanza riferendoci alla posizione a partire dalla quale è stata misurata. Non avrebbe senso dire semplicemente “la mia distanza è 4 km”, dobbiamo riferirci a qualcosa. In questo modo, in qualunque punto A nella regione di spazio sede di campo elettrico, si trovi

una carica puntiforme q , potremo associare a questa configurazione di carica il lavoro

A RL che le forze elettrostatiche svolgono se qualcuno prende q e la porta da A nella posizione di riferimento R. Visto, infatti, che tale lavoro non dipende dalla traiettoria che si decide di seguire, non è necessario specificare altro. Ripetendo l’operazione per ogni posizione dello spazio, avremo la possibilità di costruire una funzione U , detta energia potenziale elettrostatica della carica2 puntiforme q rispetto alla posizione di riferimento R:

1Va osservato che la caratteristica della forza elettrostatica di essere conservativa è stata dimostrata facendo unicamente uso del fatto di essere centrale, cioè di dipendere solo dalla distanza da un punto. In linea di principio, per qualunque for-za centrale, come ad esempio la forza gravitazionale, si può ripetere il ragionamento. 2 Più propriamente l’energia potenziale è associata al sistema formato dalla carica q e dalle altre che producono il campo. Tuttavia delle altre cariche è noto solo l’effetto che producono tramite il campo, ed essendo q l’unica parte mobile si può parlare anche di energia potenziale associata alla carica q.

F

F

s

s

Q

1

2

3q

E R

A

261

Energia potenziale elettrostatica ( )qU di una carica puntiforme q Si chiama energia potenziale elettrostatica ( )qU (o semplicemente U ) di una carica puntiforme q il lavoro che la forza elettrostatica compirebbe se q si spostasse, dalla sua posizione in una posizione scelta come riferimento. Come si sceglie la configurazione di riferimento? La configurazione di riferimento che più conviene è quella dove la carica di cui si sta calcolando l’energia potenziale si trova libera dall’influenza di ogni altra carica. Tale scelta è coerente con l’interpretazione dell’energia come capacità di spostare le forze, cioè di cambiare configurazioni e stati di moto: in una situazione in cui ogni intera-zione è nulla, sarà nulla anche la capacità di modificare le cose che ad essa è associa-ta. Dato che la forza coulombiana decresce con l’inverso del quadrato della distanza, essa si annulla solo a distanza infinita, pertanto porremo come posizione di riferi-mento quella in cui la carica in oggetto è a distanza infinita da tutte le altre. In base alla nostra definizione avremo che l’energia potenziale nella configurazione di rife-rimento dovrà essere zero perché, se la carica q già si trova in R, evidentemente nes-suno spostamento deve essere fatto per portarcela e quindi nessun lavoro viene compiuto dalla forza elettrostatica. Chiaramente, ad una scelta differente della posi-zione di riferimento, corrisponderà un valore differente dell’energia potenziale in ogni punto. Questo non è un problema perché nella formula per il calcolo del lavoro L U figura solo la differenza di energia potenziale, che non dipende dalla con-figurazione di riferimento.

Esercizi 1. In una regione sede di campo elettrico è mantenuta ferma una carica puntiforme di massa g15m in un punto A dove ha energia potenziale 30JAU . Quando la carica viene liberata, inizia a muoversi sotto l’azione delle sole forze del campo elet-trico. Calcolare il lavoro eseguito dalla forza elettrica durante spostamento verso una posizione B in cui la sua energia potenziale è 10JBU . Calcolare la velocità della carica nella posizione B. Il lavoro delle forze conservative è dato dalla variazione di energia potenziale cam-biata di segno, quindi:

30J 10J 20JAB A BL U U U Dal teorema di conservazione dell’energia si ha:

estU K L dove estL è il lavoro delle forze esterne, cioè esercitate da fuori sul sistema a cui è associata l’energia potenziale, che in questo caso è la carica che si muove, insieme con la distribuzione delle altre cariche che genera il campo. Poiché è specificato che la carica è solo sotto l’effetto delle forze del campo elettrico si ha 0JestL , da cui:

2120 ( ) ( 0) 0B A BU K U U m v

m/s m/s212 3

2 2051.6

15 10B A B Bm v U U v

2. In una regione sede di campo elettrico viene tenuta ferma una pallina puntiforme, carica, di massa g12.0m e la cui energia potenziale elettrostatica è 21.0JAU . Calcolare il lavoro che occorre svolgere dall’esterno per portare la pallina fino ad una posizione B dove 19.0JBU in modo che abbia velocità m/s20.0 . [R:0.4J ]

262

Quali conseguenze pratiche ha la conservatività della forza elettrostatica? Se per assurdo la forza coulombiana non fosse conservativa potremmo sfruttarla come sorgente illimitata di energia. Infatti, immaginiamo di trovarci in una regio-ne sede di campo elettrico, ad esempio costante verso il basso come nello spazio fra le armature di un condensatore. Poniamo che quando una carica q si sposta dalla posizione A alla posizione B, la forza elettrostatica compia un lavoro di 3J lungo la traiettoria rettilinea in figura, ed un lavoro differente, di 4 J lungo la traiettoria curvilinea. Allora potremmo portare in alto q seguendo il percorso rettilineo, in modo da spendere 3J di lavoro contro la forza elettrostatica (è il minimo che occor-

re per farla arrivare ferma in cima). Quassù costruiremmo una guida curva avente la forma della seconda traiettoria e lasceremmo rotolare q lungo di essa: arriverebbe in fondo con un’energia cinetica pari al lavoro del peso, e cioè 4 J . Ci sarebbe per noi un guadagno netto di 1J d’energia ogni volta, e la possibilità di ripetere il percorso all’infinito, cioè disporremmo di una sorgente energetica inesauribile!

Quanto lavoro compie la forza elettrostatica lungo un percorso chiuso? Immaginiamo di costruire un dispositivo come la “girandola elettrica” in figura, do-ve delle sfere cariche sono sostenute da bracci isolanti liberi di ruotare. Esso non po-trebbe mai mettersi in moto e continuare a girare sotto l’azione solo di un campo elet-trostatico. In caso contrario, infatti, al termine del primo giro ciascuna delle sfere tornerebbe al punto di partenza con un’energia cinetica che prima non aveva, ed in base al teorema di conservazione dell’energia 0U K questa potrebbe essere presa solo dalla variazione U di energia potenziale elettrostatica. Ma alla fine del giro non può che essere fin inU U (e quindi 0U ) dato che l’energia potenziale dipende solo dalla posizione della carica nel campo, ed in questo caso posizione ini-ziale e finale coincidono. Da questo:

( finU inU ) ( ) 0fin in fin inK K K K

Il dispositivo non può quindi variare la sua energia cinetica3 solo per l’azione di un campo elettrostatico: se è inizialmente fermo, rimane fermo, e se già sta girando, il campo elettrostatico non è in grado né di rallentarne né di accelerarne la rotazione.

Il fatto che 0U su di un percorso chiuso, cioè che la forza elettrostatica non può compiere lavoro su di un percorso chiuso, è una via alternativa per enun-ciarne la conservatività. Come sappiamo, anche la gravità è una forza conserva-tiva, e analogamente non ci aspetteremmo mai che una girandola possa mettersi in moto soltanto sotto l’azione del suo peso. Anzi, quando ci troviamo in pre-senza di questi fenomeni, immediatamente pensiamo a dispositivi artificiali che li producano (ad esempio la pompa che fa girare l’acqua in un presepio). Indi-cando quindi con il nome di circuitazione ( )C E

il lavoro della forza elettrostatica

su di una carica unitaria che segue un percorso chiuso (si tratta quindi del lavo-ro del campo elettrico, che è la forza per unità di carica), possiamo dire che:

La circuitazione del campo elettrostatico è zero: ( ) 0C E

cioè il campo elettrostatico non può mettere in moto una carica inizialmente ferma e farle percorrere una traiettoria chiusa.

3 Se lo facesse, sarebbe un’indicazione che il campo elettrico all’origine del fenomeno non è prodotto da una configura-zione statica di cariche. Analogamente, come vedremo, per far circolare delle cariche in un qualunque circuito elettrico, è necessario un dispositivo elettromotore, come la pila, che possa compiere lavoro lungo un percorso chiuso, rifornendo le cariche dell’energia che vanno dissipando nel tragitto.

E

( ) 0C E

( ) 0C E

A

B

3J

4J

q

E

la "girandola elettrica"

263

Quale espressione ha l’energia potenziale nel campo di una carica puntiforme? Calcoliamo ora il lavoro ABL della forza elettrostatica esercitata da una carica punti-forme 0Q su di una piccola carica 0q , relativamente ad uno spostamento ra-diale da distanza Ar fino ad una maggiore distanza Br . Il conto è reso difficile dal fatto che la forza elettrostatica varia d’intensità lungo la traiettoria. Nella formula per il calcolo del lavoro su un tratto rettilineo:

| | | | cosL F s

possiamo sostituire | | B As r r

e cos 1 ( 0 in quanto sia la forza elettri-ca che lo spostamento sono radiali verso l’esterno). Però non sappiamo cosa mettere al posto di / 2| |F kQq r

giacché il valore di r cambia da Ar ad Br , e con esso cambia

l’intensità della forza elettrica lungo lo spostamento. Se quindi sostituiamo nella formula il valore massimo 2/ AkqQ r assunto dalla forza otteniamo un lavoro troppo

grande, e se sostituiamo il minimo 2/ BkqQ r un lavoro troppo piccolo, cioè:

2 2( ) ( )B A AB B AB A

Qq Qqk r r L k r r

r r

Approssimeremo con un valore intermedio, ponendo al posto di 2r il prodotto della

distanza massima per la minima, cioè il quadrato della media geometrica A Br r :

2A Br r r

il risultato sarà tanto migliore4 quanto più le due posizioni sono vicine fra loro:

( ) BAB B A

A B

rQqL k r r kQq

r r

A Br rAr

Ar1 1

B A B

kQqr r r

Questa formula può essere applicata anche al caso di due posizioni molto distanti fra loro, semplicemente suddividendo la traiettoria fra Ar ed Br in piccoli spostamenti, prima da Ar ad 1r , poi da 1r ad 2r , eccetera, così brevi da poter applicare a ciascuno il risultato trovato prima. Si ottiene una serie di addendi della forma /1 r ciascuno prima sommato e poi sottratto, in modo che dopo le semplificazioni rimangono solo i valori iniziale e finale:

1

1 1AB

A

L kQqr r

1

1

r

2

1

r

2

1

r

3

1

r

1...

Br

E infine, avendo scelto come configurazione di riferimento quella in cui la carica q si trova infinitamente distante da tutte le altre, ricaviamo un’espressione per l’energia potenziale di q nel campo generato da Q calcolando il lavoro che la forza elettrica svolge quando Br :

1 1( )A A

A A

QqU r L kQq k

r r

Si può dimostrare che questa formula, ricavata nel caso di due cariche di uguale se-gno, è valida anche nel caso di segni discordi.

4 Potremmo pensare di approssimare la distanza radiale r con la media aritmetica degli estremi: ( )/2A Br r , ma do-vendo approssimare il valore del quadrato di r , la media geometrica degli estremi dell’intervallo, A Br r , sempre più piccola della media aritmetica, risulta più accurata (allo stesso risultato si giunge tramite l’uso del calcolo integrale).

La Controfisica Date due grandezze positive ,a b la loro media aritmetica /( ) 2a b è sempre maggiore della loro

media geometrica ab . Infatti, vale in ogni caso la disuguaglianza:

2( ) 0a b che si riscrive:

2 22 0a ab b 2 2 2a b ab

.Sommiamo 2ab ad ambo i membri:

2( ) 4a b ab ed estraiamo la radice quadrata ad ambo i membri (positivi per ipotesi):

2

a bab

q

Q

Ar

Br

B As r r

264

Esercizi 3. Una carica puntiforme C65.40 10q e massa g5.00m , in moto a velocità

m/s1| | 20.0v

è respinta da un’altra carica puntiforme C53.50 10Q tenuta ferma, e si allontana progressivamente da essa, come in figura. Calcolare il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica in un tratto in cui la distanza fra le due cariche è passata da m1 4.00r a m2 7.00r , e la nuova velocità di q .

Applicando la formula trovata:

9 5 612

1 29 5 6

1 1 1 18.99 10 3.50 10 5.40 10 J

4.00 7.00

8.99 3.50 5.40 (0.250 0.143) 10 J 15.9J

L kQqr r

Dal teorema di conservazione dell’energia applicato al sistema delle due cariche, es-sendo Q sempre ferma, e indicando con 2v

la nuova velocità di q , si ha:

0esternoK U L

Essendo 12U L risulta 2 21 12 1 122 2

| | | | 0m v m v L

da cui:

m/s m/s2 22 12 1

2 2 15.90.00500| | | | 20.0 82.2mv L v

4. Una carica puntiforme C64.10 10q di kg32.30 10m si trova a distanza

m1 8.00r da una carica C66.20 10Q tenuta immobile. Sapendo che in

quell’istante la velocità di 1q , diretta verso 2q , è m/s12.0 , si dica a quale distanza da

2q la repulsione elettrostatica annulla la velocità di 1q e le cambia verso. [R: m1.18 ] 5. Un elettrone ( kg319.11 10em , C191.60 10e ) si allontana lungo la li-

nea che lo congiunge ad un protone immobile, a velocità m/s62.20 10 (è meno dell’1% di quella della luce, pari all’ordine di grandezza della velocità con cui gli elettroni orbitano intorno al nucleo in un atomo di idrogeno). Se l’elettrone parte a distanza m10

1 0.529 10r dal protone (raggio di un atomo d’idrogeno), calcolare

la distanza dove la sua velocità si annulla e inverte direzione. [R: m101.07 10 ] 6. Due elettroni ( kg319.11 10em , C191.60 10e ) stanno viaggiano lungo

una linea retta, l’uno verso l’altro alla velocità di m/s62.00 10 ciascuno. Nell’ipotesi che non si abbia nessuna deviazione dalla direzione originale, calcolare fino a che di-stanza possono avvicinarsi. [R: m100.632 10 ] 7. Due cariche μC44.0Aq e μC28.0Bq sono vincolate ad una distanza

cm1 60.0r . Calcolare il lavoro che occorre fare dall’esterno per ridurre la loro di-

stanza a cm2 20.0r , senza variazione di energia cinetica. [R: 33.69 10 J ] 8. Una particella ( 2q e , kg276.68 10m ) viene sparata con velocità v con-

tro un nucleo di alluminio (carica Ze con 13Z , C191.60 10e ), senza elettro-ni e tenuto immobile. Essa subisce una forza repulsiva che nella posizione di minima distanza d vale 15.0N . Calcolare d e v , supponendo che la particella fosse inizial-mente a distanza infinita dal nucleo. [R: m m/s14 62.00 10 ,9.46 10 ]

Qq

1v

2v

1r

2r

q

1v

Q

1r

e

1v

e

2r

ee

265

Come si scrive l’energia potenziale di un sistema di cariche? Essendo l’energia una grandezza additiva, la formula è facilmente genera-lizzabile al caso in cui le cariche siano più di due semplicemente sommando le energie potenziali di tutte le coppie di particelle coinvolte. Ad esempio per tre cariche AQ , BQ , CQ l’energia potenziale del sistema si scrive:

A B A C B C

AB AC BC

Q Q Q Q Q QU k

r r r

L’energia potenziale elettrostatica di un sistema di cariche esprime il lavoro che la forza di Coulomb eseguirebbe se le cariche venissero rimosse dalla loro posizione e portate a distanze infinita le une dalle altre, cioè nella con-figurazione di riferimento in cui 0U . Qual è il significato del segno nell’energia potenziale elettrostatica? L’energia potenziale di un sistema rappresenta il lavoro che le forze del cam-po compirebbero qualora il sistema stesso venisse smembrato portando a distanza infinita una carica alla volta, mentre le altre rimangono congelate nella loro posizione originaria. Se, durante lo smembramento, le forze del campo compiono lavoro motore, vale a dire positivo, e quindi favoriscono il processo, il sistema ha energia potenziale positiva. Viceversa se compiono lavoro resistente, vale a dire negativo, e quindi per smembrare la distribu-zione delle cariche occorre lavorare dall’esterno, allora l’energia potenziale è negativa. Quindi un sistema elettrico con 0U è tenuto insieme dalle sue stesse forze e per smembrarlo bisogna faticare: si pensi ad esempio ad un elettrone che orbita attorno ad un nucleo atomico costituito solo da un pro-tone, cioè un atomo di idrogeno. Si tratta di un sistema ad energia potenziale negativa: per sottrarre l’elettrone al nucleo bisogna esercitare una forza esterna e durante il procedimento di estrazione ed allontanamento il sistema stesso lavora in modo resistente. Viceversa, per tenere accostate due cariche dello stesso segno dobbiamo intervenire con un vincolo contro la repulsione elettrica, e, non appena il vincolo viene meno, il sistema si smembra da solo portando le cari-che a distanza reciproca infinita: la sua energia potenziale elettrica è positiva. Un esempio di questo secondo caso può essere il nucleo di un atomo, dove l’energia po-tenziale elettrica è positiva. Sono le interazioni nucleari attrattive fra i protoni, la co-siddetta forza forte, a tenere insieme le particelle con carica di segno concorde: in as-senza di esse il nucleo si smembrerebbe.

