“Assi principali di inerzia”

U.Gasparini, Fisica I 1

Per una rotazione intorno ad un qualsiasi asse z , vale la relazione:

zOz IL In generale

ossia non vale la relazione vettoriale:L //

L IO z Gli assi di rotazione per i quali il momento angolare è parallelo all’asse di rotazionesi dicono “assi principali di inerzia”

Esempio:

dL

L dL

L z z

z è un asse principale di inerzia z non è un asse principaledi inerzia

r v

Si dimostra che un qualsiasi corpo possiede almeno tre assi principali di inerzia

mutuamente perpendicolari.

“Assi principali di inerzia”

2

Per una rotazione intorno ad un asse generico, la relazione tra il momento angolare L

e la velocità angolare è data dal “tensore di inerzia” (o “matrice di inerzia”) :

L Ij jk kk

1

3

(j= 1, 2, 3 )

L

L

L

I I I

I I I

I I I

I I I

I I I

I I I

x

y

z

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

x

y

z

xx x xy y xz z

yx x yy y yz z

zx x zy y zz z

dove :I y z dm Ixx x

corpo

( )2 2

I x z dm Iyy y

corpo

( )2 2 I x y dm Izz z

corpo

( )2 2

I I xydmxy yx

corpo

I I xzdmxz zx

corpo

I I yzdmyz zy

corpo

gli elementi diagonali della matrice di inerzia sono i momenti d’inerzia del corpo rispetto agli assi coordinati ; inoltre, per gli elemnti non diagonali:

la matrice d’inerzia è simmetrica

momento d’inerzia del corporispetto all’asse x

“Tensore di inerzia”


L r v dm r r dmO ( ) [ ( )]

( ) [( ) ( ) ( ) ]xu yu zu z y u x z u y x u dmx y z y z x z x y x y z

L y y x z x z dmx x y z x [ ( ) ( )]

L y z dm xydm xzdmx x y z ( )2 2

L I I Ix xx x xy y xz z

e analoghe espressioni per L y , Lz .

r

dm

ux

uy

uz

asse di rotazione r xu yu zux y z

x x y y z zu u u

x

z

y

Gli elementi della matrice d’inerzia


L

L

L

I I I

I I I

I I I

x

y

z

xx x xy y xz z

yx x yy y yz z

zx x zy y zz z

Dato un asse di rotazione, è possibile scegliere un’asse coordinato (ad es. l’asse z) lungo la direzione di rotazione; in questo caso:l’espressione per il momento angolare:

( , , )0 0

si semplifica :L Ix xz

L Iy yz L I Iz zz z

componente delmomento angolarelungo l’asse di rotazione

Tuttavia, essendo in generaleil momento angolare ha componenti lungo gli assi x,y

perpendicolari all’asse di rotazione, ossia L //

I Ixz yz 0 0, ,

Se I Ixz yz 0 , l’asse z e’ un asse principale di inerzia.

Un sistema di coordinate nel quale la matrice di inerzia è diagonale costituisce un sistema di assi principali di inerzia

Momento anolare e matrice d’inerzia

5

Il momento d’inerzia I z’ rispetto ad un generico asse z’ di rotazione passante per un punto O e individuato dal versore

è esprimibile in funzione del tensore di inerzia Ijk :

u u u ux y z( , , )

I I u I u I u I u u I u u I u uz xx x yy y zz z xy x y xz x z yz y z' ( ) 2 2 2 2

z’

x y

z

u u u ux y z( , , )

R r

R r r u sin

O

I R dm r u dmz ' ( ) 2 2

I yu zu xu zu xu yu dmz z y z x y x' [( ) ( ) ( ) ] 2 2 2

dm

y u z u yzu uz y z y2 2 2 2 2 x u z u xzu uz x z x

2 2 2 2 2 x u y u xyu uy x x y

2 2 2 2 2

[ ( ) ( ) ( )

]

u y z u x z u x y

yzu u xzu u xyu u dm

x y z

y z x z x y

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

u y z dm u x z dm u x y dm

u u yzdm u u xzdm u u xydm

x y z

y z x z x y

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

Ixx Iyy

Izz

Teorema di Poinsot

U.Gasparini, Fisica I

I I u I u I u I u u I u u I u uz xx x yy y zz z xy x y xz x z yz y z' ( ) 2 2 2 2

L’equazione che esprime il momento d’inerzia:

può essere riscritta, dividendo ambo i membri per :

