Appunti del modulo di FONDAMENTI di...

Politecnico di Bari

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle

Telecomunicazioni

Appunti del modulo di

FONDAMENTI di TELECOMUNICAZIONI

Ciro Cafforio

Anno Accademico 2011-2012

CAPITOLO 1

Generalità sui sistemi di trasmissione

1.1. Problematiche poste da un sistema di telecomunicazioni.

L’obiettivo del corso è quello di studiare, a un livello elementare, le tecniche che si posso-no usare per far arrivare ad un utente lontano l’informazione che intendiamo trasmettergli,ad un livello di accuratezza tale da renderla utilizzabile. Si consideri, ad esempio, il casodel servizio telefonico: l’informazione da trasmettere è costituita dai suoni emessi dal par-latore. Tali suoni, cioé le onde di pressione, devono essere trasformati da un opportuno“trasduttore” (microfono) in segnali elettrici che è poi possibile far propagare lungo unopportuno mezzo trasmissivo, eventualmente dopo averli opportunamente amplificati. Inricezione il segnale in arrivo viene ritrasformato, mediante un altro trasduttore (altoparlan-te), in onde di pressione intellegibili dall’orecchio dell’utente. Naturalmente la qualità delsuono riprodotto dipende dalla fedeltà con cui operano i due trasduttori, ma di importanzafondamentale è anche il comportamento del mezzo trasmissivo interposto. In qualsiasi si-stema di trasmissione il segnale ricevuto non è mai esattamente identico a quello trasmesso:sarà sempre presente una certa degradazione.

Nel seguito si ipotizzerà che il mezzo trasmissivo sia lineare, cioé che per esso valgail principio di sovrapposizione degli effetti e che le sue proprietà non cambino col tempo,o lo facciano lentamente. Un mezzo trasmissivo ideale è caratterizzato da una funzionedi trasferimento con modulo costante e con fase lineare, almeno nella banda in cui sonocontenute tutte le componenti spettrali del segnale da trasmettere. Un tale mezzo riproponein uscita un segnale identico a quello immesso al terminale trasmittente, solo di ampiezzaridotta (attenuato) e ritardato. In realtà, nessun mezzo trasmissivo è esattamente ideale:il modulo della funzione di trasferimento non sarà mai costante in banda ed anche lacaratteristica di fase sarà ben lungi dall’essere lineare con la frequenza. Di conseguenza ilsegnale ricevuto risulterà non solo attenuato e ritardato; sarà sostanzialmente diverso daquello trasmesso.

Idealmente, il ricevitore può correggere gli effetti del mezzo non ideale, una volta chegli siano noti, mediante un filtraggio “inverso”: si può, cioé equalizzare il canale. Bastaamplificare di più le componenti che risultano più attenuate e meno quelle che lo sono dimeno e tutto torna a posto!

Quando le cose sembrano andare a posto troppo bene bisogna sempre diffidare. Infatti,la procedura descritta può funzionare solo a patto che nessuna delle componenti spettralidel segnale venga attenuata troppo. Se la funzione di trasferimento del mezzo che si vuoleequalizzare avesse uno zero di trasmissione in banda, il ricevitore dovrebbe provvedereun’amplificazione infinita a quella frequenza! E ciò è chiaramente impossibile.

3

4 1. GENERALITÀ SUI SISTEMI DI TRASMISSIONE

La realtà è ancora più complicata: il segnale ricevuto è costituito non solo da una copiaattenuata ed eventualmente distorta (distorsione spettrale e, quindi, lineare) di quello tra-smesso, ma anche da altri segnali indesiderati (disturbi) che gli si sovrappongono. Diversepossono essere le cause di tali disturbi. Possono esserci delle interferenze provocate da altrisegnali che si propagano lungo il mezzo contemporaneamente al nostro; possono esserci deidisturbi provocati da sistemi di natura diversa, ma che emettono radiazioni nell’intervallodi frequenze interessato (ad es. motori, impianti industriali e simili). Un disturbo che nonmanca mai e che è intrinseco in ogni sistema di trasmissione è il rumore termico generatosia nel mezzo trasmissivo, sia nelle apparecchiature.

In ogni caso, al segnale ricevuto è sovrapposto del rumore ed esso sarà caratterizza-to, esattamente come il segnale, da un suo spettro. L’onnipresente rumore termico saràdistribuito su tutte le frequenze. Questo vuol dire che la procedura di equalizzazione giàdescritta diventa ancora più delicata, in quanto non ci sarà da fare i conti solo con l’ampli-ficazione infinita (o comunque molto alta). Bisogna tener conto della presenza del rumoreed evitare di amplificare troppo quelle componenti del segnale che risultassero tanto atte-nuate da essere diventate di ampiezza paragonabile o addirittura inferiore alle componentidel rumore. Inutile sarebbe la pretesa equalizzazione del segnale se poi al supposto segnaleindistorto risultasse sovrapposto un disturbo di ampiezza ben maggiore!

Compare in questo discorso una quantità che costituisce un parametro fondamentaledi tutti i sistemi di trasmissione: il rapporto segnale/rumore. Inteso in forma integrale,come potenza di segnale su potenza di rumore, o come funzione della frequenza, comerapporto tra le densità spettrali di potenza del segnale e del rumore, esso giocherà un ruolofondamentale in tutte le successive considerazioni.

Risulta evidente, a questo punto, che in nessun caso il segnale ricevuto può essereesattamente uguale a quello trasmesso (si tenga presente che in nessun caso attenuazione eritardo vanno considerati come causa di differenze). Diventa necessario stabilire un limiteoltre il quale le prestazioni del sistema diventano inaccettabili. Tale limite non può essereunico, né univocamente determinato: ingegneristicamente si stabilisce in modo che l’utentesia ragionevolmente soddisfatto. Se il sistema funziona meglio nessuno si lagnerà, trannechi dovrà pagare le spese, in quanto ovviamente prestazioni migliori si accompagnano acosti maggiori. In tale situazione il dimensionamento viene fatto in modo che l’utenzasia soddisfatta, ma nulla di più, tranne un sovradimensionamento dovuto esclusivamentea motivi di affidabilità (qualcosa di molto simile ai coefficienti di sicurezza dell’ingegneriacivile).

Chi o cosa sia da intendersi per utente dipende dal particolare segnale che si sta con-siderando. Tornando all’esempio del telefono, un livello di prestazione accettabile è quelloche mediamente permette ad una preassegnata percentuale di utenti di effettuare una te-lefonata senza eccessivo “fastidio”. Ognuno di noi può sperimentare che, anche in assenzadi “parlato” da parte del corrispondente, c’è sempre un certo fruscio nel ricevitore del mi-crotelefono. Naturalmente il livello accettabile del disturbo varia in funzione della suanatura: diverso è l’effetto prodotto da un fruscio, diverso quello prodotto da un’altra con-versazione in sottofondo. Di conseguenza, per ogni tipo di disturbo va stabilito il relativorapporto segnale/rumore minimo tollerabile. Le soglie di tollerabilità vanno poi stabilite,

1.2. IL RUMORE 5

quando non sia possibile fare altrimenti, con campagne di opinione su un campione signi-ficativo dell’utenza. Per i servizi già consolidati, i requisiti di qualità vengono raccolti inraccomandazioni emesse da organismi internazionali come l’ITU.

Non sempre in ricezione si ha interesse a ricostruire il più fedelmente possibile il segna-le trasmesso. Tra i possibili formati che l’informazione da trasmettere può assumere c’èquello numerico: si pensi, ad esempio, ad un collegamento tra calcolatori. In questo casol’informazione elementare da trasmettere è la cifra binaria ed in ricezione poco importaricostruire le forme d’onda (peraltro note) che in trasmissione sono state usate per rappre-sentare lo 0 o l’1: basta essere in grado di decidere, con la maggiore affidabilità possibile,quale cifra binaria è stata effettivamente trasmessa. Questo porterà, come vedremo, a defi-nire in modo particolare il rapporto segnale/rumore da utilizzare per valutare le prestazionidi tali sistemi.

Le considerazioni fatte valgono per qualunque mezzo trasmissivo, sia esso ad onde con-vogliate (doppino telefonico, cavo coassiale, fibra ottica) o ad onde irradiate (mezzo radio).Una differenziazione notevole tra i diversi mezzi trasmissivi è rappresentata dall’intervallodi frequenze entro il quale deve essere compresa la banda di un segnale perché esso pos-sa essere trasmesso. Il doppino telefonico è un mezzo passa-basso, così come lo è il cavocoassiale, anche se con una banda passante ben maggiore. Il mezzo trasmissivo radio, in-vece, è passa-banda, cioé lascia propagare un segnale con uno spettro che parte da unafrequenza diversa da zero (meglio se il rapporto fra frequenza massima e minima è piccolo).Tale caratteristica è ancora più evidente per le fibre, dove lo spettro di un segnale deveessere compreso nelle frequenze ottiche per potersi propagare. Questo vuol dire che l’ap-parecchiatura trasmittente non può essere costituita da un semplice amplificatore, comenell’esempio di collegamento telefonico: è necessario che il segnale da trasmettere vengamodificato in modo da potersi propagare e questo, normalmente, richiede la “modulazionedi una portante”.

1.2. Il rumore

In base a quanto già detto dovrebbe essere evidente che in un sistema di trasmissionenon è importante il livello assoluto del segnale ricevuto. In assenza di qualunque disturbo,se gli amplificatori fossero in grado di amplificare un segnale senza sovrapporgli del rumore,il segnale ricevuto potrebbe raggiungere valori estremamente piccoli, dal momento chebasterebbe una successiva amplificazione a riportarlo a valori accettabili. Nella realtà,però, bisogna fare i conti con il rumore che immancabilmente si sovrappone al segnaleutile. Tale rumore viene in parte generato nel mezzo trasmissivo ed in parte generatointernamente all’apparato ricevente.

1.2.1. Rumore termico. Ricordiamo brevemente i due tipi più comuni di rumore constatistica gaussiana. Il primo è il rumore dovuto all’agitazione termica degli elettroni in unconduttore e, quindi, in un resistore. È noto che ai morsetti di un resistore di valoreR, postoa temperatura assoluta T , è rilevabile una tensione casuale generata, appunto, dal motocaotico degli elettroni in agitazione termica all’interno del resistore. La tensione termica,essendo il risultato della sovrapposizione di un gran numero di contributi elementari, ha


statistica gaussiana; il suo valor medio è nullo e la sua densità spettrale (monolatera) èpari a 4kTR [V2/Hz]. Ne consegue che il valore efficace della tensione di rumore, misuratacon uno strumento che "non carichi’ il resistore ed abbia una banda equivalente di rumoredi B Hz, è pari a

√4kTRB.

eff

T

R v v = 4kTRBn n

Figura 1.2.1. Tensione di rumore ai capi di un resistore.

Un modo comodo di rappresentare il comportamento rumoroso di un resistore reale èquello di considerare un resistore "ideale" non rumoroso di identico valore e di mettergliin serie un generatore di tensione che imponga una tensione casuale con caratteristichestatistiche uguali a quelle della tensione termica. In modo del tutto equivalente si puòconsiderare un resistore non rumoroso con in parallelo un generatore di corrente casuale. Lastatistica di questa corrente di rumore è facilmente determinabile poiché la rappresentazioneparallelo deve essere del tutto equivalente a quella serie: la corrente impressa deve averestatistica gaussiana, valor medio nullo e densità spettrale pari a 4kTG [A2/Hzl, con G =1/R.

