SCHEDA DI APPROFONDIMENTO

Le coordinate nella storiaDescrivere con precisione la posizione di un oggetto sullasuperficie terrestre, su un piano oppure nello spazio è stataun’esigenza ricorrente dai tempi più remoti. I mezzi piùefficaci sono sempre stati reperiti facendo ricorso a riferimentie distanze lineari o angolari. Questi mezzi consentono diinstaurare una corrispondenza tra oggetto (o entità) e descri-zione di posizione, ma anche tra descrizione e oggetto: siha quindi una corrispondenza biunivoca.I valori delle distanze lineari o angolari rispetto ai riferimentiprendono il nome di coordinate.L’applicazione dei sistemi di coordinate in varie modalità siestende a settori molto diversi della scienza e della tecnologia:dall’astronomia alla cartografia, dalla geometria alla nautica,dalla meccanica alla computergrafica.Prima delle moderne definizioni di coordinate e sistemi diriferimento in ambito scientifico, si ebbero molte applicazionidelle coordinate nell’antichità.Gli antichi studiosi di astronomia furono forse i primi amettere a punto l’uso di coordinate per descrivere la posizionedi corpi celesti mediante valori angolari.Alle mirabili conquistedella scienza greca inambito geometrico vaanche aggiunto l’usorigoroso delle coordi-nate per lo studio dientità geometriche. Ilpiù noto studioso grecodelle curve coniche,Apollonio di Perga (IIIsec. a.C.), nel suo trat-tato “Le coniche” ado-pera un metodo di in-dagine sulle proprietàdi queste curve moltovicino a quello usato intempi moderni dallageometria analitica. Eglistudia le distanze diogni punto della curvada due rette assuntecome r i fer imento(tangente e diametro passante per il punto di tangenza); èun metodo sostanzialmente coincidente con quello dellecoordinate cartesiane, di cui è anticipatore di circa 1800 anni.È però da notare che Apollonio non considera le sue coordi-nate come un sistema assoluto che prescinde dalla curvastudiata, ma dipende da essa. Nel mondo scientifico anticonon sembra essere definito un sistema di coordinate checonsenta lo studio di qualsiasi entità geometrica per descri-verne le proprietà con equazioni o altre espressioni grafiche,simboliche o verbali.Nel Medioevo si avanzò di un passo nella direzione modernagrazie a Nicola Oresme (1323 – 1382), matematico francese.Nello studio di fenomeni, come il moto uniformementeaccelerato di un corpo, egli ebbe la brillante idea di rappre-sentarli graficamente: su una retta orizzontale segna deipunti corrispondenti agli intervalli di tempo da cui partonosegmenti perpendicolari di lunghezza pari alla velocità delcorpo. I termini longitudine e latitudine assegnati da Oresmealle diverse coppie di valori equivalgono esattamente a quellicartesiani di ascissa e ordinata. Anche se limitato allo studio

di funzioni a variazionecostante e quindi condiagramma rettilineo,il metodo grafico av-viato da Oresme ebbegrande fortuna fino aitempi di Galileo.Nel XVII secolo l’usoconsapevole e siste-matico della coordinatedivenne uno strumentofondamentale per lanasc i ta d i nuovescienze.La geometria analiticafondata da Cartesio(René Descartes, 1596- 1650) costituisce unformidabile apparatoper lo studio e la de-scrizione di entità geometriche mediante gli strumentidell’algebra.Con le coordinate cartesiane si possono indicare punti nelpiano mediante duevalori (ascissa e ordi-nata) oppure nellospazio mediante trevalori (ascissa, ordinataed elevazione).Ma il metodo cartesia-no portò a grandi svi-luppi perché gli entigeometrici venivanoconsiderati luoghi geo-metrici, cioè insiemi dipunti che godono dispecifiche proprietà; leproprietà venivanotradotte in termini matematici attraverso equazioni chedescrivevano l’entità geometrica, costruendo così una corri-spondenza biunivoca tra entità ed espressione algebrica. Inquesto modo si potevano descrivere rette, segmenti, curvechiuse (cerchi, ellissi) o aperte (parabole, iperboli, ecc.),superfici o figure solide.Una equazione di 1° grado ad esempio rappresenta una retta,equazioni di grado superiore descrivono curve (cerchio,curve coniche, ecc.); altre funzioni più complesse, come gliintegrali, rappresen-tano superfici o figuresolide.Nello stesso XVII se-colo viene definito eimpiegato un altro si-stema di coordinate:quello delle coordinatepolari. Nello studiodella spirale di Archi-mede il matematicoitaliano BonaventuraCavalieri (1598 - 1647)applica le coordinatepolari, basate su una

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Qui è illustrato il grafico di una celebre equa-zione che Cartesio studiò: la cosiddetta fogliadi Cartesio. L’equazione che la descrive è:x3 + y3 – 3axy = 0

Frontespizio di “Le coniche” di Apollonio inuna edizione del 1661.

Pagina del trattato De proportionibus (1360)di Nicola Oresme in una edizione del 1505

René Descartes, detto Cartesio.

