Politica Economica e Finanziaria Dispense di Teoria della ... · Teoria della Crescita Vincenzo...

Politica Economica e Finanziaria

Dispense di

Teoria della Crescita

Vincenzo Lombardo

I concetti chiave

• Crescita economica di lungo periodo

• Rendimenti decrescenti versus crescenti

• Teoria neoclassica e modello di Solow

• Convergenza

• Fattori endogeni: Romer & Lucas

• Trappole della poverta

Politica economica– Teoria della Crescita

Teoria neoclassica della crescita

La funzione di produzione neoclassica

Y = F (K,L) (1)

• Y e il reddito

• K e L sono i fattori di produzione: capitale e lavoro

• Caratteristiche fondamentali:

– Rendimenti di scala costanti: “ se raddoppio tuttii fattori di produzione contemporaneamente (K eL), anche la produzione finale (Y) raddoppia”

– Rendimenti marginali dei fattori di produzione (Ke L) decrescenti: “ogni unita aggiuntiva di unfattore di produzione produce un aumento dellaproduzione finale meno che proporzionale”

Proprieta della funzione di produzione neoclassica

Politica economica– Teoria della Crescita 1

1. Essenzialita: e necessario almeno una quantia posi-tiva di entrambi i fattori di produzione per produrreun output positivo

(a) F (0, L) = F (K, 0) = 0

2. Produttivita marginali dei fattori positive e decres-centi

(a) Fi(K,L) > 0, Fii(K,L) < 0, i = K,L

3. Funzione omogenea di grado 1: rendimenti di scalacostanti

(a) F (λK, λL) = λF (K,L)

4. Condizioni di Inada

(a) limk→0

FK(K,L) = ∞, limL→0

FL(K,L) = ∞

(b) limk→∞

FK(K,L) = 0, limL→∞

FL(K,L) = 0

✘ Esempio: Funzione di produzione Cobb-Douglas

✘ Y = AKαL1−α


Modello di Solow

• Funzione di produzione neoclassica (eq. 1); ag-giungiamo esplicitamente la variabile tempo. Nota:il progresso tecnico A e costante ed esogeno, nonvaria nel tempo.

Yt = F (Kt, Lt) = AKαt L

1−αt (2)

• Struttura del mercato: i mercati sono perfettamenticompetitivi e le imprese massimizzano i loro profittiscegliendo le quantia ottime di capitale e lavoro daimpiegare nella produzione liberamente. In partico-lare, le imprese sceglieranno la quantita ottimale dientrambi fattori di produzione il prodotto marginaledi ogni fattore al rispettivo prezzo di mercato:

r = FK(K,L); w = FL(K,L)

– r: tasso di interesse del capitale– w: salario

• Teorema di Eulero: l’output finale prodotto (Y )


viene diviso tra i fattori di produzione a seconda delloro prezzo e della loro quantia.

Y = rK + wL

• Tasso di crescita della forza lavoro uguale a quellodella popolazione, ovvero la forza lavoro cresce ad untasso n secondo la seguente legge di accumulazione:

Lt+1 = (1 + n)Lt (3)

• Risparmio e esogeno, cioe la propensione marginaleal risparmio s e esogena e costante:

St = sYt (4)

• E’ valida la eguaglianza tra investimenti e risparmio:

It = St (5)

• Il capitale si accumula secondo la legge di accu-mulazione (lo stock di capitale cresce grazie agli


investimenti It e diminuisce a causa di una quota diammortamento δ):

Kt+1 = It + (1− δ)Kt (6)

Questa legge dice che lo stock di capitale tra dueperiodi consecutivi e una funzione - positiva degli in-vestimenti - e negativa del tasso di deprezzamento;ossia,

∆Kt ≡ Kt+1 −Kt = It − δKt

Eguagliando la eq. 4 e 5:

It = sYt

e sostituendo nella eq. 6 si ottiene l’equazione diaccumulazione del capitale:

Kt+1 = sYt − δKt = sF (Kt, Lt)− δKt

= sAKαt L

1−αt − δKt (7)


Lo stock di capitale dell’economia K cresce pro-porzionalmente agli investimenti dell’economia, chesono a loro volta finanziati dal risparmio collettivo, sYt,cioe sono una percentuale (s, la propensione marginaleal risparmio) del reddito totale prodotto dall’economia.

Variabili in termini pro-capite

Utilizzando la proprieta 3 della funzione di pro-duzione neoclassica si ha che:

F

(

K

L,L

L

)

=1

LF (K,L) ⇒

⇒ F (k, 1) =Y

L

Rinominiamo: F (k, 1) ≡ f(k), dove le variabiliminuscole rappresentano le variabili pro-capite (k =K/L; y = Y/L)

Y = Lf(k) (8)

o anche in termini intensivi (pro-capite):


y = f(k) (9)

Riscriviamo la funzione di produzione in eq. 2 intermini pro-capite:

YtLt

= A

(

Kt

Lt

)α

= Akαt = f (kt) = yt (10)

Le imprese massimizzano i loro profitti scegliendole quantita ottimali dei fattori da impiegare nella pro-duzione eguagliano la produttivita marginale di ognifattore al suo costo, ovvero:

r = f′

(k) = Aαkα−1; w = f(k)− kf′

(k) = A(1−α)kα

Possiamo riscrivere anche l’equazione di accumu-lazione del capitale (eq. 6) in termini pro-capite.Sostituiamo nell’ eq. 6 la funzione di produzione (eq.8 e 10):


Kt+1 = sLtf(kt) + (1− δ)Kt (11)

Dividiamo per Lt+1 e sostituiamo la sua leggedinamica (eq. 3):

Kt+1

Lt+1=sLtf(kt) + (1− δ)Kt

Lt+1

kt+1 =sLtf(kt) + (1− δ)Kt

(1 + n)Lt⇒

Otteniamo infine l’equazione fondamentale diaccumulazione di Solow

kt+1 ≡ φ(kt) =sf(kt) + (1− δ)kt

(1 + n)(12)

Utilizzando la funzione di produzione Cobb-Douglas, quest’ultima diventa:

kt+1 ≡ φ (kt) =sAkαt + (1− δ)kt

(1 + n)


La eq. 12 e un’equazione alle differenze prime chedetermina la dinamica del capitale “di domani” (kt+1)in funzione dell’investimento netto di oggi (φ(kt)).Questa si puo studiare partendo dalle caratteristichedella funzione di produzione neoclassica (f(k)). Inparticolare, le proprieta di φ(kt), collegate a quelle dellafunzione di produzione neoclassica, sono le seguenti:

• φ(0) = 0, φ′ (kt) > 0, φ′′ (kt) < 0;

• limk→0

φ′ (k) = ∞: in un intorno di zero, la pendenza

della funzione e infinita; la produttivita marginaledel capitale infinita in un intorno di zero implicache l’equilibrio di stato stazionario triviale k∗ = 0 einstabile, perche una piccola variazione da questolivello comporta un grande incremento del prodottopro-capite che conduce verso l’equilibrio interno.

• limk→∞

φ′ (k) = 1−δ1+n < 1; per k che tende a infinito

la pendenza della funzione φ(k) tende a un valoreminore di uno; questo assicura che la funzione φ (k)interseca la retta a 45° da sopra e finira al di sotto


di essa. Questa condizione garantisce l’esistenza diun equilibrio interno di stato stazionario stabile.