La densità spettrale di potenza disponibile di rumore, cioé la densità spettrale dellapotenza reale che un resistore a temperatura T erogherebbe su un carico resistivo di parivalore (carico adattato), vale hn = kT [W/Hz] (k = 1, 38 · 10−23 Joule/Kelvin).

1.2.2. Rumore granulare. Un rumore con caratteristiche statistiche uguali a quelledel rumore termico si genera con il passaggio di corrente elettrica mediante portatori dicarica elementare (ad es. elettroni e lacune nei semiconduttori), attraverso una barriera dipotenziale (come quella presente in corrispondenza di una giunzione). L’istante in cui unelettrone (o lacuna) attraversa la zona di carica spaziale è casuale ed indipendente dagliistanti in cui la barriera è attraversata dagli altri portatori. Se la corrente ha valor medio I[A] e la carica elementare vale q [Coulomb], il numero medio di attraversamenti per unitàdi tempo vale n = I/q. La fluttuazione statistica intorno al valore I ha densità spettrale(monolatera) che vale 2qI [A2/Hzl e, se considerata in una banda limitata, è, anche qui,somma di un numero elevato di contributi indipendenti ed ha, perciò, densità di probabilitàdelle ampiezze gaussiana.

1.2.3. Scostamenti dalla densità spettrale costante. Entrambe le densità spet-trali considerate sono costanti con la frequenza e costituiscono, quindi, un’approssimazionevalida solo fino ad una certa frequenza. Una densità spettrale costante implicherebbe, in-fatti, una potenza infinita. Se il calcolo della densità spettrale di potenza disponibile dirumore per un resistore viene effettuato tenendo in conto fenomeni quantistici, si ottiene

1.2. IL RUMORE 7

che tale densità vale:hn =

hf

exp (hf/kT )− 1che per f → 0 tende ad hn = kT , ma che poi, correttamente, tende a zero per f →∞. hè la costante di Planck e vale 6, 625 · 10−34 joule·s.

Nel caso del rumore granulare la riduzione della densità spettrale in alta frequenza èdovuta al fatto che ogni portatore produce un impulso di corrente di area q, ma di durata τnon infinitesima, poiché ha bisogno di un tempo finito per attraversare la giunzione. Si puòdescrivere tale situazione come un filtraggio degli impulsi mediante un filtro la cui rispostaha la forma del singolo impulso di corrente. La densità spettrale di potenza risultantepuò allora, come noto, ottenersi moltiplicando la densità spettrale ottenuta ipotizzandoimpulsi di corrente ideali, per il modulo al quadrato della funzione di trasferimento delfiltro in questione. La densità spettrale della corrente sarà, perciò, sagomata come lospettro di energia del singolo impulso ed avrà uno zero intorno alla frequenza 1/τ . Ladensità spettrale della corrente granulare, quindi, è costante solo per frequenze � 1/τ .

Nei dispositivi reali possono generarsi altri tipi di rumore, oltre al rumore termico ed alrumore granulare. Questi disturbi hanno densità spettrali non costanti, ma, soprattutto,non hanno statistica gaussiana. Per maggiori dettagli è consigliabile consultare un buonlibro di elettronica.

1.2.4. Composizione di più termini di rumore. Nella composizione di più terminidi rumore è sempre necessario decidere se essi sono incorrelati o, in tutto o in parte, corre-lati. E’ evidente che quando due contributi di rumore sono il risultato di due realizzazionidistinte, anche di uno stesso processo (ad es. tensioni di rumore ai capi di due resistenze),essi sono indipendenti e, quindi, vanno “sommati in potenza”.

Esempio. Si calcoli la tensione di rumore ai capi di due resistori in serie, il primo divalore R1 ed a temperatura T1, il secondo di valore R2 a temperatura T2.

2

R

R

1

2

= +1

v

n

nT

Tv

v v vn n n2

2

1

1

Figura 1.2.2. Tensione di rumore ai capi di due resistori in serie.

Ovviamente le tensioni di rumore ai capi dei due resistori sono statisticamente indipen-denti. La totale tensione di rumore vn è, istante per istante, somma dei due termini ed ilsuo valore quadratico medio vale:

E[v2n]

= E[(vn1 + vn2)

2] = E [v2n1]+ E [v2n2]+ 2E [vn1 · vn2]


Poiché l’ultimo termine ha valore nullo per la statistica indipendenza delle due variabili,il valore quadratico medio della somma risulta uguale alla somma dei valori quadratici medidei due addendi. Di conseguenza, la densità spettrale della tensione risultante a vuoto aicapi delle due resistenze in serie vale:

hn = 4kT1R1 + 4kT2R2 = 4kT1R1 + T2R2R1 +R2

(R1 +R2) = 4kTeq(R1 +R2)

Evidentemente, Teq = T se T1 = T2 = T , perché in tal caso le due resistenze devono essereequivalenti ad una sola resistenza di valore R1 +R2 a temperatura T .

Questo discorso, come è noto, si può generalizzare: se in una rete passiva reciprocatutti gli elementi dissipativi sono alla stessa temperatura, la tensione di rumore ad unacoppia di morsetti della rete si può calcolare tenendo in conto la parte reale dell’impedenza(genericamente funzione della frequenza) presentata dalla rete a quei morsetti.

Esempio. Si consideri un resistore, di valore R a temperatura T , in parallelo ad uncondensatore di valore C. Le perdite nel condensatore siano trascurabili. Qual è il valoreefficace della tensione di rumore presente ai loro capi?

________

Un primo modo di procedere è quello di rappresentare la rumorosità del resistore con ungeneratore equivalente di corrente di rumore in parallelo, di calcolare la densità spettraledella tensione di rumore e, integrandola, calcolare il valore efficace della tensione di rumore.

C vn eff

4kTGR

Figura 1.2.3. Tensione efficace di rumore ai capi di un RC.

L’impedenza del parallelo R-C vale R/(1+ωCR). La densità spettrale della tensione siricava moltiplicando la densità spettrale della corrente in ingresso per il modulo al quadratodell’impedenza. Perciò:

v2neff =

∫ ∞0

4kT

R

R2

1 + ω2C2R2df =

2kT

πC[arctan x]∞0 =

kT

C

E’ immediato verificare che lo stesso risultato si ottiene se si considera la parte realedell’impedenza e si integra la densità spettrale della tensione di rumore così ottenuta:∫ ∞

0

4kT Re

[R · (1− ωCR)

1 + ω2C2R2

]df =

kT

C

1.3. RUMORE IN CATENE DI AMPLIFCAZIONE 9

1.3. Rumore in catene di amplifcazione

Si consideri ora un sistema di comunicazione in cui il segnale viene ricevuto con so-vrapposto del rumore gaussiano bianco. Si suppone che l’adattamento tra i vari elementisia perfetto, per cui si considererà sempre la potenza disponibile di rumore e la relativadensità spettrale.

Il rumore che arriva già sovrapposto al segnale (ad es. rumore captato) si può evi-denziare mediante un generatore equivalente di rumore con densità spettrale di potenzadisponibile pari a kTg. L’amplificatore che ha il compito di aumentare il livello del segnalericevuto, normalmente troppo basso, è realizzato con dispositivi attivi ed introduce altrorumore. E’ comodo evidenziare tutti i contributi di rumore dovuti alle apparecchiature conun rumore equivalente sommato al segnale all’ingresso di un amplificatore non rumoroso(in modo del tutto equivalente a quanto fatto per un resistore). L’entità di questo rumoreaddizionale viene espresso tramite una temperatura equivalente di rumore, oppure tramiteun “fattore di rumore”.

La temperatura equivalente di rumore di un apparato (Ta) indica l’entità del rumoreche, sommato al segnale all’ingresso di un ideale apparato non rumoroso, produce all’uscitaun rumore identico a quello effettivamente prodotto dall’apparato rumoroso. La somma delrumore già presente in ingresso e di quello dovuto agli apparati, cioé il totale rumore cheviene sovrapposto al segnale nel particolare sistema considerato, ha densità spettrale chevale k(Tg +Ta) [W/Hz]. Alla temperatura Ts = Tg +Ta viene dato il nome di temperaturaequivalente di rumore del sistema.

oh = FkTnh = k(T + T )

T A

T

g

a

T Ao

F

g a n

Figura 1.3.1. Rumorosità di un amplificatore quantificata mediantetemperatura equivalente e fattore di rumore.

La temperatura equivalente di rumore esprime correttamente il rumore introdotto da-gli amplificatori mediante un termine additivo. Il fattore di rumore, invece, rappresentala rumorosità degli apparati con un fattore moltiplicativo che, applicato alla densità spet-trale del rumore presente in ingresso, esprime la densità spettrale del rumore totale. Ilrumore generato negli amplificatori non dipende, però, dal rumore iniettato dal generatored’ingresso, bensì dalle condizioni di funzionamento degli stessi. Ad evitare che il valoredel fattore di rumore di un amplificatore venga a dipendere dalla temperatura di rumoredel generatore, esso è definito per un ben preciso valore di tale temperatura: di solito siassume temperatura ambiente (To = 293 K).

Se Tg = To le due rappresentazioni devono coincidere:FkTo = k(To + Ta) e quindi Ta = (F − 1)To


Se più apparati vengono messi in cascata, è abbastanza ovvio che il rumore generatoda quelli che ricevono in ingresso il segnale al livello più basso sarà dominante. Infattiil segnale verrà degradato sempre meno da un rumore di entità fissata man mano cheesso viene amplificato. Tale osservazione rende conto in modo molto semplice del perché,nel calcolare la temperatura equivalente di rumore di una catena di amplificatori, ognicontributo di rumore va pesato per l’inverso della totale amplificazione esistente a montedell’effettivo punto di iniezione. Si consideri, ad esempio, la catena di tre amplificatori difigura 1.3.2.

3

kT kT kT

A A A

a1 a2 a3

1 2

Figura 1.3.2. Catena di amplificatori rumorosi.

La rumorosità dei dispositivi è evidenziata mediante il rumore equivalente (kTan) som-mato in ingresso ad ogni stadio. La temperatura equivalente di rumore della catena diamplificatori (cioé quella che moltiplicata per k dà la densità spettrale di potenza disponi-bile del rumore da sommare all’ingresso degli amplificatori non più rumorosi per ottenerelo stesso risultato) vale:

Ta = Ta1 +Ta2A1

+Ta3A1A2

Il calcolo si può effettuare anche usando il fattore di rumore. In tal caso conviene semprericordarne la definizione e, nel calcolare il fattore di rumore complessivo, considerare latemperatura del generatore pari a To. Il primo amplificatore porta la densità spettrale

o

A A A1 2 3kTo

1 (F −1)kT2 3(F −1)kTo o (F −1)kT

Figura 1.3.3. Catena di amplificatori: uso del fattore di rumore.

equivalente del rumore in ingresso al valore F1kTo. Il successivo introduce un rumore cond.s.p. pari a (F2 − 1)kTo che, per essere riportata all’ingresso del primo, va divisa per A1.Il fattore di rumore complessivo vale, perciò:

F = F1 +F2 − 1A1

+F3 − 1A1A2


Attenuatore passivo. E’ interessante calcolare il peggioramento di prestazioni, interrmini di rumorosità del sistema complessivo, prodotto da un attenuatore passivo postotra il generatore di segnale ed il primo stadio di amplificazione. Tale schema descrive ilcaso in cui tra l’antenna e le apparecchiature riceventi venga inserito un tratto di cavo odi guida d’onda.