Esercizi 9. Calcolare l’energia potenziale elettrostatica di un sistema di quattro cariche

μC1 1.00q , 2 12q q , 3 13q q , 4 14q q , poste in questa sequenza nei vertici di un quadrato di lato m1.50 .

Dobbiamo prendere tutte le possibili coppie di particelle e sommare le loro energie:

12 13 14 23 24 34U U U U U U U

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

12 13 14 23 24 34

q q q q q q q q q q q qk k k k k k

r r r r r r

Le distanze sono pari al lato, o alla diagonale del quadrato, come segue:

12 14 23 34r r r r 13 24 2r r Sostituendo:

2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 12 3 4 6 8 12 11

242 2 2

q q q q q q kqU k

La Controfisica L’energia potenziale elettrostati-ca costituisce una partedell’energia liberata nelle esplo-sioni nucleari. Queste sono ot-tenute rendendo il nucleo più grande sparandogli altre particel-le contro. Una volta inglobate le particelle-proiettile, il nucleo diviene più instabile a causa della maggiore distanza media a cui si portano i protoni. Al cre-scere della distanza, infatti, l’attrazione nucleare forte che li tiene insieme diminuisce molto più rapidamente di quanto non faccia la repulsione elettrostatica. In un nucleo grande come quel-lo di Uranio, già poco stabile di suo a causa della grande separa-zione fra i nucleoni, l’aggiunta di nuove particelle fà si che si rag-giunga una distanza media per cui la repulsione elettrostatica vince sull’attrazione forte e le particelle del nucleo schizzano via come proiettili.

ABr

BQ

AQ

CQ

BCr

ACr

0energia potenzialeelettrostatica

0energia potenzialeelettrostatica

n

n

n

nn

n

1q 2q

4q 3q

2

266

9 6 28.99 10 (1.00 10 ) 11

24 J 0.190 J1.50 2

10. Quattro cariche μC1 3 3.00q q e μC2 4 2.00q q sono fissate ai vertici di un tetraedro regolare, di spigolo lungo m2.20d . Si calcoli l’energia potenziale del sistema. [R: 22.25 10 J ] 11. Nei vertici di un cubo sono bloccate sei cariche uguali, di valore μC3.34q . Sapendo che l’energia potenziale elettrostatica del sistema è 4.00JU , si calcoli la misura s dello spigolo del cubo. Si calcoli il lavoro che svolge la forza elettrostatica quando una qualunque delle cariche viene portata a distanza infinta dalle altre, fisse nei vertici. [R: m0.572 ] 12. Quattro cariche sono disposte nei vertici di un quadrato di lato . Tre di esse sono positive, di uguale valore q , la quarta è negativa, di valore Q . Calcolare Q che rende nulla l’energia del sistema. [R: Q q ] 13. Viene compiuto un lavoro 2.00JL per portare sei cariche, all’inizio infinita-mente distanti, vincolate nei vertici di un esagono regolare di lato a . Sapendo che le cariche hanno tutte valore μC3.00q , calcolare a . [R: cm44.4 ] 14. Una carica μC6.00q si trova a distanza cm4.00d da un piano infinito di metallo, neutro, sul quale la carica esercita il fenomeno dell’induzione. Calcolare il lavoro che occorre fare per portare q a distanza infinita, senza variazione di energia

cinetica, tramite il metodo della carica immagine. [R: /2 4 36.0JestL kq d ] 15. Un anello di raggio cm4.00R è uniformemente carico con densità lineare di carica μC/cm5.00 . Una carica μC8.00q viene posizionata nel centro dell’anello. Calcolare l’energia potenziale del sistema. [R: 226J ]

2. Il potenziale elettrostatico

Ricordiamo che si è definito campo elettrico il rapporto fra la forza elettrica che agisce su di una piccola carica di prova q in un punto dello spazio, e la carica stessa, cioè la forza per unità di carica. Il campo elettrico consente una descrizione dei feno-meni elettrici senza usufruire del concetto di azione a distanza, ma assegnando delle proprietà allo spazio stesso. Ci proponiamo ora di definire una grandezza fisica, il po-tenziale, che rivesta un ruolo analogo nei confronti dell’energia potenziale, cioè l’energia potenziale per unità di carica. Supponiamo quindi di avere un certo numero di cariche iQ vincolate ad occupare delle posizioni nello spazio (oppure su di un cor-po): esse daranno origine ad un campo elettrico nella regione circostante. Scriviamo ora l’energia potenziale ( )U q associata ad una carica q posta fra le tante cariche iQ di questo sistema. Essa sarà una parte dell’energia potenziale associata all’intero sistema di tutte le cariche, precisamente quella che si ottiene sommando i soli addendi in cui fi-gura q :

1 2 3

1 2 3

( ) ...Q q Q q Q q

U q kr r r

1Q

q

3Q2Q

1r

2r3r

s

1q

3q

2q4q

d

0lim /q

E F q

a

b

cc

267

dove 1r , 2r , 3r sono le distanze fra q e ciascuna delle iQ . Se le cariche iQ si trovano localizzate su di un corpo, e su di esso viene posta anche la carica q , la grandezza

( )U q rappresenta il lavoro che le forze del campo elettrico - dovuto a tutte le iQ di-verse da q - compirebbero qualora q venisse prelevata dalla sua posizione e porta-ta a distanza infinita dal corpo stesso mentre le altre rimangono congelate nella loro posizione. Quindi un corpo carico possiede la capacità di conferire energia potenziale? Considerando le cose da un differente punto di vista, si può dire che un corpo carico è capace di conferire energia potenziale ad ogni nuova carica che viene posta su di esso o nelle sue vicinanze. Un’analogia con la forza peso può aiutare: immaginiamo una collina, e una pietra che viene portata sulla sua cima. Assumendo come posizione di riferimen-to quella in cui la pietra si trova al livello del suolo, la forza peso compie, durante lo spostamento, un lavoro resistente. Nel momento in cui decidessimo di “smembrare il sistema” riportando la pietra nella posizione di riferimento, la forza peso ci agevole-rebbe, e, quindi, secondo la definizione data, la pietra in cima alla collina ha un’energia potenziale gravitazionale positiva, che è tanto maggiore quanto più alta è la collina. Tuttavia, indipendentemente dal fatto che vi si porti la pietra sopra, la col-lina si trova già là, ed ogni oggetto che vi viene posto acquisisce questa proprietà che prima non aveva, a cui si dà il nome di energia potenziale gravitazionale. In modo figurato, possiamo vedere nella pietra la carica q , e nella collina la capacità di confe-rire energia potenziale posseduta da un corpo carico, e dare ad essa il nome di po-tenziale. Come possiamo definire l’analogo elettrico dell’altezza della collina? Se nell’espressione di ( )U q raccogliamo a fattor comune il valore di q ci accorgiamo che l’energia potenziale di una carica in un campo elettrostatico è proporzionale alla carica stessa :

1 2 3

1 2 3

( ) ...Q Q Q

U q k qr r r

infatti i termini addizionati fra parentesi non dipendono da q . Se quindi calcoliamo il rapporto fra l’energia potenziale U e la carica a cui è associata:

( )U qq

e cioè l’energia per unità di carica, otteniamo una grandezza che non è più legata a q ma solo alla configurazione di cariche che genera il campo. Possiamo allora usare

/U q come misura della proprietà che ha la distribuzione di cariche di conferire energia potenziale ad una carica posta in un punto P dello spazio. E’ questa quanti-tà che potremmo intendere come altezza della collina elettrica nel punto P , e che pren-de il nome di potenziale elettrostatico V .

Potenziale elettrostatico: è la proprietà dello spazio che misura l’energia potenziale elettrica per Coulomb acqui-stata da una carica posta in un punto di quella regione. Un sistema di cariche punti-formi 1 2, ,...Q Q produce in un punto P che dista 1 2, ,...r r dalle cariche, un potenziale:

1 2 3

1 2 3

( )...

Q Q QU qV k

q r r r

energia potenziale

potenziale

1QP

3Q2Q

1r

2r3r

268

Come si utilizza il potenziale elettrostatico? Il valore del potenziale in un punto dello spazio permette di sapere subito quale sarà l’energia potenziale di una carica q posta in quel punto, in quanto, ribaltando la formula si ha ( )U q qV . Il ruolo svolto dal potenziale rispetto all’energia potenziale è analogo al ruolo svolto dal campo elettrico rispetto alla forza elettrica:

( )U q qV F qE

con la differenza che, mentre il campo elettrico è un vettore, il potenziale elettrostati-co è uno scalare. Per tale motivo si dice anche che il potenziale elettrostatico è un campo scalare, mentre il campo elettrico è un campo vettoriale: il primo definisce un numero in ogni punto dello spazio, il secondo definisce un vettore in ogni punto dello spazio. Anche V , come U , è relativo ad una posizione di riferimento. Come prima, la scelta più naturale in caso di distribuzioni di estensione finita, è quella di riferirsi ad una distanza infinita. L’unità di misura del potenziale si chiama volt , le sue dimen-sioni fisiche sono: V J / C , cioè una carica di C1 posta in un punto dello spazio che si trovi al potenziale di V1 rispetto all’infinito, acquista un’energia po-tenziale di 1J rispetto all’infinito. Se quindi in una regione sede di campo elettrico, una carica q si porta da un punto A ad un punto B, il lavoro della forza di Cou-lomb si scrive:

( )AB A BL U q V V q V Esercizi 16. Calcolare il lavoro della forza elettrostatica quando spostiamo una carica

C64.30 10q dal terminale positivo al terminale negativo di una batteria che mantiene una differenza di potenziale V1.5V V . Spiegare che relazione c’è fra il lavoro della forza elettrostatica ed il lavoro necessario per spostare la carica. Applicando la formula per il lavoro di una forza conservativa:

C V J6 6( ) 4.30 10 1.5 6.45 10EL U q V q V V

Il lavoro compiuto (dalla batteria, da un agente esterno…) per spostare la carica è uguale ed opposto a quello della forza elettrostatica solo se nel tragitto non è cambia-ta l’energia cinetica della carica (ad esempio se essa è ferma all’inizio ed alla fine). In caso contrario per trovare la relazione fra i due lavori bisogna conoscere la variazio-ne di energia cinetica, essendo: tot E nostroL L L K . 17. Calcolare il potenziale nel centro di un quadrato di lato cm10.0 , sui cui ver-tici sono tenute ferme quattro cariche uguali di valore nC3.00q . [R: V31.53 10 ] 18. Una carica nC1.20q inizialmente ferma a distanza infinita, viene portata e

bloccata nella posizione A in figura. Calcolare AV e il lavoro che occorre compiere dall’esterno per eseguire quest’operazione, sapendo che nC6.50Q e che

cm60.0 . [R V522 ,626 nJ ] 19. Calcolare il potenziale nel centro di un triangolo equilatero di lato m16.0 , sapendo che nei suoi vertici sono localizzate tre cariche μC1 3.00q , μC2 4.00q ,

μC3 7.50q . [R: 486V ] 20. Si misura un potenziale di V200 al centro di un pentagono regolare nei cui ver-tici sono fissate nC1 3.00q , nC2 2.00q , nC3 5.00q , nC4 4.00q ,

nC5 7.00q . Calcolare il lato del pentagono. [R: 0.476 m ]

q q

q q

?V

Q

A

Q

Q

Q

1q

200V

2q

3q

4q

5q

r

269

21. Una pallina di massa g6.00m e carica nC300q si muove da una posizione A dove il potenziale è V800 ad una posizione B dove il potenziale è V100 . Quando la pallina passa in B, si osserva che la sua velocità è m/s0.400 . Calcolare qual era la sua velocità in A. [R: 0.300 m/s ] 22. Un elettrone ( kg319.11 10em , C191.60 10e ) passa per la posizione A

in figura con velocità m/s64.00 10 . La particella avanza perpendicolarmente al segmento che ha vincolate negli estremi le due cariche nC0.800B Cq q , ed è diretta verso il punto medio D. Calcolare la velocità dell’elettrone quando passa per D sapendo che m2.00AB e 20 . [R: 63.34 10 m/s ] 23. Uno strato piano infinito è uniformemente carico con densità superficiale

μC/m26.00 . Una particella carica μC4.00q di massa g15.0m è posta fer-ma in una posizione A davanti allo strato. Essa viene spostata dall’azione del campo

elettrico lungo le sue linee di forza, per un tratto cm2.50AB . Calcolare il lavoro fatto dalla forza elettrostatica, la differenza di potenziale fra queste due posizioni, e la velocità della particella in B. [R: 21.36 10 J, 3400V,1.35 m/sA BV V ] 24. Una particella carica μC3.50q di massa g4.50m avanza perpendicolar-mente ad un quadrato di lato m1.50 , puntando verso il centro C. Nei vertici del quadrato sono vincolate quattro cariche identiche di valore Q . Quando si trova nella posizione A in figura, la velocità della particella è m/s1.40 . Sapendo che

m3.00AB , calcolare il valore di Q che fa giungere q ferma nel punto C. [R: 57.5 nC ] Che cos’è l’elettronvolt? L’elettronvolt ( eV ) è un’unità per la misura dell’energia (e quindi non per il potenziale) molto più piccola del joule, ed utilizzata nella fisica delle particelle elementari, dove l’ordine di grandezza delle energie coinvolte è assai minore rispetto a quello della scala degli oggetti. Un elettronvolt è l’energia guadagnata (oppure perduta) da una particella che abbia la carica di un elettrone, quando si muove tra due punti fra i quali la differenza di potenziale sia V1 . Il valore di un elettronvolt in joule è allora:

eV C V19 191 1.60 10 1 1.60 10 J

Sono spesso usati multipli keV eV31 10 , MeV eV61 10 , e GeV eV91 10 . Esercizi 25. Calcolare l’energia elettrostatica, espressa in elettronvolt, di un elettrone di un atomo d’Idrogeno nello stato fondamentale ( m100.529 10r ) e del sistema di due protoni nel nucleo dell’atomo di elio ( m151.7 10r ). Per l’elettrone nell’atomo di Idrogeno abbiamo:

(e eU k

19

) 1

1.60 10r

eV eV eV

9 19

10

8.99 10 1.60 1027.2

0.529 10

Il contributo positivo dell’energia cinetica è uguale alla metà dell’energia potenziale, come si dimostra imponendo che la forza elettrostatica sia uguale a quella centripeta:

2 2

2

v em k

r r

221 1 1

2 2 2

keK mv U

r

m

m

10

15

10

10

raggio di un atomo

raggio di un nucleo

ordini di grandezza

A

B

C

D

A B

A

B

C

q

Q

Q

Q

Q

270

quindi l’energia totale dell’elettrone è eV12

13.6eU , detta anche energia di legame.