Definizione 1. [Equilibrio di stato stazionario] -

Si definisce equilibrio di stato stazionario quel sen-tiero di equilibrio tale che kt = k∗ per ogni t. Ovveroquel livello di capitale pro-capite k∗ tale che

k∗ = φ(k∗)

Figure 1: Dinamica di equilibrio - stato stazionario


In termini di variazione del livello del capitale pro-capite (∆kt ≡ kt+1 − kt), dalla eq. 12 si ha che

∆kt =sf(kt)− (n+ δ)kt

(1 + n)(13)

Graficamente possiamo disegnare separatamentele due funzioni del capitale pro-capite (sf(kt) e(n+ δ) kt):

Figure 2: Modello di Solow: dinamica di equilibrio



Si definisce capitale pro-capite di equilibrio di statostazionario quel livello k∗ che assicura una crescitanulla del capitale pro-capite. Ovvero quel k∗:

sf(k∗) = (n+ δ) k∗ (14)

Nell’esempio della Cobb-Douglas tale livello si puocalcolare partendo dall’eq. 13, ponendo il termine disinistra pari a zero; lo stock di capitale pro-capite distato stazionario quindi e dato da:

0 = sAkα−1t − (n+ δ) ⇒

k∗ =

(

sA

n+ δ

)1/1−α

(15)


Statica comparata

Come varia lo stato stazionario in funzione di vari-azione dei parametri esogeni (s, n, δ):

Figure 3: Statica comparata: tasso di risparmio

Risparmio: ∂k∗

∂s > 0


Figure 4: Statica comparata: popolazione-deprezzamento

Popolazione, Deprezzamento: ∂k∗

∂n < 0, ∂k∗

∂δ < 0


Dinamica di transizione e ipotesi di

convergenza

Dalla condizione (14) si ricava che in equilibrio distato stazionario il tasso di crescita del capitale pro-capite e nullo; dividendo l’eq. (13) per kt si ottienel’espressione del tasso di crescita del capitale pro-capitecome:

∆ktkt

≡ gk =sf(kt)

(1 + n)kt−

(n+ δ)

(1 + n)(16)


Versione Generale. Si definisce statostazionario quell’equilibrio in cui tutte le variabilicrescono allo stesso (possibilmente zero) tasso dicrescita.


Figure 5: Dinamica di transizione e convergenza

Dinamica di transizione: le economie convergonoverso l’equilibrio di stato stazionario su un sentiero dicrescita bilanciato. Per livelli di capitale pro-capitemolto bassi i tassi di crescita pro-capite sono posi-tivi (fig. 5). Questa implicazione deriva dall’ipotesidi rendimenti decrescenti marginali, che inducono perlivelli di capitale pro-capite bassi tassi di produzionemolto alti, tanto alti tali che la funzione di accumu-lazione e maggiore della retta a 450 (fig. 1); o anche


che i risparmi generati per tale livello di produttivitasono grandi abbastanza da riuscire a compensare laperdita dovuta alla crescita della popolazione ed aldeprezzamento del capitale, cosicche i risparmi nettisono positivi (fig. 2). Conversamente, per livelli dicapitale pro-capite molto alti (maggiori del livello dicapitale di stato stazionario), la produttivita e moltobassa cosicche in ogni periodo si perde una parte delcapitale iniziale (fig. 1 e 2) ed i tassi di crescita sononegativi (fig. 5)

Tassi di crescita aggregati e sentiero bilanciato:nonostante in equilibrio di stato stazionario le variabilipro-capite crescono ad un tasso di crescita nullo, levariabili aggregate mostrano tutte lo stesso tasso dicrescita positivo. L’idea di sentiero di crescita bilanci-ato risiede nell’equilibrio con cui cresce l’economia; setutte le variabili (reddito, capitale e consumo) cresconoallo stesso tasso allora si dice che l’economia si trovasu un sentiero di crescita bilanciato.

Definizione 4. [Sentiero di crescita bilanciato] -

Un’economia cresce seguendo un sentiero di equi-


librio bilanciato se tutte le variabili crescono allo stessotasso di crescita.

Per calcolare i tassi di crescita aggregati si puopartire dalle definizioni di variabili pro-capite; dallaeq. 8 possiamo scrivere il tasso di crescita del redditopro-capite come

gY =Yt+1

Yt−1 =

Lt+1f(kt+1)

Ltf(kt)−1 = (1+n)

f(kt+1)

f(kt)−1 ⇒

in stato stazionario quando kt+1 = kt = k∗

gY = (1 + n)f(k∗)

f(k∗)− 1 = n (17)

Allo stesso modo il capitale aggregato, in equilibriodi stato stazionario, cresce esattamente al tasso dicrescita della popolazione

gK =Lt+1kt+1

Ltkt− 1 = n (18)


Ipotesi di convergenza

Il modello neoclassico fornisce una precisa ipotesisulla crescita e lo sviluppo delle economie. Si consideriil grafico (fig. 5) dell’equazione 14 di seguito:

Teoria della convergenza assoluta: questa teoriapredice che le economie piu povere - quelle con unk0 iniziale piu basso - dovrebbero crescere a tassipiu alti, cosicche nel lungo periodo tutte le economieconvergerebbero verso un unico equilibrio in cui i tassidi crescita pro-capite sono nulli.

Da dove deriva questo risultato: dalla fondamentaleipotesi di partenza

• Rendimenti marginali decrescenti del capitale:questa ipotesi implica che ogni aggiunta marginaledi capitale nella produzione produce un aumento diproduzione meno che proporzionale. Questo fattoimplica che il tasso di crescita dello stock di capitalepro-capite diminuisce all’aumentare dello stock dicapitale pro-capite (si veda il grafico) e quindi la


stessa dinamica rappresenta anche la dinamica delreddito pro-capite.

Teoria della convergenza condizionata: non e veroche tutte le economie nel lungo periodo convergonoverso un unico e generale tasso di crescita di statostazionario, k∗, ma ogni economia avrebbe un “pro-prio” tasso di crescita di equilibrio di stato stazionarioverso cui converge; ogni economia in base a proprispecifici parametri (s, n, A) avrebbe un proprio speci-fico tasso di crescita di equilibrio verso cui converge (siveda grafico sotto - figura 2).

Figure 6: Convergenza condizionata


Evoluzione del consumo e regola aurea

Una volta determinato il livello di capitale pro-capite di equilibrio di stato stazionario, sara determi-nato anche il consumo pro-capite di equilibrio di statostazionario. Graficamente, la figura (7) descrive larelazione tra investimenti, risparmio e consumo nelmodello neoclassico

Figure 7: Consumo, risparmio e investimento nel mod-ello di Solow


• Dato un livello di output pro-capite (y = f(k)),una parte di esso viene risparmiato (sf(k)) e rivoltoagli investimenti e la parte restante sara devoluta alconsumo (c = f(k) − sf(k)). Il consumo e datodalla distanza verticale tra la funzione di produzionef(k) e la funzione del risparmio sf(k).

Consumo, Risparmio e Regola Aurea: la relazioneche lega il livello di consumo pro-capite di statostazionario ed il tasso di risparmio non e monotona,ma presenta un andamento a U rovesciata.

Figure 8: Regola Aurea

Il consumo pro-capite di stato stazionario e unafunzione crescente del tasso di risparmio fino ad un


certo tasso di risparmio (sgold), in cui raggiunge il suomassimo (c∗gold); da questo punto in poi la relazionediventa negativa, ovvero all’aumentare del tasso dirisparmio il consumo pro-capite di stato stazionariodiminuisce all’aumentare del tasso di risparmio (fig.8). Il tasso di risparmio (sgold) ed il consumo pro-capite (cgold) sono definiti di regola aurea.

Il consumo pro-capite di stato stazionario puo esseredefinito analiticamente come

c∗ = (1− s)f(k∗) (19)

Dalla condizione di equilibrio di stato stazionariosappiamo che vale la condizione(eq. 14)

sf(k∗) = (n+ δ) k∗

Mettendo insieme le due equazioni si ottiene unarelazione tra il consumo pro-capite di stato stazionarioed il tasso di risparmio:


c∗(s) = f [k∗(s)]− (n+ δ) k∗(s) (20)

Nota: c∗(s) e k∗(s) sono i livelli di consumo ecapitale pro-capite di stato stazionario in funzione deltasso di risparmio.

Dall’equazione (20) e ricordando le caratteristichedella funzione di produzione neoclassica si vede cheil consumo prima cresce all’aumentare del tasso dirisparmio e poi - superato il punto di massimo - larelazione si inverte, con il consumo che diminuisceall’aumentare del tasso di risparmio.

Per trovare il livello di consumo pro-capite di statostazionario massimo, c∗gold, si puo differenziare l’eq.

(20) in funzione di s e porla uguale a zero; ∂c∗(s)∂s = 0 ⇒

f ′(

k∗gold)

= n+ δ (21)

L’eq. (21) ci dice qual’e il livello di capitale pro-capite di stato stazionario che assicura anche il mas-simo livello di consumo pro-capite. Tale condizione e


chiamata regola aurea dell’accumulazione di capi-tale. In un’economia bilanciata la regola aurea ci diceche se vogliamo che ogni generazione abbia lo stessolivello di consumo, cioe che non ci siano generazioniche consumano meno di altre, allora il livello che as-sicura il massimo consumo pro-capite di equilibrio nellungo periodo e esattamente pari cgold .

