Politiche Riassicurative-Laconvenienza

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZE

F A C O L T À D I E C O N O M I A

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE STATISTICHE ED ATTUARIALI

TESI DI LAUREA IN STATISTICA ASSICURATIVA

Politiche riassicurative: la convenienza ai diversi trattati di riassicurazione

Relatore: Chiar.mo Prof. Luigi Vannucci

Tesi di laurea di: Francesco Maggina

A.A. 2002/2003

INDICE

Capitolo 1 Introduzione e note storiche pag 1

Capitolo 2 Il mercato italiano della riassicurazione pag 5

2.1 Premessa pag 5

2.2 Imprese esercenti l’attività assicurativa in Italia pag 5

2.3 Composizione del mercato italiano della riassicurazione pag 6

2.4 Altri aspetti delle gestioni assicurative pag 13

Capitolo 3 Forme riassicurative pag 20

3.1 Premessa pag 20

3.2 Forme riassicurative proporzionali pag 24

3.3 Forme riassicurative non proporzionali pag 31

3.4 Forme riassicurative miste pag 39

3.5 Altri modelli esclusivi per ramo o per altre grandezze pag 42

3.6 Nuova tipologia riassicurativa pag 49

Capitolo 4 Analisi della convenienza alla riassicurazione pag 54

4.1 Elementi di teoria dell’utilità pag 54

4.2 Definizioni generali pag 57

4.3 Punto di vista dell’assicurato pag 58

4.4 Punto di vista dell’assicuratore pag 60

4.5 Punto di vista del riassicuratore pag 63

4.6 Convenienza ai contratti di assicurazione e riassicurazione pag 64

4.7 Convenienza ai trattati di riassicurazione pag 71

Capitolo 5 Politiche ottimali di riassicurazione pag 74

5.1 Premessa pag 74

5.2 Politiche ottimali di riassicurazione pag 75

5.3 Cessioni ottimali dei rischi pag 82

5.4 Accordi ottimi di contrattazione dei premi pag 87

5.5 Accordi ottimi in presenza di trattati di riassicurazione pag 93

Capitolo 6 Conclusione pag 98

Bibliografia pag 99

1

CAPITOLO 1

INTRODUZIONE E NOTE STORICHE

Qualsiasi soggetto (singolo individuo, associazione, impresa, ecc..),

presso il quale siano “localizzati” dei rischi, può trasferire (almeno

parzialmente) ad altri soggetti alcuni di questi rischi. Tale trasferimento in

genere avviene quando il complesso dei rischi supera un certo limite:

questa “capacità di conservazione” dei rischi dipende da vari fattori, tra i

quali uno dei più importanti è l’ammontare di mezzi finanziari che

possono essere utilizzati per coprire gli eventuali oneri derivanti

dall’acquisizione del rischio. Il trasferimento di rischi avviene mediante la

stipulazione di contratti di assicurazione e il soggetto destinatario dei

rischi trasferiti è dunque un assicuratore.

Anche un’impresa di assicurazioni si può trovare in queste condizioni,

ossia ritenere conveniente ridurre la propria esposizione aleatoria cedendo

una parte dei rischi assunti, quindi “riassicurandosi”. In questo caso

quest’impresa stipulerà con un’altra impresa assicuratrice, che agirà come

riassicuratore, un opportuno contratto di riassicurazione.

La riassicurazione è quindi il contratto con cui l'assicuratore (riassicurato)

trasferisce una parte del rischio o dei rischi assunti ad un altro assicuratore

(riassicuratore), ferma restando l'estraneità dell'assicurato. Insieme alla

coassicurazione, è uno degli strumenti tipici previsti dal codice civile per

la ripartizione del rischio tra più assicuratori.

Nel capitolo 2 verrà innanzitutto presentata una panoramica del mercato

riassicurativo italiano, con dati riferiti agli anni dal 1998 al 2002

riguardanti il tipo di imprese che esercitano l’attività assicurativa e

riassicurativa, la composizione e i movimenti del mercato italiano della

2

riassicurazione e i principali aspetti del bilancio di una gestione

assicurativa.

Nel capitolo 3 saranno descritti i tipi di trattati che regolano i rapporti tra

l’assicuratore e il riassicuratore, e successivamente le principali coperture

riassicurative, proporzionali, non proporzionali e miste, presenti nel

mercato italiano. Le più importanti tipologie di riassicurazione saranno

chiarite con grafici e commenti, e analizzate sulla base di confronti diretti

o di esempi numerici, per capire le implicazioni che ognuna di esse ha

sulla parte dei rischi che sono a carico dell’assicuratore e del

riassicuratore.

Uno dei punti di partenza della matematica attuariale è l’analisi dei motivi

che spingono due soggetti a stipulare un contratto di assicurazione.

Quest’analisi si basa sullo studio delle funzioni di utilità dell’assicurato e

dell’assicuratore, che si ipotizzano crescenti e concave; ragionando sulle

proprietà di tali funzioni si desume come sia proprio la concavità il

motivo della convenienza alla stipulazione del contratto assicurativo da

tutte e due le parti, in quanto l’avversità al rischio si lega alla concavità.

Nel capitolo 4 sarà effettuata un’analisi congiunta del contratto di

assicurazione e del contratto di riassicurazione, basata non sui valori medi

dei rischi che vengono ceduti, ma sulle valutazioni dei soggetti interessati.

L’operazione aleatoria oggetto del contratto assicurativo e di quello

riassicurativo, verrà quindi sempre valutata in termini di utilità perché

solamente in questo modo, con la valutazione di importi aleatori secondo

una scala alterata del valore monetario, è possibile tenere conto della

rischiosità di un’operazione aleatoria e giudicarne quindi la vantaggiosità

o meno.

Saranno quindi determinate le regioni di convenienza ai due contratti dei

vari soggetti coinvolti: l’assicuratore, la compagnia di assicurazione e il

riassicuratore.

3

Dopo aver identificato queste regioni, saranno presentati all’inizio del

capitolo 5, i principali criteri, trattati in letteratura, e i connessi risultati

per stabilire le politiche ottimali di riassicurazione, basati su politiche

unilaterali (punto di vista del solo assicuratore) o bilaterali (punto di vista

dell’assicuratore e del riassicuratore). Successivamente sarà descritto un

modello teorico, basato sulla minimizzazione della probabilità di rovina

per l’assicuratore e per il riassicuratore, per scegliere le cessioni ottimali

dei rischi, e un possibile metodo per trovare l’accordo sui premi, accordo

che deve risultare conveniente per tutti i contraenti, basato sulla

massimizzazione di una trasformazione delle utilità dei tre soggetti.

Note storiche

Nello stesso commercio marittimo in cui si trovano gli albori

dell’assicurazione, si trovano anche i primi tentativi di riassicurazione.

Infatti il primo contratto di riassicurazione di cui si ha notizia fu concluso

nel 1370 a Genova.

Durante il medioevo gli assicuratori lavoravano senza statistiche, tassi e

calcoli probabilistici, facendo assegnamento esclusivamente sulle loro

personali stime. Così, quando iniziarono a esserci delle perdite eccessive,

gli assicuratori si chiesero se avessero acquisito troppi rischi. Per

proteggersi contro tali situazioni, studiarono come trasferire parte dei

rischi presso altri assicuratori.

In aggiunta alla riassicurazione, che in quel periodo copriva solamente

singoli rischi (riassicurazione facoltativa), l’altro strumento utilizzato per

dividere i rischi era ed è tuttora la coassicurazione.

La nascita dei “Lloyd’s” di Londra, la compagnia di assicurazione più

famosa al mondo, è dovuta alla riassicurazione: fu nel 1764, quando una

legge in Inghilterra proibì la riassicurazione, che gli assicuratori si

riunirono per la prima volta in sindacati per poter coprire rischi superiori

4

ai loro mezzi finanziari individuali. La legge fece involontariamente

nascere i Lloyd’s.

Il processo di industrializzazione di quegli anni contribuì ad aumentare e

concentrare denaro; la conseguenza diretta fu l’esplosione della domanda

di riassicurazione delle compagnie di assicurazione. I trattati di

riassicurazione obbligatori, che servivano a coprire interi portafogli,

presero il posto delle forme facoltative su singoli rischi.

Un incendio catastrofico ad Amburgo nel 1842, con un ammontare di

danni pari a 18 milioni di marchi a carico della compagnia “Hamburg Fire

Fund” la cui riserva ammontava a 500 mila marchi, dette un immediato

impulso per la fondazione della “Cologne Reinsurance Company”, la

prima compagnia professionale di riassicurazione.

Conseguentemente a questo gravosissimo incidente, gli assicuratori

sentirono il bisogno di distribuire i propri portafogli di polizze tra più

soggetti, appunto perché le riserve normalmente accantonate dagli

assicuratori erano inadeguate per tali o più gravose catastrofi.

La fondazione di ulteriori compagnie professionali specializzate in

riassicurazione (Aachen Re nel 1853, Frankfurt Re nel 1857, Swiss Re nel

1863 e Munich Re nel 1880), fu di grande importanza per le operazioni

assicurative e quindi per lo sviluppo dell’industria. Ovviamente, queste

specializzazioni portarono alla nascita di nuove forme di riassicurazione e

all’utilizzo di meccanismi più complicati per soddisfare esigenze diverse.

Il ventesimo secolo è stato caratterizzato da un’ondata di nuove

compagnie di riassicurazione, fondate in numerosi paesi, e da un

incremento dell’attività riassicurativa delle compagnie già esistenti. Oggi,

Standard & Poor’s conta circa 135 riassicuratori professionali in tutto il

mondo, e 2000 compagnie di assicurazione miste.

5

CAPITOLO 2

IL MERCATO ITALIANO

2.1 PREMESSA

I dati che sono presentati in questo capitolo provengono prevalentemente

da pubblicazioni (on-line e cartacee) delle riviste in bibliografia e da dati

personalmente concessimi, nella persona del dottor Marco Marfoli

dell’ufficio statistiche e studi attuariali dell’ANIA (Associazione

Nazionale delle Imprese di Assicurazioni). Gli elementi che saranno presi

in considerazione del mercato italiano, saranno l’analisi del tipo di

imprese che esercitano l’attività assicurativa, la composizione e i

movimenti di tale mercato suddiviso per rami, e alcuni elementi del

bilancio di una gestione assicurativa.

2.2 IMPRESE ESERCENTI L’ATTIVITÀ ASSICURATIVA IN ITALIA

Nel mercato assicurativo italiano rientrano molte compagnie, italiane e

rappresentanze estere; la classificazione delle imprese al dicembre 2002,

secondo le pubblicazioni ANIA, è descritto come nella seguente tabella.

Tabella 2.1 imprese esercenti l’attività assicurativa in Italia

imprese italiane

società per

azioni

mutue e

cooperative

rappresentanze

estere

totale

solo vita 84 0 14 98

solo danni 88 2 36 126

imprese

di

assicurazione multiramo 18 2 1 21

riassicuratori professionali 3 0 6 9

6

Rispetto al totale, il numero dei riassicuratori professionali (imprese

esercenti la sola riassicurazione) è basso, solo 9. Ciò significa che sono

pochissime le compagnie che si spingono ad intraprendere la sola attività

riassicurativa, sia perché è un’attività generalmente più rischiosa di quella

assicurativa, sia perché necessita di alcune caratteristiche di cui non tutte

le compagnie dispongono. In dettaglio esse sono: una “fama” a livello

internazionale per poter acquisire parte dei rischi da tutto il mondo,

realizzando così portafogli più eterogenei e più equilibrati (se una

compagnia si occupasse di riassicurazione solo in una nazione, correrebbe

il grosso rischio che un solo catastrofico evento la faccia fallire, cosa che

non accadrebbe con una diffusione territoriale più ampia), e un capitale

molto elevato per far fronte a punte di sinistrosità effettiva non ordinaria.

2.3 COMPOSIZIONE DEL MERCATO ITALIANO DELLA RIASSICURAZIONE

I dati che l’ANIA mi ha gentilmente concesso di visionare riguardano

quattordici rami danni, con relativi premi di lavoro diretto e indiretto,

premi ceduti (a compagnie di riassicurazione) e retroceduti (dal

riassicuratore ad altri riassicuratori) e oneri relativi ai rischi assunti

(ceduti e retroceduti), in relazione ad un orizzonte temporale di 4 anni –

1998, 1999, 2000 e 2001 – gli unici anni per cui sono disponibili i dati

disaggregati per rami.

Gli oneri riguardano i sinistri dell’esercizio in corso e i sinistri degli

esercizi precedenti, liquidati tardivamente.

Nella tabella 2 sono riportati in dettaglio questi dati1, già inflazionati

secondo i tassi di inflazione ufficiali dell’ISTAT, per rendere

confrontabili i dati di anni diversi (l’anno di riferimento è così il 2001).

1 I dati sono in milioni di euro

7

Tabella 2.2: tassi d’inflazione

Anni 1998 1999 2000 2001

Tassi 1,8 1,6 2,6 2,7

Tabella 2.3: dati del mercato italiano per i rami danni

Ramo

j

Anno

t

Premi diretti e indiret-ti

jt P

Premi ceduti e retroc.

Rj

t P

Oneri relativi a sinistri ceduti, retroc.

jt X

R

R

j

P

P_

_

j

t

Rj

t

P

P ( )jXc R

jN ^

jb

1998 1986 663 621 0,33 1999 1979 598 491 0,30 2000 2025 574 544 0,28

Altri danni ai

beni 2001 2108 591 496 0,15 0,28 0,11 68 -0,01 1998 347 257 179 0,74 1999 244 181 249 0,74 2000 253 170 239 0,67

Corpi di veicoli

maritti-mi 2001 345 229 240 0,05 0,66 0,14 -17 0,08

1998 2210 702 330 0,32 1999 2056 606 372 0,29 2000 2091 605 661 0,29

Incen-dio, e-

lementi naturali 2001 2118 622 426 0,16 0,29 0,33 187 0,08

1998 371 160 123 0,43 1999 400 196 170 0,49 2000 428 173 131 0,40

Merci da traspor-

to 2001 359 174 118 0,05 0,48 0,17 40 -0,03 1998 2030 229 90 0,11 1999 2109 230 260 0,11 2000 2203 274 258 0,12 R.C.

generale 2001 2349 295 309 0,07 0,13 0,42 28 0,13 1998 238 55 23 0,23 1999 244 57 22 0,23 2000 261 60 21 0,23 Assi-

stenza 2001 267 58 18 0,02 0,22 0,10 36 -0,03

8

1998 2779 195 102 0,07 1999 2800 198 100 0,07 2000 2867 236 144 0,08

Corpi di veicoli

terrestri 2001 2947 242 134 0,06 0,08 0,18 98 0,01 1998 2604 383 220 0,15 1999 2559 321 203 0,13 2000 2622 319 210 0,12 Infor-

tuni 2001 2701 317 195 0,09 0,12 0,05 128 0,01 1998 149 26 25 0,17 1999 162 31 44 0,19 2000 175 34 137 0,19

Perdite pecu-niarie 2001 184 33 27 0,01 0,18 0,92 -27 0,16

1998 689 369 91 0,54 1999 599 313 96 0,52 2000 551 275 118 0,50 Cau-

zione 2001 581 290 165 0,08 0,50 0,29 194 0,08 1998 257 128 -22 0,50 1999 271 124 65 0,46 2000 325 136 76 0,42

Credito 2001 357 133 103 0,03 0,37 0,98 75 0,22 1998 1278 126 66 0,10 1999 1297 158 98 0,12 2000 1391 175 130 0,13

Malattia 2001 1454 186 139 0,04 0,13 0,31 53 0,06 1998 12643 581 621 0,05 1999 14016 658 812 0,05 2000 14891 781 917 0,05

R.C. auto-

veicoli terrestri 2001 15536 704 808 0,17 0,05 0,16

-108 0,01

1998 282 102 74 0,36 1999 285 110 83 0,39 2000 360 170 101 0,47 Altri

rami 2001 339 128 53 0,03 0,38 0,26 49 -0,08 1998 27863 3976 2542 0,14 1999 29018 3781 3065 0,13 2000 30441 3981 3686 0,13

Totale 2001 31644 4001 3231 1,00 0,13 0,15 804 0,05

9

Dove

4

2001

1998

__ ∑ == t

R

j

tR

jP

P media aritmetica dei premi ceduti per ramo j

4

2001

1998

__ ∑ == t

j

t

jP

P media aritmetica dei premi diretti e indiretti

Gli indici calcolati per ogni ramo sono:

R

R

j

P

P_

_

percentuale del ramo j sul totale dei premi di riassicurazione

jt

Rj

t

P

P percentuale di cessione nell’anno t per il ramo j

( ) ( )[ ]j

tt

jt

tj XE

XVarXc = coefficiente di variazione degli oneri per il ramo j

4

2001

1998

2001

1998 ∑∑ ==−

= t jt

tRj

t

j

XPN guadagno medio annuale per il ramo j

( )tVar

tP

XCov

bRj

tj

t

j

=

,^

stima del parametro jb per la regressione di Rj

t

jt

P

X da t

Considerazioni.

I tre rami “altri danni ai beni”, “incendio ed elementi naturali”, “R.C.

autoveicoli”, dei quattordici considerati, comprendono quasi il 50% del

volume totale dei premi ceduti (in riassicurazione).

Ma si può notare che la percentuale di cessione in riassicurazione è

all’incirca del 5% per il ramo R.C. autoveicoli, e del 30% per gli altri due

rami, quindi in questi rami il totale dei premi ceduti è maggiore per effetto

della grande quantità di premi diretti (di assicurazione).

10

Il ramo R.C. presenta un volume (medio sui quattro anni) dei premi ceduti

pari a 681 milioni di euro, in confronto a un volume dei premi diretti e

indiretti pari a più di 14 miliardi di euro; gli altri due rami presentano

ciascuno un volume dei premi ceduti di più di 600 milioni di euro, in

confronto a un volume dei premi diretti e indiretti pari a più di 2 miliardi

di euro.

Negli altri rami con un volume di premi diretti e indiretti pari a più di 2

miliardi di euro, la percentuale di cessione è più bassa, inferiore al 9%.

Tra tali rami, ne spiccano alcuni in cui è più alta la percentuale di premi

ceduti sul totale dei premi diretti, ossia i rami in cui si effettua di più la

riassicurazione; sono il ramo “corpo di veicoli terrestri” che presenta

un’aliquota di cessione pari al 70%, poi i rami “cauzione”, “credito” e

“merci trasportate” che presentano un’aliquota di cessione dal 43% al

51%.

In termini assoluti, si nota un continuo aumento del volume dei premi

(ceduti e retroceduti) per i rami “R.C. generale”, “corpi di veicoli

terrestri” e “malattia”, con un aumento percentuale totale nei quattro anni,

rispettivamente del 29%, 24% e del 48%. Si nota invece una continua

diminuzione del volume dei premi (ceduti e retroceduti) solo nel ramo

“infortuni” con una diminuzione percentuale nei quattro anni del 17%.

In percentuale al volume dei premi diretti e indiretti, le cose cambiano un

po’: c’è un continuo aumento della percentuale di cessione solo per il

ramo “malattia” e una continua diminuzione della percentuale di cessione

e retrocessione per i rami “altri danni ai beni”, “infortuni” e “credito”; in

questi ultimi tre rami si accentua quindi la propensione delle imprese a

conservare e gestire direttamente i rischi assunti.

11

Per quanto riguarda gli oneri relativi ai sinistri ceduti, si può notare che i

rami con i valori più grandi sono gli stessi tre rami che avevano maggior

volume di premi, come c’era da aspettarsi.

Analizzando il coefficiente di variazione tra i vari anni, per ogni ramo, si

può notare che i rami più variabili sono il ramo credito e il ramo perdite

pecuniarie con coefficiente quasi unitario; poi di seguito tutti gli altri rami

con coefficiente di variazione minore di 0,41.

Effettuando il test di correlazione tra le variabili anno e rapporto oneri –

premi, con livello di significatività pari a 0,1, si ottiene che c’è una

marcata correlazione negativa per il ramo “assistenza” e per il ramo “altri

rami”, quindi una significativa decrescenza dei risarcimenti, mentre vi è

una marcata correlazione positiva (e quindi un significativo aumento dei

risarcimenti in proporzione ai premi) per i rami “cauzione”, “credito” e

“malattia”. Per i restanti rami non c’è una significativa correlazione tra le

due variabili considerate.

