La crescita economica

5 FATTI STILIZZATI

1. PIL PRO-CAPITE e INTENSITA’ di CAPITALE CONTINUANO AD AUMENTARE

2. IL RAPPORTO CAPITALE PRODOTTO NON MOSTRA ALCUN TREND

3. I SALARI ORARI CONTINUANO AD AUMENTARE

4. IL TASSO DI PROFITTO NON MOSTRA ALCUN TREND

5. QUOTE RELATIVE DI l e K SUL PIL NON MOSTRANO ALCUN TREND

4 FATTI STILIZZATI

1. PIL PRO-CAPITE e INTENSITA’ di CAPITALE CONTINUANO AD AUMENTARE

2. IL RAPPORTO CAPITALE PRODOTTO NON MOSTRA ALCUN TREND

3. I SALARI ORARI CONTINUANO AD AUMENTARE

4. IL TASSO DI PROFITTO NON MOSTRA ALCUN TREND

4 FATTI STILIZZATI

1. PIL PRO-CAPITE e INTENSITA’ di CAPITALE CONTINUANO AD AUMENTARE

2. IL RAPPORTO CAPITALE PRODOTTO NON MOSTRA ALCUN TREND

3. I SALARI ORARI CONTINUANO AD AUMENTARE

4. IL TASSO DI PROFITTO NON MOSTRA ALCUN TREND

5. QUOTE RELATIVE DI l e K SUL PIL NON MOSTRANO ALCUN TREND

4 FATTI STILIZZATI

1. PIL PRO-CAPITE e INTENSITA’ di CAPITALE CONTINUANO AD AUMENTARE

2. IL RAPPORTO CAPITALE PRODOTTO NON MOSTRA ALCUN TREND

3. I SALARI ORARI CONTINUANO AD AUMENTARE

4. IL TASSO DI PROFITTO NON MOSTRA ALCUN TREND

5. QUOTE RELATIVE DI l e K SUL PIL NON MOSTRANO ALCUN TREND

4 FATTI STILIZZATI

1. PIL PRO-CAPITE e INTENSITA’ di CAPITALE CONTINUANO AD AUMENTARE

2. IL RAPPORTO CAPITALE PRODOTTO NON MOSTRA ALCUN TREND

3. I SALARI ORARI CONTINUANO AD AUMENTARE

4. IL TASSO DI PROFITTO NON MOSTRA ALCUN TREND

5. QUOTE RELATIVE DI l e K SUL PIL NON MOSTRANO ALCUN TREND

http://ec.europa.eu/economy_finance/indicators/annual_macro_economic_database/ameco_en.htm

SPIEGAZIONI DELLA CRESCITA

MODELLO DI SOLOW

RUOLO DEL RISPARMIO E INVESTIMENTO

ASSUMIAMO CHE POP, LAV, ORE LAV SIANO COSTANTI

1. FUNZIONE DI PRODUZIONE COBB-DOUGLAS A: RENDIMENTI COSTANTI RENDIMENTI MARGINALI DECRESCENTI

Y=F(K, L), L=N*h

2. FORMA INTENSIVA DELLA FUNZIONE DI PRODUZIONE

y=f(k), y=Y/L e k=K/L

3. I = S + (T-G) + (Z-X); Hp T-G=0 e Z-X=0

4. Se S = sY, allora I = sY

5. I/L = s(Y/L) = sf(k)

6. Deprezzamento costante: K

7. K = sY - K

7 bis. k = sy - k = sf(k) - k

Stato stazionario k = 0

8. sf(k) = k

8 bis. s/ =k/f(k)

Initial steady-state

0.3000

1.0000

0.7500

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

(K/L )

Ou

tpu

t, s

avin

g,

inve

stm

ent

EFFETTO DI UN AUMENTO DEL TASSO DI RISPARMIO

+ I e + PIL PROCAPITE Più ELEVATO, MA NON IL TASSO DI CRESCITA DI STATO STAZIONARIO

Change in steady-state due to change in saving propensity

0.3000

1.000

0.7500

0.6154

0.1846

0.6154

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

(K/L)

Ou

tpu

t, s

av

ing

, in

ve

stm

en

t

REGOLA AUREA: LIVELLO DI k* IN CORRISPONDENZA

DEL QUALE c = C/L è MASSIMIZZATO

c* = y* - sy* = f(k*) - k*

Where is the largest vertical gap?

0

= kdepreciation

Output-labourratio

(y=Y/L)

( )y=f k

Capital-labour ratio(k=K/L)

k*gold

k*

f(k*),δk* δk*

f(k*)

c*gold

1 A sx di k*gold, un aumento di k* aumenta c*

2 A dx di k*gold, un aumento di k* diminuisce

c*

• Dal momento che il consumo è la differenza tra reddito e investimento, sceglieremo k* in modo da massimizzare questa distanza.