Inefficienza dinamica: per capire l’origine e il fun-zionamento della regola aurea, si puo fare riferimentoalla figura (9). Ci sono tre possibili tassi di risparmio,s1, s2, ed sgold, con s2 < sgold < s1. Per ognuno diquesti tassi di risparmio si trova un capitale di statostazionario k∗1, k

∗

2, ed k∗

gold. Il consumo pro-capite distato stazionario e massimo in k∗gold, perche in questopunto la tangente alla funzione di produzione e paral-lela alla retta (n+ δ)kt.Per verificare se uno di questi tassi di risparmio emigliore degli altri, si consideri il caso in cui il tasso dirisparmio iniziale sia pari a s1 > sgold; per questo tassodi risparmio si avra anche che k∗1 > k∗gold e c∗1 < c∗gold(da eq. (19)). La domanda e: e possibile aumentareil consumo di stato stazionario da c∗1 a c∗gold? E a cheprezzo?


Figure 9: Regola Aurea e inefficienza dinamica

Immaginiamo di ridurre permanentemente il tassodi risparmio da s1 a sgold. Partendo dal livello di k∗1,il consumo inizialmente aumenta moltissimo (in k∗1 faun salto, dato dalla distanza verticale tra la funzionedi produzione f(k) e la funzione sgoldf(k). Succes-sivamente il consumo diminuisce fino a raggiungere illivello di stato stazionario in cgold, con k

∗ = k∗gold. Sideve notare che durante la transizione da uno stato


stazionario all’altro, il consumo sara sempre maggioredel consumo di partenza c∗1. Quindi anche se durantela transizione il consumo pro-capite diminuisce, il suolivello sara sempre maggiore del livello di partenza edin piu lo sara anche in equilibrio di stato stazionario,dove c∗gold > c∗1. Per questo motivo, tutti i livellidi capitale pro-capite di stato stazionario maggiori dik∗gold sono inefficienti e tutta la parte a destra ditale punto si chiama di inefficienza dinamica. Inquesto caso si dice che le economie stanno accu-mulando eccessivamente (sovraccumulando) capitale;eccessiva accumulazione e dovuta ad un eccesso dirisparmio (sovra-risparmio) che implica la rinuncia aduna parte di consumo.La parte a sinistra di k∗gold invece e definita di effi-

cienza dinamica. Infatti, in questo caso non si puoaumentare il consumo futuro senza diminuire il con-sumo corrente. Per vederlo, si consideri il caso in cui iltasso di risparmio di partenza sia s2. Se immaginiamodi aumentarlo a sgold, si avra una transizione versoil nuovo stato stazionario k∗gold. In questo caso peraumentare il consumo pro-capite di stato stazionario sideve aumentare (e non diminuire) il tasso di risparmio;


questo fatto implica che per avere un livello di consumomaggiore in futuro (c∗gold in k∗gold) bisogna rinunciaread una parte di consumo corrente. Per questo motivotale zona si chiama di efficienza dinamica; ora,infatti, non si puo giudicare la desiderabilita di unostato stazionario rispetto ad un altro. Mentre nelprimo caso, si aveva che una riduzione del tasso dirisparmio induceva sempre (nel presente e nel futuro)un aumento del consumo ed era quindi desiderabile ilpassaggio da uno stato stazionario (k∗1) ad un altro(k∗gold), nel secondo caso tale discriminazione non sipuo piu fare.


Progresso tecnologico

Per superare una delle imperfezioni del modello diSolow di base, ovvero quella dell’implicazione di tassi dicrescita pro-capite nulli in equilibri di stato stazionario,modifichiamo in maniera semplice la funzione di pro-duzione neoclassica introducendo il progresso tecno-logico. In questa prima fase continuiamo a supporreche il modello sia di crescita esogena, ed anche ilprogresso tecnologico viene considerato esogeno.

Ipotizziamo che il progresso tecnologico entri nellaproduzione in una forma particolare, ovvero labour-augmenting ; questo significa che il progresso tecno-logico va ad incrementare l’efficienza dei lavoratorisoltanto. La funzione di produzione puo essere quindiriscritta come

Yt = F (Kt, LtAt) (22)

Esprimiamo tutte le variabili non piu in termini pro-capite, ma in termini di unita di efficienza: k ≡ K

AL;y ≡ y

AL.


Dividendo la funzione di produzione per AtLt, siha:

F

(

Kt

AtLt, 1

)

=1

AtLtF (Kt, LtAt) =

YtAtLt

(23)

Rinominando F(

KtAtLt

, 1)

≡ f(kt). Dalla (23) si

ha

Yt = AtLtf(kt) (24)

o anche in termini di unita di efficienza

yt = f(kt) (25)

Nel caso della funzione di produzione Cobb-Douglas:


Yt = Kαt (LtAt)

1−α⇒

YtAtLt

=

(

Kt

AtLt

)α

= kαt ⇒

Yt = LtAtkαt (26)

o anche

yt = kαt (27)

Il resto del modello resta identico al modello dibase; l’unica cosa da aggiungere e una legge chedescriva la dinamica del progresso tecnologico. Comedetto, supponiamo che questo evolva esogenamente adun tasso di crescita λ:

At=1 = (1 + λ)At

Dalla (11) si ha:


Kt+1 = sAtLtkαt + (1− δ)Kt (28)

Dividendo per At+1Lt+1 si ha:

kt+1 ≡ φ(kt) =skαt + (1− δ)kt(1 + n)(1 + λ)

(29)

La dinamica delle variabili espresse in unita di effi-cienza replica quella vista nel modello di base, impli-cando che in equilibrio di stato stazionario il tasso dicrescita delle varibili per unita di efficienza sia nullo.Infatti dalla (29) si ha in tassi di variazione

∆kt =skαt − (n+ δ + λ(1 + n))kt

(1 + n)(1 + λ)(30)

In equilibrio di stato stazionario k∗ e tale che:∆k∗ = 0, ovvero:

sk∗α = (n+ δ + λ(1 + n))k∗ ⇒


k∗ =

(

s

(n+ δ + λ(1 + n))

)1/1−α

(31)

Il tasso di crescita del capitale per unita di efficienzaviene espresso dalla (30) come

∆kt

kt≡ gk =

skα−1t

(1 + n)(1 + λ)−

(n+ δ + λ(1 + n))

(1 + n)(1 + λ)(32)

Anche la dinamica di transizione (convergenza)delle variabili per unita di efficienza e la stessa dellevaribili pro-capite nel modello di base.

Tassi di crescita pro-capite e aggregati: la dif-ferenza rispetto al modello base e che ora la crescitadel progresso tecnologico permette di osservare tassidi crescita pro-capite positivi in equilibrio di statostazionario; in particolare il tasso di crescita dellevariabili pro-capite sara pari al tasso di crescita delprogresso tecnologico, mentre quello delle variabili ag-gregate sara pari alla somma dei tassi di crescita della


popolazione e del progresso tecnologico (piu un terminidi secondo ordine, piccolo abbastanza).

Come nel modello base, si usino le definizioni divariabili espresse in unita di efficienza.

• Il tasso di crescita del capitale pro-capite e:

gk =At+1kt+1

Atkt− 1 = (1 + λ)

kt+1

kt− 1

in equilibrio di stato stazionario (kt+1 = kt = k∗)

gk = λ (33)

• Ugualmente, il tasso di crescita del reddito pro-capite e:

gy =At+1yt+1

Atyt−1 = (1+λ)

f(kt+1)

f(kt)−1 = λ (34)


Per i tassi di crescita aggregati il procedimento e lostesso;

• Il tasso di crescita aggregato del capitale e:

gK =At+1Lt+1kt+1

AtLtkt−1 = (1+λ)(1+n)

kt+1

kt−1 ⇒

gK = λ+ n+ λn

– Nota: il fattore λn e molto piccolo (di secondoordine) e puo essere non considerato; quindi sipuo dire che il capitale aggregato cresce ad untasso pari alla somma del tasso di crescita dellapopolazione e del progresso tecnologico.

gK = λ+ n (35)

• Il tasso di crescita aggregato del reddito e:


gY =At+1Lt+1yt+1

AtLtyt−1 = (1+λ)(1+n)

f(kt+1)

f(kt)−1 ⇒

gY = λ+ n+ λn

gY = λ+ n (36)


Teoria della crescita endogena

Risultati del modello di Solow senza progresso tec-nologico:

• Un’economia puo crescere nel lungo periodo soloaccumulando capitale fisico? NO

• Tutte le economie convergono verso un unico equi-librio di stato stazionario in cui i tassi di crescitadelle variabili pro-capite sono nulli.