Per il ramo R.C. autoveicoli, c’è stata una passività (oneri maggiori dei

premi) per ognuno dei quattro anni considerati, con una perdita media

all’anno di 108 milioni di euro.

Per il ramo “corpi di veicoli marittimi” c’è stata passività per tre anni, con

una perdita media all’anno di 17 milioni di euro.

Per il ramo “perdite pecuniarie” c’è stata passività per due anni, con una

perdita media all’anno di 27 milioni di euro. È anche il ramo in cui è stata

registrata la più alta perdita, in percentuale al livello di premi introitati;

infatti gli oneri nell’anno 2000 sono stati di 133 milioni di euro, a fronte

di un introito di premi di circa 33 milioni (dati non inflazionati).

Tutti gli altri rami, compresi i rami “R.C. generale” e “incendio ed

elementi naturali”, che hanno registrato rispettivamente due e un anno di

passività, hanno sempre segnato un “attivo” medio per anno. Ciò significa

che, per questi rami, le perdite (relative alla semplice differenza tra premi

12

introitati e oneri sborsati) sono sempre state abbondantemente compensate

dai premi introitati.

Si riportano a titolo informativo, per gli anni dal 1999 al 2002, gli stessi

dati, per il ramo vita. Per questo ramo si deve ricordare però che, essendo

perlopiù coperture su contratti pluriennali, non ha senso effettuare un

confronto diretto tra i premi ceduti e oneri dello stesso anno. Infatti,

essendo i dati relativi ai pagamenti effettuati nell’esercizio in corso,

spesso accade che gli oneri sono i risarcimenti per coperture i cui premi

sono stati pagati diversi anni prima; e allo stesso modo, i premi sono per

coperture che potrebbero portare risarcimenti con molti anni di

differimento.

Poiché nel mercato riassicurativo italiano intervengono compagnie estere

e italiane, ed essendo le compagnie italiane soggette al diretto controllo

dell’ANIA, i dati relativi al lavoro prettamente italiano (di imprese aventi

la sede legale in Italia) sono più precisi e dettagliati, rispetto ai dati delle

rappresentanze di imprese estere.

Sotto, nella tabella 2.4, riguardante i dati del mercato italiano per il ramo

vita, si riportano, per gli stessi anni, gli stessi dati per il ramo danni.

Tabella 2.4: dati del mercato italiano per il ramo vita

Lavoro complessivo Lavoro italiano

Anno t

Premi diretti

Premi indiretti

Risarci-menti diretti e indiretti

Premi diretti

Premi indiretti

Risarci-menti diretti

Risarci-menti indiretti

1999 35617 1564 9514 35597 1365 8727 496 2000 39805 2013 14329 39784 1537 13314 655 2001 46352 2131 16774 46329 1622 15744 607 2002 55325 2068 22682 55298 1593 21539 728

13

Tabella 2.5: dati del mercato italiano per il ramo danni

Lavoro complessivo Lavoro italiano

Anno t

Premi diretti

Premi indiretti

Risarci-menti diretti e indiretti

Premi diretti

Premi indiretti

Risarci-menti diretti

Risarci-menti indiretti

1999 26419 3113 21532 26246 1591 19078 991 2000 28013 3388 22619 27875 1795 19839 1085 2001 30005 3330 24073 29926 1719 21344 1165 2002 32485 3505 23815 32417 1912 21284 1234

Per quanto riguarda le modalità riassicurative che vengono correntemente

utilizzate nel mercato italiano, si ha:

- la modalità “in quota”, impiegata spesso nelle assicurazioni credito,

cauzioni, incendio e responsabilità civile auto

- la modalità “per eccedente di somma”, largamente impiegata nelle

assicurazioni incendio, infortuni e trasporti.

- la modalità “per risk excess of loss” frequentemente impiegata nelle

assicurazioni di responsabilità civile

- la modalità “aggregate excess of loss” diffusamente impiegata nelle

assicurazioni grandine

- la modalità “stop loss” spesso utilizzata nelle assicurazioni contro le

catastrofi (in particolare contro le tempeste) e sulla salute

2.4 ALTRI ASPETTI DELLE GESTIONI ASSICURATIVE

I premi introitati e gli oneri sborsati non sono le uniche voci interessanti

di una gestione assicurativa. Altre voci importanti sono le spese di

gestione e le riserve tecniche.

Per il ramo danni, le riserve tecniche sono dei fondi non liberi, che

servono per coprire gli impegni derivanti dalla gestione tecnica (i

risarcimenti); sono principalmente la riserva premi, per rischi in corso e

14

per danni non ancora denunciati, e la riserva sinistri, per rischi non

liquidati, non pagati o non denunciati. Per il ramo vita, le riserve

matematiche al tempo t sono la differenza tra il valore attuariale in t delle

prestazioni eventuali e future dell’assicuratore e il valore attuariale dei

premi ancora da introitare. In entrambi i casi, le riserve rappresentano il

debito che l’assicuratore ha nei confronti degli assicurati, e sono quindi

l’indicatore principale degli impegni futuri dell’assicuratore. Ovviamente,

a fronte di tale debito vi è l’accantonamento dei premi già incassati.

Quanto appena detto vale sia per il lavoro diretto (acquisizione dei

contratti di assicurazione direttamente sul mercato), sia per il lavoro

indiretto (premi ceduti in riassicurazione); le riserve nel caso di lavoro

indiretto rappresentano quindi il debito che il riassicuratore ha nei

confronti degli assicuratori che gli hanno ceduto dei rischi, a fronte del

pagamento dei premi di riassicurazione.

Le riserve da lavoro diretto e indiretto, per gli anni dal 1999 al 2002, sono

riportate nella tabella 2.6, con la seguente simbologia:

tV riserva matematica, per il ramo vita

PtV riserva premi, per il totale dei rami danni

StV riserva sinistri, per il totale dei rami danni

Tabella 2.6: Riserve matematiche (vita) e tecniche (danni)

Lavoro diretto italiano ed estero

Lavoro italiano Lavoro diretto Lavoro indiretto

Anno t tV P

tV StV tV P

tV StV tV P

tV StV

1999 150515 11434 39618 140592 10344 34411 6536 523 2600 2000 180708 11904 43765 167362 10871 38074 7784 547 3058 2001 210944 12785 46527 196375 11652 40467 8631 593 3328 2002 242983 13613 49135 227280 12447 43311 9151 488 2602

È facile e ovvio intuire come le riserve, per il ramo vita e per il ramo

danni, per il lavoro diretto e indiretto, siano crescenti con i premi

15

incassati; infatti, se il volume dei premi aumenta, significa che sono

stipulate più coperture o che le coperture sono più onerose, e allora è

ovvio che aumenti il debito di chi acquisisce i rischi, quindi le riserve.

La particolare osservazione che si può fare riguarda i rapporti tra i premi e

le rispettive riserve. Non sono molto rilevanti le fluttuazioni di questi

rapporti, ma è interessante vedere la differenza tra questi rapporti a

seconda del ramo (vita e danni) e per il lavoro diretto e indiretto; si ha

Per il ramo vita: per il lavoro diretto il rapporto si attesta attorno al

24% (da un minimo del 23,6% del 2001 ad un

massimo del 25,3% del 1999);

per il lavoro indiretto il rapporto si attesta attorno al


massimo del 20,9% del 1999)

Per il ramo danni: per il lavoro diretto il rapporto si attesta attorno al


massimo del 58,6% del 1999);

per il lavoro indiretto il rapporto si attesta attorno al


massimo del 61,9% del 2002)

A parte la grande variabilità del rapporto premi – riserve che si riscontra

per il lavoro indiretto nel ramo danni, è evidentissima la differenza dei

rapporti a seconda del ramo: nel ramo vita i premi sono “solo” il 24%

delle riserve, mentre nel ramo danni i premi sono più della metà delle

riserve.

Per entrambi i rami si riscontra una diminuzione di questo rapporto,

passando dal lavoro diretto al lavoro indiretto; ciò significa che, per

quanto riguarda il lavoro indiretto, i premi sono più bassi in rapporto alle

riserve; ciò si spiega con il fatto che i riassicuratori sono generalmente

meno avversi al rischio degli assicuratori, per cui i caricamenti inseriti nei

16

premi di riassicurazione sono proporzionalmente inferiori ai caricamenti

inseriti nei premi di assicurazione.

L’altra voce importante per i bilanci delle imprese è costituita dalle spese

di gestione, riportate, per ramo e per lavoro diretto e indiretto, nella

seguente tabella.

Tabella 2.7: Spese di gestione

lavoro italiano lavoro complessivo diretto indiretto

Anno vita danni vita danni vita danni 1999 3422 7249 3026 6211 367 475 2000 3854 7542 3398 6471 412 518 2001 3752 7858 3323 6891 351 499 2002 3762 8322 3405 7328 312 564

Le spese di gestione rappresentano un altro aspetto fondamentale per il

bilancio di un’impresa. Infatti, anche per i rami in cui c’è stata una

differenza positiva tra i premi e gli oneri (vedi tabella 2.3 e relativi

commenti), questa differenza non rappresenta il guadagno dei

riassicuratori: dovendo tenere in conto le spese di gestione, il bilancio

complessivo dei riassicuratori può essere negativo anche a fronte di una

differenza positiva tra premi e oneri.

I bilanci per quanto riguarda il totale del lavoro diretto (al netto delle

cessioni in riassicurazione) e del lavoro indiretto solo per i riassicuratori

professionali sono riportati nelle seguenti tabelle.

17

Tabella 2.8: Conti economici per il mercato diretto italiano

CONTO TECNICO 1998 1999 2000 2001 Premi diretti e indiretti 61011 66965 75240 86197 Variazione riserve tecniche (-) 31919 27500 30047 32662 Utile investimenti 9941 7567 5435 3929 Oneri relativi ai sinistri (-) 29534 35583 38239 44332 Spese di gestione (-) 9167 9791 10208 10645 Altri proventi e oneri tecnici -420 -479 -117 -118 Risultato del conto tecnico vita e danni -88 1179 2064 2369 CONTO NON TECNICO 1998 1999 2000 2001 Altri proventi rami vita 593 876 436 726 Altri proventi rami danni 607 705 629 412 Saldo altri proventi altri oneri 168 -394 -1 -892 Risultato attività ordinaria 1281 2366 3127 2615 Risultato attività straordinaria 1397 1067 1204 2251 Imposte (-) 1195 1390 1454 1416 Risultato dell’Esercizio 1483 2043 2877 3450

Tabella 2.9: Conto economico per i riassicuratori professionali

Conto tecnico 1998 1999 2000 2001 Premi indiretti 1212 1135 1447 1356 Variazione riserve premi (-) 268 193 230 196 Utile investimenti 210 159 219 176 Oneri relativi ai sinistri (-) 914 760 1083 934 Spese di gestione (-) 367 339 425 404 Saldo altri proventi ed oneri -8 7 -11 -12 Risultato -135 9 -83 -14 Conto non tecnico 1998 1999 2000 2001 Proventi 49 33 32 21 Saldo altri proventi ed oneri 12 -34 -20 -22 Risultato attività ordinaria -75 8 -71 -15 Risultato attività straordinaria 2 -151 109 -1 Imposte (-) 6 9 3 0 Risultato dell'esercizio -79 -152 35 -16

18

Dalla tabella 2.9 si ricava che i premi indiretti del lavoro italiano ed estero

raccolti dai riassicuratori professionali sono aumentati di anno in anno

(eccetto nell’anno 1999), da 1212 milioni di euro del 1998 fino a 1356

milioni del 2001. La quota di mercato dei riassicuratori professionali sul

complesso del lavoro indiretto è cresciuta (eccetto l’ultimo anno) dal 32%

del 1997, al 35,1% del 1998, al 35,7% del 1999, al 37,5% del 2000, per

scendere al 34,6% del 2001.

Il conto tecnico è il conto delle entrate e uscite dell’attività riassicurativa

in sé. Il risultato del conto tecnico, al netto della retrocessione, è stato

generalmente negativo. Stesso discorso anche per il risultato

dell’esercizio (per attività non assicurative), positivo solo nel 2000.

Si intuisce dai dati come le spese di gestione siano decisive anche per il

bilancio di una compagnia di riassicurazione: infatti il risultato è negativo

proprio a causa di queste spese, nonostante la differenza positiva tra premi

introitati e oneri pagati. Più precisamente le perdite a causa delle spese di

gestione sono più del 40% delle perdite a causa degli oneri pagati.

Tabella 2.10: Stato patrimoniale dei riassicuratori professionali

Attivo 1998 1999 2000 2001 Attivi immateriali 136 295 294 267 Investimenti 4118 4565 5109 5469 Riserve tecniche retrocessionari 899 1084 1196 1260 Crediti 679 630 590 632 Altri elementi dell'attivo 599 475 214 255 Totale 6431 7049 7403 7883

Passivo 1998 1999 2000 2001 Patrimonio netto 422 424 457 449 Riserve tecniche 4439 4896 5471 5874 Fondi e depositi da retrocessionari 336 305 431 465 Debiti ed altre passività 1233 1424 1043 1094 Totale 6431 7049 7403 7883

19

Dello stato patrimoniale (vedi tabella 2.10) è interessante, per capire la

gestione dell’attività riassicurativa, vedere soprattutto la voce delle riserve

e dei fondi e riserve di retrocessione. Esse rappresentano più del 70% del

totale del passivo e provengono dai premi che i riassicuratori hanno

introitato, e costituiscono quindi la gran parte degli investimenti.

Le riserve tecniche relative ai rischi retroceduti sono invece da contare

all’attivo: esse sono il debito dei riassicuratori retrocessionari nei

confronti degli assicuratori o riassicuratori cessionari. Da sole

rappresentano circa il 17% delle riserve totali. Ciò significa

approssimativamente che i riassicuratori retrocedono il 17% dei rischi che

acquisiscono indirettamente dagli assicuratori.

20

CAPITOLO 3

TIPOLOGIE RIASSICURATIVE

3.1 PREMESSA

La riassicurazione è un rapporto tra un assicuratore cedente, ossia un

assicuratore che cede parte o tutti i rischi localizzati presso di sé, ad un

altro soggetto, chiamato cessionario. Quest’ultimo può essere un altro

assicuratore, con cui generalmente si mettono in comune parte dei rischi

assunti, oppure un riassicuratore professionale, la cui attività consiste solo

nell’acquisire parte dei rischi ceduti dall’assicuratore.

Possono formarsi anche dei pool di riassicurazione, dove più imprese

mettono in comune il proprio portafoglio e la totalità dei rischi viene

ripartita secondo opportuni criteri fissati. Le modalità di questo tipo

trattate, sono la riassicurazione di reciprocità, per le proporzionali, e

l’ADP per le non proporzionali. La coassicurazione è un altro strumento,

simile alla riassicurazione, che permette a più compagnie di raggiungere i

medesimi scopi raggiungibili con la riassicurazione, e che verrà trattato

tra le tipologie riassicurative proporzionali, perché a queste assimilabile.

La cessione dei rischi in riassicurazione si chiama riassicurazione passiva,

mentre l’assunzione si chiama riassicurazione attiva o lavoro indiretto

(perché non proveniente da acquisizione diretta sul mercato assicurativo).

La cessione dei rischi può ovviamente attuarsi secondo varie tipologie,

diversi metodi, che portano a risultati e a problemi di valutazione

differenti. La più importante differenza tra queste tipologie le distingue in

proporzionali e non proporzionali.

Nella riassicurazione proporzionale, l’assicuratore e il riassicuratore si

accordano sulla ripartizione della copertura del rischio di ogni contratto

21

del portafoglio, secondo un’aliquota ia da applicarsi ad una ben definita

quantità relativa al contratto i (es. intero risarcimento o massimale, per

danni, capitale sotto rischio o capitale assicurato, per vita). Ne consegue

che in proporzione vengono anche ripartiti il risarcimento relativo ai

sinistri verificati e il premio assicurativo, al netto delle spese di

acquisizione e della provvigione riconosciuta all’assicuratore per il

trasferimento al riassicuratore di parte degli utili attesi.

Nella riassicurazione non proporzionale, invece, l’assicuratore e il

riassicuratore si accordano su un importo monetario che corrisponde,

secondo la modalità scelta, al massimo risarcimento che l’assicuratore è

disposto ad effettuare. Non esiste quindi un rapporto diretto tra il premio

di riassicurazione pagato al riassicuratore e il rimborso ricevuto da questo.

Nella riassicurazione proporzionale l’intervento del riassicuratore in caso

di sinistro è certo, ma rimane aleatoria l’entità (a parte casi specifici, ad

esempio per le assicurazioni vita con capitale fissato); in quella non

proporzionale invece non è detto che vi sia l’intervento del riassicuratore.

La differenza tra le due modalità sta nel fatto che nella riassicurazione

non proporzionale, la ripartizione del risarcimento relativo al singolo

sinistro è individuata solamente a posteriori, cioè una volta che si sia

verificato il sinistro, o, addirittura, anche dopo l’osservazione della

sinistrosità relativa al portafoglio, se la riassicurazione è fissata per

portafoglio e non per polizze singole.

Ricapitolando quindi, la riassicurazione proporzionale attua la cosiddetta

ripartizione dei rischi, mentre quella non proporzionale attua la cosiddetta

ripartizione dei risarcimenti.

Nella pratica riassicurativa le forme proporzionali e quelle non

proporzionali sono spesso combinate tra loro, dando vita a riassicurazioni

miste. Le riassicurazioni non proporzionali vengono normalmente

stipulate per limitare superiormente il risarcimento a carico

22

dell’assicuratore e sono di solito stipulate con dei riassicuratori

professionali; quelle proporzionali invece sono spesso usate quando

l’obiettivo è una omogeneizzazione dei rischi e possono essere anche

accettate dalle cosiddette imprese “miste” (che esercitano sia l’attività

assicurativa che quella riassicurativa).

La seconda distinzione riguarda la portata della riassicurazione: può

essere riassicurazione individuale, a livello di singolo contratto, o globale,

a livello di portafoglio. La riassicurazione parziale comprende solamente

determinati sottoportafogli o collettività.

Con la riassicurazione individuale, i due soggetti stabiliscono le varie

clausole del contratto, e l’assicuratore deve presentare al riassicuratore

una relazione precisa e dettagliata riguardo tutte le informazioni pertinenti

al rischio in questione. Il riassicuratore, dopo aver esaminato i dettagli,

sceglierà se accettare il rischio.

La riassicurazione globale, riguardando tutti i contratti del portafoglio,

non porta ad una selezione dei rischi, mentre quella individuale, poiché la

modalità è scelta in relazione al singolo contratto, può portare ad una

selezione del rischio: l’assicuratore, in questo caso, decide caso per caso

come riassicurare il rischio, nella modalità a lui più favorevole, quindi

sfavorevole per il riassicuratore (cosa che non può fare direttamente con

la riassicurazione globale).

Il rapporto tra l’assicuratore cedente e il riassicuratore cessionario può

avvenire secondo tre modalità dal punto di vista giuridico – contrattuale.

1) Riassicurazione facoltativa. È effettuata contratto per contratto,

secondo le esigenze dell’assicuratore, ed è vincolata alla libera

accettazione del riassicuratore. Riguarda quindi forme individuali.

L’assicuratore ricorre alla riassicurazione facoltativa principalmente in

due casi: quando la tipologia del rischio non rientra nei trattati stipulati

23

con i riassicuratori, o quando le somme da risarcire sono eccedenti

rispetto alla gestione ordinaria dei rischi.

2) Riassicurazione obbligatoria. Il rapporto tra le parti è regolamentato

da un trattato di riassicurazione, che ne disciplina i fondamentali

aspetti (date d’inizio e fine del rapporto, modalità riassicurativa, limiti

di ritenzione e accettazione, modalità di pagamento, provvigione di

riassicurazione ...); secondo questo tipo di trattati, l’assicuratore è

obbligato a cedere assegnate quote di rischi e il riassicuratore è

obbligato ad accettarle. Oggetto di trattati obbligatori sono ovviamente

portafogli interi o sottoportafogli, per cui tutti i contratti appartenenti

ad essi sono soggetti alle stesse clausole contrattuali stabilite nel

trattato.

