Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ing...

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.

Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni

Politecnico di MilanoA.A. 2010/2011. Prof. M. Bramanti

Ing. Elettronica Ing. TelecomunicazioniTema n°1

ú ú(barrare il proprio corso)

Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________

n° di matricola___________________________________________________________

n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________

Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:

Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________

Equazioni differenziali

1.

a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione

C B � $C B � %C B œ !Þww wa b a b a bb) Determinare una soluzione particolare dell'equazione

C B � $C B � %C B œ &/ Þww w %Ba b a b a b �

Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Tema 1_________________________________________________________________________________

2

2. Si consideri l'equazione differenziale:

C œ ÞC

#B � "w

#

a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.

b. Risolvere il problema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale

C œ "Þa b!c. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è

definita.

Curve e integrali di linea

3. Calcolare il momento d'inerzia di una linea materiale omogenea rappresentata da una

circonferenza di raggio e massa , rispetto a un asse passante per un punto dellaV Qcirconferenza e perpendicolare al piano che la contiene.(Prestare particolare cura nell'impostazione dell'esercizio, scrivendo esplicitamente le equazioni parametriche

della curva in un opportuno riferimento e indicando qual è l'asse di rotazione in questo riferimento).


3

Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili

4. Calcolare il seguente limite, ossia: dimostrare che il limite esiste e vale , oppurejdimostrare che non esiste, applicando criteri o teoremi studiati.

lima b a bBßC Ä !ß!

# #

% # %Œ �BC � $CB

B � C � &C

5. Sia 0 À ‘ ‘8 Ä definita da

0 œ ß − Ï !ß ! Þa b k k a bB B Blog# 8 per ‘

a. Calcolare per `0`B3a bB 3 œ "ß #ß ÞÞÞß 8Þ

b. Detta un arco di curva regolare, calcolare , dove è la< <a b c da ba b> À M Ä 0 > 0‘8 ..>

funzione del punto , e semplificare l'espressione ottenuta.a

c. Applicare la formula trovata al punto b alla curva data da< À !ß " Äa b ‘$

<a b a b> œ > >ß > >ß >cos sin

e semplificare l'espressione trovata.


4

6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la

natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella).

0 Bß C œ / #BC � Ca b ˆ ‰�B ##

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.






n° di matricola___________________________________________________________





1. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione

C B � $C B œ #BÞww wa b a bb) Risolvere il problema di Cauchy:

ÚÛÜ

a b a ba ba bC B � $C B œ #BC ! œ !

C ! œ Þ

ww w

w "$


2


C � œ Þ#BC "

" � B Bw

#

b) Risolvere il problema di Cauchy:

œ a bC � œ

C " œ #

w #BC"�B B

"#

precisando il più ampio intervallo su cui è definita la soluzione del problema.


3. Calcolare la lunghezza dell'arco di curva piana la cui equazione in forma polare è:

3 * 1*

œ ß − !ß # Þ#

Œ � c dsin

#


3


4. Sia l'insieme di definizione della funzioneI © ‘#

0 Bß C œ" � B � %C

C Ba b a blog

sin

# #

.

Dopo aver determinato analiticamente l'insieme ed averlo disegnato, dire se:I

I ú ú I ú ú è aperto SI' NO è chiuso SI' NO

I ú ú I ú ú è limitato SI' NO è connesso SI' NO

5. Data la funzione

0 Bß C œBß C

! Bß C œ !ß ! Þa b ā a ba b a b

B C�#B �#BCB �C �B C

$ $ #

# # # # per

per

Á !ß !a b1) Stabilire se è continua o meno nell'origine.02) Stabilire se è derivabile o meno nell'origine.03) Stabilire se è differenziabile o meno nell'origine.0(Si chiede di ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non didimostrare

limitarsi ad affermare come vanno le cose).


4



0 Bß C œ B C B � C � "a b a b#

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Tot.






n° di matricola___________________________________________________________






C B � #C B œ !Þwwa b a bb) Determinare una soluzione particolare dell'equazione

C B � #C B œ $/ #BÞww �Ba b a b sin


2

2. Risolvere il problema di Cauchy:

ā ˆ ‰C œ

C œ

w BC

# '

sincos

1 1

e precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è

definita.


