SIMMETRIE IN FISICA

P. Dalpiaz Università di Ferrara

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SIMMETRIE IN FISICA

Le SIMMETRIE hanno un ruolo importantissimo nello sviluppo delle ultime teorie della FISICA.

Un nuovo orizzonte si apre con il teorema di Amalie Emmy NOETHER (1918):

SIMMETRIA DINAMICA

LEGGE DICONSERVAZIONE

Il rapporto tra leggi di consevazione in fisica e lesimmetrie dinamiche ha basi matematiche moltoprecise e tutto è dimostrabile matematicamente con grande precisione. L’interpretazione fisica

è spesso complessa, nel seguito si cerca di mostrare queste relazioni con scarso

ausilio della matematica.

SIMMETRIE IN NATURA


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IDEA GEOMETRICA DI SIMMETRIA:

Per rotazione la simmetria è continua

Per rotazione la simmetria è discreta

Al termine della trasformazione la descrizione del sistema sfera o cubo è la stessa

2/


3

IDEA DI SIMMETRIA DINAMICA

Se, a un tempo fissato, si effettua una trasformazione di coordinate.

Può succedere che una GRANDEZZA FISICA(impulso, energia, ecc.) oppure una

EQUAZIONE DEL MOTO non cambia per effetto della trasformazione di coordinate

Trasformazione O,O’

fenomenodinamico

O

O’

In questo caso diremo che la GRANDEZZA FISICA o L’EQUAZIONE DEL MOTO è

INVARIANTE

La TRASFORMAZIONE è SIMMETRICA

v


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LEGGE DI CONSERVAZIONE IN FISICA

Se una grandezza fisica F, come per esempio: l’energia,l’impulso, il momento angolare, la carica elettrica, ecc.resta costante durante l’evoluzione temporale o spa-ziale, lungo una traiettoria :

F(x1,v1,t1)=F(x2,v2,t2)

(x1,v1,t1)

(x2,v2,t2) F2

F1

si dice che F si CONSERVA.

L’individuazione di leggi di conservazionedi grandezze fisiche è sempre stato uno dei modi per costruire la Fisica.

0F


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CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

mgF

il TEMPO è OMOGENEO

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIAMECCANICA

OMOGENEITÀ DEL TEMPO

La forza di attrito rompe la simmetria temporale, infatti le osservazioni in tempi diversi t0 e t0+dt, mostrano ampiezze, periodi ed angoli diversi, quindi in questo caso l’energia non si conserva.

In assenza di attrito il pendolosemplice continuerà ad oscil-lare con ampiezza costante.La sua energia cinetica si tras-formerà continuamente in

energia potenziale e viceversa in modo che Ec+Ep=Et

Nel corso del tempo osservatori che misurano in istantidiversi portano alla stessa descrizione del moto ( ) La dinamica è allora INVARIANTE per TRASLAZIONI TEMPORALI

,T


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INVARIANZA DELLA II LEGGE DI NEWTONPER DIVERSI OSSERVATORI INERZIALI

Trasformazione di GalileoO

O’

0v0v

'

''

tt

vtrr

amF

La massa, l’accelerazione e la forza non varianose osservate da due sistemi di riferimento inerziali(abedue in moto rettilineo uniforme). Quindi, la II legge delladinamica è invariante per trasformate di Galileo.Nel caso di moto accelerato, in caduta libera sulla Terra oppure

percorrendo una curva, la simmetria si rompe per intervento della forza di gravità o di quella centrifuga e lo sperimentatore trovadelle variazioni per le leggi della dinamica. Si può dire che le

leggi della dinamica non sono invarianti per sistemi non inerziali.