3) Riassicurazione “facob”. È una forma intermedia; la differenza con

l’obbligatoria sta solo nel fatto che il riassicuratore è obbligato ad

accettare, entro i limiti stabiliti dal trattato, le quote di rischi che

l’assicuratore decide liberamente di cedere di volta in volta.

Spesso, nella pratica riassicurativa, il riassicuratore non è disposto ad

accettare l’intera cessione dei rischi richiesta dall’assicuratore. Può allora

riservarsi di ricorrere ad un altro riassicuratore, trasferendo (retrocedendo)

a questo la parte di rischio che non è disposto ad accettare.

Per descrivere gli aspetti tecnico – attuariali delle varie tipologie

riassicurative, si considera un portafoglio costituito da n contratti, con

1X , 2X , … , nX che esprimono i relativi risarcimenti aleatori a carico

dell’assicuratore prima della riassicurazione, con riferimento ad un

orizzonte temporale di durata annuale (in caso di assicurazioni danni

saranno direttamente i valori assicurati o i massimali o il risarcimento

intero se il contratto è a garanzia illimitata, mentre in caso di

assicurazione vita saranno i capitali relativi all’anno considerato). La

24

riassicurazione relativa al singolo contratto i del portafoglio considerato,

può essere descritta come una funzione ( ).il che, applicata al risarcimento

globale iX , restituisce la parte del risarcimento ceduto al riassicuratore e

che è indicata con ( )iiRi XlX = . La parte del risarcimento che resta alla

compagnia di assicurazioni, indicata con CiX , è quindi

( )iiiRii

Ci XlXXXX −=−= .

In riferimento al risarcimento globale aleatorio, ∑ ==

n

i iXX1

, si ha che il

risarcimento globale a carico del riassicuratore è ∑ ==

n

iRi

R XX1

e quello a

carico della compagnia di assicurazioni è ∑ ==

n

iCi

C XX1

.

Nei paragrafi seguenti, 3.2, 3.3 e 3.4, verranno trattate modalità

riassicurative comuni alle assicurazioni danni e alle assicurazioni vita. Le

assicurazioni danni hanno generalmente durata annuale, quindi oggetto

della riassicurazione è sempre il valore assicurato nell’anno, mentre, per

quanto riguarda le assicurazioni vita, ci sono modalità che interessano

singoli anni (che verranno trattate alla pari delle assicurazioni danni, nei

paragrafi 3.2, 3.3 e 3.4) e altre modalità riguardati durate pluriennali, che

verranno trattate nel paragrafo 3.5.

3.2 FORME RIASSICURATIVE PROPORZIONALI

Nelle modalità riassicurative proporzionali l’assicuratore e il

riassicuratore si accordano sulla ripartizione della copertura dei rischi per

ogni contratto i , ripartendo proporzionalmente anche i premi incassati e i

risarcimenti pagati.

A livello di singolo contratto, i due soggetti devono semplicemente

accordarsi sull’aliquota ia di conservazione (ritenzione) con 10 ≤≤ ia , in

base alla rischiosità del contratto i .

25

La riassicurazione proporzionale a livello di un portafoglio (o di un

sottoportafoglio) con n contratti, si esplica invece in un vettore a di n

aliquote ia relative agli n contratti.

Le tradizionali tipologie riassicurative a livello di portafoglio sono la

riassicurazione in quota e la riassicurazione per eccedente di somma.

a) Riassicurazione in quota (“quota-share”). È un tipo di riassicurazione a

livello globale, in cui l’assicuratore e il riassicuratore si accordano su

un’aliquota a di ritenzione, fissa per ogni contratto i e da applicarsi o

al risarcimento aleatorio del valore monetario assicurato o al

massimale di garanzia in caso di assicurazioni danni, o al capitale

assicurato in caso di assicurazioni vita.

È allora ( ) ( ) iii XaXl −= 1 , per ogni i considerato, la parte di

risarcimento globale del rischio che deve essere pagata dal

riassicuratore. A livello di portafoglio si ha quindi che la parte di

risarcimento, pagata dal riassicuratore, è:

( ) ( ) ( )XaXaXaXXn

i in

i in

iRi

R −=−=−== ∑∑∑ ===111

111

mentre l’assicuratore conserva

aXXaaXXXn

i in

i in

iCi

C ==== ∑∑∑ === 111

Questa modalità riassicurativa, semplicissima a fini operativi, riduce

ovviamente valor medio e variabilità dell’esborso aleatorio; non

realizza invece un “livellamento” dei capitali assicurati, bensì solo una

loro riduzione proporzionale. Perciò, in relazione a rischi con garanzia

illimitata, non limita superiormente l’esborso dell’assicuratore. È

consigliabile per compagnie giovani, in via di sviluppo, o per

compagnie che svolgono per la prima volta attività in nuove branche.

Poiché la loro esperienza è limitata, spesso hanno difficoltà nella

definizione del premio corretto e con la riassicurazione in quota il

riassicuratore prende parte del rischio di queste stime non corrette.

26

b) Riassicurazione per eccedente di somma (“surplus”). Con questa

modalità riassicurativa, l’assicuratore e il riassicuratore si accordano

su un valore C , chiamato pieno di ritenzione, che rappresenta il

massimo valore, fisso per ogni contratto, del risarcimento che

l’assicuratore è disposto a pagare.

Volendo l’assicuratore risarcire al massimo questo valore C , il

risarcimento a suo carico, in relazione ad un contratto con massimale o

valore assicurato iM inferiore al pieno C , è l’intero risarcimento,

quindi l’aliquota di ritenzione ia è uguale a 1; in relazione ad un

contratto con iM maggiore del pieno C , invece, il risarcimento a

carico dell’assicuratore è un’aliquota pari a iM

C del risarcimento

complessivo.

L’aliquota generica può essere quindi scritta come

= 1,mini

i MC

a .

È una copertura che si propone un diretto “livellamento”

proporzionale dei capitali assicurati, allo scopo di conseguire una

significativa riduzione della variabilità dell’esborso aleatorio.

Per vedere meglio la differenza tra le due modalità, si può ricorrere ad una

rappresentazione grafica, mettendo a confronto, sulla base di dieci

contratti con danni da rimborsare iV tra 0 e 1000 unità (che possono

essere centinaia o migliaia di euro), le due forme di risarcimento, in

termini assoluti e percentuali a carico dell’assicuratore.

Vedi tabella 3.1, in cui il pieno C è stato fissato a 500 unità (restano

quindi determinate le aliquote implicite di ritenzione ib e i massimi

importi a carico dell’assicuratore iH , secondo il meccanismo

precedentemente illustrato), mentre nella riassicurazione in quota

27

l’aliquota di ritenzione a è stata fissata al 75% (per cui restano

determinati i massimi esborsi a carico dell’assicuratore ii aVG = ).

Tabella 3.1

contratto i Vi bi Hi=bi*Vi Gi=0,75*Vi

1 927 0,54 500 6902 878 0,57 500 6503 787 0,64 500 5904 654 0,76 500 4905 508 0,98 500 3806 485 1,00 485 3607 352 1,00 352 2608 243 1,00 243 1809 119 1,00 119 80

10 65 1,00 65 40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

200

400

600

800

1000

HiGiVi

La modalità riassicurativa in quota riduce ovviamente il valor medio e la

variabilità dell’esborso aleatorio, per singolo contratto e di portafoglio,

anche se non attua il livellamento dei capitali assicurati ritenuti, nel senso

in precedenza ricordato.

La riassicurazione per eccedente di somma si propone, invece, tale

livellamento dei capitali assicurati, conseguendo altresì una significativa

riduzione del valor medio e della variabilità dell’esborso aleatorio,

limitando sicuramente il massimo esborso dell’assicuratore. La modalità

per eccedente di somma, inoltre, azzera completamente la probabilità di

rovina, se c’è un congruo capitale “iniziale”.

28

c) Riassicurazione di n-esimo eccedente. È un metodo per formalizzare la

cessione di rischi a più riassicuratori, generalizzando la modalità per

eccedente di somma. In relazione al valore (o capitale) assicurato V ,

l’assicuratore e il riassicuratore si accordano sul pieno di

conservazione C (ovviamente minore di V ). Allora il valore V può

essere visto come un multiplo intero del pieno C più una parte

frazionaria: SnCV += , con Nn ∈ , e il residuo [ )CS ,0∈ . A carico

dell’assicuratore rimane il pieno C , perciò resta ancora da coprire un

importo pari a ( ) SCnCV +−=− 1 .

Il riassicuratore può decidere di coprire una parte del rischio pari a m

volte il pieno C e si ha che

se 1−≥ nm c’è copertura totale del rischio da parte del

riassicuratore

se 1−< nm c’è copertura parziale del rischio, per la cui parte

rimanente, l’assicuratore deve ricorrere ad un altro

riassicuratore, se vuole conservare solo il pieno C

Se invece la modalità scelta è la riassicurazione in quota,

l’assicuratore, una volta scelta l’aliquota di conservazione a (valida

per ogni contratto), deve cedere la restante quota a−1 ad un unico

riassicuratore o, divisa in più quote con totale a−1 , a più

riassicuratori.

Altre modalità riassicurative innovative hanno una struttura

sostanzialmente diversa, per cui non è necessaria la definizione di un

massimo esborso: sono modalità attuabili da più compagnie, adatte per

pool di riassicurazione. Una modalità di un certo rilievo è la

riassicurazione di reciprocità.

29

d) Riassicurazioni di reciprocità. Sono modalità riassicurative che

riguardano un rapporto tra due o più compagnie di assicurazione, che

effettuano una reciproca cessione di parte dei rischi acquisiti sul

mercato secondo aliquote fissate, per diminuire la variabilità

dell’esborso globale aleatorio.

Un esempio particolare è il seguente.

Si considerano due compagnie di assicurazioni, A e B . Ognuna di

esse ha già acquisito sul mercato un certo numero di contratti e

incassato un certo volume di premi, e siano essi AP e BP .

Le due compagnie mettono in comune tutti i rischi acquisiti sul

mercato: la compagnia A trattiene, del volume totale dei premi

BA PP + , l’aliquota BA

A

PPP

a+

= , mentre la compagnia B trattiene

l’aliquota BA

B

PPP

a+

=−1 .

Alla compagnia A rimane il volume di premi che ha acquisito, è

infatti ( ) ABA PPPa =+× ; analogo discorso vale per la compagnia B

che trattiene, a titolo di premi, ( ) ( ) BBA PPPa =+×−1 . Poiché ogni

compagnia trattiene il volume dei premi che ha incassato, non c’è

bisogno di nessun trasferimento di denaro per applicare questa

modalità riassicurativa.

Seguendo la logica delle riassicurazioni proporzionali, la compagnia

A si fa poi carico dell’aliquota a del risarcimento globale, BA XX + e

la compagnia B dell’aliquota a−1 .

Con questa strategia, ogni compagnia mantiene il valore atteso del

guadagno netto ma riduce fortemente la variabilità dell’esborso

globale aleatorio.

30

Più dettagliatamente:

definite ( )AX2σ e ( )BX2σ le varianze dei portafogli delle compagnie

prima della riassicurazione, ( )ARX2σ e ( )BRX2σ le varianze dopo la

riassicurazione di reciprocità, ( )( )A

B

XX

b 2

22

σσ

= , ( )

( ) ( )BA

BA

XXXX

σσσ

ρ×

=,

, si ha

( ) ( ) ( )AAR XbbaX 2222 21 σρσ ++=

( ) ( ) ( )BAR Xb

bbaX 2

2

222 21

1 σρ

σ

++−=

La compagnia A riduce la varianza se ( ) 121 22 <++ bba ρ

La compagnia B riduce la varianza se ( )22

2

1121ab

bb−

<

++ ρ

Con l’ipotesi che 0≥ρ , la riduzione di varianza è funzione

decrescente di b per A , crescente per B ; le implicazioni che questa

modalità riassicurativa ha sulle due compagnie sono di verso

contrario, per le due compagnie.

L’accordo ottimo può essere allora quello che comporta un’uguale

riduzione percentuale di varianza:

( ) ( )( )

( ) ( )( )B

BRB

A

ARA

XXX

XXX

2

22

2

22

σσσ

σσσ −

=−

.

Tale obiettivo si realizza in corrispondenza del valore b

a+

=1

1 , cioè

per ( )( )B

A

B

A

XX

PP

σσ

= . Perciò due compagnie con pressoché uguali raccolta

premi e scarto quadratico medio degli oneri aleatori, traggono il

massimo vantaggio dall’accordarsi sull’aliquota a al 50% (ogni

rischio sarebbe equamente ripartito tra A e B ).

31

e) Coassicurazione. La coassicurazione è un altro strumento che permette

all’assicuratore di raggiungere i medesimi scopi che raggiunge con la

riassicurazione, principalmente la minimizzazione della probabilità di

guadagno negativo e di rovina.

In breve, con la coassicurazione, l’assicuratore assume ogni rischio in

compartecipazione con altri assicuratori o operatori (coassicuratori),

riducendo la sua esposizione.

Lo schema è molto semplice: si stabilisce un gruppo di k imprese che

si dividono il rischio frazionato integralmente. Qualche elemento di

difficoltà può essere ravvisato solo nel calcolo della percentuale di

caricamento per spese che vanno all’impresa delegataria.

Il ricorso alla coassicurazione è una soluzione, però, che è frutto di

una scelta suggerita (o imposta) da opportunità commerciali prima

ancora che da valutazioni tecniche.

3.3 FORME RIASSICURATIVE NON PROPORZIONALI

Le forme riassicurative non proporzionali possono essere definite a livello

di contratto o a livello di portafoglio. Non sono di preminente interesse

nell’ambito delle assicurazioni sulla durata di vita, per il fatto che i

“risarcimenti” sono spesso fissi (è fissato un capitale C da corrispondere,

e fissare un’aliquota o determinare il massimo risarcimento a carico

dell’assicuratore è identico) e non fortemente variabili (come nelle

assicurazioni danni). L’unica forma riassicurativa non proporzionale

interessante per le assicurazioni vita è la cosiddetta riassicurazione

catastrofale.

Le principali modalità riassicurative non proporzionali sono basate sulla

determinazione di un certo valore che esprima, direttamente (come

32

valore) o indirettamente (dipendente da altri valori), il massimo impegno

che l’assicuratore è disposto a garantire nel risarcimento. Ci sono

principalmente due forme riassicurative: Excess of Loss e Stop Loss.

a) Riassicurazione Excess of Loss. L’assicuratore e il riassicuratore si

accordano, in genere, su due valori: uno, chiamato priorità e indicata

con L , è il massimo valore che resta comunque a carico

dell’assicuratore, oltre il quale interviene il riassicuratore; l’altro,

chiamato portata e indicato con Q , è il massimo valore che il

riassicuratore è disposto a pagare. Per capire meglio, la priorità del

contratto riassicurativo può essere assimilata ad una franchigia di un

contratto assicurativo, mentre la portata può essere vista come il

massimale. Ovviamente, come nel contratto assicurativo, può mancare

la portata (che equivale a porla a ∞+ ) o la priorità (che equivale ad

annullarla).

La modalità riassicurativa excess of loss può essere definita a vari

livelli (individuale, globale …) e quindi assumere diversi nomi:

1) Risk excess of loss. La priorità iL e la portata iQ sono fisse per

ogni contratto i e definite a livello di ogni h -esimo sinistro ihY , del

contratto i considerato. Si ha per ogni h e per ogni i

- se iih LY ≤, ihCih YY ,, = 0, =R

ihY

- se iiihi QLYL +≤≤ , iCih LY =, iih

Rih LYY −= ,,

- se iiih QLY +>, iihCih QYY −= ,, i

Rih QY =,

oppure, in forma chiusa:

( ){ }iiihRih QLYY ,min ,,

+−=

{ } { }iihiihCih QYLYY −+= ,,, ,0max,min

Per capire meglio come i due soggetti intervengono nel

risarcimento di questo sinistro, secondo la sua entità, si può

osservare il seguente grafico con l’importo del danno Y sulle

33

ascisse, relativo alle funzioni con cui il risarcimento viene

suddiviso tra assicuratore e riassicuratore.

Grafico 3.1

A livello di contratto i , se iN è il numero di sinistri, si ha

∑ == iN

hCih

Ci YX

1 , e ∑ == iN

hRih

Ri YX

1 ,

Da notare che per le assicurazioni sulla vita, con un capitale

prefissato, la modalità riassicurativa per risk excess of loss

coincide con la modalità per eccedente di somma. In tale ambito si

riscontra l’impiego di questa modalità riassicurativa per

assicurazioni di invalidità (la prestazione può variare sensibilmente

essendo commisurata alla gravità del sinistro o al grado di

invalidità), oppure per le rendite (l’intervento del riassicuratore può

essere previsto quando il periodo del pagamento delle rate della

rendita eccede un’assegnata durata massima).

2) Catastrophe excess of loss. Questa modalità copre il rischio che un

unico evento produca un numero aleatorio D di sinistri e

conseguente esborso DX . Viene anche qui fissata la priorità CL e

la portata CQ , per la copertura dei sinistri derivanti da quest’unico

evento, come può essere un incidente in un’area industriale o un

34

terremoto. Questo evento è anche definito come catastrofale se

l’importo dei risarcimenti supera certe soglie ed è consistente il

numero dei sinistri provocati. Si ha

( ){ }CCD

RD QLXX ,min

+−=

{ } { }CD

CD

CD QXLXX −+= ,0max,min

Per le assicurazioni sulla vita (ma applicabili comunque anche alle

assicurazioni contro i danni, relativamente ai sinistri incorsi), sono

poi previsti due modelli particolari

• è fissato il valore consd , ossia il massimo numero di decessi

(sinistri) a carico della cedente, perciò:

- a carico della cedente rimane

D

cons

D XD

dX ,min

- a carico del riassicuratore rimane

−

D

cons

XDdD

,0max

• è fissato il valore consx , ossia il massimo esborso a carico della

cedente, per cui:

- a carico della cedente rimane { }consD xX ,min

- a carico del riassicuratore rimane { }consD xX −,0max

3) Aggregate excess of loss. La priorità GL e la portata GQ sono

definite a livello di portafoglio (quindi globale). Ricordando che

vale un discorso analogo a quello fatto per la modalità excess of

loss a livello di rischio, si riportano solo le espressioni dei

risarcimenti in forma chiusa:

( ){ }GGR QLXX ,min+

−=

{ } { }GGC QXLXX −+= ,0max,min

Se non è fissato un limite per la portata questa modalità si rivela

molto cautelativa per l’assicuratore, in quanto limita l’esborso

aleatorio; comporterebbe invece un’elevata rischiosità per il

35

riassicuratore, che in questo caso richiederà un caricamento di

sicurezza più consistente.

Si considera adesso un tipo di modalità riassicurative non più basate su

importi monetari certi, che limitano l’esborso dell’assicuratore, ma basate

su altre grandezze che incidono indirettamente sui rischi conservati.

b) Riassicurazione Stop Loss. Con questa forma riassicurativa, il

riassicuratore si impegna a rifondere, a fine esercizio, all’assicuratore

parte delle eventuali perdite della gestione assicurativa, quando queste

si originino dal superamento di un certo rapporto convenuto, SPr , tra i

risarcimenti pagati nell’esercizio e i premi lordi incassati (si

considerano solo i premi e i risarcimenti di competenza all’anno

considerato, e non quelli provenienti da liquidazioni o denunce

tardive). In tal modo si limita sempre l’esborso dell’assicuratore, ma,

invece che definire direttamente il massimo esborso, questo viene

individuato indirettamente con il valore SPr . La differenza sostanziale

con le altre tipologie riassicurative è che qui, il massimo esborso che

l’assicuratore accetta di risarcire è individuato solo al momento

dell’individuazione del totale dei premi incassati nell’anno (indicati

con P ).

All’assicuratore spetta quindi quella parte dei risarcimenti tale che il

rapporto tra il risarcimento pagato e i premi incassati, sia al massimo SPr . Il rapporto tra il risarcimento e i premi incassati alla fine

dell’anno, per l’assicuratore, è

= SPC r

PX

r ,min

e per il riassicuratore

−= SPR r

PX

r ,0max .