Per la coppia di protoni nel nucleo di Elio abbiamo: (e e

U k19

) 1

1.60 10r

eV eV eV MeV

9 195

15

8.99 10 1.60 108.5 10 1

1.7 10

26. Un fascio di protoni ( kg271.67 10Pm , C191.60 10e ) è accelerato da un dispositivo che fornisce a ogni particella un’energia 1.20keVU . Calcolare la velo-cità che raggiungono, e la forza che essi esercitano su di una lastra metallica contro la quale colpiscono senza rimbalzare, cedendo la loro quantità di moto, in ragione di

particelle/s95.00 10n . [R: m/s N6 124.80 10 ,4.01 10 ]

Come possiamo raffigurare il potenziale nello spazio? Muovendo una carica lungo una traiettoria sempre perpendicolare alle linee di campo, la forza di Coulomb non compie lavoro. Dovendo essere

( ) 0fin inL q V V , è quindi costante il potenziale lungo tutto il tragitto. Spo-standosi nello spazio, per ogni fissato valore di V si individua quindi una su-perficie “bucata” perpendicolarmente dalle linee di campo, i cui punti sono tutti allo stesso potenziale, che è detta superficie equipotenziale. In figura sono riportate le superfici sferiche equipotenziali di una carica puntiforme positiva (valori di poten-ziale positivi dato che / 0V kQ r ) e le superfici equipotenziali di un dipolo.

Come sono orientate le linee di campo rispetto ai valori del potenziale? Consideriamo lo spostamento elementare s

(cioè rettilineo e piccolo rispetto alle distanze in gioco) di una carica unitaria. Se è l’angolo fra E

e s

, il lavoro del campo elettrico5 (cioè il lavoro per unità di carica) relativamente a questo spo-stamento si può scrivere nei due modi:

| | | | cosL V L E s

Nel caso particolare in cui ci si stia muovendo proprio lungo una linea di forza seguendone il verso, E

sarà sempre tangente alla traiettoria e quindi risulterà

cos 1 , da cui: | | | |V E s

ed essendo il modulo del vettore 0s possiamo concludere che, seguendo le linee di campo, si ha 0V , cioè si sta procedendo verso potenziali decre-scenti (ad esempio è ciò che accade partendo dalla superficie di un conduttore,

5 Poiché il campo elettrico è la forza per unità di carica, qui il simbolo L indica il lavoro per unità di carica.

qqq

V8

V64V

V2

V6

4V

V2

V4

V6

0V

9V

E

6V 3V

s

s

E

271

dove fanno capo le linee di campo, e muovendosi lungo di esse).

Le linee di campo sono orientate nel verso in cui diminuisce il potenziale. Spostan-dosi lungo le linee di campo di un tratto lungo | |s

si ha: | | | |V E s

. Quindi il campo spinge le cariche positive giù dalla “collina elettrica”.

Se invece lo spostamento s

avviene in una direzione qualunque, indicando con | | cossE E

la componente del campo elettrico lungo tale direzione avremo:

s sV

V E s Es

e cioè la componente del campo elettrico lungo lo spostamento è pari alla variazione del po-tenziale per ogni unità di lunghezza di cui ci si è spostati in quella direzione, presa con se-gno negativo in modo che sE sia positivo se ci si muove nel verso in cui il potenzia-le decresce. Chiaramente, maggiore è la variazione V del potenziale nel tratto di spostamento s , più grande risulta la componente sE del campo, quindi possiamo

vedere nel numero sE la rapidità con cui varia il potenziale in quella direzione.

l’intensità della componente del campo elettrico in una direzione esprime la rapidità con cui cambia il potenziale spostandosi in quella direzione.

Nell’analogia in cui il potenziale misura l’altezza della “collina elettrica” (e quindi V il cambiamento di altezza) il campo elettrico misura la pendenza di quella stes-

sa collina: "

" "

"

V altezza della collina elettrica

E pendenza della collina elettrica

Grazie alla formula /sE V s , le unità di misura del campo elettrico, anziché essere scritte N/C possono essere espresse in V/m senza cambiare il valore numerico.

Esercizi 27. Calcolare l’intensità del campo elettrico fra le armature di un condensatore piano (cioè un doppio strato uniforme di carica) sapendo che la loro differenza di potenzia-le è V12.0V V e la distanza che le separa cm6.00d .

Nel caso di un campo uniforme come quello fra le armature di un condensatore, la formula /sE V s consente il calcolo dell’intensità del campo semplicemente dividendo la differenza di potenziale fra due punti su di una stessa linea di campo per la distanza che li separa. Quindi il campo E

, orientato dall’armatura positiva

verso la negativa, ha intensità:

V/m V/m12.0200

0.0600

V VE

d

Che succede al potenziale nei punti dove sono localizzate le cariche? La formula per il potenziale di una carica puntiforme /V kq r produrrebbe un valore infinito in corrispondenza della posizione della carica 0r . Però tale formula è sta-ta ricavata sotto la condizione che la carica possa considerarsi un punto privo di di-mensioni, e questo è vero nello spazio intorno aq , ma non lo è più se tento di salire sopra ad essa, quindi non può essere adoperata per calcolare V nella posizione di q . Ricordando che le linee di campo sgorgano dai punti dove sono le cariche positive, e confluiscono in quelli dove si trovano le cariche negative, avremo che i primi saran-no punti di massimo del potenziale (cioè maggiore od uguale ai valori intorno) e i se-

La Controfisica L’intensità del potenziale non ha quindi nulla a che vedere con l’intensità del campo elettrico! L’intensità del campo è legata ai cambiamenti di potenziale. In un piano cartesiano che riporti l’andamento del potenziale nello spazio, il campo è la pendenza della retta tangente cambiata di segno.

0s

grandeE

0s

piccoloE

Volt [ ]V

metri [ ]s

0q

/V kq r

r

0q

/V kq r

r

campo elettrico intenso

E

E

V

campo elettrico debole

V

100V

0V

100V

0V

272

condi punti di minimo (cioè minore od uguale ai valori intorno). Difatti l’unico caso in cui le linee di campo possono uscire da un punto andando in qualunque direzione si ha quando tutt’intorno il potenziale è minore. Analogamente se entrano tutte in un punto si avrà che intorno ad esso il potenziale assume sempre valori maggiori che non nel punto, quindi:

le cariche positive sono dei massimi per il potenziale, le cariche negative dei minimi.

Esercizi 28. Fra le lastre di un doppio strato di carica si ha un campo elettrico unifor-me di intensità N/C800 . Calcolare che differenze di potenziale esistono fra i punti A , B e C vertici del triangolo rettangolo in figura.

I punti A e C sono sulla stessa superficie equipotenziale perché la retta che li contiene è perpendicolare alle linee di campo, quindi V0.0ABV . Per andare da B ad A ci si deve spostare parallelamente alle linee di campo quindi la differenza fra valore iniziale e finale del potenziale vale:

2( 800 6.0 10 ) V 48 VA BV V V E s E BA

ed è anche 48 VC BV V poiché come si è detto, A e C sono equipoten-ziali. 29. In figura sono riportate le superfici equipotenziali di una coppia di cari-che identiche. Calcolare il lavoro che compie il campo elettrico (1) quando una carica C62.30 10q viene portata dalla posizione A alla posizione B; (2) quando la carica viene portata da A in C passando per D. Si stimi in base a misurazioni di lunghezza fatte direttamente sulla figura, il valore del cam-po elettrico in A. [R: V/m6 27 10 J, 0J, 8 10 ]

30. Si consideri il triangolo isoscele ABC in figura, posto nella regione fra le lastre di un doppio strato piano di carica. Sapendo che V100AV e V300BV , e che

cm50.0AB , cm60.0BC calcolare la densità superficiale di carica del dop-pio strato e la componente del campo elettrico lungo il segmento AB. [R: nC/m V/m24.43 ,400 ] 31. In figura sono riportate due superfici equipotenziali del campo elettrico generato dalla carica q . Sapendo che le superfici sono due sfere concentriche, i cui raggi diffe-riscono di 6.00cm , calcolare il valore del campo elettrico su di una sfera centrata

nella carica, di raggio pari alla media geometrica 1 2Gr r r .di quelli delle due sfere.

[R: V/m0.5 ] 32. In figura sono riportate due circonferenze equipotenziali generate da un filo retti-lineo infinito, uniformemente carico con densità lineare , su un piano perpendico-lare al filo. Sapendo che cm1 10.0r , cm2 13.0r , stimare il valore di . [R: nC/m12.8 ] 33. In una regione dello spazio le superfici equipotenziali hanno la forma rappresen-tata in figura. Tracciare l’andamento delle corrispondenti linee di campo, specifican-do la zona dove esso è più intenso. Calcolare il valore di una carica q che si sposta dalla posizione A alla posizione B con una variazione di energia cinetica

μ48 JK , se le forze del campo elettrostatico sono le sole ad agire su q . [R: μC4.0 ]

V9

V9

V6

V3

A

B

D

C

cm10

8.0 cm CA

B

cm6.0

E

CA

BE

V8

5V

q

2rV90

V30

1r

V18V22

V14V10

A

B

273

3. Potenziale e campo di conduttori carichi Come sono fatte le superfici equipotenziali di un conduttore carico? Come abbiamo visto, le cariche in eccesso in un conduttore si dispongono su di uno strato superficiale, e le linee di campo escono perpendicolarmente dal conduttore stesso. Di conseguenza la superficie di un conduttore carico in equilibrio elettrostatico è equipotenziale. Se spostiamo una carica mantenendola sulla superficie del condutto-re, la forza di Coulomb non compie lavoro, essendo la traiettoria sempre perpendi-colare alla forza. Anche nello spazio interno il potenziale dovuto alle cariche in ec-cesso è costante. Infatti, dovendo in tale regione essere nullo il campo elettrico, quando si sposta una carica dentro il conduttore, E

compirà un lavoro sempre nul-

lo, da cui 0L V ovunque. Inoltre, il valore del potenziale interno dovuto solo6 alle cariche in eccesso, sarà esattamente lo stesso della superficie. Se, infatti, non fosse così, avremmo due possibilità: un valore all’interno più alto di quello sulla su-perficie, e cioè dentro vi sarebbe un massimo del potenziale, oppure un valore più basso, e cioè dentro vi sarebbe un minimo. Ma come si è visto, massimi e minimi comportano una localizzazione di carica da cui le linee di campo devono sgorgare, e ciò all’interno di un conduttore non è possibile:

l’intero spazio occupato da un conduttore carico in equilibrio elettrostatico risulta equipotenziale.

Se quindi abbiamo un conduttore carico positivamente, isolato nello spazio e di estensione finita, le linee di campo partono dal conduttore per giungere all’infinito (o dall’infinito per entrarvi se il conduttore è carico negativamente). Ne segue che le superfici equipotenziali sono, per così dire, ”parallele” alla superficie del con-duttore, nel senso che ne riproducono la forma almeno nelle immediate vicinanze. Cosa succede alle linee di campo in presenza di due o più conduttori? Come esempio, consideriamo le situazioni proposte nella figura seguente.

6 Se non ci limitiamo all’effetto delle cariche in eccesso, allora anche quando il conduttore è neutro, il valore del potenzia-le interno è di alcuni volt superiore a quello della superficie, a seconda del metallo. Questo perché deve esistere un campo elettrico diretto sempre dalla superficie verso l’esterno, dovuto al fatto che il reticolo cristallino termina, e l’azione elettri-ca degli ioni più esterni non è più controbilanciata da quelli vicini. Questo campo ha un verso tale da confinare gli elet-troni di conduzione sul conduttore impedendogli di fuoriuscire (viene detta una barriera di potenziale). Il suo valore è molto più intenso di quello del campo dovuto ad un eccesso di carica elettrica eventualmente presente, tuttavia esso agisce solo su scala microscopica. La barriera di potenziale non è quindi in grado di produrre moti ordinati d’insieme, e rimane inal-terata dal piccolo disturbo dovuto all’eventuale presenza di uno strato di carica in eccesso.

La Controfisica Ricordiamo che gli elettroni del mare di conduzione non sono fermi, ma in stato di agitazione termica, cioè animati da velocità con direzioni distribuite in modo del tutto casuale nello spazio, che già a temperatura ambiente sono dell’ordine delle centinaia di migliaia di metri al secondo. Inol-tre sono sottoposti ai campi ge-nerati dagli ioni del reticolo e dagli altri elettroni. Tuttavia, su di una scala grande rispetto alle di-mensioni atomiche, questi campi microscopici hanno un valore medio nullo, cioè qualunque su-perficie possiamo immaginare internamente al conduttore, essa verrà attraversata, nello stesso intervallo di tempo, da un uguale numero di elettroni tanto in un verso quanto nel verso opposto. E’ su questa grande scala, dove sono assenti i moti ordinati d’insieme, che consideriamo equipotenziale lo spazio occupato dal conduttore.

B AV VAV

AV BVcostanteCV

E

costanteV

274

Nel disegno a sinistra abbiamo due conduttori affacciati, carichi dello stesso segno ma a potenziale diverso, A BV V . Il conduttore a potenziale minore subisce un fe-nomeno di induzione più marcato per la presenza dell’altro. Nella regione d‘affaccio, le linee di campo vanno da quello a potenziale maggiore verso quello a potenziale inferiore, mentre esternamente andranno verso l’infinito, dove il potenziale è nullo. Va sottolineato che i conduttori sono entrambi equipotenziali, anche se la densità di carica che si raccoglie sulle superfici è di segno diverso in differenti punti, e le linee di campo che fanno capo ad essi, in parte escono ed in parte entrano. Nel disegno a destra invece, abbiamo posto un conduttore C nella regione di spazio dove ha sede il campo elettrico generato da altri due conduttori A e B, e dove subisce il fenomeno dell’induzione elettrostatica. Le cariche al suo interno raggiungeranno presto una configurazione di equilibrio per cui il potenziale di C è costante, anche in questo ca-so con linee di campo che sono sia entranti che uscenti.