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Un corpo di massa m in uno spazio Euclideo vuoto non subisce l’azione di forze. Quindi tutti i punti dello spazio sono equivalenti, cioè tutti gli osserva-tori traslati leggono la stessa fisica (simmetria):

CONSERVAZIONE DEL IMPULSO

SPAZIO VUOTO ASSENZA DI INTERAZIONI

Legge di Newton

0

Ft

p

t

vmam

.cos tp

L’IMPULSOSI CONSERVA

SIMMETRIA PER TRASLAZIONI


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ROTTURA DI SIMMETRIA

per un osservatore traslato, che vede una forzadiversa, non si conserva l’impulso.Solo per l’osservatore che cade insieme al corpo siripristina la simmetria ed in quel caso si conserval’impulso. Si dice che nelle stazioni orbitanti intorno alla terra la gravità è nulla,questo è vero ed è dovuto al fatto che il satellite è in perpetua caduta sulla terra (Newton),oppure che la forza centrifugacompensa la forzadi gravità.

2/ rkF diventa

2)/(' hrkF

m

Se il corpo cade in un campo di forze gravitazionali,l’invarianza traslazionale è rotta lungo la linea di caduta:


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La caduta libera è abbastanza ben simulata sulla terranelle montagne russe, infatti quando il trenino precipitasi ha la brutta sensazione che lo stomaco si alzi:

Ciò è dovuto al fatto che lo stomaco e gli organi interninella nostra vita abituale sulla superficie della terra tendono a cadere ed i nostri muscoli sono abituati a

sostenerli. In caduta libera gli organi non pesano più, i muscoli continuano a spingere e quindi li alzano

veramente, con le conseguenti spiacevoli sensazioni.È facile immaginare le sensazioni, non tutte piacevoliche gli astronauti subiscono nei loro voli spaziali, e

la necessità, quindi, di pesanti allenamenti.


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CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

Sole

Terra

La legge di gravitazioneuniversale ha una evidente SIMMETRIA SFERICA

2/ rkF r

Tutti i punti alla distanzasubiscono la stessa attrazione,

F

r

Quindi siamo in presenza di una nuova SIMMETRIAla SIMMETRIA di ROTAZIONE

Il momento angolare dato che

p r L

tFp

0/)(/ FrtprtL

dato che Fr

//

Quindi il momento angolare è costante

SIMMETRIA DIROTAZIONE

CONSERVAZIONEDEL MOMENTO

ANGOLARE


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Tutti gli osservatori che differiscono per una rotazioneattribuiscono una stessa interazione Terra-Sole e con-cordano sulla conservazione del momento angolare L.

Nel nostro esempio la legge di gravitazione è il legame tra la simmetria e la legge di conservazione, nel caso di un solido rotante il tramite è la forza di coesione.

Nel primo caso i corpi per inerzia tenderebbero aproseguire per la tangente ma la forza di gravità liobbliga a ruotare. Nei corpi rigidi:le diverse parti deicorpi tenderebbero sempre per inerzia aproseguire per la tangente,ma la forza di coesione li obbliga a ruotare.


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ELETTROMAGNETISMO

EQUAZIONI DI MAXWELL:4 equazioni differenziali che legano le azioni dei campi elettrici E e magnetici B alle coordinate spaziali x, y, z, e al tempo t.

t

EJBrot c

000 Teorema di Ampère modificato da Maxwell

t

BErot

legge di Faraday

0

Ediv Teorema di Gauss

0Bdiv Leggi di laplace

I campi E e B in questa teoria sono entità fisiche reali come le sostanze.Valgono nello spazio senza l’ausilio di sostanze. Sono valide anche pervalori infinitesimi. Queste equazioni, risolte nel vuoto, predicono l’esis-tenza di onde traversali che si propagano con la velocita della luce c, in-dipenenti dalla sorgente che le ha prodotte. Una variazione traversale di

E induce una variazione di B perpendicolare e viceverrsa.


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F = q(E + v x B)

L’elettromagnetismo è invariante per osservatori inerziali?

+Q +q

v=cost.

+q

f = qE

F ed f sono diverse dato che l’osservatore solidale con la carica +Q vede solo un campo elettrico E mentre l’ossevatore a terra

vede il campo elettrico E e il campo magnetico B.

Le equazioni di Maxwell non sono invarianti per traformate di Galileo. Vale a dire che i valori di E

e B assumono valori differenti per osservatori inerziali, cioè in moto rettilineo ed uniforme

uno rispetto all’altro.