I X I Y I Z I XY I XZ I YZxx yy zz xy xz yz2 2 2 2 2 2 1

con :

I z '

XI

u YI

u ZI

uz

xz

yz

z 1 1 1

' ' '

, ,

(1)

la (1) è l’equazione di un ellissoide, detto “ellissoide di inerzia” del corpo rispetto

al generico punto O del corpo: essa individua la superficie i cui punti

Il momento d’inerzia rispetto ad un qualsiasi asse z’ passante per un punto O del corpo è individuato dall’intersezione P dell’asse z’ con l’ellissoide d’inerzia del corpo

mediante la relazione:

P X Y ZI

u u uz

x y z ( , , ) ( , , )'

1

sono a distanzaOPI z

1

'

dal punto O

coseni direttori dell’asse z’

IOP

z ' 1

2

O

P

XY

Zz’

OPI z

1

'

(“Teorema di Poinsot”)

Ellissoided’inerzia

“Ellissoide di inerzia”


Dato un generico punto O del corpo, la forma ed orientazione nello spazio dell’ellissoide d’inerzia rispetto ad O e’ caratteristica del corpo e non dipende dagli assi coordinati ; solo il valore degli elementi della matrice d’inerzia

dipende da questa scelta I jk

O

P

X

Y

z’

OPI z

1

'

Ellissoided’inerzia

O

P

X’

Y’

z’Z’

equazione dell’ellissoide:

Z

I X I Y I Z

I XY I XZ I YZ

xx yy zz

xy xz yz

2 2 2

2 2 2 1

I X I Y I Z

I X Y I X Z I Y Z

x x y y z z

x y x z y z

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

' ' '

' ' ' ' ' '

2 2 2

2 2 2 1

I Ixx x x ' ' I Iyy y y ' ', , … ecc .E’ sempre possibile “diagonalizzare” la matrice d’inerzia, ossia trovare un sistema di assi coordinati per il quale sia:

I

I

I

I

xx

yy

zz

0 0

0 0

0 0

XY

ZI X I Y I Zxx yy zz

2 2 2 1 equazione dell’ellissoide:

X,Y,Z “assi principali d’inerzia”: per rotazioni intorno ad essi:

L I jj (j=x,y,z)

Ellissoide d’inerzia e assi principali


i) ellissoide d’inerzia di una sfera di raggio R:

corpo sferico omogeneo

R

1 1

25

2IMR

l’ ellissoide d’inerzia è una sfera

ii) ellissoide d’inerzia di un cilindro di lunghezza e raggio r :

I MRz 2

52

IM

z 2

12

IM

x 2

12

IMr

y 2

2

x

y

z

r

corpo cilindrico

1 122/ /M

1 22/ /Mr

ellissoide d’inerzia

Esempi di ellissoide d’inerzia:


Rototraslazione di un corpo rigido di sezione circolare (disco,cilindro,sfera) su di un piano, per il quale il punto P (o i punti) di contatto tra il corpo ed il piano è fermo

rispetto a questo ( non vi è strisciamento )

x

y

z

vGG

P

Condizione cinematica: vP 0

v v vP P G ' 0

velocità relativadi P rispetto al CM

velocità del CM

v vP G'

v v RG P '

R

velocità angolaredi rotazione

a RG accelerazione angolare

Moto di “puro rotolamento”

Derivando rispetto al tempo:


xzaG

G

P

R

y

Se una forza F viene applicata in G, nel punto di contatto P si sviluppa una reazione vincolare f che ha una componente lungo il piano: si ha cioè una forza d’attrito staticoperchè si abbia un moto accelerato di puro rotolamento il piano d’appoggio deveessere scabro.Ciò è evidente dalla equazione del momento angolare rispetto al CM :

fF

dL

dtM GP fG

GE

( )

Proiettando lungo l’asse z :

dL

dtI GP f GP f RfGzGz

z

y x x

f x 0

è la forza d’attrito statico in P (l’unica che ha un momento rispetto a G) ad essere responsabile dell’accelerazione angolare del sistema

richiesta perchè si abbia un moto accelerato di puro rotolamento. a RG /

Moto di puro rotolamento (II)


Una forza d’attrito statico che agisce in un unico punto geometrico di contatto tra superfici indeformabili è una schematizzazione; in realtà si ha una deformazione dellesuperfici di contatto, lungo le quali si sviluppano reazioni vincolari la cui risultante ha una componente lungo la direzione del moto, detta “attrito volvente”:

aCM aCMf

x

G F

Ma R F mg fCME

( )Dal teorema del moto del CM:

proiettando lungo la direzione del moto (asse x ) :Ma M R F fCMx z x

f R Ix Gz/

( si noti:a RCMx z )

z

v RCMx z

F f MR Ix Gz1 2 / fF

MR Ix

Gz

1 2 / < 0.