Esercizi 34. Si dica se è possibile che le linee di campo di un conduttore carico abbiano l’andamento disegnato nella figura qui a lato. Una stessa linea di forza non può uscire da un conduttore per poi tornarvi, perché in tale caso il punto di rientro sarebbe a potenziale più basso di quello d’uscita, cosa non compatibile col fatto che la superficie deve essere equipotenziale. Quindi la si-tuazione proposta è impossibile. 35. Si dica se è possibile che le linee di campo di un conduttore carico abbiano l’andamento dall’infinito e verso l’infinito come nella figura a lato. [R] Quanto vale il potenziale su di una sfera conduttrice carica? Sappiamo che le cariche in eccesso su di un conduttore si distribuiscono sulla sua su-perficie, quindi il problema consiste nel trovare il potenziale generato da una distri-buzione di carica su di una superficie sferica. In base al principio di sovrapposizione, il potenziale in un punto P dello spazio è la somma dei potenziali generati da tutte le cariche 1 2, ,...q q che risiedono su questa superficie sferica:

1 2

1 2

...q q

V k kr r

in cui 1 2, ,...r r sono le distanze di ciascuna carica daP . Giacché il potenziale di un conduttore è costante su tutto lo spazio occupato, possiamo calcolare V ponendo P nel centro della sfera. In questo modo ogni carica dista da P sempre quanto misura il raggioR , cioè 1 2 ...r r R , da cui:

1 2 1 2( ...)...

q q q q qV k k k k

R R R R

dove iq q è la carica complessivamente presente sulla sfera. Anche se il con-duttore carico non ha forma sferica, la formula /V kq R può essere usata per una rapida stima dell’ordine di grandezza del suo potenziale. Quant’è il potenziale generato da una sfera carica a grande distanza dal centro? Una sfera uniformemente carica, se vista da una distanza r maggiore rispetto al suo raggio R di almeno un ordine di grandezza, si comporta come una carica punti-forme. Pertanto possiamo adoperare per essa l’espressione del potenziale valida nel caso in cui tutta la carica q fosse localizzata nel suo centro: /V kq R .

costanteV

possibile?

1r

P2r

1q

2q

costanteV

possibile?

275

Esercizi 36. Un generatore di Van de Graaff è costituito da una cinghia isolante che, mossa da una manovella, si carica per strofinio e deposita su di una cupola metallica di raggio

cm17.5R una carica nC80.0q . Calcolare il potenziale della cupola. Una sfera metallica di raggio cm5.00r entra in contatto con la cupola e poi viene separata. Calcolare la carica che si deposita sulla sfera metallica. Prima del contatto, il potenziale a cui si porta la cupola del generatore può essere calcolato con la formula per una sfera metallica di raggio cm17.5R :

99 80.0 10

8.99 10 V 4110 V0.175

qV k

R

Durante il contatto le due sfere costituiscono un unico conduttore, quindi i loro po-tenziali devono essere uguali: indicheremo con V questo valore comune. La carica complessiva di nC80.0 si ripartirà in due frazioni 1q e 2q direttamente proporziona-li ai raggi delle sfere, infatti:

1 2 1

2

q q q RV k k

R r q r

Per la conservazione della carica abbiamo nC1 2 80.0q q q , da cui:

2 22 2 2 ( )

q q q rr q q Rq q q

R r R r

2

2 2 2

5.00 1080.0 nC 17.8 nC

17.5 10 5.00 10

rq q

R r

37. Due sfere metalliche separate, di raggi rispettivamente cm1 30.0r ed

cm2 20.0r contengono una carica complessiva nC100q , ripartita in parti ugua-li. Calcolare di quanto varia il potenziale di ciascuna nel momento in cui sono poste a contatto. [R: V V1 2300 , 450V V ] 38. Da una sfera di raggio R si vuole estrarre un terzo della carica q che essa contie-ne. Calcolare il raggio dr i una seconda sfera metallica neutra che, posta a contatto con la prima, permette quest’operazione. Calcolare di quanto varia il potenziale Vdella prima sfera nell’estrazione. [R: / /2, 3R V ] 39. Una carica puntiforme nC5.60q è portata, da distanza infinitamente grande, sulla cupola di un generatore di Van de Graaff. Sapendo che la cupola contiene una carica nC120Q ed ha un raggio cm14.0R si calcoli: (1) il lavoro eseguito dall’esterno per compiere questa operazione, (2) il lavoro eseguito dalla forza elettro-statica. [R: 54.32 10 Jest elettL L ] 40. Si calcoli il lavoro necessario per estrarre un elettrone ( C191.60 10e ) da una sfera metallica di raggio cm50.0r contenente una carica μC130Q e por-tarlo ad una distanza dal centro della sfera pari a m6.00d senza variazione di energia cinetica, ed il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica durante l’operazione. [R: 133.19 10 Jest elettL L ] 41. Una sfera metallica di raggio cm20.0R viene caricata negativamente ad un potenziale kV3.00V . Calcolare la massa complessiva degli elettroni aggiuntivi

R

r

276

che sono stati depositati sulla sfera per conferirgli questo potenziale. C19( 1.60 10e , kg319.11 10 )em . [R: kg193.80 10 ]

42. Quattro gocce d’acqua di raggio mm0.600r , che contengono una carica

nC0.400q ciascuna, si fondono in un’unica goccia. Calcolare il potenziale della goccia grande. [R: kV15.1 ] Quanto vale il campo in prossimità di un conduttore carico? Prendiamo una porzione della superficie esterna del conduttore, così piccola da po-tersi considerare piana. Si immagini una superficie cilindrica che abbia le basi di area A , a cavallo del bordo del conduttore, e parallele alla porzione di superficie scelta, come in figura. La direzione normale alla superficie sarà quindi perpendico-lare al piano contenente A , ed il flusso del vettore E

attraverso il cilindro sarà dato

soltanto dal prodotto dell’intensità di E

per l’area della A esterna. Infatti, essendo nullo il campo dentro il conduttore, sarà nullo il suo flusso attraverso la superficie di base interna, ed essendo la normale alla superficie laterale del cilindro perpendicola-re al campo elettrico, sarà nullo anche il flusso attraverso di essa, pertanto:

( ) | |cilindro E E A

Applicando il teorema di Gauss si ha che 0( ) /cilindro internaE Q

, dove la carica in-terna è quella localizzata sulla porzione superficiale di conduttore intercettata dal ci-lindro ed evidenziata in figura. Detta la densità superficiale media su quella zona del conduttore, risulta7 internaQ A e di conseguenza:

0

( ) | |cilindroA

E E A

A

0

L’area si è semplificata uguagliando le espressioni, e si è ottenuto il seguente:

Teorema di Coulomb Il campo elettrico sulla superficie di un conduttore carico, in un punto dove la densi-tà superficiale di carica vale , ha intensità:

0

| |E

che fornisce l’intensità del campo elettrostatico in prossimità di un conduttore carico. Se il conduttore è carico positivamente avremo 0 e quindi ( ) 0E

: il campo

elettrico dà luogo ad un flusso positivo attraverso una superficie chiusa e quindi la sua direzione è uscente da essa e dal conduttore. Analogamente, E

entra nel condut-

tore se 0 . Nulla cambia se immaginiamo la base esterna del cilindro appoggiata sul conduttore. In questo modo possiamo affermare che il teorema di Coulomb forni-sce il valore di E

proprio sulla superficie.

Esercizi 43. Si dimostri che il campo elettrico è più intenso in prossimità delle punte schema-tizzando un conduttore a punta come composto di due sfere a contatto aventi raggi differenti ed usando il teorema di Coulomb.

7La carica che si dispone su ogni unità di superficie del conduttore, in generale non è un valore costante ma è legata alla sua curvatura. Avendo però scelto per le basi del cilindro un’estensione così piccola da poter considerare piano il conduttore in quella regione, possiamo ritenere costante al suo interno e pari al valore medio in quella zona.

La Controfisica Se poi, addirittura, facciamo rien-trare la base esterna del cilindro nel conduttore, avremo che la carica racchiusa dal cilindro andrà man mano diminuendo, di modo che il campo elettrostatico, avente sempre direzione normale, va di-minuendo anch’esso in intensità dentro lo strato superficiale occu-pato dalle cariche, fino ad annul-larsi entro pochi spessori atomici.

E

A

1R

2R

277

Le due sfere conduttrici, essendo a contatto, è come fossero un unico conduttore, si porteranno pertanto allo stesso potenziale: 1 2V V . Indicando con 1Q e 2Q le por-

zioni di carica totale che si localizzano su ciascuna di esse ( 1 1Q Q Q ), dalla for-mula che dà il potenziale di una sfera abbiamo:

1

04

Q

2

1 04

Q

R

2R

e cioè la carica si distribuisce proporzionalmente ai raggi delle sfere:

1 2 1 2/ /Q Q R R . Dal teorema di Coulomb segue che il rapporto fra i campi elettrici in prossimità delle superfici sarà dato da:

1

01

2

| |

| |

E

E

2

0

1 1

2 4

Q

21

4

R

212

2

RR

Q

2R

22R21R

2

1

R

R

Quindi la sfera di raggio più piccolo ha un più intenso campo elettrico. 44. La cupola sferica di un generatore di Van de Graaff ha un raggio cm25.0R e viene caricata fino a portarla ad un potenziale di V5000 . Si calcoli il campo elettrico in prossimità della sua superficie. [R: kV/m20.0 ] 45. Il potenziale di una sfera metallica vale kV0.900V e la sua densità superficia-le di carica è nC/m245.0 . Calcolare il raggio della sfera. [R: cm17.7 ] 46. L’aria, in condizioni normali è un isolante, ma diventa conduttrice se sottoposta ad un campo elettrico d’intensità superiore a 63.00 10 V/ m . Calcolare la massima carica che può essere posta una sfera metallica di raggio cm50.0R e il potenziale

massimo corrispondente. [R: μC V683.4 ,1.50 10 ]

Cos’è un tubo di forza e quali proprietà ha? Seguiamo ora un tubo di forza, cioè l’insieme di tutte le linee di forza individuate partendo da un contorno chiuso che giace sulla superficie di un conduttore, e giunge sulla superficie di un secondo a delimitare un altro contorno chiuso. Avremo che, all’interno del secondo contorno, sarà localizzata una carica uguale ed opposta a quella racchiusa dal primo. Per convincersene basta applicare il teorema di Gauss alla superficie chiusa ottenuta completando il tubo di flusso con delle calotte come le

1S e 2S , tutte interne ai conduttori. Il flusso del campo elettrico attraverso la super-ficie complessiva è nullo, perché lungo la superficie laterale del tubo la normale è sempre perpendicolare al campo elettrico, mentre su 1S ed 2S , tutte interne ai con-duttori, il campo vale zero.

1S2S

S

A

B

l'induzione dall' interno è sempre completa

tubo di flusso

278

Se ne conclude che la somma delle cariche interne fa zero anch’essa e che quindi le regioni racchiuse dai due contorni originari, evidenziate in verde in figura, conten-gono un quantitativo di carica uguale ed opposto.

Quali sono le proprietà dello schermo elettrostatico? Già sappiamo che il campo elettrico nella cavità di un conduttore A, quando questa è vuota, deve essere nullo indipendentemente dalla carica posta su di esso. Se ora all’interno della cavità neutra si viene a trovare un altro conduttore B, dotato di cari-ca complessiva pari a Q , sulla superficie interna della cavità, per induzione, si loca-lizza una certa quantità di carica: dimostriamo ora che, nel caso di questa geometria, la carica indotta è Q , cioè esattamente uguale ed opposta a quella inducente. Pren-dendo una superficie chiusa come la S in figura, tutta interna al conduttore A in mo-do che essa, a sua volta, contenga la cavità, abbiamo che ( ) 0S E

, essendo

0E

nello spazio occupato dal conduttore. Per il teorema di Gauss, inoltre, è

indotta 0( ) ( )/ 0S E Q Q

, da cui necessariamente segue: indottaQ Q . Si giunge alla stessa conclusione anche osservando che tutti i tubi di flusso come quello evidenziato in figura, contengono una carica complessivamente uguale a zero. Poi-ché l’induzione non può alterare la carica complessiva sul conduttore cavo, avremo poi che sulla superficie più esterna si andrà a disporre una carica uguale ed opposta a Q , e cioè all’esterno si riproduce Q . Questo risultato è noto come fenomeno dell’induzione completa e trova applicazione in dispositivi analoghi al pozzo di Fara-day utilizzato per l’elettroscopio. Che cosa si percepisce dall’esterno di uno schermo elettrostatico? Per la particolare sovrapposizione degli effetti che questa configurazione geometrica produce, la carica interna complessiva, data da Q distribuita su B e da Q indotta sulla parete interna di A, genera un campo elettrico che risulta diverso da zero solo

all’interno della cavità. La loro azione combinata, nello spazio fuori di A, è nulla: all’esterno si percepisce unicamente la carica Q distribuita sulla su-perficie dell’involucro esterno. Per dimostrare questa proprietà osserviamo che il campo nello spazio fuori di A è il risultato della sovrapposizione di quello delle cariche sulla superficie del guscio esterno e di quello dovuto alle cariche interne alla cavità. Se quindi disperdiamo le cariche sul guscio esterno, ad esempio collegando A con la terra, resterà solo il campo dovuto alle cariche interne. Come sappiamo, il campo complessivo delle cariche interne deve essere nullo nella regione metallica, pertanto se le cariche interne generassero un campo anche nello spazio esterno ad A, esso dovrebbe ri-

partire improvvisamente fuori dal guscio, dopo una brusca interruzione. Questo è impossibile perché le linee di campo possono nascere solo là dove sono localizzate le cariche, e se il campo ripartisse nello spazio fuori di A, le sue linee dovrebbero sgorgare dal nulla. Pertanto:

Proprietà dello schermo elettrostatico le cariche interne ad un guscio metallico non creano campo fuori dalla cavità, ed ogni loro azione non è percepibile all’esterno del guscio stesso. Che accade fuori dallo schermo elettrostatico se si muove B nella cavità? Se muoviamo B all’interno della cavità, oppure lo portiamo a contatto con essa in modo che si scarichi, la carica Q sull’esterno di A non muta il suo valore, ma anzi si va sempre a distribuire sulla superficie nell’unico modo in cui questa risulta equipo-tenziale. Una carica q , ad esempio positiva, posta in prossimità di A, interagisce con

conduttore esterno a terra

A

B

279

le cariche presenti sulla superficie esterna e con quelle che vi induce, ma non risente della presenza e dei movimenti di B. In maniera del tutto simmetrica, B non risente degli spostamenti di q . Ciò che accade è che il campo complessivamente generato da q e dalla carica da essa indotta sulla superficie esterna di A, è diverso da zero solo all’esterno del conduttore. Nello spazio da esso occupato, il campo è nullo per le proprietà elettrostatiche dei conduttori, e dentro la cavità, come si è già osservato, non potrebbe ripartire dato che non vi sono cariche localizzate legate ad esso. Agendo da fuori si può cambiare la differenza di potenziale fra il guscio l’interno? Le differenze di potenziale nello spazio occupato dal conduttore ed in quello rac-chiuso non possono essere cambiate dall’esterno: la presenza di qualunque carica q nelle prossimità può avere l’unico effetto di sommarvi o sottrarvi un valore costante

0V . Alterare il potenziale in modo più complesso comporterebbe la comparsa di nuovi punti di massimo e di minimo. Se q potesse creare nuovi massimi o nuovi minimi di potenziale in un guscio vuoto, questi potrebbero stare solo dove si trovano i conduttori, e ciò sarebbe come dire che nuove cariche si sono create su di essi, vio-lando la legge di conservazione della carica. Ma perché si chiama schermo elettrostatico? Possiamo interpretare il complesso di fenomeni sopra descritti dicendo che tutto va come se il conduttore cavo schermasse le azioni delle cariche che racchiude, ma va ri-cordato che ciò che chiamiamo schermatura è solo l’ effetto del principio di sovrap-posizione nel caso di questa particolare geometria

4. I Condensatori Com’è fatto un condensatore? Consideriamo un sistema costituito da due lastre conduttrici sagomate per esempio a disco, di raggio R e spessore molto piccolo rispetto al raggio. Le lastre si trovano af-facciate l’una di fronte all’altra a distanza d , di dimensioni per cui sia d R , e su di esse viene distribuita la stessa quantità Q di carica, ma con segno opposto.

