Percorsi tecnologici - katalogando.com · assonometria isometrica. ... Disegna l’esagono in...

per la scuola secondaria di primo grado

Gino CappèDi

segn

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com

unica

zione

Percorsitecnologici

66

Per aff rontare quest’Area devi possedere le seguen-ti conoscenze e abilità.

ConoscenzeElementi di base della geometria

Sistemi e strumenti di misura delle lunghezze e degli angoli

Concetto di rapporto

Abilità

Utilizzare gli strumenti base per il disegno

Costruire le fi gure fondamentali della geometria piana

Ñ

Ñ

Ñ

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Lo studio di quest’Area ti aiuterà a trasformare in competenze personali le seguenti conoscenze e abilità.

ConoscenzeTerminologia tecnica specifi ca

Metodi di rappresentazione grafi ca: proiezio-ni ortogonali, assonometria, prospettiva

Concetto di disegno tecnico: vuotatura e sezioni

Concetto di scala di ingrandimento e di ridu-zione

AbilitàRappresentare grafi camente solidi geome-trici e semplici oggetti con i metodi delle proiezioni ortogonali, dell’assonometria e della prospettiva

Quotare disegni di fi gure e oggetti, al natura-le e in scala

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Rappresentazione

grafi ca

degli oggettiO

BIE

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UIS

ITI

area

4

Rappresentazione grafi ca degli oggetti67 Rappresentazione grafi ca degli oggetti

1. I metodi dirappresentazione

grafi caG

razie alla Geometria descrittiva si è potuto ri-solvere il problema di rappresentare sul piano (che ha due dimensioni) gli oggetti solidi, che hanno tre dimensioni. Allo scopo si utilizzano

strumenti di proiezione.

In pratica si tratta di immaginare di vedere l’oggetto da un punto, detto punto di proiezione, dal quale parte un fascio di raggi tangenti al contorno dell’oggetto, in-tersecati da un piano (detto quadro) sul quale si ottiene l’immagine proiettata, cioè la proiezione dell’oggetto.

In base alla posizione del punto di proiezione rispetto al pia-no, i metodi di rappresentazione si distinguono in due gruppi FIG. 1 :1. proiezioni parallele, quando il punto di proiezione è immaginato a una distanza infinita dal piano, e perciò i raggi si possono immaginare paralleli tra loro. È il caso delle proiezioni ortogonali e delle proiezioni assono-

metriche;2. proiezioni centrali, quando il punto di proiezione è posto a una distanza determinata dal piano e perciò i raggi sono di-vergenti, a partire dal punto di proiezione che ne costituisce l’origine. È il caso della prospettiva.

METODIDI RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

proiezioni centraliproiezioni parallele

F1 F2

prospettiva

45°

y

x

z

60°

yz

x

30°

assonometria

PLPV

PO

LT

proiezioni ortogonali

punto di proiezione a distanza finitapunto di proiezione all’infinito

1

area

2

area

4area

5

Rappresentazione grafi ca degli oggetti

area

3

area

1

area

6

68

2. Le assonometrieU

n’assonometria è un par-ticolare tipo di rappresenta-zione, che consente di rap-presentare su un piano un

oggetto tridimensionale visto nel suo insieme.Rispetto alle proiezioni ortogonali, l’asso-nometria ha il vantaggio di rap presentare le tre dimensioni di un oggetto con una sola fi gura. Si ottiene così un disegno che rende con molta evidenza la forma del-l’og getto, perché esso risulta abbastanza simile a come noi lo vediamo.Proprio per questo motivo, l’assonome-tria viene usata spesso nei disegni tec-nici per rappresentare pezzi meccanici,

assemblaggi di macchine, visioni archi-tettoniche d’insieme.Il termine assonometria (dal greco axon, asse, e metron, misura) contiene un ri-ferimento agli assi sui quali vengono riportate le misure degli oggetti che si vogliono disegnare.

Nella rappresentazione assonometrica si fa riferimento a una terna di assi FIG. 2 :

l’asse x per le larghezze;l’asse y per le profondità;l’asse z per le altezze.

L’asse z delle altezze viene sempre dise-gnato verticale, mentre gli assi x e y so-no disegnati con inclinazione diversa.