Perplessita del precedente modello:

• In equilibrio di stato stazionario i tassi di crescitapro-capite sono nulli;

• La teorie della convergenza assoluta non e verificatanei dati: considerando tutti i paesi del mondo, nonsi osserva sistematicamente che quelli con bassolivello di reddito/capitale pro-capite crescono a tassimaggiori.


• La teoria della convergenza condizionata e mag-giormente plausibile empiricamente, ma il principaledifetto del modello teorico e che non ci aiuta a capiredove possano nascere le differenze nei parametri -che sono tutti esogeni - che giustificherebbero idiversi possibili equilibri di stato stazionario.

• La sola determinante della crescita di lungo peri-odo e il progresso tecnico, ma in quell’approccio euna variabile esogena al modello stesso; cioe, nullaspiega la reale capacita di un sistema di crescere.

Soluzione a queste perplessita: teoria della crescitaendogena

• Si introducono fattori endogeni che riescono acontrobilanciare i rendimenti decrescenti del capitaledel modello di Solow

– Esternalita (Modello di Romer)– Capitale umano (Modello di Lucas)


Classe di Modelli AK

Prima di analizzare il modello di Romer, possiamointrodurre una classe di modelli denominata AK, chepermette di avere tassi di crescita positivi delle vari-abili pro-capite. A tal fine si modificano alcune delleproprieta della funzione di produzione neoclassica; inparticolare, ipotizziamo che non siano verificate le con-dizioni di Inada e che la produttivita marginale delcapitale non sia piu decrescente. Tali caratteristichepossono essere inglobate in una funzione di produzionedel tipo:

Yt = F (Kt, Lt) = AKt = Ltf(kt) = ALtkt (37)

e in termini pro-capite puo essere riscritta come

yt = f(kt) = Akt (38)

Notare che:


• La produttivita marginale e costante: f′

(k) = A, eche

• Le condizioni di Inada non sono verificate:limk→0

f′

(k) = A 6= ∞; limk→∞

f′

(k) = A 6= 0.

Graficamente, questa funzione di produzione e rapp-resentata da una retta la cui inclinazione e data dalparametro tecnologico A:

Utilizzando l’equazione di accumulazione di Solowin eq. 12 si ottiene:

kt+1 ≡ φ (kt) =sAkt + (1− δ)kt

(1 + n)(39)

che espresso in tassi di variazione e:


∆kt =sAkt − (n+ δ)kt

(1 + n)(40)

Figure 10: Accumulazione nel modello AK

Dalle equazioni dinamiche (39) e (40) e dalla figura(10) si nota che ora non esiste piu un unico equilibriodi stato stazionario, perche non esiste piu un livello dicapitale di equilibrio di lungo periodo. Dalla (40), sipossono invece notare le seguenti carattersitiche:

• Equilibrio instabile o “Knife-edge”: se sAkt =(n+ δ) kt, ovvero se


A =n+ δ

s(41)

– L’economia si trovera in equilibrio; l’equilibrio edifferente da quello visto fin’ora.

– Non esiste infatti un capitale pro-capite di equi-librio, ma tutti i livelli di equilibrio di capitale distato stazionario sono possibili equilibri.

– Tale equilibrio e instabile: se vi e una deviazioneda tale condizione l’economia non converge piuverso un equilibrio ma divergera verso le dueseguenti possibilita. Per tale motivo tale con-dizione viene anche chiamata di “knife-edge” (’alama di rasoio’ - Harrod)

• Crescita esplosiva: se sAkt > (n+ δ) kt, ovvero se

A >n+ δ

s(42)

– L’economia entra in un sentiero di crescita esplo-sivo (fig. (10), tratto blu), su cui il capitale ed ilreddito pro-capite crescono all’infinito.


• Depressione: se sAkt < (n+ δ) kt, ovvero se

A <n+ δ

s(43)

– L’economia entra in un sentiero di decrescita con-tinua (fig. (10), tratto rosso), su cui il capitale edil reddito pro-capite diminuiscono continuamentefino a zero, punto in cui l’economia scompare.

Tassi di crescita e convergenza: il tasso di crescitae calcolabile dalla (40) come

gk =sf(kt)− (n+ δ)kt

(1 + n) kt=

sA

(1 + n)−

(n+ δ)

(1 + n)(44)

Nel caso di crescita positiva (A > (n+δ)/s) si hache il tasso di crescita sara positivo e costante. Grafi-camente:


Figure 11: AK: crescita

• Convergenza: il grande difetto dei modelli AK eche non prevedono alcun tipo di convergenza neassoluta ne condizionata.

– Nei dati invece almeno la convergenza condizion-ata sembra essere osservata.

– Visto che il tasso di crescita e costante si puoimmaginare che se due paesi identici, con le stessecaratteristiche (s, A, n, δ) e quindi uguali tassidi crescita del capitale pro-capite, partono perqualche eventualita da due livelli di capitale pro-capite differenti, tali paesi non si raggingerannomai economicamente; tale controindicazione none verificata empiricamente.


Modello di Romer: le esternalita

In questo modello il progresso tecnologico che finoad ora era assunto come esogenamente dato, vieneendogenizzato facendo uso del concetto di esternalita.

Idea: Gli investimenti accumulati fino ad un certomomento t contengono conoscenze tecniche che gener-ano esternalita a tutte le imprese dell’economia; questeconoscenze tecniche hanno cioe la forma di bene pub-blico - ovvero tutti se ne possono appropriare.

• La presenza di esternalita determina economie discala che producono tassi di crescita pro-capitecostanti anche se l’ipotesi dei rendimenti decrescentidei singoli fattori continua ad essere mantenuta val-ida.

Caratteristiche del modello e della funzione di pro-duzione:

• Esiste un numero N di i imprese identiche


• Ogni fattore di produzione Ki e Li ha rendimentidecrescenti

La funzione di produzione neoclassica con progressotecnologico nella forma labour-augmenting:

Yi,t = F (Ki,t, Ai,tLi,t) = Kαi,t(LitAi,t)

1−α (45)

• La tecnologia Ai,t = Kt; ovvero si assume che latecnologia a disposizione di ogni singola impresa siadata da questo fattore comune - bene pubblico - cherappresenta le conoscenze accumulate nell’economiafino al tempo t.

• Differenza tra Kit e Kt: il primo rappresenta lostock di capitale fisico privato accumulato da ognisingola impresa; il secondo, invece, rappresenta uncapitale disponibile a tutta la societa - tutte leimprese - e deriva dall’accumulazione di conoscenzetecniche all’interno della societa, ovvero rappresental’esternalita positiva di cui gode l’economia.


Yi,t = F (Ki,t,KtLi,t) = Kαi,t(KtLi,t)

1−α (46)

In termini pro-capite:

Yi,tLi,t

=1

Li,tF (ki,t,Kt) = kαi,t(Kt)

1−α = f(ki,t, Kt) = yi,t

(47)

Quindi si ha anche che:

Yi,t = Li,tf(ki,t,Kt) = Li,tkαi,t(Kt)

1−α (48)

Aggregando la funzione di produzione in equazione(47) su tutte le imprese - cioe considerando la pro-duzione complessiva di tutte le imprese possiamo riscri-vere la (47):

yt = kαt K1−αt


Notando che K = kL e sostituendo si ha ancorache:

yt = ktL1−αt (49)

Questa funzione di produzione ha alcune delle carat-teristiche viste nei modelli AK; inoltre

• La potenza di k ora non e piu α, ma 1; questi rappre-sentano rendimenti non piu decrescenti del capitaleche implicano che la funzione di produzione aggre-gata avra rendimenti di scala (economie di scala)costanti. Questa e la caratteristica fondamentaleche permette di avere non piu tassi di crescita pro-capite nulli in equilibrio di stato stazionario, ma alcontrario di avere equilibri di stato stato stazionarioin cui i tassi di crescita del reddito pro-capite sonopositivi.