Una simile struttura prende il nome di condensatore, e le lastre conduttrici vengono dette armature. Le linee di forza del campo elettrico saranno quelle qualitativamente illustrate in figura, con la carica sulle armature per la gran parte concentrata sullo strato superficiale delle facce interne, a causa degli effetti di induzione reciproca.

Q

Qd

R

280

Quanto vale il campo elettrico fra le armature? Adopereremo, nel seguito, un modello che ben approssima condensatore reale, as-sumendo che le due cariche Q e Q siano interamente localizzate sulle superfici interne, e distribuite uniformemente su di esse. In tale modo trascureremo tutti i picco-li effetti ai bordi della struttura, ed il campo elettrico risulterà diverso da zero solo nella regione di affaccio, e lì perpendicolare alle armature. Questa semplificazione, unita alla condizione d R , permette di avvalersi della formula per il campo elet-trico del doppio strato infinito. Pertanto, se S è la misura della superficie dove la ca-rica è distribuita, fra le armature abbiamo un campo uniforme, la cui intensità nel vuoto vale:

00 0

| |Q

ES

La forma a disco delle armature è importante? La geometria a disco qui proposta non è vincolante: nelle realizzazioni pratiche la forma delle armature può essere di vario tipo, purché si rispettino le due condizioni di: induzione completa e distanza di separazione molto minore dell’ estensione li-neare. Sono concepibili, quindi, condensatori a forma di sfera contenuti in cavità me-talliche ad essa concentriche, a forma di cilindro, e così via. In generale qualunque coppia di conduttori affiancati è in una certa misura un condensatore, e può esserlo anche un singolo conduttore se si considera che l’ambiente circostante subisce feno-meni di induzione. Nello spazio fra le armature ci dev’essere aria? Nella realtà si è soliti porre fra le armature, al posto dell’aria, uno strato di dielettri-co, il quale si polarizza, e come si è visto a suo tempo, ha l’effetto di indebolire di un fattore 1/ r , a parità di carica localizzata, il valore del campo E

nello spazio interpo-

sto. Infatti, la tendenza delle molecole del dielettrico a deformarsi, o allinearsi lungo la direzione del campo, lascia neutra la regione interna e produce l’equivalente di uno strato superficiale di carica. Questo origina un campo aggiuntivo pE

che si so-

vrappone, con direzione opposta, ad 0E

, riducendo l’intensità del campo risultante:

0 pE E E

. Se lo spazio di separazione è omogeneamente riempito, si osserva sperimentalmente che, indipendentemente dalla carica Q localizzata sulle armature, il rapporto 0 / rE E

è legato unicamente al tipo di materiale dielettrico utilizza-

to. Il valore numerico di questo rapporto, 1r , prende il nome di costante dielettri-ca del mezzo. Fra le armature avremo quindi un campo di intensità:

0

0r r

EE

.

Nella pratica, come viene costruito un condensatore? La realizzazione pratica di un condensatore a facce piane parallele fa uso di alcuni accorgimenti tecnici, come quello di utilizzare per armature delle sottili strisce metal-liche separate da pellicole isolanti. La struttura viene avvolta a rotolo, come in figu-ra, e si presenta a forma di piccolo cilindro. Si costruiscono anche condensatori in cui una delle due armature è costituita da una soluzione liquida o gelatinosa, gene-ralmente di tetraborato di sodio, detti condensatori elettrolitici. La configurazione è quella di un involucro cilindrico di alluminio, contenente la soluzione elettrolitica, ed al centro un altro conduttore cilindrico di alluminio. Intorno a quest’ultimo, immerso nella soluzione, attraverso un opportuno passaggio di carica si fa formare un sottile strato di bollicine di idrogeno. Questo sottilissimo strato fa depositare sul conduttore interno dell’ossido di alluminio, che riveste il ruolo del dielettrico per questo tipo di

E dielettrico

Regione Neutra

E armature

Condensatoresferico

IsolanteConduttore

soluzioneelettroliticaOssido

diAl

Condensatoreelettrolitico

281

condensatore. L’involucro e la soluzione possono quindi essere caricati negativamen-te, mentre il conduttore interno fa da armatura positiva. Ma a cosa serve un condensatore? Un condensatore è un sistema di due conduttori carichi, quindi come tutte le distri-buzioni di carica, possiede energia potenziale elettrostatica. Realizzare un condensa-tore è quindi un modo per intrappolare le cariche in una certa configurazione, e di-sporre di un “serbatoio” di energia potenziale.

Condensatore è un dispositivo in grado di accumulare energia potenziale elettrostatica

L’energia potenziale elettrostatica è il lavoro svolto dal campo elettrostatico quando si smembra una configurazione di cariche e si portano le cariche all’infinito: nel caso del condensatore dovremo quindi separare fino a distanza infinita le cariche in ecces-so su ciascuna delle armature8. Al termine dello smembramento avremo quindi due lastre conduttrici neutre affacciate. Il fatto che la forza elettrostatica sia conservativa ci autorizza a dire che il lavoro svolto dal campo durante qualunque processo che conduca ad un tale stato finale è sempre pari all’energia potenziale del sistema, an-che quello che pone in collegamento fra loro le due armature cariche, colmando l’eccesso positivo di una con l’eccesso negativo dell’altra. Pertanto l’energia potenzia-le elettrostatica del condensatore è anche il lavoro svolto dal campo elettrico durante il passaggio della carica in eccesso sull’armatura positiva a quella sull’armatura ne-gativa. Un tale processo è detto scarica del condensatore; e dato che la scarica è age-volata dalle forze del campo, l’energia potenziale di un condensatore è positiva. Come dobbiamo immaginarci un condensatore? È bene pensare al condensatore come ad come una molla compressa, in grado di rila-sciare la sua energia allungandosi di scatto non appena gliene venga data l’opportunità. Un condensatore si dice pertanto carico quando vi è stata incamerata energia potenziale. Si faccia pertanto attenzione all’ambiguità del termine carico, che, in questo caso, non si riferisce ad una localizzazione di carica elettrica. In effetti, un condensatore non accumula carica, dato che nel complesso si tratta di un oggetto neutro: la sua carica complessiva è 0Q Q . Un modello di condensatore che si rifà all’idraulica viene proposto qui a lato. Supponiamo che all’interno di una con-duttura piena di acqua vi sia una camera con una membrana elastica separatrice. Ta-le dispositivo blocca lo scorrimento dell’acqua al suo interno, e può, in un certo sen-so, essere caricato. Se, infatti, una pompa spinge l’acqua contro la membrana esten-dendola in una delle due direzioni, il condensatore idraulico incamera energia poten-ziale, senza tuttavia variare il quantitativo di acqua al suo interno, visto che all’incremento di liquido in una delle due regioni separate dalla membrana corri-sponde la diminuzione nell’altra. Se scolleghiamo la pompa e colleghiamo queste due regioni con un tubo, il condensatore sarà in grado di rilasciare l’energia incame-rata, spingendo l’acqua attraverso il tubo. Durante il processo si avrà una violenta scarica di liquido, ma al termine, il dispositivo sarà riempito esattamente dello stes-so quantitativo che conteneva inizialmente, e, viceversa, la sua energia potenziale sa-rà scesa a zero. Il condensatore torna utile tutte le volte che si ha bisogno di una sorta di molla elettrica: ovvero di produrre un intenso flusso di cariche che scorrano in un tempo brevissimo. Nei dispositivi di defibrillazione del cuore, ad esempio si fa am-pio uso di tale proprietà, così come nei flash delle macchine fotografiche.

8 Per portare all’infinito le cariche positive senza distruggere il reticolo dell’armatura possiamo immaginare che la lastra metallica si vada estendendo infinitamente, di modo che gli ammanchi di elettroni si disperdano su di essa a distanza infi-nita le une dalle altre.

La Controfisica Con una colorita analogia po-tremmo assimilare il condensato-re allo sciacquone del gabinetto! A differenza dell’acqua che scen-de un po’ per volta dal rubinetto, il condensatore incamera energia potenziale, cioè acqua in un pun-to in alto, e la rilascia tutta insie-me. (Il disegno è tratto da un’idea di Andrea Martocchia)

pompa

membranaelastica

282

Quale grandezza regola quanta energia può incamerare un condensatore? Calcoleremo ora la proprietà di incamerare energia in relazione alla carica che po-niamo su una delle due armature. Indichiamo con V il potenziale dell’armatura ca-

rica positivamente e con V quello dell’armatura negativa affacciata. Per raffigurare il condensatore useremo il simbolo qui a fianco. Definiamo prima una nuova gran-dezza fisica che descrive il condensatore esprimendo quanta carica Q si deve porre sull’armatura positiva (e quindi quanta Q sulla negativa) per ogni Volt di differenza di po-tenziale che si desidera stabilire. Si tratta del rapporto:

C

Q QC

V V V

dove per comodità si è posto CV V V per indicare la differenza di potenziale

fra le armature. Il numero C viene detto capacità del condensatore, e dipende dalla geometria (cioè dalla forma delle armature –piane, sferiche, cilindriche… - e dalla loro distanza reciproca) e dal dielettrico interposto fra le armature (aria, soluzione elettroli-tica, carta…). L’unità di misura della capacità prende il nome di farad (simbolo: F ) quindi F C/V1 1 . Si tratta di un’unità molto grande e si usano più che altro i suoi

sottomultipli: il microfarad ( μF F61 10 ), il nanofarad ( nF F91 10 ) ed il picofarad

pF F12(1 10 ) .

La capacità di un condensatore dipende anche da Q e CV ?

La capacità è utile perché è del tutto indipendente da Q e CV . Il quantitativo di carica da porre sulle armature per avere ogni Volt di differenza di potenziale non dipende né dalla carica già ivi presente né dalla differenza di potenziale già stabilita, ma è una costante, caratteristica di quel condensatore9. Dimostriamo che la capacità è una costante caratteristica solo della geometria e del dielettrico interposto, attraverso una catena di ragionamenti:

1. La geometria del condensatore costringe le cariche a distribuirsi in modo uniforme sulle due facce affiancate. 2. Se quindi Q aumenta di un certo fattore, di quello stesso fattore aumenta (es-sendo fissata la superficie). 3. Ne segue che del medesimo fattore cresce 0| | /E

.

4. Essendo | | / /CE V s V d

, e rimanendo fissa la distanza d fra le armature,

anche CV cresce nel medesimo rapporto. Pertanto la capacità di un condensatore (lontano da influenze esterne) è una costante: raddoppiando la carica Q raddoppia CV , triplicandola triplica, e così via.

Quanto vale la capacità di un condensatore piano? Calcoliamo la capacità di un condensatore piano, con armature di area A , se-parate da una distanza d . Come sappiamo, la diminuzione di potenziale spo-standosi lungo le linee di campo, vale | |V E d

. Poiché nel caso del conden-

satore le linee di campo vanno dall’armatura positiva a quella negativa, spostar-si lungo le linee significa avere inzialeV V e finaleV V . Nella formula che le-

ga campo elettrico e differenza di potenziale abbiamo allora V V V , da

9 Come utilità assomiglia in un certo senso alla resistenza, che introdurremo studiando la corrente, che è indipendente dalla tensione applicata e dalla corrente presente, come stabilito dalla legge di Ohm.

V

E

V

d

V

V

CV V V

283

[V/m]

6

6

6

6

6

6

6

3.0 10 1.0

60 10 2.1

16 10 3.7

100 10 5.4

14 10 5.6

12 10 6.7

35 10 2.2polipropilene

aria

teflon

carta

mica

vetro

neoprene

r

rigiditàsostanza dielettrica

cui si ricava:

| |V V

Ed

Ma sappiamo anche che fra le armature il campo elettrico è costante, e pari a

0| | /E

( 0| | / rE

nel caso di dielettrico interposto). Confrontando le due

espressioni otteniamo 0/V V d , che sostituito nella formula per C fornisce:

0 0Q AQC

V V d d

dove si è sfruttato il fatto che /Q A . Come cambia la capacità se vi è un dielettrico interposto? Ripetendo i passaggi la formula precedente cambia in: 0 /rC A d , cioè il dielettrico accresce il valore della capacità, dato che è sempre 1r . Questo significa che, a parità di carica posta sulle armature, un condensatore con dielet-trico raggiunge una minore differenza di potenziale, infatti l’espressione ( ) /V V Q C si trova ad avere un denominatore maggiore. Essendo

/| | ( )E V V d

, si spiegano ora le osservazioni sperimentali riportate ad

inizio di questa sezione, cioè che il dielettrico riduce il campo elettrico com-plessivo di un fattore r . È possibile che in certe condizioni si rompa il dielettrico? Qualunque sostanza isolante può diventare conduttrice quando la si sottopone a quel valore di campo elettrico in grado di disgregarne gli atomi, separando l’elettrone esterno dallo ione formato da nucleo ed elettroni interni10. L’intensità massima di campo elettrico che un isolante può sopportare senza rompersi è detta rigidità dielettrica: ad esempio per l’aria è V/m63.00 10 (valori per altri materiali so-no riportati in tabella). Sottoponendo un dielettrico fra le armature di un condensato-re, ad una differenza di potenziale tale da produrre un campo che supera la sua rigi-dità dielettrica, ha luogo attraverso di esso un rapido passaggio di cariche accompa-gnato da emissione di luce, detto scarica oppure arco elettrico, ed in altri modi anco-ra, a seconda della tipologia. Questo è il fenomeno che viene sfruttato nei tubi al neon usati per le insegne luminose (dove un gas naturalmente isolante diventa con-duttore) ed ha molti usi pratici quali la candela di accensione nei motori a scoppio, il saldatore elettrico ad arco, e numerosi utilizzi chimici e termici. Anche il fulmine è un esempio di bagliore prodotto da rottura dielettrica, in questo caso dell’aria. Le nu-vole, caricate negativamente dallo strofinio delle gocce d’acqua contro l’aria, indu-cono una carica positiva sul terreno sottostante, formando un gigantesco condensa-tore. Quando il campo elettrico che si stabilisce fra la terra e le nuvole supera i tre mi-lioni di volt al metro, si produce un violento passaggio di carica accompagnato da emissione luminosa e sonora.

Esercizi 47. Un condensatore è costituito da due armature quadrate, parallele, di superficie

cm2240 ciascuna, separate da uno spessore di mm8.00 . Si calcoli la capacità quan-do è interposta l’aria e quando è interposto un dielettrico di 6.00r . Se la distanza

10 In realtà la rottura dielettrica avviene perché gli elettroni si liberano dall’attrazione del proprio nucleo grazie ad un fe-nomeno di meccanica quantistica detto effetto tunnel.

Il teflon è una materia plastica altamente resistente alla tempe-ratura, molto utilizzata in cam-po tecnico ad esempio per guarnizioni di contatto con agenti corrosivi, per giunti a basso attrito, e per i fondi delle padelle antiaderenti. La mica è un minerale con gli atomi disposti in fogli stratifica-ti che si sfaldano, noto all’uomo sin dai tempi preistorici. È usa-to come isolante in cavi ed in condensatori, viene pressato per farne le finestre dei forni (data la sua resistenza al calore) ed i vetri delle serre. Polverizza-ta ha un uso cosmetico in cre-me dentifrici quale abrasivo. Il neoprene è una gomma sin-tetica assai porosa ed elastica. Trova molte applicazioni nell’industria (specie automobi-listica e nautica), per fare guar-nizioni, raccordi e rivestimenti. Di neoprene sono fatte le mute da sub. Il polipropilene è l’innovativa sostanza commercializzata con il nome di moplen, che valse il premio Nobel per la chimica a Giovanni Natta nel 1963. Mate-riale plastico estremamente versatile, di polipropilene sono fatte le bacinelle da cuci-na, le stoviglie di plastica, gli scolapasta, i secchi, i tubi di scarico e numerosissimi altri utensili comuni.