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-1905 A.Einstein pubblica Zur Elektrodynamik bewegter Korper dove espone quella che diventerà la toria della RELATIVITÀ RISTRETTA, che si basa sui seguenti principi: 1- La velocità della luce, nel vuoto, è la stessa in tutti i sistemi di coordinate in moto uniforme gli uni relativamente agli altri (inerziali). 2- Tutte le leggi della natura sono le stesse in tutti i sistemi inerziali. Il probema si riduceva alla ricerca delle trasformate tra sistemi di coordinate inerziali che soddisfi i principi di relatività.

Einstein dedusse da questi principi delle trsformate che già Lorentz aveva usato per risolvere alcuni problemi di elettromagnetismo:

)/('

)('2cvrtt

vtrr

22 /1

1

cv

Il tempo t è trattato come la IV coordinata spaziale e quindi non era piùassoluto. Generalizzò in questo spazio quadridimensionale i campi elettrici e magnetici E e B nei potenziali vettori Ai già introdotti da Lorentz ed altri e trasformato le equazioni di Maxwell in un unica equazione

L’etere in questa teoria è superfluo per cui tutti i sistemi di coordinateinerziali sono equivalenti. L’etere viene sostituito con i campi elettro-magnetici di Faraday e Maxwell, che prendevano una consistenza realeanaloga a quella delle sostanze.

A� i = -μ0ji con (i = 1, 2, 3, 4) =ii xxtc

2

2

22 1

invariante per sistemi inerziali rispetto alle trasformate di Lorentz.


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Evidentemente per , le trasformate Di Lorentz diventano quelle di Galileo, e quindi a velocità lontane da quelle della luce la meccanica classica è validissima. A velocità vicine a c ?

TEORIA DELLA RELATIVITÀ

)''(

)''(

vtrr

vtrr

BB

AA

)''(1

ABAB rrrr

Contrazione delle lunghezze

Dilatazione dei tempi

)/''(

)/''(2

2

cvrtt

cvrtt

BB

AA

)''( ABAB tttt

1, cv

Un impulso di luce è emesso nel centrodi una stanza.Per l’uomo nella stanza la luce raggiungele pareti nello stesso istante.Per l’uomo fermo la luce raggiunge le pareti in tempi diversi, per lui non c’è simultaneità.

0v

0v


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e 2mcE

UNA VERA RIVOLUZIONE

1

105/5

10200/2

1020/2

3

5

10

aantimaterimateriaioneannichilaz

GeVMeVfusione

GeVMeVfissione

GeVeVfuoco

0mm La massa non è più un invariante,dipende dalla velocità.

con v = c, m diventa infinita.

I mesoni si producono con iraggi cosmici nell’alta atmoferanella reazione .Fermati a terra i hanno unavita media di 2.10-6sec che allavelocità c percorrono al massimo600m. Invece per arrivare a terrapercorrono più di 20Km.Ciò è spiegato dalla relatività con il fatto che tra il sistema diriferimento del e quello dinoi a terra c’è una contrazione delle distanze o un allungamentodei tempi.


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TEORIA RELATIVISTICA DELLA GRAVITAZIONE. RELATIVITÀ GENERALE (RG)

Il famoso esperimento della caduta dei gravi, eseguito da Galileo è rimasto per secoli senza una vera spiegazione fisica.Se in un razzo in accelerazione, nello spazio senza gravità, un osservatore la-scia liberi alcuni oggetti, questi rimango-no fermi mentre lui accelera perchè ancorato al suolo del razzo. Il pavimento

L’osservatore all’interno del razzo vedra cadere gli og-getti verso il pavimento, alla stessa velocità, nello stesso modo in cui Galileo vide cadere gli oggetti dalla torre.

Albert Einstein vide una forte analogia tra i due esperimenti. Vide cioè una simmetria tra il moto accelerato e la forza di gravità.