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Proprio in relazione a come vengono inclinati gli assi x e y si distinguono si-stemi diversi di assonometria. Ci limi-teremo qui a illustrare i tre tipi fonda-mentali ( TABELLA 1 ):

assonometria cavaliera;assonometria monometrica;assonometria isometrica.

æææ

asse x(delle larghezze)

asse z(delle altezze)

asse y(delle profondità)

O

2 I tre assi

Tabella 1 • Le tre assonometrie a confronto

Assonometria cavaliera Assonometria monometrica Assonometria isometrica

asse z (altezza) verticale verticale verticale

asse x (larghezza) orizzontaleforma un angolodi 60° con z

forma un angolodi 60° con z

asse y (profondità)forma un angolodi 45° con z



45°y

z

xO O

60°60°

yz

x

30°

30°

O30°

60°y

z

x

30°

60°

45°

y

x

z

60°

yz

x

30° 30°

y

z

x

30°

area

2

area

4area

5

Rappresentazione grafi ca degli oggetti69

area

3

area

1

area

6

AssonometriacavalieraL’assonometria detta cavaliera, in onore di Bonaventura Cavalieri, ma-tematico e fi sico allievo di Galilei, è il metodo più semplice e rapido di rap-presentazione assonometrica. In essa gli assi x e z sono l’uno orizzontale e

l’altro verticale, tra loro perpendicola-ri, mentre il terzo asse y è inclinato, di solito di 45°, rispetto all’asse z. Sull’asse y si riporta la dimensione della profon-dità, ridotta della metà rispetto al suo valore reale. Lunghezza e altezza sono riportate sugli assi x e z nelle loro di-mensioni reali. Se la rappresentazione è in scala ridotta, come nella maggior parte dei casi, le misure riportate sugli assi x e z sono nella stessa scala, mentre

quella riportata sull’asse y è in scala di-mezzata.Questo tipo di assonometria è il più usato nel disegno tecnico, perché mo-stra la vista principale degli oggetti rap-presentati, ossia la loro faccia anteriore, inalterata nella sua forma.Per disegnare in assonometria cavalie-ra un cubo, avente lo spigolo di 2 cm, si procede come nella FIG. 3 , usando conve-nientemente la squadra a 45° e la riga.

45°

yz

x

90°

o O

y

z

x

O

y

z

xO

y

z

xO

y

z

x

1 Traccia gli assi x, y e z, utilizzando la riga e la squadra a 45°. 2 Sugli assi x e z riporta rispettivamente, con esattezza, le misure di larghezza e di altezza del solido. Dai punti trovati traccia le parallele rispet-tivamente all’asse x e all’asse z, ottenendo il qua-drato che rappresenta il prospetto del cubo.

3 Riporta nell’asse y, dimezzata, la misura della profondità. Traccia due parallele rispettivamente a x e a y, completando l’assonometria della base inferiore del cubo. Innalza ora gli spigoli paralleli all’asse z e traccia le parallele all’asse y, completando la rappresentazione assonometrica del solido.

4 Cancella le linee di costruzione che spor-gono dalla fi gura e ripassa in modo marcato e uniforme i contorni del cubo, tratteggiando gli spigoli nascosti.

3

1 Parallelepipedo

Tracciati i tre assi, riporta su di essi le misure del solido (ricorda che sul l’asse y la misura va dimezzata).Continua secondo il procedimento usato per il cubo.

Ñ

Ñ y

z

x

y

z

xO O

Solidi in assonometria cavaliera

70

2 Piramide regolare a base quadrata

Costruisci il quadrato di base della piramide a parte e traccia lo stesso in assonometria.Traccia le diagonali del quadrato e nel loro punto d’incontro innalza l’altezza della piramide, determinando il vertice.Unisci infi ne il vertice agli angoli di base.Ripassa con tratto marcato gli spigoli in vista e tratteggia quelli nascosti.