3. Calcolare l'integrale di linea

( È#

D.=

dove l'arco di curva: .# 1 è

ÚÛÜB œ > >C œ > >

D œ >>

cos

sin#

− !ß #c d


3



limlog

sina b a bBßC Ä !ß! # # #

B " � BC

B B � #CÞ

a b

5. Data la funzione

0 Bß C œBß C


#BCB �C

2

# % per

per

Á !ß !a b1) Calcolare la derivata direzionale di nell'origine rispetto al generico versore0a bcos* *ß sin Þ2) Stabilire se nell'origine vale la formula del gradiente.

3) Stabilire se è differenziabile o meno nell'origine.0(Si chiede di ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non didimostrare



4



0 Bß C œ / #C � B � %Ba b ˆ ‰�C # #

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Tot.






n° di matricola___________________________________________________________





1.


C B � 'C B � *C B œ !Þww wa b a b a bb) Risolvere il problema di Cauchy:

ÚÛÜ

a b a b a ba ba bC B � 'C B � *C B œ !C ! œ #C ! œ "Þ

ww w

w


2


C � œ " � B Þ#C

" � Bw #

#


œ a bC � œ " � B

C ! œ "

w ##C"�B#




(#

C.=

dove # 1 è l'arco di sinusoide per C œ B B − !ß Þsin c d


3



0 Bß C œ"

" � B � Ca b a ba blog log #

.




5. Data la funzione

0 Bß C œBß C


B �CB �C

' '

# % per

per

Á !ß !a b1) Stabilire in quali punti del piano è derivabile, calcolando esplicitamente le derivate in

tal caso (semplificare le espressioni trovate!);

2) Stabilire in quali punti del piano è differenziabile;

(Si chiede di ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non didimostrare



4



0 Bß C œ BC B � C � "a b a b#

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Ing. Elettronica Ing. TelecomunicazioniSvolgimento Tema n°1



1.


C B � $C B � %C B œ !Þww wa b a b a bb) Determinare una soluzione particolare dell'equazione

C B � $C B � %C B œ &/ Þww w %Ba b a b a b �

a)

! !# � $ � % œ !

a ba b! !� " œ !à œ "ß Þ! !� % œ �%

Integrale generale dell'omogenea:

D B œ - / � - / Þa b " #B �%B

b) Poiché il termine noto è soluzione dell'omogenea, cerchiamo una soluzione particolare

dell'equazione nella forma

C B œ EB/a b �%B

C œ E/w �%Ba b�%B � "

C œ E/ "'ww �%Ba bB � )

E/ "' � $ � %B œ &/�%B %Bc da b a bB � ) �%B � " �

�& �"E œ &àE œ

C B œ B/a b � �%B

2. Si consideri l'equazione differenziale:

C œ ÞC

#B � "w

#

a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione.

b. Risolvere il problema di Cauchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale

C œ "Þa b!

Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2. Prof. Bramanti. A.A. 2010/11. Svolgimento Tema 1_________________________________________________________________________________

2

c. Precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è

definita.

a. Soluzioni costanti: Per C œ !Þ C Á !ß

.C .B " "

C #B � " C #œ à � œ #B � " � -

# logk k

C œ �"

#B � " � -"# logk k

b. " œ C ! œa b � à - œ �"Þ"

-

C B œ"

" �a b "

# logk k#B � "

poiché dev'essere B Á � #B � " Á #ß B Á" �"„/# # e cioè , la soluzione è definitalogk k #

nell'intervallo:

Œ �� ß Þ" / � "

# #

#


3. Calcolare il momento d'inerzia di una linea materiale omogenea rappresentata da una

circonferenza di raggio e massa , rispetto a un asse passante per un punto dellaV Qcirconferenza e perpendicolare al piano che la contiene.(Prestare particolare cura nell'impostazione dell'esercizio, scrivendo esplicitamente le equazioni parametriche

della curva in un opportuno riferimento e indicando qual è l'asse di rotazione in questo riferimento).

Circonferenza passante per l'origine:

<a b a b* * * * 1œ V �V ßcos ß V − !ß #sin c dAsse di rotazione: l'asse , quindi la distanza del punto dall'asse è la sua distanzaD

dall'origine nel piano :a bBß C

M œ B � C .= œ V " � �Q Q

P #( (ˆ ‰ ’ “a b#

1# # # #

!

