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Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano

A.A. 2020/2021. Prof. M. BramantiTema n1

1. Detta Ω la lamina materiale omogenea a di massa m contornata dalla curva del piano xyavente equazione polare:

ρ = R

√θ

2π, θ ∈ [0, 2π]

con R > 0 fissato, calcolare l’area della lamina Ω e il suo momento d’inerzia rispetto all’assez. Riportare impostazione e passaggi.

2. Sia Ω il tetraedro di vertici (0, 0, 0) , (a, 0, 0) , (0, b, 0) , (0, 0, c) (con a, b, c costanti positive),espresso analiticamente da

Ω =

(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b− bx

a, 0 ≤ z ≤ c

(1− x

a− y

b

).

Calcolare il volume di Ω (non occorrono integrali!) e quindi l’integrale triplo

1

|Ω|

∫ ∫ ∫Ω

xy dxdydz.

3. Calcolare un potenziale del seguente campo vettoriale, assumendo di sapere già che èconservativo nel proprio insieme di definizione:

F (x, y, z) =

(xy

x2 + z2,1

2log(x2 + z2

)− 2yz

(y2 + 1)2 ,yz

x2 + z2+

1

1 + y2+

1

1 + z2

).

Infine, determinare il più ampio insieme aperto A in cui F è definito e C1, e dire se A èsemplicemente connesso.

1

4. Sia Σ la superficie (semiellissoide) generata dalla rotazione attorno all’asse z della curvaγ che nel piano xz ha equazioni parametriche

x = a sinφz = b cosφ

φ ∈[0,π

2

]con a, b costanti positive (diverse tra loro).a. Scrivere le equazioni parametriche di Σ.b. Calcolare il flusso del campo vettoriale

F = (x, y, z)

attraverso la superficie Σ orientata con la normale verso l’alto (cioè con la componentenz ≥ 0). Riportare impostazione e passaggi.

5. Si consideri la funzione π-periodica definita in[−π

2, π

2

]da

f (x) = cos x.

a. Dopo aver disegnato il grafico di f , in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapiditàdi convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile direcirca la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazionifatte.b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodo e dellesimmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier escrivere la serie di Fourier.Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo deicoeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggiessenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata.

2



1. Calcolare l’integrale doppio ∫ ∫Ω

xy

(y + x2)2dxdy

dove Ω =

(x, y) : y ∈ [0, 1] ,√y ≤ x ≤ y

, riportando impostazione e passaggi.

2. Sia Ω il solido omogeneo descritto analiticamente da

Ω =

(x, y, z) : x2 + y2 ≤ R2, 0 ≤ z ≤ e−(x2+y2)/R2

con R > 0 costante. Calcolarne il volume e il momento d’inerzia rispetto all’asse z, suppo-nendo uguale a m la sua massa totale.

3.a. Dopo aver stabilito se il seguente campo vettoriale piano è irrotazionale nel suo insiemedi definizione, stabilire se è conservativo nel suo insieme di definizione e calcolare in tal casoun potenziale.

F (x, y) = ex−y(y2(2x+ x2

), x2(2y − y2

)).

b. Quindi, calcolare il lavoro del campo lungo l’arco di curva

γ : r (t) =

(1

t+ 1, t2 + 1

), per t ∈ [0, 1] .

3

4. Sia Σ la superficie materiale omogenea grafico della funzione

z =x2 − y2

Rper x2 + y2 ≤ R2,

con R > 0 fissato. Dopo aver scritto esplicitamente l’elemento d’area di Σ, calcolare l’areadi Σ e, detta m la massa totale della superficie materiale, calcolare il suo momento d’inerziarispetto all’asse z. Riportare impostazione e passaggi.

5. Si calcoli il flusso del campo vettoriale

F =(yz,−xz, x2 + y2

)attraverso la superficie Σ di equazioni parametriche

x = t cos (tu)y = t sin (tu)z = u

t ∈ [0, 2] , u ∈ [0, π]

orientata verso l’alto (cioè con la componente z del vettore normale positiva). Riportare concura impostazione e passaggi.

4



1. Sia Ω il dominio piano rappresentato in figura (il contorno è costituito da un arco dicirconferenza e due segmenti, passanti per i punti (−1, 0) , (0, 1) , (1, 0)).

Calcolare l’integrale doppio: ∫ ∫Ω

|x| ydxdy

riportando impostazione e passaggi.

2. Sia Ω il solido non omogeneo (semisfera) espresso analiticamente da:

Ω =

(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ R2, z ≥ 0

e avente densità

δ (x, y, z) =(R− z)

R4µ

dove µ,R sono costanti positive aventi le dimensioni di una massa e di una lunghezza,rispettivamente. Calcolare la massa totale e il baricentro del solido. Riportare con cural’impostazione e i passaggi, sfruttare le simmetrie.

3. Si calcoli il lavoro del campo vettoriale

F (x, y, z) = (z,−y, x)

lungo l’arco di curvaγ : r (t) =

(e−t, te−t, t2e−t

)per t ∈ [0, 1] .

Riportare impostazione e calcoli.