Ñ

Ñ

ÑÑ

y

z

xO

y

z

xO

3 Prisma regolare a base triangolare

Costruisci a parte il triangolo equilatero di base del prisma e racchiudilo in un rettangolo, come illustrato.Traccia gli assi e riporta su di essi le misure dei lati del ret-tangolo.Disegna, inscritto nel rettangolo, il triangolo in assonome-tria, che rappresenta la base del prisma.Innalza gli spigoli del prisma, tutti della stessa lunghezza, e completa la base superiore.Ripassa con tratto marcato gli spigoli in vista e tratteggia quelli nascosti.

Ñ

Ñ

Ñ

Ñ

Ñ

y

z

xO

y

z

xO

4 Prisma regolare a base esagonale

Costruisci a parte l’esagono regolare di base del prisma e in-scrivilo in un rettangolo, come illustrato.Traccia gli assi e riporta su di essi le misure dei lati del ret-tangolo.Disegna l’esagono in assonometria.Riporta sull’asse z l’altezza del prisma e traccia il parallelepi-pedo di costruzione, come illustrato.Innalza gli spigoli verticali e completa la base superiore.Ripassa con tratto marcato gli spigoli in vista e tratteggia quelli nascosti.

Ñ

Ñ

ÑÑ

ÑÑ

y

z

xO

y

z

xO

5 Cilindro

Costruisci la circonferenza di base e il quadrato a essa circo-scritto.Traccia le diagonali e gli assi del quadrato.Traccia gli assi x, y e z e riporta su di essi le misure dei lati del quadrato.Congiungi i punti trovati con un curvilineo, determinando l’assonometria del la circonferenza (ellisse).Riporta sull’asse z l’altezza e disegna il parallelepipedo di costruzione, inscrivendo nella sua base superiore un’altra ellisse.Completa l’assonometria tracciando le due generatrici (i lati verticali del rettangolo la cui rotazione ha generato la super-fi cie curva del cilindro).Ripassa con tratto marcato gli spigoli in vista e tratteggia quelli nascosti.

Ñ

ÑÑ

Ñ

Ñ

Ñ

Ñ

y

z

O

y

xO

x

z

area

2

area

4area

5


area

3

area

1

area

6

6 Cono

Costruisci la circonferenza di base in assonometria come nella costruzione precedente.Dal centro della circonferenza traccia la parallela all’as-se z e su questa riporta la misura dell’altezza del cono, individuando così il suo vertice.Dal vertice traccia le due generatrici del cono, comple-tando l’assonometria.Ripassa con tratto marcato gli spigoli in vista e tratteg-gia quelli nascosti.

Ñ

Ñ

Ñ

Ñ

y

O

y

Ox

zz

x

7 Cubo-prisma-piramide 8 Prismi-piramide

x

y

z

PV

PL

PO

x

y

z

PV

PL

PO

9 Parallelepipedo-piramide-prisma 10 Parallelepipedo-piramide-prisma

x

y

z

PV

PL

PO

x

y

z

PV

PL

PO

Gruppi di solidi e oggetti in assonometria cavaliera

72

11 Parallelepipedi-prismi 12 Sedie

x

y

z

PV

PL

PO

x

y

z

PV

PL

PO

13 Tavola ad angolo 14 Lettere

x

y

z

PV

PL

PO

y

z

PV

PL

PO

15 Libreria 16 Scalini

x

y

z

PV

PL

PO

x

y

z

PV

PL

PO

area

2

area

4area

5


area

3

area

1

area

6

17 Monumento 18 Scalini

x

y

z

PV

PL

PO

x

y

z

PV

PL

PO

AssonometriamonometricaQuesto tipo di assonometria è abbastanza semplice da ese-guire. Si defi nisce monometrica (dal greco monos, solo, e metron, misura) in quanto su ognuno dei tre assi di riferi-mento le misure si riportano invariate, senza alcun rappor-to di riduzione l’una rispetto all’altra.

30°

yz

x

60°

O

60°

30°

Nella pratica, l’asse z è sempre verticale, l’asse x forma con l’asse z un angolo di 60° e l’asse y forma con lo stesso asse z un angolo di 30°.Poiché l’asse x e l’asse y formano tra loro un angolo retto (60° + 30° = 90°), le basi dei solidi rappresentati con tale assono-metria mantengono invariate la propria forma e le dimensio-ni reali. Volendo disegnare in assonometria monometrica un cubo di 2 cm di lato, occorre procedere nel modo illu-strato nella FIG. 4 .

