Presentazione di PowerPoint - ladispe.polito.it · (regola della mano destra) k. AA 2006/07 Basilio...

Basilio Bona – DAUIN – Politecnico di TorinoAA 2006/07 001/1

RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Cinematica

La cinematica riguarda lo studio delle 4 funzioni che legano le variabili “giunto” alle variabili “cartesiane”

– Cinematica diretta di posizione– Cinematica inversa di posizione– Cinematica diretta di velocità– Cinematica inversa di velocità

Variabili giunto: cosa sono?Posizione e velocità di cosa?Di solito del riferimento solidale con la punta operativa = velocità lineare dell’origine & velocitàangolare del “corpo rigido” associato al riferimento


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Il robot come sistema multi-corpo

BASE

PINZA PR

0R?

Ogni corpo rigido è caratterizzato da 6 parametri,cioè dal sistema di riferimento solidale ad esso

Quando si parla di cinematica della punta operativa si fa riferimento a rispetto a PR 0R


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Convenzione per definire i riferimenti

Su ogni braccio del robot si fissa un riferimento, utilizzando una convenzione, detta di Denavith-Hartenberg (DH)

Questa convenzione fornisce, per ogni riferimento, un numero di gradi di libertà rispetto al riferimento precedente, caratterizzato da soli 4 parametri, invece che i soliti 6.

I giunti possono essere rotoidali o prismatici; la convenzione funziona sempre

Dei 4 parametri, 2 sono associati a una traslazione, 2 a una rotazione

3 di questi 4 parametri dipendono esclusivamente dalla geometria del robot e sono quindi fissi nel tempo

Uno dipende dal moto relativo dei corpi ed è quindi una funzione del tempo: esso si indica con ( )iq t

variabile giunto


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Convenzioni di Denavit-Hartenberg (DH-1)

Abbiamo un sistema multicorpo con n corpi rigidi collegatiIl braccio può essere fatto come si vuole, non necessariamente simmetricoIl braccio è collegato a due giunti, uno a monte (verso la base) uno a valle (verso la punta)

Supponiamo di avere un braccio complesso e vogliamo fissare su di esso un sistema di riferimento

giunto a monte

giunto a valle

braccio


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Giunto 3

Giunto 1

Giunto 2

Giunto 4

Braccio 1

Braccio 2

Braccio 3Giunto 5

Giunto 6

Spalla

Polso

Un po’ di nomenclatura

Braccio 0 = base

ib = braccioig = giunto



RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

asse di movimento

asse di movimento

asse di movimento

Parliamo di asse di movimentoper includere sia le rotazioni sia le traslazioni

Si ha la sequenza

0 1 1 2 2 3 Nb g b g b g b− − − − − −

la base la punta



RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


• L’origine del riferimento del braccio in esame si trova sempre sull’asse del giunto a valle (strano, ma vero)

• Origine sta nell’intersezione del segmento a minima distanza tra i due assi

• Il versore k è allineato al’asse del giunto a valle, mentre il suo verso indica il senso positivo del moto (regola della mano destra)

k


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

asse di movimento

asse di movimento

asse di movimento

il riferimento braccio i-1 è dato



RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

asse di movimento

asse di movimento

asse di movimento

sulla normale comune troviamoil segmento a minima distanza



RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

asse di movimento

asse di movimento

asse di movimento

Eseguiamo “idealmente” una prima traslazioneche porta il riferimento al piede della normale comune



RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

asse di movimento

asse di movimento

asse di movimento

Eseguiamo quindi una rotazione, che allinea il versore i lungo il segmento a minima distanza



RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

asse di movimento

asse di movimento

asse di movimento

Eseguiamo ora una seconda traslazione,che porta l’origine nell’altro punto della normale comune



RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

asse di movimento

asse di movimento

asse di movimento

E concludiamo effettuando la rotazioneche allinea il versore k con l’asse di movimento



RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Regole DH - 1


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Regole DH - 2


RO

BO

TIC

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01

CFI

DV

02

CFI

CY

Regole DH - 3


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Eccezioni: Base e punta

Sistema di riferimento base

versore k0 allineato con l’asse di movimento

Sistema di riferimento tool

versore in normale al versore asse kn-1


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Giunto prismatico Giunto rotoidale

, ,i i iaθ α

( )id t

, ,i i id a α

( )i tθ

definiscono la roto-traslazione

1i−R iR

dipendono dal tipo di giunto

ig

Parametri DH: sono 4 per ogni frame

variabili giunto

parametri geometrici“calibrazione”


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY ( , )

1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

R tT T R t

0 T

1 , ,( , ) ( , ) ( , ) ( , )ii k iθ α− =T T I d T R 0 T I a T R 0

1

cos cos sin sin sin cos

sin cos cos sin cos sin

0 sin cos

0 0 0 1

i i i i i i i

i i i i i i iii

i i i

a

a

d

θ α θ α θ θ

θ α θ α θ θ

α α−

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

T

Matrice omogenea di roto-traslazione di DH


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Questa colonna è immobile

Esempio: il robot PUMA - 1


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


0R

0k

1k

1R

2k

2R

3k

3R

0R

0k

1k

1R

2k

2R

3k

3R


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


Dall’alto

Dal fianco


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Cinematica - Procedura

1. Individuare bracci e giunti

2. Caratterizzarli con riferimenti e applicare convenzioni DH; definire i parametri geometrici; definire i parametri giunto

3. Calcolare la trasformazione omogenea base-punta

4. Estrarre da essa la cinematica diretta posizione

5. Cinematica inversa posizione; è più complicato

6. Cinematica diretta velocità: approccio analitico o geometrico

7. Cinematica inversa velocità: problema delle singolarità cinematiche


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Individuare bracci e giunti


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Applicare riferimenti e convenzioni DH