Il dispositivo abbia un’attenuazione α (l’attenuazione è l’inverso di un guadagno edè > 1 quando il livello del segnale in uscita è più basso di quello in ingresso) e sia atemperatura fisica ambiente. Se il generatore, che si suppone adattato, ha temperaturaequivalente di rumore To, in base a quanto ricordato in precedenza (rete passiva reciprocacon elementi dissipativi tutti a uguale temperatura) il rumore in uscita si può calcolareusando la parte reale dell’impedenza d’uscita. La densità spettrale di potenza disponibiledi rumore a valle dell’attenuatore vale quindi, solo se Tg = To, hnu = kTo.

Questo rumore è scindibile in due contributi:(1) il rumore proveniente dal generatore e ripresentato attenuato in uscita;(2) il rumore generato all’interno dell’attenuatore e la cui entità si può esprimere

mediante la temperatura equivalente di rumore Tatt dell’attenuatore.Per spostare un termine di rumore dall’uscita all’ingresso dell’attenuatore bisogna molti-plicarne la densità spettrale per l’attenuazione in potenza del dispositivo. La d.s.p. dirumore in ingresso si può scrivere come:

kTo + kTatt = αkTo

dalla quale si ricava che la temperatura equivalente di rumore dell’attenuatore passivo atemperatura To vale:

Tatt = (α− 1)ToRicordando il legame esistente tra temperatura equivalente e fattore di rumore, si verificaimmediatamente che l’attenuatore ha un fattore di rumore numericamente uguale alla suaattenuazione.

Esempio. Si consideri un sistema nel quale Tg = 100 K e Ta = 150 K. Calcolareil peggioramento nelle prestazioni del sistema se il collegamento tra antenna e ricevitoreviene effettuato con un tratto di linea che attenua 1 dB e 2 dB rispettivamente.

————La temperatura di sistema in assenza di perdite tra antenna e ricevitore vale:

Ts1 = Tg + Ta = 250K.

Con 1 dB di perdite la temperatura di rumore del sistema diviene (ricordando che 1 dB ≡100,1 ∼= 1, 26):

Ts1 = Tg + Tatt + αTa = 100 + 0, 26 · 293 + 1, 26 · 150 = 365K.Con 2 dB di attenuazione (∼= 1, 58) la temperatura di rumore del sistema diventa addiritturadi 507 K.


Esempio. Uno stesso rumore viene inviato contemporaneamente a due filtri. La densitàspettrale del rumore iniettato nel singolo filtro sia costante e pari ad hn. I due filtri abbianofunzioni di trasferimento reali e siano: un passa-basso ideale con frequenza di taglio f1 ilprimo; un passa-banda con frequenze di taglio f2 ed f3 il secondo. Si calcoli la densitàspettrale di potenza disponibile risultante dalla somma delle uscite dei due filtri.

f

h nuh n

1

1

f 1

f 2 3

Figura 1.3.4. Esercizio su termini di rumore correlati e non.

———-I casi possibili sono due:(1) f2 > f1. Le due uscite non hanno componenti spettrali ad una stessa frequenza:

ovviamente, la densità spettrale sarà la somma delle due perché, frequenza perfrequenza, o c’è un segnale o c’è l’altro.

(2) f2 < f1. In questo caso i due segnali all’uscita dei filtri non si possono sommare né“in potenza” né “in tensione” perché i due segnali sono parzialmente correlati. Nelcaso in questione, però, è banale separare i segnali in termini incorrelati e terminiuguali:• nella banda 0 < f < f2 c’è contributo solo da un segnale (il primo);• nella banda f2 < f < f1 i due segnali sono uguali e, quindi, la loro somma avràdensità spettrale quadrupla di quella di ognuno dei due;• nella banda f1 < f < f3 di nuovo c’è contributo solo da uno dei segnali (il secondo).

Si ottiene, in definitiva, una d.s.p. in uscita che nei due casi ha gli andamento seguenti:Nel caso più generale di due filtri con funzioni di trasferimento generiche H1(f) ed

H2(f), il calcolo va fatto partendo dalla definizione di d.s.p. come trasformata della au-tocorrelazione del segnale. Siano s1(t) ed s2(t) due segnali ottenuti per filtraggio di unostesso segnale s(t). La densità spettrale della loro somma vale, com’è abbastanza agevoleverificare1:

hs1+s2 = F {E [(s1(t) + s2(t)) (s1(t+ τ) + s2(t+ τ))]} == F {E [s1(t)s1(t+ τ)]}+ F {E [s2(t)s2(t+ τ)]}++F {E [s1(t)s2(t+ τ)]}+ F {E [s2(t)s1(t+ τ)]} =

= hs(f){|H1(f)|2 + |H2(f)|2

}+ 2Re {H1(f)H∗2 (f)}

1Si ricordi che: E[∫s(t− α)h(α) dα ·

∫s(t+ τ − β)h(β) dβ

]= rss(τ) ∗ h(τ) ∗ h(−τ).


1° caso

n

f1 f2 f3 f3f2 f1

hn

hn4

2° caso

h

Figura 1.3.5. Soluzione del problema proposto in figura 1.3.4

dove F{·} indica l’operatore trasformata di Fourier. E’ immediato verificare che la formulaprecedente conferma la soluzione, ottenuta per via intuitiva, dell’esercizio precedente.

1.3.1. Misura del fattore di rumore. La misura del fattore di rumore, o dellatemperatura equivalente di rumore, di un apparato può essere effettuata abbastanza sem-plicemente se si hanno a disposizione due sorgenti a temperatura nota. Nel caso di appa-recchiature funzionanti a frequenze molto elevate, queste sorgenti sono realizzate con uncarico adattato tenuto a temperatura ambiente o raffreddato, ad esempio, con elio liquido.

Nel caso in cui l’apparato sia chiuso sulla terminazione a temperatura ambiente, lapotenza che si misura in uscita vale:

P onusc = FkToApBeq

Per determinare F sarebbe necessario misurare, oltre che P onusc , anche il guadagno inpotenza Ap e la banda equivalente di rumore Beq, misure queste due ultime che non èsemplice effettuare con sufficiente precisione.

Se si ha la possibilità di portare la terminazione in ingresso ad una nuova temperaturaT1, però, con solo due misure di potenza all’uscita dell’apparato si può determinare F .Infatti, con la terminazione a temperarura T1, la potenza che si misura in uscita vale:

P 1nusc = k [T1 + (F − 1)To]ApBeq.Il rapporto tra le potenze misurate in corrispondenza delle due temperature del carico (chesi suppone non cambi la sua impedenza con la temperatura, ovviamente!) non dipende néda Ap né da Beq, ma solo dall’incognito F e dalle due temperature della terminazione, chedevono essere note. Si ricava facilmente che:

F =1− T1/To

1− P 1nusc/Ponusc

.

Ricavare eventualmente la temperatura equivalente di rumore è, ora, banale. E’ ovvio chei conti potevano essere direttamente eseguiti utilizzando, per rappresentare la rumorositàdell’apparato, la temperatura equivalente di rumore al posto del fattore di rumore.

Un altro metodo, sostanzialmente equivalente, viene utilizzato quando è possibile usareun generatore di rumore la cui temperatura equivalente può essere variata con continuità.Un tale generatore può essere realizzato con un resistore in parallelo ad un generatore


di rumore granulare. Il resistore può essere usato per polarizzare il diodo e deve essererealizzato con tecnologia che eviti la generazione di altri termini di rumore a causa dellacorrente continua che lo attraversa (ad es. rumore ’l/f’). In tal modo si finisce con l’ottenereun generatore di rumore con resistenza interna R e densità spettrale di corrente di rumore4kTo/R + 2qI. La misura viene effettuata collegando il generatore con I = 0, cioé il soloresistore a temperatura ambiente, e misurando la potenza in uscita dall’apparato in prova.Poi si dà corrente al diodo e se ne aumenta il valore fin quando la potenza in uscita nonrisulta raddoppiata: sia Î il valore della corrente in questo caso. Adattando le formule giàutilizzate si può scrivere:

2 =FkTo + qÎR/2

FkToe, quindi:

F =qÎR

2kTo.

Val la pena di notare che il primo metodo richiede un misuratore di potenza con scalatarata, mentre il secondo può utilizzare qualunque strumento non tarato, se in uscita sidispone, però, di un attenuatore tarato da 3 dB. La misura si ripete inserendo l’attenuatoreed aumentando I finché non si ottiene la stessa lettura: in questo modo non è importantela taratura dello strumento. Altre osservazioni sono ovvie: la misura deve essere fatta in untempo sufficientemente breve perché la corrente Î non possa cambiare la temperatura dellaterminazione resistiva. Infine, tutti i discorsi relativi al tempo di transito dei portatori neldispositivo che genera il rumore granulare vanno tenuti in conto quando la misura vieneeffettuata a frequenze elevate.

Esempio. Si abbia un televisore con un fattore di rumore FTV = 10 dB ed un cavo didiscesa, che lo collega all’antenna, che attenua 3 dB. Qual è il fattore di rumore del sistemaricevente? Come si può abbassarlo a 6 dB?

______________

= 3 dB F = 10 dBTVα

Figura 1.3.6. Schema di sistema ricevente TV completo di linea di discesa d’antenna.

Il fattore di rumore del sistema ricevente vale, ricordando che per un attenuatore pas-sivo a temperatura ambiente il fattore di rumore ha un valore coincidente con la suaattenuazione:

Ftot = α +FTV − 1

1/α= 2 +

10− 10, 5

= 20⇒ 13 dB

Ridurre l’entità di questo rumore non è possibile, ma si può fare in modo che il suoeffetto sia minore aumentando il livello del segnale che ci si deve confrontare. Questo vuol


dire che il modo per tentare di ridurre il fattore di rumore del sistema complessivo è quellodi utilizzare un preamplificatore, del quale interessano i parametri guadagno (A) e fattoredi rumore (FA).

= 3 dBA, FA F = 10 dBTVα

Figura 1.3.7. Sistema ricevente TV con preamplificatore d’antenna.

Il fattore di rumore complessivo diventa:

(1.3.1) Ftot = FA +α− 1A

+FTV − 1A/α

= FA +19

A≤ 4

dalla quale si ricavano le infinite coppie di valori A, FA che permettono di ottenere ilrisultato richiesto.

Consideriamo adesso due possibili amplificatori, con guadagni e fattori di rumore di-versi, che soddisfano la (1.3.1). Quale preferire? Ovviamente quello che ha un guadagnopiù basso, perché rende meno problematici possibili effetti di saturazione dell’amplificatorea causa di segnali adiacenti.

Avendo acquisito i concetti necessari a valutare il livello del rumore sovrapposto alsegnale, si può ora passare al dimensionamento di sistemi di trasmissione.