1 Con l’uso combinato della riga e della squadra a 30°, traccia gli assi x, y, z.

2 Riporta sui tre assi le misure del so-lido. Dai punti trovati sugli assi x e y traccia le parallele rispettiva-mente all’asse y e al-l’asse x, ottenendo la base del cubo.

3 Innalza dai ver-tici della base le paral-lele all’asse z e riporta su di esse la misura dell’altezza. Unisci i punti trovati e ottieni la base superiore del solido.

4 Cancella le linee di costruzione e ripas-sa in modo marcato e uniforme i contorni del cubo, tratteggian-do gli spigoli non in vi-sta. Come puoi notare, la base del cubo è di-segnata senza alcuna deformazione.

y

z

x

O

y

z

x

O

y

z

x

O

4 Costruire un cubo in assonometria monometrica

74

19 Parallelepipedo

Traccia i tre assi e riporta su di essi le dimensioni del parallelepipedo.Con l’uso della riga e della squadra a 30° traccia la base del solido e dai suoi vertici innalza le parallele al l’asse z.Riporta sulle parallele la misura del l’altezza, unisci i punti trovati e traccia la base superiore.Ripassa con tratto marcato gli spigoli in vista e tratteggia quelli nascosti.

ÑÑ

Ñ

Ñ

y

z

x

O

20 Prisma regolare esagonale

Costruisci l’esagono di base con un lato orizzontale.Inscrivi l’esagono in un rettangolo come illustrato, prolunga due suoi lati (asse x e asse y) e innalza l’asse z.Innalza dai vertici dell’esagono di base gli spigoli verticali, paralleli all’as-se z, riporta su di essi l’altezza del prisma e traccia la base superiore.Ripassa con tratto marcato gli spigoli in vista e tratteggia quelli nascosti.

ÑÑ

Ñ

Ñ

O

y

x

z

21 Piramide regolare a base quadrata

Costruisci sugli assi x e y il quadrato di base.Traccia le diagonali del quadrato e innalza dal loro punto d’incontro una retta parallela all’asse z, sulla quale riporterai la misura dell’altezza della piramide.Unisci il vertice della piramide con i vertici della base.Ripassa con tratto marcato gli spigoli in vista e tratteggia quelli nascosti.

ÑÑ

ÑÑ

O

y

x

z

22 Cilindro

Traccia sugli assi x e y un quadrato, nel quale inscriverai il cerchio di base del cilindro.Traccia le diagonali del quadrato e dal loro punto d’incontro innalza una retta parallela all’asse z, sulla quale riporterai la misura dell’altezza del cilindro. Trovi così il centro della base superiore. Traccia la circonferenza.Per completare il cilindro unisci le due circonferenze con due tangenti.Ripassa con tratto marcato gli spigoli in vista e tratteggia quelli nascosti.

Ñ

Ñ

ÑÑ

O

y

x

z

Solidi in assonometria monometrica

area

2

area

4area

5


area

3

area

1

area

6

Gruppi di solidi e oggetti in assonometria monometrica


x

y

z

PO

PL

PV

x

y

z

PO

PL

PV


x

y

z

PO

PL

PV

x

y

z

PO

PL

PV

76


x

y

z

PO

PL

PV

x

y

z

PO

PL

PV

29 Tavolo ad angolo 30 Lettere

x

y

z

PO

PL

PV

x

y

z

PO

PL

PV

area

2

area

4area

5


area

3

area

1

area

6

31 Libreria 32 Scala

x

y

z

PO

PL

PV

x

y

z

PO

PL

PV


x

y

z

PO

PL

PV

x

y

z

PO

PL

PV

78

Assonometria isometricaIn questo tipo di assonometria gli assi x e y sono disposti entrambi inclinati di 60° rispetto all’asse verticale z. Le misure lineari dell’oggetto da rappresentare si riportano uguali su tutti e tre gli assi. Da ciò la denominazione

di isometrica (dal greco isos, stesso e metron, misura).Osservando la costruzione del cubo illustrata, possiamo no-tare che tutti i lati sono rimasti uguali nel disegno e ciò per-mette di rilevare direttamente dal disegno assonometrico le vere dimensioni dell’oggetto.In FIG. 5 vediamo come si procede per costruire in assono-metria isometrica un cubo, avente sempre il lato di 2 cm.