##

1* * *

VV. œcos sin

œ # " � # %QV QV QV

# # #

# # #

! !

# #

1 1 1* * * 1( (a b1 1

cos . œ . œ œ #QV Þ#



lima b a bBßC Ä !ß!

# #

% # %Œ �BC � $CB

B � C � &C


3

BC � $CB BC $CB

B � C � &C B � C � &C B � C � &Cœ � ´ 0 Bß C � 1 Bß C Þ

# # # #

% # % % # % % # %a b a b

k k k ka b º º k k0 Bß C œ Ÿ œ B Ä !

BC B C

B � C � &C C

# #

% # % #,

perciò 0 Bß C Ä !Þa b1 Bß B œ

$B

B � 'Ba b $

# %µ $B Ä !à

1 Bß B œ Ä Þ$B $

#B � &B #ˆ ‰# %

% )

Perciò non esiste il limite di , e pertanto neanche il limite di partenza.1

5. Sia 0 À ‘ ‘8 Ä definita da

0 œ ß − Ï !ß ! Þa b k k a bB B Blog# 8 per ‘

a. Calcolare per `0

`B3 œ "ß #ß ÞÞÞß 8Þ

3a bB

b. Detta un arco di curva regolare, calcolare<a b> À M Ä ‘8

.

.>0 >a ba b<

dove è la funzione del punto a, e semplificare l'espressione ottenuta.0c. Applicare la formula trovata al punto b alla curva data da< À !ß " Äa b ‘$

<a b a b> œ > >ß > >ß >cos sin

e semplificare l'espressione trovata.

Attenzione: i primi due punti di questo esercizio sono ambientati in con qualsiasi.‘8 8Vanno quindi svolti per qualsiasi (e non per o ), usando le opportune notazioni.8 8 œ # $

a.` # B #B

`Bœ † œ Þ

3

# 3 3

#ˆ ‰k k k k k kk k k k k klog

log logB

B B

B B B

b.

. #< > > # >

.>0 > œ f0 > † > œ < > œ < > < > Þ

> >a b a b a b a b a b a ba b a b " "a b k k k ka b a b

k k k ka b a b< < << <

< <

w

3œ" 3œ"

8 83

# #w w3 33

log log

c.. # >

.>0 > œ < > < >

>a b a b a ba b k ka b

k ka b "<<

<

log#

3œ"

$

3w3

<a b a b> œ > >ß > >ß > àcos sin


4

k ka b È È< > œ #> œ > #à#

<wa b a b> œ > � > >ß > � > >ß "cos sin sin cos

" a b a b a b a b3œ"

$

3w3< > < > œ > > > � > > � > > > � > > � > œ #>Þcos cos sin sin sin cos

. # > � #

.> #> > >0 > œ #> œ œ Þ

# > # # > #a ba b Š ‹ Š ‹È È<

log log log log#



0 Bß C œ / #BC � Ca b ˆ ‰�B ##

ā a b a ba ba b a b0 œ / #BC � C � #C œ #C/ �#B � BC � " œ !

0 œ / #B � #C œ #/ B � C œ !ÞB

�B # �B #

C�B �B

# #

# #

�#B

I punti stazionari sono:

a b a b a b!ß ! à "ß " à �"ß�" Þ

Matrice hessiana:

L0 Bß C œ / Þ#C �'B � %B � C � #B C # � %B � %BC

# � %B � %BCa b Œ �a b a ba b�B

$ # #

#

#

�#

L0 !ß ! œ !ß !!a b a bŒ �## �#

indef.; punto di sella

L0 "ß " œ / "ß "�'a b a bŒ ��" ## �#

def. neg. punto di max. rel.

L0 "ß " œ / "ß "�'a b a bŒ ��

## �#

�" def. neg. punto di max. rel

1

Es. Punti

1

2

3

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5

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Tot.







C B � $C B œ #BÞww wa b a bb) Risolvere il problema di Cauchy:

ÚÛÜ

a b a ba ba bC B � $C B œ #BC ! œ !

C ! œ Þ

ww w

w "$

a) Soluzione omogenea:

!# � $ œ !!