36

Identificati i valori Cr e Rr , i risarcimenti a carico dei soggetti sono

PrX CC = e PrX RR = , cioè

se SPrPX

≤ XX C = 0=RX

se SPrPX

> PrX SPC = PrPX

X SPC

−=

Questa modalità riassicurativa procurerebbe dei vantaggi per

l’assicuratore se non comportasse una consistente esposizione per il

rischio del riassicuratore (quindi un premio di riassicurazione alto),

difficilmente realizzabile a livello di intero portafoglio. È invece

spesso impiegata come copertura di particolari sottoportafogli molto

rischiosi. Il rischio per il riassicuratore, può derivare anche da un

possibile comportamento dell’assicuratore che, pur di incrementare il

proprio volume di premi e sentendosi fortemente coperto, potrebbe

non curare troppo oculatamente le assunzioni dei rischi.

Nelle forme di riassicurazione non proporzionale occorre tenere conto

delle conseguenze dell’inflazione, che può far sì che il risarcimento

relativo a un sinistro che colpisce uno o più rischi superi, al momento

della liquidazione (che è il momento della determinazione del

risarcimento), la priorità o la portata inizialmente fissata. Questa

evenienza si manifesta, in particolar modo, se la liquidazione dei sinistri è

notevolmente differita nel tempo.

Per fronteggiare questa evenienza, oltre a varie clausole di rivalutazione

che si possono istituire nei contratti di riassicurazione (clausola di

stabilità, per cui viene effettuata un indicizzazione dei valori), sono

previste alcune coperture che limitano l’esborso dell’assicuratore. Tali

coperture sono basate sui sinistri effettivamente verificatisi e ordinati

secondo l’ammontare dei risarcimenti, quindi aleatori al momento della

stipula del contratto di riassicurazione.

37

Per trattare le suddette modalità riassicurative, bisogna utilizzare una

simbologia leggermente diversa: si considerano gli importi ( )1X , …, ( )NX

dei risarcimenti degli N sinistri, ordinati in senso non crescente, per cui si

ha che ( ) ( )NXX ≥≥ ...1 ; rimangono valide le definizioni date per ( )( )ii Xl ,

( )CiX , ( )

RiX , CX , RX . Fissato questo aspetto, si possono ricordare

principalmente due tipologie riassicurative: “ECOMOR” e “LCR”.

c) Riassicurazione E.CO.MO.R. (“Excèdent du COut MOyen Relatif”)

Questa garanzia opera come la garanzia Excess of Loss, assumendo

come priorità l’importo dell’ m -esimo più grande sinistro, ossia ( )mX ,

per cui sono a carico del riassicuratore gli importi eccedenti tale

priorità. La soglia è aleatoria al momento della stipula e, dipendendo

dal valore m concordato, potrà determinarsi solo alla fine del periodo

considerato. A tale epoca si ha

( ) ( ){ })(,min miCi XXX = e ( ) ( ) ( ){ }mi

Ri XXX −= ,0max e, aggregando,

( ) ( )∑ +=+×=

N

mi imC XXmX

1 e ( ) ( )( )∑ =

−=m

i miR XXX

1.

La modalità considerata soddisfa l’esigenza dell’assicuratore di

tutelarsi contro l’eventualità di grossi esborsi monetari, anche se non

in modo noto a priori nella effettiva entità.

d) L.C.R. (“Largest Claims Reinsurance”) Con questa modalità, vengono

posti interamente a carico del riassicuratore interamente gli importi

degli m (valore sempre concordato nel trattato di riassicurazione)

maggiori risarcimenti. Risulta pertanto

( )∑ +==

N

mi iC XX

1 e ( )∑ =

=m

i iR XX

1

Ancor più della precedente, questa modalità riassicurativa permette

all’assicuratore di tutelarsi contro l’eventualità di grossi esborsi

monetari ma risulta più gravosa per il riassicuratore, con conseguenze

talvolta pesanti negli oneri di riassicurazione.

38

Ci sono anche delle coperture riassicurative basate solamente sull’entità

degli utili della compagnia, a fine anno, senza fare riferimento ad alcun

valore che limiti l’esborso. Una delle principali coperture in questo senso

è il modello ADP.

e) ADP. Questa copertura riassicurativa è basata su un trattato tra due

compagnie, chiamate A e B . Per ognuna di queste compagnie, si va a

vedere il rapporto complessivo, a fine anno, tra i risarcimenti pagati e i

premi introitati.

Se, per una compagnia, questo rapporto è compreso nell’intervallo

( )21 1,1 εε +− , con i valori 1ε ed 2ε positivi fissati nel trattato, non ci

saranno trasferimenti. Se tale rapporto è minore del valore inferiore,

11 ε− , la compagnia è in attivo, e si procede ad un trasferimento di utili

all’altra compagnia. Se esso è invece maggiore del valore superiore,

21 ε+ , la compagnia è in forte passivo, e ci sarà un trasferimento a suo

favore da parte dell’altra compagnia, per ripartire le perdite subite.

Quanto detto vale per entrambe le compagnie, per cui ci sono 3 × 3 = 9

esiti possibili in questo rapporto contrattuale: ovviamente se entrambe

sono in perdita netta questo rapporto riassicurativo non comporta

nessuna utilità, ma se una compagnia è in passivo e l’altra in attivo, il

rapporto consente un riequilibrio dei risultati economici.

f) Riassicurazione per “layer”.

Per contratti a garanzia illimitata o con massimale elevato, la cedente

può, analogamente alle coperture proporzionali, frazionare la copertura

in eccesso alla prima priorità L in più fasce (layers), in relazione ad una

molteplicità di riassicuratori, a cui pensa di rivolgersi.

Se M è il massimale prefigurato per il rischio e se ML < , si pone:

SnLM += con Nn ∈ e LS <≤0

La massima copertura che l’assicuratore può richiedere è LM − .

Quando il riassicuratore è disposto a coprire parzialmente l’intero

39

rischio LM − , per una portata pari a Q (supposto multiplo m -esimo

della priorità L : mLQ = ), si hanno i due seguenti casi

- se nm ≥ l’intero importo da riassicurare rientra nella sfera di

competenza del riassicuratore

- se nm < l’importo che all’assicuratore rimane ancora da localizzare

presso un altro riassicuratore è ( ) SLmnmLLM +−−=−− 1

In tal modo l’assicuratore fraziona la copertura in eccesso alla priorità

L in due o più “layers”.

3.4 FORME RIASSICURATIVE MISTE

Le modalità riassicurative miste, per singoli contratti o a livello di

portafoglio, possono essere combinazioni di modalità proporzionali

(punto a), combinazioni di modalità non proporzionali (punto b), o ancora

combinazioni di modalità proporzionali e non proporzionali (punto c).

a) Riassicurazioni proporzionali miste. Si tratta di modalità riassicurative

composte da combinazioni delle precedenti modalità proporzionali.

È trattato solo un caso particolare, quello per cui l’assicuratore

conserva per ogni contratto un’aliquota b e, per la parte restante,

stabilisce un pieno C ; allora l’aliquota di conservazione ia effettiva,

che è implicitamente applicata può essere scritta come

{ }ii MCba ,min= . L’aliquota di conservazione ia varia al variare della

relazione tra il massimale iM e il pieno C ; è sempre minore di b e

più precisamente è: bai = se CbM i <

MCai = se CbM i ≥

b) Riassicurazioni non proporzionali miste. Sono delle combinazioni delle

varie tipologie non proporzionali, trattate nel paragrafo precedente.

Verranno illustrate brevemente solo due tra tutte le possibili.

40

1) L’assicuratore, con riferimento ad un portafoglio, può stabilire una

priorità L e una portata Q , e successivamente utilizzare una

copertura “Stop Loss”, stabilendo un rapporto massimo SPr ; si ha

( ){ }

−+

−=

+SPR r

PX

PQLX

r ,0max,min

{ } { }

−+

= SPC rP

QXLXr ,

,0max,minmin

Nel caso più semplice (e spesso utilizzato) in cui non ci sia la

portata, la parte complessiva dei rischi che rimane a carico

dell’assicuratore è minore della priorità L ed è tale che il rapporto

sinistri conservati – premi sia inferiore a SPr ; graficamente, in

relazione ad ogni possibile realizzazione della coppia risarcimento

– premi, la parte che rimane a carico dell’assicuratore è quella

sotto la spezzata, definita dalla priorità L e dalla retta Pr SP .

Grafico 3.2

2) L’assicuratore può combinare le modalità “per risk” (con iL e iQ

per ni ...1= ) e “aggregate excess of loss” (con L e Q ). Sono

( ){ } ∑ =

+ +−=n

iRi

R XQLXX1

,min , dove RiX è

( ){ }∑ =

+−= iN

h iiihRi QLYX

1 , ,min

41

{ } { }QXLXX C −+= ,0max,min , dove X è

{ } { }[ ]∑ ∑∑ = ==−+==

n

i

N

h iihiihn

iCi

i QYLYXX1 1 ,,1

,0max,min

c) Riassicurazioni miste. Delle molteplici combinazioni, è trattata solo la

cosiddetta “Excess of loss modificato”, la più diffusa nella pratica

riassicurativa. L’assicuratore adotta una copertura “aggregate excess

of loss” con priorità GL ed una copertura proporzionale con aliquota di

ritenzione a . Si ha

{ } { }GGC LXaLXX −+= ,0max,min

( ) { }GR LXaX −−= ,0max1

Il risarcimento a carico dell’assicuratore, a seconda della realizzazione

X , è, nel seguente grafico, la parte sotto la spezzata.

Grafico 3.3

Per il riassicuratore questa forma mista può essere preferita rispetto

alla semplice “aggregate excess of loss”, perché coinvolge l’impegno

dell’assicuratore anche quando è superata la soglia GL .

Si segnala che con analogo criterio può essere costruita una copertura

stop loss modificato.

42

3.5 ALTRI MODELLI ESCLUSIVI PER RAMO O PER ALTRE GRANDEZZE

Per trattare la modalità riassicurativa seguente, bisogna introdurre il

concetto di riserva matematica e di premio di rischio.

Chiamando, per un assicurazione generica sulla vita su una testa,

[ ]t,nestPr il valore attuariale delle prestazioni dell’assicuratore relative

all’intervallo da t a n , e [ ]ntemi ,Pr il valore attuariale dei premi relativi

all’intervallo da t a n , si definisce

• Riserva matematica in t : [ ] [ ]ntemintestVt ,Pr,Pr −=

La differenza considerata rappresenta il debito dell’assicuratore verso

l’assicurato.

Focalizzando l’attenzione sulla parte libera (premi di risparmio) dei premi

incassati dall’assicuratore, la riserva matematica rappresenta anche il

capitale maturato all’epoca t a fronte dei premi di risparmio.

Analizzando un contratto caso morte, cioè con corresponsione di un

capitale 1+tC in caso di decesso tra t e 1+t , con la probabilità txq + che

l’individuo considerato (di età x alla stipulazione del contratto) muoia tra

t e 1+t , dietro pagamento del premio 1+tP da parte dall’assicurato

all’inizio dell’anno 1+t , si può ottenere l’equazione ricorrente di Kanner

per il calcolo della riserva matematica:

( )( ) ( ) 1111 1 +++++ +−=++ ttxtttt VqVCiPV

dove i è il tasso tecnico e di valutazione del rapporto assicurativo.

Da tale relazione appare che con l’importo 1++ tt PV , capitalizzato per un

anno, l’assicuratore deve coprire l’impegno di costituzione della riserva al

tempo 1+t , e quello aleatorio (tramite txq + ) di integrare la riserva

(detenuta in 1+t ) per corrispondere il capitale 1+tC in caso di decesso.

Nel caso che l’evento si verifichi, l’assicuratore dovrà far fronte al

pagamento del capitale, ricorrendo a fonti diverse dalla riserva, ovvero

43

11 ++ − tt VC è l’importo che l’assicuratore rischia di dover pagare ricorrendo

al proprio capitale netto. Esso è anche detto capitale sotto rischio e

indicato con: 111 +++ −= tttSR VCC .

Fissati questi concetti, si può allora introdurre la seguente copertura.

a) Contratti vita pluriennali. La definizione di una forma riassicurativa

applicabile ad un contratto pluriennale richiede la specifica

dell’oggetto della cessione: capitale sotto rischio o capitale assicurato.

Sono infatti dette “a premio di rischio” le forme riassicurative in cui

oggetto della cessione in riassicurazione è il capitale sotto rischio nei

vari anni di contratto. Sono invece chiamate “a premio commerciale”

le forme riassicurative basate su una ripartizione in assegnata misura,

tra cedente e riassicuratore, del capitale assicurato e di tutte le altre

componenti contrattuali (ne consegue, indirettamente, anche la

ripartizione del capitale sotto rischio nei vari anni di contratto).

La riassicurazione “a premio commerciale”, avendo le assicurazioni

vita generalmente per oggetto un valore fisso per tutta la durata del

contratto, può essere attuata mediante le stesse modalità descritte nei

paragrafi 3.2, 3.3, 3.4.

Nelle riassicurazioni a premio di rischio, invece deve essere diviso tra

i due soggetti il capitale sotto rischio. Fissata l’aliquota tb , conservata

dalla cedente nel periodo t , in caso di decesso, il risarcimento

a carico della cedente è ( ) tttt VVCb +−

a carico del riass.re è ( )( )ttt VCb −−1

dove tC è il capitale per l’assicurazione caso morte e tV è la riserva

matematica al tempo t .

44

Il riassicuratore richiede un premio variabile in base alla parte

trattenuta tb e alla probabilità che l’assicurato, di età x , sopravviva

per altri t anni, txp + .

Fissato dall’assicuratore il pieno di conservazione consC , si hanno

principalmente due modalità:

1 RRM: CCb const =

( ) ttconsC VCVCX +−= 1 e ( )CVCVCX t

const

R −−−= 1

2 CRM:

= 1,mintSR

cons

t CC

b

{ } tcons

tSRC VCCX += ,min e { }0,max cons

tSRR CCX −=

Il capitale sotto rischio conservato è costante finché il capitale sotto

rischio riassicurato è positivo; quando si annulla, la riassicurazione

cessa.

Per capire meglio il trattamento del capitale sotto rischio conservato,

che le due modalità appena descritte producono, si può analizzare il

loro effetto, in relazione a tre contratti con capitali iniziali sotto rischio

pari a 750, 1000 e 1500, su un orizzonte temporale di dieci anni. Il

capitale sotto rischio tRS C (e i conseguenti capitali sotto rischio

conservati), è ovviamente decrescente nell’arco del tempo.

45

Tabella 3.2

nCrisc i=1 Crisc i=2 Crisc i=3

1 750 1000 15002 667 889 13333 583 778 11674 500 667 10005 417 556 8336 333 444 6677 250 333 5008 167 222 3339 83 111 167

10 0 0 0

n aliquota di ritenzione = 0,6RRM i=1 RRM i=2 RRM i=3

1 450 600 9002 400 533 8003 350 467 7004 300 400 6005 250 333 5006 200 267 4007 150 200 3008 100 133 2009 50 67 100

10 0 0 0

n capitale conservato = 600CRM i=1 CRM i=2 CRM i=3

1 600 600 6002 600 600 6003 583 600 6004 500 600 6005 417 556 6006 333 444 6007 250 333 5008 167 222 3339 83 111 167

10 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

500

1000

1500

Prima di Riassicurazione

i=1

i=2

i=3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

500

1000

1500

Riassicurazione RRM

i=1

i=2

i=3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

500

1000

1500

Riassicurazione CRM

i=1

i=2

i=3

La differenza di effetto nella riduzione dei capitali conservati, secondo

le due modalità, è analoga alla differenza che c’è nel trattamento del

massimo esborso possibile, analizzato nel paragrafo 3.2, con la

modalità in quota e la modalità per eccedente di somma. È facile

intuire la maggiore efficacia, ai fini della riduzione del rischio

46

demografico, della modalità CRM, in quanto attua un livellamento del

capitale sotto rischio conservato nei vari anni di contratto.

b) Provvigione di riassicurazione. La cessione di quote dei rischi al

riassicuratore determina il trasferimento presso quest’ultimo di parte

degli utili inizialmente attesi da parte dell’assicuratore. A fronte di tale

trasferimento il riassicuratore riconosce all’assicuratore una

provvigione di riassicurazione, con cui partecipa anche alle spese di

acquisizione e gestione sostenute.

La provvigione è generalmente espressa come una percentuale del

premio di riassicurazione; può essere decisa a priori, e quindi essere

fissa, oppure a posteriori, consistente in una parte fissa, provvisoria e

immediata, successivamente adeguata con una parte variabile a fine

rapporto, secondo i metodi di calcolo scelti nel trattato. Questa parte

variabile della provvigione, se, come spesso accade, direttamente

proporzionale alla percentuale tra risarcimenti e premi, può anche

essere vista come un modo per premiare l’assicuratore per la bassa

sinistrosità dei rischi ceduti, e viceversa.

La percentuale considerata nella provvigione scalare è in genere data

dal rapporto tra competenza sinistri e competenza premi (cioè di

competenza all’anno considerato), e non dai sinistri e dai premi pagati

in quell’anno.

Poiché con la riassicurazione in quota il riassicuratore ottiene di norma

utili più consistenti rispetto ad altre forme riassicurative, la

provvigione riconosciuta all’assicuratore è generalmente più elevata

che nelle altre forme di riassicurazione, come ad esempio nella

copertura per eccedente di somma; con quest’ultima si trasferiscono al

riassicuratore solo i rischi più grandi, che spesso sono i più pericolosi,

per cui il caricamento di sicurezza che il riassicuratore lascia alla

compagnia è minore.

47

c) metodi di calcolo del premio di riassicurazione

1) Burning cost. Ai fini della determinazione del premio di

riassicurazione, nelle riassicurazioni non proporzionali, in

particolare per la modalità Excess of Loss, si considera

frequentemente l’applicazione di un tasso di premio, chiamato

“tasso di burning cost”, ottenuto a posteriori (in riferimento ad un

orizzonte temporale di m anni, con m in genere uguale a 3 o 4)

come rapporto tra i risarcimenti che sono stati effettuati dal

riassicuratore ed il volume dei premi introitati dall’assicuratore

negli m anni considerati.

Così, chiamati Y1 , … , Ym gli esborsi globali del riassicuratore

negli m anni precedenti l’esercizio attuale, e TP1 , … , Tm P i premi

di tariffa incassati dalla cedente negli stessi m anni, e ipotizzando

che i rischi e le coperture utilizzate siano omogenei a quelle degli

anni passati, il tasso di burning cost è dato da:

∑∑

=

== m

tTt

m

tt

P

Y

1

1τ o, in alternativa, dalla ∑ ==

m

t Tt

t

PY

m 1

1*τ

Tale tasso, gravato da un caricamento η di sicurezza e per spese,

applicato al totale dei premi di tariffa incassati dall’assicuratore

nell’esercizio attuale (per i rischi considerati in quella copertura

riassicurativa), Tm P1+ , fornisce il premio di riassicurazione.

Più spesso il tasso effettivamente utilizzato risente sia del tasso di

burning cost (di esperienza) che della previsione della perdita che

quel particolare tipo di rischio comporta.

2) Premio fisso. In alternativa al precedente metodo di calcolo del

premio, che risulta quindi variabile nel tempo in funzione dei

risultati osservati (premio di esperienza), si può considerare

l’applicazione di un premio fisso, usualmente applicato alle

48

coperture riassicurative più impegnative, caratterizzate da sinistri

relativi ad eventi di natura catastrofale.

3) Loss ratio. Con riferimento alla modalità aggregate excess of loss,

l’accordo delle parti può essere basato anche sul rapporto sinistri

su premi di competenza (loss ratio) del portafoglio, considerando

quindi una limitazione espressa in termini percentuali, anziché in

termini monetari, per la ripartizione dell’onere aleatorio per

risarcimenti tra assicuratore e riassicuratore.

4) E.CO.MO.R e L.C.R.

Per la E.CO.MO.R, proposte per i premi equi di riassicurazione

sono state fatte da:

- Thèpaut [ ] ( )11

: −−

= mx

XE nmR

α con nmx : importo dell’ m -esimo

(con m stabilito nel trattato di riassicurazione) sinistro tra gli n

verificatisi e sotto l’ipotesi di distribuzione del risarcimento

data dalla ( )αPareto : α−−= xxFX 1)( .