284

fra le armature raddoppia, si dica di quanto deve essere incrementata la misura del loro lato per mantenere la stessa capacità.

Dalla formula abbiamo: 12 4

03

8.85 10 240 10F 26.5 pF

8.00 10

AC

d

Interporre il dielettrico significa moltiplicare la capacità per r :

(6.00 26.5) pF 159 pFrC C Infine dalla formula si vede che ad un raddoppio della distanza, al denominatore nella formula, deve corrispondere un raddoppio dell’area, al numeratore, se si vuole

che la capacità non cambi. Quindi il lato deve crescere di un fattore 2 . 48. Un condensatore è formato da due lastre di area 2120 cm ciascuno, posti alla di-stanza di mm6.00 . Le lastre sono connesse ai capi di una batteria, cioè un dispositi-vo che le carica di segno opposto, stabilendo fra loro una differenza di potenziale di

V48.0 , e che poi viene scollegata. In queste condizioni viene inserita una lastra di mica ( 5.4)r di superficie uguale alle armature e spessore pari alla loro distanza. Calcolare il campo elettrico, la capacità, e la differenza di potenziale fra le armature prima e dopo l’inserimento. Indicheremo con il pedice 0 le grandezze prima dell’inserimento della lastra. Risulta:

V/m V/m300 3

48.0| | 8.00 10

6.00 10

VE

d

Calcoliamo la carica sulle armature, che essendo il condensatore isolato, non viene alterata dall’inserimento della lastra di mica:

00 0 0 0

AQ C V V

d

C C nC12 4

133

8.85 10 120 10 48.08496 10 0.850

6.00 10

Calcoliamo la capacità prima e dopo che la lastra è stata inserita, che come sappiamo dipende solo dalla geometria e dal dielettrico:

F F pF12 4

1300 3

8.85 10 120 10177 10 17.7

6.00 10

AC

d

0 rACd

F F pF12 4

133

8.85 10 5.4 120 10955.8 10 96

6.00 10

Per la nuova differenza di potenziale risulta:

V V9

012

0.850 108.9

96 10

QQV

C C

e per il nuovo campo elettrico:

V/m V/m33

8.9| | 1.5 10

6.00 10

VE

d

49. Un fascio di elettroni emesso da un filamento caldo, è accelerato attraverso una differenza di potenziale 1 2500VV , e passa orizzontalmente fra le armature di un condensatore come in figura. Le armature sono quadrate, di lato cm2.00 , di-stanti mm8.00d , e la differenza di potenziale fra esse vale 2 150VV . Calco-lare la deflessione verticale y con la quale gli elettroni escono dal condensatore. Trascurare l’azione della gravità.

VC

0V

0C

r

2V

1V

ye

285

Fissiamo un riferimento con l’origine nel punto in cui gli elettroni fanno ingresso nel-lo spazio fra le armature. Gli elettroni entrano in tale regione con una velocità solo orizzontale che può essere calcolata dalla conservazione dell’energia:

21

10 ( 0) ( 0) 0

2 e xK U m v e V

2 11

21

2 e x xe

e Ve V m v v

m

Considerato che la velocità orizzontale non viene influenzata dal campo del conden-satore, gli elettroni rimangono fra le armature per un tempo:

x

tv

Mentre sono fra le armature, il campo del condensatore, diretto in basso, /2yE V d

esercita sulle particelle una forza verticale yF diretta in alto, che produce

un’accelerazione:

2 2y y y

e

V e VF eE e a

d m d

Quando escono dalla regione fra le armature, gli elettroni hanno allora una deflessione verticale:

0y y 0yv2

2 22 2

1

1 1 1

2 2 2 2e

ye x e

e V e V ma t

m d v m d e V

m mm2 2 2

23

1

(2.00 10 ) 1500.000750 0.750

4 4 8.00 10 2500

V

d V

50. Un condensatore è formato da due armature di area 2140 cm ciascuna, alla di-stanza di mm8.00 . Fra le armature è interposta una lastra di teflon ( 2.1)r di su-perficie uguale alle armature e spessore pari alla loro distanza. Le armature sono connesse ai capi di una batteria, che stabilisce fra loro una differenza di potenziale di

V24.0 , e che poi viene scollegata. In queste condizioni la lastra di teflon viene sfila-ta. Calcolare la capacità del condensatore, la densità superficiale di carica sulle ar-mature, e la differenza di potenziale fra esse prima e dopo la rimozione del teflon. [R: pF pF nC/m V232.5 ,15.5 ,56 ,51 ]

51. Si deve progettare un condensatore a facce piane e parallele a forma di disco, con aria fra esse, che abbia la capacità di pF4.50 , da utilizzare in un dispositivo dove sarà sottoposto alla differenza di potenziale di V132 . Sapendo che il campo elettrico fra le armature raggiungerà i N/C41.20 10 , si trovi la distanza fra le armature, il lo-ro raggio e la massima carica che potranno ospitare. [R: cm cm nC1.10 , 4.22 ,0.594 ] 52. Un condensatore avente facce piane parallele di superficie cm230 , separate da uno spessore di mm0.450 , ha le armature poste ad una differenza di potenziale di

V220 . Sapendo che in queste condizioni sull’armatura positiva si hanno nC27.2 si dica qual è il materiale interposto. [R: , 2.1rteflon ] 53. Calcolare quanta carica possiamo immagazzinare in un condensatore a facce pia-ne parallele di superficie cm2130 separate da una distanza di mm2.80 quando lo colleghiamo ad una batteria di V4.50 . [R: nC0.185 ] 54. Le armature A e D di un condensatore, distanti mm50.0d , sono collegate ai capi di una batteria che mantiene sempre V45.0D AV V , con V0AV . Fra esse

A

V

B C D

286

vengono inserite due lastre piane conduttrici B e C, in modo che A, B, C, e D siano equi spaziati. Calcolare i potenziali BV e CV a cui si portano le lastre, il campo elettri-co nelle tre regioni che si creano e la carica complessiva su B e su C. [R: V V V/m C15.0 ,30.0 ,900 ,0 ] 55. Le armature B e C del problema precedente vengono collegate fra loro con un fi-lo. Calcolare i nuovi potenziali BV e CV a cui si portano le lastre, il campo elettrico nelle tre regioni che si creano e la carica complessiva su B e C, assumendo che la su-perficie delle armature sia cm2160 . Che succede se poi il filo viene rimosso? [R: V V/m nC22.5 ,1350 ,0.191 ,nulla ] 56. Le due armature di un condensatore hanno area 2210cm ciascuna, sono distanti

mm7.00 , e sono collegate ad una batteria che mantiene fra esse una differenza di potenziale V48.0V . La distanza fra le armature viene raddoppiata. Calcolare la carica sulle armature dopo l’operazione, e la differenza di potenziale, sia che l’allontanamento venga eseguito con la batteria collegata, sia scollegata. [R: nC V nC V0.612 ,48.0 ,1.27 ,96 ]

57. In un tubo catodico, un fascio di elettroni è accelerato attraverso una dif-ferenza di potenziale 1 2500VV , e passando orizzontalmente fra le arma-ture di un condensatore scarico produce un punto luminoso nel centro di uno schermo fluorescente posto a distanza cm24.0L dalla fine del condensato-re. Quando il condensatore viene caricato, il puntino si solleva in verticale di un tratto cm6.25h . Calcolare la differenza di potenziale 2V fra le arma-ture, sapendo che sono quadrate di lato cm2.00 , distanti mm6.00d . Verificare che gli elettroni non colpiscono le armature. Trascurare l’azione della gravità. [R: V mm /375 , 2.50 2y d ] 58. Sapendo che le nuvole più basse si trovano ad una distanza di km3.0 dal suolo, approssimando il sistema con un condensatore a facce piane parallele, si stimi la differenza di potenziale fra nuvola e suolo affinché scocchi un ful-mine. Si stimi la carica che la parte inferiore di una nuvola di km20.50 di superficie deve contenere perché ciò avvenga. [R: V C99.0 10 ,13 ] 59. Una cellula di un tessuto vivente può essere vista come un condensatore. Infatti, racchiude un fluido ricco di ioni positivi di potassio, mentre l’ambiente esterno è ricco di ioni positivi di sodio. Poiché la membrana cellulare lascia passare il potassio ma è impermeabile al sodio, la parete esterna si carica posi-tivamente e quella interna negativamente. Ne risulta una differenza di poten-ziale di mV80 . Assumendo uno spessore di nm8.5 , una superficie di

m9 25.00 10 e sia 6.0r si calcoli il campo elettrico nella membrana e la

sua capacità. [R: V/m pF69.4 10 ,31 ] 60. Un condensatore è composto di due dischi metallici di raggio cm9.00R a di-stanza mm8.00d e separati da aria. I dischi sono connessi ai capi di una batteria, cioè un dispositivo che li carica di segno opposto, stabilendo fra loro una differenza di potenziale a V12.0 , e che poi viene scollegata. Calcolare il campo elettrico fra le armature. In queste condizioni viene inserita una lastra di vetro ( 5.6)r di super-ficie uguale alle armature e spessore pari alla loro distanza. L’isolamento fa si che

3km

E

E

h2V

L

e

1V

287

non cambi la carica sulle armature. Calcolare la nuova capacità, la nuova differenza di potenziale ed il nuovo campo elettrico. [R: V/m nF V V/m3 21.50 10 ,0.16 ,2.1 ,2.6 10 ] 61. Un elettrone ( kg319.11 10em , C191.60 10e ) penetra, in direzione orizzontale, all’interno di un condensatore piano, parallelamente alle armature, con velocità m/s68.00 10xv . La densità di carica sulle armature vale nC/m288.5 e il condensatore è lungo cm6.00 . Calcolare la direzione e l’intensità della velo-cità dell’elettrone quando esce dal condensatore. Trascurare l’azione della gravità. [R: m/s615.8 10 ,58.8 ] 62. Un protone e un elettrone sono rilasciati fermi in prossimità delle armature, ri-spettivamente positiva e negativa, di un condensatore piano, distanti d . La densità di carica sulle armature vale μC/m28.85 . Calcolare quale frazione di d sono di-stanti dall’armatura negativa quando s’incontrano, specificando se è lecito trascura-re la gravità ( kg271.67 10

Pm , kg319.11 10em , C191.60 10e ).

[R: /( )p e pd m m m ]

63. Un elettrone ( kg319.11 10em , C191.60 10e ) penetra, in direzione orizzontale, all’interno di un condensatore piano, parallelamente alle armature, con velocità m/s63.00 10xv . La densità di carica sulle armature vale

nC/m229.0 . Calcolare l’angolo /arctan( )y xv v che la tangente alla sua traiet-

toria forma con la direzione orizzontale dopo un tempo s83.00 10t , e servirsi di questo dato per trovare l’accelerazione centripeta e il raggio di curvatura della traiet-toria quell’istante. Trascurare la gravità. [R: m/s cm14 230 ,4.98 10 ,2.41 ] 64. Un nucleo di elio ( C193.20 10q , kg276.68 10m ) penetra, in direzione orizzontale, all’interno di un condensatore piano, parallelamente alle armature ed ugualmente distante da ognuna esse di uno spazio / mm2 4.00d . La densità di ca-

rica sulle armature vale nC/m288.5 e il condensatore è lungo cm6.00 . Cal-colare la velocità minima che deve avere la particella per non colpire le armature. [R: m/s60.464 10 ] 65. Fra le armature di un condensatore a facce piane parallele, distanti mm8.00d , è stabilita una differenza di potenziale V400V . Una carica μC3.00q viene spostata da A fino a D passando per il percorso curvo tratteggiato in figura. Calcola-

re il lavoro della forza esercitata dal campo elettrico sapendo che cm5.00BC . [R: 37.50 10 J ]

Facendo uso di C possiamo calcolare l’energia incamerata in un condensatore? La conservatività della forza elettrostatica ci consente di immaginare un qualunque processo per caricare le armature e calcolare l’energia potenziale della configurazio-ne ottenuta per questa via: in ogni caso il risultato è identico visto che il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita. Supponiamo quindi di partire dalle due armature neutre e di spostare di volta in volta un certo quantitativo di carica 0Q dall’armatura che diventerà negativa a quella che diventerà positiva. Sarà un po’ come scavare una buca nel suolo per costruire una collina con la terra estratta. Ad ogni spostamento di Q si ha un incremento pari a U nell’energia potenziale del condensatore, pari a:

e

e

p

e

Ca

v

/2d

He42

Q

( )V t

( )V t

A B

C D

288

[ ( ) ( )]fin inU U U QV t V t

Se volessimo calcolare l’energia potenziale finale, quando sulle armature abbiamo posto complessivamente la carica Q e fra di esse si è stabilita la differenza di poten-ziale V dovremmo addizionare tutti questi U :

1 2 ...U U U

Ma per ognuno dei U viene considerata una differenza di potenziale ( ) ( )V t V t che cresce ad ogni nuova aggiunta di carica, proprio come la collina di

terra sale di livello ad ogni aggiunta di materiale, ed ogni volta dobbiamo faticare un po’ di più per portarla fino in cima. Infatti, ogni nuova carica positiva Q strappata rende l’armatura negativa un poco più negativa, così da opporsi di più alla successi-va estrazione. Analogamente ogni aggiunta di Q sull’armatura positiva la rende

un poco più positiva, così da opporsi maggiormente al successivo inserimento. E’ insomma come una strana scala i cui gradini aumentano ad ogni nostro pas-so. Durante tutto questo processo, il rapporto ( )/ ( )CQ t V t è sempre costante, e pari a C . Se dunque raffiguriamo la relazione che definisce la capacità, in un piano avente sulle ascisse ( )Q t (carica sulle armature al tempo t ), e sulle ordi-

nate ( )CV t (differenza di potenziale fra le armature al tempo t ):

( )( )C

Q tV t

C

otteniamo una retta di coefficiente angolare 1/C . Come si vede, in questo piano ogni incremento di energia U corrisponde all’area del rettangolo sotteso dal-la retta, di base Q ed altezza ( )CV t . L’energia complessivamente incamerata

sarà pertanto l’intera area del triangolo evidenziato in giallo di base finQ ed al-

tezza finV , quelli che finora abbiamo chiamato semplicemente Q e CV , cioè ri-

spettivamente la carica depositata sulle armature e la differenza di potenziale rag-giunta. Si ottiene quindi:

Energia potenziale incamerata da un condensatore 2

21 1

2 2 2C CQ

U QV CVC

66. Il flash di una macchina fotografica è alimentato dalla scarica di un condensatore di capacità 400 FC caricato ad una differenza di potenziale fra le armature

300 VV V . Calcolare quanta energia rilascia quando viene scaricato.

L’energia rilasciata è quella incamerata nel condensatore: 2 6 21 1

2 2[ (400 10 )(300) ]J 6.00JU CV

67. La fibrillazione ventricolare è una contrazione del cuore in modo scoordinato. Poiché i muscoli sono delle macchine elettriche, è possibile ristabilire la normalità at-traverso il rapido passaggio di carica prodotto dalla scarica di un condensatore. Sa-pendo che il condensatore ha capacità 175 FC e che viene caricato con un’energia di 400 JU calcolare la differenza di potenziale fra le sue armature. [R: V32.00 10 ]

La Controfisica Una via alternativa per giungere alla formula U=QV/2 è osser-vare che V(t) cresce linearmente con la carica Q(t) sull’armatura positiva, e che quindi, vale per esso un risultato analogo al “teo-rema della velocità media” visto a suo tempo, per cui il suo valore medio è la media aritmetica fra il valore iniziale (nullo) e quello finale V, cioè (0+V)/2. Si ottie-ne l’energia potenziale assumen-do che la carica totale Q sia spo-stata in un solo passaggio fra duearmature a differenza di poten-ziale costante e pari al valore medio V/2, cioè U=QV/2.

