Lezione 5 · Lezione 5 . Simmetrie in meccanica classica • Un sistema classico è descritto dal...
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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
Simmetrie e leggi di conservazione
Lezione 5
Simmetrie in meccanica classica
• Un sistema classico è descritto dal suo insieme di coordinate:
• Simmetrie sono trasformazioni di coordinate che lasciano invariata la
lagrangiana (o l’hamiltoniana) del sistema. – Trasformazioni continue
– Trasformazioni discrete
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– formalismo hamiltoniano
• In forma differenziale
• Inversione temporale
– formalismo lagrangiano
• Traslazioni • Rotazioni
• Traslazione temporale
• Parità:
L(q, !q) = T −Uddt∂L∂ !q
−∂L∂q
= 0
H (q,p) = T +U
!q = ∂H∂p, !p = −∂H
∂q
x→ x+ x0 x→ x+δx
x→Rx x→ x+δω× x
t→ t + t0 t→ t +δt
x→−x t→−t
Simmetrie in meccanica classica
• Esempi: – T ed U indipendenti dal tempo:
• simmetria per traslazione ed invarianza temporale
– Moto di una particella in un campo centrale:
• simmetria per rotazioni e parità
– Sistema di due particelle interagenti tra loro
• simmetria per traslazioni • e per rotazioni e parità se U dipende solo da |ra-rb|
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L(x, !x) = 12m!x2 −U(| x |)
L(ra,rb, !ra, !rb ) =12ma !ra
2 +12mb !rb
2 −U(ra − rb )
Teorema di Noether
• Introduciamo le parentesi di Poisson:
• La derivata rispetto al tempo di una quantità g(p,q) è
• Se per una data trasformazione definiamo un g in modo tale che • per una simmetria abbiamo che: • Se per trasformazioni infinitesimali possiamo scrivere g=εG, G è detto
generatore della trasformazione e:
• Alla simmetria posso associare una quantità conservata.
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F,G{ }=∂F∂q
∂G∂p
−∂F∂p
∂G∂q
g,H{ }=∂g∂q
∂H∂p
−∂g∂p
∂H∂q
=∂g∂q!q+ ∂g
∂p!p = !g
δH = g,H{ }δH = g,H{ }= 0
!G = G,H{ }= 0
Teorema di Noether (più noto nel formalismo lagrangiano)
Simmetrie formalismo hamiltoniano
• Esempi: – Traslazione
– Rotazioni
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δH =∂H∂x
δx =∂(δx ⋅p)∂p
∂H∂x
=∂(δx ⋅p)∂p
∂H∂x
−∂(δx ⋅p)∂x
∂H∂p
= − δx ⋅p,H{ }
G = p
=0
=∂ p ⋅ (δω× x)( )
∂p∂H∂x
+∂ x ⋅ (δω×p)( )
∂x∂H∂p
δH =∂H∂x
δω× x( )+ ∂H∂p
δω×p( )
=∂ δω⋅ (x×p)( )
∂p∂H∂x
+∂ δω⋅ (p× x)( )
∂x∂H∂p
=∂ δω⋅ (x×p)( )
∂p∂H∂x
−∂ δω⋅ (x×p)( )
∂x∂H∂p
= − δω⋅ (x×p),H{ }
G = x×p
Simmetrie in meccanica quantistica
• In meccanica quantistica le considerazioni sono analoghe al caso classico, sostituendo le parentesi di Poisson con il commutatore.
• L’evoluzione temporale del valore di aspettazione di una variabile Q è data dal suo commutatore con l’Hamiltoniana:
• In particolare Q è una quantità conservata se e soltanto se: • L’applicazione di una trasformazione U, lascia invariata l’Hamiltoniana
se:
• In generale se una trasformazione infinitesima si può scrivere:
G è una quantità conservata. Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2015/16 6
ddt
Q =1i!
Q,H[ ]
Q,H[ ] = 0
UHU −1 = H U,H[ ] = 0UH = HU
U = exp −iεG( )
Trasformazioni e generatori
• Consideriamo una traslazione:
– dove abbiamo usato l’operatore di momento
• La serie è quella di un’esponenziale:
• Si può quindi definire il generatore delle traslazioni: • e se l’Hamiltoniana è invariante per traslazioni
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ψ x( )→ψ x − ε( )
=ψ x( ) − εddxψ x( ) +
12ε2
d2
dx2ψ x( ) −
16ε3
d3
dx3ψ x( ) +
124ε4
d4
dx4ψ x( ) +…
=ψ x( ) − ε i px!