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semiretta di riferimento (asse polare) e due valori, distanzadall’origine (polo) e angolo rispetto all’asse di riferimento.Questo tipo di coordinate era già noto agli antichi greci;Archimede (287 – 212 a.C.) se ne serve per descrivere la suafamosa spirale, mentre l’astronomo Ipparco di Nicea (190– 120 a.C.) lo applica alla descrizione degli astri. Al matema-tico svizzero Leonhard Eulero, noto in Italia come Eulero,(1707 - 1783) si deve infine l’impiego sistematico dellecoordinate polari nello spazio (coordinate cilindriche e sferiche)e la definizione delle formule di trasformazione tra coordinatecartesiane e polari.Un altro tipo di coordinate, quello delle coordinate geogra-fiche, sostanzialmente coincidente con quello delle coordinatesferiche, serve a identificare la posizione di un punto sullasuperficie della Terra mediante un meridiano di riferimentoe due angoli, latitudine e longitudine. Questo metodo era bennoto e rigorosamente applicato dagli astronomi dell’anticaGrecia; Marino di Tiro e soprattutto il famoso ClaudioTolomeo disegnarono carte geografiche della Terra abitata(Ecumene) basate sull’impiego delle coordinate geografiche.Nel trattato “Geografia” di Tolomeo sono elencate 8.000località con relative latitudini e longitudini. Il meridiano diriferimento era fissato da Tolomeo in quello passante per leisole Fortunate (attuali isole Canarie).

La scientifica utilizzazione dellecoordinate geografiche fupossibile quando la stru-mentazione astronomica enautica consentì la nascitadella moderna cartografianel XVI secolo, grazie so-prattutto all’opera delfiammingo Gerard Kre-mer, detto Mercatore,(1512 – 1594).La rivoluzione scientifica,avviata da Galileo eNewton, e la rivoluzioneindustriale crearono fortisinergie tra diverse discipline scientifiche, creando nuovispazi per le loro applicazioni tecnologiche.Lo spazio dischiuso dalla geometria analitica venne sviluppatoda Monge (1746 – 1818), che la intrecciò strettamente allageometria descrittiva da lui fondata. Le applicazioni tecnichedi questo poderoso apparato scientifico divennero vastissime,dall’astronomia alla rilevazione topografica, dal calcolo dellestrutture alla grafica computerizzata. Quest’ultima infattisull’onda dello sviluppo elettronico dispose di potenti stru-

menti di calcolo per le realizzazioni grafiche.In analogia ai procedimenti manuali si potevano inizialmenteottenere solo grafici, basati su punti definiti da coordinate;in seguito si sviluppò una tecnologia per ottenere immaginimediante una mappa di punti colorati (disegno bitmap), esuccessivamente disegni vettoriali bidimensionali (2D).Questi ultimi fornivano al disegno tecnico un enorme van-taggio: potenza di strumenti e leggerezza dei file. Il disegnovettoriale infatti utilizza descrizioni geometriche mediantefunzioni algebriche. Il CAD (Computer Aided Design, cioèprogettazione assistita dal computer) è un settore del disegnovettoriale specificamente destinato alle esigenze della pro-gettazione e del disegno tecnico.Con lo sviluppo parallelo di hardware e software si è apertoun settore importante del CAD che consente di creare entitàtridimensionali: il CAD 3D.Il CAD 3D non realizza semplicemente visualizzazionitridimensionali analoghe a quelle ottenute mediantel'assonometria o la prospettiva; in queste ultime, anche sel'immagine suggerisce percezioni tridimensionali, il disegnoè pur sempre bidimensionale e, spostandolo o ruotandolo,non ne risultano cambiate le informazioni visive.Al contrario, nel dise-gno realizzato conp r o g r a m m i 3 Dl'oggetto rappresentatoè totalmente definitonelle tre dimensioni edi esso si possonomaterializzare imma-gini diverse sul moni-tor o sulle stampe; ilmonitor non è il pianodi disegno, è una fine-stra in cui l'oggettoappare secondo puntid i v i s t a s c e l t idall'operatore.Grazie al metodo delle coordinate l’informatica ha invasomolti altri settori tecnologici; tra questi ricordiamo le appli-cazioni dell’informa-tica al settore delle macchine operatrici(programmi CAM, Computer Aided Manufacturing, perl’impiego su macchineCN, a controllo nu-merico), della robotica,delle macchine dicontrollo dei prodotti(CMM, CoordinateMeasuring Machine,cioè macchine di mi-sura a coordinate).

A sinistra, robotper il caricamentodi una macchinautensile.

Mappa dell’Ecumene di Tolomeo, ridisegnata nel XV secolo.

Gerard Kremer, detto Mercatore.

Sopra, macchinaCN, a controllonumerico.

Il CAD 3D, oltre alla creazione delle entitàtridimensionali, può fornire anche visualizzazionidi vario tipo (viste in proiezioni ortogonali,assonometria oppure prospettiva) con ombreg-giature e illuminazione che ne forniscono unarestituzione fotorealistica (rendering). Specificiprogrammi possono realizzare anche visualiz-zazioni dinamiche degli oggetti 3D (animazioni).

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Le coordinate nella storia

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