Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria ... · Prima prova in itinere di Analisi...

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.

Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano

A.A. 2008/2009. Prof. M. BramantiTema n°1

Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________

n° di matricola___________________________________________________________

n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________

Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:

Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________

1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo

tutte le soluzioni (in forma algebrica o trigonometrica) e dicendo esplicitamente quante sono:

D � %3D � & œ !% #

2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai

grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul

grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di

passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il

grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)

Prima prova in itinere di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Tema 1_________________________________________________________________________________

2

0 B œ / � "a b � B�"k k

3. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e

corretto:

limBÄ�_

#

#

B� BŒ �B � $B

B � &B

a blog

4. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per0 Ba bB Ä B 0 B B œ B! !, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di .a bClassificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di

flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto

verticale ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto inábase alla sola stima asintotica.

0 B œ à B œ !Þ/ � " B

# � "a b Š ‹# B

B !

È$ sin


3

5. Derivata della funzione inversa. Sia

0 B œ B Ba b #log

1. Provare che è invertibile nell'intervallo .0 ß�_Š ‹"/È

2. Detta la funzione inversa di su questo intervallo, calcolare 1 0 1 / Þw #a b

6. Studio di funzione mediante derivate. Sia

0 B œ B/ Þa b "Î B�"a bStudiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico.

a. Insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali

asintoti.

b. Calcolare la derivata prima e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata

studiare il segno. Determinare quindi i punti di massimo e minimo.

c. Calcolare la derivata seconda e , in modo da sapernesemplificare l'espressione trovata

studiare il segno. Determinare quindi il verso della concavità e i punti di flesso.


4

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.




n° di matricola___________________________________________________________






D � %3D � & œ !#







2

0 B œ # � Ba b k ka blog


3


corretto:

limcos

BÄ!

ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰ ÈÈa b a b

$ $B � " B � B

#B $BSh Ch

4. Stime all'infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di per0 Ba bB Ä �_ 0; stabilire quindi se possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo

determinandolo.

0 B œ / $B � "a b a b$Î B�"a b


4


5

5. Derivata e punti di non derivabilità. Della seguente funzione si chiede di:0 Ba b1. determinare l'insieme di definizione;

2. calcolare la derivata, ove esiste ( di semplificarla né di studiarne ilnon è richiesto

segno);

3. individuare e studiare gli eventuali punti di non derivabilità (cioè i punti in cui è0definita ma no, e dire se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale,0 w

di discontinuità...).

0 B œB B

" � Ba b Èarcsin

#


0 B œ B B � "Þa b È# $

Studiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico.


asintoti. Stima asintotica all'infinito e nei punti in cui la funzione si annulla.






6

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

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Tot.




n° di matricola___________________________________________________________






È a b#D � " � 3 D œ !Þ%





grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) À


2

0 B œ � B%

a b ¹ ¹Š ‹tan1

N.B. Essendo la funzione periodica, è sufficiente tracciare il grafico su un solo periodoÞ

3. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o

irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi

utilizzati

+ œ �8

8 88

coslog sin

a b Š ‹1 1

1.




0 B œ à B œ !/ � " B

" � Ba b ˆ ‰È

k kk kB

!

$

log


3


0 B œ B/a b "ÎB

1. Provare che è invertibile nell'intervallo .0 _ß !a b�

2. Detta la funzione inversa di su questo intervallo, calcolare 1 0 1 Þw/

Š ‹� #È


0 B œ $B � # / Þa b a b "ÎB



asintoti.






4

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.




n° di matricola___________________________________________________________






) D � " � " � 3 $ œ !Þa b È%






0 B œ " � Ba b k kÈ$

Prima prova in itin. di Analisi 1 per ing. Elettronica. Prof. Bramanti. A.A. 2008/09. Svolgimento Tema 4_________________________________________________________________________________

2



utilizzati.

+ œ8

8 8

# 8x8


determinandolo.

0 B œ )B � $B � "a b È$ $ #


3



segno);



0 B œ" � B

B � "a b k ka blog

#


0 B œ B # � B Þa b a b# #Î$









4

1

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1

2

3

4

5

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Tot.


A.A. 2008/2009. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n°1



D � %3D � & œ !% #

D œ# �#3 � �* œ � #3„$3 œ3�&3

È œD œ 3 œ"ß#

È „ " � 3 à"

#È a b

D œ œ$ß%È�&3 „ �" � 3 Þ

&

#Ê a b

Le soluzioni sono 4.






0 B œ / � "a b � B�"k k

-6 -4 -2 2 4

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2


2


corretto:

limBÄ�_

#

#

B� BŒ �B � $B

B � &B

a blog

0 B œ / ´ / Þa b a b Š ‹ a bB� B † 2 Blog log B �$B#

B �&B#

2 B � "B � $B

B � &Ba b µ B † œ B † µ œ )ß

B )B

B � &B B” •#

#

8# #

#

e il limite cercato è

/ Þ)




0 B œ à B œ !Þ/ � " B

# � "a b Š ‹# B

B !