Facendo gli stessi passaggi del modello di Solow, pos-siamo scrivere l’equazione fondamentale di accumu-lazione del capitale pro-capite come:


kt+1 ≡ φ(kt) =sf(kt) + (1− δ)kt

(1 + n)(50)

da cui

kt+1 ≡ φ(kt) =sktL

1−αt + (1− δ)kt(1 + n)

(51)

Tale equazione dinamica ha le stesse caratteristichedi quella vista nei modelli AK. Quindi i tassi di crescitasaranno positivi e costanti. Oltre questa caratteristica,troviamo in questo modello una peculiarita. La pre-senza del fattore L1−α

t ci indica che maggiore e il livellodella popolazione, piu grandi sono i tassi di crescita.Per vederlo scriviamo l’equazione dei tassi di crescita:

gk =kt+1

kt− 1 =

sALαt

(1 + n)−

(n+ δ)

(1 + n)(52)

Il tasso di crescita pro-capite in questo caso risentedi effetti di scala (il termine Lα

t ): cioe paesi conpopolazioni maggiori tendono a crescere piu veloce-mente.


✘ Discussione:

E un modello endogeno perche l’incentivo individualedi ogni impresa di accumulare capitale privato produceun‘esternalita verso tutta l’economia. La differenza trala produttivita marginale del capitale privato e quellopubblico e cruciale per la comprensione dell’evoluzionedinamica del modello. Ogni impresa ha l’obiettivo dimassimizzare i proprio profitti; a tal fine accumula cap-itale privato (Ki,t), ma non prende in considerazione lapossibilita di produzione di esternalita. Accumulandocapitale privato, ogni impresa contribuisce ad accumu-lare capitale pubblico che incrementa la tecnologia adisposizione di tutte le imprese. Tale elemento per-mette di controbilanciare i rendimenti decrescenti deifattori di produzione e di ottenere tassi di crescitapositivi.

• Il principale punto di forza del modello di Romere di aver individuato un processo endogeno, cheinduce il superamento di tassi di crescita pro-capitenulli in stato stazionario. Tale meccanismo risiedenella produzione di esternalita positive, dovute


all’interazione e alla diffusione della conoscenzatra gli imprenditori. Tali effetti hanno il nomedi spillover, per indicare esattamente il processo at-traverso cui la conoscenza fluisce da un imprenditoread altri e via via a tutta la societa.

• I punti di debolezza sono principalmente di duecategorie:

– Difetti AK: il modello di Romer presenta le stesseproblematiche viste nei modelli AK in terminiassenza di convergenza.

– Effetti di scala: l’ulteriore difficolta del modelloe la presenza di effetti di scala, che sono empiri-camente non presenti. Esempio: il Lussemburgoha avuto per molto tempo e tuttora ha tassi dicrescita molto maggiori del Ghana. Nota: gli ef-fetti di scala fanno riferimento al livello assolutodella popolazione (il numero) e non al tasso dicrescita della stessa.


Modello di Lucas: il capitale umano

1. Non solo il capitale fisico, ma tutti i tipi di capitalesono accumulabili: si distinguono allora il capitalefisico dal capitale umano. Cio che conta nellaproduzione non e solo il numero di lavoratori (Ldi prima), ma il capitale umano incorporato in essi(quanto sono bravi!)

2. Esistono due settori produttivi ed economici: nonpiu solo il settore di accumulazione del capitalefisico, ma anche quello di accumulazione del capitaleumano.

(a) Il tasso di crescita del reddito pro-capite risultaallora determinato dall’interazione dei due settoriproduttivi. Il tasso di crescita del reddito pro-capite di stato stazionario sara una media dellacrescita del capitale fisico e umano pro-capite.

(b) Versione generale: la conseguenza e che nonos-tante la presenza di rendimenti decrescenti delcapitale fisico (tasso di crescita del capitale pro-capite nullo in stato stazionario), il reddito pro-capite in equilibrio di stato stazionario ha un tasso


di crescita positivo, determinato dalla crescita delcapitale umano.

(c) Sentiero bilanciato: in un’economia su un sen-tiero bilanciato pero tutte le grandezze eco-nomiche crescono allo stesso tasso. In questocaso e a differenza del punto (b), anchel’accumulazione del capitale fisico trarra giova-mento dall’accumulazione del capitale umano.L’accumulazione del capitale umano, infatti, as-sume la funzione di controbilanciare i rendimentidecrescenti del capitale fisico, cosı come vistonel modello di Solow con progresso tecnologicoesogeno. Il risultato finale e che in equilibriodi stato stazionario tutte le grandezze pro-capite(capitale, fisico ed umano, e reddito) crescerannoallo stesso tasso di crescita positivo.

3. Si puo integrare il modello base inserendo il con-cetto di esternalita visto nel modello di Romer. Lostock di capitale umano che ogni singolo lavoratoreaccumula va ad aumentare lo stock di conoscenzemedie, costituendo un’esternalita positiva per tuttal’economia.


Parte prima: modello base a due settori e crescita(punto 1, 2-a-b).

La funzione di produzione tiene in considerazionela presenza di due fattori e due settori di produzione,quello del capitale fisico e del capitale umano. Lafunzione di produzione aggregata conserva le pro-prieta neoclassiche (nel punto 3 si abbondanera questaipotesi) e prende la seguente forma:

Yt = AKαt H

1−αp,t (53)

Caratteristiche:

• Hp: e il capitale umano impiegato nella produzione

Hp = Hu

– H: e il capitale umano aggregato dell’economia

H = hL

– h: qualita pro-capite del lavoro (quanto sonobravi i lavoratori!)


– L: numero lavoratori

• u: porzione di tempo dedicato al lavoro

• 1− u: porzione di tempo dedicato allo studio;

• Nota: e importante distinguere il capitale umanoimpiegato direttamente nella produzione (Hp) dalcapitale umano generale dell’economia (H), a sec-onda del tempo che gli individui endogenamentescelgono di studiare o lavorare. Quanto piu tempo sidedica allo studio, tanto meno se ne puo impiegareper lavorare, e viceversa; ma accumulare capitaleumano attraverso lo studio induce un aumento dellaproduttivita. Quindi la scelta del tempo ottimo dadedicare alla due attivita deriva dalla valutazionedel trade-off tra i ricavi ed i costi derivanti dalledue attivita. Studiare di piu (dedicare piu tempoallo studio) ha due effetti contrapposti sull’outputfinale: da un lato aumenta la produttivita e quindil’output finale per ogni unita di lavoro impiegato,ma dall’altro diminuisce l’output finale perche mi-nore tempo e dedicato alla produzione. La sceltaottima di u contempla entrambe le possibilita.


• uhL: capitale umano dell’impresa

• 0 < α < 1

La funzione di produzione in eq. (53) puo essereriscritta come

Yt = AKαt (Htu)

1−α= AKα

t (htLtu)1−α

(54)

in termini pro-capite puo essere espressa come

yt = f(kt, ht) = Akαt (htu)1−α

(55)

• Il capitale umano medio (o pro-capite) impiegato

nella produzione pro-capite ((htu)1−α

) ha la fun-zione di controbilanciare i rendimenti decrescentidel capitale fisico.

Nuovo settore di produzione: capitale umano.


• Gli individui scelgono quanto tempo studiare equanto tempo lavorare: piu studiano piu accumu-lano capitale umano.

• Quanto piu capitale umano viene accumulato tantopiu le imprese producono (i lavoratori diventano piubravi!) e quindi tanto piu l’economia cresce.

• Il capitale umano si accumula secondo una suaspecifica funzione di produzione:

ht+1 = Φht (1− u) (56)

– Questa funzione di produzione presenta rendi-menti di scala costanti ed il capitale umano rendi-menti marginali costanti.

– Implicazione: quanto piu si studia (1 − u), equanto piu si e bravi inizialmente (ht), tanto piusi accumula capitale umano.∗ Non vi e la tendenza dei rendimenti decrescentidel capitale fisico.

• La conseguenza e che il tasso di crescita del capitaleumano pro-capite gh sara positivo e costante:


gh ≡∆htht

=ht+1 − ht

ht= Φ(1− u)− 1 (57)

– Il tasso di crescita e costante e positivo fintan-toche: Φ (1− u) > 1∗ Nota: la funzione di produzione (57) e unarappresentazione di quella classe di funzioniAK, viste in precedenza, e ne condivide le stesseproprieta.

• La novita: h cresce costantemente nel tempo. Inquesto senso ht svolge la funzione che aveva primaAt nel modello di Solow, ma con una grande dif-ferenza:

– Il progresso tecnico At nel modello di Solow eraesogeno;

– Invece, ora, il capitale umano si accumula endoge-namente (crescita endogena), perche gli individuiscelgono quanto tempo studiare e quanto invecelavorare.

