Es. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1...

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.

Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano

A.A. 2011/2012. Prof. M. BramantiTema n°1

Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________

n° di matricola___________________________________________________________

n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________

Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:

Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________

1. Funzione inversa. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente

funzione, precisando il dominio della funzione inversa.

0 B œ Þ" � #/

$ � /a b �B

�B

2. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo

tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono:

Œ �D � 3

D � 3œ "'Þ%

1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. a Tema n°1_________________________________________________________________________________

2

3. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai

grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul

grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di

passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il

grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)

0 B œ # � Ba b a bk klog


3

4. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e

corretto:

limBÄ�_ % #

/ � "

B � $B � B

B�"B �%#

%È

5. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per0 Ba bB Ä B 0 B B œ B! !, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di .a bClassificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di

flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto

verticale ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto inábase alla sola stima asintotica.

0 B œ à B œ !ÞB � " B

$ � "a b ˆ ‰ˆ ‰Ècos arctan$

�B !


4

6. Studio di funzione. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente

funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando

opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta

la stima asintotica nei punti in cui si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione.0Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi,

di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni

raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo.

0 B œ B � " B � "a b È ¸ ¸$log # .

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.




n° di matricola___________________________________________________________






0 B œ Þ& � # B

$ � Ba b ÈÈ

$

$


tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica, e dicendo esplicitamente quante sono:

3D œ $D Þ% #


2






0 B œ B � " �%

a b a b¹ ¹arctan1


3

4. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o

irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi

utilizzati.

limlog

8Ä�_

8� �88 " � #

8x

"8 a b

5. Stima all'infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di per0 Ba bB Ä �_ 0; stabilire quindi se possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo

determinandolo.

0 B œ B Þ#! � $B � B � %B

B � &a b � �È

log#


4







0 B œ B B � " /a b È È$ & "B† † .

1

Es. Punti

1

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Tot.




n° di matricola___________________________________________________________






0 B œ # B � " � &Þa b c da barccos$



D � 3 D � œ !Þ"

)# Re


2






0 B œ " � /a b k kB�"


3


corretto:

lim sin logBÄ�_

$$

$B

# B � "

B B � %B � "Œ � Œ �




0 B œ à B œ !ÞB � "

# B Ba b a b

a b k kÉ ÈCh

B

!

arcsin sin


4







0 B œ/ � "

B � #a b k kk k

B

log.

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Es. Punti

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Tot.




n° di matricola___________________________________________________________






0 B œ $ � B � # BÞa b a blog log


tutte le soluzioni in forma algebrica, e dicendo esplicitamente quante sono:

D � #3D � " � 3# $ œ !Þ# È


2






0 B œ B � " � "a b a b¹ ¹#Î$


3



utilizzati.

limcos sin

8Ä�_

"8

÷ ‘ˆ ‰È È#Î$

% %

� " 8

8 � " � 8


determinandolo.

0 B œ B/a b Š ‹$B �B �&# $Î#

B �"#


4







0 B œ B � " B � B"

Ba b a b ˆ ‰ È#Î$ # arctan

$.

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Tot.


A.A. 2011/2012. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n°1

1. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente funzione, precisando il

dominio della funzione inversa.

0 B œ Þ" � #/

$ � /a b �B

�B

C œ à $C � C/ œ " � #/ à" � #/

$ � /

�B

�B�B �B

/ C � # œ " � $Cà / œ à" � $C

C � #�B �Ba b

�B œ à B œ � œ ßC � #

" � $Clog log logŒ � Œ � Œ �" � $C " � $C

C � # C � #

definita per C�#"�$C $

"ā ! �# � C �, cioè .


tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono:

Œ �D � 3

D � 3œ "'Þ%

Sia . A œ A œ "' Ê A œ "' œ #ß ÞD�3D�3

% È e f% �#ß #3ß �#3

A œ Ê D œ 3ÞD � 3 A � "

D � 3 A � "