! œ !à! œ �$

Integrale generale dell'omogenea:

D B œ - � - / Þa b " #�$B

Soluzione particolare della non omogenea: cerco

C B œ EB � FBàa b #

C B œ #EB � Fà C B œ #w wwa b a b EÞ

#E � $ #EB � F œ #Ba b Þ

ā ā#E � $F œ !'E œ #

E œ

F œ

"$

� #*

Integrale generale:

C B œ - � - / � B B"

$a b " #

�$B # � Þ#

*

b) Soluzione del problema di Cauchy:

C B œ - / � B#

$w �$B

#a b � �#

*


2

œ a ba bC ! œ - � - œ !

C ! œ -- œ

" #w

##�$ �

� à - œ Þ& &

#( #(#*

"œ "$

C B œ " � / � B B"

$a b & #

#( *� Þa b�B #

2.


C � œ Þ#BC "

" � B Bw

#


œ a bC � œ

C " œ #

w #BC"�B B

"#


+ B œ àa b #B"�B#

E B œ + B .B œ " � Ba b a b a b' log #

C œ - � " � B .B œ - � B � Þ" " " B

" � B B " � B ## ##

#œ � œ �( ˆ ‰ k klog

b)

# œ C " œ - � à - œ à" " (

# # #a b œ �

C œ � B � B" ( B

" � B # ##

#œ �log per − !ß_ Þa b


3. Calcolare la lunghezza dell'arco di curva piana la cui equazione in forma polare è:

3 * 1*

œ ß − !ß # Þ#

Œ � c dsin

#

3* *w œ à# #

sin cos

.= œ � . œ � . œ .# # # #

É ËŒ � Œ �3 3 * * ** * * *

# w#% #

sin sin cos sinº º

P œ ( º º!

#1 11

sin sin cos*

*#. œ # >.> œ # � > œ %Þ( c d

!!


3



0 Bß C œ" � B � %C

C Ba b a blog

sin

# #

.




I œ Bß C Þ˜ ™a b − À B � %C 8 "à B Á !ß C Á !‘# # #

I ú I ú è aperto SI' NO è chiuso SI' NO ú úX XI ú I ú è limitato SI' NO è connesso SI' NO ú úX X

5. Data la funzione

0 Bß C œBß C



$ $ #

# # # # per

per

Á !ß !a b1) Stabilire se è continua o meno nell'origine.02) Stabilire se è derivabile o meno nell'origine.03) Stabilire se è differenziabile o meno nell'origine.0(Si chiede di ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non didimostrare


1) Proviamo che

lima b a bBßC Ä !ß!0 Bß C œ !Þa b

k ka b k k k k k k k k k k k k0 Bß C Ÿ Ÿ œ

B C � # B � # B C B C � # B � # B C

B � C � B C B � C

$ # $ #$ $

# # # # # #

œ � � ´ 0 � 0 � 0 ÞB C # B # B C

B � C B � C B � C

k k k k k k$ #

# # # # # #

$

" # $

Ora: è positivamente omogenea di grado , è positivamente omogenea di grado , 0 # 0 " 0" # $

è positivamente omogenea di grado , sono tutte continue fuori dall'origine, quindi ciascuna"delle tre tende a per . Per il teorema del confronto anche , quindi! Bß C Ä !ß ! 0 Bß C Ä !a b a b a bè continua.

2)

0 Bß ! œa b � œ �#Bà !ß ! œ �#Þ#B `0

B `B

$

#a b


4

0 !ß C œ !àa b `0

`C!ß ! œ !Þa b

In particolare, è derivabile nell'origine.03) differenziabile nell'origine se e solo se:0

0 Bß C � #B

B � CÄ ! Bß C Ä !ß ! Þ

a bÈ a b a b# #

per

» » » »a bÈ È Èâ ââ ââ ââ ââ ââ â a b0 Bß C � #B B C � #B C

B � C B � C B � C � B C B � Cœ œ œ

� #B

# # # # # # # # # #


$ $ #$ $ #

# # # #

Ÿ Ÿ œB C � # B C B C � # B C

B � C � B C B � C B � C

k k k k k k k ka bÈ a b$ # $ #$ $

# # # # # # # # $Î#

œ � ´ 1 � 1 ÞB C # B C

B � C B � C

k k k ka b a b

$ #

# # # #$Î# $Î#

$

" #

Ora: è positivamente omogenea di grado , è positivamente omogenea di grado 2,1 " 1" #

quindi entrambe tendono a zero. Per il teorema del confronto, il limite desiderato è zero, e è0differenziabile nell'origine.