-1916 A.Einstein pubblica Die Grundlagen der algemeinen Relativitàtstheorie dove espone unateoria completa dell’accelerazione e dellagravitazione. In questo articolo matema-ticamente molto complesso, fa vedere chein un esperimento in un razzo accelerato laluce ha una traiettoria curva ma difficile damisurare perchè, su 3m, si sposta al massimodelle dimensioni di un nucleo 10-12cm

Per verificare la teoria e l’equivalenza tra gravità ed accelerazione, suggerì di verificare la curvatura della luce provocata dalla gravità, lente gravitazionale, osservando una stella dietro al sole, in uneclisse totale di sole. L’esperimento è stato fatto da una spedizione inglese nel oceano Atlantico di fronte all’Africa nel 1919. Il successo della misura confermò l’equivalenza tra accelerazione e gravità.

raggiungerà tutti gli oggetti allo stesso tempo.


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CURVATURA DELLO SPAZIOMentre per noi non è difficile compredere se una superficie è curva, dato che pos-siamo ossevarla dall’esterno, non è ovvio compredere il concetto di spazio curvo intre dimensioni dato che, per noi, non è possibile vederlo dall’esterno. Il modo mi-gliore per discutere le proprietà dello spazio curvo e di rifarsi ad una analogia con esseri immaginari a due dimensioni che vivono su una superficie ed ignorano una altra dimensione perpendicolare alla loro superficie. Come potrebbero essi dire se la superficie sulla quale vivono è piana, sferica o di qualsivoglia altra forma?

Potrebbero disegnare dei triangoli o delle altre figure, sulla superficie, e misurare gli angoli. Nella figura si vedono una superficie piana, una sferica ed una iperbolica. Sulle superfici sono disegnati dei grandi triangli, per quella piana la somma degli angoli sarà di 180o, per la sferica sarà >180o e per l’iperbolica (sella) sarà <180o.

Se nel nostro caso tre astronomi si collocano suMarte, Venere e Terra e tringolano. Dato che laluce viene deviata dal Sole troveranno che lo spazio intorno al Sole è sferico. Se ripetono l’esperimento tra Giove, Saturno ed Urano tro-veranno che lo spazio è si sferico ma molto piùdebolmente dato che la gravità del Sole devieràmolto meno la luce che nel primo caso.

Se osserviamo dall’alto una palla da bigliardoche rotola su una superficie piana con degli av-vallamenti, vedremo la palla accellerare e dece-lerare in loro presenza. Penseremo che la pallasia sottoposta a forze e non ad una questione geometrica. Anche in questo caso le forze.ha una analogia con la geometria


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Sulla base delle precedenti considerazioni Einstein formulò una teoria secondo la quale tutte le interazioni gravitazionali potrebbero essere inter-pretate come il risultato della curvatura dello spazio. Utilizzò la geometria

degli spazi curvi a n dimensioni elaborata qualche decennio prima da Riemann e la matematica dei tensori elaborata da Levi Civita. Lo spazioutilizzato da Einstein era a quattro dimensioni x, y, z e ict. Correlando ilcosì detto “tensore di curvatura” del continuo spazio-tempo con la distri-

buzione dei movimenti e delle masse ottenne la famosa formula:

kTRgR 21

dalla quale ottenne le leggi della gravita-zione di Newton, ma con una piccola

discrepanza nel moto dei pianeti:Infatti Newton aveva dimostrato che secondo la sua legge di gravità, i pianeti percorrono orbite elittiche attorno al sole in pieno accordo con le leggi empirichescoperte da Keplero. Nella teoria di Einstein tutti i movimenti vanno studiati inuno spazio quadridimensionale (x, y, z, ict), che se sono presenti campi gravitazio-nali è uno spazio curvo. In figura sono rappresentate le linee che illustrano la storiadel movimento di un pianeta nel mondo a 3-D (x, y e t). Devono essere geodetiche, cioè le più brevi, e sono calcolabili con la RG. Il continuo spazio temporale nelle vicinanze del Sole è curvato e la linea universale del pianeta corrispondente della retta (geodetica) nello spazio curvo. La linea ABCD rappresenta la minima distanzatra A e D nel continuo spazio tempo a 3-D e la sua proiezione sul piano (x,y) è l’orbita del pia-neta intorno al Sole.Un esame rigoroso ha rive-lato che l’elisse non è stazionaria nello spazioma ruota lentamente spostando il suo asse mag-giore di un picolissimo angolo nel corso di unarivoluzione. Questo effetto è stato trovato nel orbita di Mecurio, dato che la sua orbita è molto elittica e si trova molto vicina al Sole. La teoria della RG dopo 200 anni ha innovato le teorie gravitazionali di Newton.