1 Traccia gli assi x, y e z, usan do la riga e la squadra a 60°. 2 Riporta rispettivamente sugli assi le misure di larghezza, altezza e profondità del cubo. Dai punti trovati sugli assi x e y traccia le parallele al-l’asse z e dal punto trovato sul l’asse z le parallele agli assi x e y, ottenendo due facce laterali del cubo.

3 Traccia le parallele all’asse y e al l’asse x, completando rispettivamente le assonometrie della base inferiore e superiore del cubo.

4 Cancella le linee di costruzione, ripassa in modo marcato e unifor-me i contorni del cubo e tratteggia gli spigoli nascosti. Come puoi notare, i quadrati sono deformati in rombi, ma la lunghezza dei lati non subisce alterazioni.

y

z

x

60°

O

60°y

z

x

O

y

z

x

O

y

z

x

O

35 Parallelepipedo

Esegui la costruzione assonometrica secondo il procedimento descritto per il cubo.

Ñ

y

z

x

O

Solidi in assonometria isometrica

5 Costruire un cubo in assonometria isometrica

area

2

area

4area

5


area

3

area

1

area

6

36 Prisma regolare triangolare

Disegna il triangolo equilatero ausiliario e circoscrivilo con un rettangolo. Traccia gli assi x, y e z.Centra il compasso in O e riporta sugli assi x e y i punti necessari per costruire l’assonometria del rettangolo e del triangolo, base del prisma assonometrico.Riporta sull’asse z l’altezza del prisma e traccia il parallelepipedo di co-struzione di altezza pari a quella del prisma. Alza il terzo spigolo e com-pleta la base triangolare superiore.Ripassa gli spigoli in vista e tratteggia quelli nascosti.

Ñ

Ñ

Ñ

Ñ

y

z

x

O

37 Piramide regolare esagonale

Disegna l’esagono regolare ausiliario e circoscrivilo con un rettangolo.Traccia gli assi di riferimento, facendo coincidere O con un vertice del rettangolo. Centrando il compasso in O, riporta sugli assi x e y i punti ne-cessari per la costruzione assonometrica del rettangolo e dell’esagono, base del prisma.Dal centro dell’esagono innalza l’altezza della piramide parallelamente all’asse z, e unisci il vertice agli angoli della base.Ripassa con tratto marcato gli spigoli in vista e tratteggia quelli nascosti.

ÑÑ

Ñ

Ñ

y

z

x

O

38 Circonferenza

Costruisci la circonferenza e il quadrato a essa circoscritto, con le diago-nali e gli assi.Traccia i tre assi di riferimento, facendo coincidere O con un vertice del quadrato. Centrando il compasso in O, riporta sugli assi x e y i punti ne-cessari per costruire l’assonometria del quadrato.Unisci tra loro con un curvilineo gli otto punti ottenuti, trovando l’asso-nometria richiesta, ossia un’ellisse.

Ñ

Ñ

Ñ

y

z

x

O

39 Cilindro

Costruisci l’assonometria della circonferenza di base del cilindro come nella costruzione precedente.Riporta sull’asse z l’altezza del cilindro e traccia il parallelepipedo di co-struzione, dentro il quale si suppone racchiuso il cilindro, e nella sua base superiore inscrivi, sempre con un curvilineo, un’altra circonferenza asso-nometrica (ellisse).Unisci le due circonferenze con due tangenti.Ripassa il cilindro ottenuto con tratto marcato e tratteggia gli archi na-scosti.