0 Bß C œ B C B � C � "a b a b#

œ a ba b0 œ $B C � #BC � #BC œ BC $B � #C � # œ !

0 œ B � #B C � B œ B B � #C � " œ !ÞB

# #

C$ # # #


a b a bŒ ��" � ß" "

# %ß ! à à !ß C Þe la retta !

Matrice hessiana:

L0 Bß C œ Þ#C " � $B � C B # � $B � %C

B # � $B � %Ca b Œ �a b a ba b �#B#

L0 ß ! œ ß !!a b a bŒ ��" �"

"" �#


L0 œŒ � Œ �� ß � ß" " " "

# % # %

�

�

$)

"%

" "% #

def. neg. punto di max. rel.


5

L0 !ß C œ !ß C#C " � Ca b a bŒ �a b

! !! ! !! !

semidef. casi dubbi.

Studiamo i punti della retta mediante il segno, poiché .B œ ! 0 !ß C œ !a b!Lo studio del segno ci dice che:

i punti per e per sono punti di massimo relativo (perché in queia b!ß C C ā " C 8 !! ! !

punti è nulla e in un intorno è negativa);0per sono punti di minimo relativo (perché in quei punti è nulla e in un! 8 C 8 " 0!

intorno è positiva);

i punti e sono di sella (perché in quei punti è nulla e in ogni intorno cambiaa b a b!ß ! !ß " 0di segno).

1

Es. Punti

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2

3

4

5

6

Tot.







C B � #C B œ !Þwwa b a bb) Determinare una soluzione particolare dell'equazione

C B � #C B œ $/ #BÞww �Ba b a b sin

a)

!# � # œ !

! œ „3 #ÈIntegrale generale dell'omogenea:

D B œ - #B � - #B Þa b Š ‹ Š ‹È È" #cos sin

b)

$/ #B œ $/�B B �"�#3sin Imˆ ‰a bCerchiamo una soluzione particolare dell'equazione complessa

A � #A œ $/ww B �"�#3a bdella forma

A B œ E/a b B �"�#3a b

A œ E � " � #3 /ww B �"�#3#a b a b

E/ � " � #3 � # œ $/B �"�#3 B �"�#3#a b a b’ “a bE œ œ $ œ

$ $

" � "' "(�" � %3

�" � %3�" � %3

a b a b


2

A B œ / œ / #B � 3 #B$ $

"( "(a b a b a ba b�" � %3 �" � %3B �"�#3 �Ba b cos sin

C B œ A B œ / #B � % #B$

"(a b a b a bIm �B �sin cos

2. Risolvere il problema di Cauchy:

ā ˆ ‰C œ

C œ

w BC

# '

sincos

1 1

e precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è

definita.

Risolviamo l'equazione a variabili separabili:

( (cos sinC.C œ B.B

sinC œ � B � -cos

Imponiamo la condizione iniziale:

sin1 1

' #� � -œ cos

"

#œ -

sin cosC œ � BÞ"

#

Devo risolvere l'equazione in , quando varia in un intorno di C B B œ 1# . La condizione

�" Ÿ � Ÿ B Ÿ � Ÿ B Ÿ" $ # #

# # $ $

"

#� B Ÿ "cos dà cos , quindi .1 1

In questo intervallo risulta

C B œ � 8 B 8# #

$ $a b Œ �arcsin

"

#� Bcos per 1 1

(negli estremi dell'intervallo la funzione arcsin non è derivabile).



( È#

D.=


3

dove l'arco di curva:# è

ÚÛÜB œ > >C œ > >

D œ >>

cos

sin#

− !ß #c d1 .

<wa b a b> œ > � > >ß > � > >ß #>cos sin sin cos

k k a b a b a ba b É<w # # #> œ > � > > � > � > > � #> .> œcos sin sin cos

œ " � &> .>ÞÈ #

( (È È ” •ˆ ‰#

1 1

D.= œ > " � &> .> œ " � &> œ"

"&!

## # $Î#

!

#

œ " � #! � " Þ"

"&’ “ˆ ‰1#

$Î#



limlog

sina b a bBßC Ä !ß! # # #

B " � BC

B B � #CÞ

a b

Calcoliamo il limite di qualche restrizione.