CAPITOLO 2

Canale trasmissivo passa basso

2.1. Introduzione

L’obiettivo di un sistema di trasmissione è quello di far giungere un segnale al destina-tario nel modo più fedele possibile. Lo schema di principio è il seguente

A

s(t) P

hn

αTxTs(t)^

Rx

Figura 2.1.1. Schema a blocchi di un sistema di trasmissione.

Non è importante al momento indagare sul funzionamento delle apparecchiature ditrasmissione Tx e di ricezione Rx. Esse servono esclusivamente a forzare l’informazionein una forma che si possa propagare lungo il mezzo trasmissivo. Considereremo il mezzotrasmissivo come un sistema lineare caratterizzato da una attenuazione α e da una tempe-ratura equivalente di rumore To, che quantifica la rumorosità presente all’uscita del mezzotrasmissivo stesso, inevitabilmente sovrapposta al segnale utile.

In ricezione si avrà, sovrapposta alla forma d’onda desiderata, una forma d’onda inco-gnita che costituisce un disturbo. Tale disturbo può essere di diverso tipo: sicuramente èsempre presente del rumore termico, dovuto al moto casuale degli elettroni nei conduttorie alla natura granulare della corrente che attraversa i dispositivi attivi. Questo discorsoporta alla conclusione che, alla fine del collegamento, è sempre indispensabile effettuare unbilancio di potenza. Se PT è la potenza trasmessa, la potenza ricevuta sarà

(2.1.1) PR =PTα−→ PR|dBm = PT |dBm − a|dB

Se la temperatura equivalente di rumore ai morsetti di uscita del mezzo trasmissivo èTo, la potenza di rumore al terminale ricevente sarà

(2.1.2) PN = kToB

essendo B la banda di misura, che naturalmente non può che essere la banda occupata dalsegnale. Il rapporto segnale-rumore all’uscita del mezzo trasmissivo è allora

(2.1.3)S

N

∣∣∣∣o

=PRkToB

17

18 2. CANALE TRASMISSIVO PASSA BASSO

essendo hn = KTo la densità spettrale di potenza di rumore. Esso rappresenta il rapportosegnale-rumore che in teoria il mezzo trasmissivo potrebbe fornire. In realtà bisogna tenerconto dell’apparecchiatura ricevente, che introduce ulteriore rumorosità quantificabile me-diante il fattore di rumore F . Il rapporto segnale rumore ottenibile all’uscita del sistematrasmissivo è allora

(2.1.4)S

N=

PRFkToB

Prima di proseguire il discorso facciamo la seguente osservazione. Consideriamo duecanali di trasmissione identici e supponiamo di effettuare la trasmissione contemporanea-mente su entrambi.

T

P

h

xR

n

αTxT

P

h

xR

n

αTxT

s(t)

s(t)^

s(t)^

s (t)

Figura 2.1.2. Due sistemi di trasmissione in parallelo.

Studiamo le uscite dei due canali separatamente e vediamo in che modo l’operazionedi somma modifica il rapporto segnale-rumore. I due canali sono identici, per cui le uscitesaranno uguali. Sappiamo già che, all’uscita del singolo canale, si avrà

(2.1.5)S

N

∣∣∣∣o

=PR

FkToB

Naturalmente si ha sT (t) = 2ŝ(t). La potenza di segnale ricevuta in totale sarà alloraPsT = 4PR, essendo PR la potenza in uscita dal singolo canale. Il rumore subirà sorteanaloga al segnale, con la sostanziale differenza che l’andamento temporale della tensionedi rumore all’uscita dei due ricevitori sarà diverso, al contrario di quanto avviene per ilsegnale. La tensione di rumore complessiva è data dalla somma delle due tensioni di rumore(2.1.6) nT (t) = n1(t) + n2(t)essendo n1(t) ed n2(t) rispettivamente la tensione di rumore all’uscita del canale superioree quella all’uscita del canale inferiore.

I rumori nei due canali sono realizzazioni fisicamente distinte dello stesso fenomeno, traloro statisticamente indipendenti. Di conseguenza la potenza media della somma sarà parial doppio della potenza all’uscita del singolo canale. Si ha cioè(2.1.7) PnT = 2PN

In seguito si userà la dicitura somma in tensione per indicare la somma di segnali ugualie congruenti istante per istante. In questo caso la potenza della somma è pari al quadruplo

2.3. SISTEMA DI TRASMISSIONE SU CAVO COASSIALE 19

della potenza del singolo termine. Si userà la dicitura somma in potenza quando, come nelcaso del rumore nell’esempio che si sta considerando, la potenza della somma è pari allasomma delle potenze. Si ottiene in definitiva che il rapporto segnale-rumore complessivo è

(2.1.8)S

N

∣∣∣∣T

=4PR2PN

= 2PRPN

= 2S

N

∣∣∣∣S

ed è quindi pari al doppio del rapporto segnale-rumore all’uscita del singolo canale. D’altraparte la potenza trasmessa è 2PT (PT per ogni canale). Si può allora giungere allo stessorisultato semplicemente trasmettendo potenza doppia su un unico canale.

2.2. Mezzi trasmissivi passa basso

Esistono due famiglie di mezzi trasmissivi: mezzi a onde convogliate o guidate e mezzi aonde irradiate. I primi impediscono alla potenza iniettata dal trasmettitore di diffondere. Ilmezzo è comunque dissipativo e l’attenuazione varia esponenzialmente con la distanza, cioéin modo lineare con la distanza se misurata in unità logaritmiche. La potenza in uscita dalmezzo è legata alla potenza trasmessa tramite un fattore che diminuisce esponenzialmentecon la distanza. A questa famiglia appartengono tutti i mezzi in rame (più genericamentein materiale conduttore) e le fibre ottiche. Delle fibre si parlerà in un capitolo apposito.Per i cavi in rame la variazione dell’attenuazione con la frequenza è del tipo

(2.2.1) α (f) = αs

√f

fs(unità logaritmiche)

essendo as l’attenuazione specifica a frequenza fs e α l’attenuazione specifica a frequenzaf . Tale dipendenza dell’attenuazione dalla frequenza è dovuta al fatto che all’aumentaredella frequenza è sempre più sensibile l’effetto pelle. La formula (2.2.1), infatti, non valefino alla continua, ma solo per frequenze sufficientemente elevate da rendere dominantel’effetto pelle.

2.3. Sistema di trasmissione su cavo coassiale

Consideriamo un cavo lungo l chilometri con attenuazione di α dB per unità di lun-ghezza ad una frequenza fissata (ad esempio α = 2 dB/km @ 1MHz). Consideriamo latrasmissione analogica nel sistema schematizzato in figura 2.1.1.

Supponiamo che s(t) abbia densità spettrale hs costante in banda

B

h S

Figura 2.3.1. Densità spettrale del segnale.


In ricezione si ha, sovrapposto al segnale, un rumore con densità spettrale hn, dovuto inparte al rumore generato nel cavo e in parte alla rumorosità dell’apparecchiatura ricevente.Naturalmente, dato che il cavo ha un’attenuazione che cresce con la frequenza, la densitàspettrale del segnale in uscita dal cavo sarà diversa da quella in ingresso. All’ingressodell’apparecchiatura ricevente abbiamo un rumore bianco con densità spettrale hn e unsegnale la cui densità spettrale è stata distorta. Nel punto A di figura 2.1.1 si ha lasituazione rappresentata in figura 2.3.2

S

segnale B

h

h n

rumore

Figura 2.3.2. Densità spettrale di rumore e segnale all’uscita del cavo.

Si rende, quindi, necessaria una equalizzazione del mezzo trasmissivo. In altri terminiin ricezione è necessario un amplificatore il cui guadagno vari con la frequenza in modo taleda "spianare" la densità spettrale del segnale. Se la funzione di trasferimento in potenzadel mezzo è del tipo exp(−2α (f)), l’amplificazione dovrà essere del tipo

(2.3.1) A(f) = k exp (2α (f))

con k coefficiente moltiplicativo arbitrario e α (f) dato dalla (2.2.1).In questo modo ritroviamo il segnale come era stato trasmesso, ma sovrapposto ad esso

troviamo un rumore amplificato, soprattutto nelle componenti in alta frequenza.Ciò può creare problemi o meno a seconda dell’applicazione. Nel caso di un segnale

televisivo, per esempio, non ci sono grossi problemi perché l’occhio è meno sensibile alrumore in alta frequenza, mentre la situazione può essere inaccettabile nel caso di segnaletelefonico multiplo a divisione di frequenza. Per ottenere un rapporto segnale-rumorecostante in frequenza, basta fare in modo che il segnale arrivi nel punto in cui il rumore èa densità spettrale costante con tutte le componenti spettrali ad un livello relativo ugualea quello che avevano in partenza. Per far ciò basta effettuare una preenfasi del segnale,amplificandone le componenti in alta frequenza prima della trasmissione. A questo puntol’amplificatore in ricezione può essere piatto in banda.

Queste considerazioni sono sempre necessarie quando si usa un mezzo trasmissivo nonideale (attenuazione non costante in banda) per la trasmissione di segnali analogici.

Normalmente è necessario usare sistemi di comunicazione complessi, costituiti dallacascata di più sistemi elementari. Se i sistemi in cascata sono tutti uguali tra loro siottengono sistemi multitratta del tipo in figura 2.3.3.

Vediamo come valutare il rapporto segnale-rumore all’uscita dell’ultima tratta. Sup-poniamo di equalizzare il segnale in ricezione. Gli andamenti delle densità spettrali che il


7

h n1

Aα

h

Aα

h

Aα

n2 n3

1 32 4 5 6

Figura 2.3.3. Schema a blocchi di un sistema multitratta con tratte uguali.

segnale ed i vari termini di rumore assumono nei vari punti del sistema sono schematizzatiin figura 2.3.4.

7

s(t)

hn1

h

h

n2

n3

1 3 42 5 6

Figura 2.3.4. Densità spettrali di segnale e rumore in un sistemamultitratta con tratte identiche.

In definitiva si osserva che il segnale che emerge alla fine della catena è identico aquello trasmesso. Per quanto riguarda il rumore, esso viene iniettato in tutti i punti incui il segnale si trova con le componenti in alta frequenza attenuate. All’uscita dell’ultimatratta si ottengono tutti i termini di rumore che, indipendentemente da dove siano statiiniettati, si presentano con la stessa densità spettrale. Di conseguenza, il segnale in uscitaè uguale a quello in ingresso e anche a quello che si otterrebbe con una sola tratta; perquanto riguarda il rumore, si ottengono tanti termini quante sono le tratte in cascata.Quindi il dimensionamento di un sistema multitratta con tratte tutte identiche tra lorosi può effettuare in modo analogo a quello di un sistema con una sola tratta, a pattodi modificare la schematizzazione del sistema come indicato in figura 2.3.5, essendo m ilnumero di tratte.

n

s(t)xT

s(t)^Rxα (f)

m h

Figura 2.3.5. Schematizzazione equivalente di un sistema con m tratte identiche.


Il rapporto segnale-rumore all’uscita è

S

N=

hsB∫ B0mhnA(f)df

essendo A(f) dato dalla (2.3.1).In alternativa possiamo fare in modo che il segnale si presenti con la sua densità

spettrale originaria nei punti di iniezione del rumore, effettuando un’enfasi del segnalein trasmissione.