• Questo livello di capitale mi indica il livello di k*gold cosiddetto di golden rule

• Una condizione che caratterizza il livello di capitale corrispondente alla regola aurea

• MPK = δ

1. Sistema econ dinamicamente efficiente: il risparmio è basso2. Sistema econ dinamicamente inefficiente: si risparmia troppo

(si vedano slide successive)

Un esempio numerico

• Iniziamo con una funzione di produzione Cobb-Douglas (1) y=k1/2

ricordiamo anche che la seguente condizione delle valere ,(2) s/δ = k*/f(k*)

• Ipotizziamo che il tasso di ammortamento sia del 10% e che il governo scelga il tasso di risparmio e quindi lo steady state dell’economia. L’equazione (2) diventa,

(3) s/.1 = k*/√k*Elevando al quadrato entrambi I termini ottenaimo

(4) k* = 100s2

• Mediante la (4) siamo in grado di calcolare il livello del capitale (per addetto) di stato stazionario per ogni livello del tasso di rispamio.

Un esempio numerico

• Usando le funzioni dalla slide precedente e risolavendo per un certo numero di valori di s …

• Vediamo che per s=.5 otteniamo c*=2.5; il livello massimo del consumo per addetto.

s k* y* δk* c* MPK MPK-δ0 0 0 0 0 ∞ ∞

.1 1 1 .1 .9 .5 .4

.2 4 2 .4 1.6 .25 .15

.3 9 3 .9 2.1 .167 .067

.4 16 4 1.6 2.4 .125 .025

.5 25 5 2.5 2.5 .1 0

.6 36 6 3.6 2.4 .083 –.017

.7 49 7 4.9 2.1 .071 –.029

.8 64 8 6.4 1.6 .062 –.038

.9 81 9 8.1 .9 .056 –.044

1.0 100 10 10 0 .05 –.05

• Un altro modo di identificare la regola aurea è quello di scegliere il livello dello stock di capitale per cui

MPK – δ = 0• Nel nostro esempio MPK = 1/(2√k) – .1 = 0

quindi… 1 = .1(2√k) e… 5 = √ke… 25 = k*

• Ma qual’è la dinamica verso k*? Per vedere il sentiero seguito dall’economia consideriamo i seguenti valori.

• k = 4, e y = k1/2 quindi , y = 2.• c = (1 – s)y, e s = .5 quindi c = .5y = 1.0• i = s*y, quindi i = 1.0• δk = .1*4 = .4• Δk = s*y – δk, quindi Δk = 1.0 – .4 = .6

• Così che k = 4+.6 = 4.6 nel prossimo periodo.

• Ripetendo questi calcoli nei vari periodi…

periodo k y c i δk Δk

1 4 2 1.0 1.0 .4 .6

2 4.6 2.144... 1.072... .536… .46… .612…

. . . . . . .

10 10.12... 3.087... 1.543... 1.543... .953… .590…

. . . . . . .

∞ 25 5 2.5 2.5 2.5 0.0

e convergiamo a k=25

La fase di transizione allo Stato Stazionario (1)

• Ipotizziamo che un’economia inizi con più capitale di quello corrispondente nello stato stazionario

Reddito, y

Consumo, cInvestimento, i

t0

A t0, il tasso di risparmio è diminuito.

Tempo

• Questo causa una riduzione degli investimenti e un corrispondente aumento dei consumi

• Negli anni successivi, la diminuzione di k fa diminuire,

anche y, c e i

• Nel nuovo stato stazionario il livello del consumo sarà inferiore rispetto a quello di partenza.

La fase di transizione allo Stato Stazionario (2)

• Ipotizziamo ora che l’economia abbia meno capitale di quello di stato stazionario

Reddito, y

Consumo, c

Investimento, i

t0

A t0, il tasso di risparmio aumenta.

Tempo

• Questo determina una immediata diminuzione dei consumi e un corrispondente aumento degli investimenti

• Nel corso degli anni, l’aumento di k è accompagnato da un aumento del reddito, dei consumi e degli investimenti

• Nel nuovo stato stazionario, il livello di c sarà più elevato rispetto a quello di partenza

Il modello di crescita di Solow con aumento della popolazione e progesso tecnologico

Tasso di crescita della popolazione/lavoro:

L/L=n

Se, nello stato stazionario, Y/L e K/L devono rimanereCostanti, allora anche Y e K devono crescere al tasso n

• Includendo nel modello il tasso di crescita della popolazione c’è più realismo

• Con questa modifica la variazione dello stock di capitale per addetto diventa…

Δk = i – (δ+n)k

• Cioè, la crescita della popolazione ha un effetto negativo sull’accumulazione di capitale. Possiamo pensare a (δ+n)k come l’investimento necessario a mantenere k (=K/L) costante

• Per la nostra analisi, così come fatto in precedenza, sostituiamo al posto dell’investimento l’espressione (5)

Δk = s*f(k) – (δ+n)k

newleftovers stuff

1 1

law of motion of capital

1 divide through by t t t tK K I L

11

1 1

1 tt tt

t t t t

KK Ik

L L L

11 1

1 t t t tt

t t t t

K L I Lk

L L L L

want toknow

11 1

1

1 ,1 1

steady state when ,

t tt

t t

k jk

n n

k k

1

1

1 1 , solve for t t t t

t t

n k k j j

j n k

• Nel punto dove entrambi (k) and (y) sono costanti deve valere che,

Δk = s*f(k) – (δ+n)k = 0 o anche che,s*f(k) = (δ+n)k

• … e questo si verifica nel punto di equilibrio k*.

k*k

Investment

s*f(k*)=(δ+n)k* s*f(k)Investimento

investimento di break-even, (δ+n)k,

At k* break-even investment equals

investment.