0 Bß B œB " � B

B B � #Ba b a blog

sin

#

# # #µ µ œ Ä !Þ

B † B B B

B � #B #B #

# $

% # #

0 Bß B œ œ ÞB " � B B B "

B B � #B B � #B $ˆ ‰ a b#

$ $

# # % % %

log

sinµ

†

Poiché restrizioni di lungo curve diverse hanno limiti diversi, il limite di partenza non0esiste.

5. Data la funzione

0 Bß C œBß C


#BCB �C

2

# % per

per

Á !ß !a b1) Calcolare la derivata direzionale di nell'origine rispetto al generico versore0a bcos* *ß sin Þ2) Stabilire se nell'origine vale la formula del gradiente.

3) Stabilire se è differenziabile o meno nell'origine.0(Si chiede di ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non didimostrare



4

1.

1 > œ 0 > œ œ > Ä !ß#> #> #>

> � > � >a b a bcos

cos cos

cos sin cos sin cos* *

* * * * *

* * * * *ß > µsin

sin sin sin$

# # % % # # %

# # #

per

purché sia cos cos* *Á Á0. Per 0 si ha

H 0 !ß ! œ 1 ! œa bcos sin* *ßw

#a b a b #à

sin *

*cos

per è e cos* œ ! 1 > ´ ! H 0 !ß ! œ !Þa b a ba b0 1ß„

2. La formula del gradiente non vale nell'origine perché la generica derivata direzionale

non è combinazione lineare di .cos sin* *ß3. Pertanto non è differenziabile nell'origine.0



0 Bß C œ / #C � B � %Ba b ˆ ‰�C # #

œ a b a ba b0 œ / #B � % œ #/ B � # œ !

0 œ / #C � B � %B � %C œ !ÞB

�C �C

C�C # #�


Š ‹�#ß " Þ„ $ÈMatrice hessiana:

L0 Bß C œ / Þ# % � #B

% � #Ba b Œ �a ba b�C �

� %B � B � # # � %C � C# #a bL0 �#ß " œ / �#ß "

#Š ‹ Š ‹Œ �� $ � $!

! �% $È ÈÈ� "Š ‹� $È


L0 �#ß " œ / �#ß "#Š ‹ Š ‹Œ �� $ � $

!

! % $È ÈÈ�"� $È def. pos.; punto di min. rel.

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.






1.


C B � 'C B � *C B œ !Þww wa b a b a bb) Risolvere il problema di Cauchy:

ÚÛÜ

a b a b a ba ba bC B � 'C B � *C B œ !C ! œ #C ! œ "Þ

ww w

w

a)

! !# � ' � * œ !

! œ �$

Integrale generale:

C B œ / - B � - Þa b a b�$B" #

b)

C B œ / - B � $- � -w �$B" # "a b a b�$

œ a ba bC ! œ - œ #C ! œ

#w �$- � - œ "# "

- œ #à - œ (# "

C B œ / (B � # Þa b a b�$B


C � œ " � B Þ#C

" � Bw #

#


œ a bC � œ " � B

C ! œ "

w ##C"�B#



2

a).

+ B œ àa b #"�B#

E B œ + B .B œa b a b' ˆ ‰log "�B"�B

C œ - � " � B .B œ - � " � B .B œ" � B " � B " � B

" � B " � B " � BŒ �œ � Œ �œ �( (Œ �ˆ ‰ a b# #

œ - � Þ" � B " � B

" � B $Œ �ā Ÿa b $

b) " œ C ! œ - � à - œ à" #

$ $a b œ �

C œ � B" � B # " � B

" � B $ $Œ �ā Ÿa b $

per − �"ß "a bperché è il più ampio intervallo contenente , in cui la soluzione e i coefficientia b�"ß " B œ !!

dell'equazione sono definiti.

E' accettabile anche la risposta "per B − �"ß_a b" in quanto la soluzione è definita in

questo intervallo; in la soluzione si annulla, il denominatore del coefficiente siB œ " + Ba bannulla ma, nel senso dei limiti, l'equazione è ancora soddisfatta.



