SIMMETRIE RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI. Savoia – Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 2011 Ad...

I. Savoia – Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 2011

SIMMETRIE NEL PIANO CARTESIANOSIMMETRIE RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI

La simmmetria rispetto ad un asse è quella trasformazione che associa a ciascun punto un altro punto tale la retta che li congiunge sia perpendicolare all'asse di simmetria ed il punto medio di essi vi appartenga.

SIMMETRIA CENTRALE RISPETTO ALL'ORIGINELa simmetria centrale è quella trasformazione che associa

ad un punto un altro punto tale che il punto medio fra essi sia l'origine degli assi.

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2

; punto medio: M ,01

, punto medio: M 0,2

ASSE X: , ,

ASSE Y: , ,

x

y

P x y P x y

P x y P x y

−

−

a

a

( ) ( ) ( ) punto medio: O 0,0, ,3P x y P x y− −a


Ad ogni punto del piano corrisponde un suo simmetrico rispetto a ciascuno dei due assi cartesiani per cui, ad ogni insieme di punti appartenente ad una data figura geometrica, luogo geometrico e grafico di funzione matematica, corrispondono rispettivamente, insieme di punti simmetrico della figura, del luogo geometrico e del grafico di funzione.

In figura i triangoli simmetrici di un triangolo dato.

FUNZIONI SIMMETRICHE E LORO GRAFICI.I grafici simmetrici delle funzioni, per

esempio retta e parabola, si costruiscono a partire dalle loro espressioni che sono state modificate con la sostituzione delle variabili cambiate di segno, in base alle simmetrie.

Illustriamo di seguito esempi di rette e simmetriche e di parabole simmetriche.

2


Rappresentazione grafica delle rette simmetriche:

3

1

2

: 2 6

1) rette simmetriche della retta di equazione: r: 2 6 Asse X: r:- 2 6 2 6

Asse Y: r

Origine:

y x

x xy y

y xx x

y x y xy yx xy y

= − −

→ −

→ −

= −→

= − = − +→ −→ −→

a a

a

: 2 6 2 63

r y x y x− = − − = +a a


Rappresentazione grafica delle parabole simmetriche:

Esercizio: determinare, per ciascuna delle due seguenti funzioni, le tre simmetriche rispetto agli assi e all'origine e costruirne i rispettivi grafici nello stesso disegno.

4

2

2 2

2) Parabole simmetriche della parabola di equazione:2 y = x - 4x + 32Asse X : x - 4x + 3 -x

2Asse Y: x + 4x + 3

Origine :

4 3

+4x -3 y = -x -4x +3

y

x xy

y y

x xy x

y y

x xy x

y y

=

→ −=

→

→ − = + − → −

→ − − = → −

a

a

a

a a

2) -2x+3y+4=0 ; b) y=-2x 6a x+


SIMMETRIA DELLE FUNZIONI: PARITA' E DISPARITA'Esistono funzioni matematiche definite da formule

che, rispetto ai cambiamenti dei segni dovuti alle simmetrie, hanno peculiari proprietà che qui definiamo:

Funzioni pari: formule e grafici rimangono invariati rispetto alla simmmetria di asse Y verticale per cui i grafici sono composti da due parti specularmente uguali da parti opposte rispetto all'asse Y

Funzioni dispari: formule e grafici rimangono invariati rispetto alla simmetria centrale per cui i grafici sono composti da due parti specularmente uguali e da parti opposte rispetto all'origine, il primo ed il terzo quadrante oppure il secondo ed il quarto quadrante.

Funzioni non simmetriche: formule e grafici cambiano a seguito delle trasformazioni di simmetria.

5

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Simmetria pari:

Esempio di funzione pari:

22 22 8 2 8 2 8

Simmetria dispari:

Esempio di funzione dispari:

33 3 32 8 2 8 2 8 2 8

Nessuna simmetria:

-

f x f x

f x x f x x x

f

f x x x f x x x x x x x

f

x f x

x f x

= −

= − − = − − = −

= − − = − − − = − + = − −

− =

− ≠ ±

a

a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Esempio di funzione non simmetrica:

22 22 8 2 8 2 8f x x x f x x x x x f x= − − = − − − = + ≠ ±a


FUNZIONI MATEMATICHE E SIMMETRIELe funzioni reali di variabile reale sono delle leggi

di corrispondenza univoche, definite da formule matematiche, che associano ad ogni valore numerico della variabile indipendente X nell'insieme dei nueri reali R o di suoi sottoinsiemi detto dominio D, dei valori numerici reali di variabile dipendente Y che costituiscono l'insieme detto codominio.