L’espressione del premio equo indicato corrisponde al valore

atteso condizionato [ ]nmxXXE :/ > .

- Ammeter [ ] ( )( )1

1

1

1

−Γ

−Γ×

−=

m

mtXE R α

α

α

ottenuto con l’ipotesi che i

sinistri siano i.i.d. come una ( )αPareto e indipendenti da N la

cui distribuzione è data dalla ( )tPoisson .

Per la L.C.R., proposte per i premi equi sono state fatte da:

- Ammeter [ ] ( )( )m

mtXE R

Γ

−+Γ×

−×

= αα

α α 11

1

1

con le stesse ipotesi

fatte per il calcolo nella E.CO.MO.R.

Benktander propone invece di approssimare [ ]RXE con il premio

equo di un trattato “Excess of Loss” con una priorità

opportunamente definita.

49

3.6 NUOVA TIPOLOGIA RIASSICURATIVA

Tutte le coperture riassicurative trattate nei precedenti paragrafi

riguardano la ripartizione del risarcimento, e sono quindi dirette a

diminuire semplicemente (proporzionali) o a livellare, omogeneizzando

(non proporzionali), i massimi esborsi possibili e i capitali assicurati, e

possono riguardare ogni singolo sinistro o una collettività di rischi

omogenei o, al limite, l’intero portafoglio.

Riassicurazione di probabilità.

Un nuovo modo per effettuare la riassicurazione è quello di alterare

contrattualmente la probabilità di verificarsi del sinistro, a differenza di

tutte le altre coperture riassicurative trattate precedentemente, che

intervengono direttamente o indirettamente sulla ripartizione del

risarcimento X .

L’unico modo per poter realizzare questo risultato è aggiungere

esperimenti casuali che determinino come deve essere ripartito il danno

da risarcire tra l’assicuratore e il riassicuratore.

Il caso più estremo è quello in cui il danno viene interamente addossato

all’assicuratore o al riassicuratore, a seconda dell’esito degli esperimenti.

Esempio: si considera un contratto assicurativo vita, con modalità capitale

differito, per cui un individuo di età x , se vivo dopo n anni, con

probabilità xn p , riceve un capitale C . Si suppone che 8,0=xn p ,

valore desunto dalle tavole di mortalità. Se l’assicuratore che ha

acquisito questo contratto, lo reputa troppo pericoloso, perché con

probabilità di verificarsi del “danno” molto alta, la può diminuire, ad

esempio fino al valore 4,0=q . Allora può utilizzare una copertura

riassicurativa basata su un esperimento casuale con due esiti, ognuno

con probabilità ½. Il risarcimento tocca interamente all’assicuratore,

se l’evento non si verifica, e tocca interamente al riassicuratore, se

50

esso si verifica. Stipulato questo contratto di riassicurazione, la

probabilità del verificarsi dell’evento “conservata” dall’assicuratore,

è quella voluta: 4,021 =×xn p .

Si può effettuare un confronto con una riassicurazione proporzionale e, a

parità di premio equo, vedere come questo esempio di riassicurazione di

probabilità influisce sulla varianza dell’esborso dell’assicuratore:

si considera il rischio

=p-1 0

p CX

è [ ] pCXE = e ( ) [ ] [ ] ( )ppCpCpCXEXEXVar −=−=−= 1222222

1) Con la riassicurazione proporzionale con aliquota ritenuta a è

( ) ][][ 1 XaEaCpXE C == e ( ) ( ) ][11][ 1 XEaCapXE R −=−=

( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( ) ( )ppCaapCpCaXEXEXVar CCC −=−=−= 12222221211

( ) ( ) ( )ppCaXVar R −−= 11 221

2) Con la riassicurazione di probabilità con probabilità conservata q , è

[ ] [ ]XEpq

qCXE C ==2 e [ ] ( ) ( ) [ ]XEp

qpCqpXE R −

=−=2

( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( ) ( )qqCqCqCXEXEXVar CCC −=−=−= 122222222

( ) ( )[ ] [ ] ( )( ) ( )[ ] =−−−=−= 2222222 CqpqpCXEXEXVar RRR

( )( )qpqpC +−−= 12

A parità di media del rischio ceduto, cioè con [ ] [ ]XEpq

XaE = , ossia

apq = , si ha che la varianza del rischio con la riassicurazione

proporzionale è minore della varianza nel caso di riassicurazione di

probabilità, sia per l’assicuratore che per il riassicuratore. È infatti:

per l’assicuratore ( ) ( )qqCppCa −≤− 11 222 poiché 1≤a

per il riassicuratore ( ) ( ) ( )( )qpqpCppCa +−−≤−− 111 222 poiché 0≥a

51

Mentre nella scelta tra le due è preferibile la riassicurazione proporzionale

(per la maggiore riduzione di varianza), in un’ottica di omogeneizzazione

dei rischi del portafoglio, queste due modalità possono essere

efficacemente combinate (vedi successivamente, tabella 3.3).

Da segnalare inoltre che anche questa copertura riassicurativa comporta

un semplice calcolo del premio equo di riassicurazione, analogo a quello

per le riassicurazioni proporzionali.

L’aspetto problematico in questa forma di riassicurazione può essere

rappresentato dalla realizzazione dell’esperimento in modo da garantire la

probabilità q contrattualmente fissata. Per evitare contestazioni si può

pensare di fissare, fin dall’inizio del periodo di assicurazione –

riassicurazione, se un singolo contratto spetta interamente all’assicuratore

o al riassicuratore.

Al di là di questa perplessità, questa copertura riassicurativa potrebbe

aiutare, come si era già detto, l’assicuratore a omogeneizzare i rischi del

portafoglio, livellandone le probabilità di accadimento degli stessi.

Qualora si utilizzassero entrambe le forme di riassicurazione (questa, di

probabilità e, ad esempio, la copertura per eccedente di somma), questo

livellamento dei rischi potrebbe essere ulteriormente rafforzato.

Il risultato di una tale omogeneizzazione, attuata in riferimento a 10

contratti con valori (o capitali o massimali) assicurati iV , probabilità di

verificarsi del sinistro ip , relativi premi equi ie P , con la riassicurazione

per eccedente di somma con pieno 5000=C e con la riassicurazione sulle

probabilità con probabilità conservata per ogni sinistro pari a 4,0=q ,

può essere visto nella seguente tabella.

52

Tabella 3.3

Senza riassicurazione

i Vi pi ePi

1 7000 0,1 7002 9000 0,4 36003 5000 0,2 10004 5000 0,6 30005 6000 0,4 24006 7000 0,5 35007 8000 0,6 48008 1000 0,5 5009 10000 0,2 2000

10 3000 0,4 1200

Riassicurazione per eccedente di somma

i Vi^ pi ePi

1 5000 0,1 5002 5000 0,4 20003 5000 0,2 10004 5000 0,6 30005 5000 0,4 20006 5000 0,5 25007 5000 0,6 30008 1000 0,5 5009 5000 0,2 1000

10 3000 0,4 1200

Riassicurazione combinata, sulle probabilità e per eccedente di somma

i Vi^ q ePi

1 5000 0,1 5002 5000 0,3 15003 5000 0,2 10004 5000 0,3 15005 5000 0,3 15006 5000 0,3 15007 5000 0,3 15008 1000 0,3 3009 5000 0,2 1000

10 3000 0,3 900

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

2000

4000

6000

8000

10000

PV

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

2000

4000

6000

8000

10000

PV

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

2000

4000

6000

8000

10000

P

V

L’omogeneizzazione così ottenuta è decisamente efficace, riducendo i

vari contratti ad uno stesso “contratto ideale”, il cui massimo esborso e la

cui massima probabilità di verificarsi sono scelte dall’assicuratore.

L’omogeneizzazione a livello del solo capitale assicurato infatti può

essere talvolta non del tutto soddisfacente: un indicatore migliore del

53

livello di omogeneizzazione dei vari rischi può essere rappresentato dal

premio di assicurazione al netto del premio di riassicurazione, poiché, a

parità di capitale assicurato, se anche i premi netti sono pressoché uguali,

ciò significa che i rischi conservati sono veramente omogenei.

54

CAPITOLO 4

ANALISI DELLA CONVENIENZA ALLA

RIASSICURAZIONE

4.1 ELEMENTI DI TEORIA DELL’UTILITÀ

Spesso, nella vita di tutti i giorni, e ancor più nelle materie attuariali, si ha

a che fare con delle situazioni aleatorie, il cui esito quindi è incerto. Il più

classico e diffuso indicatore di queste situazioni è, com’è noto, il valore

monetario atteso.

Data una variabile aleatoria risultato X , con una serie di possibili esiti

nxx ,...,1 e con relative probabilità ( ) ( )nxpxp ,...,1 , tali che ( )∑ ==

n

i ixp1

1 , si

definisce

Def. di valore monetario atteso [ ] ( )∑ ===

n

i ii xpxXEx1

_

, o anche

[ ] ( )∫==R x zzdFXEx

_

, interpretando l’integrale nel senso di Stiltjies.

Quest’ultima formula è valida in generale, quindi anche per il caso in cui

l’insieme dei possibili risultati della variabile X sia continuo

Questo indicatore porterebbe a giudicare indifferente scambiare un

guadagno aleatorio con il suo valor medio deterministico. Ma

generalmente nella realtà non è così, e per quantificare le valutazioni che

gli individui fanno riguardo a situazioni aleatorie, si utilizza un’opportuna

trasformazione dei suddetti valori, invece che direttamente gli stessi; non

solo, quei guadagni (in senso lato poiché potrebbero prefigurarsi anche

con valori negativi) vengono considerati come variazioni della ricchezza

posseduta.

55

Esempio.

Un aumento del proprio capitale di una somma, ad esempio di 1000

(euro), viene valutata più o meno buona, a seconda del livello del

capitale già detenuto. Infatti, per un individuo che ha un capitale di 100

(euro), un introito di 1000 vale molto più di quanto possa valere per un

individuo che ha già un capitale di un milione (per il quale, un aumento

di 1000 non è più di tanto significativo).

Questa differenza, oggettivamente riconoscibile, non si riscontra se si

valuta guardando solamente l’incremento di ricchezza: la somma 1000 è

la stessa per entrambi.

Spesso come trasformazione della ricchezza detenuta viene utilizzata la

cosiddetta funzione di utilità, indicata con u , funzione che appunto

esprime l’utilità che il soggetto attribuisce al possesso di ricchezza.

( )Xu è l’utilità dell’importo certo Rx ∈ (è quindi l’utilità che l’individuo

ha con un capitale pari a x ).

Essa deve essere continua e crescente (infatti è ovvio che se un valore 1x

è maggiore di un valore 2x , l’utilità che il soggetto attribuisce al valore 1x

deve essere maggiore dell’utilità attribuita al valore 2x ), quindi, se anche

derivabile, con derivata prima maggiore o uguale a zero.

Ma nulla di generale si può dire riguardo alla concavità/convessità di

questa funzione. Infatti essa può essere lineare, concava, convessa …

Si assume che l’utilità, che l’individuo attribuisce al valore 0, sia pari a 0.

Inoltre, si può standardizzare la funzione con delle trasformazioni lineari

(si dimostra che il sistema di preferenza determinato da una funzione di

utilità è invariante per trasformazioni lineari crescenti).

56

La funzione di utilità è quindi una misura più opportuna per fare

valutazioni e l’individuo, invece di usare, come indicatore, il valore

monetario atteso, può impiegare l’utilità attesa.

Se X è la ricchezza aleatoria posseduta e ( )XuU = è la variabile aleatoria

ottenuta dalla trasformazione u di X , allora:

Def. di utilità attesa [ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∫∑ ==== R x

n

i ii zdFzuxpxuXuEUE1

Se la u si assume superiormente limitata (ad esempio da 1, con

standardizzazione della funzione), si dice di assumere l’ipotesi di

saziabilità. Ciò non è possibile nelle ipotesi di linearità e di convessità di

u , mentre l’assunzione di limitatezza può essere soddisfatta se si ammette

la concavità della funzione di utilità.

Per capire le implicazioni di queste tre ipotesi sulle scelte di un individuo,

si considera il cosiddetto equivalente certo.

Def. di equivalente certo ( )[ ]( )XuEuxc1−=

Ovviamente questo importo cx , confrontato con la media [ ]XE , soddisfa

differenti disuguaglianze, a seconda della concavità della funzione ( ).u .

1 Se u è una funzione lineare, ( )[ ] [ ]( )XEuXuE = e [ ]XExc = . In questo

caso si dice che l’individuo è neutrale al rischio.

2 Se u è una funzione concava, ( )[ ] [ ]( )XEuXuE ≤ e [ ]XExc ≤ . In questo

caso si dice che l’individuo è avverso al rischio.

3 Se u è una funzione convessa, ( )[ ] [ ]( )XEuXuE ≥ e [ ]XExc ≥ . In questo

caso si dice che l’individuo è propenso al rischio.

È interessante reinterpretare cx come ricchezza deterministica posseduta,

giudicata equivalente a quella incerta rappresentata da X .

57

Data una variabile aleatoria X che indica il capitale di un soggetto, con

realizzazioni nxx ,...,1 e relative probabilità ( ) ( )nxpxp ,...,1 , per individui

avversi al rischio, si definisce:

Def. di premio al rischio ( ) cxXE −=π ; è quell’importo che rappresenta il

massimo valore che l’individuo (avverso al rischio) è disposto a pagare

con certezza per evitare la detenzione della ricchezza aleatoria X .

Def. di misura di avversione al rischio di Pratt ( ) ( )( )xuxu

xr'''

−= , per la quale

vale: 0>π se e solo se ( ) 0'' <xu se e solo se ( ) 0>xr .

4.2 DEFINIZIONI GENERALI

Nota: per chiarezza, tutti i contratti nominati, non espressamente

accompagnati dal termine “riassicurativo” o simili, devono essere

automaticamente considerati come contratti di assicurazione tra

compagnia assicuratrice e soggetto; inoltre per compagnia si intenderà

sempre la compagnia assicuratrice, mentre per la compagnia

riassicuratrice verrà sempre utilizzato il termine “riassicuratore”.

Si assume nel rapporto trilaterale assicurato – compagnia – riassicuratore,

che siano noti i seguenti elementi:

X variabile aleatoria “prestazione del contratto di assicurazione” con

distribuzione generica ( )xFX (generalmente il punto 0 è l’unico

punto di massa di probabilità, cioè tale che ( ) 00Pr >=X , essendo

l’insieme di tutti gli altri punti un insieme continuo)

[ ]XEPe = premio equo di assicurazione

m caricamento di sicurezza che l’assicuratore inserisce nel premio puro

58

s caricamento per spese per il contratto di assicurazione (supposto

proporzionale al premio di tariffa secondo un’aliquota data, η , senza

che l’assicuratore possa modificarla)

P premio puro di assicurazione; mPP e +=

PT premio di tariffa per il contratto di assicurazione; sPPT +=

( ).l funzione che associa ad un rischio (come X ), la parte di rischio

ceduta al riassicuratore; per cui, se si verifica il sinistro con valore

del danno x , all’assicuratore spetta il risarcimento ( )xlx − e al

riassicuratore una parte del risarcimento pari a ( )xl

( )[ ]XlEP Re = premio equo di riassicurazione

Rm caricamento di sicurezza inserito dal riassicuratore Rs caricamento per spese per il contratto di riassicurazione, anche

questo supposto proporzionale, secondo un’aliquota data δ , al

premio di tariffa per il contratto di riassicurazione RP premio puro di riassicurazione; RReR mPP += (si considera il premio

puro di riassicurazione, al netto della provvigione di riassicurazione) RT P premio di tariffa di riassicurazione; RRRT sPP +=

Con le assunzioni fatte, siano infine:

RCA uuu , , le funzioni di utilità rispettivamente dell’assicurato (A), della

compagnia (C) di assicurazione, del riassicuratore (R)

RCA ggg , , le ricchezze iniziali (prima di concludere i contratti)

rispettivamente dell’assicurato, dell’assicuratore e del riassicuratore.

4.3 PUNTO DI VISTA DELL’ASSICURATO

Si assume che l’assicurato sia avverso al rischio, ipotesi molto

ragionevole, poiché altrimenti non prenderebbe neanche in considerazione

59

l’eventualità di assicurarsi per un rischio monetario pagando più del

danno atteso.

Se non si assicura, l’assicurato dispone della sua ricchezza Ag . A suo

carico, grava il rischio X , quindi la sua è una “situazione” aleatoria. La

sua valutazione di convenienza è data dall’utilità media:

( )[ ] ( ) ( )∫+∞

−=−=0

1,

_

xdFxguXguEu XAAAA 4.3.1

Se si assicura, l’assicurato elimina totalmente il rischio X , tramite il

pagamento del premio di tariffa PT . La sua utilità è

( ) ( )PguPu TAA

TA −=2,

_

4.3.2

Perché all’assicurato convenga stipulare il contratto, deve essere:

( ) 1,

_

2,

_

AT

A uPu ≥ 4.3.3

Per trovare il valore massimo del premio di tariffa, per cui all’assicurato

convenga concludere il contratto di assicurazione, si deve risolvere quindi

l’equazione nella variabile PT

( ) 1,

_

2,

_

AT

A uPu = 4.3.4

Si intuisce immediatamente che, se Aπ è la soluzione dell’equazione

4.3.4, il valore Pg TA − è l’equivalente certo, secondo la funzione di utilità

dell’assicurato, della situazione rappresentata dal capitale dell’assicurato

sotto il rischio X . Aπ rappresenta perciò il massimo valore del premio

oltre il quale cessa la convenienza del contratto di assicurazione per

l’assicurato.

Ricordando l’avversione al rischio dell’assicurato e la definizione di

premio al rischio, risulta ovviamente che il valore Aπ è maggiore del

premio equo Pe e ciò rende possibile l’inserimento di un caricamento di

sicurezza da parte dell’assicuratore.

60

4.4 PUNTO DI VISTA DELL’ASSICURATORE

Si assume che anche l’assicuratore sia avverso al rischio. Egli deve

decidere se gli conviene stipulare il contratto di assicurazione, in base al

premio introitato, eventualmente riassicurandosi.

Si suppone inizialmente che l’assicuratore analizzi la convenienza

soltanto al contratto assicurativo senza riassicurarsi.

Successivamente verrà analizzato il caso in cui l’assicuratore valuti

l’ipotesi di stipulare il contratto assicurativo e contemporaneamente di

riassicurarsi

L’assicuratore dispone del capitale Cg , quindi la sua utilità è

( )CCC guu =1,

_

4.4.1

Se viene stipulato il contratto di assicurazione, la ricchezza

dell’assicuratore aumenta del valore del premio puro P , ma diventa

aleatoria e non più certa. La situazione, dopo aver concluso il contratto di

assicurazione, ma prima di concludere l’eventuale contratto di

riassicurazione, include il rischio del contratto, quindi i due possibili esiti

per l’assicuratore sono:

1) l’evento oggetto del rischio si verifica

l’assicuratore, che dispone già del capitale Cg , aumentato del premio

puro P (equivalente al premio di tariffa PT introitato, decurtato

dalle spese s ), subisce una perdita pari al danno verificatosi (nel

caso, supposto, di copertura integrale), che segue la distribuzione

( )xFX .

2) l’evento oggetto del rischio non si verifica

all’assicuratore rimane semplicemente il capitale PgC + , senza

altri esborsi

61

La valutazione di convenienza dell’assicuratore è data dall’utilità media:

( ) ( )∫∞+

−−+=0

2,

_

)(xdFxsPguPu XT

CCT

C 4.4.2

Perché all’assicuratore convenga il contratto di assicurazione, dev’essere:

( ) 1,

_

2,

_

CT

C uPu ≥ 4.4.3

Per l’assicuratore si può fare l’analogo discorso fatto per l’assicurato.

Per trovare il valore minimo del premio di tariffa, per cui all’assicuratore

convenga stipulare il contratto di assicurazione, si deve risolvere

l’equazione, nella variabile PT :

( ) 1,

_

2,

_

CT

C uPu = 4.4.4

Anche qui è chiaro che, se 2,Cπ è la soluzione dell’equazione 4.4.4, esso

rappresenta il minimo valore sotto il quale cessa la convenienza al

contratto di assicurazione per l’assicuratore.