Dinamica e crescita: versione generale (punto 2-b)


Dall’equazione di accumulazione di Solow

kt+1 ≡ φ(kt) =sf(kt, ht) + (1− δ)kt

(1 + n)

si ha

kt+1 ≡ φ(kt) =sAkαt (htu)

1−α+ (1− δ)kt

(1 + n)(58)

e

∆kt =sAkαt (htu)

1−α− (n+ δ)kt

(1 + n)(59)

Da cui il tasso di crescita del capitale pro-capite

gk =sAkα−1

t (uht)1−α

1 + n−n+ δ

1 + n(60)


• Se non consideriamo l’interazione tra i due settori,il capitale pro-capite, dati i rendimenti decrescenti,convergera ad un stato stazionario in cui il suo tassodi crescita e nullo.

• Nonostante questa caratteristica il reddito pro-capite in stato stazionario presenta un tasso dicrescita positivo, determinato dalla crescita del cap-itale umano.

Infatti, il tasso di crescita del reddito pro-capite edeterminato come segue

gy =yt+1 − yt

yt=Akαt+1 (ht+1u)

1−α

Akαt (htu)1−α − 1 =

=

(

kt+1

kt

)α(ht+1u

htu

)1−α

− 1 (61)

• Il tasso di crescita del reddito pro-capite e deter-minato dalla crescita nei due settori di produzione:capitale fisico ed umano


– In questo modello il contributo all’output finale edato dai due settori di produzione; l’output finaleed il suo tasso di crescita e determinato da unamedia della produzione nei due settori.

– Questa media e determinata dalle potenze α ed1−α che indicano la proporzione con cui vengonoimpiegati i fattori (K e H) nella funzione diproduzione (eq. (54)): maggiore e l’uso (laproporzione) di uno dei due fattori nella funzionedi produzione, maggiore sara il contributo di quelsettore di produzione all’output finale.

• Sostituendo nella eq. (61) i valori di equilibrio distato stazionario, kt+1 = kt = k∗, e il valore diht+1ht

determinato dalla (56), si ha che il tasso dicrescita del reddito pro-capite in equilibrio di statostazionario e

gy =

(

k∗

k∗

)α(ht+1u

htu

)1−α

− 1 ⇒

gy = (Φ (1− u))1−α

− 1 (62)


• Il tasso di crescita del reddito pro-capite e determi-nato dal tasso di crescita del capitale umano (eq.(57)); esso sara positivo e costante in equilibrio distato stazionario fintantoche il tasso di crescita delcapitale umano e positivo, ovvero se: Φ (1− u) > 1.

• Implicazioni

– Questa e la versione generale di un modello a duesettori; l’economia non si trova su un sentiero dicrescita bilanciato, visto che le variabili cresconoa tassi di crescita differenti.∗ gk = 0; gh = Φ(1− u) − 1; gy =

(Φ (1− u))1−α

− 1– La dinamica di convergenza del reddito pro-capite

indica che le economie convergono verso un equi-librio di stato stazionario in cui il tasso di crescitae positivo e costante. Questo rende il modellodifferente dai modelli AK, in quanto questi ultiminon presentano una dinamica di convergenza.

– Nonostante questa differenza dai modelli AK, iltasso di crescita positivo e costante (come neimodelli AK) in equilibrio di stato stazionario cida nuove implicazioni in termini di convergenza


condizionata e divergenza tra paesi.– Dati i rendimenti di scala costanti nella pro-

duzione di h, si puo notare che se si consideranodue paesi o due regioni con due differenti h in-iziali, un hl basso e uno alto hh, risulta che laregione con il capitale umano piu basso crescesempre di meno di quella ricca di capitale umano.Questa proprieta e la conseguenza della relazioneo similarita tra le caratteristiche della funzionedi produzione del capitale umano con quella deimodelli AK (rendimeni marginali costanti del cap-itale).

– Altra spiegazione per le divergenze economichetra regioni/paesi

– Questo modello fornisce un ulteriore spiegazioneteorica per il processo di convergenza condizion-ata che risulta empiricamente verificata. A dif-ferenza dell’approccio visto nel modello di Solowcon progresso tecnologico esogeno, tale modelloraggiunge tale conclusione all’interno di un ap-proccio endogeno.

Dinamica e crescita: sentiero bilanciato


Indipendentemente dal modello generale a due set-tori, il modello di Lucas presenta il caso di un’economiasu un sentiero di crescita bilanciato, implicando che instato stazionario le variabili hanno tutte lo stesso tassodi crescita. A tal fine si deve considerare l’interazionetra l’accumulazione del capitale fisico ed umano. Siconsideri lo stesso approccio utilizzato nel modellodi Solow con l’inserimento del progresso tecnologico.Definiamo le variabili in termini di forza lavoro effet-tiva, come quelle ponderate per la quantita di capitaleumano.

• Capitale pro-capite per unita di forza lavoro effet-tiva: k ≡ K

hL = KH

• Reddito pro-capite per unita di forza lavoro effettiva:y ≡ Y

hL = YH

La funzione di produzione in eq. (54) si puo trasformarein

Yt = AHtf(kt, u) = AHtkαt u

1−α (63)


ed in termini intensivi

yt =YtHt

= Af(kt, u) = Akαt u1−α (64)

L’equazione fondamentale di accumulazione in eq.(58) diventa

kt+1 ≡ φ(kt) =sAkαt u

1−α + (1− δ)kt(1 + n) Φ (1− u)

(65)

che in termini di variazione e

∆kt =sAkαt u

1−α − (δ + (1 + n) Φ (1− u)− 1)kt(1 + n) Φ (1− u)

(66)

• Ora e il tasso di crescita del capitale pro-capite perunita di forza lavoro effettive a convergere verso un


equilibrio di stato stazionario, in cui il suo tasso dicrescita e pari a zero.

Il tasso di crescita si puo derivare dalla eq. (66) come

gk =sAkα−1

t u1−α

(1 + n) Φ (1− u)−δ + (1 + n) Φ (1− u)− 1

(1 + n) Φ (1− u)(67)

Dalla (67) si ricava che in equilibrio di statostazionario il tasso di crescita del capitale pro-capite perunita effettive di forza lavoro (k) e pari a zero. Il cap-itale pro-capite, pero, come nel modello con progressotecnologico, cresce ad un tasso positivo; infatti, si notiche il capitale pro-capite e dato da k = hk = h K

hL.Il tasso di crescita del capitale pro-capite puo infineessere determinato come

gk =ht+1kt+1

htkt− 1 ⇒

in stato stazionario, dove kt+1 = kt = k∗, si ha


gk =ht+1

ht− 1 = Φ(1− u)− 1 (68)

• Il tasso di crescita del capitale fisico pro-capite euguale a quello del capitale umano (eq. (57)).

• Ugualmente, sostituendo il valore dikt+1kt

= (1 + gk)

(da eq. (68)) e diht+1ht

= (1 + gh) (da eq. (57))

nell’equazione (61), si verifica che anche il redditopro-capite cresce ad un tasso positivo, costante eduguale a gk e gh:

gy = [Φ(1− u)]α[Φ(1− u)]

1−α− 1 ⇒

gy = gk = gh = Φ(1− u)− 1 (69)

Seconda parte: il ruolo dell’esternalita (punto 3)

Lucas introduce anche un’esternalita nella funzionedi produzione in (54): si suppone che i lavoratoriaccumulando capitale umano forniscono un servizio non


solo a se stessi ed all’impresa per cui lavorano (sonopiu bravi, producono di piu e quindi guadagnano unsalario piu alto) ma forniscono un contributo all’interasocieta: come?

• L’accumulazione di capitale umano si diffonde - inuna certa misura - all’intera societa facendo miglio-rare l’economia intera (vedi modello di Romer).

• Nuova funzione di produzione:

Yt = AKαt (uhtLt)

1−αhβt (70)

– Nuovo elemento: hβt rappresenta il capitaleumano medio posseduto dai lavoratori. Rap-presenta un’esternalita che tenta di catturarel’interazione tra persone e gruppi: la produt-tivita di ogni lavoratore (la sua bravura) vieneaccresciuta ancora di piu (e non solo dal suostudio personale) se si trova a lavorare vicino alavoratori bravi. Quanto piu e alto il capitaleumano medio, tanto piu lo sara quello di ognisingolo lavoratore.