(#

C.=

dove # 1 è l'arco di sinusoide per C œ B B − !ß Þsin c d.= œ " � 0 B .B œ " � B.BÉ a b Èw ##

cos

( (#

1

C.= œ B!

sin È c d" � B.B œ B œ >cos cos#

œ � " � > .> œ " � > .> œ # " � > .> œ > œ ?( ( (È È È c d" �" !

�" " "# # # Sh

œ # ?.? œ ? ? � ? œ # � "( c d È!

"#

!"

SettShSettSh

Ch Sh Ch SettSh .


3



0 Bß C œ"

" � B � Ca b a ba blog log #

.




I œ Bß C Þ˜ ™a b − À ! 8 B � C 8 " " 8 B � C 8 /‘# # # o

I ú I ú è aperto SI' NO è chiuso SI' NO ú úX XI ú I ú è limitato SI' NO è connesso SI' NO ú úX X

5. Data la funzione

0 Bß C œBß C


B �CB �C

' '

# % per

per

Á !ß !a b1) Stabilire in quali punti del piano è derivabile, calcolando esplicitamente le derivate in

tal caso (semplificare le espressioni trovate!);

2) Stabilire in quali punti del piano è differenziabile;

(Si chiede di ogni affermazione fatta in base a criteri o teoremi studiati, non didimostrare


1) Fuori dall'origine è certamente derivabile. Calcoliamo:0

`0

`Bœ œ'B B � C � #B B � C

B � C B � C

%B � 'B C � #BC& # % ' '

# % # %# #

( & % 'ˆ ‰ a ba b a b

`0

`Cœ œ'C B � C � %C B � C

B � C B � C

'B C � #C � %B C& # % $ ' '

# % # %# #

# & * ' $ˆ ‰ a ba b a b

Nell'origine:

0 Bß ! œ B à Bß ! œ %B à !ß ! œ !àa b a b a b% $`0 `0

`B `B

0 !ß C œ C à !ß C œ #Cà !ß ! œ !Þa b a b a b# `0 `0

`C `C

2) Le derivate parziali calcolate al punto precedente sono evidentemente continue fuori

dall'origine, quindi 0 − G Ï !ß !" #a ba b‘ e pertanto è differenziabile fuori dall'origine.

Studiamo la differenziabilità nell'origine.


4

0 !ß ! differenziabile in se e solo sea b0 Bß C

B � CÄ ! Bß C Ä !ß ! Þ

a bÈ a b a b# #

per

» »a bÈ È0 Bß C

B � C B � Cœ œ

# # # #

B � C

B � C

' '

# %a bœ � Ÿ �

B � C B � C CB

B C B C

B � C B � C CBœ B � C Ä !

' ' ' '

# % # % %#

$a b a b ¸ ¸ k kÈ È È È# # # # ##

per . Per il teorema del confronto, anche , e è differenziabilea b a bBß C Ä !ß ! Ä ! 00 BßC

B �C

a bÈ # #

nell'origine.



0 Bß C œ BC B � C � "a b a b#

œ a ba b0 œ C œ !0 œ BC œ !ÞB

#

C

�" � #B � C�# � #B � $C


a b a bŒ �!ß " à à B ß ! Þ" "

% #ß e la retta !

Matrice hessiana:

L0 Bß C œ Þ#C C

C #Ba b Œ �a ba b a b

# �# � %B � $C�# � %B � $C �" � B � $C

L0 !ß " œ !ß "# "!

a b a bŒ �" indef.; punto di sella

L0 œŒ � Œ �� " " " "

% # % #ß ß

" "# %"%

$)

def. pos. punto di min. rel.

L0 B ß ! œ B ß !!#B

a b a bŒ �a b! !!

!! �" � B!

semidef. casi dubbi.

Studiamo i punti della retta mediante il segno, poiché .C œ ! 0 B ß ! œ !a b!

Lo studio del segno ci dice che:

i punti per e per sono punti di minimo relativo (perché in quei puntia bB ß ! B ā " B 8 !! ! !

0 è nulla e in un intorno è positiva);

per sono punti di massimo relativo (perché in quei punti è nulla e in un! 8 B 8 " 0!

intorno è negativa);


5

i punti e sono di sella (perché in quei punti è nulla e in ogni intorno cambiaa b a b!ß ! !ß " 0di segno).

Prima prova in itinere di Analisi Matematica 2 Ing...

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