Come nel caso dell’ammortamento, il tasso di crescita della popolazione è uno

dei motivi che riducono il capitale per addetto.

L’impatto di un aumento di n

k2*k

Investimento

s*f(k)

(δ+n2)k (δ+n1)k

k1*

Un aumento di “n”

…riduce k* e anche y*

Gli effetti di un aumento di n sulla Regola Aurea

• Dalla precedente analisi il consumo per lavoratore è…c* = f(k*) – (δ + n)k*

• Per massimizzare questa espressione…MPK = δ + n

Il progresso tecnologico

• Riscriviamo la nostra funzione di produzione come…Y=F(K,L*A)dove “A” riflette lo stato della tecnologia. Assumiamo che A cresca al tasso costante “a”.

• La nostra funzione di produzione y=f(k) diventa prodotto per unità di lavoro effettivo…y=Y/(L*A) e k=K/(L*A)

• Con questi cambiamenti, “δk” è necessario per rimpiazzare il deprezzamento di K, “nk” è necessario per fornire K a nuovi lavoratori, e “ak” è necessario per fornire K a nuovo lavoratori più produttivi in seguito al progresso tecnologico.

1 1 1 11 1 1t t t t

t t t t

A L A Ln a n

A L A L

"small" what we

work with

1 1 1 1n a n a n a n

• Nel punto dove (k) e (y) sono costanti deve valere che,Δk = s*f(k) – (δ+n+a)k = 0

…o,s*f(k) = (δ+n+a)k…e questo si verifica nel punto k*.

k*k

Investimento

s*f(k)Investimento

Investimento Break-even (δ+n+a)k

Così come per l’ammortamento e la crescita della pop, il progresso

tecnologico riduce lo stock di capitale per lavoratore.

s*f(k*)=(δ+n+a)k*

A k* l’investimento di break-even uguaglia

l’investimento

k2*k

Investimento

s*f(k)

(δ+n+g2)k (δ+n+g1)k

k1*

Un aumento di “a”

…riduce k*

Gli effetti di un aumento di “n” e “a” sulla Regola Aurea

• Dalla precedente analisi il consumo per lavoratore è…c* = f(k*) – (δ + n+a)k*

• Per massimizzare questa espressione…

MPK = δ + n + a

• Nello steady state, il rapporto prodotto per occupato effettivo e il rapporto capitale per occupato effettivo sono costanti (tasso di crescita =0)

• Il denominatore AL sta crescendo approssimativamente al tasso a+n.

• Quindi, nello steady state, i numeratori Y e K crescono al tasso a+n

Steady state con crescita della popolazione e progresso tecnologico

in steady state

tt t t t

t t

Yy y A L Y

A L

in steady state

tt t t t

t t

Kk k A L K

A L

3 casi

• a=n=0, allora Y e K non crescono nello steady state

• a=0, n>0, allora Y e K crescono al tasso n nello steady state

• a>0, n>0, allora Y e K crescono al tasso n+a nello steady state

Tassi di crescita di Steady State nel Modello di Solow con Progresso Tecnologico

Variabile Simbolo Tasso di crescita di Steady-State

Capitale per lavoratore effettivo

k=K/(A*L) 0

Prodotto per lavoratore effettivo

y=Y/(A*L)=f(k) 0

Prodotto per lavoratore

Y/L=y*A a

Prodotto totale Y=y(A*L) n+a

Nel modello di Solow ci sono tre fonti della crescita

1. L’accumulazione di capitale (problema MPK decrescente)

2. L’incremento demografico (aumenta Y ma non Y pro-capite)

3. Il progresso tecnologico

“A” a volte viene definita anche come produttività totale dei fattori

Residuo di Solow (RS): A/Y – contributi dell’accumulazione del capitale e delle ore-lavoro

RS si calcola come:

A/Y= Y/Y – (1-sL) K/K - sL L/L

dove sL è la quota del PIL destinata a reddito da lavoro

Crescita endogena

Nel modello di Solow il progresso tecnologico è esogeno

Ma il progresso tecnologico dipende dalle spese in R&S

Cambia la MPK che non è più necessariamente decrescente: il prodotto aumenta ad un tasso costante, così come ilrisparmio e quindi l’investimento

k=K/AL

y=Y/AL

f(k)

sf(k)

(+n+a)k

k1 k2

a

b

c

d

ab è investimento che porta il capitale da k1 a k2

Funzione di produzione:

y = Ak

Allora:

Δk = s*Ak – (δ+n+a)kΔk /k= s*A – (δ+n+a)

che implica un tasso di crescita permanente di k