• Altro elemento di divergenza tra regioni o paesiricchi e poveri: paesi piu ricchi attirano piu investi-menti in capitale umano (punto 1) e visto che hannopiu capitale umano hanno un’esternalita ancora piuforte che fa crescere ancora di piu il loro redditopro-capite (punto 2).


Trappole della poverta

Fatti empirici robusti

• Per lunghi periodi di tempo i tassi di crescita dellevariabili pro-capite non sono nulli, ma positivi.

• Empiricamente, un processo di convergenza con-dizionata e verificato nei dati.

• Si nota un processo di “convergenza condizionataper club”: paesi e/o regioni con caratteristiche eco-nomiche, istituzionali, sociali tendono a convergereun equilibrio di stato stazionario.

Quale teoria? Varie teorie possono spiegare alcunielementi empiricamente osservati

• Modello di Solow: Convergenza Condizionata

✔ Pros (Cosa ci piace): processo verificato nei datiempirici.


✘ Cons (Cosa non ci piace): per spiegare teorica-mente il processo di convergenza condizionata,dobbiamo assumere che i paesi e/o regioni ab-biano parametri strutturali (s, n, δ, A) differenti.Ma tutti questi parametri nel modello di Solowsono esogeni, e quindi nulla si riesce ad inferirecirca le attuali differenze tra paesi/aree/regioni.

• Progresso tecnologico esogeno

✔ Pros: tassi di crescita pro-capite positivi; sisupera uno dei limiti del modello di Solow.

✘ Cons: esogeneita non ci aiuta a spiegare nulla, equindi neanche le origine delle differenze regionali.

• Crescita endogena

1. Romer: esternalita✔ Pros: progresso tecnologico endogeno✘ Cons: a) Assenza di convergenza; b) Effetti discala

2. Lucas: capitale umano


✔ Pros: a) altro meccanismo endogeno; b) tassidi crescita positivi in stato stazionario; c) pro-cesso di convergenza verso equilibrio di statostazionario, spiegato endogenamente.

Quello che ci piacerebbe: “Convergenza Condizionataper club”

• Un modello che con gli stessi parametri - disponibiliin principio per tutti i paesi - generi contempo-raneamente piu equilibri

Equilibri Multipli: Trappole della Poverta

Idea

• La condizione di arretratezza economica di alcunearee economiche rispetto ad altre e descritta comeuna condizione di “stabile poverta”.

• Alcune regioni/paesi restano intrappolati in un cir-colo vizioso di poverta e qualunque tentativo si fac-cia per uscire da tale condizione risulta inutile. Tutti


gli sforzi che una regione intrappolata in poverta faper avanzare economicamente risultano inutili, inquanto tale regioni con il tempo ritornano nella lorocondizione di arretratezza economica.

Un semplice meccanismo: carenza di fondi per appro-priarsi di tecnologie “avanzate”/efficienti

Idee chiave

• Indivisibilita

• Non convessita della funzione di produzione

Ipotizziamo di avere a disposizione due tecnologie ditipo neoclassico (rendimenti marginali decrescenti deifattori di produzione e rendimenti di scala costanti):

• Una tecnologia meno efficiente “O” (old)

Y Ot = AOKα

t L1−αt (71)


• Ed una tecnologia efficiente “M” (modern)

YMt = AMKα

t L1−αt (72)

con AM � AO.

Per poter utilizzare la tecnologia AM e necessariosostenere un costo fisso abbastanza alto (ad es. perinfrastrutture, sistema educativo, etc...);

• Supponiamo che tale costo sia dato da: ψ = bL

– b: costo fisso unitario

In questo modo si creano due gruppi distinti:

• I “ricchi” che possono sostenere tale costo, e pos-sono cosı utilizzare la tecnologia piu efficiente.

• I “poveri” che invece per scarsita di risorse eco-nomiche non possono accedere e non trovano con-veniente la tecnologia piu efficiente, ma useranno latecnologia meno produttiva (AO).


Riscriviamo le funzioni di produzione in termini pro-capite:

yOt = AOf(kt) = AOkαt (73)

yMt = AMf(kt) = AMkαt (74)

Per poter utilizzare la tecnologia AM bisognasostenere il costo fisso unitario b;

• La funzione di produzione presenta una non conves-sita;

• La non convessita deriva dall’indivisibilita del costofisso; che significa?

– Devo pagare prima tutta il costo fisso per poterprodurre (esempio: studio 3 anni e prendo lalaurea; se studio solo due anni non ottengo iltitolo, ma ho comunque pagato il costo)

– Fino a quando non riesco a pagare il costo fissocon la produzione, l’output finale sara negativo.


• La funzione di produzione pro-capite netta nel set-tore moderno deve tenere conto anche del costob:

yMt = AMkαt − b (75)

Caratteristiche delle due funzioni di produzioni:

• yMt ha un’inclinazione maggiore di yOt : AM > AO.

• yMt e minore di zero fintantoche AMkαt < b: nonposso adottare la tecnologia perche non e economi-camente possibile; l’unico modo per poter pagare ilcosto e riuscire ad ottenere un ammontare di ricavialti abbastanza, ma in questo tratto i costi sonomaggiori dei ricavi e quindi vi e un’impossibilitaeconomica.

• yMt < yOt fino ad un certo valore di kt ≡ kt:non conviene adottare la tecnologia moderna perchequella tradizionale fornisce un output maggiore, unavolta considerato anche il costo fisso b che bisognasostenere per la tecnologia moderna.


Graficamente:

Figure 12: Poverty traps - funzioni di produzione

Dal grafico (12) si vede come dato l’iniziale costofisso, e profittevole utilizzare la tecnologia piu efficiente- AM - solo se si dispone di uno stock di capite pro-capite pari almeno a kt (cioe dal punto E in poi). Il

livello di kt e quindi fissato come quel livello soglia

tale che


yMt ≡ AMkαt − b = AOkαt ≡ yOt

• E’ quel livello per cui e indifferente usare l’unao l’altra delle tecnologie (punto E). Facendo leopportune sostituzioni il livello soglia del capitalepro-capite e definito da

kt ≡

[

b

AM −AO

]1/α

(76)

• Per kt > kt, yMt > yOt : e conveniente utilizzare la

tecnologia moderna

• Per kt < kt, yMt < yOt : non e conveniente utilizzare

la tecnologia moderna

• Nota: si parla di convenienza tecnologica, perchenon e solo un problema di possibilita economica(posso permettermi di pagare il costo).

– Il livello di capitale pro-capite che mi perme-tterebbe di pagare il costo b e: kt ≡ kt =


[

bAM

]1/α. Ovvero quel livello tale per cui yMt = 0.

Tale livello e minore di quello necessario ad assi-curare anche la convenienza tecnologica.

– Ma finche non si raggiunge il valore di kt, nonsi ha convenienza tecnologica; perche bisognaottenere dei ricavi abbastanza grandi per poterripagare il costo fisso e guadagnare un profittopositivo netto. Tale livello si raggiunge solo se illivello di capitale pro-capite e abbastanza elevato.

• Come varia il livello soglia kt:

– Maggiore e il gap tecnologico (AM−AO), minore

e la soglia kt: maggiore e la differenza tra AM

e AO, piu basso e il livello al quale si trovaconveniente usare la tecnologia moderna, perchepiu alto e l’incentivo economico.

– Minore e il costo fisso (b), minore e la soglia kt.

• Funzione di produzione: possiamo riscrivere la fun-zione di produzione come una funzione “a due pezzi”


yt =

{

AOf(kt) = AOkαt kt ≤ kt

AMf(kt) = AMkαt kt ≥ kt(77)

Per valori di kt ≤ kt si usa la tecnologia menoefficiente - AO. Siccome bassi valori di kt implicanoanche bassi valori di yt, per una regione che abbia unlivello di capitale pro-capite o anche di reddito pro-capite basso risulta difficile uscire dal meccanismo chela riporta in condizioni di poverta.