Per l’assicuratore si prospetta l’ipotesi di stipulare un contratto di

riassicurazione, per cedere una parte del rischio acquisito. Deve decidere

se gli conviene cedere quella parte del rischio, a seconda dei premi di

assicurazione e di riassicurazione pattuibili.

La situazione, una volta concluso il contratto di riassicurazione (e di

assicurazione) è comunque aleatoria e prevede due possibili esiti:

1) l’evento oggetto del rischio si verifica

l’assicuratore, che dispone già del capitale Cg , aumentato del

premio puro (quindi al netto delle spese) di assicurazione P

introitato, e decurtato del premio di riassicurazione RT P pagato,

subisce una perdita variabile in base alla modalità riassicurativa,

che dipende da ( ).l

2) l’evento oggetto del rischio non si verifica

allora l’assicuratore non è tenuto al risarcimento

62

In questa situazione quindi, la sua valutazione di convenienza è data

dall’utilità media:

( ) ( ) ( )∫+∞

+−−−+=0

3,

_

)()(, xdFxlPxsPguPPu XRTT

CCRTT

C 4.4.5

Perché all’assicuratore convenga il contratto di riassicurazione (e di

assicurazione), dev’essere per PT e per RT P

( ) ( )PuPPu TC

RTTC 2,

_

3,

_

, ≥ 4.4.6

Anche in questo caso, per l’assicuratore esiste un valore del premio di

assicurazione, chiamato ( )PTC 3,π e che realizza l’uguaglianza

( ) ( )PuPPu TC

RTTC 2,

_

3,

_

, = 4.4.7

( )PTC 3,π rappresenta il massimo valore del premio di tariffa per il

contratto di riassicurazione, oltre il quale il contratto di riassicurazione

non è vantaggioso per l’assicuratore.

Il contratto di riassicurazione deve inoltre essere conveniente rispetto alla

situazione di partenza (con il solo capitale Cg ); questa condizione si

tramuta nella

( ) 1,

_

3,

_

, CRTT

C uPPu ≥ 4.4.8

La convenienza alla stipulazione di entrambi i contratti dipende quindi

dalla coppia ( )RTT PP, , e non è più un semplice intervallo.

Il luogo delle coppie ( )RTT PP, che rendono conveniente i due contratti per

l’assicuratore, sono quindi quelle coppie che soddisfano:

( ) ( )

≥ 1,

_

2,

_

3,

_

,max, CT

CRTT

C uPuPPu 4.4.9

Nel seguito il luogo delle coppie che realizzano quella disuguaglianza

verrà indicato con ( )CRTT PP, .

63

4.5 PUNTO DI VISTA DEL RIASSICURATORE

Si assume che anche il riassicuratore sia avverso al rischio.

È un’ipotesi molto ragionevole, perché è innanzitutto anche lui un

assicuratore, nel senso che incassa un premio certo in cambio di una

prestazione aleatoria, e, in quanto assicuratore, è avverso al rischio.

Il riassicuratore deve decidere se accettare il rischio che l’assicuratore gli

cede, in base al prezzo pattuito (premio di riassicurazione).

Il riassicuratore dispone del capitale certo Rg , e la sua utilità è:

( )RRR guu =1,

_

4.5.1

Assumendo che debba valutare solo questo singolo contratto di

riassicurazione, e non questo in relazione agli altri, il riassicuratore,

stipulando il contratto di riassicurazione con premio di tariffa di

riassicurazione RT P generico, acquisisce un rischio, quindi la sua

ricchezza non è più certa, ma aleatoria.

La sua valutazione di convenienza, dopo aver stipulato il contratto, è data

dall’utilità media:

( ) ( )∫+∞

−−+=0

2,

_

)()()( xdFxlsPguPu XRRT

RRRT

R 4.5.2

Perché al riassicuratore convenga il contratto di riassicurazione,

dev’essere:

( ) 1,

_

2,

_

RRT

R uPu ≥ 4.5.3

Anche in questo caso, per il riassicuratore esiste un valore Rπ , trovato

tramite l’equazione in RT P

( ) 1,

_

2,

_

RRT

R uPu = 4.5.4

che rappresenta il minimo valore del premio di tariffa per il contratto di

riassicurazione, sotto il quale non c’è convenienza per il riassicuratore.

64

4.6 CONVENIENZA AI CONTRATTI DI ASSICURAZIONE E RIASSICURAZIONE

Ricapitolando, per il contratto di assicurazione tra assicurato e

compagnia, si è ottenuto che all’assicurato conviene fare il contratto di

assicurazione anche se il premio di assicurazione è maggiore del premio

equo, e che la compagnia di assicurazione è disposta ad accettare il

contratto solo se il premio è maggiore del premio equo.

Ma questo non dà la certezza che esista un valore del premio che renda il

contratto vantaggioso per entrambi i contraenti. Ricordando che Aπ è il

massimo valore del premio che l’assicurato è disposto a pagare, e 2,Cπ è il

minimo valore del premio che rende il contratto conveniente per la

compagnia, si ha che:

- se 2,CA ππ < non esistono soluzioni, e non c’è nessun accordo

- se 2,CA ππ = esiste un unico valore del premio ( 2,CAT P ππ == ),

indifferente per entrambi i contraenti. In questo caso è difficile

che il contratto venga stipulato, perché il margine di sicurezza è

il minimo che l’assicuratore è disposto ad inserire.

- se 2,CA ππ > esiste un intervallo per il premio di assicurazione, in

cui risulta conveniente il contratto sia per l’assicurato che per la

compagnia di assicurazione.

Per il contratto di riassicurazione tra compagnia assicuratrice e

riassicuratore, il discorso si complica perché, come è stato già detto, la

regione di convenienza per l’assicuratore è una regione dipendente sia dal

premio di tariffa per il contratto di assicurazione sia da quello del

contratto di riassicurazione.

65

Si ha che:

- se la regione ( )CRTT PP, non comprende valori per il premio di

riassicurazione maggiori di Rπ , allora non c’è una regione di

convenienza, e l’assicuratore non stipula il contratto di

riassicurazione; allora analizza la convenienza al singolo

contratto di assicurazione

- se la regione ( )CRTT PP, contiene Rπ come punto di frontiera e

nessun altro punto di RT P tale che sia maggiore di Rπ , esiste un

unico valore che rende indifferente il contratto di

riassicurazione; probabilmente, sempre per gli stessi motivi,

l’assicuratore non stipula il contratto di riassicurazione

- se la regione ( )CRTT PP, comprende valori, per il premio di

riassicurazione, maggiori di Rπ , allora esiste una regione di

convenienza, per cui l’assicuratore stipula il contratto di

assicurazione e di riassicurazione.

Un altro possibile impiego di questi ragionamenti è l’analisi non del

singolo rischio da assicurare e riassicurare, ma l’analisi di un trattato di

riassicurazione da stipulare. Utilizzando le relazioni già trovate, si può

arrivare a delle conclusioni di carattere generale, per i trattati obbligatori e

facob. Quest’analisi verrà presentata nel paragrafo 4.7.

Per analizzare meglio la convenienza dei contratti per i tre soggetti

considerati, si fanno ora delle ipotesi più specifiche circa le loro funzioni

di utilità: x

A exu α−−= 1)( funzione di utilità dell’assicurato

xC exu β−−=1)( funzione di utilità della compagnia assicurativa

xR exu γ−−= 1)( funzione di utilità del riassicuratore

66

È ben noto che per le funzioni di utilità esponenziali, l’indice di Arrow-

Pratt è costante. Se xexu λ−−=1)( , allora λλλ

λ

λ

=−

−=−= −

−

x

x

ee

xuxu

xr2

)(')(''

)( .

Quindi, nella famiglia delle funzioni di utilità considerate (esponenziali),

quanto minore è il valore del parametro, tanto meno è avverso al rischio il

soggetto di volta in volta considerato.

Con l’ipotesi di esponenzialità per le funzioni di utilità, si ha:

Per l’assicurato

la 4.3.1 diventa ( ) ( ) ( ) ( )∫∫+∞ −−+∞

−=−=00

1,

_

1 xdFexdFxguu Xxg

XAAAAα

la 4.3.2 diventa ( ) ( ) ( )PgTAA

TA

TAePguPu −−−=−= α12,

_

la convenienza all’assicurazione (4.3.3) per esso si traduce in:

( ) ( ) ( )∫+∞

−−−− −≥−0

11 xdFee XxgPg A

TA αα

( )

α

α∫+∞

≤ 0

ln xdFeP

Xx

T 4.6.1

il valore Aπ che rende il contratto di assicurazione indifferente per

l’assicurato è ( )

απ

α∫+∞

= 0

ln xdFe Xx

A

Per l’assicuratore

la 4.4.1 diventa ( ) CgCCC eguu β−−== 11,

_

la 4.4.2 diventa

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞+ −−+−∞+

−=−−+=0

)(

02,

_

)(1)( xdFexdFxsPguPu XxsPg

XT

CCT

CT

Cβ

la convenienza all’assicurazione (4.4.3) si traduce per esso in :

( ) CT

C gX

xsPg exdFe ββ −+∞ −−+− −≥−∫ 1)(10

)(

67

sxdFe

PX

x

T +≥∫

+∞

β

β

0)(ln

( )ηβ

β

−≥

∫+∞

1

)(ln0

xdFeP

Xx

T 4.6.2

il valore 2,Cπ che rende il contratto di assicurazione indifferente per

l’assicuratore è ( )ηβ

πβ

−=

∫+∞

1

)(ln0

2,

xdFe Xx

C

la 4.4.5 diventa

( ) ( ) ( ) =+−−−+= ∫∞+

03,

_

)()(, xdFxlxPsPguPPu XRTT

CCRTT

C

( ) ( )∫+∞ +−−−+−−=0

)()(1 xdFe XxlxPsPg RTT

Cβ

la convenienza ad entrambi i contratti (4.4.9) si traduce per esso in:

( ) ( )PuPPu TC

RTTC 2,

_

3,

_

, ≥

( ) 1,

_

3,

_

, CRTT

C uPPu ≥

che diventano:

( )

ββ

ββ ∫∫+∞ −+∞

−≤ 0

)(

0)(ln)(ln xdFexdFe

PX

xlxX

x

RT 4.6.3

( )( )

βη

β∫+∞ −

−−≤ 0

)( )(ln1

xdFePP

Xxlx

TRT 4.6.4

che possono essere riassunte nella

( )( )

ββη

ββ ∫∫+∞ −+∞

−

−≤ 0

)(

0)(ln)(ln

,1minudFeudFe

PPX

uluX

u

TRT 4.6.5

Per il riassicuratore

la 4.5.1 diventa ( ) RgRR egu γ−−=1

la 4.5.2 diventa:

∫∫+∞

−−+−+∞

−=−−+0

)]()([

0

)(1)()]()([ xdFexdFxlsPgu XxlsPg

XRRT

RR

RRTRγ

68

la convenienza al contratto di riassicurazione (4.5.3) si traduce in:

)(

0

)]()([ 1)(1 RRRT

R gX

xlsPg exdFe γγ −+∞

−−+− −≥−∫

RX

xl

RT sxdFe

P +≥∫

+∞

γ

γ

0

)( )(ln

( )δγ

γ

−≥

∫+∞

1

)(ln0

)( xdFeP

Xxl

RT 4.6.6

Il valore Rπ che rende il contratto di riassicurazione indifferente per

il riassicuratore è ( )δγπ

γ

−=

∫+∞

1

)(ln0

)( xdFe Xxl

R .

Si nota immediatamente che nella determinazione dei vari Aπ , 2,Cπ , Rπ , e

della regione ( )CRTT PP, , con l’ipotesi di esponenzialità delle funzioni di

utilità, non compaiono i capitali iniziali Ag , Cg , Rg ; questo non significa

che siano ininfluenti, infatti essi contribuiscono alla determinazione dei

parametri delle funzioni di utilità: quanto più alto è il capitale di un

soggetto, tanto meno egli è avverso al rischio, e quindi, ricordando la

relazione tra il parametro della funzione di utilità e la misura di

avversione al rischio di Arrow-Pratt, tanto più piccolo è il valore del

parametro della funzione esponenziale.

Per chiarire, confrontando l’assicurato e la compagnia di assicurazioni, il

capitale della compagnia è di gran lunga maggiore del capitale

dell’assicurato, quindi la compagnia è meno avversa al rischio di quanto

lo è l’assicurato.

È immediata conseguenza quindi che il parametro β (della funzione di

utilità della compagnia) è minore del parametro α (della funzione di

utilità dell’assicurato); occorre sottolineare che questa relazione ( βα > )

69

non garantisce l’esistenza di un intervallo di negoziazione del premio di

assicurazione, a causa delle spese che l’assicuratore deve sopportare,

PTη . Analogo discorso vale per il rapporto tra assicuratore e

riassicuratore.

Si può vedere, tramite un’analisi grafica, come varia la regione

complessiva di convenienza per i due contratti.

Per il contratto di assicurazione si è visto che la regione di convenienza

per i due contraenti è data dall’insieme dei punti tali che PT è compreso

tra 2,Cπ e Aπ (valori dipendenti solo dalla distribuzione del danno X ):

Grafico 4.1

La regione di convenienza per il contratto di riassicurazione è più

interessante, perché dipende da due variabili. Essa deve rispettare le

condizioni imposte dalla 4.6.3, 4.6.4 e 4.6.6.

La 4.6.6 impone, per la convenienza del riassicuratore, che il premio di

riassicurazione sia superiore ad una certa soglia, indicata con ( )lRπ

perché dipendente dal tipo di copertura riassicurativa scelta, ( ).l .

La 4.6.3 identifica il valore massimo del premio di riassicurazione, per

l’assicuratore; esso deve essere minore di un certo valore, indicato con

( )lC 3,π perché dipendente dalla distribuzione del danno X e dal tipo di

70

copertura riassicurativa scelta, ( ).l , dato dalla differenza tra 2,Cπ e il

valore ( )

β

β∫+∞ −

0

)( )(ln xdFe Xxlx

, indicato con ( )lk .

La 4.6.4 impone un ulteriore vincolo al premio RT P , dipendente dal

premio PT ; la limitazione imposta è data da una retta con equazione

( )( )

( ) ( )lkPxdFe

PP TXxlx

TRT −−=−−= ∫+∞ −

ηβ

ηβ

1)(ln

1 0

)(

4.6.6

e con inclinazione di un angolo minore di 45° (è infatti

( ) ( ) °=<− 4511 arctgarctg η ).

Poiché il punto ( )( )lCC 3,2, ,ππ soddisfa l’equazione 4.6.6, ciò significa che

la retta data dalla 4.6.6 passa per il punto.

La figura della regione di convenienza alla riassicurazione (grigio scuro) è

quindi univocamente determinata, rispetto alla regione di convenienza per

l’assicurazione (grigio chiaro) che coincide, com’è già stato detto, con la

parte di piano delimitata, per le ascisse, dai valori Aπ e 2,Cπ .

La regione di convenienza alla riassicurazione appare quindi come un

trapezio scaleno, come nel seguente grafico.

Grafico 4.2

La principale considerazione che si può evincere da questi risultati è che

l’area di convenienza per l’assicuratore, con la riassicurazione, si estende

71

oltre l’originaria regione di convenienza all’assicurazione, per cui

l’assicuratore può essere disposto ad acquisire il contratto di assicurazione

anche ad un prezzo inferiore a 2,Cπ , perché comunque il caricamento

insufficiente è compensato dal rapporto riassicurativo.

Quindi l’assicuratore, grazie all’intervento del riassicuratore, può

proporre sul mercato assicurativo delle polizze con dei premi inferiori alla

sua originaria possibilità, premi che rendono le polizze più competitive

sul mercato rispetto a quelle di eventuali altre compagnie di assicurazione

con stessa avversione al rischio e che non ricorrono alla riassicurazione.

La forma della regione di convenienza ai contratti è sempre la stessa, ma

le dimensioni variano a seconda delle avversioni al rischio, della

distribuzione del danno X e della copertura riassicurativa ( ).l .

Per ricercare, in quest’area di convenienza, una soluzione che sia

soddisfacente per i tre soggetti, si deve introdurre un criterio di ottimalità,

che verrà presentato nel capitolo 5, dopo un breve sguardo ai principali

criteri utilizzati in letteratura.

4.7 CONVENIENZA AI TRATTATI DI RIASSICURAZIONE

Con gli stessi risultati ottenuti per analizzare le regioni di convenienza ai

contratti di assicurazione e riassicurazione, si può anche effettuare

un’analisi dei trattati di riassicurazione e delle relative regioni di

convenienza. Le scelte ottimali di riassicurazione verranno trattate sempre

nel capitolo 5, anche nel caso dei trattati obbligatori e facob.

72

Caso I: riassicurazione facob

Il limite superiore per il premio di assicurazione rimane sempre dato

da Aπ ; la differenza è che il premio di riassicurazione, essendoci un

trattato, è una funzione ( ).g del premio di assicurazione e della parte

di rischio ceduta (spesso anche questa fissata nel trattato), per cui il

premio di riassicurazione è automaticamente identificato.

Questa funzione ( ).g è crescente, e può essere lineare (come 1g ),

convessa (come 2g ), …

Grafico 4.3

La regione di convenienza per la riassicurazione coincide con il

grafico di questa funzione, per valori del premio di assicurazione

inferiori a Aπ e superiori ad un certo valore generalmente fissato nel

trattato, chiamato *π , sotto il quale il contratto non rientra nel trattato

(questo valore *π è più piccolo del minimo valore del premio di

tariffa a cui l’assicuratore è disposto a vendere il contratto di

assicurazione, 3,Cπ , ed è comunque maggiore o uguale del premio di

tariffa che introiterebbe il riassicuratore acquisendo direttamente il

rischio sul mercato). Per il caso invece, in cui l’assicuratore decida di

non riassicurarsi, allora la regione di convenienza comprende i restanti

punti tali che il premio PT è delimitato da 2,Cπ e Aπ .

73

Caso II: riassicurazione obbligatoria

Il discorso si ripete analogo a quello fatto per le riassicurazioni facob,

con l’unica differenza che appunto l’assicuratore, se acquisisce il rischio

sul mercato, deve cederlo al riassicuratore secondo i patti stabiliti nel

trattato; l’assicuratore non ha facoltà di scelta, quindi la regione di

convenienza, in questo caso, coincide con il grafico della funzione ( ).g .

Grafico 4.4

Un’altra interessante applicazione di questi ragionamenti può essere

svolta in riferimento non ad un preesistente trattato di riassicurazione, ma

nell’analisi degli effetti che comporterebbe l’eventuale stipulazione di un

trattato di riassicurazione, per la scelta della funzione ( ).g . Anche

quest’applicazione trattata nel capitolo 5.

74

CAPITOLO 5

POLITICHE OTTIMALI DI RIASSICURAZIONE

5.1 PREMESSA

L’analisi delle regioni di convenienza ai contratti di assicurazione e di

riassicurazione effettuata nel precedente capitolo, si inserisce in una più

ampia ottica di ricerca della miglior copertura riassicurativa, secondo gli

interessi del solo assicuratore (politiche unilaterali) o dell’assicuratore e

del riassicuratore (politiche bilaterali).

Le preoccupazioni principali dell’assicuratore riguardano le fluttuazioni

annuali dei risultati economico – patrimoniali, che potrebbero portare a

perdite gravose compromettendo gli assetti e gli equilibri aziendali. Per

evitare questo o diminuire la probabilità di questi eventi negativi,

l’assicuratore può intervenire aumentando il caricamento di sicurezza, ma

essendo una scelta che complica l’acquisizione dei contratti sul mercato, è

preferibile spesso ricorrere a strumenti come la riassicurazione e la

coassicurazione, con qualche sacrificio in termini di guadagno atteso di

portafoglio.

Tenendo come base le modalità riassicurative trattate nel capitolo 3,

verranno presentati vari approcci, basati essenzialmente sulla

minimizzazione della probabilità di rovina e sulla massimizzazione

dell’utilità attesa, per la determinazione di una politica ottimale di

riassicurazione da applicare ad un determinato portafoglio.

