Prendiamo in considerazione le figure geometriche nel piano , cioè le figure piane , intendendo con questo termine “un qualsiasi insieme di punti appartenenti a uno stesso piano”.

Disegniamo più segmenti consecutivi:

IFC B

Una spezzata può essere:

• aperta , se il primo segmento e

H

GED

A

VR

QML

N

P

O

ST

U

Le figure che abbiamo ottenuto prendono il nome di spezzate o poligonali.

l’ultimo non sono consecutivi;

• chiusa , se il primo e l’ultimo segmento sono consecutivi;

• semplice , se segmenti non consecutivi non si incontrano in alcun punto;

• intrecciata , se segmenti non consecutivi si incontrano in un punto.

Spezzata Aperta Chiusa

Semplice

Riassumiamo in una tabella a doppia entrata:

Intrecciata

Una spezzata semplice chiusa divide il piano in due parti, una interna e una esterna. Quella esterna è infinita, quella interna è finita. La parte interna è quella che si chiama poligono . A

C

B

E

D

α

Si chiama poligono la parte di piano limitata da una spezzata semplice chiusa.

A

C

B

E

D

αLe parole della matematica:

AF

diagonale

lato

La spezzata che delimita il poligono si chiama contorno e rappresenta il

E

DC

B

Angolo interno

Angolo esterno

Vertice chiama contorno e rappresenta il perimetro del poligono. I segmenti che formano la spezzata si chiamano lati del poligono, e i loro estremi, vertici del poligono, gli angoli convessi formati da due segmenti consecutivi, angoli interni del poligono, gli angoli formati da un lato e dal prolungamento del lato consecutivo, angoli esterni del poligono.

Angoli interni e angoli esterni aventi il vertice in comune sono adiacenti e quindi supplementari: α + β = 180°.

Il segmento che unisce due vertici non consecutivi si chiama diagonale .

Il triangolo è un poligono di tre lati e tre angoli.

α

γ

β

C

BA

In esso, ovviamente, possiamo anche affermare che:

• la somma degli angoli esterni misura 2 x 180°

• la somma degli angoli interni misura 180°

Elementi di un triangolo

Si dicono elementi di un triangolo i suoi lati e i suoi angoli interni ed esterni.

compreso fra AB e AC, opposto a BC;

compreso fra AB e BC, opposto a CA;

compreso fra BC e CA, opposto ad AB.

αβγ

Consideriamo il poligono ABCDE e i suoi angoli interni. Sappiamo che angoli interni e angoli esterni aventi il vertice in comune sono supplementari, cioè: α + α’ = 180° e β + β’ = 180°

A

E D

Cγ

β

δωα

Complessivamente allora la somma degli angoli interni ed esterni di un poligono di 5 lati è 5 angoli piatti: °×= 1805cSAbbiamo visto prima che la somma degli

B

β'β'α

Possiamo concludere dicendo che:

In un poligono qualsiasi di n lati, la somma degli angoli interni è sempre : ( ) °×−= 1802nSI

Sc= angoli esterni + angoli interni

SE = somma angoli esterni

SI = somma angoli interni

180)25(18021805 ×−=°×−°×=−= IECI ScioèSSS

°×= 1802ES

Abbiamo visto prima che la somma degli angoli esterni è sempre pari a due angoli piatti:

Quindi:

Il triangolo è un poligono di tre lati e tre angoli.

α

γ

β

C

BA

In esso, ovviamente, possiamo anche affermare che:

• la somma degli angoli esterni misura 2 x 180°

• la somma degli angoli interni misura 180°

Elementi di un triangolo

Si dicono elementi di un triangolo i suoi lati e i suoi angoli interni ed esterni.

compreso fra AB e AC, opposto a BC;

compreso fra AB e BC, opposto a CA;

compreso fra BC e CA, opposto ad AB.

αβγ

•equilatero , se ha i tre lati congruenti;

•isoscele , se ha due lati congruenti;

•rettangolo , se ha un angolo retto;

•acutangolo , se ha tre angoli acuti;

•scaleno , se ha i tre lati disuguali.

•ottusangolo , se ha un angolo ottuso.

Consideriamo il triangolo ABC e il suo vertice A; il segmento AH che inizia da questo vertice e va a intersecare il lato opposto BC perpendicolarmente ad esso si chiama altezza del triangolo relativa al lato BC e il punto H si chiama piede dell’altezza.

APoiché il triangolo ha tre lati, avrà

A

BH

C

O

K

CHB

MPoiché il triangolo ha tre lati, avrà complessivamente tre altezze:

•AH relativa al lato BC, di piede H;

•BK relativa al lato AC, di piede K;

•CM relativa al lato AB, di piede M.

In un qualsiasi triangolo le tre altezze si incontrano in un unico punto O detto ortocentro .

Disegniamo un triangolo rettangolo e le sue tre altezze.

A

K

OMHB ≡≡≡ COsserviamo che:

a) l’altezza AH, relativa al lato BC, coincide con il lato AB, che si chiama cateto ;

b) L’altezza CM, relativa al lato AB, coincide con il lato BC, che è l’altro cateto .

c) I due piedi H e M coincidono con il vertice B dell’angolo retto, il piede K è interno al terzo lato AC, che si chiama ipotenusa ;

d) L’ortocentro O coincide con i due piedi H e M e con il vertice B

a) Solo L’altezza BK, relativa al lato AC, è interna al triangolo e quindi il suo piede K è interno ad AC;

b) Le due altezze AH, relativa a BC, e CM, relativa ad AB, sono esterne

Disegniamo adesso un triangolo ottusangolo e le sue tre altezze, osserviamo che:

A

CB

K

HCM, relativa ad AB, sono esterne al triangolo, esse incontrano il lato relativo nel suo prolungamento, quindi i loro piedi H ed M sono punti esterni ai lati BC e AB;

c) L’ortocentro è un punto esterno al triangolo; esso è il punto di incontro dei prolungamenti delle tre altezze.

o

M

Possiamo riassumere dicendo che:

L’altezza di un triangolo relativa a un lato è il segmento perpendicolare condotto dal vertice opposto alla retta a cui appartiene il lato.