Ma FMR I

FMR I

MR ICMxG

G

G

1

1

1 12

2

2/

/

/

aF M

I MRCMx

G

/

/1 2 < F / M

“Attrito volvente”

12

Esempio:

momento di inerzia rispetto all’asse z passante per G:

x

z

aG

G

P

R

y

fF

2

2

1MRIG

3/1 2

F

IMR

Ff

Gx

aF M

I MR

F MCMx

G

/

/

/

/1 1 1 22a

F

MCMx 2

3

F f

Mx

L’accelerazione aCM è inferiore a quella che si avrebbe per un punto materiale di massa M soggetto alla stessa forza F.

Il lavoro compiuto dalla forza F in un tratto x :W F x E Mv I

MvF k G G G

1

2

1

2

1

2

3

22 2 2

determina un aumento di energia cinetica sia di traslazioneche di rotazione, mentre per un punto materiale:

v RG /

F x Mv 1

22

moto di puro rotolamento di un disco omogeneo di raggio R e massa M


La rotazione può essere considerata come

xzaG

G

P

R

y

fF

dL

dtM PG FP

PE

( )

Il teorema del momento angolare (calcolato rispetto al punto fisso P ), dà:

dL

dtI PG F RFPzPz z

z

con :2

2

2

3MR

MRII GP

Ciò permette di calcolare immediatamente a CM :

MR

F

I

RF

Pz 3

2 a R

F

MCM 2

3

e quindi f x : f Ma FF

x CM 3 , come già trovato.

rotazione istantanea intorno al punto fisso di contatto P :


La forza d’attrito statico fx non sempre è opposta al moto; ad esempio, se la forza

‘motrice’ F è applicata nel punto A sulla sommità del disco:

xzaG

G

P

R

y

f

F

RFFPAIdt

dL

zzP

Pz 2

A

2

2

3MRIP

MR

F

I

RF

Pz 3

42 a R

F

MCM 4

3

f Ma FF

x CM 3

0.

Forza d’attrito statico nel puro rotolamento

con:


“Giroscopio” : corpo rigido rotante con un punto mantenuto fisso da un sistema di vincoli; l’asse di rotazione, passante per il punto fisso, in generale varia la sua orientazione ed il moto risultante può risultare molto complicato.

Se il punto fisso è il centro di massa e non esistono forze esterne aventi momento risultante diverso da zero rispetto ad esso:

MG

E( ) 0 ( le reazioni vincolari che sostengono il giroscopio hanno momento nullo rispetto al CM )

il momento angolare rimane costante: L G=costante

Se l’asse di rotazione è un asse principale d’inerzia: =costante

la direzione di rotazione rimane costante in un sistema inerziale :

“bussola giroscopica”“giunto cardanico”massa rotante

asse di rotazione(fisso in un sistemainerziale)

x ’

y’z ’

z

Giroscopio


Se al giroscopio viene applicato un momento esterno si ha un “moto di precessione”

del momento angolare e dell’asse di rotazione del giroscopio :

z PG

M GP FdL

dtGG

F

LGdLG

moto diprecessione

Se M G(E) = 0 ma l’asse di rotazione non è un asse principale d’inerzia ( )

l’asse di rotazione ruota intorno alla direzione costante di L : moto di “nutazione”

L / /

Esempio: moto della Terra:l’asse di rotazione compie un motodi nutazione con periodo di 19 anni(l’angolo tra L ed è comunque molto piccolo)

LG

S

N

Precessione e nutazione


Sotto l’ azione della forza peso:

LO

d

dLO

moto di precessione

O Omg

G

dL L dO O sin dL

dtL

d

dtL M mg OGO

O O O

sin sin sin

“velocità angolare di precessione”

mg OG

LO

mgOG

Ila velocità angolare di precessione è inversamente proporzionale alla velocità

angolare di rotazione della trottola

Esempio: moto di precessione di una trottola

“Assi principali di inerzia”

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