Equalizzazione passiva. L’equalizzazione del mezzo trasmissivo si può ottenere met-tendo in cascata al cavo, che ha attenuazione non costante in frequenza, un filtro passivoche attenui maggiormente le componenti in bassa frequenza (meno attenuate dal cavo) e,in misura minore, quelle componenti che sono già state attenuate dal cavo.

Il cavo abbia impedenza caratteristica Ro. In uscita presenterà una densità spettraledi potenza di rumore disponibile kTo. In cascata si pone un filtro passivo, adattato inimpedenza sia in ingresso che in uscita e che abbia tutti i dispositivi passivi a temperaturafisica T o. Se si ipotizza che anche il generatore in trasmissione abbia un’impedenza interna,anch’essa a temperatura To, che garantisca l’adattamento con la linea, ci si trova con ununico dispositivo passivo in cui tutti gli elementi dissipativi sono alla stessa temperaturaTo. In questo caso, e solo in questo caso, la temperatura equivalente di rumore all’uscitadi tutta la catena è ancora To ed il filtro non modifica la densità spettrale di potenza dirumore in uscita dal mezzo trasmissivo, che resta la stessa sia in presenza, sia in assenza delfiltro. In questo caso il discorso risulta più semplice, perché il segnale non ha più bisognodi equalizzazione. Naturalmente è necessario aumentare la potenza trasmessa.

Tutto il discorso è basato sul fatto che, con l’uso del filtro passivo in cascata e conle condizioni di adattamento, si riesce a rendere l’attenuazione del cavo costante senzamodificare la sagomatura del rumore in uscita.

Esempio. Bisogna garantire un rapporto segnale-rumore pari a S/N=50 dB, definitocome rapporto tra potenza picco-picco del segnale e potenza media del rumore. La bandadel segnale è B = 5 MHz. Il cavo ha una attenuazione α = 2 dB/km @ 1MHz. InoltreF = 10 e l = 100 km.

Calcoliamo la potenza necessaria in trasmissione per ottenere il rapporto segnale-rumorerichiesto. La potenza di rumore è

PN = FkToB ⇒ 10− 174 + 67 = −97 dBm

Di conseguenzaPpp = 50− 97 = −47 dBm

Dobbiamo ora calcolare la potenza necessaria in trasmissione per ottenere in ricezione-47 dBm. Calcoliamo l’attenuazione del cavo lungo l = 100 km, equalizzato passivamente.


Dato che l’attenuazione cresce esponenzialmente con la frequenza, dobbiamo considerarela frequenza massima che è 5 MHz.

αs(5MHz) = 4.5dB/km

L’attenuazione totale è allora

α = l αs = 450dB

Di conseguenza la potenza da trasmettere è

PT = 403dBm⇒ 1040,3mWTale potenza è troppo elevata. Dividendo il collegamento in due tratte otteniamo in

uscita lo stesso segnale, ma il rumore raddoppia. Di conseguenza è necessario aumentaredi 3 dB la potenza trasmessa PT . D’altra parte l’attenuazione della singola tratta diventa225 dB e, quindi, la potenza richiesta al singolo trasmettitore sarà

PSR = 403 + 3− 225 = 181dBm

Si è scoperto che si può risparmiare potenza da trasmettere dividendo il collegamentoin più tratte uguali. Bisogna decidere quante tratte è conveniente usare. Se si spezza ilcollegamento nella cascata di n tratte uguali, all’uscita dell’ultima tratta si sovrappongonon termini di rumore ed è necessario richiedere all’uscita della singola tratta un rapportosegnale-rumore n volte maggiore. Deve cioé essere (unità logaritmiche)

(2.3.2)S

N

∣∣∣∣S

=S

N

∣∣∣∣T

+ 10 log10n

essendo S/N|S il rapporto S/N all’uscita della singola tratta ed S/N|T il rapporto S/Nall’uscita dell’ultima tratta.

L’ultimo addendo tiene conto degli n termini di rumore. Il rapporto S/N ottenibilesulla singola tratta è

S

N

∣∣∣∣ott

=PRhnB

cioè

(2.3.3)S

N

∣∣∣∣ott

= PT |dBm −α

n

∣∣∣dB− FkToB|dBm

essendo α l’attenuazione complessiva del collegamento e, quindi, α/n (in dB) l’attenuazionedella singola tratta. Il dimensionamento del sistema si ottiene imponendo che il rapportosegnale/rumore richiesto alla singola tratta sia minore, o al più uguale, a quello ottenibile.Cioé

S

N

∣∣∣∣S

≤ SN

∣∣∣∣ott

(2.3.4)S

N

∣∣∣∣T

+ 10 log10n ≤ PT |dBm −α

n

∣∣∣dB− FkToB|dBm


Se PT = 100 mW50 + 10 log10n ≤ 20− 450/n+ 97

cioé

n ≥ 45067− 10 log10n

che può essere risolta iterativamente considerando l’uguaglianza. Si ottiene n = 7, 74.Naturalmente si arrotonda ad n = 8. Verifichiamo il risultato.

Per n = 7, dalla (5.5.1) si ottiene che il rapporto segnale rumore richiesto all’uscitadella singola tratta è 50 + 10 log107 = 58.5 dB. Il rapporto segnale rumore ottenibile èinvece (dalla (2.3.3)) pari a 52.7 dB e la (2.3.4) non è verificata .

Si può facilmente verificare che, invece, con n = 8 il rapporto segnale/rumore richiestovale 59 dB e quello ottenibile 60, 75 dB e la (2.3.4) è soddisfatta.

Nell’esercizio si è ipotizzato di utilizzare n tratte tutte rigorosamente uguali, e questoimplica che tutti i componenti (mezzo trasmissivo compreso) abbiano in ogni istante lostesso comportamento, qualunque sia la tratta considerata. Ciò è sensato esclusivamenteper mezzi ad onde convogliate, che sono sotto il nostro controllo.

Vediamo cosa succede nel caso in cui le tratte siano diverse tra loro.

T

h n1

Aα

h

Aα

n2

1 2 2

h

A

nN

α αN33P

Figura 2.3.6. Schema a blocchi di un sistema multitratta con tratte diverse.

L’obiettivo è, naturalmente, calcolare il rapporto segnale-rumore all’uscita (S/N|T ) infunzione della potenza trasmessa PT , essendo S/N|T = PS/PN con PS = potenza delsegnale e PN = potenza del rumore all’uscita dell’ultima tratta. Vediamo separatamentecosa succede al segnale e cosa succede al rumore (abbiamo a che fare con elementi linearie quindi è possibile separare i due discorsi).

La potenza del segnale in ricezione è (in unità naturali)

PS = PTA2A3 · · ·ANα1α2 · · ·αN

La potenza di rumore è

PN = B

[hn1

A2 · · ·ANα2 · · ·αN

+ hn2A3 · · ·ANα3 · · ·αN

+ · · ·+ hnN]

Abbiamo quindi

(2.3.5)S

N

∣∣∣∣T

=1

hn1B

PT/α1+

hn2B

PT A2/ (α1α2)+

hn3B

PT A2A3/ (α1α2α3)+ · · ·


Gli addendi al denominatore rappresentano i rapporti rumore segnale che la singola trattafornirebbe, se considerata a se stante e se al suo ingresso venisse iniettata una potenza disegnale pari a quella che effettivamente il sistema le inietta. In altri termini, la potenza iningresso alla tratta i-esima è

PT i = PT

∏ij=2Aj∏i−1j=1 αj

mentre la potenza all’uscita della tratta i-esima è

PUi = PT

∏ij=2Aj∏ij=1 αj

Il rapporto rumore-segnale all’uscita della tratta i-esima valeN

S

∣∣∣∣Si

=hniB

PUi

In conclusione

(2.3.6)S

N

∣∣∣∣T

=1

N∑i=1

N

S

∣∣∣∣Si

Naturalmente, se tutte le tratte sono uguali, cioè se le attenuazioni sono tutte numerica-mente identiche, e se la potenza iniettata in ogni tratta è la stessa (cioè se l’amplificazioneè tale da bilanciare esattamente l’attenuazione che precede) si riottiene

S

N

∣∣∣∣T

=1

N

S

N

essendo S/N il rapporto segnale rumore che la singola tratta potrebbe fornire se consideratada sola.

CAPITOLO 3

Canale trasmissivo passa banda

Fino a questo punto si è fatto riferimento implicitamente ad un sistema di trasmissionein banda base. Se il mezzo trasmissivo, però, permette la propagazione di segnali conspettro allocato in una banda diversa da quella in cui è allocato il segnale originario,biogna ricorrere a sistemi di trasmissione in banda traslata.

I segnali da trasmettere, infatti, molto spesso non godono di quelle proprietà che nerenderebbero possibile l’invio diretto sul canale. Non è, ad esempio, ipotizzabile l’invioad un’antenna del segnale proveniente da un microfono: il segnale telefonico occupa unabanda che si estende da poche decine fino a poche migliaia di hertz e le caratteristichepropagative del mezzo radio cambiano enormemente in questo intervallo di frequenze. An-che nell’ipotesi di mettere insieme un’antenna capace di avere un minimo di rendimento atutte le frequenze interessate, il segnale ricevuto sarebbe inutilizzabile. L’assurdità di unatale ipotesi dovrebbe essere palese.

Un modo di rendere con buona approssimazione ideale il canale radio è quello di uti-lizzarlo su una banda relativa piccola. Per banda relativa si intende il rapporto tra bandaeffettivamente utilizzata e frequenza centrale del canale. In caso di banda relativa piccolasi può supporre che il canale radio abbia una caratteristica di trasferimento accettabile,anche se cammini multipli e vari fenomeni di affievolimento ne rendono il comportamentovariabile nel tempo.

Una sinusoide ha banda relativa nulla e, quindi, è il segnale ideale da trasmettere.Sfortunatamente una sinusoide non porta altra informazione che quella relativa alla suafrequenza, alla sua fase ed alla sua ampiezza; il contenuto informativo di una sinusoide è,perciò, sostanzialmente nullo. Se, però, uno o più dei parametri che caratterizzano unasinusoide vengono fatti variare in accordo con il segnale da trasmettere, cioé si modulala portante sinusoidale con il segnale da trasmettere, si riesce a legare l’informazione adun segnale in grado di propagarsi lungo il mezzo. È chiaro che, in questo caso, la bandarelativa non sarà più nulla. Poiché i parametri che caratterizzano una sinusoide sonoampiezza, frequenza e fase, i tipi di modulazione che si possono realizzare sono, appunto:modulazione d’ampiezza, di frequenza e di fase. Vedremo in seguito che le modulazioni difrequenza e di fase rientrano nella più vasta categoria delle modulazioni d’angolo.

27

28 3. CANALE TRASMISSIVO PASSA BANDA

3.1. Modulazione d’ampiezza

3.1.1. Modulazione d’ampiezza in doppia banda laterale e portante soppres-sa (DSB-SC). Modulare d’ampiezza una sinusoide “portante” significa renderne l’ampiez-za proporzionale, istante per istante, al segnale modulante s(t), che rappresenta l’informa-zione da trasmettere. La sinusoide di pulsazione ω◦, modulata in ampiezza dal segnale s(t),può essere espressa matematicamente come:

st(t) = s(t) · cosω◦t.