Le tre altezze di un triangolo si incontrano in un unico punto O detto ortocentro che può essere interno (nel triangolo acutangolo), esterno (nel triangolo ottusangolo) o coincidente con il vertice dell’angolo retto (nel triangolo rettangolo).dell’angolo retto (nel triangolo rettangolo).

O

A

B H C

ortocentro

A

H

COB ≡ortocentro O

A

H

CB

ortocentro

Consideriamo il triangolo ABC e il suo vertice A; il segmento AM che unisce questo vertice con il lato opposto, dividendo l’angolo A in due parti di uguale ampiezza, si dice bisettrice di vertice A del triangolo.

A

BCM

Atriangolo.

Poiché il triangolo ha tre vertici, avrà complessivamente tre bisettrici:

•AM bisettrice di vertice A;

•BN bisettrice di vertice B;

•CP bisettrice di vertice C.

A

N

CMB

P

Diciamo che:

La bisettrice di un triangolo relativa a un vertice è il segmento che unisce il vertice con il lato opposto dividendo a metà l’angolo, è cioè il segmento di bisettrice di quell’angolo.

Le tre bisettrici si incontrano in un unico punto I, detto incentro , che è sempre interno al triangolo.

AA

AA

B B BC

C C

incentro incentro

incentro

In un qualsiasi triangolo l’incentro è equidistante dai tre lati.

I

II

Consideriamo il triangolo CDE e il suo vertice C; il segmento CT che unisce questo vertice con il punto medio del lato opposto si chiama mediana relativa al lato DE.

E

C

D T

Anche di mediane, naturalmente, ne esistono tre:

•CT mediana relativa al lato DE BR

C

S•CT mediana relativa al lato DE

•DS mediana relativa al lato CE

•ER mediana relativa al lato DC

B

D ET

In ogni triangolo le tre mediane si incontrano in un unico punto B detto baricentro . In ogni triangolo le mediane e il baricentro sono sempre interni.

In un qualsiasi triangolo il baricentro divide ogni mediana in due parti che sono una il doppio dell’altra.

Esaminiamo la parola “baricentro”, essa deriva dal greco “bàros”, “peso”, e letteralmente significa “centro del peso”. Il baricentro gode infatti di una notevole proprietà fisica: è l’unico notevole proprietà fisica: è l’unico punto di equilibrio del triangolo.

Se disegniamo un triangolo su un cartoncino rigido, lo ritagliamo e cerchiamo di farlo stare in equilibrio su una punta o appendendolo a un filo, ci accorgiamo che dobbiamo appoggiarlo o appenderlo per il suo baricentro.

Possiamo riassumere dicendo che:

La mediana di un triangolo relativa a un lato è il segmento che unisce il punto medio del lato con il vertice opposto.

Le tre mediane si incontrano in un unico punto B, detto baricentro , che è sempre interno al triangolo.

Il baricentro divide ogni mediana in due parti, una doppia dell’altra, ed è il punto di equilibrio del triangolo.

A

B

C

D

E

B

F

G

B

H I

L

baricentro

baricentro

baricentro

Consideriamo il triangolo DEF e il suo lato EF, sia M il punto medio di EF; la retta m, perpendicolare a EF passante per il punto M, si chiama asse del lato EF

mEssendo tre i lati, tre sono gli

ME F

D

asse

D

E M

m

N

n

CR

r

F

mEssendo tre i lati, tre sono gli assi di un triangolo:

•M asse del lato EF

•N asse del lato DF

•R asse del lato DE

In ogni triangolo i tre assi si incontrano in un unico punto detto circocentro.

Consideriamo ancora il triangolo acutangolo, gli assi dei suoi lati e il circocentro: il circocentro C è un punto interno al triangolo.

D

E Mm

N

n

CR

r

F

Disegniamo un triangolo rettangolo, gli assi e il circocentro; il circocentro C coincide sempre con il punto medio

Disegniamo un triangolo ottusangolo, gli assi e il circocentro: il circocentro è sempre un punto esterno al triangolo.C coincide sempre con il punto medio

dell’ipotenusa

rR

n

M m

CN ≡

sempre un punto esterno al triangolo.

r

C

NN

n

M m

R

Disegniamo un triangolo qualsiasi OPQ, gli assi e il circocentro; misuriamo con un righello i segmenti CO, CQ e CP, ci accorgiamo che hanno la stessa lunghezza:

CQCPOC ≅≅

O

P Q

C

n

N

M

r

R

CQCPOC ≅≅ P QM

m

Possiamo dire che:

In un qualsiasi triangolo il circocentro è equidistante dai vertici.

Riassumendo quanto detto:

L’asse di un triangolo relativo a un lato è la retta perpendicolare passante per il punto medio del lato considerato.

I tre assi si incontrano in un unico punto C detto circocentro che può essere interno (triangolo acutangolo), esterno (triangolo ottusangolo) o coincidente con il punto medio dell’ipotenusa (triangolo rettangolo).

Il circocentro è sempre equidistante dai vertici del triangolo.

A G L Ccircocentro

NB

C

D E

G

C

F

L C

H I

circocentro

circocentro

circocentro

Ortocentro , incentro, baricentro e circocentro prendono il nome di punti notevoli di un triangolo.

Il perimetro di un poligono è la somma del suo contorno, cioè la somma della misura di tutti i suoi lati

triangolotriangolo equilatero