5

4. Sia Σ la superficie torica generata dalla rotazione attorno all’asse z della curva γ che nelpiano xz ha equazioni parametriche

x = 4 + 3 cosφz = 3 sinφ

φ ∈ [0, 2π] .

a. Scrivere le equazioni parametriche di Σ e l’elemento d’area di Σ. (Utilizzare la formulastudiata a questo riguardo per le superfici di rotazione).b. Detta Σ+ la porzione di Σ compresa nel semispazio y ≥ 0, calcolare l’area e determinareil centroide di Σ+. (Sfruttare le simmetrie). Riportare impostazione e passaggi.

5. Si consideri la curva piana γ di equazioni parametriche

r (t) = (3 cos t+ cos (2t) , 3 sin t− sin (2t)) per t ∈ [0, 2π] .

Dopo aver verificato analiticamente che si tratta di un arco di curva regolare e chiuso,utilizzando le formule di Gauss-Green calcolare l’area della regione piana contornata da γ.

6



1. Sia Ω una lamina materiale rappresentata nel piano xy, in coordinate polari, da:

Ω = (ρ, θ) : R ≤ ρ ≤ 2R, 0 ≤ θ ≤ π

avente densità superficiale espressa, in coordinate polari, da

δ (ρ, θ) =µ

R3ρ sin2 θ,

doveR, µ sono costanti positive aventi le dimensioni di una lunghezza e una massa, rispettiva-mente. Calcolare la massa totale e le coordinate del baricentro di Ω. Riportare impostazionee passaggi, e sfruttare le simmetrie.

2. Si consideri il solido Ω a forma di cono (pieno) di vertice l’origine, altezza h, raggio R,asse sull’asse z, avente densità volumica

δ (x, y, z) =(h− z)

h2R2µ

dove µ è una costante positiva avente le dimensioni di una massa. Calcolare la massa totalee il momento d’inerzia del solido rispetto all’asse z. Riportare con cura l’impostazione e ipassaggi, in particolare scrivere per prima cosa la rappresentazione analitica di Ω.

3. Si calcoli il lavoro del campo vettoriale piano

F = (−y, x)

lungo l’arco di curva γ di equazione polare

ρ = R√θ per θ ∈ [0, 4π] ,

dove R è una costante positiva. Riportare l’impostazione e i calcoli.

7


z = Ch√x2 + y2 per x2 + y2 ≤ 1.

Dopo aver scritto esplicitamente l’elemento d’area di Σ, calcolare l’area di Σ e il suo centroide,sfruttando le simmetrie. Riportare impostazione e passaggi.

5. Si consideri la funzione 2π-periodica definita in [−π, π] da

f (x) = x |x| .

a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cientidi Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale dellaserie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodo e dellesimmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier escrivere la serie di Fourier.Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo deicoeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggiessenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata.

8


A.A. 2020/2021. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n1

Es. Punti

1 62 63 74 75 7Tot. 33

1. Detta Ω la lamina materiale omogenea a di massa m contornata dalla curva del piano xyavente equazione polare:

ρ = R

√θ

2π, θ ∈ [0, 2π]

con R > 0 fissato, calcolare l’area della lamina Ω e il suo momento d’inerzia rispetto all’assez. Riportare impostazione e passaggi.

Per le formule di Gauss-Green si ha:

|Ω| = 1

2

∫ 2π

0

(R

√θ

2π

)2

dθ =1

2R2

∫ 2π

0

θ

2πdθ =

1

2R2 4π2

2 · 2π =π

2R2.

Il momento d’inerzia è:

I =m

|Ω|

∫ ∫Ω

(x2 + y2

)dxdy

(in coordinate polari)

=2m

πR2

∫ 2π

0

(∫ R√

θ2π

0

ρ2ρdρ

)dθ

=2m

πR2

∫ 2π

0

[ρ4

4

]R√ θ2π

0

dθ =2m

πR2

∫ 2π

0

R4θ2

4 (2π)2dθ

=2m

πR2

R4

4 (2π)2

(2π)3

3=

1

3mR2.

2. Sia Ω il tetraedro di vertici (0, 0, 0) , (a, 0, 0) , (0, b, 0) , (0, 0, c) (con a, b, c costanti positive),espresso analiticamente da

Ω =

(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b− bx

a, 0 ≤ z ≤ c

(1− x

a− y

b

).

Calcolare il volume di Ω (non occorrono integrali!) e quindi l’integrale triplo

1

|Ω|

∫ ∫ ∫Ω

xy dxdydz.

9

Il tetraedro Ω ha per base un triangolo rettangolo di lati a, b, quindi area 12ab, e ha altezza

c, quindi il volume è

|Ω| = 1

3

(1

2ab

)c =

1

6abc.

1

|Ω|

∫ ∫ ∫Ω

xy dxdydz =6

abc

∫ a

0

(∫ b(1−xa)

0

(∫ c(1−xa− yb )

0

xy dz

)dy

)dx

=6

abc

∫ a

0

(∫ b(1−xa)

0

cxy(

1− x

a− y

b

)dy

)dx

=6

ab

∫ a

0

x

(∫ b(1−xa)

0

(y(

1− x

a

)− y2

b

)dy

)dx

=6

ab

∫ a

0

x

[y2

2

(1− x

a

)− y3

3b

]b(1−xa)

0

dx

=6

ab

∫ a

0

x

[b2

2

(1− x

a

)3

− b2

3

(1− x

a

)3]dx

=6

ab

b2

6

∫ a

0

x(

1− x

a

)3

dx

1− x

a= t; dx = −adt; t ∈ [1, 0]

=b

a

∫ 1

0

a (1− t) t3adt = ab

∫ 1

0

(t3 − t4

)dt

= ab

(1

4− 1

5

)=

1

20ab.