Questo tipo di modulazione viene denominato “modulazione d’ampiezza in doppia ban-

Figura 3.1.1. Portante modulata in doppia banda laterale.

da laterale con portante soppressa” (in terminologia inglese double side-band suppressedcarrier o DSB-SC). L’espressione portante soppressa sta ad indicare che nello spettro dellaportante modulata non è presente un impulso alla pulsazione della portante, sempre cheil segnale modulante sia a valor medio nullo (in caso contrario nel suo spettro sarebbepresente un impulso a frequenza zero).

Poiché il prodotto gode della proprietà distributiva, se il segnale modulante è sommadi due segnali s1(t) ed s2(t), la portante modulata può descriversi come somma di dueportanti di pari ampiezza, frequenza e fase, modulate rispettivamente da s1(t) e da s2(t).La modulazione d’ampiezza è, quindi, una modulazione lineare: se è nota la risposta delsistema ad un segnale modulante sinusoidale di frequenza qualsiasi, è nota la risposta delsistema ad un segnale modulante qualsiasi. È noto, infatti, che con l’analisi di Fourier unsegnale può essere scomposto nella somma di sinusoidi.

Nel seguito si considererà spesso, senza perdere in generalità, un segnale modulantesinusoidale. Se ωs è la sua pulsazione, la portante modulata risulta:

(3.1.1) cosωst · cos(ω◦t+ ϕ) =12

cos[(ω◦ − ωs)t+ ϕ] + 12 cos[(ω◦ + ωs)t+ ϕ]ed è composta della somma di un termine a frequenza somma e di un termine a frequenzadifferenza, donde il termine “doppia banda laterale”. Queste componenti spettrali, a fre-quenze maggiori e minori della frequenza della portante, sono dette rispettivamente “bandalaterale superiore” e “banda laterale inferiore”. La presenza di queste due bande laterali fasi che un segnale modulante con banda B produca un segnale modulato con una banda 2Bcentrata intorno alla frequenza della portante.

3.1. MODULAZIONE D’AMPIEZZA 29

L’operazione di prodotto che nei tempi realizza la modulazione corrisponde, nel dominiodelle frequenze, alla convoluzione tra lo spettro del segnale e quello della portante. Unasinusoide a frequenza f◦ ha uno spettro costituito da due impulsi, uno a frequenza +f◦ed uno a frequenza −f◦. Un segnale modulante generico, con spettro che si estende dafrequenza 0 a frequenza fm, quando modula una portante a frequenza f◦ produce unsegnale con spettro come indicato in figura 3.1.2.

-

6

−fm fm ∗-

6

6 6f◦−f◦

-

6

f◦−f◦

Figura 3.1.2. Schematizzazione in frequenza della modulazione d’ampiezza.

Vettori rotanti. La possibiltà di considerare una sinusoide come tipico segnale mo-dulante consente l’uso di una rappresentazione grafica estremamente comoda. È noto cheun segnale sinusoidale può essere rappresentato mediante un vettore rotante ed un vettore,rotante con velocità angolare ω nel piano complesso, mediante un esponenziale comples-so. Infatti si può porre cos(ωt + ϕ) = Re[exp{(ωt + ϕ)}]. A condizione di presupporrel’estrazione della parte reale, l’equazione (3.1.1) può essere riscritta come:

(3.1.2) cosωst · ej(ω◦t+ϕ) =1

2ej[(ω◦−ωs)t+ϕ] +

1

2ej[(ω◦+ωs)t+ϕ].

Nel piano complesso un esponenziale ejωt è rappresentabile mediante un vettore di modulounitario, la cui fase aumenta linearmente nel tempo con legge ωt.

Il piano complesso di riferimento può essere scelto nel modo che risulta più utile ed inquesto caso, poiché è la portante a stabilire il riferimento di fase, è utile scegliere comeriferimento un piano che ruoti sincronamente con essa. In questo piano la sinusoide por-tante è rappresentata da un vettore fisso che può, ad esempio, identificare uno degli assicoordinati. Una sinusoide modulata d’ampiezza è rappresentabile mediante un vettore ilcui modulo varia nel tempo in accordo con il segnale modulante. Se il segnale modulante ècostituito da un’altra sinusoide, in base alla (3.1.2), la portante modulata è rappresentabilenel piano complesso mediante due vettori rotanti con velocità angolari rispettivamente pariad ω◦ − ωs ed ω◦ + ωs. Nel piano rotante con velocità angolare ω◦ tali componenti, cherappresentano le due bande laterali, diventano due vettori rotanti con velocità angolaririspettivamente pari a +ωs e −ωs. È facile verificare che la risultante della loro sommaè un vettore di modulo variabile nel tempo che giace sempre sull’asse che rappresenta laportante.


-

6

@@

@I

��

+ωst −ωst

sinω◦t

cosω◦t

Figura 3.1.3. Schematizzazione mediante vettori rotanti di una portantemodulata da una sinusoide.

3.1.2. Demodulazione coerente. Per demodulazione si intende l’operazione chepermette di recuperare il segnale modulante dalla portante modulata. La demodulazionecoerente si basa sull’ipotesi che frequenza e fase della portante ricevuta siano note e sulfatto che il prodotto di una sinusoide per un’altra sinusoide di uguale frequenza produceun termine in continua ed un termine a frequenza doppia.

s(t) · cos(ωot+ ϕ) · 2 cos(ωot+ ϕ) = 2s(t) · cos2(ωot+ ϕ)

Figura 3.1.4. Effetto della moltiplicazione della portante modulata per unasimusoide coerente in frequenza e fase.

Il prodotto di una sinusoide modulata d’ampiezza per un’altra sinusoide di ugualefrequenza produce:

(3.1.3) s(t) cos(ω◦t+ ϕ◦) · 2 cos(ω◦t+ ϕ1) =s(t) cos(ϕ1 − ϕ◦) + s(t) cos(2ω◦t+ ϕ1 + ϕ◦).

È evidente che un filtro passa basso in grado di isolare il termine di bassa frequenza forniràin uscita il segnale modulante desiderato s(t). Lo schema a blocchi di un demodulatorecoerente è, perciò, quello di figura 3.1.5.

Per avere il massimo segnale in uscita, sarà necessario imporre che ϕ1 = ϕ◦. Un erroredi fase tra portante da demodulare ed oscillazione locale dà luogo ad una diminuzione nel-l’ampiezza del segnale demodulato. Va da sé che un errore di frequenza ∆f , rappresentandoun errore di fase che cresce linearmente col tempo, darà luogo ad un segnale demodulatola cui ampiezza cambia nel tempo proporzionalmente ad una sinusoide di frequenza ∆f .


st(t)- i×6

--6

-

2 cosω◦t

Figura 3.1.5. Schema a blocchi del demodulatore coerente.

Nel caso di segnale modulante sinusoidale la formula (3.1.3) può essere riscritta eviden-ziando i contributi delle due bande laterali:

(3.1.4)

cos(ωst) cos(ω◦t+ ϕ◦) · 2 cos(ω◦t+ ϕ1) == 1

2{cos[(ω◦ + ωs)t+ ϕ◦] + cos[(ω◦ − ωs)t+ ϕ◦]} · 2 cos(ω◦t+ ϕ1) =

= 12

cos(ωst+ ϕ◦ − ϕ1) + 12 cos(−ωst+ ϕ◦ − ϕ1)++1

2cos([2ω◦ + ωs]t+ ϕ1 + ϕ◦) +

12

cos([2ω◦ − ωs]t+ ϕ1 + ϕ◦).Graficamente l’operazione di demodulazione può essere descritta come la proiezione,

lungo la direzione che individua frequenza e fase dell’oscillazione locale, dell’ampiezza istan-tanea del vettore che rappresenta la portante modulata. In questa operazione le due bandelaterali possono essere considerate separatamente, sommando successivamente i contributidi ciascuna, oppure esse possono essere sommate vettorialmente per calcolare poi la pro-iezione della loro risultante sulla retta passante per l’origine che rappresenta l’oscillazionelocale. La situazione è esemplificata in figura.

-

6

@@@I

6

��

DD

DD

DD

DD

DD

DD

+ωst −ωst

sin(ω◦t+ϕ◦)

cos(ω◦t+ϕ◦)

Figura 3.1.6. Schematizzazione geometrica della demodulazione coerente.

3.1.3. Calcolo del rapporto segnale/rumore. Rimane da considerare l’effetto delrumore. Note che siano la potenza in ricezione della portante modulata e la densità spet-trale di rumore equivalente in ingresso al ricevitore, il calcolo del rapporto segnale/rumoredopo demodulazione è semplice. Bisogna tenere ben presente che le bande laterali gene-rano, per battimento con l’oscillazione locale, termini di bassa frequenza che sono tra loroidentici e che si sommano “in tensione”. Il rumore, d’altro canto, genera termini tra loroincorrelati e che, quindi, si sommano in potenza. È noto che filtrando lo stesso rumoretermico con due filtri le cui funzioni di trasferimento non si sovrappongono si ottengono


due segnali incorrelati (e, poiché gaussiani, indipendenti). L’operazione di demodulazionecoerente riporta in banda base i termini spettrali di rumore rispettivamente a destra ed asinistra della portante. Ne consegue l’incorrelazione e la somma in potenza.

Un sistema di trasmissione utilizzante la modulazione d’ampiezza può essere schema-tizzato come in figura.

-s(t) i6×

cosω◦t

- mezzotrasmissivo

T- i+?n(t) - i×

6

--6

-̂s(t)demodulatore

2 cosω◦t

Figura 3.1.7. Schema di un sistema di trasmissione che usa la modulazione d’ampiezza.

L’ampiezza dell’oscillazione locale inviata al demodulatore è stata arbitrariamente postauguale a 2, come in (3.1.3). Tale valore è comodo, ma, d’altro canto, un valore diversomodificherebbe sia l’ampiezza del segnale all’uscita del demodulatore, sia l’ampiezza delrumore riportato nello stesso punto. Il rapporto segnale/rumore risulterebbe esattamentelo stesso.

Ipotizzando completa coerenza tra oscillazione locale e portante da demodulare, a valledel demodulatore coerente lo spettro del segnale avrà una densità spettrale di potenzapari a 4 volte quella di una banda laterale del segnale da demodulare, mentre il rumore inuscita avrà densità spettrale doppia di quella che aveva in ingresso. Calcolare il bilanciotra potenza di segnale e potenza di rumore prima e dopo demolulazione è, con questepremesse, estremamente semplice.

Uno schema a blocchi come quello di figura si usa per descrivere il “sistema” e pervalutarne le prestazioni, prescindendo da problemi di implementazione circuitale. È leci-to, perciò, evidenziare i livelli assoluti dei segnali solo in punti chiave, come l’uscita deltrasmettitore e l’ingresso del ricevitore, in modo da poter calcolare il rapporto S/N. Nellarealtà i circuiti avranno bisogno di livelli minimi di segnale per poter funzionare e sarànecessario introdurre opportune amplificazioni. Per effettuare correttamente il calcolo delrapporto S/N è sufficiente che, nel punto dove si inietta il rumore equivalente introdottodal sistema, il livello di potenza del segnale sia quello giusto. In sede di progetto delleapparecchiature non sarà possibile fare a meno di considerare l’effettivo livello del segnalenei vari punti dello schema a blocchi; qui basta tener conto in modo equivalente all’ingressodel ricevitore di tutto il rumore supplementare introdotto dalle apparecchiature.