( )( )C

Q tV t

C

CV

Q

0

Q

( )Q t( )Q t Q

( )CV t

finQ

finV

U

( )V t

( )V t

289

Come si calcola il lavoro della forza elettrostatica nel condensatore? Se cambiamo qualcosa nella configurazione del condensatore carico, ad esempio la carica sulle armature, oppure la differenza di potenziale fra di esse, o ancora il die-lettrico interposto o la geometria, il corrispondente lavoro della forza elettrostatica è pari alla variazione dell’energia potenziale elettrostatica nel condensatore fra le due situazioni 1U ed 2U :

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2

1 21 22 2 2 2 2 2

C V C V QV Q V Q QL U U U

C C

esprimibile nelle tre forme equivalenti sopra scritte, da utilizzare a seconda della convenienza del caso specifico. Con quanta forza si attirano le armature di un condensatore piano? Scriviamo l’energia di un condensatore piano rendendo esplicita la distanza fra le armature:

2 2

02 2

Q QU d

C A

Se la distanza viene incrementata di un tratto x il campo fra le armature compie un lavoro resistente:

2 2 2

0 0 0

( )2 2 2

Q Q QL U d d x x

A A A

Il lavoro si scrive anche | | cos180 | |L F x F x

, confrontando le due espressioni abbiamo:

2

10 0

| | | |2 2

QF Q E Q

A

Osserviamo che si sarebbe potuto giungere al risultato moltiplicando la forza eserci-tata dal campo generato da una sola armatura, /1 0| | 2E

sulla carica Q che si trova

sull’altra armatura.

Riassumendo, quali usi pratici si possono fare del condensatore? Nella pratica i condensatori sono usati per la loro capacità di:

(1) separare due regioni che in un dispositivo devono stare a potenziali differenti; (2) essere un serbatoio di energia potenziale da rilasciare o sotto forma di scariche brevi ed intense oppure un poco per volta per lungo tempo; (3) caricarsi e scaricarsi in continuazione, rispondendo a sollecitazioni esterne. Esercizi 68. Un condensatore piano è composto da due armature di superficie cm280.0 sepa-rate da una distanza di mm2.10 , fra le quali è interposta una lastra isolante, di co-stante 2.50r . Le armature vengono portate ad una differenza di potenziale di

V500 ed il condensatore isolato da tutto. Calcolare il lavoro della forza elettrostatica se si estrae la lastra dielettrica e la si porta lontano. Il lavoro della forza elettrostatica è pari alla variazione dell’energia potenziale elet-trostatica nel condensatore fra le due situazioni 1U con la lastra ed 2U senza lastra:

1U

1C

2U

2C

r

290

2 21 11 2 1 1 2 22 2

L U U U C V C V

Infatti, nell’operazione di estrazione non cambia la carica Q sulle armature, essendo il condensatore isolato, ma cambia la sua capacità, e di conseguenza cambia da 1V a

2V la differenza di potenziale fra le armature. Risulta:

F F pF12 4

121 0 3

8.85 10 5.00 100 10177 10 177

2.50 10r

AC

d

pF pF1

2 0

17770.8

2.5r

CAC

d

calcoliamo 2V ricordando che la carica è sempre pari al valore iniziale 1 1Q C V :

V1 12 1

2 2

1250r

C VQV V

C C

da cui infine: 2 2 2 2 12 51 1 1

1 1 2 22 2 2(177 500 70.8 1250 ) 10 J 3.32 10 JL C V C V

Il valore è negativo, cioè le forze interne compiono lavoro resistente. Il fatto che l’energia finale sia maggiore di quella iniziale, si deduce anche osservando che se la carica è costante, l’energia /2 2U Q C è inversamente proporzionale alla capacità, che diminuisce, passando da 1 2rC C al valore 2C . 69. Il condensatore dell’esercizio precedente, anziché restare isolato, viene collegato i capi di un generatore, cioè un dispositivo che ne mantiene sempre costante la diffe-renza di potenziale V500 . Calcolare il lavoro della forza elettrostatica quando si estrae la lastra dielettrica e la si porta lontano. Perché in questo caso l’energia finale è minore? [R: 51.33 10 J ] 70. Un condensatore a facce piane parallele ha le armature di superficie cm2120 , separate da una regione piena di aria spessa mm5.00 . Viene caricato con una diffe-renza di potenziale di V300 e poi isolato. Si calcoli il lavoro che svolge il campo elet-

trico se si avvicinano le armature portandole a distanza mm3.50 . [R: 72.87 10 J ] 71. Un condensatore a facce piane parallele ha le armature di superficie cm2250 , separate da una regione piena di aria spessa mm4.00 . Viene collegato i capi di un generatore, cioè un dispositivo che ne mantiene sempre costante la differenza di po-tenziale a V600 . Si calcoli il lavoro che svolge la forza elettrica se in queste condi-

zioni si avvicinano le armature portandole a distanza mm2.50 . [R: 65.97 10 J ] 72. Un condensatore a facce piane parallele ha le armature di superficie cm2200 cia-scuna, che distano mm3.00d . La differenza di potenziale fra le armature vale

V1500V . L’armatura positiva viene sospesa al piatto di una bilancia, e quella negativa è ancorata ad un supporto isolante. Calcolare la massa m da mettere sull’altro piatto affinché la bilancia stia in equilibrio. [R: g4.51 ] 73. Le armature di un condensatore a facce piane parallele, distanti mm1 6.00d , si

attirano con una forza di N25.00 10 . Calcolare il lavoro svolto dal campo elettrico, mentre il condensatore è collegato a un generatore che ne mantiene costante la diffe-renza di potenziale, se (1) la distanza fra le armature viene raddoppiata, (2) la distan-

za fra le armature viene dimezzata. [R: 4 41.50 10 J, 3.00 10 J ]

1C generatore

r

Cm

291

5. La densità di energia del campo elettrico

Quando una regione di spazio è sede di un campo elettrico significa che è stato compiuto del lavoro per distribuire le cariche nella configurazione che a tale campo dà luogo. Ad esempio lo spazio fra le armature di un condensatore è sede di un campo elettrico costante e per produrlo si è dovuto lavorare contro il campo elettrico al fine di separare le cariche che originano il campo e disporle sulle armature. Da un punto di vista matematico è comodo pensare che questa energia la si trova distribui-ta nella regione di spazio che è sede del campo, e quindi risulta utile associare una densità di energia ad ogni punto. Attenzione però che stiamo parlando solo di una comodità matematica, che non va presa alla lettera. L’energia è una grandezza fisi-ca associata all’interazione fra oggetti, e misura la capacità di produrre lavoro del sistema di corpi in questione11. Non esiste, nemmeno in linea di principio, dell’energia se-parata dagli oggetti che interagiscono. Quindi non bisogna immaginare l’energia come effettivamente localizzata nello spazio, ma piuttosto parlare di densità di energia in-tendendo con essa uno strumento per poter eseguire dei calcoli. Nota infatti la densità di energia, basterà moltiplicarla per il volume ove è localizzato il campo elettrico (ad esempio lo spazio fra le armature) per avere l’energia complessiva. Come si calcola la densità di energia del campo elettrico? Indicata con u l’energia del campo elettrico per unità di volume, il condensatore piano di area A e distanza di separazione d ne consente agevolmente il calcolo co-me segue:

12 CQVenergia

densità di energia uvolume d A

Esprimiamo ora u in funzione del campo elettrico. Si ricavano le relazioni:

00 0

| | | |Q

E Q A EA

| | | |CC

VE V E d

d

Che inserite nell’espressione per u forniscono:

01 1

2 2C

AQVu

dA

| | | |E E d

d A

20

1| |

2E

Quindi in una regione di spazio sede di campo elettrico E

costante, ad ogni metro cubo risulta associato un quantitativo di energia pari a 21

02| |E

.

Ma questa espressione che è stata ricavata per il condensatore vale in generale? Questa espressione è del tutto generale, e non dipende dal fatto che sia stata ricavata nel particolare caso di un condensatore piano. Infatti, se accadesse che la densità di energia dovuta ad una distribuzione di cariche che generano un campo di valore E

,

fosse dipendente da come sono disposte le cariche che lo producono, significherebbe che il campo elettrico non conterrebbe informazioni sufficienti per descrivere le pro-prietà fisiche di quella regione di spazio. Il campo elettrico sarebbe allora un concet-to sbagliato ed inutile se, per ipotesi, in una regione sede di un valore di E

identico

a quello fra le armature del condensatore, ma originato da una distribuzione di cari-che puntiformi, si avesse una diversa densità di energia. 11 La definizione di energia come “capacità di eseguire lavoro (in condizioni ideali)” ha senso se riferita ad un sistema e non ad un singolo oggetto.

292

E se il campo elettrico non è costante?

Chiaramente l’espressione 21

02u E

vale nel caso di campo costante: se l’intensità

di E

cambia da punto a punto, come vicino a una carica puntiforme, dovremo sud-dividere lo spazio in tanti cubetti all’interno dei quali il campo si può considerare co-

stante, applicare la formula 21

02u E

in ognuno di essi e poi fare la somma su

tutto lo spazio. 2 21 1

0 1 0 22 21 2 ...

energiaVol E Vol E

totale

Esercizi 74. Calcolare l’energia necessaria per instaurare un campo elettrico di V/m700 fra le armature di un condensatore distanti cm3.00 ed aventi una superficie di

m4 22.40 10 . Dalla formula per la densità di energia elettrostatica:

2 12 2 3 6 31 102 2| | ( 8.85 10 700 )J/m 2.17 10 J/mu E

L’energia si ottiene moltiplicando per il volume dello spazio fra le armature: p2 4 6 12(3.00 10 )(2.40 10 )(2.17 10 )J 15.6 10 J 15.6 JU

75. Calcolare la densità di energia in prossimità di uno strato piano infinito, unifor-

memente carico con densità superficiale C/m6 24.00 10 . [R: /m30.127J ] 76. Esprimere la densità di energia u a distanza x da un filo infinito, uniformemen-te carico con densità lineare . Calcolare il valore di u per cm4.00x e

C/m65.00 10 . [R: / /m2 2 2 308 ,22.4 Ju x ]

77. Esprimere la densità di energia u del campo elettrico in funzione della distanza x dalla superficie di una sfera di raggio R , carica con densità superficiale . Calco-lare u per cm3.00x , cm1.50R e C/m6 22.00 10 .

[R: / / /m2 4 3 30[2 (1 ) ],2.79 10 Ju x R ]

6. Serie e parallelo di condensatori

Combinando fra loro condensatori differenti e formando in tal modo dei sistemi, si possono ottenere valori differenti di capacità, e quindi variare a piacimento gli ac-cumuli di energia potenziale. In ogni caso al sistema in questione è sempre possibile associare una capacità equivalente, che lo sostituisca.

Capacità equivalente si dice capacità equivalente EC , di un sistema di condensatori, fra un punto 1 ed un punto 2, la capacità di quel condensatore che, quando viene collegata una sua arma-tura al punto 1 e l’altra al punto 2, è in grado di accumulare la stessa energia poten-ziale del sistema.

Quando sostituiamo a un sistema la sua capacità equivalente EC , osservando dai punti 1 e 2 non deve apparire nulla di fisicamente differente. Pertanto sull’armatura

q

2

1 11

02

1Volume

u E

2

2 21

02

2Volume

u E

293

di EC collegata al punto 1 dovrà depositarsi tutta la stessa carica che prima era ripar-tita fra le armature delle varie capacità a contatto con 1, e lo stesso varrà per il punto 2 . Vi sono due modi fondamentali di mettere in relazione due o più condensatori: in serie e in parallelo.

Che cosa si intende per collegamento in serie di due condensatori? Collegamento in serie Due (o più) condensatori si dicono collegati in serie fra un punto 1 ed un punto 2 quando, per andare da 1 a 2 siamo costretti ad attraversare le armature di tutti. Sulle armature di condensatori in serie si trova sempre la stessa carica Q, replicata a segni alterni.

Quanto vale la capacità equivalente ad una serie? La capacità equivalente di due condensatori A e B collegati in serie si ricava tenendo conto del fatto che, posta una carica Q sulla prima armatura, essa si riprodurrà, per induzione, su tutte le altre con i segni alternati, e che la differenza di potenziale fra il punto 1 ed il punto 2 è la somma delle differenze di potenziale intermedie. Si scrive quindi:

A BV V V

La capacità equivalente EC , messa fra 1 e 2 al posto della serie, una volta caricata con la medesima carica Q che si pone su ciascuno dei due condensatori, dovrà gene-rare una differenza di potenziale fra le sue armature pari proprio a questo valore

V . Solo in questo modo, infatti, essa incamererà la stessa energia della serie. Do-vrà quindi essere:

EQ

CV

E poiché è, per definizione, /A AC Q V e /B BC Q V , sostituendo:

E A B

Q Q Q

C C C

e, semplificando:

1 1 1

E A BC C C

Da tale formula si evince che la capacità equivalente ad una serie è più piccola della più piccola capacità presente. Che cosa s’intende per collegamento in parallelo di due o più condensatori?

Collegamento in parallelo Due (o più) condensatori si dicono collegati in parallelo fra un punto 1 ed un punto 2 se possiamo andare da 1 a 2, con un percorso continuo che non inverta mai direzio-ne, attraversando solo le due armature di uno qualunque di essi. Ai capi di due con-densatori in parallelo si ha la stessa differenza di potenziale.