È$ sin

0 B B# B #a b È Èµ œ †

† B

B # #

$

$

log log

B œ ! punto di flesso a tangente verticale.

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1


0 B œ B Ba b #log

1. Provare che è invertibile nell'intervallo .0 ß�_Š ‹"/È

2. Detta la funzione inversa di su questo intervallo, calcolare 1 0 1 / Þw #a b1.

0 B œ #B B � B œ B # B � " ā ! B ā "Î /wa b a b Èlog log per .

Quindi in la funzione è strettamente crescente, e perciò invertibile.Š ‹"/È ß �_


3

2.

B B œ / B œ /Þ# #log per

Dunque

0 / œ / à 1 / œ /àa b ˆ ‰# #

1 / œ œ œ Þ" " "

0 / B # B � " $/w #

wÎBœ/

ˆ ‰ a b a blog


0 B œ B/ Þa b "Î B�"a bStudiare la funzione secondo il seguente schema, e tracciarne il grafico.


asintoti.





a. Insieme di definizione: B Á "Þ

Per B Ä " ß 0 B µ„ a b / Ä�_!

"Î B�"�

a b œB œ " B Ä " Þ asintoto verticale per �

Per B Ä „_ß 0 B µ B Ä „_a b con crescita lineare.

Cerchiamo eventuali asintoti obliqui:

0 B � B œ B µ B † Ä "Þ"

B � "a b ˆ ‰/ � ""Î B�"a b

Quindi è asintoto obliquo per C œ B � " B Ä „_Þ

b.

0 B œwa b / " � œ B � $B � " � !B /

B � " B � ""Î B�" #

# #

"Î B�"a b a b� �a b a b ˆ ‰per . Quindi:B � ß B Ÿ$� & $� &

# #

È È

B œ B œ$ � & $ � &

# #

È È punto di minimo relativo; punto di massimo relativo.


4

c.

0 B œ � †"

B � "ww

#a b a b/ � œ

B � $B � " #B � $ B � " � # B � " B � $B � "

B � " B � ""Î B�"

# #

#

#

%a b� �a b

a ba b a ba ba b

œ �/ � œB � $B � " #B � &B � $ � #B � 'B � #

B � " B � ""Î B�"

# # #

% $a b� �a b

a b a bœ/

B � "� B � $B � " � B � " B � " œ

"Î B�"

%#

a ba b ˆ ‰ˆ ‰ a ba b

œ/ #

B � "$B � # � ! B �

$

"Î B�"

%

a ba b a b per .

B œ #Î$ punto di flesso a tangente obliqua.

La funzione è concava verso l'alto per e per B ā " #Î$ * B * "Þ

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

6

8

-3 -2 -1 1

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.





D � %3D � & œ !#

D œ B � 3Cà

a b a bB � 3C � %3 B � 3C � & œ !#

œB � C � %C � & œ !#BC � %B œ !

# #

B C � # œ ! Ê B œ ! C œa b oppure �#à

Se dà:B œ !ß � C � %C � & œ !#

C œ �"à C œ &à

Se C œ �#ß B � % � ) � & œ !# dà:

B œ „ (ÞÈQuindi le soluzioni sono 4, e cioè:

D œ" �3à D œ &3à D œ ( � #3à D œ � ( � #3Þ# $ %È È






0 B œ # � Ba b k ka blog


2

-6 -4 -2 2

1

2

3

4

5


corretto:

limcos

BÄ!

ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰ ÈÈa b a b

$ $B � " B � B

#B $BSh Ch

0 B œB B

#Ba b µ � Þ

� † "

%

"##Î$ "Î$


determinandolo.

0 B œ / $B � "a b a b$Î B�"a b

0 Ba b µ $Bà0 B � $B œ / � " $B � / àa b ˆ ‰$Î B�" $Î B�"a b a b

ˆ ‰/ � " $B / Ä "à$Î B�" $Î B�"a b a bµ † $B Ä *à$

B � "

0 B � $B Ä "!a be la funzione ha asintoto obliquo

C œ $B � "!Þ



segno);



3


0 B œB B

" � Ba b Èarcsin

#


4

1. La funzione è definita per B − �"ß "c d.2.

0 B œwa b Š ‹ÈarcsinB � " � B �

" � B

B B B

"�B#

"�B

#

È È#

#

#

arcsin

,

definita per .B Á „"3. Per , perciò i punti , di non derivabilità, sono puntiB Ä „" ß 0 B Ä „_ B œ „"… wa b

d'arresto a tangente verticale.


0 B œ B B � "Þa b È# $








a. Insieme di definizione: ‘ÞPer B Ä „_ß 0 B µ B Ä „_a b #�"Î$ con crescita sopralineare.