3. Calcolare un potenziale del seguente campo vettoriale, assumendo di sapere già che èconservativo nel proprio insieme di definizione:

F (x, y, z) =

(xy

x2 + z2,1

2log(x2 + z2

)− 2yz

(y2 + 1)2 ,yz

x2 + z2+

1

1 + y2+

1

1 + z2

).

Infine, determinare il più ampio insieme aperto A in cui F è definito e C1, e dire se A èsemplicemente connesso.

Determiniamo U (x, y, z) tale che F = (∂xU, ∂yU, ∂zU) .

∂xU (x, y, z) =xy

x2 + z2

U (x, y, z) =

∫xy

x2 + z2dx = y

∫x

x2 + z2dx = y

1

2log(x2 + z2

)+ f (y, z) .

10

∂yU (x, y, z) =1

2log(x2 + z2

)+ ∂yf (y, z) =

1

2log(x2 + z2

)− 2yz

(y2 + 1)2

∂yf (y, z) = − 2yz

(y2 + 1)2

f (y, z) = −∫

2yz

(y2 + 1)2dy =z

y2 + 1+ g (z)

U (x, y, z) =1

2y log

(x2 + z2

)+

z

y2 + 1+ g (z)

∂zU (x, y, z) =yz

(x2 + z2)+

1

y2 + 1+ g′ (z) =

yz

x2 + z2+

1

1 + y2+

1

1 + z2

g′ (z) =1

1 + z2

g (z) =

∫1

1 + z2dz = arctan z + c

U (x, y, z) =1

2y log

(x2 + z2

)+

z

y2 + 1+ arctan z + c.

Infine:

A =

(x, y, z) : x2 + z2 6= 0

= R3 \ asse ynon è semplicemente connesso.

4. Sia Σ la superficie (semiellissoide) generata dalla rotazione attorno all’asse z della curvaγ che nel piano xz ha equazioni parametriche

x = a sinφz = b cosφ

φ ∈[0,π

2

]con a, b costanti positive (diverse tra loro).a. Scrivere le equazioni parametriche di Σ.b. Calcolare il flusso del campo vettoriale

F = (x, y, z)

attraverso la superficie Σ orientata con la normale verso l’alto (cioè con la componentenz ≥ 0). Riportare impostazione e passaggi.

a. La superficie Σ ha equazioni parametriche:x = a sinφ cos θy = a sinφ sin θz = b cosφ

φ ∈[0,π

2

], θ ∈ [0, 2π] .

b. Calcoliamo

ndS =

∣∣∣∣∣∣i j k

a cosφ cos θ a cosφ sin θ −b sinφ−a sinφ sin θ a sinφ cos θ 0

∣∣∣∣∣∣ dφdθ=(ab sin2 φ cos θ, ab sin2 φ sin θ, a2 cosφ sinφ

)dφdθ

11

(Notiamo che per φ ∈[0, π

2

]effettivamente si ha a2 cosφ sinφ ≥ 0, quindi la normale è

orientata verso l’alto). Calcoliamo il flusso

Φ (F ,Σ) =

∫ ∫Σ

F · ndS

F · ndS = (a sinφ cos θ, a sinφ sin θ, b cosφ) ·(ab sin2 φ cos θ, ab sin2 φ sin θ, a2 cosφ sinφ

)dφdθ

=(a2b sin3 φ+ a2b cos2 φ sinφ

)dφdθ = a2b sinφdφdθ

Φ (F ,Σ) =

∫ 2π

0

(∫ π/2

0

a2b sinφdφ

)dθ

= 2πa2b

∫ π/2

0

sinφdφ = 2πa2b.

5. Si consideri la funzione π-periodica definita in[−π

2, π

2

]da

f (x) = cos x.

a. Dopo aver disegnato il grafico di f , in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapiditàdi convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile direcirca la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazionifatte.b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodo e dellesimmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier escrivere la serie di Fourier.Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo deicoeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggiessenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata.

a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti (con punti angolosi). Perciò laserie di Fourier di f converge puntualmente a f in

[−π

2, π

2

]. I coeffi cienti di Fourier saranno

o(

1k

).

b. La funzione è pari, perciò bk = 0 per ogni k. Per calcolare gli ak, poiché T = π, ω = 2ππ

= 2,

ak =2

T

∫ T/2

−T/2f (x) cos (kωx) dx =

4

T

∫ T/2

0

f (x) cos (kωx) dx =4

π

∫ π2

0

cosx cos (2kx) dx.

Ora, sfruttando l’identità:

cosα cos β =1

2cos (α + β) + cos (α− β)

12

si ha

cos (2kx) cosx =1

2cos (2k + 1)x+ cos (2k − 1)x∫ π

2

0

cosx cos (2kx) dx =1

2

∫ π2

0

cos (2k + 1)x+ cos (2k − 1)x dx

=1

2

[sin (2k + 1)x

(2k + 1)+

sin (2k − 1)x

(2k − 1)

]π/20

=1

2

[sin (kπ + π/2)

(2k + 1)+

sin (kπ − π/2)

(2k − 1)

]=

1

2

[(−1)k

(2k + 1)− (−1)k

(2k − 1)

]=

(−1)k

2

[−2

(4k2 − 1)

]=

(−1)k+1

(4k2 − 1).