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ψ x( ) +
12ε2 i px
!⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2ψ x( ) −
16ε3 i px
!⎛⎝⎜
⎞⎠⎟3ψ x( ) +
124ε4 i px
!⎛⎝⎜
⎞⎠⎟4ψ x( ) +…
px = −i!ddx
ψ x − ε( ) =Uψ x( ) = exp −iε px!
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ψ x( )
G =px!
px,H[ ] = 0
Simmetrie e autovalori
• Dalla relazione di commutazione segue che se ψ è autostato di H, anche Gψ lo è:
• Se ψ è unico, allora necessariamente deve anche essere autostato di G: • Se un certo livello energetico ha n autostati degeneri, ψ1, ψ2, ... ψn,
– Il trasformato di un autostato deve potersi esprimere come sovrapposizione lineare degli altri:
– Diagonalizzando la matrice Gm,i, si può creare una base di autostati sia di G che di H.
• Esempio: – Particella in potenziale a simmetria sferica:
sono conservati L2 e Lx, Ly, Lz, (generatori delle rotazioni). – Gli autovalori di H, En,l dipendono da L2, con degenerazione n=2l+1
– Tipicamente si scelgono come base autofunzioni: – che sono i 2l+1 autostati di Lz con autovalore mħ
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Gli autovalori di G possono venire usati per classificare gli autostati di H
H (Gψ) = (HG)ψ = (GH )ψ = EψGψ
Gψi = Gm,iψmm=1,…n∑
Gψ =ηGψ
Gm,i = ψm |G |ψi
ψn,l,m =un,l (r)r
Yl,m (θ,ϕ )
Simmetrie discrete
• Oltre alle trasformazioni continue, in meccanica quantistica hanno particolare importanze le trasformazioni discrete: – Parità P
– Inversione temporale T
– Coniugazione di carica C • scambio di particelle con antiparticelle • non ha un analogo classico
• Tutte hanno la proprietà: P2=T2=C2=1 – I possibili autovalori sono solo 1 e -1
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r P⎯ →⎯ −r
t T⎯ →⎯ −t
Parità
• Grandezze vettoriali possono comportarsi diversamente per trasformazioni i parità: – Vettori polari: cambiano segno per parità
• il vettore di coordinate cambia segno per definizione di trasformazione di parità;
• allo stesso modo la velocità • ed il vettore di momento
– Vettori assiali: non cambiano segno per parità • il momento angolare • lo spin.
• Analogamente esistono: – grandezze scalari: non cambiano segno per parità
• r2, p2/2m, L2, L⋅S – grandezze pseudoscalari: cambiano segno per parità
• p⋅S
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Parità e momento angolare
• Nel caso di una particella in un campo centrale:
• Le funzioni Ylm(θ,φ) sono tali che:
• In aggiunta possiamo assumere che una particella abbia una parità intrinseca, così come ha un momento angolare intrinseco.
• Per cui • Nel caso di due particelle ed interazione a simmetria sferica, il problemà
è esattamente analogo a quello di particella singola, a patto di prendere la massa ridotta:
• Una volta definita la parità di una particella si possono ricavare le altre parità relative a partire da questa.
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ψn,l,m =un,l (r)r
Yl,m (θ,ϕ )
Pψn,l,m =ηψ (−1)lψn,l,m
Pψn,l,m =η1η2 (−1)lψn,l,m
P un,l (r)r
Yl,m (θ,ϕ )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥=
un,l (r)r
Yl,m (π −θ,ϕ +π ) = (−1)l un,l (r)r
Yl,m (θ,ϕ )
Parità del campo elettromagnetico
• Il campo elettrico E è un vettore polare: • Il campo magnetico B è un vettore assiale: • Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di parità:
• Le interazioni elettromagnetiche conservano la parità. • L’interazione del campo elettromagnetico è di natura polare:
– Forza elettromagnetica: – Densità di quantità di moto (vettore di Poynting):
Il fotone ha parità negativa.
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P(E) = −E
P(B) = B
∇ ⋅E = ρε0
∇ ⋅B = 0
∇×E + ∂B∂t
= 0 ∇×B − µ0ε0∂E∂t
= µ0J
-1 -1 +1 +1 -1
-1 -1 +1 -1 +1 -1 -1
S = 1µ0E ×B
F = q E + v ×B( )
Violazione della parità
• Abbiamo appena detta che le interazioni elettromagnetiche conservano la parità.
• È sperimentalmente osservato che questo vale anche per le interazioni forti.
• Non è così per le interazioni deboli • L’osservazione sperimentale si basa sulla misura del valore di
aspettazione di un’osservabile pseudoscalare S: • Se P è una simmetria, il valore di aspettazione prima e dopo
l’applicazione della trasformazione deve coincidere:
• quindi se P è una simmetria:
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S P⎯ →⎯ −S
S P⎯ →⎯ −S = − S
S = − S = 0
Esperimento di Wu et al.