0 B œ ! B œ !ß B œ �"Þa b per

Per è punto di flesso a tangente verticale,B Ä �"ß 0 B µ �"a b È$ B � " B œ, quindi

ascendente.

Per , quindi è un punto di minimo relativo.B Ä !ß 0 B µ B B œ !a b #

b.

0 B œ #Bwa b È a b a b a ba b a b$ B � " � œ œ � !

B 'B B � " � B B (B � '

$ B � " $ B � " $ B � "

# #

#Î$ #Î$ #Î$

per . Quindi:B � !ß B Ÿ �'Î(

B œ ! B œ �'

( punto di minimo relativo; punto di massimo relativo.

c.

0 B œ œ"%B � ' $

* B � "

ww%Î$

a b a ba ba bB � " �#Î$ (B �'B #

B�"

a ba b#

"Î$

œ † œ † Þ$ (B � "!B � $ "%B � #%B � *

* B � " * B � "# #

� (B � 'Ba ba b a b

# #

&Î$ &Î$

a b#

Studio il segno di :0 ww


5

"%B � #%B � * � ! B Ÿ à B � à�"# � $ # �"# � $ #

"% "%# per

È È

a bB � " � ! B � �"ß&Î$ per dunque:

0 B � ! Ÿ B * �"à B � ß�"# � $ # �"# � $ #

"% "%wwa b È È

per

ed in questi intervalli la funzione è concava verso l'altoÞ

B œ�"#„$ #

"%

È punti di flesso a tangente obliqua;

B œ �" punto di flesso a tangente verticale.

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.





È a b#D � " � 3 D œ !Þ%

D œ D" � 3

#

% � �ÈPosto D œ 3 * *a bcos sin� 3 , si ha:

3 * * 3 * *1 1%a ba b a b Š ‹Š ‹ Š ‹cos sin cos sin% � 3 % œ � � � 3 � �% %

œ 3 3

* * 1

%

%

œ% œ � � � #51

œ 3 3

*

œ !ß œ "

œ � 5 œ !ß "ß #ß $ß %Þ1 1#! &

#5 per

Quindi le soluzioni sono 6, e cioè:

D œ !à D œ � � 3 � 5 œ !ß "ß #ß $ß %Þ#! & #! &

#5 #5cos sinŒ � Œ �1 1 1 1

per





grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.) À

0 B œ � B%

a b ¹ ¹Š ‹tan1

N.B. Essendo la funzione periodica, è sufficiente tracciare il grafico su un solo periodoÞ


2

-p€€€€4

p€€€€4

3 p€€€€€€€€4

1

2

3

4

5



utilizzati

+ œ �8

8 88

coslog sin

a b Š ‹1 1

1.

º ºa bcos 8 "

8 8Ÿ Ä !

1

1 1,

e per il teorema del confronto cosa b88

11Ä !à

log sin sinŠ ‹1 1

8 8Ä �_ Ä ! perché .�

Perciò per il teorema sull'aritmetizzazione parziale di .+ Ä �_ß _8




0 B œ à B œ !/ � " B

" � Ba b ˆ ‰È

k kk kB

!

$

log

0 B œ B BB B

Ba b k kk kÈ È Èµ † B œ

$

$ $sgna bB œ ! punto di cuspide.

-2 -1 1 2

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5


3


0 B œ B/a b "ÎB

1. Provare che è invertibile nell'intervallo .0 _ß !a b�

2. Detta la funzione inversa di su questo intervallo, calcolare 1 0 1 Þw/

Š ‹� #È1.

0 B œ / " � œ / ā ! B * ! B ā "ÞB B � "

B Bw "ÎB "ÎB

#a b Š ‹ Œ � per e

Quindi in la funzione è strettamente crescente, e perciò invertibile.a b�_ß !2.

B/ œ B œ Þ/

"ÎB � �##È per

Dunque

0 œ à 1 œ à/ /

a b È È� ��# � � �## #

1 œ œ œ /Þ/

" " #

0 $/w

w "ÎB B�"B ÎBœ

� �È a b ˆ ‰ È�#

�#�#


0 B œ $B � # / Þa b a b "ÎB



asintoti.





a. Insieme di definizione: B Á !Þ

Per B Ä ! ß 0 B µ #„ a b / Ä�_!

"ÎB�œ

B œ ! B Ä ! Þ asintoto verticale per �

Per B Ä „_ß 0 B µ $B Ä „_a b con crescita lineare.

Cerchiamo eventuali asintoti obliqui:

0 B � $B œ $B � #/ àa b ˆ ‰/ � ""ÎB "ÎB


4

#/ Ä #à $B µ $B † œ $ß 0 B � $B Ä &"

B"ÎB ˆ ‰ a b/ � ""ÎB quindi

e è asintoto obliquo per C œ $B � & B Ä „_Þ

b.