Perciò

ak =4

π

(−1)k+1

(4k2 − 1)

a0 =4

π

∫ π2

0

cosxdx =4

π

e la serie di Fourier di f è

f (x) =a0

2+∞∑k=1

ak cos (2kx)

=2

π+

4

π

∞∑k=1

(−1)k+1

(4k2 − 1)cos (2kx) .

Grafico di f (x) insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 5:

13



Es. Punti

1 62 63 74 75 7Tot. 33

1. Calcolare l’integrale doppio ∫ ∫Ω

xy

(y + x2)2dxdy

dove Ω =

(x, y) : y ∈ [0, 1] ,√y ≤ x ≤ y

, riportando impostazione e passaggi.

∫ ∫Ω

xy

(y + x2)2dxdy =

∫ 1

0

y

(∫ y

√y

x

(y + x2)2dx

)dy

=

∫ 1

0

y

[− 1

2 (y + x2)

]y√y

dy =

= −1

2

∫ 1

0

y

(1

(y + y2)− 1

2y

)dy

= −1

2

∫ 1

0

(1

(1 + y)− 1

2

)dy

=1

4− 1

2[log (1 + y)]10 =

1

4− 1

2log 2.

2. Sia Ω il solido omogeneo descritto analiticamente da

Ω =

(x, y, z) : x2 + y2 ≤ R2, 0 ≤ z ≤ e−(x2+y2)/R2

con R > 0 costante. Calcolarne il volume e il momento d’inerzia rispetto all’asse z, suppo-nendo uguale a m la sua massa totale.

|Ω| =∫ ∫

x2+y2≤R2

∫ e−(x2+y2)/R2

0

dz

dxdy

=

∫ ∫x2+y2≤R2

e−(x2+y2)/R2dxdy

(in coordinate polari)

= 2π

∫ R

0

e−ρ2/R2ρdρ = 2π

[−R

2

2e−ρ

2/R2]R

0

= πR2(1− e−1

).

14

I =m

|Ω|

∫ ∫ ∫Ω

(x2 + y2

)dxdydz

=m

πR2 (1− e−1)

∫ ∫x2+y2≤R2

(x2 + y2

)∫ e−(x2+y2)/R2

0

dz

dxdy

=m

πR2 (1− e−1)

∫ ∫x2+y2≤R2

(x2 + y2

)e−(x2+y2)/R2dxdy

=m

πR2 (1− e−1)2π

∫ R

0

e−ρ2/R2ρ3dρ

=2m

R2 (1− e−1)

∫ R

0

(ρe−ρ

2/R2)ρ2dρ

=2m

R2 (1− e−1)

[−R

2

2e−ρ

2/R2ρ2

]R0

−∫ R

0

−R2

2e−ρ

2/R22ρdρ

=2m

R2 (1− e−1)

−R

4

2e−1 +R2

∫ R

0

e−ρ2/R2ρdρ

=

2m

R2 (1− e−1)

−R

4

2e−1 +

R4

2

(1− e−1

)=

(1− 2e−1)

(1− e−1)mR2

3. a. Dopo aver stabilito se il seguente campo vettoriale piano è irrotazionale nel suo insiemedi definizione, stabilire se è conservativo nel suo insieme di definizione e calcolare in tal casoun potenziale.

F (x, y) = ex−y(y2(2x+ x2

), x2(2y − y2

)).

b. Quindi, calcolare il lavoro del campo lungo l’arco di curva

γ : r (t) =

(1

t+ 1, t2 + 1

), per t ∈ [0, 1] .

Si ha F∈ C1 (R2). Verifichiamo se è irrotazionale in R2.

∂xF2 = ∂x(ex−yx2

(2y − y2

))=(2y − y2

)ex−y

(2x+ x2

)∂yF1 = ∂y

(ex−yy2

(2x+ x2

))=(2x+ x2

)ex−y

(2y − y2

)Poiché ∂yF1 = ∂xF2 in tutto R2 il campo è irrotazionale in R2 e quindi conservativo in R2

(che è semplicemente connesso),

15

Calcoliamone un potenziale. Cerchiamo U tale che Ux = F1, Uy = F2.

Ux = ex−yy2(2x+ x2

)U (x, y) =

∫ex−yy2

(2x+ x2

)dx

= y2e−y∫ex(2x+ x2

)dx = y2e−y

ex(2x+ x2

)−∫ex (2 + 2x) dx

= y2e−y

ex(2x+ x2

)− 2ex − 2

∫exxdx

= y2e−y

ex(2x+ x2

)− 2ex − 2exx+ 2ex

+ g (y)

= x2y2ex−y + g (y)

Uy = ex−yx2(2y − y2

)+ g′ (y)

= ex−yx2(2y − y2

)⇒ g′ (y) = 0,

g (y) = c

U (x, y) = x2y2ex−y + c.