Verrà di seguito utilizzata la seguente simbologia a livello di portafoglio:

- n numero, ipotizzato sufficientemente grande, di contratti omogenei

(rischi analoghi, tenuto conto di caratteristiche rilevabili a priori)

afferenti al portafoglio considerato.

75

- iX variabile aleatoria, per ogni contratto i , con media [ ] ie

i PXE = e

varianza ( ) 2iiXVar σ= . A livello di portafoglio: X , Pe , 2σ .

- ∑ ==

n

i imm1

caricamento di sicurezza introitato per tutti gli n contratti

- ∑ ==

n

iRi

R mm1

caricamento di sicurezza utilizzato dal riassicuratore

- iiie

i XmPG −+= è il guadagno (aleatorio) relativo al generico contratto i

- ∑ ==

n

i iGG1

guadagno aleatorio sull’intero portafoglio

- ( ) Ci

Ri

Ri

eii

eCi XmPmPG −+−+= guadagno aleatorio relativo al contratto i

riassicurato; [ ] Rii

Ci mmGE −= , ( ) ( )C

iCi XVarGVar = , ( ) ( )C

iCi XG 33 µµ −=

- ∑ ==

n

iCi

C GG1

guadagno aleatorio dell’assicuratore relativo ai rischi

conservati; [ ] RC mmGE −= , ( ) ( )CC XVarGVar = , ( ) ( )CC XG 33 µµ −=

5.2 POLITICHE OTTIMALI DI RIASSICURAZIONE

Politiche unilaterali

In letteratura come politiche unilaterali di riassicurazione sono trattati

principalmente i due criteri della massimizzazione dell’utilità attesa e

quello della minimizzazione della probabilità di rovina.

A) Massimizzazione dell’utilità attesa.

L’utilità attesa della ricchezza dell’assicuratore, se effettua la

riassicurazione, è ( )[ ]CC GguE + ; con l’ipotesi di esponenzialità per la

funzione di utilità, riprendendo la stessa notazione del capitolo 4, diventa

( )[ ]CC GgeE +−− β1 e massimizzare questo valore significa minimizzare

( )[ ] [ ]CC

CC GgGg eEeeE βββ −−+− = , o analogamente [ ]CGeE β− o [ ]( )CGeE β−ln .

Modalità “in quota globale”. È aXX C = e si fa l’ipotesi che

( ) RR kam −= 1 , dove Rk è il caricamento che il riassicuratore

inserirebbe se il complessivo rischio X fosse localizzato presso di lui.

76

Approssimando l’espressione [ ]( )CGeE β−ln , che è la funzione

generatrice dei cumulanti di CG nel punto β− , con il polinomio di

Taylor di ordine 3, si ottiene che l’obiettivo si sposta nella

minimizzazione di [ ] ( ) ( )CCC GGVarGE 3

32

62µ

βββ −+− , al variare del

parametro a .

Poiché tale espressione equivale, con le ipotesi assunte, a

( )( ) ( ) ( ) =++−−− CCR XXVarkam 3

2

621 µ

ββ

( )( ) 33

222

621 µ

βσ

βaakam R ++−−−= ,

si ottiene

se 03 =µ

= 2,1min*βσ

Rka

se 03 >µ ( )

−+= 121,1min* 22

3

3

2

σ

µβµσ Rk

a

Modalità “in quota individuale”. È iiCi XaX = e si fa l’ipotesi, analoga a

quella fatta precedentemente, che ( ) Rii

Ri kam −= 1 , e quella

d’indipendenza tra gli n rischi.

Per la ricerca della soluzione ottima vale un discorso analogo a quello

fatto per la modalità in quota globale; risulta infatti

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )∑∏ =−

=−−− ==

∑= =

n

iGn

i

GGG Ci

Ci

n

iCiC

eEeEeEeE11lnlnlnln 1 ββββ .

La ricerca della soluzione ottima per ogni contratto i , sempre tramite

l’approssimazione di Taylor della funzione generatrice dei cumulanti

di CiG nel punto β− , porta alla ricerca del minimo di

( )( ) iiii

Riii aakam 3

32

22 6

2

1 µβ

σβ

++−−− .

77

Analogamente è

se 03 =iµ

= 2,1min*i

Ri

i

ka

βσ

se 03 >iµ ( )

−+= 121,1min* 22

3

3

2

i

iRi

ii

i

ka

σ

µβµσ

Modalità “per risk excess of loss”. È ( )∑ ∑= =Λ== i iN

ih

N

h ihiihCi LYX

1 ,, ,min .

Si fa l’ipotesi che la portata sia totale, che i rischi abbiano un

massimale iM e che ihY , iid come iY . Si definisce )(1)( xFxKii YY −= .

Con l’ipotesi che il premio di riassicurazione è calcolato secondo il

criterio del valor medio, ( ) ( )∫+= i

ii

M

L YiiR

i dxxKNEP ][1 η (con η aliquota

di caricamento), e con l’ipotesi che la distribuzione di CX sia Poisson-

composta, si ha

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ]Ci

i

ii

Ci XM

L YiiiG eEdxxKNEPeE ββ ηββ

++−= ∫− 1exp .

È [ ] ( ) [ ][ ]( )1exp0 , −=

∑= ΛΛ

= iiN

h ihCi eENEeEeE i

X βββ .

È ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=+=Λ i

i

i

ii

ii

i

iL

YuM

L YLL

Yu dxxKexdFexdFeeE

001 ββββ β , ottenuto

integrando per parti e semplificando il tutto. Si ha quindi che

[ ] ( ) ( ) ( )∫∫ +++−=− i

i

i

ii

Ci

L

Yx

i

M

L YG xKeNEdxxKNEPeE

0)()1( ln ββ βηββ

Il problema di ottimo si riduce alla ricerca del

( ) ( )∫∫ ++ i

i

i

iii

L

YxM

L YiL dxxKedxxK0

)1( min βη .

Annullando la derivata di questa funzione della priorità iL , si ha

( ) ( ) 01 =++− i

i

LiYi eLK βη se

)1ln(

0)(

βη+

=

+∞→⇒=

L

LLK iiZ i

La soluzione ottima si può riassumere con

+

=β

η )1ln(,min* i

ii ML .

78

Modalità “aggregate excess of loss”. È { }LXX C ,min= ; risulta

( ) ( )∫=L

XC dxxKXE

0 e ( ) ( )

2

00)(2

−= ∫∫

L

X

L

XC dxxKdxxxKXVar , definito

( ) { }xXxK X ≥= Pr . Si fa l’ipotesi ( )∫+∞

=L X

R dxxKm η , per cui risulta

( ) ( )∫+∞

+=L X

R dxxKP η1 .

Per semplicità si arresta lo sviluppo in serie di Taylor dell’espressione

[ ]( )CGeE β−ln al secondo termine: [ ] ( )CC GVarGE2

2ββ +− , ovvero

( ) ( ) ( )( )

β

η

−

−

−=Φ

∫∫∫

+∞

L XL

X

L

X

dxxKmdxxKdxxxKL

22

2

00.

Derivando questa funzione rispetto a L , si vede subito che essa

presenta due possibili estremi: L tale che ( ) 0=LK X (ma in questo

caso non esiste questo valore), o L tale che ( )βη

=− ∫L

X dxxKL0

.

Con l’ipotesi di distribuzione esponenziale per X , per esempio, si

ottiene, approssimando con il polinomio di Taylor del terzo ordine,

( )β

ηXEL

2* = .

B) Minimizzazione della probabilità di rovina.

La probabilità di rovina nell’esercizio dell’assicuratore nell’esercizio è

data da

{ }

+−Φ=

−−

<−

=−<σσσ

mgmgmGgG CC

C

CC PrPr

dove Φ è la funzione di distribuzione della variabile CG standardizzata.

Per diminuire questa probabilità, l’assicuratore interviene tramite la

riassicurazione, diminuendo quello che viene chiamato l’indice di stabilità

79

del portafoglio. In luogo di quest’indice σ

mgs C +

= , si considera l’indice

in presenza di riassicurazione: C

CCC mg

sσ+

= con Cm e Cσ caricamento e

scarto quadratico medio del rischio di portafoglio conservato

dall’assicuratore.

Il cosiddetto “problema dei pieni relativi” procede all’analisi delle

soluzioni ottime di riassicurazione per una data riduzione del guadagno

medio di portafoglio. Si tratta quindi di un problema di ottimo vincolato:

si minimizza la varianza del portafoglio conservato dall’assicuratore

nell’ipotesi, semplificatrice, di indipendenza dei rischi degli n contratti,

sotto vincolo di una predeterminata riduzione del guadagno atteso di

portafoglio, Cmm − .

Nel caso di riassicurazione proporzionale, ad esempio, si devono

determinare le aliquote di ritenzione ia , con 10 ≤≤ ia , che minimizzano

la varianza ( ) ( ) ( ) ∑∑∑ ======

n

i iin

i iin

iCi

C aXaGG1

21

21

22 σσσσ , per una data

riduzione del guadagno atteso di portafoglio ( )∑ =−=−

n

i iiC kamm

11 , in

accordo con le precedenti ipotesi fatte sulla determinazione del premio di

riassicurazione nel caso di riassicurazione proporzionale.

Considerata la ( ) ( )[ ]Cn

i iin

i iin mmkaaaag +−−+= ∑∑ == 1122

1 12,..., λσ si può

ottenere la soluzione ottima con il metodo di Lagrange. Annullando

quindi le derivate parziali della funzione g rispetto alle aliquote ia , si

ottengono le soluzioni 2i

ii

ka

σλ= ; dovendo rispettare il vincolo della

riduzione del portafoglio, si ottiene ( )

∑

∑

=

=−−

=n

ii

i

Cn

i i

k

mmk

1 2

21

σ

λ .

80

Se per questi valori di ia e di λ si soddisfano anche i vincoli 10 ≤≤ ia ,

allora quella trovata è, ovviamente la soluzione ottima. Se così non fosse,

un’analisi più accurata mostrerebbe che la soluzione è

= 1,min 2i

ii

ka

σξ , dove

( )

∑

∑

=

=−−

=*

1 2

2

*

1

n

ii

i

Cn

i i

k

mmk

σ

ξ , avendo indicato con *n il

massimo degli indici tali che, ordinati i contratti i in modo che i rapporti

2i

ikσ

risultino non decrescenti, non sia superiore a uno il rapporto 2i

ikσ

ξ .

Il cosiddetto “problema dei pieni assoluti” prende in considerazione dei

criteri per scegliere opportunamente la riduzione Cmm − . Generalmente si

utilizza il seguente criterio: definita ε* la soglia della probabilità di rovina

accettabile dall’assicuratore, la riduzione Cmm − si trova numericamente

risolvendo la seguente equazione nelle variabili Cm e Cσ , entrambe

univocamente determinate in funzione della riduzione Cmm − ,

( )*1 εσ

−Φ=+

C

CC mg

.

Politiche bilaterali

I due criteri appena presentati prendono in considerazione solo il punto di

vista dell’assicuratore. Potrebbe essere che i risultati più vantaggiosi per

l’assicuratore siano i meno vantaggiosi per il riassicuratore, poiché le

implicazioni che ogni politica ha sui due soggetti sono spesso di verso

contrario dal punto di vista della loro convenienza. Si dicono politiche

bilaterali quelle che prendono in considerazione contemporaneamente i

punti di vista dei due soggetti interessati.

Si valutino le situazioni che si creano con la riassicurazione con il criterio

dell’utilità attesa, con funzioni di utilità dell’assicuratore e del

riassicuratore uguali a quelle trattate nel capitolo 4:

81

( ) xC exu β−−= 1 e ( ) x

R exu γ−−= 1 .

Considerando la massimizzazione dell’utilità attesa per i due soggetti, si

ha che la riassicurazione è conveniente (con le usuali tecniche degli

sviluppi accorciati di Taylor)

per l’assicuratore se ( ) ( ) ( )[ ]CRR XXXEP 22

2σσ

β−+≤

per il riassicuratore se ( ) ( )RRR XXEP 2

2σ

γ+≥

e il rapporto riassicurativo può risultare non svantaggioso per entrambi i

soggetti solo se, considerato ( ) ( )[ ] ( )RC XXX 222

22σ

γσσ

β−−=Ψ , è 0>Ψ .

I due soggetti, per scegliere la cessione ottimale dei rischi e la

conseguente definizione del premio di riassicurazione, possono

concordare quella cessione che massimizza l’ampiezza dell’intervallo di

negoziazione, che è stato indicato con Ψ .

Modalità “in quota globale”. È aXX C = . La funzione da massimizzare è

( ) ( ) ( ) ( ) ( )XaXaa 2222 12

12

σγ

σβ

−−−=Ψ e il massimo, ottenuto

annullando la derivata, si ha per γβ

γ+

=*a .

La ripartizione di X nelle due componenti aX e ( )Xa−1 avviene

quindi proporzionalmente alle avversioni al rischio dei due soggetti.

Effettuando un confronto con l’aliquota ottimale trovata con il criterio

della massimizzazione dell’utilità attesa (politiche unilaterali), che

diventa β

γβσ 2

* 2 ==Rk

a con l’ipotesi che il caricamento sia valutato dal

riassicuratore secondo il criterio della varianza (2

2σγ=Rk ), si ha che

questa soluzione è minore della soluzione ottenuta con il criterio

utilizzato per questa politica bilaterale.

82

Modalità “aggregate excess of loss”. È { }LXX C ,min= ; con l’ipotesi

della distribuzione del risarcimento globale con distribuzione

decumulata ( )xK X , la funzione da massimizzare è ( ) =Ψ L

( ) ( ) ( ) ( ) +

+−

−= ∫∫∫∫

∞+∞+ 2

00

2

0022

2

L

X

L

XXX dxxKdxxxKdxxKdxxxKβ

( ) ( ) ( )

−−− ∫∫

∞+∞+ 2

22 L XL X dxxKdxxKLxγ

La priorità ottimale è quella che annulla la derivata di ( )LΨ :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01'0

=

−−

−=Ψ ∫∫

+∞LKdxxKLdxxKLKL XL X

L

XX γβ .

5.3 CESSIONI OTTIMALI DEI RISCHI

Si considera qui un criterio che prende contemporaneamente in

considerazione le esigenze dei due soggetti. Si mira a minimizzare la

probabilità di rovina di almeno uno dei due soggetti nell’esercizio: è un

criterio che si riferisce alla copertura riassicurativa sull’intero portafoglio

acquisito nell’anno.

La ricerca dell’accordo ottimo tra assicuratore e riassicuratore, per la

definizione dei livelli dell’aliquota di ritenzione a (per la modalità in

quota) o della priorità L (per la modalità aggregate excess of loss), va

ricondotta dunque, alla minimizzazione, rispetto al tipo di copertura

riassicurativa ( ).l , della probabilità di rovina di almeno uno tra

assicuratore e riassicuratore:

{ } { }[ ]=−= rovina nessunoPr1minrovina uno almenoPrmin ll

{ }rovina nessunoPrmax l=

La probabilità che nessuno dei due soggetti vada in rovina, si può scrivere

come:

{ } ( ) ( ){ }RR

RC PgXlPPgXlX +≤∩−+≤−= Prrovina nessunoPr

83

Si devono ora considerare separatamente i due casi, prima accennati.

A) Riassicurazione “aggregate excess of loss”. È ( ) { }0,max LXXl −= e il

premio di riassicurazione è una funzione della priorità L , ( )LP R . Si ha

( ) ( ) ( ) ( ){ }=+≤∩−+≤− LPgXlLPPgXlX RR

RCPr

{ } ( ) { } ( ){ }=+≤−∩−+≤= LPgLXLPPgLX RR

RC 0,max,minPr

{ } ( ) { } ( ){ ∩+≤−∩−+≤= LPgLXLPPgLX RR

RC 0,max,minPr

( ) ( )[ ]}=<∪≥∩ LXLX

{ } ( ) { } ( )[ ]{ ∪≥∩+≤−∩−+≤= LXLPgLXLPPgLX RR

RC 0,max,minPr

{ } ( ) { } ( )[ ]}=<∩+≤−∩−+≤∪ LXLPgLXLPPgLX RR

RC 0,max,min

grazie alle leggi di De Morgan; e, poiché i due eventi sono incompatibili,

{ } ( ) { } ( ){ }+≥∩+≤−∩−+≤= LXLPgLXLPPgLX RR

RC 0,max,minPr

{ } ( ) { } ( ){ }=<∩+≤−∩−+≤+ LXLPgLXLPPgLX RR

RC 0,max,minPr

{ } ( ) { } ( ){ }×≥+≤−∩−+≤= LXLPgLXLPPgLX RR

RC /0,max,minPr

{ }+≥× LXPr

{ } ( ) { } ( ){ }×<+≤−∩−+≤+ LXLPgLXLPPgLX RR

RC /0,max,minPr

{ }=<× LXPr

( ) ( ){ } { }+≥≥+≤−∩−+≤= LXLXLPgLXLPPgL RR

RC Pr/Pr

( ) ( ){ } { }=<<+≤∩−+≤+ LXLXLPgLPPgX RR

RC Pr/0Pr

{ } ( ){ } { }+≥≥++≤Ψ=−+≤

LXLXLPgLX RRPPgL R

CPr/Pr

( ){ } { } =<<−+≤+ LXLXLPPgX RC Pr/Pr

dove ( ){ }LPPgL RC −+≤

Ψ è la funzione indicatrice dell’evento certo o

impossibile, L≤gC+P-PR(L)

( ){ } ( ){ } ( ){ }{ }LLPPgXLPgLXL RC

RRLPPgL R

C,minPrPr −+<+++≤≤Ψ=

−+≤

A questo punto si devono considerare i due casi:

84

• 1) Se L è tale che ( )LPPgL RC −+≤ , la probabilità di non rovina di

entrambi è

( ){ } { } ( ){ }LPgLXLXLPgLXL RR

RR ++≤=<+++≤≤ PrPrPr

Il valore di L tale che sia massima questa probabilità, è lo stesso

valore che rende massimo ( )LPgL RR ++ o equivalentemente

( )LPL R+ .

Dovendo risultare ( ) PgLPL CR +≤+ , il massimo si ha per quel valore

di L tale che sia ( ) PgLPL CR +=+ .

Il valore massimo della probabilità di non rovina di entrambi è

( ){ } { }RCR

R gPgXLPgLX ++≤=++≤ PrPr

• 2) Se L è tale che ( )LPPgL RC −+> , la probabilità di non rovina di

entrambi è ( ){ }LPPgX RC −+<Pr

Il valore di L tale che sia massima questa probabilità, è lo stesso

valore che rende massimo ( )LPPg RC −+ ; tale massimo lo si ha

quando il premio di riassicurazione è 0, cioè per L che tende a più

infinito.

Il valore massimo di questa probabilità è pertanto

( ){ } { }PgXLPPgX CR

CL +<=−+<+∞→ PrPrlim

• Un diretto confronto tra le due probabilità massime, fa vedere

immediatamente come il valore massimo della probabilità di non

rovina dei due soggetti si abbia per il valore *L tale che

( )** LPPgL RC −+= , che dipenderà dalla distribuzione del danno X

e dal metodo di calcolo del premio di riassicurazione.

È un risultato prevedibile: con quel valore della priorità si azzera

completamente la probabilità di rovina dell’assicuratore, che si assume

il massimo rischio per lui sopportabile, e subordinatamente si

minimizza la probabilità di rovina del riassicuratore.

85

Il valore massimo della probabilità di non rovina di entrambi è

( ){ } { }RCR

R gPgXLPgLX ++≤=++≤ PrPr

ed è come se l’assicuratore e il riassicuratore mettessero insieme le

loro intere disponibilità, RC PPg −+ e R

R Pg + , per far fronte alla

perdita complessiva.