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• Lo spin dei nuclei del 60Co è allineato al campo magnetico esterno B.
• Critico raggiungere basse temperature (10-3 K): – polarizzazione
• Violazione di parità tramite osservazione di una correlazione on B degli elettroni emessi:
rivelatore elettroni
rivelatore fotoni
rivelatore fotoni
60Co 60Ni*
γ
β
B
non dipende dal segno di B
B ⋅ pe ≠ 0
dipende dal segno di B
= tanh B ⋅µ / kT( )
Eu152m
Elicità del neutrino (Goldhaber 1958)
• Successivamente fu osservata l’elicità degli elettroni:
• Diventa importante poter verificare anche • Catena di decadimento:
– Eu152m (0-) – cattura elettronica Q=840 keV
ê – Sm152* (1-) – emissione γ Eγ*=960 keV �
ê
– Sm152 (0+)
• Fotoni emessi lungo la direzione di volo del nucleo: – Hanno la stessa elicità del neutrino – Sono più energetici
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Sm152*
ν
hν
mz(Sm)=0,-hν
Sm152
γ
hγ=hν
Sm152
γhγ=-hν
pe ⋅ Se = −β
pν ⋅ Sν
Apparato sperimentale
• Riassorbimento dei gamma soppresso: – Righe di emissione ed assorbimento
leggermente spostate – Emissione: parte dell’energia portata dal
nucleo di rinculo:
– Assorbimeno: parte dell’energia va al nucleo per conservare il momento
• L’effetto doppler del nucleo in movimento può compensare la distanza tra le righe. – Solo i fotoni emessi nella direzione di
volo del Sm interagiscono con lo “scatterer”
• Polarimetro – Il ferro magnetizzato trasmette meglio
fotoni con spin parallelo a quello degli elettroni
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Eγ = Eγ* 1− Eγ* / 2M (Sm)c2( )
Eγ = Eγ* 1+ Eγ* / 2M (Sm)c2( )
Elicità del neutrino: risultati
• Invertendo il campo magnetico: – Canali A e C non mostrano
cambiamento di rate – Variazione osservata in B:
(dopo aver sottratto il fondo non risonante)
– Atteso per elicità 100%:
• <hν>=-(68±14)% – Tenuto conto di effetti
depolarizzanti, compatibile con 100% nel decadimento
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δ =N− − N+
12 N− + N+( )
= 0.017± 0.003
δ = 0.025
Violazione della parità
• Il fatto che i neutrini abbiano un’elicità definita presenta una violazione massimale della parità:
• che non esiste. • Analogamente, le antiparticelle tendono ad avere elicità positiva:
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P(νh=−1) = νh=+1
pe+ ⋅ Se+ = +β
pν ⋅ Sν = +1
P(νh=+1) = νh=−1
Coniugazione di carica
• L’operatore di coniugazione di carica C scambia particelle con le rispettive antiparticelle. – Es.: – Tutti i numeri quantici vengono invertiti – Es.:
• Come per la Parità si ha che: – C2=1 ⇒ autovalori possibili ηC=±1 – Solo gli stati completamente neutri possono essere autostati di C
• C del fotone: – C inverte le cariche del sistema: tutti i campi E e B cambiano di
segno.