0 B œwa b / $ � œ $B � $B � # � !$B � # /

B B"ÎB #

# #

"ÎBŒ �a b ˆ ‰per . Quindi:B � ß B Ÿ$� $$ $� $$

' '

È È

B œ B œ$ � $$ $ � $$

' '

È È punto di minimo relativo; punto di massimo relativo.

c.

0 B œ � †"

Bww

#a b / � œ

$B � $B � # B � $ B � #B $B � $B � #

B B"ÎB

# # #

# %Œ �a b a b6

œ�

/ œ$B � $B � # � $B � %B

B"ÎB

# #

%Œ �a b a b

œ �/ #

B ((B � # � ! B �

"ÎB

%a b per .

B œ �#Î( punto di flesso a tangente obliqua.

La funzione è concava verso l'alto per e per B ā ! �#Î( * B * !Þ

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

15

20

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

-0.1

-0.075

-0.05

-0.025

0.025

0.05

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.





) D � " � " � 3 $ œ !Þa b È%

a b � �È Œ �Œ � Œ �D � " œ � � 3 œ � 3" " $ " % %

% # # % $ $%

cos sin1 1

D � " œ � 5 � 3 � 5 5 œ !ß "ß #ß $Þ"

# $ # $ #È Š ‹Š ‹ Š ‹cos sin1 1 1 1

, per

D œ �"„ � 3 à D œ �"„ � � 3 Þ" " $ " $ "

# ## # # #"ß# $ß%È È� � � �È È

D œ �"„ „3 à D œ �"… „ 3Þ" $ $ "

# # # # # # # #"ß# $ß%� � � �È È È È

È È

Le soluzioni sono 4.






0 B œ " � Ba b k kÈ$

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1


2



utilizzati.

+ œ8

8 8

# 8x8

Successione a termini positivi, applichiamo il criterio del rapporto.

+

+œ œ

8 � " 8 � "

8�"

88�" 8�"

# 8 � " x 8 # 8 � " 8 8 # #† œ # † œ Ä * "# 8x 8 � " /" �

8�" 8 8

8

8

"8

8a b a b Œ � ˆ ‰a b a b .

Quindi, per il criterio del rapporto, + Ä !Þ8


determinandolo.

0 B œ )B � $B � "a b È$ $ #

0 Ba b µ #Bà0 B � #B œ #B " � � � " �

$ " $ "

)B )B )B )Ba b � �Ê$

$ $µ #B † † µ

"

$Œ �

µ #B † †"

$

$ "

)B %œ ß

e la funzione ha asintoto obliquo

C œ #B � Þ"

%



segno);



0 B œ" � B

B � "a b k ka blog

#

1. La funzione è definita per B ā �".2. Poiché log loga b a b a ba b" � B ā ! B ā !ß " � B œ B per sgn sgn , e

0 B œwa b "�B"�B

# #

#

sgn,

a b k ka ba bB � #B " � B

" � B

log

definita per .B Á !


3

3. Per , perciò il punto , di non derivabilità, è angoloso.B Ä ! ß 0 B Ä „" B œ !„ wa b6. Studio di funzione mediante derivate. Sia

0 B œ B # � B Þa b a b# #Î$








a. Insieme di definizione: ‘ÞPer B Ä „_ß 0 B µ B Ä �_a b #�#Î$ con crescita sopralineare.

0 B œ ! B œ !ß B œ #Þa b per

Per è punto di cuspide.B Ä #ß 0 B µ % # � #a b a bB B œ#Î$, quindi

Per , quindi è un punto di minimo relativo.B Ä !ß 0 B µ # B B œ !a b #Î$ #

b.

0 B œ #B�#wa b a b a b a b a b

a b a b# � B � œ œ � !

#B 'B # � B � #B %B $ B

$ # � B $ # � B $ # � B

#Î$# #

"Î$ "Î$ "Î$

per . Quindi:! Ÿ B Ÿ $Î#à B ā #

B œ !ß B œ # B œ $Î# punti di minimo relativo; punto di massimo relativo.

c.

0 B œ % œ�% $

*

ww

�#

#Î$a b a b

a b$ B # � B �

# � B

a b"Î$ $B B

#�B

a ba b#

#Î$

œ † œ � !$ �% �# ) &B � "&B � *

* *%

$ B # � B � $B B

# � B # � B

a b a ba b a b

a b a b#%Î$ %Î$

#

per:

&B � "&B � * � ! B Ÿ à B � à"& � $ & "# � $ &

"! "!# per

È Èed in questi intervalli la funzione è concava verso l'altoÞ


4

B œ Þ"&„$ &

"!

È punti di flesso a tangente obliqua

-4 -2 2 4

2.5

5

7.5

10

12.5

15

Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria ... · Prima prova in itinere di Analisi...

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