B) Riassicurazione in quota. ( ) ( )XaXl −= 1 , il premio di riassicurazione è

calcolato come ( )QaP R −= 1 , dove Q è il volume totale dei premi che

imporrebbe il riassicuratore, se il complesso dei rischi fosse

interamente localizzato presso di lui (il valore Q è quindi

ragionevolmente minore del valore P ). Si ha

( ) ( ){ }=+≤∩−+≤− RR

RC PgXlPPgXlXPr

( ) ( ) ( ){ }=−+≤−∩−−+≤= QagXaQaPgaX RC 111Pr

( )=

+

−≤∩

−−+≤= Q

ag

Xa

QaPgX RC

11

Pr

( )

+

−−−+

≤= Qa

ga

QaPgX RC

1,

1minPr

Per massimizzare questa probabilità, si deve massimizzare la funzione:

( ) ( )

+

−−−+

= Qa

ga

QaPgah RC

1,

1min con [ ]1,0∈a

Si cercano ora i valori di a per cui vale la disuguaglianza:

( )Q

ag

aQaPg RC +

−≥

−−+1

1

( ) QaaQagQaaaPPagg RCC2221 −+≥+−−−+−

( ) ( )QQagQQPgaQPg RCC −≥−−+−−+−+ 22

( ) QPgQPgga CRC −+≤−++

QPggQPg

aRC

C

−++−+

≤

86

Si ha quindi che:

( )

( )

−++−+

≤≤+−

≤≤−++

−+−−+

=

QPggQPg

aQa

g

aQPgg

QPga

QaPg

ah

RC

CR

RC

CC

0per 1

1per 1

Bisogna allora cercare il massimo di

1) ( )

aQaPgC −−+ 1

con 1≤≤−++

−+a

QPggQPg

RC

C

È ( )

Qa

QPga

QaPg CC +−+

=−−+ 1

e questa funzione è tanto più grande, quanto più piccolo è il

valore di a . Il massimo si trova quindi nel punto

QPggQPg

aRC

C

−++−+

=

2) Qa

g R +−1

con QPgg

QPga

RC

C

−++−+

≤≤0

Questa funzione è tanto più grande quanto a−1 è più piccolo,

quindi quanto più a è grande; il massimo della funzione sarà

quindi nel punto QPgg

QPga

RC

C

−++−+

=

L’aliquota di ritenzione a che minimizza la probabilità di rovina di

almeno uno dei due soggetti è quindi:

QPgg

QPga

RC

C

−++−+

= .

Poiché il volume totale dei premi che incassa l’assicuratore, P , non è

molto più grande del volume che incasserebbe il riassicuratore, Q ,

l’aliquota di ritenzione (per l’assicuratore) ottima può essere approssimata

con RC

C

ggg

a+

≈ . Quest’aliquota comporta che ognuno dei due soggetti

trattenga una parte del rischio complessivo, proporzionale alle ricchezze

detenute.

87

5.4 ACCORDI OTTIMI DI CONTRATTAZIONE DEI PREMI

Per la scelta del premio di assicurazione e riassicurazione si deve tenere

conto dei punti di vista di tutti i soggetti interessati e trovare un accordo

che assicuri un certo guadagno ad ognuno di essi, e quindi spostare, per

tutti, il punto di accordo sui premi dalle linee di indifferenza a quelle di

convenienza. Un criterio di ricerca dei premi ottimi può essere quello di

massimizzare il prodotto tra le differenze delle utilità dei soggetti in

presenza del contratto e dell’utilità iniziale degli stessi.

Sono due i problemi da analizzare, perché l’assicuratore può decidere, una

volta concluso il contratto di assicurazione, se riassicurarsi. Quindi

l’assicuratore effettua l’analisi dei due casi, mettendo a confronto il suo

incremento di utilità: sulla base di questo confronto, deciderà se

riassicurarsi oppure no, a seconda che la sua utilità con il solo contratto di

assicurazione sia minore o maggiore della sua utilità con la

riassicurazione.

Le equazioni che esprimono le utilità attese dei soggetti, prima (indice 1)

e dopo (indice 2 e 5) i contratti di assicurazione e riassicurazione, sono le

seguenti

4.3.1 ( ) ( ) ( ) ( )∫∫+∞ −−+∞

−=−=00

1,

_

1 xdFexdFxguu Xxg

XAAAAα

4.3.2 ( ) ( ) ( )PgTAA

TA

TAePguPu −−−=−= α12,

_

4.4.1 ( ) ( )CgCCC eguu β−−== 11,

_

4.4.2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞+ −−+−∞+

−=−−+=0

)1(

02,

_

1 xdFexdFxsPguPu XxPg

XT

CCT

CT

C ηβ

4.4.5 ( ) ( ) ( ) =+−−−+= ∫+∞

03,

_

)()(, xdFxlPxsPguPPu XRTT

CCRTT

C

( ) ( )∫+∞ +−−−+−−=

0

)()1(1 xdFe XxlPxPg RTT

C ηβ

4.5.1 ( ) ( )RgRRR eguu γ−−== 11,

_

88

4.5.2 ( ) ( ) =−−+= ∫+∞

02,

_

)()()( xdFxlsPguPu XRRT

RRRT

R

( )∫+∞ −−+−−=

0

)()1( )(1 udFe XulPg RT

R ηγ

A) Accordo ottimo per il solo contratto di assicurazione

La ricerca dell’accordo ottimo tra assicuratore e assicurato si riduce alla

ricerca del massimo, rispetto a PT di:

( ) ( ) ( ) =

−

−= 1,

_

2,

_

1,

_

2,

_

CT

CAT

AT uPuuPuPf

( ) ( ) ( ) ×

−−−= ∫

+∞ −−−−

011 xdFee X

xgPg AT

A αα

( ) ( ) ( )[ ] =

−−−× −+∞ −−+−∫ C

TC g

XxPg exdFe βηβ 11

0

)1(

( ) ( ) ( ) ×

−= −+∞+∞ −−−− ∫∫ P

Xx

Xxggg T

CCA exdFexdFee ααββα

00

( ) ( ) =

−

× −−

−+∞ −−∫ PX

xg TC exdFe )1(

1

0

ηββ

( )( )PP TT

eceak λα −−−= 111 ,

con vincoli PT

ea α≥1 e PT

ec λ−≥1 , e avendo posto ( )ηβλ −= 1 ,

( ) ( )∫+∞ −−−−=

01 xdFeek Xxggg CCA ββα , ( )∫

+∞=

01 xdFea Xxα ,

( ) ( )∫∞+ −−

=

0

1

1

xdFec

XxgCβ

,

delle espressioni che non dipendono dalla variabile rispetto a cui si

massimizza e che possono essere considerate come delle costanti positive.

La funzione f in PT è continua ed ammette derivate di ogni ordine.

Risulta

( ) ( ) ( )[ ]PPPPT TTTT

eaeecekPf αλλα λα −+−−= −−111 '

( ) ( ) ( )[ ]PPPPPPT TTTTTT

eaeeeecekPf αλλαλα λλαα −−−−−= −−−1

21

21 2''

89

Dai vincoli segue che i valori dentro le parentesi quadre sono non

negativi e quindi, essendo negativo il secondo addendo, per ogni PT è

( ) 0'' <Pf T e quindi f è strettamente concava.

f è pertanto una funzione, in una variabile, che si annulla in 2,Cπ e in Aπ .

Per il teorema di Weierstrass, essendo f continua su un compatto

(l’intervallo chiuso [ ]AC ππ −2, ), ammette un unico punto di massimo (per

la stretta concavità).

Poiché la funzione f vale zero nei punti di frontiera (si annulla

l’incremento di utilità di uno dei due soggetti), l’unico punto di massimo

è interno e si può determinare con l’annullamento della derivata prima:

( ) ( ) ( )[ ] 0 ' 111 =−+−−= −− PPPPT TTTT

eaeecekPf αλλα λα ,

ossia se ( ) PPPP TTTT

eaecee λαλα λαλα −− −=− 11

Non è possibile risolvere in forma analitica chiusa l’equazione rispetto a

PT e quindi si deve ricorrere a tecniche numeriche.

B Accordo ottimo per il contratto di assicurazione e di riassicurazione

La ricerca dell’accordo ottimo tra i tre soggetti può concretizzarsi nella

ricerca del massimo, rispetto a PT e RT P , della funzione:

( ) ( ) ( ) ( ) =

−

−

−= 1,

_

2,

_

1,

_

3,

_

1,

_

2,

_

,, RRT

RCRTT

CAT

ARTT uPuuPPuuPuPPh

( ) ( ) ( ) ×

−−−= ∫

+∞ −−−−

011 xdFee X

xgPg AT

A αα

( ) ( ) ( )[ ] ×

−−−× −+∞ +−−−+−∫ C

RTTC g

XxlxPPg exdFe βηβ 11

0

)()1(

( ) ( ) ( )[ ] =

−−−× −+∞ −−+−∫ R

RTR g

XxlPg exdFe γηγ 11

0

)()1(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ×

−= ∫∫∫

+∞ −+∞+∞ +−−−−− PX

xX

xlX

xlxggg TRCA exdFexdFexdFee ααγβγβα

000

)(

( ) ( ) ( ) ( ) =

−

×

−

× −

−+∞−−+∞ +−− ∫∫

RTRTT PX

xlPPX

xlx exdFeeexdFe θγβλβ1

0

1

0

)(

90

( )( )( )RTRTTT PPPP ereeceak θβλα −− −−−= 1212

con vincoli PT

ea α≥1 , RTT PPeec βλ−≥2 ,

RTPer θ−≥1 , e avendo posto

( ) ( ) ( ) ( )∫∫+∞+∞ +−−−−−=

00

)(2 xdFexdFeek X

xlX

xlxggg RCA γβγβα , ( ) ( )∫+∞

=01 xdFer X

xlγ ,

( ) ( )1

0

)(2

−+∞ +−−

= ∫ xdFec X

xlxβ e ( )δγθ −= 1 , tutte e quattro costanti positive.

Per il teorema di Weierstrass, poiché h è continua su un compatto

(regione analizzata nel capitolo 4, e che si presenta come nel grafico 4.2),

h ammette massimo, interno perché se fosse sui vincoli vorrebbe dire che

h (che è non negativa) è la funzione 0.

Risolvendo quindi il sistema dato dall’annullamento delle due derivate

prime parziali, si trovano i punti candidati ad essere i massimi di h:

( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )[ ] 0

0

2112

21122

=−+−−−=∂

∂

=−−+−−=∂∂

−−−−

−−

RTTRTRTRTTT

RTTRTTRTTT

PPPPPPPRT

PPPPPPPT

eeceereeeakPh

erreaeeeecekPh

βλθθβλα

γαβλβλα

θβ

λα

Una volta definiti tutti i valori numerici, l’assicuratore potrà agilmente

decidere se riassicurarsi o no. Si considerano i seguenti valori: 01.0=α ,

005.0=β , 003.0=γ , 15.0=η , 13.0=δ , ( ) XXl 3.0= , ( ) xX exf 02.002.0 −= .

Si ottiene 31,69=Aπ , 69,672, =Cπ , 06,193, =Cπ , 64,17=Rπ .

La regione di negoziazione per il contratto di assicurazione è l’intervallo

chiuso [ ]31,6969,67 − . La funzione è ( ) ( )( )PPT TT

eePf 00425,001,0 75,02 −−−=

con vincoli 02 01,0 ≥− PT

e e 075,0 00425,0 ≥− − PT

e .

Il grafico di questa funzione è

91

Grafico 5.1

La soluzione di massimo per f si ha per 50,68* =PT .

Per la negoziazione dei premi di assicurazione e riassicurazione, invece si

ha che, con quei valori dei vari parametri, la regione di convenienza per

entrambi i contratti è un triangolo:

Grafico 5.2

92

Questa situazione prefigura un ampliamento della regione di convenienza;

l’assicuratore potrà allora, se le esigenze di competitività sul mercato lo

richiedono, proporre la copertura assicurativa ad un costo (premio)

inferiore a quello a cui avrebbe potuto offrirla senza l’intervento del

riassicuratore.

Se questo genere di esigenze non ci sono, allora l’accordo sui premi può

essere trovato tramite la massimizzazione della funzione h , che in questo

caso è ( ) ( )( )( )RTRTTT PPPPRTT eeePPh 0026,0005,000425,001,0 955,0825,02, −+−− −−−=

con vincoli 02 01,0 ≥− − PT

e e 0825,0 005,000425,0 ≥− +− RTT PPe e

0955,0 0026,0 ≥− − RT Pe . Il suo grafico è

Grafico 5.3

La funzione si presenta come una piramide a base triangolare, con gli

angoli smussati.

Annullando la derivata di h , si ottiene un unico punto appartenente

all’insieme vincolato; pertanto questo punto è l’unica soluzione di

massimo per h . Tale punto è ( ) ( )18,54 , 22,68*, =RTT PP .

93

Si ha che l’aumento di utilità, in percentuale al valore Cge β− , è maggiore

nel caso di riassicurazione; infatti si ha

( ) CgC

TC euPu β−=− 00345,01,

_

2,

_

( ) CgC

RTTC euPPu β−=− 00485,0, 1,

_

3,

_

Come si vede chiaramente, l’utilità dell’assicuratore è maggiore nel caso

di riassicurazione, perciò egli opterà per la stipulazione di entrambi i

contratti.

Non è questo il caso, ma, in teoria, la soluzione ottima nel caso di

assicurazione e riassicurazione potrebbe configurare una situazione in cui

l’utilità dell’assicuratore è minore rispetto al caso di sola assicurazione.

Allora il riassicuratore, pur di acquisire una parte del rischio (e quindi una

parte degli utili attesi trasferiti), può essere disposto ad accettare un

premio di riassicurazione inferiore a quello determinato con la

massimizzazione di h nel rapporto trilaterale, aumentando l’utilità

dell’assicuratore in caso di riassicurazione, quindi rendendogli più

conveniente riassicurarsi.

5.5 ACCORDI OTTIMI IN PRESENZA DI TRATTATI DI RIASSICURAZIONE

Nel precedente paragrafo è stato presentato un modello di scelta dei premi

di assicurazione e riassicurazione nel caso di assoluta libertà per i

contraenti. Nella pratica assicurativa però, ci sono spesso trattati di

riassicurazione che regolano, rendendoli sovente obbligatori, i rapporti di

cessione del rischio dall’assicuratore al riassicuratore.

In presenza dei trattati di riassicurazione, si deve considerare un altro

elemento, rispetto alle precedenti analisi: la funzione g , che, applicata al

premio di assicurazione PT e al tipo di copertura riassicurativa ( ).l ,

94

restituisce il corrispondente premio di riassicurazione, per cui è

( )( )., lPgP TRT = .

Il problema è comunque analogo a quello trattato nel capitolo precedente;

l’unica differenza è che il premio di riassicurazione RT P non è una

variabile incognita a sé, ma è la funzione ( )( )., lPg T . Perciò la funzione h

è una funzione di una sola variabile, PT .

Nel luogo di negoziazione dei premi (nel caso assicurazione e

riassicurazione) non si è più liberi di muoversi bidimensionalmente, ma si

deve trovare la soluzione di equilibrio per i tre soggetti, muovendosi

nell’intersezione tra il luogo suddetto con i punti ammissibili per il

trattato di riassicurazione, così come espresso dalla funzione g .

In particolare, per i trattati facob, l’assicuratore deve fare gli stessi

ragionamenti, confrontando le sue utilità ottime nei casi di assicurazione e

di assicurazione – riassicurazione; invece per i trattati obbligatori (che

obbligano l’assicuratore a cedere determinate parti dei rischi acquisiti),

l’assicuratore valuta la propria e le altrui utilità solo nel caso di

assicurazione e riassicurazione.

Un’altra interessante applicazione di questi ragionamenti può essere

svolta in riferimento non ad un preesistente trattato di riassicurazione, ma

nell’analisi degli effetti che comporterebbe l’eventuale stipulazione di un

trattato di riassicurazione, e, in particolare, di alcune proprietà che deve

avere la funzione g e i relativi accorgimenti di cui il riassicuratore deve

tenere conto nella scelta e nella negoziazione di tale funzione.

È un’analisi valida sia per i trattati facob che per quelli obbligatori;

andrebbe fatta in relazione a ogni possibile esplicitazione della funzione

( ).l , a causa delle varie implicazioni che le varie modalità riassicurative

comportano, ma verranno tratte solo delle considerazioni in generale.

95

In assenza di trattati, all’interno della regione di convenienza, le curve di

indifferenza dell’assicuratore (derivate dalla 4.6.4), si presentano come:

( ) ( ) clkPP RTT =−−−η1

dipendenti dai premi PT , RT P e dalla modalità riassicurativa ( ).l , oltre

che dalla distribuzione del danno ( )xFX .

Fissata ( ).l , la curva d’indifferenza è una retta parallela alla retta data

dalla 4.6.6; l’utilità allora aumenta, per l’assicuratore, nel verso della

freccia (nel grafico sotto).

Grafico 5.4

La soluzione di maggiore convenienza per l’assicuratore sarebbe

ovviamente il punto ( )( )AR l ππ , , per cui c’è il massimo caricamento nel

premio di assicurazione e il minimo in quello di riassicurazione.

Al riassicuratore, d’altro canto, lo stesso discorso non va bene, perché non

è disposto a lasciare all’assicuratore l’intero caricamento da lui introitato;

di conseguenza si premunisce contro quest’eventualità, imponendo alcune

condizioni per la determinazione del premio di riassicurazione in funzione

del premio di assicurazione, con la funzione g :

- Dovendo aumentare la convenienza per l’assicuratore,

all’aumentare del premio PT , la funzione g deve essere tale che il

96

punto ( ) ( )( )lPgPPP TTRTT ,,, = si trovi su una retta di indifferenza

con utilità maggiore; la pendenza della funzione g deve essere,

pertanto, sempre minore della pendenza della retta d’indifferenza,

cioè ( )η−1 .

- Quanto più è alto il premio PT (e di conseguenza il caricamento

insito), tanto più alto deve essere il caricamento a carico

dell’assicuratore, per premiarlo appunto per il fatto di aver inserito

un caricamento alto; allora, per valori del premio PT alti, la

pendenza della funzione g deve essere sempre minore, in modo da

passare più velocemente da una curva d’indifferenza all’altra.

Invece, quanto più è basso il premio PT , tanto maggiore sarà la

pendenza di g .

La funzione g deve essere una funzione quindi concava per premiare

l’assicuratore (per valori alti di PT ), invece convessa per penalizzarlo

(per valori bassi di PT ). Allora la funzione g assumerà una forma

analoga a quella del seguente

Grafico 5.5

Si segnala un’importante differenza tra i trattati obbligatori e quelli facob.

A parità di distribuzione del danno ( )xFX , del premio PT e della modalità

97

riassicurativa ( ).l , il premio di riassicurazione per trattati obbligatori sarà

minore del premio di riassicurazione per trattati facob. Questo perché i

trattati facob lasciano la libertà di cedere il contratto all’assicuratore, che

opterà per riassicurarsi se reputa troppo rischioso il contratto; quindi, con

i trattati facob, sono in genere ceduti i contratti più rischiosi, motivo per

cui il riassicuratore richiede un caricamento più alto.

98

CAPITOLO 6

CONCLUSIONE

I risultati che sono stati ottenuti mettono in evidenza l’importanza delle

avversioni al rischio dei soggetti nella negoziazione dei contratti di

assicurazione e riassicurazione.

Nella pratica assicurativa (e riassicurativa) i modelli presentati non sono

applicabili perché le avversioni al rischio sono dei concetti astratti, quindi

idonei solo per discorsi e analisi teoriche, tralasciando il problema della

costruzione delle funzioni di utilità, e quindi della definizione delle

misure di avversione al rischio.

Aldilà della limitata portata operativa, i risultati descritti danno delle

indicazioni sugli obiettivi che si possono ottenere con il ricorso alla

riassicurazione.

In particolare l’analisi svolta nel capitolo 4 sulle regioni di convenienza ai

contratti di assicurazione e riassicurazione, fa vedere come l’area di

convenienza per l’assicuratore, con la riassicurazione, si può estendere

oltre la regione originaria di convenienza; in virtù di questo risultato,

l’assicuratore può essere disposto ad acquisire il contratto di assicurazione

anche ad un prezzo inferiore alle sue originarie possibilità, perché

comunque il caricamento insufficiente è compensato dal rapporto

riassicurativo.

Nel capitolo 5 invece è stato visto come, tramite un criterio basato sulle

funzioni di utilità dei soggetti (supposte esponenziali), l’accordo sui

premi può essere ricondotto ad un problema di massimizzazione di una

certa funzione, la cui forma piramidale è indipendente dalla modalità

riassicurativa; in particolare, modalità differenti con stessa utilità media

portano alla stessa funzione da massimizzare.

99

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