Calcoliamo il lavoro. Utilizzando il potenziale, si ha:

L =

∫γ

F · dr = U (r (1))− U (r (0)) = U

(1

2, 2

)− U (1, 1)

=1

44e

12−2 − e1−1 = e−

32 − 1.


z =x2 − y2

Rper x2 + y2 ≤ R2,

con R > 0 fissato. Dopo aver scritto esplicitamente l’elemento d’area di Σ, calcolare l’areadi Σ e, detta m la massa totale della superficie materiale, calcolare il suo momento d’inerziarispetto all’asse z. Riportare impostazione e passaggi.

f (x, y) =x2 − y2

R

∇f (x, y) =(2x,−2y)

R

|∇f (x, y)|2 =4

R2

(x2 + y2

)dS =

√1 +

4

R2(x2 + y2)dxdy

|Σ| =∫ ∫

Σ

dS =

∫ ∫x2+y2≤R2

√1 +

4

R2(x2 + y2)dxdy

16

passando in coordinate polari

= 2π

∫ R

0

ρ

√1 +

4

R2ρ2dρ = 2π

[R2

12

(1 +

4

R2ρ2

)3/2]R

0

=πR2

6

(53/2 − 1

).

I =m

|Σ|

∫ ∫Σ

(x2 + y2

)dS =

6m

πR2 (53/2 − 1)

∫ ∫x2+y2≤R2

(x2 + y2

)√1 +

4

R2(x2 + y2)dxdy

=6m

πR2 (53/2 − 1)2π

∫ R

0

ρ3

√1 +

4

R2ρ2dρ

√1 +

4

R2ρ2 = t; ρ2 =

R2

4

(t2 − 1

); ρdρ =

R2

4tdt; t ∈

[1,√

5]

I =12m

R2 (53/2 − 1)

∫ √5

1

R2

4

(t2 − 1

)tR2

4tdt

=3m

(53/2 − 1)

R2

4

∫ √5

1

(t4 − t2

)dt

=3m

(53/2 − 1)

R2

4

[t5

5− t3

3

]√5

1

=3m

(53/2 − 1)

R2

4

[25√

5

5− 5√

5

3− 1

5+

1

3

]

=3m

(53/2 − 1)

R2

4

(2

353/2 +

2

15

)=

53/2 + 15

2 (53/2 − 1)mR2.

5. Si calcoli il flusso del campo vettoriale

F =(yz,−xz, x2 + y2

)attraverso la superficie Σ di equazioni parametriche

x = t cos (tu)y = t sin (tu)z = u

t ∈ [0, 2] , u ∈ [0, π]

orientata verso l’alto (cioè con la componente z del vettore normale positiva). Riportare concura impostazione e passaggi.

17

Calcoliamo l’elemento ndS:∣∣∣∣∣∣i j k

cos (tu)− tu sin (tu) sin (tu) + tu cos (tu) 0−t2 sin (tu) t2 cos (tu) 1

∣∣∣∣∣∣=(sin (tu) + tu cos (tu) ,− cos (tu) + tu sin (tu) , t2

)ndS =

(sin (tu) + tu cos (tu) ,− cos (tu) + tu sin (tu) , t2

)dtdu

Effettivamente la terza componente è positiva (normale orientata verso l’alto).

F (r (t, u)) =(tu sin (tu) ,−tu cos (tu) , t2

).

Φ (F ,Σ) =

∫ ∫Σ

F · ndS

F · ndS =(tu sin (tu) ,−tu cos (tu) , t2

)·(sin (tu) + tu cos (tu) ,− cos (tu) + tu sin (tu) , t2

)dtdu

=(tu+ t4

)dtdu

Φ (F ,Σ) =

∫ 2

0

(∫ π

0

(tu+ t4

)du

)dt =

∫ 2

0

(tπ2

2+ πt4

)dt

= π

[t2

2

π

2+t5

5

]2

0

= π

(π +

32

5

).

18



Es. Punti

1 62 73 74 75 6Tot. 33

1. Sia Ω il dominio piano rappresentato in figura (il contorno è costituito da un arco dicirconferenza e due segmenti, passanti per i punti (−1, 0) , (0, 1) , (1, 0)).

Calcolare l’integrale doppio: ∫ ∫Ω

|x| ydxdy

riportando impostazione e passaggi.

Indicando con

Ω+ = (x, y) ∈ Ω : x ≥ 0 = (x, y) : x ∈ [0, 1] , y ∈ [0, 1− x]

Ω− = (x, y) ∈ Ω : x ≤ 0 = (in polari) =

(ρ, θ) : ρ ∈ [0, 1] , θ ∈[π

2, π]

si ha: ∫ ∫Ω

|x| ydxdy =

∫ ∫Ω+xydxdy −

∫ ∫Ω−xydxdy

=

∫ 1

0

(∫ 1−x

0

xydy

)dx−

∫ 1

0

(∫ π

π/2

ρ2 cos θ sin θdθ

)ρdρ

=

∫ 1

0

x(1− x)2

2dx−

∫ 1

0

ρ3dρ

[sin2 θ

2

]ππ/2

=1

2

∫ 1

0

(x3 − 2x2 + x

)dx− 1

4·(−1

2

)=

1

2

(1

4− 2

3+

1

2

)+

1

8=

1

24+

1

8=

1

6.