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C(e− ) = e+ C(e+ ) = e−
n : numero barionico = +1, µ = −1.91µNC(n) = n : numero barionico = −1, µ = +1.91µN
C(γ ) = −γ
Positronio
• Stato legato elettrone-positrone • Equazione di Schrödinger identica a
quella dell’atomo di idrogeno – unica differenza la massa ridotta:
– Ci sono quattro possibili configurazioni di spin – Si combinano in:
• un tripletto con S=1, Sz=+1,0,-1 • un singoletto con S=0
• Parità: – scambio della posizione relativa delle particelle – parità intrinseca
• Coniugazione di carica – lo scambio di particelle corrisponde alla trasformazione di parità – in aggiunta scambio anche degli spin: -1 per S=0, +1 per S=1
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µ =me ⋅meme +me
=me2 ↑ ↓ ↑ ↓
↑↑ ↑↓ ↓↑ ↓↓↑↓ ↓↑12
12
+
−
ηP = ηe−ηe+ (−1)l
ηC = ηP (−1)S+1
Positronio
• Lo stato fondamentale ha l=0 – Stato di singoletto: para-positronio 1s0
– Stato di tripletto: orto-positronio 3s1 – I due stati hanno la stessa parità
• anche se i livelli differiscono di 8×10-4 eV non si può transire elettromagneticamente: emissione di un γ cambia parità ηγ=-1
– Ma opposta coniugazione di carica
• Il para-positronio decade in 125 ns in uno stato con 2γ: ηC=+1 • L’orto-positronio decade in 140 µs in uno stato con 3γ: ηC=-1
– ηP=ηe+ηe-=-1: parità di fermione ed antifermione sono opposte • Risultato, al pari di g=2, predetto dalla meccanica quantistica relativistica • Verificato direttamente dallo studio della correlazione tra le polarizzazioni ε1 e ε2
dei fotoni uscenti dal decadimento del parapositronio, discrimando i casi:
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ηP = ηe−ηe+
ηC = ηP (−1)S+1
ψ(2γ )∝ ε1 ⋅ ε2 η2γ = +1 ψ(2γ )∝ ε1 × ε2( ) ⋅ k η2γ = −1
Termine scalare Termine pseudo-scalare momento del fotone
Violazione della coniugazione di carica
• Nelle interazioni deboli viene anche violata C • Sempre nel caso del neutrino:
• che non esiste. • Tuttavia funziona la trasformazione composta:
– CP risulta una simmetria più fondamentale di C e P separatamente – vedremo che anch’essa sarà violata dalle interazioni deboli, ma ad
un livello molto minore.
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C(νh=−1) = νh=−1
CP(νh=−1) = C(νh=+1) = νh=+1
Inversione temporale
• Classicamente l’operatore di inversione temporale T: t→-t
• La versione quantistica è tale che:
– Partendo dall’equazione di Schrödinger:
– Facendone il coniugato:
– E poi l’inversione t→-t
– ψ*(r,-t) è solutione dell’equazione di Schrödinger con la stessa energia di ψ(r,t) se THT-1=H
• Sotto T cambiano segno v, p=mv, L=r×p, S – Es.: particella libera: – Es.: momento angolare:
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Tψ r, t( ) =ψ* r,−t( )
i!∂ψ r, t( )∂t
= Hψ r, t( )
−i!∂ψ* r, t( )∂t
= Hψ* r, t( )
i!∂ψ* r,−t( )∂t
= Hψ* r,−t( )
ψ(p) = ei!(p⋅r−Et)
→ψ*(p) = e−i!(p⋅r−Et)
→ Tψ(p) = ei!(−p⋅r−Et)
=ψ(−p)Yl,m (θ,ϕ )∝ eimϕ T⎯ →⎯ e−imϕ = Yl,−m (θ,ϕ )
Principio del bilancio dettagliato
• Una conseguenza significativa dell’invarianza temporale è l’invarianza dell’elemento di matrice:
• nelle probabilità di transizione:
– Se vale l’invarianze per inversione temporale: |<f|U|i>|=|<i|U|f>| – la differenza di probabilità è dovuta solamente ai termini di densità di stati.
• In una situazione di equilibrio:
Principio del bilancio dettagliato.
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f U i = drψ f* r( )U r( )ψi r( )∫ T⎯ →⎯ drψ f r( )U r( )ψi
* r( )∫ = i U f
P(i→ f ) = 2π!
f U i 2 ρ Ef( )
P( f → i) = 2π!
i U f 2 ρ Ei( )
dN f
dt= NiP(i→ f )− N f P( f → i) = 0
NiN f
=P( f → i)P(i→ f )
=ρ(Ei )ρ(Ef )
Invarianza di crossing
• Il principio del bilancio dettagliato viene spesso applicato insieme all’invarianza di crossing: – reazioni derivate spostando una particella da stato iniziale a stato finale (o
viceversa) e trasformandola in antiparticella. – Se ha elemento di matrice:
funzione dei momenti delle particelle. – Allora:
• • • • ... e tutte le altre permutazioni
• Il tasso delle reazioni è poi determinato dal termine di densità di stati.
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A + B→ C + D M (pA,pB,pC,pD )
A→ B +C + D → M (pA,−pB,pC,pD )A + D→ B +CA +C→ B + DB +C→ A + D
→ M (pA,−pB,pC,−pD )→ M (pA,−pB,−pC,pD )→ M (−pA,pB,−pC,pD )
Decadimento β inverso
• (anti)neutrini vengono prodotti dai decadimenti β±
– – dove il Q-valore della reazione è Q=M(A,Z)-M(A,Z±1)-me
• I processi di interazione si ottengono applicando: – inversione temporale:
– crossing: • L’elemento di matrice del decadimento β:
– si applica anche al decadimento β inverso – dall’espressione della larghezza di decadimento:
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ZAX → Z−1
A ʹX + e+ +ν ZAX → Z+1
A ʹX + e− +νMasse nucleari!