Le soluzioni sono 4:

A œ # Ê D œ 3 œ $3# � "

# � "" "

A œ # Ê D œ 3 œ 3# � " "

# � " $# #�

�

�

A œ #3 Ê D œ 3 œ œ � 3#3 � " 3 � # % $

#3 � " & & &$ $

a ba b�" � #3

1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. Svolgimento a Tema n°1_________________________________________________________________________________

2

A œ #3 Ê D œ 3 œ œ#3 � " 3 � #

#3 � " &% %� � � 3

� �" � #3 % $

� & &

a ba b






0 B œ # � Ba b a bk klog

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-4

-3

-2

-1

1

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-4

-3

-2

-1

1

2

log logB # � B a b

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-4

-3

-2

-1

1

2

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

log loga b a bk k# � B # � B


corretto:

limBÄ�_ % #

/ � "

B � $B � B

B�"B �%#

%È0 B

B " � � "a b Š ‹Éµ µ œ Þ

" %

B † $

B�"B �%

$B

#

%#

# " $% B

ˆ ‰#

Il limite cercato è .%Î$




3


0 B œ à B œ !ÞB � " B

$ � "a b ˆ ‰ˆ ‰Ècos arctan$

�B !

0 B œ B ÞB B

B $ $a b ˆ ‰µ�

� #

""##Î$

#Î$

log log

Punto di cuspide, verso il basso, e punto di minimo relativo. Grafico locale:

-4 -2 2 4

0.5

1

1.5

2

2.5

6. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente funzione, in base alla

conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e

stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei

punti in cui si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione.0 Evidenziare nel grafico

eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e

l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni raccolte, si devono

trovare punti di massimo o minimo.

0 B œ B � " B � "a b È ¸ ¸$log # .

0 B è definita per Á „"ÞPer con crescita sottolineare (quindi senza asintotoB Ä „_ß 0 B µ # Ä „_a b È k k$ B Blog

obliquo).

Per Quindi B Ä "ß 0 B µ µ Ä �_Þ B œ "a b È Èa b k kk k$ $# B � " � # # B � "log log log

asintoto verticale.

Per , con tangente verticale. Quindi B Ä �" ß 0 B µ Ä ! B œ �"„ …a b È k k$ B � " B � "log

è punto di flesso a tangente verticale, discendente.

Notiamo anche che: per . Per , quindi0 B œ ! B œ !ß B œ „ # B Ä !ß 0 B µ �Ba b a bÈ #

B œ ! è punto di massimo relativo.

Per B Ä #ß 0 B µ # µ #È È Èa b Œ �É Éa b È ÈŠ ‹$ $� " B � # � " # # B � ## , quindi il

grafico attraversa linearmente l'asse . Analogamente:B

per B Ä � #ß 0 B µ � # µ # �È È Èa b Œ �É Éa b È ÈŠ ‹$ $� " B � # " # # B � ## , quindi il

grafico attraversa linearmente l'asse .BGrafico qualitativo:


4

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

In particolare, avrà concavità sottolineare all'infinito, avrà un punto di minimo0 0

relativo in ! "− �"ß ! − � #ß�" Þa b Š ‹È e un punto di massimo relativo in

1

Es. Punti

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Tot.





0 B œ Þ& � # B

$ � Ba b ÈÈ

$

$

C œ à $C � C B œ & � # Bà& � # B

$ � B

ÈÈ È È$

$

$ $

È Èa b$ $B # � C œ $C � &à B œ à$C � &

# � C

B œ C$C � &

# � CŒ �$ per Á �#Þ



3D œ $D Þ% #

Sia D œ 3 * *a bcos sin� 3

3D œ% 3 * *1 1%Š ‹Š ‹ Š ‹cos sin% � � 3 % �# #

$D œ $# 3 * *#a ba b a bcos sin�# � 3 �#

œ œ È3 3

* * 13 3

*

% #

# "# $

œ $% � œ �# � #5

œ !ß œ $œ � � 5 ß 5 œ !ß "ß #ß $ß %ß &Þ1 1 1

Le soluzioni sono:

D œ !à D œ $ � � 5 � 3 � � 5 ß 5 œ !ß "ß #ß $ß %ß &"# $ "# $

È Š ‹Š ‹ Š ‹cos sin1 1 1 1

e sono 7 in tutto.