Esercizio. Un generico segnale s(t) modula d’ampiezza una portante e la potenzamedia che il trasmettitore invia sul mezzo trasmissivo è di 1 W. Il mezzo trasmissivo haun’attenuazione costante pari a 90 dB e le apparecchiature riceventi hanno un fattore dirumore F pari a 12 dB. Calcolare il rapporto tra potenza media di segnale e potenza mediadi rumore all’uscita del demodulatore per una banda del segnale modulante pari a 10 kHz.

————


La potenza media trasmessa (punto T dello schema a blocchi di figura 3.1.7) PT =30 dBm, attenuata di 90 dB, produce una potenza media ricevuta pari a PR = −60dBm. Il rumore che si somma al segnale ricevuto ha una densità spettrale di potenzapari a −174dBmW/Hz + 12dB = −162 dBmW/Hz. Dopo il demodulatore tale densitàspettrale sarà doppia e darà una potenza di rumore pari a −162 + 3 + 10 log10 104 = −119dBm. La portante modulata, ricevuta ad un livello di potenza media pari a −60 dBm,darà luogo ad un segnale demodulato la cui potenza media sarà il doppio (si ricordi chel’oscillazione locale si suppone di ampiezza 2). Ciò è dovuto al fatto che se un segnale s(t), dibanda ipoteticamente molto inferiore alla frequenza della portante, modula d’ampiezza unasinusoide, la potenza media del segnale s(t) cosωt sarà pari a s2(t)/2. Dopo demodulazionesi riottiene il segnale s(t), la cui potenza media vale s2(t).

Il rapporto segnale/rumore ottenibile da un tale sistema vale, perciò:(S

N

)o

= −60dBm + 3dB− (−119dBm) = 62dB.

3.1.4. Modulazione d’ampiezza in banda laterale unica. È evidente, da un con-fronto tra le equazioni (3.1.3) e (3.1.4), che il segnale modulante può essere correttamentericostruito, una volta note frequenza e fase della portante, da una sola delle due bandelaterali. Si può, perciò, eliminare una delle due bande laterali dimezzando la banda occu-pata dalla portante modulata. Una modulazione di questo tipo si dice in “banda lateraleunica” (BLU) o, con terminologia inglese, in Single Side Band (SSB). Si può usare solo labanda laterale superiore (USB) o solo quella inferiore (LSB).

Il calcolo delle prestazioni di un tale sistema di modulazione si può eseguire moltosemplicemente tenendo in conto i discorsi già fatti a proposito della modulazione d’ampiezzain doppia banda laterale (DSB-SC). Il calcolo del rapporto segnale/rumore si era effettuatotenendo in conto come si componevano, dopo il modulatore, le componenti di segnale edi rumore. Nel caso di banda laterale unica c’è un solo termine di segnale e, perciò, ladensità spettrale del segnale demodulato è uguale a quella del segnale da demodulare (sisuppone, al solito, un’oscillazione locale di ampiezza 2). Se prima del moltiplicatore èinserito un filtro che elimina il rumore che cade fuori banda, la stessa situazione si verificaper il rumore. Ne consegue che i rapporti S/N prima e dopo demodulazione sono uguali.L’assenza di un filtro prima del demodulatore può far peggiorare il rapporto S/N di 3 dB.Tale filtro, però, è da ipotizzare sempre presente perché se si affronta il costo aggiuntivodi un sistema in SSB, ciò è normalmente dovuto alla necessità di sfruttare al massimo labanda disponibile. Di conseguenza l’assenza del filtro produrrebbe non solo un raddoppiodel rumore a valle del demodulatore, ma anche interferenza con un canale adiacente.

3.1.4.1. Equivalenza tra DSB-SC ed SSB ai fini del rapporto S/N. Le modulazionid’ampiezza in banda laterale singola ed in doppia banda laterale sono sostanzialmenteequivalenti. Se un sistema in doppia banda laterale trasmette una potenza media PT perottenere un assegnato rapporto S/N, un sistema in SSB ha bisogno esattamente della stessapotenza media per ottenere in ricezione lo stesso rapporto S/N. Una giustificazione imme-diata discende dall’osservazione che trasmettere in DSB significa usare due canali in SSB,


sui quali si ripartisce la potenza disponibile. All’uscita del singolo canale si ottiene un certoS/N. Sommando le uscite dopo demodulazione si ottiene per il segnale un quadruplicamen-to della potenza, per il rumore un raddoppio. Il tutto equivale ad un miglioramento di 3dB, esattamente quello che si sarebbe ottenuto concentrando tutta la potenza su uno solodei due canali disponibili. Questo discorso vale esclusivamente se si considerano potenzemedie. Il legame tra potenza di picco in caso di modulazione in DSB e potenza di piccocon modulazione in SSB non è immediato e dipende dal particolare segnale modulante.

3.1.4.2. Generazione di un segnale modulato in banda laterale unica. Il modo più di-retto e più usato per generare un segnale SSB è quello di usare un modulatore bilanciato(moltiplicatore) per modulare la portante in doppia banda laterale ed eliminare successi-vamente con un filtro la banda laterale indesiderata. Al filtro si richiederà una curva diselettività con un fianco molto ripido dalla parte della banda laterale che si vuole eliminare.Questo modo di procedere, che è poi quello più usato in pratica, fa capire che la modula-zione d’ampiezza in banda laterale unica può essere adottata solo con segnali modulantiil cui spettro non si estenda fino a frequenza zero. Con segnali che hanno uno spettroche parte dalla continua o da frequenze estremamente basse (esempi tipici sono il segnaletelevisivo ed alcuni tipi di segnali usati per la trasmissione numerica) si adotta un metododi modulazione molto simile, noto come “modulazione in banda vestigiale” di cui si parleràpiù avanti.

-s(t) i -6

cosω◦t

-�� B

BBω◦

filtro USB

-sUSB(t)

Figura 3.1.8. Modulatore SSB con filtraggio.

Se il filtro utilizzato ha i fianchi della curva di selettività asimmetrici, può essere uti-lizzato per realizzare un solo tipo di SSB (solo USB, come in figura, o solo LSB). Se ilfiltro ha fianchi simmetrici può essere usato per eliminare la banda laterale superiore oquella inferiore: è sufficiente in questo caso modificare opportunamente la frequenza dellaportante inviata al modulatore.

Domanda Come è possibile ottenere una modulazione in banda laterale inferiore, puravendo a disposizione un filtro con fianco ripido solo all’estremo inferiore della sua bandapassante (come quello in figura)? (Suggerimento: si consideri l’uso di un convertitore difrequenza.)

Un segnale in banda laterale unica può ottenersi anche con un altro sistema, eliminandola banda laterale indesiderata con una tecnica di bilanciamento. Si consideri lo schema ablocchi di figura 3.1.9.

Il funzionamento del circuito in oggetto è facilmente descrivibile in termini di vettorirotanti. Bisogna osservare che i due filtri sfasatori puri non presentano uguale livello di


- i?i1

- eπ2

- i 6i2i -6

eπ2

?

×

×

+

s(t)

sinω◦t

Figura 3.1.9. Modulatore SSB a sfasamento.

difficoltà: mentre quello che deve ruotare di 90◦ la fase della portante è quasi banale,non altrettanto semplice è la realizzazione dell’altro filtro. Quest’ultimo, infatti, deveruotare di 90◦ tutte le componenti spettrali del segnale s(t) ed è un filtro la cui funzionedi trasferimento non è realizzabile esattamente, ma può solo essere approssimata (un pòcome il filtro passa basso ideale).

Si supponga, per semplicità che il segnale s(t) che modula la portante seno sia unacosinusoide di pulsazione ωs e fase ϕs; il segnale che modula la portante sin(ω◦t + π/2) =cosω◦t deve, allora, essere una cosinusoide di pulsazione ωs e fase ϕ+π/2. I segnali a valledei due moltiplicatori saranno, perciò:i1 cos(ωst+ ϕs) · sin(ω◦t)i2 sin(ωst+ ϕs) · cos(ω◦t)

Nel piano rotante a velocità angolare ω◦, essi sono rappresentabili mediante vettorirotanti:

-

6

��

@@@R

+ωst+ ϕs

−ωst− ϕs

sinω◦t

cosω◦ti1

-

6

��

@@@R−ωst− ϕsωst+ ϕs

sinω◦t

cosω◦ti2

È allora evidente che se i segnali in i1 ed in i2 sono sommati tra loro, la banda laterale


superiore della portante sinω◦t verrà cancellata; ad essere cancellata sarà quella inferiorese tra i due segnali si effettua la differenza.

La struttura di questo modulatore può essere ricavata in maniera molto semplice sesi considera l’effetto del filtro che elimina una delle due bande laterali. Ancora una voltasi consideri un segnale modulante sinusoidale, in modo da poter utilizzare la simbologiadei vettori rotanti. Quando le due bande laterali sono presenti, esse danno luogo ad unarisultante che è rappresentabile con un vettore di direzione assegnata, ma di modulo e versoche cambiano nel tempo in accordo con il segnale modulante. Quando una delle due bandelaterali viene soppressa, uno solo dei due vettori rotanti è presente. Esso è descrivibilecome somma vettoriale delle sue componenti lungo l’asse coseno e lungo l’asse seno, cioé,con riferimento alla figura:

-

6

��

@@@I

+ωst+ ϕs −ωst− ϕs

sinω◦t

cosω◦tDSB

-

6

��

−ωst− ϕs

sinω◦t

cosω◦tLSB

DSB: cos(ωst+ ϕs) · cosω◦t

LSB: 12

cos[(ω◦ − ωs)t− ϕs] == 1

2cos(ωst+ ϕs) cosω◦t+

12

sin(ωst+ ϕs) sinω◦t.

Esattamente in accordo con lo schema di modulatore a sfasamento già descritto.3.1.4.3. Demodulazione di un segnale in banda laterale unica. La demodulazione coe-

rente di un segnale SSB si può ottenere con una tecnica del tutto analoga a quella utilizzataper demodulare un segnale in doppia banda laterale. L’unica differenza rispetto al casogià trattato sta nel fatto che ci sarà il contributo di una sola banda laterale, come giàaccennato quando si è parlato di equivalenza tra SSB e DSB. Ciò, però, ha conseguenzenotevoli per quanto riguarda l’effetto di un errore tra fase (o frequenza) dell’oscillazionelocale e fase (o frequenza) della portante modulata. Mentre nel caso di doppia banda late-rale un errore di fase ϕ provocava una diminuzione nell’ampiezza del segnale demodulatodi un fattore cosϕ, nel caso di segnali SSB un errore di fase provoca una variazione dipari entità nella fase di tutte le componenti spettrali del segnale demodulato. Similmenteun errore di frequenza (errore di fase con andamento lineare nel tempo) provoca uno spo-stamento in frequenza dello spettro del segnale. In entrambi i casi il segnale demodulatorisulta distorto in modo inaccettabile, tranne che nel caso di trasmissione di segnale vocalecon qualità telefonica. In tal caso l’utente (l’orecchio) è sensibile soprattutto alla distribu-zione spettrale della potenza del segnale: infatti un errore di fase non produce nel segnale


demodulato cambiamenti apprezzabili all’ascolto ed anche un contenuto errore di frequenza(∼ 10 Hz) può essere tollerato senza degradazione sensibile nella qualità del servizio.