19

2. Sia Ω il solido non omogeneo (semisfera) espresso analiticamente da:

Ω =

(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ R2, z ≥ 0

e avente densità

δ (x, y, z) =(R− z)

R4µ

dove µ,R sono costanti positive aventi le dimensioni di una massa e di una lunghezza,rispettivamente. Calcolare la massa totale e il baricentro del solido. Riportare con cural’impostazione e i passaggi, sfruttare le simmetrie.

Utilizziamo le coordinate sferiche:x = ρ sinφ cos θy = ρ sinφ sin θz = ρ cosφ

φ ∈[0,π

2

]; θ ∈ [0, 2π] ; ρ ≤ R, dxdydz = ρ2 sinφdρdφdθ.

Si ha:

m =

∫ ∫ ∫Ω

δ (x, y, z) dxdydz

=

∫ 2π

0

(∫ π/2

0

(∫ R

0

(R− ρ cosφ)

R4µρ2dρ

)sinφdφ

)dθ

=2πµ

R4

∫ π/2

0

(∫ R

0

(R− ρ cosφ) ρ2dρ

)sinφdφ

=2πµ

R4

∫ π/2

0

(R4

3− R4

4cosφ

)sinφdφ

= 2πµ

[−1

3cosφ+

1

8cos2 φ

]π/20

= 2πµ

(1

3− 1

8

)=

5

12πµ.

Per simmetria il baricentro ha coordinate xc = yc = 0, mentre

zc =1

m

∫ ∫ ∫Ω

zδ (x, y, z) dxdydz

=12

5πµ

∫ 2π

0

(∫ π/2

0

(∫ R

0

(R− ρ cosφ)

R4ρ cosφµρ2dρ

)sinφdφ

)dθ

=12

5π

2π

R4

(∫ π/2

0

(∫ R

0

(R− ρ cosφ) ρ3dρ

)cosφ sinφdφ

)

=24

5R4

∫ π/2

0

(R5

4− R5

5cosφ

)cosφ sinφdφ

=24

5R

[1

8sin2 φ+

1

15cos3 φ

]π/20

=24

5R

(1

8− 1

15

)=

21

75R.

3. Si calcoli il lavoro del campo vettoriale

F (x, y, z) = (z,−y, x)

20

lungo l’arco di curvaγ : r (t) =

(e−t, te−t, t2e−t

)per t ∈ [0, 1] .

Riportare impostazione e calcoli.

L =

∫γ

F · dr =

∫ 1

0

F (r (t)) · r′ (t) dt

F (r (t)) =(t2e−t,−te−t, e−t

)= e−t

(t2,−t, 1

)r′ (t) =

(−e−t, e−t (−t+ 1) , e−t

(−t2 + 2t

))= e−t

(−1,−t+ 1,−t2 + 2t

)F (r (t)) · r′ (t) = e−t

(t2,−t, 1

)· e−t

(−1,−t+ 1,−t2 + 2t

)= e−2t

(−t2 + t2 − t− t2 + 2t

)= e−2t

(t− t2

).

L =

∫γ

F · dr =

∫ 1

0

e−2t(t− t2

)dt

=

[−1

2e−2t

(t− t2

)]1

0

−∫ 1

0

−1

2e−2t (1− 2t) dt

=1

2

[−1

2e−2t

]1

0

−∫ 1

0

te−2tdt

=1

4

(1− e−2

)−[−e−2t

2t

]1

0

−∫ 1

0

−e−2t

2dt

=1

4

(1− e−2

)+e−2

2+

[e−2t

4

]1

0

=1

4

(1− e−2

)+e−2

2+e−2 − 1

4=

1

2e−2.

4. Sia Σ la superficie torica generata dalla rotazione attorno all’asse z della curva γ che nelpiano xz ha equazioni parametriche

x = 4 + 3 cosφz = 3 sinφ

φ ∈ [0, 2π] .

a. Scrivere le equazioni parametriche di Σ e l’elemento d’area di Σ. (Utilizzare la formulastudiata a questo riguardo per le superfici di rotazione).b. Detta Σ+ la porzione di Σ compresa nel semispazio y ≥ 0, calcolare l’area e determinareil centroide di Σ+. (Sfruttare le simmetrie). Riportare impostazione e passaggi.

a. La superficie Σ ha equazioni parametriche:x = (4 + 3 cosφ) cos θy = (4 + 3 cosφ) sin θz = 3 sinφ

φ ∈ [0, 2π] , θ ∈ [0, 2π] .

21

Inoltre, detti a (φ) = R + r cosφ, b (φ) = r sinφ si ha:

dS = |a (φ)|√a′ (φ)2 + b′ (φ)2dφdθ

dS = (4 + 3 cosφ) 3dφdθ.

b. La superficie Σ+ è il sottoinsieme di Σ individuato dalle condizioni

φ ∈ [0, 2π] , θ ∈ [0, π] .

L’area di Σ+ è ∣∣Σ+∣∣ =

∫ ∫Σ+dS =

∫ π

0

(∫ 2π

0

(4 + 3 cosφ) 3dφ

)dθ

= 3π

∫ 2π

0

(4 + 3 cosφ) dφ = 8π · 3π = 24π2.