BASE

PINZA

PR

0R 0PT

T

0 00 ( ) ( )( )

1P P

Pq qq

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠R tT0

1( )q t

2( )q t

3( )q t

4( )q t

5( )q t

6( )q t


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Variabili giunto e cartesiane

1

2

3

4

5

6

( )( )( )

( ) ( )( )( )

q tq tq t

t q tq tq t

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

q

Variabili giunto

Cinematica diretta

( )( ) ( )t t=p f q

Variabili cartesiane

1

2

3

1

2

3

( )( )( )

( ) ( )( )( )

x tx tx t

t ttt

ααα

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

p

Cinematica inversa

( )1( ) ( )t t−=q f p

posizione

assetto


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

posizione

Funzione cinematica diretta posizione - 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0 1 2 3 4 5 61 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1

P PP Pq q q q q q

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

R tT T T T T T T T 0 T

Funzione cinematica diretta di posizione e assettoCaso robot non ridondante 6 gdm

( )

( )

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ( ))( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

q t p tq t p t

tq t p tt tq t p t

tq t p tq t p t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟= ⇒ = =⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x qq p q

qα

assetto

assetto posizione( )0 0 ( )P P t=R R q ( )0 0 ( )P P t=t t q


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

0 00

1P P

P

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

R tT 0 T


Cinematica diretta di posizionecartesiana: facile

11 02 2

3 3

P

txx tx t

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜≡ ⇔ ≡⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠x t

Cinematica diretta di assettoabbastanza facile


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


( ) ( )( ) ( )t t⇒R q qα

occorre definire la rappresentazioneangolare che vogliamo utilizzare

( )( )tqα

angoli di euleroangoli RPYasse-angoloquaternionicoseni direttori=matrici di rotazioneparametri di eulero


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Necessarie per il controllo a partire dall spazio cartesiano: vogliamo un target in cartesiano, ma il controllo è sui motori

Funzione cinematica inversa posizione - 1

( )

( )

1

2

3

4

5

6

( )( )

( ) ( )( ( )) ( ) ( )

( ) ( )( )

q tq t

t q tt t q t

t q tq t

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟= ⇒ = ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

x qp q q

qα

1( )q t

2( )q t

3( )q t

( )( )( )

( )

t

t

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

x q

qα


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Funzione cinematica inversa posizione - 2

1. Il problema si rivela complesso e senza una chiara ricetta per trovare la soluzione.

2. Se esiste un polso sferico allora siamo garantiti che la soluzione esiste, ma occorre trovarla ...

3. Le strade sono molteplici• Utilizzare la forza bruta o soluzioni trovate per altre

catene cinematiche simili • Utilizzare la cinematica inversa di velocità• Utilizzare programmi di calcolo simbolico (computer

algebra systems: Mathematica, Maple, Maxima, …, Lisp)

• Calcolare iterativamente approssimazioni numeriche all’equazione ( )

( )

( ){ }

1

1

1

( ) ( )

( ) ( ) 0

min ( ) ( )

t t

t t

t t

−

−

−

=

− =

−

q f p

q f p

q f p


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Funzione cinematica diretta velocità - 1

Funzione cinematica diretta di velocità lineare e angolareCaso robot non ridondante 6 gdm

( )

( )

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

( ) ( )( ) ( )

( ), ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ), ( )( ) ( )( ) ( )

q t p tq t p t

t tq t p tt tq t p t

t tq t p tq t p t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟= ⇒ = =⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x q qq p

q qα

( )

( )

( ), ( )

( ), ( )

t t

t t

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟ ⎟⎜⎟ ⎟⎜⎝ ⎠

v q q

q qω

velocità lineare

velocità angolare


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


Cosa dice l’analisi matematica?

( )

( )

( )( ( ))

( )

ttt

tt

t

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x qp q

qα

dd dd d

d

( ) ( )1

11

( ) ( ), , ( ), , ( )

( ) ( ) ( )

i i j n

i i ij n

j n

f t f q t q t q tt t

f f fq t q t q t

q q q

=

∂ ∂ ∂= + + + +

∂ ∂ ∂

q … …

… …

d d

d d


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY


( ) ( )

1

1

( )

( )( ) ( ) ( )

( )

i i iji fi

j n

n

q t

f f f q tf t t tt q q q

q t

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟= =⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜∂ ∂ ∂ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

q J q q… … Td

d

( ) ( )

1 1 1

11

1

1

( )

( )( ) ( ) ( )

( )

j n

i i ij

j n

nm m m

j n

f f f

q q qq t

f f fq tt t t

q q qtq t

f f f

q q q

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟= =⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎜ ⎟⎟⎜∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜⎝ ⎠

f q J q qd

d

JACOBIANO


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

( )

( )

( )

( )

( )( )

( ), ( ) ( ), ( ) ( )( ) ( )

( )( ), ( ) ( ), ( )

L

A

t t t t tt t

tt t t t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟≡ ≡ = ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x q q v q q J qp qJ q

q q q qα ω


( )( ) ( ) ( )t t t=p J q qQuindi

o anche JACOBIANO LINEARE

JACOBIANO ANGOLARE


RO

BO

TIC

A –

01

CFI

DV

02

CFI

CY

Funzione cinematica inversa velocità - 1

( )1( ) ( ) ( )t t t−=q J q p

solo se la matrice è quadrata (6 x 6)

la matrice è invertibile se ( )det ( ) 0t ≠J q

quando ( )det ( ) 0S t =J q

si dice che ho singolarità per ( )S tq

è una configurazione di singolarità( )S tq

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