Z−1A ʹX + e+ +ν → Z
AX Z+1A ʹX + e− +ν → Z
AX
Z−1A ʹX +ν → Z
AX + e− Z+1A ʹX +ν → Z
AX + e+
f HW i = GF (!c)3
VdrψA,Z+1(r)* OX( )ψA,Z (r)
V∫ =
GF !c( )3
VM fi
Γ=!τ=GF2 M fi
2mec
2( )5
2π 3 f Z,Q( )
f Z,Q( ) = d Temec
2
!
"#
$
%&pemec
1+ Temec
2
!
"#
$
%&Q−Temec
2
!
"#
$
%&
2
F Z,Te( )0
Q/mec2
∫f HW i 2 = Γ
(!c)6
V 22π 3
(mec2 )5 f (Z,Q)
• Tasso di transizione:
• Confrontando con la relazione per la sezione d’urto:
– L’espressione per il tasso di transizione:
– Il termine di densità di stati, se trascuriamo la piccola quantità di energia portata via dal nucleo:
– dove: Ee=Eν-Q-me
– dalla condizione Ee≥me, abbiamo l’energia di soglia del neutrino: Eν>Q+2me
– Esercizio: dimostrare che la relazione relativistica corretta è:
Decadimento β inverso
• Calcoliamo la sezione d’urto del decadimento β inverso.
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λ =2π!
f HW i 2 ρ Ef( )
ρ(Ef ) =dNdEf
=V × 4π pe
2
(2π!)3dpedEf
pc( )d pc( )=EdE⎯ →⎯⎯⎯⎯V × 4π peEe
(2π!)3c2dEe
dEf
=1
=V × 4πβeEe
2
(2π!c)3
λ =2π!(!c)6
V 22π 3!
(mec2 )5τ f (Z,Q)V × 4πβeEe2
(2π!c)3
= 2π 2 (!c)3
VβeEe2
(mec2 )5τ f (Z,Q)
dndt
= IonTdσFascio di una particella: dn/dt = λ
Un (anti)neutrino percorre lo spessore d con velocità c: I0=c/d
Un bersaglio nel volume V: nT=1/V
σ = 2π 2 βeEe2
(mec2 )5 f (Z,Q)!τ(!c)2
Rapporto delle densità di stati.
=0 alla soglia
Eν ≥ Q + 2me( ) 1+Q + 2me
2M (A,Z ±1)⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
Teorema CPT
• Abbiamo visto che C e P sono violate dalle interazioni deboli. – tali simmetrie non sono simmetrie fondamentali della natura
• Si può invece dimostrare che: – Una teoria quantistica:
• invariante per trasformazioni di Lorenz • locale • con Hamiltoniana hermitiana
– deve essere invariante rispetto al prodotto delle tre trasformazioni C, P, T
• Conseguenze della simmetria CPT: – particelle ed antiparticelle devono avere la stessa massa – particelle ed anti-particelle devono avere la stessa vita media totale
• Verifiche di tale simmetria si effettuano: – nelle proprietà di particelle – nella ricerca di violazioni all’invarianza per trasformazioni di Lorentz – arxiv:0801:0287 per una rassegna dello stato sperimentale
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FORMULE PER SCATTERING COMPTON POLARIZZATO
Appendice
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Scattering Compton polarizzato
• Nel sistema di riferimento in cui l’elettrone è in quiete:
• dove re è il raggio classico dell’elettrone:
• e l’energia E del fotone uscente è collegata all’angolo di emissione θ dalla relazione:
• è la sezione d’urto non polarizzata
• Polarizzazione lineare: φ angolo azimutale tra direzione di scattering e polarizzazione del fotone.
• Polarizzazione longitudinale • ξ=±1 elicità del fotone
• ζ=vettore di spin dell’elettrone (ζ2=1)
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dσdΩ
=12re2 EE0
"
#$$
%
&''
2
Φ0 +Φ1 +Φ2( )
2
20
1 2.8 fm4e
e
erm cπε
= =
( )( )0 0
11 / 1 cose
EE E m θ
=+ −
200
0
sinEEE E
θΦ = + −
21 sin cos2θ φΦ = −
Φ2 = −ξ1− cosθme
ζ ⋅k cosθ + !
k( )
e
E0 ,k( ) = E0 ,0,0,E0( )
e
E,!k( ) =
E,E sinθ cosφ,E sinθ sinφ,E cosθ( )
E0 +me − E,k −!k( )
me ,0( )γ
γ