Il centroide di Σ+ per simmetria ha xC = zC = 0 mentre

yC =1

|Σ+|

∫ ∫Σ+ydS =

1

24π2

∫ π

0

(∫ 2π

0

(4 + 3 cosφ)2 3dφ

)sin θdθ

=1

8π2

(∫ π

0

sin θdθ

)(∫ 2π

0

(16 + 24 cosφ+ 9 cos2 φ

)dφ

)=

1

8π2· 2 · (32π + 0 + 9π) =

41

4π.

quindi

C =

(0,

41

4π, 0

)5. Si consideri la curva piana γ di equazioni parametriche

r (t) = (3 cos t+ cos (2t) , 3 sin t− sin (2t)) per t ∈ [0, 2π] .

Dopo aver verificato analiticamente che si tratta di un arco di curva regolare e chiuso,utilizzando le formule di Gauss-Green calcolare l’area della regione piana contornata da γ.

22

Si ha r(0) = r (2π) = (4, 0) perciò la curva è chiusa, inoltre è C1 e

r′ (t) = (−3 sin t− 2 sin (2t) , 3 cos t− 2 cos (2t))

|r′ (t)|2 = 9 + 4− 12 (cos 2t cos t− sin 2t sin t)

= 13− 12 cos 3t ≥ 13− 12 = 1,

dunque |r′ (t)| 6= 0 per ogni t, e la curva è regolare.Detta Ω la regione di contorno γ, per le formule di Gauss-Green si ha:

|Ω| = 1

2

∫γ

(xdy − ydx)

=1

2

∫ 2π

0

(3 cos t+ cos (2t)) (3 cos t− 2 cos (2t))− (3 sin t− sin (2t)) (−3 sin t− 2 sin (2t)) dt

=1

2

∫ 2π

0

9− 2− 3 cos 2t cos t+ 3 sin 2t sin t dt

=1

2

∫ 2π

0

7− 3 cos 3t dt =1

22π7 = 7π.

23



Es. Punti

1 72 63 64 75 7Tot. 33

1. Sia Ω una lamina materiale rappresentata nel piano xy, in coordinate polari, da:

Ω = (ρ, θ) : R ≤ ρ ≤ 2R, 0 ≤ θ ≤ π

avente densità superficiale espressa, in coordinate polari, da

δ (ρ, θ) =µ

R3ρ sin2 θ,

doveR, µ sono costanti positive aventi le dimensioni di una lunghezza e una massa, rispettiva-mente. Calcolare la massa totale e le coordinate del baricentro di Ω. Riportare impostazionee passaggi, e sfruttare le simmetrie.

m =

∫ ∫Ω

δdxdy = (in coord. polari)

=

∫ 2R

R

(∫ π

0

µ

R3ρ sin2 θdθ

)ρdρ =

µ

R3

(∫ 2R

R

ρ2dρ

)(∫ π

0

sin2 θdθ

)=

µ

R3

(7

3R3

)(π2

)=

7

6πµ.

xc =1

m

∫ ∫Ω

xδdxdy =1

m

∫ 2R

R

(∫ π

0

µ

R3ρ cos θρ sin2 θdθ

)ρdρ

=1

m

µ

R3

(∫ 2R

R

ρ3dρ

)(∫ π

0

cos θ sin2 θdθ

)= 0

(l’integrale in dθ si annulla per simmetria).

yc =1

m

∫ ∫Ω

yδdxdy =1

m

∫ 2R

R

(∫ π

0

µ

R3ρ sin θρ sin2 θdθ

)ρdρ

=6

7πµ

µ

R3

(∫ 2R

R

ρ3dρ

)(∫ π

0

sin3 θdθ

)=

6

7πR3

[ρ4

4

]2R

R

(∫ π

0

sin θ(1− cos2 θ

)dθ

)=

3

14πR315R4

[− cos θ +

cos3 θ

3

]π0

=3

14π15R

4

3=

30

7πR.

24

Il baricentro è:

C ≡(

0,30

7πR

)2. Si consideri il solido Ω a forma di cono (pieno) di vertice l’origine, altezza h, raggio R,asse sull’asse z, avente densità volumica

δ (x, y, z) =(h− z)

h2R2µ

dove µ è una costante positiva avente le dimensioni di una massa. Calcolare la massa totalee il momento d’inerzia del solido rispetto all’asse z. Riportare con cura l’impostazione e ipassaggi, in particolare scrivere per prima cosa la rappresentazione analitica di Ω.

Ω =

(x, y, z) : z ∈ [0, h] , x2 + y2 ≤

(Rz

h

)2.

m =

∫ ∫ ∫Ω

δ (x, y, z) dxdydz

=

∫ h

0

(h− z)

h2R2µ

(∫ ∫x2+y2≤(R z

h)2dxdy

)dz

(vedendo l’integrale interno come l’area di un cerchio)

=µ

h2R2

∫ h

0

(h− z) π(Rz

h

)2

dz =πµ

h4

∫ h

0

(h− z) z2dz

=πµ

h4

[hz3

3− z4

4

]h0

=πµ

h4

h4

12=

π

12µ.

I =

∫ ∫ ∫Ω

δ (x, y, z)(x2 + y2

)dxdydz

=

∫ h

0

(h− z)

h2R2µ

(∫ ∫x2+y2≤(R z

h)2

(x2 + y2

)dxdy

)dz

(calcolando l’integrale interno in polari)

=µ

h2R2

∫ h

0

(h− z)

(2π

∫ R zh

0

ρ3dρ

)dz

=2πµ

h2R2

∫ h

0

(h− z)1

4

(Rz

h

)4

dz =πµR2

2h6

∫ h

0

(h− z) z4dz

=πµR2

2h6

[hz5

5− z6

6

]h0

=πµR2

2h6

h6

30=

π

60µR2.