Dinamica: Equilibri Multipli

Il modello per il resto e identico al modello di Solow;

• La dinamica e caratterizzata da un’equazione diaccumulazione del capitale pro-capite simile nellastruttura, ma

• questa equazione, cosı come la funzione di pro-duzione in (77), avra “due pezzi”, a seconda se ilsentiero di riferimento e quello moderno o quelloantico.


kt+1 =

sAOf(kt) + (1− δ)kt1 + n

≡ φO(kt) kt ≤ kt

sAMf(kt)− b+ (1− δ)kt1 + n

≡ φM(kt) kt ≥ kt

(78)

da cui sostituendo

kt+1 =

sAOkαt + (1− δ)kt1 + n

≡ φO(kt) kt ≤ kt

sAMkαt − b+ (1− δ)kt1 + n

≡ φM(kt) kt ≥ kt

(79)

• Se osserviamo separatamente le funzioni di accu-mulazione φO(kt) e φM(kt), si nota che, come nelmodello di Solow, date le caratteristiche neoclas-siche delle funzioni di produzione, vi sara conver-genza verso equilibri di stato stazionario.


• A differenza del modello di Solow, non ci sara piuun unico equilibrio, ma avremo piu equilibri di statostazionario - equilibri multipli. Ovvero piu puntidi equilibrio verso cui il sistema converge a secondadella posizione di partenza iniziale (fig. 13)

– Equilibrio basso (k∗L): tutte le economie chepartono con un livello di capitale (k0) minore di

kt, adotteranno una tecnologia antiquata e quindinon potranno svilupparsi completamente. Questeeconomie sono condannate a convergere versoun equilibrio “povero” (basso - k∗L). Questoequilibrio e stabile, perche per tutti i livelli dicapitale minori di kt, e quindi anche per livellimaggiori di k∗L, le convergono verso l’equilibriobasso.

– Equilibrio alto (k∗H): tutte le economie che

partono con un livello di capitale (k′′

0) maggioredi k∗U , adotteranno una tecnologia moderna -

visto che k∗U > kt - e quindi si svilupparsi com-pletamente. Queste economie convergono versoun equilibrio “ricco” (alto - k∗H). Anche questoequilibrio e stabile, perche tutte le economie chepartono con un livello di capitale pro-capite mag-


giore di k∗U convergono verso l’equilibrio alto; an-che quelle che hanno un capitle iniziale maggioredel livello di stato stazionario k∗H.

– Equilibrio instabile (k∗U): per tutti i livelli di

capitale iniziale (k′

0) compresi tra k∗L e k∗U(kt ∈ [k∗L, k

∗

U ]), le economie convergono versol’equilibrio basso. Quindi anche economie chehanno potenzialmente la possibilita economicadi accedere alla tecnologia moderna ed la con-venienza tecnologica ad adottare la tecnologiamoderna, si ritrovano su un sentiero che le portaverso l’equilibrio basso. Questo e dovuto al fattoche non basta rispettare queste due condizioni(possibilita economica e convenienza tecnolog-cia) per poter completamente svilupparsi; perpoter utilizzare a pieno la tecnologia moderna edottenere un vantaggio talmente elevato in terminidi crescita economica e necessario avere un livellodi capitale iniziale ancora maggiore (k∗U). Taleequilibrio e instabile, perche piccole deviazionida tale equilibrio fa si che non si converge piuverso il punto k∗U , ma verso uno dei due equilibristabili, a seconda di dove e diretta la deviazione.


– Trappole della poverta: da qui il concetto ditrappole della poverta, perche anche paesi amedio-basso reddito che potenzialmente possonoadottare la tecnologia moderna restano intrap-polati in un circolo che li riconduce verso unequilibrio povero.

Figure 13: Poverty traps - dinamica


Dinamica di transizione

Lo studio della transizione verso l’equilibrio di statostazionario passa dall’evoluzione dei tassi di crescia,che da eq. (78) e (79) risultano

gk =

sAOf(kt)

(1 + n) kt−

(n+ δ)

1 + n≡ gOk kt ≤ kt

sAMf(kt)− b

(1 + n) kt−

(n+ δ)

1 + n≡ gMk kt ≥ kt

(80)

da cui sostituendo

gk =

sAOkα−1t

(1 + n)−

(n+ δ)

1 + n≡ gOk kt ≤ kt

sAMkα−1t − b

(1 + n)−

(n+ δ)

1 + n≡ gMk kt ≥ kt

(81)


Dalle equazioni (80) e (81) si nota come per en-trambi i tratti dui accumulazione vi sia convergenzaverso un equilibrio di stato stazionario, in cui i tassi dicrescita pro-capite sono nulli.

• Nota: tale caratteristiche si potrebbe eliminare conuno degli accorgimenti (crescita esogena o endo-gena) visti.

Le equazioni che descrivono questa dinamica di con-vergenza e la presenza di equilibri multipli sono rapp-resentate graficamente da


Figure 14: Poverty traps - Dinamica di transizione

• Per ogni valore iniziale di kt compreso tra 0 e k∗U (ad

esempio k0 e k′

0) il paese/regione tende a convergereverso l’equilibrio basso k∗L.

• Per ogni valore di kt maggiore di k∗U (ad esempio

k′′

0), il paese tende a convergere verso l’equilibrioalto k∗H.

✔ Cosa significa? Paesi/regioni povere con poca pos-sibilita di fare investimenti sono condannate a ri-


manere in poverta. L’unica soluzione e riuscire adavere un ingente quantita di finanziamenti che per-mettono di investire nella tecnologia piu efficiente.Basta questo? NO

Indicazioni di politica economica per le aree svantag-giate

✔ Ruolo dei finanziamenti: Ipotesi di Sachs

• non e sufficiente assicurare una quantita di fi-nanziamenti che permettono ad un area svan-taggiata di utilizzare la tecnologia piu efficienteper fare uscire un’area in poverta dalla sua ar-retratezza economica.

• e necessario che le aree povere ricevano un ingentequantita di finanziamenti ed e inoltre necessarioche tali finanziamenti arrivino alle aree povere“tutti e subito”

✘ Perche?• Perche e non solo necessario che i paesi possanopermettersi e abbiano convenienza di utilizzare


la tecnologia moderna; ovvero un capitale in-iziale kt ≥ kt.

• Ma anche che, una volta adottata tale tecnolo-gia, essa sia realmente efficiente nel produrreun guadagno maggiore rispetto a quella antica;per questo e necessario che il capitale inizialesia kt ≥ k∗U

• Quindi e necessario dotare le aree povere diun’ingente quantita iniziale e poi e possibile“disinteressarsi”, perche questi si ritroverannosu un circuito virtuoso che li fa convergere versol’equilibrio alto.

• Dal grafico, si vede che se un paese/area inpoverta riceve un finanziamento non altissimo,e tale per cui il suo livello di kt rimane tra kte k∗U , tale regione ritornera in una condizionedi poverta nonostante sia “abbastanza” conve-niente ed economicamente possibile utilizzarela tecnologia piu efficiente.

• Esempi:– Africa: si pensi a cio che e successo in Africa

negli ultimi 10-15 anni: nonostante la grandis-sima quantita di fondi ricevuti dai paesi africani,


questi non sono riusciti ad uscire dalla loro con-dizione di poverta

– Campania (o piu in generale Mezzogiorno):si pensi a tutti i fondi della Comunita Euro-pea (FAS - Fondi per le Aree Svantaggiate)che la regione Campania ha ricevuto e tuttorariceve perche indicata tra le regioni piu poveredell’Europa.

• Quale possibile soluzione? Massiccia dose di aiutiin investimenti produttivi (Jeffrey Sachs)

– Secondo questa teoria fornire aiuti economicispalmati nel tempo e una soluzione insufficientea “tirare fuori” dalla trappola le aree economichepovere. Sarebbe opportuno concentrare tutti gliaiuti economici in un solo momento. Perche?

– Ritorniamo al grafico: per permettere ad un’areadi uscire dal circuito che la mantiene poverae necessario fornire aiuti economici sufficienti asuperare il punto critico - ovvero sufficienti asuperare il livello di k∗U .

✔ Altre possibilita


• Riduzione della soglia da kt a k′

t (fig. (15))– Diminuendo incidenza costo fisso b– Diminuendo gap tecnologico (AM − AO):

ovvero aumentando AO.

Figure 15: Effetto riduzione soglia

(a) Dinamica (b) Transizione

• Spostamento della curva– Un aumento del tasso di risparmio s potrebbe

spostare verso l’alto tutta la curva della tran-sizione (curva rossa, fig. (16)), facendo sı cheil processo dinamico converga verso un unicostato stazionario (quello alto).


Figure 16: Effetto aumento tasso risparmio


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