Definiamo meglio il concetto di univocità delle funzioni:ad ogni valore della variabile indipendente X del dominio viene associato, dalla formula che definisce la funzione, uno ed uno solo valore della variabile dipendente Y.

Il simbolo od il valore della variabile indipendente x entro la parentesi prende il nome di argomento.

Tra le più comuni funzioni matematiche di tipo algebrico vi sono la funzione lineare che definisce la retta, la funzione quadratica che definisce la parabola, la funzione omografica che definisce l'iperbole equilatera, la funzione valore assoluto. Esaminiamole di seguito dal punto di vista della proprietà di simmetria che si ricavano dalle formule.

Funzione lineare: definisce la retta obliqua ed orizzontale.

Funzione quadratica: definisce la parabola ad asse verticaleUn trinomio di secondo grado costituisce la formula della

parabola verticale e, in base ai valori dei suoi coefficienti, può avere simmetria rispetto all'asse Y.

6

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Se 0 la retta non passa per l'origine e la funzioneè priva di simmetria.

Se 0 la retta passa per l'origine e la funzione ha simmetria dispari:

f x m x q f x m x q m x q

q

qf x m x f x

= ⋅ + − = ⋅ − + = − ⋅ +

≠

=− = − ⋅ = −

a

a


Le parabole prive del termine di primo grado hanno il vertice posizionato lungo l'asse Y che le divide in due parti specularmente uguali.Funzione omografica: E' una funzione fratta definita da quattro coefficienti per cui numeratore e denominatore sono binomi di primo grado:

Funzioni con moduli: definite per mezzo dela funzione modulo.Valore assoluto: simmetria pari

funzione elementare che associa ad ogni numero reale il numero stesso se esso è positivo o nullo mentre associa il suo opposto se esso è negativo e la sua simmetria è evidentemente pari.

Rapportounitario: simmetria disparifunzione che associa ad ogni numero reale il rapporto fra il suo valore assoluto ed il numero stesso: è pari ad uno se il numero è positivo o nullo ed è pari al suo opposto se il numero è negativo e la simmetria è evidentemente dispari.

7

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

Se 0 nessuna simmetria

Se 0 simmetria pari

f x ax bx c f x ax bx c

b f x f x

b f x f x

= + + − = − +

≠ − ≠

= − =

a

a

a

( )

( )

( ) ( )

, 0

e 0 e 0 la funzione è l'iperbole equilatera ed ha simmetria dispari:

a x bf x cc x d

a x b a x bf x c x d c x d

S a d

b b bf x f xc x c x c x

⋅ += ≠⋅ +

− ⋅ + ⋅ −− = =− ⋅ + ⋅ −

= =

= → − = = −⋅ − ⋅ ⋅

( ) , 0

: , 0x x

f x x xx x

≥= =

− <


Rapprentazione grafica del valore assoluto e del rapporto unitario:

Funzione f(|x|): simmetria pari.

La caratteristica del grafico è quella di eliminare, dal grafico della funzione di partenza, la parte posta nel sempipiano sinistro dei valori negativi della variabile indipendente x della funzione di origine f(x).Funzione |f(x)|: simmetrica rispetto all'asse X

Esempio:8

( ) 1 , 0

, 1 , 0

x xxx xf x xx x xx

= = + ≥= = −= = − <

( ) ( )22 8 , x 02 2Es.: =2x -8x ; 2 8 22 8 , 0x x

f x f x x xx x x

− ≥= − =

+ <

( )( ) ( )

( ) ( )

, 0, <0

f x f xf x

f x f x

≥=

−


La caratteristica del grafico è quella di eliminare, dal grafico della funzione di partenza, la parte posta nel sempipiano inferiore dei valori negativi della y della funzione di origine f(x).Rappresentazione grafica delle funzioni con il modulo:

Esercizi sulla proprietà di simmetria delle funzioni:

1] Utilizzare la definzione di parità, disparità ed asimmetria per verificare la proprietà di ciascuna funzione esplicitata:

2] Per ogni funzione determinare le due funzioni definite con il modulo e rappresentare tutte e tre in grafici differenti, tramite tabelle di numeri, verificando le proprietà di simmetria come illustrato nelle precedenti figure:

9

( ) ( )2 2 2 8 , 2 8 0 2 22 8 , 2 8 2 22 8 , 2 8 0 x x x x

f x x x f x x xx x x x

− − ≥= − = − =

− + − <

( )

( )

( )

3 2a) : dispari ;2 13 5b) : funzione asimmetrica ; 24

43c) : funzione pari ;22 1

x xf xxxf xxxf x

x

−=+

+=−

=+


SIMMMETRIA RISPETTO A RETTE PARALLELE AGLI ASSISimmetria rispetto ad assi verticali e orizzontali

Le seguenti equazioni di simmetrie garantiscono che, in base alla definizione generale, il punto medio di punti simmetrici appartenga all'asse del loro segmento.

10

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a) 2 3 ; ; =

2b) 2 6 ; ; =

6c) ; ; =

f x x f x f x

f x x x f x f x

f x f x f xx

= == − =

= == =

= − + == =

= == =

= =

( )

( )

Simmetria di asse verticale con equazione :

( , ) 2 ,

Simmetria di asse orizzontale con equazione y :

( , ) ,2

Es.: determiniamo le rette simmetriche rispetto agli assi indicati delle rette

x a

P x y P a x y

b

P x y P x b y

=

−

=

−

a

a

( ) y=

seguenti:

a) y=2x+1 ; asse: 2

4

2x+1 2 4 1 2 9

) y= ; asse: 3

6y=

3x-24

3 3 3x-2 6 2 84 4 4

x

x x

y y

x y x

b y

x x

y y

y

y x y x

→

=

−

− + = − +

=

−

=

→ − = − = − +

a

a

a

a

a

a


Rappresentazione grafica delle rette e delle loro simmetrichedegli esempi trattati:

Si osservi, come appare anche dalla raffigurazione degli esempi visti, che esiste un punto che appartiene ad entrambe le rette associate nella simmetria e che appartiene necessariamente anche all'asse di simmetria: tale punto è detto "unito".

SIMMETRIA RISPETTO ALLE BISETTRICIPunti simmetrici rispetto alla bisettrice "y=x"

Punti simmetrici rispetto alla bisettrice "y=-x"

11

( ) ( )

1

, , M ,1 1 2 2Il punto medio M del segmento PP1appartiene alla bisettrice avendo coordinate uguali.

x y

y x

x y y xP X Y P y x

→ + +

a

a

a

( ) ( ), , ; M ,2 2 2 2Il punto medio M del segmento PP appartiene alla 2 2seconda bisettrice avendo coordinate opposte.

x y

y x

x y y xP x y P y x

→

−

−

− −− −

a

a


Rette simmetriche delle due bisettrici.Per ottenere le equazioni delle rette

simmetriche delle bisettrici si dovono sostituire le equazioni associate come nell'esempio seguente:

Data una qualsiasi funzione invertibile, lo scambio delle variabili e la successiva esplicitazione della variabile indipendente scambiata, determina la funzione inversa che, di conseguenza, possiede la proprietà di essere simmetrica della funzione data rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Le due figure che seguono rappresentano, dell'esempio, rispettivamente una funzione lineare e la sua funzione iversa simmetriche fra loro rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante e, la seconda a destra, la retta simmetrica rispetto alla seconda bisettrice.

12

1Es.: 2 3 2 3 2L'equazione ottenuta rappresenta la retta simmetrica della retta data rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Otteniamo ora la r

32

x y

y x

y x x y y x

→= − = − = +

a

a

a

etta simmetrica della retta data rispetto alla seconda bisettrice:

1 32 3 2 3 2 2

x x

y y

y x x y y x

→

−

−

= − − = − − = −

a

a

a


SIMMETRIA RISPETTO AD ASSE OBLIQUO Deduciamo le leggi di trasformazione che ad ogni punto del piano associano il suo punto simmtrico da parte opposta di una retta del tipo "y=mx+q".

Introduciamo tali leggi per mezzo di un esempio: determinare il punto simmetrico P1(X1,Y1) del punto P(-7,8) rispetto alla retta di equazione "y=2x-3": occorre notare che, in base alla definizione generale di simmetria rispetto ad un asse, valgono due condizioni che devono essere poste in forma di equazioni:

a) Il coefficiente angolare della retta che passa per i due punti simmetrici deve essere antireciproco di quello dell'asse di simmetria poichè le due direzioni sono perpendicolari:

b) Il punto medio del segmento che ha per estremi i due punti simmetrici deve appartenere all'asse di simmetria:

13

81 11 17 21 1y y yx x m x

− −= − = −− − −a


Risolviamo dunque il sistema delle due equazioni e mostriamone il risultato senza i passaggi passaggi algebrici di routine omettendone i banali passaggi algebrici dei quali il lettore può svolgere come esercizio:

In figura l'illustrazione grafica dell'esempio.