2


0 B œ B � " �%

a b a b¹ ¹arctan1

-4 -2 2 4

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-4 -2 2 4

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

arctan arctanB B � " a b-4 -2 2 4

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

-4 -2 2 4

0.5

1

1.5

2

arctan arctana b a b¸ ¸B � " � B � " �1 1% %



utilizzati.

limlog

8Ä�_

8� �88 " � #

8x

"8 a b

+ œ ´ ,8 " � # 8

8x 8x # 8x

8 8 #8 8

8� �8 88 �8

8

"8

8loga b ˆ ‰Èµ µ .

La successione ha termini positivi, quindi per il criterio del confronto asintotico ha lo+8stesso limite della successione . Studiamo il comportamento di col criterio del rapporto., ,8 8

, 8 � " # 8x 8 � " " " "

, # 8 � " x 8 # 8 # 8œ œ œ " �

8�"

8

8�" 8

8�" 8 8

8 8a b a ba b Œ �† † Ä ā "ß/

#

perciò ,8 Ä �_ + Ä �_Þ, e di conseguenza 8

5. Dare una stima asintotica di per 0 B Ba b Ä �_ 0; stabilire quindi se possiede un

asintoto obliquo, in caso affermativo determinandolo.

0 B œ B Þ#! � $B � B � %B

B � &a b � �È

log#


3

Poiché per B Ä �_#! � $B � B � %B

B � &� �È #

µ œ %ß%B

B

0 Ba b µ B %Þlog

Quindi ha crescita lineare all'infinito, potrebbe avere un asintoto 0 C œ B % � ;Þlog

Calcoliamo:

lim logBÄ�_

c da b0 B � B % Þ

0 B � B % œa b log B � % œ B#! � $B � B � %B #! � $B � B � %B

B � & %B � #!– — � �� È Èlog log log

# #

e poiché l'argomento del logaritmo tende a ,"

0 B � B % µ µa b log B � " œ B#! � $B � B � %B B � %B � B

%B � #! %B � #!– — – —È È# #

µ µ œ ÞB " � � "

%B % #

B † "# %

B" %# B

Š ‹É ˆ ‰Quindi c'è asintoto obliquo .C œ B % �log "

#








0 B œ B B � " /a b È È$ & "B† † .

0 B è definita per Á !Þ

Per con crescita sottolineare (quindi senza asintotoB Ä „_ß 0 B µ B œ B Ä �_a b " " )$ & "&�

obliquo).

Per B Ä ! ß„

0 B µ † Ä�_!

a b œÈ$ "BB / � con tangente orizzontale.

Quindi asintoto verticale da destra, punto a tangente orizzontale da sinistra.B œ !0 �" œ !à B Ä �"ßa b per

0 B µ �"

/a b È& B � ",

quindi punto di flesso a tangente verticale, discendente.B œ �"


4

Grafico qualitativo:

-4 -2 2 4 6

-1

1

2

3

4

5

In particolare, deve avere un punto di minimo relativo in 0 ! ā ! e un punto di minimo

relativo in ." − �"ß !a b

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

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Tot.





0 B œ # B � " � &Þa b c da barccos$

C œ # B � " � &à œ B � " àC � &

#c d c da b a barccos arccos

$ $

Œ � Œ �a b – —C � & C � &

# #œ B � " à B � " œ à

"Î$ "Î$

arccos cos

B œ " �C � &

#cos– —Œ �"Î$

poiché dev'essere ˆ ‰ ˆ ‰a bC�& C�&# #

"Î$ "Î$œ B � " ! Ÿ Ÿarccos 1, quindi

! Ÿ C � & Ÿ # à�& Ÿ C Ÿ �& � # Þ1 1$ $

La funzione inversa è definita per .�& Ÿ C Ÿ �& � #1$



D � 3 D � œ !Þ"

)# Re

Sia l'equazione diventaD œ B � 3Cß

B � C � #3BC � 3B � œ !"