Ñ

Ñ

ÑÑ

y

z

x

O

80

Gruppi di solidi e oggetti in assonometria isometrica


xy

z

PV

PL

PO

xy

z

PV

PL

PO


xy

z

PV

PL

PO

xy

z

PV

PL

PO


xy

z

PV

PL

PO

xy

z

PV

PL

PO

area

2

area

4area

5


area

3

area

1

area

6

46 Tavolo ad angolo 47 Lettere

xy

z

PV

PL

PO

xy

z

PV

PL

PO

48 Libreria 49 Scala

xy

z

PV

PL

PO

xy

z

PV

PL

PO


xy

z

PV

PL

PO

xy

z

PV

PL

PO

82

Costruzione di assonometrie con griglie modulariEsistono in commercio griglie già pre-

disposte, sulle quali è facile e rapido di-

segnare solidi in assonometria. Natural-

mente le griglie sono diverse per i vari

tipi di assonometria.

ASSONOMETRIA CAVALIERA

La griglia è costituita da quadretti ta-

gliati da una diagonale.

Puoi costruire facilmente anche tu una

griglia di questo tipo, disegnando con

precisione le diagonali su un normale

foglio a quadretti da 0,5 cm.

ASSONOMETRIA MONOMETRICA

La griglia è costituita da rettangoli con

i lati l’uno il doppio dell’altro, tagliati da

una diagonale.

ASSONOMETRIA ISOMETRICA

La griglia è costituita da triangoli equi-

lateri.

La procedura per disegnare solidi su gri-

glie assonometriche è la stessa in tutte

e tre le assonometrie. Per esempio, per

disegnare una piramide a base qua-

drangolare:

1 Si disegna il quadrato di base della

piramide sulla griglia.2 Si costruisce l’assonometria del pri-

sma circoscritto alla piramide, utilizzan-

do come assi le linee della griglia. Na-

turalmente bisogna fare attenzione a

riportare correttamente le misure dei

solidi sugli assi.3 Si individua il vertice della piramide

sulla base superiore del prisma, all’in-

crocio delle due diagonali.4 Si unisce il vertice trovato con i verti-

ci della base della piramide.

A Assonometria cavaliera

B Assonometria monometrica

C Assonometria isometrica

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

area

2

area

4area

5


area

3

area

1

area

6

SCHEDAOPERATIVA

La griglia assono-

metrica più usata

è quella isometri-

ca: ti proponiamo

qui alcuni esempi

di solidi complessi

realizzati con que-

sto metodo.

1

2

3

4

Ora

to

cca

a te

...Base 60 + Pensile 60

Cassetti 60 + Vetrina 60

Fuochi 60 + Cappa 60

Assonometria isometrica Assonometria monometrica Assonometria cavaliera



1 Osserva attentamente le assonometrie di elementi che compongono una cucina modulare, rilevando che la gri-

glia è sviluppata su un modulo di 15 cm e che la misura più piccola corrisponde a 5 cm. Ricostruisci le assonometrie

in scala 2:1, completandole dove necessario. Le misure sono in centimetri.

Ora

to

cca

a te

...area

2

area

1

area

4area

5area

6

area

3


2 Confronta gli elementi proposti per la cucina modulare, sia come dimensioni (in cm) che come combinazioni e

prova a elaborare soluzioni diverse. Puoi trarre qualche idea anche dall’osservazione della cucina di casa tua.

Lavello 60 + Vetrina 60 Base 30 + Pensile 30

Base 45 + Pensile 45 Cassetti 45 + Vetrina 45

Lavastoviglie 60 + Vetrina 60 Frigorifero 60

Assonometria isometrica



Assonometria monometrica



Ora

to

cca

a te

... 3 Ricostruisci e completa l’assonometria isometrica

della cucina modulare, che è riprodotta qui a fi anco

vista di fronte e in pianta.

Ora

to

cca

a te

...area

2

area

1

area

4area

5area

6

area

3


4 Costruisci l’assonometria monometrica della stessa

cucina proposta nell’esercizio 3.

5 Costruisci l’assonometria cavaliera della stessa cucina

proposta nell’esercizio 3.

6 Ricostruisci e completa l’assonometria monometrica

della cucina modulare, che è riprodotta qui a fi anco

vista di fronte e in pianta.

7 Costruisci l’assonometria isometrica della cucina pro-

posta nell’esercizio 6.

8 Costruisci l’assonometria cavaliera della cucina pro-

posta nell’esercizio 6.

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