14

8 71 1 1 12 32 2 2 2y y x x y x

m q+ + + − +

= + = +a

( )11

1

8 117 218 71 12 32 2

13 13, 22

yx

y x

xP

y

−= −− −

+ − += +

=− = −

a a


Per quanto riguarda le generali espressioni analitiche della legge di simmetria rispetto ad un asse qualsiasi, si può dimostrare, imponendo le due condizioni viste dall'esempio riportato sopra, che le coordinate del punto simmetrico di una dato punto rispetto ad retta di equazione " y=mx+q ", vengono date dalle seguenti espressioni:

Applichiamo ora la simmetria assiale rispetto all' asse di equazione "y=2x-3" alla retta di equazione y=x+1, sostituendo dapprima i valori del coefficiente angolare e del termine noto nelle espressioni generali e poi sostituendo:

15

( ) ( )Punti simmetrici rispetto ad una retta di equazione " " : , ,1 1 1

21 2 21 2 2 21 1 1

22 1 21 2 2 21 1 1

y mx q P x y P x y

m mx x y qm m m

m my x y qm m m

= +

−= − −+ + +

−= − ++ + +

a

3 4 121 5 5 51 : 4 3 6 1 5 5 5

4 3 6 3 4 12 15 5 5 5 5 5

4 3 6 3 4 12 5

7 23 0

7 23

x x yy x

y x y

x y x y

x y x y

x y

y x

= − + += +

= + −

+ − = − + + +

+ − = − + + +

− − =

= −

a

a

a

a


FORMA MATRICIALE DELLA SIMMETRIA ASSIALE

Le coordinate del punto simmetrico di un dato punto possono essere considerate come le componenti di un vettore che risulta a seguito di una applicazione dell'operatore di moltiplicazione fra una matrice quadrata di dimensione 2 ed il vettore di componenti le coordinate del punto soggetto alla trasformazione di simmetria assiale:

Rimanendo nei limiti imposti alla presente esposizione non approfondiamo ulteriormente l'argomento che rimandando ad altra trattazione, ma ci limitiamo a notare come il determinante della matricie sia di valore (-1), consentendo di interpretare la simmetria assiale come una operazione composta da una rotazione ed una traslazione di un certo angolo (alfa) rispetto rispetto all'asse orizzontale:

16

2

2

21 2 2 21 11 + : A=1 1 22 1 -2 21 1

21

;2 1

m mm mxx

V V A V By y

m mm m

m qm

Bqm

−+ +

= •

−+ +

⋅ − + = +

uur uuur uura

v uv

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 21 1 2 22 2 2 21 1 1 1

2 22 2 21 4 12 4 21 2 4 12 2 22 2 21 1 1

21 2=m Cos , Sin 2 22 1 1

A=

m m m mDet Am m m m

m m mm m m

m m m

m mTgm m

Cos Sin

Sin Cos

α α α

α α

α α

− −= ⋅ − − ⋅ =+ + + +

− − − − +− + − −= = = = −+ + +

−= =+ +

−

a

a


SIMMETRIE NEL PIANO CARTESIANO

INDICE

SIMMETRIA RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI 1

SIMMETRIA CENTRALE RISPETTO ALL'ORIGINE 1

FUNZIONI SIMMETRICHE E LORO GRAFICI 2

SIMMETRIA DELLE FUNZIONI: PARITA' E DISPARITA' 5

FUNZIONI MATEMATICHE E SIMMETRIE 6

SIMMETRIA RISPETTO A RETTE PARALLELE AGLI ASSI: 10

SIMMETRIA RISPETTO ALLE BISETTRICI 11

SIMMETRIA RISPETTO AD ASSE OBLIQUO 13

FORMA MATRICIALE DELLA SIMMETRIA ASSIALE 15

INDICE 17

17

SIMMETRIE RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI. Savoia – Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 2011 Ad...

Documents

Transcript of SIMMETRIE RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI. Savoia – Simmetrie nel piano cartesiano - Marzo 2011 Ad...