3. Si calcoli il lavoro del campo vettoriale piano

F = (−y, x)

25

lungo l’arco di curva γ di equazione polare

ρ = R√θ per θ ∈ [0, 4π] ,

dove R è una costante positiva. Riportare l’impostazione e i calcoli.

La curva ha equazioni cartesiane:

γ :

x = R

√θ cos θ

y = R√θ sin θ

per θ ∈ [0, 4π] ,

per cui si ha: x′ (θ) = R(

12√θ

cos θ −√θ sin θ

)y′ (θ) = R

(1

2√θ

sin θ +√θ cos θ

)F (x (θ) , y (θ)) =

(−R√θ sin θ, R

√θ cos θ

)quindi il lavoro è

L =

∫γ

F · dr

=

∫ 4π

0

−R√θ sin θ ·R

(1

2√θ

cos θ −√θ sin θ

)+R√θ cos θ ·R

(1

2√θ

sin θ +√θ cos θ

)dθ

= R2

∫ 4π

0

θdθ = R2 (4π)2

2= 8π2R2.


z = Ch√x2 + y2 per x2 + y2 ≤ 1.

Dopo aver scritto esplicitamente l’elemento d’area di Σ, calcolare l’area di Σ e il suo centroide,sfruttando le simmetrie. Riportare impostazione e passaggi.

f (x, y) = Ch√x2 + y2

∇f (x, y) = Sh√x2 + y2

(x, y)√x2 + y2

|∇f (x, y)|2 = Sh2√x2 + y2

dS =

√1 + Sh2

√x2 + y2dxdy = Ch

√x2 + y2dxdy

|Σ| =∫ ∫

Σ

dS =

∫ ∫x2+y2≤1

Ch√x2 + y2dxdy

passando in coordinate polari

= 2π

∫ 1

0

ρCh ρdρ = 2π

[ρ Sh ρ]10 −

∫ 1

0

Sh ρdρ

= 2π

Sh 1− [Ch ρ]10

= 2π Sh 1− Ch 1 + 1 .

26

Per simmetria, xC = yC = 0 mentre

zC =1

|Σ|

∫ ∫Σ

zdS =1

|Σ|

∫ ∫x2+y2≤1

Ch2√x2 + y2dxdy

=1

2π Sh 1− Ch 1 + 12π

∫ 1

0

ρCh2 ρdρ

=1

Sh 1− Ch 1 + 1

[ρ

Ch ρ Sh ρ+ ρ

2

]1

0

−∫ 1

0

(Ch ρ Sh ρ+ ρ

2

)dρ

=1

Sh 1− Ch 1 + 1

Ch 1 Sh 1 + 1

2− 1

2

[Ch2 ρ+ ρ2

2

]1

0

=1

2 (Sh 1− Ch 1 + 1)

Ch 1 Sh 1 + 1− Ch2 1

2

.

5. Si consideri la funzione 2π-periodica definita in [−π, π] da

f (x) = x |x| .

a. In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cientidi Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale dellaserie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodo e dellesimmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier escrivere la serie di Fourier.Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo deicoeffi cienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggiessenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata.

a. La funzione periodizzata è discontinua su R e regolare a tratti. Perciò la serie di Fourier dif converge puntualmente a f in (−π, π), mentre agli estremi±1 converge a

f(π−)+f(−π+)2

= 0.I coeffi cienti di Fourier saranno solo o (1).b. La funzione è dispari, perciò ak = 0 per ogni k. Per calcolare i bk, poiché T = 2π, ω = 1,

bk =2

T

∫ T/2

−T/2f (x) sin (kωx) dx =

4

T

∫ T/2

0

f (x) sin (kx) dx =2

π

∫ π

0

f (x) sin (kx) dx

=2

π

∫ π

0

x2 sin (kx) dx.

Ora, integrando per parti:∫ π

0

x2 sin (kx) dx =

[−x2 cos (kx)

k

]π0

+

∫ π

0

2xcos (kx)

kdx

= −π2 cos (kπ)

k+

2

k

∫ π

0

x cos (kx) dx

27

= −π2 cos (kπ)

k+

2

k

[x

sin (kx)

k

]π0

−∫ π

0

sin (kx)

kdx

= −π

2 cos (kπ)

k− 2

k2

∫ π

0

sin (kx) dx

= −π2 cos (kπ)

k− 2

k2

[−cos (kx)

k

]π0

= −π2 cos (kπ)

k− 2

k3[1− cos (kπ)]

bk =2

π

−π

2 cos (kπ)

k− 2

k3[1− cos (kπ)]

= −2

π cos (kπ)

k+

2

πk3[1− cos (kπ)]

e la serie di Fourier di f è

f (x) =

∞∑k=1

bk sin (kx) = −2∞∑k=1

π cos (kπ)

k+

2

πk3[1− cos (kπ)]

sin (kx) .

Grafico di f (x) insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 5:

28

Seconda prova in itinere di Analisi Matematica 2bramanti/corsi/temidesame_analisi2/...Seconda prova...

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