)# #

œ a bB � C � œ !

#BC � B œ !B #C � " œ ! Ê B œ ! C œ

# # ") o �

"

#

B œ ! Ê C œ C œ„ à � Ê B œ ß B œ „ Þ" " " "

# # # ## )È È#


2

Le soluzioni sono:

D œ „ 3à D œ „ � 3" " "

# # # # #È È e sono 4.






0 B œ " � /a b k kB�"

-3 -2 -1 1 2 3

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 1 2 3

2

4

6

8

10

/ /B Bk k

-4 -3 -2 -1 1 2

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 1 2

-10

-8

-6

-4

-2

/ /k k k kB�" B�"�-4 -3 -2 -1 1 2

-10

-8

-6

-4

-2

" � /k kB�"


corretto:

lim sin logBÄ�_

$$

$B

# B � "

B B � %B � "Œ � Œ �


3

Poiché per B Ä �_ Ä ! Ä " e , si ha# B �"B B �%B�"

$

$

0 B µ † † µ œ �)Þ�)B

Ba b B � " œ #B

# B � " # � %B

B B � %B � " B � %B � "$ #

$

$ $Œ � Œ � $

$




0 B œ à B œ !ÞB � "

# B Ba b a b

a b k kÉ ÈCh

B

!

arcsin sin

0 Ba b µ œ œ B BB

B † B # B

B "

#

"##

"Î% "Î%

$Î%k k k k k k a bsgn .

Punto di flesso a tangente verticale, ascendente. Grafico locale:

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1







0 B œ/ � "

B � #a b k kk k

B

log.

0 B B � # è definita per Á �#ß Á " B Á �"ß B Á �$Þk k , quindi

Per asintoto verticale.B Ä �$ ß 0 B µ µ � Ä …_ßB œ �$„�a b "�/ "�/B�# B�$

�$ �$

loga bPer asintoto verticale.B Ä �" ß 0 B µ µ Ä „_ßB œ �"„ a b k ka b/ �"

B�# B�"

"��"

log

"/

Per , quindi è punto di discontinuità eliminabile eB Ä �#ß 0 B µ Ä ! B œ �#a b "�/B�#

�#

logk k �

di massimo relativo.

Volendoci chiedere con quale pendenza il grafico di tende a zero, osserviamo che il0comportamento sarà lo stesso che ha


4

"

BB Ä !Þ

logk k per

Poiché per , sarà punto di cuspide rivolta verso l'alto."B B

„logk k Ä …_ B Ä ! B œ �#

Per con crescita sopralineare (in particlolare, senzaB Ä �_ß 0 B µ Ä �_a b /B

B

log

asintoto obliquo).

Per quindi è asintoto orizzontale per B Ä �_ß 0 B µ Ä ! C œ ! B Ä �_Þa b 1logk kB �

0 B œ ! B œ !Þ B Ä !ß 0 B µ B œ !a b a b per Per , quindi è punto angoloso e punto dik kB#log

minimo relativo.


-5 -4 -3 -2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.





0 B œ $ � B � # BÞa b a blog log

La funzione è definita per e sotto tale ipotesi si può riscrivere comeB ā !

C œ à / œ à$ � B $ � B

B BlogŒ �# #

C

B / � B � $ œ !à B œ"# C „ " � "#/

#/

È C

C.

Dobbiamo scartare la soluzione col segno perché . Quindi si ha:� B ā !