Quanto vale la capacità equivalente ad un parallelo? La capacità equivalente di due condensatori posti in parallelo, si ricava tenendo con-to che la differenza di potenziale fra le armature di uno qualunque di essi, è sempre pari alla differenza di potenziale V fra il punto 1 ed il punto 2. Infatti, ognuno dei condensatori ha la prima armatura collegata con 1 e la seconda con 2: le armatu-re di A e di B collegate al punto 1 è come se fossero un unico conduttore, e lo stesso può dirsi delle armature collegate al punto 2. Pertanto, se le capacità sono differenti, la carica su ognuna delle armature di A sarà senz’altro differente da quella sulle ar-

A

1

2

B

1

2

A B

294

mature di B, ma il prodotto di queste cariche per ciascuna capacità deve sempre da-re V . Questo è possibile solo se la carica totale A BQ Q Q , che poniamo com-plessivamente sulle armature tramite un generatore, si ripartisce in maniera propor-zionale alle capacità:

A AQ C V B BQ C V Se ora, al posto del parallelo, si mette la capacità equivalente EC , tutta la carica Q andrà sulle sue armature. Ma sappiamo che EC deve incamerare la stessa energia del parallelo, e questo è possibile solo se V resta lo stesso di prima, da cui:

A B A BE

Q Q Q QQC

V V V V

Sostituendo abbiamo:

E A BC C C Da questo risultato si deduce che la capacità di un parallelo è maggiore della più grande capacità presente Perché le capacità in parallelo si sommano? La formula che somma le capacità in parallelo può essere intuita osservando la figura accanto. Immaginiamo di allontanare le armature connesse al punto 1 da quelle con-nesse al punto 2. Sarà allora più trasparente che, ponendo in parallelo due condensa-tori, in realtà stiamo accostando una sola armatura, composta da due lastre collegate fra loro, ad una seconda armatura, composta sempre da due lastre collegate fra loro. Appare quindi naturale sommare le capacità dei due se si vuole sostituire al paralle-lo un solo oggetto. Esistono collegamenti che non sono né in serie né in parallelo? In un circuito complesso si possono avere collegamenti che sono combinazioni di serie e parallelo, e collegamenti non riconducibili a serie o parallelo, come ad esem-pio il collegamento a stella dei tre condensatori in figura. (Notare che la carica è nul-la nel conduttore formato dalle tre armature interne, che subiscono solo induzione.) Esercizi 78. Si calcoli la capacità equivalente del sistema di condensatori in figura, essendo

μF2.40C . Sapendo che la differenza di potenziale fra i punti 1 e 2 vale V12.0 si calcoli la carica su ciascuna delle armature. Da un esame della configurazione si vede che le due capacità di valore 3C e 2C so-no fra loro in parallelo, e quindi equivalenti alla capacità: 3 2 5C C C La capacità 5C risulta poi in serie alla capacità C e quindi complessivamente fra il punto 1 ed il punto 2 abbiamo una capacità equivalente EC :

μF μF1 1 1 5 52.40 2.00

5 6 6EE

C CC C C

Pensando che il terminale 1 sia a potenziale positivo, avremo che sull’armatura di sinistra della capacità equivalente si deposita una carica:

C μC6(2.00 10 12.0) 24.0Eq C V

A B

C1 2

2C

3C

C1 25C

A1 2

3

B

C

collegamento

a stella

295

Per definizione la capacità equivalente non altera il fenomeno fisico, quindi la stessa carica μC24.0 deve depositarsi sull’armatura di sinistra della capacità C nella con-figurazione originale. Questa stessa carica si localizza complessivamente sulle arma-ture delle due capacità in parallelo 2C e 3C . Per capire come si ripartisce fra loro, osserviamo che essa deve produrre ai capi del parallelo una differenza di potenziale

V che si ottiene sottraendo ai V12.0 complessivi la caduta /q C ai capi di C :

V V V V V V6

6

24.0 1012.0 12.0 12.0 10.0 2.00

2.40 10

qV

C

Per avere questa differenza di potenziale fra le armature di 2C occorre che su di esse vada una carica:

V C μC62 2 (2.00 ) (2 2.40 10 2.00) 9.60Cq C

mentre per avere questa differenza di potenziale fra le armature di 3C occorre che su di esse vada una carica:

V C μC63 3 (2.00 ) (3 2.40 10 2.00) 14.4Cq C

Osserviamo che q si ripartisce in maniera proporzionale alle capacità.

79. In relazione al sistema di condensatori del problema precedente, si calcoli l’energia complessivamente incamerata, verificando che si ottiene lo stesso valore sia utilizzando la capacità equivalente, sia addizionando le energie nei tre condensatori. [R: 41.44 10 J ]

80. Si calcoli la capacità equivalente e la carica sulle armature positive dei quattro condensatori nella figura, sapendo che μF5.00AC , μF9.00BC , μF4.00CC ,

μF6.00DC , e che V2 1 60.0V V . [R: μF μC μC μC2.25 ,135 ,94.5 ,42.0 ]

81. Si calcoli la capacità equivalente al sistema a lato dove μF6.00AC ,

μF2 8.00B CC C . Si trovi quindi la carica sulle armature positive di ciascun

condensatore assumendo che V2 1 80.0V V . [R: μF μC μC7.43 ,274 ,320 ] 82. Si stabilisca come sono disposti i condensatori A, B, C, D nella figura a lato, e se ne calcoli la capacità equivalente, assumendo che siano identici, ciascuno di capacità

μF500C . [R: μF300 ]

83. Due condensatori, μF4.50AC μF6.20BC sono collegati in parallelo fra due punti che stanno ad una differenza di potenziale di V60.0 . Si calcoli la carica sulla capacità equivalente e quella ciascuno di essi. [R: μC μC μC642 ,270 ,372 ]

84. Due condensatori, nF1.40AC e nF3.30BC sono collegati in serie fra due punti che stanno ad una differenza di potenziale di V400 . Si calcoli la carica su cia-scuno di essi e la differenza di potenziale ai capi di ciascuno. [R: nC V V393 ,281 ,119 ]

85. Si calcoli il valore della capacità C in figura sapendo che la capacità equivalente ai tre condensatori uguali, fra il punto 1 ed il punto 2, vale μF210EC . [R: μF70.0 ] 86. Si calcoli la differenza di potenziale fra il punto 1 ed il punto 2 nella figura con le tre capacità uguali, μF70.0C , sapendo che la carica su ciascuna delle armature positive vale μC140q . [R: V2.00 ]

56C

1 2

B

A C

D

1 2

BA

C1 2

A1 2

C

BD

A

1

2

C

B

CC

C

2

1

296

87. Si stabilisca come sono disposti i condensatori A, B, C nella figura a lato, aiutan-dosi individuando i modi in cui è possibile andare da 1 a 2. Si calcoli quindi la capa-cità equivalente assumendo nF100AC , nF150BC , nF200CC . [R: nF46.2 ]

88. In relazione alla figura con i tre terminali, 1, 2 e 3, si calcoli la capacità equivalente fra i terminali 1 e 2. [R: μF26.7 ] 89. In relazione alla figura con i tre terminali, 1, 2 e 3 si calcoli la capacità equivalente fra i terminali 1 e 3. [R: μF22.5 ] 90. In relazione alla figura con i tre terminali, 1, 2 e 3 si calcoli la capacità equivalente fra i terminali 2 e 3. [R: μF20.6 ] 91. Si hanno due condensatori variabili, entrambi con nF nF20.0 200C . Calcola-re la minima e la massima capacità realizzabile collegando i due condensatori. [R: nF nF10.0 ,400 ] 92. Due condensatori identici, con capacità nF300C carichi, con differenze di po-tenziale rispettivamente V1 100V , V2 200V hanno un’armatura in comu-ne, come in figura. L’interruttore S viene chiuso e i condensatori si trovano in paral-lelo. Calcolare la nuova differenza di potenziale fra le armature, e l’energia dissipata nell’operazione. [R: V m150 ,0.750 J ]

7. Condensatori sferici Quanto vale la capacità di un conduttore sferico? Abbiamo introdotto la capacità per i condensatori e potrebbe apparire strano riferire questo concetto anche a un singolo conduttore. Tuttavia qualunque conduttore carico è anche un condensatore, se immaginiamo che la seconda armatura sia la terra, insieme con le pareti della stanza e l’ambiente intorno ad esso, tutti a potenziale nullo. Il conduttore, infatti, induce comunque carica sulle superfici degli oggetti vicini. La capacità di un singolo conduttore sarà allora il rapporto fra la carica depositata su di esso ed il potenziale V a cui si porta calcolato rispetto a dove vale zero. Nel caso del conduttore sferico sappiamo che /V kq R quindi:

0

q qC q

V V

R

k q04 R

Esercizi 93. Si calcoli la capacità del pianeta Terra, sapendo che 66.378 10 mTR , consi-derato il pianeta una sfera conduttrice carica che induce sull’atmosfera.

Applicando la formula per la capacità di una sfera:

2

12 62

C12.56 8.854 10 6.378 10 m 709 F

NmC

Che cosa s’intende per condensatore sferico? Si chiama condensatore sferico una struttura costituita da due conduttori: una sfera di raggio 1R , circondata da un guscio sferico, di raggio interno 2R e raggio esterno

3R , come nello schema di principio qui accanto, eventualmente separati da un die-

La Controfisica Questa formula può servire anche per un calcolo approssimativo della capacità di un conduttore dalla forma irregolare delle stesse dimen-sioni della sfera.

μF20.0

μF15.0

μF12.0

1 2

3

S

1V2V

297

lettrico. Consideriamo la situazione nel caso in cui il conduttore esterno sia neutro e la sfera interna contenga una carica q , per esempio positiva. Per fenomeno dell’induzione completa, sulla superficie interna del guscio dovrà localizzarsi una carica q , ed essendo lo spazio occupato dal guscio sempre neutro, come in tutti i conduttori, sulla sua superficie esterna troveremo nuovamente q . Cosa succede se colleghiamo a terra l’esterno? Con riferimento alla figura a lato, dove è raffigurato il simbolo della messa a terra, la conseguenza di una tale operazione è che il guscio non sarà più neutro, perché delle cariche negative (ricordiamo che gli elettroni sono gli unici a potersi muovere), sali-ranno dalla terra richiamate, per induzione, dalla sfera carica al centro. Possiamo pensare che il guscio esterno insieme con l’intero pianeta Terra formino un unico conduttore. Sul guscio andrà allora a localizzarsi una carica pari a q .

Quanto vale la capacità di un condensatore sferico con l’esterno a terra? Per svolgere il calcolo utilizziamo la definizione di capacità, indicando con 1V il po-

tenziale della sfera dentro (supposto positivo) e con 2V quello del guscio:

1 2

qC

V V

Il potenziale della sfera sarà la somma del potenziale dovuto alle cariche sulla sfera stessa, cioè / 1kq R , sommato a quello dovuto alla carica sulla superficie interna del guscio. Riguardo a quest’ultimo, sappiamo che una distribuzione sferica di carica produce ovunque al suo interno un potenziale uguale a quello sulla superficie, e quindi alla superficie interna del guscio si deve un contributo pari a / 2kq R . Som-mando:

11 2

q qV k k

R R

Il potenziale del guscio è anch’esso dovuto ai due contributi, quello della sfera, calco-lato ovviamente a distanza 2R dal centro, cioè / 2kq R , e quello della carica indotta,

che vale / 2kq R :

22 2

0q q

V k kR R

Risulta 2 0V come ci saremmo aspettati avendolo collegato a terra. Inserendo i ri-sultati otteniamo la capacità del condensatore sferico con l’esterno a terra.

qC

qk

1

qk

R

1 20

2 1

2

4R R

R R

R

Che succede se invece si collega a terra la sfera interna? Se depositiamo una carica 0q sul guscio esterno e colleghiamo a terra la sfera interna,

0q si ripartirà fra le due superfici - interna ed esterna - del guscio, dando luogo ad induzione sia sulla terra (e sulle eventuali pareti ed oggetti intorno), sia sulla sfera interna collegata a terra. Se indichiamo con q la frazione che va sulla superficie in-terna, su quella esterna resterà la differenza 0q q . Quanta carica vada dall’una e dall’altra parte dipende dai raggi delle sfere e dal dielettrico interposto, tuttavia sarà

La Controfisica La configurazione con la sfera esterna a terra è da preferire a quel-la con la sfera interna a terra, per-ché si crea uno schermo elettrosta-tico. In altri termini il condensatore è indipendente dall’effetto di altri oggetti esterni carichi.

q

q

0q q

q

q

3R

2R

1Rq

qq

298

sempre tale che la differenza di potenziale fra l’interno del guscio e la sfera sia la stessa che c’è fra l’esterno e la terra, poiché tutto il guscio è allo stesso potenziale. In ogni caso sulla sfera interna sarà indotta una carica q , uguale e contraria a quella affacciata dalla parete interna del guscio, e che possiamo pensare proveniente dalla terra. Oppure, diciamo che dalla sfera interna se ne va a terra una carica q . Come possiamo schematizzare questo sistema? A ben guardare il dispositivo così realizzato è costituito da due condensatori in paralle-lo: il primo, 1C , fra la sfera dentro e il guscio, il secondo, 2C , fra il guscio fuori e la terra. Per visualizzarli immaginiamo di rimuovere il metallo interno al guscio (co-munque neutro e quindi ininfluente) e sostituirlo con un filo che collega parete inter-na ed esterna. I due condensatori sono raffigurati qui a lato, insieme con un modello equivalente ad armature piane. Essi sono in parallelo poiché, per andare dalla sfera interna alla terra, dobbiamo attraversare tutte le armature. Applicando la formula che prevede che le capacità in parallelo si sommino, otteniamo la capacità di un con-densatore sferico con la sfera interna messa a terra:

1 21 2 0 0 3

2 1

4 4R R

C C C RR R

Se lo spazio interposto è riempito da un dielettrico, il primo dei due addendi andrà poi moltiplicato per la costante r Nel caso speciale in cui lo spessore del guscio

esterno sia minimo, di modo che possiamo considerare 3 2R R , la formula (senza dielettrico) si semplifica con un passaggio algebrico, e diviene:

22

02 1

4R

CR R

Come possiamo calcolare la carica indotta sulla sfera interna? La sfera interna, essendo a terra, si trova a 0V , ed il suo potenziale è dovuto a tre contributi, quello delle cariche sulla superficie esterna del guscio, quello delle cariche sulla superficie interna ed infine quello delle cariche sulla sfera stessa:

01

1 2 3

0q qq q

V k k kR R R

Calcoliamo q solo nel caso in cui il guscio sia sottile e si possa considerare 3 2R R . Otteniamo:

10

2

Rq q

R

Che succede se nessuna delle due sfere è a terra? La situazione è analoga a quella con la sfera interna a terra, cioè si hanno due capaci-tà in parallelo, solo che nessuno dei valori di potenziale è nullo.

Esercizi 94. Un condensatore è formato da una sfera interna di raggio cm10.0 e da un guscio sottile di raggio cm10.5 , collegato a terra. Sapendo che sulla sfera interna è posta una carica di μC0.0117 si calcoli il suo potenziale. Si confronti la capacità di questo dispositivo con quella della sola sfera interna, spiegando perché quella del condensa-tore è maggiore.

Dalla definizione di capacità si ha la differenza di potenziale S GV V fra le armatu-

re, che coincide col potenziale SV della sfera, essendo il guscio a terra ( 0GV ):

q

0( )q q

q

0q q

1C

2C

1C

2C

299

SS G S

q q qC V

V V V C

Calcoliamo la capacità del condensatore sferico in questa configurazione:

F F nF91 20 9

2 1

1 0.100 0.1054 0.234 10 0.234

0.105 0.1008.99 10

R RC

R R

da cui otteniamo:

V V6

9

0.0117 10500

0.234 10S

qV

C

La capacità di un condensatore è tanto minore quanto maggiore è la differenza dei due raggi al denominatore. La capacità di una sfera isolata può essere pensata come quella di un condensatore in cui il guscio ha raggio infinito, cioè quando /1 2R R pos-sa considerarsi nullo:

/1 2 1

0 0 0 12 1 1 2

4 4 41

R R RC R

R R R R

In questo caso: F F nF90 1 9

14 0.100 0.0111 10 0.0111

8.99 10R

95. Fra le armature di un condensatore sferico si misura una differenza di potenziale di V200 . Sapendo che sul guscio, sottile, di raggio cm2 6.00R e collegato a terra, è indotta una carica di nC4.10 , calcolare il raggio della sfera interna. [R: cm4.52 ]

96. Una sfera di raggio cm20.0 è collegata a terra e circondata da un guscio metallico sottile, di raggio cm25.0 , dove è posta una carica di nC5.00 . Si calcoli la carica in-dotta sulla sfera interna e il potenziale elettrostatico del guscio. [R: pF V139 ,36.0 ]

97. Ripetere il calcolo dell’esercizio precedente nel caso in cui lo spazio interposto venga riempito con un dielettrico di costante 2.50r .

[R: /20 2 1 2 2 14 [ ( 1)] ( )rC R R R R R ]

300