3.1.5. Effetto di un filtro interposto tra modulatore e demodulatore. La mo-dulazione d’ampiezza è una modulazione lineare e questo fatto rende estremamente sem-plice il calcolo degli effetti del mezzo trasmissivo (supposto lineare anch’esso e descrivi-bile mediante una funzione di trasferimento) frapposto tra trasmettitore (modulatore) ericevitore (demodulatore).

Si consideri una generica componente sinusoidale di pulsazione ω del segnale s(t) chemodula una portante di pulsazione ω◦: nello spettro del segnale modulato questa compo-nente genererà due righe spettrali a pulsazioni ω◦ − ω ed ω◦ + ω. All’uscita del mezzotrasmissivo, la riga spettrale relativa alla banda laterale superiore risulterà moltiplicataper Ht(ω◦ + ω), quella relativa alla banda inferiore per Ht(ω◦ − ω).

Il prodotto di s(t) per una sinusoide corrisponde nelle frequenze a prendere lo spettroS(f) e spostarlo, centrandolo intorno alla pulsazione (positiva e negativa) della portante.Lo spettro centrato a pulsazione ω◦ è, quindi, quello relativo al segnale che modula laportante. All’uscita del mezzo trasmissivo esso risulta modificato rispetto a quello originale:è possibile definire una funzione di trasferimento equivalente che lega i segnali “modulanti”prima e dopo l’attraversamento del mezzo:

(3.1.5) Heq(ω) =Sout(f)

Sin(f)= Ht(ω◦ + ω).

La funzione di trasferimento (3.1.5) non gode necessariamente di quelle proprietà di sim-metria che garantiscono una risposta all’impulso reale.

La mancanza di simmetria nella Ht(f) sbilancia le due bande laterali in modo che laloro risultante non giace più sull’asse della portante. Il vettore risultante può, però, esserescomposto in due componenti, una lungo la direzione seno ed un’altra lungo la direzionecoseno: s1(t) cosω◦(t) ed s2(t) sinω◦(t). In base a questa osservazione e tenendo conto che ≡ exp(π/2), il segnale s(t) cosω◦(t), dopo essere transitato per il mezzo trasmissivo, puòessere rappresentato come:

Re {[s1(t)− s2(t)] · exp [ωo(t)]} = Re {s̃u(t) exp [ω◦(t)]}con s̃u(t) genericamente complesso.

Se Heq(−ω) = H∗eq(ω) la risposta all’impulso del filtro è reale ed il segnale all’uscita delmezzo trasmissivo è ancora costituito dalla portante modulata da un segnale con spettroS(ω)·Heq(ω). Perché ciò accada è necessario (basta considerare l’eq. 3.1.5) cheHt(f◦−f) =H∗t (f◦+f), cioé che la parte reale di Ht abbia simmetria pari intorno al punto ω = ω◦, e laparte immaginaria simmetria dispari. Questa condizione è molto restrittiva, perché implicache la parte immaginaria di Ht(f) sia nulla alla frequenza della portante. In caso contrario,per descrivere il segnale all’uscita del mezzo trasmissivo sono necessarie due portanti inquadratura, modulate ognuna da un segnale diverso, ma ottenibile da s(t) mediante unoperatore lineare.

Due portanti distinte sono però, veramente necessarie per descrivere il segnale all’uscitadel mezzo trasmissivo solo qualora si generi una modulazione di fase della portante (cioé


nel caso che il vettore risultante dalla somma delle due bande laterali cambi la sua direzionenel tempo). L’assenza di modulazione di fase è l’elemento determinante per la mancatacomparsa di una portante in quadratura.

Se Ht(f◦) = H◦eθ◦ , la funzione di trasferimento equivalente relativa al segnale modu-lante si può scrivere come:

Heq(f) = H◦eθ◦ ·Ht(f)e−θ◦

H◦= H◦eθ◦ · H̃eq(f).

Se H̃eq(f) = H̃∗eq(−f), la portante all’uscita del mezzo trasmissivo risulta modulata da

o

so

|H(f +f )|so

soH(f +f )

1 1

H(f −f )o s

ω ts ω st

cos

sin

t

t

ωo

ω

|H(f −f )|

Figura 3.1.10. L’effetto del mezzo trasmissivo si può valutare facilmenteutilizzando la schematizzazione dei vettori rotanti.

un segnale con spettro S(f)H̃eq(f) ed, in più, risulta moltiplicata per il numero complessoH◦eθ◦ . H◦ è un banale fattore di scala; exp(θ◦) ruota la portante di un angolo θ◦.

In altre parole, i termini di fase o di ritardo di gruppo costanti in banda di Ht(f) nonhanno influenza: il primo perché finisce col ruotare di uno stesso angolo tutte le componentispettrali (ed i relativi vettori rotanti), il secondo perché ritarda il solo segnale modulante,lasciando inalterata la fase della portante (nell’ipotesi che il ritardo di fase alla frequenzafo sia nullo. Dimostrarlo!).

Risulta così evidente che il valore assunto da Ht (f) alla frequenza della portante ha uneffetto molto modesto sulle prestazioni del sistema, introducendo un fattore moltiplicativocomplesso che costringe le fasi della portante in trasmissione e dell’oscillatore locale aldemodulatore ad essere diverse. Ma questo non dovrebbe costituire motivo di meraviglia,dal momento che in ogni caso la propagazione della portante modulata richiede un temponon nullo e che, perciò, il ricevitore è costretto comunque a recuperare la fase della portanteda demodulare dallo stesso segnale ricevuto.

3.1.5.1. Sistemi con due portanti in quadratura. Si è osservato in precedenza come unosfasamento di 90° tra oscillazione portante ricevuta ed oscillazione locale provochi uscitanulla dal demodulatore. Su tale osservazione si basa l’impiego di due portanti in quadra-tura per trasmettere due segnali contemporaneamente sullo stesso canale: in ricezione idue segnali possono essere completamente separati, a patto che si possano generare dueoscillazioni rigorosamente in quadratura ed in fase con le portanti ricevute. Ovviamentequesto è rigorosamente vero in un caso ideale. La presenza del mezzo trasmissivo puòcambiare questa situazione creando un accoppiamento tra i due canali. La valutazione ditale interferenza è facilmente calcolabile in base alle osservazioni del paragrafo precedente.


Va altresì tenute presente che, almeno con tecniche analogiche, è impossibile generare duesinusoidi che siano esattamente in quadratura (anche se l’errore può essere molto piccolo,non può essere nullo!).

3.1.6. Demodulazione incoerente e modulazione d’ampiezza con portantetrasmessa (AM). Il tipo di demodulazione considerata finora, vale a dire quella coerente,ottiene il segnale demodulato per battimento con una sinusoide sincrona con la portante. Intal modo, se la fase della portante ricevuta cambia di 180◦, il segnale in uscita cambia segno.Questo modo di procedere è reso necessario dal fatto che un generico segnale modulantes(t) può assumere valori sia positivi che negativi (tipico il caso di un segnale a valor medionullo). Infatti, quando si modula la portante, il risultato del prodotto s(t) cosω◦t consistein una sinusoide la cui ampiezza cambia nel tempo in accordo con il modulo del segnale,mentre il segno di s(t) è legato al segno (ovvero alla fase) della sinusoide. Un demodulatoredeve, se vuole poter ricostruire correttamente il segnale modulante, misurare sia l’ampiezzache il segno della portante ricevuta.

Un demodulatore che sia in grado di misurare solo l’inviluppo della portante (cioé ilmodulo del vettore rotante che la rappresenta) può ricostruire correttamente solo un se-gnale modulante che non cambi mai segno. La realizzazione circuitale di un tal tipo didemodulatore è estremamente semplice ed economica. Questo è il motivo che ha spinto, inpassato, ad adottare questo particolare schema di modulazione d’ampiezza, anche se, og-giggiorno, i progressi della microelettronica hanno quasi annullato lo svantaggio economicodei demodulatori sincroni. Un demodulatore sensibile solo all’inviluppo della portante, manon alla sua fase, viene detto “non coerente”.

Un modo estremamente semplice di garantirsi che il segnale modulante non cambi segnoè quello di sommargli una costante sufficientemente grande. La portante, quindi, risultamodulata non più da s(t), ma da s(t) + costante:

Ap{1 +msn(t)} cos(ω◦t+ ϕ◦)

dove sn(t) = s(t)/ |s(t)|max, cioé il segnale modulante normalizzato ad un valor massimounitario ed m è detto indice di modulazione. m deve essere minore di 1 affinché il termineche moltiplica la sinusoide non cambi mai segno.

In sede di demodulazione bisognerebbe tener conto che l’ampiezza della portante cam-bia, in accordo con il segnale modulante, anche all’interno di un periodo. Poiché, però, lafrequenza della portante f◦ è molto più grande, di norma, della massima frequenza pre-sente nello spettro del segnale modulante, ci si può accontentare di misurare l’ampiezzadella sinusoide una volta per periodo, nell’istante in cui ciò risulti più semplice, vale a direin corrispondenza del picco della sinusoide, quando cosω◦t = 1. Le misure ottenute cam-pionando la portante modulata in corrispondenza dei picchi positivi (o negativi) possono,quindi, essere inviate ad un filtro passa basso che isoli il segnale modulante da terminiresidui alla frequenza della portante e relative armoniche.

Per il modo in cui vengono realizzati, questi demodulatori danno in uscita idealmenteil modulo del vettore che rappresenta la portante modulata. Ne consegue che usando un


demodulatore non coerente per demodulare un segnale DSB-SC, quello che si ottiene inuscita non è il segnale modulante s(t), bensì il suo valore assoluto |s(t)|.

Riconoscere un segnale AM da un segnale DSB-SC osservando la sua forma d’onda èsemplice. Basta osservarlo in corrispondenza di un istante in cui l’inviluppo si annulla:se è presente un’inversione di segno della portante il tipo di modulazione è DSB-SC; sel’inversione di segno non c’è, la modulazione è di tipo AM.

t

Figura 3.1.11. Modulazione DSB da sinusoide.

t

Figura 3.1.12. Modulazione AM da sinusoide raddrizzata.

Consideriamo la modulazione d’ampiezza in doppia banda laterale (DSB-SC). Lo sche-ma di principio è quello di figura 3.1.13.

2ωp cos tωp

s(t) PTA

hn

αs(t)^

cos t

Figura 3.1.13. Schema a blocchi di sistema di trasmissione che utilizza lamodulazione d’ampiezza.


Supponiamo di dover trasmettere un segnale musicale. Dovremo allora considerare lapotenza di picco; la banda del segnale è B=15kHz. Il nostro scopo è valutare la potenzadi picco da trasmettere per avere un rapporto segnale-rumore

(3.1.6)S

N=

PSpiccoPNmedia

= 40 dB

Il fattore di rumore delle apparecchiature riceventi è F = 10

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