Tutti i tentativi fatti da Einstein e da altriper geometrizzare il campo elettromagnetico

e gli altri campi sono falliti.


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CONSERVAZIONE DELLA CARICA ELETTRICA

La conservazione della carica elettrica è legata alla SIMMETRIA DI GAUGE LOCALE.

Questa simmetria ha un nome astruso ma rappresenta anche un concetto molto astratto e non evidente. Infatti

si tratta della simmetria del valore della fase delle onde di materia definite nella meccanica quantistica

derivate dall’Equazione di Schrodinger.

La fase di queste onde può variare localmente inmodo casuale, facendo perdere coerenza alle onde di

materia. L’esistenza del campo elettromagneticoripristina la fase globalmente. La conseguenza più

evidente di questa simmetria è la conservazione della

carica elettrica.SIMMETRIA DIGAUGE LOCALE

CONSERVAZIONEDELLA CARICA

ELETTRICA

-1923 H.Weyl propose che lo spazio abbia una simmetria di gauge locale e che questo implicasse la conservazione della carica (Einstein demolì l’idea).

-1927 F.London riprese l’idea di Weyl e dimostrò che la teoria di gauge locale doveva essere applicata alla fase delle onde di materia dell’equazione di Schrodinger e non allo spazio e fu una proposta fruttuosa.


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La Simmetria di Gauge (misura) può essere esemplificata con un esempio di economia:

Un oggetto che ha un valore intrinseco che tradotto in monetaè di 1936.27L quando entra in funzione il nuovo sistema

Monetario costerà 1 euro, la misura cambia ma il suo valore identico.

L’esempio la Simmetria di Gauge locale:

Se consideriamo ora un mercato globale possiamopensare che i prezzi della merce per svariate ragioni

possano variare localmente in modo casuale. Ma sappiamo che la forza della legge di Mercato in tempi

relativamente brevi li riporta all’equilibrio.Ecco che abbiamo avuto una violazione locale della simmetria che è stata ripristinata dalla forza globale

del Mercato.Analogamente la fase delle onde di materia di

Schrodinger può variare localmente, ma la forza

del campo elettromagnetico ristabilisce l’equilibrio.Possiamo affermare che tutti i fenomeni

elettromagnetici sono originati per riequilibrare le violazioni locali della simmetria di fase delle

onde di materia di Schrodinger.

I campi delle interazioni Deboli e Forti hanno un ruolo simile a quello Elettromagnetico. Possiamo dire, metaforicamente, che i campi Elettrodeboli e Forti fungono da lucchetti della stabilità della materia.


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CONSERVAZIONE DELL PARITÀ

x

y

z

z

x

yCambiamento di segno delle

coordinate spaziali

Nella riflessione speculare si invertono le coordinate (x,y) e non la coordinata z (alto basso)

In natura sono numerosi gli esempi di assimmatria spaziale. In biologia le molecole organiche sono tutte di un tipo (sinistrose). La nostra faccia è simmetrica le mani non lo sono.Nel mondo microscopico la simmetria è perfetta per le interazioni gravitazionali, elettromagnetiche e per quelle forti. Al punto che la simmetria spazi-ale fa corrispondere un numero quantico di paritàche deve consevarsi nelle interazioni. Ogni parti-cella ha una parità positiva o negativa ed il prodot-to per ogni membro di una reazione deve essere identico altrimenti la parità non si conserva e la reazione non può avvenire.

-1956 T.D.Lee e C.N.Yang propongono che la parità sia violata per le interazioni deboli. In numerosi esperimenti con interazioni deboli C.S.Wu,

L.Ledermann ed altri hanno dimostrato che effettivamente la parità è violata nelle interazioni deboli. Fu una grande sorpresa.

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