B œ" � " � "#/

#/ß

È C

C

definita per ogni .C


tutte le soluzioni in forma algebrica, e dicendo esplicitamente quante sono:

D � #3D � " � 3# $ œ !Þ# ÈEquazione algebrica di 2° grado, ha due soluzioni

D œ �3 � �" � " � 3# $ œ �3 � �# � 3# $ÞÊ Š ‹È ÈÉDobbiamo ora calcolare É È È Š ‹�# � 3# $ A œ �# � 3# $ œ % � � 3 Þ. Sia "

# #$È

Poiché e arg , si avràk k a bA œ % A œ %$1

É È È Œ �Œ � Œ ��# � 3# $ œ % � 5 � 3 � 5 œ# #

$ $cos sin

1 11 1


2

œ „# � 3 œ „# � � 3 œ „ �" � 3 $# # " $

$ $ # #Œ �Œ � Œ � � �È Š ‹Ècos sin

1 1

e D œ �3„ �" � 3 $ œ�" � 3 $ � "

" � 3 $ � " ÞŠ ‹È Ú

ÛÜŠ ‹È

Š ‹È3. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai





0 B œ B � " � "a b a b¹ ¹#Î$

-4 -2 2 4

0.5

1

1.5

2

2.5

-4 -2 2

0.5

1

1.5

2

2.5

B B � "#Î$ #Î$ a b

-4 -2 2

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-4 -2 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

a b a b¹ ¹B � " � " B � " � "#Î$ #Î$



utilizzati.

limcos sin

8Ä�_

"8

÷ ‘ˆ ‰È È#Î$

% %

� " 8

8 � " � 8


3

” •Œ �cos" "

8 #8� " à

#Î$ %Î$µ �

È È È È� �Ê% % % %%8 � " � 8 œ 8 " � � " 8

"

8µ † œ à

" "

%8 %8$Î%

k ksin8 Ÿ ", perciò

k k ¸ ¸ˆ ‰È È+ Ÿ œ

� "

8 � " � 8

# #

8 88

" "8 #8

%Î$ (Î"#

cos #Î$ %Î$

% %µ œ Ä !

8"%8

$Î%

$Î%

.

Per il criterio del confronto, anche +8 Ä !Þ


determinandolo.

0 B œ B/a b Š ‹$B �B �&# $Î#

B �"#

0 Ba b µ B/$,quindi ha crescita lineare e potrebbe avere asintoto obliquo 0 C œ B/ � ;$ . Calcoliamo

limBÄ�_

$÷ ‘a b0 B � B/

0 B � B/ œ µa b $ B / � / œ B/ / � "” • ” •Š ‹ Š ‹$B �B �& $B �B �&# $Î# # $Î#

B �" B �"# #$ $ �$

µ µ Ä �_ßB/ � $ œ B/ B/ œ B/$B � B � & B � # B

B � " B � " B$ $ $ $

# $Î# $Î# $Î#

# # #� � � � � � Èquindi la funzione non ha asintoto obliquo.








0 B œ B � " B � B"

Ba b a b ˆ ‰ È#Î$ # arctan

$.

0 B è definita per Á !Þ


4

Per Quindi (è un punto diB Ä ! ß 0 B µ �B µ … B Ä ! Þ B œ !„ …#a b arctan "

BÈ$ 1

discontinuità eliminabile, ed eliminandolo) è un punto angoloso e di massimo relativo.

Per con crescita sopralineare (inB Ä „_ß 0 B µ B † B † Ä „_a b #Î$ # "B

(Î$È$ œ Bparticolare senza asintoto obliquo).

0 B œ ! B œ �"ß B œ !ß B œ "Þa b per

Per . punto di cuspideB Ä �"ß 0 B µ † # † � œ � B � " B œ �"a b a bˆ ‰a bB � " #Î$ 1 1% #

#Î$

verso l'alto, punto di massimo relativo.

Per , attraversa linearmente l'asse (nonB Ä "ß 0 B µ % † B � " † œ B � " Ba b a b a bÈ$ $1% %

%È1

è un punto particolare).


-2 -1 1 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

In particolare, deve avere un punto di minimo relativo in e un punto di0 − �"ß !! a bminimo relativo in " − !ß " Þa b

Es. Punti Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1...

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